Sharedwww / mathbook.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1997.08.27:2239�������Š���@����ٍ��e����D��tG�G�cmr17�The�7tBo�s�ok��,����������X�Qcmr12�William��Stein����������August��27,�1997�����*��Š���@����ٍ���U��&iF�+ئ��H�cmbx25�Con��Dhten�ts��@#ύ��&iF�,�"V

cmbx10�1��5iGAlgebraic��TGeometry��#J�2���
H����5iG�K�`y

cmr10�1.1��LiKAlgebraic�UUV��*�arieties��э���
�b>

cmmi10�:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����2������LiK1.1.1��liLHilb�Gert's�UUNullstellensatz��&����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����2������LiK1.1.2��liLNonsingularit���y��i����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����2������5iG1.2��LiKSc���hemes�U����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����3������LiK1.2.1��liLGlueing��ƍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����3������5iG1.3��LiKProp�Gerties�UUof�Sc���hemes��ݍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����3������LiK1.3.1��liLConnected,�UUirreducible,�reduced,�in���tegral,�ane�𞍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����3������LiK1.3.2��liLGeometrically�UUreduced�and�irreducible��r����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����4������LiK1.3.3��liLLo�Gcally�UUno�etherian�and�no�etherian��D����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����4������LiK1.3.4��liLNormal�[�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����4������LiK1.3.5��liLRegular��㍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����5������5iG1.4��LiKShea���v�es�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����5������LiK1.4.1��liLOp�Gerations�UUon�shea���v�es������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����5������5iG1.5��LiKDirect�UUand�in���v�erse�UUimage�functors�bǍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����6������LiK1.5.1��liLQuasi-coheren���t�UUand�coheren�t�shea�v�es��a����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����6������LiK1.5.2��liLLo�Gcally�UUfree�shea���v�es������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����8������5iG1.6��LiKProp�Gerties�UUof�Morphisms����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����8������LiK1.6.1��liLQuasi-compact��2����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����8������LiK1.6.2��liLFinite�UUt���yp�Ge�and�lo�cally�of�nite�t���yp�e�M<����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����8������LiK1.6.3��liLFinite�UUand�Quasi-nite��H����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����8������LiK1.6.4��liLAne�F�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����9������LiK1.6.5��liLImmersions��ҍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����9������LiK1.6.6��liLSeparated�M�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����9������LiK1.6.7��liLProp�Ger�1\����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����10������LiK1.6.8��liLPro��8jectiv���e�UUand�quasi-pro�jectiv���e��͍���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����11������LiK1.6.9��liLFlat�#+����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����11������LiK1.6.10��liLSmo�Goth�F�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����13������LiK1.6.11���mPi��x���liLEtale�jH����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����13������LiK1.6.12��liLUnramied�ʹ����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����13������5iG1.7��LiKDivisors������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����13������LiK1.7.1��liLW��*�eil�UUdivisors�?u����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����13������LiK1.7.2��liLCartier�UUdivisors�M�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����14������LiK1.7.3��liLIn���v�ertible�UUshea�v�es��-����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����14������LiK1.7.4��liLPicard�UUgroups�j����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����14������5iG1.8��LiKMorphisms�UUto�pro��8jectiv���e�space�T�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����14������5iG1.9��LiKBasic�UUsheaf�cohomology�xB����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����14������5iG1.10��LiKAlgebraic�UUcurv���es�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����14������LiK1.10.1��liLDictionary�UUb�Get���w�een�elds�and�curv�es��
����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����14����K����ii������Š���@������iF�0p�0J

cmsl10�CONTENTS�\�$�iii����ٍ��vn����iF�2���iGLie��TAlgebras��Dz15���
�f����iG�2.1��iKDenitions�jM����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����15�������iG2.2��iKExamples�jM����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����15������iK2.2.1��6iLLinear�UUlie�algebras�M�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����15������iK2.2.2��6iLClassical�UUlie�algebras�"㍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����16������iK2.2.3��6iLOther�UUlinear�lie�algebras�1
����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����16������iK2.2.4��6iLDeriv��q�ations�Ƙ����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����16������iK2.2.5��6iLBasic�UUStructure�?l����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����17������iK2.2.6��6iLSolv��q�abilit���y��֍���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����18������iK2.2.7��6iLNilp�Gotence�ƙ����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����18�������iG2.3��iKLie's�UUtheorem�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����19������iK2.3.1��6iLSome�UUremarks�on�Jordan�and�rational�canonical�form.�7�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����20�������iG2.4��iKCartan's�UUCriterion�M�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����21�������iG2.5��iKThe�UUKilling�form������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����21�������iG2.6��iKBasic�UUfacts�ab�Gout�represen���tations��p����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����22������iK2.6.1��6iLDualit���y�UUand�tensor�pro�Gducts��h����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����22������iK2.6.2��6iLCasimir�UUelemen���t��׍���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����22������iK2.6.3��6iLW��*�eyl's�UUtheorem�j����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����23�������iG2.7��iKRepresen���tations�UUof��-�%n�

eufm10�sl�(2)��捑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����23�������iG2.8��iKThe�UUro�Got�system�arising�from�a�toral�decomp�osition������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����23�������iG2.9��iKRo�Got�UUsystems�xw����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����25��������iF�3���iGAlgebraic��TNum��9b�Q�er�Theory���Q�26�������iG�3.1��iKT��*�race�UUmap�#3����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����26�������iG3.2��iKThe�UUDiscriminan���t�and�Ramication������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����26�������iG3.3��iKThe�UUMink���o�wski�Bound������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����28�������iG3.4��iKCyclotomic�UUFields�#����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����28�������iG3.5��iKHilb�Gert's�UU90�#)����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����28�������iG3.6��iKKummer�UUTheory�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����29�������iG3.7��iKHensel's�UULemma��ٍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����29�������iG3.8��iKIdeles�UUand�adeles��L����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����30������iK3.8.1��6iLRestricted�UUpro�Gducts�1����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����30�������iF�4���iGGalois��TTheory��<$�31�������iG�4.1��iKSeparabilit���y���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����31�������iF�5���iGNum��9b�Q�er��Ttheory�qual�review���ږ32�������iG�5.1��iKDiscriminan���t�Ư����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����32������iK5.1.1��6iLIn���tro�Gduction�xV����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����32������iK5.1.2��6iLThe�UUmo�Gdule�index�̍���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����32������iK5.1.3��6iLT��*�race�UUform�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����33�������iF�6���iGHomological��TAlgebra��,V35�������iG�6.1��iKIn���v�erse�UUand�Direct�Limits��?����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����35�������iF�7���iGGalois��Tand�Group�Cohomology���H36�������iG�7.1��iKOrder�UUand�Index��׍���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����36�������iG7.2���iKH����L�����ٓ�Rcmr7�1��"e��(�GL���(�V�8�)�;���V��)��@����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����38�������iG7.3��iKGalois�UUcohomology�of�ab�Gelian�v��q�arieties��ፑ��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����38�������iG7.4��iKDescen���t�UUtheory�c����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����39������0!��Š���@�����&iF�iv�]#@�CONTENTS����ٍ��vn���&iF�8��5iGClass��TField�Theory��$+�40���bt���5iG�8.1��LiKMain�UUtheorems�of�class�eld�theory�)ڍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����40������5iG8.2��LiKRa���y�UUand�ring�class�elds�T�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����40������5iG8.3��LiKT��*�ables�UUof�class�groups��l����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����40������LiK8.3.1��liLQuadratic�UUimaginary�extensions��㍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����40������LiK8.3.2��liLGauss'�UUclass�n���um�b�Ger�UUproblem.������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����41������LiK8.3.3��liLReal�UUquadratic�elds�b⍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����42������LiK8.3.4��liLCyclotomic�UUelds��c����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����42�������&iF�9��5iGMath��T254B:�Final�Problem�Set���43������5iG�9.1��LiKIndexes�UUof�Curv���es������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����48������5iG9.2��LiKEuler�UUSystems�and�Indexes�of�Cohomology�Classes�U����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����48������LiK9.2.1��liLIn���tro�Gduction�xV����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����48������LiK9.2.2��liLBac���kground�Tύ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����49������LiK9.2.3��liLA�UUResult�Ab�Gout�the�Euler�System��J����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����50������LiK9.2.4��liLPro�Gofs�UUof�Theorems�1�and�3��1����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����51������5iG9.3��LiKOrder�UUand�index�questions�for��H���
�V�����1��Qɲ(����

msbm10�Q�;���E����)�w�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����52������LiK9.3.1��liLCohomological�UUcriterion�for�order=index�H����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����52������LiK9.3.2��liLOrder=index�UUfor�elemen���ts�of����hV1

wncyr10�X���۲(�E���=�Q�)�	�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����52������LiK9.3.3��liLCassels'�UUexample�that�order�need�not�equal�index�E덑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����52������LiK9.3.4��liLOrder=index�UUo���v�er�a�lo�Gcal�eld�0��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����52������5iG9.4��LiKThe�UUbasic�exact�sequence�q%����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����52������&iF�10��5iGElliptic��TCurv��9es��8_}54������5iG�10.1��LiKT��*�ables��D����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����55������LiK10.1.1��liLCremona's�UUtable�for��N��3�
!",�

cmsy10����64�&Y����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����55������LiK10.1.2��liLBig��UU�X���۲'s�T썑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����56������LiK10.1.3��liLComplex�UUm���ultiplication�elliptic�curv�es�騍���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����57������5iG10.2��LiKCurv���es�UUof�high�rank�q8����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����57������5iG10.3��LiKW��*�eierstrass�UUEquations�12����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����57������LiK10.3.1��liLFinding�UUw���eierstrass�form�of�an�elliptic�curv�e�� ����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����58������LiK10.3.2��liLIn���v��q�arian�ts�UUattac�hed�to�w�eierstrass�mo�Gdels�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����59������5iG10.4��LiKThe�UUBirc���h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture��\����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����60������LiK10.4.1��liLThe�UU�L�-series�attac���hed�to�an�elliptic�curv�e�J����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����60������LiK10.4.2��liLThe�UUBirc���h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture�𯍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����60������LiK10.4.3��liLThe�UUT��*�amaga���w�a�n�um�b�Gers�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����61������LiK10.4.4��liLThe�UUN�����Geron-T��*�ate�canonical�heigh�t��p����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����61������LiK10.4.5��liLThe�UUreal�p�Gerio�d�UUof�an�elliptic�curv���e�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����62������5iG10.5��LiKElliptic�UUCurv���es�o�v�er�Finite�Fields�[�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����63������LiK10.5.1��liLHasse�UUBound�M�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����63������LiK10.5.2��liLWhat�UUv��q�alues�in�the�Hasse�in���terv�al�are�attained?�p�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����63������&iF�11��5iGComputation��A6�65������5iG�11.1��LiKP���ari�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����65������LiK11.1.1��liLCompiling�UUP���ari�under�Lin�ux�
g����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����65������LiK11.1.2��liLLibrary�UUMo�Gde��r����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����65������LiK11.1.3��liL�1��<x

cmtt10�gp�UU�Shell��\����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����66������LiK11.1.4��liLNumerical�UUIn���tegration�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����66������5iG11.2��LiKLiDIA�8�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����67������LiK11.2.1��liLExamples�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����67������5iG11.3��LiKCremona's�UUprograms:�q�m���wrank,�etc.�T�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����67������LiK11.3.1��liLBug�UURep�Gort������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����68������5iG11.4��LiK�GAP�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����69������LiK11.4.1��liLExamples�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����69������bܠ�Š���@������iF�CONTENTS�_�]�v����ٍ��vn����iF�12���iGUnix��TNotes��J#70���bt����iG�12.1��iKScripts��_����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����70������iK12.1.1��6iL�pack�UU�and��unpack�.������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����70������iK12.1.2��6iLChec���k�UUsp�Gelling�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����70������iK12.1.3��6iL�/etc/profile�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71������iK12.1.4��6iLConguring�UUX�Windo���ws��]����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71������iK12.1.5��6iLT��*�rash�UUcan�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71������iK12.1.6��6iLUseful�UUAliases�8Y����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71�������iG12.2��iKNet���w�orking�Mԍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71������iK12.2.1��6iLWindo���wing�UUprograms�o�v�er�the�net.�w���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71�������iG12.3��iKT���U>�'E���xX��F����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71������iK12.3.1��6iLCharacters����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����71�������iG12.4��iKConditionals�F�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����72������iK12.4.1��6iLConditionals�UUin�L����5���ff�A���͉�T���U>�'E���xX�c�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����72������iK12.4.2��6iLConditionals�UUin�T���U>�'E���xX������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����73�������iG12.5��iKEmacs�x�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����73��������iF�13���iGEuler��TSystems��;��74�������iG�13.1��iKRubin,�UU�2�':

cmti10�The���work�of�Kolyvagin�on�the�arithmetic�of�el���liptic�curves�Q�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����74������iK13.1.1��6iLIn���tro�Gduction�xV����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����74������iK13.1.2��6iLGroup�UUCohomology�-�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����74������iK13.1.3��6iLApplication�UUof�T��*�ate�Lo�Gcal�Dualit���y�7���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����75������iK13.1.4��6iLThe�UUEuler�System�of�Heegner�p�Goin���ts�i�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����75������iK13.1.5��6iLCohomology�UUClasses�Arising�from�Heegner�p�Goin���ts��>����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����75������iK13.1.6��6iLPro�Gof�UUof�Theorem�1�M�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����78�������iG13.2��iKGross,�UU�Kolyvagin���P's���work�on�mo��}'dular�el���liptic�curves�#�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����79������iK13.2.1��6iLOv���erview�;����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����79������iK13.2.2��6iLConstructing�UUthe�Euler�System�iˍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����80������iK13.2.3��6iLProp�Gerties��L����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����81�������iG13.3��iKMccallum,�UU�Kolyvagin���P's���work�on�Shafar��}'evich-T��;�ate�gr�oups������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����81�������iF�14���iGComm��9utativ�e��TAlgebra����82�������iG�14.1��iKBasic�UUDenitions��I����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����82�������iG14.2��iKBasic�UUF��*�acts�ƹ����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����82�������iG14.3��iKMo�Gdule�UUtheory��P����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����82������iK14.3.1��6iLLo�Gcalization�?z����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����83������iK14.3.2��6iLPro��8jectiv���e,�UUinjectiv�e,�and�
at�mo�Gdules�
7����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����83�������iG14.4���Ph��x���iKEtale�UUextensions��؍���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����84�������iG14.5��iKLo�Gcal�UURings��
����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����85������iK14.5.1��6iLRegular�UULo�Gcal�Rings�87����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����85�������iG14.6��iKExamples�jM����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����85�������iG14.7��iKAsso�Gciated�UUprimes�and�primary�decomp�osition��N����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����85�������iG14.8��iKGoing�UUup�and�going�do���wn�m�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����86�������iG14.9��iKDiscriminan���ts�UUand�resultan�ts�i���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����87�������iF�15���iGIw��9asa�w�a��TTheory��2!K88�������iG�15.1��iKThe�UUMain�Conjecture�Of�Iw���asa�w�a�UUTheory�7���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����88������iK15.1.1��6iLIn���tro�Gduction�xV����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����88������iK15.1.2��6iLRecall�MЍ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����88������iK15.1.3��6iLThe�UUconnection�b�Get���w�een�UU�F��c���^��O!�cmsy7���#��=�(�F��c���^�����)���^��	0e�rcmmi7�M��5��and�the�Iw���asa�w�a�algebra�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����89������iK15.1.4��6iLThe�UUArgumen���t�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����89������iK15.1.5��6iLCho�Gosing�UUcunning�primes�?8����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����90������iK15.1.6��6iLMore�UUIs�T��*�rue�*#����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����91������iK15.1.7��6iLApp�Gendix�*-����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����91�������Ԡ�Š���@�����&iF�vi�]#@�CONTENTS����ٍ��vn���&iF�16��5iGGroup��TTheory��;%+92������5iG�16.1��LiKBasics����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����92������LiK16.1.1��liLCharacteristic�UUSubgroups�x����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����93������5iG16.2��LiKGroup�UUActions��R����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����93������5iG16.3��LiKThe�UUSylo���w�Theorems������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����93������LiK16.3.1��liL�p�-groups��㍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����94������5iG16.4��LiKComp�Gosition�UUSeries��@����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����95������5iG16.5��LiKSolv��q�able�UUGroups�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����95������LiK16.5.1��liLTheorems�Ϳ����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����96������5iG16.6��LiKNilp�Goten���t�UUGroups������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����96������&iF�17��5iGGroup��TCohomology��!�97������5iG�17.1��LiKThe�UUDenition�of�Group�Cohomology�_"����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����97������5iG17.2��LiKMorphisms�UUof�P���airs�[덑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����97������LiK17.2.1��liLThe�UUcategory��P��of�pairs�?G����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����97������LiK17.2.2��liLInf,�UURes,�Inner�Automorphisms,�Shapiro's�Lemma��Í���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����98������LiK17.2.3��liLBimo�Gdules��-����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����98������LiK17.2.4��liLShapiro's�UULemma��a����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����99������5iG17.3��LiKSylo���w�UU�p�-subgroups�and�Sharpness�!ፑ��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����99������5iG17.4��LiKThe�UUcase��G������Aut��c��M��`���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:���
��100������LiK17.4.1��liLApplication�UUto�galois�represen���tations�x����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:���
��101������5iG17.5��LiKGroup�UUextensions�������:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:���
��101������&iF�18��5iGEnglish��X��102������5iG�18.1��LiKSp�Gelling�
㍑��:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:���
��102������5iG18.2��LiKGrammar�4�����:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:���
��102������&iF�19��5iGElemen��9tary��TNum�b�Q�er�Theory����103������LiK�19.0.1��liLDensit���y�UUof�square�free�in�tegers��Ѝ���:������:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:�����:���
��103������&iF�20��5iGAnalysis��Tand�Measure�Theory�����104�������k��Š���@����ٍ���n���iF�Preface��4���iF�This�1�is�m���y�b�Go�ok�1�in�whic�h�I�1�store�the�imp�Gortan�t�mathematical�results�I�1�use.�e�Optimally��*�,�8�nothing�����iFshould�"�b�Ge�written�in�here�unless�it�is�completely�correct.�`�T��*�o�help�insure�this�I�"�ha���v�e�"�laid�out�the�����iFfollo���wing�UUguidelines.���������*1.����	iHWhen�UUa�new�en���try�is�added�it�m�ust�b�Ge�put�in�an��unverified��en�vironmen�t.���������*2.����	iHAfter��iha���ving�b�Geen�carefully�re-read�(at�least�one�da�y�later)�the�en�vironmen�t�can�b�Ge�up-����	iHgraded�UUto�a��verified��en���vironmen�t.���������*3.����	iHAfter���the�statemen���t�has�b�Geen�indep�enden���tly�c�hec�k�ed�the�en�vironmen�t�can�b�Ge�c�hanged�to����	iH�correct�.���������*4.����	iHEac���h�UUc�hapter�is�con�tained�in�a�separate�le�whose�name�is��ch���E�ff&f��ǫsubjectname.tex�.��H�ύ�	iHWilliam�UUStein����	iH�5m#�R

cmss10�w���[email protected]�Gerk�eley��*�.edu����	iH�Berk���eley��*�,�UUCalifornia���K�����#1�������Š���@����ٍ���n��&iF�7�=��q�jcmbx20�Chapter�i�1��2��&iF�Algebraic��Geometry��5Vy������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�� �ݍ��&iF�9��Kffffcmbx14�1.1��J��Algebraic�L�V����arieties�����&iF�Throughout�UUthis�section��k���is�an�arbitrary�algebraically�closed�eld.���O���&iF�:��N�cmbx12�1.1.1��O�FHilb�`ert's��Nullstellensatz��uT����&iF�Lemma��T1.1.1.���o��If�õK����is�a�eld�which�is�nitely�gener��}'ate�d��as�an�algebr��}'a�over��k�P��,�`�then��K��is����&iFalgebr��}'aic���over��k�P��.���0����&iFPr��}'o�of.���E���The��kpro�Gof�relies�on�the�existence�of�innitely�primes�in�a�p�olynomial�ring�o���v�er��ka�eld.����&iFSee�UU[5.2,�[�8��]].���_'���ff����d�ff�Y��ff����ff���������&iF�Theorem��T1.1.2.���w��If���I�������k�P��[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�]��has�no�c��}'ommon�zer�o�over���\q��֒��������k���	=�,�then��I����=��(1)�.������&iFPr��}'o�of.���E���If����I���6�=�4(1)�then�there�is�a�maximal�ideal��m��suc���h�that��I���4�m�.�5�Let������i����b�Ge�the�image�of��x����i�����&iF�in����K�+�=�t׵k�P��[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�]�=�m�.���Since��K�t��is�generated�as�an�algebra�o���v�er����k�,�b�y������1��|s�;����:�:�:����;�������n��	/�the�lemma����&iFimplies��that��K���is�algebraic�o���v�er��k�P��.�V�F��*�urthermore,�0ev�ery�elemen�t�of��I��Ȳv��q�anishes�on�(�����1��|s�;����:�:�:����;�������n��q~�)�so����&iF(�����1��|s�;����:�:�:����;�������n��q~�)�UUis�a�common�zero�for��I���.����1��ff����d�ff�Y��ff����ff���������&iF�Corollary��T1.1.3.���ygd�If�V��I���'��k�P��[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�]�,��0�f�;;�2��k��[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�]�,��0and�V��f�j�vanishes�on�every�c��}'ommon����&iFzer��}'o���of��I�\��over���\q��֒��������k���	=�,�then��f�����^��r��HI�2���I��for�some��r�G�.������&iFPr��}'o�of.���E���The���ideal��J���=���I�X�+��0(1����y�[�f���)����k�P��[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�;�y�[ٲ]���has�no�common�zero�Ges�o���v�er���\q��y�������εk���
2�so���1��2��J��9�.����&iFTh���us�X�there�is�a�relation�1��=��������u

cmex10�P����p����i��TL�h����i�����+�;F�q�[ٲ(1����y�f���)�X�with��h����i��!b�2���I���.�|�Making�the�substitution��y�(�7!��f�����^���1�����&iF�giv���es�UUthe�iden�tit�y��
qˍ��_�1��=��������X����㉵p����i��TL�(�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�;�f���������1����)�h����i���/&iF�whic���h,�UUup�Gon�m�ultiplying�through�b�y�a�sucien�tly�large�p�Go�w�er��r��r�of��f���,�sho�ws�that��f�����^��r��HI�2���I���.���e��ff����d�ff�Y��ff����ff�������5iFThe���Nullstellensatz�implies�that�the�co�Gordinate�ring�of�an�algebraic�set�has�no�nilp�oten���ts,����&iFand�UUthat�there�is�a�one-to-one�corresp�Gondence�b�et���w�een�UUalgebraic�sets�and�radical�ideals.�������&iF�Example���1.1.4.���l�If�0��f����1��|s�;����:�:�:����;���f����n��8��2���Q�[�x�]�ha���v�e�0�(0�;��:�:�:����;��0)�as�their�only�common�zero�o���v�er��0����C�fe�����Q���
���,�7�then�0�for����&iFeac���h�^|�i�,�`�some�p�Go�w�er�of��x����i���Ȳlies�in�(�f����1��|s�;����:�:�:����;���f����n��q~�).��=F��*�or�example,�`�if��f����1��R̲=��Y�y��Ӹ�>��x���^��2����and��f����2���=��Y�y��Ӳ+�>��x���^��2����then����&iF�x���^��2��C��2���(�f����1��|s�;���f����2���)�UUand��y�"�2��(�f����1��|s�;���f����2���).���O���&iF�1.1.2��O�FNonsingularit��y��uT����&iF�Denition��T1.1.5.���{��Let��g�f����1��|s�;����:�:�:����;���f����t����b�Ge�a�set�of�generators�for�the�ideal�of�an�ane�v��q�ariet���y��X�������A���^���n��v�k���q~�.����&iFThen�se�X�<G�is��nonsingular���at�a�p�Q�oin��9t�se�p��if�the�rank�of�the�matrix�whose��i;���j��en���try�is��@��8f����i��TL�[email protected]�x����j��6��(�p�)����&iFis�UU�n�8����dim���6�X���.���K�����#2�������Š���@������iF�1.2.��SCHEMES�Q
�3����ٍ��vn����iF�1.2����Sc���hemes��������iF�Denition��T1.2.1.���E��If�8H�X�
8�=��AVSp�Gec���u(�A�)�is�an�ane�sc���heme�and��f�T�2�AV�A�,�qthen�the��distinguished�����iFop�Q�en��Tsubset�UU�corresp�Gonding�to��f�h�is���V���I��D�G�(�f���)��=��f�p��2��X����:��f�ڧ�62��p�g�:�������iF�Prop�Q�osition��T1.2.2.���NkI�A���ny���ane�scheme��X����=���Sp�Gec��7(�A�)��is�quasi-c��}'omp�act.���x�����iFPr��}'o�of.������Let��r�f�U����i��TL�g��b�Ge�an�op�en�co���v�er��rof��X���.�By�rening��f�U����i��TL�g��w���e�ma�y�assume�that��U����i��z��=�&H�D�G�(�f����i��TL�)�for�����iFsome�Ω�f����i��d�2���A�.�D�No�prime�of��A��con���tains�all�of�the��f����i��"��since�otherwise�it�w�ould�b�Ge�in�the�complemen�t�����iFof�L}the�union�of�the��U����i��TL�.�n�Th���us�the��f����i���ɲgenerate�the�unit�ideal,�NBso�there�exists��a����1��|s�;����:�:�:����;���a����r����suc�h�that�����iF�a����1��|s�f����1���S�+��8�������g�+�8�a����r��m��f����r��4��=��1.�q�It�UUfollo���ws�that��X����=��U����1���S�[��8�������g[�8�U����r��m��.�������ff����d�ff�Y��ff����ff����aލ��iFNote�UUthat�it�is�not�necessary�to�assume�that��A��is�no�Getherian�in�the�ab�o���v�e�UUprop�osition.�������iF�Prop�Q�osition��T1.2.3.���NkI�If���f��V;���g�"�2���A��then��D�G�(�f���)�8�\��D��(�g�[ٲ)��=��D��(�f��g�[ٲ)�.�������iFPr��}'o�of.������A�UUprime�ideal�con���tains�neither��f�h�nor��g��.�i�it�do�Gesn't�con�tain�their�pro�Gduct.���2�6��ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Example���1.2.4.���6�Not���ev���ery�op�Gen�subset�of�an�ane�sc�heme�need�b�Ge�distinguished,��although�ev�ery�����iFone�@can�b�Ge�written�as�a�(p�ossibly�innite)�union�of�distinguished�op�ened�subsets.�j�F��*�or�example,�����iFthe���subset��U����=��|�A���^��2��'����f��p�Goin���t���!�g���A���^��2��|k�is���op�Gened�but�not�ane�so�it�is�not�distinguished.�q�Since�����iF�U�5��=���D�G�(�x�)�(��[��D��(�y�[ٲ)��	w���e�also�see�that�the�union�of�distinguished�op�ened�subsets�need�not�b�e�����iFdistinguished.��v����iF�1.2.1���FGlueing��uT����iF�1.3����Prop�qerties�L�of�Sc���hemes������iF�Let�UU�X�7�b�Ge�an�arbitrary�sc���heme.������iF�1.3.1���FConnected,��irreducible,�reduced,�in��tegral,�ane��uT�����iF�Denition��T1.3.1.���E��X���is�T��connected��if�the�underlying�top�Gological�space�of��X��is�connected,�T�i.e.,�����iFcannot�UUb�Ge�written�as�a�disjoin���t�union�of�t�w�o�prop�Ger�op�en�subsets.���x�����iF�Prop�Q�osition��T1.3.2.���NkI�A���n�ؓane�scheme��X�`�=��C~Sp�Gec��5E�A��is�not�c��}'onne�cte�d�ؓi��A����T͍��C~����+3���C~�=�����N�A����1�����j��A����2��U�with��A����1������iF�and���A����2��Z�nonzer��}'o�rings.�������iFPr��}'o�of.������If�Ӑ�X��r�is�the�disjoin���t�union�of�op�Gen�subset��U����1��P�and��U����2���then,��b�Gecause��O����X��
m��is�a�sheaf,�the�map��y���YL��A���=�(�X�:�;����O����X���$�)������1+�res���
m�m�O
�\cmmi5�U������Zcmr5�1����^���]��res���6�m�U����2����I������������	���������������>������������������������������������������������������������������������������������!����;N�O����X���(�U����1��|s�)�8��O����X���(�U����2��|s�)���V���iFis�)Qan�isomorphism.�cCon���v�ersely��*�,�2if�)Q�X����=���Sp�Gec���ߵA��and��A���=��A����1��]L���ٵA����2���IJthen�)Q�X��3�is�the�union�of�disjoin���t�����iFop�Gen�UUsubsets��Sp�ec��G�A����1���S�[��8�Sp�ec��*��A����2���Ȳso��X�7�is�not�connected.����b��ff����d�ff�Y��ff����ff����aލ����iF�Denition��T1.3.3.���E��X����is���in��9tegral��if�for�ev���ery�op�Gen�subset��U��3����X���,���O����X���$�(�U��)�is�an�in�tegral�domain.�����iFThe�<}prop�Gert���y�of�b�eing�in���tegral�is�a�global�prop�ert���y�not�a�lo�cal�prop�ert���y��*�.�iIt�is�not�enough�to�����iFinsist�q�that�there�exists�a�co���v�ering�q�of��X�:��b���y�op�Gen�sets��U���suc�h�that��O����X���$�(�U��)is�an�in�tegral�domain.�����iFIf�ͅfor�ev���ery�p�Goin�t��p��g�2��X���,��the�ͅlo�Gcal�ring��O����X�;�.X�&eufm7�p����is�an�in�tegral�domain�one�still�can�not�conclude�����iFthat�UU�X�7�is�in���tegral.��ü�����iF�Example���1.3.4.���6�Let����X�g��b�Ge�the�disjoin���t�union��A���^��1���7�[�iĿA���^��1��|s�.�M�Then��X��is�co���v�ered���b�y�t�w�o�op�Gen�subsets�����iFwhose���global�sections�are�in���tegral�domains.�`Also,���ev�ery�lo�Gcal�ring�of��X�Vj�is�a�domain.�`But��X��is�����iFnot�UUin���tegral.�������iF�Denition��T1.3.5.���E��X���is��-�irreducible��if�its�top�Gological�space�can�not�b�e�written�as�a�union�of�����iFt���w�o��Vprop�Ger�closed�subsets.�jɵX�q8�is��reduced��if�for�ev���ery�p�oin���t��x�Qn�2��X�q8�the��Vlo�cal�ring��O����X�;x���%�has�no�����iFnilp�Goten���ts.�����iFA�UUsc���heme�is�in�tegral�i�it�is�reduced�and�irreducible.�����l��Š���@�����&iF�4�׆��CHAPTER�UU1.��ALGEBRAIC�GEOMETR��*�Y����ٍ��vn���&iF�1.3.2��O�FGeometrically��reduced�and�irreducible���&iF�Let�UU�X�7�b�Ge�a�sc���heme�of�nite�t�yp�Ge�o�v�er�a�eld��k�P��.��h"����&iF�Denition��T1.3.6.���{��X��is�Q/�geometrically�Ўirreducible��if��X��v�����k����\q��^ϲ������$�k����is�irreducible.�pe�X��is��geometri-����&iFcally��Treduced�UU�if��X�¸����k����\q��g�������$p�k�����is�reduced.������&iF�Prop�Q�osition��T1.3.7.����kI�If��~�X��`�is�ge��}'ometric�al���ly��~irr�e�ducible�(r�esp.,���r�e�duc�e�d)�then��X�jX�����k����K����is�irr�e�ducible����&iF(r��}'esp.,���r�e�duc�e�d)�for�al���l�extension�elds��K�K�of��k�P��.������&iFExample���1.3.8.���l�Let��5�k���=���F����p���R�(�t�)�and�let��X����=��Sp�Gec���ߵk�P��[�x�]�=x���^��p����x��t�.�Q�Then��X���is�of�nite�t���yp�Ge�o�v�er��k�E̲and����&iFis�UUthe�sp�Gectrum�of�a�eld�hence�in���tegral.�q�But��X�7�is�not�geometrically�reduced�b�ecause��El���:�(�X���3��7�����㍴k���됵;����O����X��}ݍ�<���QǍ�k����m��)��=���\q��	��������k���Ln�[�x�]�=x������p���2��8�t����&iF�and��there�is��s���2���\q��	ò�������k���O��with���s��6�=��x��(mo�Gdulo��x���^��p��4����M�t�)�and��s���^��p��fj�=��t��so�that�(�s��M���x�)���^��p��fj�=���s���^��p��4����x���^��p���=��0��so��s��M���x����&iF�is�UUnilp�Goten���t.�q�Th�us��X�7�is�in�tegral�but�not�geometrically�reduced.��"���5iFLet�UU�k���=���Q��and�let��X����=��Sp�Gec���߿Q�[�i�].�q�Then��X�7�is�in���tegral�but�����E�X���<L�W	�ğט��qy��msbm7�Q����ܲ=���Sp�Gec����ߟ��C�fe�����Q��� ��[�x�]�=�(�x������2���S�+�8�1)����&iFwhic���h��%is�a�union�of�t�w�o�p�Goin�ts,�Yhence�reducible.�|7Th�us��X�w�is�in�tegral�but�not�geometrically����&iFirreducible.���_���&iF�1.3.3��O�FLo�`cally��no�etherian�and�no�etherian�����&iF�Denition��T1.3.9.���{��A���sc���heme��C�X�M%�is��lo�Q�cally�1�no�etherian��C�if�there�is�a�co�v�ering�of��X�M%�b�y�op�Gen����&iFanes�QIof�the�form��Sp�Gec���h(�A�)�where��A��is�a�no�Getherian�ring.�pn�X�+�is��no�Q�etherian��if�the�co���v�ering�QIcan����&iFb�Ge�UUtak���en�to�b�e�nite.��h"����&iF�Prop�Q�osition��T1.3.10.����+G�If��p�X�fR�is�lo��}'c�al���ly��pno�etherian�and���Sp�Gec���(�A�)��]���X�fR�is�any�op��}'en�ane�subset�of����&iF�X�\��then���A��must�b��}'e�no�etherian.�����&iF�1.3.4��O�FNormal�����&iF�Denition��T1.3.11.������X�7�is�UU�normal��if�ev���ery�lo�Gcal�ring�of��X��is�an�in���tegrally�closed�domain.��h"��5iFIf��A��is�in���tegrally�closed�then,��b�Gecause�lo�calization�comm���utes�with�in�tegral�closure,���Sp�Gec��t�A��is����&iFnormal.��El����&iF�Example���1.3.12.����q�_�Sp�Gec����~(�Z�[�����P�p���UW���P�fe�E���5����
UX])�Sis�not�normal�b�Gecause�the�lo�cal�ring�at�2�is�not�in���tegrally�closed.������&iF�Prop�Q�osition��T1.3.13.����+G�A��Ano��}'etherian���inte�gr�al�normal�scheme�is�r�e�gular�in�c�o�dimension��1�.��In����&iFp��}'articular���a�normal�curve�is�nonsingular.������&iFPr��}'o�of.���E���A�UUone-dimensional�lo�Gcal�no�etherian�ring�is�regular�i�it�is�in���tegrally�closed.���/����ff����d�ff�Y��ff����ff���������&iF�Prop�Q�osition��T1.3.14.����+G�L��}'et��:�X���b�e�an�inte�gr�al�scheme.�u�Then�ther�e�exists�a�normal�scheme���x䍑�t�~������X������&iF�along�[email protected]�a�morphism��f�ڧ�:���x䍑�R~�������X������!���X�"�which�has�the�fol���lowing�universal�pr��}'op�erty.��^If�[email protected]�Z�\�is�a�normal����&iFinte��}'gr�al� �scheme�then�any�dominant�morphism��Z�}�!���X��r�factors�uniquely�thr��}'ough��f���.�?�If��X��is�of����&iFnite���typ��}'e�over�a�eld�then��f��v�is�nite.������&iFPr��}'o�of.���E���This�UUis�exercise�I�GI.3.8�in�[�5��]����R��ff����d�ff�Y��ff����ff���������&iF�Example���1.3.15.���q�_�The�ut���w�o�dimensional�quadratic�cone�is�normal,��but�singular.��"The�cuspidal����&iFcubic��ȵy��[ٟ�^��2���"�=��ֵx���^��3��w;�is�not�normal�b�Gecause���������K*�y��-��);�fe�����x�������62��k�P��[�x;���y�[ٲ]�=�(�y����^��2��x���,�x���^��3��|s�)���but�satises�the�in���tegral�equation���ƍ����&iF���`�������������-���y��-�]�);�fe�����x��������3Qt���`������9JX���ݱ2��@E
��~B�x�t��=�0.��The��hno�Gdal�cubic��y��[ٟ�^��2��Lز=�t��x���^��2��|s�(�x����1)�is�not�normal�b�Gecause���������
ʴy���);�fe�����x�����j�satises�the�in���tegral��
��&iFequation����UU���`�������������
���y��
�l�);�fe�����x��������=����`������6g���ݱ2��뺸�8�x��+�1��=�0.��������Š���@������iF�1.4.��SHEA���VES�S��5����ٍ��vn�����iF�Prop�Q�osition��T1.3.16.���T+G�Supp��}'ose��q�X�
�=��EPro��8j���h(�A�[�x����0��|s�;����:�:�:����;���x����r��m��]�=I���)��is�a�close�d�subscheme�of��P���^���n��b�A������.�j3Then�����iF�A�[�x����0��|s�;����:�:�:����;���x����r��m��]�=I�K�is�Eiinte��}'gr�al���ly�close�d�i��X�K�is�normal�and�for�every��n��l���0��the�natur��}'al�map�����iF�(�P���^��r��m��;����O����P����r����Ѳ(�n�))���!��(�X�:�;��O����X���$�(�n�))����is�surje��}'ctive.��J��iF�This�UUis�exercise�I�GI.5.14�in�[�5��].���a�����iF�Example���1.3.17.���;�_�The�UUrational�quartic�curv���e�in��P���^��4���Ȳgiv�en�parametrically�b�y��s�����(�x;���y�[�;�z�p�;�w�D�)��=�(�t������4��|s�;���t������3���u;�tu������3���;�u������4���)�����iFis�da�normal�sc���heme�but�its�co�Gordinate�ring��k�P��[�x;���y�[�;�z�p�;�w�D�]�=�(�xw�
�����y�z�p�;�y����^��3���K�����x���^��2��|s�z�p�;�z����^��3���	�����y�[�w��D��^��2���V�;�y����^��2���L�w�
�����xz��p���^��2���
�)��	����iFis�UUnot�in���tegrally�closed�b�Gecause�������`�������������
�l�y�@Lw��
�l�);�fe
G������z���������W���`�������;���ݱ2��#8Ʋ=���xw�D�.��������iF�1.3.5���FRegular��uT���iF�A�UUsc���heme�is��regular��if�all�of�its�lo�Gcal�rings�are�regular�lo�cal�rings.�����iFA��v��q�ariet���y���X�c��o�v�er�a�eld��k�뱲is��nonsingular��if��X���3��7�����㍴k������is�regular.�CIf��X�c��is�nonsingular�then��X����`��t�is�����iFregular�UUfor�all�elds��k������`�����\q��	ò�������k���Ln�.�������iF�Example���1.3.18.���;�_�There���are�examples�of�v��q�arieties��X��=k�Ak�whic���h�are�regular�but�suc�h�that��X���3��7�����㍴k����d�is�not�����iFregular.�:gLet�튵k�\�=��ſF����2��|s�(�t�)�and�let��X��l�b�Ge�the�ane�curv���e��y��[ٟ�^��2����=��x�(�x���^��2��˸��X�t�).�:gThen��X���3��7�����㍴k�����is�dened�b���y�����iF�y��[ٟ�^��2��&��=�N?�x�(�x�n��������p���
�G����fe�r� ��t����`��)���^��2��"�whic���h��mhas�a�no�Gdal�singularit�y��*�.�eBut,���the�lo�Gcal�ring�of��X�oO�corresp�onding�to�the�����iFmaximal��ideal��m�<�=�(�y�[�;���x���^��2���t��h�t�)��is�regular�b�Gecause�lo�calizing�in���v�erts���x��so�that��x���^��2���t��h�t�<�=��y�[�=x���and�����iFhence�UUthe�maximal�ideal�is�generated�b���y��y�[ٲ.�����iFIf�M�k�S�is�a�p�Gerfect�eld,�.�there�can�not�b�e�an�example�of�a�v��q�ariet���y��X��=k�S�whic�h�is�regular�but�����iFwhose�^~base�extension��X���3��7�����㍴k���	J�is�not�regular.��CWhen��k���is�p�Gerfect,���I�^:think�that�the�sheaf�
���:�X���=k�����of�����iFdieren���tials��cis�lo�Gcally�free�and�hence�its�base�extension�to���\q����������k�����is�also�lo�cally�free.�L�(see�the�pro�of�����iFof�UUTheorem�I�GI.8.15�in�[�5��])�����iFLet���X�▲b�Ge�a�v��q�ariet���y�of�dimension��d��o�v�er�an�algebraically�closed�eld.���Then�the�lo�Gcal�ring�����iFcorresp�Gonding��gto�a�closed�p�oin���t��P�0��of��X��I�has�dimension��d��and�is�regular�i��P��sits�in�a�nonsingular�����iFw���a�y���on��X���.�S�If��R��g�is�a�lo�Gcal�ring�of��X�i��of�dimension�less�than��d�,��slet��V�ل�b�e�the�set�of�p�oin���ts�on��X�����iF�corresp�Gonding�$6to�the�maximal�ideals�whic���h�con�tain�the�ideal�dening��R�Dz.�ahBecause�a�lo�Gcalization�����iFof�UUa�regular�lo�Gcal�ring�is�regular,�if�one�of�the�p�oin���ts�in��V��9�is�nonsingular�then��R�i�is�regular.�������iF�Example���1.3.19��;F
C�

cmbxti10�(R��i>e�gular�$�in�c��i>o�dimension�$�one)�.���ԩz�Ev���ery�8�one�dimensional�lo�Gcal�ring�of�the�cone�����iF�x���^��2��챲+�p>�y��[ٟ�^��2���d�=���z��p���^��2��^
�is�qregular�ev���en�though�the�cone�has�a�singular�p�Goin�t.�%�Let��R��߲=���k�P��[�x;���y�[�;�z�p��]�=�(�x���^��2��챲+�p>�y����^��2��H����z��p���^��2���
�)�����iFand��let��p���=�(�x;���y�8���_�z�p��).�1\Then���R����p��F��has�dimension�one�and��p�R����p���is�principal�since��y�8���_�z�7��=���x���^��2��|s�=�(�y��+��z�p��)���2�����iF�R����p�����.�q�Although�UU�R����p���is�regular,�it�is�also�a�lo�Gcalization�of��R���:�(�x;y�@L;z�I{�)���S�whic���h�is�not�regular.�� ������iF�1.4����Shea���v�es��������iF�Example���1.4.1.���6�This�n is�an�example�of�a�presheaf�on�an�ane�sc���heme�whic�h�is�not�a�sheaf.��(Let�����iF�X���b�Ge�an�ane�sc���heme�and�let��F�
9�b�e�an���y�sheaf�on��X���p�ossessing�a�nonzero�global�section.�YVLet��F���9��^��0������iF�b�Ge�UUthe�presheaf��qЍ��mC�F���9�����0���r�(�U��)��=������\�(����.���
�S�F��9�(�U��)��UUif��U��3�6�=���X����fc���
�S�0��UUif��U��3�=���X�������|����iF�If�ы�X��m�p�Gossesses�a�co���v�ering�ыb�y�prop�Ger�op�en�subsets�then��F���9��^��0�����can�not�b�e�a�sheaf�b�ecause�the�����iFnon���trivial��Nglobal�section�of��F�䇲w�ould,���b�y�the�sheaf�axioms,���giv�e�rise�to�a�non�trivial�global�section�����iFof�UU�F���9��^��0���r�.���2����iF�1.4.1���FOp�`erations��on�shea��v�es��uT�����iF�Denition��T1.4.2.���E��Let����X��޲b�Ge�a�sc���heme�and�let��F��5�and��G�rͲb�e�shea���v�es���of��O����X���$�-mo�dules.�H�The��tensor�����iFpro�Q�duct�UU�F�7
�8�G��&�is�the�sheaf�asso�Gciated�to�the�presheaf��s���?��U��3�7!��F��9�(�U��)�8�
���:�O��m�X��r��(�U��,�)�����G��Ѳ(�U��)�:�����+K��Š���@�����&iF�6�׆��CHAPTER�UU1.��ALGEBRAIC�GEOMETR��*�Y����ٍ��vn����&iF�Example���1.4.3.���l�If�쨵X��/�=��M�P���^���n��v�k���	^&�then��O����X���$�(1)��¸
�O����X���(��1)��M=��O����X���̲whic���h��has�non�trivial�global�sections����&iFwhereas���(�X�:�;����O����X���$�(1))�cP�
��(�X�;����O����X���$�(��1))�10=�0���since�(�X�;����O����X���$�(��1))�10=�0.�0�Th���us���for��X�]߲the�presheaf����&iFtensor���pro�Gduct�is�not�a�sheaf.�XQuestion:���On�an�ane�sc���heme,�<is�the�presheaf�tensor�pro�duct����&iFa���sheaf��?���Probably�not�{�a�coun���terexample�migh�t�b�Ge�found�b�y�considering�a�non-distinguished����&iFop�Gened�UUsubset�of�an�ane�sc���heme,�for�example,�the�ane�plane�min�us�the�origin.�� צ���&iF�1.5��J��Direct�L�and�in���v�erse�L�image�functors�������&iF�Denition��T1.5.1.���{��Let�s�f�ڧ�:���X����!��Y�MW�b�Ge�a�morphism�of�sc���hemes�and�let��F���b�e�a�sheaf�on��X���.�\'Then����&iF�direct�5image����f��������F��ײis�the�sheaf��U��3�7!��F��9�(�f�����^���1����(�U��))�with�the�natural�restriction�maps.�;�The�induced����&iFmap�UU�f�����^��#��
�p�:���O����Y��	�_�!��f��������O����X��
�y�giv���es��f�������F�S��the�structure�of��O����Y���G�-mo�Gdule.�������&iF�Denition��T1.5.2.���{��Let�I��f�q²:�^3�X�'�!��Y��}�b�Ge�a�morphism�of�sc���hemes�and�let��F�GҲb�e�a�sheaf�of��O����Y���G�-����&iFmo�Gdules.�q�Then�UU�f�����^���1����F�S��is�the�sheaf�asso�ciated�to�the�presheaf�������뚵U��3�7!���
�$�lim��ꪍ���V����f���(�U��,�)���"Ei�F��9�(�V�8�)��֣��&iFwith�R1the�natural�restriction�maps.�p��f�����^���1����F�Pj�is�naturally�an��f�����^���1���O����Y���G�-mo�Gdule.�p�The�map��f�����^��#��
�p�:���O����Y��	�_�!����&iF�f��������O����X��
�y�giv���es�UUrise�to�a�natural�map��f�����^���1����O����Y��	�_�!��O����X���$�.�q�Dene�the��in��9v�erse��Timage�����7-�f�����������s�F��Q�=���f���������1����F�7
��㐴f��������0ncmsy5��1��
��O��m�Y�����O����X���$�:����5iF�In�UUfact��f�������9�and��f�����^����	Ȳare�adjoin���t�functors�so�there�is�a�natural�isomorphism������y�Hom����O3���O��m�X���ș&�(�f�����������s�G��ѵ;����F��9�)����T͍�������+3�����=������
UNHom���"*����O��m�Y���/��(�G��;�f��������F��9�)�:������&iF�Prop�Q�osition��T1.5.3.����kI�Supp��}'ose��ɸF���and��G�d��ar�e�she�aves�of��O����Y���G�-mo�dules�and��f�u�:���X��ȸ!��Y�8��.�D;Then����&iF�f�����^�����s�(�F�7
�8�G��Ѳ)��=��f�����^�����(�F��9�)�8�
��f�����^�����(�G��Ѳ)�.�������&iFPr��}'o�of.���E���Ex.�q�I�GI.5.16(e).���9���ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�1.5.1��O�FQuasi-coheren��t��and�coheren�t�shea�v�es��uT����&iF�Denition��T1.5.4.���{��Let��X�Ņ�=����Sp�Gec��C�(�A�)�b�Ge�an�ane�sc���heme�and�let��M�&+�b�e�an��A�-mo�dule.���Then������x䍑*#�~�����&iF�M���5�Ͳis�N�the�sheaf�of��O����X���$�-mo�Gdules�suc���h�that�for�an�y��f�z��2�f��A�,���x䍑G�~������?�M���W�(�D�G�(�f���))�=��M����f��/ �,��?with�N�the�natural����&iFrestriction�UUmaps.����5iFThe���ab�Go���v�e�denition�mak�es�sense�b�Gecause�an�y�op�Gen�subset��U��3����X�s��is�a�union�of�distinguished����&iFop�Gened�[email protected]��D��(�f���).�w�Indeed,����U�n[�is�of�the�form��f�p�t�2��X�=ղ:��p��6��I���g�[email protected]�for�some�ideal��I���t�A�,���so����&iF�U��3�=���[����f���2�I���D�D�G�(�f���).������&iF�Prop�Q�osition��T1.5.5.����kI�L��}'et�LC�X����=��Sp�Gec��\2(�A�)��b�e�an�ane�scheme�and�let��M�c^�and��N��b��}'e��A�-mo�dules.����&iFThen�������2;�1.����?iHfor���e��}'ach��p���2��X����,����8����g��1ȍ���(�M��)����%�����p���e�=��M����p�����,��卍���2;�2.����?iH�M��3�7!���x䍑�IJ~�������M���%��is���a�ful���ly�faithful�functor�������\7�f�����mo��}'dules�over��A��J֢�g����������!��f�����she��}'aves�of��O����X���$�-mo�dules��k�r�g�;��k�����2;��3.����?iH�(�M�O��
����A���p�N��)���^����DZ~���G�=���x䍑��~�������M���ʢ�
����O��m�X�����x䍑h)�~������ӵN���6��and���(�M���8�N��)���^����DZ~���G�=���x䍑��~�������M���ʢ����x䍑6�~������N���X��,��������2;�4.����?iH�f��������(���x䍑�V~�����N���	��)��=���x䍑_��g���������A��	J��N������and���f�����^�����s�(���x䍑��~�����M���
ʪ�)�=�(�M�O��
����A���p�B��q�)���^����DZ~�����.����5iF�Note���that���9�~���snis��not��an�equiv��q�alence�of�categories.���F��*�or�example,���if��X�7H�=��nfSp�Gec����(�A�)�is�irreducible����&iFand���i����:��U�Ѱ�!��X�I�mak���es��U��#�in�to�a�prop�Ger�op�en�subsc���heme,���then��i����!��Ï�O����U�����,�the�sheaf�obtained�b���y����&iFextending����O����U��
<��b���y�zero�outside�of��U��,��is�a�sheaf�of��O����X���$�-mo�Gdules.��If��V��۲is�a�nonempt�y�ane�op�Gen����&iFsubset��nof��X�wP�whic���h�do�Ges�not�con�tain��U��,�Ĵthen��i����!��Ï�O����U�����j����V��
�7�has�no�nonzero�global�sections�but�is�not����&iFthe�UUzero�sheaf.�q�Th���us��i����!���O����U��
�is�not���x䍑~������M���uT�for�an�y��A�-mo�Gdule��M��.�����@���Š���@������iF�1.5.��DIRECT�UUAND�INVERSE�IMA���GE�FUNCTORS��_��7����ٍ��vn�����iF�Denition��T1.5.6.���E��Let����X�Mu�b�Ge�an�arbitrary�sc���heme�and��F��̲a�sheaf�of��O����X���$�-mo�dules.���Then��F��̲is�a�����iF�quasi-coheren��9t�O�sheaf�if�there�is�a�co���v�ering�O�f�U����i��d�=���Sp�Gec��7(�A����i��TL�)�g��of��X��1�b���y�op�Gen�anes�suc�h�that�for�����iFeac���h����i�,��ϸF��9j����U���i������T͍��qD����+3���qD�=�������x䍑�
~�������M����i����(=��for�some��A����i��TL�-mo�Gdule��M����i���.�n�If�eac���h��M����i����is�a�nitely�generated��A����i���-mo�Gdule�then�����iF�F�S��is�UU�coheren��9t�.���E�����iF�Prop�Q�osition��T1.5.7.���NkI�L��}'et��w�X�eY�b�e�a�scheme,�ޛthen�the�c�ate�gory�of�she�aves�on��X�eY�is�close�d�under�����iFtaking���kernels,�c��}'okernels,�images,�and�extensions.�������iF�Prop�Q�osition��T1.5.8.���NkI�L��}'et���f�ڧ�:���X����!��Y����b�e���a�morphism�of�schemes.���Then��f��v�induc�es�a�map��
���!��f����������s��:���f�����quasi-c��}'oher�ent��O����Y���G�-mo�dules��}���g���������!�f�����quasi-c��}'oher�ent��O����X���$�-mo�dules��~X��g�:�����iF�If���X�\��is�no��}'etherian,�then��f��v�also�induc�es�a�map�in�the�other�dir�e�ction����"D�f������_��:���f�����quasi-c��}'oher�ent��O����X���$�-mo�dules��~X��g���������!�f�����quasi-c��}'oher�ent��O����Y���G�-mo�dules��}���g�:�����iF�The�UUab�Go���v�e�t�w�o�prop�Gositions�admit�generalizations.��j������iF�Example���1.5.9.���6�Let�� �f����:��i�X��K�!��Y�7�b�Ge�a�morphism�of�sc���hemes.�l(If��F��Y�is�coheren�t�on��X���then��f��������F�����iF�need��nnot�b�Ge�coheren���t�on��Y�8�.��F��*�or�example,��tlet��f�zϲ:�[email protected]�A���^��1��㳸!���Sp�ec��Y�k�P��,��tthen��n�F�ey�=��O����A����1���
*òis�coheren���t�but�����iF�f��������F�S��is�UUnot�coheren���t�since��k�P��[�x�]�is�not�nitely�generated�o�v�er��k�P��.�q�Note�that��f�h�is�not�nite.�������iF�Theorem��T1.5.10.���F���If���f�,z�:��X��͸!��Y����is�nite�or�pr��}'op�er�and��F��K�is�a�c�oher�ent�she�af�on��X����then��f��������F�����iF�is���a�c��}'oher�ent���she�af�on��Y�8��.�������iF�Prop�Q�osition��T1.5.11.���T+G�L��}'et���X�\��b�e�a�scheme.���Then�ther�e�is�a�bije�ction��
��������f�����close��}'d�subschemes�of��X��n^�g��������!��������f�����quasi-c��}'oher�ent�she�aves�of��O����X���$�-ide�als����Ҹg����#����lnB�(�Y���,��UX�!���X���)��������7!��������I���=���k���er��#�(�f��������#��
�p�:���O����X��
a<�!��f��������O����Y���G�)����O����iF�Quasicoheren��9t��Tshea�v�es�on���Pro��8j��*�(�S����)��uT�����iF�Denition��T1.5.12.���K��Let�yY�S��b�Ge�a�graded�ring�whic���h�denes�the�sc�heme��X���=��Pro��8j��Xv(�S����)�and�let��M��
�'���iF�b�Ge�5va�graded��S����-mo�dule.�g'Dene���x䍑�"~������M���5��to�b�e�the�sheaf�of��O����X���$�-mo�dules�suc���h�that���x䍑�"~������M��� �(�D����+�����(�f���))��=����܍�樿]��4$���M���:�(�f���)�����ɲ.��
����iFThe�UUsheaf���x䍑~������M���uT�is�quasicoheren���t.���ߍ����iF�Denition��T1.5.13.���K��If�9��X����=���Pro��8j��p(�S����)�and��n���2��Z�9��denote�b���y��O����X���$�(�n�)�the�sheaf���!0��h�]���Ѝ��S��(�n�)�����.�h�F��*�urthermore,�����iFfor�UUan���y�sheaf��F�S��of��O����X���$�-mo�Gdules,�dene�the��t��9wist��Tof��F�Ӎ�b�y��n�UU�to�b�Ge��F��9�(�n�)��=��F�7
�8�O����X���$�(�n�).�����iFIf�{H�S�ղis�a�graded�ring�w���e�will�sa�y�that��S�ղis��generated��in�degree�1�{H�if��S��is�generated�b���y��S����1������iF�as�UUan��S����0��|s�-algebra.�������iF�Prop�Q�osition��T1.5.14.���T+G�Supp��}'ose���S��p�is�a�gr�ade�d�ring�gener�ate�d�in�de�gr�e�e��1��and�let��X�LY�=���wPro��8j����(�S����)�.�����iFThen��������;�1.����	iHif���F�� �is�an�invertible�she��}'af�then�so�is��F��9�(�n�)��for�any�inte�ger��n�,���q������;�2.������!0��
̿^���Ѝ�	iH�M��(�n�)���$��=���x䍑��~�������M���
�²(�n�)�,���in�p��}'articular,��O����X���$�(�n�)�8�
�O����X���(�m�)��=��O����X���(�n�8�+��m�)�,��j�������;�3.����	iHif��ӵT�,b�is�another�gr��}'ade�d���ring,�gener�ate�d�in�de�gr�e�e��1�,��'����:��S��G�!��T�,b�is�a�de��}'gr�e�e�pr�eserving����	iHhomomorphism,�du�U�r�=��W�f�p��:��S����+��
��6��'���^���1��
�t�(�p�)�g���Y�8��,�and�:��f��:��U�r�!��X���the�induc��}'e�d�morphism,����	iHthen�[.for�any�gr��}'ades��S����-mo�dule��M��,�f��f�����^�����s�(���x䍑��~�����M���
ʪ�)��=�(�M�ԭ�
����S�����T�c��)���^����DZ~�����j����U��

��and�[.for�any�gr�ade�d��T�c��-mo�dule��N��,����	iH�f��������(���x䍑�V~�����N���	��j����U�����)��=���x䍑�n~������N�����.�������iF�Denition��T1.5.15.���K��Let���X����=���Pro��8j��p(�S����)�and�let��F��9�b�Ge�a�sheaf�of��O����X���$�-mo�dules.�NThe�additiv���e�group��
����:���������(�F��9�)��=������n�2�Z����(�X�:�;����F��(�n�))�����iFhas�UUa�natural�structure�of�graded��S����-mo�Gdule.�������iF�Prop�Q�osition��T1.5.16.���T+G�Supp��}'ose���X�-�=��ePro��8j���`(�S����)��with��S�~��nitely�gener�ate�d�in�de�gr�e�e��1�,��and�that��F��^ύ��iF�is���a�quasi-c��}'oher�ent���she�af�on��X����.���Then�ther�e�is�a�natur�al�isomorphism���!0��PW�^���Ѝ����������(�F��9�)���!)9�!��F��9�.�������iF�Theorem��T1.5.17.���F���L��}'et�v��A��b�e�a�nitely�gener�ate�d�algebr�a�over�a�eld��k�P��,��llet��X�?��b�e�a�pr�oje�ctive�����iFscheme�g�over��A�,���and�let��F�e��b��}'e�a�c�oher�ent��O����X���$�-mo�dule.��Then��H������^��0��Lq�(�X�:�;����F��9�)��is�a�nitely�gener�ate�d�����iF�A�-mo��}'dule.�����Us��Š���@�����&iF�8�׆��CHAPTER�UU1.��ALGEBRAIC�GEOMETR��*�Y����ٍ��vn���&iF�1.5.2��O�FLo�`cally��free�shea��v�es��uT����&iF�Denition��T1.5.18.������A���sheaf��
�F��F�of��O����X���$�-mo�Gdules�is��lo�Q�cally�'[free��if�for�ev���ery�p�oin���t��x���2��X���the��
stalk����&iF�F����x��^9�is�UUa�free��O����X�;x��ϲ-mo�Gdule.���)��5iFIf��̸F���is�lo�Gcally�free�then�for�ev���ery�p�oin���t��x�k4�2��X����there���is�an�op�en�neigh���b�orho�o�d��U���of��x��suc���h����&iFthat��ǸF��9j����U��
a��is�a�free��O����X���$�j����U�����-mo�Gdule.�~If��X�w��can�b�e�co���v�ered���b�y�op�Gen�sets��U���suc�h�that��F��9j����U��
a��is�a�free����&iF�O����X���$�j����U�����-mo�Gdule�UUthen��F�S��is�lo�cally�free.������&iF�Prop�Q�osition��T1.5.19�(Pro���jection�F��
�orm��9ula).�����!�L��}'et��2�f�a=�:�M��X���!��Y��b�e��2a�morphism�of�schemes,���let����&iF�F�� �b��}'e���a�she�af�of��O����X���$�-mo�dules,�and�let��E�x��b�e�a�lo�c�al���ly�fr�e�e�she�af�of��O����Y���G�-mo�dules.���Then�����'��f��������(�F�7
����O��m�X����ӵf�����������s�E����)����T͍�������+3�����=�����
UN�f�������(�F��9�)�8�
����O��m�Y���ҸE��:������&iF�Example���1.5.20.���q�_�The�xpush�forw���ard�of�a�lo�Gcally�free�sheaf�need�not�b�e�lo�cally�free.�U�F��*�or�example,����&iFlet�׵R���b�Ge�a�ring,�9xlet��I�Թ�b�e�an���y�non�trivial�ideal,�9xand�let��f�
Բ:���ESp�Gec����R��=I��'�!���E�Sp�Gec���R���b�Ge��the�natural����&iFclosed��yimmersion.�F3The�the�structure�sheaf�on��Sp�Gec���@�R��=I��[�is�lo�Gcally�free�but�its�pushforw���ard�to�����&iFSp�Gec��<[
�R�i�is�UUnot�free.��!򍍑&iF�1.6��J��Prop�qerties�L�of�Morphisms�����&iF�In�UUthis�section��X�7�and��Y��9�denote�sc���hemes.���d���&iF�1.6.1��O�FQuasi-compact��uT����&iF�Denition��T1.6.1.���{��f��B�:�߳�X����!��Y�6��is����quasi-compact��if�for�ev���ery�op�Gen�ane��V����߳�Y�8�,�'ʵf�����^���1����(�V��)���is����&iFquasi-compact.�����&iF�1.6.2��O�FFinite��t��yp�`e�and�lo�cally�of�nite�t��yp�e��uT����&iF�Denition��T1.6.2.���{��f�ڧ�:���X����!��Y��ֲis�T��lo�Q�cally���of�nite�t��9yp�e�T�if�for�ev���ery�op�Gen�ane��V����=���Sp�ec���ߵB�G������&iF�Y�8�,����f�����^���1����(�V��)��{can�b�Ge�co���v�ered��{b�y�op�Gen�anes��U����i�����=��?WSp�ec��1�A����i��TL�,���where�eac���h��A����i���Dzis�a�nitely�generated����&iF�B��q�-algebra.���The�q�morphism��f��;�is�of��nite���t��9yp�Q�e��if�in�addition��f�����^���1����(�V�8�)�can�b�Ge�co���v�ered�q�b�y�a�nite����&iFn���um�b�Ger�UUthe��U����i��TL�.���)��5iFIn�y(fact,��to�c���hec�k�y(that�a�morphism�is�of�nite�t���yp�Ge�it�sucies�to�exhibit�a�single�co�v�ering�of����&iF�Y��9�b���y�UUsuc�h�op�Gen�anes��V�8�.������&iF�Prop�Q�osition��T1.6.3.�����=��1.�����kKClose��}'d�@�immersions�and�quasi-c�omp�act�op�en�immersions�ar�e�of�nite����?iHtyp��}'e.��ݔ�����2;�2.����?iHIf���f�ڧ�:���X����!��Y����and��g�"�:��Y����!��Z�K�ar��}'e�of�nite�typ�e�then��g�����8�f�ڧ�:���X����!��Z�K�is�of�nite�typ��}'e.�������2;�3.����?iHThe�Ҵpr��}'op�erty�of�b�eing�of�nite�typ�e�is�close�d�under�b�ase�extension.�U�Thus�if��X���!�8ܵY���is�of����?iHnite��typ��}'e�and��Y��8��^��0���O�!��2�Y�:��is�a�morphism�then�the�induc�e�d�morphism��X�Qf�����Y��	t˵Y��8��^��0���O�!��2�Y��8��^��0��	��is�of����?iHnite���typ��}'e.��ݔ�����2;�4.����?iHIf��Y�X�\;�and��Y��=�ar��}'e�of�nite�typ�e�over�a�b�ase�scheme��S�&��then��X�������S����Y��=�is�of�nite�typ�e�over��S����.�������2;�5.����?iHIf���X�\��is�of�nite�typ��}'e�over�a�eld�then�the�set�of�close�d�p�oints�of��X�\��is�dense.���d���&iF�1.6.3��O�FFinite��and�Quasi-nite��uT����&iF�Denition��T1.6.4.���{��f�U?�:�A��X�
��!��Y��Ȳis���a��nite��morphism�if�for�ev���ery�op�Gen�ane��V�z��=��A�Sp�ec��3w�B��!��A��Y�8�,����&iF�f�����^���1����(�V�8�)��
is�ane,�4�equal�to��Sp�Gec���ѵA�,�where��A��is�a��B��q�-algebra�whic���h�is�nitely�generated�as�a����&iF�B��q�-mo�Gdule.������&iF�Denition��T1.6.5.���{��f�ڧ�:���X����!��Y��is����quasi-nite��if�for�ev���ery�p�Goin�t��y�"�2���Y��the�in�v�erse�image��f�����^���1����(�y�[ٲ)����&iFis�UUa�nite�set.�����	l��Š���@������iF�1.6.��PR���OPER��*�TIES�UUOF�MORPHISMS��1l�9����ٍ��vn�����iF�Prop�Q�osition��T1.6.6.���NkI�A���nite�morphism�is�pr��}'op�er���and�quasi-nite.��,񍍍��iFPr��}'o�of.������See�UU[�5��]�exercises�I�GI.3.5�and�I�I.4.1.����1��ff����d�ff�Y��ff����ff����wٍ����iF�Theorem��T1.6.7.���A��A���pr��}'oje�ctive�and�quasi-nite�morphism�is�nite.�������iFPr��}'o�of.������See�UU[�5��]�exercise�I�GI�I.11.2.����Ą�ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Prop�Q�osition��T1.6.8.���NkI�A���close��}'d�immersion�is�nite.�������iFExample���1.6.9.���6�If��Y�O��v�is�an�order�in�the�ring�of�in���tegers�of�a�n�um�b�Ger�eld�then��O��v�is�nitely�����iFgenerated�UUas�a��Z�-mo�Gdule�so��Sp�ec��G�O��r�is�nite�o���v�er��UUSp�ec��G�Z�;�UUhence��Sp�ec��G�O��r�is�prop�er�o���v�er��UUSp�ec��G�Z�.������iFPro��8jection�UUfrom�the�h���yp�Gerb�ola�UU�xy�"�=��1�to�the��x�-axis�is�quasi-nite�but�not�nite.��M�����iF�1.6.4���FAne���5����iF1.6.5���FImmersions���5�����iF�Denition��T1.6.10.���K��An�ܐ�op�Q�en��?subsc��9heme��of�a�sc���heme��X��r�is�an�op�Gen�subset��U�j=��S"�X��with�����iFstructure��sheaf��O����X���$�j����U�����.��A��morphism��f�&�:�\�Y�[email protected]�!��X�K��is��an��op�Q�en�	�immersion��if��f���(�Y�8�)�is�op�Gen�and��f�����iF�induces���an�isomorphism�of�sc���hemes��Y���!�m2�f���(�Y�8�).���(where��f��(�Y�8�)�is�giv���en�the�sc�heme�structure�in�����iFwhic���h�UUits�structure�sheaf�is��O����X���$�j���:�f���(�Y���)���i�.)��,񍍍��iF�Denition��T1.6.11.���K��A�I�morphism�Iߵf�r5�:�^��Y����!��X���is�a��closed��immersion��if�it�induces�a�home-�����iFomorphism�6Efrom��sp��
�F(�Y�8�)�to�a�closed�subset�of��sp��(�X���)�and�if�furthermore��f�����^��#��cT�:�=��O����X��� �!��f��������O����Y��"��is�����iFsurjectiv���e.�����iFNote���that��f�����^��#��
��is�not�a�morphism�of�shea���v�es���of��O����X���$�-mo�Gdules�but�is�only�a�morphism�of�shea���v�es�����iFand�UUthat��f�����^��#��z��is�surjectiv���e�i��f�����^��#���is�surjectiv���e�on�stalks.������iFA�?�sc���heme�?�X�òo�v�er��Y�xŲwith�structure�morphism��f�a��:�M��X��!��Y�xŲis��pr��}'oje�ctive��if,�z�for�some��n�,�it�����iFfactors�UUas��,���r�X����T΍��-�i���2����������������!����wĿP�������n����Y���	�_�=���P�������n����Z����;�����Z��c��Y����6j���m�Y������������������	�l����������������!����K�Y��,��iF�with�UU�i��a�closed�immersion.��������iF�Example���1.6.12��(Par��i>ab�ola)�.���tL��The�\�map��f��Ѳ:��B�A���^��1��O��!��A���^��2����giv���en�\�b�y��t��B�7!��(�t;���t���^��2��|s�)�is�a�closed�immersion.�����iFThe���image�is�the�closed�subset�dened�b���y��y�"�=���x���^��2��t5�and�the�induced�map�on�shea�v�es��k�P��[�x;���y�[ٲ]���!��k��[�t�]�����iFis�UUgiv���en�b�y��x���7!��t�,�UU�y�"�7!��t���^��2��|s�.�������iF�Example���1.6.13��(Not�$�surje��i>ctive�on�stalks)�.�����$�Let����Y��z�=��b�Sp�Gec����(�k�P��[�"�]�="���^��2��|s�)�and��X�+x�=��b�Sp�Gec��(�k�P��[�"�]�="���^��3��|s�).�����iFDene�UUa�morphism��f�ڧ�:���Y����!��X�7�b���y�����z�0�f��������#��
�p�:���k�P��[�"�]�="������3��C��!��k��[�"�]�="������2��C��:��"��7!��"������2��|s�:�����iF�Then��U�sp��տ(�X���)�U�and��sp��(�Y�8�)�are�b�Goth�one�p�oin���t�spaces�hence�homeomorphic�under��f���,�U�but��f����^��#��{�is�not�����iFsurjectiv���e.��,񍍍��iF�Prop�Q�osition��T1.6.14.���T+G�L��}'et����I�jn�b�e�an�ide�al�of�a�ring��A�.�…The�morphism���Sp�Gec���(�A=I���)����!���Sp�Gec����(�A�)�����iF�induc��}'e�d���by�the�natur��}'al�map��A���!��A=I�\��is���a�close�d�immersion.��M�����iF�1.6.6���FSeparated���5�����iF�Denition��T1.6.15.���K��A��morphism��-�X����!���S����is��separated��if�the�diagonal�morphism��X��!���X�9s�����S��;��X�����iF�is�UUa�closed�immersion.�������iF�Prop�Q�osition��T1.6.16.���T+G�A���ny���morphism�b��}'etwe�en���ane�schemes�is�sep��}'ar�ate�d.�������iFPr��}'o�of.������If�$Z�f�3��:�� Sp�Gec��g>(�A�)� �!���Sp�Gec��(�B��q�)�$Zthen��corresp�Gonds�to��A���
����B��	��A� �!��A�$Z�whic���h�is�a�surjectiv�e�����iFmorphism�UUof�rings�hence��f�h�is�a�closed�immersion.����5���ff����d�ff�Y��ff����ff����wٍ����iF�Example���1.6.17.���;�_�The�UUline�with�a�doubled�origin,�denoted�����:���,�UUis�not�separated�o���v�er�UU�Z�.�����
}b��Š���@�����&iF�10�҆��CHAPTER�UU1.��ALGEBRAIC�GEOMETR��*�Y����ٍ��vn����&iF�Theorem��T1.6.18�(V��
�aluativ��9e�criterion�for�separatedness).���BJ�A�)�morphism�*[�f����:��h�X�pJ�!��S����is����&iFsep��}'ar�ate�d�ܬi�the�fol���lowing�c��}'ondition�is�satise�d.�s�Whenever��R��s�is�a�valuation�ring�with�eld����&iFof���fr��}'actions��K�K�and�ther�e�is�a�c�ommutative�diagr�am��&[email protected]���󌜍����(ҲSp�Gec���o�(�K���)������T΍����i���2������𝮸������_!�������全Sp�Gec��6�(�R�Dz)�������J��#���L�#����#����A��X�������ꍒ��w�f��$�������ld��������!������q�S�����&�x��&iF�then�$�ther��}'e�is��at��most��one�morphism���Sp�Gec��k�(�R�Dz)��p�!��X���making�$�the�diagr�am�c�ommute.�L	(Her�e��i��is����&iFinduc��}'e�d���by�the�inclusion��R���,��UX�!���K���.)��������&iFExample���1.6.19.���q�_�The�UUsequence�������׸fg��!���:���!��Z������&iF�sho���ws�`�that��X�MX�!��v�Y��Z�!��Z���can�`�b�Ge�separated�ev�en�though��Y��Z�!��v�Z���is�not�separated.��t(By�the����&iFcorollary�UU�X����!���Y��9�m���ust�b�Ge�separated.)������&iF�Corollary��T1.6.20.���'b�Assume���al���l�schemes�c��}'onsider�e�d���b�elow�ar�e�no�etherian.�������2;�1.����?iHOp��}'en���and�close�d�immersions�ar�e�sep�ar�ate�d.��z:�����2;�2.����?iHA���c��}'omp�osition�of�two�sep�ar�ate�d�morphisms�is�sep�ar�ate�d.�������2;�3.����?iHIf���X�A��!�x۵S����is�sep��}'ar�ate�d��and��T�r=S��is�a�scheme�over��S��then��X�Hݸ���T��j�!�x۵T�Y��is�sep��}'ar�ate�d,��thus����?iHsep��}'ar�ate�d���morphisms�ar��}'e�stable�under�b�ase�extension.�������2;�4.����?iHThe���pr��}'o�duct�of�pr�op�er�morphisms�is�pr�op�er.��l������2;�5.����?iHIf�r��f�ڧ�:���X����!��Y����ar��}'e��g�"�:��Y����!��Z�)��morphisms�and��g�Lc���f��0�is�sep��}'ar�ate�d,�yHthen��X�����ꍑ�
�f��$��������������>!�����W�Y����is�sep�ar�ate�d.������&iF�Prop�Q�osition��T1.6.21.����+G�Consider� schemes�over�a�xe��}'d�b�ase�scheme��S����.�r�If��X����c�ontains�a�close�d�(or����&iFop��}'en)���subscheme�which�is�not�sep�ar�ate�d,�then��X�\��is�not�sep�ar�ate�d.������&iFPr��}'o�of.���E���Supp�Gose�Ѷ�f���:��c�Y��G�!��X����is�a�closed�(or�op�Gen)�immersion�and�that��Y�
��is�not�separated.���By����&iFthe�.corollary��f���is�separated.��RTh���us�if��X����!��ֵS����is�separated�then��Y�0��!��X����!��S����is�separated,�9�a����&iFcon���tradiction.���Zg���ff����d�ff�Y��ff����ff�����s����&iF�Example���1.6.22.���q�_�By�UUthe�prop�Gosition�the�plane�with�a�doubled��x�-axis�is�not�separated�o���v�er�UU�Z�.������&iF�Prop�Q�osition��T1.6.23.����+G�If��n�X��P�is�sep��}'ar�ate�d��nover�an�ane�scheme��S�g��then�the�inter��}'ese�ction��nof�any����&iFtwo���ane�subsets�of��X�\��is�again�ane.������&iFExample���1.6.24.���q�_�Let��3�X�k�b�Ge�the�ane�plane�with�a�doubled�origin.�X`Let��A����1����b�e�the�ane�subset����&iFconsisting���of�the�ane�plane�with�exactly�one�of�the�origins,�
�and�let��A����2��x�b�Ge�the�ane�plane�with����&iFonly���the�other�origin�(�X����can�b�Ge�obtained�b���y�glueing��A����1��KJ�and��A����2��|s�.)��NThen��A����1��T�\���A����2���is�the�ane����&iFplane�B�min���us�the�origin�whic�h�is�not�ane.�k�This�do�Ges�not�con�tradict�the�prop�Gosition�b�ecause��X����&iF�is�UUnot�separated�o���v�er�UUan�y�ane�sc�heme.�� �����&iF�1.6.7��O�FProp�`er�����&iF�f���:��Z�X��<�!��Y��`�is�g|�univ��9ersally��5closed��if�for�all��Y��8��^��0���w�!��Z�Y��the�induced�morphism��f�����^��0���"�:��Z�X�
ܸ����Y��	1A�Y��8��^��0���w�!��Y��8��^��0�����&iF�is�UUa�closed�map�on�the�underlying�top�Gological�spaces.������&iF�Denition��T1.6.25.������f����:����X�]ڸ!��Y��Z�is�jv�prop�Q�er��if�it�is�separated,���of�nite�t���yp�Ge,�and�univ���ersally����&iFclosed.������>��Š���@������iF�1.6.��PR���OPER��*�TIES�UUOF�MORPHISMS��1k�11����ٍ��vn�����iF�Theorem��T1.6.26�(V��
�aluativ��9e�criterion�for�prop�Q�erness).����w��A���morphism��f�ڧ�:���X����!��S�'[�is���pr��}'op�er�����iFi�s]the�fol���lowing�c��}'ondition�is�satise�d.���Whenever��R��$�is�a�valuation�ring�with�eld�of�fr�actions��K�����iF�and���ther��}'e�is�a�c�ommutative�diagr�am��%	����󌜍����(ҲSp�Gec���o�(�K���)������T΍����i���2�����������������_!��������全Sp�Gec���6�(�R�Dz)�������J��#����L�#����#����A��X�������ꍒ��w�f��$�������ld��������!�������q�S�����%�����iF�then�tther��}'e��exists�۠a�unique�t�morphism���Sp�Gec��V�(�R�Dz)���!��X��V�making�tthe�diagr�am�c�ommute.�<(Her�e��i��is�����iFinduc��}'e�d���by�the�inclusion��R���,��UX�!���K���.)���
�����iF�Corollary��T1.6.27.���I'b�Assume���al���l�schemes�c��}'onsider�e�d���b�elow�ar�e�no�etherian.��������;�1.����	iHClose��}'d���immersions�ar�e�pr�op�er.����������;�2.����	iHThe���c��}'omp�osition�of�pr�op�er�morphisms�is�pr�op�er.��������;�3.����	iHPr��}'op�er���morphisms�ar��}'e�stable�under�b�ase�extension.��������;�4.����	iHThe���pr��}'o�duct�of�pr�op�er�morphisms�is�pr�op�er.��������;�5.����	iHIf���f�B�:����X�ƕ�!��Y����and��g�Y��:��Y�6��!��Z�i'�ar��}'e�morphisms�and��g�����N��f�Ś�is�pr�op�er�and��g�
��is�sep�ar�ate�d,���then����	iH�f��v�is���pr��}'op�er.���
�����iF�Prop�Q�osition��T1.6.28.���T+G�A���pr��}'op�er�morphism�b�etwe�en�ane�varieties�is�nite.��������iF�1.6.8���FPro��jectiv��e��and�quasi-pro�jectiv��e��ơ�����iF�Denition��T1.6.29.���K��f����:��1�X���!��Y�;�is�1�pro���jectiv��9e��if�there�is�a�closed�immersion��g�C
�:��1�X��!��P���^���n��b�Y���
�x�=�����iF�P���^���n��l��Z���L�����Z��F�Y���suc���h��3that��f�ڧ�=�������Y�����ڞ�g�[ٲ.�7g�f��²is��quasi-pro���jectiv��9e��if�there�is�a�sc�heme��X�����^��0����,��:an�op�Gen�immersion�����iF�i���:��X����!��X�����^��0����,�UUand�a�pro��8jectiv���e�morphism��h���:��X�����^��0��^3�!��Y��9�suc�h�UUthat��f�ڧ�=���h�8���i�.�����iFTh���us����X�P��is�pro��8jectiv�e�o�v�er��S�D�if�there�is�a�closed�immersion�of��X�P��in�to�some�pro��8jectiv�e�space�����iFo���v�er�UU�S���whic�h�preserv�es�the�giv�en�structure�of��S����-sc�heme.�������iF�Theorem��T1.6.30.���F���A���pr��}'oje�ctive���morphism�of�no��}'etherian�schemes�is�pr�op�er.��A���quasi-pr�oje�ctive�����iFmorphism���of�no��}'etherian�schemes�is�sep�ar�ate�d�and�of�nite�typ�e.�����iF�This��tis�pro���v�ed��tb�y�sho�wing�that��P���^���n��l��Z����is�prop�Ger�o�v�er��Z��and�then�using�the�fact�that�comp�Gositions�����iFand��vbase�extensions�of�prop�Ger�morphisms�are�prop�er�when�the�sc���hemes�in�v�olv�ed�are�no�Getherian.�������iF�Prop�Q�osition��T1.6.31.���T+G�A���c��}'omp�osition�of�pr�oje�ctive�morphisms�is�pr�oje�ctive.�������iF�Theorem��T1.6.32�(Cho��9w's�Lemma).�����,�L��}'et����f��U�:��ƵX�O��!��S��C�b�e���a�pr�op�er�morphism�to�a�no�etherian�����iFscheme��{�S����.��QThen�ther��}'e�exists�a�scheme��X�����^��0��"��and�a�morphism��g��q�:����X�����^��0����!��X�T]�such��{that��f��ո��F�g��T�is�����iFpr��}'oje�ctive�Ӈand�ther��}'e�is�an�op�en�dense�subset��U��3����X��i�such�that��g�"�:��g��[ٟ�^���1��M�(�U��)��!��U���is�an�isomorphism�����iFof���schemes.��������iF�1.6.9���FFlat��ơ�����iF�Denition��T1.6.33.���K��A���morphism����f��X�:��ɵX����!��Y�3��of�sc���hemes�is��
at��if�for�ev�ery�p�Goin�t��x��ɸ2��X�â�the�����iFlo�Gcal�j6ring��O����x;X���>�is�a�
at��O���:�f���(�x�)�;Y��.��mo�dule�via�the�natural�map��f�����^��#��=�:���O���:�f���(�x�)�;Y���2�!�O����x;X����.��kA�j1sheaf�j6�F�����iF�of�UU�O����X���$�-mo�Gdules�is��
at��To��9v�er��Y��9�if�UUfor�whenev���er��x���2��X�7�then�UU�F����x��^9�is�a�
at��O���:�f���(�x�)�;Y���M�-mo�Gdule.�������iF�Theorem��T1.6.34.����R�X�1.����_��Op��}'en���immersions�ar�e�
at.����������;�2.����	iHL��}'et��۵f�p�:�]^�X�&@�!��Y���b�e���a�morphism�of�schemes�and�let��F���b�e�a�she�af�of��O����X���$�-mo�dules�which�is����	iH
at�!Dover��Y�8��.�A�L��}'et��g�#�:��.�Y����^��0���K�!��Y�Z(�b��}'e�!Da�morphism�of�schemes.�A�Then�the�pul���lb�ack��F���9��^��0����of��F�}�to����	iH�X�����^��0��^3�=���X�¸����Y��	%'�Y��8��^��0����is���
at�over��Y��8��^��0���.���������Š���@�����&iF�12�҆��CHAPTER�UU1.��ALGEBRAIC�GEOMETR��*�Y����ٍ��vn�����2;��3.����?iHL��}'et��J�X��,�b�e�a�no�etherian�scheme,��band��F�ƒ�a�c�oher�ent��O����X���$�-mo�dule.�*�Then��F�ƒ�is�
at�over��X��,�i����?iHit���is�lo��}'c�al���ly���fr�e�e.���ፍ��&iF�Theorem��T1.6.35�(Cohomology�comm��9utes�with�
at�base�extension.).���|���L��}'et��e�f���:�s��X�<e�!��Y����&iF�b��}'e�r�a�sep�ar�ate�d�morphism�of�nite�typ�e�of�ne�otherian�schemes,���and�let��F�q0�b�e�a�quasi-c�oher�ent����&iFshe��}'af���of��O����X���$�-mo�dules.���L�et��u���:��Y��8��^��0���5�!��Y����b�e���a�
at�morphism�of�schemes.��#������d����w(�X�����^��0�������T΍��P�<t}\�cmti7�v���2��������������L1!������IZ�X�������w(�#���g����!�#���f���
H\����w(Y��8��^��0�������T΍���`�u���2�������_$������������������������!������
T�Y�������&iF�Then���for�al���l��i�����0����ther��}'e�ar�e�natur�al�isomorphisms��\����稵u����������R��ǟ����i��h�f�������(�F��9�)����T͍�������+3�����=�����
UN�R��ǟ����i���g�������(�v��[ٟ�������F��9�)�:���ፍ��&iF�Example���1.6.36.���q�_�F��*�or��example,���if��X�Hòis�a�separated�no�Getherian�sc���heme�of�nite�t�yp�Ge�o�v�er�a�eld����&iF�k���and�UU�F�S��is�a�quasi-coheren���t�sheaf�on��X�7�then�for�all��q�"����0,�������H����a������q����F�(�X�:�;����F��9�)�8�
����k����\q��g�������$p�k������T͍��p޸���+3���p޲=�������H���!�����q��%骲(�X���3��7�����㍴k���됵;��F���3��7�����㍴k����)�:���ፑ5iF�If�UU�X�7�is�an�irreducible�pro��8jectiv���e�v��q�ariet�y�and��F��Q�=���O����X��
�y�then�w�e�see�that������
GH�����H�����0���	��(�X�:�;����O����X���$�)�8�
����k����\q��g�������$p�k������T͍��p޸���+3���p޲=�������H���!�����0��%���(�X���3��7�����㍴k���됵;��O����X��}ݍ�<���QǍ�k����m��)��=���\q��	��������k���Ln;������&iF�hence��UUH���
�V�����0��Qɲ(�X�:�;����O����X���$�)��=��k�P��.���ፍ��&iF�Denition��T1.6.37.������A��p�Goin���t��'�x��in�a�sc�heme��X��	�is�an��asso�Q�ciated�'yp�oin��9t��'�of��X��if�the�maximal�ideal����&iF�m����x��^9�is�UUan�asso�Gciated�prime�of�0�in�the�lo�cal�ring��O����x;X����.������&iF�Theorem��T1.6.38.���|���L��}'et�}�f��;�:����X�_��!��Y�?a�b�e�}a�morphism�of�schemes,�#"with��Y�?a�inte�gr�al�and�r�e�gular�of����&iFdimension���1�.���Then��f��v�is�
at�i�every�asso��}'ciate�d���p�oint��x���2��X�\��maps�to�the�generic�p��}'oint�of��Y�8��.������&iFExample���1.6.39.���q�_�Let�C��Y���=��TSp�Gec��E�Z��and�let��X��=��TSp�Gec���Z�=p�Z�.�<qThen�the�morphism��f�g��:�T�X��!��Y����&iF�induced���b���y�the�natural�map��Z���!��Z�=p�Z����is�not�
at�b�Gecause�the�image�of�the�asso�ciated�p�oin���t����&iF(0)�.�2��X�\�is��(�p�)��2��Y���whic���h�is�not�the�generic�p�Goin�t�of��Y�8�.�+$Non-
atness�can�also�b�Ge�seen�directly����&iFsince�UU�Z�=p�Z��is�not�a�
at��Z�-mo�Gdule.������&iF�Theorem��T1.6.40.���|���L��}'et�!յT��d�b�e�an�inte�gr�al�no�etherian�scheme.�s�L�et��X�������P���^���n��b�T���	n��b�e�a�close�d�subscheme.����&iFF��;�or�TDe��}'ach�p�oint��t���2��T�c��,�`�we�TDc�onsider�the�Hilb�ert�p�olynomial��P����t��Ln�2���Q�[�z�p��]��of�the�br�e��X����t��ٚ�c�onsider�e�d�as����&iFa�close��}'d�subscheme�of��P���^���n��ٔ�k�+B�(�t�)���0��.���Then��X�G��is�
at�over��T���i�the�Hilb�ert�p�olynomial��P����t��[�is�indep�endent����&iFof�w�t�.��FIf��X��Y�is�
at�then�the�dimension�of��X����t���V�,� �the�de��}'gr�e�e�wof��X����t���,� �and�the�arithmetic�genus�of��X����t�����&iF�ar��}'e���al���l�indep�endent�of��t�.������&iFExample���1.6.41.���q�_�Let�/A�X��#�b�Ge�a�sc���heme�o�v�er�a�eld��k�P��.���Then��X��#�is�
at�o�v�er��k�زb�Gecause�b�y�linear����&iFalgebra�UUa�mo�Gdule�o���v�er�UUa�eld��k���is�automatically�
at.��\���5iFLet�UU�E���b�Ge�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q�.�q�Fix�a�W��*�eierstrass�equation��\������y��[ٟ����2��,�+�8�a����1��|s�xy����+��a����3���y�"�=���x������3���S�+��a����2���x������2���S�+��a����4���x��+��a����6�����&iF�with�UU�a����i��d�2���Z�.�q�The�W��*�eierstrass�equation�giv���es�rise�to�a�sc�heme�o�v�er��Z����V�7�E���=���Pro��8j��p(�Z�[�x;���y�[�;�z�p��]�=�(�z�y�������2��,�+�8�a����1��|s�xy�z��w�+��a����3��|s�y�z��p������2��%���x������3���S���a����2��|s�x������2���z��w��8�a����4���xz��p������2���+�8�a����6���z��p������3���
�))�:����&iF�In�Kgeneral�a�sc���heme�o�v�er��Sp�Gec���Z��is�
at�i�all�of�its�lo�Gcal�rings�are�torsion�free�as�ab�elian�groups.����&iFThis�UUis�true�for��E�:M�as�the�follo���wing�prop�Gosition�sho�ws.������&iF�Prop�Q�osition��T1.6.42.����+G�L��}'et�҈�f�L�2�8��R�LT�=��Z�[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�]��b��}'e�a�p�olynomial.�UyThen��f�L�62�8��pR��O�for�al���l�prime����&iFnumb��}'ers���p��i��R��=�(�f���)��is�torsion�fr�e�e�as�an�additive�ab�elian�gr�oup.�����
�H��Š���@������iF�1.7.��DIVISORS�L
�13����ٍ��vn�����iF�Pr��}'o�of.������If��εR��=�(�f���)�has�torsion�then�it�has�prime�torsion�so�there�is�a�prime��p��and�an�elemen���t��g�"�2���R��,�����iF�g��/�62�eV�(�f���)��Gsuc���h�that��pg��2�eV�(�f���).���Then�there�is��h��2��R���suc���h�that��pg��/�=��hf��ֲso��hf�x�2��(�p�).���Since�(�p�)�is�����iFprime�UUand��f�ڧ�62���(�p�),�it�follo���ws�that��h��2��(�p�)�so��g�"�=��������K�h���K��&�fe�������G�p�����	��f�ڧ�2��(�f���),�a�con���tradiction.��
Up���iFIf�n׵f�*�2��pR����for�some�prime��p��then��f��=��g�[�p��for�some��g�Mt�2��R�Dz.��MTh���us��g�Mt�62��(�f���)�but��pg�Mt�=��f�*�2��(�f���)�so�����iF�g��.�giv���es�UUrise�to�a�nonzero��p�-torsion�elemen�t�of��R��=�(�f���).����6���ff����d�ff�Y��ff����ff����1������iF�Example���1.6.43.���;�_�The��9prop�Gosition�sho���ws�that�the�sc�heme��X�ʲ=��9�Sp�Gec���(�Z�[�x;���y�[ٲ]�=�(2�x���^��2���@�+�f�2�y����^��2��?���2))��9is�����iFnot�UU
at�o���v�er��UUSp�Gec��G�Z�.�q�Nev�ertheless,��UUSp�Gec���t(�Z�[�������33�1��33��&�fe�s����2�����bٲ])[�x;���y�[ٲ]�=�(2�x���^��2���S�+�8�2�y����^��2��,���2)�UUis�
at�o���v�er��UUSp�Gec��G�Z�[�������33�1��33��&�fe�s����2�����bٲ].��h�����iF�Example���1.6.44.���;�_�Supp�Gose��E�K�(�=L��is�an�extension�of�n���um�b�er��Eelds,�Rthen�the�map��Sp�ec����O����L��iø!������iF�Sp�Gec��[
�O����K����b�Get���w�een��0their�in���teger�rings�is�
at�b�ecause��O����K����is�a�
at��O����L��	ޤ�mo�dule.�XThis�is�b�ecause�����iF�O����L��	Qɲis�UUlo�Gcally�a�PID�and��O����K���is�lo�cally�torsion�free.������iF�1.6.10�� iFSmo�`oth���ߍ���iF1.6.11���!w����� iFEtale������iF1.6.12�� iFUnramied���ߍ���iF�1.7����Divisors��򦍍��iF�1.7.1���FW���eil��divisors���ߍ��iF�W��*�eil�UUdivisors�are�dened�for�sc���hemes�whic�h�satisfy�the�follo�wing�condition:����������)(��)����	iH�X�7�is�UUa�no�Getherian�in���tegral�separated�sc�heme�whic�h�is�regular�in�co�Gdimension�one.�������iF�Denition��T1.7.1.���E��A�?��prime��	divisor�?ܲon��X���is�a�closed�in���tegral�subsc�heme��Y�x��of�co�Gdimension�����iFone.���A�f�W��
�eil��divisor���is�an�elemen���t�of�the�free�ab�Gelian�group��Div�����X��{�generated�b�y�the�prime�����iFdivisors.��JA���prime���divisor�is��eectiv��9e��if�the�co�Geen���ts�in�the�sum�are�all���i��0.�If��Y�ﺲis�a�prime�����iFdivisor�0�with�generic�p�Goin���t����ʲthen�the�lo�cal�ring��O�����@L;X���%�is�a�discrete�v��q�aluation�ring�with�v�aluation�����iF�v����Y��
WZ�and�kquotien���t�eld��K��p�=��T�K���(�X���).��If��f���2��K�����^������then��v����Y���G�(�f���)�is�an�in���teger��n�.��If��n�>��0�then��f�~��has�a�����iF�zero��Tof�order�UU�n��at��Y�8�,�and�if��n��<��0�UUthen��f�h�has�a��p�Q�ole��Tof�order�UU��n��at��Y��.��������iF�Prop�Q�osition��T1.7.2.���NkI�If�Je�X�G�satises�(��)�and��f�%?�2���K�����^����	�e�then��v����Y���G�(�f���)�=�0��for�al���l�but�nitely�many�����iFprime���divisors��Y�8��.�������iFExample���1.7.3.���6�Let��+џ��C�fe������Z���
N�denoted�+�the�in���tegral�closure�of��Z��in�a�xed�algebraic�closure�����C�fe�����Q�����of��Q�,�4and�����iFlet��m�X��"�=��@Sp�Gec��Y_(����C�fe������Z������).��Then��X�KO�is�in���tegral�and�separated�but�not�no�Getherian.�The�prop�Gosition�do�es�����iFnot��Khold�for��X���.�C�(Of�course�the�prop�Gosition�do�esn't�mak���e�sense�b�ecause�the�lo�cal�rings�of��X��-�need�����iFnot�2Cb�Ge�discrete�v��q�aluation�rings,�9Fbut�w���e�can�tak�e�the�condition��v����Y���G�(�f���)��=�0�2Cto�mean��f�EҲis�a�unit�in�����iFthe�UUlo�Gcal�ring�corresp�onding�to��Y�8�.)��4���iFW��*�e�s�kno���w�(example�14.6.1)�that�ev�ery�nonzero�prime�ideal�of�����C�fe������Z������is�maximal�so�����C�fe������Z����has�dimension�����iFone��pand�ev���ery�nonzero�prime�has�heigh�t�1,�)�i.e.,�the��pclosed�subsc�hemes��Sp�Gec����7���C�fe������Z��� ��=�p��of��Sp�Gec����7���C�fe������Z���$�S�all�����iFha���v�e�4nco�Gdimension�one.�f�Supp�ose��O�{��is�the�ring�of�in���tegers�of�a�n�um�b�Ger�eld�and�let��p��b�e�a�prime�����iFof���O�G�.���By�the�going-up�theorem�there�is�a�prime��P��of�����C�fe������Z���D��suc���h�that��P����\�O�է�=����p�.�Th���us��to�sho�w�����iFthat�=ithere�are�innitely�man���y�prime�ideals�of�����C�fe������Z���
%~�whic�h�con�tain�a�xed�prime��p���2��Z�=i�it�suces�to�����iFnote��"that�there�for�arbitrarily�large�in���tegers��n��there�are�n�um�b�Ger�elds��K��>�suc�h�that�the�set�of�����iFprimes��of��K��Ȳlying�o���v�er��p��has�cardinalit���y��n�.�Q�Indeed,�giv�en��n��distinct�primes�of��K��Ȳlying�o�v�er��p��w�e�����iFobtain�#��n��distinct�primes�of�����C�fe������Z����ֲwhic���h�con�tain��p�.�a2Since�suc�h�n�um�b�Ger�elds�exist�(see�the�follo�wing�����iFparagraph),�UUthe�n���um�b�Ger�UUof�primes�of�����C�fe������Z���
UV�con���taining��p��can�not�b�e�nite.�����iFWh���y�Չdo�suc�h�n�um�b�Ger�elds�exist?��bFix�a�prime��p��ø2��Z�Չ�with��p��ø6�=�2.�By�ՉDiric���hlet's�theorem�����iFthere���are�innitely�man���y�primes��q����i���)�congruen�t�to�one�mo�Gdulo��p�,��th�us�innitely�man�y�quadratic�����iFextensions��r�Q�(�������p���UW�����fe��;��q����i����� t�)�in�whic���h��p��splits�completely��*�.�bThe�result�no�w�follo�ws�b�Gecause�if�a�prime�����iFsplits��icompletely�in�t���w�o��ilinearly�disjoin���t�Galois�extensions�then�it�m�ust�split�completely�in�their�����iFcomp�Gositum,��a��fact�whic���h�can�b�e�seen�b���y�noting�that�a�prime�splits�completely�i�the�conjugacy�����iFclass��of�its�asso�Gciated�F��*�rob�enius�automorphism�is�the�iden���tiy�class,�I�and�F��*�rob�enius�comm���utes�����iFwith�UUrestriction.������=��Š���@�����&iF�14�҆��CHAPTER�UU1.��ALGEBRAIC�GEOMETR��*�Y����ٍ��vn����&iF�Example���1.7.4.���l�I�VIthink�VJthat�the�prop�Gosition�still�holds�for�a�p�olynomial�ring�in�innitely�man���y����&iFv��q�ariables�|So���v�er�a�eld��k�P��[�x����1��|s�;���x����2���;��:�:�:�����]�|Sev���en�though�suc�h�a�ring�is�not�no�Getherian.���I�|Ialso�think�that����&iFthe���primes�of�heigh���t�one�are�all�principal,��generated�b�y�an�irreducible.��u[Commen�t:�:�The�maps����&iF�k�P��[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�]���,��UX�!��k��[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�;��:�:�:�����]�UUha���v�e�natural�splittings�whereas�the�maps��O����K��
|˵,��UX�!������C�fe������Z�����do�not.]���6���&iF�1.7.2��O�FCartier��divisors��uT���&iF1.7.3��O�FIn��v�ertible��shea�v�es�����&iF1.7.4��O�FPicard��groups��uT���&iF�1.8��J��Morphisms�L�to�pro��!jectiv���e�space������&iF1.9��J��Basic�L�sheaf�cohomology�����&iF1.10��R��Algebraic�L�curv���es������&iF�1.10.1��ViFDictionary��b�`et��w�een�elds�and�curv�es��uT����&iF�Theorem��T1.10.1.���|���L��}'et���k���b�e�an�algebr�aic�al���ly�close�d�eld.��Then�the�functor�which�sends�a�c�om-����&iFplete���nonsingular�curve�over��k��~�to�its�function�eld�denes�an�e��}'quivalenc�e���of�c��}'ate�gories��qǍ����|Sv���`�n�������d������"�c��}'omplete���nonsingular����������curves���X��=k��������ⲗ���`�o�������x[���n�X��J�7!�K�}��(�X��)�����������$[�������_׍��������������>���������������������������������������������������������!�������bz���`�n�������d���� 
&�functions���elds�������� �)�K�(�=k��~�of���tr.de��}'g�1��������e
	���`�o����k���:������*********���End�Unverie��}'d�*********�����۰��Š���@����ٍ���O%���iF�Chapter�i�2��2N����iF�Lie��Algebras��:N�����iF�2.1����Denitions��y����iF�Let�UU�k���b�Ge�an�arbitrary�eld.���%�����iF�Denition��T2.1.1.���E��A����lie�?�algebra�o��9v�er�?��k�F�is���a��k�P��-v���ector�space��g��equipp�Ged�with�a�bilinear�form�����iF[�;����]��:��g�8���g���!��g�UU�suc���h�that�[�x;�x�]��=�0�UUfor�all��x���2��g�UU�and���n��r�H[�x;����[�y�[�;�z�p��]]�8�+�[�y�;����[�z�p�;�x�]]�8�+�[�z�;����[�x;�y�[ٲ]]��=�0�:��"�d����iF�2.2����Examples��y�����iF�2.2.1���FLinear��lie�algebras��Ӎ��iF�Let�UU�k���b�Ge�an�arbitrary�eld�and�let��V��9�b�e�a�v���ector�space�o�v�er��k�P��.�������iF�Prop�Q�osition��T2.2.1.���NkI�The�[email protected]��}'ctor�sp�ac�e��gl�(�V�8�)�R�=��End���=S���k��(�(�V��)�[email protected]�with�br��}'ack��[�x;���y�[ٲ]�R�=��xy�2����y�x�[email protected]�is�a�lie�����iFalgebr��}'a.�������iFPr��}'o�of.������[�;����]�UUis�bilinear�b�Gecause���n���[�x�8�+��y�[�;���z�p��]��=�(�x�8�+��y��)�z��w���z�p��(�x��+��y��)��=��xz��w�+�8�y�z���8�z�p�x����z�y�"�=����[�x;���z��]�+�[�y�[�;���z��]�:�����iF�F��*�or�UUan���y��x���2��gl�(�V�8�)�UUw�e�ha�v�e�[�x;���x�]��=��xx�8���xx���=�0�:�UU�If��x;�y�[�;�z�7��2���gl�(�V�8�)�then�������i[�x;����[�y�[�;�z�p��]]�8�+�[�y�;����[�z�p�;�x�]]�8�+�[�z�;����[�x;�y�[ٲ]]��������=������kӵxy�[�z��w��8�xz�p�y������y�z�p�x��+��z�y�[�x��+��y�z�p�x����y�xz����#�����kӸ�z�p�xy����+�8�xz�y��+�8�z�xy���8�z�y�[�x����xy�z��w�+��y�xz�7��=��0�:�����������ff����d�ff�Y��ff����ff����u������iF�Denition��T2.2.2.���E��A����linear�p%lie�algebra���is�a�lie�algebra�isomorphic�to�a�subalgebra�of��gl�(�V�8�)�����iFfor�UUsome�nite�dimensional�v���ector�space��V�8�.���%�����iF�Theorem��T2.2.3�(Ado,�Iw��9asa�w�a).����	f�Every���nite�dimensional�lie�algebr��}'a�is�line�ar.�������iFPr��}'o�of.������Ado��pro���v�es�this�in�the�c�haracteristic�0�case.�VLThe�c�haracteristic��p��case�is�due�to�Iw�asa�w�a.�����iFSee�UUc���hapter�VI�of�Jacobson.����'��ff����d�ff�Y��ff����ff����u����iFLet��K�V��/�b�Ge�a�nite�dimensional�v���ector�space�o�v�er��k�P��,��Hand�x�a�basis��v����1��|s�;����:�:�:����;���v����n���ɲfor��V�8�.��Let��e����ij������iF�b�Ge��cthe�endomorphism�whic���h�sends��v����j���to��v����i�� ��and�sends��v����k����to�0�for��k���6�=����j����.���Then��e����ij��
��e����k�+Bl��
۲=������j�g�k���<�e����il������iF�and�UUso���%��d�[�e����ij��
��;���e����k�+Bl��}X�]��=��e����ij���e����k�+Bl��	�8��8�e����k�+Bl��}X�e����ij��	��=������j�g�k���<�e����il���������l�
`i����e����k�+Bj���:���K����i#�15�����̠�Š���@�����&iF�16��T�CHAPTER�UU2.��LIE�ALGEBRAS����ٍ��vn���&iF�2.2.2��O�FClassical��lie�algebras��uT��&iF�T��9yp�Q�e���TA����3f$�cmbx7�n������&iF�Let�UU�V��9�b�Ge�a�v���ector�space�of�dimension��n�8�+�1.�q�The�UU�sp�Q�ecial��Tlinear��lie�algebra�is������� �sl�(�V�8�)��=��f�x��2��gl�(�V��)�:��T��*�r��
Q(�x�)�=�0�g�:����&iF�The�UUdimension�of��sl�(�V�8�)�is�(�n�8�+�1)���^��2���S���1.��<P��&iF�T��9yp�Q�e���TB����n����uT��&iF�Let�
�V�@�b�Ge�a�v���ector�space�of�dimension�2�n���+�1�
and�let�(�;����)�b�e�the�bilinear�form�dened�b���y�the����&iFmatrix�����˜��B�G��=�����Z����0�����@������d�����1����0���0�X0�������0����0���.]�I����n���������0�����I����n����0�X�0�������Z��84«1����84�A�����˹��&iF�so�UU(�v�[�;���w�D�)��=��v����^��t���/�B��qw�D�.�q�The�UU�o�Q�dd��Torthogonal��lie�algebra�is�����t<�o�(�V�8�)��=��f�x��2��gl�(�V��)�:�(�xv�[�;���w�D�)�8�+�(�v�;���xw�D�)��=�0��UUfor�all��v�;���w���2���V��E�Y�g�:����&iF�The�UUdimension�of��o�(�V�8�)�is�2�n���^��2���S�+�8�n�.����&iF�T��9yp�Q�e���TC����n����uT��&iF�Let�<�V�uײb�Ge�a�v���ector�space�of�dimension�2�n��and�let�(�;����)�b�e�the�bilinear�form�dened�b���y�the�matrix��������j���^������d�����ײ0����еI����n��������u޸�I����n�����:�0�����ꤟ��^�������:��捑&iF�The�UU�symplectic��lie�algebra�is����q���sp�(�V�8�)��=��f�x��2��gl�(�V��)�:�(�xv�[�;���w�D�)�8�+�(�v�;���xw�D�)��=�0��UUfor�all��v�;���w���2���V��E�Y�g�:����&iF�The�UUdimension�of��sp�(�V�8�)�is�2�n���^��2���S�+�8�n�.����&iF�T��9yp�Q�e���TD����n����uT��&iF�Let�<�V�uײb�Ge�a�v���ector�space�of�dimension�2�n��and�let�(�;����)�b�e�the�bilinear�form�dened�b���y�the�matrix�������������^������d�����ײ0����0A�I����n��������Ym�I����n��������0��������^����1�:��捑&iF�Then�UUthe��ev��9en��Torthogonal��lie�algebra�is����t-�(�V�8�)��=��f�x��2��gl�(�V��)�:�(�xv�[�;���w�D�)�8�+�(�v�;���xw�D�)��=�0��UUfor�all��v�;���w���2���V��E�Y�g�:����&iF�The�UUdimension�of��sp�(�V�8�)�is�2�n���^��2���S��8�n�.��<P���&iF�2.2.3��O�FOther��linear�lie�algebras����&iF�Fix�[�a�basis�for�a�nite�dimensional�v���ector�space��V�8�.��Then�the�set��t�(�V��)�����gl�(�V��)�[�of�upp�Ger�triangular����&iFmatrices�S�is�a�lie�algebra.�qRSo�is�the�space��n�(�V�8�)�of�upp�Ger�triangular�matrices�and�the�space��d�(�V��)����&iFof�UUdiagonal�matrices.��<P���&iF�2.2.4��O�FDeriv��@ations����&iF�Let����A��b�Ge�a��k�P��-algebra,�#)that�is�a�v���ector�space�o�v�er��k�J��equipp�Ged�with�an�arbitrary�bilinear�form����&iF(�;����)��:��A�8���A���!��A�.�q�Then�UUthe�space������w�Der����(�A�)��=��f��'��2���End����Ɵ��k���V�(�A�)�:���`�((�x;���y�[ٲ))�=�(���(�x�)�;���y�[ٲ)�8�+�(�x;��`�(�y�[ٲ))�g����&iF�is�a�lie�algebra�called�the��lie��ialgebra�of�deriv��\rations�of��A�.�^�When��A���=��g��is�a�lie�algebra,�'zthere����&iFis�qna�map��ad���:��g��!���Der����(�g�)�qnwhic���h�sends��x��to�the�deriv��q�ation��y�Qĸ7!���[�x;���y�[ٲ].��The�map��ad��is�called�the����&iF�adjoin��9t��Trepresen�tation�UU�of��g��and�pla���ys�a�v�ery�imp�Gortan�t�roll�in�the�theory��*�.������Π�Š���@������iF�2.2.��EXAMPLES�DFʲ17����ٍ��vn����iF�2.2.5���FBasic��Structure��uT�����iF�Denition��T2.2.4.���E��An����ideal��a��in�a�lie�algebra��g��is�a�subalgebra�suc���h�that�[�g�;����a�]�����a�.�?�The�����iF�quotien��9t����g�=�a��is�again�a�lie�algebra.�T�The��cen�ter��of�a�lie�algebra��g��is��Z���(�g�)��=��f�x��2��g��:�[�g�;���x�]�=�0�g�.�� ����iFThere�UUis�an�exact�sequence�of�lie�algebras��bL���MY0���!��Z���(�g�)��!��g����T΍�1+�ad���2������������[!������t�ad��W�(�g�)��!��0���⍑�iFwhere��UUad��
�(�g�)�UUis�a�subalgebra�of��Der��UV(�g�).���Z�����iF�Example���2.2.5.���6�Let�|<�g��=��gl�(�n�)�and��a��=��t�(�n�)����g�.��|The�subalgebra��a��is��not��in�general�an�ideal�of�����iF�g�.�q�F��*�or�UUexample,�tak���e��n���=�2,�UU�x��=���(��������UO�0����1���؍��UO1����0������ò)����R,�and��y�"�=���(��������UO�1����0���؍��UO1����0������ò)����R.�q�Then����z��[�x;���y�[ٲ]��=��xy�����8�y�x��=������b�����UU���	��1���
q��1����.���'1���*r1�����!���b����)M��62��a�:�����iF�Next�DFlet��d�����g�DF�b�Ge�the�one-dimensional�ab�elian�subalgebra�of�diagonal�matrices.�lThen��d���=��Z���(�g�)�����iFso�6��d��is�an�ideal�of��g�.�dWhat�is��g�=�d�?�If��c���har��/ĵk����-�>��n��then�the�natural�morphism�of�lie�algebras�����iF�sl�(�n�)���!��g�=�d���is�injectiv���e�and�so�it�m�ust�b�Ge�an�isomorphism�b�ecause��sl�(�n�)�and��g�=�d��ha���v�e��the�same�����iFdimension.�B0When��Ǝc���har���s�k��?�j����n�Ǝ�the�lie�algebras��sl�(�n�)�and��g�=�d��ha���v�e�Ǝthe�same�dimension�but�the�map�����iF�sl�(�n�)���!��g�=�d�UU�is�no�longer�injectiv���e.�q�(Question.�Is�UU�g�=�d��isomorphic�to��sl�(�n�)�when��c�har��N:�k��?�j����n�?)�� ������iF�Denition��T2.2.6.���E��The���lie�algebra��g��is��simple��if�it�is�nonab�Gelian�and�has�no�prop�er�ideals�����iFexcept�UU0�and��g�.�������iF�Example���2.2.7.���6�The��sp�Gecial�linear�lie�algebra��sl�(�n�)�o���v�er��a�eld�of�c���haracteristic�0�is�simple.�dIt�����iFis�UUeasy�to�c���hec�k�UUthis�directly�when��n���=�2�UUb���y�pic�king�the�basis��Z���N�j�x���=������^������d���
#��0���#�1������
#�0���#�0�����#����^����'*��;���y�"�=������^������d���
#��0���#�0������
#�1���#�0�����#����^�����;���h��=������^������d���
#��1���0������
#�0���#���1�����%꬟��^����.�ȵ:���ꍑ�iF�W��*�e��Eha���v�e�[�x;���y�[ٲ]��=��h;��[�h;�x�]�=�2�x;��[�h;�y�[ٲ]�=���2�y��.�K�If��E�a����sl�(2)�is�an�ideal�let��ax�T²+��by����+��ch��b�Ge�a�nonzero�����iFelemen���t�UUof��a��and�apply��ad��
�(�x�)�t�wice,�then��ad��
�(�y�[ٲ)�t�wice�to�sho�w�that��a���=��sl�(2).�������iF�Denition��T2.2.8.���E��The�UU�normalizer��of�a�subalgebra��h�����g�UU�is���⍒�G�N����g����(�h�)��=��f�x��2��g��:�[�x;����h�]����h�g�:�����iF�Th���us�UU�N����g����(�h�)�is�the�largest�subalgebra�of��g��in�whic�h��h��is�an�ideal.�q�The��cen��9tralizer��of��h��is�������C����g����(�h�)��=��f�x��2��g��:�[�x;����h�]�=�0�g�:�������iF�Example���2.2.9.���6�Let����g���=��gl�(�n�)�and�let��h��=��s�(�n�)�b�Ge�the��n�-dimensional�ab�elian�subalgebra�of�scalar�����iFmatrices.�q�Then�UU�N����g����(�h�)��=��C����g���(�h�)�=��h�.�q�T��*�o�UUsee�this�note�that�if��x���=������P���������ij��
��e����ij��	��2��g�UU�then����H�[�e����ii��(��;���x�]��=������i�1��P��e����i�1��	���+��8�����g�+�8�����in��Eʵe����in��
~����(�����1�i��P��e����1�i��	���+�������g�+������ni��Eʵe����ni���)�����iFso�UUif�[�e����ii��(��;���x�]���2��h�,�UUfor�all��i�,�then��x��is�diagonal,�so��N����g����(�h�)�����h�.�q�Since�UU�h��is�ab�Gelian,�������h�����C����g����(�h�)����N����g���(�h�)����h�:�������iF�Denition��T2.2.10.���K��A��0�represen��9tation��P�of�a�lie�algebra��g��on�a�v���ector�space��V�	4�is�a�homomor-�����iFphism�UUof�lie�algebras�����:��g��!��gl�(�V�8�).�q�If�UU���is�injectiv���e�then����is�called��faithful�.�� ������iF�Denition��T2.2.11.���K��An���automorphism��of�a�lie�algebra��g��is�a�lie�algebra�isomorphism��'���:��g��!�����iF�g�.�q�The�UUgroup�of�automorphisms�of��g��is�denoted��Aut��G(�g�).�����iFIf��Y�g�����gl�(�V�8�)�then�ev���ery�elemen�t�of��GL���>(�V�8�)�giv�es�rise�via�conjugation�to�an�elemen�t�of��Aut���#(�g�).�����iFThe�UUexp�Gonen���tial�map���|���{�exp���Y�(��`�)��=�1�8�+����ò+�����<$��l�����^��2���l�w�fe	O�	(֍���2!�����'C+�����<$��l�����^��3���l�w�fe	O�	(֍���3!�����+��8�������������iF�induces�UUa�map��Der��UV(�g�)���!���Aut����(�g�).������ݠ�Š���@�����&iF�18��T�CHAPTER�UU2.��LIE�ALGEBRAS����ٍ��vn���&iF�2.2.6��O�FSolv��@abilit��y��uT����&iF�Denition��T2.2.12.������The�UU�deriv��9ed��Tseries��is�dened�as�follo���ws.��bC������g������(0)��
���=���g�;����:�:�:����;����g������(�i�+1)��{i�=�[�g������(�i�)��	�N�;��g������(�i�)���]����&iFThe�UUlie�algebra��g��is��solv��\rable��if��g���^��(�i�)��[f�=��0�for�some��i����0.���ύ���&iF�Example���2.2.13.���q�_�A�vt���ypical�vQexample�of�a�solv��q�able�lie�algebra�is��t�(�n�).�'qIf��g��is�nite�dimensional�then����&iFthe���deriv���ed�series�stabilizes�after�a�nite�n�um�b�Ger�of�steps.�=�An�example�of�an�innite�dimensional����&iFlie�UUalgebra�for�whic���h�the�deriv�ed�series�do�Ges�not�stabilize�is��g���=������L�����ލ�
㌷1��%��
㌴n�=1�����t�(�n�).������&iF�Prop�Q�osition��T2.2.14.����+G�Supp��}'ose�����:��0���!��h��!��g��!��r��!��0���[��&iF�is���an�exact�se��}'quenc�e���of�lie�algebr��}'as.���Then��g��is�solvable�i�b�oth��h��and��r��ar�e�solvable.������&iF�Corollary��T2.2.15.���'b�If����a�;����b�����g��ar��}'e�solvable�ide�als�then��a�8�+��b��is�a�solvable�ide��}'al.������&iFPr��}'o�of.���E���The�UUsequence�����=_0���!��b��!��a�8�+��b���!��(�a�8�+��b�)�=�b����T͍�������+3�����=�����
UN�a�=�(�a��\��b�)���!��0���[��&iFis�yexact.���Since��b��is�solv��q�able�and��a�=�(�a�P��\��b�)�yis�solv�able�(b�Geing�the�quotien���t�of�a�solv�able�ideal)�it����&iFfollo���ws�UUthat��a�8�+��b�UU�is�solv��q�able.���vp��ff����d�ff�Y��ff����ff�����t����&iF�Denition��T2.2.16.������The�m�radical������¸p���
�]���‰fe	y�{>��g����8ܲof��g��is�the�unique�maximal�solv��q�able�ideal�of��g�.�$XA�l�lie�algebra����&iF�g�UU�is��semisimple��if������¸p��������‰fe	y�{>��g����{=�=��0.������&iF�Example���2.2.17.���q�_�Let�S��n��b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger�and�let��k����b�Ge�a�eld�with��c�har��L�k���-���n�.�qTThe�radical�of����&iF�gl�(�n�)�Yvis�the�ideal�of�scalar�matrices��s����=�����s0�p�������s0�fe�̟�Ѝ�gl�(�n�)����"j�.�~+Note�Yvthat��s��is�an�ideal�since�it�is�the�cen���ter�of����&iF�gl�(�n�).�q�The�UUquotien���t��gl�(�n�)�=�s��is�isomorphic�to��sl�(�n�)�and��sl�(�n�)�is�simple.���獍��&iF�Example���2.2.18.���q�_�A��^simple��~lie�algebra�is�semisimple�since�it�is�not�solv��q�able�and�it�has�no�nonzero����&iFprop�Ger�uideals.�'But�a�semisimple�lie�algebra�need�not�b�e�simple.�'F��*�or�example,���let��g���=��sl�(2)�xN���sl�(2).����&iFThen��Fneither�of�the�t���w�o��Fnon�trivial�ideals�of��g��are�solv��q�able�(eac�h�b�Geing�isomorphic�to��sl�(2))�so������&iF���¸p���.�����‰fe	y�{>��g����6�.�=��0.�q�Th���us�UU�g��is�semisimple�ev�en�though��g��is�not�simple.������&iF�Theorem��T2.2.19.���|���Supp��}'ose�(n�g��is�a�nite�dimensional�semisimple�lie�algebr�a�over�a�eld�of�char-����&iFacteristic���zer��}'o.���Then�ther�e�exists�simple�ide�als��a����1��|s�;����:�:�:����;����a����n��8�����g��such�that��g��=��a����1���S���8�������g�8��a����n��q~�.����&iF�The�UUpro�Gof�uses�Cartan's�criterion�and�nondegeneracy�of�the�killing�form.������&iF�2.2.7��O�FNilp�`otence��uT����&iF�Denition��T2.2.20.������Let��U�g��b�Ge�a�lie�algebra.�3Its��descending��"cen��9tral�series��U�is�dened�as�follo���ws.��bC������g������0��C��=���g�;����:�:�:����;����g������i�+1��;g�=�[�g�;��g������i��TL�]����&iFW��*�e�UUsa���y��g��is�nilp�Goten�t�if��g���^��i��d�=��0�for�some��i�.������&iF�Example���2.2.21.���q�_�A��Dnilp�Goten���t��nlie�algebra�is�solv��q�able�b�ecause��g���^��(�i�)��
k9�����g���^��i��TL�,�!4but�the�con���v�erse��nis�not����&iFtrue.�;�F��*�or���example,��
�t�(�n�)�is�solv��q�able�but�not�nilp�Goten���t�when��n�����2.�The���lie�algebra��n�(�n�)�of�strictly����&iFupp�Ger��Atriangular�matrices�is�a�t���ypical�example�of�a�nilp�oten���t�lie�algebra.�IThe�ab�elian�lie�algebra����&iF�d�(�n�)�?�of�diagonal�matrices�is�also�nilp�Goten���t,�D/as�is�an�y�ab�Gelian�lie�algebra.�j�Th�us�there�is�an�exact����&iFsequence�����֣0���!��d�(�n�)��!��t�(�n�)��!��n�(�n�)��!��0���[��&iFin�UUwhic���h�the�rst�and�last�terms�are�nilp�Goten�t�but�the�cen�ter�term�is�not.������&iF�Prop�Q�osition��T2.2.22.����+G�Supp��}'ose�����:��0���!��h��!��g��!��r��!��0���[��&iF�is���an�exact�se��}'quenc�e���of�lie�algebr��}'as.���If��g��is�nilp�otent�then��h��and��r��must�also�b�e�nilp�otent.�����
X��Š���@������iF�2.3.��LIE'S�UUTHEOREM�+�s�19����ٍ��vn�����iF�Prop�Q�osition��T2.2.23.���T+G�If��\�g�=��q�Z���(�g�)��is�nilp��}'otent�then��g��is�nilp�otent.�~�If��g�!]�6�=�0��\�is�nilp�otent�then�����iF�Z���(�g�)���6�=�0�.��Ze���iF�Engel's���theorem�pro���vides�a�criterion�for�nilp�Gotence�in�terms�of�the�image�of�the�adjoin�t�����iFrepresen���tation.�q�T��*�o�UUpro�v�e�Engel's�theorem�w�e�rst�pro�v�e�a�lemma.�������iF�Lemma��T2.2.24.���>ŝ�L��}'et�h;�V���b�e�nite�dimensional�ve�ctor�sp�ac�e�and�supp�ose��g�����gl�(�V�8�)��is�a�lie�sub��}'al-�����iFgebr��}'a��ec�onsisting�of�nilp�otent�endomorphisms.���Then�ther�e�exists��x���2��V�lQ��3mf�0�g��such�that��g�:x��=�0�.�������iFPr��}'o�of.������W��*�e�UUpro�Gceed�b���y�induction�on��dim�����g�,�the�case��dim���g���=�0�;����1�UUb�Geing�trivial.��"���iF1)���If��h�_j���g����is�a�prop�Ger�nonzero�subalgebra�then��h��acts�on��g�=�h��so�b���y�induction�there�exists�����iF�y�YV�2��}�g���suc���h�that��y��+���h��is�killed�b�y��h�.��T��*�o�apply�the�inductiv�e�h�yp�Gothesis�w�e�are�viewing��h��as�����iFacting�h�on��g�=�h��through�the�adjoin���t�represen�tation�and�applying�the�inductiv�e�h�yp�Gothesis�to�the�����iFimage�UUof��h��in��Der��UV(�g�=�h�)�����gl�(�g�=�h�).�q�Notice�UUthat��y�"�2���N����g����(�h�).�����iF2)���Cho�Gose�a�maximal�subalgebra��h��of��g�.�~Then��N����g����(�h�)�is�a�subalgebra�whic���h,�ًb�y���part�1,�����iFprop�Gerly�z�con���tains��h�.��Hence��N����g����(�h�)�{=��g�zIJso�that��h��is�an�ideal�in��g�.�The�quotien���t��g�=�h��th�us�mak�es�����iFsense�UUand�con���tains�no�prop�Ger�nonzero�subalgebras,�hence�it�m�ust�ha�v�e�dimension�1.�����iF3)�UULetting��h��b�Ge�as�in�part�2,�there�exists��z�7��2���g�8���h�UU�suc���h�that��g��=��h�8�+��k�P�:z�p��.�q�Let��<C�����W�*��=���f�x��2��V����:��h�:x��=�0�g���V��9:�����iF�Since��pdim���Y�h��<���dim��H��g�p�the�induction�h���yp�Gothesis�implies�that��W�W�6�=��0.���Since��h��is�an�ideal,�v��g��lea�v�es�����iF�W����in���v��q�arian�t.���In�^particular��z�΢�lea���v�es�^�W��in�v��q�arian�t�^so,�`8since��z�΢�is�a�nilp�Goten���t�endomorphism,�there�����iFm���ust�`b�Ge�some��x���2��W�����@f�0�g�`�suc�h�that��z�p�:x���=�0.��Th�us�`there�is�some��x��suc�h�that��g��annihilates��x�,�����iFas�UUclaimed.���fR.��ff����d�ff�Y��ff����ff����������iF�Theorem��T2.2.25�(Engel).���o���A��,lie��^algebr��}'a��g��is�nilp�otent�i�the�image�of���ad��%�:���g��!���Der���(�g�)��^�c�onsists�����iFof���nilp��}'otent�endomorphisms.��Ze�����iFPr��}'o�of.�������(�)�)��$�This���follo���ws�immediately�from�the�denitions.��@P(�(�)��\�By�the�lemma�there�exists��z�7��2���g�����iF�suc���h��jthat�[�g�;���z�p��]��=�0��jso��Z���(�g�)���6�=�0��jand�th�us��dim��2��g�=��q�Z���(�g�)���<���dim��n�g�.�I�Since��j�g�=�Z���(�g�)�has�nilp�Goten���t�image�����iFin��p8Der��p9(�g�=��q�Z���(�g�))�p8w���e�ma�y�apply�induction�to�conclude�that��g�=��q�Z���(�g�)�is�nilp�Goten�t.��pIt�follo�ws�that��g�����iF�is�UUnilp�Goten���t.���bn���ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Corollary��T2.2.26.���I'b�Supp��}'ose���g�i����gl�(�V�8�)��and�that��g��c��}'onsists�of�nilp�otent�endomorphisms.���Then�����iFther��}'e�=sexists�a�
ag�stable�under��g�.�|�In�p�articular,�N�ther�e�is�a�b�asis�of��V�vW�with�r�esp�e�ct�to�which�every�����iFelement���of��g��is�upp��}'er�triangular.��Ze�����iFPr��}'o�of.������F��*�rom��#the�lemma�w���e�kno�w�that�there�is�some��x�3�2��V���suc�h��#that��g�:x�3�=�0.�42Th�us��#�g��acts�on�����iF�V�q=k�P�:x�.�fBy�2"induction�there�is�a�
ag�in��V�=k�P�:x��stable�under�the�action�of��g�.�fLift�0�to��V�k�to�obtain�����iFthe�UUrequired�
ag.���K�ff����d�ff�Y��ff����ff����!������iF�2.3����Lie's�L�theorem��/���iF�In�UUthis�section�the�base�eld��k���will�b�Ge�assumed�to�ha���v�e�UUc�haracteristic�0.�������iF�Theorem��T2.3.1�(Lie).���]<��L��}'et�(�V�a��b�e�a�nite�dimensional�ve�ctor�sp�ac�e�and�let��g��b�e�a�solvable�lie�����iFsub��}'algebr�a�l�of��gl�(�V�8�)�.���Then�ther��}'e�is�a�b�asis�of��V����with�r�esp�e�ct�to�which�every�matrix�in��g��is�upp�er�����iFtriangular.�������iF�Corollary��T2.3.2.���Cgd�Supp��}'ose����g��is�a�nite�dimensional�solvable�lie�algebr�a.��tThen�ther�e�exists�an�����iFasc��}'ending���chain�of�ide�als��Ze����۲0�����a����1��C����a����2�����������8���a����n��8����g��Ze���iF�with����dim���=�a����i��d�=���i�.�������iFPr��}'o�of.������The�+�image�of��g��in��Der���r�g��is�solv��q�able�so�there�is�a�basis��b����1��|s�;����:�:�:����;���b����n���G�with�resp�Gect�to�whic���h�it�����iFis��upp�Ger�triangular.�<^T��*�aking��a����i��	f�to�b�e�the�subspace�spanned�b���y��b����1��|s�;����:�:�:����;���b����i��	f�completes�the�pro�of.���
}*��ff����d�ff�Y��ff����ff���������Š���@�����&iF�20��T�CHAPTER�UU2.��LIE�ALGEBRAS����ٍ��vn���&iF�2.3.1��O�FSome��remarks�on�Jordan�and�rational�canonical�form.��uT��&iF�Let�8p�A��b�Ge�an��n�����n�8p�matrix�o���v�er�8pa�eld��k���and�let��V�qT�b�e��n��dimensional�v���ector�space�o�v�er��k�P��.�h%When����&iF�k��ٲis��Balgebraically�closed�then��A��is�conjugate�to�a�matrix�whic���h�is�a�blo�Gc�k�direct�sum�of�jordan����&iFblo�Gc���ks.��4This�h�is�the��jordan��canonical�form�hϲof��A�.�A�hʵk��s��Eܵk��f�jordan�blo�Gc���k�is�the�sum�of�a�scalar����&iFm���ultiple��of�the�iden�tit�y�with�a�nilp�Goten�t�matrix�whic�h�has�ones�directly�ab�Go�v�e�the�diagonal�and����&iFzero�Ges�Welsewhere.�wThe�jordan�canonical�form�need�not�b�e�dened�o���v�er�Wthe�same�eld�as��A�.�wF��*�or����&iFexample,�UUlet��A���=������b�����UU���	�0����p��1����.���	1����q0����������b���� F�.�q�Then�UUthe�jordan�canonical�form�of��A��is���(��������	w��i�����0���!ƍ���0���:��i�����N�)���1�.���䍍��&iF�Theorem��T2.3.3�(Jordan).�����U�If�K�x���2���End���0(�V�8�)��then��x��=��x����s��x�+��>�x����n��	�r�with��x����s���.�diagonalizable�and��x����n�����&iF�nilp��}'otent.�]F��;�urthermor�e,�O��x����s���=�װ�p�(�x�)�*a�and��x����n��	I.�=��q�[ٲ(�x�)��with��p��and��q��:�p��}'olynomials�without�c�onstant����&iFterm.����5iF�When��޵k�u�is�not�algebraically�closed�one�has�the��rational�/2canonical�form�.�A�The���can�b�Ge�easily����&iFwritten���do���wn�once�one�kno�ws�the��elemen��9tary�]divisors��of��A�.�N�These�are�a�list��f�p����:��e���1���l��1���2k�;����:�:�:����;���p���~���e����k�������k����j�g��of����&iFp�Go���w�ers��Fof�irreducible�p�olynomials.�Q�There�is�a�w���a�y��Fto�decomp�ose��V�.*�as�a�direct�sum��V����1���7���x��������/�xĵV����k�����&iF�suc���h�UUthat��p����:��e���i���;Z��i���
˘�is�the�minimal�p�Golynomial�of��A��on��V����i��TL�.��dr����&iF�Example���2.3.4.���l�Let��qҍ��i�A���=�����Z���0����@������d���N �i������1���/�,1�������0������i���/�,�0�������0�����0���/�,1�������Z��4�-�1����4�-A����?*ֵ:��:���&iF�The�UUelemen���tary�divisors�of��A��are��x���^��2���S�+�8�1�and��x����1.�q�The�rational�canonical�form�is�th���us��l����Z�����0������@������d����̱�1����̲0�����B0�������̱0����̲0����̳��1�������̱0����̲1�����B0�������Z���ҫ1������A�����{�:����5iF�The�UUjordan�canonical�form�of�the�matrix����оz�A���=�����Z���0����@������d�����1����2���)�7�������0����1���)�1�������1����0���)�2�������Z��.��1����.�A��������&iF�is��zdiagonal�with�en���tries�corresp�Gonding�to�the�ro�ots�of��m�(�x�)��=�(�x��,�+�1)(�x���^��2��	����5�x��+�3).�U)The��zrational����&iFcanonical�UUform�is���������Z���)!�0�����)[email protected]������d�����"��1����A0�����0�������̱0����A0�����B��3�������̱0����A1�����5�������Z��wa�1����waA�����
�:��gǍ���&iF�Example���2.3.5.���l�Let�UU�A=���\q��B��������k���ګ�b�Ge�an��n�8���n�UU�matrix.�q�Let��#�-�����A���=�����V���0������B����B��fi��@������d�����0���N!�i���)��0���;��0�������1����0���)�0���;��0�������0����0���)�0���8���i��������0����0���)�1���;��0�������V��C�.�1������C�.C����C�.C��fi��C�.A����N*׵:��$���&iF�Then��the�elemen���tary�divisors�of��A��o�v�er��Q�(�i�)�are��p����1��|s�(�x�)��=��x���^��2�����w�i�ᷲand��p����2���(�x�)��=��x���^��2���+��w�i�ᷲand��A��is����&iFin�N8rational�canonical�form�o���v�er�N8�Q�(�i�).�ohOn�the�other�hand��x���^��4����+�*�1�is�the�only�p�Gossible�elemen���tary����&iFdivisor�UUof��A��if��A��is�dened�o���v�er�UU�Q��and�the�rational�canonical�form�of��A��o���v�er�UU�Q��m���ust�then�b�Ge��#%׍�����V��͌��0������͌�B����͌�B��fi��͌�@������d����L��0����L�0����L�0���L���1�������L�1����L�0����L�0���0B0�������L�0����L�1����L�0���0B0�������L�0����L�0����L�1���0B0�������V��ҫ1�������C�����C��fi���A����~{�:��#l�5iF�It���is�p�Gossible�for�a�matrix�to�ha���v�e���a�c���haracteristic�p�olynomial�whic���h�is�dened�o�v�er��k�I��but�for����&iFthe�UUmatrix�to�not�b�Ge�conjugate�to�a�matrix�o���v�er�UU�k�P��.�q�F��*�or�example,�let�����̆�A���=�����V���0������B����B��fi��@������d���N �i�����0���,��0���Aܶ0�������0���N!�i���,���0���Aܶ0�������0����0���)���i���Aܶ�1�������0����0���,��0���>�-��i�������V��I�?�1������I�?C����I�?C��fi��I�?A����Tc�:�����3��Š���@������iF�2.4.��CAR��*�T�AN'S�UUCRITERION��;�21����ٍ��vn���iFThen���the�minimal�p�Golynomial�is�(�x�U���i�)(�x��+��i�)���^��2��


�62����Q�[�x�].�	p�The���c���haracteristic�p�olynomial�is�����iF(�x�8���i�)���^��2��|s�(�x��+��i�)���^��2��C��2���Q�[�x�].��E�����iF�Lemma��T2.3.6.���9��If�탵x���2��gl�(�V�8�)��and��x��=��x����s��b�+��(�x����n��_�then���ad��
{�(�x�)�=��ad��
US(�x����s��F:�)��(+��ad��]c(�x����n��q~�)��is�the�de��}'c�omp�osition�����iFof����ad��""(�x�)����into�its�semisimple�and�nilp��}'otent�p�arts.�������iFPr��}'o�of.������It�rsuces�to�v���erify��*�,�Ozusing�an�explicit�computation,�that�if��y�pv�2���gl�(�V�8�)�is�diagonalizable�����iFthen��UUad��
�(�y�[ٲ)�UUis�diagonalizable.������ff����d�ff�Y��ff����ff�����K�����iF�Lemma��T2.3.7.���9��Supp��}'ose�J��A��is�a�nite�dimensional��k�P��-algebr�a.��If��x���2���Der��q��A�J��then��x����s��F:�;���x����n��8��2����Der���A�.�������iFPr��}'o�of.������This��is�pro���v�ed��b�y�using�the�jordan�decomp�Gosition�for��x�,��Apic�king�a�basis�for��A��and�then�����iFw���orking�UUout�what��x����s�����m�ust�do�and�hence�v�erifying�that��x����s�����is�a�deriv��q�ation.���U���ff����d�ff�Y��ff����ff����!������iF�2.4����Cartan's�L�Criterion��������iF�Theorem��T2.4.1�(Cartan's�criterion).����[+�L��}'et�,�g��b�e�a�lie�sub�algebr�a�of��gl�(�V�8�)�.��fThen���T��*�r��Se(�xy�[ٲ)��J=�0�����iF�for���al���l��x���2��g����and�al�l��y�"�2���[�g�;����g�]��i��g��is�solvable.�������iF�Corollary��T2.4.2.���Cgd�L��}'et��X�g��b�e�a�nite�dimensional�lie�algebr�a.���If�for�al���l��x�~ܸ2��g��X�and�al�l��y�ڵ�2�~ܲ[�g�;����g�]�,������iF�T��*�r����(�ad��
�;(�x�)����ad��8�(�y�[ٲ))��=�0����then��g��is�solvable.�������iFExample���2.4.3.���6�Using��ICartan's�criterion�w���e�v�erify�that�the�follo�wing�3�dimensional�lie�algebra�����iFis��-solv��q�able.�dNLet��g��b�Ge�the�lie�algebra�with�basis��x;���y�[�;�z�p��,��cand��-m���ultiplication�[�x;���y��]�M�=��z�p��,��c[�x;���z��]�M�=��y��,�����iF[�y�[�;���z�p��]��=�0.�_Then�[�g�;��g�]�is�spanned�b���y��y�x߲and��z�p��.�_T��*�o�v�erify�Cartan's�criterion�w�e�need�to�c�hec�k�that������iFT��*�r����(�ad��
�;(�a�)����ad��8�(�b�))��=�0�UUfor��a���2�f�x;���y�[�;�z�p��g�UU�and��b���2�f�y�;���z�p��g�.�q�This�UUis�easily�c���hec�k�ed�UUwith��".���<�ad��!�7(�x�)��=�����Z���0����@������d�����0����0���)�0�������0����0���)�1�������0����1���)�0�������Z��.��1����.�A����8�ŵ;�����ad�� 8�(�y�[ٲ)�=�����Z���0����@������d���j��0���"N80���1N90������j�0���"N80���1N90���������1���"N80���1N90�������Z��6N:�1����6N:A����@��;�����ad��(�z�p��)�=�����Z���0����@������d���j��0���"N80���1N90���������1���"N80���1N90������j�0���"N80���1N90�������Z��6N:�1����6N:A�����*����iF�2.5����The�L�Killing�form������iF�Giv���en�8�a�nite�dimensional�lie�algebra��g��there�is�a�naturally�dened�symmetric�bilinear�pair-�����iFing�zecalled�the�Killing�form.���In�c���haracteristic�zero�the�Killing�form�is�nondegenerate�i��g��is�����iFsemisimple.�������iF�Denition��T2.5.1.���E��Let����g��b�Ge�a�nite�dimensional�lie�algebra�o���v�er���a�eld.�/�The��Killing�1form��is�����iFthe�UUpairing��E��c*����:��g�8���g���!��k���:��(�x;���y�[ٲ)��7!���T��*�r��
Q(�ad��
�;(�x�)��ad��8�(�y�[ٲ))�:��E���iF�The�UU�radical��of�the�killing�form�is��.����h{���O�p���p���O�fe����㍵����yZ��=���f�x��2��g��:���(�x;���y�[ٲ)�=�0��UUfor�all�� � �y�"�2��g�g�:��E�����iF�Lemma��T2.5.2.���9��L��}'et�F�g��b�e�a�nite�dimensional�lie�algebr�a�and�let��a��b�e�an�ide�al�in��g�.��Then�the�����iFKil���ling���form�on��a��is�the�r��}'estriction�to��a��of�the�Kil�ling�form�on��g�.�������iFExample���2.5.3.���6�The���lemma�is�false�if��a��is�replaced�b���y�an�arbitrary�subalgebra�of��g�.�;?F��*�or�example,�����iFsupp�Gose����a��is�one�dimensional�hence�ab�elian.�z�Then�the�Killing�form�on��a��is�trivial�but�the�����iFrestriction�UUof�the�Killing�form�on��g��to��a��need�not�b�Ge�trivial.�������iF�Theorem��T2.5.4.���A��L��}'et�H�g��b�e�a�nite�dimensional�lie�algebr�a�over�a�eld�of�char�acteristic��0�.��KThen�����iFthe���Kil���ling�form����on��g��is�nonde��}'gener�ate���i��g��is�semisimple.�������iF�Theorem��T2.5.5.���A��L��}'et�q/�g��b�e�a�nite�dimensional�semisimple�lie�algebr�a�over�a�eld�of�char�acter-�����iFistic�*��0�.�^Then�ther��}'e�exist�simple�ide�als��a����i��	�of��g��such�that��g��X�=��a����1��"�����-���������-�a����n��q~�.�^The�*�ide�als��a����i��	�ar�e�����iFunique.�����D���Š���@�����&iF�22��T�CHAPTER�UU2.��LIE�ALGEBRAS����ٍ��vn����&iF�Pr��}'o�of.���E���Let��{�a��b�Ge�a�minimal�nonzero�ideal�of��g�.�89Let��a���^��?��	�X�=�5W�f�x��2��g��:���(�x;����a�)�=�0�g�.�Then��{�a�d��\��a���^��?��
W|�is����&iFcon���tained�Tbin�the�radical�of����and�is�hence�0�b�Gecause��g��is�semisimple.�qvTh�us��g���=��a�6����a���^��?����.�qvSince�Tb�a����&iF�is� �a�minimal�ideal�and����restricted�to��a��is�nondegenerate,�+,�a��m���ust�b�Ge�simple.�`6By�induction��a���^��?��	ࣲis����&iFa�UUdirect�sum�of�simple�ideals�(these�are�also�ideals�of��g�).����H���ff����d�ff�Y��ff����ff����퍍��&iF�Theorem��T2.5.6.���w��If�a�g��is�a�semisimple�lie�algebr��}'a�in�char�acteristic�0,�[email protected]�the�adjoint�r�epr�esen-����&iFtation����ad���::���g��!���Der��q��g����is�an�isomorphism.��;�����&iFPr��}'o�of.���E���Because�묵��is�nondegenerate,���Der���w�g��splits�as�a�direct�sum��Der���U�g���=��ad��
US(�g�)�e����a�묲for�some�ideal����&iF�a�IJof��Der��*m�g�.��Th���us�[�a�;�����ad��8�(�g�)]�
�=�0��so�for�an�y���n��2�
��a��and��x��2��g�,��`0�=�[��Ҫ;�����ad��8�(�x�)]�=��ad��
�(��`�x�).��Since��ad����is����&iFinjectiv���e�UUw�e�conclude�that���'��=��0.�q�Th�us��a���=�0,�as�required.����a��ff����d�ff�Y��ff����ff���� B/���&iF�2.6��J��Basic�L�facts�ab�qout�represen���tations�����&iF�Throughout�UUthis�section�let��g��b�Ge�a�lie�algebra�o���v�er�UUa�eld�of�c���haracteristic�0.������&iF�Denition��T2.6.1.���{��A� ��represen��9tation� Ųof�a�lie�algebra��g��on�a�v���ector�space��V�Y��is�a�lie�algebra����&iFhomomorphism�I�'�^��:��g��!��gl�(�V�8�).�Og�V��IJis�a��mo�Q�dule��o���v�er��g��(w�e�denote�the�action�of��g��on��V��IJb�y����&iF�x:v��=��̵'�(�x�)�v�[ٲ.)���V�	��is���called��irreducible��if�it�has�precisely�t���w�o���submo�Gdules�(itself�and�0).��V�	��is����&iF�completely���reducible��if��V�?��is�a�direct�sum�of�irreducible�submo�Gdules�(equiv��q�alen���tly��*�,�3�if�ev�ery����&iFsubmo�Gdule�UUsplits).������&iF�Lemma��T2.6.2�(Sc��9h�ur).����,��L��}'et���'���:��g��!��gl�(�V�8�)��b��}'e�irr�e�ducible.��JThen�the�only�endomorphisms�of��V����&iF�which���c��}'ommute�with��'�(�g�)��ar�e�the�sc�alars.������&iFPr��}'o�of.���E���The��%lemma�follo���ws�from�the�simple�observ��q�ation�that�since��V�7	�is�irreducible�an�y��g�-mo�Gdule����&iFhomomorphism���V���!�t	�V����m���ust�b�Ge�either�an�isomorphism�or�0.��Supp�ose�� ��is�an�endomorphism����&iFof�L��V�8�.�n�Let����b�Ge�an�eigen���v��q�alue�of�� �[ٲ.�Then����comm���utes�with��'�(�g�)�so�� ��#��'J���comm�utes�with��'�(�g�).����&iFBut�UU� �����8���has�rank��<����dim��q�(�V�8�)�so�� ���8����=�0.�q�This�UUsho���ws�that�� ��.�is�a�scalar.���N׀��ff����d�ff�Y��ff����ff����.����&iF�2.6.1��O�FDualit��y��and�tensor�pro�`ducts��uT��&iF�Let�8�g��b�Ge�a�lie�algebra�and�let��V�E�b�e�a��g�-mo�dule.�YhW��*�e�giv���e�the��dual��v�ector�space��V��8��^����	��=���Hom���q(�V��9;���k�P��)����&iFthe���structure�of��g�-mo�Gdule�as�follo���ws:�u�x:f���(�v�[ٲ)��2=���f��(�x:v�[ٲ),��ifor����x��2��g�,��f����2��V��8��^�����Ȳ,�and����v���2��V�8�.���This����&iFgiv���es�UU�V��8��^����
'�the�structure�of��g�-mo�Gdule�since��J���-
�[�x;���y�[ٲ]�:f���(�v��)��=���f��([�x;���y�[ٲ]�:v��)��=���f��(�x:y�[�:v�����8�y�:x:v��)��=��x:f��(�y�[�:v��)�8���y�[�:f��(�x:v��)��=���y�[�:x:f��(�v��)�8�+��x:y�[�:f��(�v��)�:����5iF�Let�ZߵV��òand��W��n�b�Ge��g�-mo�dules.��eThe�tensor�pro�duct��V�uu�
�<��W��n�is�giv���en�the�structure�of��g�-mo�dule����&iFas�UUfollo���ws.�q�If��v�"�2���V�8�,��w���2��W�c��,�and��x��2��g��then��x:�(�v����
�8�w�D�)�=�(�x:v�[ٲ)��
��w�}ò+��v����
��(�x:w�D�).������5iFThere���is�a�canonical�isomorphism��V����
�c�V��8��^�������T΍���O����
ln���0E���
z��=������2������
[������
�!�����G�End��,1�(�V�8�)�giv���en�b�y�sending��v���
�c�f��.�to�the�endo-����&iFmorphism�UUwhic���h�sends��w��8�to��f���(�w�D�)�v�[ٲ.�����&iF�2.6.2��O�FCasimir��elemen��t��uT��&iF�Giv���en���a�faithful�represen�tation��'�l��:��g��!��gl�(�V�8�)���of�a�semisimple�lie�algebra��g�,��oand�a�basis�for��g�,����&iFone��8asso�Gciates�a�particular�elemen���t��c����'��	�2��T��End��[email protected](�V�8�)�called�the��Casimir��elemen�t�of��'�.�pqWhen�the����&iFrepresen���tation�UU�V��9�is�irreducible�the�Casimir�elemen�t�relates�the�dimensions�of��V��9�and��g�.����5iFFix�;�a�faithful�represen���tation��'�Fֲ:��g��!��gl�(�V�8�).�$�Dene�;�a�symmetric�bilinear�form�����(�x;���y�[ٲ)�F�=�����&iFT��*�r��0�(�'�(�x�)�'�(�y�[ٲ)).�|}Let�X�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n���e�b�Ge�a�basis�for��g��and�let��y����1���;����:�:�:����;���y����n���e�b�Ge�the�dual�basis�with�resp�ect����&iFto�UUthe�form�����.�q�The�Casimir�elemen���t�is���n���O�c����'�����=���������X����㉵'�(�x����i��TL�)�'�(�y����i���)���2���End����(�V�8�)�:��J�����&iF�Prop�Q�osition��T2.6.3.����kI�c����'��	Vf�c��}'ommutes���with��'�(�g�)�.��;���5iF�If��v�'��is�irreducible�(in�addition�to�b�Geing�faithful)�then�b���y�Sc�h�ur's�lemma�it�follo�ws�that��c����'�����&iF�m���ust�UUb�Ge�a�scalar.�q�Since������@T��*�r�����(�c����'����)��=��������X�����㉲T��*�r��1�(�'�(�x����i��TL�)�'�(�y����i���))��=��dim��n�g��,̍�&iF�w���e�UUsee�that��c����'�����=���dim��n�g�=�����dim�����V�8�.�����W���Š���@������iF�2.7.��REPRESENT��*�A�TIONS�UUOF��SL�(2)��?023����ٍ��vn����iF�2.6.3���FW���eyl's��theorem��uT�����iF�Theorem��T2.6.4�(W��
�eyl).���gR�A���ny���nite�dimensional�r��}'epr�esentation���of�a�semisimple�lie�algebr��}'a�is�����iFc��}'ompletely���r�e�ducible.��������iF�Theorem��T2.6.5.���A��L��}'et�o��g��b�e�a�semisimple�lie�algebr�a,���and��'�U��:��g��!��gl�(�V�8�)�o��a�nite�dimensional�����iFr��}'epr�esentation.���If��r�x���=��x����s��yò+�3��x����n��	��is�the�abstr��}'act�Jor�dan�de�c�omp�osition�of��x��then��'�(�x����s��F:�)�3�+��'�(�x����n��q~�)��is�����iFthe���usual�Jor��}'dan�de�c�omp�osition�of��'�(�x�)���2��gl�(�V�8�)�.�� ����iF�2.7����Represen���tations�L�of��C�%n�ff
eufm10�Csl�8����ffffcmr14�(2)�������iF�The��lie�algebra��sl�(2)�has�a�basis��h�]b�=������b�����UU����a�1�����0���؍���a0���`���1�����G֟��b����"�-�,�F�x��=���(��������
뙱0�����1���؍��
�0�����0�����V
�)���9�,��y��;�=���(��������
뙱0�����0���؍��
�1�����0�����V
�)���9�,�so��that�[�h;���x�]�]b=�2�x�,�����iF[�h;���y�[ٲ]��=���2�y��,�UUand�[�x;���y��]��=��h�.�����iFSupp�Gose��Q�V�(5�is�an��sl�(2)-mo�dule.�?�Since��h��is�diagonal�the�ab�o���v�e��Qtheorem�implies�that��h��acts�����iFdiagonally�UUon��V�8�.�q�Th���us��V��9�is�a�direct�sum�of�eigenspaces:��� ���<��V����=��������2�����V����������iF�where��h�V������ݢ�is�the�eigenspace�(also�called��w��9eigh�t�space�)��hof��V��L�with�eigen���v��q�alue�(also�called��w��9eigh�t�)�����iF����2��k�P��.�q�W��*�e�UUcan�completely�describ�Ge�the�irreducible�represen���tations�of��sl�(2).�������iF�Theorem��T2.7.1.���A��L��}'et���V����b�e�an�irr�e�ducible��g���=��sl�(2)��mo��}'dule.���Then���������X(a)����	iHIf���m���=��dim��n�V�qĸ�8�1��then����tw��V����=���V����m��	�{��8�V����m��2��
���������g��V���:��(�m��2)�� ����V�����m�����	iH�and����dim���=�V����m��2�i��ps�=��1����for�e��}'ach��i�.����������1(b)����	iHThe�j�action�of��g��on��V����is�given�explicitely�by�the�fol���lowing�formulas.��Cho��}'ose�a�nonzer�o����	iHve��}'ctor���v����0��C��2���V����m�����;�set��v�����1��
���=�0�,��v����i��d�=�(1�=i�!)�y��[ٟ�^��i���%�:v����0��Z�(�i����0)�.�������
X(1)����iH�h:v����i��d�=��(�m�8���2�i�)�v����i��TL�,��������
X(2)����iH�y�[�:v����i��d�=��(�i�8�+�1)�v����i�+1��
tO�,�������
X(3)����iH�x:v����i��d�=��(�m�8���i��+�1)�v����i��1��ɠ�(�i����0)�.�� ����iF�2.8����The�L�ro�qot�system�arising�from�a�toral�decomp�osition������iF�A�UUtoral�subalgebra��h�����g�UU�is�a�subalgebra�all�of�whose�elemen���ts�are�semisimple.�������iF�Lemma��T2.8.1.���9��A���ny���tor��}'al�sub�algebr�a��h�����g����is�ab�elian.�������iFPr��}'o�of.������Supp�Gose��<�x��B�2��h�,��then�since��ad���)w���h��c�(�x�)�is�diagonalizable�it�suces�to�sho���w�that�the�only�����iFeigen���v��q�alue��Tof��ad���
K����h��&{�(�x�)�is�0.�?Supp�Gose��y�"�2���t��is�a�(nonzero)�eigen�v�ector�of��ad���
K����h��&{�(�x�)�so�that��ad���
K����h���(�x�)(�y�[ٲ)��=�����iF�y�y�for�Bsome���L�2��k�P��.�ɎThen��Bad���}(�y�[ٲ)(�x�)�=�[�y�;���x�]�=���[�x;�y�[ٲ]�=�����ad��8�(�x�)(�y�[ٲ)�=���y�y�is�Ban�eigen���v�ector�����iFof���&ad��ia(�y�[ٲ)��&with�eigen���v��q�alue�0.�9Since��ad��(�y�[ٲ)�is�diagonalizable�it�is�p�Gossible�to�write��x��as�a�sum�of�����iFeigen���v�ectors��0of��ad��!k(�y�[ٲ),����x�.0�=������P���
�k������a��������v�������,�with��0�v������	F�an�eigen���v�ector��0of��ad��!k(�y�[ٲ)�with�eigen���v��q�alue���	z�.�+YThen������iFad�����(�y�[ٲ)(�x�)�=������P���
�R�����ܵ�	za��������v���������=���y��.���Since����t��is�a�direct�sum�of�the�eigenspaces�of��ad���(�y��)�and��y�ݔ�lies�in�����iFthe��Azero�eigenspace�it�follo���ws�that,��<for�eac�h���	z�,��<if��a������	;-�6�=��K0�then����Ų=�0.�͋But�this�exactly�means�����iFthat�UU��y�"�=��0�and�hence����=�0,�as�claimed.���ڝo��ff����d�ff�Y��ff����ff����a���iFLet�s��h��b�Ge�a�maximal�toral�subalgebra�of��g�.�̱Then��h��acts�on��g��via�the�adjoin���t�represen�tation.�����iFSince����h��is�a�comm���uting�family�of�semisimple�endomorphisms�its�action�on��g��is�sim�ultaneously�����iFdiagonalizable�UUso��
qˍ��vs�g���=����Ȫ����M��������2�h���������X�g�������j����iF�where����e*��g������y��=���f�x��2��g��:��h:x��=���	z�(�h�)�x��UU�for�all��h���2��h��;��g�:��#���iF�By�UUthe�lemma��h�����g����0��|s�.�q�In�UUfact�there�is�equalit���y��*�.�����m̠�Š���@�����&iF�24��T�CHAPTER�UU2.��LIE�ALGEBRAS����ٍ��vn����&iF�Prop�Q�osition��T2.8.2.����kI�g����0��C��=���h�����5iF�Another���basic�fact�is�that�the��g�������߲satisfy�certain�strong�orthogonalit���y�prop�Gerties�with�resp�ect����&iFto�UUthe�Killing�form.������&iF�Prop�Q�osition��T2.8.3.����kI�L��}'et����	z;����N4�2���h���^����,��and�supp�ose���BZ�+�8��N4�6�=��0�.���Then���(�g��������;����g������d�)�=�0�.������&iFPr��}'o�of.���E���Cho�Gose�g��h��s�2��h��suc���h�that�(��N~�+�E����)(�h�)��6�=�0.��jThen�if��x��2��g������	m�and��y�AL�2��g������d�,�lasso�Gciativit���y�of�the����&iFKilling���form�giv���es���([�h;���x�]�;�y�[ٲ)�<�=����([�x;���h�]�;�y��)�<�=����(�x;����[�h;�y��]),���so����	z�(�h�)��(�x;�y��)�<�=������(�h�)��(�x;���y��),���or����&iF(��BZ�+�8����)(�h�)��(�x;���y�[ٲ)��=�0.�q�This�UUforces���(�x;�y�[ٲ)��=�0.�������ff����d�ff�Y��ff����ff�����>����&iF�Prop�Q�osition��T2.8.4.����kI�The����g������
p|�(���߸6�=��e0�)�al���l�have�dimensional����1�.��If��g������
�G�6�=�0��then��g��������H�6�=�0�.����&iFF��;�urthermor��}'e,����g����c��۲=��0��for�al���l�c�onstants��c���6�=�0�;�����1�;��1�.����5iF�Let��������h���^�����~�b�Ge�the�set�of�nonzero�(generalized)�eigen���v��q�alues�for�the�action�of��h��on��g�.���The����&iFKilling�g0form�restricted�to��h��is�nondegenerate�and�giv���es�rise�to�a�nondegenerate�bilinear�form������&iF�on�n��h���^������.���The�ro�Gots��m���ust�span��h���^�����.���Up�Gon�c���ho�osing�a�basis������1��|s�;����:�:�:����;�������n��b�2��i��for��h���^������it�can�b�e�seen����&iFthat�z�eac���h�elemen�t�of��is�a��Q�-rational�linear�com�bination�of�the������i��TL�.��F��*�urthermore���
�is�p�Gositiv�e����&iFdenite��Fas�a�bilinear�form�on�the��Q�-rational�span�of�the������i��TL�.�C�Th���us,���up�Gon�tensoring�with��R�,�w���e����&iFobtaining��a�collection�of�v���ectors��inside�a�real�Euclidean�space��E����.�tThe�pair�(�;���E��)�forms�a����&iF\ro�Got�UUsystem"�b�ecause�it�satises�the�prop�erties�en���umerated�in�the�follo�wing�theorem.������&iF�Theorem��T2.8.5.���w��L��}'et����g�,��h�,���,�and��E�'t�b�e�as�ab�ove.���Then�������5iG�����?iH�����sp��}'ans��E�'t�and��0���62���.��|�����5iG�����?iH�If����В�2�����then�����2�����but�no�other�sc��}'alar�multiple�of����a�is�in���.�������5iG�����?iH�If����	z;����N4�2����,�then��5����Bi����������<$��l�2(���;����	z�)��l�w�fe��	(֍�`(��	z;�����)�����"vc��В�2����:��NǍ����5iG�����?iH�If����	z;����N4�2����,�then��������<$���(D�2(���;����	z�)���(D�w�fe��	(֍�`(��	z;�����)�����	���2���Z�:�������&iF�Exer��}'cise���2.8.6��(II.8.4)�.�����Pro���v�e�0{that�eac���h�maximal�toral�subalgebra�of��sl�(2)�is�one�dimensional.���>����&iF�Pr��}'o�of.���E���sl�(2)�
is�semisimple�so�nonzero�maximal�toral�subalgebras�m���ust�exist.�}�Since�toral�sub-����&iFalgebras�Z�are�ab�Gelian�it�suces�to�sho���w�that��sl�(2)�has�no�2�dimensional�ab�elian�subalgebras.����&iFSupp�Gose�"��a;���b�X�2��sl�(2)�span�a�2�dimensional�ab�Gelian�subalgebra.���Let��c��2��sl�(2)�suc���h�that��a;���b;�c����&iF�together�?hspan��sl�(2).�jxThen��sl�(2)��=�[�sl�(2)�;����sl�(2)]�?his�spanned�b���y�[�a;�b�]��=�0,�C�[�a;�c�],�and�?h[�b;�c�],�whic���h�?his����&iFabsurd.���vg���ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Exer��}'cise���2.8.7��(II.8.10)�.�����R�Pro���v�e���that�there�are�no�four,��Xv���e,�or���sev�en�dimensional�semisimple����&iFlie�UUalgebras.������&iF�Pr��}'o�of.���E���First�c�supp�Gose�a�semisimple�lie�algebra��g��has�dimension�4.�!TThen��g���=��h�,��Aor�c��g��=��h�V1���g������	���g���������,����&iFor�͊�g���=��g�������0���
�N��)L�g��������0���O���g�������1������g��������1�����:�͊�The�rst�case�is�imp�Gossible�b�ecause��g��is�not�ab�elian.�D�The�second����&iFcase�^�is�imp�Gossible�b�ecause�then��h���^�������has�dimension�2�so����=��f��	z;�������g�^ٲcan�not�span�it.��RThe�third����&iFcase�UUis�imp�Gossible�b�ecause�nonzero�toral�subalgebras�alw���a�ys�UUexist.����5iFNext�UUsupp�Gose��g��has�dimension�5.�q�Let��h���=��dim��n�h�UU�and�let��r�5�=��#.�Then��r���+�8�h���=�5�UUb�Gecause�������(�g���=��h�8�����Њ����M����7����2����/P�g��������:��|��&iF�F��*�urthermore�dԵr���is�ev���en�and��h������r�G=�2�d�since��con�tains�a�basis�for��h���^�������whic�h�has�dimension��h�.����&iFIf�-��h�/²=�1�then��r�v߲=�4�so��consists�of�4�v���ectors,�c�all�lieing�on�a�line�through�the�origin.���This����&iFcon���tradicts��the�fact�that�if���Zb�2�P��then�������is�the�only�other�scalar�m�ultiple�of������whic�h�lies�in����&iF.�V]If��ܵh��N�=�2�then��r�k�=�3�whic���h�is�imp�Gossible�b�ecause��r�=��is�ev���en.�V]If��h��N���3�then��r�k���2�whic���h�is����&iFimp�Gossible�UUb�ecause�then��h��is�not�����r�=�2.����5iFA�UUsimilar�argumen���t�as�ab�Go�v�e�applies�to�the�case��dim�����g���=�7.����,8��ff����d�ff�Y��ff����ff��������q��Š���@������iF�2.9.��R���OOT�UUSYSTEMS�,�25����ٍ��vn����iF�2.9����Ro�qot�L�systems������iF�Let��|�E��denote�a�nite�dimensional�v���ector�space�equipp�Ged�with�a�p�ositiv���e�denite�symmetric�����iFbilinear�UUform.�������iF�Denition��T2.9.1.���E��A�G�ro�Q�ot�wsystem�\�is�a�a�subset������E�\�suc���h�that�the�follo�wing�four�axioms�are�����iFsatised:��������E�(R1)����	iH�UUis�nite,�spanes��E�,�and�0���62��.��������E�(R2)����	iHThe�UUonly�m���ultiples�of���В�2����are����	z�.��������E�(R3)����	iHIf�UU��В�2����the�re
ection��������	7�lea���v�es�UU�in���v��q�arian�t.��������E�(R4)����	iHIf�UU��	z;����N4�2���,�then���܍���ܸh���;����	z�i���=�����<$���K2(��;��	z�)���K�w�fe��	(֍�`(��	z;���)�����%˳�2���Z�:��MЍ����iF�Prop�Q�osition��T2.9.2.���NkI�L��}'et�������2��+�E��b�e�nonzer�o,�>then�����������,�the�r��}'e
e�ction��thr�ough�the�hyp�erplane�����iFortho��}'gonal���to���	z�,�is�given�explicitely�by������޵��������(����)��=�������8�h��;����	z�i��:�������iF�Pr��}'o�of.������This��maps�xes�the�h���yp�Gerplane�orthogonal�to���"�and�sends����to����	z�.�[8Th���us�it�agrees�with�����iF�������	7�on�UUa�basis�and�hence�m���ust�agree�with����������.������ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Denition��T2.9.3.���E��Let�vi��9���E��b�Ge�a�ro�ot�system.��The��W��
�eyl��^group��W�H�of��is�the�subgroup�of������iFGL����+(�E�)�UUgenerated�b���y�the�re
ections��������	7�with���В�2���.�����iFSince�w�spans��E�,�@�W���can�b�Ge�view���ed�as�a�subgroup�of�the�group�of�p�erm���utations�of�.��-In�����iFparticular,�UU�W�'Ҳis�nite.�������iF�Prop�Q�osition��T2.9.4.���NkI�L��}'et��;���b�e�a�r�o�ot�system�in��E�,���with�Weyl�gr�oup��W��}�.��If���Y�2���	�GL���(�E�)��le�aves�������iF�invariant,���then�����R���[�����������������1��
�e�=������:��@L�(��)������iF�for���al���l����2����.�������iF�Prop�Q�osition��T2.9.5.���NkI�L��}'et�6�b�e�a�r�o�ot�system,�_�and�supp�ose���	z;����uT�2��8���ar�e�such�that��(��	z;������)��8�>��0�.�����iFThen����BZ��8��N4�2����.�������iFPr��}'o�of.������The��
cosine�of�the�angle����'�b�Get���w�een��
�����and���?&�is�giv���en�b�y�the�form�ula��jj��	z�jjjj����jj�����cos���ߵ�5�=��(��;�����)�:�����iF�Therefore,��5�����h���;����	z�i���=�2�����<$��S4�jj���jj��33�w�fe���	(֍jj��	z�jj���������cos��$�ֵ��⍑�iF�hence�I�h���;����	z�ih��;����i��X�=�4��cos���7��^��2��5R��G:�I�Because�(��	z;����)��X�>��0�Ib�Goth��h��;����	z�i��and��h��;������i��are��>��X�0�and�b�Gecause�����iFthey�kHare�b�Goth�in���tegers�and�0�뭵<���cos���O<��^��2��vW��2ʸ��1,�p�their�kHpro�duct�m���ust�b�e�either�1,�p�2,�or�kH3.���Th���us�either�����iF�h���;����	z�i��!�or��h��;������i��m���ust�equal�1.�BIf��h��;������i���=�1��!then��������d�(���)��=���#��z��N4�2��.�BIf��!�h���;�����i��=�1��!then�������z��В�2��������iFso�UU��BZ��8��N4�2���.���[^���ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Exer��}'cise���2.9.6��(III.9.1)�.���c���Let�� �E���^��0���Y�b�Ge�a�subspace�of��E�.�BIf�a�re
ection��������y�lea���v�es�� �E���^��0���in�v��q�arian�t,���pro�v�e�����iFthat�UUeither���В�2���E���^��0��#��or�else��E���^��0���Q�����	z��^��?���{�.�������iF�Pr��}'o�of.������Supp�Gose���E���^��0���ɲis�not�a�subset�of����	z��^��?���{�.��wW��*�e�m���ust�sho�w�that�����2�#�E���^��0���9�.��wBy�assumption�there��
_���iFexists����x���2��E���^��0���̲suc���h�that�(�x;����	z�)��6�=�0.�?2Since��������pu�lea���v�es��E���^��0���̲in�v��q�arian�t�w�e�ha�v�e����������(�x�)��=��x�	_������&h�����(�x;�)��<���ʉfeƟ���(�;�)�����u���В�2��E���^��0���9�.��Lc���iFSince�F�E���^��0����is�a�subspace��x��������������(�x�)�
�=�����&h���ڱ(�x;�)��@۟�ʉfeƟ���(�;�)�����yԵ�"�2��E���^��0���9�.���Since�F(�x;����	z�)��6�=�0�it�follo���ws�that���"�2��E���^��0���9�,�JBas��
$����iFclaimed.���r�K��ff����d�ff�Y��ff����ff��������a��Š���@����ٍ����.��&iF�Chapter�i�3��2����&iF�Algebraic��Num��Dhb���er�Theory��:�����&iF�3.1��J��T����race�L�map���ꍍ�&iF3.2��J��The�L�Discriminan���t�and�Ramication���ꍒ�&m�*********���Be��}'gin�V��;�erie�d�*********��7����&iF�Denition��T3.2.1.���{��Let���K��Ѳb�Ge�a�n���um�b�er��eld�of�degree��n��and�c���ho�ose�an�in���tegral�(i.e.,�o�Z�-mo�dule)����&iFbasis��f�!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��q~�g��for��O����K�����.�P�Suc���h�a�basis�exists�b�Gecause��O����K��
�B�is�a�free��Z�-mo�dule�whose�rank�m���ust����&iFb�Ge�-��n�.�d�Let��f�����1��|s�;����:�:�:����;�������n��q~�g��b�e�the�distinct�em���b�eddings�of��K�䮲in���to�����C�fe�����Q���
�.�d�Then�the��discriminant��of��K��is������|�D����K��
|˲=����det�����(�����i��TL�!����j��6��)������2��C��2���Z���@��&iF�The�-�discriminan���t�is�w�ell-dened�b�Gecause�making�another�c�hoice�of�in�tegral�basis�m�ultiplies��D����K�����&iF�b���y�UUthe�square�of�an�elemen�t�of��Z���^������,�i.e.,�b�y�1.���@����&iF�Denition��T3.2.2.���{��An��nextension��L=K����of�lo�Gcal�elds�is��r��}'amie�d��n�if�the�extension��O����L���t�=�O����K���!�of����&iFin���teger�UUrings�is�ramied.�q�The�extension��C�=�R��is��r��}'amie�d�.������&iF�Theorem��T3.2.3.���w��L��}'et���L=K�K�b�e�an�unr�amie�d�extension�of�lo�c�al�elds.���Then������ͽd�N����=e��:�L=K���p�(�O����䍐G���7s��L����)��=��O����䍐G���7s��K������:���@����&iF�Pr��}'o�of.���E���P���age�l�50�of�[�6��].���[There�is�probably�a�slic�k�Galois�cohomology�pro�Gof�whic�h�I�l�should�w�ork����&iFout.]��������ff����d�ff�Y��ff����ff����n��&iFConsider��dfor�example�the�extension��Q����2��|s�(�i�)�=�Q����2���.�-wThen��d��1���2��Z����䍷����2���	He�can�not�b�Ge�the�norm�of�an�elemen���t����&iFof�UU�Z����2��|s�[�i�]���^����
V�b�Gecause��a���^��2���S�+�8�b���^��2��C��=����1�has�no�solution�mo�d�4.������&iF�Denition��T3.2.4.���{��Let����L=K�U��b�Ge�an�extension�of�n���um�b�er���elds.�McThen�a�place��v��b�of��K�U��is�said�to����&iF�r��}'amify�UU�in��L=K�q�if�the�extension��L����w��y1�=K����v����is�ramied�for�some�place��w��8�of��L��lying�o���v�er�UU�v�[ٲ.������&iF�Theorem��T3.2.5.���w��The���primes��p��which�r��}'amify�in��K�K�ar�e�exactly�the�primes�which�divide��D����K�����.������&iF�Denition��T3.2.6.���{��Tw���o�#extensions��K��?�and��L��of�a�eld��F�~��are��line��}'arly�I�disjoint��if��K�sڸ
����F��	b��L��is�a����&iFeld.����5iFIf��
�K��&�and��L��are�n���um�b�Ger��
elds�with�xed�em���b�eddings��K�(�;���L��������C�fe�����Q���
[email protected]�then��
they�are�linearly�disjoin���t����&iFi��
�@�����[�K�(�:L���:��Q�]�=�[�K�~4�:��Q�][�L��:��Q�]�:���@��&iF�T��*�o�UUsee�this�consider�the�natural�surjection��K����
����Q��*��L���!��K�(�:L�UU�and�coun���t�dimensions.���K����i#26�����y��Š���@������iF�3.2.��THE�UUDISCRIMINANT�AND�RAMIFICA��*�TION��8��27����ٍ��vn�����iF�R��}'emark���3.2.7.���3ŲIf�Td�K���\���L�p0�=��Q��then��K���and��L��need�not�b�Ge�linearly�disjoin���t.�n�F��*�or�example,��(let�����iF�K�~4�=���Q�(2�������33�1��33�x�W	g ��P�3����M��)��and��L��=��Q�(�����3��|s�;����2�������33�1��33�x�W	g ��P�3����M��).�YFThen��K�\��\��ݵL��=��Q��but�[�K�(�:L��:��Q�]�=�6�so��K���and��L��are�not�linearly�����iFdisjoin���t.���A���iFIf�Ϧ�K��²and��L��are�b�Goth�Galois�then��K�䟸\�-��L���=��Q�Ϧ�i��K��and��L��are�linearly�disjoin���t.�E8This�is�b�Gecause�����iFthe�UUGalois�group�of��K�(�:L��is�the�pro�Gduct��Gal���W(�K�=�Q�)�8����Gal����(�L=�Q�).���Í����iF�Denition��T3.2.8.���E��The�YT�Galois���closur��}'e��of�a�n���um�b�Ger�YTeld��K�p�is�the�minimal�Galois�subeld�of�����C�fe�����Q�������iF�whic���h�UUcon�tains��K���.�q�This�is�the�same�as�the�comp�Gositum�of�all�Galois�conjugates�of��K��.�������iF�Prop�Q�osition��T3.2.9.���NkI�The��primes�which�r��}'amify�in��K����ar�e�the�same�as�the�primes�which�r�amify�����iFin���the�Galois�closur��}'e��L��of��K���.�������iFPr��}'o�of.������The��Oprimes�whic���h�ramify�in��K��k�are�(clearly)�a�subset�of�the�primes�whic�h�ramify�in��L�.�����iFSupp�Gose��the�prime��p����2��Z�۲is�unramied�in��K���.�}YW��*�e�m���ust�sho�w�that��p��is�unramied�in��L�.�}YLet�����iF�H������G��=��Gal��g(�L=�Q�)�4�b�Ge�the�subgroup�corresp�onding�to��K�뢲b���y�Galois�theory��*�.�f�Let��w�yi�b�e�an���y�place�����iFof����L��lying�ab�Go���v�e����p��and�let��v�_�b�e�its�restriction�to��K���.�eYSince��e�(�w�D�=p�)�Nh=��e�(�w�=v�[ٲ)�e�(�v�=p�)���and��p��do�Ges�����iFnot�6�ramify�in��K��ڲ(so��e�(�v�[�=p�)��=�1)�6�w���e�see�that��e�(�w�D�=p�)��=��e�(�w�=v�[ٲ).�g�The�6�inertia�group��I���:�w�08=p���%�of��w�{��has�����iForder��^�e�(�w�D�=p�)��=��e�(�w�=v�[ٲ).�N Since��^�H��\�is�the�Galois�group�of��L=K��z�w���e�see�that��I���:�w�08=v���{�=���I���:�w�08=p��Z�\�b�H����.�Th���us��������[�I���:�w�08=p���G�\�8�H����]��=�[�I���:�w�08=v���c�]�=�[�I���:�w�08=p���g�]�����iFso���I���:�w�08=p��x����H����.�O�Since��p��is�unramied�in�an���y�Galois�conjugate�of��K���the�same�argumen�t�sho�ws�that�����iFan���y�UUconjugate�of��H�%S�also�con�tains��I���:�w�08=p���g�.�q�But��L��is�the�Galois�closure�of��K�q�so��敍��2=�I���:�w�08=p��x���\�����@L�2�G������[�H�����������1��
�e�=��f�1�g�����iF�whic���h�UUsho�ws�that��p��do�Ges�not�ramify�in��L�.����<��ff����d�ff�Y��ff����ff����������iF�Prop�Q�osition��T3.2.10.���T+G�If�Էnumb��}'er�elds��K����and��L��have�r�elatively�prime�discriminants�then�they�����iFar��}'e���line�arly�disjoint.���Í����iFPr��}'o�of.������If��J�K�{f�and��L��ha���v�e��Jrelativ�ely�prime�discriminan�ts�then�so�do�their�Galois�closures,��so�w�e�����iFma���y�+�assume�that��K�⬲and��L��are�Galois.�c�Since�there�are�no�non�trivial�unramied�extensions�of��Q�����iF�and���K�.o�\�wS�L��is�an�unramied�extension�of��Q�,��nw���e�m�ust�ha�v�e��K�.o�\�wS�L�c8�=��Q�.���Because���K�j�and��L��are�����iFGalois�UUthey�m���ust�b�Ge�linearly�disjoin�t.����9;��ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Theorem��T3.2.11.���F���If���K�(�;���L��������C�fe�����Q���
�,�ar��}'e�numb�er�elds�whose�discriminants�ar�e�r�elatively�prime�then�������[B�O����K�}�L���?�=���O����K�����O����L������iF�and���Í����D����K�}�L���?�=���D����:��G�[�L�:�Q�]��"��K�����D����:��G�[�K�}��:�Q�]��"��L���9A�:���Í����iF�Pr��}'o�of.������[�6��][I�GI�I,3]���TV��ff����d�ff�Y��ff����ff����������iF�Example���3.2.12.���;�_�Let�SĵK�~4�=���Q�(����$��p���UW��$��fe�����1����v)�and��F�*��=��Q�(�����P�p���UW���P�fe�E���3����
UX).��Then��D����K��
|˲=���4,��H�D����F��	l��=�12,�and�SĵD����K�}�F�����=�144�����iF(computed��with�pari).��Th���us�the�condition�that�(�D����K�����;���D����F����)���=�1��is�necessary�in�the�previous�����iFtheorem.���������iF�Example���3.2.13.���;�_�Supp�Gose��ɵK�(�;���L�Sٸ��Q��are�n���um�b�Ger�elds�and�that��K�����^��0�����\�q-�L�Sٲ=��Q��for�all�conjugates�����iF�K�����^��0���1�of�ܵK���.��[Let��F�zk�b�Ge�the�Galois�closure�of��K��.��[Must��F�s�\���L�	��=��Q�?�No!�F��*�or��example,�G=consider�����iF�K���=��׿Q�(2���^��1�=�3���ʲ)�u�and��L��=��Q�(�����3��|s�).�҆�L��is�quadratic�and�all�conjugates�of��K�,��are�cubic�so��K�����^��0��ӵ�\�N`�L��=��Q�.�����iFBut�UUthe�Galois�closure�of��K�q�con���tains��L�.��CE��r���*********���End�V��;�erie��}'d�*********������?��Š���@�����&iF�28����CHAPTER�UU3.��ALGEBRAIC�NUMBER�THEOR��*�Y����ٍ��vn���&iF�3.3��J��The�L�Mink���o�wski�Bound��yD���&m�*********���Be��}'gin�V��;�erie�d�*********��`]����&iF�Theorem��T3.3.1.���w��L��}'et����K�(�=�Q��b�e�a�numb�er�eld�having�de�gr�e�e��N���;��discriminant��D����K�����,��and��r����2��54�c�omplex����&iFplac��}'es.���Every���ide�al�class�in���Pic���(�O����K�����)��c�ontains�an�ide�al�of�norm�less�than�or�e�qual�to���э�����<$���mn�N��!���$�w�fe���	(֍�N����r�N��������������`���������<$��㢬�4����w�fe�	(֍����������]n���`�������VR���ݴr���2�����ظ���8���5�p���8���5�fe�d�		ˍ�j�D����K�����j����!�E�:���N����&iF�Pr��}'o�of.���E���See�UU[�6��]�[V,4].���@V��ff����d�ff�Y��ff����ff����������&iF�Example���3.3.2.���l�Let����K����=��q�Q�(�����P�p���UW���P�fe�E���3����
UX).�nThen��N����=�2,�)�D����K���$�=�12,�and����r����2��]�=�0�so�ev���ery�ideal�class�in�����&iFPic��4pd(�O����K�����)�UUcon���tains�an�ideal�of�norm�less�than�or�equal�to��������<$���i2!����e�w�fe	|t�	(֍2���r�2����������>���`���������<$����4���j#�w�fe�	(֍���������Ӭt���`������٥X���ݱ0���Z�����8��=Vp���
�7��=V�fe
�ª��12����UQ=������=V�p���o��=V�fe�ª��3����㈸���1�:�73��7��&iFTh���us��UUPic��\s(�O����K�����)�UUis�trivial.��8t������*********���End�V��;�erie��}'d�*********��%�>���&iF�3.4��J��Cyclotomic�L�Fields��yD������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��`]����&iF�Theorem��T3.4.1.���w��L��}'et���K�~4�=���Q�(�����p����r����	�)��wher�e������p����r���:��is�a�primitive��p���^��r��m��-th�r�o�ot�of�unity.���Then���E�����5iG������?iH�Gal��O	J(�K�(�=�Q�)����T͍�������+3�����=�����
UN(�Z�=p���^��r��m��Z�)���^������,��`\�����5iG�����?iHO����K��
|˲=���Z�[�����p����r����	�]�,�������5iG�����?iH�p����is�total���ly�r��}'amie�d���in��K���,�and�������5iG�����?iH�D����K��
�X�=�٥��p���^��p����r�r�,r��1��ن�(�pr�7��r���1)��7�	�(wher��}'e��$the����sign�holds�when��p���^��r��GG�=�4��or��p����3�q�(�mo�Gd���4)�,���and�the��+����?iH�sign���holds�otherwise.)������&iF�Prop�Q�osition��T3.4.2.����kI�The��fgr��}'oup��(�Z�=p���^��r��m��Z�)���^����
�g�is�cyclic�when��p��e>��2��f�and�is�gener�ate�d�by���1��and��5����&iF�when���p���=�2�.��8t���*********���End�Unverie��}'d�*********��%�>���&iF�3.5��J��Hilb�qert's�L�90��yD������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��`]��&iF�Let�UU�L=K�q�b�Ge�a�nite�Galois�extension.������&iF�Prop�Q�osition��T3.5.1.����kI�F��;�or���every�inte��}'ger��q�[��,���x䍑2 �^������H������^��q����z�(�L=K�(�;���L�)��=�0�.������&iF�Prop�Q�osition��T3.5.2.�����kI�H�����J�����1���g��(�L=K�(�;���L���^������)��=�0�.�����*********���End�Unverie��}'d�*********������D��Š���@������iF�3.6.��KUMMER�UUTHEOR��*�Y�8��29����ٍ��vn����iF�3.6����Kummer�L�Theory��_a��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********������iF�Let��޵K�O��b�Ge�a�n���um�b�er���eld.�<bThen�class�eld�theory�allo���ws�us�to�see�the�ab�elian�extensions�of��K�����iF�b���y�Vllo�Goking�at�the�ideles��J����K�����.�u
Supp�ose�w���e�are�in�terested�only�in�seeing�the�ab�Gelian�extensions�of�����iFexp�Gonen���t�b�dividing�a�xed�p�ositiv���e�in�teger��n�.� �When��K��con�tains�the��n�-th�ro�Gots�of�unit�y��*�,��mextensions�����iFobtained�2|b���y�adjoining�an��n�-th�ro�Got�of�an�elemen�t�of��K�防are�called��Kummer��Aextensions.�f)�Suc�h�����iFextensions�lare�relativ���ely�easy�to�understand�directly�in�terms�of�the�arithmetic�of��K���.��Th�us�w�e�����iFcan���see�the�exp�Gonen���t��n��ab�elian�extensions�b�ecause�they�are�built�up�out�of�Kummer�extensions.�����iFUnderstanding�HKummer�extensions�is�a�k���ey�step�in�pro�ving�the�existence�theorem�of�class�eld�����iFtheory��*�.��@����iFAssume�UUthat������n��8�����K���.�q�T��*�aking�Galois�cohomology�of�the�exact�sequence��I䍑|8J0���!������n��8��!���x䍑o��������K���������������T΍�홴x�7!�x����r�n����2��������������tۍ��������������>�����������������������������l!������x䍑7��������5ܵK������������G�J�!��0���A���iFgiv���es�UUrise�to�an�exact�sequence������[�.0���!��K����������w�=�(�K�����������)������n�����T΍��3���2������8�������	YG!����� `�H����a�����1��"Բ(�K�(�;�������n��q~�)���!���H���
G�����1��Ì�(�K�;���x䍑S����������K���������������)�:�����iF�By�UUHilb�Gert's�Theorem�90,��H���
�V�����1��Qɲ(�K�(�;���x䍑S����������K�����^���������)��=�0�UUso�there�is�an�isomorphism�����я�K����������w�=�(�K�����������)������n�����T΍���O����������0E�����=������2������8�������L�!�����ԲH����՟����1��$H�(�K�(�;�������n��q~�)��=��Hom���q(�Gal���(���x䍑�������K���	5U=K���)�;�����n��q~�)�=��Hom���q(�Gal���(�K����n���=K���)�;�������n���)�����iFwhere��y�K����n����is�the�comp�Gositum�of�all�ab�elian�extensions�of��K�c��whose�exp�onen���t�divides��n�.�9~Therefore�����iFthe�zvdual�of�the�galois�group�of�in���terest�to�us�is��K�����^����w�=�(�K�����^�����)���^��n��q~�.��)F��*�urthermore�zvthere�is�a�corresp�Gon-�����iFdence��A�����Y����`�n�������d����)Y��ab�Gelian�UUextensions��L=K��������+�вof�UUexp�Gonen���t�dividing��n���������@՟��`�o�������T΍����O����������0E����*�=�������2�����������������㍍�������������>�����������������������������a!�������Íٟ��`�n�����͍ڲnite�UUsubgroups��x��G�����K����������w�=�(�K�����������)������n�����q~���`�o���������iF�in�UUwhic���h���ፑY��L���7!��H���������1��Lq�(�L=K�(�;�������n��q~�)��,��UX�!���H���
G�����1��Ì�(�K�;�������n��q~�)����T͍������+3����=�����
UN�K����������w�=�(�K�����������)������n��������iF�and�UUa�subgroup��G��of��K�����^����w�=�(�K�����^�����)���^��n���Ӳcorresp�Gonds�UUto�the�eld��K���(��������ƍ�^�1���۟�	�>+gl�����n���������������p���\�����fe�̟wv��G������8ݲ).�����iF[Question:�q�In�UUSerre's��L��}'o�c�al���Fields�UU�it�is�stated�that�there�is�a��c��}'anonic�al�UU�isomorphism���A���c�1Gal��sk3(�K����n��q~�=K���)����T͍�������+3�����=�����
UN�����n���^�
��8�Hom��9(�K���������w�=�(�K����������)������n��q~�;�������n���)�����iFbut�UUI�don't�understand�wh���y�this�is.]��C"��m�*********���End�Unverie��}'d�*********��"h�����iF�3.7����Hensel's�L�Lemma��_a��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��������iF�Theorem��T3.7.1.���A��L��}'et�)y�K���b�e�a�eld�c�omplete�with�r�esp�e�ct�to�a�non-ar�chime�dian�valuation��j�Q��j��and�����iFlet��c�f���(�x�)�1�2�O����K�����[�x�]�.�IL��}'et������0���~�2�O����K����such�that��j�f���(�����0��|s�)�j��<��j�f����^��0���Ȳ(�����0��|s�)�j���^��2���.�IThen��cther��}'e�exists���:��2�1O����K����such�����iFthat���f���(��	z�)��=�0�.���ፍ���iFPr��}'o�of.������Let���h�"��ff����d�ff�Y��ff����ff�������iFF��*�or�UUexample�if��f���(�����0��|s�)�����0�q�(�mo�Gd����m�)�UUbut��f����^��0���Ȳ(�����0��|s�)���6��0�q�(�mo�Gd����m�)�UUthen��f��(�x�)�has�a�ro�Got�in��O����K�����.����m�*********���End�Unverie��}'d�*********��������Š���@�����&iF�30����CHAPTER�UU3.��ALGEBRAIC�NUMBER�THEOR��*�Y����ٍ��vn���&iF�3.8��J��Ideles�L�and�adeles������&iF�3.8.1��O�FRestricted��pro�`ducts��uT����&iF�Denition��T3.8.1.���{��Let���f�X������>:�g��b�Ge�a�collection�of�top�ological�spaces�and,�'�for�all�but�nitely�man���y����&iF��,��let��ȵU������	+�b�Ge�an�op�en�subset�of��X������>:�.�8 Then�the��restricted��direct�pro�Q�duct��Ȳof�the��f�X�������g��with����&iFresp�Gect���to�the��U������>:�,�
�denoted������Q�����ލ�i��0��%��i�����Rw�X������6�is�dened�as�follo���ws.�R�As�a�set�it�is�the�collection�of�sequences����&iF(�x������>:�)�	fwhere��x������R�2���X������G��and��x�������2���U������G��for�all�but�nitely�man���y���.�XwA�	Rbasis�for�op�Gen�sets�is�formed�b�y����&iFtaking��all�sets�of�the�form������Q����o����sQ�V������V�where��V������R����X�������is�an�op�Gen�set�and��V������R�=���U�������for�all�but�nitely����&iFman���y�UU��.������&iF�Lemma��T3.8.2.���o��L��}'et�/����b�e�a�nite�set�of�indic�es.�x,F��;�or�e�ach�����2���/��let��D������m��b�e�a�close�d�subset�of��X������>:�.����&iFThen���the�set��c������ҥ=����Y������;t��2�����˵D������w���������0������������Y�����8��62����~7�U�������㔍�&iF�is���a�close��}'d�subset�of������Q��
��.������&iFPr��}'o�of.���E���a���������ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Denition��T3.8.3.���{��A��top�Gological��space��X�ץ�is��lo�Q�cally��,compact��if�for�ev���ery�p�oin���t��x���2��X�ץ�there��is����&iFa�m4compact�subset��D��Q�and�an�op�Gen�set��U��O�suc���h�that��x���2��U�����D��.��eIn�m4other�w���ords,�s,ev�ery�m4p�oin�t�m4has����&iFa�UUcompact�neigh���b�Gorho�o�d.������&iF�Prop�Q�osition��T3.8.4.����kI�Supp��}'ose�ʋthat�the��X������
��ar�e�lo�c�al���ly�c�omp�act�and�that�the��U������
��ar�e�c�omp�act.����&iFThen�������Q���Ȳ=�������Q�����ލ�8�0��%��8����!õX�������!�is���lo��}'c�al���ly�c�omp�act.������&iFPr��}'o�of.���E���Let�UU(�x������>:�)���2������Q��8�.�q�Let�����,���=��f���:��x������R�62��U������>:�g�:����&iF�Since�2ueac���h��X������	p��is�lo�Gcally�compact,�i�for�eac�h���7��2���2uthere�is�a�closed�subset��D������	p��of��X�������and�an����&iFop�Gened�UUsubset��U���^����0��v�����R����X���������suc���h�that��x�������2���U���^����0��v��������D������>:�.�q�Then�UUthe�pro�Gduct��8������ҥ=����Y������;t��2�����˵D������w���������0������������Y�����8��62����~7�U������� 㔍�&iF�is�ݿa�closed�subset�of������Q��-G�whic���h�con�tains�(�x������>:�)�and�whic�h�con�tains�an�op�Gen�set�con�taining�(�x������>:�).���
}*��ff����d�ff�Y��ff����ff�������Ⱐ�Š���@����ٍ���n���iF�Chapter�i�4��2���iF�Galois��Theory��:����iF�4.1����Separabilit���y��������iF�Denition��T4.1.1.���E��An�sWalgebraic�extension��L=K�*s�of�elds�is��separable��if�the�minimal�p�Golynomial�����iFof���ev���ery�elemen�t��x���2��L����has�distinct�ro�Gots�in�some�xed�algebraic�closure���x䍑+f������K���:Y�of��K���.�+�The��separable�����iFdegree�j��of�a�nite�algebraic�extension��L=K���,��denoted�[�L=K��]����sep�����is�the�n���um�b�Ger�j�of�distinct��K��-�����iFem���b�Geddings�UUof��L��in�to���x䍑�9������K������.�������iF�Theorem��T4.1.2�(Primitiv��9e�Elemen�t�Theorem).����1��L��}'et��L=K����b�e�a�nite�sep�ar�able�extension�of�����iFelds.���Then���L���=��K���(��	z�)��for�some���В�2��L�.�������iFExample���4.1.3.���6�The���primitiv���e�elemen�t�theorem�ma�y�fail�when��L=K����is�not�separable.�[PF��*�or�ex-�����iFample,�6let�	�k�Y��b�Ge�a�eld�of�c���haracteristic��p��and�let��K��Ͳ=��k�P��(�s;���t�)�where��s��and��t��are�indep�enden���t��
����iFtranscenden���tals.�=Let��
�L���=��K���(�s�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p�����:�;���t�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p�����).�Then��
�L=K�n)�is�purely�inseparable�of�degree��p���^��2��3��since��L���^��p��fj�=���K�����iF�(note�(that��p�-th�p�Go���w�ering�(is�an�homomorphism�and�the��p�-th�p�o���w�ers�(of�basis�elemen���ts�of��L��lie�in�����iF�K���).���Th���us�\>if��L�ҝ�=��K��(��	z�)�\>for�some�����2�ҝ�L��then������^��p��{i�2�ҝ�K�Z�so��p���^��2��O�=�[�L=K���]����p�,�]�whic���h�is�absurd.���Th�us�����iFthere�hcan�b�Ge�no�primitiv���e�elemen�t�for��L=K���.���Replacing��s��and��t��b�y��n��transcenden�tals��s����1��|s�;����:�:�:����;���s����n������iF�sho���ws�Ethat�an�arbitrarily�large�n�um�b�Ger�of�generators�ma�y�b�Ge�necessary��*�.�@�Another�in�teresting�����iFremark��is�that�there�m���ust�b�Ge�innitely�man�y�distinct�elds��F�E��with��K�~4����F�*����L�.�K[In��fact�all�elds��
O䍑�iFof��>the�form��F�*��=���K���(�s�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p������+�2��ct�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p�����:�)�m���ust�b�Ge�distinct�b�ecause�if�t���w�o��>w�ere�the�same�then�it�w�ould�follo�w�����iFthat���F����=�=�L��b�Gecause�b�oth��s�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p����
5O�and��t�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p�����w���ould�b�Ge�forced�to�lie�in��F�c��.�FIt�is�also�in�teresting�to�note�����iFthat��if��k�n�is�replaced�b���y�a�eld�of�c�haracteristic��6�=���p��then�the�extension��L=K�Ԡ�dened�ab�Go�v�e�m�ust�����iFb�Ge��Aseparable�and�hence�there�m���ust�b�e�a�primitiv���e�elemen�t.�5In�fact,�ì�s�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p����e�+�̺�t�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p����	8{�is�a�primitiv�e�elemen�t�����iFb�Gecause��it�has��p���^��2��w�distinct�conjugates�in�c���haracteristic��6�=�(�p��(b�ecause�the�p�olynomial��x���^��p���Q��_��1�has�����iFdistinct�UUro�Gots�in�c���haracteristic��6�=���p�.)�����iFOn�֍the�other�hand,�6�there�exist�extensions�generated�b���y�a�single�elemen�t�whic�h�are�not�����iFseparable.�ZF��*�or���example,��let��k��V�b�Ge�a�eld�of�c���haracteristic��p��and�let��s��b�e�transcenden���tal�o�v�er��k�P��.��
O䍑�iFThen�UUthe�extension��k�P��(�s�����ƍ�Y
�1��33�x�W	�ԟ�P��p�����:�)�=k��(�s�)�UUis�generated�b���y�a�single�elemen�t�but�is�not�separable.���K����i#31���� �E��Š���@����ٍ���(H��&iF�Chapter�i�5��2'ڍ�&iF�Num��Dhb���er��theory�qual�review��:'ڍ��&iF�5.1��J��Discriminan���t��1F���&iF�5.1.1��O�FIn��tro�`duction�����&iF�Let�XB�L=K�^�b�Ge�a�degree��n��separable�extension�of�elds.�
z�Let������1��|s�;����:�:�:����;�������n��
���b�e�the�distinct��K���-����&iFem���b�Geddings�eof��L��in�to���x䍑
�������K���
�l�.��Let��!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��	֕�b�Ge��n��elemen�ts�of��O����L���t�.��Then�the��discriminan��9t��of����&iF�!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n���Ӳis��w�����)�D���:�L=K��K�(�!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��q~�)��=�(��det���
�(�����i��TL�!����j��6��))������2���:��w���&iF�Because���applying�some������i���
�to�the�matrix�(�����i��TL�!����j��6��)�p�Germ���utes�the�ro�ws�w�e�see�that�the�sign�of�the����&iFdeterminen���t�UUis�the�only�thing�whic�h�c�hanges,�hence��D���:�L=K���`�is�xed�b�y�all������i��TL�,�so��D���:�L=K��#�2��O����K�����.��'ڍ�5iFSupp�Gose�m�K�Ӊ�is�a�n���um�b�er�meld.�^�Then��O����K��
� �is�a�torsion�free��Z�-mo�dule�hence�free�so�there�exists����&iFa�r�basis��!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��	�S�for��O����K��(��o���v�er�rտZ�.��GThe�discriminan���t�of��K�)�is�the�discriminan�t�of�this�basis.����&iFCho�Gosing���a�dieren���t�in�tegral�basis�c�hanges�the�discriman�t�b�y�the�square�of�a�unit�in��Z�,���i.e.,�it����&iFdo�Ges�UUnot�c���hange�the�discriminan�t.�q�Th�us�the�discriminan�t�is�a�w�ell�dened�elemen�t�of��Z�.����5iFSupp�Gose�O�L=K��k�is�an�extension�of�n���um�b�er�Oelds.���Then��O����L��
òma���y�or�ma�y�not�b�Ge�a�free��O����K�����-����&iFmo�Gdule.�TJSupp�ose��ܸO����L���P�is�a�free��O����K�����-mo�Gdule�with�basis��!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��q~�.�Then��D���:�L=K��K�(�!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��q~�)�is�an����&iFelemen���t�UUof��O����K�����,�w�ell�dened�up�to�the�square�of�a�unit�in��O����K�����.����5iFIf����O����L����is��not��free�as�an��O����K�����-mo�Gdule�then�there�is�still�a�w���a�y���to�dene�the�discriminan���t��D���:�L=K��K�.����&iFInstead��zof�b�Geing�an�elemen���t�of��O����K�����,��@the�discriminan�t�is�an�in�tegral�ideal�in��O����K�����.�J)It�is�divisible�b�y����&iFexactly�m�those�primes�whic���h�ramify�in��L=K���.��\T��*�o�dene�this�more�general�notion�of�discriminan�t����&iFw���e�UUneed�the�notion�of�the�mo�Gdule�index�and�trace�form.��ѧ���&iF�5.1.2��O�FThe��mo�`dule�index�������&iF�Denition��T5.1.1.���{��Let���O�L��b�Ge�a�Dedekind�domain�and�let��V�>��b�e�a�nite�dimensional�v���ector�space����&iFo���v�er��8the�quotien���t�eld�of��O�G�.�pLet��M��S�and��N��b�Ge��O�%U�mo�dules�whic���h�are�lattices�in��V�8�.�pThen�the����&iF�mo�Q�dule���index�P��of��N�gŲin��M��is�the��fr��}'actional����O�G�-ide�al�P��[�M��3�:���N��]�dened�as�follo���ws.�p9F��*�or�eac�h�prime����&iF�p�"��of��O�G�,�,ɸO����p���D�is�a�discrete�v��q�aluation�ring�hence��M����p���and��N����p���are�free��O����p�����-mo�Gdules�of�the�same�rank,����&iFhence�kisomorphic.���Th���us�there�exists�a�linear�transformation��`��G�:��V�$+�!��V���suc�h�kthat��`�(�M����p�����)��G=��N����p���.����&iFThen�UUthe��p��comp�Gonen���t�of�[�M��3�:���N��]�is��det��8�(�`�)�O����p�����.��w���5iFNote��Ithat�the�isomorphism��`��is�an�isomorphism�of��O����p�����-mo�Gdules�but,��up�on�c���ho�osing�a�basis����&iFfor���N����p�����,���the�matrix��`��need�not�ha���v�e���co�Gecien�ts�in��O����p�����.�	tF��*�or�example,���let��M�2w�=�\�p�Z����p��'6�and��N��=�\�Z����p�����&iF�and�>let��`��b�Ge�the�division-b���y-�p��isomorphism.�V�Then,�vwith�resp�ect�to�the�basis�1�for��N��,�vthe�matrix����&iFof�UU�`��is�(�������D��1��33��&�feR�����p��������)�(view��M�lp�and��N��as�sitting�in��Q����p���R�.)����5iFThe���mo�Gdule�index�is�w���ell�dened�b�ecause��`��is�dened�up�to�an�automorphism�of��M����p���P�and����&iFhence��ja�dieren���t�c�hoice�of��`��c�hanges��det����(�`�)�b�y�a�unit�in��O����p�����.�wAlso,��/it�can�b�Ge�sho�wn�that�there����&iFare�Hronly�nitely�man���y�primes��p��suc�h�that��det��,(�`�)�is�not�a�unit.�m{In�the�situation�when��M�_��and��N����&iF�are�R�already�free�as��O�G�-mo�dules�R�then��`��can�b�Ge�c���hosen�globally�and�then�the�mo�dule�index�is�just�����&iFdet��4L�(�`�)�O�G�.���K����i#32����!���Š���@������iF�5.1.��DISCRIMINANT�/*Y�33����ٍ��vn�����iF�Example���5.1.2.���6�Let��#�O�@�b�Ge�a�Dedekind�domain�with�quotien���t�eld��K�r?�and�let��a����1��|s�,�ԗ�a����2��7��b�e�nonzero�����iFfractional����O�G�-ideals.�/9Th���us��a����1��
�and��a����2���are�lattices�in��K���.�/9The�mo�Gdule�index�[�a����1��C��:���a����2��|s�]�is�the�fractional�����iFideal��$�a����䍷�1���1���
�t�a����2��|s�.�JT��*�o�see�this�lo�Gcalize�at�a�prime��p��of��O��.�JThen�(�a����1��|s�)����p��y��=���p���^��a���1������and�(�a����2���)����p��y��=���p���^��a���2������so�w���e�ma�y�����iFtak���e�<ȵ`���=����[ٟ�^��a���2��� ��a���1����²where������is�a�uniformizing�parameter�for��p�.�i�T��*�aking��O���to�b�Ge�the�ring�of�in���tegers�����iFof��a�n���um�b�Ger��eld�with�class�n���um�b�er���>���1�this�giv���es�examples�where�the�mo�dule�index�cannot�b�e�����iFcomputed�UUglobally��*�.��\�����iF�Example���5.1.3.���6�Let�YӸO��Z�=�y=�Z�[��	z�]�where������^��2��lu�+�戵���+�1�y==�0.�ALet�YӵM��X�=��Z�[���]�=��Z�[��������33��1+�����^�p����ɟ��^�W	
<t�a���3�����33��fe!.A�������2�����#���]�Y�and�let��
����iF�N�׈�=��m�Z�[2����+���1]�=��Z�[����$��p���UW��$��fe�����3����v].�2�W��*�e���view��M�
�and��N��as��Z�-mo�Gdules�and�compute�the�mo�dule�index�����iF[�M����:�虵N��].�z�Both�
�M�%�and��N��are�free��Z�-mo�Gdules�so�there�is�an�isomorphism��`�虲:��M����!��N��.�z�With�����iFresp�Gect���to�the�basis�1�;����	z�,���it�is�represen���ted�b�y�the�matrix���(��������	�1����A1���؍��	�0����A2������\�)���d�.��Th�us�[�M�3̲:���N��]�=��det��A(�`�)�Z��=�2�Z�.�����iFNote�UUthat��M���=��q�N����T͍���3����+3����3�=�����li�Z�=�2�Z�.���w����iF�5.1.3���FT���race��form��uT�����iF�Denition��T5.1.4.���E��Let��P�K�[l�b�Ge�a�eld�and�let��A��b�e�a�nite�dimensional�cen���tral��K���-algebra.�^�Left�����iFm���ultiplication�g4b�y�an�elemen�t��x���2��A��induces�a��K���-linear�map��`����x�����:��A��!��A�.�"gThe��trace��of��x�,���denoted������iFtr���7�(�x�),�UUis�the�trace�of�of��`����x���.�q�Since��`����x��^9�is�an�endomorphism�of�a��K���-v���ector�space,��tr��#�(�x�)���2��K��.���<���iFW��*�e���will�consider�the�trace�in�the�case�when��L���=��A����is�a�nite�extension�eld�of��K���.�9:The�degree�����iFto�	�whic���h�the�trace�is�nondegenerate�is�re
ected�in�the�degree�to�whic�h�the�extension��L=K����is�����iFseparable.��The�
�trace�also�giv���es�rise�to�a�symmetric�bilinear��trace��iform��h��	z;������i���:�L=K��E�=���ttr��Ȯ(����)�����iFwhic���h,���among��6other�things,�pro���vides�an�alternativ�e�w�a�y�to�dene�and�compute�discriminan�ts.�����iFThe��0trace�form�is�lik���e�the�Killing�form�in�the�theory�of�lie�algebras.��YJust�as�the�trace�form�is�����iFnondegenerate��i�the�eld�extension��L=K��ɲis�separable,�HCthe�Killing�form�on�a�lie�algebra��g��is�����iFnondegenerate�6r(at�least�in�c���haracteristic�0)�i��g��is�semisimple.�g{Also,�<�the�map��x���!��`����x��?V�is�6rexactly�����iFanalogous�UUto�the�adjoin���t�represen�tation.�������iF�Lemma��T5.1.5.���9��Supp��}'ose��e�A=K�7��is�a�c�entr�al��K���-algebr�a�of�dimension��n�.��L�et��x���2��A��e�and�let���(�t�)���2�����iF�K���[�t�]����b��}'e�the�char�acteristic�p�olynomial�of��`����x����,���so���(�t�)��d=��det��{�(�t������`����x���)�.��#Then�����tr��b�(�x�)����is�minus�the�����iFc��}'o�ecient���of��t���^��n��1�����.�������iFPr��}'o�of.������It��is�a�general�fact�that�the�trace�of�an�endomorphism����Dzof�a�v���ector�space��V���(of�dimension�����iF�n�)�n�is�min���us�the�co�Gecien�t�of��t���^��n��1����in�the�c�haracteristic�p�Golynomial�of���!Dz.���This�is�can�b�e�seen�at�����iFonce�UUb���y�considering�the�Jordan�canonical�form�of���!Dz.�����4��ff����d�ff�Y��ff����ff�����ύ����iF�Lemma��T5.1.6.���9��Supp��}'ose���L=F��V=K�K�is�a�tower�of�elds�and��L��is�sep�ar�able�over��K���.���Then��������;�1.����	iH�L=F��v�and���F��V=K�K�ar��}'e�b�oth�sep�ar�able.����������;�2.����	iHL��}'et�SŸf�����1��|s�;����:�:�:����;�������n��q~�g��b�e�the�distinct��F�c��-emb�e�ddings�of��L��and�let��f�����1��|s�;����:�:�:����;�������m�����g��b�e�the�distinct����	iH�K���-emb��}'e�ddings���of��F�c��.���Then�the�distinct��K��-emb��}'e�ddings���of��L��ar��}'e�����~���f�����i��TL�����j���IJ:���i��=�1�;����:�:�:����;���n;���j�Y��=�1�;��:�:�:����;�m�g�:����	iH�(Extend�������i���3�to��L��by�letting�it�act�as�the�identity�on�a�b��}'asis�for��L=F�c��.)�������iFPr��}'o�of.������The�v�collection�of��K���-em���b�Geddings�of��L�,���up�on�restricting�to��F�c��,���giv���e�the��K���-em�b�Geddings�����iF�����1��|s�;����:�:�:����;�������m��
o��of���F�c��.�G�Eac���h�of�these�can�b�Ge�extended�to�a��K���-em�b�Gedding�of��L��in�at�most�[�L���:��F�c��]��w�a�ys.�����iFW��*�e�UUkno���w�that�there�are������[�L���:��K���]�=�[�L��:��F�c��][�F�*��:��K��]���m���iF�K���-em���b�Geddings�l�of��L�.���Th�us�[�F�Q�:��e�K���]����sep���R�=��m��=�[�F��:��K���]�l�and�eac���h��K��-em���b�Gedding�of��F��y�m�ust�extend�����iFto��a��K���-em���b�Gedding�of��L��in�[�L��p�:��F�c��]��w�a�ys.��In�particular,�0�there�are�[�L��p�:��F�c��]���K���-em�b�Geddings�of��L�����iF�extending��nthe�iden���tit�y��nem�b�Gedding�of��F�c��,���i.e.,�[�L�O�:��F��]����sep���ٲ=�[�L��:��F��].�hTh���us��npart�(1)�is�pro�v�ed�and�����iFpart�UU(2)�follo���ws�at�once.���-�`��ff����d�ff�Y��ff����ff�����ύ����iF�Theorem��T5.1.7.���A��Supp��}'ose�q�L=F��V=K�ύ�is�a�tower�of�nite�extensions�of�elds.�	'5Then���tr���櫟�:�L=K��#���=������iFtr����7���:�F��U=K��hf������tr���	x��:�L=F����.�����"
��Š���@�����&iF�34�����CHAPTER�UU5.��NUMBER�THEOR��*�Y�QUAL�REVIEW����ٍ��vn����&iF�Pr��}'o�of.��������ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Prop�Q�osition��T5.1.8.����kI�Supp��}'ose�S��L=K�
��is�a�nite�sep�ar�able�extension�of�elds�and�let������1��|s�;����:�:�:����;�������n���$�b�e����&iFthe���distinct��K�K�emb��}'e�ddings���of��L��into�a�x�algebr��}'aic�closur�e���x䍑<˲������K���]#�of��K���.���If���В�2���L��then������f~�tr���4�(��	z�)��=������1��|s�(���)�8�+���������g�+������n��q~�(���)�:������&iF�Pr��}'o�of.���E���Let��|�F��=��W�K���(��	z�).�;Let��f���(�x�)�b�Ge�the�minimal�p�olynomial�of������o���v�er��|�K����and�let���(�x�)�b�e�the����&iFc���haracteristic�gBp�Golynomial�of���p��acting�on�the�v�ector�space��F�c��.���By�the�Ca�yley-Hamilton�theorem����&iF��(��	z�)��=�0�
{so��f�!
�m���ust�divide���.��:But��deg��1
(�f���)��=�[�F�]��:��K���]�=��deg���(��)�
{so��f�
��=����.�The�trace�of�����is����&iFmin���us��Vthe�co�Gecien�t�of��x���^��[�F���:�K�}��]��1��"�
�in���(�x�).���But��f���(�x�)�m�=������Q��ߌ�(�x�{�����[ٲ(��	z�))��Vwhere�the�pro�Gduct�is�o�v�er����&iFthe���distinct��K���-em���b�Geddings���9βof��F�A��in�to�a�xed���x䍑��������K���J�,���so�the�co�Gecien�t�of��x���^��[�F���:�K�}��]��1��!���is�min�us�the�sum����&iFof�UUthe�conjugates�of���[ٲ(��	z�).�q�Th���us�the�prop�Gosition�is�true�for��tr���#���:�F��U=K���Ͳ(���).����5iFFinally��*�,��qˍ��Jֲtr���R���:�L=K��c���(��	z�)��=��tr���
�R��:�F��U=K����(�tr����:��:�L=F��	r�(���))�=��tr���
�R��:�F��U=K����([�L��:��F�c��]���)�=�[�L��:��F�c��]����tr���	x��:�F��U=K��� �(���)�=��������X����㉵����i��TL�(���)����&iFb�Gecause�H�of�ho���w�the��K���-em�b�Geddings�of��L��are�made�up�of�the��F�c��-em�b�Geddings�of��L��and�the��K���-����&iFem���b�Geddings�UUof��F�c��,�as�describ�ed�in�the�ab�o���v�e�UUlemma.����y6��ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Theorem��T5.1.9.���w��L��}'et�=:�L=K��V�b�e�a�nite�sep�ar�able�extension�of�elds�and�supp�ose��!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��8��2���L�.����&iFThen��������D���:�L=K��K�(�!����1��|s�;����:�:�:����;���!����n��q~�)��=���det�����(�h�!����i��TL�;�!����j��6��i�)����&iF�wher��}'e���h�!����i��TL�;���!����j��6��i���=��tr���
�R��:�L=K���]�(�!����i���!����j��6��)�.������&iFPr��}'o�of.��������ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Theorem��T5.1.10.���|���Supp��}'ose���L=K�K�is�a�nite�sep�ar�able�extension�of�elds.���Then�the�tr�ac�e�form����Džr�h����;�UP�i���:�L=K��#�:���L�8���L��!��K����&iF�is���nonde��}'gener�ate.������&iFPr��}'o�of.��������ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Theorem��T5.1.11.���|���Supp��}'ose�~׵L=K�5��is�a�nite�pur�ely�insep�ar�able�extension�of�elds.�ZgThen���tr����:����&iF�L���!��K�K�is���the�zer��}'o�map.������&iFPr��}'o�of.��������ff����d�ff�Y��ff����ff�������#%o��Š���@����ٍ���n���iF�Chapter�i�6��2���iF�Homological��Algebra��:����iF�6.1����In���v�erse�L�and�Direct�Limits��������iF�Theorem��T6.1.1.���A��L��}'et���R�
��b�e�a�ring�and�let��M��,���N��,�and���f�M����i��TL�g��b��}'e�mo�dules�over��R���,��such�that�the�����iFc��}'ol���le�ction���f�M����i��TL�g��form�an�inverse�or�dir��}'e�cte�d���system,�as�appr��}'opriate.���Then�����r�h�Hom���]�(�N���;������lim������� ���8�M����i��TL�)����T͍�������+3�����=�������
UNlim����J�� ����ㇲHom��1��(�N�;���M����i���)������q�/Hom���ψ(��lim�����V�!����9�M����i��TL�;���N��)����T͍�������+3�����=�������
UNlim����J��!����ㇲHom��1��(�M����i���;�N��)�������R�N�O��
���8�lim����.6�!�����M����i�����T͍��d����+3���d�=���������lim������!����+�(�N��
�8�M����i��TL�)���Ǎ����iF�Pr��}'o�of.������Direct��Llimits�comm���ute�with�left�adjoin�ts�and�in�v�erse�limits�comm�ute�with�righ�t�adjoin�ts.�����iFThe��functor��Hom����(�N���;�����)�is�righ���t�adjoin�t�to�the�left�adjoin�t�functor��N��͸
�����b�Gecause�there�is�a�����iFnatural�UUisomorphism�����eXDHom��z-�(�M���;�����Hom���(�N�;���T�c��))����T͍�������+3�����=������
UNHom��"*�(�N�O��
�8�M�;�T�c��)�:���������ff����d�ff�Y��ff����ff�����K����i#�35����$1���Š���@����ٍ���9��&iF�Chapter�i�7��28���&iF�Galois��and�Group�Cohomology��:8����&iF�7.1��J��Order�L�and�Index��P�������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��⠍�&iF�Let�޵X����b�Ge�a�curv���e�o�v�er�a�p�Gerfect�eld��k�P��.��bLet��Div���5(�X���)�b�e�the�free�ab�elian�group�generated�b���y����&iFthe���closed�p�Goin���ts�of��X���.�,�A����prime�divisor��is�the�sum�consisting�of�a�single�closed�p�oin���t.�,�Let����&iF�K�~4�=���k�P��(�X���)��b�Ge�the�function�eld�of��X��y�o���v�er���k�Q.�(i.e.,����(��uDz)�where���v^�is�the�generic�p�oin���t�of��X���).�U�There����&iFis�UUa�map������X��
a<�:���K�����^����
>5�!���Div���o(�X���)�UUwhic���h�asso�Gciates�to�a�function��f�ڧ�2���K�����^����
�r�its�divisor��qT����������X���$�(�f���)��=����+i����X������P���2�#�X����+�v����P����(�f��)�P�*��2���Div���o(�X���)�� Ƨ��&iFwhere��	#�X���is�the�underlying�space�of�the�sc���heme��X��and��v����P��
t��is�the�v��q�aluation�on�the�lo�Gcal�ring����&iF�X����P��
1��of��ǵX�O��at��P�c��.�Divisors�in�the�image�of������X���$�(�f���)�are�called��principal�0divisors�.�[The�v��q�aluation����&iFat�UUthe�generic�p�Goin���t�is�trivial.]�q�Let��Pic��\s(�X���)�b�e�dened�b���y�the�exact�sequence��qP���'i0���!��K����������
>5�!���Div���o(�X���)��!���Pic���6(�X��)��!��0�:����&iF�Dene�UUa�homomorphism��deg��?�:���Div���o(�X���)���!��Z�UU�b���y�������|deg����(�������X����q�n����i��TL�P����i���)��=��������X����㉵n����i��TL�[��(�P����i���)��:��k�P��]�����&iFwhere�UUthe��P����i�����are�prime�divisors.��������&iF�Theorem��T7.1.1.���w��The���de��}'gr�e�e�of�a�princip�al�divisor�is��0�.����5iF�The�^�theorem�implies�that�the�degree�map�extends�in�a�w���ell-dened�w�a�y�to��Pic��e�(�X���).��^Denote����&iFb���y���7Div����������0���(�X���)��7(resp.,���pPic���Ў�����0��M�(�X��))�the�k���ernel�of�the�degree�map.��nLet���\q�����������k����IJb�Ge�an�algebraic�closure�of��k����&iF�and�UUlet���x䍑3�������X���.3�=���X�¸����k����\q��g�������$p�k����Ʋ.��������&iF�Prop�Q�osition��T7.1.2.����kI�The���natur��}'al�map��qP����Vx�Pic���]�(�X���)���,��UX�!���H���
G�����0��Ì�(�k�P�;�����Pic����(���x䍑�:�����X���	Ʋ))����&iF�is���inje��}'ctive.������&iFPr��}'o�of.���E���Supp�Gose�KҵD���represen���ts�a�class�in��Pic��R�(�X���)�whic�h�b�Gecomes�principal�in��Pic��R�(���x䍑�:�����X���	Ʋ).�U>[I�K�don't����&iFkno���w�UUho�w�to�pro�v�e�this.]���*�D��ff����d�ff�Y��ff����ff�����A��5iFThe�UU�index��of��X�7�is�the�p�Gositiv���e�in�teger��d��suc�h�that��c�������Div��DžS(�X���)�����ꍑ1+�deg��$�������������V��������������V!����s;�Z���!��Z�=d�Z��!��0���K����i#36����%7���Š���@������iF�7.1.��ORDER�UUAND�INDEX�\�37����ٍ��vn���iFis�UUexact,�and�the��order��of��X�7�is�the�p�Gositiv���e�in�teger��n��suc�h�that�����sS�H���zӯ�����0��P"�(�k�P�;�����Pic����(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�����ꍑ1+�deg��$�������������V��������������V!����s;�Z���!��Z�=n�Z��!��0��,ύ��iFis�~�exact.��'Note�that�since��Div��T!(�X���)�surjects�on���to��Pic����(�X��)�w���e�could�ha�v�e�also�dened�the�index�of�����iF�X�7�b���y�UUthe�exact�sequence��Pic��\s(�X���)���!��Z��!��Z�=d�Z��!��0.��h���iFConsider�UUthe�exact�sequence�of��Gal���W(���\q��B�������k����V=k�P��)-mo�Gdules����v�/0���!���Pic����6�����0��J��(���x䍑�:�����X���	Ʋ)��!���Pic���6(���x䍑�:�����X����)��!��Z��!��0�����iFin�UUwhic���h��Z��is�giv�en�the�trivial�action.�q�T��*�aking�cohomology�giv�es�����P��H���X������0��\��(�k�P�;�����Pic����(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�����ꍑ1+�deg��$�������������V��������������V!�����s;�H����<�����0��$o��(�k�;����Z�)����61+���m�X�����������������X6��������������X4!�����k!����H���
G�����1��Ì�(�k�;���Pic����Ɵ����0��.9�(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�:�����iF�Let����J��ʲb�Ge�the�Jacobian�of��X���.��{Fixing�a�structure�of�principal�homogeneous�space�for��X�zs�o���v�er����J�����iF�giv���es�UUa�functorial�(in��k�P��)�isomorphism�(more�on�this�later)�����~
�H����������0���]�(�k�P�;�����Pic����Ɵ����0��.9�(���x䍑�:�����X���	Ʋ))����T͍�������+3�����=������
UNH����O�����0��Q²(�k�;���J��9�(���\q��B�������k����V�))�:�����iF�Com���bining��.this�with�the�fact�that��H���/�����0�����(�k�P�;����Z�)�"�=��Z��.�allo�ws�us�to�rewrite�the�ab�Go�v�e�exact�sequence�����iFas��
C����XK�H���_˿�����0��dH2�(�k�P�;�����Pic����(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�����ꍑ1+�deg��$�������������V��������������V!�����s;�H����<�����0��$o��(�k�;����Z�)����61+���m�X�����������������X6��������������X4!�����k!����H���
G�����1��Ì�(�k�;�J��9�(���\q��B�������k����V�))�:��C7���iF�Then�9Wthe�elemen���t������X���$�(1)�C�2���H���������1��?��(�k�P�;���J��9�(���\q��B�������k����V�))�9Wis�a�class�in�the�cohomology�of�the�ab�Gelian�v��q�ariet�y��J�����iF�naturally�1r(after�c���hoice�of�principal�homogeneous�space�structure)�asso�Gciated�to�the�curv�e��X���.�����iF[What�>�exactly�is�mean���t�b�y�the�phs�structure�when��X�z�has�gen�us�greater�than�1?]�-�Of�course�����iF�����X���$�(1)���is�the�same�class�as�w���as�asso�Gciated�to��X��вin�Lang-T��*�ate�b�ecause������X���$�(1)�is�constructed�b���y�����iFc���ho�Gosing�aRa�degree�1�elemen�t�of��Pic��hp(�X���),�dRi.e.,�a�aRp�Goin�t��P�>��2���X���(���\q��B�������k����V�)�and�considering�the�cohomology�����iFclass�UUin��H���
�V�����1��Qɲ(�k�P�;�����Pic����Ɵ����0��.9�(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�giv���en�b�y�the�corresp�Gonding�co�cycle�(��"�7!����[�p�8���p�).��h���iFT��*�o��ggiv���e�a�map��Pic����������0��:��(���x䍑�:�����X���	Ʋ)�j��!��J��9�(���\q��B�������k����V�)��git�suces�to�giv�e�a�map�whic�h�sends�dierences��P��и�zA�Q��to�����iFp�Goitns��on��J��9�(���\q��B�������k����V�)�since�ev���ery�elemen�t�of��Pic���ﺟ����0��l-�(���x䍑�:�����X���	Ʋ)�is�represen�ted�b�y�a�sum�of�suc�h�dierences��P�����_p�Q�����iF�with�X�P�G;���Q�˜�2��X���(���\q��B�������k����V�).�y�Giv���en�a�principal�homogeneous�space�structure��J�0��:��X��~�!��X� �let��P��>��:��Q��map�����iFto�UUthe�unique�elemen���t��v�"�2���J��9�(���\q��B�������k����V�)�suc�h�that�(�v�[�;���Q�)���7!��P�c��,�UU(i.e.,��P��o��8�Q���=��v��.�i�UU�P�*��=��Q��+��v�[ٲ.)��C7�����iF�Prop�Q�osition��T7.1.3.���NkI�The��or��}'der�of������X���$�(1)��is�the�same�as�the�or�der�of��X����as�dene�d�ab�ove.��The�����iFindex���of�the�c��}'ohomolo�gy���class������X���$�(1)��is�the�same�as�the�index�of��X����.�������iFPr��}'o�of.������If�UUthe�order�of������X���$�(1)�is��n��then�the�cok���ernel�of�the�map���V���x��H����/������0������(�k�P�;�����Pic����(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�����ꍑ1+�deg��$�������������V��������������V!�����s;�H����<�����0��$o��(�k�;����Z�)��=��Z��,ύ��iF�is�1�Z�=n�Z��hence�the�order�of��X���is��n�.��Next�note�that������X���$�(1)�restricts�to�0�in�an�extension��`=k�����iF�i��6�����X����`���
�M�(1)�y8=�0.��iThis�is�equiv��q�alen���t�to��X����`����dening�the�trivial�cohomology�class�whic�h�is�in�turn�����iFequiv��q�alen���t�UUto��X���(�`�)�b�Geing�nonempt�y��*�.�q�Th�us�the�t�w�o�denitions�of�index�agree.���H9)��ff����d�ff�Y��ff����ff�����=�����iF�Corollary��T7.1.4.���Cgd�The��or��}'der�of��X��b�divides�the�index�of��X��and�they�have�the�same�prime�factors.��p��m*********���End�Unverie��}'d�*********��Y������iF�Theorem��T7.1.5�(Basic�Exact�Sequence).������Ther��}'e���is�an�exact�se�quenc�e�������0���!���Pic���6(�X���)��!���H���
G�����0��Ì�(�k�P�;�����Pic����(���x䍑�:�����X���	Ʋ))��!���Br��
�(�k��)��!���Br��
�(�X���)��!���H���
G�����1��Ì�(�k�;�����Pic����(���x䍑�:�����X���	Ʋ))��!���H���
G�����3���(�k�;���\q���S����������k�����������
���)�:��C7�����iF�Pr��}'o�of.������[Enhance�UUthe�\elemen���tary"�pro�Gof�in�Lic�hen�tbaum.]����`[��ff����d�ff�Y��ff����ff�������iFThese���to�Gols�allo���w�me�to�see,����for��8a�p��}'articular����curv�e��X���,���the�relationship�b�Get�w�een�the�p�Gerio�d�����iFand�Y
the�index.�|�But�they�giv���e�me�little�insigh�t�in�to�the�collection�of�all�curv�es�with�a�giv�en�����iFjacobian,�UUand�they�don't�allo���w�me�to�see�ho�w�often�the�p�Gerio�d�UUequals�the�index.�����&B���Š���@�����&iF�38����CHAPTER�UU7.��GALOIS�AND�GR���OUP�COHOMOLOGY����ٍ��xl����&iF�7.2���J���H���T����1��Zm��(�GL��\�(�>��g�ffcmmi12�V�"�)�;�fdV��)���ʍ���&iF�Theorem��T7.2.1.���w��If���V����is�a�ve��}'ctor�sp�ac�e�over�a�eld��K�K�of�char�acteristic�not�e�qual�to��2��then��!�������H����B	�����1��׾|�(�GL���(�V�8�)�;���V��)��=�0�:��2^����&iF�Pr��}'o�of.���E���If��UUdim�����V���>���1�UUw���e�consider�the�exact�sequence�������/0���!���SL���S(�V�8�)��!���GL����(�V��)����T΍�1+�det���2����������������������������!����{<�K����������
>5�!��0�:����&iF�It�UUgiv���es�rise�(via�the�Ho�Gc�hsc�hild-Serre�sp�Gectral�sequence)�to�the�exact�sequence��)7��Z��0���!���H���
G�����1��Ì�(�K����������w�;���V���8�����SL���X����(�V���)���#�)����T΍�1+�inf���2������������	[email protected]!�����Y�H����Z�����1��"Ͳ(�GL���(�V�8�)�;�V��)����T΍�1+�res���2�������������:@��������������:>!�����;��H����������1��"8�(�SL���;(�V��)�;�V��)�������GL��!ʟ���(�V���)�=��]��SL��
�(�V��)�����&iF�Since��lSL��:S(�V�8�)�lhas�no�xed�p�Goin���ts�(since��dim���n�V�%�>���1)�w�e�see�that��H���
������1��h��(�K�����^����w�;���V���8��^��SL���X��^�(�V���)���#�)��=�0�land�hence�����&iFres��5S�is��Kinjectiv���e.�4Let�2���2���GL����(�V�8�)��Kb�Ge�the�m�ultiplication-b�y-2�linear�automorphism.�4Then�the�image����&iFof�^.2�in��GL��w(�V�8�)�=�����SL��
x�(�V��)�^.xes�the�image�(under��res���g)�of��H���
�/�����1��Z��(�GL���(�V�8�)�;���V��).��SBut�^.if��f��f�:����SL���(�V�8�)��׸!��V���is�^.a����&iFco�Gcycle�UUthen��2^���]%2�8���f���(��[ٲ)��=�2�f��(2�������1��
�t��[ٲ2)�=�2�f��(��[ٲ)�:��2^��&iF�Th���us���if��c��is�in�the�image�of��H���+������1���r�(�GL���(�V�8�)�;���V��)���then�2�c�W��=��c����and�hence��c�W��=�0.�u�Since����res���5is���injectiv�e����&iFw���e�UUconclude�that��H���
�V�����1��Qɲ(�GL���(�V�8�)�;���V��)��=�0.��
ʍ�5iFIf��UUdim�����V����=��1�UUw���e�use�the�exact�sequence��!����n�0���!�f�1�g�!��K����������
>5�!��(�K����������w�)������2��C��!��0�:����&iF�This�UUgiv���es�rise�to�the�exact�sequence����w�D0���!���H���
G�����1��Ì�((�K����������w�)������2��|s�;���K��������f�1�g���X�)����T΍�1+�inf���2������������	[email protected]!�����Y�H����Z�����1��"Ͳ(�K�����������;���K���)����T΍�1+�res���2������������:@��������������:>!�����;��H����������1��"8�(�f�1�g�;�K���)����&iFSince��޸�1�has�no�nonzero�xed�p�Goin���ts,����K�����^��f�1�g��:S�=���0�so��res����is�injectiv�e.��aSince��f�1�g��has�order�2,�����&iFH���-�G�����1��2e��(�f�1�g�;���K���)�V�is�killed�b���y�2.�u�But�m�ultiplication�b�y�2�is�an�automorphism�on��K�
��so�it�induces�an����&iFautomorphism�UUon��H���
�V�����1��Qɲ(�f�1�g�;���K���).�q�Th���us��H���
�V�����1���(�f�1�g�;���K���)��=�0.�������ff����d�ff�Y��ff����ff�����P����&iF�Question��T7.2.2.���v���It�'is�also�true�that���H����(�����1����(�GL���(2�;����F����2��|s�)�;��F���^���2��l�2����)���=�0�'�as�c��}'an�b�e�se�en�by�c�onsidering�the����&iFexact���se��}'quenc�e���*���!e�0���!�������`�D�������㊟��`������������1���Z:1���؍���1���Z:0�������U���`��������"�9���`E����+�ø!���GL����(2�;����F����2��|s�)��!��Z�=�2�Z��!��0�:���+��&iF�What���is�the�c��}'omplete�answer�in�char�acteristic��2�?��&����&iF�7.3��J��Galois�L�cohomology�of�ab�qelian�v���arieties���ʍ�&iF�When��U�A��is�an�algebraic�group�o���v�er��Ua�eld��k�P��,��w���e�no�w�write������0��|s�(�A�)�for�the�set�of�connected����&iFcomp�Gonen���ts��(for�the�Zariski�top�ology)�of��A��o���v�er���k����s��F:�;�r�that�is,�C�����0��|s�(�A�)�=��A����k���s�����=��q�A���^���0��v��k���s�������regarded��as�a����&iF�G�-mo�Gdule.��2^����&iF�Theorem��T7.3.1.���w��L��}'et���A=K�K�b�e�an�ab�elian�variety�with�N�����$�er�on�mo�del��A�=R���.���Then��!����g��H���������1��Lq�(�K����un��
+�=K�(�;���A�(�K����un���))��=��H���������1���(�K����un��
+�=K�(�;�������0��|s�(�A����0���))����&iF�wher��}'e��8�A����0��
��is�the�sp�e�cial�br�e�of��A�=R���.�B\In�p�articular,�if��A��has�go�o�d�r�e�duction,�then��H������^��1��Lq�(�K����un��
+�=K�(�;���A�(�K����un���))��=����&iF0�.�����'YϠ�Š���@������iF�7.4.��DESCENT�UUTHEOR��*�Y�?��39����ٍ��vn����iF�7.4����Descen���t�L�theory�����i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�����iF�Let���k�쭲b�Ge�a�eld.�F	Supp�ose�that��E�/��is�an�elliptic�curv���e�whic�h�can�b�Ge�dened�o�v�er��k�쭲but�view�����iF�E���as�=Wan�elliptic�o���v�er�=Wthe�separable�closure��k��P���^��sep��1۲of��k�P��.�i�Dene�a�group��B��Ȳas�follo���ws.�As�a�set��B��Ȳis�����iFthe�4�collection�of�all�pairs�(����;����[ٲ)�where����߲:���E�Z��!��E��j�is�4�an�isomorphism�of�sc���hemes�(not�necessarily�����iFo���v�er�UU�k��P���^��sep���)�and����.�is�a��k�P��-automorphism�of��k����^��sep��Iٲsuc���h�that�the�follo�wing�diagram�comm�utes.��$!󍍟�͍����<�E������T΍��)�����2��������w��������!����������E�������\�#����ub#����������Oa�Sp�Gec���A(�k��P���^��sep�������T΍����ٟ��W�W	▟��������2���jk� ������6S������������gݲSp�Gec���Y��k��P���^��sep������$!��iF�Here�����~��fe���g�����
���denotes��the�morphism�of�sc���hemes�induced�b�y���[ٲ.���Note�that�the�map�induced�b�y�(����;����[ٲ)�����iFfrom�-��E����(�k��P���^��sep���)���!��E��(�k��P���^��sep���)�-�is�a�group�homomorphism.�d�This�can�b�Ge�seen�b���y�a�sligh�t�generalization�����iFin��swhic���h�w�e�consider�suc�h�morphisms�(����;����[ٲ)�b�Get�w�een�pairs�(�E���;���`�)�where��E���is�an�elliptic�curv�e�����iFo���v�er��Ga�eld��`�.��Th���us�a�morphism�b�Get�w�een�(�E���;���`�)�and�(�F�G;�m�)�is�a�pair�(����;��[ٲ)�where���0q�:���E��7�!��F��ֲis�����iFan��Oisomorphism�of�sc���hemes�and���"�:���`��!��m��O�is�an�isomorphism�of�elds�and�the�follo�wing�diagram�����iFcomm���utes.���󍍟�͍����E������T΍�������2�������p��������J!������ٍ2�F����������#�����#�����������r�Sp�Gec����9�`������T΍����S���W�W	▟��������2���� ������6S������������W�Sp�Gec����m����������iF�The���induced�morphism�on�p�Goin���ts�can�then�b�e�though���t�of�relab�eling�a�p�oin���t�on��E��0�and�relab�eling�����iFthe�jdening�equations�of��E����then�mapping�the�p�Goin���t�o�v�er�to��F���b�y�an�isomorphism�of�elliptic�����iFcurv���es�UUo�v�er��Sp�Gec��G�`��where��F���is�giv�en�the��Sp�Gec��G�`��structure�induced�b�y���[ٲ.�����iFThe�UUpro�Gduct�(����;����[ٲ)�8���(���!ǟ�^��0����;���[ٟ�^��0��*�)�UUis�(���!ǟ�^��0�������;���[ٟ�^��0��*��[ٲ).��&y�����d����č�E������T΍��y����2��������������bF!�������2K�F������T΍��>)�������r�0����2�����������������!�������0�G�������?7�#�����.#����U#���y������`������T΍���GO���W�W	▟��������2����� ������6S������������S�m������T΍���x���W�W	▟������������r�0����2���
� ���I������������������<}������������n�����%�@���iF�Recall��that�w���e�ha�v�e�xed�an�elliptic�curv�e��F�y��o�v�er��k��P���^��sep���,�F%and�dened��B��m�to�b�Ge�the�set�of�pairs�����iF(����;����[ٲ)�b�with�����:��@�F�@ϸ!��F��/�an�b�isomorphism�of�sc���hemes�and����:��@�k��P���^��sep���ĸ!��k��P���^��sep��W$�a�b�eld�isomorphism�o���v�er�����iF�k�P��.�q�Let�UU�G�^�=���Gal��g(�k����^��sep���=k��).�Then�UUthere�is�an�exact�sequence��G���m$0���!���Aut�������k��+B���sep���"��(�E����)��!��B����x[�����(��`�;�@L�)�7!�����������G�������	�:���������������>������������������������������������������/�!����+Q�G�^�!��0�:�����iF�The�|�pro��8jection�map�to��B���!�{G�b�is�surjectiv���e�exactly�b�Gecause�w�e��assume��}'d��that��F�� �actually�arises�����iFb���y�:�base�extension�from�some�elliptic�curv�e�o�v�er��k�P��.�h�Th�us�there�is��E���=k��+�suc�h�that��F�*��=���E�������k����k��P���^��sep���.�����iFUsing���E��)�w���e�see�that�giv�en�an�y�automorphism���"�2���G��w�e�can�construct�an�elemen�t�of��B��q�.�^�Simply�����iFtak���e��the�pro�Gduct�of�the�map����'�������0c�:���Sp�ec�����k��P���^��sep���k�!���Sp�ec���k��P���^��sep��
V�with��the�iden���tit�y��map�1��:��E��t�!��E��_�to�����iFobtain�UUa�morphism�of�sc���hemes��э�qi�F����T͍��*�����+3���*��=������ݵE��m�����k��$p�k��P������sep�����T΍�%�1����s���������2��������������Ѩ���������������"!����'u�E������k���k��P������sep�����T͍��������+3������=�����IҵF�G:�����iF�F��*�or�UUnotational�con���v�enience�UUlet��A���=��Aut�������k��+B���sep���"��(�F�c��).�q�There�UUis�often�an�isomorphism������f�E���=k���:���E����T͍��Z�����+3���Z��=������!ß��k��+B���sep�����F�c��g�=����T͍������+3����=������
�6���k�����yƸ�����<!�f��UU�con���tin�uous�group-theoretic�sections��G�^�!���B���K��g�=��q�A:����m�*********���End�Unverie��}'d�*********�����(k2��Š���@����ٍ�������&iF�Chapter�i�8��2�E��&iF�Class��Field�Theory��:�E���&iF�8.1��J��Main�L�theorems�of�class�eld�theory���i������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��
����&iF�Theorem��T8.1.1.���w��L��}'et�
�L=K��"�b�e�the�class�eld�c�orr�esp�onding�to��N��/����J����K�����.���Then�a�plac�e��v�e��of��K����&iF�splits���c��}'ompletely�in��L��i��K���^�������፴v���
>5����N��.���ύ���&iFPr��}'o�of.���E���See�UUXI.3�of�[�6��].���6����ff����d�ff�Y��ff����ff����'��5iFLet�UU�L=K�q�b�Ge�a�nite�ab�elian�extension�of�n���um�b�er�UUelds.�q�F��*�or�an���y�place��v��.�of��K�q�let�� ����`��U����v���f�=�������\�(����.���
�S�O����䍐G���7s��K���v�������+�G�v��.�nite����fc���
�S�K���^�������፴v������+�G�v��.�innite������� ���&iFLet���I����v��I�����S�Gal��)U(�L=K���)�denote�the�inertia�group�of�some�(an���y)�prime�lying�o�v�er��v�[ٲ.��g(This�is�w�ell-����&iFdened�UUb�Gecause��L=K�q�is�ab�elian.)������&iF�Theorem��T8.1.2.���w��L��}'et��εL=K�g��b�e�the�class�eld�c�orr�esp�onding�to��N�����t�J����K�����.��LThen��(�U����v���N�;���L=K���)�=��I����v���,����&iFin���p��}'articular��U����v���f����N���i��v����is�unr�amie�d�in��L=K���.������&iFPr��}'o�of.���E���See�UUXI.4�of�[�6��].���6����ff����d�ff�Y��ff����ff�����X����*********���End�Unverie��}'d�*********��#�8���&iF�8.2��J��Ra���y�L�and�ring�class�elds���i���&iF8.3��J��T����ables�L�of�class�groups���i������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�������&iF�8.3.1��O�FQuadratic��imaginary�extensions��i���&iF�The�%�follo���wing�is�a�table�of�class�groups�of�quadratic�imaginary�extensions�of��Q�.��LIt�w�as�con-����&iFstructed�UUusing�unix�sort,�emacs,�and�the�pari�program��
��+�C�for(d=1,100,if(issqrfree(k),����Z�(k=buchgenfu(x^2+d);print(k[3,1][1],"&",k[5,1][2],"\\"),)�?�)����&iF�See�UUm���y�section�on�pari�for�an�implemen�tation�of��issqrfree�.���K����i#40����)~��Š���@������iF�8.3.��T��*�ABLES�UUOF�CLASS�GR���OUPS����41����ٍ�������<N��yL͉ff:���fd����ͤ���ff��͟�fd�D����K��
����ff���!�*�C��l����K��
������ff����ff:�������ͤ���ff�	����fd�-3���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�	����fd-4���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�	����fd-7���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�	����fd-8���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff� ���fd-11���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff� ���fd-15���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff� ���fd-19���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff� ���fd-20���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff� ���fd-23���ff���(�V3�������ff�������ͤ���ff� ���fd-24���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff� ���fd-31���ff���(�V3�������ff�������ͤ���ff� ���fd-35���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff� ���fd-39���ff���(�V4�������ff�������ͤ���ff� ���fd-40���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff� ���fd-43���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff� ���fd-47���ff���(�V5�������ff�������ͤ���ff� ���fd-51���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff� ���fd-52���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff� ���fd-55���ff���(�V4�������ff�������ͤ���ff� ���fd-56���ff���(�V4�������ff�������ͤ���ff� ���fd-59���ff���(�V3�������ff����ff:�������z.��yL͉ff@�8�fd����ͤ���ff����fd�D����K������ff���&*��C��l����K��Wğ���ff����ff@�8�����ͤ���ff�LΟ�fd�-67���ff���,��1�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-68���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-71���ff���,��7�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-79���ff���,��5�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-83���ff���,��3�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-84���ff���$UX2�8���2��͟���ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-87���ff���,��6�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-88���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-91���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff�LΟ�fd-95���ff���,��8�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-103���ff���,��5�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-104���ff���,��6�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-107���ff���,��3�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-115���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-116���ff���,��6�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-119���ff���*q�10��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-120���ff���$UX2�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-123���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-127���ff���,��5�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-131���ff���,��5�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-132���ff���$UX2�8���2��͟���ff����ff@�8������t��yL͉ff@�8�fd����ͤ���ff����fd�D����K������ff���&*��C��l����K��Wğ���ff����ff@�8�����ͤ���ff��͟�fd�-136���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-139���ff���,��3�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-143���ff���*q�10��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-148���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-151���ff���,��7�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-152���ff���,��6�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-155���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-159���ff���*q�10��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-163���ff���,��1�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-164���ff���,��8�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-167���ff���*q�11��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-168���ff���$UX2�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-179���ff���,��5�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-183���ff���,��8�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-184���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-187���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-191���ff���*q�13��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-195���ff���$UX2�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-199���ff���,��9�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-203���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-211���ff���,��3�i=����ff����ff@�8��������yL͉ff@�8�fd����ͤ���ff����fd�D����K������ff���&*��C��l����K��Wğ���ff����ff@�8�����ͤ���ff��͟�fd�-212���ff���,��6�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-228���ff���$UX2�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-232���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-244���ff���,��6�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-247���ff���,��6�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-248���ff���,��8�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-255���ff���$UX6�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-259���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-260���ff���$UX4�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-263���ff���*q�13��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-264���ff���$UX4�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-267���ff���,��2�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-271���ff���*q�11��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-276���ff���$UX4�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-280���ff���$UX2�8���2��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd-283���ff���,��3�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-287���ff���*q�14��<����ff�������ͤ���ff��͟�fd-291���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-292���ff���,��4�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-295���ff���,��8�i=����ff�������ͤ���ff��͟�fd-296���ff���*q�10��<����ff����ff@�8������|��K�Class�UUgroups�of�quadratic�imaginary�extensions�of��Q�.��D��m�*********���End�Unverie��}'d�*********��Y�����iF�8.3.2���FGauss'��class�n��um�b�`er��problem.��uT���iF�Gauss'�D�class�n���um�b�Ger�D�problem�is,���for�eac���h�p�ositiv���e�in�teger��m�,���to�determine�the�nitely�man�y�����iFquadratic�O�imaginary�extensions�of��Q��ha���ving�class�n�um�b�Ger��m�.�o�This�has�b�een�solv���ed�in�principle�����iFb���y�OXGoldfeld-Gross-Zagier.�o�In�a�recen�t�pap�Ger�of�Arno,�P�Robinson�and�Wheeler�[�2��]�the�problem�is�����iFsolv���ed�[for�all�o�Gdd��m�В���23.���Here�[is�a�table�of�some�of�the�kno�wn�results.���The�ones�with�a�*�are�����iFconjectural;�	�all��uothers�ha���v�e��ub�Geen�pro���v�ed.��((I��Vcomputed��uthis�table�using�pari,��}and�then�v���eried�����iFthat�UUit�w���as�the�same�as�the�table�giv�en�in�[�2��].)���7I�����-���6�ffg��32����ͤ�΄ff��͟�32�h�
�;��ff����ff���*���D���where�\t�D��is�a�discriminan�Ӎt�with�class�n�um�b�,rer��h���ğ�΄ff���34�ffg���ffg�����ͤ�΄ff��͟�32�1��a��ff����ff���*�3�;�:�4�;��7�;��8�;��11�;��19�;��43�;��67�;��163���.��΄ff����ffg�����ͤ�΄ff��͟�322��a��ff����ff���*�15�;�:�20�;��24�;��35�;��40�;��51�;��52�;��88�;��91�;��115�;��123�;��148�;��187�;��232�;��267�;��403�;��427���֟�΄ff����ffg�����ͤ�΄ff��͟�323��a��ff����ff���*�23�;�:�31�;��59�;��83�;��107�;��139�;��211�;��283�;��307�;��331�;��379�;��499�;��547�;��643�;��883�;��907��U��΄ff����ffg�����ͤ�΄ff��͟�324��a��ff����ff���*�39�;�:�55�;��56�;��68�;��84�;��120�;��132�;��136�;��155�;��168�;��184�;��195�;��203�;��219�;��228�;��259�;��280�;��291�;��292�;�W�l��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��312�;�:�323�;��328�;��340�;��355�;��372�;��388�;��408�;��435�;��483�;��520�;��532�;��555�;��568�;��595�;��627�;��667�;��708�;�TK��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��715�;�:�723�;��760�;��763�;��772�;��795�;��955�;��1003�;��1012�;��1027�;��1227�;��1243�;��1387�;��1411�;��1435�;��1507�;��1555�BIv��΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�325��a��ff����ff���*�47�;�:�79�;��103�;��127�;��131�;��179�;��227�;��347�;��443�;��523�;��571�;��619�;��683�;��691�;��739�;��787�;��947�;�h�J��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��1051�;�:�1123�;��1723�;��1747�;��1867�;��2203�;��2347�;��2683�Ģ͟�΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�326�\t*���ff����ff���*�87�;�:�104�;��116�;��152�;��212�;��244�;��247�;��339�;��411�;��424�;��436�;��451�;��472�;��515�;��628�;��707�;��771�;��808�;��835�;�I���΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��843�;�:�856�;��1048�;��1059�;��1099�;��1108�;��1147�;��1192�;��1203�;��1219�;��1267�;��1315�;��1347�;��1363�;��1432�;��1563�;�@i��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��1588�;�:�1603�;��1843�;��1915�;��1963�;��2227�;��2283�;��2443�;��2515�;��2563�;��2787�;��2923�;��3235�;��3427�;��3523�;��3763�;�՟�΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�327��a��ff����ff���*�71�;�:�151�;��223�;��251�;��463�;��467�;��487�;��587�;��811�;��827�;��859�;��1163�;��1171�;��1483�;��1523�;��1627�;��1787�;�Qj��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��1987�;�:�2011�;��2083�;��2179�;��2251�;��2467�;��2707�;��3019�;��3067�;��3187�;��3907�;��4603�;��5107�;��5923�]�S��΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�328*�)A��ff����ff���*�95�;�:�111�;��164�;��183�;��248�;��260�;��264�;��276�;��295�;��299�;��308�;��371�;��376�;��395�;��632�;��651�;��660�;��712�;�W���΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��820�;�:�840�;��852�;��868�;��904�;��915�;��939�;��952�;��979�;��987�;��995�;��1032�;��1043�;��1060�;��1092�;��1128�;��1131�;�M�J��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��1155�;�:�1195�;��1204�;��1240�;��1252�;��1288�;��1299�;��1320�;��1339�;��1348�;��1380�;��1428�;��1443�;��1528�;��1540�;�Joh��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��1635�;�:�1651�;��1659�;��1672�;��1731�;��1752�;��1768�;��1771�;��1780�;��1795�;��1803�;��1828�;��1848�;��1864�;��1912�;�Joh��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��1939�;�:�1947�;��1992�;��1995�;��2020�;��2035�;��2059�;��2067�;��2139�;��2163�;��2212�;��2248�;��2307�;��2308�;��2323�;�Joh��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��2392�;�:�2395�;��2419�;��2451�;��2587�;��2611�;��2632�;��2667�;��2715�;��2755�;��2788�;��2827�;��2947�;��2968�;��2995�;�Joh��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��3003�;�:�3172�;��3243�;��3315�;��3355�;��3403�;��3448�;��3507�;��3595�;��3787�;��3883�;��3963�;��4123�;��4195�;��4267�;�Joh��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��4323�;�:�4387�;��4747�;��4843�;��4867�;��5083�;��5467�;��5587�;��5707�;��5947�;��6307��?��΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�329��a��ff����ff���*�367�;�:�419�;��491�;��563�;��823�;��1087�;��1187�;��1291�;��1423�;��1579�;��199�;��2003�;��2803�;��3163�;��3259�;��3307�;��3547�;��3643�;�+vk��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��4027�;�:�4243�;��4363�;��4483�;��4723�;��4987�;��5443�;��6043�;��6427�;��6763�;��6883�;��7723�;��8563�;��8803�;��9067�;��10627�81���΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�3211�)A��ff����ff���*�167�;�:�271�;��659�;��967�;��1283�;��1303�;��1307�;��1459�;��1531�;��1699�;��2027�;��2267�;��2539�;��2731�;��2851�;��2971�;��3203�;�5�j��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��3347�;�:�3499�;��3739�;��3931�;��4051�;��5179�;��5683�;��6163�;��6547�;��7027�;��7507�;��7603�;��7867�;��8443�;��9283�;��9403�;�9N)��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��9643�;�:�9787�;��10987�;��13003�;��13267�;��14107�;��14683�;��15667��8
��΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�3213�)A��ff����ff���*�191�;�:�263�;��607�;��631�;��727�;��1019�;��1451�;��1499�;��1667�;��1907�;��2131�;��2143�;��2371�;��2659�;��2963�;��3083�;��3691�;��4003�;��4507�;��4643�;��͟�΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��5347�;�:�5419�;��5779�;��6619�;��7243�;��7963�;��9547�;��9739�;��11467�;��11587�;��11827�;��11923�;��12043�;��14347�;��15787�;��16963�;��20563��v��΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�3217�)A��ff����ff���*�383�;�:�991�;��1091�;��1571�;��1663�;��1783�;��2531�;��3323�;��3947�;��4339�;��4447�;��4547�;��4651�;��5483�;��6203�;��6379�;��6451�;��6827�;��6907�;�����΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��7883�;�:�8539�;��8731�;��9883�;��11251�;��11443�;��12907�;��13627�;��14083�;��14779�;��14947�;��16699�;��17827�;��18307�;��19963�;��21067�;�x���΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��23563�;�:�24907�;��25243�;��26083�;��26107�;��27763�;��31627�;��33427�;��36523�;��37123��Y��΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�3219�)A��ff����ff���*�311�;�:�359�;��919�;��1063�;��1543�;��1831�;��2099�;��2339�;��2459�;��3343�;��3463�;��3467�;��3607�;��4019�;��4139�;��4327�;��5059�;��5147�;��5527�;�̟�΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��5659�;�:�6803�;��8419�;��8923�;��8971�;��9619�;��10891�;��11299�;��15091�;��15331�;��16363�;��16747�;��17011�;��17299�;��17539�;��17683�;�F��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��19507�;�:�21187�;��21211�;��21283�;��23203�;��24763�;��26227�;��27043�;��29803�;��31123�;��37507�;��38707�WHQ��΄ff����ffg��32����ͤ�΄ff��͟�3221�)A��ff����ff���*�431�;�:�503�;��743�;��863�;��1931�;��2503�;��2579�;��2767�;��2819�;��3011�;��3371�;��4283�;��4523�;��4691�;��5011�;��5647�;��5851�;��5867�;��6323�;����΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��6691�;�:�7907�;��8059�;��8123�;��8171�;��8243�;��8387�;��8627�;��8747�;��9091�;��9187�;��9811�;��9859�;��10067�;��10771�;��11731�;��12107�;��j��΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��12547�;�:�13171�;��13291�;��13339�;��13723�;��14419�;��14563�;��15427�;��16339�;��16987�;��17107�;��17707�;��17971�;��18427�;��18979�;�d���΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��19483�;�:�19531�;��19819�;��20947�;��21379�;��22027�;��22483�;��22963�;��23227�;��23827�;��25603�;��26683�;��27427�;��28387�;��28723�;�d���΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��28867�;�:�31963�;��32803�;��34147�;��34963�;��35323�;��36067�;��36187�;��39043�;��40483�;��44683�;��46027�;��49603�;��51283�;��52627�;�d���΄ff�������͟�΄ff��N�ff����ff���*��55603�;�:�58963�;��59467�;��61483���I��΄ff����ffg�펎�����*�D��Š���@�����&iF�42�����CHAPTER�UU8.��CLASS�FIELD�THEOR��*�Y����ٍ��vn���&iF�8.3.3��O�FReal��quadratic�elds��uT������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********����&iF�The�UUfollo���wing�is�a�table�of�class�groups�of�real�quadratic�n�um�b�Ger�elds.���`����{R��mL͉ff:���fd����ͤ���ff��͟�fd�D����K��
����ff���!�*�C��l����K��
������ff����ff:�������ͤ���ff�Kb��fd�5���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Kb��fd8���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd12���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd13���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd17���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd21���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd24���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd28���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd29���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd33���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd37���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd40���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff��a��fd41���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd44���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd53���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd56���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd57���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd60���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff��a��fd61���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd65���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff��a��fd69���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd73���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd76���ff���(�V1�������ff����ff:��������2���mL͉ff:���fd����ͤ���ff��͟�fd�D����K��
����ff���!�*�C��l����K��
������ff����ff:�������ͤ���ff��a��fd�77���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd85���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff��a��fd88���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd89���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd92���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd93���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff��a��fd97���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd101���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd104���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd105���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd109���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd113���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd120���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd124���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd129���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd133���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd136���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd137���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd140���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd141���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd145���ff���(�V4�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd149���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd152���ff���(�V1�������ff����ff:��������Π�mL͉ff:���fd����ͤ���ff��͟�fd�D����K��
����ff���!�*�C��l����K��
������ff����ff:�������ͤ���ff�Ka��fd�156���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd157���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd161���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd165���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd168���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd172���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd173���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd177���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd181���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd184���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd185���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd188���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd193���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd197���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd201���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd204���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd205���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd209���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd213���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd217���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd220���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd221���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd229���ff���(�V3�������ff����ff:�������4��mL͉ff:���fd����ͤ���ff��͟�fd�D����K��
����ff���!�*�C��l����K��
������ff����ff:�������ͤ���ff�Ka��fd�232���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd233���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd236���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd237���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd241���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd248���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd249���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd253���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd257���ff���(�V3�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd264���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd265���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd268���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd269���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd273���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd277���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd280���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd281���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd284���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd285���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd293���ff���(�V1�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd296���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd312���ff���(�V2�������ff�������ͤ���ff�Ka��fd316���ff���(�V3�������ff����ff:��������|���IClass�UUgroups�of�real�quadratic�extensions�of��Q�.������*********���End�Unverie��}'d�*********���6���&iF�8.3.4��O�FCyclotomic��elds��������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�����*********���End�Unverie��}'d�*********�����+����Š���@����ٍ���n���iF�Chapter�i�9��2���iF�Math��254B:�Final�Problem�Set��4��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��������iFExer��}'cise���9.0.1��(1)�.���H��a)�͈L��}'et��K����b�e�a�numb�er�eld.�FxL�et��E�a�b�e�the�maximal�ab�elian�extension�of��K�����iF�such�|~that���Sp�Gec��Ý(�O����E���m�)���!���Sp�Gec��7(�O����K�����)�|~�is�an�;��$�etale�map.���Determine�the�gr��}'oup��H������J����K��21�to�which��E��is�����iFthe��6class�eld.�ʄb)�L��}'et��h�䤲=�#[�Pic��(�O����K�����)]�.�Show��6that��h�j�#[�Gal���(�E���=K���)]��and�that��#[�Gal��(�E���=K���)]�=h��is�����iFa���p��}'ower�of��2�.�����iF�Let����k�(�H���=���K�������������
�Ο���Y����7��	!Ŵv�@L�2�S���1������(�K������������፴v���w�)������2���S����������Y�����8�v�@L�62�S���1�������U����v���f���J����K�����:���(���iF�By�S�Theorem�8.1.2��H�#߲corresp�Gonds�to�the�maximal�extension�of��K�
��whic���h�is�unramied�at�all�����iFnite�mBplaces��v�[ٲ.���F��*�or�an���y�nite�extension��L��of��K�$^�the�map��Sp�Gec���a(�O����L���t�)����!���Sp�Gec��6(�O����K�����)�mBis�&%��Getale�i�the�����iFcorresp�Gonding�t�extension�of�rings��O����L���t�=�O����K��*��is�unramied.�бThis�is�the�case�i�the�extension��L=K�����iF�is�UUunramied�at�all�nite�places.�q�Th���us��H�%S�corresp�Gonds�to��E����.�Let���ҍ��r�N��3�=���K�������������
�Ο���Y����7��	!Ŵv�@L�2�S���1���� ���K������������፴v���	������������Y�����8�v�@L�62�S���1�������U����v���p����iF�b�Ge���the�norm�subgroup�corresp�onding�to�the�Hilb�ert�class�eld�of��K���.���Then��h��˲=�[�J����K��V~�:��N��]���and�����iF�H������N�lp�so��������[�E�Z��:���K���]�=h�����6���=�����HV�[�J����K��
|˲:���H����]�=�[�J����K���:��N��]�=�([�J����K���:��N��][�N��3�:��H����])�=�[�J����K���:��N��]�=�[�N��3�:��H����]����'����6��=�����HV�[�K�������������
�Ο���Y����7��	!Ŵv�@L�2�S���1���� ���K������������፴v���
>5�:���K�������������
�Ο���Y����7��	!Ŵv�@L�2�S���1������(�K������������፴v���w�)������2��|s�]�=�[�����	����Y����7��v�@L�2�S���1�����׿R��������	��:���1����4�����Y����7�����v�@L�2�S���1����0�R����䍷���@��+�����]�=�2������#[�S���1��N?�]��1������������iF�Exer��}'cise���9.0.2��(2)�.���H��L��}'et��!�K��=�b�e�a�numb�er�eld.��DL�et��K�����^��ab��
�\�b�e�the�maximal�ab�elian�extension�of��K�����iF�and���let��K����1��?��=���K���(�����m�����;��>��al���l���.�m��2��N�)�.���Use���class�eld�the��}'ory�to�describ�e��G���=��Gal��g(�K�����^��ab��	�;�=K����1��x�)�.�����iF�Let��� �@k�:�䒵C����K���E�!���Gal����(�K�����^��ab��	�;�=K���)�b�Ge�the�recipro�cit���y�map.�s�Let��N����=�䒸f�x��2��C����K���E�:�� �[ٲ(�x�)�j����K���1���k�=�1�g�.�����iFThen�����by�N�A�=�����k���er��(� �[ٲ)����T͍�������+3�����=�����
UN� ��(�N��)����T͍�������+3�����=������G:���э��iF�So�A�to�describ�Ge��G��it�w���ould�suce�to�describ�e��N�X��and��k���er���(� �[ٲ).��P���eople�don't�y�et�kno�w�ho�w�to�describ�Ge������iFk���er���Ź(� �[ٲ).��
�N��ܲis�i�the�in���tersection�of�the�norm�subgroups�corresp�Gonding�to�the�v��q�arious��K���(�����m�����).�It�is�����iFtempting��>to�sa���y�that�this�is�the�in�tersection�of�the�in�v�erse�images�of�the�corresp�Gonding�subgroup�����iFof�UU�C����Q��	G�but�I�don't�kno���w�if�this�is�true.�����iF[Since��ĵK����1��4��con���tains�the��m�-th�ro�Gots�of�unit�y�for�all��m�,��`Kummer�theory�describ�Ges��K�����^��ab��	�;�=K����1������iF�in�UUterms�of��K���^��������1���x�=�(�K���^��������1����)���^��m��
��for�UUv��q�arious��m�.]��6�����iF�Exer��}'cise���9.0.3��(3)�.���H��L��}'et�Nq�d��2��Z���^����r�b�e�Nqa�squar�e�fr�e�e�(non-zer�o)�inte�ger.��5Use�class�eld�the�ory�to�����iFdetermine���the�smal���lest��m���2��N����such�that��K�~4�=���Q�(����zP�p���UW��zP�fe4r�����d����
�ɲ)����Q�(�����m�����)�.�����iF�Let�/��D�v��b�Ge�the�discriminan���t�of��K�淲so��K����=�݉�Q�(�������p���UW�����fe���wv��D������).�
�The�recipro�cit���y�map�� ����K��
�<�:�݉�C����Q���M�!������iF�Gal��	H(�K�(�=�Q�)��=��f�1�g�UU�factors�as�����9��C����Q������ܸ�����R!��U`!��������`�������������b�����3����:�p�6j�D���)�Q����������፴p�����=�Z����������፴p���������b�����
�8�����8���b�����	����:�p�j�D���Q����������፴p���������b�����
�8�����8���b������7�R���������=�R����䍷���@��+���������b��������UX���`����N<�=�Q��������	��!����Gal��g(�K�(�=�Q�)��=��f�1�g���K����i#�43����,�p��Š���@�����&iF�44�����CHAPTER�UU9.��MA��*�TH�254B:�FINAL�PR���OBLEM�SET����ٍ��vn��&iF�W��*�e���view�����:�p�6j�D��
�I�Q���^�����፴p�����=�Z���^�����፴p���	�޲as��I���(�D�G�)��=��f�n��2��Z����>�0��
���:�(�n;���D��)�=�1�g�.�Q�The���map�� ����K��
���on�a�factor��Z���^�����፴p���	�޲with��p�j�D����&iF�is�UUgiv���en�b�y���Ǎ�d-�Z����������፴p���	��!���(�Z�=p�Z�)����������=�((�Z�=p�Z�)���������)������2��C��,��UX�!���������Y���j����p�j�D���a�(�Z�=p�Z�)���������=�((�Z�=p�Z�)���������)������2�����xX���
�������#��cmex7�Q�����������C��������[!����itf�1�g�:��"L܍�&iF�(If�%�p���=�2�j�D�m�replace�(�Z�=�2�Z�)���^������=�((�Z�=�2�Z�)���^�����)���^��2���\�b���y�(�Z�=�4�Z�)���^�����=�((�Z�=�4�Z�)���^�����)���^��2���\�in�the�ab�Go���v�e�pro�Gduct.)�a�Note����&iFalso���that�(�Z�=p�Z�)���^������=�((�Z�=p�Z�)���^�����)���^��2�����T͍��	V����+3���	V�=��������f�1�g����so�the�last�map������Q����mak���es�sense.�,�F��*�or��p�j�D�G�,��1dening����&iF� ����K��� �on�m�Z���^�����፴p���
�n�also�denes�� ����K���on��Q���^�����፴p���
�n�since�mo�Gdulo��Q���^�����ev���ery�elemen�t�of�����:�p�j�D��
�I�Q���^�����፴p���
�n�is�in�����:�p�j�D���Z���^�����፴p�����.����&iFUsing��the�fact�that�� ����K�����(�Q���^������)�s�=�1��w���e�that��n�s��2��I���(�D�G�)��maps�to�the�image�of��n���^���1��y��under�the�map��G����&iF����Q���/���p�j�D��=�X�(�Z�=p�Z�)���^������=�((�Z�=p�Z�)���^�����)���^��2�����xX���
�������Q�����������C��������[!����itf�1�g�:����5iF�W��*�e�Ncan�use�this�description�to�answ���er�problem�5�whic�h�asks�for�the�k�ernel�of�� ����K�����.�o^When��K����&iF�is�UUimaginary��*�,��
qˍ����k���er���^n(� ����K�����)��=��Q�����������8�f�(�n;�����>����Y���j������p�j�D������u����p���R�;����	z�)�:��n�������1�����������Y���j���g�p�j�D���R
�u����p��fj�7!����g��� ��&iF�where�UU��В�2��f�1�g��=��R���^������=�R����䍷���@��+���
V�and��u����p��fj�2��Z���^�����፴p�����.�q�When��K�q�is�real��S������kk���er���"�(� ����K�����)��=��Q�����������8�f�(�n;�����>����Y���j������p�j�D������u����p���R�)�:��n�������1�����������Y���j���g�p�j�D���R
�u����p��fj�7!��1�g�:��!���&iF�[This�UUdescription�lea���v�es�UUsomething�to�b�Ge�desired.]����5iFSince�%�the�same�(nite)�primes�ramify�in��L���=��Q�(�����D��@��)�%�as�in��K���,�/\the�recipro�Gcit���y�map�� ����L��	"Q�factors����&iFas���U��<p|�C����Q������ܸ�����R!��U`!��������`�������������b�����3����:�p�6j�D���)�Q����������፴p�����=�Z����������፴p���������b�����
�8�����8���b�����	����:�p�j�D���Q����������፴p���������b�����
�8�����8���b������7�R���������=�R����䍷���@��+���������b��������UX���`����N<�=�Q��������	��!����Gal��g(�L=�Q�)��=�(�Z�=D�G�Z�)����������:��t���&iF�When�UU�p���^��r��m��jj�D��r�(exactly�divides),�the�map�� ����L��	Qɲon��Z���^�����፴p���
V�is��I������Z����������፴p���	��!���(�Z�=p������r��m��Z�)�����������(�Z�=D�G�Z�)����������:����&iF�F��*�rom�rjthis�explicit�description�w���e�see�that�for�an�y��x����2��C����Q���IJ,�y�if�rj� ����L���t�(�x�)�=�1�then�� ����K�����(�x�)�=�1.��Th���us�����&iFN���-�G��:�L=�Q��=pc�(�C����L���t�)������N���
G��:�K�I=�Q��;�(�C����K�����)�;�so��K�~4����L�.�iASince��L��is�the�smallest�cyclotomic�eld�whic���h�is�unramied����&iFoutside�UU�D��r�it�m���ust�b�Ge�the�smallest�whic�h�con�tains��K���.���U����&iF�Exer��}'cise���9.0.4��(4)�.���~��L��}'et�.X�m���2��N��and�let��p��b��}'e�a�r�ational�prime.�w�Determine�the�set�of�isomorphism����&iFclasses���of�ab��}'elian�extensions��K�K�of��Q����p��39�with��[�K�~4�:���Q����p���R�]�=��m�.����5iF�By��]lo�Gcal�class�eld�theory�this�is�the�same�as�nding�the�index��m��subgroups�of��Q���^�����፴p�����.�j�Since����&iFan�5index��m��subgroup�of��Q���^�����፴p���	�6�necessarily�con���tains�(�Q���^�����፴p�����)���^��m��
�вthis�is�the�same�as�nding�the�index��m����&iF�subgroups�UUof��Q���^�����፴p�����=�(�Q���^�����፴p����)���^��m�����.�q�Since�UU�Q���^�����፴p������T͍��	�����+3���	��=�����O�Z���^�����፴p������8�Z��w���e�ha�v�e�����z�Q����������፴p�����=�(�Q����������፴p����)������m�����T͍��
_�����+3���
_��=�������Z����������፴p����=�(�Z����������፴p����)������m��	�{��8�(�Z�=m�Z�)�:���U��&iF�The�šsubgroup��Z���^�����፴p�����=�(�Z���^�����፴p����)���^��m��[5�has�šindex��m��and�corresp�Gonds�to�the�(unique)�unramied�ab�elian����&iFextension��,of��Q����p��|~�of�degree��m�.�I�Let��r�$I�b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger�suc�h�that��p���^���r��
t��<���j�m�j���^���2��፴p����R�:��Then�b�y�Hensel's����&iFlemma�����>m�Z����������፴p�����=�(�Z����������፴p����)������m�����T͍��
_�����+3���
_��=�������(�Z�=p������r��m��Z�)���������=�((�Z�=p������r���Z�)���������)������m�����:�����&iF�If��B�p��>��2�then�(�Z�=p���^��r��m��Z�)���^����ZC�is�cyclic�of�order��'�(�p���^��r���)��=��p���^��r�7��1����(�p�}���1).�@�If��p�䡲=�2�and��r�+�>��1�then����&iF(�Z�=�2���^��r��m��Z�)���^�������T͍��	�����+3���	��=�����O(�Z�=�2�Z�)��&���(�Z�=�2���^��r�7��2����Z�).�a(Th���us�#xif��m��is�prime�to��p��&���1�#xand��p�,�-qw�e�see�that��Q���^�����፴p�����=�(�Q���^�����፴p����)���^��m�����T͍��
_�����+3���
_��=��������&iF�Z�=m�Z�UU�and�so�the�degree��m��unramied�extension�is�the�only�ab�Gelian�extension�of�degree��m�.����5iFAs�UUan�example�w���e�exhibit�all�quadratic�extensions�of��Q����2��|s�.�q�W��*�e�ha�v�e�����챿Q����䍷����2�����=�(�Q����䍷����2����)������2�����T͍��C�����+3���C��=��������Z����䍷����2����=�(�Z����䍷����2����)������2���S��8�2�Z�=�4�Z����T͍�������+3�����=�����
UN�f���[
�fe�����1����;������[
�fe�����2������;������[
�fe�����3����;������[
�fe�����6����g����&iF�where��pџ�~��fe���g��n���
�<�denotes�p�the�class�of��n��in��Q����䍷����2�����=�(�Q����䍷����2����)���^��2��|s�.�%�The�p�three�quadratic�extensions�of��Q����2���D�are��Q����2���(����$��p���UW��$��fe�����2����v),����&iF�Q����2��|s�(����$��p���UW��$��fe�����3����v),�UUand��Q����2���(����$��p���UW��$��fe�����6����v)�since�their�norm�groups�con���tain�2,�3,�and�6,�resp�Gectiv�ely��*�.�����-���Š���@������h��45����ٍ��vn�����iF�Exer��}'cise���9.0.5��(5)�.���H��If�w��d��is�as�in�3)�determine�the�sub��}'gr�oup�w��H������J����Q��	iP�whose�class�eld�is��Q�(����zP�p���UW��zP�fe4r�����d����
�ɲ)�.�����iF�See�UUthe�answ���er�to�problem�3.��ZW�����iF�Exer��}'cise���9.0.6��(6a)�.���Nx�Compute�.2the�class�gr��}'oup�of��K����=�ޛ�Q�(�����5��|s�)�.�h�By��Theorem�3.4.1,�&��D����K���N�=�125.�����iFThe�UUMink���o�wski�b�Gound�is����������<$����c4!���㸟w�fe	|t�	(֍4���r�4�����������_���`���������<$���G�4����v�w�fe�	(֍����������ǟ��`������������ݱ2���������8��=Vp���
�7��=V�fe�ª��125����UR����1�:�7���S���iFwhic���h�UUimplies�that��K�q�has�trivial�class�group.�������iF�Exer��}'cise���9.0.7��(6b)�.���M��Compute���the�class�gr��}'oup�of��K�~4�=���Q�(�����7��|s�)�.�qDzThe�UUMink���o�wski�b�Gound�is���}������<$����+6!������w�fe	|t�	(֍6���r�6����������U'���`���������<$���Ͳ4����>�w�fe�	(֍����������Ï���`��������s���ݱ3���qƸ���8���p���
�7����fe	|t�	<���7���r�5������ø���4�:�1��4:���iFTh���us�l�the�class�group�is�generated�b�y�the�primes�lying�o�v�er�2�and�3.�$6Since��F��*�rob���M(3)��=�3��2��(�Z�=�7�Z�)���^��������iF�has��Dorder�6,��w���e�see�that�3�remain�s�prime�in��O����K�����and�so�the�primes�o�v�er�3�do�not�con�tribute�����iFto��@the�class�group.�:�Let���@�=�6�1�e|+�������^��2���Ҳ+�������^��3��і�and��@�����=�1�+���"_�+�������^��3��9V�.�:�Note��@that������and���\�are�not�units�����iFb�Gecause�UU��BZ��8�1�and��������1�are�b�Goth�units.�q�Their�pro�duct�is��aڍ�L�r��	z�N4�=��1�8�+����ò+����������3��r6�+����������2���+����������3���+����������5���+����������3���+����������4���+����������6��n�=��2���������3������iF�so�b��	z�������^��4����=��<2.���In�terms�of�ideals�this�means�that�(���O����K�����)(����O����K���)��<=�2�O����K����so�bthe�primes�lying�o���v�er�����iF2�UUare�also�all�principal.�q�Th���us�the�class�group�is�trivial.�������iF�Exer��}'cise���9.0.8��(6c)�.���M��Compute�,:the�Hilb��}'ert�class�eld�of��K�a�=��ͿQ�(����$��p���UW��$��fe� ����15����w)�.�ֲSince�*��15����1������(�mo�Gd���4),�ο�D����K��t�=��M��15.���Also��C�N��h�=�[�K�ui�:��Q�]�=�2,��r����2��	:��=�1,�and��C�O����K��t�=��Z�[��	z�]�where������satises�����iF���	z��^��2���i�+�W|��`��+�4��=�0.���By��?Theorem�3.3.1�ev���ery�ideal�class�in��Pic���](�O����K�����)�con�tains�an�ideal�of�norm�less�����iFthan�UUor�equal�to���j������<$����2!���ܟw�fe	|t�	(֍2���r�2���������������`���������<$���u)�4���횟w�fe�	(֍����������/���`������a�����8��=Vp���
�7��=V�fe
�ª��15����UQ=�����<$����2���K�w�fe�	(֍��������<���=V�p������=V�fe
�ª��15���� Y
����2�:�47��c����iFTh���us���the��Pic���(�O����K�����)�is�generated�b�y�the�primes�lying�o�v�er�2�Z�.�T6Since��O����K�����=�2�O����K�����T͍��
|˸���+3���
|˲=������F����2��|s�[�x�]�=�(�x�(�x��{�+�1))�����iFthere���are�2�distinct�primes�of��O����K��
EE�con���taining�2�O����K�����.�/�They�are��p���=�(��	z;����2)�O����K���and�������}�fe-�p���p���
Wײ=�(���ֲ+��\1�;����2)�O����K�����.�����iFIf�UU�p��w���ere�principal�then�its�generator�w�ould�b�Ge�an�elemen�t��a�8�+��b�В�2��O����K���(�a;���b��2��Z�)�UUsuc�h�that��aڍ��H��N���P���:�K�I=�Q��`��(�a�8�+��b�	z�)��=�(�a�8�+��b��)(�a��+��b���~��feo��g����o�)��=��a������2���S��8�ab��+�4�b������2��C��=��2�:�����iF�In��4order�that�the�equation��a���^��2�������ba��+�4�b���^��2�����2��6=�0��4has�a�nonnegativ���e�in�teger�solution�in��a�,���the�����iFdiscriminan���t�捵b���^��2��"�����4(4�b���^��2�����2)��=���15�b���^��2��"�+�8��m���ust�b�Ge�nonnegativ�e.�%nSince��b���2��Z�捲this�means�that�����iF�b���=�0�UUso��a���^��2��C��=��2�whic���h�is�imp�Gossible.�����iFBecause����<Ze�p������2��C��=��(��	z;����2)(��;��2)��=�(���	z�����2����;��2��	z;��4)�=�(��BZ�+�8�4�;��2��	z;��4)�=�(��	z;��4)�=�(��	z�)������iFw���e�UUsee�that��p��has�order�2�in�the�class�group�so��Pic��\s(�O����K�����)��=��Z�=�2�Z�����iF�Let�@&�K����1��C��=���Q�(����$��p���UW��$��fe�����3����v),�Dc�K����2���=��Q�(�����P�p���UW���P�fe�E���5����
UX),�Dcand�@&�H���=��K����1��|s�:K����2���.�j�The�@&primes�3�and�5�are�the�only�primes�����iFwhic���h��Nramify�in��H�A�=�Q��and�they�eac�h�ha�v�e�ramication�index�2.�M�This�is�b�Gecause���3�����1�q�(�mo�d���4)�����iFso���D����K���1���fZ�=�G	��3�and�5����1�q�(�mo�Gd���4)�so��D����K���2���fZ�=�5,��Jso�b���y�Theorem�3.2.11��disc��Z�(�H����)�=�15.�X[If�3�w���ere�����iFtotally���ramied�then�it�w���ould�ramify�in�eac�h�quadratic�subeld�of��H����,��whic�h�is�not�the�case.]�����iFTh���us�?Y�H�A�=K��u�is�unramied�at�all�nite�primes�and�since��H�W�has�no�real�places��H�=K��u�is�unramied�����iFat���the�innite�place.���Th���us��H���is�the�Hilb�Gert�class�eld�of��K���.�[The�same�argumen���t�with�3�and�����iF5�JTreplaced�b���y�primes��p��and��q��-�with��p�_i���3�q�(�mo�Gd���4)�JTand��q��B��_i�1�(�mo�Gd���4)�can�b�Ge�used�to�sho���w�����iFthat���2�divides�the�order�of��Pic���(�Q�(����m�p���UW��m�fe�ȟ����pq������))�and�hence�that�there�are�innitely�man���y�quadratic�����iFimaginary�UUextensions�with�non���trivial�class�group.]�����iFI���rst���tried�to�directly�pro���v�e���that��p�O����H��BQ�is�principal�but�w���as�unsuccesful�b�Gecause�2�remains�����iFinert���in�eac���h�of�the�quadratic�subelds�of��H����.�rThe�tric�k�is�to�mo�v�e�to�another�prime�for�whic�h�����iFthe�gKcomputation�is�m���uc�h�gKeasier.���By�exactly�the�same�argumen���t�as�ab�Go�v�e�one�sees�that�the�����iFprime����q��of��K�>�lying�o���v�er���3�is�not�principal.�	"Since�the�class�group�of��K��has�order�2,��fthere�m���ust�����iFb�Ge��6an�elemen���ts���Z��2�Q9O����K��]�suc�h�that��p�Q9�=�(��	z�)�q�.�jkTh�us��6to�sho�w�that��p��b�Gecomes�principal�in��O����H��=�is�����iFequiv��q�alen���t�ͧto�sho�wing�that��q��b�Gecomes�principal�in��O����H�����.�ڼSince�5�has�no�square�ro�ot�in��F����3��|s�,��the�����iFprime�]�Q��of��H�-�lying�o���v�er�]3�has�degree�2.��Th���us�to�sho�w�that��Q��is�principal�it�suces�to�exhibit�����iFan�UUelemen���t�of��O����H��
��ha�ving�norm�9.�q�One�c�hec�ks�immediately�that�����$��p�������$��fe�����3����� is�suc�h�an�elemen�t.�����.٠�Š���@�����&iF�46�����CHAPTER�UU9.��MA��*�TH�254B:�FINAL�PR���OBLEM�SET����ٍ��vn����&iF�Exer��}'cise���9.0.9��(6d)�.����x�Compute���the�Hilb��}'ert�class�eld�of��K��D�=�F(�Q�(����$��p���UW��$��fe� ����20����w)�=��Q�(����$��p���UW��$��fe�����5����v)�.�
��The����&iFMink���o�wski�UUb�Gound�is����������<$���>d2!���c��w�fe	|t�	(֍2���r�2����������`���`���������<$�����4���?w�w�fe�	(֍����������ȟ��`�������z����ݱ1���/�����8��=Vp���
�7��=V�fe
�ª��20����UQ����2�:�8���&iFso��`the�class�group�is�generated�b���y�the�prime��p��lying�o�v�er�2.��Since��p���^��2��.��=��)2�O����K����is�principal�the����&iFclass�2group�is�either�trivial�or��Z�=�2�Z�.��]The�ideal��p��is�not�principal�i�there�is�no�elemen���t�of��O����K�����&iF�whose�.norm�is�2.�_�Since��O����K��
|˲=���Z�[����$��p���UW��$��fe�����5����v]�this�reduces�to�c���hec�king�.whether�or�not��a���^��2��I��̔�5�b���^��2��C��=�2�has����&iFa���solution�with��a;���b�H(�2��Z�.�ZSince���2�is�not�a�square�mo�Gdulo�5�it�follo���ws�that��p��is�not�principal�so�����&iFPic��4pd(�K���)��=��Z�=�2�Z�.����5iFThe�y�Hilb�Gert�class�eld�is��H����=���Q�(����$��p���UW��$��fe�����1����v�;�������$��p���	����$��fe�����5�����).��\Since�2�and�5�are�the�only�primes�whic���h�can����&iFramify��:in��Q�(����$��p���UW��$��fe�����1����v)�or��K��V�it�follo���ws�that��H��8�is�unramied�outside�2�and�5.�!uSince�2�and�5�b�Goth����&iFramify���in��K���,��to�sho���w�that��H����is�unramied�o�v�er��K��޲it�suces�to�sho�w�that�neither�2�nor�5�is����&iFtotally�B4ramied.�kgThis�follo���ws�b�Gecause�2�do�es�not�ramify�in�the�subeld��Q�(�����P�p���UW���P�fe�E���5����
UX)�����H�2�and�B45�do�es����&iFnot�UUramify�in�the�subeld��Q�(����$��p���UW��$��fe�����1����v)�����H����.����5iFT��*�o�?�c���hec�k�that�the�prime��p��of��K���lying�o�v�er�2�b�Gecomes�principal�in��H��it�suces�to�sho�w�that����&iFthere�y�is�an�elemen���t���
|�2�O����H����suc�h�that��N���
���:�H��=�Q����(��	z�)�=�2���^��2��|s�.��m[This�y�is�enough�b�Gecause�the�prime�lying����&iFo���v�er���2�has�degree�2�in��H�A�=�Q�,���and�so�suc���h�an�elemen�t����F�m�ust�ha�v�e�prime�factorization�equal�to����&iFthe�UUunique�prime�of��H�%S�lying�o���v�er�UU2.]�q�Suc�h�an�elemen�t�is����=��1�8�+�����$��p���
�7��$��fe�����1������since������9T�N���@�͟�:�H��=�Q��Q��(��	z�)��=��N���
G����Q�(�����^�p����ɟ��^�W	
<t�a���1�����=)�=�Q��0�IJ(�N�������H��=�Q�(�����^�p����ɟ��^�W	
<t�a���1�����=)��/@`�(1�8�+�������p���
�7����fe��X��1����UV))��=��N���
G����Q�(�����^�p����ɟ��^�W	
<t�a���1�����=)�=�Q���((1�8�+�������p���
�7����fe��X��1����UV)������2��|s�)��=�(��2)������2��C��=�4�:���Ս���&iF�Exer��}'cise���9.0.10��(6e)�.�����mCompute���the�Hilb��}'ert�class�eld�of��K����=�眿Q�(����$��p���UW��$��fe� ����23����w)�h�The�Mink���o�wski�h�b�Gound����&iFis��������<$��Ⱦc2!���㸟w�fe	|t�	(֍2���r�2���������ғ_���`���������<$���G�4��ٿv�w�fe�	(֍����������ǟ��`������������ݱ1��������8��=Vp���
�7��=V�fe
�ª��23����UQ����3�:�05���&iFLet�cw��l�satisfy����	z��^��2���9��BL��KƲ+�6�ަ=�0�cwso��O����K��
�Y�=�ަ�Z�[��	z�].��-Let��p����1����and��p����2���denote�the�primes�of��O����K��*�lying�o���v�er����&iF2���so��p����1��
Ҳ=��_(2�;����	z�)�and��p����2���=��_(2�;����������1).��|Let��q����1���=��_(3�;����2��	z�)�and��q����2��IZ�denote�the�primes�lying�o���v�er���3.����&iFFirst�UUnote�that��p����1��|s�p����2��C��=��(2)�is�principal�so�[�p����1���]���^���1��
���=��[�p����2���]�in�the�class�group.�q�Second�note�that�������0�p����1��|s�q����1��C��=��(2�;����	z�)(3�;��2���)��=�(6�;����4��;��3��;��2��������2����)��=�(6�;�����)�=�(���)����&iFso��5[�q����1��|s�]�R�=�[�p����1���]���^���1����=�[�p����2���].�	fTh���us��5the�class�group�is�generated�b�y�[�p����1��|s�].�	fSince�the�norm�form����&iF�a���^��2��aʲ+��W�ab��+�6�b���^��2���{�do�Gesn't�Xrepresen���t�2,���w�e�see�that��p����1���{�is�not�principal.�y�In�the�class�group,����p���^���2��l�1����is����&iFequiv��q�alen���t�4/to�either��p����2�����or�the�unit�ideal.�VSince��p����2���is�the�in���v�erse�4/of��p����1��|s�,�k�w���e�see�that�the�class����&iFgroup�L�has�order�either�2�or�3.�n�I�L�could�pro�Gceed�at�this�p�oin���t�b�y�sho�wing�that��p���^���2��l�1������is�not�principal����&iFand��
hence�the�class�group�is��Z�=�3�Z�.���Instead,��I���will�apply�the�class�eld�theory��*�.�Let��H���b�Ge�the����&iFsplitting��eld�of�the�cubic��x���^��3������q��x��+�1.�P�Then��H����is�an�unramied�ab�Gelian�extension�of��K��IJof�degree����&iF3�UUhence�the�class�group�has�order�3.���	����&iF�Exer��}'cise���9.0.11��(6f�)�.�����The���class�gr��}'oup�of��K�~4�=���Q�(�����P�p���UW���P�fe�E���3����
UX)��is�trivial.�qDzThe�UUMink���o�wski�b�Gound�is���������<$����G2!�����w�fe	|t�	(֍2���r�2�����������C���`���������<$����4����Z�w�fe�	(֍����������:����`�������3����ݱ0��������8��=Vp���
�7��=V�fe
�ª��12����UQ�������=Vp���o��=V�fe�ª��3�����7!��&iFso�UUthe�class�group�is�generated�b���y�the�(unique)�prime��p��lying�o�v�er�2.�q�But��ꌍ���5N�����6��:�K�I=�Q���YX�(1�8�+�����=V�p���
�7��=V�fe�ª��3�����8)��=�(1�8�+�����=V�p���
�7��=V�fe�ª��3����)(1�������=Vp���
�7��=V�fe�ª��3����)��=���2��{̍�&iFso�a��p��is�principal,�d�generated�b���y�1�A+������P�p���
�c���P�fe�E���3�����d.���[Use�a�the�fact�that�1�A+������P�p���
�c���P�fe�E���3������is�a�an�in�teger�and�consider�its����&iFfactorization�UUas�a�pro�Gduct�of�prime�ideals.]������&iF�Exer��}'cise���9.0.12��(7)�.������V��;�erify���the�princip��}'al�ide�al�the�or�em�in�the�c�ases�of�pr�oblem�6.����5iF�This�UUis�done�in�the�solutions�to�problem�6.������&iF�Exer��}'cise���9.0.13��(8)�.������V��;�erify�Ucthe�the��}'or�em�Ucfr�om�p�age�224�of�L�ang's�b�o�ok�in�the�c�ases��k���=���Q����11���I�and����&iF�K�K�is���an�ab��}'elian�extension�of��k��~�of�de�gr�e�e��12�.����5iF�A�I�degree�J512�extension�of��Q����11����can�ha���v�e�J5no�wild�ramication�since�11�do�Ges�not�divide�12.����&iFTh���us��eb�y�Theorem�1�in�section�8�of�F��*�r����ohlic�h's�article��L��}'o�c�al��Fields��in�[�4��]�w���e�see�that�all�higher����&iFramication���groups�����i��TL�,��i�����1,�m���ust���b�Ge�0.�R�By�Theorem��8.1.2�w�e�kno�w�that�the�theorem�on�page����&iF224��holds�for�����0��|s�.�O=[F��*�or�fun,�pI��wrote�do���wn�the�three�ab�Gelian�extensions��K��Ӳof��k�>N�of�degree�12�{�they����&iFare�UUin�m���y�notes.]�����/&,��Š���@������h��47����ٍ��vn��m�*********���End�Unverie��}'d�*********�����0A���Š���@�����&iF�48�����CHAPTER�UU9.��MA��*�TH�254B:�FINAL�PR���OBLEM�SET����ٍ��vn��5iF�c���hapterGen�us�UUOne�Curv���es�of�Arbitrary�Index��#J����&iF�9.1��J��Indexes�L�of�Curv���es������&iF�Let�UU�X�7�b�Ge�a�(nonsingular)�curv���e�of�gen�us��g��.�o�v�er�a�n�um�b�Ger�eld��K���.�q�Let��Ap����[@Div����0����K����J�(�X���)��=��Div���o(�X��)�������Gal��p����(���;��
�������K���5�=K�}��)����{��&iF�denote�>�the�group�of��K��ڲrational�divisors�on��X���.�j?The�map�whic���h�assigns�to�a�divisor�its�degree�is����&iFa�UUhomomorphism��
A�����^Pdeg���H�:���Div����o���K��R"�(�X���)���!��Z��A���&iF�whose�8�image�is�a�subgroup��m�Z��of��Z�.�,(The�degree�of�a�prime�divisor��P��[�is�the�degree�of�the����&iFsmallest��iextension�of��K�<��o���v�er��iwhic�h��P����is�rational,��mi.e.,�the�eld�cut�out�b���y�the�subgroup�of�����&iFGal��6	H(���x䍑�������K���	5U=K���)�W$whic���h�xes��P�c��.)�w3W��*�e�sa�y�that�the�in�teger��m��is�the��index��of��X���.�w3The�canonical�divisor����&iFis�K�a�rational�divisor�of�degree�2�g�8�����2�so�the�index�of��X���is�b�Gounded�b���y�(and�in�fact�divides)����&iF2�g��޸�c�2.�/mWhen����g��M�=�0t1�this�condition�do�Ges�not�restrict��m�.�In�[Lang-T��*�ate,��Z1958]�it�is�pro���v�ed���that����&iFthe�0index�is�completely�arbitrary��*�,�7�a�fact�conjectured�b���y�Artin�but�unkno�wn�un�til�then.�e[In�their����&iFconstruction�UUthe�base�eld��K�q�is�not�under�con���trol.�q�They�sa�y��*�,��A���?iH\...�b�giv���en���an�y�p�Gositiv�e�in�teger��m��one�can�construct�a�function�eld�in�one�v��q�ariable����?iHof��_gen���us�1,���o�v�er�a�suitable�algebraic�n�um�b�Ger�eld��K���,���the�degrees�of�whose�divisors����?iHrational�w�o���v�er��K�.ٲare�exactly�the�m�ultiples�of��m�.�'�One�still�do�Ges�not�ha�v�e�suc�h�examples����?iHwhen�UU�K�~4�=���Q�."����5iFGalois�licohomology�of�ab�Gelian�v��q�arieties�pro���vides�a�p�o���w�erful�lito�ol�in�the�searc���h�for�an�answ�er����&iFto�{this�question.�^)If��X��]�is�a�gen���us�one�curv�e�o�v�er��K�ї�then�the�index�of��X��]�is�the�same�as�the�index����&iFof��an���y�of�the�cohomology�classes��c�m�2���H����n�����1���(�K�(�;���E����)��corresp�Gonding�to��X���.���Here��E��I�is�the�Jacobian����&iFv��q�ariet���y�S�of��X���.�qSSince��X�ڲhas�gen�us�one,�T>�E�煲is�an�elliptic�curv�e.�qSThe�index�of�a�cohomology�class��c����&iF�is���dened�to�b�Ge�the�greatest�common�divisor�of�the�degrees�of�the�extensions�of��K�oܲin�whic���h��c����&iF�restricts�UUto�zero.��#J����&iF�9.2��J��Euler�L�Systems�and�Indexes�of�Cohomology�Classes�������&iF�9.2.1��O�FIn��tro�`duction��<ꍑ&iF�Euler��TSystems����&iF�Let����E���=�Q��b�Ge�a�mo�dular�elliptic�curv���e�with�conductor��N��.�41Fix�a�surjectiv�e�morphism���"�:���X����0��|s�(�N��)��!����&iF�E����.��sLet��L�(�E�;���s�)�denote�the��L�-series�asso�Gciated�to��E��.��sAssume�that��L�(�E�;����1)��6�=�0.��sLet��K���b�Ge�a����&iFquadratic���imaginary�extension�of��Q��with�discriminan���t��D����K�����in�whic�h�all�primes�dividing��N����&iF�split.�Fix���an�in���tegral�ideal��N�U��suc�h�that��O����K�����=�����N�����T͍���v����+3����v�=�����Ca�Z�=��q�N��Z�.�Let��H����b�Ge�the�Hilb�ert�class�eld�of����&iF�K���.�e�Let���x����H�����b�Ge�a�p�oin���t�on��X����0��|s�(�N��)(�H����)�corresp�onding�to�(�C�=�O����K�����;����N��y=��^���1��5��=�O����K���).�e�Let���y����H��r��=����[ٲ(�x����H�����),����&iF�y����K��
�e�=���T��*�r���
@��:�H��=K�����(�y����H�����),�v	and�o�y�N��=��y����K��
��JQ�y���^���[ٴ��b�K������,�where����F�denotes�complex�conjugation.��DBy�recen���t�w�ork�of����&iFBump-F��*�riedb�Gerg-Hostein��7w���e�kno�w�that��K�WS�can�b�Ge�c�hosen�so�that��y���has�innite�order.�RnIn�this����&iFcase�MKolyv��q�agin�has�pro���v�en�Mthat��E����(�K���)�has�rank�1,�3�that��E��(�Q�)�has�rank�0,�3�and�that���X���Ӳ(�E�=�Q�)����&iFis��nite.���This�is�accomplished�in�three�steps.�First,�C�using�the�theory�of�mo�Gdular�curv���es�and����&iFcomplex�T8m���ultiplication�one�constructs�an�\Euler�System"�of�p�Goin�ts��y����`��H˸2�o�E����(����C�fe�����Q�����).�noThe�second����&iFstep��jis�to�tak���e�the�\deriv��q�ativ�e"�of�this�Euler�system�to�obtain�a�collection�of�cohomology�classes����&iF�c����`;p����n���g��2��(�H����
�����1��$��(�Q�;���E����).��The�)third�step�is�to�study�the�remark��q�able�prop�Gerties�of�these�cohomology����&iFclasses�UUand�use�them�to�b�Gound�the�orders�of�certain�Selmer�groups.��7/��&iF�The��TResult��<ꍑ&iF�Using�UUthe�classes��c����`;p����n������of�Kolyv��q�agin's�Euler�system�I�can�pro���v�e�UUthe�follo���wing.�����1B��Š���@������iF�9.2.��EULER�UUSYSTEMS�AND�INDEXES�OF�COHOMOLOGY�CLASSES�K-Dz49����ٍ��vn�����iF�Theorem��T9.2.1.���A��L��}'et��#�E�q��b�e�a�mo�dular�curve�with��L�(�E���;����1)�M��6�=�0��as�ab��}'ove.�xKThen�ther�e�is�a�nite�����iFset���S���of�primes�such�that�for�al���l�p��}'ositive�inte�gers��m��not�divisible�by�any�prime�in��S���ther�e�ar�e�����iFinnitely���many�c��}'ohomolo�gy���classes�having�or��}'der�and�index�b�oth�e�qual�to��m�.��'y�����iF�Corollary��T9.2.2.���Cgd�Ther��}'e�x�is�a�nite�set��S�$�of�primes�with�the�fol���lowing�pr�op�erty.�G�L�et��K�/��b�e�a�����iFnumb��}'er�kseld�and��m��a�p�ositive�inte�ger�not�divisible�by�any�prime�in��S����.��Then�ther�e�ar�e�innitely�����iFmany���genus�one�curves��X�\��over��K�K�of�index��m�.�����iF�In�UUterms�of�the�Euler�system�w���e�actually�pro�v�e�the�follo�wing.�������iF�Theorem��T9.2.3.���A��F��;�or���al���l�but�nitely�many�primes��p��and�for�e��}'ach��n�u����1����ther�e�ar�e�innitely�����iFmany���primes��`��such�that�the�c��}'ohomolo�gy���classes��c����`;p����n���Ӌ�have�or��}'der�and�index�b�oth�e�qual�to��p���^��n��q~�.��D����iF�9.2.2���FBac��kground���Ѝ��iF�Fix�UUan�em���b�Gedding�����C�fe�����Q���
㋵,��UX�!���C��and�write���w�for�the�complex�conjugation�on�����C�fe�����Q���s�.��D���iF�Rubin's��TP��9ap�Q�er�����iF�W��*�e�UUrequire�the�follo���wing�results�from�Rubin's�pap�Ger.�q�Assume��p��>��2�UUand�that��D����K��
|˸6�=��3�;����4.�������iF�Lemma��T9.2.4.���9��Fix��8a�prime��p�.�B\Supp��}'ose��`��is�a�prime�not�dividing��pD����K�����N��,��r�c�>�p�0�,�and���8�F��*�rob�������`���̲(�K���(�E����p����r����	�)�=�Q�)��=��
D���iF[��!Dz]�.���Then���if���x䍑��~������E���"�denotes�the�r��}'e�duction���of��E�'t�mo��}'dulo��`��and��a����`�����=���`�8�+�1����#[���x䍑P~�����E����T�(�F����`����)]�,��������*�(i)����	iH�p���^��r��m��j�a����`��l��and���p���^��r���j�`�8�+�1�,��4��������(ii)����	iH�`����r��}'emains�prime�in��K���,���������(iii)����	iH�E����(�Q����`����)����p����r������T͍��n!����+3���n!�=�������x䍑LX~������W�E����(�F����`���)����p����r������T͍��n!����+3���n!�=������W�Z�=p���^��r��m��Z�,���(�E��(�K����`���)����p����r����	�)���^�������T͍��	�����+3���	��=�����O(���x䍑P~�����E����T�(�F����`����2�����)����p����r����)���^������)����T͍�������+3�����=�����
UN�Z�=p���^��r��m��Z�.�����iF�F��*�or��;eac���h�place��v���of��Q��let��m����v���f�=��[�H������^��1��Lq�(�Q���^���unr��፴v���uY�=�Q����v���N�;���E����(�Q���^���unr��፴v����))].�0iEac�h��;�m����v��Q��is�nite�and�all�but�nitely�����iFman���y��xare�zero,��Aso��m�(�p�)��=��sup��#�f��ord���x���p��8�(�m����v���N�)�:��j�all�UUplaces��1Ώ�v���.�of����Q�g��x�is�a�w�ell-dened�in�teger,��Aequal�to�����iFzero�UUfor�almost�all��p�.�������iF�Prop�Q�osition��T9.2.5.���NkI�Supp��}'ose��S�`��is�a�prime�not�dividing��pD����K�����N��n�and���F��*�rob�������`����(�K���(�E����p����r����	�)�=�Q�)���=�[��!Dz]�,�����iFwher��}'e���r�5�=���n�8�+��m�(�p�)�.���Then�ther��}'e�is�an�element��c����`;p����n�����2����H���
G�����1���(�Q�;���E����)����p����n���
��such�that��������iG������	iH�res��������v��wϲ(�c����`;p����n���?��)��=�0����for�al���l��v�"�6�=���`�,��4�������iG�����	iH�the���or��}'der�of���res���� ���`����(�c����`;p����n���?��)��in���H��������1���[�(�Q����`����;���E����)����p����n���
��is�e�qual�to�the�or�der�of��y����in��E����(�K����`����)�=p���^��n��q~�E��(�K����`���)�,��������iG�����	iH�if���p�p�6��j�[�H���:��K���]��then��c����`;p����n���Ӌ�has�index�dividing��p���^��n��q~�.�����iF�F��*�or���eac���h�prime��p��and�p�Gositiv�e�in�teger��n��let��b�(�p���^��n��q~�)��X=��a����1���+����a����2��pV�where���p���^��a���1����s�is�the�order�of�the�����iFlargest�0��Q�-rational�cyclic�subgroup�of��E����p����1����and��p���^��a���2�����is�the�exp�Gonen���t�of��H���
�������1��,��(�K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�=K�(�;���E����p����n���	���)�:�������iF�Theorem��T9.2.6.���A��F��;�or���al���l�but�nitely�many�primes��p��the�numb��}'ers��b�(�p���^��n��q~�)��ar�e�zer�o�for�al���l��n�����1�.�����iF�F��*�or�UUan���y��t���2���H���
G�����1���(�K�(�;���E����p����n���	���),�UUwrite���'���x�^���b���t���
G�for�the�image�of��t��under�the�restriction�map��Q���L�res��[0�:���H���
G�����1��Ì�(�K�(�;���E����p����n���	���)���!���Hom���q(�Gal���(���x䍑�������K���	5U=K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲))�;�E����p����n���	���)�:���Q�����iF�Lemma��T9.2.7.���9��Supp��}'ose�t'�t�]V�2���H����W�����1��Yʲ(�K�(�;���E����p����n���	���)���^����4(�and�the�image�of�the�homomorphism���'������^���b���t������is�a�cyclic�����iFsub��}'gr�oup���of��E����p����n���	���.���Then�the�or��}'der�of��t��is�at�most��p���^��b�(�p����r�n���l�)��K�.��D���iF�Other��TResults���Ѝ����iFTheorem��T9.2.8.���A��Assume�zjthat�the�p��}'oint��y����K��0�has�innite�or�der�in��E����(�K���)�.��Then�the�gr�oup��E����(�K���)�����iF�has���r��}'ank��1�.�����iF�[See�UUGross'�theorem�1.3.]�����2U��Š���@�����&iF�50�����CHAPTER�UU9.��MA��*�TH�254B:�FINAL�PR���OBLEM�SET����ٍ��vn���&iF�9.2.3��O�FA��Result�Ab�`out�the�Euler�System��������&iF�Lemma��T9.2.9.���o��L��}'et�(õF��V=L��b�e�a�Galois�extension�of�elds,�>1let��A��b�e�a�(discr�ete)���Gal����(���x䍑.:�����L����:=L�)�-mo�dule,����&iFand���let��'��b��}'e�a���Gal��3�(���x䍑.:�����L����:=L�)�-mo�dule�homomorphism�such�that�the�se�quenc�e��2}��� .�0���!��A����'�����!��A�����ꍑ1+�'��$������������ݻ!�����ԵA��!��0���ٍ�&iF�is��0exact�(i.e.,��"�'��is�surje��}'ctive).�S�Then�the�map���'��:���H���
G�����0���(�F�G;���A�)���!���H���
G�����1���(�F�G;���A����'����)��0�is���Gal��b2(�F��V=L�)�-e��}'quivariant.���F����&iFPr��}'o�of.���E���F��*�or�*�x�*]�2���H����^�����0��&Ѳ(�F�G;���A�)�let��y��6�2��A��b�Ge�suc���h�that��'�(�y�[ٲ)�=��x�.��FLet��f�=�:��Gal���_(���x䍑.:�����L����:=L�)��!��A����'��	���b�Ge�the����&iFco�Gcycle��"dened�b���y��f���(��[ٲ)��=���y��T��Z{�y��,��_so��"[�f���]�=���`�(�x�).�L�Then�for�an���y��
�UP�2���Gal��g(�F��V=L�)�and���"�2���Gal��g(���x䍑.:�����L����:=L�),����~Xʵ
����8�f���(��[ٲ)�=��
��8f��(�
��������1��J���[�
��)��=��
��8�(�
��������1����[�
�y�����8�y��)��=����(�
��8y��)�8���
��8y�:����&iF�Since�UU�'
��8y�"�=���
�'y��=���
�x�,�UUit�follo���ws�that�[�
���8�f���]�=���`�(�
��8x�).�����ff����d�ff�Y��ff����ff����+e��5iFLet�UU�G����Q���ܲ=���Gal��g(����C�fe�����Q�����=�Q�).���F����&iF�Lemma��T9.2.10.���tŝ�L��}'et��l�E���=�Q��b�e�an�el���liptic�curve,���let��'��:��E����!��E�L��b�e��la��Q�-r�ational�iso�geny,���and�let����&iF�H������E����(����C�fe�����Q�����)����b��}'e�a��G����Q�����-invariant�sub�gr�oup.���Then��'���^���1��
�t�(�H����)��is��G����Q�����-invariant.������&iFPr��}'o�of.���E���View���E����(����C�fe�����Q�����)�as�a�mo�Gdule�o���v�er��the�ring��Z�[�G����Q���IJ]�and�use�the�fact�that�the�in���v�erse��image�of�a����&iFsubmo�Gdule�i�is�a�submo�dule.��f[If��x��Ÿ2��'���^���1��
�t�(�H����)�i�and���D��2��ŵG����Q��	[N�then��'�(��[�x�)�=���'�(�x�)��2���H��ò=��H�9��so�i���x����&iF�in�UU�'���^���1��
�t�(�H����).]���cN���ff����d�ff�Y��ff����ff����+e��5iFLet�uĵK���([�p���^��n��q~�]���^���1��
�t�w�D�)�denote�the�eld�obtained�from��K�,�b���y�adjoining�the�co�Gordinates�of�all��p���^��n���-th����&iFro�Gots��)of��w�D�.�DcThis�can�also�b�e�though���t�of�as�the�smallest�extension�of��K��E�o�v�er�whic�h�all��p���^��n��q~�-th�ro�Gots����&iFof�UU�w��8�are�dened.�q�In�general�this�eld�ma���y�not�b�Ge�Galois�o�v�er��Q�,�but�when��w���2���E����(�K���)���^����
V�it�is.������&iF�Corollary��T9.2.11.���'b�If���w���2���E����(�K���)���^����
S��then��K��([�p���^��n��q~�]���^���1��
�t�w�D�)��is�Galois�over��Q�.������&iFPr��}'o�of.���E���Since��G����Q��
ٲacts�on��w�b��b���y���1,�PDthe�subgroup��Z�w��is��G����Q���IJ-in���v��q�arian�t.��Th�us�[�p���^��n��q~�]���^���1��
�t�Z�w��is��G����Q���IJ-����&iFin���v��q�arian�t.�m0No�w�G�use�the�fact�that�the�group�op�Gerations�on��E���are�dened�o���v�er�G��Q��and�so�the�eld����&iFof��^denition�of�a�set�of�p�Goin���ts�is�the�same�as�the�eld�of�denition�of�all�of�the�p�oin���ts�in�the����&iFsubgroup�UUthey�generate.���-R&��ff����d�ff�Y��ff����ff����+e����&iF�Prop�Q�osition��T9.2.12.����+G�Supp��}'ose���w���2���E����(�K���)��satises�the�fol���lowing�two�c�onditions.�������/*�(i)����?iH��!�w���=����w��������,��(ii)����?iHthe���image�of��w����in��E����(�K���)�=p���^��n��q~�E��(�K��)����has�or��}'der�strictly�gr�e�ater�than��p���^��b�(�p����r�n���l�)�����&iF�Then���ther��}'e�ar�e�innitely�many�primes��`��such�that���F��*�rob���	����`����(�K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�=�Q�)�N�=�[��!Dz]����and�the�image����&iFof���w����in��E����(�K����`����)�=p���^��n��q~�E��(�K����`���)����is�nonzer��}'o.������&iFPr��}'o�of.���E���W��*�e�UUshall�w���ork�with�the�exact�sequence��C��QW�0���!��p������n��q~�E����(�K���)��,��UX�!��E��(�K���)����T΍�e�����2��������������!�������H���.�����1���V�(�K�(�;���E����p����n���	���)����T΍�1+�res���2������������:@��������������:>!�����;��Hom��+�(�Gal���(���x䍑�������K���	5U=K��(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�;���E����p����n���	���))���ٍ�&iFSupp�Gose�8�w���2���E����(�K���)���^������,�q�the�argumen���t�when��w��2���E����(�K���)���^��+���s�b�Geing�iden���tical.��Then���`�(�w�D�)��2��H������^��1��Lq�(�K�(�;���E����p����n���	���)���^������.����&iFSince�UU�p���^��b�(�p����r�n���l�)��K��`�(�w�D�)���6�=�0,���`�(�w�D�)��62���k���er��#�(�res��N9)�so��)���{�0���6�=��res��Q(��`�(�w�D�))�=���!0��Y�[���Ѝ����(�w�D�)������2���Hom���q(�Gal���(���x䍑�������K���	5U=K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�;���E����p����n���	���)�:��U:��&iF�Fix��'�x��so�that��p���^��n��q~�x�Tv�=��w�D�.�p>Then��'��`�(�w��)�is�represen���ted�b�y�the�co�Gcycle����O�7!�Tv��[ٲ(�x�)�ql���x��so���!0��<�[���Ѝ���`�(�w�D�)���[�is�the���Ӎ�&iFhomomorphism���!0���j�[���Ѝ�'~��`�(�w�D�)���.�(��[ٲ)��=����(�x�)��3���x:�'~�The�minimal�splitting�eld�(i.e.,�0�xed�eld�of�the�k���ernel�of������!0��&�2�[���Ѝ�&iF��`�(�w�D�)���:p�)�UUis�th���us���F���`�L���=��K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)(�x�)�=��K��([�p������n��q~�]�������1��
�t�w�D�)�:�Q�(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�����3jJ��Š���@������iF�9.2.��EULER�UUSYSTEMS�AND�INDEXES�OF�COHOMOLOGY�CLASSES�K-Dz51����ٍ��vn���iFwhic���h�vCis�Galois�o�v�er��Q��[note�that�an�y�t�w�o��p���^��n��q~�-th�ro�Gots�of��w��&�dier�b�y�an�elemen�t�of��E����p����n���	���.]�ԐTh�us�����iFw���e�UUha�v�e�a�to�w�er�of�Galois�extensions�of��Q�:��+7��x�$�Q�8����@���K��������K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)������L:�����iF�Let�]A��"�2����Gal��g(�L=K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)).�If��`��is�suc���h�that��F��*�rob�������`��`ղ(�L=�Q�)��=�[��[��!Dz]�]Athen��F��*�rob�������`���(�K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�=�Q�)��=�����iF[��!Dz].�.9Then��&fF��*�or�an���y�prime����of��L��lying�o�v�er��`�,���the�degree�[�L������
��:��r�Q�]�equals�the�order�of���[��!Dz.�����iFCompleting�UUeac���h�eld�at��`��w�e�obtain�the�exact�sequence��й��o�0���!��p������n��q~�E����(�K����`����)��,��UX�!��E��(�K����`����)����(���1+�����`����J�������������-!������F�H���G�����1��}��(�K����`���;���E����p����n���	���)����T΍�1+�res���2������������:@��������������:>!�����;��Hom��+�(�Gal���(���x䍑�������K����`����W�=K����`���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲))�;���E����p����n���	���)�:�������iF�The��minimal�splitting�eld�of���!0����\���Ѝ������`����(�w�D�)�����is��K����`����(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)(�z�p��)�where��z�yH�is�suc���h�that��p���^��n��q~�z�b��=���w�D�.���Since���a���iF�L=�Q����is�Galois,��&�L������w��=�9��K����`����(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)(�z�p��).�?�Because�[�K����`���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�9�:��Q����`���]�=�2,���!0���0�\���Ѝ��&�����`���(�w�D�)���d=�0���if�and�only�����iFif�UU[�L������R�:���Q����`����]�=�2�whic���h�is�true�if�and�only�if�(��[��!Dz)���^��2��C��=�1.���n���iFIf�UU(��[��!Dz)���^��2��C��=��1�for�all���"�2���Gal��g(�L=K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲))�then�since���Z�����!0���̿[���Ѝ�8��`�(�w�D�)���b=�����!0����[���Ѝ��`�(�w�D�)���j,�����0��=���!0��Y�[���Ѝ���`�(�w�D�)���΂((��[��!Dz)������2��|s�)�=���!0��Y�[���Ѝ���`�(�w�D�)���(��[��!����)��=���!0��Y�[���Ѝ���`�(�w�D�)���΂(��[ٲ)�8�+���!0���̿[���Ѝ���`�(�w�D�)���@J(���������1���;��[���)��=���!0��Y�[���Ѝ���`�(�w�D�)���΂(��[ٲ)�8������!0�����[���Ѝ���`�(�w�D�)���)1(��[ٲ)�:���
���iF�Th���us���!0��o�[���Ѝ����`�(�w�D�)����j(��[ٲ)��=�����!0�����[���Ѝ�!ǵ�`�(�w�D�)���)1(���),���i.e.,�the��image�of�the�homomorphism���!0��o�[���Ѝ���`�(�w�D�)����jis�con���tained�in��E����䍑���+�����p����n����	���.�JSince���-���iF�E����䍑���+�����p����n�������is�/7cyclic,�6�the�image�of���!0���#�[���Ѝ���`�(�w�D�)���e�m���ust�also�b�Ge�cyclic.�eBy�an�ab�o���v�e�/7lemma�this�implies�that���`�(�w�D�)��
�[���iFis��Dannihilated�b���y��p���^��b�(�p����r�n���l�)���H�con�trary�to�our�h�yp�Gothesis�[since�the�image�of��w��'�w�as�assumed�to�ha�v�e�����iForder��greater�than��p���^��b�(�p����r�n���l�)��g��in��E����(�K���)�=p���^��n��q~�E��(�K��)��and�this�order�is�the�same�as�the�order�of���`�(�w�D�).]�����iFTherefore�Ġthere�m���ust�b�Ge�a���"�2����Gal��g(�L=K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲))�suc�h�that���[���g�has�order�dieren�t�than�2.�A�F��*�or�����iFsuc���h�)za����S�and�an�y��`��suc�h�that��F��*�rob���T(���`��-�(�L=�Q�)��=�[��[��!Dz]�)zw�e�ha�v�e�sho�wn�that������`����(�w�D�)���6�=�0�)zso�the�image�of�����iF�w��8�in�UU�E����(�K����`����)�=p���^��n��q~�E��(�K����`���)�UUis�not�zero.����z��ff����d�ff�Y��ff����ff�����ڍ��iFThe�s�ab�Go���v�e�prop�Gosition�can�b�e�extended�to�obtain�more�precise�information�ab�out�the�lo�cal�����iForder�UUof��w�D�.��@ҍ����iF�Corollary��T9.2.13.���I'b�L��}'et�/Y�w�t<�b�e�as�in�Pr�op�osition�9.�k�Then�ther�e�exists�innitely�many�primes��`�����iF�such�
�that���F��*�rob���8����`��u�(�K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�=�Q�)��=�[��!Dz]�
��and�the�image�of��w�R��in��E����(�K����`����)�=p���^��n��q~�E��(�K����`���)�
��has�or��}'der�at�le�ast��
�����iFas���lar��}'ge�as�the�or�der�of�the�image�of��p���^��b�(�p����r�n���l�)��K�w����in��E����(�K���)�=p���^��n��q~�E��(�K��)�.�������iFPr��}'o�of.������Let����a��b�Ge�the�in���teger�suc�h�that��p���^��a���p�p���^��b�(�p����r�n���l�)��K�w�mW�6�=�(t0�in��E����(�K���)�=p���^��n��q~�E��(�K��)���but��p���^��a�+1���s�p���^��b�(�p����r�n���l�)��K�w�mW�=�(t0�in�����iF�E����(�K���)�=p���^��n��q~�E��(�K��).�KTh���us��]�p���^��a�+1���вis�the�order�of�the��p���^��b�(�p����r�n���l�)��K�w�&@�in��E����(�K��)�=p���^��n��q~�E��(�K��).�KLet��]�w��D��^��0���4�=���p���^��a���p�w�D�,���so��w����^��0���y�is�����iFnot��3annihilated�b���y��p���^��b�(�p����r�n���l�)���7�in��E����(�K���)�=p���^��n��q~�E��(�K��).�3�By��3the�Prop�Gosition�there�are�innitely�man���y�primes�����iF�`��c�suc���h�that��F��*�rob�������`�����(�K���(�E��O�p�����n�+�m�(�p�)���봲)�=�Q�)��=�[��!Dz]��cand�suc�h�that�the�image�of��w��D��^��0����in��E����(�K����`����)�=p���^��n��q~�E��(�K����`���)��cis�not�����iFzero.�q�F��*�or�UUsuc���h��`�,�it�follo�ws�that��w��8�has�order�at�least��p���^��a�+1��KȲin��E����(�K����`����)�=p���^��n��q~�E��(�K����`���),�UUas�required.���Z���ff����d�ff�Y��ff����ff����p؍���iF�9.2.4���FPro�`ofs��of�Theorems�1�and�3���������iF�Pr��}'o�of���of�the��}'or�em���3.���I��Fix�CCan�elliptic�curv���e��E���=�Q��and�an�imaginary�quadratic�eld��K��_�as�in�the�����iFin���tro�Gduction.�q�Assume�UUthat��y����K���has�innite�order.�Dene�the�set��S���of�primes�as�follo���ws��+7���Ct�S����S�Ȳ=�����e��f�p���:��b�(�p������n��q~�)��6�=�0��UUfor�some��n�����1��D��g�8�[�f�p���:��y�"�2��pE����(�K���)�g����#����e��[f�p���:��p�j�[�E����(�K���)����tor��
�u�]�g�8�[�f�p���:��p�j�[�H���:��K��]�g�������iF�Fix�ѿa�prime��p��s�62��S����.��Since�ѿ�E��(�K���)�has�rank�one�the�image�of��y�-��in��E��(�K���)�=p���^��n��q~�E��(�K��)�ѿhas�order��p���^��n��q~�.�����iFBy��FCorollary�[?]�(�there�are�innitely�man���y�primes��`��suc�h�that��F��*�rob�������`���ڲ(�K���(�E����p����n���	���)�=�Q�)�,�=�[��!Dz]��Fand�the�����iFimage���of��y���in��E����(�K����`����)�=p���^��n��q~�E��(�K����`���)���has�order��p���^��n��q~�.�fBy�prop�Gosition�[??]�the�cohomology�classes��c����`;p����n�������iF�ha���v�e�UUorder�and�index�b�Goth�equal�to��p���^��n��q~�.���럾��ff����d�ff�Y��ff����ff�����ڍ����iF�Theorem��T9.2.14.���F���L��}'et�R6�S����b�e�the�set�of�primes�in�the�ab�ove�pr�o�of�and�let��L=�Q��b�e�a�numb�er�eld.�����iFThen���for�al���l�primes��p�נ�62��S�K5�and���al�l�inte��}'gers��n�נ���1�,��ther�e���exists�innitely�many�elements�of������iF�H�����G�����1���e��(�L;���E����)����having�or��}'der�and�index�b�oth�e�qual�to��p���^��n��q~�.�����4�ڠ�Š���@�����&iF�52�����CHAPTER�UU9.��MA��*�TH�254B:�FINAL�PR���OBLEM�SET����ٍ��vn����&iF�Pr��}'o�of.���E���Fix���p�D�62��S��0�and��n����1.���Let��L���^��0���ܲdenote�the�Galois�closure�of��L=�Q�.�Let��`��b�Ge�one�of�the����&iFinnitely��man���y�primes�suc�h�that��c����`;p����n���(�2���g�H���hh�����1���۲(�Q�;���E����)�has�order�and�index�equal�to��p���^��n��	ti�and�suc�h����&iFthat�UU�`��do�Ges�not�ramify�in��L���^��0���9�=�Q�.�q�Let��������ܷres����*���L����|�:���H���
G�����1���(�Q�;���E����)���!���H���
G�����1���(�L;���E����)����&iFb�Ge�Nbthe�restriction�map.�\�If��p���^��n��1���X��res����ӟ��L��#�G�(�c����`;p����n���?��)�f,=�0�Nbthen��p���^��n��1����c����`;p����n����и2��f,�H����-�����1��b��(�L���^��0���9�=�Q�;���E����).�But��L���^��0���9�=�Q��is����&iFunramied�j�at��`�,�o�`��is�a�prime�of�go�Go�d�j�reduction�for��E����,�and��`�ꎸ6�=��p�j��so�w���e�conclude�that�lo�Gcally�at����&iF�`�,� ��p���^��n��1����c����`;p����n�����=��0�M(this�is�a�result�pro���v�ed�Min�[Lang-T��*�ate,�1958]).�[�This�is�imp�Gossible�b�ecause�of�the����&iFsecond�UUcondition�in�Prop�Gosition�[?].�����Ʉ�ff����d�ff�Y��ff����ff����"�ꍍ�&iF�9.3��J��Order�L�and�index�questions�for���H����ϟ���1����(�B���ff
msbm10�BQ�;�fdE���)��rk���&iF�9.3.1��O�FCohomological��criterion�for�order=index������&iF9.3.2��O�FOrder=index��for�elemen��ts�of���X��#��(���g�cmmi12�E��=�'���
msbm10�Q�)�����&iF�9.3.3��O�FCassels'��example�that�order�need�not�equal�index�����&iF�In��9tro�Q�duction����&iF�In�pSthe�pap�Ger�[�3��]�Cassels�pro���vides�a�coun�terexample�whic�h�sho�ws�that�the�order�need�not�equal����&iFthe�>index�for�elemen���ts�of��H���������1��:��(�Q�;���E����).�,This�is�in�con�trast�to�the�lo�Gcal�case�in�whic�h�the�order����&iFequals�UUthe�index,�see�Lic���h�ten�baum�UU[�7��].��Jۍ�5iFCassels�-�sho���ws�that�for�a�certain�elliptic�curv�e��E��}�there�are�innitely�man�y�elemen�ts�of�����&iFH���-�G�����1��2e��(�Q�;���E����)[2]��ha���ving�index�4.�SIn�this�section�w�e�w�ork�through�his�pro�Gof�for�a�sp�ecic�cohomology����&iFclass.����5iFFix�N���	z;����풸2��fv���C�fe�����Q���|#�suc���h�that������^��2���c�=�fv3�and�������^��2��	j�=���11,���and�let��K���=��Q�(��	z;������).�]tThe�galois�group�����&iFGal��6	H(�K�(�=�Q�)��is�generated�b���y��������	<��and�����������where����������(��	z�)�=�����,��H���������(����)�=����,��H�������d�(��	z�)�=������and����������(����)�=����&iF�����.��Let���c��J�2���H���kK�����1��羲(�K�(�=�Q�;���E����)�����H���kK�����1���(�Q�;���E����)��b�Ge�the�class�dened�b���y�the�co�cycle�whic���h�sends��������	���to����&iF(0�;����0)���and��������	��to�(��1�;��0).�h�Since�(0�;��0)�and�(��1�;��0)�are�2-torsion�p�Goin���ts,��W�c��has�order�2.�h�W��*�e�sho�w����&iFthat�UU�c��has�index�4.���\��&iF�Prop�Q�erties��Tof��E�����&iF�The��Ttorsor�corresp�Q�onding�to��c����&iF�P��9erio�Q�d-index��Tcriterion����&iFConcluding��Tremarks������&iF�9.3.4��O�FOrder=index��o��v�er�a�lo�`cal�eld������&iF�9.4��J��The�L�basic�exact�sequence��rk��&iF�Let�h4�X�1�b�Ge�a�curv���e�o�v�er�a�eld��k�P��.��cLet���\q�����������k���U��denote�the�separable�closure�of��k��,�l�and�let���x䍑������K�����denote�the����&iFfunction��Beld�of���x䍑�|������X���[V�=��N�X�M�����k����\q���d�������o��k�����.�ďF��*�or�an���y��Gal��fD(���\q��B�������k����V=k�P��)-mo�Gdule��A��let��H���FC�����i�����(�A�)�=��H���O�����i��W��(�Gal���(���\q��B�������k����V=k�P��)�;���A�).�ďW��*�e����&iFdene����^��1����Ȳthe�UUBrauer�group�of��X���,����������Br�����(�X���)��=��k���er��#�(�H���������2��Lq�(���x䍑�������K�������������V�)��!���H���
G�����2��Ì�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ)))����&iFwhere�UUthe�map�is�induced�b���y�the�map�whic�h�sends�an�elemen�t�of���x䍑�9������K�����^��������to�its�divisor.������&iF�Theorem��T9.4.1.���w��Ther��}'e���is�a�natur�al�exact�se�quenc�e����Xٲ0���!���Pic���6(�X���)��!���H���
G�����0��Ì�(�Pic��(���x䍑�:�����X���	Ʋ))��!���Br��
�(�k�P��)��!���Br��(�X���)��!���H���
G�����1��Ì�(�Pic��(���x䍑�:�����X���	Ʋ))��!���H���
G�����3���(���\q��B�������k��P����������EW�)��&iF�
҉ff��؟	v�����"5��-:��Aa�cmr6�1����L��|{Ycmr8�It��Xis�pro�Îv�ed��Xin�the�app�<rendix�to�[�7��@]�that��Br��)�(��2cmmi8�X����)�\t=��H����k���X�2�����������Set������(�X�&�;�j��(p�p�msbm8�G���;�cmmi6�m����).�����5���Š���@������iF�9.4.��THE�UUBASIC�EXA���CT�SEQUENCE��8��53����ٍ��vn���iFT��*�o��pro���v�e�the�theorem�w�e�require�t�w�o�v��q�anishing�lemmas.���The�rst�is�essen�tially�Shapiro's�����iFLemma�UUand�the�second�is�a�generalization�of�Hilb�Gert's�Theorem�90.�������iF�Lemma��T9.4.2.����9��H���@�������1��E�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))��=�0�.�������iFPr��}'o�of.������Let��'�n��b�Ge�an���y�p�ositiv���e�in�teger.�<Since��H���`(�����1��ܛ�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�is�a�torsion�group�it�suces�to�sho�w�����iFthat���H���7�����1���t�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))[�n�]�i�=�0.���Let���A��b�Ge�the�cok���ernel�of�m�ultiplication�b�y��n��on��Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ)�so�that�the�����iFsequence����u��0���!���Div���o(���x䍑�:�����X���	Ʋ)����T΍�1+�n���2��������������!�����SӲDiv��!)*(���x䍑�:�����X����)��!��A��!��0�����iFis�UUexact.�q�W��*�e�obtain�the�cohomology�exact�sequence�����I��H���Q������0��U}r�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))���!���H���
G�����0���(�A�)��!���H���
G�����1���(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))����T΍�1+�n���2��������������!�����SӲH����ԟ����1��PG�(�Div��(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�:�����iF�T��*�o�c�sho���w�that��H���������1��`g�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))[�n�]��=�0�c�it�suces�to�sho�w�that�the�map��H���������0��`g�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))���!���H���
�����0�����(�A�)�c�is�����iFsurjectiv���e.�q�This�UUis�the�case�b�Gecause��qˍ�:og�A���=��Div���o(���x䍑�:�����X���	Ʋ)�=n�����Div���(���x䍑�:�����X����)����T͍�������+3�����=�����
UN�f�������X����q�m����i��TL�P����i��d�:���m����i���2��Z�=n�Z�;���P����i���2��X���(���\q��B�������k����V�)�g�����iF�and�UUthe�Galois�action�comm���utes�with�the��Z�=n�Z�-co�Gecien�ts.�����D��ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Lemma��T9.4.3.����9��H���@�������1��E�(���x䍑�������K�����^�������V�)��=�0�.�������iFPr��}'o�of.������?���r����ff����d�ff�Y��ff����ff�������iFW��*�e�UUcan�no���w�pro�v�e�the�theorem.�������iF�Pr��}'o�of���of�The��}'or�em.���E��The�UUexact�sequence����j�K0���!���x䍑o��������K�������������n�=���\q��B��������k��P����������o�!���Div���o(���x䍑�:�����X���	Ʋ)��!���Pic���6(���x䍑�:�����X����)��!��0�����iFgiv���es�UUthe�exact�sequence�����5B�H���<������0��A?a�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))���!���H���
G�����0��Ì�(�Pic��(���x䍑�:�����X����))��!���H���
G�����1��Ì�(���x䍑�������K�������������V�=���\q��B��������k��P����������EW�)��!���H���
G�����1���(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�=�0�:�����iF�F��*�rom�UUthe�exact�sequence����|�0���!���\q��	ò�������k��P����������Ӈ�!���x䍑o��������K���������������!���x䍑o��������K�������������n�=���\q��B��������k��P����������o�!��0�����iFw���e�UUobtain�the�exact�sequence�����0��=��H���
G�����1��Ì�(���x䍑�������K�������������V�)��!���H���
G�����1���(���x䍑�������K�������������V�=���\q��B��������k��P����������EW�)��!���Br��
�(�k�P��)��!���H���
G�����2���(���x䍑�������K�������������V�)��!���H���
G�����2���(���x䍑�������K�������������V�=���\q��B��������k��P����������EW�)��!���H���
G�����3���(���\q��B�������k��P����������EW�)�:�����iF�Since�ftthe�divisor�of�an�elemen���t�of���\q����������k��P���^������?�is�zero,���the�image�of��Br��fv(�k�P��)�in��H����u�����2��b�(���x䍑�������K�����^�������V�)�lies�in��Br��(�X���).�����iFThe�p�image�of��H����͟����0��[email protected]�(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))���=��Div��t�(�X���)�p�in��H����͟����0���(�Pic��(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�is��Pic��w�(�X���).��-W��*�e�th���us�ha�v�e�the�follo�wing�����iFcomm���utativ�e�UUdiagram�with�exact�ro���ws�and�columns:��:' ����1����nt0����C�0�������nt�#����C�#���x捍��@i�Br��Ki(�k�P��)���b���!������Br���(�X���)�����rH����������1���n{�(�Pic��(���x䍑�:�����X���	Ʋ))������I�5�jj����nt#����C�#�������@i�Br��Ki(�k�P��)���b���!�����H����������2���u�(���x䍑�������K�����^�������V�)����'[�!�����D��H����IJ�����2���A%�(���x䍑�������K�����^�������V�=���\q��B��������k��P���^������EW�)���
`F�!����`G�H���%�H�����3��*\��(���\q��B�������k��P���^������EW�)�������nt�#����C�#�������v���H���~5������2�����(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))����C�=�����'\H���Ч]�����2���#в(�Div���W(���x䍑�:�����X���	Ʋ))�:�����<����iF�The��map��H���
������2��]�(���x䍑�������K�����^�������V�)���!���H���
G�����2��Ì�(���x䍑�������K�����^�������=���\q��B��������k��P���^������EW�)��induces�a�map��Br���(�X���)���!���H���
G�����1��Ì�(�Pic��(���x䍑�:�����X���	Ʋ)).�]�Com���bining��all�of�these�����iFfacts�UUyields�the�basic�exact�sequence.����`^��ff����d�ff�Y��ff����ff�������6���Š���@����ٍ��&iF�Chapter�i�10���K����i#�54����7����Š���@������iF�10.1.���T��*�ABLES�Q1w�55����ٍ��}G����iF�Elliptic��Curv��Dhes��:�ԍ���iF�10.1����T����ables��֍���iF�10.1.1�� iFCremona's��table�for��N��6�!",�
cmsy10��UR�64��\�����iF���͉ffī;�32����ͤ�΄ff��͟�32�curv�Ӎe���ff���C#�mo�,rdel�����q��΄ff�����r�%���΄ff�����Tt�1]��΄ff���34�ffī;�����ͤ�΄ff�;��3211A1���ff���!��0���1`-1���Ja1���dl�-10����̰-20��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p5��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3211A2���ff���!��0���1`-1���Ja1���a|-7820���|�p-263580��͟�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3211A3���ff���!��0���1`-1���Ja1���gNf0�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p5��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3214A1���ff���!��1���2�I0���Ja1���gNf4�����@-6�N���΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3214A2���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-36����̰-70��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3214A3���ff���!��1���2�I0���Ja1���b�-171���� -874�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3214A4���ff���!��1���2�I0���Ja1���f ,-1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3214A5���ff���!��1���2�I0���Ja1���a|-2731���~�-55146��]��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3214A6���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-11������12�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A1���ff���!��1���2�I1���Ja1���dl�-10����̰-10��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�4��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A2���ff���!��1���2�I1���Ja1���b�-135���� -660�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A3���ff���!��1���2�I1���Ja1���f ,-5�����z2�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�4��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A4���ff���!��1���2�I1���Ja1���e��35����̰-28��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p8��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A5���ff���!��1���2�I1���Ja1���a|-2160���~�-39540��]��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A6���ff���!��1���2�I1���Ja1���b�-110���� -880�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A7���ff���!��1���2�I1���Ja1���dl�-80����GZ242����΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3215A8���ff���!��1���2�I1���Ja1���gNf0�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3217A1���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-1����̰-14��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3217A2���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-6�����@-4�N���΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3217A3���ff���!��1���1`-1���Ja1���dl�-91���� -310�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3217A4���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3219A1���ff���!��0���2�I1���Ja1���f ,-9����̰-15��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3219A2���ff���!��0���2�I1���Ja1���b�-769����e�-8470�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3219A3���ff���!��0���2�I1���Ja1���gNf1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3220A1���ff���!��0���2�I1���Ja0���gNf4�����z4�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3220A2���ff���!��0���2�I1���Ja0���f ,-1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3220A3���ff���!��0���2�I1���Ja0���dl�-36���� -140�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3220A4���ff���!��0���2�I1���Ja0���dl�-41���� -116�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3221A1���ff���!��1���2�I0���Ja0���f ,-4�����@-1�N���΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�4��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3221A2���ff���!��1���2�I0���Ja0���dl�-49���� -136�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3221A3���ff���!��1���2�I0���Ja0���dl�-39������90�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p8��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3221A4���ff���!��1���2�I0���Ja0���gNf1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3221A5���ff���!��1���2�I0���Ja0���b�-784����e�-8515�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3221A6���ff���!��1���2�I0���Ja0���dl�-34���� -217�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3224A1���ff���!��0���1`-1���Ja0���f ,-4�����z4�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�4��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3224A2���ff���!��0���1`-1���Ja0���dl�-24����̰-36��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3224A3���ff���!��0���1`-1���Ja0���dl�-64����GZ220����΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3224A4���ff���!��0���1`-1���Ja0���gNf1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3224A5���ff���!��0���1`-1���Ja0���b�-384����e�-2772�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3224A6���ff���!��0���1`-1���Ja0���e��16���� -180�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3226A1���ff���!��1���2�I0���Ja1���f ,-5�����@-8�N���΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3226A2���ff���!��1���2�I0���Ja1���b�-460����e�-3830�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3226A3���ff���!��1���2�I0���Ja1���gNf0�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3226B1���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-3�����z3�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p7��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3226B2���ff���!��1���1`-1���Ja1���b�-213����e�-1257�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3227A1���ff���!��0���2�I0���Ja1���gNf0�����@-7�N���΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3227A2���ff���!��0���2�I0���Ja1���b�-270����e�-1708�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3227A3���ff���!��0���2�I0���Ja1���gNf0�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3227A4���ff���!��0���2�I0���Ja1���dl�-30������63�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A1���ff���!��1���2�I0���Ja1���gNf1�����z2�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A2���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-19������26�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�6��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A3���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-14����̰-64��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A4���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-69���� -194�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A5���ff���!��1���2�I0���Ja1���b�-289������1862�
b'��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A6���ff���!��1���2�I0���Ja1���b�-334����e�-2368�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A7���ff���!��1���2�I0���Ja1���a|-5334���|�p-150368��͟�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3230A8���ff���!��1���2�I0���Ja1���b�-454���� -544�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3232A1���ff���!��0���2�I0���Ja0���gNf4�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3232A2���ff���!��0���2�I0���Ja0���f ,-1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3232A3���ff���!��0���2�I0���Ja0���dl�-11����̰-14��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3232A4���ff���!��0���2�I0���Ja0���dl�-11������14�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3233A1���ff���!��1���2�I1���Ja0���dl�-11�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3233A2���ff���!��1���2�I1���Ja0���f ,-6�����@-9�N���΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3233A3���ff���!��1���2�I1���Ja0���b�-146����GZ621����΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3233A4���ff���!��1���2�I1���Ja0���e��44������55�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3234A1���ff���!��1���2�I0���Ja0���f ,-3�����z1�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3234A2���ff���!��1���2�I0���Ja0���dl�-43����GZ105����΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3234A3���ff���!��1���2�I0���Ja0���b�-103���� -411�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3234A4���ff���!��1���2�I0���Ja0���b�-113���� -329�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3235A1���ff���!��0���2�I1���Ja1���gNf9�����z1�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3235A2���ff���!��0���2�I1���Ja1���b�-131���� -650�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3235A3���ff���!��0���2�I1���Ja1���f ,-1�����z0�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3236A1���ff���!��0���2�I0���Ja0���gNf0�����z1�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3236A2���ff���!��0���2�I0���Ja0���dl�-15������22�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p6��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3236A3���ff���!��0���2�I0���Ja0���gNf0����̰-27��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3236A4���ff���!��0���2�I0���Ja0���b�-135���� -594�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3237A1���ff���!��0���2�I0���Ja1���f ,-1�����z0�|ן�΄ff����Ť1��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3237B1���ff���!��0���2�I1���Ja1���dl�-23����̰-50��
��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3237B2���ff���!��0���2�I1���Ja1���a|-1873���~�-31833��]��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3237B3���ff���!��0���2�I1���Ja1���f ,-3�����z1�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3238A1���ff���!��1���2�I0���Ja1���gNf9������90�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3238A2���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-86����e�-2456�	3��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3238A3���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-16������22�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3238B1���ff���!��1���2�I1���Ja1���gNf0�����z1�|ן�΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p5��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3238B2���ff���!��1���2�I1���Ja1���dl�-70���� -279�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3239A1���ff���!��1���2�I1���Ja0���f ,-4�����@-5�N���΄ff����Ť0��͟�΄ff����,�2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3239A2���ff���!��1���2�I1���Ja0���dl�-69���� -252�
�}��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3239A3���ff���!��1���2�I1���Ja0���dl�-19������22�
�G��΄ff����Ť0��͟�΄ff����8p4��y��΄ff����ffī;������K����͉ff��32����ͤ�΄ff��͟�32curv�Ӎe���ff���C#�mo�,rdel����=��΄ff�����Ur�%���΄ff���� t�1]��΄ff���34�ff������ͤ�΄ff�;��3239A4���ff���!��1���2�I1���Ja0���i�1������0�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3240A1���ff���!��0���2�I0���Ja0���gӼ-7����l�-6����΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3240A2���ff���!��0���2�I0���Ja0���dl�-107�����-426�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3240A3���ff���!��0���2�I0���Ja0���gӼ-2������1�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3240A4���ff���!��0���2�I0���Ja0���gNf13�����&-34�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3242A1���ff���!��1���2�I1���Ja1���gӼ-4������5�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<8��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3242A2���ff���!��1���2�I1���Ja1���f ,-84����3�261��
��΄ff����7p0��͟�΄ff������4��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3242A3���ff���!��1���2�I1���Ja1���dl�-104����3�101��
��΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3242A4���ff���!��1���2�I1���Ja1���b�-1344����̰18405�	3��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3242A5���ff���!��1���2�I1���Ja1���dl�-914�����v-10915����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3242A6���ff���!��1���2�I1���Ja1���e��386�����@1277�
�}��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3243A1���ff���!��0���2�I1���Ja1���i�0������0�-��΄ff����7p1��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3244A1���ff���!��0���2�I1���Ja0���i�3����l�-1����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3244A2���ff���!��0���2�I1���Ja0���f ,-77�����-289�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A1���ff���!��1���1`-1���Ja0���i�0����l�-5����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A2���ff���!��1���1`-1���Ja0���f ,-45�����-104�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A3���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-720����R-7259�	�C��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A4���ff���!��1���1`-1���Ja0���f ,-90����3�175��
��΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A5���ff���!��1���1`-1���Ja0���b�-1215����̰16600�	3��΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A6���ff���!��1���1`-1���Ja0���e��315�����@1066�
�}��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A7���ff���!��1���1`-1���Ja0���a|-19440����e�1048135��͟�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3245A8���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-990����̰22765�	3��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3246A1���ff���!��1���1`-1���Ja0���f ,-10�����&-12�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3246A2���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-170�����-812�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3248A1���ff���!��0���2�I1���Ja0���gӼ-4����l�-4����΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3248A2���ff���!��0���2�I1���Ja0���f ,-64�����-220�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3248A3���ff���!��0���2�I1���Ja0���f ,-24�����`36�N���΄ff����7p0��͟�΄ff������4��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3248A4���ff���!��0���2�I1���Ja0���i�1������0�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3248A5���ff���!��0���2�I1���Ja0���dl�-384�����@2772�
�}��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3248A6���ff���!��0���2�I1���Ja0���gNf16����3�180��
��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<8��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3249A1���ff���!��1���1`-1���Ja0���gӼ-2����l�-1����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3249A2���ff���!��1���1`-1���Ja0���f ,-37�����&-78�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3249A3���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-107����3�552��
��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3249A4���ff���!��1���1`-1���Ja0���b�-1822����̰30393�	3��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3250A1���ff���!��1���2�I0���Ja1���gӼ-1����l�-2����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3250A2���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-126�����-552�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3250A3���ff���!��1���2�I0���Ja1���f ,-76����3�298��
��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3250A4���ff���!��1���2�I0���Ja1���e��549����R-2202�	�C��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3250B1���ff���!��1���2�I1���Ja1���gӼ-3������1�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<5��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3250B2���ff���!��1���2�I1���Ja1���gNf22����l�-9����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<5��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3250B3���ff���!��1���2�I1���Ja1���f ,-13�����-219�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3250B4���ff���!��1���2�I1���Ja1���b�-3138�����v-68969����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3251A1���ff���!��0���2�I1���Ja1���i�1����l�-1����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3251A2���ff���!��0���2�I1���Ja1���f ,-59�����-196�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3252A1���ff���!��0���2�I0���Ja0���i�1�����&-10�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3252A2���ff���!��0���2�I0���Ja0���gӼ-4����l�-3����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3253A1���ff���!��1���1`-1���Ja1���i�0������0�-��΄ff����7p1��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3254A1���ff���!��1���1`-1���Ja0���gNf12������8�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3254A2���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-123�����-667�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3254A3���ff���!��1���1`-1���Ja0���gӼ-3������3�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3254B1���ff���!��1���1`-1���Ja1���i�1����l�-1����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<3��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3254B2���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-29�����&-53�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3254B3���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-14�����`29�N���΄ff����7p0��͟�΄ff�����<9��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3255A1���ff���!��1���1`-1���Ja0���gӼ-4������3�-��΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3255A2���ff���!��1���1`-1���Ja0���f ,-29�����&-52�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3255A3���ff���!��1���1`-1���Ja0���f ,-59����3�190��
��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3255A4���ff���!��1���1`-1���Ja0���i�1������0�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3256A1���ff���!��0���2�I0���Ja0���i�1������2�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3256A2���ff���!��0���2�I0���Ja0���f ,-19�����`30�N���΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3256A3���ff���!��0���2�I0���Ja0���f ,-59�����-138�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3256A4���ff���!��0���2�I0���Ja0���dl�-299�����@1990�
�}��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3256B1���ff���!��0���1`-1���Ja0���i�0����l�-4����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3256B2���ff���!��0���1`-1���Ja0���f ,-40�����&-84�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3257A1���ff���!��0���1`-1���Ja1���gӼ-2������2�-��΄ff����7p1��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3257B1���ff���!��1���2�I0���Ja1���gӼ-7������5�-��΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3257B2���ff���!��1���2�I0���Ja1���gӼ-2����l�-1����΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3257B3���ff���!��1���2�I0���Ja1���dl�-102����3�385��
��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3257B4���ff���!��1���2�I0���Ja1���i�8�����`29�N���΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�I=��3257C1���ff���!��0���2�I1���Ja1���gNf20�����&-32�
 c��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<5��y��΄ff�������ͤ�΄ff�I=��3257C2���ff���!��0���2�I1���Ja1���b�-4390������-113432�R#��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3258A1���ff���!��1���1`-1���Ja0���gӼ-1������1�-��΄ff����7p1��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3258B1���ff���!��1���2�I1���Ja1���i�5������9�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<5��y��΄ff�������ͤ�΄ff�XY��3258B2���ff���!��1���2�I1���Ja1���dl�-455����R-3951�	�C��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff����3261a1���ff���!��1���2�I0���Ja0���gӼ-2������1�-��΄ff����7p1��͟�΄ff�����<1��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3262A1���ff���!��1���1`-1���Ja1���gӼ-1������1�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3262A2���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-21�����`41�N���΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3262A3���ff���!��1���1`-1���Ja1���f ,-31������5�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3262A4���ff���!��1���1`-1���Ja1���dl�-331�����@2397�
�}��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3263A1���ff���!��1���1`-1���Ja0���i�9������0�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3263A2���ff���!��1���1`-1���Ja0���f ,-36�����`27�N���΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3263A3���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-351����R-2430�	�C��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3263A4���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-441�����@3672�
�}��΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3263A5���ff���!��1���1`-1���Ja0���b�-7056���� 229905��]��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3263A6���ff���!��1���1`-1���Ja0���dl�-306�����@5859�
�}��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3264A1���ff���!��0���2�I0���Ja0���gӼ-4������0�-��΄ff����7p0��͟�΄ff������2��Ķ��2��͟�΄ff�������ͤ�΄ff�;��3264A2���ff���!��0���2�I0���Ja0���f ,-44�����-112�lӟ�΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3264A3���ff���!��0���2�I0���Ja0���f ,-44����3�112��
��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<4��y��΄ff�������ͤ�΄ff�;��3264A4���ff���!��0���2�I0���Ja0���i�1������0�-��΄ff����7p0��͟�΄ff�����<2��y��΄ff���34�ff�����Y���ԍ��iF�In�UUmak���eing�this�table�I�made�use�of�the�follo�wing��C��program.�����8�Z��Š���@�����&iF�56���CHAPTER�UU10.��ELLIPTIC�CUR���VES����ٍ��vn��&iF�#include<stdio.h>����&iFmain()�?�{����6)=char�?�s[10][128];����6)=while(EOF!=scanf("%s%s%s%s%s%s%s%s%s%s",����Pi.s[0],s[1],s[2],s[3],s[4],s[5],s[6],s[7],s[8],s[9]))����E�4printf("%s%s%s&%s&%s&%s&%s&%s&%s&%s\\\\\n",����Pi.s[0],s[1],s[2],s[3],s[4],s[5],s[6],s[7],s[8],s[9]);����&iF}����������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��"���&iF�10.1.2��ViFBig����X��#��'s���捑&iF�The��1follo���wing�curv�es�in�the�tables�of�curv�es�of�conductor�up�to�1000�ha�v�e�an�\analytic"�order����&iFof��UU�X���۲(�E���=�Q�)�UUgreater�than�1.�� ��&iF#[��X�����]��=�4��T�(67�curv��9es):��8�L����&iF�Ӏ�ff��m�fd����͟���ff�	Wx��fd�66B3���/�w102B5���W''114C3���~�120A5�����L130B3����G4195A7����)210C5���7=210E5���E��240D3���mI258D3����Nh294C3�����ff�������͟���ff�ű��fd312C3���/�w330B6���W''330C6���~�H330D3����w0336D3����|�390B5����:�410B3���̓435D3���E�{438E2���mZ�442A2����442D2�ޕ����ff�������͟���ff����fd462F3���/�w480B2���W�480H2���~ӝ504C3����\�504G3���Π510E4����^U510E7����525B5���E�&558C3���m.c570G3�����570I4��#����ff�������͟���ff��͟�fd570M4���/W"571A1���W8�582B2���~�H582D2����w0582D4����5m600D5����3�630J3����646B2���E�{646E2���m��646E4����K690K4��͟���ff�������͟���ff�~���fd690K5���/*�714G6���W�777A4����792E3����z�798I3����j�840C3�����840G6����840J4���F��840J6���m��858E3����*�858H4��\����ff�������͟���ff�u���fd870G3���/W"890H4���W�910A3���~��930G4����eh930O3����5m960D1������960F3�����960G7���G�_960I3���mZ�960N1�����966I3��#����ff�������͟���ff�~���fd990K3�����:����ff����ff��m����Dl���&iF#[��X�����]��=�9��T�(27�curv��9es):�� �L����&iF���ff�n�fd����͟���ff��͟�fd�182B3���-\w300B2���Tʵ378A3���|\�448C5����ʿ448C6����8�475A3����510G3�����510G4���Bj�546D3���jd578A3�����i578A4��͟���ff�������͟���ff��\��fd651E3���-[660D3���T��660D4���|nH681B1����܅681B2����nQ681B3�����681B4���>702P3���Dn`714I3���jgH798E5�����M798E6�%�����ff�������͟���ff��͟�fd903B3���-�910E3���U��910J5���}g,910J6�����i938D3�����;����ff����ff�n����,l���&iF#[��X��j��=��16]��T�(5�curv��9es):������&iF����ff��S�fd����͟���ff��͟�fd�210E7���,�>210E8���S�|582D3���{@930O5����1930O6��͟���ff����ff��S���� ��&iF#[��X��j��=��25]��T�(5�curv��9es):������&iF����ff��Q�fd����͟���ff��͟�fd�275B3���-[570L3���SU`570L4���y�e870I3����1�870I4��͟���ff����ff��Q������&iF#[��X��j��=��49]��T�(2�curv��9es):������&iF����ffNND�fd����͟���ff��͟�fd�546F2���,�"858K2��͟���ff����ffNND����]8��5iFStatus�כof�these�results:�2�I��{ha���v�e�כnot�y���et�c�hec�k�ed�that�all�the�supp�Gosed�generators�of�eac�h�curv�e����&iFreally���are�generators,���though�they�probably�are�in�most�cases.�?If�the�p�Goin���ts(s)�I���ha�v�e�actually����&iFgenerate�wa�subgroup�of�index��k�O�>��W�1�in�the�Mordell-W��*�eil�group,��then�the�v��q�alue�of�#[��X�����]�should����&iFb�Ge��4m���ultiplied�b�y��k��P���^��2���
�.�IgSo�far�I��ha�v�e�only�c�hec�k�ed�that�none�of�the�p�Goin�ts�I��ha�v�e�is�double�another,����&iFfor�UUall�conductors�except�867,�870,�873,�901,�975.��
"���5iF�JEC�?�15/4/92�revised�31/12/92��������*********���End�Unverie��}'d�*********�����9/Ҡ�Š���@������iF�10.2.��CUR���VES�UUOF�HIGH�RANK����57����ٍ��vn����iF�10.1.3�� iFComplex��m��ultiplication�elliptic�curv�es����i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���퍑�iF�This�UUis�a�table�of�represen���tativ�es�UUof�the�complex�m���ultiplication�elliptic�curv�es�o�v�er��Q�.��i�Z������iF���i�ff�1��fd����ͤ���ff�%���fdD���ff���%N<f�ű����ff���d��j�5)H����ff����*�curv���e�	�����ff������mo�Gdel����p�����ff����u�r�������ff�����3t�[����ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-3���ff���$UX1��͟���ff���c��0�40e����ff������27A1�
[email protected]����ff���Εs0����@0������1���*�0���ay-7��'����ff������0�����ff����1�3��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-3���ff���$UX2��͟���ff���Y��54000�*0c����ff������36A2�
[email protected]����ff���Εs0����@0������0���&�`-15���`��22��џ���ff������0�����ff����1�6��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-3���ff���$UX3��͟���ff���NU^��12288000��ҟ���ff������27A4�
[email protected]����ff���Εs0����@0������1���&�`-30���`��63��џ���ff������0�����ff����1�3��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-4���ff���$UX1��͟���ff���\8�1728�,�c����ff������64A4�
[email protected]����ff���Εs0����@0������0���*�1���c#�0�Lҟ���ff������0�����ff����1�2��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-4���ff���$UX2��͟���ff���W8�287496�'�b����ff������32A4�
[email protected]����ff���Εs0����@0������0���&�`-11���`��14��џ���ff������4�����ff����1�4��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-7���ff���$UX1��͟���ff���XU`��3375�(�ԟ���ff������49A1�
[email protected]����ff���Εs1���ߕt-1������0���)N`-2���ay-1��'����ff������0�����ff����1�2��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-7���ff���$UX2��͟���ff���R8�16581375�"�a����ff�����2���^��4��|s�7���^��2���H2��͟���ff���Εs0����@0������0���$N_-595���[��5586��П���ff������1�����ff����1�2��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�
�Ο�fd-8���ff���$UX1��͟���ff���\8�8000�,�c����ff�����256A1��@����ff���Εs0����@1������-3���*�1���c#�4�Lҟ���ff������1�����ff����1�2��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�LΟ�fd-11���ff���$UX1��͟���ff���U�`��32768�&Lԟ���ff����11���^��2��|s�B�
�\����ff���Εs0���ߕt-1������1���)N`-7���`��10��џ���ff������1�����ff����1�1��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�LΟ�fd-19���ff���$UX1��͟���ff���SU_��884736�#�ӟ���ff����Z�19���^��2��|s�A1�����ff���Εs0���ߕt-1������1���)N`-7���`��10��џ���ff������1�����ff����1�1��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�LΟ�fd-43���ff���$UX1��͟���ff���K�^��884736000�Lҟ���ff����Z�43���^��2��|s�A1�����ff���Εs0����@0������1���$N_-860���[��9707��П���ff������1�����ff����1�1��͟���ff����ff�1������ͤ���ff�LΟ�fd-67���ff���$UX1��͟���ff���DU\��147197952000��П���ff����Z�67���^��2��|s�A1�����ff���Εs0����@0������1���!�_-7370���V��243528��ϟ���ff������1�����ff����1�1��͟���ff����ff�1������ͤ���ff��͟�fd-163���ff���$UX1��͟���ff���5UY��262537412640768000��͟���ff�����163���^��2��Gz����ff���Εs�0����@0������1���N]-2174420���L��1234136692��͟���ff�����ø���1��͟���ff����1�1��͟���ff����ff�1�����l������iF�Question��T10.1.1.���Fw��What���is�the�r��}'ank�of�the�last�CM���curve�on�the�ab�ove�list?��The�c�onductor�is�����iF�163���^��2���o�=�	�26569�F$�which�is�out�of�the�r��}'ange�of�cr�emona's�tables.��MI�E�r�an��mwrank��for�thr�e�e�days�on�����iF�bosco.berkeley.edu��,�and�it�did�not�terminate.�~fIt�did�nd�the�p��}'oint��(850�;����68)�.�This�p��}'oint�has�����iFa�{�height�(ac��}'c�or�ding�{�to��hell��in�p��}'ari)�of��1�:�14564�:::��so�it�has�innite�or�der.���Thus�the�r�ank�is�����1�.�����iFDo��}'es���this�p�oint�gener�ate�the�ful���l�gr�oup�of�r�ational�p�oints?��<r���iF�This�UUtable�con���tains�all�CM�curv�es�of�conductor�����5077.��i�Pʍ����iF��Y��ff�#o�32����ͤ�΄ff�Mǟ�32�j���ff���=1�curv�Ӎes�]��΄ff���34�ff�#o�����ͤ�΄ff��7��320���ff���=1�27A1�\t27A3�36A1�36A3�108A1�108A2�144A1�144A3�576A1�576A3�576E1�576E3�675A1�675A2�675C1�675C2�675E1�675E2�	���΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�900A1�\t900A2�900B1�900B3�900C1�900C2�972A1�972A2�972B1�972B2�972C1�972C2�972D1�972D2�1089A1�1089A2�k$��΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�1089B1�\t1089B2�1323A1�1323A2�1323B1�1323B3�1323M1�1323M2�1521A1�1521A2�1521B1�1521B2�1728A1�1728A2�1728F1��͟�΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�1728F2�\t1728M1�1728M2�1728V1�1728V3�1764A1�1764A2�1764B1�1764B3�1764C1�1764C2�225A1�225A2�225B1�225B2�,ݟ�΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�243A1�\t243A2�243B1�243B2�2700E1�2700E2�2700G1�2700G2�2700H1�2700H2�2700L1�2700L2�2700P1�2700P2�2700T1��9��΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�2700T2�\t2700U1�2700U2�3267A1�3267A2�3267B1�3267B2�3267D1�3267D3�3600B1�3600B3�3600C1�3600C2�7����΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�3600D1�\t3600D2�3600E1�3600E2�3600Y1�3600Y2�3888K1�3888K2�3888L1�3888L2�3888M1�3888M2�3888P1�3888P2�����΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�3888S1�\t3888S2�3888T1�3888T2�432A1�432A3�432B1�432B2�4356A1�4356A2�4356B1�4356B2�4356C1�4356C3�441A1����΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�441A2�\t441B1�441B2�4563A1�4563A2�4563B1�4563B2�4563G1�4563G2�4761A1�4761A2�4761B1�4761B2�A�B��΄ff����ff�#o�32����ͤ�΄ff�����3254000���ff���=1�36A2�\t36A4�144A2�144A4�576A2�576A4�576E2�576E4�900B2�900B4�1764B2�1764B4�3600BB2�3600BB4�4356C2�4356C4����΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff��
��32-12288000���ff���=1�27A2�\t27A4�432A2�432A4�675A3�675A4�1323B2�1323B4�1728A3�1728A4�1728V2�1728V4�3267D2�3267D4�4563G3�4563G4��$��΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff�����321728���ff���=1�32A1�\t32A2�64A1�64A4�256B1�256B2�256C1�256C2�288A1�288A2�288D1�288D4�288E1�288E2�576F1�576F2�576G1��]��΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�576G2�\t576H1�576H2�800A1�800A4�800D1�800D2�800H1�800H2�1568A1�1568A2�1568B1�1568B2�1568G1�1568G4�1600O1�yC��΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�1600T1�\t1600T2�1600U1�1600U2�2304A1�2304A2�2304B1�2304B2�2304H1�2304H2�2304I1�2304I2�2304J1�2304J2�2304P1�����΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�2304P2�\t3136T1�3136T2�3136U1�3136U2�3136V1�3136V2�3872A1�3872A2�3872B1�3872B4�3872H1�3872H2�7�X��΄ff����ff�#o�32����ͤ�΄ff�0g��32287496���ff���=1�32A3�\t32A4�64A2�64A3�288D2�288D3�576H3�576H4�800A2�800A3�1568G2�1568G3�1600O3�1600O4�3136T3�3136T4�G���΄ff�������͟�΄ff�6ˎ�ff���=1�3872B2�\t3872B3�B���΄ff����ff�#o�32����ͤ�΄ff�iM��32-3375���ff���=1�49A1�\t49A3�441D1�441D3�784H1�784H3�1225B1�1225B3�3136D1�3136D3�3136R1�3136R3�j��΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff�
�G��3216581375���ff���=1�49A2�\t49A4�441D2�441D4�784H2�784H4�1225B2�1225B4�3136D2�3136D4�3136R2�3136R4�j��΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff�����328000���ff���=1�256A1�\t256A2�256D1�256D2�2304C1�2304C2�2304K1�2304K2��! ��΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff�����32-32768���ff���=1�121B1�\t121B2�1089E1�1089E2�1936F1�1936F2�3025A1�3025A2�����΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff�-��32-884736���ff���=1�361A1�\t361A2�3249A1�3249A2��$��΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff�
�}��32-884736000���ff���=1�1849A1�\t1849A2�A�P��΄ff����ff�#o�����ͤ�΄ff��͟�32-147197952000���ff���=1�4489A�]:���΄ff����ff�#o����d����m�*********���End�Unverie��}'d�*********��(������iF�10.2����Curv���es�L�of�high�rank���ڍ���iF10.3����W����eierstrass�L�Equations���ڍ�i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�����:=���Š���@�����&iF�58���CHAPTER�UU10.��ELLIPTIC�CUR���VES����ٍ��vn���&iF�10.3.1��ViFFinding��w��eierstrass�form�of�an�elliptic�curv�e���F��&iF�Plane��TCubic����&iF�The�UUW��*�eierstrass�form�of�an�elliptic�curv���e�is���N���QS�y��[ٟ����2��,�+�8�a����1��|s�xy����+��a����3���y�"�=���x������3���S�+��a����2���x������2���S�+��a����4���x��+��a����6���:����&iF�The��W��*�eierstrass�form�is�homogeneous�of�degree�6�if��y�]^�is�giv���en�w�eigh�t�3,�H�x��is�giv�en�w�eigh�t�2,�Hand����&iF�a����i�����is�UUgiv���en�w�eigh�t��i�.���'��5iFThe���gen���us�one�curv�e�dened�b�y�a�nonsingular�W��*�eierstrass�equation�has�a�rational�p�Goin�t�at����&iFinnit���y��*�.�<�Because���the�Selmer�curv�e�dened�b�y�3�x���^��3���m�+�e�4�y��[ٟ�^��3��>F�+�5�7�=�0���has�no�rational�p�Goin�ts�w�e�see����&iFthat�UUnot�ev���ery�cubic�equation�can�b�Ge�put�in�W��*�eierstrass�form.����5iFThe�UUcubic��du����I�ay��[ٟ����2���d�=���bx������3���S�+�8�cx������2���+��dx��+��e��du��&iF�can�UUb�Ge�transformed�in���to�the�W��*�eierstrass�form������c��y�������[ٱ2����1����d�=���x�������3����1����S�+�����<$��澵c��l�w�feI0�	(֍a�����	�vx�������2����1����+�����<$���W�db��l�w�fe	ţ�	(֍a���r�2������d�x����1���+�����<$��l�eb���^��2���l�w�fe
o�	(֍�Ծ�a���r�3�������f��&iF�b���y�UUthe�transformation��hP���FQ�x���7!�����<$���K�a���K�w�feI0�	(֍�Cb�����
v�x����1��|s�;���y�"�7!�����<$���K�a���K�w�feI0�	(֍�Cb�����y����1���:��"9;��&iF�The��TF��
�ermat�cubic��X�����^��3��~5�+�8�Y��8��^��3��	|o�=���Z�����^��3����F����&iF�Prop�Q�osition��T10.3.1.����+G�The��el���liptic�curve�dene��}'d�by��x���^��3���@�+�>͵y��[ٟ�^��3���5�=���1��has�Weierstr�ass�e�quation��y��[ٟ�^��2���5�=����&iF�x���^��3���S��������l�27��l��&�fe�������:4������,�.��du����&iFPr��}'o�of.���E���Mak���e�UUthe�substitution��x���7!��x�8���y��.�to�UUobtain���N�����1��=�(�x�8���y�[ٲ)������3���S�+��y�������3���d�=���x������3���S���3�x������2��|s�y����+�3�xy�������2���L�:����&iF�Dividing�UUthrough�b���y��x���^��3���Ȳthen�giv�es��������<$���0�1��ŗ6�w�fe
3��	(֍�x���r�3���������=��1�8���3�����<$��mE�y��33�w�fe��	(֍x�����
Vb�+�3������`���������<$��f)�y��,�w�fe��	(֍x��������f���`������J���ݱ2����0��&iF�The�"�substitution��x���7!��1�=x�,�,�y�"�7!��y�[�=x�"Ѳtransforms�this�in���to�3�y����^��2���$���ز3�y�"�=���x���^��3��PK���1.�`�No���w�"�m�ultiply�b�Goth����&iFsides�UUb���y�27�to�obtain�����?�(9�y�[ٲ)������2���S��8�9(9�y��)��=�(3�x�)������3����8�27��du��&iFwhic���h,�-�up�Gon�^p�erforming�the�substitution��y�CT�7!��{�9�y�[ٲ,�-��x��7!��3�x��b�Gecomes��y��[ٟ�^��2�������;�9�y�CT�=��x���^��3��(����27.�x�No���w����&iFcomplete�UUthe�square�b���y�adding����������81������&�fe�������:4�����	��to�b�Goth�sides�to�obtain���������Ɵ��`��������y���������<$��l�9��l�w�fe�	(֍2��������	�G���`�������+���ݱ2��۶�=���x������3���S��8�27�+�����<$��l81��l�w�fe
�	(֍��4�����f`=��x������3���S������<$��l�27��l�w�fe
�	(֍��4������H�:���#��&iF�The�UUsubstitution��y�����������l�9��l��&�fe�s����2�����bѸ7!���y��.�completes�the�pro�Gof.����~���ff����d�ff�Y��ff����ff����a7��&iFIn�6�fact�the�curv���e��x���^��3��x��+���y��[ٟ�^��3���d�=���z��p���^��3��#��is�27A1�in�Cremona's�tables�and�has�W��*�eierstrass�minimal�mo�Gdel����&iF�y��[ٟ�^��2��,�+�8�y�"�=���x���^��3���S���7.�q�In�UUthis�W��*�eierstrass�form,��E����(�Q�)�=��f�(3�;����4)�;��(3�;���5)�;��1g�.��9Y��&iF�In��9tersection��Tof�Tw�o�Quadrics�in��P���^��3����F��&iF�[Refer�UUto��y��[ٟ�^��2���d�=����(�x���^��4���S�+�8�1)�example.�q�Outline�general�strategy�of�\eectiv���e�Riemann-Ro�Gc�h".]�����;_��Š���@������iF�10.3.��WEIERSTRASS�UUEQUA��*�TIONS��Mݲ59����ٍ��vn����iF�10.3.2�� iFIn��v��@arian�ts��attac�hed�to�w�eierstrass�mo�`dels��h����iF�The�UUdiscriminan���t�of�the�ab�Go�v�e�W��*�eierstrass�equation�is��n��u���=���b�������2����2���|s�b����8���S��8�8�b�������3����4������27�b�������2����6����+�9�b����2��|s�b����4���b����6������iF�where��$���Sô�b����2��C��=���a�������2����1����S�+�8�4�a����2��|s�;���b����4���=��a����1��|s�a����3���S�+�8�2�a����4���;���b����6��C��=��a�������2����3����S�+�8�4�a����6���IJ��h��b����8��C��=���a�������2����1���|s�a����6���S�+�8�4�a����2���a����6����8�a����1���a����3���a����4���+�8�a����2���a�������2����3�����8�a�������2����4����$����iF�The�UU�j����-in���v��q�arian�t�is�����R��j�Y��=��(�b�������2����2����S��8�24�b����4��|s�)������3���=��:�����iF�F��*�or�UUthe�W�eierstrass�equation��y��[ٟ�^��2���d�=���x���^��3���S�+�8�ax��+��b�UU�w���e�ha�v�e���ꍑ_�)��=���16(4�a������3���S�+�8�27�b������2��|s�)�;���j�Y��=�12������3������<$��/��4�a���^��3������w�fe-š�	(֍�4�a���r�3���+�8�27�b���r�2������4�z�:���1���iF�The�ĵ�j����-in���v��q�arian�t�of�the�curv�e�dened�b�y��y��[ٟ�^��2��Y�=���4�x���^��3�����+�� �ax��+��b��is���������1728�a����r�3������&�fe�j�����a����3��� �+27�b����2������#�.���T��*�o�see�this�divide�b���y�4������iFand�UUconsider�(���������33�y��33�);�feN������)
�2�������)���^��2��C��=���x���^��3���S�+�������l�a��l��&�feVp�����,��4��������x�8�+��������+�b��l��&�fe�s�����4��������.��
7���iFA���W��*�eierstrass���equation�for�an�elliptic�curv���e�is�unique�up�to�a�co�Gordinate�transformation�of�����iFthe�UUform����<^=�x���7!��u������2��|s�x������0���+�8�r���;���y�"�7!��u������3���y��[ٟ����0��b�+�8�su������2���x������0���+��t;���u;���r���;�s;�t���2��k�P�;�
u��6�=�0�����iFIf�j����^��0��8ղis�the�discriminan���t�of�the�transformed�equation�then���=��u���^��12��x����^��0���9�.���Th�us�j�the�discriminan�ts�����iFof�UUt���w�o�dieren�t�mo�Gdels�for�the�same�curv�e�dier�b�y�a�t�w�elfth�p�Go�w�er.��
7���iFA�8��minimal�8�W��*�eierstrass�equation�is�one�for�whic���h��a����i�����2�Bs�Z��and��is�minimal.��It�is�unique�����iFup��qto�a�co�Gordinate�transformation�of�the�ab�o���v�e��qform�with��r���;���s;�t;�u�r�2��Z�,��8�u��2��Z���^����
2�=��f�1�g�.��The�����iFminimal��discriminan���t�need��not��b�Ge�the�conductor��N����E��	�l�of�the�corresp�onding�elliptic�curv���e��E����.�Z�The�����iFt���w�o�UUquan�tities�are�related�b�Gecause���9���@ٵN����E��	���=���������Y��������p���8޵p�������ord���� �����p��������()+1��m���p����!檍��iF�where���m����p��39�is�the�n���um�b�Ger���of�connected�comp�onen���ts�of�the�N���Geron�mo�Gdel�of��E�'t�at��p�,���and�the�pro�duct�����iFis���o���v�er�all�nite�primes��p��of��Q�.���A���W��*�eierstrass�mo�Gdel�of��E�GE�is�nev�er�a�N���Geron�mo�Gdel�of��E����.���[If�it�����iFw���ere��kthen��E�i��w�ould�ha�v�e�nonsingular�reduction�ev�erywhere�whic�h�can�not�happ�Gen.]��It�can�b�e�����iFthe��$case�that��N����E��	�޲=�1q�j��j�,��this�o�Gccurs�for�11A3�(�y��[ٟ�^��2��;��+�cj�y��J�=��x���^��3���ݸ��x���^��2��|s�)��$whic���h�has�discriminan�t���11.�����iFBut�UUfor�11A1�the�minimal�discriminan���t�is���11���^��5��|s�.��n�����iF�Example���10.3.2.���;�_�The�UUW��*�eierstrass�equation��?؍��ϵy��[ٟ����2���d�=���x������3���S�+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍4�����	�G�x���>���iF�has�UUdiscriminan���t��ZH������=���16(4(�����<$��331��33�w�fe�	(֍4�����fg)������3��|s�)�=���1�:���u���iF�Note��that�this�is�not�a�minimal�W��*�eierstrass�equation�and�that�the�minimal�W�eierstrass�equation�����iFcorresp�Gonding��Ito�the�elliptic�curv���e�dened�b�y�the�ab�Go�v�e�equation�has�discriminan�t���2���^��12��x�.���This�����iFexample��sho���ws�that�if�the�W��*�eierstrass�equation�is�not�minimal�then�the�set�of�primes�dividing�����iFthe�UUdiscriminan���t�ma�y�b�Ge�completely�disjoin�t�from�the�set�of�primes�of�bad�reduction.��=��m�*********���End�Unverie��}'d�*********�����<n���Š���@�����&iF�60���CHAPTER�UU10.��ELLIPTIC�CUR���VES����ٍ��vn���&iF�10.4��R��The�L�Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture���$���&iF�10.4.1��ViFThe���L�-series�attac��hed�to�an�elliptic�curv�e��Q]��&iF�Denition��Tof��L�(�E���;���s�)��������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���썑&iF�Let�UU�E���b�Ge�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q�.�q�F��*�or�eac�h�prime��p��of��Q��dene��-+��[�a�L����p���R�(�T�c��)��=�����8��	��>����>����>����<����>����>����>����:�����ǰ������1�8���a����p���T��o�+��pT��c���^��2�����Ux�a����p��fj�=��p�8�+�1����N����p���,�UU�p��go�Go�d����fc�����1�8���T����Ux�if�UU�E���has�split�m���ultiplicativ�e�UUreduction���������1�8�+��T����Ux�if�UU�E���has�non-split�m���ultiplicativ�e�UUreduction���������1����Uxif�UU�E���has�additiv���e�reduction���������&iFThe�UU�L�-series�of��E���is�no���w�dened�to�b�Ge��"��÷-�L�(�E���;���s�)��=��������Y��������p�������<$��!M��1��l�w�fe"��	(֍�L����p���R�(�p���r��s��
�;�)�����6b)�:��&��&iF�Basic��TF��
�acts�ab�Q�out��L�(�E���;���s�)��Q]����&iF�Theorem��T10.4.1.���|�ֵL�(�E���;���s�)����c��}'onver�ges�for��<�(�s�)���>��������K�3���K��&�fe�s����2�����	)��.��b�����&iF�Theorem��T10.4.2.���|���The���el���liptic�curves��E�'t�and��E������^��0�����ar��}'e�iso�genous�i��L�(�E���;���s�)��=��L�(�E����^��0��aƵ;���s�)�.��q|��&iF�Numerically��Tappro��9ximating��L�(�E���;���s�)����&iF+�UUwhat�I�kno���w�ab�Gout�using�pari�to�do�this�+�mo�dular�sym���b�ols�algorithm�?��q|���&iF�10.4.2��ViFThe��Birc��h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture����&iF�Fix�UUan�elliptic�curv���e��E���o�v�er��Q�.�q�Let�������5iG�����?iH�R�i�b�Ge�UUthe�regulator�of��E����,���썍���5iG�����?iH�
��=�����īR������<�E�b}�(�R�)��:H�j�!�[ٸj�UU�where��!��.�is�the�in���v��q�arian�t�UUN���Geron�dieren�tial,�����5iG�����?iH�c����p���the�UUlo�Gcal�T��*�amaga���w�a�UUn�um�b�er�UUof��E���at��p�,�������5iG�����?iH�N�lp�the�UUconductor�of��E����,�������5iG������?iH�X��Nb#�the�UUT��*�ate-Shafarevic���h�group�of��E����,�������5iG�����?iH�r��r�the�UUrank�of��E����(�Q�),�and�������5iG�����?iH�L�(�E���;���s�)�UUthe��L�-series�of��E��.����&iFBirc���h�Z�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�that�these�quan�tities�are�related�to�the�residue�at��s���=�1����&iFof�UU�L�(�E���;���s�).������&iF�Conjecture��T10.4.3�(Birc��9h�and�Swinnerton-Dy�er).�����ߍ�����v�lim��-�����u�s�!�1�������<$���uy�L�(�E���;���s�)���<�w�fe"��	(֍(�s�8���1)���r�r�������T̲=�����Y����K�R�L���8�
��������Q�������p�j�N��jT�c����p���2���[��X�����]���K�Y��feW�k�	(֍��][�E����(�Q�)����tor��
�u�]���r�2�������>�����*********���End�Unverie��}'d�*********�����=���Š���@������iF�10.4.��THE�UUBIR���CH�AND�SWINNER��*�TON-D�YER�CONJECTURE�px�61����ٍ��vn����iF�10.4.3�� iFThe��T���amaga��w�a�n�um�b�`ers��*ύ�i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���
���iF�Let�UU�E���b�Ge�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q��and�dene������r�c����p��fj�=��(�E����(�Q����p���R�)�:��E�������0���(�Q����p���R�))�:�����iF�Th���us�UU�c����p���is�the�n�um�b�Ger�of�connected�comp�onen���ts�of�the�sp�ecial�bre�of�the�N�����Geron�mo�del�at��p�.��a����iFThe���lo�Gcal�T��*�amaga���w�a���n�um�b�er��ʵc����p��f�can�b�e�computed�using�P��*�ARI,�it�is��localred(e,p)[4]�.�BDThe�����iFcurv���e�UU�y��[ٟ�^��2���d�=���x���^��3���S��8�x��has�conductor�32,��c����2��C��=�2,�and��c����p��fj�=�1�(�p��6�=�2).���
���iF�?�?�e=initell([0,0,0,-1,0])�����iF?�?�localred(e,2)�����iF%1�?�=�[5,�3,�[1,�1,�1,�0],�2]�����iF?�?�localred(e,3)�����iF%2�?�=�[0,�1,�[1,�0,�0,�0],�1]��$����iF�The��9global�T��*�amaga���w�a��9n�um�b�Ger��c��is�the�pro�duct�of�the�lo�cal�T��*�amaga���w�a�n�um�b�Gers.�3iP��*�ARI��
computes�����iFit�UUas��globalred(e,p)[3]�.�����iF�?�?�globalred(e)�����iF%3�?�=�[32,�[1,�0,�0,�0],�2]��瑍�m�*********���End�Unverie��}'d�*********�������iF�10.4.4�� iFThe��N��q����eron-T���ate�canonical�heigh��t��*ύ�i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********������iF�Denition�����iF�Let�UU�E���b�Ge�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q��em�b�Gedded�in��P���^��2���Ȳb�y�c�hoice�of�a�W��*�eierstrass�equation������Gi�y��[ٟ����2���d�=���x������3���S�+�8�ax��+��b;���a;���b��2��Q�:�����iF�F��*�or�UU�P�*��2���E����(�Q�)�dene�����X�ֵh�(�P�c��)��=������\�(����.���
�S�0����Q��if�UU�P�*��=��1����fc����
�S�log����(�max���v(�c;���d�))����Q��if�UU�P�*��=�(�x;���y�[ٲ),��j�x�j��=�������E��c���K��&�fe)�����d�����������4؍��iF�where�UU�c��and��d��are�relativ���ely�prime�p�Gositiv�e�in�tegers.�q�The��N�«��}Weron-T��
�ate��Tcanonical�heigh��9t�UU�is��������\q���i0^�������Nҵh����ɲ(�P�c��)��=���F�lim�����n�!1�������<$���;�h�(2���^��n��q~�P��)���;�w�feʱ�	(֍��*2�8���4���r�n������;��:���Y���iF�Computation��*ύ��iF�The�UU�gp��function��hell(e,P)��can�b�Ge�used�to�appro���ximate���\q��o�^�������h���	L�(�P�c��).�����iF�?�?�h(p)=log(max(abs(numer(p[1])),abs(denom(p[1]))))�����iF?�?�hhat(e,p,n)=h(powell(e,p,2^n))/(2*4^n)�����iF?�?�e=initell([0,0,1,-1,0]);�����iF?�?�hhat(e,[0,-1],5)�����iF%1�?�=�0.02555039173998061935821379001�����iF?�?�hell(e,[0,-1])�����iF%2�?�=�0.02555570411998442011794304989�����>���Š���@�����&iF�62���CHAPTER�UU10.��ELLIPTIC�CUR���VES����ٍ��vn��&iF�Standard��TF��
�acts��uT����&iFTheorem��T10.4.4.���|���Ther��}'e���ar�e�only�nitely�many�p�oints��P�i��2��E����(�Q�)��with�height�less�than�a�xe�d����&iFc��}'onstant���C.���j����&iF�Prop�Q�osition��T10.4.5.����+G�A���p��}'oint��P�*��2���E����(�Q�)��has�height�zer�o�i��P�*��2���E����(�Q�)����tor��
�u�.������&iF�The��Tregulator����&iF�Dene������ǵB��q�(�P�G;���Q�)��=���\q���v^�������h�����(�P��o�+�8�Q�)�����\q��S>�^�������h����ײ(�P�c��)�����\q��S>�^�������h����(�Q�)�:���ύ�&iF�Then�m��B���is�a�symmetric�bilinear�form.��wSupp�Gose��E����(�Q�)�has�rank��r����and�let��P����1��|s�;����:�:�:����;���P����r���2�b�e�a�basis,����&iFmo�Gdulo�UUtorsion.�q�Dene�the��regulator��of��E���to�b�e�the�determinen���t������W8�R��߲=����det�����(�B��q�(�P����i��TL�;���P����j��6��))�:����&iF�[If��g�P����1��|s�;����:�:�:����;���P����s��
R�2���E����(�Q�)�then�the�rank�of�the�matrix�(�B��q�(�P����i��TL�;�P����j��6��))�giv���es�the�rank�of�the�set�of�p�Goin�ts.]����5iF[???]�UUIs���there�a�w���a�y���to�compute�the�regulator�without�computing�a�basis�for��E����(�Q�)?��]Milne����&iFasserts�=on�page�104�of�his�notes�on�elliptic�curv���es�that�ev�ery�quan�tit�y�(except���X���ò)�app�Gearing����&iFin�otthe�BSD�omconjecture�is�eectiv���ely�computable.��#I�don't�think��E����(�Q�)�is�kno���wn�to�b�Ge�eectiv�ely����&iFcomputable��so�either�Milne's�statemen���t�is�false�or�there�is�a�b�Getter�w�a�y�to�compute�the�regulator.����5iFThe��P��*�ARI��functions��bilhell��and��mathell��can�b�Ge�used�to�w���ork�with�the�heigh�t�pairing.�L�Let����&iF�E�C��b�Ge��the�curv���ed�dened�b�y��y��[ٟ�^��2��M��+�ue�xy��>�=�^e�x���^��3���ز+�1.��F��*�rom��Cremona's�table�w�e�see�that��E�C��is�433A1����&iFand��that��E����(�Q�)����T͍��;?����+3���;?�=�����=��Z�gV���Z�.�B�One��sees�that�(��1�;����1)�and�(��1�;��0)�are�t���w�o��rational�p�Goin���ts�on��E����.�B�Are����&iFthey�UUindep�Genden���t?���j��&iF�?�?�e=initell([1,0,0,0,1]);����&iF?�?�det(mathell(e,[[-1,1],[-1,0]]))����&iF%1�?�=�6.310887241736054420000000000�E-30����&iF�Th���us�UUthe�t�w�o�p�Goin�ts�are��not��indep�Genden�t.�q�Another�rational�p�Goin�t�on��E���is�(1�;����1).����&iF�?�?�det(mathell(e,[[1,1],[-1,0]]))����&iF%2�?�=�0.2246941634181667416120711342����&iF�Th���us��(1�;����1)�and�(��1�;��0)�are�indep�Genden���t.�O�[???]�UUHo�w��can�I��tell�whether�or�not�(1�;��1),�(��1�;��0)�form����&iFa�UUbasis�for��E����(�Q�)?�������*********���End�Unverie��}'d�*********�������&iF�10.4.5��ViFThe��real�p�`erio�d��of�an�elliptic�curv��e��uT��&iF�Let�UU�E���b�Ge�an�elliptic�curv���e�with�minimal�W��*�eierstrass�equation�����QS�y��[ٟ����2��,�+�8�a����1��|s�xy����+��a����3���y�"�=���x������3���S�+��a����2���x������2���S�+��a����4���x��+��a����6���:����&iF�The�UU�in��9v��\rarian�t��TN�«��}Weron�dieren��9tial��on��E���is�������ᆵ!�"�=�����<$����dx���K�w�fe;��	(֍�2�y����+�8�a����1��|s�x��+��a����3������A$��:������&iF�The�UUreal�p�Gerio�d�UUof��E���is���@��Թ�!����1��C��=�����c��Z���UR�	y�E�b}�(�R�)����0������j�!�[ٸj���!��&iF�where�K��E����(�R�)���^��0����is�the�connected�comp�Gonen���t�of�the�iden�tit�y�of��E����(�R�).�T�Since�the�group�la�w�is�a����&iFdieomorphism,��qЍ��R
��=����c��Z���UR�	y�E�b}�(�R�)����j�!�[ٸj��=������\�(����.���
�S�!����1�����$�C�if�UU�E����(�R�)�has�one�comp�Gonen���t����fc���
�S2�!����1�����$�C�if�UU�E����(�R�)�has�t���w�o�UUcomp�Gonen�ts����������?�D��Š���@������iF�10.5.��ELLIPTIC�UUCUR���VES�O���VER�FINITE�FIELDS���.�63����ٍ��vn���iFP��*�ARI�PQcan�P�b�Ge�used�to�appro���ximate��!����1��|s�.��If��e��is�the�elliptic�curv�e�data�returned�b�y��initell�,���then�����iF�e[15]�ki�is�appro���ximately�equal�to��!����1��|s�.��It�is�also�p�Gossible�to�directly�compute��!����1���ܲusing�n�umerical�����iFin���tegration.�q�F��*�or�UUexample,�consider�the�curv�e�dened�b�y��y��[ٟ�^��2���d�=���x���^��3���S��8�x�.�q�Then�the�in�tegral���ʍ���>$��c��Z�����^�	y�E�b}�(�R�)����0����mʸj�!�[ٸj���=�2������c��Z�����i�����1��@��8�1�������<$��#��dx��i�w�fe$x�
UN�������p���UW�����fe#��UU��x���r�3���S��8�x������������iF�can�UUb�Ge�n���umerically�appro�ximated�with�P��*�ARI.������iF�?�?�\precision=5�����iF?�?�intinf(x=1,1e4000,1/sqrt(x^3-x))�����iF%1�?�=�2.5625�����iF?�?�initell([0,0,0,-1,0])[15]�����iF%2�?�=�2.6220�����iF�The�-_n���um�b�Ger��!����1���Ҳis��not��a�����C�fe�����Q���
�}�-isomorphism�in�v��q�arian�t.�duF��*�or�example,�5]the�curv�e��E������^��0��(޲:���y��[ٟ�^��2���d�=��x���^��3��eg����4�x�����iF�is�_�isomorphic�o���v�er��_ğ��C�fe�����Q������to�_ĵE�l�:��{�y��[ٟ�^��2���Dz=��x���^��3���G��?Եx��(they�b�Goth�ha���v�e��j����-in�v��q�arian�t�1728),�b_but��!����1��|s�(�E������^��0��aƲ)��{���1�:�854�����iFwhereas�UU�!����1��|s�(�E����)�����2�:�622.�����iF�!����1��O*�is�ҷcalled�the�real��p��}'erio�d�ҷ�b�Gecause�there�is�a�complex�n���um�b�er�ҷ�!����2��O*�suc�h�that��Z�!����1���+��v�Z�!����2��O*�is�����iFthe�UUcomplex�lattice�asso�Gciated�to��E����.��!�����iF�10.5����Elliptic�L�Curv���es�o�v�er�Finite�Fields�������iF�10.5.1�� iFHasse��Bound��uT�����iF�Theorem��T10.5.1�(Hasse).���p���L��}'et���E�]��b�e�an�el���liptic�curve�over�the�nite�eld��F����q��4��having��q�%��elements.�����iFThen������4�j�[�E����(�F����q��j��)]�8���(�q����+�1)�j����2����H�p���UW��H�feҪ�����q����
(:���h����iF�10.5.2�� iFWhat��v��@alues�in�the�Hasse�in��terv�al�are�attained?����i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���ލ��iF�The��Zfollo���wing�pari�program�en�umerates�the�W��*�eierstrass�equations�whic�h�dene�elliptic�curv�es�����iFo���v�er�UU�F����2���Ȳalong�with�the�size�of�their�group�of�rational�p�Goin���ts.������iF�?�?�discell(a1,a2,a3,a4,a6,b2,b4,b6,b8)=b2=a1^2+4*a2;b4=a1*a3+2*a4;b6=a3^2+4*a6;\������@b8=a1^2*a6+4*a2*a6-a1*a3*a4+a2*a3^2-a4^2;-b2^2*b8-8*b4^3-27*b6^2+9*b2*b4*b6�����iF?�?�ordf2(e,c)=c=1;for(x=0,1,for(y=0,1,if(isoncurve(e,[mod(x,2),mod(y,2)]),c=c+1,)));c�����iF?�?�for(a1=0,1,for(a2=0,1,for(a3=0,1,for(a4=0,1,\������@for(a6=0,1,if(mod(discell(a1,a2,a3,a4,a6),2)==0,,\������@print(a1,a2,a3,a4,a6,":�?�N=",ordf2(initell([a1,a2,a3,a4,a6])))))))))�����iF�The�UUoutput�is�(reformatted�to�sa���v�e�UUspace):�����iF�00100:�?�N=3,�00101:�N=3,�00110:�N=5,�00111:�N=1,�01100:�N=5,�01101:�N=1,�����iF01110:�?�N=3,�01111:�N=3,�10001:�N=4,�10010:�N=4,�10101:�N=2,�10111:�N=2,�����iF11001:�?�N=2,�11010:�N=2,�11100:�N=4,�11110:�N=4�����iF�The���Hasse�theorem�asserts�that�if��E�cU�is�an�elliptic�curv���e�o�v�er��F����2��L;�then��j�E����(�F����2��|s�)�-ȸ��3�j����2�����P�p���UW���P�fe�E���2����p���2�:�828,�����iFi.e.,�UUthe�p�Gossible�v��q�alues�for��E����(�F����2��|s�)�are�1�;����2�;��3�;��4,�UUor�5.�q�F��*�or��q�"�=��2,�w���e�see�that�all�v�alues�o�Gccur.�����iFUsing�UUthe�follo���wing�program�w�e�can�in�v�estigate�the�situation�for�more�general��p�.�����iF�?�?�ordfp(e,p,c)=c=1;for(x=0,p-1,for(y=0,p-1,\������@if(isoncurve(e,[mod(x,p),mod(y,p)]),c=c+1,)));c�����iF?�?�allcurves(p)=for(a1=0,p-1,for(a2=0,p-1,for(a3=0,p-1,for(a4=0,p-1,\������@for(a6=0,p-1,if(mod(discell(a1,a2,a3,a4,a6),p)==0,,\������@print(a1,a2,a3,a4,a6,":�?�N=",ordfp(initell([a1,a2,a3,a4,a6]),p))))))))�����@���Š���@�����&iF�64���CHAPTER�UU10.��ELLIPTIC�CUR���VES����ٍ��vn��&iF�?�?�allcurvesN(p)=for(a1=0,p-1,for(a2=0,p-1,for(a3=0,p-1,for(a4=0,p-1,\����0�@for(a6=0,p-1,if(mod(discell(a1,a2,a3,a4,a6),p)==0,,\����0�@print(ordfp(initell([a1,a2,a3,a4,a6]),p))))))))����5iF�I��ptried����allcurvesN(p)��for�the�primes��p�0`�=�2�;����3�;��5�;��7���and�in�eac���h�case�all�v��q�alues�in�the�Hasse����&iFin���terv��q�al�UUw�ere�quic�kly�attained.�q�I�don't�kno�w�what�happ�Gens�in�the�general�situation.������*********���End�Unverie��}'d�*********�����A����Š���@����ٍ�������iF�Chapter�i�11��32���iF�Computation��;2����iF�11.1����P���ari���a��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��!�ҍ���iF�11.1.1�� iFCompiling��P��ari�under�Lin�ux��f����iF�I��successfully��'compiled�pari�v���ersion�1.39.03�under�slac�kw�are�lin�ux�b�y�p�Gerforming�the�follo�wing�����iFsteps.��!��������*1.����	iHCreate�UUthe�mak���ele��Makefile��b�y�t�yp�Geing��Makemakefile�?�i386�.��,ƍ������*2.����	iHMo�Gdify���Makefile��b���y�replacing��version386.c��on�lines�164�and�165�b�y��versionport.c�.����	iH[This�UUmigh���t�b�Ge�a�non-optimal�x.]���������*3.����	iHT���yp�Ge�UU�make��in�the��src��directory�to�build�ev�erything.�q�This�tak�es�ab�Gout�one�hour.��!����iFThe�UUcommand��make�?�install��successfully�installed�pari�and�the�do�Gcumen���tation.��7���m�*********���End�Unverie��}'d�*********��!�ҍ���iF�11.1.2�� iFLibrary��Mo�`de��f���i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���ҍ��iF�Mak��9ele�����iF�Here���is�a�Mak���ele�whic�h�allo�ws�m�y�system�to�compile�the�C�ѣprogram��shell.c��and�the�C++�����iFprogram�UU�shellcpp.cpp�.��,Ǎ��iF�CC�?�=�gcc�����iFCPP�?�=�g++�����iFCFLAGS�?�=�-O2�-ansi�-I/usr/local/include/pari�-DLONG_IS_32BIT�����iFCPPFLAGS�?�=�-O2�-I/usr/local/include/pari�-DLONG_IS_32BIT�����iFall:���shell�?�shellcpp�����iFshell:�?�shell.c�����iF$(CC)�?�$(CFLAGS)�-o�shell�shell.c�-lpari�-lm�����iFshellcpp:�
�shellcpp.cpp�����iF$(CPP)�?�$(CPPFLAGS)�-o�shellcpp�shellcpp.cpp�-lpari�-lm���K����i#�65����B���Š���@�����&iF�66��*T�CHAPTER�UU11.���COMPUT��*�A�TION����ٍ��vn��&iF�Sample��T�C�?��Program��%���&iF�/*�?�shell.c�--�a�very�simple�pari�shell.�*/����&iF#include�?�<genpari.h>����&iFmain()�?�{����6)=GEN�?�x;�char�s[512];����6)=init(4000000,100000);���/*�?�Initialize�the�pari�stack.�*/����6)=printf("Simple�?�pari�shell.\n>�");����6)=while(EOF!=scanf("%s",s))�?�{����E�4x=lisseq(s);���/*�?�input�and�parse�a�list�of�expressions�*/����E�4sor(x,'f',-1,0);���/*�
�output�?�the�result�*/����E�4printf("\n>�?�");����6)=}�?�}���{��&iF�Sample��T�C++�?��Program����&iF�//�?�shellcpp.cpp�--�a�very�simple�pari�shell�in�C++.����&iF#include�?�<iostream.h>����&iFextern�?�"C"�{����&iF#include�?�<genpari.h>����&iF}����&iFmain()�?�{����6)=init(4000000,100000);���//�?�Initialize�the�pari�stack.����6)=cout�?�<<�"Simple�pari�shell."�<<�endl�<<�">�";����6)=GEN�?�x;�char�s[512];����6)=while(EOF!=scanf("%s",s))�?�{����E�4x=lisseq(s);�4�//�?�input�and�parse�a�list�of�expressions����E�4sor(x,'f',-1,0);��//�?�output�the�result����E�4cout�?�<<�endl�<<�">�";����&iF}�?�}��z�����*********���End�Unverie��}'d�*********���{���&iF�11.1.3��ViF�I߆�Tcmtt12�Igp���Shell��%����&iF11.1.4��ViFNumerical��In��tegration��������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********����&iF�P��*�ARI�UUimplemen���ts�basic�n�umerical�in�tegration.��������5iG�����?iH�intnum(x=a,b,f(x))�:�simple���n���umerical�ev��q�aluation�of�����īR����j���	,��b��	#���:�a����t�f���(�x�).�+JUse�when��a��and��b��are��smal���l����?iH�and�UU�f���(�x�)�is�smo�Goth�and�w���ell-dened�on�[�a;���b�].��z������5iG�����?iH�intinf(x=a,b,f(x))�:���n���umerical�mLin�tegration�optimized�for�when��a��or��b��is�innite.���T��*�o����?iHP��*�ARI�UUinnite�means�1e4000.�qǵa��and��b��m���ust�ha�v�e�the�same�sign.���@�����5iG�����?iH�intgen(x=a,b,f(x))�:���general��n���umerical�ev��q�aluation�of�����īR����j���
���b��	#�����a���Z��f���(�x�).�t�The�limits��a��and��b��can����?iHha���v�e�UUdieren�t�signs�and�can�b�Ge�large.����5iFThe�UUin���tegrand��f���(�x�)�can�b�Ge�complex�v��q�alued.��z���&iF�?�?�\precision=3����&iF?�?�intgen(t=0,1,(1+i)*t)����&iF%1�?�=�0.500�+�0.500*i����&iF�If�UU�f���(�x�)�is�not�con���tin�uous�UUand�the�precision�is�not�small�then�the�P��*�ARI�stac���k�ma�y�o�v�er
o�w.�����C���Š���@������iF�11.2.��LIDIA�[
�67����ٍ��vn���iF�?�?�\precision=3�����iF?�?�f(x)=if(x<0,-1,1)�����iF?�?�intgen(x=-1,1,f(x))�����iF%1�?�=�0.0000740�����iF?�?�\precision=28�����iF?�?�intgen(x=-1,1,f(x))������@***���the�?�PARI�stack�overflows�!!!��Nt���iF�Here�UUare�some�other�examples.��h����iF�?�?�\precision=3�����iF?�?�intnum(t=1,10,1/t^3)�����iF%1�?�=�0.495�����iF?�?�intinf(t=1,1e4000,1/t^3)�����iF%2�?�=�0.500�����iF?�?�intgen(t=-1,1e4000,1/(t^2+1))�����iF%3�?�=�2.35�����iF?�?�intinf(t=-1,1e4000,1/(t^2+1))���//�WRONG!�����iF%4�?�=�-0.785�����iF�Note�Jothat�the�last�usage�of��intinf��is�erroneous�b�Gecause�the�limits�of�in���tegration�are�not�of�the�����iFsame�UUsign.������m�*********���End�Unverie��}'d�*********��!������iF�11.2����LiDIA��Ǎ�i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��h����iF�LiDIA�UUis�a�C++�library�for�n���um�b�Ger�UUtheory��*�.�q�It�implemen���ts���􍍑�iF�11.2.1�� iFExamples������iF�nextprime.C�����iF�//�?�nextprime.C�--�print�out�the�prime�following�a�certain�prime.�����iF//�?�[see�page�30�of�the�LiDIA�man.dvi�documentation]�����iF#include<LiDIA/bigint.h>�����iFmain()�?�{����)=bigint�?�p,�next;����)=//�?�let�p�be�the�prime�2^61�-�1.����)=string_to_bigint("2305843009213693951",p);�����)=//�?�let�next=the�next�prime�after�p.����)=next=next_prime(p);����)=cout<<"The�?�next�prime�after�2^61-1�is�"<<next<<"."<<endl;�����iF}����m�*********���End�Unverie��}'d�*********��!������iF�11.3����Cremona's�L�programs:�m���wrank,�etc.��Ǎ��iF�J.�ULCremona�has�constructed�programs�for�nding�the�group�of�rational�p�Goin���ts�on�an�elliptic�����iFcurv���e.�q�They�UUcan�b�Ge�obtained�at��h���Yi
�ftp://euclid.ex.ac.uk/pub/cremona/progs/�����D�}��Š���@�����&iF�68��*T�CHAPTER�UU11.���COMPUT��*�A�TION����ٍ��vn��&iF�T��*�o��Zget�an�idea�of�ho���w�quic�kly�v��q�arious�computers�I��9use�can�run��mwrank��I�ask���ed�it�to�compute����&iFthe�UUMordell-W��*�eil�group�of�the�curv���e��y��[ٟ�^��2��,�+�8�y�"�=���x���^��3���S���199�x��+�1092.�q�Here�UUare�the�running�times.��?�������7��L͉ff�1٤fd����ͤ���ff��͟�fdComputer���ff���=�Arc���hitecture��͟���ff����j�Time�UU(seconds)��͟���ff����ff�1١����ͤ���ff��͟�fdjune's�b%��ff���=�P233MMX��<����ff����NG9�$�^����ff�������ͤ���ff��͟�fdn���um�b�Ger��$��ff���=�P200�&~�����ff�����G14�"0^����ff�������ͤ���ff��͟�fdwhale��{��ff���=�P166�&~�����ff�����G16�"0^����ff�������ͤ���ff��͟�fdferrari��^��ff���=�p�Gen���tium�0Z����ff�����G20�"0^����ff�������ͤ���ff��͟�fdsizzlean�S�ff���=�sparc�UU4�����ff�����G54�"0^����ff�������ͤ���ff��͟�fdjana�E���ff���=�sparc�%p^����ff�����G88�"0^����ff�������ͤ���ff��͟�fdb�Gosco�~���ff���=�sparc�%p^����ff�����G91�"0^����ff����ff�1َ���E*����&iF�11.3.1��ViFBug��Rep�`ort��uT��&iF�I�UUsen���t�the�falling�\bug�rep�Gort"�to��[email protected]��on�July�20,�1997.��A䍑&iF�Dear�?�PARI�developers,�����&iFI�?�was�constructing�a�table�of�class�groups�of�quadratic�imaginary�extensions����&iFwhen�?�I�received�a�message�asking�me�to�please�report�a�problem.�����&iFWhen�?�I�issued�the�command�����Pi.buchgenfu(x^2+46957)�����&iFgp�?�worked�for�a�long�time�then�finally�printed:�����+�C***���sorry,�?�buchxxx�is�not�able�to�compute�this�field�PLEASE�REPORT!!!.�����&iFNote�?�that�46957�is�prime.�The�next�prime�after�46957�is�46993,�so����&iFI�?�tried�buchgenfu(x^2+46993)�and�it�worked�fine.�����&iFI�?�am�using�an�intel�pentium�200�but�I�duplicated�the�problem�on����&iFa�?�sparc.�
�A�complete�transcript�follows�my�signature.����&iFI�?�hope�I�have�been�of�some�help,����&iFWilliam�?�Stein�([email protected])�����&iF-------------------------------------------------����&iF#�?�This�is�on�my�intel�P200�running�Linux�2.0.30.�
�(I�compiled�this����0�@build�?�of�pari�myself.)�����&iF/usr/local/bin/gp�?�-s�10000000�-b�30000�-p�500000����ei"GP/PARI�?�CALCULATOR�Version�1.39.03�����(portable�?�32-bit�version)�����&iFCopyright�?�1989-1995�by�C.�Batut,�D.�Bernardi,�H.�Cohen�and�M.�Olivier�����&iFType�?�?�for�help�����&iF\precision��=�?�28����&iF\serieslength���=�?�16����&iF\format�/?�=�?�g0.28����&iF\prompt�/?�=�?�?����&iFstacksize�?�=�10000000,�prime�limit�=�500000,�buffersize�=�30000����&iF?�?�buchgenfu(x^2+46957)����0�@***���sorry,�?�buchxxx�is�not�able�to�compute�this�field�PLEASE�REPORT!!!.�����Ē��Š���@������iF�11.4.���GAP�g�i�69����ٍ��vn���iF�?�?�buchgenfu(x^2+46993)�����iF%1�?�=�����iF[x^2�?�+�46993]�[[0,�1]]�[[-187972,�1]]�[[1,�x]]�[[56,�[56],�[[43,�36;�0,�1]]]]�����iF[1][1.028570398514380248352478863]�?�[[2,�-1]]�[[]]�[-1073744772]�(I�removed�newlines)�������iF#�?�This�is�on�one�of�the�sparcs�in�the�math�department.�
�(I�downloaded�����iF#�?�this�build�of�pari�from�a�web�site.)������iFbeirut�?�25->gp�-s�
�10000000����/i"GP/PARI�?�CALCULATOR�Version�1.39����^�(Sparcv7�?�version)������iFCopyright�?�1989-1994�by�C.�Batut,�D.�Bernardi,�H.�Cohen�and�M.�Olivier������iFType�?�?�for�help������iF\precision��=�?�28�����iF\serieslength���=�?�16�����iF\format�/?�=�?�g0.28�����iF\prompt�/?�=�?�?�����iFstacksize�?�=�10000000,�prime�limit�=�500000,�buffersize�=�30000�����iF?�?�buchgenfu(x^2+46957)������@***���sorry,�?�buchxxx�is�not�able�to�compute�this�field�PLEASE�REPORT!!!.�����iF-------------------------------------------------��!č���iF�11.4�����Jߡ�ffffcmtt14�JGAP�����f��GAP�UU�{��G�roups��A�lgorithms��P�rogramming����i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���6����iF�11.4.1�� iFExamples��uT���iF�Lattice��Tof�subgroups�����iF�Here�UUis�ho���w�to�use��GAP��to�nd�the�lattice�of�subgroups�of�the�group��S����4��|s�.�����iF�gap>�?�s4:=Group((1,2,3,4),(1,2));;�����iFgap>�?�lat:=Lattice(s4);�����iFgap>�?�SetPrintLevel(lat,2);�����iFgap>�?�lat;����)=..�?�a�list�of�the�subgroups�����iFgap>�?�SetPrintLevel(lat,3);�����iFgap>�?�PrintClassSubgroupLattice(lat,9);����)=..�?�a�detailed�description�of�all�subgroups�of�order�8.����)=..�?�the�"9"�means�the�ninth�class.����m�*********���End�Unverie��}'d�*********�����F����Š���@����ٍ�������&iF�Chapter�i�12��2���&iF�Unix��Notes��:����&iF�12.1��R��Scripts���b������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��!2Q���&iF�12.1.1��ViF�Ipack���and��Iunpack�.��H���&iF�It�;�is�useful�to�ha���v�e�;�t�w�o�shell�scripts��pack��and��unpack��dened�as�follo�ws.�iERunning��pack��creates����&iFt���w�o���les��book.tgz��and��bookMD.tgz��(where�M���and�D�denote�the�mon���th�and�da�y��*�,��resp�Gectiv�ely)����&iFwhic���h��pcon�tains�all�.tex�les�in�the�directory��book�.�:{It�then�copies��book.tgz��to�the��A:��
opp�y�driv�e����&iFand���copies��bookMD.tgz��to��A:�n�dated�.�T�Running��unpack��rst�mak���es�a�bac�kup��.pack���E�ff&f��ǫbackup.tgz����&iF�of��y���our�curren�t�les,���then�copies�the�le��book.tgz��from�the��A:��disk,�and�nally�decompresses����&iF�book.tgz�.�����5iFA�UUshell�script�implemen���tation�of��pack��is:���P��&iF�cd�?�~/book����&iFfname=`date�?�+"book%m%d%.tgz"`����&iFtar�?�-czvf�$fname�*.tex�pack�unpack����&iFmcopy�?�-on�$fname�a:\dated����&iFmcopy�?�-on�$fname�a:book.tgz���<��5iFunpack�UU�is:����&iF�cd�?�~/book����&iFmcopy�?�-on�a:\book.tgz�.����&iFtar�?�-czvf�.pack_backup.tgz�*.tex�pack�unpack����&iFtar�?�-xzvf�book.tgz���d����*********���End�Unverie��}'d�*********���P�����*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��!2Q���&iF�12.1.2��ViFChec��k��sp�`elling��H���&iF�The�UUfollo���wing�shell�script�c�hec�ks�the�sp�Gelling�of�all�of�its�argumen�ts.����K)1�echo�?�"$*"�>�/tmp/a�;�ispell�/tmp/a������*********���End�Unverie��}'d�*********���K����i#�70����G�ܠ�Š���@������iF�12.2.���NETW���ORKING�/_��71����ٍ��vn����iF�12.1.3�� iF�I/etc/profile��V����iF�I�;�made�;�the�follo���wing�c�hanges�and�additions�to�the�standard�slac�kw�are��/etc/profile�.�iPThe�line�������C�PS1='\h:\w\$�?�'��k_���iF�is�UUc���hanged�to������C�'`whoami`:\w\$�?�'�����iF�b�Gecause���it�is�more�imp�ortan���t�to�kno�w�the�curren�t�user�than�m�y�mac�hine�name.�;�My�list�of�aliases�����iFis:�����iF�alias�?�lpps='gs�-dNOPAUSE�-sDEVICE=ljet4�-sOutputFile=/dev/lp1'�����iFalias�?�lpdvi='dvilj4�-e/dev/lp1'�����iFalias�?�sizzlean='telnet�sizzlean.berkeley.edu'�����iFalias�?�f='telnet�ferrari.autobahn.org'�����iFalias�?�bmw='telnet�bmw.autobahn.org'�����iFalias�?�x='startx'�����iFalias�?�d='disconnect'�?�#�disconnect�is�a�program�I�wrote.�����iFalias�?�p='ps�-a'�����iFalias�?�a='autobahn'���׍���iF�12.1.4�� iFConguring��X�Windo��ws��V����iF�W��
�all��TP��9ap�Q�er�����iF�The�UUfollo���wing�command�mak�es�pic.jpg�the�w�allpap�Ger.������iF�xv�?�-root�-viewonly�pic.jgg������iF�12.1.5�� iFT���rash��can��V�����iF12.1.6�� iFUseful��Aliases��V�����iF�12.2����Net���w�orking��ȇ��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********������iF�12.2.1�� iFWindo��wing��programs�o�v�er�the�net.�����iF�If�9pI�8�am�sitting�in�the�math�departmen���t�running�X-windo�ws�on�sph�ynx.b�Gerk�eley��*�.edu�and�I�����iFw���an�t�Y+to�windo���w�bac�k�a�program�from�m�y�home�computer�dialup41-b�Gerk�eley��*�.autobahn.org�(sa�y�����iFxpain���t,���or�T#emacs),�then�I�S�do�the�follo���wing.�n2First,�on�sph���ynx�I�S�execute�the�command��xhost�����iF+dialup41-berkeley.autobahn.org�.��Then,��II���op�Gen��up�a�telnet�connection�to�m���y�home�com-�����iFputer���and�t���yp�Ge��xpaint�.��?In�a�min�ute�or�t�w�o,����xpaint��app�Gears�on�m�y�desktop.��?It�is�v�ery�slo�w,�����iFbut�UUuseable.��#�e����iF�12.3����T���Yv�33E���+X��ȇ����iF�12.3.1�� iFCharacters��V����iF�T��
�o��Tt��9yp�Q�eset���X�����)=�\font\cyr=wncyr10���%�?�will�\magstep�1�work�for�10pt?����)=\newcommand{\Sha}{\hbox{\cyr�?�X}}�����H�<��Š���@�����&iF�72�	c8�CHAPTER�UU12.��UNIX�NOTES����ٍ��vn��&iF�T��
�o��Tt��9yp�Q�eset�semidirect�pro�ducts��n�,��o��uT��&iF�The�UUprogram���O��&iF�\documentclass{article}�?�\usepackage{amsfonts}����&iF\begin{document}�?�$$H\Bbb�n�N$$�$$N\Bbb�o�H$$�\end{document}����&iF�pro�Gduces�UUthe�output�����e��H����n�N���;���e�N��o�H���䍑&iF�Radicals��uT��&iF�Radicals�UUa�t���yp�Geset�p�o�orly�in�L����5���ff�A���͉�T���U>�'E���xX�but�AMS-L����5���ff�A����T���U>�'E���xX�oers�the�follo���wing�whic�h�lo�Goks�b�etter����&iF�\sqrt[\leftroot{2}\uproot{4}\beta]{k}����&iF�Bo��9xed��TF��
�orm�ulae��uT��&iF�The�UUcommand��boxed��puts�a�b�Go���x�around�its�argumen�ts.��~c����*********���End�Unverie��}'d�*********�������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�� �r���&iF�12.4��R��Conditionals������&iF�12.4.1��ViFConditionals��in�L���Al���#��D2�@�cmbx8�DA���~/�T�������E���SX����&iF�%�?�this�is�an�example�of�the�use�of�conditionals�in�LaTeX.����&iF\documentclass{article}����&iF\usepackage{ifthen}����&iF\begin{document}�����&iF%�?�test�if�two�strings�are�equal.����&iF\newcommand{\username}{William}����&iFYou�?�\ifthenelse{\equal{\username}{William}}{are}{are�not}�William.�����&iF%�?�use�boolean�variables�in�tests.����&iF\newboolean{bool}����&iF\setboolean{bool}{true}����&iF{\tt�?�bool}�is�\ifthenelse{\boolean{bool}}{true}{false}.�����&iF\setboolean{bool}{false}����&iF{\tt�?�bool}�is�\ifthenelse{\boolean{bool}}{true}{false}.�����&iF%�?�combining�conditions:�use�\and�\or�\not�\(�\)����&iF\ifthenelse{\(1=1\)�?�\and�\(�\not�\boolean{bool}�\)}{yes}{no}.�����&iF%�?�make�a�``comment�out''�macro.����&iF\newboolean{printcomments}����&iF\setboolean{printcomments}{false}����&iF\newcommand{\comment}[1]{\ifthenelse{\boolean{printcomments}}{#1}{}}�����&iF\comment{I�?�don't�believe�it!}�����&iF\setboolean{printcomments}{true}�����I팠�Š���@������iF�12.5.��EMA���CS�S�x�73����ٍ��vn���iF�\comment{The�?�{\em�real}�subtlety�is�that...}�����iF\end{document}���6����iF�12.4.2�� iFConditionals��in�T�������E���SX��uT���iF�%�?�this�is�an�example�of�the�use�of�conditionals�in�TeX.�����iFhello�����iF\ifnum�?�1<2����)=order�����iF\else����)=disorder�����iF\fi������iF%�?�to�facilitate�\if...�constructions,�plain�TeX�has�a�\newif�macro,�such�����iF%�?�that�after�you�say�`\newif\ifabc'�three�control�sequences�will�be�defined:�����iF%�?�\ifabc�(for�testing�the�switch),�\abctrue�(for�making�the�switch�true),�����iF%�?�and�\abcfalse�(for�making�it�false).�����iF\newif\ifabc�����iF\def\status{abc�?�is�\ifabc�true�\else�false\fi}�����iF\abctrue�?�\status�����iF\abcfalse�?�\status�����iF\bye����m�*********���End�Unverie��}'d�*********��!č���iF�12.5����Emacs������iF�A���t�UUthe�time�of�this�writing�I�am�using�GNU�Emacs,�v�ersion�19.34.�q�Here�is�m�y��.emacs��le.�����iF�;�?�always�use�LaTeX�and�never�TeX�mode.�����iF(setq�?�auto-mode-alist�(cons�'("\.tex$"�.�latex-mode)�auto-mode-alist))�����iF(setq�?�tex-dvi-view-command�"xdvi�-s�3�-geometry�860x965+408+2�")������iF(define-key�?�esc-map�"f"�'font-lock-mode)���;�colorful�fonts�����iF(define-key�?�esc-map�"l"�'auto-fill-mode)���;�auto-CR�at�end�of�line�����iF(define-key�?�esc-map�"g"�'goto-line)�����iF(define-key�?�esc-map�"r"�'query-replace)������iF;�?�PARI�����iF(autoload�?�'gp�"pari"�"�pari-gp"�t)�����iF(autoload�?�'gpman�"pari"�"�pari-gp�manual"�t)������iF;�?�Macaulay�2�����iF(setq�?�auto-mode-alist�(append�auto-mode-alist�'(("\\.m2$"�.�M2-mode))))�����iF(autoload�?�'M2-mode�"M2-mode.el"�"Macaulay�2�editing�mode"�t)�����iF(global-set-key�?�"\^Cm"�'M2)�(global-set-key�[�f12�]�'M2)�����iF(autoload�?�'M2�"M2.el"�"Run�Macaulay�2�in�a�buffer."�t)�����iF(setq�?�load-path�(cons�"/usr/local/Macaulay2/emacs"�load-path))�����iF(setq�?�transient-mark-mode�t)�����J�+��Š���@����ٍ���n��&iF�Chapter�i�13��2��&iF�Euler��Systems��:���&iF�13.1��R��Rubin,�9>�K�<��ffffcmbxti14�KThe�)Rwork�of�Kolyvagin�on�the�arithmetic�of����R��el�ϳliptic��zcurves���������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��T���&iF�Mo�Gdulo�X�details,�YXRubin�giv���es�a�simplied�v�ersion�of�Kolyv��q�agin's�pro�Gof�of�niteness�of��E����(�Q�)�and�����&iF�X��2̲(�E���=�Q�)���for�mo�Gdular�elliptic�curv���es�ha�ving�analytic�rank�0.���The�exp�Gosition�is�v�ery�terse�and����&iFman���y�UUdetails�are�omitted.�q�In�fact�certain�k�ey�details�remain�hidden�from�me�still.������*********���End�Unverie��}'d�*********�������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�������&iF�13.1.1��ViFIn��tro�`duction��uT��&iF�This�s�ma���y�b�Ge�considered�as�an�app�endix�to�Rubin,�{g�The���work�of�Kolyvagin�on�the�arithmetic�of����&iFel���liptic�G�curves�,�HSpringer��Lecture�Notes�in�Math,�1399.�VBThis�arose�out�of�a�seminar�organized�b���y����&iFKeving�UUBuzzard�at�Berk���eley�during�the�Spring�of�1997.����5iFT��*�o�UUsimplify�notation�and�x�ideas�w���e�pro�v�e�only�the�follo�wing�w�eak�er�result.�������&iF�Theorem��T13.1.1�(Kolyv��\ragin).�������L��}'et�E�E���=�Q��b�e�a�mo�dular�el���liptic�curve�such�that��L�(�E���;����1)��R�6�=�0�.����&iFThen���E����(�Q�)��is�nite�and���X��7m�(�E�=�Q�)[�p�]��is�nite�for�al���l�suciently�lar��}'ge��p�.����5iF�W��*�e�UUalw���a�ys�assume�that��p��>��2�is�a�prime�and�that��K�~4�6�=��Q�(����$��p���UW��$��fe�����1����v)�;����Q�(����$��p���UW��$��fe�����3����).�������&iF�13.1.2��ViFGroup��Cohomology��uT��&iF�Let�В�K����b�Ge�a�eld�and�let��A��b�e�a��Gal��p�(���x䍑�������K���	5U=K���)-mo�dule.��Let��L��b�e�a�nite�Galois�extension�of��K���.����&iFThe�UUrestriction-in
ation�sequence�is:����*0���!���H���
G�����1��Ì�(�L=K�(�;���A�)����T΍�1+�inf���2������������	[email protected]!�����Y�H����Z�����1��"Ͳ(�K�;���A�)����T΍�1+�res���2������������:@��������������:>!�����;��H����������1��"8�(�L;�A�)�:��T���5iF�Also����Gal��z�(�L=K���)���acts�on��H���Zڟ����1���M�(���x䍑�������K���	5U=L;���A�)�as�follo���ws.�	TFix��'�PG�2���Gal���I(�L=K��)���and�an�elemen���t�of�����&iFH���-�G�����1��2e��(���x䍑�������K���	5U=L;���A�)�UUrepresen���ted�b�y�a�co�Gcycle��f���.�q�Then������ϵ'�8���f���(��[ٲ)��=����~��fe����g��'���	Q�f��((���~��fe����g��'������)�������1��
�t���[ٟ�~��fe����g�'���愲)����&iFwhere����~��fe����g��'����˲is�some�lift�of��'��to��Gal���(���x䍑�������K���	5U=K���).�U�Although�this�action�on�co�Gcycles�dep�ends�on�the�c���hoice����&iFof�UUa�lift�of���,�the�induced�action�on�cohomology�do�Ges�not.�������&iF�Prop�Q�osition��T13.1.2.����+G�L��}'et��ٵG��b�e�a�gr�oup�and�let��A��b�e�a��G�-mo�dule.�^�Supp�ose��n��is�a�p�ositive�inte�ger��
����&iFsuch��$that�multiplic��}'ation�by��n��induc�es�an�isomorphism��n��b�:��A����T΍���O����Yu����0E���g��=������2�������������!������A�.��NThen���$�H���*%�����i��~q�(�G;���A�)����n��`�=�0��$�for�al���l����&iF�i�����0�.���K����i#�74����K����Š���@������iF�13.1.�K�R���UBIN,�8�THE�8�W�ORK�OF�K�OL��*�YV���A�GIN�ON�THE�ARITHMETIC�OF�ELLIPTIC�CUR���VES75����ٍ��vn�����iF�Pr��}'o�of.������Consider�UUthe�exact�sequence���E���T�0���!��0��!��A����T΍���n���2������������x&��������������x$!�����c�A��!��0�:�����iF�T��*�aking�UUcohomology�yields,�for�eac���h��i�,�an�exact�sequence����B��0��=��H���
G�����i��
�e�(�G;����0)��!���H���
G�����i���(�G;���A�)����T΍���n���2������������x&��������������x$!������c�H���7d�����i��!���(�G;�A�)��!���H���
G�����i�+1���h�(�G;��0)�=�0�����iFso��UUH���
�V�����i��)��(�G;���A�)����n��8��=��0.���Iv���ff����d�ff�Y��ff����ff�����ۍ��iF�Caution.��u�If�ŏm���ultiplication�b�y��n��is�either�injectiv�e�or�surjectiv�e,��but�not�b�Goth,�then��H���E������i���ܲ(�G;���A�)����n������iF�ma���y�UUnot�v��q�anish.��������iF�13.1.3�� iFApplication��of�T���ate�Lo�`cal�Dualit��y��uT�����iF�Prop�Q�osition��T13.1.3.���T+G�Supp��}'ose���`��is�a�prime�such�that��E����(�Q����`����)����p�����T͍��	ů����+3���	ů�=������*�Z�=p�Z�.��>If�ther�e�exists��c�&]�2������iF�H�����G�����1���e��(�Q�;���E����)����p��39�such���that���k������;�1.����	iHfor���al���l��v�"�6�=���`�,���res���� ���v���n�(�c�)�=�0�,����������;�2.�����	iH�res��������l���I�(�c�)���6�=�0���j���iF�Then����res���� ���l����(�Sel�������p��fp�(�E���=�Q�))��=�0�.������iF�13.1.4�� iFThe��Euler�System�of�Heegner�p�`oin��ts��uT����iF13.1.5�� iFCohomology��Classes�Arising�from�Heegner�p�`oin��ts��uT�����iF�Lemma��T13.1.4.���>ŝ�Supp��}'ose��˵`��is�a�prime�not�dividing��pD����K�����N����and���F��*�rob���y���`���_�(�K���(�E����p���R�)�=�Q�)�Y�=�[��!Dz]�.��BThen��
D���iFif���x䍑��~�������E���"�denotes���the�r��}'e�duction���of��E�'t�mo��}'dulo��`��and��a����`�����=���`�8�+�1����#[���x䍑P~�����E����T�(�F����`����)]�,��������;�1.����	iH�p�j�a����`��l��and���p�j�`�8�+�1�,����������;�2.����	iH�`����r��}'emains�prime�in��K���,��������;�3.����	iH�E����(�Q����`����)����p�����T͍��fj����+3���fj�=�������x䍑D�~������E�����(�F����`���)����p�����T͍��fj����+3���fj�=������Z�=p�Z�,���and���������;�4.����	iH�(�E����(�K����`����)����p���R�)���^�������T͍��	�����+3���	��=�����O(���x䍑P~�����E����T�(�F����l��
`���2�����)����p���)���^�������T͍��	�����+3���	��=������Z�=p�Z�.���j���iF�[DEFINE�UUTHE�HEEGNER�POINTS�HERE.]]�������iF�Prop�Q�osition��T13.1.5.���T+G�F��;�or���`���-��N��,�the�He��}'e�gner�p�oint��y����l�����satises�the�fol���lowing.���k���������ES1.�����	iH�T��*�r�������:�K�}��[�l�
`�]�=H��-���(�y����`����)��=��a����`���y����H�����:�������������ES2.����	iH�F��;�or���any�prime����of��K���[�`�]��ab��}'ove��`�,���E������0�~����.z�y����l������y�=���F��*�rob����(���'���#�^���b��t����r�)���2���x䍑�~������E���
�l�(�F����`����2�����)�;����	iH�wher��}'e���x䍑��~�������E���"�denotes���r�e�duction�mo�dulo����and���F��*�rob��R|�is�the��`�-th�p�ower�map�on�the�c�o�or�dinates.���j���iF�Supp�Gose��c�`��is�a�prime�not�dividing��pD����K�����N��~�and��F��*�rob���
���`�����(�K���(�E����p���R�)�=�Q�)��=�[��!Dz].�JwSince��c�K��[�`�]�=H��a�is�cyclic�����iFof��degree��`�e��+�1��and��p�j�`�e��+�1��there�is�a�unique�extension��H������^��0��6��of��H�h}�of�degree��p��con���tained�in��K���[�`�].�����iFLet�UU���b�Ge�an���y�lift�of��F��*�rob�������`��X�(�H�A�=Q�)�to��Gal���W(�H������^��0���7�=Q�).�q�Dene��}Y��e6��z����1��C��=���T��*�r���
Q��:�K�}��[�`�]�=H������0���*��(�y����`��Ƹ�8�y����`����)�������<$��l�a����`���l�w�fe	"�	(֍�
�p�����
�\�(�y����H��	Α���y����H�����)��9�����iF�Corollary��T13.1.6.���I'b�Supp��}'ose����`�෿-��pD����K�����N����and���F��*�rob����[���`���A�(�K���(�E����p���R�)�=�Q�)�=�[��!Dz]�,��and�let��z����1��	9 �b��}'e�as�ab�ove.�����iFThen��������;�1.�����	iH�T��*�r�������:�H������0��=��=H��)0:�(�z����1��|s�)��=�0�����L	���Š���@�����&iF�76��F��CHAPTER�UU13.��EULER�SYSTEMS����ٍ��vn�����2;��2.����?iHF��;�or���any���F׸2�����Gal���(�H�A�=K���)�,���let����~��fe���g�����
b�denote�any�lift�of�����to���Gal��G�(�H������^��0���7�=K��)�.��	Then�mo��}'dulo�any����of����?iH�H������^��0��2�ab��}'ove���`�,���j������h����X���j�����/��@L�2��Gal��p(�H��=K�}��)�����������g��������t��~��fe���g������z����1�����pͲ=��������<$��33�`�8�+�1�+��a����`���33�w�fe*��	(֍��@�p�������-ԛ�~���-$�y���2g�:��"J�����&iF�Lemma��T13.1.7.���tŝ�L��}'et�S�E����b�e�an�el���liptic�curve�over��Q����`�����.�	�L�et��E����1��|s�(����C�fe�����Q������*��`����)��denote�the�kernel�of�the����&iFr��}'e�duction���map�so�ther��}'e�is�an�exact�se�quenc�e������}�0���!��E����1��|s�(����C�fe�����Q������*��`����)��!��E����(����C�fe�����Q������*��`���)��!���x䍑�~������E���
�l�(����C�fer����F����r���`��	�X�)�:����&iF�If���m��is�an�inte��}'ger�prime�to��`��then�multiplic�ation�by��m��induc�es�an�isomorphism��	����[�m�]��:��E����1��|s�(����C�fe�����Q������*��`����)����T΍����O����j����0E���xD�=�������2������������Q"���������������>������������������������������������������Q!!����'�E����1���(����C�fe�����Q������*��`����)�:������&iF�Pr��}'o�of.���E���The�yBpro�Gof�uses�formal�groups.�ݍSee�VI�I.3.1�and�IV.3.2�in�Silv���erman's��The���A���rithmetic�of����&iFEl���liptic���Curves.���RwM��ff����d�ff�Y��ff����ff���������&iF�Lemma��T13.1.8.���tŝ�L��}'et�jݵA��b�e�an�ab�elian�variety�over�a�numb�er�eld�K.�If��A��has�go�o�d�r�e�duction�at����&iF�v����then������0�H���Ͱ
�����1���,��(�Q�������unr���፴v���
�_�=�Q����v���N�;���E����(�Q�������unr���፴v����))��m[��&iF�is�b�nite,�l�e��}'qual�to�zer�o�for�almost�al���l��v�[��.��DIn�p�articular,�l�it�is�zer�o�when��A��has�go�o�d�r�e�duction�at��v�[��.��<y����&iFPr��}'o�of.���E���One��Ypro���v�es�b�y�reducing�mo�Gdulo��v�[ٲ,�that��H���`Z�����1���Ͳ(�Q���^���unr��፴v���
�_�=�Q����v���N�;���E����(�Q���^���unr��፴v����))�is�isomorphic�to�the�co-����&iFhomology��of�the�comp�Gonen���t�group�of�the�Neron�mo�del�of��A�.��When��A��has�go�o�d�reduction����&iFthe���comp�Gonen���t�group�is�trivial�so�its�cohomology�is�trivial.�}�F��*�or�details�see�Milne's��A���rithmetic����&iFDuality���The��}'or�ems�,�UUI.3.8.���-5��ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Prop�Q�osition��T13.1.9.����+G�F��;�or�-�al���l�but�a�nite�numb��}'er�of��p�,�B#the�fol�lowing�is�true.�w�Supp��}'ose��`���-��pD����K�����N����&iF�and����F��*�rob��������`���{�(�K���(�E����p���R�)�=�Q�)��=�[��!Dz]�.���Then���ther��}'e�is�an�element��c����`�����2����H���
G�����1��Ì�(�Q�;���E����)����p��39�such�that��<y�����-X(1)�����?iH�res���K�����v��Pwϲ(�c����`����)��=�0����for�al���l��v�"�6�=���`�,���<�����-X(2)�����?iH�res���K�����`��O�g�(�c����`����)���6�=�0����in���H��������1���[�(�Q����`���;���E����)����p��39�if�and�only�if��y�"�62���pE��(�K����`����)�.������&iFPr��}'o�of.���E���W��*�e�UUma���y�assume��p���-��[�H���:��K���].�q�Assume�UUalso�that��p��is�large�enough�so�that�������R-H�����.�����1���N��(�Q�������unr���፴v���
�_�=�Q����v���N�;���E����(�Q�������unr���፴v����))����p��fj�=��0�:����5iF�Since�$d�K���[�`�]�=H��b�is�cyclic�of�order��`����+�1�$dand��p�j�`����+�1�$dthere�is�a�unique�extension��H������^��0���7�=H��of�degree����&iF�p�.�q�Since�UU�p���-��#����Gal��J�(�H�A�=K���)�w���e�ha�v�e�������_Gal���Sa(�H���������0���7�=K���)����T͍�������+3�����=�����
UN�Z�=p�Z�8����Gal����(�H�A�=K��)�:����&iF�So��there�is�a�unique�extension��K�����^��0���U�=K�^��of�degree��p��in��K���[�`�],��	totally�ramied�at��`��and�unramied����&iFat�UUother�primes,�suc���h�that��H������^��0��eO�=���H���K�����^��0���U�.�q�Dene�����a��z�7��=���T��*�r���
Q��:�H������0��=��=K��}����0���%b�(�z����`����)���2��E����(�K��������0���U�)�:����&iF�By�UUCorollary�13.1.6�����h��T��*�r���r�'��:�K��}����0��1��=K�����(�z�p��)��=��T��*�r���
Q��:�H������0��=��=K��"��(�z����1��|s�)�=��T��*�r���
Q��:�H��=K���`�(�T��*�r���
N9��:�H������0��=��=H����(�z����1���))�=��T��*�r���
Q��:�H��=K���`�(0)�=�0�:����&iF�Fix�UUa�generator����.�of��Gal���W(�K�����^��0���U�=K���).�q�Since��Gal��(�K�����^��0���U�=K���)�is�cyclic�there�is�an�isomorphism��p����x䍑Y�^�����X��H����`*�������1��j��(�K��������0���U�=K�(�;���E����(�K��������0���))��=��k���er��#�(�T��*�r���
N9��:�K��}����0��1��=K�� ��)�=�(������8�1)�E��(�K��������0���U�)����������!���H���
G�����1��Ì�(�K��������0���=K�(�;���E����(�K��������0���))����&iF[Lo�Gok���in�c���hapter�IV,�section�8�of�Cassels-F��*�rohlic�h�for�the�cohomological�prop�Gerties�of�cyclic����&iFgroups.]�q�This�UUmap�sends��z���to�the�cohomology�class�represen���ted�b�y�the�co�Gcycle�������"�7!���z�p�;�����[ٟ����2���d�7!��(1�8�+���[ٲ)�z�;����������3���d�7!���(1�8�+������+����[ٟ����2���L�)�z�;���;����:�:�:������M��Š���@������iF�13.1.�K�R���UBIN,�8�THE�8�W�ORK�OF�K�OL��*�YV���A�GIN�ON�THE�ARITHMETIC�OF�ELLIPTIC�CUR���VES77����ٍ��vn���iFNote�
�that�these�are�exactly�the�conditions�forced�b���y�the�co�Gcycle�condition�since�if��f���(��[ٲ)��%=��z�p��,�����iFthen�UU�f���(���[ٟ�^��2���L�)��=��f��(��[ٲ)�8�+����(�f���(���))��=�(1�8�+����)�z�p��.�q�Dene�UU�c����`��.;�to�b�Ge�the�image�of��z���under�this�map.�����iFNext��w���e�sho�w�that��c����`�����2����H���
G�����1��Ì�(�K�(�;���E����)���^���+��፴p������.�X>Cho�Gose����in�Corollary�13.1.6�so�that���j�K�����^��0��Lm�=����!Dz.�[I��don't�����iFkno���w�u�ho�w�to�pro�v�e�this�{�or�ev�en�if�it�is�true.��	Ma�yb�Ge�this�is�p�ossible�since��H�{�\�N}�K�����^��0���u�=�� �K�,ܲ(since�����iF�H�2��is�b�unramied�and��K�����^��0���ٲis�totally�ramied�at��`�)�and��F��*�rob����2���`��f�(�H�A�=�Q�)�j�K��.�=���F��*�rob�������`��ল(�K�(�=�Q�)��=���!Dz.]��UNext�����iFrecall��that�if��G��is�a�group�and��N���is�a�normal�subgroup�of��G��then�for�an���y��g�"�2���G�,��g�[�N��3�=��N�g�_s�since�����iF�g�[�N�g����^���1����=�|��N��.���This�[�means�that�\automorphisms�comm���ute�with�traces�when�ev�ery�extension�����iFin���v�olv�ed�UUis�Galois".�q�Since���j�K�����^��0��Lm�=����!Dz,��=�.��z�7��=���T��*�r���
Q��:�K�}��[�`�]�=K�����0���*��(�y����`����)�8����!Dz(�T��*�r���
N9��:�K�}��[�`�]�=K�����0���'���(�y����`���))�������<$��l�a����`���l�w�fe	"�	(֍�
�p�����
�\�(�T��*�r���
N9��:�H������0��=��=K��}����0���"�g�(�y����H�����)�����!Dz(�T��*�r���
N9��:�H������0��=��=K��}����0����(�y����H�����))�:���>���iF�It�E�is�clear�that���!Dz(�z�p��)��=���z��.�l�W��*�e�E�kno���w�that���g��acts�via�conjugation�as���1�on��Gal����(�K�����^��0���U�=K���)�[wh�y?�l�is�����iFthis�UUfrom�class�eld�theory?].�q�Let��f�h�b�Ge�a�co�cycle�represen���ting��c����`����,�then���ލ�6Cص�Z���8�f���(��[ٲ)��=���!�f��(���������1���;��[���)��=���!�f��(���[ٟ�����1��M�)�=����!�f��(��[ٲ)�=����!�z�7��=��z��=��f���(��[ٲ)�����iFso�UU�c����`�����2����H���
G�����1��Ì�(�K�(�;���E����)���^���+��፴p������.�����iFThe�UUHo�Gc���hsc�hild-Serre�sp�Gectral�sequence�giv�es�an�exact�sequence����<�K0���!���H���
G�����1���(�K�(�=�Q�;���E����)��!���H���
G�����1���(�Q�;���E����)��!���H���
G�����1���(�K�(�;���E����)������+��	j��!���H���
G�����2���(�K�(�=�Q�;���E����)�����iFT��*�aking����p�-torsion�and�using�the�fact�that��p��>��2���and�that��Gal��a�(�K�(�=�Q�)�Is�a�group�of�order�t���w�o���hence�����iFits�UUcohomology�has�trivial��p�-torsion�w���e�obtain�an�isomorphism���a�����iH����j�����1����ݲ(�Q�;���E����)����p�����T΍����O����
�E����0E���
�~�=�������2������fj����������������������f!������8�H���$%9�����1��(���(�K�(�;�E��)�������+���፴p������:��`y���iF�Th���us���w�e�ma�y�consider��c����`���Ȳto�b�Ge�the�unique�elemen�t�of��H���
@�����1���V�(�Q�;���E����)�whic�h�restricts�to��c����`�����2����H���
G�����1��Ì�(�K�(�;���E����)�:�����iF�F��*�or�UU�v�"�6�=���`�,�since��K�����^��0���U�=K�q�is�unramied�at��v��.�and��p��w���as�c�hosen�sucien�tly�large,�����mres���yfT���v��~&��(�c����l��Ȳ)���2���H���
G�����1��Ì�(�Q�������unr���፴v���
�_�=�Q����v���N�;���E����(�Q�������unr���፴v����))����p��fj�=��0�:�����iF�T��*�o�8�complete�the�pro�Gof�of�the�prop�osition�w���e�m�ust�determine�the�order�of��res�������l����(�c����l��Ȳ)�in��H������^��1��Lq�(�Q����`����;���E����)����p���R�.�����iFW��*�rite��UUI����ǟ��`��
�Ų=���Gal��g(����C�fe�����Q������*��`����=�Q���^���unr��v��`���
�_�)�UUfor�the�inertia�subgroup�of��Gal���W(����C�fe�����Q������*��`���=�Q����`����),�and�consider�the�maps�������6�bH���>Kc�����1��B�ֲ(�Q����`����;���E����)����p��fj�!����H���
G�����1���(�I����r���`��uX�;�E��(����C�fe�����Q������*��`����))����p��fj�!����H���
G�����1��Ì�(�I����r���`��uX�;���x䍑���~������E���	���(����C�fer����F����r���`��	�X�))����p���!����Hom���q(�I����r���`��uX�;���x䍑���~������E����p����
���)�����iFThe���rst�map�is�injectiv���e�b�Gecause�its�k�ernel,����H���n�����1���Y�(�Q���^���unr��v��`���
�_�=�Q����`����;���E����(�Q���^���unr��v��`����))����p��	�}�=��+0,���since����E�0��has�go�Go�d�����iFreduction�Z3at��`�.�The�second�map�is�an�isomorphism�b�Gecause�m���ultiplication�b�y��p��is�an�isomorphism�����iFon���the�k���ernel��E����1��|s�(����C�fe�����Q������*��`����)�of�reduction�mo�Gdulo��`�.� 7See�Prop�osition�13.1.2�and�Lemma�13.1.7.� 7The�����iFthird���map�is�an�isomorphism�b�Gecause��I��� 1���`��|ֲacts�trivially�on�����C�fer����F����	�1���`���ֲhence�on���x䍑��~������E����Ҳand�a�homomorphism�����iFof�1order��p��m���ust�ha�v�e�image�in���x䍑�~������E����p����20�.�e�Since��K�(�=�Q��is�unramied�at��`��and��c����`��	��splits�o�v�er��K�����^��0���l�it�is�easy�����iFto�M-see�that�the�image�of��c����`��&�under�this�sequence�of�injections�is�the�homomorphism�whic���h�sends�����iFthe�UUc���hosen�generator����.�of��Gal���W(�K�����^��0���U�=K���)�to����~����z����Ȳin���x䍑�V~������E���J��(�F����`����2�����).�����iFSince�UU�K�����^��0��ڪ�and��H�%S�are�linearly�disjoin���t�in��H������^��0���and�their�comp�Gositum�is��H������^��0���w���e�ha�v�e������dGal��Gf(�H���������0���7�=K���)��=��Gal��g(�H�A�:K�������0���U�=K��)����T͍������+3����=������
UNGal���P(�H�A�=K��)�8����Gal����(�K�������0���U�=K��)����T͍�������+3�����=������
UNGal���P(�H���������0���7�=K�������0���)�8����Gal����(�K�������0���U�=K��)�:�����iF�In��#Corollary��F13.1.6(b)�viewing�the�lifts����~��fe���g�����
��as�elemen���ts�of��Gal��r%(�H������^��0���7�=K�����^��0���U�)�and�using�the�fact�that�����iF�z�7��=���T��*�r���
Q��:�H������0��=��=K��}����0���%b�(�z����1��|s�),�UUw���e�see�that��Cݍ����Q�~������z������=��������<$��33�`�8�+�1�+��a����`���33�w�fe*��	(֍��@�p�������-ԛ�~���-$�y���2g�:���ݍ��iF�THE���F���OLLO�WING�CA�USED�ME�MUCH�EMBARRASSMENT�AND�IS�WR�ONG:��;By�����iFLemma�¯13.1.4�#[���x䍑P~�����E����T�(�F����`����)]�is�exactly�divisible�b���y��p��since���x䍑�~������E���
��(�F����`���)����p�����T͍��fj����+3���fj�=������Z�=p�Z�.�@�Since��p�j�`���+�1�¯w���e�conclude��
D���iFthat���p��exactly�divides�2(�`��U�+�1)�+�#[���x䍑P~�����E����T�(�F����`����)]��=��`��U�+�1�+��a����`���.�[0Th���us������Í�D´`�+1+�a����`���DŸ�o�feo\�������p�����#��is��not�divisible�b�y��p�.�[0END�����iFEMBARRASSMENT�����iFSince��the�nite�ab�Gelian�group���x䍑g�~������E���
N�(�F����`����2�����)�con���tains�elemen�ts�of�order��p��and,�H�b�y�assumption,����Y~���H��y�������iF�can��not�b�Ge�divided�b���y��p��in���x䍑G~������E����r�(�F����`����2�����)�w�e�see�that�the��p�-part�of�����~����y���
14�m�ust�b�Ge�nonzero.�W"[Consider�a�����iFdecomp�Gosition���of���x䍑�~������E�����(�F����`����2�����)�as�a�direct�sum�of�nite�cyclic�groups.��If�the��p�-part�of�an�elemen���t�is�����iFzero�"then�the�elemen���t�is�in�the�image�of�m�ultiplication�b�y��p��since�m�ultiplication�b�y��p��acts�as�an�����iFisomorphism�UUon�the�prime-to-�p��factors.]�q�Th���us����~����z���3��6�=��0�whic�h�completes�the�pro�Gof.���;A1��ff����d�ff�Y��ff����ff�������N/��Š���@�����&iF�78��F��CHAPTER�UU13.��EULER�SYSTEMS����ٍ��vn����&iF�Corollary��T13.1.10.�����`�Supp��}'ose���`���-��pD����K�����N��,���F��*�rob��������`���{�(�K���(�E����p���R�)�=�Q�)�=�[��!Dz]�,�and��y�"�62��pE����(�K����l��Ȳ)�.���Then��������R^�res���Ԡ����l��ײ_�(�Sel�������p��fp�(�E���=�Q�))��=�0�:���}����&iF�Pr��}'o�of.���E���By�x�Prop�Gosition�13.1.9�there�exists��c����`����2���+�H���-,�����1�����(�Q�;���E����)����p��	N�suc���h�that�for��v�	�6�=��+�`�,����res������v���l�(�c����`����)�=�0����&iFand���res���Tӟ��`��-��(�c����`����)��has�order��p�.���By�Lemma�13.1.4,�2�E����(�Q����`���)����p�����T͍���ܸ���+3����ܲ=�����C��Z�=p�Z�,�so��b���y�Prop�Gosition�13.1.3�ev�ery����&iF�s����`���͸2���res���g ���l��x�(�Sel�������p��fp�(�E���=�Q�))��kis�0.�	[Recall,���this�is�b�Gecause��h�s����`����;�����res���
����l��
��(�c����`���)�i��>����`���=�0,����E����(�Q����`���)�=pE��(�Q����`���)��=��Z�=p�Z�,����&iFand��UUres��������l���V�(�c����`����)�UUhas�order��p�.]�q�THIS�PR���OOF�IS�NOT�CLEAR.����˒��ff����d�ff�Y��ff����ff����S�����&iF�Lemma��T13.1.11.���z���Assume���p�g�0�.���Supp��}'ose��t���2���H���
G�����1���(�K�(�;���E����p���R�)���^����
S��and���that�the�image�of������'���s���^���b��scg�t���y��=���res��Q(�t�)���2���H���
G�����1��Ì�(�K���(�E����p���R�)�;���E����p���)��=��Hom���q(�Gal���(���x䍑�������K���	5U=K��(�E����p���R�))�;���E����p���(���x䍑�������K���	5U�))����&iF�is���cyclic.���Then��t���=�0�.���}����&iFPr��}'o�of.�����'���E��^���b��E���t���LՍ�is��z�Gal���(�K���(�E����p���R�)�=K��)�z�equiv��q�arian���t�so�for�an�y���`��2���Gal��� (���x䍑�������K���	5U=K���(�E����p���R�))�and��
��V�2���Gal��(�K���(�E����p���R�)�=K��),����&iF�
���'����Ȳ^���b���8�t���*��(�
���8��^���1��J���[�
��8�)��=���'����^���b���t���c��(���)�:�c�Th���us��
���8��^���1����'���n<�^���b��J��t�����(���)��=���'����^���b���t���c��(�
���8��^���1��J���
��8�)�cso�the�image�of���'�����^���b���t���b��is��Gal��(�K���(�E����p���R�)�=K��)-equiv��q�arian���t.�!By����&iFtheorems���of�Serre�for��p�g�0�w���e�m�ust�ha�v�e��Im����(���'���#�^���b��t����r�)��=�0.�>RAlso,���for����p�g�0,�w�e���ha�v�e��H���
:������1���i�(�K���(�E����p���R�)�=K�(�;���E����p���)��=�0����&iFso�UU�t���=�0.���q�DŽ�ff����d�ff�Y��ff����ff�����s���&iF�13.1.6��ViFPro�`of��of�Theorem�1��������&iF�Theorem��T13.1.12�(Bump-F��
�riedb�Q�erg-Hostein,Murt��9y-Murt�y).���Zů�Ther��}'e��8exists�innitely�many����&iFquadr��}'atic���imaginary�elds��K�K�such�that�the�c�orr�esp�onding�He�e�gner�p�oint��y����has�innite�or�der.������&iF�Theorem��T13.1.13�(Mordell-W��
�eil,�Serre).�����F��;�or�{�al���l��p��suciently�lar��}'ge�the�fol�lowing�3�c��}'ondi-����&iFtions���hold�������-X(1)����?iH�y�"�62���pE����(�K���)�,��)������-X(2)����?iH�E�'t�has���no��p�-iso��}'geny�dene�d�over��Q�,�and�������-X(3)�����?iH�H���F�I�����1��Ke��(�K���(�E����p���R�)�=K�(�;���E����p���)��=�0�.������&iFPr��}'o�of.���E���A���nitely��;generated�ab�Gelian�group�con���tains�no�innitely�divisible�elemen�ts.�	EyBy�the����&iFMordell-W��*�eil���theorem��E����(�K���)�is�nitely�generated�hence�(1)�is�true.� "Both�(2)�and�(3)�hold�b���y����&iFtheorems�UUof�Serre�and�complex�m���ultiplication.���̠R��ff����d�ff�Y��ff����ff����S���5iFTheorem�Te13.1.12�supplies�us�with�a�quadratic�imaginary�eld��K���suc���h�that��y��>�has�innite�order.����&iFFix�2�a�prime��p���-��N�IͲlarge�2�enough�so�that�it�satises�the�three�conditions�of�Theorem�13.1.13.�f<W��*�e����&iFpro�Gceed�7{to�pro���v�e�7{that��Sel��������p����(�E���=�Q�)�@=�0.�:Notice�7{that�this�will�suce�to�pro���v�e�7{Theorem�13.1.1����&iFb�Gecause�UUof�the�exact�sequence�������Y0���!��E����(�Q�)�=pE��(�Q�)���!���Sel����6���p��-��(�E���=�Q�)��!���X��j��(�E�=�Q�)��!��0�:����&iF�Fix�UUan���y���|�����s���2���Sel����6���p��-��(�E���=�Q�)�����H���
G�����1��Ì�(�Q�;���E��)����p����|��&iF�and�UUlet��������8�^����ҵ�s����������=�������I�res��ј(�s�)���2���H���
G�����1��Ì�(�K���(�E����p���R�)�;���E����p���(���x䍑�������K���	5U�))����#�������s^����?��y����������=�������I�res��ј(�y�[ٲ)���2���H���
G�����1��Ì�(�K���(�E����p���R�)�;���E����p���(���x䍑�������K���	5U�))����������:������&iF�Fix�UU�F��V=�Q��galois�o���v�er�UU�Q��suc���h�that�b�Goth�����^����s���Z��and���^����y����split�o�v�er��F�c��,�and�let��G���=��Gal��g(�F��V=�Q�).������&iF�Lemma��T13.1.14.���z���L��}'et���G��b�e�as�ab�ove.���Then�����ƚ�G���=���-R^����s�������1����3��(�E�������������፴p���S��)�8�[���薲^����y��[ٟ����+����h�(�E����������+���፴p���7�)�:�����OMi��Š���@������iF�13.2.��GR���OSS,�UU�K�OL��*�YV���A�GIN'S�W�ORK�ON�MODULAR�ELLIPTIC�CUR���VES�;�x79����ٍ��vn�����iF�Pr��}'o�of.������W��*�e�p[m���ust�sho�w�that�for�an�y���O��2��!�G�,�weither���֕^����s��� [�(��[ٲ)��2��E���^��������፴p���
��or��� ^����y����S�(��[ٲ)��2��E���^������+��፴p���7�.���Fix���O��2��G�.����Cho��}'ose�����iF�an���y�UUprime��`���-��pD����K�����N�lp�suc�h�UUthat��F��*�rob�������`��X�(�F��V=�Q�)��=�[��[��!Dz].�q�Then����q�iF��*�rob��������`������(�K���(�E����p���R�)�=�Q�)��=�[��[��!Dz]�j���:�K�}��(�E���p��2Ա)��Α�=�[���]�����iFand�UU(see�Lang,��A���lgebr��}'aic���Numb�er�The�ory�,�UU[X.1])������o�F��*�rob�����_������ؙ�(�F��V=K���(�E����p���R�))��=�[(��[��!Dz)������2��|s�]�:�����iF�Th���us���􍍍�EM^���D��s����l����O;�=��0��,����
f;�^���
�s�����((��[��!Dz)������2��|s�)�=�0��
and��$w�y�"�2��pE����(�K����`����)��,����
���^���
�y���B��((���!Dz)������2��|s�)�=�0�:�����iF�Since�ݿ�s��is�in�the�image�of�restriction,�����k}������^���I��s����β=���-R^�����s���w�.�I�Since���!�y�"�=�����(�y����K���i��I���[�y����K�����)�=���y��,�����!Dz(�����^���y���B��)�=��������^���y����.�I�Th���us���􍍍����
(i)���������;�o^���;55�s���?�5�((��[��!Dz)������2��|s�)��=���-R^����s���w�(���!����)��=���-R^����s���w�(���)�8�+����^����s�����(��!����)��=���-R^����s���w�(���)�8�+�������^���!ǵs����Dz(���)��=�(1�8�+���!Dz)���f:^���s�����(���)��ԗ�������(ii)���������N�8^���N��y���SUz�((��[��!Dz)������2��|s�)��=���v�^����y���
�(���)�8�+����^����y���{ز(��!����)��=���v�^����y���
�(���)�8�������}�^���!ǵy���d��(���)��=�(1�8����!Dz)(�����^���y���B��(���))��Ԗ���iFBy���Corollary�13.1.10�at�least�one�of�(i)�or�(ii)�m���ust�b�Ge�zero.�5�Th�us�either�(i)�����^����s���F��(��[ٲ)�3�=��������^���!ǵs����Dz(���)���in�����iFwhic���h�UUcase�����^����s���U�(��[ٲ)���2��E���^��������፴p���S��,�UUor�(ii)���^����y����M�(���)��=������}�^���!ǵy���d��(���)�UUin�whic���h�case���^����y����M�(���)���2��E���^������+��፴p���7�.���i���ff����d�ff�Y��ff����ff�����������iF�Lemma��T13.1.15.���D���A���gr��}'oup�c�an�not�b�e�the�union�of�two�pr�op�er�sub�gr�oups.���􍍍��iFPr��}'o�of.������Elemen���tary��*�.���CD��ff����d�ff�Y��ff����ff�������iFTh���us�����^���Uf�s���f�(�G�)��4=��E���^��������፴p���
��or���^���Uf�y����^�(�G�)�=��E���^������+��፴p���7�.�q�By�UfLemma�13.1.11,�Uj�s��4�=�0�Ufor��y�#
�2��4�pE����(�K���).�Since�w���e�c�hose��p�����iF�suc���h�UUthat��y�"�62���pE����(�K���)�it�follo�ws�that��s���=�0.�q�This�UUcompletes�the�pro�Gof�of�Theorem�13.1.1.��Ԗ��m�*********���End�Unverie��}'d�*********��&1덍��iF�13.2����Gross,�L��KKolyvagin��`�'s��zwork�on�mo��0Ldular�el�ϳliptic�curves���b��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���E���iF�[Last�UUMo�Gdied:�q�05/20/97]��!]����iF�13.2.1�� iFOv��erview��A����iF�Let�t�E���=�Q��b�Ge�a�mo�dular�elliptic�curv���e,�|ֵK�,�a�suitable�quadratic�imaginary�extension,�and��y����K��*��the�����iFcorresp�Gonding�UUHeegner�p�oin���t.�q�In�this�pap�er�Gross�pro���v�es���􍍍��iF�Theorem��T13.2.1.���F���If�w�p��is�an�o��}'dd�prime�such�that���Gal��(�Q�(�E����p���R�)�=�Q�)��=��GL��������2��\p�(�Z�=p�Z�)�w�and��p��do�es�not�����iFdivide���the�or��}'der�of��y����K��I��in��E����(�K���)��then���Sel���[���p���W�(�E�=K���)��is�cyclic,�gener��}'ate�d���by���`�(�y����K�����)�.�����iF�This��1is�stronger�than�the�result�pro���v�ed��1in�Rubin's�pap�Ger�(ab�o���v�e).�4\F��*�or��1example�(with�some�����iFmore��!w���ork)�it�can�b�Ge�used�to�pro�v�e�that�the�curv�e��y��[ٟ�^��2��K��+�sh�y��D�=�Yk�x���^��3���۸��x��!�of�conductor�37�has�nite�����iFT��*�ate-Shafarevic���h�trgroup.��T�o�pro���v�e�the�theorem,��8Gross�constructs,�for�a�certain�collection�of�����iFsquare-free��in���tegers��n�,���cohomology�class��c�(�n�)���2���H���
G�����1��Ì�(�K�(�;���E����p���R�).�EIn��a�sense�this�is�orthogonal�to�what�����iFRubin�`�did�in�the�ab�Go���v�e�`�pap�er.���Rubin�used�p�o���w�ers�`�of��p��in�order�to�deal�with�\bad"�primes�but�����iFonly�UUconstructed�classes��c�(�`�)�for��`��a�prime.�����PaY��Š���@�����&iF�80��F��CHAPTER�UU13.��EULER�SYSTEMS����ٍ��vn���&iF�13.2.2��ViFConstructing��the�Euler�System���ύ�&iF�Fix�n�an�o�Gdd�prime��p�,�uYlarge�enough�so�that��Gal���(�Q�(�E����p���R�)�=�Q�)���=��GL���
����2��� �(�Z�=p�Z�).���Let�n�K�&�b�e�a�(suitable)����&iFimaginary�'Hquadratic�extension�and�denote�b���y��D����K�����its�discriminan�t.��W��*�e�consider�only�square����&iFfree�UUin���tegers��n��prime�to��D����K�����N�p��and�suc�h�that�all�primes�factors��`�j�n��satisfy�the�condition��@���o?F��*�rob���ؙ���`���rӲ(�K���(�E����p���R�)�=�Q�)��=�[��!Dz]����&iFLet�UU�K����n���Ӳb�Ge�the�ring�class�eld�of�conductor��n��and��G����n��8��=���Gal��g(�K����n��q~�=K���).���a��5iFUse��the�mo�Gdular�parameterization��X����0��|s�(�N��)���!��E��M�and��the�theory�of�complex�m���ultiplication�to����&iFconstruct��pp�Goin���ts��y����n��	O�2�ݙ�E����(�K����n��q~�).�gThe��y����n��	m�form�the�\lev�el�zero"�Euler�system�of�Heegner�p�Goin�ts.����&iFT��*�ak���e��the�\deriv��q�ativ�e"�of�the�system�of�p�Goin�ts��y����n��t>�to�obtain�p�Goin�ts��P����n��8��2���E����(�K����n��q~�)�whic�h�are�so�w�ell����&iFb�Geha���v�ed���that�the�cohomology�classes��c�(�n�)�to�whic���h�they�giv�e�rise�can�b�Ge�understo�o�d�in�terms����&iFof��the�prop�Gerties�of��P����1��|s�.���The�collection��c�(�n�)�is�then�the�rst�lev���el�Euler�system.�The��c�(�n�)�are����&iFobtained�[email protected]�the�p�Goin���ts��P����n��農b�y�using�the�fact�that�the�map��res��<�in�the�follo�wing�diagram�is�an����&iFisomorphism��Z(for�our�c���hoice�of��p�),���and�that�the�p�Goin�ts��P����n��	زare�constructed�in�exactly�the�righ�t����&iFw���a�y�UUso�that�they�m���ust�dene��G����n��q~�-in�v��q�arian�t�elemen�ts�of��E����(�K����n��q~�)�=pE��(�K����n���).���9������0���a��0������a���#���x捍��C�.�H���KU/�����1��OѢ�(�K����n��q~�=K�(�;���E����)����p�������a���#������J�.�0���!���t�ѵE����(�K���)�=pE��(�K��)������Ȝ�����ι_!������F�H����JG�����1���ƺ�(�K�(�;���E����p���R�)������)�������/�-!����MM
�H���T������1��YI~�(�K�(�;���E����)����p�����5��!���0���������#������T͍���J����+3����JԲ=�������#����res����a���#������J�.�0���!���f�H�(�E����(�K����n��q~�)�=pE��(�K����n���))���^��G���n��������Ȝ�����ι_!�����`�H����9a�����1���Բ(�K����n��q~�;���E����p���R�)���^��G���n��������)�������/�-!����G�βH���Oϟ����1��S�B�(�K����n��q~�;���E����)���^���G���n���፴p�������<�Z��5iF�The�tiGalois�group��G����n��

�=����Gal��E�(�K����n��q~�=K����1��|s�)�is�isomorphic�to�the�pro�Gduct������Q���
�2��`�j�n���>�G����`��MO�where��G����`��~r�=��
@���&iFGal��6	H(�K����`����=K����1��|s�).�q�Dene���'�����YT��*�r����G����`���琲=����(b����X����+�����@L�2�G����`�������"�2���Z�[�G����n��q~�]�:�� "Ǎ�&iF�Let��
�a����`��1�=�;K�`�g[�+�1����#[���x䍑P~�����E����T�(�F����`����)].�B�The�p�Goin���ts��y����n��	��are�an�Euler�system�in�the�sense�that�the�follo�wing����&iFt���w�o�UUaxioms�are�satised:�q�Let��n���=��`m�,�UUthen���#�����(�ESI�����?iH�T��*�r���I�����`��O;�y����n��8��=���a����`����y����m��
��in�UU�E����(�K����m�����)���������#l��ESI�Q�I����?iH�y����n��8��=���F��*�rob����(�����m�����)(�y����m���)�q�(�mo�Gd��������n��q~�)�UUfor�all�primes������n���j�����m�����j�`��where������n���Ӳis�a�prime�of��K����n���,�etc.����5iFDene����D����`�����2���Z�[�G����n��q~�]�to�b�Ge�a�solution�to�(�����`��}^���x�1)�D����`���=���`��+�1�����T��*�r������`��˗�.�U�(See���the�details�section����&iFb�Gelo���w.)��Let�7I�D����n��	�*�=��?�����Q���
�u��`�j�n�����D����`����2�?��Z�[�G����n��q~�].�Then�using�the�ES�7axioms�for�the��y����n��	�Dzone�pro���v�es�that��)���&iF[�D����n��q~�y����n���]���2��(�E����(�K����n��q~�)�=pE��(�K����n���))���^��G���n����F�.�y�T��*�o��duse�the��res���isomorphism�in�the�ab�Go���v�e��ddiagram�w���e�need����&iFelemen���ts��Kof��E����(�K����n��q~�)�=pE��(�K����n���)��Kxed�b���y�the�larger�group��G����n��
t-�=���Gal����(�K����n���=K���).�v�[Is�the�follo���wing����&iFconstruction�UUa�sp�Gecial�case�of�cores??]����5iFThere�UUis�an�exact�sequence��@��Z.0���!��G����n��8��!��G����n���!���Gal��g(�K����1��|s�=K���)��!��0�:����&iF�Let�UU�S���b�Ge�a�set�of�coset�represen���tativ�es�UUfor��G����n���Ӳin��G����n��q~�,�and�dene�������IݵP����n��8��=����Vʟ���X����7�����@L�2�S�����[ٲ(�D����n��q~�y����n���)���2��E����(�K����n��q~�)��"�t��5iFBecause��[�D����n��q~�y����n���]�is�xed�b���y��G����n��	z$�it�follo�ws�that�[�P����n��q~�]���2��(�E����(�K����n���)�=pE��(�K����n���))���^��G���n���
�0�.���In��ligh���t�of�the����&iFab�Go���v�e���diagram�w���e�ha�v�e�constructed�the�promised�cohomology�classes��c�(�n�)����2���H���9������1���/�(�K�(�;���E����p���R�).�&�The����&iFdetails�UUare�giv���en�in�the�next�section.�����Qs
��Š���@������iF�13.3.��MCCALLUM,�UU�K���OL��*�YV���A�GIN'S�W�ORK�ON�SHAF���AREVICH-T��*�A�TE�GR���OUPS� 1Y81����ٍ��vn���iF�Details��uT�����iFProp�Q�osition��T13.2.2.���T+G�D����`��l��exists���and�is�unique�up�to�an�inte��}'gr�al���multiple�of��Z�����T��*�r�������`�����.�������iFPr��}'o�of.������The�UUexistence�of��D����`��.;�follo���ws�from�the�more�general�fact�that�the�p�Golynomial����g�'�f���(�x�)��=��m�8���(1�+��x��+���������g�+��x������m��1����)���2��Q�[�x�]�����iFis���divisible�b���y��x�o���1���[it�has�1�as�a�ro�Got],���hence�b�y�Gauss'�lemma�14.2.1�also�divisible�b�y��x�o���1�����iFin�W��Z�[�x�].�xbF��*�or�uniqueness�up�to�an�elemen���t�of��Z�����T�r�������`��)P�note�that��Z�����T�r�������`��)P�is�the�k���ernel�of�the�map���"���iF�Z�[�G����`����]����(���1+�����`��|s��1���J�����������������������������>���������������!�������Z�[�G����`���].�o�[W���ORR��*�Y:�N�ma�yb�Ge��D����`��'Dzis�as�unique�as�ab�o���v�e�in��Z�[�G����`����]�but�is�it�this�unique�in�����iF�Z�[�G����n��q~�]?]���u����ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Theorem��T13.2.3.���F���The���y����n��	e�satisfy��ESI��and��ESII�.�������iF�Prop�Q�osition��T13.2.4.������~t�[�D����n��q~�y����n���]���2��(�E����(�K����n��q~�)�=pE��(�K����n���))������G���n���������iF�Pr��}'o�of.������It���suces�to�sho���w�that�[�D����n��q~�y����n���]���is�xed�b�y������`����,��yfor�all�primes��`�j�n�,�as�these�elemen���ts�generate�����iF�G����n��q~�.�q�Hence�UUw���e�m�ust�pro�v�e�that�(�����l��J���8�1)�D����n��q~�y����n���Ӳlies�in��pE����(�K����n���).�����iFW��*�rite�UU�n���=��`�8���m�.�q�W�e�UUha���v�e����SU�(�����`��Ƹ�8�1)�D����n��8��=��(�����`�����1)�D����`�����D����m��
_��=��(�`��+�1�����T��*�r�������`��_��)�D����m������iF�in�UU�Z�[�G����n��q~�].�q�Hence����_Sf(�����`��Ƹ�8�1)�D����n��q~�y����n��8��=��(�`��+�1)�D����m�����y����n���^���D����m���(�T��*�r���
N9���`���ǵy����n��q~�)�:�����iF�Since����`�n�+�1������0�q�(�mo�Gd����p�)�it�suces�to�sho���w�that��T��*�r�������`��^r�y����n��	�)�lies�in��pE����(�K����m�����).��This�follo�ws�from�����iF�ESI�.�����s��ff����d�ff�Y��ff����ff�����6����iF�13.2.3�� iFProp�`erties��uT���iF�WRITE��THIS�UP!!!��_Where��do�the��c�(�n�)�liv���e�in�the�eigenspace�decomp�Gosition��H������^��1��Lq�(�K�(�;���E����p���R�)���^��+��	`ʸ�����iF�H������^��1��Lq�(�K�(�;���E����p���R�)���^������?����m�*********���End�Unverie��}'d�*********��!č���iF�13.3����Mccallum,����KKolyvagin��`�'s� work�on�Shafar��0Levich-T���rate�gr�oups�����i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********����m*********���End�Unverie��}'d�*********�����R�w��Š���@����ٍ���F���&iF�Chapter�i�14��2F���&iF�Comm��Dhutativ�e��Algebra��:F����&iF�14.1��R��Basic�L�Denitions��j_������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�� ����&iF�Denition��T14.1.1.������An��}elemen���t��x��in�a�ring��R��D�is��irreducible��if�it�is�not�a�unit�and�whenev�er����&iF�x��A�=��ab��n�with��a;���b��A�2��R�5�then��none�of��a��or��b��m���ust�b�Ge�a�unit.�aAn�in�tegral�domain��R�5�is�a��unique����&iFfactorization�domain�(UFD)��Z�if��eev���ery�nonzero�elemen�t�of��R��,�can�b�Ge�written�uniquely�(up�to����&iFunits)�UUas�a�pro�Gduct�of�irreducible�elemen���ts�of��R�Dz.��Ә����&iF�Prop�Q�osition��T14.1.2.����+G�A���princip��}'al�ide�al�domain�must�b�e�a�unique�factorization�domain.������&iF�Theorem��T14.1.3.���|���If���R����is�a�UFD�then�the�p��}'olynomial�ring��R�Dz[�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�]��is�a�UFD.������&iFExample���14.1.4.���q�_�The�?�n���um�b�Ger�6���2��Z��is�not�irreducible�b�Gecause�6�=�2����3�and�neither�2�nor�3�is�a����&iFunit.�_�Also,�)�1�is�not�irreducible�b�Gecause�1�is�a�unit.�The�p�Golynomial�ring��k�P��[�x�]�is�a�UFD�b�ecause,����&iFas�l�the�division�algorithm�sho���ws,�reit�is�a�principal�ideal�domain.���The�ring��Z�[����$��p���UW��$��fe�����5����v]�is��not��a�UFD����&iFb�Gecause��Ә���wd6��=�2�8���3��=�(1�8�+�������p���
�7����fe��X��5����UV)(1��������p���
�7����fe��X��5����)�:��Ә��&iF�An���y�UUeld��k���is�(v��q�acuously)�a�UFD.��`�����*********���End�Unverie��}'d�*********��"�����&iF�14.2��R��Basic�L�F����acts��������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�� ����&iF�Theorem��T14.2.1�(Gauss�Lemma).����y��Supp��}'ose��E�R���is�a�UFD��>with�quotient�eld��K���.��If��f����is�irr�e-����&iFducible���in��R�Dz[�x�]��then��f��v�is�irr��}'e�ducible���in��K���[�x�]�.��Ә����&iFExample���14.2.2.���q�_�If���f�HK�=�4��x���^��2���.��d��x����1�then��f����is�irreducible�in��Z�[�����P�p���UW���P�fe�E���5����
UX][�x�]�but�reducible�in��Q�(�����P�p���UW���P�fe�E���5����)[�x�]����&iF(b�Gecause��%�F�T��is�reducible�i�it�has�a�ro�ot�and�its�ro�ots�are�(1����������Pp���
����P�fe�E���5�����)�=�2.)�E8Note��%that�the�ring�of����&iFin���tegers���of��Q�(�����P�p���UW���P�fe�E���5����
UX)�has�class�n�um�b�Ger�1,��Gso�this�example�sho�ws�that�an�order�in�the�ring�of�in�tegers����&iFof�UUa�eld�ha���ving�class�n�um�b�Ger�1�need�not�b�e�a�UFD.��`�����*********���End�Unverie��}'d�*********��"�����&iF�14.3��R��Mo�qdule�L�theory�����&m�*********���Be��}'gin�V��;�erie�d�*********���K����i#�82����S���Š���@������iF�14.3.��MODULE�UUTHEOR��*�Y���83����ٍ��vn����iF�14.3.1�� iFLo�`calization��k���iF�Nak��q�a���y�ama's�U�lemma�can�b�Ge�though���t�of�as�a�to�ol�whic���h�allo�ws�one�to�understand�prop�Gerties�of�a�����iFmo�Gdule��o���v�er�a�lo�Gcal�ring�in�terms�of�prop�erties�of�its�reduction�mo�dulo�the�maximal�ideal.�Z�This�����iFis�UUuseful�b�Gecause�the�reduction�is�a�v���ector�space�o�v�er�the�residue�eld.��������iF�Lemma��T14.3.1�(Nak��\ra��9y�ama).���Z��L��}'et��
�M��%�b�e�a��nitely�V�generated��mo�dule�over�a�lo�c�al�ring��(�R��;����m�)�.�����iFIf���M�O��
�8�R��=�m���=�0��then��M��3�=�0�.�����iF�As���a�consequence�of�Nak��q�a���y�ama's���lemma�w���e�see�that�if���$M����x����1�����1�;����:�:�:����;���MS�������x����n����T�generate��M����
��}�R��=�m��then��any�����iF�lifting�j��x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n���
�generates��M��.��uIndeed,�o�if��N����is�the�quotien���t�of��M��b���y�the�submo�Gdule�generated�����iFb���y��ݵx����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��	-[�then��N��U�
�}:�R��=�m�q��=�0���so��N���=�q�0.��`It�follo�ws�that�the�notion�of��minimal��;gener��}'ating�����iFset����of��M��ܲis�w���ell-dened:�.�all�suc�h�sets�ha�v�e�the�same�cardinalit�y��*�,��\and�are�c�haracterized�b�y�the�����iFfact�UUthat�they�reduce�to�a��b��}'asis��of�the�v���ector�space��M�O��
�8�R��=�m�.�������iF�Prop�Q�osition��T14.3.2�(Lo�cal-global�principal).���͌��L��}'et�N��R�bH�b�e�a�ring�and��M�e��an��R���-mo�dule.��dThe�����iFnatur��}'al���map���ύ��V�0���!��M��3�!�����̟���Y�������A�al�i?l�����m����F�M����m���#���iF�is���an�inje��}'ction�(the�pr�o�duct�is�over�al���l�maximal�ide�als��m��of��R���.)���In�other�wor�ds,��:�x���=�0����i��x����m��
MI�is�����iF�0����in��M����m��
J��for�al���l�maximal�ide��}'als��m�.�������iFPr��}'o�of.������Supp�Gose�c&�x���2��M�zA�maps�to�0�in�the�pro�Gduct.��;Then�the�annihilator��I�,�of��x��is�not�con���tained�����iFin�UUan���y�maximal�ideal��m��of��R�i�so��I����=���R�Dz,�whence�1�annihilates��x��and�so��x��=�0.���G쒄�ff����d�ff�Y��ff����ff���� 
�����iF�Prop�Q�osition��T14.3.3.���T+G�L��}'o�c�alization���is�an�exact�functor.�������iFExample���14.3.4.���;�_�If�UU�p��is�an���y�prime�ideal,�then��R����p���is�a�
at��R�Dz-mo�Gdule�since��M����p��y��=���M�O��
�8�R����p�����.��������iF�14.3.2�� iFPro��jectiv��e,��injectiv�e,�and�
at�mo�`dules��k�����iF�Denition��T14.3.5.���K��Let�v�M��4�b�Ge�an��A�-mo�dule.��Then��M��4�is��
at��o���v�er�v�A��if�the�functor��M�eӸ
����A���H���is�����iFan�$�exact�functor�on�the�category�of�all��A�-mo�Gdules.�a�The�mo�dule��M�;��is��pro���jectiv��9e��if�the�functor������iFHom���>����A���/�(�M���;�����)�UUis�exact.�q�The�mo�Gdule��M�lp�is��injectiv��9e��if�the�functor��Hom���*����A���>�(��;�M��)�is�exact.�����iFAn��u�A�-mo�Gdule��M���is��nitely�o presen��9ted��if�it�is�the�cok���ernel�of�a�morphism�of�nite�rank�free�����iFmo�Gdules.�nA���nitely���generated�mo�dule�need�not�b�e�nitely�presen���ted.�nF��*�or�example,��supp�ose��R�����iF�is�#'a�ring�and��I��	�is�an�ideal�whic���h�is�not�nitely�generated.�a
Then�the��R�Dz-mo�Gdule��R�=I��	�is�generated�����iFb���y��1the�image�of�1�but�it�can�not�b�Ge�nitely�presen�ted�as�the�follo�wing�prop�Gosition�demonstrates.�������iF�Prop�Q�osition��T14.3.6.���T+G�The���kernel�of�a�surje��}'ction��T�*��!���M��3�!��0����fr�om�a�nitely�gener�ate�d�mo�dule�����iF�T��v�onto���a�nitely�pr��}'esente�d���mo�dule��M���is�nitely�gener�ate�d.�������iFPr��}'o�of.������Bourbaki�UUI.8.9���8��ff����d�ff�Y��ff����ff���� 
�����iF�Theorem��T14.3.7.���F���L��}'et�u�M����b�e�a�nitely�pr�esente�d�mo�dule�over�a�(not�ne�c�essarily�No�etherian)�����iFring���R���.���Then�the�fol���lowing�ar��}'e�e�quivalent:��������;�1.����	iH�M���is���
at�over��R���.��������;�2.����	iH�M����m��
J��is���
at�over��R����m���for�al���l�maximal�ide��}'als��m��of��R���.��������;�3.����	iH�M����m��
J��is���a�fr��}'e�e���mo�dule�over��R����m��
J��for�al���l�maximal�ide�als��m��of��R���.��������;�4.����	iH�M����m��
J��is���a�pr��}'oje�ctive���mo�dule�over��R����m��
J��for�al���l�maximal�ide�als��m��of��R���.��������;�5.����	iH�M���is���a�pr��}'oje�ctive���R���-mo�dule.�����T����Š���@�����&iF�84����CHAPTER�UU14.��COMMUT��*�A�TIVE�ALGEBRA����ٍ��vn����&iF�Pr��}'o�of.���E���(1��)��
�2)����Supp�Gose�0���!��S���!��T�芲is���an�injectiv���e�mapping�of��R����m��
;��mo�dules.��Viewing��S���and��T����&iF�as�UU�R�Dz-mo�Gdules�and�tensoring�with�the�
at�mo�dule��M�lp�giv���es�an�injection��o����%0���!��S��m�
����R���B�M��3�!��T��o�
����R���M���:����&iF�But����d ֵS��m�
����R���B�M����T͍���3����+3����3�=�����li(�S��
����R���/�ɯ�eufm5�m�����R����m�����)�8�
����R���M����T͍���3����+3����3�=�����li�S��
����R���m�����(�R����m��
����R���M��)����T͍�������+3�����=�����
UN�S��
����R���m�����M����m���uٍ�&iF�so�����)/0���!��S��m�
����R���m�����M����m��	}Ѹ!��T��o�
����R���m����M����m�����&iF�is�UUexact�and�hence��M����m��
�is�
at.����5iF�(2��)��
�1)���Supp�Gose�0�i��!��S��<�!��T�r�is���an�injectiv���e�map�of��R�Dz-mo�dules.��rT��*�ensor�with��M����and�let��K����&iF�b�Ge�UUthe�k���ernel:�������0���!��K�~4�!��S��m�
�8�M��3�!��T��o�
��M���:����&iF�Lo�Gcalize�UUat�a�maximal�ideal��m��to�obtain�the�exact�sequence��o���?0���!��K����m��	}Ѹ!��S����m��
�8�M����m���!��T����m��
�8�M����m�����:����&iF�Since�c��M����m��e�is�
at,��A�K����m��@`�=���0.���Since�this�holds�for�all�maximal�ideals��m��it�follo���ws�b�y�Prop�Gosi-����&iFtion�UU14.3.2�that��K�~4�=��0,�hence��M�lp�is�
at.����5iF�(2��)��
�3)��Fix�a�maximal�ideal��m�.��jBy�rst�lo�Gcalizing�at��m��it�suces�to�pro���v�e��that�if��R�&��is�a����&iFlo�Gcal�Y�ring�with�maximal�ideal��m��and��M�p��is�a�
at��R�Dz-mo�dule�then��M�p��m���ust�b�e�free.�iTh���us�assume����&iF�R���is�ɸlo�Gcal�with�maximal�ideal��m��and�that��M��Ӳis�
at�o���v�er�ɸ�R�Dz.���Let��n��b�e�the�minimal�n���um�b�er�ɸof����&iFgenerators�UUof��M�lp�and�consider�a�surjection��R��ǟ�^��n��L]�!���M��3�!��0.�q�Let�UU�K�q�b�Ge�the�k���ernel�so�the�sequence������;0���!��K�~4�!��R��ǟ����n��L]�!��M��3�!��0����&iFis�UUexact.�q�T��*�ensor�with��R��=�m��to�obtain�the�exact�sequence����o�!T��*�or���~�[���1���oβ(�M���;���R��=�m�)�����ꍑ1+�f��$�������������J\!����u�K����
�8�R�=�m�����ꍑC�g��$���������������!������R�������n���%�
��R�=�m����T΍�1+�h���2�������������I�!����ܵM�O��
��R�=�m���!��0�:����&iF�Since�k��h��is�a�surjectiv���e�morphism�of�v�ector�spaces�of�the�same�dimension�it�m�ust�b�Ge�an�iso-����&iFmorphism.���Th���us�pV�g����=���0�and��f���is�surjectiv�e.���But��M��q�is�
at�so��T��*�or��������1��;�(�M���;���R��=�m�)���=�0�pVand�th�us����&iF�K����
�8�R��=�m���=�0.�q�By�UUNak��q�a���y�ama's�lemma��K�~4�=��0�so��M����T͍���3����+3����3�=�����li�R��ǟ�^��n���E�.����5iF�(3��)��
�4)�UU�F��*�ree�mo�Gdules�are�pro��8jectiv���e.����5iF�(4��)��
�5)�S��This�follo���ws�from�[Eisen�bud,��Exercise�2.13b]�whic�h�asserts�that�a�short�exact�sequence�����/�0���!��A��!��B�G��!��C�~4�!��0�;����&iF�with��ҵC���nitely�presen���ted,�)qsplits�ev�erywhere�lo�Gcally�i�it�splits�globally��*�.��>(With��B�LC�free�and����&iF�M����=�v��C���,���use�X<the�criterion�that�a�mo�Gdule�is�pro��8jectiv���e�i�it�is�the�direct�summand�of�a�free����&iFmo�Gdule.)����5iF�(5�����)�����4)��If��M�&�is�pro��8jectiv���e�then��M��is�a�direct�summand�of�a�free�mo�Gdule��F�c��.���Since��M��is����&iFnitely�Npresen���ted��F�gݲcan�b�Ge�c�hosen�to�b�Ge�nitely�generated,�0�F����T͍��NE����+3���NE�=������R��ǟ�^��n���E�.�~�Then�for�an�y�maximal����&iFideal�UU�m�,��M����m��
�is�a�direct�summand�of�the�free�mo�Gdule��R���^���Ǵn����m������:����5iF�(4��)��
�2)�EֲW��*�e�can�compute��T�or�������1����(�M���;�����)�using�a�pro��8jectiv���e�resolution�of��M��.�HSince��M�\�is�pro�jectiv���e�����&iFT��*�or���5�����1��:3�(�M���;�����)�UUm���ust�v��q�anish.�q�Th�us�the�functor��M�O��
�8���is�exact�and�so��M�lp�is�
at.���������ff����d�ff�Y��ff����ff����������*********���End�V��;�erie��}'d�*********�� �����&iF�14.4���S�
��� ��R��Etale�L�extensions������&m�*********���Be��}'gin�V��;�erie�d�*********������&iF�Denition��T14.4.1.������A��homomorphism���A�3�!��B���of�rings�is�X����}Wetale��if�it�mak���es��B��a�
at��A�-mo�Gdule����&iFand�UUif�for�ev���ery�prime��P��of��B��Ʋthe�map��A����p��y��!���B����P��
�ղis�unramied,�i.e.,��p�B����P��	�=��P�B����P��,��.��������*********���End�V��;�erie��}'d�*********�����U�Q��Š���@������iF�14.5.��LOCAL�UURINGS�1u�85����ٍ��vn����iF�14.5����Lo�qcal�L�Rings��Do��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��F����iF�14.5.1�� iFRegular��Lo�`cal�Rings��Ҩ���iF�A�UUlo�Gcal�ring��R�i�with�maximal�ideal��m��is��regular��if��m��can�b�e�generated�b���y��dim�����R�i�elemen�ts.���r�����iF�Prop�Q�osition��T14.5.1.���T+G�A���r��}'e�gular�lo�c�al�ring�is�a�unique�factorization�domain.�������iFExample���14.5.2.���;�_�The�UUring�(�C�[�x;���y�[ٲ]�=�(�y����^��2��,��8�x���^��3��|s�))���:�(�x;y�@L�)��L²is�UUa�domain�but�it�is�not�regular.������m�*********���End�Unverie��}'d�*********��"ԍ���iF�14.6����Examples����i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��Ș�����iFExample���14.6.1.���;�_�Let��9���C�fe������Z�����denoted�9the�in���tegral�closure�of��Z��in�a�xed�algebraic�closure�����C�fe�����Q�����of��Q�.�����iFThen�UUev���ery�nonzero�prime�of�����C�fe������Z���
UV�is�maximal.���U�����iF�Pr��}'o�of.������Let����p��������C�fe������Z���Y��b�Ge�a�nonzero�prime.�MTAn���y�0��6�=��a��2��p��satises�an�in���tegral�equation�with�nonzero�����iFconstan���t���term�hence��p�u�\��Z�_��6�=�0.��]W��*�e���can�sho�w�that��p��is�a�maximal�ideal�of�����C�fe������Z���d�b�y�sho�wing�that�����iFev���ery�Oelemen�t�of�����C�fe������Z���&��,M�p��has�an�in�v�erse�mo�Gdulo��p�.�o�Th�us�let��a���2�����C�fe������Z����ϲb�Ge�nonzero.�o�Let��O��(�b�e�the�ring�����iFof���in���tegers�of�the�eld��Q�(�a�).��Then�b�Gecause��p�U��\��Z�1�6�=�0���and�b�ecause��O�Ǵ�is�a�dedekind�domain�w���e�����iFkno���w�UUthat��p�8�\�O��r�is�UUa�nonzero�prime�ideal�of��O�G�.�q�Th�us�there�exists��b���2�O��r�suc�h�UUthat��dL���#��ab�����1�	��(�mo�Gd����p�8�\�O�G�)�����iFhence�UU�ab�8���1���2��p�8�\�O�5���p��so��ab����1�q�(�mo�Gd����p�).�q�Th���us��a��has�an�in�v�erse�mo�Gdulo��p�.���@QO��ff����d�ff�Y��ff����ff�����/�����iF�Example���14.6.2.���;�_�The���ring�����C�fe������Z����V�is�not�no�Getherian�(ev���en�though�it�has�Krull�dimension�1).��FF��*�or�����iFexample�UUthe�c���hain�of�ideals��5�����y���C�fe������Z�������%��=V�p����|��=V�fe�ª��2�����啸������C�fe������Z�����l���|�3�����
̟�=V�p���g#��=V�fe�ª��2������.<�������C�fe������Z�����l���|�4�����
̟�=V�p���g#��=V�fe�ª��2������������������r���iF�is�UUstrictly�increasing�but�do�Ges�not�terminate.������m�*********���End�Unverie��}'d�*********��"ԍ���iF�14.7����Asso�qciated�L�primes�and�primary�decomp�osition�����iF�Let����R�Ʋb�Ge�a�ring�and�let��M��b�e�an��R�Dz-mo�dule.�SF��*�or�eac���h�elemen�t��x���2��M��there���is�an�exact�sequence������L0���!���Ann��c�(�x�)��!��R��߸!��R��x��!��0�����iFwhere�UU�R��x�����M�lp�is�the�submo�Gdule�generated�b���y��x��and��Ann����(�x�)�=��f�r�5�2��R��߲:��r�Gx��=�0�g�.���r�����iF�Denition��T14.7.1.���K��The��dset��Ass��2�(�M��)�of��asso�Q�ciated�a�primes��of�the��R�Dz-mo�Gdule��M���is�the�set�of�����iFprimes�UU�p��of��R�i�of�the�form��Ann����(�x�)�for�some��x���2��M��.�����iFF��*�or�UU\most"��x���2��M�lp�the�UUideal��Ann����(�x�)�will�not�b�Ge�prime.��dL�����iF�Example���14.7.2.���;�_�Construct�TLa�sc���heme��X�.�b�y�taking�a�nite�disjoin�t�union�of�in�tegral�ane�����iFsc���hemes,��th�us�_��X�K��=����Sp�Gec��t��R����1��fθ���[������]��[�R����n��	�
�where�eac���h��R����i���۲is�an�in�tegral�domain.��tThen�the�set�����iFof�Y�asso�Gciated�primes�of�the�zero�ideal�in��R����1��b�����������w��扵R����n��	�R�is�the�set��f�����i��͊�:�y>�i��=�1�;����:�:�:����;���n�g�YԲwhere�����iF�����i��d�=���R����1������{�����������x䍑���^�����{�R����i�����
���{�������{�R����n��� �(�R����i����omitted)�;�is�the�\ideal�sheaf��"�or�\generic�p�Goin���t"�of�the�closed�����iFsubsc���heme��UUSp�Gec��G�R����i��d����X���.�����V����Š���@�����&iF�86����CHAPTER�UU14.��COMMUT��*�A�TIVE�ALGEBRA����ٍ��vn����&iF�Example���14.7.3.���q�_�Let�R�R����=�m��k�P��[�x;���y�[ٲ]�=�(�xy��)�b�Ge�the�co�ordinate�ring�of�the�union�of�the��x�-axis�and����&iF�y�[ٲ-axis��in�ane�t���w�o��space.�]�The�asso�Gciated�primes�of�the�zero�ideal�of��R�-��are�(�x�)�and�(�y��),�%�i.e.,�the����&iFideal�UUshea���v�es�of�the�t�w�o�irreducible�comp�Gonen�ts.���j����&iF�Example���14.7.4.���q�_�Let�a"�R��3�=��l�k�P��[�"�]�="���^��2��ݕ�b�Ge�a�\fuzzy�p�oin���t".��.Then�its�only�asso�ciated�prime�is�(�"�)����&iFwhic���h�UUdenes�the�closed�subsc�heme��Sp�Gec��G�k�P��[�"�]�="�.������&iF�Example���14.7.5.���q�_�Let��v�R�h�=�	��k�P��[�x;���y�[ٲ]�=�(�x���^��2��|s�;�xy��)��vb�Ge�a�v���ertical�line�with�a�fuzzied�origin.��*The�t�w�o����&iFasso�Gciated�Z3primes�are��Ann����(�x�)��4=�(�x;���y�[ٲ)�Z3whic���h�corresp�onds�to�the�zero�ideal�in��R�Dz,�[jand��Ann����(�y�[ٲ)��4=����&iF(�x�)�UUwhic���h�corresp�Gonds�to�the��y�[ٲ-axis.�������&iF�Denition��T14.7.6.������Let��f�p���2���Sp�Gec���ߵR�-�and�let��M���b�Ge�an��R�Dz-mo�dule.�S�The��p�-primary�m�submo�Q�dules����&iF�of�UU�N�lp�are�those�submo�Gdules�for�whic���h��Ass����(�M���=��q�N��)��=��f�p�g�.������&iF�Theorem��T14.7.7�(Primary�Decomp�Q�osition).������L��}'et��׵R����b�e�a�no�etherian�ring�and�let��M����b�e�a����&iFnitely���gener��}'ate�d��R���-mo�dule.�I&Then�every�pr�op�er�submo�dule��N��3����M����has�a�primary�de�c�omp�osition,����&iFi.e.,���ther��}'e�exists�distinct�submo�dules��N����1��|s�;����:�:�:����;���N����r����such�that���i��̾ѵN��3�=���N����1���S�\��8�������g\�8�N����r�����&iF�with����Ass���v(�M���=��q�N����i��TL�)��=��f�p����i���g�,����p����i��d�2���Sp�Gec���ߵR���,�for�e��}'ach��i�.���F��;�urthermor�e,���Ass���v(�M���=��q�N��)��=��f�p����1��|s�;����:�:�:����;����p����r��m��g�.����5iF�F��*�or���example,��the�theorem�implies�that�an�ideal��I����in�a�no�Getherian�ring��R���has�only�nitely����&iFman���y�UUasso�Gciated�primes.���j����&iF�Example���14.7.8.���q�_�Let���k�ү�b�Ge�a�eld�and�let��R��!�=���Z����Q�����ލ�.#�1��%��.#�i�=1���M�k��and�let��M��u�=��Z�R�Dz.��Then��M��3�is�nitely����&iFgenerated,��but��the�set�of�asso�Gciated�primes�of��M���is�innite,�consisting�of�pro�Gducts�where�the����&iF�i�th�UUfactor�is�omitted.�q�Th���us��R�i�can�not�b�Ge�no�etherian.������&iF�Example���14.7.9.���q�_�Ev���en��in�a�no�Getherian�ring�a�single�nonzero�divisor�can�lie�in�innitely�man�y����&iFprime�Nideals.�~�F��*�or�example�consider��R��}�=���Sp�Gec���}�Z�[�x�].�Then��x�궸2��(�x;���p�)�Nfor�all�primes��p��and�the����&iFideals�UU(�x;���p�)�are�all�maximal.��%����&iF�14.8��R��Going�L�up�and�going�do���wn��tՍ���&iF�Theorem��T14.8.1�(Lying�o��9v�er).�������L��}'et��D�B���b�e�an�inte�gr�al�extension�of�a�ring��A��and�let��p��b�e�a����&iFprime�Q�ide��}'al�of��A�.��2Then�ther�e�is�a�prime��P��of��B��7�such�that��P��u�\��A��=��p�.��2Thus�Q�the�morphism�����&iF�Sp�Gec��<[
�B�G��!����Sp�Gec���ߵA����is�surje��}'ctive.�������&iF�Theorem��T14.8.2�(Going�up).����WO�L��}'et�Y��B����b�e�an�inte�gr�al�extension�of�a�ring��A�,�e0supp�ose��p�����p���^��0��'��ar��}'e����&iFprime�;�ide��}'als�of��A��and�that��P��is�a�prime�ide�al�of��B���such�that��P��l�\��B�wg�=����p�;��then�ther�e�exists�a����&iFprime���ide��}'al��P���^��0��b �of��B�X�c�ontaining��P��and�such�that��P���^��0���\�8�A���=��p���^��0���9�.������&iF�Theorem��T14.8.3�(Going�do��9wn).������Supp��}'ose�O��A��is�inte�gr�al���ly�close�d�and��B���is�a�domain,�]Kwhich�is����&iFinte��}'gr�al�/over��A�,�;�or�that��B����is�
at�as�an��A�-algebr��}'a.�,mSupp�ose�/�p��Z���p���^��0���h�ar��}'e�prime�ide�als�of��A��and����&iFthat��(�P���^��0���a�is�a�prime�of��B�`��such�that��A�p"�\��P���^��0��u�=�Q<�p���^��0���9�.�~ZThen��(ther��}'e�is�a�prime�ide�al��P��of��B�`��such�that����&iF�P�����P���^��0��b �and���A�8�\��P���=��p�.����5iF�The�r�picture�I�r�ha���v�e�r�of�going�up�and�going�do���wn�is�as�follo�ws.��iImagine�a�morphism�b�Get�w�een����&iFt���w�o��4surfaces�(one�is�
oating�ab�Go���v�e��4the�other).�KFix�a�curv���e�on�the�b�ottom�surface�and�a�p�oin���t�on����&iFthe��;curv���e.�SiFix�a�curv�e�on�the�top�surface�whic�h�maps�do�wn�to�the�curv�e�on�the�b�Gottom�surface.����&iFThen���going�up�sa���ys�that�there�is�a�p�Goin�t�on�the�top�curv�e�whic�h�maps�do�wn�to�the�p�Goin�t�on����&iFthe��b�Gottom�curv���e.�QAn�example�where�this�do�esn't�hold�is�the�morphism�giv���en�b�y�pro��8jecting�the����&iFh���yp�Gerb�ola�Н�xy��h�=���1�on�to�the��x��axis��y��h�=���0�in�ane�t�w�o�space.��Note�that�������J	�1��П�&�fe������x��������is�not�in�tegral�o�v�er����&iF�k�P��[�x�].� �Going���do���wn�sa�ys�that,��Cup�Gon�pic�king�a�p�Goin�t�on�the�top�surface�whic�h�maps�do�wn�to�the����&iFp�Goin���t��on�the�b�ottom�surface,���there�is�a�curv���e�on�the�top�surface�whic�h�con�tains�the�p�Goin�t�and����&iFmaps�UUto�the�curv���e�on�the�b�Gottom�surface.�����W���Š���@������iF�14.9.��DISCRIMINANTS�UUAND�RESUL��*�T�ANTS����87����ٍ��vn����iF�14.9����Discriminan���ts�L�and�resultan�ts��������iF�Denition��T14.9.1.���K��Let�奵k�6<�b�Ge�a�eld�and�let��f�uԸ2�bE�k�P��[�x�]�b�e�a�p�olynomial�with�distinct�ro�ots�����iF�u����1��|s�;����:�:�:����;���u����n��8��2���\q��	ò��������k���Ln�.�q�Then�UUthe��discriminan��9t��of��f�h�is����^��2���Ȳwhere��qˍ��K���=���������Y����t���i<j�����(�u����i���,��8�u����j��6��)�:�� �卍���iF�Prop�Q�osition��T14.9.2.���T+G�The���discriminant�of��f�ڧ�2���k�P��[�x�]��lies�in��k��.�������iFPr��}'o�of.������An���y��^automorphism�lea�v�es�the�ro�Got�of��f���in�v��q�arian�t�so�it�can�only�c�hange�the�sign�of��and�����iFhence�UUm���ust�x����^��2��|s�.���Dc��ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Prop�Q�osition��T14.9.3.���T+G�The���discriminant�of��x���^��3���S�+�8�ax��+��b����is���4�a���^��3����8�27�b���^��2��|s�.�����X捠�Š���@����ٍ���8P��&iF�Chapter�i�15��27⍑&iF�Iw��Dhasa�w�a��Theory��5�[������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��":?���&iF�15.1��R��The�L�Main�Conjecture�Of�Iw���asa�w�a�L�Theory��O��&iF�These��are�the�notes�from�a�talk�I�oga���v�e��on�the�app�Gendix�to�Rubin.�X,The�notation�is�as�in�Rubin's����&iFarticle��iin�the�app�Gendix�to�Lang's��Cyclotomic���Fields�.�/The�references�are�to�that�article.�Kevin����&iFBuzzard�UUhelp�Ged�me�immensely�in�preparing�and�I�w���an�t�UUto�thank�him�here.��&����&iF�15.1.1��ViFIn��tro�`duction���T��&iF�I�l�am�l�going�to�talk�ab�Gout�the�pro�of�of�Theorem�7.2.��}Theorem�7.2�uses�the�Euler�system�of����&iFcyclotomic��>units�to�construct�man���y�relations�in�the�Iw�asa�w�a�algebra�.��These�relations�imply����&iFthat�UU�f�������j�h�������.�q�The�construction�in���v�olv�es�man�y�dieren�t�ob��8jects�including���������5iG�����?iH�elds:�qǵK����n��8��=���Q�(���㐴p����n�+1���r�),�UU�F�*��=��K���^�����+��፴n����߆�����5iG�����?iH�galois��3groups:����G����n��	9�=��ljGal��g�(�K����n��q~�=K����0��|s�),���lj=��Gal��(�K����0��|s�=�Q�)����T͍������+3����=�����V0(�Z�=p�Z�)���^������,���G����1��@n�=��Gal��(�K����1��x�=K����0��|s�)����T͍������+3����=��������?iH�Z����p���R�,��UUGal���W(�K����n��q~�=�Q�)����T͍�������+3�����=�����
UN�Z����p���2��8��������5iG�����?iH�c���haracters,�UUpro��8jections:�qǵ���:���!��Z���^�����፴p����R�,�
UV�e�(��)�=�������	)��1���K��&�fe[Ɵ����p��1������3����P����'���@��2���1ş��(��`�)���^���1��
�t��'��2��Z����p���[]��.����5iG�����?iH�class�UUgroups:�qǵC����n��8��=���f�c����i��TL�;����:�:�:�����g��=��p���part�of�Cl��.j�(�K����n��q~�)�������5iG�����?iH�-mo�Gdules:�qǵC����1��?��=���lim��UQ�C����n��q~�,�UU�E����1��x�,��V����1���,���=��lim��UQ�Z����p���R�[�G����n��q~�]�������5iG�����?iH�fractional�UUideals:�qǸJ���,��I����ǟ��`��������5iG�����?iH�an�UUEuler�system:�qǵ����r��m��,������r��4��2���F��c���^����#��=�(�F��c���^�����)���^��M��������5iG�����?iH�p�Gositiv���e�UUin�tegers�and�primes:�qǵM��,��l�2`�,��p��>��2��&����&iF�15.1.2��ViFRecall���T��&iF�Let��UU���}�fe�T����E����J����n��|�denotes�UUthe�closure�in��U����n���Ӳof��E����n���^�\�8�U����n��q~�,��V����n���the�closure�of��E����n���^�\�8�U����n��q~�.�q�Th���us��oÍ��e��C����1��?��=����lim���UQ�C����n��q~�;���E����1���=����lim�����x䍑�R������E����n����(��;���V����1���=����lim����V����n�������5iF�Fix���an�ev���en�c�haracter���Dz:���!��Z���^�����፴p����R�.��Then����C����1��x�(��)�is�torsion�so�b�y�the�structure�theorem�for����&iFtorsion�UU-mo�Gdules,�there�is�a�quasi-isomorphism��ᎍ��8�C����1��x�(��)��=����
������M������i�=1�;�:::��}�;k���#@��=f����i��TL����K����i#88����Yꮠ�Š���@������iF�15.1.��THE�UUMAIN�CONJECTURE�OF�IW���ASA�W�A�UUTHEOR��*�Y����89����ٍ��vn���iFLet�V��f������	�=��t�c���har��mk(�C����1��x�(��))�t�=������Q�����f����i���K�and�similarly�dene��h������	�=��c���har��mk(�E����1��x�(��)�=V����1���(��)).�v�I�V�will�talk�����iFab�Gout�UUwh���y��f�������j�h����������iF�In��(order�to�utilize�our�Euler�system�w���e�mo�v�e�to�the�nite�lev�el.�[AT��*�o�do�this�reduce�mo�Gdulo�����iF�I����n��8��=��(�
���8��^��p����r�n�+1���؊��8�1),�UUwhere��
�㍲is�a�top�Gological�generator�of��Gal���W(�K����1��x�=K����0��|s�).�q�Also�set���č�yp$����n��8��=���=I����n��q~��=��Z����p���R�[�Gal���(�K����n���=K����0��|s�)]�������iF�15.1.3�� iFThe��connection�b�`et��w�een���F���Ɵ��2��K�cmsy8����>�=�(�F���Ɵ��2����)����2�M����and�the�Iw��asa�w�a�algebra��uT���iF�Fix�UUa�p�Gositiv���e�in�teger��n��and�an�ev�en�c�haracter�����#I����:���!��Z����������፴p����R�:�����iF�Let��ʵF�*��=���K���^�����+��፴n���
;v�b�Ge�the�xed�eld�of�complex�conjugation.�J�M���denotes�a�large�p�o���w�er���of��p��(ho���w�large�����iFwill�UUb�Ge�determined�later).�����iFT��*�o�UUconnect�the�Euler�system�with�the�Iw���asa�w�a�UUalgebra�w���e�dene�a�map���č���Yj��~��fe4���g��v������'���`���.%�:���F��c��������#��=�(�F��c���������)������M���t�!������n������iF�Let��;�l��x�2���Q��b�Ge�a�rational�prime�whic���h�splits�completely�in��F�]ʲand�x�a�prime��`�j�l�2`�.�SiLet��I��������`��
iβdenote�����iFthe�C�group�of�fractional�ideals�with�supp�Gort�in�the�primes�of��F���lying�o���v�er�C��l�2`�,�Gi.e.,�the�free�ab�Gelian�����iFgroup���on�the�primes�lying�o���v�er��޵l�2`�.�ecF��*�or��w�!��2�ܦ�F�_m�let�(�w�D�)����l��
��denote�the�pro��8jection�of�the�fractional�����iFideal�UU(�w�D�)�generated�b���y��w��8�on�to��I����ǟ��`��
ʭ�.�q�Dene���č����I�����(���`���Y�(��)��:=��e�(��)(�I����r���`��	�8�
�8�Z����p���R�)�����iFSince�L,�l�~��splits�completely��*�,��NI����s���`����
�&��Z����p���~�is�free�of�rank��l�X���1�o���v�er�L,����n��q~�.�n�Then��I���螟��`��
���(��)�is�free�of�rank�1�o���v�er�����iF����n��ߥ�generated�n'b���y��`�(��)��u:=��e�(��)�`�.��<[This�n'is�b�Gecause��e�(��)�`��has�precisely�one�nonzero�comp�onen���t�in�����iFeac���h�+gof�the��l�d����1��orbits�of��I����ٟ��`���ø
��Z����p��ʹ�and�the�co�Gecien���ts�are��p�-adic�in�tegers.]�c�Th�us�the�equation���č���+�v����`����(�w�D�)�`�(��)��=��e�(��)(�w��)����`������iF�denes�UUa�map�����@j�v����`�����:���F��c��������
꨸!������n��q~�:�� ����iF�Reducing�UUmo�Gd��M�lp�giv���es�a�map����������~��fe4���g��v������L���`���^J�:���F��c��������#��=�(�F��c���������)������M���t�!������n��q~�=��q�M������n������iF�It�UUis�b���y�this�map�that�w�e�call�our�highly�con�trolled������r��4��2���F��c���^����#��=�(�F��c���^�����)���^��M��5��in�to�UUpla�y��*�.������iF�15.1.4�� iFThe��Argumen��t��uT���iF�T��*�o�UUsho���w�that�for�ev�ery�ev�en�c�haracter�����:���!��Z���^�����፴p����R�,�UUthat��f�������j�g�������r�in��w�e�pro�Gceed�as�follo�ws.���7�������*1.����	iHFix���a�sp�Gecial�nite�index�ideal��C��t������whose�existence�is�guaren���teed�b�y�the�theorems�in����	iHsections�UU6.��k�������*2.����	iHSho���w�UUthat�for�ev�ery���"�2���C��(with����.�relativ�ely�prime�to��
���8��^��p����r�n���Mָ�8�1,�for�all��n�)�that�����a��f�������j���[ٟ����k�+B�+1��gl�g��������r�in������n��q~�=p������n�������n�����	iH�(Recall�UUthat��k���is�the�n���um�b�Ger�UUof�factors�app�earing�in�the�decomp�osition�of��C����1��x�(��).)���������*3.����	iHUsing�٫the�Krull�in���tersection�theorem�(see�the�app�Gendix)�w�e�can�see�that�if��a�j�b��in�����n��q~�=p���^��n�������n�����	iH�for�UUeac���h��n��then��a�j�b��in�.�q�Th�us��������f�������j���[ٟ����k�+B�+1��gl�g��������r�in���:���7�������*�4.����	iHBecause�ſC��has�nite�index�it�can�b�Ge�sho���wn�that��C��m�ust�con�tain�relativ�ely�prime�elemen�ts����	iH��$O�and��v���[ٟ�^��0��*�.��*W��*�e�can�c���ho�Gose�them�prime�to��
���8��^��p����r�n����������1�for�all��n��and�then�rep�eating�the�ab�o���v�e����	iHsteps�UUsho���ws�that��f�������j�(���[ٟ�^��0��*�)���^��k�+B�+1����h�������r�in��whence��f�������j�h�������.�����Z����Š���@�����&iF�90��#8�CHAPTER�UU15.��IW���ASA�W�A�THEOR��*�Y����ٍ��vn���&iF�15.1.5��ViFCho�`osing��cunning�primes��uT��&iF�F��*�or��our�purp�Goses,�Ostep�2�is�the�truly�inspired�part�of�the�argumen���t.�4�It�is�accomplished�using����&iFthe�UUEuler�system�of�cyclotomic�units.�q�This�w���e�no�w�elab�Gorate�on.����5iFFix�UU�n�.�q�Let��h��b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger�suc�h�that��j����v�p������h��������#(����n��q~�=�[ٲ����n���)��UUand����p������h������(����n���=h�����������n���)����&iFLet��������M��3�=��#(�C����n��q~�(��))�p������n�+(�k�+B�+1)�h��%*�:��s;��5iF�Cho�Gose�UU�c����1��|s�;����:�:�:����;����c����k�����2���C����n���Ӳso�that,�for�eac���h��i�,�a�condition�on��Ann����(�c����i��TL�)��������n���Ӳof��c����i�����in�����X{�C����n��q~�(��)�=�(����n���c����1���S�+��8�������g�+�8�����n���c����i��1��
���)����&iFis�UUsatied.�q�The�condition�is�����'�C��Ann���u(�c����i��TL�)�����f����i�������n���s;��&iF�Let�UU�c����k�+B�+1��ҫ�2���C����n���Ӳb�Ge�an���y�ideal�class�(the�trivial�class�is�ok).����5iFInduction,�%=some�7Iw���asa�w�a�theory��*�,�%=and�our�previous�hard�w�ork�applying�the�Cheb�Gotarev�den-����&iFsit���y�UUtheorem�yields�primes��`����i�����suc�h�that������t��`����i��d�2���c����i��TL�;���l����i�����1�	��(�mo�Gd����M��)�;����(�`����i��TL�j�l����i���)�����ТO��~��fe4���g��v���������`���1���ݗ�(�����l���1���)��=��u����1��|s��[�h����������@��f����i��1���
����~��fe4���g��v�����}���`���i����[�(�����r���i���a~�)��=��u����i��TL���[ٟ�~��fe4���g�v���������`���i��1���fC�(�����r���i��1���3M�)�;���i����2����&iFwhere�UU�u����i��d�2���(�Z�=��q�M��Z�)���^������,�and��r����i���=�������Q���8��j�g���i��.��l����j��6��.�q�These�relations�all�tak���e�place�in�����n��q~�=��q�M������n���.����5iFStaring�UUat�this�for�a�momen���t�one�sees�that�����p����[ٟ����k�+B�+1��gl�h������F5�=���u�(������D`�k�����������Y����t��i�=1������f����i��TL�)���~��fe4���g��v����4����`����k���+1����v�(�����r����k���+1��� Y�)���,��&iFin�UU����n��q~�=��q�M������n���Ӳand�hence�in�����n���=p���^��n�������n���.�q�Here�is�what�y���ou�see�when�y�ou�stare:��G,����s�ݵu�(������D`�k�����������Y����t��i�=1������f����i��TL�)�f����k���됟�~��fe4���g��v����
 M���`����k���+1�����(�����r����k���+1��� Y�)������k�=������2�=���u�(������k�+B��1�������s����Y����t���۴i�=1���R��f����i��TL�)�u����i�����[ٟ�~��fe4���g�v���������`����k���
ț�(�����r����k������)�����	�����k�=�������2�����������=���u������0���9���[ٟ����k���Gi��~��fe4���g��v����
|&���`���1���<,�(�����l���1���)�=��u�������0���N9����0���r���[ٟ����k�+B�+1��gl�h����������T��&iF�Ho��9w��Tto�c�ho�Q�ose�the�primes��uT��&iFStep��T1:�pc��9ho�Q�ose��`����1�����&iF�W��*�e�UUapply�theorem�3.1.�q�As�input�w���e�ha�v�e���������2�*1.����?iHideal�UUclass��c����1����|�����2�*�2.����?iHin���teger�UU�M�������2�*�3.����?iHthe�UUfollo���wing�map�from�the�nite�submo�Gdule��j�����"�W�*��=��(�E���=E�������M��	s�)(��)����F��c��������#��=�(�F��c���������)������M�����?iH�to�UU(�Z�=��q�M��Z�)[�Gal���(�F��V=�Q�)]���]��p�ڵ �"�:���W�*��!���x䍑�������E���
�l�(��)�=���x䍑P������E����T�(��)������M�����T΍�4����2�������t�������%!�����>�����n��q~�=��q�M������n�����x[����e�(��)����������8�������DR����������������!���� �=�e�(��)(�Z�=�M��Z�)[�Gal���(�F��V=�Q�)]�:����?iH�Here�UU���r�is�constructed�in�Corollary�6.4�using�the�structure�theorem�and�satises�����$���G�(��uDz(��))��=���[�h���������?iH�[The��#existence�of�suc���h�a���(@�isn't�to�Go�surprising�b�ecause��=h��������is�closely�related�to��E����1��x�=V����1�����?iH�(essen���tially�UUunits�o�v�er�cyclotomic�units)�and���uDz(��)�is�related�to��V����1��x�.]�����[���Š���@������iF�15.1.��THE�UUMAIN�CONJECTURE�OF�IW���ASA�W�A�UUTHEOR��*�Y����91����ٍ��vn���iFTheorem���3.1�pro�Gduces�a�prime��`����1���ظ2�5e�c����1����suc���h�that��l����1����5e�1�q�(�mo�Gd����M��).�8SA��scomputation�sho���ws�that�����iFthe�UUother�relation�is�satised:�������8�u��~��fe4���g��v����=�2���`���1���E�8�(�����`���1�����)�`����1��|s�(��)��=��e�(��)[�����l���1���]����l���1���������Ȳ=�����Ƴ�e�(��)�'����l��Ȳ(�����1��|s�)��=��u����1��� �[ٲ(�����1���)�`����1���(��)����#�������=�����Ƴ�u����1��|s��G�(��uDz(��))�`����1���(��)��=��u����1��|s��[�h�������`����1���(��)�������iFEqualit���y�UU1:�q�By�denition.�����iFEqualit���y�UU2:�q�By�prop.�2.4�in�whic���h�w�e�\factored"������l���1���
Cݲ(in�terms�of�the�map��'����l���1���.�����iFEqualit���y�UU3:�q�By�theorem�3.1.�����iFEqualit���y�UU4:�q�By�denition�of�� �[ٲ.�����iFEqualit���y�UU5:�q�By�construction�of���G�.�����iFBecause�UU(�J����l���1���=��q�M��J����l���1����)(��)�is�free�o���v�er�����n��q~�=��q�M������n���Ӳthis�giv�es�the�relation.���6���iF�Step��T2:�pinduct�to�c��9ho�Q�ose��`����i��TL�,��2�����i����k��w�+�8�1��uT���iFThe�H<induction�is�con���tin�ued�H<b�y�replacing��W��˲b�y�the�submo�Gdule��W����i�����generated�b�y��e�(��)�����r���i��1���3M�,�J�then�����iFusing��the�inductiv���e�h�yp�Gothesis�to�construct�a�map�� ����i��d�:���W����i���!������n��q~�=��q�M������n���with��the�righ���t�prop�Gerties.�����iFApply�UUtheorem�3.1�and�c���hec�k�UUas�ab�Go���v�e�UUthat�the�desired�relation�is�satised.���6����iF�15.1.6�� iFMore��Is�T���rue�����iF�Com���bining��7the�fact�that��f�������j�h������\T�with�an�analytic�class�n�um�b�Ger�form�ula�and�some�Iw�asa�w�a�theory�����iFsho���ws�UUthat�for�ev�ery�ev�en�c�haracter���,�����l�gc���har����L(�C����1��x�(��))��=��c���har����(�E����1���(��)�=V����1���(��))�����iFwhic���h�UUis�the�Main�Conjecture.���6����iF�15.1.7�� iFApp�`endix��uT�����iF�Theorem��T15.1.1.���F���L��}'et���a;���b���2����and�supp��}'ose��a�j�b��in������n��q~�=p���^��n�������n��	e�for�al���l��n�.���Then��a�j�b��in���.�������iFPr��}'o�of.������(Kevin�{�Buzzard)�View��as��Z����p���R�[[�T�c��]]�so��I����n��xH�=��((1�RZ+��T��)���^��p����r�n�������1).��mT��*�o�{�sho���w�that��a�j�b��w�e�sho�w�����iFthat�UU�b���2��(�a�).�q�Let��J����n��8��=�(�p���^��n��q~�;����(1�8�+��T�c��)���^��p����r�n��������1)�so�since�����n��8��=���=I����n������À�����n��q~�=p������n�������n��8��=���=J����n���:�����iF�F��*�or���eac���h��n�,�
�since��a�j�b��in�����n��q~�=p���^��n�������n���,�w���e���ha�v�e��b����2��(�a;���J����n��q~�).�,[W��*�ouldn't�it�b�Ge�nice�if�w���e�could�sho�w�����iFthat�����豸\����n��q~�(�a;���J����n���)��=�(�a�)�����iFSince����is�a�no�Getherian�lo�cal�ring�so�is��=�(�a�)�(if��a��is�a�unit�w���e�are�done,�Mso�assume�not).�����iFF��*�urthermore�UU�J����n���Ӳis�con���tained�in�the��n�th�p�Go�w�er�of�the�maximal�ideal��m��of�:�������(�p������n��q~�;����(1�8�+��T�c��)������p����r�n��������1)�����(�p;�T�c��)������n������iF�This�UUcan�b�Ge�seen�b���y�induction�b�y�noting�(set��T�*��=��0�and�note�that�the�result�is��p�)�that���������<$��.9�(1�8�+��T�c��)���^��p����r�n��������1��)л�w�feC���	l�(1�8�+��T�c��)���r�p����n��1����m���1�����q��=��1�8�+�(1�+��T�c��)������p����r�n��1����m�+���������g�+�(1�+��T��)������(�p��1)(�p����r�n��1��
�;�)��/�o�2���(�p;���T��)��F���iFSince��7�m��is�the�maximal�ideal�of��=�(�a�)�the�Krull�in���tersection�theorem�sa�ys�that��\�(�m�৲+�(�a�))���^��n��8��=�����iF(�a�).�q�Th���us�UU�\�(�J����n���^�+�8�(�a�))��=�(�a�),�as�required.�����]��ff����d�ff�Y��ff����ff������m�*********���End�Unverie��}'d�*********�����\��Š���@����ٍ������&iF�Chapter�i�16��3"��&iF�Group��Theory��6n�������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��&����&iF�16.1��R��Basics���u����&iF�Prop�Q�osition��T16.1.1.����+G�L��}'et����G��b�e�a�gr�oup�and�let��H�v��and��K�]��b�e�sub�gr�oups�of��G�.�J{Then��(�K�~4�:���H���\�4��K���)�=����&iF(�K��H���:���H����)�,���and�in�p��}'articular��(�K�~4�:��H�޸\�8�K���)�j�(�G��:��H����)�:��He����&iF�Pr��}'o�of.���E���The��natural�map�of�(left)�coset�spaces��K�(�=�(�H�lf�\��h�K���)���!��G=H����is��injectiv���e.�1�The�image�is����&iFthe�j<collection�of�cosets��K��H�A�=H����.��|Th���us�the�cardinalit�y�of�the�coset�space��K�(�=�(�H�͸\�FϵK���)�equals�the����&iFindex�UU(�K��H���:���H����).�q�Since�(�G��:��H����)�=�(�G��:��K��H��)(�K�H���:���H��)�UUthe�nal�assertion�follo���ws.���5����ff����d�ff�Y��ff����ff����x�����*********���End�Unverie��}'d�*********��`�����&iF�Denition��T16.1.2.������A�UUgroup�is��simple��if�it�has�no�prop�Ger�normal�subgroups.������&iF�Prop�Q�osition��T16.1.3.����+G�A���ny���index��2��sub��}'gr�oup���H�c��of�a�gr��}'oup��G��is�normal.������&iFPr��}'o�of.���E���1.���If�
G�x����2��G�,�;C�x��62��H����,�then�
G�G��=��H���[����xH�ɧ�=��H��[����H���x�
G�(disjoin���t�union)�so��xH�ɧ�=����H�x�,�;Cas����&iFrequired.���p��ff����d�ff�Y��ff����ff����x�������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��`�����&iF�Denition��T16.1.4.������Let�L�N�g�and��H��J�b�Ge�groups�and�let��'�峲:��H����!���Aut���}(�N��)�Lb�e�a�homomorphism.����&iFThen�Rmthe��semidirect���pro�Q�duct��N��o�H�"k�(with�resp�Gect�to��'�)�is�the�set��N�J+��3�H��equipp�Ged�with�the����&iFbinary�UUop�Geration��He����(�n����1��|s�;���h����1���)�8���(�n����2��|s�;�h����2���)��=�(�n����1��|s�'�(�h����1���)(�n����2���)�;�h����1���h����2���)�:����&iF�There�UUis�an�exact�sequence�������0���!��N��3�!��N��o�H����6)���m�H������������������i���������������i!����K�H���!��0�:��`�����&iF�Example���16.1.5.���q�_�The�<+dihedral�group��D����2�n��
��of�order�2�n��is�the�semidirect�pro�Gduct��Z�=n�ZoZ�=�2�Z����&iF�with�{6resp�Gect�to�the�non���trivial�map��Z�=�2�Z�9�!���Aut���(�Z�=n�Z�)�=�(�Z�=n�Z�)���^����
;7�whic�h�{6sends�the�generator����&iF1�UUof��Z�=�2�Z��to�the�automorphism���1.��x�����*********���End�Unverie��}'d�*********��`������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���K����i#�92����])��Š���@������iF�16.2.��GR���OUP�UUA�CTIONS�!5�93����ٍ��vn����iF�16.1.1�� iFCharacteristic��Subgroups��uT���iF�A�T�subgroup��H�$��of�a�group��G��is�a��c��9haracteristic��bsubgroup��if�for�ev���ery�automorphism��'��of��G�,�����iF�'�(�H����)��=��H��.�q�An���y�UUc�haracteristic�subgroup�of��G��is�normal.���������iF�Prop�Q�osition��T16.1.6.���T+G�If���K����is�a�char��}'acteristic�sub�gr�oup�of��H�ב�and��H��is�a�char��}'acteristic�sub�gr�oup�����iFof���G��then��K�K�is�a�char��}'acteristic�sub�gr�oup�of��G�.�������iFPr��}'o�of.������An�UUautomorphism�of��G��restricts�to�an�automorphism�of��H����.���tr��ff����d�ff�Y��ff����ff�����o���iFIf�t�K�+0�is�normal�in��H�D�and��H��is�normal�in��G��then��K�+0�need�not�b�Ge�normal�in��G�.��F��*�or�example,�{�let�����iF�G���=��A����4��|s�,�UU�H���=��V����4���Ȳb�Ge�the�Klein�four�group,�and��K�q�b�e�an���y�t�w�o�elemen�t�subgroup�of��H����.���)��m�*********���End�Unverie��}'d�*********��!Ǎ���iF�16.2����Group�L�Actions�����i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�������iF�Theorem��T16.2.1�(Orbit-Stabilizer�Theorem).����>R�L��}'et�cZ�G��b�e�a�nite�gr�oup,��7�X�,<�a�nite��G�-set,�����iFand���supp��}'ose��x���2��X����.���If���H�c��is�the�sub�gr�oup�xing��x��then��[�G�]��=�[�Gx�][�H����]�:����m�*********���End�Unverie��}'d�*********������iF�16.3����The�L�Sylo���w�Theorems�����o&m�*********���Be��}'gin�V��;�erie�d�*********�����iF�Let�5��p��b�Ge�a�prime�n���um�b�er.�g=Let�5��G��b�e�a�nite�group�with�[�G�]��=��p���^��n��q~�m�5��and�(�p;���m�)��=�1.�g=A�5�subgroup�����iF�H�%S�of�UU�G��is�a��Sylo��9w��T�p�-subgroup��if�[�H����]��=��p���^��n��q~�.���������iF�Theorem��T16.3.1�(Sylo��9w's�Theorems).������L��}'et��(�G��b�e�a�nite�gr�oup�and��p��a�prime�dividing��[�G�]�.�����iFThen����������*�(i)����	iHTher��}'e���exists�a�Sylow��p�-sub�gr�oup�of��G�.���ލ������(ii)����	iHIf���H�c��is�a��p�-sub��}'gr�oup���of��G�,�then��H��is�c��}'ontaine�d���in�some�Sylow��p�-sub��}'gr�oup.���������(iii)����	iHA���l���l���Sylow��p�-sub��}'gr�oups���ar�e�c�onjugate.��������!(iv)����	iHThe���numb��}'er�of�Sylow��p�-sub�gr�oups�of��G��is�c�ongruent�to�1�mo�dulo��p�.���)��r��*********���End�V��;�erie��}'d�*********����i��*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�����iF�This�UUpro�Gof�[�1��]�is�b���y�a�rep�eated�clev���er�application�of�the�orbit-stabilizer�theorem.���o�����iF�Pr��}'o�of.������Supp�Gose��}[�G�]��=��p���^��n��q~�m��with�(�p;���m�)�=�1.�A?Left�m���ultiplication�mak�es�the�collection��P�l��of�����iFsubsets�f�of��G��of�order��p���^��n��	�)�a��G�-set.���Supp�Gose�there�is�an�orbit��O������P�9(�suc���h�that��p��-��[�O�G�].���By�����iFm���ultiplying���an�elemen�t�of��O���b�y�an�appropriate�elemen�ts�of��G��w�e�obtain��X���2��&O���suc�h�that�����iF1�RҸ2��X���.�mJIf��+�P���is�the�stabilizer�of��X��,��!then��P�c�X���=�RҵX��,��!and�so��P��a��RҵX�r
�hence�[�P�c��]����[�X���]�=��p���^��n��q~�.�mJThe�����iForbit-stabilizer�Stheorem�insures�us�that�[�G�]��=�[�H����][�O�G�]�Sso�b�ecause��p���-��[�O��]�Sit�m���ust�b�e�the�case�that�����iF�p���^��n��q~�j�[�P�c��].�Y�Th���us�
��P�*��=���X���,���P�q-�is�a�Sylo�w��p�-subgroup�of��G�,��and��O�T��is�the�coset�space��G=P�c��.�Y�Con�v�ersely��*�,�����iFsupp�Gose�ݔthat��P�A#�is�a�Sylo���w��p�-subgroup�of��G�.�
�Then�the�orbit�of��P��in��P���is�the�left�coset�space�����iF�G=P����whic���h�3/has�cardinalit�y��m��whic�h�is�prime�to��p�.�TTh�us�there�is�a�bijection�b�Get�w�een�Sylo�w�����iF�p�-subgroups�UUof��G��and�orbits�in��P�'Ҳof�cardinalit���y�prime�to��p�.�����iFLet���P���}��^��0���d�b�Ge�the�subset�of�elemen���ts�of��P��+�whic�h�lie�in�an�orbit�whose�cardinalit�y�is�not�divisible�����iFb���y�8b�p�.�h!Ev�ery�orbit�of��P��w���P���}��^��0����has�order�divisible�b�y��p��so��p�j�[�P��w���P���}��^��0�����]��=�[�P��}�]����[�P����^��0�����].�h!Th���us�8b[�P��]�����[�P���}��^��0���]�����^3J��Š���@�����&iF�94��8�CHAPTER�UU16.��GR���OUP�THEOR��*�Y����ٍ��vn��*��(�mo�Gd����p�).�9^As��noted�ab�Go���v�e��if��S�Z��2��P���}��^��0��Lвthen�the�orbit�of��S�?��is�the�set�of�cosets�of�a�Sylo���w��p�-subgroup����&iFof�UU�G��and�hence�has�cardinalit���y��m�.�q�Th�us�������۱�r�Gm���=�[�P���}�����0�����]����[�P��}�]�=�������^������d���
#��p���^��n��q~�m�������hp���^��n������d����^�����.�%�(�mo�d����p�)�:��,��&iF�Since�
Y�p��ɿ-��m�,�7�this�implies�that�the�v��q�alue�of��r�G�,�mo�dulo�
Y�p�,�dep�ends�
Yonly�on�the�order�of��G��and����&iFnot�W[on��G��itself;�X^that�is,�W�an���y�t�w�o�groups�of�the�same�order�ha�v�e�the�same�n�um�b�Ger,�W�mo�dulo�W[�p�,�of����&iFSylo���w�s*�p�-subgroups.��FThe�cyclic�group�of�order��p���^��n��q~�m��has�exactly�one�Sylo�w��p�-subgroup�so��r�?���в1����*�(�mo�Gd����p�)�UUwhic���h�pro�v�es�(iv).�q�In�particular,��r�5>���0�whic�h�pro�v�es�(i).��!l��5iFLet���P���b�Ge�an���y�Sylo�w��p�-subgroup�of��G��and�let��Q��b�Ge�an�arbitrary��p�-subgroup�of��G�.�s!Then��Q����&iF�acts�.6on�the�set��Y���of�conjugates�of��P��Ųin��G�.�d�The�cardinalit���y�of�eac�h��Q�-orbit�of��Y���is�a�p�Go�w�er�of��p�.����&iFW��*�e�UUha���v�e��dD��x3 [�Y��}�]��=�[�G��:��N����G���ڲ(�P�c��)]�j�[�G��:��N����G���(�P�c��)][�N����G���(�P��)��:��P�c��]�=�[�G��:��P��]�=��m��dD��&iF�where���N����G���ڲ(�P�c��)�is�the�subgroup�of��G��lea���ving��P�lG�stable�under�conjugation.���Th�us��p���-��[�Y��}�]��and�so����&iFthere�UUm���ust�b�Ge�at�least�one�orbit�of��Y�'Ҳwhic�h�con�tains�exactly�one�elemen�t.����5iFLet�A<�P����1�����b�Ge�an�elemen���t�b�elonging�to�a�one�elemen���t��Q�-orbit�of��Y��}�.�5|Then�for�all��x�PB�2��Q�,�|6w�e����&iFha���v�e���xP����1���r�=�_��P����1��|s�x���^���1��
�t�;���consequen�tly��QP����1���r�=�_��P����1��|s�Q��and�so�the�set��QP����1���=�_��f�xy��ز:��x��2��Q;���y��2��P����1��|s�g���is�a����&iFsubgroup�lof��G�.��Clearly�[�P����1��|s�]��	���[�QP����1���];�w{but�l[�QP����1���]�=�[�Q�][�P����1���]�=�[�Q�H
�\��P����1���]�lso��QP����1��茲m���ust�b�Ge�a��p�-group.����&iFTh���us���[�QP����1��|s�]�ܩ=�[�P����1���]���hence��Q�ܩ���P����1���.�egSince���P����1��xS�is�a�Sylo���w��p�-subgroup�this�pro�v�es�(ii).�egIf��Q��is�a����&iFSylo���w�UU�p�-subgroup�then��Q���=��P����1���Ȳso�UU�Q��is�conjugate�to��P�c��.�q�This�pro�v�es�(iii).���Y
y��ff����d�ff�Y��ff����ff���������*********���End�Unverie��}'d�*********���������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********������&iFExample���16.3.2.���q�_�Let���G���=��S����3����b�Ge�the�symmetric�group�of�order�6�=�2������3.�X9The�Sylo���w�2-subgroups����&iFof�UU�G��are��dD����˸h�(1�;����2)�i�;����h�(1�;��3)�i�;��h�(2�;��3)�i�:��dD��&iF�Eviden���tly��they�are�all�conjugate,��{there�are�3�of�them,�and�3�����1�q�(�mo�Gd���2).�,�The��Sylo���w�3-subgroup����&iFis�UU�h�(1�;����2�;��3)�i�.����5iFLet����G�F�=��S����4����b�Ge�the�symmetric�group�of�order�24�=�2���^��3�����k��3.�VQThe�Sylo���w�2-subgroups�of��G��are����&iFeac���h�UUdihedral�of�order�8�and�are��B؍�G>u�h�(3�;����4)�;��(1�;��2)�;��(1�;��3)(2�;��4)�i�;����h�(2�;��3)�;��(1�;��4)�;��(1�;��2)(3�;��4)�i�;��h�(2�;��4)�;��(1�;��3)�;��(1�;��4)(2�;��3)�i�:����&iF�Again,���the�T�n���um�b�Ger�of�Sylo�w�2-subgroups�is�equiv��q�alen�t�to�1�mo�Gdulo�2.�8(Note�that�3���6��1�q�(�mo�Gd���8).)����&iFThe�UUfour�Sylo���w�3-subgroups�are�����wZ�h�(1�;����2�;��3)�i�;����h�(1�;��3�;��4)�i�;��h�(1�;��2�;��4)�i�;��h�(2�;��3�;��4)�i�:��dD����*********���End�Unverie��}'d�*********�������&iF�16.3.1��ViF�p�-groups����������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��������&iF�Denition��T16.3.3.������A�UUgroup��G��is�a��p�-group��if�ev���ery�elemen�t�of��G��has�order�a�p�Go�w�er�of��p�.��dD����&iF�Prop�Q�osition��T16.3.4.����+G�A���nontrivial�nite��p�-gr��}'oup��G��has�nontrivial�c�enter.������&iFPr��}'o�of.���E���Consider�k�the�orbits�of��G��acting�on�itself�b���y�conjugation.��'If��G��has�cen�ter��f�1�g��then�since����&iFeac���h��non�trivial�orbit�has�cardinalit�y�divisible�b�y��p��w�e�ha�v�e�1�����[�G�]�q�(�mo�Gd����p�).�_BThis�is�imp�Gossible����&iFb�Gecause�UU[�G�]�is�a�nonzero�p�o���w�er�UUof��p�.�����[��ff����d�ff�Y��ff����ff���������*********���End�Unverie��}'d�*********�����_C���Š���@������iF�16.4.��COMPOSITION�UUSERIES���95����ٍ��vn����iF�16.4����Comp�qosition�L�Series��`���i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�������iF�Denition��T16.4.1.���K��A�UU�comp�Q�osition��Tseries��for�a�group��G��is�a�series�of�subgroups������~�õG���=��G����0��C����G����1�����������8���G����n��8��=�1�����iFsuc���h�bNthat��G����i�+1��֝�is�normal�in��G����i�����and�the�quotien�ts��G����i��TL�=G����i�+1��֝�are�simple.���The�quotien�ts��G����i��TL�=G����i�+1������iF�are�UUthe��comp�Q�osition��Tfactors�.���������iF�Prop�Q�osition��T16.4.2.���T+G�Every���nite�gr��}'oup��G��has�a�c�omp�osition�series.�������iFPr��}'o�of.������Since����G��is�nite�it�con���tains�a�maximal�normal�subgroup��G����1��|s�.�~But��G=G����1��+1�is�simple�and,�����iFb���y�UUinduction,��G����1���Ȳhas�a�comp�Gosition�series;�th�us��G��has�a�comp�Gosition�series.���LƱ��ff����d�ff�Y��ff����ff����
�����iF�Theorem��T16.4.3�(Jordan-H��@older).�������A���ny���two�c��}'omp�osition���series�for��G��have,��]up�to�p��}'ermuta-�����iFtion,���the�same�c��}'omp�osition���factors.�����iF�F��*�or�UUa�nice�pro�Gof�see�[�1��].��[email protected]��m�*********���End�Unverie��}'d�*********��"k􍍑�iF�16.5����Solv���able�L�Groups��`���i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********�����iF�Let��M�G��b�Ge�a�nite�group.�%�If��S�$ڲand��T��ܲare�subsets�of��G��let�[�S�T;���T�c��]�denote�the�subgroup�generated�����iFb���y�UUthe�set��f�[�s;���t�]��=��sts���^���1��
�t�t���^���1��
���:��s��2��S�T;�
t��2��T�c��g�:�UU�The��i�-th��deriv��9ed��Tsubgroup��of��G��is������r�C�G������(�i�)��[f�=��[�G������(�i��1)���µ;���G������(�i��1)���]�;���G������(0)��
���=��G:�����iF�The�UUderiv���ed�subgroups��G���^��(�i�)��飲are�c�haracteristic�subgroups�of��G�.���������iF�Denition��T16.5.1.���K��A���nite��group��G��is��solv��\rable��if�there�exists�a�nonnegativ���e�in�teger��n��suc�h�����iFthat�UU�G���^��(�n�)��x��=��0.�����iFThe�"+group��A����5�����is�simple�and�non-ab�Gelian�so��A����:��(�i�)���l�5���
�ɲ=�{�A����5���for�all��i�.��JIf��k�r²is�a�eld�con���taining�����iFa�.znon-trivial��n�-th�ro�Got�of�unit���y��*�,�d�then��SL��������n��n3�(�k�P��)�equals�its�deriv�ed�subgroup�but�has�non-trivial�����iFcen���ter��$(except�when��n�Ʋ=�2��$and�[�k�P��]��=�3.)�4Th�us��$a�group�equal�to�its�deriv�ed�subgroup�need�not�����iFb�Ge�UUsimple.�q�If��G��is�b�oth�simple�and�solv��q�able�then��G��is�cyclic�of�prime�order.�������iF�Prop�Q�osition��T16.5.2.���T+G�If�W��G��is�an�extension�of�a�solvable�gr��}'oup�by�a�solvable�gr�oup�then��G��is�����iFsolvable.�������iFPr��}'o�of.������G�UU�ts�in���to�an�exact�sequence�������3�0���!��H���!��G��!��K�~4�!��0�����iFwith�n�b�Goth��H�>��and��K�%ڲsolv��q�able.��Th���us�the�quotien�t�of��G��b�y�a�solv��q�able�subgroup�is�solv�able�hence�����iFthe�UUseries��G���^��(�i�)��飲m���ust�descend�to�zero�after��n�8�+��m�UU�steps�where��K�����^��(�n�)��/��=���H������^��(�m�)��o��=�0.���<+%��ff����d�ff�Y��ff����ff����
�����iF�Example���16.5.3.���;�_�The�fkdihedral�group��D����2�n��
�\�of�order�2�n��is�solv��q�able.��The�cyclic�subgroup��R�z2�of�����iFrotations�UUin��D����2�n���F�is�of�index�2�hence�normal�so�there�is�an�exact�sequence����y8�0���!��Z�=n�Z��!��D����2�n��5	�!��Z�=�2�Z��!��0�:�����iF�Since�UU�Z�=n�Z��and��Z�=�2�Z��are�b�Goth�solv��q�able�it�follo���ws�that��D��r�is�solv�able.�����`U`��Š���@�����&iF�96��8�CHAPTER�UU16.��GR���OUP�THEOR��*�Y����ٍ��vn��5iF�A�UU�subnormal��Tseries��for��G��is�a�series���o����õG���=��G����0��C����G����1�����������8���G����n��8��=�1����&iFin�UUwhic���h��G����i�+1��ɤ�is�normal�in��G����i�����for�eac�h��i�.��n�����&iF�Prop�Q�osition��T16.5.4.����+G�G����is�solvable�i�it�admits�a�subnormal�series�in�which�the�suc��}'c�essive����&iFquotients���G����i��TL�=G����i�+1��6�ar��}'e�ab�elian.������&iF�Prop�Q�osition��T16.5.5.����+G�A��ggr��}'oup��ihaving�a�c�omp�osition�series�is�solvable�i�al���l�of�its�c�omp�osition����&iFfactors���ar��}'e�prime�cyclic.������&iFPr��}'o�of.���E���If�{�the�comp�Gosition�factors�are�prime�cyclic�they�are�ab�elian�so�the�previous�prop�osition����&iFapplies.�m�If��Mthe�group��G��is�solv��q�able�then�the�comp�Gosition�factors,��Kb�eing�quotien���ts�of�subgroups����&iFof�UU�G�,�m���ust�themselv�es�b�Ge�solv��q�able.�q�They�are�th�us�simple�and�solv��q�able�hence�prime�cyclic.������ff����d�ff�Y��ff����ff�������&iFBecause��nite�groups�ha���v�e��comp�Gosition�series�and�a�simple��p�-group�is�prime�cyclic�(since�the����&iFcen���ter�UUis�non�trivial)�w�e�obtain�the�follo�wing�corollary��*�.������&iF�Corollary��T16.5.6.���'b�Finite���p�-gr��}'oups�ar�e�solvable.��9����&iF�16.5.1��ViFTheorems��uT����&iF�Theorem��T16.5.7.���|���Supp��}'ose�Ï�G��is�a�nite�solvable�gr�oup�of�or�der��mn��with��(�m;���n�)�m=�1�.�(�Then�Ï�G����&iF�has�t$a�sub��}'gr�oup�t$of�or��}'der��m�.��F��;�urthermor�e,�z~any�two�sub�gr�oups�of�or�der��m��ar�e�c�onjugate,�z~and�any����&iFsub��}'gr�oup���whose�or��}'der�divides��m��is�c�ontaine�d�in�a�sub�gr�oup�of�or�der��m�.������&iF�Theorem��T16.5.8�(Burnside).�������If���p��and��q�pc�ar��}'e�primes,�.then�any�gr�oup�of�or�der��p���^��a���p�q��[ٟ�^��b��t��is�solvable.������&iF�Theorem��T16.5.9�(F��
�eit-Thompson).����p��A���l���l���gr��}'oups�of�o�dd�or�der�ar�e�solvable.������&iF�Theorem��T16.5.10.�������L��}'et��o�G��b�e�a�nite�gr�oup.�.If��G��has�a�sub�gr�oup�of�or�der��m��whenever��m��and����&iF�n����ar��}'e�c�oprime�numb�ers�such�that��[�G�]��=��mn�,���then��G��is�solvable.���o���*********���End�Unverie��}'d�*********�� M+���&iF�16.6��R��Nilp�qoten���t�L�Groups�������&iF�Denition��T16.6.1.������A�UUgroup��G��is��nilp�Q�oten��9t��if�there�is�a�normal�series������õG���=��G����0��C����G����1�����������8���G����n��8��=�1����&iFin�i<whic���h�eac�h�quotien�t��G����i��TL�=G����i�+1��݋�is�con�tained�in�the�cen�ter�of��G=G����i�+1��
tO�.��}Suc�h�a�series�is�called�a����&iF�cen��9tral��Tseries�.��n�����&iF�Prop�Q�osition��T16.6.2.����+G�Nilp��}'otent���gr�oups�ar�e�solvable.������&iF�Prop�Q�osition��T16.6.3.����+G�A���ny���nite��p�-gr��}'oup��G��is�nilp�otent.������&iFPr��}'o�of.���E���W��*�e��jinduct�on�[�G�],��/the�case�when�[�G�]�"�=��p��j�b�Geing�trivial.�The�cen���ter��Z�C��of��G��is�non�trivial����&iFso,�UUb���y�induction,��G=��q�Z�q�has�a�cen�tral�series���o���g�G=��q�Z�~4�=���G����0��|s�=�Z�����G����1��|s�=�Z�����������8����G����r��m��=�Z�(�:����&iF�The�UUseries�����յG���=��G����0��C����G����1�����������8���G����r��4����G����r�7�+1��T��=��Z�~4���1��S��&iFis�UUa�cen���tral�series�of��G�.���2g)��ff����d�ff�Y��ff����ff���������&iF�Theorem��T16.6.4.���|���The���fol���lowing�ar��}'e�e�quivalent�for�a�nite�gr�oup��G�.��n������5iG�����?iH�G����is�nilp��}'otent.��7`�����5iG�����?iH�Every���Sylow�sub��}'gr�oup���of��G��is�normal�in��G�.�������5iG�����?iH�G����is�the�dir��}'e�ct���pr�o�duct�of�its�Sylow�sub�gr�oups.�������5iG�����?iH�Every���maximal�sub��}'gr�oup���of��G��is�normal�in��G�.�����ac���Š���@����ٍ���#r���iF�Chapter�i�17��2#���iF�Group��Cohomology��5y}��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��!ˋ����iF�17.1����The�L�Denition�of�Group�Cohomology��(F���iF�Fix�sa�nonnegativ���e�in�teger��q�[ٲ.��Let��G�
�b�Ge�a�nite�group�and��M��7�a��G��Ѳ-mo�dule.��Th���us��M��7�is�a�mo�dule�����iFo���v�er��the�in���tegral�group�ring��Z�[�G��Ѳ].�Giv�e��Z��the�trivial��G��Ѳ-action�and�dene�the��cohomology�����iFgroup���v����V��H����֋�����q���A �(�G��ѵ;���M��)����T΍�7��df���2����=�����
UNExt����1ɍ�N5�q��6��N5�Z�[�G�eA�]���,7�(�Z�;�M��)�:���d���iF�Since���Ext����1ɍ���q��6����Z�[�G�eA�]���#�޲(�Z�;�����)��is�the��q�[ٲ-th�deriv���ed�functor�of��Hom���tw��:�Z�[�G�eA�]��(]P�(�Z�;���)�and��Hom���tw��:�Z�[�G�eA�]��(]P�(�Z�;�M��)��=��M����^��G���
�΍��iF�(p�Goin���ts���xed�b�y��G��Ѳ)�it�follo�ws�that��H���������q��7�(�G��ѵ;�����)�is�the��q�[ٲ-th�righ�t�deriv�ed�functor�of�the�xed�p�Goin�t�����iFfunctor.��#���iFBy���explicitly�c���ho�Gosing�a�free�resolution�of��Z��in�the�category�of��Z�[�G��Ѳ]-mo�dules�one�obtains�a�����iFconstruction���of��H���X�����q��•�(�G��ѵ;���M��)�as�a�quotien���t�of�co�Gcycles�mo�dulo�cob�oundaries.���Let��P����i���)�=��ݿZ�[�G���џ�^���i�+1��L!�],�����iFthen�UUthe�standard�free�resolution�of��Z��is��F���{o���������.!���P����2��C��!��P����1���!��P����0���!��Z��!��0�:��i���iF�Let�I�G���џ�^��0����b�Ge�an���y�nite�group.�L�Then�an�y�homomorphism��'�]A�:��G���џ�^��0���K�!�G��ٲinduces,���for�Ieac�h��i�,���a�����iFmap�x�P���^���c��0��;Z��i���?ø!�
��P����i��TL�:��These�maps�form�a�morphism�of�complexes��P���^���c��0�������߸!��P��������.��/F��*�or�an���y��G��Ѳ-mo�Gdule��M��,�����iFapplying�u�the�con���tra�v��q�arian�t�u�functor��Hom��KH(��;���M��)�to�eac���h�complex�and�taking�cohomology�yields�����iFthe�UU�c��9hange��Tof�groups��map��H���
�V�����q��?�(�G��ѵ;���M��)���!���H���
G�����q�����(�G����^��0��f
�;���M��).������iF�17.2����Morphisms�L�of�P���airs��(F���iF�Lo���		cmr9�L[A��9ttrib.:�pEv�erything�Tin�this�section�w��9as�sho�wn�to�me�b�y�Hendrik.]��������iF�17.2.1�� iFThe��category�P�of�pairs������iF�The�Wob��8jects�of��P��are�pairs�(�G��ѵ;���M��)�where��G���is�a�nite�group�and��M�n2�is�a�discrete��G��-mo�Gdule.�����iFA�ܸ�morphism���of�pairs���(�G��ѵ;���M��)�T�!��(�G����^��0��f
�;���M����^��0���T�)��is�a�pair�(�';�f���)�where��'�T�:��G���џ�^��0����!�G�t�is��a�group�����iFhomomorphism��Mand��f�WA�:�C��M�Z͸!��M����^��0�����is��Ma�homomorphism�of�mo�Gdules�suc���h�that�the�follo�wing�����iFcondition�v�is�satised.��F��*�or�an���y���Z��2���G���џ�^��0���Ȳand��m��2��M��,�w���e�require�that��f���(�'�(��[ٲ)�:m�)�=���͠:f��(�m�).��Th���us�����iF�f����is��a�morphism�of��G���џ�^��0��f
�-mo�Gdules�if��M��8�is�giv���en�the�structure�of��G���џ�^��0���-mo�Gdule�via�the�map��'���:��G���џ�^��0��-"�!�G��Ѳ.�����iFThe�UUdenition�is�illustrated�in�the�diagram�b�Gelo���w.��$e������򍍑c:��G�������ꍑzrմ'��$��u�g� �������<�����������b�G���џ�^��0�������e��j������j����ۨ�f���(�'�(��[ٲ)�:m�)��=���͠:f��(�m�)����#���a��M�������ꍑz���f��$������wRr������xն!�������BµM����^��0�������K����i#�97����brҠ�Š���@�����&iF�98�Կ��CHAPTER�UU17.��GR���OUP�COHOMOLOGY����ٍ��vn��5iF�If���(�';���f���)��a:�(�G��ѵ;�M��)��!��(�G���џ�^��0��f
�;�M����^��0���T�)���is�a�morphism�of�pairs,�
then��'��a�:��G���џ�^��0��k�!�G�y��induces���the�c���hange����&iFof�ggroups�map��H���������q��Q��(�G��ѵ;���M��)��d�!���H���e�����q��y��(�G����^��0��f
�;���M��).��!Viewing�g�M�~9�as�a��G����^��0��f
�-mo�Gdule,����f�z��induces�a�morphism�����&iFH���-�G�����q��2Sܲ(�G���џ�^��0��f
�;���M��)���!���H���q
�����q��ۢ�(�G���џ�^��0���;���M����^��0���T�).��Comp�Gosing�these�t���w�o�maps�yields�a�map��H���������q���(�G��ѵ;�M��)���!���H���q
�����q��ۢ�(�G���џ�^��0��f
�;�M����^��0���T�).����&iFTh���us�UUcohomology�is�a�functor��}����P���!���Ab��%�j�(�G��ѵ;���M��)��7!��H���������q��:��(�G��;���M��)�:����5iF�[Questions:�M�Ho���w��dcan�I��Gstate�Shapiro's�Lemma�so�that�I�can�understand�it?���Is��homolo��}'gy��a����&iFcon���tra�v��q�arian�t�UUfunctor��P���!���Ab���h�?�q�Are�UUthere�an���y�undue�subtleties�when��G��&�is�pronite?]���͍��&iF�17.2.2��ViFInf,��Res,�Inner�Automorphisms,�Shapiro's�Lemma��uT��&iF�Let�UU(�G��ѵ;���M��)���2��P��and�let��H�%S�b�Ge�a�subgroup�of��G��Ѳ.�q�The�morphism�of�pairs��#�����Uč����I�G������ ��UX�-�����H���������j���
,j���!?�����J�M������T΍���id���2��������������*S!������*T�M�����"�F��&iF�induces�UUthe��restriction��Tmap���8����54�H���µ5�����q���ʲ(�G��ѵ;���M��)���������1+�res�����r��
m�G��CA��
m�H����X��������������[���������������>���������������Z!�������H���$(
�����q��(���(�H�A�;�M��)�:��}�5iF�Next�UUsupp�Gose��H�%S�is�a�normal�subgroup�of��G��Ѳ.�q�Then�the�morphism�of�pairs��!�h��������ԪT�G��ѵ=H������T΍���m����2���T�� ������A,����������
}IG������ݜj���_j���&�����|�M����^��H�������,��UX�!���]J�M�������&iF�induces�UUthe��in
ation��Tmap��yj�����޲H����kߟ����q����t�(�G��ѵ=H�A�;���M�������H���̲)����T΍�1+�inf���2�������������	[email protected]!�����Y�H����Z�����q��"�(�G��;�M��)�:���퍑5iF�No���w��supp�Gose���En�2��G��Ѳ,�/3then�conjugation�b�y���_z�induces�an�inner�automorphism��'������	L+�:�镸G��f!�G��Ѳ.����&iFThe�UUmorphism�of�pairs��������w�����:4�G�������ꍒ�g9�'������$����˸ ��䯍�����������������r�����������
hG��������j���
�0j���������5�M������T΍��N���@L���r��1����2��������߸�����񅘍�������������g�!������	�i�M����� �捑&iF�induces�Zthe��identity��map�on��H���
�[�����q����(�G��ѵ;���M��).�V�[See�page�99-100�of�Cassels-F��*�rohlic���h�for�the�pro�Gof�whic�h����&iFinductiv���ely�UUemplo�ys�dimension�shifting.]���͍��&iF�17.2.3��ViFBimo�`dules��uT��&iF�Let�0ҵR�D��and��S��_�b�Ge�not�necessarily�comm���utativ�e�0�rings.�>Let��A��b�e�an�additiv���e�ab�elian�group.�>A����&iF�left��ߵR���-mo�Q�dule�Hi�structure�on��A��is�a�bilinear�map��R����A�\8�!��A�Hi�suc���h�that��r��G��^��0��V�(�r�Ga�)�\8=�(�r����^��0��V�r��)�a�Hi�for����&iFall�B7�r���;���r��G��^��0��g;�2�Q�R�U��and��a��2��A�.�8nA�A��righ��9t�念S����-mo�Q�dule��structure�on��A��is�a�bilinear�map��A��˸��S��r�!��A����&iF�suc���h��that�(�as�)�s���^��0��Ym�=��4�a�(�ss���^��0���9�)�for�all��s;���s���^��0���2��4�S�^��and��a��2��A�.���An��R���-�S����-bimo�Q�dule��structure�on��A��is�a����&iFcompatible���structure�of�left��R�Dz-mo�Gdule�and�righ���t��S����-mo�dule,�#�the�compatibilit���y�condition�b�eing����&iFthat�UU(�r�Ga�)�s���=��r��(�as�)�UUfor�all��r�5�2���R�Dz,��a��2��A�,�and��s��2��S����.����5iFLet��E�R�Dz,���S����,��T�AԲb�Ge�rings,��A��an��R�Dz-�S����-bimo�Gdule�and��B�^��an��S��-�T�c��-bimo�Gdule.�JThen�the�tensor�pro�duct����&iF�A���
����S��׻�B���is��an��R�Dz-�T�c��-bimo�Gdule.�+�A��
����S��׻�B���is�the�quotien���t�of��A��
��B���(tensor�pro�Gduct�of�ab�elian����&iFgroups)��@b���y�the�relations�generated�b�y��as��}�
��b����=��a��}�
��sb�.���The��@action�is��r�G�(�a��}�
��b�)���=�(�r�a�)��}�
��b��@�and����&iF(�a�8�
��b�)�t���=��a�8�
��(�bt�).����5iFNo���w�$supp�Gose��A��is�an��R�Dz-�S����-bimo�dule�and��B����is�an��R�Dz-�T�c��-bimo�dule.��Then�����R���^"�Hom��!3{(�A;���B��q�),�W�the����&iFgroup�'
of�left��R�Dz-mo�Gdule�homomorphisms��A���!��B��q�,�0Mis�'
an��S����-�T�c��-bimo�dule.�bYIf��'���2�����R���"�Hom���{(�A;���B��q�)�'
then����&iF�s:'�(�a�)��=��'�(�as�).�q�This�UUis�again�a�left��R�Dz-mo�Gdule�homomorphism�since��}��0ڵr�G�(�s:'�(�a�))��=��r�'�(�as�)�=��'�(�r�as�)�=��s:'�(�r�a�)�:�����c�V��Š���@������iF�17.3.��SYLO���W�UU�P�c��-SUBGR�OUPS�AND�SHARPNESS����99����ٍ��vn���iFF��*�urther,�UU(�':t�)(�a�)��=��'�(�a�)�t�.�q�Then��':t��is�again�a�left��R�Dz-mo�Gdule�homomorphism�since��^��kW��r�G�(�':t�(�a�))��=��r�'�(�a�)�t��=��'�(�r�a�)�t��=��':t�(�r�a�)�:�����iF�If�o��A��is�an��S����-�R�Dz-bimo�Gdule�and��B���is�a��T�c��-�R��-bimo�Gdule�then�the�group��Hom���E���R���i�(�A;���B��q�)�of�righ���t��R��-�����iFmo�Gdule�T�homomorphisms��A���!��B��j�is�T�a��T�c��-�S����-bimo�dule.�q�If��'���2���Hom����q���R��+Ӳ(�A;���B��q�)�T�then�(�t:'�)(�a�)��=��t'�(�a�).�����iFThen�UU�t:'��is�a�righ���t��R�Dz-mo�Gdule�homomorphism�since��^��K�(�t:'�)(�a�)�r�5�=��(�t'�(�a�))�r��=��t�(�'�(�a�)�r�G�)�=��t'�(�ar��)�=�(�t:'�)(�ar��)�:�����iF�Also,�UU(�':s�)(�a�)��=��'�(�sa�)�and��':s��is�a�righ���t��R�Dz-mo�Gdule�homomorphism�since����HQ(�':s�)(�a�)�r�5�=���'�(�sa�)�r��=��'�((�sa�)�r�G�)�=��'�(�s�(�ar��))�=�(�':s�)(�ar��)�:�����iF�In�UUsummary�w���e�ha�v�e���׍���k�ܟ��ff�̏�fd����ͤ���ff��#ٟ��c�R���;��fd�A����S���
����S�����S��
��B����T��	β=������R��	Vz�(�A�8�
����S���B��q�)����T��p���ff�������ͤ���ff���͟��cR���ן�fd�Hom��"�0��fd(����R���b�A����S����;�������R��:
�B����T��L��)��=���S����-�T�c��-bimo�Gdule��Ev���ff�������ͤ���ff���!��fdHom���wz���c�R��"ܟ�fd�(����S����A����R���b�;�������T���^�B����R���)��=���T�c��-�S����-bimo�Gdule��FKꡄff����ff�̏����&������iF�17.2.4�� iFShapiro's��Lemma��uT����iF�17.3����Sylo���w�L��p�-subgroups�and�Sharpness������iF�If��Aa�class��c��I�2���H���aJ�����q���߲(�G��ѵ;���M��)��Asplits�in�a�subgroup��H�h?�of��G�0�then�it�m���ust�also�split�in�eac�h�of�the�����iFconjugates�UUof��H����.���������iF�Prop�Q�osition��T17.3.1.���T+G�L��}'et���H�c��b�e�a�sub�gr�oup�of��G����.���Then�for�every���"�2��G��,���������k���er���$i(�res��������N9�G��U��N9�H�����)��=��k���er��#�(�res��������N9�G���"��N9���@L����1��	��H�����&��)�:�������iF�Pr��}'o�of.������The�UUdiagram���퍍���d����-(�G��ѵ;���M��)������x[�����(�'������W�;��@L���r��1��	��)�����������J�������!���������������>���������������������������������������������������������@!���������(�G��ѵ;���M��)�������HI�#����A�#���{&���vE��(��[�H�������^���1��M�;���M��)������x[�����(�'������W�;��@L���r��1��	��)�����������J�������!���������������>���������������������������������������������������������@!��������U�(�H�A�;���M��)�����"�f���iFcomm���utes��bin�the�category��P�.�B�(The�v�ertical�maps�are�induced�b�y�the�natural�inclusions.)�B�T��*�aking�����iFcohomology�UUyields���$�����F�����+�H�����������q���.�(�G��ѵ;���M��)������T΍����id���2�������_��������S!����������H����e�����q����w�(�G��ѵ;���M��)����#������#����res�������Q�G���"��Q��@LH��������1��������Ǹ#����res�������Q�G��U��Q�H������X����wp�H���~������q���Z��(��[�H�������^���1��M�;���M��)������T΍���O�����$����0E����]�=������2������ė������ǫ6!���������T�H����bU�����q�����(�H�A�;���M��)������d���iFfrom�UUwhic���h�the�prop�Gosition�follo�ws.����`X��ff����d�ff�Y��ff����ff�����k���iFIf�UU�c���2���H���
G�����q�����(�G��ѵ;���M��),�then������T�H����c�����=���f�H����G�^�:��res��������Q�G��U��Q�H�����(�c�)�=�0�g��@���iF�is�UUclosed�under�conjugation,�and�con���tains�the�subset����fB��P����c�����=���f�H���2�H����c���:�#[�H����]��UUis�a�prime�p�Go���w�er��K�͸g�:�������iF�Lemma��T17.3.2.���>ŝ�L��}'et���H�c��b�e�a�sub�gr�oup�of��G����.���Then����5�k�[�G�^�:���H����]�=���gcd�����f�[�G��:��H���������0���7�]�:��H���������0��eO���H��c��and����#[�H���������0���]�����is�a�prime�p��}'ower��Pڸg�:�������iF�Pr��}'o�of.������F��*�or�UUeac���h�prime��p�j�#[�H����]�let��H����p��fj����H�%S�b�Ge�a�Sylo�w��p�-subgroup.�q�Then�����O6[�G�^�:���H����p���R�]�=�[�G��:��H����][�H���:��H����p���R�]�����iFso�hdit�suces�to�note�that��gcd���hf�qƴp�j�#[�H���]��+�P�[�H��ٲ:��۵H����p���R�]�=�1.���[The�hdgcd�divides�#[�H����],�m'if��p�j�#[�H��]�then��p��do�Ges�����iFnot�UUdivide�[�H���:���H����p���R�].]���=����ff����d�ff�Y��ff����ff�������d����Š���@�����&iF�100�Ͽ��CHAPTER�UU17.��GR���OUP�COHOMOLOGY����ٍ��vn����&iF�Prop�Q�osition��T17.3.3.����UQ����/��index����(�c�)��=����7gcd��d����H���2H���c�����W�[�G�^�:��H����]�=���8Ygcd��d����H���2P���c�������[�G��:��H����]�������&iF�Pr��}'o�of.���E���The�S+rst�equalit���y�is�the�denition�of�index.�qThe�second�equalit�y�follo�ws�from�the�ab�Go�v�e����&iFlemma.���w��ff����d�ff�Y��ff����ff����8ٍ�5iF�Fix�,�UUfor�eac���h�prime��p�,�a�Sylo�w��p�-group��G����p��fj���G��Ѳ.��UQ����&iF�Prop�Q�osition��T17.3.4.���������P�index�����(�c�)��=���=�gcd��	�q���H���2P�����������0�������c������̲[�G�^�:��H����]�=��������Y��������p�����A��gcd��#����A����ҴH���G���p����Ƈ���8޴H���2H���c������(K�[�G����p��fj�:��H��]��&r�����&iF�Pr��}'o�of.���E���The��
rst�equalit���y�holds�b�Gecause,���for�eac�h��p�,���the�Sylo�w��p�-subgroups�of��G�3޲are�conjugate.����&iFThe�)�second�equalit���y�is�true�b�Gecause�the�p�o���w�er�)�of��p��whic���h�divides�the�rst��gcd��Sfis�completely����&iFdetermined��xb���y�the�indexes�of�the�elemen�ts��H�7O�2�gQP����c���Y�of�order�a�p�Go�w�er�of��p�,�̀and�the�pro�Gduct�on����&iFthe�UUrigh���t�just�com�bines�this�information�a�prime�at�a�time.����<���ff����d�ff�Y��ff����ff��������&iF�Theorem��T17.3.5.���|���Supp��}'ose�	�the�nite�gr�oup��G����is�a�dir�e�ct�sum�of�its�Sylow��p�-sub�gr�oups.���Then����&iFevery���G����-mo��}'dule�is�sharp.���That�is,�for�every��q�"�>���0��every�class��c��2���H���
G�����q�����(�G��ѵ;���M��)��is�sharp.��UQ����&iFPr��}'o�of.���E���If����G�1Dzis�a��p�-group�then�the�result�is�clear.�3RNo���w�x��c���2���H���
G�����q�����(�G��ѵ;���M��).�By���the�ab�Go���v�e���prop�osition����&iFw���e�UUcan�nd,�for�eac�h�prime��p�,�a�subgroup��H����p��fj���G����p���whic�h�splits��c�,�suc�h�that��ꪍ���i%index����(�c�)��=��������Y��������p����6�[�G����p��fj�:��H����p���R�]�:��!ꯍ�&iF�Since��H�G�^�=�������Q��
㉸G����p���R�,��~the�subgroup��H���=�������Q���H����p��fj���G�o�splits��c��and�has�index�equal�to�the�index�of��c�.���
}*��ff����d�ff�Y��ff����ff����㇍���*********���End�Unverie��}'d�*********��%2!���&iF�17.4��R��The�L�case��G����?!",�ff
cmsy10����Aut�����M��Y�������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********��l��5iF�Let�ji�m��b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger�and�let��M����b�Ge�a�free��Z�=m�Z��mo�dule�of�nite�rank.�#yOur�goal�is�to�see����&iFfor�w�whic���h��G������Aut����M����w�e�w�ha�v�e��H������^��q��:��(�G;���M��)��=�0.��XFirst�w�supp�Gose��G���=��Aut����M��,��|then�w�(�Z�=m�Z�)���^���������G�.����&iFThe��morphism�of�pairs�(�G;���M��)���!��(�G;�M��)��corresp�Gonding�to�the�inner�automorphism�determined����&iFb���y��8�a���2��(�Z�=m�Z�)���^������induces�the�iden���tit�y�map��H������^��q��:��(�G;���M��)���!��H������^��q���(�G;���M��)��8(for�all��q�"����0).�S�On�the�other����&iFhand,���since�x8�a�=�2��Z���(�G�)�it�also�induces�the�m���ultiplication�b�y��a��map.��pTh�us�the�in�teger��a�P"���1�kills����&iF�H������^��q��:��(�G;���M��).�)7F��*�or��zexample,���taking��a�-�=���1��2��(�Z�=m�Z�)���^����+^�w���e��zsee�that�2�annihilates��H������^��q���(�G;���M��),���so�if����&iF�m�UU�is�prime�to�2�then��H������^��q��:��(�G;���M��)��=�0.�����5iFNext�n�w���e�consider�the�case�when��G������Aut��8z�M��.���F��*�rom�n�the�ab�Go�v�e�discussion�w�e�obtain�the����&iFfollo���wing�UUprop�Gosition.������&iF�Prop�Q�osition��T17.4.1.����+G�L��}'et���M���b�e�a�fr�e�e��Z�=m�Z��mo�dule�and�let��G������Aut��c��M��.���If���6�����(�a�8���1��:��a��2��G�8�\��(�Z�=m�Z�)����������)��=�(1)����&iF�as���ide��}'als�in��Z�=m�Z�,�then��H������^��q��:��(�G;���M��)��=�0����for�al���l��q�"����0�.������&iF�Corollary��T17.4.2.���'b�L��}'et���M���b�e�a�nite�r�ank�fr�e�e��Z�=m�Z��mo�dule�and�let��G������Aut��c��M��.��CIf�ther��}'e�ar�e����&iFno���primes��p�j�m��such�that��p�8���1�j�[�Aut���r�M��3�:���G�]����then��H������^��q��:��(�G;���M��)�=�0��for�al���l��q�"���0�.�����e����Š���@������iF�17.5.��GR���OUP�UUEXTENSIONS�|�101����ٍ��vn�����iF�Pr��}'o�of.������Let����H�.�=�^!�G�uJ�\��(�Z�=m�Z�)���^������.���W��*�e�m���ust�sho�w�that�(�a�uJ���1�^!:��a��2��H����)�=�(1).���Supp�Gose�not,�Ɲthen�����iFall���a��H���1�are�con���tained�in�a�common�maximal�ideal,�(�sa�y�(�p�)�with��p�j�m�.�_.Consequen�tly��*�,�(��p�j�a��H���1�for�����iFeac���h�UU�a���2��H�%S�so����z�صH�������k���er��#�((�Z�=m�Z�)��������_��!���(�Z�=p�Z�)����������)�:�����iF�It�UUfollo���ws�that����$r)�p�8���1�j�[(�Z�=m�Z�)��������_��:���H����]�=�[�Aut���r�M�O��\�8�(�Z�=m�Z�)���������:��G�8�\��(�Z�=m�Z�)����������]�j�[�Aut���r�M��3�:���G�]�:���������ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Example���17.4.3.���;�_�The�Tcon���v�erse�of�the�prop�Gosition�is�not�true.���F��*�or�example�tak�e��m���=�2.���The�����iFcon���v�erse���of�the�corollary�is�also�false.�5�If��m���=�6���and��G���=��Aut��c��M��	�then���(�a�����1��:��a��2��(�Z�=m�Z�)���^������)�=�(1)�����iFso�UU�H������^��q��:��(�G;���M��)��=�0�for�all��q�"���0,�but�2�j�m��and�2�8���1��=�1�j�[�Aut���r�M��3�:��G�].���6����iF�17.4.1�� iFApplication��to�galois�represen��tations��uT�����iF�Theorem��T17.4.4.���F���L��}'et����A��b�e�an�ab�elian�variety�over�a�eld��F���and�let��p�����5����b�e�a�prime�numb�er�����iFsuch���that�������@�Gal����B(�F�c��(�A����p���R�)�=F��)����T͍�������+3�����=������
UNAut��G(�A����p���)�:�����iF�Then���for�every�quadr��}'atic�extension��K�K�of��F��v�and�for�every�inte�ger��q�"����0��we�have������X�H����������q���B��(�K���(�A����p���R�)�=K�(�;���A����p���)��=�0�:�������iF�Pr��}'o�of.������If�UU�K����\�8�F�c��(�A����p���R�)��=��F���then�since�b�Goth��F�c��(�A����p���R�)�and��K�q�are�galois,�����wi�Gal���	�(�K���(�A����p���R�)�=K��)����T͍�������+3�����=������
UNGal���P(�F�c��(�A����p���)�=F��)�����iFand�UUthe�action�on��A����p���is�the�same.�q�Th���us�for��q�"����0,�����c�zH���k{�����q��on�(�K���(�A����p���R�)�=K�(�;���A����p���)��=��H���
G�����q�����(�Aut����(�A����p���R�)�;�A����p���)��=�0�����iFsince�UU�p���6�=�2�and��A����p���is�a�free��Z�=p�Z��mo�Gdule.�����iFIf��޵K�-��\�v��F�c��(�A����p���R�)�aQ=��K�h��(i.e.,���K�m���F��(�A����p���R�))���then��Gal��Q�(�K���(�A����p���)�=K��)�aQ=��Gal��S(�F�c��(�A����p���)�=K���)���is�an�index�2�����iFsubgroup�M�of��Gal����(�F�c��(�A����p���R�)�=F��)��=��Aut����(�A����p���).�oJTh���us�M�the�index�of��Gal����(�F�c��(�A����p���)�=K���)�in�(�Z�=p�Z�)���^�����²is�����2�so�����iFsince�*��p�����5�there�m���ust�b�Ge�a�scalar��a��2���Gal��g(�F�c��(�A����p���R�)�=K���)�����Aut����(�A����p���)�*�suc���h�that��a�����1�*�is�a�unit�mo�Gd�����iF�p�.�q�It�UUfollo���ws�b�y�the�prop�Gosition�that��H���
�V�����q��?�(�F�c��(�A����p���R�)�=K�(�;���A����p���)��=�0�UUfor�all��q�"����0.���[��ff����d�ff�Y��ff����ff���������iF�Example���17.4.5.���;�_�Let���E����b�Ge�the�elliptic�curv���e��y��[ٟ�^��2��N��+�vM�y�"�=���x���^��3�������x�.�QYSerre��sho�w�ed�that�for�all�primes��p�,������$Gal����&(�Q�(�E����p���R�)�=�Q�)��=��Aut����(�E����p���)�:�����iF�It���follo���ws�from�the�theorem�that�for�ev�ery�prime��p�����5���and�ev�ery�quadratic�extension��K�(�=�Q��that������vPH�����Q�����q���`�(�K���(�E����p���R�)�=K�(�;���E����p���)��=�0�:�����iF�When�u��p����=�2�and��K������Q�(�E����p���R�),�~&then��Gal���(�Q�(�E����p���)�=�Q�)�has�order�6�so��Gal���(�K���(�E����p���)�=K��)�u�has�order�����iF3�UUso�since��E����p���is�a�2-group��H���
�V�����q��?�(�K���(�E����p���R�)�=K�(�;���E����p���)��=�0�UUfor�all��q�"����0.����m�*********���End�Unverie��}'d�*********��!č���iF�17.5����Group�L�extensions�����f�ߠ�Š���@����ٍ���n��&iF�Chapter�i�18��2��&iF�English��:���&iF�18.1��R��Sp�qelling���������*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********����&iF�If�UUev���er�I�missp�Gell�a�w�ord,�it�go�Ges�here�so�that�I�will�kno�w�not�to�missp�Gell�it�again.��:9��5iFarguing��'b�Geha���vior�con�tra�v��q�arian�t�denitely�determinan�ts�disem�b�Go�died��'eliminated�em�barrass-����&iFmen���t��\explicitly�feel�fertilized�gluing�happ�Gened�isogenous�judgmen�t�k�ernel�lying�missp�Gell�parab�ola����&iFparallel�eparameterize�p�Gon���trjagin�preparatory�secretly�separable�similar�surprised�up�coming�us-����&iFing�UUzeroth������*********���End�Unverie��}'d�*********��!č��&iF�18.2��R��Grammar�����&iF�If�UUev���er�I�disco�v�er�an�error�in�m�y�use�of�grammar,�or�learn�a�handy�rule,�then�it�go�Ges�here.���K�����"102����g���Š���@����ٍ���n���iF�Chapter�i�19��2���iF�Elemen��Dhtary��Num�b���er�Theory��5Vy��i���*********���Be��}'gin�Unverie�d�*********���6����iF�19.0.1�� iFDensit��y��of�square�free�in�tegers��uT���iF�Landau�UUcalculated�the�densit���y�of�squarefree�in�tegers�in��Primzahlen�.�������iF�Theorem��T19.0.1.���F���The���numb��}'er�of�squar�efr�e�e�inte�gers�less�than��x��is��'j������<$�����6�����w�fe
���	(֍���[ٟ�r�2���������x�8�+��O�G�(����O�p���UW��O�fe���㍵x����s�)�:��\	���iF�A�UUsligh���t�renemen�t�of�Landua's�result�is�con�tained�in�[�10��
].����m�*********���End�Unverie��}'d�*********���K�����"�103����h�Y��Š���@����ٍ���n��&iF�Chapter�i�20��2��&iF�Analysis��and�Measure�Theory��4��&iF�This�UUc���hapter�will�con�tain�the�basic�facts�ab�Gout�analysis�and�measure�theory�that�I�nd�useful.���K�����"104����i�%��Š���@����ٍ���n���iF�Bibliograph��Dhy��5Vy�����L�[1]���/w�J.L.��rAlp�Gerin,���Ro���w�en�B.�Bell,����Gr��}'oups��?and�R�epr�esentations�,���GTM��162,�Spring-����/w�V��*�erlag,�UU1995.�������L[2]���/w�S.��GArno,�}M.L.�Robinson,�F.S.�Wheeler,��Imaginary�D�quadr��}'atic�elds�with�smal���l�o�dd����/w�class���numb��}'er�,�UUAlgebraic�Num���b�Ger�Theory�preprin�t�serv�er,�1993.�������L[3]���/w�J.W.S.���Cassels,�ү�A���rithmetic��)on�Curves�of�Genus�1�(V).�Two�Counter-Examples�,����/w�Journal�UULondon�Math.�So�Gc.,��38�,�244{248,�1963.�������L[4]���/w�Cassels-F��*�rohlic���h,�UU�A���lgebr��}'aic���Numb�er�The�ory�,�UUThompson�Bo�Gok�Compan���y��*�,�1967.�������L[5]���/w�R.�UUHartshorne,��A���lgebr��}'aic���Ge�ometry�,�UUGTM�52,�Springer-V��*�erlag,�1977.�������L[6]���/w�S.��Lang,����A���lgebr��}'aic�КNumb�er�The�ory�,���GTM���110,�Springer-V��*�erlag,�2nd��edition,�1994.�������L[7]���/w�Stephen���Lic���h�ten�baum,�S�Duality��The��}'or�ems�for�Curves�over��P�c��-adic�Fields�,�SIn���v�en-����/w�tiones�UUmath.��7�,�120{136,�1969.�������L[8]���/w�H.�UUMatsum���ura,��Commutative���ring�the��}'ory�,�UUCam�bridge�Univ�ersit�y�Press,��8�,�1992.�������L[9]���/w�J.F.�oMestra,�Construction�Z
of�an�el���liptic�curve�of�r��}'ank��12,�#Comptes.�Rendus,��295�,����/w�643{644,�UU1982.�������K[10]���/w�K.��qRogers,�7�The��Schnir��}'elmann�density�of�the�squar�efr�e�e�inte�gers�,�7Pro�Gceedings��qof����/w�the�UUAMS,��15�,�515{516,�1964.�������K[11]���/w�J.�S�Silv���erman,��?�The���A���rithmetic�of�El���liptic�Curves�,�GTM�Sx106,�Springer-V��*�erlag,�1986.�������K[12]���/w�J.��MSilv���erman,���A��}'dvanc�e�d� �T��;�opics�in�the�A���rithmetic�of�El���liptic�Curves�,�GTM��%151,����/w�Springer-V��*�erlag,�UU1994.�������K[13]���/w�Zariski-Sam���uel,�UU�Commutative���A���lgebr��}'a�,�V��*�an�Nostrand,�1963.���K�����"105�����)���;��Š�io�Lo���		cmr9�K�<��ffffcmbxti14�Jߡ�ffffcmtt14�I߆�Tcmtt12�D2�@�cmbx8�C�%n�ff
eufm10�B���ff
msbm10�?!",�ff
cmsy10�>��g�ffcmmi12�<t}\�cmti7�;F
C�

cmbxti10�:��N�cmbx12�9��Kffffcmbx14�8����ffffcmr14�7�=��q�jcmbx20�5m#�R

cmss10�3f$�cmbx7�2�':

cmti10�1��<x

cmtt10�0p�0J

cmsl10�/�ɯ�eufm5�.X�&eufm7�-�%n�

eufm10�,�"V

cmbx10�+ئ��H�cmbx25�(p�p�msbm8�'���
msbm10��K�cmsy8�!",�
cmsy10�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�qy��msbm7����

msbm10�#��cmex7��hV1

wncyr10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10�������