Open in CoCalc
1
\magnification=1200
2
\pretolerance=200
3
\tolerance=400
4
\brokenpenalty=200
5
6
\catcode`\@=11
7
8
\catcode`\;=\active %point virgule
9
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\[email protected]
10
\unskip\fi\kern.2em\fi\string;}
11
12
\catcode`\:=\active %double point
13
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\[email protected]\unskip\fi
14
\penalty\@M\ \fi\string:}
15
16
\catcode`\!=\active %point d'exclamation
17
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\[email protected]
18
\unskip\fi\kern.2em\fi\string!}
19
20
\catcode`\?=\active %point d'interrogation
21
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\[email protected]
22
\unskip\fi\kern.2em\fi\string?}
23
24
25
\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi} %accent
26
circonflexe
27
\def\#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi} %trema
28
29
30
\catcode`\=\active %�
31
\def{\'e}
32
33
\catcode`\=\active %�
34
\def{\`e}
35
36
\catcode`\=\active %�
37
\def{\`a}
38
39
\catcode`\=\active %�
40
\def{\c c}
41
42
\catcode`\=\active %�
43
\def{\`u}
44
45
\catcode`\@=12
46
47
\def\up#1{\raise 1ex\hbox{\sevenrm#1}} %exposants en
48
texte
49
\def\no#1{{\kern 1pt{\rm n\up o}\kern 2pt #1\kern 1pt}} %num�ro
50
\def\nos{{\kern 1pt{\rm n\up {os}}\kern 2pt}} %num�ros
51
52
\def\{\^a} %usage simplifi� des tr�mas et accents circonflexes
53
\def\{\^e}
54
\def\{\^\i}
55
\def\{\^o}
56
\def\{\^u}
57
\def\{\�a}
58
\def\{\�e}
59
\def\{\\i}
60
\def\{\�o}
61
\def\{\�u}
62
63
\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0 pt}
64
\def\tv{\tvi\vrule}
65
66
\def\R#1{{\rm #1}} %romain
67
\def\B#1{{\bf #1}} %gras
68
69
\def\ie{{\it i.e.~}} %id est
70
\def\lc{{\it loc.cit.}} %loc. cit.
71
\def\af{{\it a fortiori\ }} %a fortiori
72
\def\mod#1{\ \hbox{{\rm mod}$#1$}} %modulo
73
\def\cvirg{\,\raise2pt\hbox{,}} %virgule apr�s une fraction
74
\def\eps{\varepsilon} %nom court pour varepsilon
75
76
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} %sinus hyperbolique
77
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} %cosinus hyperbolique
78
\def\tgh{\mathop{\rm th}\nolimits} %tangente hyperbolique
79
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} %tangente
80
\def\Arcsin{\mathop{\rm Arc\,sin}\nolimits} %Arc sinus
81
\def\Arccos{\mathop{\rm Arc\,cos}\nolimits} %Arc cosinus
82
\def\Arctg{\mathop{\rm Arc\,tg}\nolimits} %Arc tangente
83
\def\Argsh{\mathop{\rm Arg\,sh}\nolimits} %Arg sinus hyperbolique
84
\def\Argch{\mathop{\rm Arg\,ch}\nolimits} %Arg cosinus hyperbolique
85
\def\Argth{\mathop{\rm Arg\,th}\nolimits} %Arg tangente hyperbolique
86
87
\def\RE{\mathop{\rm Re}\nolimits} %Partie r�elle
88
\def\IM{\mathop{\rm Im}\nolimits} %Partie imaginaire
89
\def\H{\mathop{\bf H}\nolimits} %1/2 plan
90
91
\font\titchap=cmr17 at 20pt % pour les titres de chapitres
92
\font\pc=cmcsc10 % pour les titres de paragraphe, propositions,etc.
93
94
95
\def\moinsgras{\mathrel{\hbox{\bf -\kern-1pt -}}} %moins gras
96
97
\def\th#1{\noindent{\pc Th\'eor\`eme}\ #1. --- \ignorespaces} %Th�or�me 1.-
98
\def\prop#1{\noindent{\pc Proposition}\ #1. --- \ignorespaces}
99
%Proposition 1.-
100
\def\Def#1{\noindent{\pc D\'efinition}\ #1. --- \ignorespaces}
101
%D�finition 1.-
102
\def\cor#1{\noindent{\pc Corollaire}\ #1. --- \ignorespaces}
103
%Corollaire 1.-
104
\def\conj#1{\noindent{\pc Conjecture}\ #1. --- \ignorespaces}
105
%Conjecture 1.-
106
\def\lem#1{\noindent{\it Lemme}\ #1. --- \ignorespaces} %Lemme 1.-
107
\def\rem#1{\noindent{\it Remarque}\ #1 : \ignorespaces} %Remarque 1.-
108
\def\exe#1{\noindent{\it Exemple}\ #1 : \ignorespaces} %Exemple 1.-
109
\def\exr#1{\noindent{\it Exercice}\ #1 : \ignorespaces} %Exercice 1.-
110
\def\rems{\noindent{\it Remarques} : \ignorespaces} %Remarques .-
111
\def\exes{\noindent{\it Exemples} : \ignorespaces} %Exemples .-
112
\def\exrs{\noindent{\it Exercices} : \ignorespaces} %Exercices .-
113
114
\def\thp{\noindent{\pc Th\'eor\`eme}. --- \ignorespaces} %Th�or�me .-
115
\def\propp{\noindent{\pc Proposition}. --- \ignorespaces}
116
%Proposition .-
117
\def\Defp{\noindent{\pc D\'efinition}. --- \ignorespaces}
118
%D�finition .-
119
\def\corp{\noindent{\pc Corollaire}. --- \ignorespaces}
120
%Corollaire .-
121
\def\conjp{\noindent{\pc Conjecture}. --- \ignorespaces}
122
%Conjecture .-
123
\def\lemp{\noindent{\it Lemme}. --- \ignorespaces} %Lemme .-
124
\def\scholie{\noindent{\it Scholie}. --- \ignorespaces} %Scholie .-
125
\def\remp{\noindent{\it Remarque} : \ignorespaces} %Remarque .-
126
\def\exep{\noindent{\it Exemple} : \ignorespaces} %Exemple .-
127
128
\def\dm{\noindent{\it D�monstration}. --- \ignorespaces}
129
%Exemple .-
130
\def\raw{\longrightarrow}
131
\def\Hom{{\rm Hom}}
132
\def\Sha{{\cyr Sh}}
133
\def\Gal{{\rm Gal}}
134
\def\vol{{\rm vol}}
135
\def\spec{{\rm Spec\, }}
136
\def\cP{{\cal P}}
137
\def\cX{{\cal X}}
138
\def\cA{{\cal A}}
139
\def\cP{{\cal P}}
140
\def\cO{{\cal O}}
141
\def\cM{{\cal M}}
142
\def\cI{{\cal I}}
143
\def\cJ{{\cal J}}
144
145
\def\Mazur{{$[1]$ }}
146
\def\Merel{{$[2]$ }}
147
\def\MO{{$[3]$ }}
148
149
\centerline
150
{\titchap Le corps engendr\'e par les points }
151
\centerline
152
{\titchap
153
de petit ordre premier
154
d'une courbe elliptique}
155
\medskip
156
157
158
\bigskip\bigskip\bigskip
159
\centerline{\pc Lo\"\i c Merel {\rm and} William Stein}
160
\bigskip\bigskip\bigskip
161
162
\bigskip
163
164
\bigskip\bigskip\noindent
165
{\bf Introduction}
166
\bigskip\bigskip
167
168
Soit $p$ un nombre premier.
169
Soit $\bar\B Q$ une cl\^oture alg\'ebrique de $\B Q$.
170
Notons $\B Q(\mu_p)$ le sous-corps cyclotomique de $\bar\B Q$
171
engendr\'e par les racines $p$-i\`emes de l'unit\'e.
172
Soit $E$ une courbe elliptique sur $\B Q(\mu_p)$, telle que les
173
points d'ordre $p$ de $E(\bar\B Q)$ soient tous $\B Q(\mu_p)$-rationnels.
174
\bigskip
175
\th{}{\it On a $p>1000$, $p<6$ ou $p=13$.}
176
\bigskip
177
178
Signalons que le cas $p=7$ a \'et\'e trait\'e par Emmanuel Halberstadt.
179
La partie du th\'eor\`eme concernant les cas
180
$p\equiv 3\pmod 4$ est \'enonc\'ee dans \Merel. Nous nous proposons de donner
181
les d\'etails qui permettent de traiter ces cas ainsi que les cas, un peu plus
182
difficiles, o\`u
183
$p\equiv1\pmod 4$. Nous traitons ces derniers \`a l'aide de la proposition
184
2 ci-dessous, qui n'est pas pr\'esente dans {\it loc. cit.}
185
186
Il est peut-\^etre possible d'exclure le cas o\`u $p=13$,
187
en \'etudiant la courbe modulaire $X_1(13)$ et sa jacobienne
188
$J_1(13)$.
189
190
\bigskip\noindent
191
{\bf 1. Rappel des r\'esultats de \Merel}
192
\bigskip
193
Notons $J_0(p)$ la jacobienne de la courbe modulaire $X_0(p)$ (qui classe
194
les courbes elliptiques g\'en\'eralis\'ees munies d'un sous-groupe
195
cyclique d'ordre $p$).
196
Consid\'erons le sous-anneau $\B T$ de ${\rm End}\,J_0(p)$
197
engendr\'e par les op\'erateurs de Hecke. Renvoyons \`a \Mazur
198
pour l'\'etude approfondie de ces objets.
199
200
Soit $S$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de courbes elliptiques
201
supersinguli\`eres en caract\'eristique $p$.
202
Notons $\Delta_S$ le groupe form\'e par les diviseurs de degr\'e $0$
203
\`a support dans $S$. Il est muni d'une structure
204
de $\B T$-module (d\'eduite, par exemple, de l'action des correspondances
205
de Hecke sur la fibre en $p$ du mod\`ele r\'egulier minimal de
206
$X_0(p)$ sur $\B Z$).
207
208
Soit $j\in\bar\B F_p-J_S$, o\`u $J_S$ d\'esigne l'ensemble des invariants
209
modulaires
210
supersinguliers. On note $\iota_j$ l'homomorphisme de
211
groupes $\Delta_S\raw \bar\B F_p$ qui \`a $\sum_E n_E[E]$ associe
212
la quantit\'e
213
$\sum_E n_E/(j-j(E))$, o\`u $j(E)$ d\'esigne l'invariant modulaire de $E$.
214
215
On dira qu'un \'el\'ement $j\in\B F_p$ {\it pr\'esente une anomalie}
216
s'il existe une courbe elliptique sur $\B F_p$ d'invariant modulaire $j$
217
poss\'edant un point $\B F_p$-rationnel d'ordre $p$ (cela entra\^\i ne $j\notin
218
J_S$).
219
220
\bigskip
221
\prop{1}{\it Supposons que $p$ est congru \`a $1$ modulo $4$. Supposons que
222
pour
223
tout
224
$j\in\B F_p$ pr\'esentant une anomalie et tout
225
caract\`ere de Dirichlet $\chi$ : $(\B Z/p\B Z)^*\raw \B C$ non quadratique,
226
il existe $t_\chi\in \B T$ et
227
$\delta\in\Delta_S$ tels que $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ et
228
$\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$.
229
230
231
Alors pour tout sous-groupe d'ordre $p$ de $E(\bar \B Q)$, il existe
232
une courbe elliptique $E_C$ sur $\B Q(\sqrt p)$
233
munie d'un sous-groupe
234
$D_C$ d'ordre $p$ et $\B Q(\sqrt p)$-rationnel, telle que
235
les couples $(E,C)$ et $(E_C,D_C)$ soient $\bar \B Q$-isomorphes.}
236
237
\dm Indiquons comment cela se d\'eduit de \Merel.
238
L'hypoth\`ese $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$ entra\^\i ne $t_\chi\notin p\B T$
239
et, {\it a fortiori}, $t_\chi\ne0$, si bien que
240
l'hypoth\`ese de non-annulation de s\'erie $L$
241
entra\^\i ne l'hypoth\`ese $H_p(\chi)$ de {\it loc. cit}, introduction.
242
243
D'apr\`es {\it loc. cit}, corollaire 3 de la proposition 6, $E$ a
244
potentiellement
245
bonne r\'eduction en l'id\'eal premier $\cP$ de $\B Z[\mu_p]$ au dessus de $p$
246
d\`es lors que l'hypoth\`ese $H_p(\chi)$ est v\'erifi\'ee pour
247
$\chi$ caract\`ere de Dirichlet de conducteur $p$ non quadratique
248
(ce qui est le cas par hypoth\`ese).
249
250
Notons $j$ l'invariant modulaire de la fibre en $\cP$ du mod\`ele de
251
N\'eron de $E$. D'apr\`es le corollaire de la proposition 15 de {\it loc.
252
cit.},
253
$j$ pr\'esente une anomalie.
254
255
Soit $C$ un sous-groupe d'ordre $p$ de $E(\bar\B Q)$.
256
Le couple $(E,C)$ d\'efinit un point $P$ qui $\B Q(\mu_p)$-rationnel de
257
la courbe modulaire $X_0(p)$, qui n'est pas une pointe.
258
259
Consid\'erons le morphisme $\phi_{\chi}=\phi_{t_\chi}$ (voir {\it loc. cit.}
260
section 1.3). Comme $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$, c'est une immersion
261
formelle au
262
point
263
$P_{/\B F_p}$ d'apr\`es {\it loc. cit.}, proposition 4.
264
L'hypoth\`ese $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ entra\^\i ne que
265
la composante $\chi$-isotypique de $t_\chi J_0(p)(\B Q(\mu_p))$ est
266
finie (th\'eor\`eme de Kato, voir la discussion dans
267
{\it loc. cit.} section 1.5). On peut donc appliquer le corollaire
268
1 de la proposition 6 de {\it loc. cit}. Cela prouve que $P$ est
269
$\B Q(\sqrt p)$-rationnel, ce qui se traduit par la conclusion de la
270
proposition 1.
271
272
273
\bigskip\bigskip\noindent
274
{\bf 2. Un lemme sur les courbes elliptiques}
275
\bigskip
276
\prop{2}{\it Soit $p$ un nombre premier congru \`a $1$ modulo $4$. Soit $E$
277
une courbe elliptique sur
278
$\bar\B Q$. Il existe un sous-groupe cyclique $C$ d'ordre $p$ de
279
$E(\bar\B Q)[p]$, tel que pour toute courbe elliptique $E'$ sur $\B Q(\sqrt
280
p)}$
281
munie d'un sous-groupe $C'$ qui est $\B Q(\sqrt p)}$-rationnel les
282
couples $(E,C)$ et $(E', C')$ ne soient pas $\bar\B Q$-isomorphes.
283
}
284
285
\dm
286
Proc\'edons par l'absurde.
287
Soit $E_0$ une courbe elliptique sur $\B Q(\sqrt p)})$
288
qui est $\bar\B Q$ isomorphe \`a $E$ (il en existe par hypot\`ese).
289
D\'emontrons au pr\'ealable que le groupe
290
$\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p)})$ agit scalairement
291
sur le $\B F_p$-espace vectoriel $E_0(\bar\B Q)[p]$.
292
293
Notons $X(p)$ la courbe alg\'ebrique sur $\B Q$ qui classe (finement puisque
294
$p>2$) les courbes elliptiques g\'en\'eralis\'ees munies d'un plongement
295
$\pi$ : $(\B Z/p\B Z)^2\raw E[p]$. Consid\'erons le morphisme (de vari\'et\'es
296
alg\'ebriques sur $\B Q$) $\phi$ :
297
$X(p)\raw X_0(p)^{\B P^1(\B F_p)}$ qui \`a $(E,\pi)$ associe
298
$\prod_{t\in\B P^1(\B F_p)}(E,\pi(t))$.
299
Notons $X_\Delta(p)$ l'image de $\phi$. Le rev\^etement (de courbe
300
alg\'ebriques sur $\B Q$) $\phi'$ :
301
$X(p)\raw X_\Delta(p)$ est galoisien de groupe de Galois isomorphe \`a $\B
302
F_p^*$ (l'action \'etant d\'eduite de l'action scalaire de $\B F_p^*$ sur
303
$E[p]$).
304
305
Soit $\pi_0$ un plongement $(\B Z/p\B Z)^2\raw E_0[p]$.
306
Notons $P$ le point $\bar\B Q$-rationnel de $X(p)$ d\'eduit de $(E_0,\pi_0)$.
307
Son image par $\phi$ est $\B Q(\sqrt p)$-rationnelle par hypoth\`ese.
308
On a donc un caract\`ere $\alpha$ : $\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p))\raw\B
309
F_p^*$ tel que $\sigma(P)=\alpha(\sigma).P$ ($\sigma\in \Gal(\bar\B Q/\B
310
Q(\sqrt p))$). En d'autres termes $\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p))$ agit
311
scalairement sur $E_0(\bar\B Q)[p]$ via le caract\`ere $\alpha$.
312
313
314
315
En raison des accouplement de Weil, $\alpha^2$ co\"\i ncide
316
avec le caract\`ere cyclotomique modulo $p$, et se factorise donc
317
par $\Gal(\B Q(\mu_p)/\B Q(\sqrt p))$. Or, lorsque
318
$p\equiv 1\pmod 4$, le groupe $\Gal(\B Q(\mu_p)/\B Q(\sqrt p)})$ est d'ordre
319
pair, et ses caract\`eres modulo $p$ forment un groupe engendr\'e par la
320
r\'eduction modulo $p$ du caract\`ere cyclotomique, qui ne peut donc \^etre un
321
carr\'e.
322
323
\bigskip\bigskip\noindent
324
{\bf 3. V\'erification des hypoth\`eses de la proposition 1}
325
\bigskip
326
Soit $p$ un nombre premier.
327
Indiquons comment nous v\'erifions que les hypoth\`eses de la proposition
328
1 sont satisfaites. Notons $S_2(\Gamma_0(p))$ le groupe form\'e par les
329
formes modulaires paraboliques de poids $2$ pour le groupe de congruence
330
$\Gamma_0(p)$ et \`a coefficients de Fourier entiers. Par forme primitive
331
on entend une forme primitive du $\bar\B Q$-espace
332
vectoriel engendr\'e par $S_2(\Gamma_0(p))$.
333
334
On \'etablit d'abord la liste des invariants modulaires $j\in\B F_p$
335
pr\'esentant
336
une anomalie. On ne s'int\'eresse qu'\`a ces derniers.
337
Soient $\chi$ un caract\`ere de Dirichlet $(\B Z/p\B Z)^*\raw \B C^*$ et
338
$j\in\B P^1(\B F_p)$ pr\'esentant une anomalie.
339
340
On \'etudie les trois $\B T$-modules suivants : $\B T$, $\Delta_S$ et
341
$S_2(\Gamma_0(p))$. Apr\`es extensions des scalaires \`a $\B Q$,
342
ce sont des $\B T\otimes\B Q$-modules libres de rang 1, dont les
343
sous-$\B T$-modules irr\'eductibles sont les annulateurs des id\'eaux premiers
344
minimaux de
345
$\B T$. On
346
\'etablit la liste des id\'eaux premiers minimaux de $\B T$. D'un point de vue
347
algorithmique, ils sont engendr\'es par des polyn\^omes de petits degr\'es
348
en les op\'erateurs de Hecke de petits indices ; on trouve ces polyn\^omes
349
en utilisant la m\'ethode du graphe de Mestre et Oesterl\'e \MO.
350
351
Pour chaque id\'eal $\cP$ de $\B T$, on peut examiner si
352
les trois conditions suivantes sont satisfaites :
353
354
\noindent i)
355
Il
356
existe $x\in\Delta_S$ tel que $\cP x=0$ et $\iota_j(x)\ne 0$.
357
358
\noindent
359
ii) Toute forme primitive $f$ telle que $\cP f=0$ v\'erifie $L(f,\chi,1)\ne 0$.
360
361
\noindent
362
iii) L'image de $\cP$ dans le $\B T$-module $\B T/p\B T$ est un facteur direct.
363
364
On \'etudie le cas o\`u $\cP$ est premier et minimal.
365
La premi\`ere condition s'\'etudie par la m\'ethode du graphe de Mestre et
366
Oesterl\'e. La deuxi\`eme condition se v\'erifie par la th\'eorie des symboles
367
modulaires (sans recours \`a des calculs d'int\'egrales).
368
La troisi\`eme condition est v\'erifi\'ee pour $p<1000$ et $p\ne 389$, car l'un
369
d'entre nous a d\'ecouvert que le discriminant de $\B T$ est premier \`a $p$ et
370
donc que l'anneau
371
$\B T/p\B T$ est semi-simple. Pour tout nombre premier $p$ distinct de
372
$2,3,5,7, 13$ et $389$, on v\'erifie l'existence d'un id\'eal premier minimal
373
v\'erifiant les trois conditions \'enonc\'ees.
374
375
Dans le cas o\`u $p=389$,
376
on trouve $\cP$ de la mani\`ere suivante.
377
Il existe deux id\'eaux premiers minimaux $\cP_1$ et $\cP_2$ satisfaisant
378
les deux premi\`eres conditions. Comme le discriminant de $\B T$ est de
379
valuation $p$-adique \'egale \`a $1$, l'image de l'un au moins des id\'eaux
380
$\cP_1$, $\cP_2$ et $\cP_1\cap\cP_2$ est un facteur direct de
381
$\B T/p\B T$. On note $\cP$, celui de ces id\'eaux qui
382
convient.
383
384
Lorsque nos trois conditions sont satisfaites pour un id\'eal $\cP$ de $\B
385
T$, il
386
existe
387
$t_\chi\in\B T$ annul\'e par $\cP$ et image r\'eciproque d'un projecteur de
388
$\B T/p\B T$ sur le suppl\'ementaire de $\cP+p\B T$.
389
Posons $\delta=x$, on a $\iota_j(t_\chi \delta)=\iota_j(\delta)\ne0$ (car
390
$\iota_j$ prend ses valeurs en caract\'eristique $p$, $\delta$ est annul\'e
391
par $\cP$
392
et $t_\chi\in 1+p\B T+\cP$).
393
L'assertion $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ r\'esulte facilement de la deuxi\`eme
394
condition, puisque $L(t_\chi J_0(p),\chi,s)$ est le produit des
395
$L(f,\chi,s)$, o\`u $f$ parcourt les formes primitives non annul\'ees par
396
$t_\chi$.
397
398
Le couple $(t_\chi,\delta)$ satisfait donc les conditions demand\'ees.
399
400
\bigskip\bigskip
401
402
403
404
\centerline{\pc Bibliographie}
405
\bigskip
406
407
\item{\Mazur}{\pc B. Mazur},
408
{\it Modular curves and the Eisenstein ideal},
409
Pub. math. de l'IHES {\bf 47}, 33--186, {\oldstyle 1977}.
410
411
\item{\Merel}{\pc L. Merel},
412
{\it Sur la nature non cyclotomique des points d'ordre fini des courbes
413
elliptiques},
414
Pr\'epublication , {\oldstyle
415
1999}.
416
417
\item{\MO}{\pc J.-F. Mestre} et {\pc J. Oesterl\'e},
418
{\it Courbes elliptiques de conducteur premier}, Manuscrit non publi\'e.
419
\end