Sharedwww / manin.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.09.27:0157������䷫���`�Ơ���� ������8���N��Hcmbx12�The�	T{Manin�index�of�optimal�new�quotien��8�ts���s���������B��D��t�qG�cmr17�William�B�A.�Stein������0.捒����D��tG�G�cmr17�Septem��qb�s�er�7t27,�1999��V?J����8�&��N�G�cmbx12�Con��u�ten�ts��1q[����81.���The�z�Manin�index������82.���Main�z�theorem������83.���Main�z�theorem�(con��u�tin�ued)������84.���Main�z�theorem�(con��u�tin�ued)������85.���Theoretical�z�evidence������86.���Numerical�z�evidence�������*�䷫���`�����8�5}h!�cmsl12�W.��oA.��Stein,�The�Manin�index�of�optimal�new�quotien��rts��P��X�Qcmr12�I���Ơ���`����=l�'�Ɍ�q
cmbsy10�x���N��qcmbx12�1.�
^�The��
Manin�index��'ű����8�Consider�7tthe�optimal�quotien��qt��(��g�G�cmmi12�A��asso�s�ciated�to�a�newform��f��P�:��&N[������������������(���I�[�J�����0��_��(�N���)�������������!�
���5D

xybsql10������_������������-#�%N��5D

xyatip10���5D

xybtip10���������%N�fd�����������<�5?��J�����0��_��(�N���)����������������-#�L��)��g�cmmi12����������������-#�Q������-#�T�����������T��fd����������$�g�h�f���=���ʟ�
7�,��uG�
cmex10�P����a�����n�����q���������n����������������(�`�~��6δ

xydash10������������՚�cu~�/�/�����������z�c��/o���������q�c��/o��������h�c},/o��������]_�cm�/o��������'V�c^t/o���������M�cO/o���������՚�i\��A����������� ��`�������������������������3���`u~��������������N?�cu~�/�/������"���c���fd+�q��������Q?�i\��*!",�G�
cmsy10�A������������N�����8�Here�7t�I�(��:=����k��qer����(�T����!��z�!��Z�[��:��F:�:���_a�����n���
d��:��F:�:��!".�])�is�a�prime�ideal.�� UV����8�Problem:���Study�7tthe�arithmetic�of��A�.�� ������8�Theorem�z�1�(Agashe,|).����)�X������OY��Xg��L�(�A;��F�1)��Xg̟�4���3�x��ߍ�)-
�����+!",�
cmsy10�A�������b����c�����A����=���[����������(�H�����1��_��(�J�����0���(�N���)�;��F�Z�)���݀�+��pR�:�����������(�T��aGe�)]��1������8Here������
O����$A����:=�7tNeron�mo�s�del�of��A��o��qv�er�7t�Z�.������
O����$�
�����A����:=�7tv��qolume�of��A�(�R�)������0���p�wrt�basis�for��H��U����0�����(�A�;��F�
�����A��
��).������
O����$��������L��:����H�����1��_��(�J�����0���(�N���)�;��F�Q�)��!��H��U����1�����(�A;��Q�)�7t(tangen��qt�spaces).������
O����$�Manin�z�index:��"�����c�����A����:=���[�S�����2��_��(�N���;��F�Z�)[�I�[��]�:��������݀��������݀�����H��Uß�݀�0�����(�A�;��
�����A��
��)]��������8�Conjecture�z�2�(Agashe,�|,�Manin�when���dim��#���A����=�1�).�������W�c�����A����=���1��,UV����8The�7tpurp�s�ose�of�this�talk�is�to�presen��qt�evidence�for�this�conjecture.������8�Caution:�z��Without�!�the�condition�that��A��is�new,�YYthe�conjecture�is�false.������8F���Vor�7texample,�the�Manin�index�of��J�����0��_��(33)�is�3.�����N�䷫���`�����8�W.��oA.��Stein,�The�Manin�index�of�optimal�new�quotien��rts�����I�S�I���Ơ���`����:�x�2.�
^�Main��
theorem��'ű����8�W���Ve�7tpresen��qt�a�sligh�t�generalization�of�a�theorem�of�Mazur's.�� ������8�Theorem�z�3�(Mazur�when���dim��#���A����=�1�,�z�|).���R���4���@G�cmti12�L��"�et����m��b�e�the�lar�gest������8squar��"�e�Mdividing��N���.�ƬThen��c�����A��[6�is�a�unit�in��Z�[�����2B��V��1��33��K���'�	��2�m������w�]�.��*UV����8�Man��qy�5oideas�of�the�pro�s�of�are�in�Mazur's��R��"�ational��aiso�genies�of�prime������8de��"�gr�e�e�.��)UV������8�Pr��"�o�of.��������#(����!���R��4�:=����Z�[�����2B��V��1��33��K���'�	��2�m������w�].������#(����!��J����:=�7tNeron�mo�s�del�of��J�����0��_��(�N���)�o��qv�er�7t�R�$j�.������#(����!��A����:=�7tditto�for��A�.������#(����!���X�(��:=�i<smo�s�oth�lo�cus�of�the�minimal�prop�er�regular�mo�del�of��X�����0��_��(�N���)�=R�$j�.�� UV����8Consider��$X������������������
�ʞ�v�H��Uß����0�����(�A�;��F�
��K�A�=R�����)������������m��.��������������������������ǟ�����n9���2�
!",�

cmsy10����������������������run�i�pullbac��rk���������������������/�/������o����G�fd6�������������v�H��U����0�����(�J�1%�;��F�
��K�J�7v�=R���j�)���������������������e���ݝ����԰������=������������������!ID����/�/������	ID���G�fd���������$ID���H��Uß����0�����(�X�k";��F�
�����X��1��)������������������z���X��q-exp���������������������/�/������v����G�fd5����������������R�$j�[[�q����]]�:������������"�����#(����!�����������������is��an�inclusion�b�s�ecause��H��U����0�����(�A�;��F�
��K�A�=R�����)�is�free�(�A�=R��k�is�smo�oth)����$and�7t�������������
����2��N�cmbx12�C���wt�is�an�inclusion.������#(����!���The�7tmiddle�isomorphism�uses�Mic��qh��r����ele�Ra�ynaud's�result:�����+��P��k��ic�������݀�0��!��(�X�[��)�����	��������������L��=�����
:�J��1%��݀�0��	�!�;��$����$�induces���H��Uß����1�����(�X�k";��F�O�����X��1��)����4U������P���������԰���嫹=������	˫��������������
�b!���� ���H��U����1���(�J�1%�;��O�����J��
ٚ�)��on�tangen��qt�spaces.��;No�w�apply����$Grothendiec��qk�7tdualit�y���V.������#(�����!���q-exp��L�comes�7tfrom�T���Vate�curv��qe:�����������:����Sp�s�ec��'Ծ�R�$j�[[�q����]]����!��X�k":����$�F���Vormal�7tcompletion�of��X��:�at���r��1����&��1���7s1����$�K�=R��+!h�is�(�Sp�s�ec��#��R�$j�)[[�q����]].�����*�䷫���`�����8�W.��oA.��Stein,�The�Manin�index�of�optimal�new�quotien��rts��/E�I�S�I�I���Ơ���a���X�w�x�3.�
^�Main��
theorem�(con��Ztin�ued)��'ű����8�T��aGo�
�sho��u�w:�
�Image�:�of��H��U����0�����(�A�;��F�
�����A��
��)�saturated.�UThen��c�����A��r��2�
#��R��$j���������since������8�S�����2��_��(�N��q;��FR�$j�)[�I�[��]������R��[[�q����]]�7tis�saturated.�� UV����8Consider��������������������[��?�0�����������~r�����/�/������fr����G�fd������������r����H��U����0�����(�A�;��F�
�����A��
��)������������������ܨ��X��q-exp���������������i'����/�/�������i'���G�fd6���������
i'���R�$j�[[�q����]]������������K�����/�/������3����G�fd����������N�����D�����������xS�����/�/������`S����G�fd����������{S��?��0����������������8Is�7t�D����torsion�free?��Let��`����0���G�
msbm10�-��2�m�7t�b�s�e�a�prime;�tensor�with��F�����`��n7�:��"��������������������/����T���Vor���GKk���ʹ1��M�g����(�D�xQ;��F�F�����`��n7�)�����������Y)�� о���fd�����W)�� о���fd����������	$Ÿ2�0�����������F=d�,p��/�/��������,��fd2+ێ��������I=d�0„�D�xQ�[�`�]��������������0�,p��/�/������j|U�,��fd2+ێ����������0�1J'�H��Uß����0�����(�A�;��F�
�����A��
��)���
��F�����`�������������.c�,p��/�/������c�,��fd�����������1c�0„�F�����`��n7�[[�q����]]������������wj��,p��/�/������_j��,��fd�����������zj��1��D�OY�
���F�����`�������������ʴ�,p��/�/���������,��fd��������ʹ�2��0�����������Q�_����8Th��qus����;���D�xQ�[�`�]���=�0�	���(���)��H��Uß�݀�0�����(�A�;��F�
�����A��
��)���
��F�����`��
;�!����F�����`��n7�[[�q����]]��7tinjectiv��qe�������8Since��W�`����-��2�m�,���w��qe�ha�v�e��e�(�Q�����`��n7�)���=�1��<�`�*����1,���so�an�extension�of�a�theorem������8of�7tRa��qynaud�giv�es�an�exact�sequence:���������������������M�?�0�����������+�����/�/����������G�fd�����������.���v�H��U����0�����(�A�=�Z�����`��n7�;��F�
��K�A�=�Z��Ϧ�
�b>

cmmi10�`���ߏ�)�������������Gi����/�/�������Gi���G�fd����������Gi��v�H��Uß����0�����(�J�1%�=�Z�����`��n7�;��F�
��K�J�7v�=�Z��Ϧ�`����B�)������������\������/�/������D�����G�fd���������_����v�H��Uß����0�����(�B����=�Z�����`��n7�;��F�
��K�B�]m�=�Z��Ϧ�`������)������������#�̍���8Here�7t�B���=����k��qer����(��k��:����J�fd�!��A�).��Since��H��Uß����0�����(�B����=�Z�����`��n7�;��F�
��K�B�]m�=�Z��Ϧ�`������)�is�torsion�free,��*dፍ���������������?'���v�H��Uß����0�����(�A�=�Z�����`��n7�;��F�
��K�A�=�Z��Ϧ�`���ߏ�)���
��F�����`���������������B��.�������������������s?����/�/�������[email protected]���G�fd�����������s?��v�H��Uß����0�����(�J�1%�=�Z�����`��n7�;��F�
��K�J�7v�=�Z��Ϧ�`����B�)���
��F�����`�������������(������8�Non��qtrivial�7tfact�(see�e.g.,�pg�183�of�Eisen�bud's�b�s�o�ok):���Z�����`��n7�=R�[��is�7t
at.������8\Cohomology�7tcomm��qutes�with�
at�base�c�hange":����mh��H��Uß�݀�0�����(�A�;��F�
�����A��
��)���
��Z�����`������	���
;���������
�*�=�����xq�H��Uß�݀�0���(�A�=�Z�����`��n7�;��F�
��K�A�=�Z��Ϧ�`���ߏ�)�����.�䷫���`�����8�W.��oA.��Stein,�The�Manin�index�of�optimal�new�quotien��rts���¹IV���Ơ���a���X�w�x�4.�
^�Main��
theorem�(con��Ztin�ued)��'ű�y������������������M�����H��Uß����0�����(�A�;��F�
�����A��
��)���
��F�����`���������������B��.�������������������s?����/�/�������[email protected]���G�fdS����������������X"��������injectiv��qe?��������������������LMˠ���#�#����������H>k����H���������D?��H���������@Aw��1RH���������<B��H�H���������8D��|_�H���������4F	�ywBH���������0G��v��H���������,I�s��H���������(J��p�2H���������$L!�mԂH��������� M��j��H���������O-�h"H���������P��erH���������R9�b1�H���������S��_IH���������UE�\`bH���������V˟Yw�H���������XQ�V�H���������YןS�RH����������[]�P��H����������\�M��H����������^i�J�BH����������_�H�H����������au�E�H����������b��B22H����������d��?I�H����������f�<`�H����������g��9x"H����������i�6�rH����������j��3��H����������l�0�H����������m��-�bH����������o+�*�H����������p��(H����������r7�%RH����������s��"2�H����������uC�I�H����������vɟaBH����������xO�x�H����������y՟��H����������{[��2H����������|���H����������~g�
��H�������������!s?���H��U����0�����(�J�1%�;��F�
�����J��
ٚ�)���
��F�����`��������������������䍍�_A����԰���_Y��=������������������\A�%շ��������\
ߟ%շ�fd���������!͟6���H��Uß����0�����(�X�k";��F�
�����X��1��)���
��F�����`��������������������K����_A����԰���_Y��=������������������\A�V$���������\
ߟV$��fd���������(���g&�H��Uß����0�����(�X�����F��Ϧ�`���
��;��F�
�����X���Q�3�"V

cmbx10�F����`�������)������������������_A�~�ֹq-exp���������������\A�����������\
ߠ���fd���������Dc����F�����`��n7�[[�q����]]�:����������������8�The�\oisomorphism��H��Uß����0�����(�X�k";��F�
�����X��1��)��?�
��F�����`������	���
|����������
���=��������H��Uß����0���(�X�����F��Ϧ�`���
��;��F�
�����X���Q�F����`�������)�\ouses�cohomolog-������8ical�7ttric��qk�ery�and�that��k�aE�=���2,��N������5.������#(����!���If���`�ds�-��N���,��kthen��q-exp��0�is�injectiv��qe�(see�Deligne-Rap�s�op�ort,��kTheorem����$3.9).��Th��qus�7t�H��U����0�����(�A�;��F�
�����A��
��)���
��F�����`��
;�,����!����F�����`��n7�[[�q����]],�so��D�xQ�[�`�]�=�0,�as�required.������#(����!���If����`����-��N����then��q-exp��1Mnot�necessarily�injectiv��qe.��xHo�w�ev�er,��I�`��exactly����$divides�7t�N���.��Deligne-Rap�s�op�ort�mo�del�of��X�����F��Ϧ�`���
��:��:rT������(rP�O�X�����0��_��(�N�e =`�)���(rP��p��X�����0��_��(�N�e =`�)������m��D6�1����g����U1�������D61����������������1��n�0���Ȕ2�Y�0�������n0���������eB����f-ԟ��m������fE�����������fE�����������fm���ф�����fm���ф�����f���Tg������f���Tg������f�J��4˄�����g:���/������g:���/������g����������g؎���)������g؎���)������h7b���̄�����h�6��_o������h�6��_n������i؟�$*������isz���������isz���������i�����������j`���ju������j`���ju������j���'J������kU����������kU����������k�����������lJ}��U������lJ~��U������l�����������m?v��ϊ������m?w��ω������m����Q������n$���Q������n$���Q������n�P��������n����ҩ������n����ҩ������o`����q������o�u��T9������o�u��T9������p&I���������p���ݱ������p���ݰ������p�����_������q:ݟ�o������q:ޟ�o������q�˟�3ʄ�����q踟���������q踟���������r;����4������r�����������r�����������r᤟�N�������s4���[������s4���Z������s�����������sҪ��҄�����sҪ��ф�����t%���a�������tx���&I������tx���&H������t�����������u۟��������u۟󯿄�����uQ��t{������u����97������u���96������u����������v3$��®������v3%��­������v�+���������v�1��<W������v�1��<V������w 7���+������wo=��������wo=���������w�6��rԄ�����x/��/�������x0��/�������xh)��艄�����x�"��j������x�#��j������y��VX������yh���F������yh���E������y����3������zן�u!������zן�u ������zmğ�&������zı���������zı���������{���������{zq��@������{zr��@������{�_���������|(L��������|(L��������|�,��Wф�����|����������|�
���������}8�콸������}�͟�n�������}�Ο�n�������}껟�#�������~A���؎������~A���؍������~����n������~�JO������~�JO������Fo��0�������\���������\���������U��t�������CN��-ӄ������CO��-ӄ�������H��ꨄ�������A��}��������B��|�������8H��hD��������N��)��������N��)��������T���Ȅ������%Z�貄�������%Z�貃�������pl��{2��������~��C����������C������������������Q����?�������Q����?�������������������ȟ�n���������ɟ�n��������6ϟ�73��������՟����������՟����������۟�̅�������#��(�������#��'�������vڟ�eʄ�������ӟ�2m��������ԟ�2l�������ڟ��������g��Ә�������g��Ә��������͟�.����������tĄ���������tĄ������h���IN�����������؄����������ׄ����������a�������i�����������i������������g��g�������G��w�������H��w�������v5��TU��������"��0Ƅ�������"��0ń������(��
6����������駄���������馄�������ß��
�������8���n�������8���n�����������҄�������d��k6��������e��k6��������&��3��������&��3�������R��b�������R��b�����������������������������������\�����������\�������[��⥧�������[��⥧�������	h���������	h����������t��~$��������t��~$�������Mg��nV�������Mg��nV��������s��fo�������Ks��fo���󎍒��f��fo�������/r��fo��������e��nV��������e��nV�������{X��~$�������{X��~$�������!K���������!K����������%�����������%�������������u����������u�������:�����������:������������{���҄�������O������������O��������������$����������$���������7؄������k���K��������k���K��������ʌ��cO�������)`��{�������)`��{��������4�㖬����������T����������U��������ɟ�馄�������ɟ�馄����������	B�������R���(ބ������R���(ބ������d��`/�������d��`/�������WQ��˄�������>��g��������>��g�������7�����������T0��慄������T1��憄�������7��"��������=��%���������=��%��������=O��IM��������a��l܄�������b��l݄�������t��l�����������������������������e���׋��������ş����������ş��������������������;��B9�������;��B:��������"��m���������A��&��������A��'�������S�����������_e���-�������_f���-���������������������G���������G�������4ß�vk�������{��Մ������{��Մ����������2�������
 ����������
 ����������U2��?��������D��sJ��������E��sK��������d�誜�������.�����������.�����������u���1�����������Xu�����������Xv��������铺�������J������������J���������������
C��������=��E���������=��E��������h����������_������������_����������������0��������ҟ�Bh��������ҟ�Bh�������-
�끠�������lB���؄������lB���؄�������z���������겟�?H�������겟�?H�������)��~��������i"�콸�������i"�콸��������f����������ߪ��<(�������߫��<(���������wl�������V3���������V4����������������������֟�1!��������֟�1!��������'��le�������3x��������3x��������jɟ������������&����������&��������k��a^�������������������������H
���ۄ������^���������^�������������ZK���������𙃄��������𙃄������%Q��ܮ�������\���ل������\���ڄ���������c��������*��0��������+��1�������c���P�������Q���4o�������Q���4o��������ӟ�{�����������­����������­�������C��	̄������N{��P�������N{��P�����������
�����������)�����������)���������&H�������SA��mg�������SB��mg��������z��������Ѳ�����������Ѳ�����������ݟ�BĄ������X����������X	�����������4�����������_��9��������`��:����������Or�������\П����������\П����������������������@��
��������@��
�������x��H^�������Y������������Y������������������������ ���+�������� ���,�������X��-��������V���`�������V���`��������ԟ��D����������ǡ����������Ǣ�������Q�����������K���.\�������K���.]��������͟�Yӄ����������I�����������J�������J�����������@�����������@�������������������������;
����������;���������f��������EH�����������EI������������h���{�������Ӈ�����������Ӈ��������������t�������aş�7�������aş�7��������ן�_n�����������������������������B����t�����������������������������������z�������,��$��������,��$��������{!��H���������'��l��������'��l�������-�����������h3���:�������h3���;��������,���ׄ������%���s�������&���s�������],����������2��1���������2��1���������8��QG�������J>��p�������J>��p��������J���4��������J���4�������~o��߅�������~o��߅�������{���������{�������������>Y�����������>Y�������Hş�e܄������Hş�e܄����������F�����������F�������u���Ʉ������u���Ʉ������4���L�������4���L������©@��������©@���������GL��+k�������GL��+k��������&��R��������&��R������ģ��r�������ģ��r��������Pڞ�&�������Pڞ�&������ů�������������„���������„�������C��w��������C��w�������#��E������ǁ��������ǁ���������䲞���������Gy���������Gz��������ȦN���������"���������"���������c��}��������ʞ d��������ʞ d�������!��$W������ʀr�(J������ʀr�(K��������F�,>�������>�01������˞�02��������S۞02��������	��02��������_]�02�������
7�(K�������
7�(K���������� d���������� d�������a���������a�����������Ȅ��������Ȅ�����Ь��������Ь���������Rݞ�^�������Rݞ�^����������„���������„�����Ҷx��&������Ҷx��&�������l9��r��������l9��r���������
��^Ʉ������)��K�������)��K�������ߢ����������ߢ����������>v��������՝J���3������՝J���3�����������~�������Z���Ʉ������Z���Ʉ�����ֹƟ�������������_�����������_��������[��V��������[��V������؄���������؄�����������	���!�������1���߅�������1���߅��������П��4��������П��4������څß�p������څß�p��������ɟ�QG�������#ϟ�1��������#ϟ�1�������۹���Z������۹���Z���������ھ�������P���"�������P���"������ܗ8������������W��{��������W��{�������l���D��������l���D�������ݳ���!
��������ӟ��{��������ӟ��z�������E���������ސ����\������ސ����[�����������؄������6��gU�������6��gU�������fU��CƄ�����߭t�� 7������߭t�� 6��������������������C����J�������C����I����������Ƅ�������ן�zC��������ן�zC���������N̈́������g���#W�������g���#V������������������ ��Ă��������!��Ă�������[email protected]����������_��e��������_��e���������q��2Q�������"�����������"�����������m���ω������㸨���������㸩�����������ȟ�l„������F��9e�������F��9d���������������������„����������„������$+���e�������kJ��d�������kJ��d�������u��0�����������M����������L�������8�����������ߟ����������ߟ�����������
��[email protected]�������5��'�������6��'�������Ia��������猌���5������猍���4�������ϸ���ׄ��������Zz���������Zy�������V��#(�������:���ׄ������;���ׄ�������s��z���������������������������V��Q����������b���������a��������F����������q�󷧄������r�󷦄������_���U�������ȟ�I�������ɟ�I����������
��������)���|�������) ���{�������t2��*�������D��cل������E��cل������d��$��������M����i�������M����i������윉��1�������돟�f��������돟�f��������6���'�������큳��艄�����클��艄������к��Q����������j����������j�������jҟ�&����������Ä���������„�������金�������S��eR�������S��eR���������&�����������������������������5(��������:��hr�������;��hr��������M��):�������_����������`����������]��ʄ�����񤞟�k�������񤞟�k���������ɟ�4A�������*����������*�����������n �����������K��h�������L��g���������O�������/���ń������/���ń������k���h�������D���������E��
�������቟�}��������͟�JP�������Ο�JO�������X���������V��㕄������W��㔄������ҏ��P�������ǟ�m�������ǟ�m�������T��1DŽ�������������������������������V��>�����������������������������Y���D�����������	q����������	p������������������U��΄������U��΄������Z���_���������ş�$F��������ş�$E������������������ �筽������� �筼�������_T��vk�����������?�����������?�������ᷟ�Ʉ������$���x�������$���x�������d��'��������S��aք�������S��aք������⋟�*��������!ß��4�������!ß��4�������`����ʄ�������3��`��������3��`��������k��a����������-�����������-��������Y��/��������+��ֹ��������,��ָ��������p��B����������̄���������˄������F���TU��������=��(߄�������>��(ބ����������[��������Ɵ��؄�������ǟ��؄������4��I�������oO�㒺�������oP�㒹�����������k6�����������C������������C��������,��� $�������l0�����������l0������������[�����������⭎��������⭎�������5�����������xݟ�fp�������xޟ�fo����������B��������Q��������P������Z�����������'���2�������(���1�������.�ᴢ������C4��������C4���������-��qv�������&��Qڄ������'��Qڄ�����< ��2>������������������������������������5���j������5
���j�������������������������ڟ�l��������ڟ�l�������.͟�=E������.͟�=E����������„���������„�����r̟��&������r̟��&������؟��q������؟��q����������Ƽ����������Ƽ������="�߶������="�߶�������G�ߧ �������G�ߧ ������	qS�ߟ9������	�S�ߟ9���%���
gx�ߟ9���󎍒
�k�ߟ9������S^�ߧ ������S^�ߧ ������8�߶������8�߶���������Σ���������Σ������
\���?������
\���?���������„��������„������n��=E�������n��=E������~/��l�������~/��l�������3��������3���������П�Ü������鰟��8������鱟��8������@���DŽ���������*V����������*W������ꄟ�M������=}��qu������=~��qv�������k����������X���|�������X���|������>Q�����������J����������K����������D��:�������7=��fn������7>��fo������zi������������u����������u�����������������C��{������C��{���������/�������*��[g�������*��[h������<��҄�����hN��<������hO��<�������a��馄������s���������t��������I���Lm����������ʄ���������˄�����㟟�������2����m������2����m����������)�������ؗ��d�������ؘ��d�������+���:������~����~������~����������ф���������$}��Y������$~��Y������{k��'�������X���_�������X���_������%Q���������xJ��^�������xK��^��������8��������&%���������&%���
������y��(8���������kc���������kd�������讏������r
��������r�����������0���������p+���������p+������g��V�������
�����������
������������5�������T��t������T��t����������������"���H�������"���I������ =4��:������� �F��y������� �G��y������� �Y���������!k���A������!l���B������!i~��/z������!����n�������!����n�������!����������"J����"������"J����"������"�ȟ�(f������"�ڟ�c�������"�۟�c�������#+��������#v����������#w���������#���%F������$��hq������$��hr������$d�������$����������$����������%��*
������%Q$��m8������%Q$��m9������%���d������%���������%���������&J��6�������&�	��y������&�
��y������&����������'J��=������'J��>������'�џ�Ci������'���񆔄�����'���񆕄�����(O�����������(����������(����������(����P������)Tr��B������)Tr��C������)�_���n������*L���������*L���������*Y9��X҄�����*�&��
������*�&��
������+���N������+V���������+V���������+���Iׄ�����+���������+���������,K��m������,���������,���������,���+������-8$��b`������-8$��b`������-�*���ʄ�����-�0���4������-�0���4������.!B��������.lT��'������.lU��'������.�g��Se������/y��~ۄ�����/z��~܄�����/M����F������/����ݰ������/����ݰ������/똟�	&������0>���4�������0>���4�������0����d������0䄟��q������0䅟��q������17~���������1�w���]������1�x���^������1�e��������28R��9d������28R��9d������2�?��dڄ�����2�,���P������2�,���Q������3A���Ԅ�����3����W������3����W������3�͟�������4Q���&u������4Q���&v������4����J������5V��m�������5V��m�������5n*���$������5������������5������������6+ҟ��P������6�����������6�����������6�z���������7HN��+<������7HN��+=������7�"��F������8���b�������8���b�������8dʟ�vO������8Þ���������8Þ���������9y_����������9y_����������:/ ���0������:/ ���0������:�����������:�����������;�ԟ��������;�ԟ��������<0ǟ�h������<0ǟ�h������<ֺ��O������=6���O���󎍒=ܭ��O���󎍒>"���O������>ȓ��h������>ȓ��h������?n����������?n����������@y���������@y���������@�:���0������@�:���0������Ax����������Ax����������B-՟��������B-՟��������B����vP������B�}��b�������B�}��b�������CJQ��F������C�%��+>������C�%��+=������D^���������D^���������D�����P������E�����������E�����������Ewn���%������E�N��m�������E�O��m�������F-/��J������F���&w������F���&v������F���������G=П��X������G=џ��W������G�ʟ��Ԅ�����G�ß��Q������G�ğ��Q������H:���dۄ�����H����9e������H����9d������Hट�������I/����^������I/����^������I~����������IͶ���r������IͶ���q������Jȟ�d������Jcڟ�4�������Jc۟�4�������J���	'������K��ݱ������K��ݰ������KE���F������K�=��~܄�����K�>��~܄�����K�i��Sf������L���'������L���'������LQ���������L����5������L����4������L����ׄ�����M#*��Zz������M#*��Zy������MjI��'������M�h��������M�h��������M����z������N?���}6������N?���}5������N����A������N�ʟ��������N�˟��������O ݟ��t������Ok��<������Ok��<������O����I������P	���	̄�����P	���	̄�����PY��­������P���{�������P���{�������P���8c������QF���8������QF���7������Q���������Q� ��f�������Q� ��f�������R7��������R����Մ�����R����Ԅ�����R��������S(��B�������S(��B�������Sw%����������S�+��r������S�+��q������T$��a_������Tl��M������Tl��L������T�$���-������U
*��������U
*��������UY0��<�������U�6���������U�6���������U�<��ʄ�����VFB��c�������VFB��c�������V�T���������V�f��͇������V�g��͆������W+m��g������Wzs��?H������Wzs��?H������W�l���6������X e��$������X f��#������Xc���i������X����*�������X����*�������X�ܟ��{������Y4���C������Y4���C������Y|��i������Y�9��%������Y�9��%������ZK����������ZY]�韖������ZY^�韕������Z�p��\j������Z�?������Z�>������[>����������[����������[����������[��C������\3����„�����\3����„�����\�{�絣������\�t��n�������\�u��n�������]0b��'e������]�O���F������]�O���F������]�<��4������^5)��J"������^5)��J!������^���������^���������^���������_=��pф�����_�ß�%�������_�ğ�%�������_��ޟ������`N��䗀������`N��䗀������`�Y��Pa������a-��	B������a-��	B������ag
���������a���������a���������bΟ�?�������bw�����������bw�����������bҏ��i������c-o��v>������c-p��v=������c�P��7������c�0���̈́�����c�1���̈́�����d:�Ἁ������d���E������d���D������d����I������e>���������e>���������e�ҟ��Q������e쿟�������e쿟�������f?���p�������f����=F������f����=E������f嫟�τ�����g8����Y������g8����X������g���߶������gֱ�߇�������gֱ�߇�������h)���`������h|���8~������h|���8~������h˪��������i����`������i����_������iu����������i�p�ޚs������i�q�ޚr������j+Q��v������j�1��ST������j�2��SS������j���/Ą�����kCڟ�5������kCڟ�4������k����옄�����l	h����������l	i����������ll0�ݱT������l���ݕ�������l���ݕ�������m9���}�������m�T��fA������m�U��fA������n���R�������n����>�������n����>�������n�"��*�������on���<������on���;������o���z������pk���﹄�����pk���︄�����p����������qx9���������qx9���������r����N������r�ܰ͟�������r�Οܰ�������s�ܤ�������s�J�ܘ̄�����s�J�ܘ˄�����t7��܌������t�Ɵ܁������t�Ɵ܁������uP��u<������u�Z��ib������u�[��ia������v\���az������v�!��Y�������v�"��Y�������wMğ�U�������w�f��Q�������w�f��Q�������x:��M�������xz��IƄ�����xz��Iń�����yL��Aބ�����yL��Aބ�����y_9��9�������y�9��9���7Q���y����9�������f-ԟ��Q������fE����8������fE����8������ft���������ft���������f���"p������f���"p������gJP��Y�������gJP��Y�������g�V��}P������g�\��߄�����g�\��������hK#���V������h����̄�����h����̈́�����i���+*������i{a��^�������i{a��^�������i���������jX����B������jX����C������j�G����������k5��3������k5��3������k����k6������l-�㢇������l-�㢇������ly���؄�����lࣟ�)������lࣟ�)������m?w��D�������m�K��w������m�K��w������m�8��A������nL%��ޞ������nL%��ޟ������n����������n���EY������n���EZ������oA��x�������o�$��������o�$��������o�6���r������p&H��τ�����p&I��Є�����pit��J!������p����r������p����r������p��Ä�����q:ޟ��������q:ޟ��������q~	��/L������q�4��n�������q�5��n�������q����������r/ן��>������r/ן��?������rk���������r�_��C������r�`��C������r᤟�{2������s�貃������s�貃������sX-���DŽ�����s�q��)������s�r��)������sζ��hD������t	���|������t	���|������tI3��꧄�����t�k��-҄�����t�k��-ӄ�����tǣ��t������u۟�������u۟�������uJ��0������u�1��JO������u�2��JO������u�]��a������v����s������v����t������vZ���+�������v�ǟ�v�������v�ǟ�v�������v���ş������w0���������w0���������ww$��c�������w�C��������w�C��������x	U���������xTg��P�������xTh��P�������x�z��Ä�����xꌟ��Ʉ�����xꍟ��Ʉ�����y5���=τ�����y����Մ�����y����Մ�����y�ğ��ۄ�����z֟�*������zן�*������za��u������z�����������z�����������z���������{K��W*������{K��W+������{���=������{�,���O������{�-���P������|,?��4o������|wQ��{�������|wR��{�������|�d�򾹄�����}
v��������}
w��������}\}��E������}����;������}����<������}�����g������~A����������~A����������~����M˄�����~ߴ��������~ߴ��������*Ɵ��T������u؟���������uٟ������������2�����������jG����������jG�������[������������
�����������
�������������:�������H��G��������H��G�����������~܄����������-�����������-�������Lݟ�銄�������ʟ���������ʟ������������T9�������Y������������Y�������������k����������K���D�������L���E�������r��)���������ڟ�`��������۟�`�������7����Q��������i������������j������������1����������_���&u�������_���&v�������ʧ��U�������5U���J�������5V���J�������������������̟���������̟���������mz�����������(��B��������)��B�������Bן�ju���������������������������������4���n�����������������������������푟�t�������X?��0�������[email protected]��0����������S��������-���w"�������-���w#��������K���������������A�����������B�������i����ބ�������p���z��������p���z�������;��"��������̟�4ʄ�������͟�4˄���������L��������k[��d5�������k\��d5����������{�������8ҟ����������8ҟ���������������T��������`���	��������a���	�������a(���ׄ���������⥄���������⥄������*����f��������f��
'��������f��
(��������-���������V��!܄������V���!݄����������-�����������9�����������9���������?��El�����������QF�����������QG�������P���]!��������p��h���������p��h��������"��l��������̟�p��������͟�p��������{��xʄ������b)������������*�������D����?n������������������������������������������������G�����������ܟ����������aݟ������D�����!�����������U���xʄ�������3��p��������3��p�������>ȟ�h���������]��a��������^��a�������#��Y.�����������QG�����������QG�������	��Em�������{���9��������{���9���������V��)Ą������X�����������X�����������ˍ���������>"��B�������>#��A��������џ���������ڿ����������ھ�������~.������������ܟ��<��������ݟ��;�������S����z��������9������������:�����������!��t��������ȟ�\N��������ɟ�\N�������搟�D��������IW��,�������IX��,��������,��/����������z����������z������������)������������)�������r����؄������r����؄������ \��W�������� \��W��������sU��7��������N��O��������O��O�������)���̄�������ݟ��I��������ޟ��I�������겟��Ƅ������I���zC�������I���zC��������Z��N̈́������.��#W�������.��#V�������i�����������̼��Ă�������̽��Ă�������+������������e��e���������e��e���������9��2Q�������H
����������H
�������������Ǣ�����������Q�����������Q�������d���Y��������]��!���������]��!��������"1���k�����������'�����������&����������k�������6ş�,��������6Ɵ�,�������������~��������n���F��������n���F�������K[��o��������H��/ք�������H��/ք�������5���������P"���f�������P"���f����������r.�����������2������������2��������M������������������������������uN�������:��6�������:��6��������&���ބ�������8�󷦄�������9�󷦄������K��|b�������f]��A�������f^��A�����������ل������촟�ʕ�������쵟�ʔ�������/��P�������s��T�������s��T��������D�����������|���i��������|���i�������0����������o��vDŽ������o��vDŽ���������7���������B���W��������C���W�������9n���������|���τ������|���΄�������ş�B����������^���������^�������F���&��������G����������H����������g��E�����������~����������~�������Z����F��������ܟ���������ݟ������������Hք������,��	��������,��	��������w-���s��������?��H��������@��G�������	_��@�������P~����������P~�������������콸�������梟�~��������棟�~��������1���;U�������|ǟ��*�������|ȟ��)�������������������y����������y��������V��:���������*���I��������+���I��������=���������7O��|ل������7P��|ل������~o��=��������Ŏ���i�������Ŏ���i�����������%�������[����������[�����������ҟ�P�����������>����������>�������1����������x/�誜�������x/�誜��������A��sK�������S��;��������T��;��������Yf�����������x���X��������y���X�������礟���������*ϟ�f��������*П�f��������q��73������¹��Ʉ�����¹��Ʉ������ ���l�������O2���������O3��������ÚE��m���������W��:T��������X��:S�������8Q���������ċJ��ә������ċK��Ә��������D��.�������1=��tĄ������1>��tĄ�����ň+��Ag����������
����������	�������9���ڬ������Ɣ؟�O������Ɣٟ�N���������s�������R���@��������R���@�������DZU��
6�������)���ل������)���؄������r��n�������շ��{�������ո��{�������<s��O�������ɣ.��$������ɣ.��$�������������������h����+�������h����*��������x�⥧�������63��~$�������63��~$������˜��V�����������/����������/�������fp�����������7�����������8�����������/���c������͖���DŽ�����͖���DŽ�������u���������\<��qw�������\=��qv������ο��Y��������!˟�B�������!̟�B������τ���.K��������Z�����������[����������J"��
�������Ь���������Ь���������������������rx���Q�������ry���Q�������(:��Ü�������(:��Ü������҇�࿩���������໶���������໵������ӛ���΄�����ӛ���΄�������j��ۄ������a1����������2����ŏ����&���������Ս|��ڄ�������7��̈́�������7��΄������Z�໵�����������Ü�����������Ü�������,[���v������ח	���P������ח
���Q�����������+�������tN����������tN�������������Ԅ������Q�����������Q������������4��&c�������.֟�:$�������.֟�:%������ڝx��M���������a����������a��������z���}P��������^�����������^����������X�ᰮ�������Ƣ���c�������Ƣ���c�������1P����������ݛ����������ݛ��������������'7�������q[��Fӄ������q\��Fӄ���������fo�������>ҟ��������>ҟ�������ߥ��⩚�������H���)�������H���*�������o����������֟�0��������ן�0�������0���?����������cN���������cO��������S��҄������M'��U�������M'��U����������˄��������	A���������	B�������Y՟�4��������Ÿ�`.�������Ÿ�`/���������䋥�������^����������^���������䱕��憄��������������������������W���EZ������媁��tĄ�����媂��tĄ�������{��!�������Pt���~�������Pu����������n��܄�������g��B9��������h��B:�������Ia��y��������Z��܄������[��܄�������H��� �������J5��'d�������J5��'e�������.��b���������'����������(���������G���&���������^���������^�����������_��������C�袴�������C��袵������������������ϟ�)��������ϟ�)�������Dȟ�l7����������b�������Ÿ�c�������껟��������=���5��������=���5�������쐮��|ل������㧟����������㨟����������2���������클��R6������클��R6�������ԭ��a�������'���،�������'���؍�������r�����������˟�f˄������̟�f˄������ޟ���������S���!�������S���"���������0M����������sx����������sy�������15���������xT����������xT������������1!�����������pY�����������pY�������A֟����������Ʉ���������Ʉ�������-��*
�������X��eQ�������Y��eR�������J���������ɟ��ڄ������ɟ��ۄ���������,�������9��J}�������9��J}�������Kd�������󎏟��������󎐟���������ѻ��1���������?u���������?v�������X��z��������=����������>�����������]���C�������)|��,��������)|��,��������p���k���������������������������������ٟ��<�������E���!��������E���!���������
��`����������������������������'/���5�������rA��y�������rB��z��������T��Q��������f���������g���������Wm���G��������s�����������s������������>Є������<���z�������<���z������������Y�������ڤ���������ڤ���������)���'�������x���[email protected]�������x���[email protected]�������Ƕ�����������������������������������aΟ��X����������,�����������,�����������`�������C���p�������C���q�����������ۄ����������E�����������E�������(1����������oP��I1�������oP��I2��������b��t��������t����������u����������P���˕�������������������������������⹟���������)؟�>*�������)؟�>+�������t��e�������������1������������1����������������V!���O������V"���P�������4���߄������F��n�������G��o������;M��>��������S��b��������S��b��������L���������0E����������0F�����������?���I�������8����������9���������-&������������(���������(���������G�������9ӟ�gU������9ԟ�gU�������������������|�����������|����������VP���N�������$�����������$������������������z���a������z���a�������z��������@A��4˄�����@B��4˄������	��H�������П�\M������џ�\N������h���p�������_���Є������`���ф�����	2����������	�֟���������	�֟���������	�����`������
^d���:������
^e���;������
�,���"������#���	������#���	�����������������邟��ׄ�����I����ׄ������
+���ׄ������
dӟ��ׄ�����
ç���������"{���������"{����������<���"�������<���"������7���H����������n����������m������;ן���������;ן���������鱟�l������鱟�l����������D�����������D�������ML��������ML��������
��������
���������Ο��[�������Ο��[�����������������vv��w#������vv��w#�������J��S�������4��0������4��0���������u����������������������������X����b�������U���߄������U���߄�������r\������|��Jل�����|��Jل�����۸��c������:����������:�����������`��Ă�������4����������4���������W��e��������ܟ�6D�������ܟ�6D���������ڄ�����k����p������k����p�������}���������!]��x�������!^��x�������tW��E?�������P���������Q��������J��ބ������mC���'������mD���&�������=��{�������6��LR������7��LR������^I����������[��嘄������\��嗄������{���:������7���~݄�����7���~܄�����~���K�������؟�"�������؟�!���������Ą�����DH���g������DH���f�������s����������ʞ��R�������ʟ��R������� ���Z������ Xݟ��"������ Xݟ��"������ ���������� ���U������� ���U�������!*F��z������!mq���B������!mr���B������!����������!����P������!����P������":��	̄�����"z ��­������"z ��­������"�K��{�������#v��4o������#w��4o������#?����P������#~��1������#~��1������#���[������#�W��
������#�W��������$<����������${ǟ�r������${ǟ�r������$����&������$�7���܄�����$�7���ۄ�����%5{��Մ�����%p���=τ�����%p���=τ�����%����Ʉ�����%�b��Ä�����%�b��Ä�����&���T�������&N��	�������&N��	�������&�U��������&����sz������&����sy������&���(g������'#`���U������'#a���T������'V���B������'���G0������'���G/������'����������'���������'���������(M��uƄ�����(O���2�������(O���2�������(���{������(���\������(���\������(���a1������)
S��������)
S��������)<����ڄ�����)l'�闯������)l'�问������)����P�������)����	p������)����	p������)�X���E������*1���������*1���������*e��;�������*�p���ۄ�����*�q���ۄ�����*�Ÿ筼������+��f�������+��f�������+BW���������+}����y������+}����x������+���Y������+�$��B:������+�%��B:������,3]���(������,r���������,r���������,�͟�d�������,���ׄ�����,���ׄ�����-0=���ń�����-ou�䇳������-ou�䇲������-����D�������-�˟�\������-�̟�[������.8���<������.|"��s������.|#��s������.�N��3������/y��������/z��������/E���u������/�П�v=������/�џ�v=������/����:�������0'����������0(����������0RS���c������0�~��������0���������0ت��Y�������1՟�"p������1֟�"p������1_���������1�,��Ü������1�-��Ü������1�X��&������2(���l�������2(���l�������2k���A9������2�ڟ�Ä�����2�۟�„�����2����3������3-K��Τ������3-K��Σ������3l��߫������3���߇�������3���߇�������3���g������42��HL������42��HL������4�i���������4�i���������5F���٪������5F���٪������5�̟ޢY������5�̟ޢY������6z؟�zք�����6z؟�zք�����7��SS������7��SS������7�ן�3�������7�ן�3�������8dʟ�������8dʟ�������9���M������9���M������9�~���f������: ~���f���ڎ��:�X���f�������;$���f������;���4������;���4������<����#������<����#������=5���C�������=5���C�������=�h��k������=�h��k������>�B�ޚr������>�B�ޚr������??���܄�����??���܄�����?����x������?���	������?���	������@;���,�������@���P2������@���P3������@����oτ�����A)
�ߏk������A)�ߏk������At �߲�������A�2��։������A�3��֊������B
E��������BUW��-v������BUX��-w������B�^��T�������B�d��|}������B�d��|}������CBj��������C�p���Q������C�p���Q������C�i���������D7b��B������D7c��B������D�P��y]������D�=�ᰮ������D�=�ᰮ������E<*����������E���P������E���P������E����Z�������FHן�؄�����FH؟�ل�����F�����������F����I������F����I������G]m��Wt������G�A�㚟������G�A�㚠������H���˄�����Hy�� �������Hy�� �������Hؽ��h������I7���5������I7���5������I�X���T������I���=s������I� ��=s������J[�刅������J�ȟ�ӗ������J�ȟ�Ә������K����������K�V��aք�����K�W��aք�����K�+��������L=�����������L=�����������L�Ɵ�C
������M���������M��� ������Mbb���?������M�6��^������M�6��^������N��gp������Nv��貂������Nv��貃������N�˟���������O4���@�������O4���@�������O���������O�_����������O�`����������[email protected]��*������P� ��UU������P�!��UV������P��ꘁ������QU��۬������QU��ۭ������Q�ϟ�"̄�����R���i������R���i������R^���#������R�|���[������R�}���[������Sj��+�������SgW��n�������SgW��n�������S�7��݄�����T���������T���	������Tw���4A������T�؟�sy������T�ٟ�sy������U1���������U�����τ�����U�����Є�����U�U��<�������VN)��&������VN)��'������V�����R������Wџ�}������Wџ�~������Wn���I�������W�_��Ԅ�����W�`��Մ�����X8���������X�֟�+������X�֟�,������Y���VW������YlL�𙂄�����YlL�𙃄�����Y���ܮ������Z9Ÿ�ل�����Z9Ÿ�ڄ�����Z�}��c������[8��0������[8��1������[q���\������[ܔ��,�������[ܕ��,�������\GC��o�������\���ބ�����\���߄�����]����������]h��1O������]h��1O������]���p�������^Tğ󯿄�����^Tş󯿄�����^�����������_";��&G������_";��&H������_����a�������_ﱟ�Є�����_ﱟ�ф�����`Rx���"������`�?��s������`�@��s������a��BĄ�����azΟ�z������azϟ�z������aݖ���r������[email protected]]���τ�����[email protected]^���Є�����b�>��:������b���?�������b���?�������cT��o������c�ǟ��x������c�ǟ��x������d
����������da����d������da����e������d����������e{��Dk������e{��Dk������efh��k������e�U���q������e�U���q������fN���������fcG���w������fcH���w������f���	�������g(֟�1}������g(ן�1}������g����\������g�e���i������g�f���j������hQ-����������h���ψ������h����ω������i����������iy����������iy����������i�2��:7������jN��]Ƅ�����jN��]DŽ�����j�����V������k$=���������k$>���������k�ӟ��u������l	h���������l	i���������l����������l�a��+=������l�b��+=������m�ş�N̄�����n(��r[������n)��r\������n�����������oן��z������oן��{������o����
������p,S���������p,S���������p����$)������qP���G�������qP���G�������q���kH������rm2���ׄ�����rm2���؄�����r�|���t������s�Ɵ��������s�ǟ��������t*��鸄�����t����`������t����a������t�#��������uk���4˄�����uk���4˄�����uʍ��L�������v)a��d5������v)a��d5������v����{������v����{������w�����������w�����������wEݟ���������wEݟ���������w]����m����������$ඍ�$�The�ain��qtersections�are�sup�s�ersingular�p�oin��qts;�u�the�A�tkin-Lehner�in�v�o-����$lution�7t�w�����`��
���sw��qaps���r�0����&��0���7s0���[�and���r��1����&��1���7s1���$�.����$Consider���g�k��2����H��U����0�����(�A�;��F�
�����A��
��)�%�
��F�����`��	aF�suc��qh�that��q-exp��)Ľ(�g����)���=�0.���Then��g����v���an-����$ishes�1,on�the�comp�s�onen��qt�of��X�����F��Ϧ�`����J�con�taining��1�.��Since��A��is�new�and����$corresp�s�onds�Lbto�a�single�eigenform,�Q��w�����`��n7�(�g����)���=���g��,�Q�so��Lbq-exp��+(�w�����`��n7�(�g��))�=����$0;�!Thence�~	�g���v���anishes�on�the�other�comp�s�onen��qt�of��X�����F��Ϧ�`���
��.�
�lThis�forces����$�g�k��=���0,�7tand�hence��D�xQ�[�`�]�=�0.��#UV����8The�7tpro�s�of�is�complete.���@�i�
��ff������ff	���
Lw�ff	����	���
��ff�������"Р䷫���`�����8�W.��oA.��Stein,�The�Manin�index�of�optimal�new�quotien��rts����V���Ơ���`���vqU�x�5.�
^�Theoretical��
evidence��>1Ǎ���I��|���$�Edixho��u�v�en's�(thesis,�8�O.�Gabb��=er:���c�����A��A/�is��Fan�in��qteger�(uses�Katz-����$Mazur).��,Q����I�|���$�Edixho��u�v�en:��U�Muc��qh���more�when��dim��%V��A�	���=�1.�L�F���Vor���example,��]he����$constructs��a�\stable"�mo�s�del�of��X�����0��_��(�p������2���N���)��when�(�p;��FN��)�	�o=�1.�n0If�����$dim��6`�A��`�=�1���and��p��`���5,�"then����p������3��
�\�-���cond��(�(�A�).��Th��qus�he�obtains�in-����$formation�7tab�s�out�all�elliptic�curv��qes.��Ma�yb�e�7ta�lot�more??������I�|���$�Ra��u�ynaud:���If�7t4����-��N���,�then��"����0�������ord��������2��"�(�c�����A��	N��)�����dim��")��A����$�This���is�a�straigh��qtforw�ard���generalization�of�Prop�s�osition�3.1�of�Abb�es-����$Ullmo;��this���prop�s�osition�uses�a�deep�theorem�of�Ra��qynaud�on�semi-����$ab�s�elian�7treduction.������I�|���$�Abb��=es-Ullmo:���If��7tdim��"�d�A����=�1,�7tthen��c�����A���]�is�a�unit�in��Z�[�����2B��f��1��33��K���
G�	���m������{�].������$�䷫���`�����8�W.��oA.��Stein,�The�Manin�index�of�optimal�new�quotien��rts���¹VI���Ơ���`���{g��x�6.�
^�Numerical��
evidence�� p[����I��|����$dim��6`�A����=�1:��Cremona.��,Q����I�|����$dim��6`�A��H�=�2:�4��Empiric��"�al��Jevidenc�e�for�the�Bir�ch�and�Swinnerton-����$Dyer�Mc��"�onje�ctur�es�for�mo�dular�Jac�obians�of�genus�2�curves�,����$Flynn,�7tLepr��r����ev��qost,�Sc�haeer,�|,�Stoll,�W���Vetherell.����$W���Ve�7tconsidered�optimal�quotien��qts�of�dimension�2.������$X�����2ܩ�Computed���
�����A���v�directly�b��qy�nding�minimal�prop�s�er�regular�mo�d-����2ܩels.������$X�����2ܩ�Computed�7t
�����A���]�using�mo�s�dular�sym��qb�ols.������$X�����2ܩ�Find��~��S��c�����A����=�����OY����
�����A�������4������ߍ�b��
�����A�������N�:��!����$�The�7tnon�square-free�lev��qels�treated:��"��$�N����=���3���݀�2��	����w��7�;����3���݀�2�����13�;����5���݀�3��_��;��3���݀�3��	�����5�;��3����7���݀�2��_��;��F�5���݀�2��	�����7�;��2���݀�2��	�����47�;��3���݀�3��	�����7�:����$�In�7tev��qery�case,��c�����A����=���1.����������;�䷫�#8�5}h!�cmsl12�4���@G�cmti12�3�"V

cmbx10�2��N�cmbx12�0���G�
msbm10�,��uG�
cmex10�+!",�
cmsy10�*!",�G�
cmsy10�)��g�cmmi12�(��g�G�cmmi12�'�Ɍ�q
cmbsy10�&��N�G�cmbx12���N��Hcmbx12���N��qcmbx12�D��t�qG�cmr17�D��tG�G�cmr17��5D

xybsql10��5D

xybtip10��5D

xyatip10��6δ

xydash10�X�Qcmr12�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10�������