Sharedwww / main.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1998.09.24:1148������s\ȍ����8�8G��������P��D��tG�G�cmr17�Hec��qk�e�7tAlgebras�and�Mo�s�dular�F���Vorms:����Z�Notes�7tfrom�a�course�of�Ken�Rib�s�et��,�������K�X�Qcmr12�William��A.�Stein���������<�Septem��rb�S�er��24,�1998�����*�s\ȍ����8���Y�K�`y

cmr10�ii���8G���M�s\ȍ����8�8G���4��#�&��N��Hcmbx12�Preface��4��#�These��are�the�notes�of�a�1996�Berk���eley�course�of�Ken�Rib�Get's�on�mo�dular�forms����#and�J�Hec���k�e�op�Gerators,�L�whic�h�w�as�giv�en�in�the�w�ak�e�of�Andrew�Wiles�m�uc�h�cele-����#brated�UUpro�Gof�of�F��*�ermat's�last�theorem.����2�'�"V

cmbx10�Ac��9kno�wledgemen�t:�M�These���notes�o���w�e���ev�erything�to�Rib�Get's�b�eautiful�lec-����#tures.�B�I��fw���ould�NJalso�lik�e�to�thank�Kevin�Buzzard,���Da�vid�Moulton,���Helena�V��*�errill,����#and�UUJo�Ge�W��*�etherall�who�w���ere�v�ery�helpful�in�the�preparation�of�these�notes.����2William�UUA.�Stein�(�(��<x

cmtt10�[email protected]�)����#Berk���eley��*�,�UUCalifornia����K����UUiii������s\ȍ����8���Y�iv�!N2�$p�0J

cmsl10�PREF���A���CE���8G���ޠs\ȍ����8�8G���5:ލ�#�Con��8�ten�ts��@u���#�Preface��*iii���u����#1��2In��9tro�Q�duction����1���
y׍��2�1.1��ITw���o�UUdimensional�Galois�represen�tations�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����1������I1.1.1��iFinite�UUFields�(W��*�eil,�T�ate)������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����1������I1.1.2��iGalois�UUrepresen���tations�m�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����2������21.2��IMo�Gdular�UUforms�
�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����3������I1.2.1��iCusp�UUforms��ҍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����3������I1.2.2��iHec���k�e�UUOp�Gerators�*����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����3������#�2��2Mo�Q�dular��TRepresen��9tations�and�Curv�es�����5������2�2.1��IArithmetic�UUof�Mo�Gdular�F��*�orms�bӍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����5������22.2��ICharacters�8�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����6������22.3��IP���arit�y�UUConditions��G����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����7������22.4��IConjectures�UUof�Serre�(mo�Gd��
�b>

cmmi10�`��v���ersion)��'����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����7������22.5��IGeneral�UUremarks�on�mo�Gd��p��Galois�represen���tations������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����7������22.6��ISerre's�UUConjecture��ҍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����8������22.7��IWiles'�UUP���ersp�Gectiv�e�qD����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������#�3��2Mo�Q�dular��TF��
�orms����11������2�3.1��ICusp�UUF��*�orms��񍍑�.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����11������23.2��ILattices�#;����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����11������23.3��IRelationship�UUWith�Elliptic�Curv���es�iٍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����12������23.4��IHec���k�e�UUOp�Gerators�
�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����12������23.5��IExplicit�UUDescription�of�Sublattices�Mf����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����14������23.6��IAction�UUof�Hec���k�e�UUOp�Gerators�on�Mo�dular�F��*�orms�馍���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����14������#�4��2Em��9b�Q�edding��THec�k�e�Op�Q�erators�in�the�Dual��p1�17������2�4.1��IThe�UUSpace�of�Mo�Gdular�F��*�orms�[�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����17������24.2��IInner�UUPro�Gduct�?�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����18������24.3��IEigenforms������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����19����K�����qv����R�s\ȍ����8���Y�vi�#��CONTENTS���8G�������Y�5��hRationalit��9y��Tand�In�tegralit�y�Questions���_�21����
���h�5.1��Review�x�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����21������h5.2��In���tegralit�y�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����21������h5.3��Victor�UUMiller's�Thesis�T���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����22������h5.4��P���etersson�UUInner�Pro�Gduct��
����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����23���ݽ���Y�6��hMo�Q�dular��TCurv��9es���e25������h�6.1��Cusp�UUF��*�orms��񍍑�.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����25������h6.2��Mo�Gdular�UUCurv���es�8m����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����25������h6.3��Classifying�UU(�N��)-structures�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����26������h6.4��More�UUon�In���tegral�Hec�k�e�Op�Gerators�ԇ����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����27������h6.5��Complex�UUConjugation�q,����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����27������h6.6��Isomorphism�UUin�the�Real�Case�b؍���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����28������h6.7��The�UUEic���hler-Shim�ura�Isomorphism�b�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����28������h6.8��The�UUP���etterson�Inner�Pro�Gduct�is�Hec�k�e�Compatible�>荍��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����29������Y�7��hHigher��TW��
�eigh��9t�Mo�Q�dular�F�orms����31������h�7.1��Denitions�UUof��T�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����31������h7.2��Double�UUCosets�\����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����31������h7.3��More�UUGeneral�Congruence�Subgroups��`����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����32������h7.4��Explicit�UUF��*�orm���ulas�Ս���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����33������h7.5��Old�UUand�New�F��*�orms��9����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����33������Y�8��hNew��TF��
�orms��535������h�8.1��Connection�UUWith�Galois�Represen���tations�	�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����36������h8.2��Semisimplicit���y�UUof��U����	0e�rcmmi7�p��	G������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����36������h8.3��Shim���ura's�UUExample�of�Nonsemisimple��U����p���Ս����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����37������h8.4��An�UUIn���teresting�Dualit�y�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����37������h8.5��Observ��q�ations�UUon��T����n���A�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����38������Y�9��hSome��TExplicit�Gen��9us�Computations����41������h�9.1��Computing�UUthe�Dimension�of��S����k��됲()�*�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����41������h9.2��Application�UUof�Riemann-Hurwitz�p�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����41������h9.3��Explicit�UUGen���us�Computations�X)����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����42������h9.4��The�UUGen���us�of��X���(�N��)�斍���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����43������h9.5��The�UUGen���us�of��X����ٓ�Rcmr7�0��|s�(�N��)�3����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����43������h9.6��Mo�Gdular�UUF��*�orms�mo�d��p��.�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����44������Y�10��hThe��TField�of�Mo�Q�duli��أ�47������h�10.1��Digression�UUon�Mo�Gduli�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����48������h10.2��When�UUis������E��
²Surjectiv���e?�}����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����48������h10.3��Observ��q�ations��獍��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����49������h10.4��A�UUDescen���t�Problem�[��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����50������h10.5��Second�UULo�Gok�at�the�Descen���t�Exercise�FF����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����51������h10.6��Action�UUof��GL���n:���2���͍����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����52������Q�s\ȍ����8���#�CONTENTS�\h�vii���8G�������#�11��2Hec��9k�e��TOp�Q�erators�as�Corresp�ondences���4.55����܍��2�11.1��ISome�UUPhilosoph���y������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����55������211.2��IHec���k�e�UUOp�Gerators�as�Corresp�ondences��G����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����56������211.3��IGeneralities�UUon�Corresp�Gondences�fW����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����57������211.4��IJacobians�UUof�Curv���es��r����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����59������211.5��IMore�UUon�Hec���k�e�UUOp�Gerators�1"����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����59������211.6��IHec���k�e�UUOp�Gerators�acting�on�Jacobians��
����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����60������I11.6.1��iThe�UUAlbanese�Map��@����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����61������I11.6.2��iThe�UUHec���k�e�Algebra��	����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����62������211.7��IThe�UUEic���hler-Shim�ura�Relation:�q�P�art�I�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����62������211.8��IThe�UUEic���hler-Shim�ura�Relation:�q�P�art�I�GI������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����63������211.9��IApplications��ҍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����65������211.10��IMore�UUon�Eic���hler-Shim�ura��ˍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����67���0ō��#�12��2Ab�Q�elian��TV��
�arieties�from�Mo�dular�F��
�orms��z_�69������2�12.1��IComputing�UUthe�Determinen���t�of��������~K�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����72������212.2��IDualit���y�UUand�P�olarizations��r����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����73������212.3��IThe�UUW��*�eil�P���airing�Ơ����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����73������212.4��IThe�UUF��*�ancy�Pro�Gof�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����74������212.5��IThe�UUConcrete�Pro�Gof�[卍��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����74������212.6��IThe�UUConstruction�for��X����1��|s�(�N��)�}�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����75������#�13��2The��TGorenstein�Prop�Q�ert��9y�����77������2�13.1��IThe�UUGorenstein�Prop�Gert���y�{̍���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����80������213.2��IPro�Gof�UUthe�Gorenstein�Prop�ert���y��͍���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����83������I13.2.1��iV��*�ague�UUCommen���ts�T�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����86������213.3��IFinite�UUFlat�Group�Sc���hemes��4����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����86������213.4��IReform���ulation�UUof��V����=���W���problem�i鍍��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����87������213.5��IDieudonn�����Ge�UUTheory�*$����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����87������213.6��IThe�UUPro�Gof:�q�P���art�I�I�qA����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����88������213.7��IKey�UUResult�of�Boston-Lenstra-Rib�Get�?'����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����91������#�14��2Lo�Q�cal��TProp�erties�of����������&�93������2�14.1��IDenitions�jM����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����93������214.2��ILo�Gcal�UUProp�erties�when��p��q��
!",�

cmsy10�6��j�N��ɍ����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����94������214.3��IW��*�eil-Deligne�UUGroups�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����94������214.4��ILo�Gcal�UUProp�erties�when��p�j�N��������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����95������214.5��IDenition�UUof�the�Reduced�Conductor�?&����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����95������214.6��IIn���tro�Gduction����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����96������214.7��IAdelic�UURepresen���tations�Asso�Gciated�to�Mo�dular�F��*�orms������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�����97������214.8��IMore�UULo�Gcal�Prop�erties�of�the��������>:�.�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����100������I14.8.1��iP���ossibilities�UUfor������p��
5�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����101������I14.8.2��iThe�UUcase��`���=��p��������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����101������I14.8.3��iT��*�ate�UUCurv���es�M�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����103������Gܠs\ȍ����8���Y�viii��K�CONTENTS���8G�������Y�15��hThe��TW��
�eigh��9t�and�Serre's�Conjectures����105���"荍�h�15.1��In���tro�Gduction����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����105������h15.2��Review�UUof�the���-adic�case��@����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����105������h15.3��Serre's�UUconjecture�0������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����106������15.3.1���Problems������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����106������h15.4��Serre's�UUconjecture�1������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����107������15.4.1���Key�UUbac���kground�p�Goin�ts�iꍍ��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����108������h15.5��The�UUw���eigh�t�and�fundamen�tal�c�haracters�
P����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����109������h15.6��The�UUw���eigh�t�in�Serre's�conjectures�on�mo�Gdular�represen�tations�7�����.��������.�����113������15.6.1�����G�-series�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����114������15.6.2���Edixho���v�en's�UUpap�Ger�
�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����115������h15.7��The�UUextra�assumption������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����116������15.7.1���Companion�UUF��*�orms�T�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����118������h15.8��The�UUexceptional�lev���el�1�case�T�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����119���:/���Y�16��hF��
�ermat's��TLast�Theorem����^123������h�16.1��The�UUapplication�to�F��*�ermat�Ԭ����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����123������h16.2��Mo�Gdular�UUElliptic�Curv���es��C����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����125������Y�17��hDeformations���%127������h�17.1��In���tro�Gduction����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����127������h17.2��Condition�UU(��)��;����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����128������17.2.1���Finite�UU
at�represen���tations�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����129������h17.3��Classes�UUof�Liftings�1B����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����129������17.3.1���The�UUcase��p���6�=��`��������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����129������17.3.2���The�UUcase��p���=��`��������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����130������h17.4��Wiles'�UUHec���k�e�algebra�M�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����131������Y�18��hThe��THec��9k�e�Algebra��T��������	��133������h�18.1��The�UUHec���k�e�Algebra�Ͷ����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����133������h18.2��The�UUmaximal�ideal�in��R�<���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����135������18.2.1���Strip�UUa���w�a�y�certain�Euler�factors��>����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����136������18.2.2���Mak���e�UUin�to�an�eigenform�for��U����`��
������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����136������h18.3��The�UUGalois�Represen���tation��"����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����137������18.3.1���The�UUstructure�of��T����0f$�cmbx7�m��
Z�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����138������18.3.2���The�UUphilosoph���y�in�this�picture�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����138������18.3.3���Massage�UU���M�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����139������18.3.4���Massage�UU����^��O!�cmsy7�0��	pb�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����139������18.3.5���Represen���tations�UUfrom�mo�Gdular�forms�mo�d��`�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����140������18.3.6���Represen���tations�UUfrom�mo�Gdular�forms�mo�d��`���^��n��������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�����141������h18.4������^��0��#��is�UUof�t���yp�Ge���?����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����141������h18.5��Isomorphism�UUb�Get���w�een��T����m��X�and��R����m��m�O
�\cmmi5�R����������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����142������h18.6��Deformations��ʍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����143������h18.7��Wiles�UUMain�Conjecture������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����144������h18.8���T������	���is�UUa�complete�in���tersection��2����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����147������h18.9��The�UUinequalit���y�#�O�G�=�"����#�}����T��L��=}���^���2��b��T���	θ��}����R���b�=}���^���2��b��R���������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����147������	r�s\ȍ����8���#�CONTENTS�#��ix���8G�������I18.9.1��iThe�UUdenitions�of�the�ideals�b�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����148������I18.9.2��iAside:�q�Selmer�UUGroups�	�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����149������I18.9.3��iOutline�UUof�some�pro�Gofs�́����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����149������
�h�s\ȍ����8���Y�x���CONTENTS���8G������s\ȍ����8�8G���/>���#�3��N��qcmbx12�Chapter��
1��2>���#�In��8�tro��
duction��4>���#�The�UUmain�ob��8jects�of�study�in�this�course�are:���������2�����<�Galois�UUrepresen���tations��������2�����<�Mo�Gdular�UUforms�������2�����<�Hec���k�e�UUalgebras�������2�����<�Mo�Gdular�UUcurv���es�������2�����<�Ab�Gelian�UUv��q�arieties��"]h���#�5��N�ffcmbx12�1.1��G�cTw���o�ffdimensional�Galois�represen�tations��[p��#�The�{�main�geometric�ob��8jects�w���e�will�study�are�elliptic�curv�es,��Hand�more�generally��*�,����#algebraic��curv���es�of�arbitrary�gen�us.���These�in�turn�giv�e�rise,�5�via�the�Jacobian����#construction,�aIto��higher�dimensional�ab�Gelian�v��q�arieties,�from�whic���h�w�e�obtain����#Galois�UUrepresen���tations.��>���2When��studying�elliptic�curv���es�o�v�er�a�eld�of�c�haracteristic�zero,�@�a�natural����#to�Gol�r0is�to�presen���t�the�curv�e�as�����

msbm10�C�=L��for�some�sublattice��L��of�the�eld��C��of�complex����#n���um�b�Gers.��iT��*�o���construct��L�,��x�a�non-zero�holomorphic�dieren���tial��!���on��E�Mm�o�v�er����#�C�.�q�Then���������E�L���=�������^���u

cmex10����������c�Z�����	y�
��L1�!��������
[ګ����
[�����
[�����
[�������0�
�UP�2��H����1��|s�(�E����(�C�)�;����Z�)������^�������:�����#�č��#�6��N�cmbx12�1.1.1��[email protected]Finite��Fields�(W���eil,�T�ate)��驍�#�In�1Jthe�1940's,�hGW��*�eil�studied�the�analogous�situation�for�elliptic�curv���es�dened����#o���v�er��a�nite�eld��k�P��.�[>He�desp�Gerately�w���an�ted��to�nd�an�algebraic�w���a�y��to�describ�e����#the���ab�Go���v�e�corresp�Gondence�b�et���w�een�elliptic�curv�es�and�lattices.���He�w�as�able�to����#nd�,�an�algebraic�denition�of��L=nL�,�4�when��n��is�prime�to�the�c���haracteristic�of��k�P��.���K����1������s\ȍ����8���Y�2��
�CHAPTER�UU1.��INTR���ODUCTION���8G������h�Dene������j�E����[�n�]��:=��f�P�*��2��E��(����
�fe�V�$���k����V�)�:��nP�*��=�0�g�:�����Y�In�UUthe�case�of�the�complex�n���um�b�Gers,��+���m�E����[�n�]��=�(�����<$����1��33�w�fe��	(֍�n�����gL�)�=L����T͍������+3����=�����
UN�L=nL����(�Z�=n�Z�)�8���(�Z�=n�Z�)�:��т��Y�F��*�or�UUan���y�prime��`�,�dene��������RB�E����[�`������1��x�]������ya:=��������f�P�*��2���E����(����
�fe�V�$���k����V�)�:��`���������ɵP��=�0�;�����some��8��j���1�g������������=�����������X�1��������H����[�����������wi�=1����L�E����[�`���������ɲ]��=�����lim����3���������!�����UQ�E��[�`���������ɲ]��������YIn�UUan�analogous�w���a�y�UUT��*�ate�constructed�a�rank�2�free��Z����`����-mo�Gdule�����<r�T����`����(�E����)��:=�����lim����3���� ���r������UQ�E��[�`���������ɲ]�;�����Y�where��the�map�from��E����[�`���^�����ɲ]����!��E��[�`���^���wi��1��6=�]��is�m���ultiplication�b�y��`�.���T��*�o�see�that�the����Yrank���is�2,���c���hec�k���that�the��Z�=`���^�����ɺZ�-mo�Gdule�structure�of��E����[�`���^�����]�is�compatible�with�the�����Ymaps�v�E����[�`���^�����ɲ]����T΍��ڴ`���2��������!�������E��[�`���^���wi��1��6=�].�'�F��*�or�example,��hsee�[�33��
]�(I�GI�I,�7).�'�Then��V����`����(�E����)��:=��T����`���(�E����)�|�
��Q����`�����Y�is���a�t���w�o���dimensional�v���ector�space�o�v�er��Q����`����.�_This�is�our�rst�non�trivial�example����Yof�UU�`�-adic�8��Getale�cohomology��*�.�����Y�1.1.2���@Galois��represen��tations��xč�Y�Some���of�the�pioneers�in�the�study�of�Galois�represen���tations�w�ere�T��*�aniy�ama,����YShim���ura,�UUArtin,�and�T��*�ate.��ٍ�hLet�DO�E���=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e�o�v�er�the�rational�n�um�b�Gers��Q�.�>�The�absolute����YGalois���group��G���=��Gal��g(����C�fe�����Q�����=�Q�)���acts�on�the�set��E����[�n�].�0�Since��E�&l�is�dened�o���v�er��ߺQ�,���this����Yaction�UUresp�Gects�the�group�op�erations�and�so�w���e�obtain�a�Galois�represen�tation:����������!����:��G��!���Aut����(�E����[�n�])����T͍������+3����=������
UNGL���n3���2��ꦲ(�Z�=n�Z�)�:�������Y�Let�#��K��˲b�Ge�the�eld�cut�out�b���y�the��k�er���"(��).�a:Then��K��˲is�a��7�':

cmti10�nite��Galois�extension�of����Y�Q�UU�since��E����[�n�]�is�a�nite�set�and��k���er����(��)�is�a�normal�subgroup.�q�Since�������Gal����(�K�(�=�Q�)����T͍�������+3�����=�����
UN�G=�����k���er���õ����T͍�������+3�����=������Im���������GL��������2��\p�(�Z�=n�Z�)����Yw���e�UUobtain,�in�this�w�a�y��*�,�subgroups�of��GL���n:���2��ꭲ(�Z�=n�Z�)�as�Galois�groups.����hShim���ura�UUsho�w�ed�that,�if�w�e�start�with�the�elliptic�curv�e�������щ��E�Z��:���y��[ٟ����2��,�+�8�y�"�=���x������3���S���x������2��|s�;�������Y�then��for�\most"��n��the�image�of����is�all�of��GL�������2��Bw�(�Z�=n�Z�).�9�More�generally��*�,���the�image����Yis���\most"�of��GL���ˢ���2��H�(�Z�=n�Z�)�when��E�FJ�do�Ges�not�ha���v�e���complex�m���ultiplication.���(�E��is����Ysaid���to�ha���v�e����c��}'omplex�"Qmultiplic�ation��if�its�endomorphism�ring�strictly�larger�than����Y�Z�.)��������s\ȍ����8���#�1.2.��MODULAR�UUF���ORMS��
�3���8G�������#�1.2��G�cMo�s3dular�ffforms�����#�Mo�Gdular�!�forms�are�analytic�ob��8jects,�,ha���ving�an�inordinate�amoun�t�of�symmetry��*�.����#Man���y���sp�Gectacular�theorems�and�deep�conjectures�link�Galois�represen�tations����#with�UUmo�Gdular�forms.��☍��#�1.2.1��[email protected]Cusp��forms��uT��#�Dene��_���Oޅ����1��|s�(�N��)��:=�������b���������o���b�����������n�a���L{b���\q���>6c�����d�����������b�����#*��2���SL����2���(�Z�)��%�P:�q��a����d����1�;���c����0���(�mo�Gd����N��)������b�	�����W�:����#�Let��Z�S����k��됲(�N��)�denote�the�space�of��cusp���forms��of�w���eigh�t��Z�k���and�lev���el��N��u�for�����1��|s�(�N��).����#Th���us���S����k��됲(�N��)�is�the�complex�v�ector�space�consisting�of�all�holomorphic�functions����#�f���(�z�p��)�[�on�the�upp�Ger�half-plane��8�%n�

eufm10�h�|��=��f�z��F�2��C��:��Im��nx(�z��)��>��0�g�[�v��q�anishing�at��1��and����#satisfying�������[�T�f��������`���������<$��?��az��w�+�8�b��?��w�fe�֟	(֍��cz��w�+�8�d��������$V����`�����-��=��(�cz��w�+�8�d�)������k��됵f���(�z�p��)��
for�UUall�����-�x���b�����������4w�a���;��b���\q���4~?c���;9�d�������A'���b�����Hj��2������1��|s�(�N��)�:��������#�In��\particular,��since�������b�����������	4[�1�����1���؍��	4[0�����1��������ϟ��b������>�2�������1��|s�(�N��),�so�that��f���(�z�p��)��=��f��(�z�熲+�v�1),��w���e��\can�expand��f��(�z�p��)����#as�UUa�series�in��q�[ٲ(�z�p��)��=��e���^��2��@Liz���c2�������d�f���(�z�p��)��=������Sf�1����������X��������n�=1����A�c����n��q~�q��[ٟ����n���W�:������'��#�It�UUcan�b�Ge�sho���wn�that��S����k��됲(�N��)�has�nite�dimension.����2A�UUfamous�example�of�a�cusp�form�is����������5���=��q�������Ϸ1������+�����Y���������n�=1����(1�8���q��[ٟ����n���W�)������24��?��=������Sf�1����������X���������n�=1����A��!Dz(�n�)�q��[ٟ����n��������#�whic���h�׳is�a�basis�for��S����12��x�(1).���The�co�Gecien�ts���!Dz(�n�)�dene�the��R��}'amanujan��\���-����#function�.�q�One�UUno���w�kno�ws�that���w�is�m�ultiplicativ�e�and�satises��_����O���!Dz(�p�������wi�+1��̲)��=����(�p�)���(�p���������ɲ)�8���p������11��x���(�p�������wi��1��6=�)�:����#�This�UUcan�b�Ge�pro���v�ed�UUusing�the�theory�of�Hec���k�e�UUop�erators.��☍��#�1.2.2��[email protected]Hec��k�e��Op�`erators��uT��#�Mordell��dened,�@Gfor��n�U����1,�op�Gerators���T����n��
O��on��S����k��됲(�N��)�called��He��}'cke��>op�er�ators�.����#These��pro���v�ed�v�ery�fruitful.�F�The�set�of�suc�h�op�Gerators�forms�a�comm�uting�family����#of�6�endomorphisms�and�is�hence�\almost"�sim���ultaneously�diagonalizable.��The����#precise�C�meaning�of�\almost"�and�the�actual�structure�of�the�Hec���k�e�C�algebra��T���=����#�Q�[�T����1��|s�;���T����2���;��:�:�:�����]��will�b�Ge�studied�in�greater�detail�in�the�remainder�of�this�course.����#Often,�i�there�e�will�exist�a�basis��f�f����1��|s�;����:�:�:����;���f����r��m��g����S����k��됲(�N��)�e�of�cusp�forms�so�that�eac���h����#�f�rf�=�^׵f����i���#�=������P�����ލ�
��1��%��
��n�=1���);�a����n��q~�q��[ٟ�^��n��	}��is��ba�sim���ultaneous�eigen�v�ector�for�all�the�Hec�k�e�op�Gerators�������s\ȍ����8���Y�4��
�CHAPTER�UU1.��INTR���ODUCTION���8G������Y�T����n��X�and,��Yin���fact,��T����n��q~�f�ڧ�=���a����n���f���.�8IThe��a����n��X�are�then�necessarily�algebraic�in���tegers�b�Geing����Yro�Gots�of�the�c���haracteristic�p�olynomial�of��T����n��q~�,�A+and�m���uc�h�less�trivially��*�,�the�eld����Y�Q�(�a����1��|s�;���a����2���;��:�:�:�����)�UUis�nite�o���v�er�UU�Q�.����hA��kgo�Go�d��claim�can�b�Ge�made�that�the��a����n��\�are�often�in���teresting�in�tegers�b�Gecause����Ythey��1exhibit�remark��q�able�prop�Gerties.�aZF��*�or�example,��'��!Dz(�n�)�L0�������P���
�k��d�j�n���C�d���^��11��ꦲ(�mo�d���691).����YHo���w�q�can�w�e�study�the��a����n��q~�?�ƏHo�w�can�w�e�in�terpret�the��a����n��q~�?�ƏOne�w�a�y�is�to�study����Ythe�tsconnections�b�Get���w�een�tsGalois�represen���tations�and�mo�dular�forms,��;man���y�of����Ywhic���h�UUw�ere�rst�disco�v�ered�b�y�Serre,�Shim�ura,�Eic�hler�and�Deligne.�������Ġs\ȍ����8���Y�152���CHAPTER�UU1.��INTR���ODUCTION���8G������s\ȍ����8�8G���4��#�Bibliograph��8�y��5Vw����R��[1]���bAN.���Katz,���A���ntwerp���Pr��}'o�c�e�e�dings�,�Lecture���Notes�in�Mathematics,����bAv���ol.�UU350���v����R�[2]���bAN.���Boston,��4H.W.�Lenstra,�Jr.,�K.A.�Rib�Get,��Quotients��Rof�gr��}'oup����bArings�U�arising�fr��}'om�two-dimensional�r�epr�esentations�,�\�C.R.�'�Acad.����bASci.�UUP���aris,�t.��312�,�Ser.�I,�F��*�ev.�1991,�p.�323{328������R�[3]���bAC.�<uCurtis�and�I.�Reiner,�Ao�R��}'epr�esentation�}The�ory�of�Finite�Gr�oups����bAand���Asso��}'ciate�A���lgebr�as�,�UUJohn�Wiley�and�Sons,�1962������R�[4]���bAH.�1�Darmon,���F.�Diamond,�R.�T��*�a���ylor,��F��;�ermat's�JKL��}'ast�The�or�em�,����bACMS�UUPro�Gceedings,�1996������R�[5]���bAR.�w�Coleman�and�B.�Edixho���v�en,����Semi-simplicity���of�the��U����p��gB�op��}'er�ator����bAon���wie��}'ght�2�mo�dular�forms�,�UUto�app�Gear,�1996������R�[6]���bAB.��!Edixho���v�en,�i��The��<weight�in�Serr��}'e's�c�onje�ctur�es�on�mo�dular����bAforms�,�UUIn���v�en�t.�Math.�109�(1992),�no.�3,�563{594������R�[7]���bAR.�UUHartshorne,��A���lgebr��}'aic���Ge�ometry�,�UUGTM�52,�1977������R�[8]���bAJ.��ZIgusa,�.�Fibr��}'e��Hsystems�of�Jac�obian�varieties�,�.I.��ZAmer.�J.�of����bAMaths.,�G78,�1956,�p.�D171-199;��I�GI,��id�.,�Gp.�745-760;�I�GI�I,�D�id.�,�G81,�1959,����bAp.�UU453{476������R�[9]���bAKatz���and�Mazur,��!�A���rithmetic��`Mo��}'duli�of�El���liptic�Curves�,�Princeton����bAUniv���ersit�y�UUPress,�1985������M�[10]���bAS.�	ZLang,�6[�A���lgebr��}'aic�9�Numb�er�The�ory�,�6[GTM�	+110,�Springer-V��*�erlag,����bA2nd�UUedition,�1994������M�[11]���bAS.���Lang,����Intr��}'o�duction���to�Mo��}'dular�F��;�orms�,�Grundlehren���222,����bASpringer-V��*�erlag,�UU1976������M�[12]���bAH.���Lenstra,��%B.�de�Smit,��Explicit���c��}'onstruction�of�universal�defor-����bAmation��%rings�,��Pro�Gceedings�J3of�the�Conference�at�Boston�Univ���ersit�y��*�,����bASpring-V��*�erlag,�UU1996������M�[13]���bA�L��}'e�ctur�e���Notes�in�Mathematics,�V��;�ol.�349���K�������153������d�s\ȍ����8���Y�154����BIBLIOGRAPHY���8G�����������[14]����AB.�]|Mazur,�_��Mo��}'dular��gcurves�and�the�Eisenstein�ide�al�,�_�Publ.�]|Math.�����AIHES�UU�47��(1977)�133{186.���č�����[15]����AB.�#�Mazur,�WH�Deforming�Q�Galois�r��}'epr�esentations�,�in:��Galois�#�groups�����Ao���v�er����Q�,�"!Y.�Ihara,�K.�Rib�Get,�J-P��*�.�Serre,�eds.,�MSRI�řPubl.��16�,�����ASpringer-V��*�erlag,�
�New���Y�ork,�Berlin,�Heidelb�Gerg,�1989,�pp.���385-�����A437.��������[16]����AJ.S.�[�Milne,����A���b��}'elian���V��;�arieties�,�in��A���rithmetic���Ge��}'ometry�,�ed.�Cornell�����Aand�UUSilv���erman,�Springer-V��*�erlag,�1986��������[17]����AD.�UUMumford,��Ge��}'ometric���Invariant�The�ory���������[18]����AD.�UUMumford,��A���b��}'elian���V��;�arieties���������[19]����AV.��NKumar�Murt���y��*�,�L�Intr��}'o�duction��fto�A���b��}'elian�V��;�arieties�,�American�����AMathematical�UUSo�Gciet���y��*�,�1993��������[20]����AC.�W�Queen,�X�pap�Ger�in��Numb��}'er��QThe�ory�and�A���lgebr�a�,�X�pap�Gers�W�submit-�����Ated�UUto�the�J.�of�Num���b.�Theory��*�,�1977��������[21]����AK.��dRib�Get,����L��}'e�ctur�e�۷Notes�in�Mathematics,��V��;�olume�601�,�Springer-�����AV��*�erlag,�UU19xx��������[22]����AK.�T�A.�Rib�Get,�T��R��}'ep�ort��Uon�mo��}'d��`��r�epr�esentations�of��Gal�2`�(����}�fe�ҟ���Q�����=Q�)�T�Pro-�����Aceedings���of�Symp�Gosia�in�Pure�Mathematics,��vV��*�ol�55�(1994),�P���art�����A2��������[23]����AJ.P��*�.�:mSerre,�3��A���lgebr��}'aic�);Gr�oups�and�Class�Fields�,�3�GTM�9l117,�����ASpringer-V��*�erlag,�UU1988��������[24]����AJ.P��*�.���Serre,�f��A��Course�bin�A���rithmetic�,�GTM��A7,�Springer-V��*�erlag,�����A1973��������[25]����AJ.P��*�.�UUSerre,��L��}'o�c�al���Fields�,�UUGTM�67,�Springer-V�erlag,�1979��������[26]����AJ.P��*�.�UUSerre,���-adic���R��}'epr�esentations�and�El���liptic�Curves�,��������[27]����AJ.�KzP��*�.�Serre,���Sur�a�les�r��}'epr�����$�esentations�mo�dulair�es�de�de�gr�����$�e�2�de�����A�Gal�2`�(����}�fe�ҟ���Q�����=Q�),�UUDuk���e�Mathematical�Journal,�V��*�ol.�54,�No.�1�(1987)��������[28]����AJ.���P��*�.�Serre,�U�Pr��}'opri�����$�et��es���galoisennes�de�p��}'oints�d'or�dr�e�ni�des�����Ac��}'ourb�es���el���liptiques�,�UUIn���v�en�t.�Math.�15,�(1972),�259{331��������[29]����AJ.P��*�.�|�Serre,���J.�T�ate,����Go��}'o�d��YR�e�duction�of�A���b�elian�V��;�arieties�,���Annals�����Aof�UUMathematics,�V��*�ol.�88,�No.�3,�No���v�em�b�Ger,�UU1968,�pp.�492{517��������[30]����AO.F.G.�{Sc���hilling,�2��A���rithmetic��}'al�6�A�lgebr�aic�6�Ge�ometry�,�2�Pro�Gceedings�����Aof�UUa�Conference�Held�at�Purdue�Univ���ersit�y��*�,�UUHarp�Ger's,�1963��������[31]����AG.��Shim���ura,����Intr��}'o�duction���to�the�A���rithmetic�The��}'ory�of�A�utomor-�����Aphic���F��;�unctions�,�UUPrinceton�Univ���ersit�y�UUPress,�1994�������Ƞs\ȍ����8���#�BIBLIOGRAPHY����155���8G��������M�[32]���bAG.���Shim���ura,��?�Sur��Nles�int�����$�egr��}'ales�attach���$�ees�aux�formes�automorphes�,����bAJ.�UUMath.�So�Gc.�Japan,�11,�No.�4,�1959,�pp.�291{311������M�[33]���bAJ.�
�Silv���erman,����The��A���rithmetic�of�El���liptic�Curves�,�GTM�	�106,����bASpringer-V��*�erlag,�UU1986������M�[34]���bAJ.�=�Silv���erman,��#�A��}'dvanc�e�d�@�T��;�opics�in�the�A���rithmetic�of�El���liptic����bACurves�,�UUGTM�151,�Springer-V��*�erlag,�1994.������M�[35]���bAR.�YFT��*�a���ylor,��BA.�Wiles,��R���ing��the��}'or�etic�pr�op�erties�of�c�ertain�He�cke����bAalgebr��}'as�,�UUAnnals�of�Math.��141��(1995),�553{572.������M�[36]���bAA.���Wiles,���Mo��}'dular�Ӑel���liptic�curves�and�F��;�ermat's�L�ast�The�or�em�,����bAAnnals�UUof�Math.��141��(1995),�443{551.������ݜ�s\ȍ����8���Y�156����BIBLIOGRAPHY���8G�����&�s\ȍ����8�8G���1G�����#�Index���θ卍����OG��#�congruence�UUsubgroup,�2����#cusp�UUforms,�2����#Deligne,�UU3����#Eic���hler,�UU3����#Galois�UUrepresen���tations,�1����#Hec���k�e�UUop�Gerator,�3����#Jacobian,�UU1����#mo�Gdular�UUcurv���es,�1����#Serre,�UU3����#Shim���ura,�UU2,�3�������K������157��������;�s\��
�8�%n�

eufm10�7�':

cmti10�6��N�cmbx12�5��N�ffcmbx12�3��N��qcmbx12�0f$�cmbx7�(��<x

cmtt10�'�"V

cmbx10�&��N��Hcmbx12�$p�0J

cmsl10�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17����

msbm10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���u

cmex10��
�������