Sharedwww / merel-stein / B62-french.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.12.24:1025����������s���������K�`y

cmr10�circon
exe����texte��㎍�?n��2D��tG�cmr17�Le�	�corps�engendr��zA��Y�e�par�les�p���oin�ts���p����de�	�p���etit�ordre�premier�d'une�courb�e�elliptique��4�v��w�+�-�

cmcsc10�Lo����K��*��c��Merel��and��William�Stein��Q΂���"V

cmbx10�In��9tro�Q�duction��#D֍��Soit����b>

cmmi10�p��un�nom���bre�premier.�C�Soit���qƍ������:���Q���9��une�cl^����oture�alg���Gebrique�de��Q�.�C�Notons��Q�(�����	0e�rcmmi7�p���R�)�le�sous-���corps���cyclotomique�de���qƍ������:���Q���?�engendr�����Ge�par�les�racines��p�-i���Gemes�de�l'unit���Ge.��Soit��E�aR�une�courb�Ge���elliptique�UUsur��Q�(�����p���R�),�telle�que�les�p�Goin���ts�d'ordre��p��de��E����(���qƍ������:��Q������)�soien�t�tous��Q�(�����p���R�)-rationnels.���k��Th��g��*��eor��g��*��eme�UU�.�q�|��$�':

cmti10�On���a��p��>��1000�,���p�<��6��ou��p��=�13�.�����Signalons���que�le�cas��p��ҫ=�7���a�9v��Get����e�trait����e�par�Emman���uel�Halb�Gerstadt.��La�partie�du���th�����Geor��eme���concernan�t�les�cas��p�/\�!",�

cmsy10���3�	��(�mo�Gd���4)�est�L���Genonc����ee�dans�[2]�.�-vNous�nous�prop�Gosons���de�`donner�les�d�����Getails�qui�p�Germetten�t�de�traiter�ces�cas�ainsi�que�les�cas,��#un�p�Geu�plus�diciles,���o�G����u�p��p����1�	��(�mo�d���4).���Nous�p�traitons�ces�derniers�����a�l'aide�de�la�prop�osition�2�ci-dessous,�w�qui���n'est�UUpas�pr�����Gesen�te�UUdans��lo��}'c.���cit.�����Il��Pest�p�Geut-���^��Getre�p�ossible�d'exclure�le�cas�o�����u��p�yd�=�13,��en�y3��Getudian���t��Pla�courb�e�mo�dulaire����X����ٓ�Rcmr7�1��|s�(13)�UUet�sa�jacobienne��J����1���(13).���k��1.�pRapp�Q�el��Tdes�r�«��}Wesultats�de��[2]����Notons�!x�J����0��|s�(�p�)�la�jacobienne�de�la�courb�Ge�mo�dulaire��X����0��|s�(�p�)�(qui�classe�les�courb�es���elliptiques�j�g�����Gen��eralis��ees�j�m�unies�d'un�sous-group�Ge�cyclique�d'ordre��p�).���Consid���Gerons�le�sous-���anneau��c�T��de��End��P��J����0��|s�(�p�)�engendr�����Ge�par�les�op���Gerateurs�de�Hec�k�e.�>wRen�v�o�y�ons�����a�[1]�p�Gour�l'���Getude���approfondie�UUde�ces�ob��8jets.����Soit���S��*�l'ensem���ble�des�classes�d'isomorphisme�de�courb�Ges�elliptiques�sup�ersinguli�����Geres���en���caract�����Geristique��p�.�kiNotons�����S��	��le�group�Ge�form���Ge�par�les�diviseurs�de�degr���Ge�0�����a�supp�Gort���dans��v�S����.�*Il�est�m���uni�d'une�structure�de��T�-mo�Gdule�(d���Geduite,�>par�exemple,�de�l'action�des���corresp�Gondances�UUde�Hec���k�e�UUsur�la�bre�en��p��du�mo�d�����Gele�r���Gegulier�minimal�de��X����0��|s�(�p�)�sur��Z�).����Soit�J��j�Y��2���qƍ��O����:����F����p�������#5�J����S����,�L�o�G����u��J����S��	��d�����Gesigne�l'ensem�ble�des�in�v��q�arian�ts�mo�Gdulaires�sup�ersinguliers.���On��note������j��㯫l'homomorphisme�de�group�Ges�����S�����	$A�����@�!���qƍ�wq����:��Y:�F����p�������qui�����a��������u

cmex10�P���;>��E���S�n����E���m�[�E����]�asso�cie�la�quan���tit���Ge��������P���
�;��E���P�n����E���m�=�(�j��k��8�j����(�E����)),�UUo�G����u��j��(�E����)�d�����Gesigne�l'in�v��q�arian�t�mo�Gdulaire�de��E����.������;1���*�����s���������On�V�dira�qu'un����Gel����emen�t�V��j�\Z�2����F����p���H�pr�����$�esente��gune�anomalie��s'il�existe�une�courb�Ge�elliptique���sur����F����p����d'in���v��q�arian�t�mo�Gdulaire��j��?�p�oss�����Gedan�t�un�p�Goin�t��F����p���R�-rationnel�d'ordre��p��(cela�en�tra���^��qne����j�����v=�����Y��2������g�J����S����).���ߍ�Pr��oposition��&�1.��:|��Supp��}'osons���que��p��est�c�ongru����a��1��mo�dulo��4�.�ӹSupp�osons�que�p�our�tout����j���2�Y�F����p�����pr�����$�esentant�I�une�anomalie�et�tout�c��}'ar�act���$�er�e�I�de�Dirichlet����:��(�Z�=p�Z�)���^��O!�cmsy7�������=�����ų!�Y�C��non���quadr��}'atique,���il�existe��t������F5�2���T��et���'��2������S��	^��tels�que��L�(�t�������J����0��|s�(�p�)�;���;��1)��6�=�0����et������j��6��(�t��������`�)��6�=�0�.����A���lors�~�p��}'our�tout�sous-gr�oup�e�d'or�dr�e��p��de��E����(���qƍ������:��Q������)�,��il�existe�une�c�ourb�e�el���liptique��E����C��
8��sur����Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)��u�munie�d'un�sous-gr��}'oup�e��u�D����C��uO�d'or�dr�e��p��et��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)�-r�ationnel,�Ytel���le�que�les�c�ouples����(�E���;���C���)����et��(�E����C���ڱ;�D����C���)����soient���qƍ�e�����:���Q���7r�-isomorphes.���D�����$�emonstr��}'ation�.�F|�7*Indiquons�commen���t�cela�se�d���Geduit�de�[2]�.�FL'h�yp�Goth���Gese������j��6��(�t��������`�)�?y�6�=�0���en���tra���^��qne�y�t����������	���=������#�2�����1ձp�T��et,���a���fortiori�,��t�������#�6�=�0,�si�y�bien�que�l'h�yp�Goth���Gese�de�non-ann�ulation�de�s���Gerie����L�UU�en���tra���^��qne�l'h�yp�Goth���Gese��H����p���R�(��)�de��lo��}'c.���cit�,�in�tro�Gduction.����D'apr�����Ges��lo��}'c.���cit�,�$Ecorollaire�3�de�la�prop�Gosition�6,��E����a�p�Goten���tiellemen�t�b�onne�r�����Geduction���en���l'id�����Geal�premier��P�a<�de��Z�[�����p���R�]�au�dessus�de��p��d���Ges�lors�que�l'h�yp�Goth���Gese��H����p���R�(��)�est�v���Geri��ee���p�Gour������|�caract�����Gere�de�Diric�hlet�de�conducteur��p��non�quadratique�(ce�qui�est�le�cas�par�h�yp�Goth���Gese).����Notons�DI�j��ԫl'in���v��q�arian�t�mo�Gdulaire�de�la�bre�en��P�ƫdu�mo�d�����Gele�de�N���Geron�de��E����.�lD'apr���Ges�le���corollaire�UUde�la�prop�Gosition�15�de��lo��}'c.���cit.�,��j���pr�����Gesen�te�UUune�anomalie.����Soit���C���un�sous-group�Ge�d'ordre��p��de��E����(���qƍ������:��Q������).�&�Le�couple�(�E�;���C���)�d�����Genit�un�p�Goin�t��P�J��qui����Q�(�����p���R�)-rationnel�UUde�la�courb�Ge�mo�dulaire��X����0��|s�(�p�),�qui�n'est�pas�une�p�oin���te.����Consid�����Gerons���le�morphisme���������J�=� -�����t���O
�\cmmi5�����̫(v�oir��lo��}'c.�-cit.� �section�1.3).�Comme������j��6��(�t��������`�)� -�6�=�0,���c'est���une�immersion�formelle�au�p�Goin���t��P���:�=�f$�cmbx7�F���p���A&�d'apr���Ges��lo��}'c.��cit.�,��tprop�Gosition�4.��FL'h�yp�Goth���Gese����L�(�t�������J����0��|s�(�p�)�;���;��1)����6�=�0���en���tra���^��qne�que�la�comp�Gosan�te���-isot�ypique�de��t�������J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�))�est�nie���(th�����Geor��eme�o�de�Kato,�vcv���oir�la�discussion�dans��lo��}'c.��cit.���section�1.5).�On�p�Geut�donc�appliquer���le���corollaire�1�de�la�prop�Gosition�6�de��lo��}'c.�E�cit�.�,�Cela�prouv���e�que��P��H�est��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)-rationnel,��Rce���qui�UUse�traduit�par�la�conclusion�de�la�prop�Gosition�1.��!	���2.�pUn��Tlemme�sur�les�courb�Q�es�elliptiques����Pr��oposition��0�2.�X|��Soit�
�p��un�nombr��}'e�pr�emier�c�ongru����a��1��mo�dulo��4�.�Soit��E����une�c�ourb�e���el���liptique�/rsur���qƍ�7����:���Q������.�l7Il�existe�un�sous-gr��}'oup�e�/rcyclique��C���d'or��}'dr�e�/r�p��de��E����(���qƍ������:��Q������)[�p�]�,�VUtel�que�p��}'our���toute��kc��}'ourb�e�el���liptique��E������^��0��1�sur��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)��munie�d'un�sous-gr�oup�e��C�����^��0��>��qui�est��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)�-r�ationnel���les���c��}'ouples��(�E���;���C���)��et��(�E����^��0��aƱ;���C�����^��0���U�)��ne�soient�p��}'as���qƍ�e�����:���Q���7r�-isomorphes.���D�����$�emonstr��}'ation�.�M�|��Pro�Gc�����Gedons�par�l'absurde.�Soit��E����0��f�une�courb�Ge�elliptique�sur��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�))�qui���est���qƍ�[email protected]���:���{�Q������isomorphe��{����a��E��(il�en�existe�par�h���yp�Got���Gese).�9D��emon�trons��{au�pr����ealable�que�le�group�Ge����Gal���(���qƍ������:��Q������=�Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�))�UUagit�scalairemen���t�sur�le��F����p���R�-espace�v�ectoriel��E����0��|s�(���qƍ������:��Q������)[�p�].����Notons�\^�X���(�p�)�la�courb�Ge�alg�����Gebrique�sur��Q��qui�classe�(nemen�t�puisque��p��>��2)�\^les�courb�Ges���elliptiques�_�g�����Gen��eralis��ees�_�m�unies�d'un�plongemen�t����~�:��g(�Z�=p�Z�)���^��2������d������!���E����[�p�].���Consid���Gerons�le��
^r�morphisme�n�(de�v��q�ari�����Get��es�n�alg��ebriques�n�sur��Q�)����:��[�X���(�p�)�����>�����	
�!��>�X����0��|s�(�p�)���^��P����r���Zcmr5�1��� �(�F���p��2Ԯ)����qui�����a�(�E���;����[٫)�asso�Gcie��������Q���	qɟ�t�2�P����1��� �(�F���p��2Ԯ)��,���(�E���;����[٫(�t�)).�A7Notons�ä�X������ɫ(�p�)�l'image�de���.�Le�rev���^��Getemen�t�ä(de�courb�Ge�alg����ebriques�sur��
}v��Q�)�fޱ���^��0��5�:��رX���(�p�)�����Q�����	�!��Q�X������ɫ(�p�)�est�galoisien�de�group�Ge�de�Galois�isomorphe�����a��F���^�����፴p���0�(l'action����Getan���t���d�����Geduite�UUde�l'action�scalaire�de��F���^�����፴p����sur��E����[�p�]).��

��Soit������0��q2�un�plongemen���t�(�Z�=p�Z�)���^��2�����M:�����i�!��DZE����0��|s�[�p�].�PNotons��P�XN�le�p�Goin�t���qƍ�Ƅ���:���Q����J�-rationnel�de��X���(�p�)���d�����Geduit���de�(�E����0��|s�;�������0���).��Son���image�par����est��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)-rationnelle�par�h�yp�Goth���Gese.��On�a�donc�un������;2���
������s��������caract�����Gere������:���7Gal��T9(���qƍ������:��Q������=�Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�))�����ʷ����	�@!����F���^�����፴p����߫tel�que���[٫(�P�c��)�=���	z�(���)�:P�Z�(��/��2���Gal��s�(���qƍ������:��Q������=�Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�))).�UpEn��

�d'autres�UUtermes��Gal���W(���qƍ������:��Q������=�Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�))�agit�scalairemen���t�sur��E����0��|s�(���qƍ������:��Q����)[�p�]�via�le�caract�����Gere���	z�.����En�S�raison�des�accouplemen���t�de�W��*�eil,��W���	z��^��2��	٪�co�����qncide�a�v�ec�le�caract���Gere�cyclotomique���mo�Gdulo���p�,�J�et�se�factorise�donc�par��Gal����(�Q�(�����p���R�)�=�Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)).��|Or,�lorsque��p�&���1�	��(�mo�Gd���4),�le���group�Ge��
�Gal����(�Q�(�����p���R�)�=�Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�))�
�est�d'ordre�pair,��et�ses�caract�����Geres�mo�dulo��p��formen���t�un�group�e���engendr�����Ge���par�la�r���Geduction�mo�Gdulo��p��du�caract���Gere�cyclotomique,���qui�ne�p�Geut�donc�=�^�etre�un���carr�����Ge.��!���3.�pV�«��}Werication��Tdes�h��9yp�Q�oth���}Weses�de�la�prop�Q�osition�1���w���Soit�٤�p��un�nom���bre�premier.�H�Indiquons�commen�t�nous�v���Gerions�que�les�h�yp�Goth���Geses�de�la���prop�Gosition���1�son���t�satisfaites.�T;Notons��S����2��|s�(����0���(�p�))���le�group�e�form�����Ge�par�les�formes�mo�dulaires���parab�Goliques�Rde�p�oids�2�p�our�le�group�e�de�congruence�����0��|s�(�p�)�et�����a�co�ecien���ts�de�F��*�ourier���en���tiers.�>tP�ar��[forme�primitiv���e�on�en�tend�une�forme�primitiv�e�du���qƍ�� ���:���Q���^�-espace�v�ectoriel�engendr���Ge���par�UU�S����2��|s�(����0���(�p�)).����On�����Getablit�)�d'ab�Gord�la�liste�des�in���v��q�arian�ts�)�mo�dulaires��j�Y��2���F����p���=�pr�����Gesen�tan�t�)�une�anomalie.���On�T�ne�s'in���t���Geresse�T�qu'����a�ces�derniers.�q�Soien���t����un�caract���Gere�de�Diric�hlet�(�Z�=p�Z�)���^�������_������
|r!���C���^�����ɫet����j�Y��2���P���^��1��|s�(�F����p���R�)�UUpr�����Gesen�tan�t�une�anomalie.����On�����Getudie���les�trois��T�-mo�Gdules�suiv��q�an���ts�:�ž�T�,�g�����S��
�ȫet��S����2��|s�(����0���(�p�)).�	k
Apr���Ges���extensions���des��dscalaires�����a��Q�,�'ce�son���t�des��T����
��Q�-mo�Gdules��dlibres�de�rang�1,�don���t�les�sous-�T�-mo�Gdules���irr�����Geductibles�j�son�t�les�ann�ulateurs�des�id���Geaux�premiers�minimaux�de��T�.���On�#��etablit�la�liste���des�L�id�����Geaux�premiers�minimaux�de��T�.�n�D'un�p�Goin�t�de�vue�algorithmique,�N�ils�son�t�engendr���Ges���par���des�p�Golyn^����omes�de�p�etits�degr�����Ges�en�les�op���Gerateurs�de�Hec�k�e�de�p�Getits�indices���;�on�trouv�e���ces�UUp�Golyn^����omes�en�utilisan���t�la�m���Getho�Gde�du�graphe�de�Mestre�et�Oesterl���Ge�[3]�.����P���our�dc�haque�id���Geal��P�6��de��T�,���on�p�Geut�examiner�si�les�trois�conditions�suiv��q�an�tes�son�t���satisfaites�UU:���i)�UUIl�existe��x���2������S��	 \�tel�UUque��P��}�x���=�0�UUet������j��6��(�x�)���6�=�0.���ii)�UUT��*�oute�forme�primitiv���e��f�h�telle�que��P��}�f�ڧ�=��0�v���Gerie��L�(�f��V;���;��1)���6�=�0.���iii)�UUL'image�de��P�'ҫdans�le��T�-mo�Gdule��T�=p�T��est�un�facteur�direct.����On�G\��Getudie��yle�cas�o�G����u��P�`��est�premier�et�minimal.�3La�premi����ere�condition�s'����etudie�par�la���m�����Getho�Gde�HRdu�graphe�de�Mestre�et�Oesterl���Ge.�mqLa�deuxi���Geme�condition�se�v���Gerie�par�la�th���Georie���des���sym���b�Goles�mo�dulaires�(sans�recours�����a�des�calculs�d'in���t���Gegrales).�HLa���troisi��eme���condition���est��Fv�����Geri��ee��Fp�Gour��p��<��1000��Fet��p���6�=�389,��car��Fl'un�d'en���tre�nous�a�d���Gecouv�ert�que�le�discriminan�t���de����T��est�premier�����a��p��et�donc�que�l'anneau��T�=p�T��est�semi-simple.�\�P���our�tout�nom�bre���premier����p��distinct�de�2�;����3�;��5�;��7�;��13���et�389,���on�v�����Gerie�l'existence�d'un�id���Geal�premier�minimal���v�����Gerian�t�UUles�trois�conditions�8�enonc����ees.����Dans��gle�cas�o�G����u��p��4�=�389,�'kon��gtrouv���e��P���de�la�mani���Gere�suiv��q�an�te.�i�Il�existe�deux�id���Geaux���premiers��minimaux��P����1��3��et��P����2���satisfaisan���t�les�deux�premi���Geres�conditions.�=Comme�le�discrim-���inan���t�

de��T��est�de�v��q�aluation��p�-adique�����Gegale�����a�1,�l'image�de�l'un�au�moins�des�id���Geaux��P����1��|s�,��P����2�����et�UU�P����1���S�\�8�P����2���ȫest�un�facteur�direct�de��T�=p�T�.�q�On�note��P��}�,�celui�de�ces�id�����Geaux�qui�con�vien�t.����Lorsque��*nos�trois�conditions�son���t�satisfaites�p�Gour�un�id���Geal��P�Ƨ�de��T�,��il�existe��t������	N�2����T����ann���ul���Ge�R�par��P�%2�et�image�r����ecipro�Gque�d'un�pro��8jecteur�de��T�=p�T��sur�le�suppl����emen�taire�R�de��P�!�+�3��p�T�.���P���osons�Q.��'��=���x�,�Ron�a������j��6��(�t��������`�)�=������j���(��`�)��6�=�0�Q.(car������j���ګprend�ses�v��q�aleurs�en�caract�����Geristique��p�,�R����est���ann���ul���Ge��4par��P���et��t������ا�2�Y��1�st+��p�T��+��P��}�).�ycL'assertion��4�L�(�t�������J����0��|s�(�p�)�;���;��1)��6�=�0��4r�����Gesulte�facilemen�t�de������;3���&؍����s��������la�!�deuxi�����Geme�condition,�+�puisque��L�(�t�������J����0��|s�(�p�)�;���;�s�)�!�est�le�pro�Gduit�des��L�(�f��V;���;�s�),�o�G����u�!��f�5�parcourt���les�UUformes�primitiv���es�non�ann�ul���Gees�par��t�������.����Le�UUcouple�(�t�������;����`�)�satisfait�donc�les�conditions�demand�����Gees.��$����w�Bibliographie�����p�[1]���B.�)pMazur�,��+�Mo��}'dular��`curves�and�the�Eisenstein�ide�al�,��+Pub.�f/math.�de���l'IHES��v�47�,����33{186,�UU�1977�.�����p[2]���L.�;�Merel�,��g�Sur��Bla�natur��}'e�non�cyclotomique�des�p�oints�d'or�dr�e�ni�des�c�ourb�es�el���lip-����tiques�,�UUPr�����Gepublication�,��1999�.�����p[3]���J.-F.�
�Mestre����et��J.�Oesterl��g��*��e�,��D�Courb��}'es��el���liptiques�de�c�onducteur�pr�emier�,��DMan���uscrit����non�UUpubli�����Ge.������;4���<����;�0s�v6�2D��tG�cmr17�+�-�

cmcsc10�$�':

cmti10�f$�cmbx7��"V

cmbx10���u

cmex10�O!�cmsy7�!",�

cmsy10�O
�\cmmi5�	0e�rcmmi7��b>

cmmi10���Zcmr5�ٓ�Rcmr7�K�`y

cmr10�@S�������