����;� TeX output 1996.04.02:2310������x�������=������������q�jcmr20�Hom��x$ew�or���k��R2,�MA��hnT256B����}P�I���I.8.4,��RI�I�I.6.8,�I�I�I.7.1,�I�I�I.7.3��#�􍍍����i�����ffffcmr14�William���A.�St���e�bAin������&a���JA��;}pr�:�il���2,�1996��5V���'��؀�G�G�cmbx17�1��C+�Exe�rci�B�s�]{e�B�I���I.8.4��b#��'����@cmti12�Complete�:�Interse��ffctions�in��&��N�cmbx12�P����2��2cmmi8�n���P�.�}FA�:Oclose�d�subscheme����g�cmmi12�Y��D�of��P����2��n��y��k����$�is�c�al���le�d�a�����'�X�Qcmr12�(s�[tr�2"i��Jct,�9\global)�)�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�m�if�the�homo��ffgenous�ide�al��I�^��of��Y�	��in��S�sU�=����'�k�g�[�x�����|{Ycmr8�0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�]�35�c��ffan�b�e�gener�ate�d�by��r����elements�wher�e��r���=��URco�S�dim��"W(�Y��;����P����2�n���P�)�.����8��(a)�ܫL��ffet��Y�y�b�e�a�close�d�subscheme�of�c�o�dimension��r�09�in��P����2�n���P�.�b�Then��Y�y�is�a����'c��ffomplete�}�interse�ction�i�ther�e�ar�e�hyp�ersurfac�es�(i.e.,��|lo�c�al���ly�princip�al�subs-����'chemes�Fof�c��ffo�dimension�F�1�)��H�����1����;����:�:�:��ʚ;���H�����r���b�,�Vvsuch�that��Y��¹=�UR�H�����1���� !",�
cmsy10�\��E|������\�E|�H�����r�����as��us��xc��rh�em�e�S�s�,����'i.e.,�35�I�����Y��
��=�UR�I�����H��q��Aa�cmr6�1���P�+�����������UN�+����I�����H���;�cmmi6�r�����.����8��(�)�)��By�(I�S�I,�Ex�5.14)��I����i�)�s�d���en��re�d�t��9o�b�)�e������!�K�cmsy8�����(�I�����Y��P��).�_By�(I�I,�5.15),����x��>5~��������I�������P���}�����԰����q�=�����`Y�I�����Y��P��.����'W��Vr�2"it��Ee���I�Fչ=�UR(�f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����r���b�),�t���h��ren�s�)�ince�lo�S�caliza���t�ion�comm���u��9t��Ee�S�s�wit�h�t��rakin��9g�su�ms,�����Uۋ�I�����Y��
��=�UR(�f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����r���b�)����~���=�((�f�����1���)���+���������UN�+�(�f�����r���b�))����~���UR=�(�f�����1���)����~�����+���������UN�+�(�f�����r���b�)����~���:����'�Let��H�����i����b�)�e�t���h��re�lo�S�cally�pr�2"incipal�clo�!ls�:}e�d�su���b�!ls��xc��rh�em�e�of�co�dim��rens�)�ion�1�d���et��Ee��rmin�e�S�d�����'b��ry��t���h�e�id���e�!lal�sh�e�!laf�(�f�����i��dڹ)����~��.�8�Th�en��Y���i�)�s�t���h�e�in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of�t���h�e��H�����i��dڹ.����8��(�(�)�t�Som��reon�e�sugge�S�s�[t��Ee�d�I�t�sh���ould�ap��rp�ޔly�u��9nmixe�dn��re�s�!ls�an��rd�pr�2"im���ary�d���ecom-����'p�S�o�!ls�)�it��rion���t��9o�som�e�id���e�!lal�som�ewh�e��re�an�d�us�:}e�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�a�sa�t��rura�t��Ee�S�d�id���e�!lal����'do�)�e�S�sn't�tYh��ra�v�e�pr�2"im���ary�comp�S�on�en��t��es�corre�S�sp�on��rdin��9g�t�o�t���h��re�irrelev��X�an��t�id���e�!lal�or����'som��ret���hin��9g��lik�e�t���h�a���t.�8�NOT�DONE.����8���(b)���If��Y�+I�is�a�c��ffomplete�interse�ction�of�dimension�����1��in��P����2�n���P�,���and�if��Y�+I�is����'normal,�35then��Y�ϥ�is�pr��ffoje�ctively�35normal�(Ex.�fi5.14).����8��Let�S��Z�0��b�)�e�t���h��re�con�e�o�v�e��r��Y��p�,��Lt���h�en��A�(�Z�ܞ�)��Q=��S��=I��(�Y��p�).�	t�By�S�(I,�Ex.�3.17d),����'�A�(�Z�ܞ�)��i�)�s�in��t��Eegrally�clo�!ls�:}e�S�d�i��Z��[�i�s�norm���al.�� By�d���enit��rion��A�(�Z�ܞ�)�i�s�in��t��Eegrally����'clo�!ls�:}e�S�d���i��Y��]�i�)�s�pro��ject��riv�ely���norm���al.�-�Th���us�w��re�m�us�[t�sh���o��rw�t�h��ra���t��Z�Ë�i�)�s�norm���al.������1����*�x�������=�������'�Since��m�Y�Zݹi�)�s�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion,��^�I��(�Y��p�)���=�(�f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����r���b�)��mso��Z���i�)�s�a�comp�ޔlet�e�����'in��t��Ee��r�[s�:}ect��rion���su���b�!ls��xc�h�em�e�of��A����2�n�+1���̹.�]dBy�(I�S�I,�8.23)��Z��r�i�)�s�norm���al�i��Z��i�)�s�regular�in����'co�S�dim��rens�)�ion�1p1.�
9Also�b�y�(I�S�I,�8.23)��Y���i�)�s�regular�in�co�dim��rens�)�ion�1�b�eca��2us�:}e�w��re����'h��ra�v�e�5$as�!lsu��9m�e�S�d��Y�є�i�)�s�norm���al.��_Bu��9t��Y��regular�in�co�S�dim��rens�)�ion�1�imp�ޔlie�s��Z�¹regular����'in�5�co�S�dim��rens�)�ion�1.��[W��Ve�us�:}e�d�t���hi�)�s�las�[t�s�:}em��re�s�[t��Ee��r�in�(I�I,�Ex.��6.3d).�In��t��ruit�iv�ely��V,����'t���h��re�_�only�s�)�in��9gular�2"it�y�in��Z�<z�not�in��Y��L�i�)�s�t���h�e�con�e�p�S�oin��t�whi��Jc�h�h�as�co�S�dim�ens�)�ion����'�>�UR�1.�8�Thi�)�s��i�s�b�eca��2us�:}e��Z��F�i�s�lo�S�cally��U�����i��������A����2�1����.]����8���(c)���With�the�same�hyp��ffothesis�as�in�(b),��_c�onclude�that�for�al���l��`�O����0�,��_the����'natur��ffal�b�map��(�P����2�n���P�;����O�����'2�@�cmbx8�P������n���M)�(�`�))�UR�!��(�Y��;��O�����Y��P��(�`�))�b��is�surje��ffctive.� �In�p�articular,���taking����'�`�UR�=�0�,�35show�that��Y�ϥ�is�c��ffonne�cte�d.����8��Th��ra���t��.t���h�e�m���ap�(�P����2�n���P�;����O�����P������n���M)�(�`�))�UR�!��(�Y��;��O�����Y��P��(�`�))��.i�)�s�surject��riv�e��.i�s�jus�[t�t���h��re�s�t��ra���t��Ee-����'m��ren��t�t�of�(I�S�I,�Ex.�	�R5.14d).�Wh�en�t��`��5�=�0�t���hi�)�s�says�t�h��ra���t��k�[R�=��5(�P����2�n���P�;����O�����P������n���M)�(�`�))����'surject��es�ȑon��t��9o�(�Y��;����O�����Y��P��(�`�))�so��dim��]�(�Y�;����O�����Y��P��)�UR���1�ȑan��rd�h�ence��Y�e�i�)�s�conn�ect��Ee�S�d.�-�[If����'�Y���w��re��re�C�not�conn�ect��Ee�S�d�t���h�en�(�Y��;����O�����Y��P��)�UR=��k������Ul�������Ul�k����wh��re��re�C�t���h�e�n���u��9m��ekb�)�e��r�of�direct����'su��9mm���an��rds��equals�t���h�e�n���u��9m��ekb�)�e��r�of�comp�S�on�en��t��es�of��Y��p�.]����8���(d)��Now�supp��ffose�given�inte�gers��d�����1����;����:�:�:��ʚ;���d�����r�����UR�1�,�
�with��r���<�n�.�U�Use�Bertini's����'the��ffor�em�(8.18)�to�show�that�ther��ffe�exists�nonsingular�hyp�ersurfac�es��H�����1����;����:�:�:��ʚ;���H�����r�����'�in�u��P����2�n���P�,��qwith���d���eg��
�H�����i���,�=�UR�d�����i��d��,�such�that�the�scheme��Y��¹=�UR�H�����1����\��������
.\��H�����r����is�irr��ffe�ducible����'and�35nonsingular�in�c��ffo�dimension�35�r����in��P����2�n���P�.����8��[T��Vo�N�ap��rp�ޔly�Be��rt�ini's�t���h�eorem�w�e�m���us�[t�as�!lsu��9m�e��k��۹i�)�s�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d.��I'm����'goin��9g��t�o�m���ak��re�t���hi�)�s�as�!lsu�mpt��rion�no�w.�8�Mayb�)�e�t���h�e��re�i�)�s�a�w�ay�arou��9n�d�t���hi�)�s?]����8��Let�?�P����2��n��y��k������,���!�UR�P���O���d��q�1���*��-up���le���	��k������b�)�e�t���h��re��d�����1����-up�ޔle�em��ekb�e�S�ddin��9g�of��P����2��n��y��k����P�.���Us�:}e�Be��rt��rini's�t���h�eorem���+��'t��9o�?c��rh���o�S�o�!ls�:}e�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�in��P���O���d��q�1���*��-up���le���	��k������whi��Jc�h�h�as�nons�)�in��9gular�in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�wit���h�t�h��re����'im���age�t�of��P����2��n��y��k����P�.��It�pulls�bac��rk�t��9o�a�d���egree��d�����1��4۹nons�)�in�gular�h��ryp�)�e��r�[surf�ace�t��H�����1��4۹in��P����2��n��y��k����P�.����'If��%�r�;g>��ٹ1�cons�)�id���e��r�t���h��re��d�����2����-up�ޔle�em��ekb�e�S�ddin��9g��P����2��n��y��k���
�)�,���!����P���O���d��q�2���*��-up���le���	��k���\ݹ.��VTh��re�im���age�of��H�����1�����'�i�)�s��a�nons�in��9gular�v��X�ar�2"iet��ry�in��P���O���d��q�2����*��-�����upl�Ke���	�k�����of�dim�ens�)�ion�����2.���By�Be��rt�inni's�t���h�eorem����'t���h��re��re�EIi�)�s�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�in��P���O���d��q�2��*���upl�Ke��	�k���$���wh���o�!ls�:}e�in��t��Ee��r�[s�ect��rion�wit���h�t�h��re�im���age�of��H�����1�����'�i�)�s��/nons�in��9gular�an��rd�of�dim�ens�)�ion�on�e�le�S�s�!ls�t���h�an��H�����1����.��tPullin��9g�bac�k�w�e�obt�ain����'a���h��ryp�)�e��r�[surf�ace��H�����2��	Vùsu��rc�h�t���h�a���t��H�����1�����\���H�����2��	Vùi�)�s�nons�in��9gular�an��rd��H�����2��	Vùh�as�d���egree��d�����2����.����'Con��t��rin���uin��9g�.yin�d�u�ct�iv�ely�in�t���hi�)�s�w�ay�an�d�not�in��9g�t���h�a���t��dim��ÿ�H�����1�����\������������\����H�����r�<r��1��7������2����'(s�)�ince���r���<�URn�)�comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h��re�pro�of.����8���(e)��If��Y��g�is�a�nonsingular�c��ffomplete�interse�ction�as�in�(d)�show�that��!�����Y������P���
�����԰���
���=��������'�O�����Y��P��(������#��u
cmex10�P�����d�����i��������n����1)�.����8��By��h(I�S�I�I,�8.20)��!�����H��q�1�������P���������԰���u�=������6�!�����P������n������
�d�L�(�H�����1����)��
�O�����H��q�1����;�.�-uBy�t���h��re�exp�ޔli��Jcit�compu��9t�a���t�ion�of����'�C�ܞl�C��P����2�n��	���(I�S�I,��6.17)�w��re�kno�w�t���h�a���t��L�(�H�����1����)�����P���UR����԰���n:�=��������O�����P������n���M)�(�d�����1���).�8�Th���us�����U
��!�����H��q�1�������P���������԰���u�=������6�O�����P������n���M)�(��n������1)��
�O�����P������n����(�d�����1����)��
�O�����H��q�1�������P���������԰���u�=������6�O�����H��q�1����;�(�d�����1��j����n����1)�:�������2����J�x�������=�������8��By��(8.20)�w��re�h�a�v�e�t���h�a���t��]���~:�!�����H��q�1��*��\�H��q�2�������P����x����԰����`�=�����,w!�!�����H��q�1���P��
���L�(�H�����2����:H�����1���)��
�O�����H��q�1��*��\�H��q�2���w&�:����'�W��Ve���kno��rw�t���h�a���t��H�����2��u��Wq�d�����2����P����2�n��1��p��(lin�e�!lar�equiv��X�alence)�so�b�y�(I�S�I,�6.2b)�t���hi�)�s�imp�ޔlie�s�����'�H�����2����:H�����1��V��UR�d�����2���P����2�n��1�����:H�����1���.�'�Bu��9t����d�����2���P����2�n��1���:H�����1��v��corre�S�sp�on��rds���t��9o�t���h�e�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�(s�:}ee����'(I�S�I,��Ex�6.8c)��O�����H��q�1����;�(�d�����2����).�8�Th���us��]��'�6�!�����H��q�1��*��\�H��q�2�������P����x����԰����`�=�����,w!�O�����H��q�1����;�(�d�����1��j������n����1)��
�O�����H��q�1����(�d�����2����)��
�O�����H��q�1��*��\�H��q�2�������P����x����԰����`�=�����,w!�O�����H��q�1��*��\�H��q�2���w&�(�d�����1��j��+��d�����2�����n����1)�:����'�Rep�)�e�!la���t��rin��9g��t���hi�s�argu��9m��ren��t�in�d�u�ct�iv�ely�yields�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d�i�)�somorphi�sm.�����8���(f�=�)�,1If��Y�ȡ�is�a�nonsingular�hyp��ffersurfac�e�,1of�de��ffgr�e�e�,1�d��in��P����2�n���P�,�-�use�(c)�and�(e)����'ab��ffove�35to�show�that��p�����g�����(�Y��p�)�UR=������G��������n����
�R�d��1����:����<�n�������t��G������!�v�.�fiThus�35�p�����g���(�Y��p�)�=��p�����a��Ϲ(�Y��)�35�(I,�Ex.�fi7.2).����8��By��
d���enit��rion��p�����g�����(�Y��p�)�r�=��dim���5����k��+Ź(�Y��;���!�����Y��P��).�mBy��
(e),�f�!�����Y������P���
ê����԰���
ܒ�=��������O�UV�(�d������n����1)�an��rd�b�y����'(c)��t���h��re�n���a���t�ural�m���ap��]��wnk(�X�Jg;����O�����X����(�d������n����1))�UR�!��(�Y��;��O�����Y��P��(�d������n����1))����'i�)�s�)7surject��riv�e.��W��Ve�sh���o�w�t���h�a���t�it�i�)�s�also�inject�iv�e.��By�(I�S�I�I,�5.5a)�an�elem��ren��t�����'�f��Q�2�UR�(�X�Jg;����O�����X����(�d��|���n����1))�e�can�b�)�e�repre�S�s�:}en��t��Ee�d�e�as�a�h���omogen��reous�p�S�o�ޔlynomial�of����'d���egree�R��d�t	���n����1.�/No��rw��f����m���ap�!ls�t��9o�0�in�(�Y��;����O�����Y��P��(�d����n����1))�i��f����v��X�ani�)�sh��re�S�s�on��Y��p�,����'t���h��ra���t�i�i�)�s�t��9o�say��V,����Y�����UR�Z�ܞ�(�f�G��).�
�Bu�t��d���eg����Y��¹=�UR�d�>�d������n����1�UR=��d���eg�����f���so�i��Y�^�can�not�b�)�e����'con��t��rain�e�S�d�Yin�t���h��re�h�yp�)�e��r�[surf�ace�Y�Z�ܞ�(�f�G��)�u��9nle�S�s�!ls��f�篹=���0.���[Pro�of:��A�Y�< �=��Z�ܞ�(�g�n9�)����Z��(�f�G��)����'imp�ޔlie�S�s��(�f�G��)��i���(�g�n9�)�so��f��i�)�s�a�m���ul��9t��rip�ޔle�of��g��,�
�bu��9t��g�?<�h��ras�d���egree�s�[tr�2"i��Jct���ly�gre�!la���t��Ee��r����'t���h��ran���f�2��so�m�us�[t�b�)�e�0.]�8�Th�us��]���G�dim���Z�����k��a׀�(�Y��;����O�����Y��P��(�d������n����1))�UR=��dim���ꚟ���k��*�(�X�Jg;��O�����X����(�d������n����1))�UR=������G��������n����
�R�d��1����:����<�n�������t��G���������'�s�)�ince��3t���h��re�n�u��9m��ekb�)�e��r�of�monomoials�in��k�g�[�x�����0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�]�of�d���egree��d�����n����1��3i�s������G��������n����"3�d��1����:���,�n�������^U��G����������'�as��d���e�S�s�)�ire�d.����8���(g)��JIf��Y�t��is�a�nonsingular�curve�in��P����2�3����,��ywhich�is�a�c��ffomplete�interse�ction�of����'nonsingular�wsurfac��ffes�of�de�gr�e�es��d�,�
�e�,�then�w�p�����g�����(�Y��p�)�UR=�����Fu�����1��������z�@���2�����	���de�(�d�@��+��e����4)�+�1�.�VA�gain����'the�35ge��ffometric�genus�is�the�same�as�the�arithmetic�genus�(I,�Ex.�fi7.2).����8��Let���H����b�)�e�t���h��re�h�yp�)�e��r�[surf�ace��of�d���egree��d�.�8�Th�e��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence��]���0�0�UR�!�O�����P������n���M)�(��d�)��!�O�����P������n����{�!�O�����H��n��!��0�:����'�Twi�)�s�[t��rin��9g��b�y��a��an�d�compu��9t�in�g��dim�ens�)�ions�w�e�s�:}ee�t���h�a���t�����E�9dim��[5�O�����H��D�(�a�)�UR=��dim����O�����P������n���M)�(�a�)�������dim��?��O�����P������n����(�a����d�)�UR=������G���������M���
�R�3+�a����9���ev�3�������5���G������$`E���������G��������򀍍�
*��3+�a��d����9���8��3�������&���G������,�:�������3����$`�x�������=�������8��Us�)�in��9g��re�!lasonin�g�lik��re�t���h�a���t�in�(e)�w�e�obt�ain�an�exact�s�:}equence��"ɍ��S0�UR�!�O�����H��D�(��e�)��!�O�����H��n��!�O�����Y��
��!��0�:����'�Twi�)�s�[t��rin��9g��b�y��e����+��d����4�yields�t���h��re�exact�s�:}equence����Yz0�UR�!�O�����H��D�(�d������4)�UR�!�O�����H���(�e����+��d����4)�UR�!�O�����Y��P��(�e����+��d����4)�UR�!��0�:����'�A��X�p��rp�ޔlyin��9g��t���h�e�a�b�S�o�v�e�exp�ޔli��Jcit�compu��9t�a���t�ion�of��dim����O�����H��D�(�a�)�w�e�s�:}ee�t���h�a���t�����PM�dim��e�*�O�����Y��P��(�e����+��d����4)�UR=������G��������򀍍�
�R�e�+�d��1����9����V3�������&�\��G������.����������G���������M���
*��e��1����9���q�3�����������G������##<���������G��������򀍍�
*��d��1����9�����3�������fʟ�G������#�t�+����chose���1��5S3�:����'�Aft��Ee��r���som��re�alge���bra�t���h�e�la���t��2t��Ee��r�expre�S�s�!ls�)�ion�b�ecom��re�S�s�����Fu��'�1��'����z�@���2�����	�7�ed�(�e��q�+��d����4)�+�1,�%,as���d���e�s�)�ire�d.�����8��[Comm��ren��t��1:�8�W��Ve�could�h�a�v�e�also�so�ޔlv�e�S�d�(f��8)�us�)�in��9g�t���hi�s�m��ret���h���o�S�d.]����8��[Comm��ren��t��2:�8�Se��rre�d�ualit�y�giv�e�S�s�anot���h�e��r�so�ޔlu��9t�ion.�8�By�(I�S�I�I,��7.12.4)��"ɍ�h�T�p�����g�����(�Y��p�)�UR=��dim����H���V����0���Z�(�Y��;���!�����Y��P��)�=��dim���H���V����1���Z�(�Y��;����O�����Y��P��)�=��p�����a��Ϲ(�Y��p�)�:����'�Bu��9t��b��ry�(I,�Ex.�8�7.2d)��p�����a��Ϲ(�Y��p�)�UR=�����Fu�����1��������z�@���2�����	���de�(�d����+��e����4)�+�1.]��(����'�2��C+�Exe�rci�B�s�]{e�B�I���I�I.6.8��b#��'�Pr��ffove�^Jthe�fol���lowing�the�or�em�of�Kleiman:���if��X�O��is�a�no�etherian,���inte�gr�al,�sep�er-�����'ate��ffd,�ˑlo�c�al���ly��factorial�scheme,�then�every�c��ffoher�ent��she�af�on��X����is�a�quotient����'of�35a�lo��ffc�al���ly�35fr�e�e�she�af�(of�nite�r�ank).����8��(a)���First�show�that�op��ffen�sets�of�the�form��X�����s��n<�,��qfor�various��s�UR�2��(�X�Jg;����L�)����and����'various�35invertible�she��ffaves��L��on��X���,�form�a�b�ase�for�the�top�olo�gy�of��X���.����8��Let���x�UR�2��U��6���X��+�wit���h��U�+��o��rp�)�en.����8���Case�Kx1.��1�W���=�\O�X�k���[email protected]�U��\�is�irr��ffe�ducible.�˙�Since���x��62��W��ƹ,�g��O�����x��
�6�6�O�����W��	�<�.�[Thi�)�s����'as�!ls�:}e��rt��rion��i�)�s�a�m���a���t��2t��Ee�r�of�som��re�dicul��9t�y�amon��9g�t���h�e�ot���h�e��r�[s�w�or��ekin��9g�on�t���hi�)�s����'prob�ޔlem.��It���i�)�s�not�h��rard�t��9o�s�:}ee�wh�en��X��T�i�)�s�a�v��X�ar�2"iet�y�in�t���h�e�clas�!ls�)�i��Jcal�s�:}ens�e.��Bu��9t����'in��pt���h��re�more�gen�e��ral�s�)�it�ua���t�ion�it�i�)�sn't�a���t�all�cle�!lar�an�d�m���ay�us�:}e�t���h�e�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s����'t���h��ra���t�Zv�X�K��i�)�s�s�:}ep�e��ra���t��Ee�S�d�in�an�e�s�!ls�:}en��t��rial�w�ay��V.��JF�or�Zvexamp�ޔle,�vjt���h�e�an�e�lin�e�wit���h�a����'dou���b�ޔle�S�d��8or�2"igin�h��ras�t�w�o�die��ren��t�lo�S�cal�r�2"in��9gs�whi��Jc�h�are�equal.�j�I'm�not�sure����'h���o��rw��<t��9o�re�S�so�ޔlv�e�t���hi�)�s�bu��9t�t�h��re��re�w�as�som�e�t�alk�of�us�)�in��9g�t���h�e�v��X�alua���t�iv�e�cr�2"it��Ee��r�ion����'for���s�:}ep�)�e��ra���t��Ee�S�dn��re�s�!ls.���PUT��nCORRECT�SOLUTION�HERE�AFTER����W�ARDS.]����'Th���us���let��h�`\�2��K�d)�b�)�e���a�ra���t��rion���al�fu��9nct�ion�su�c�h�t���h�a���t��h�`\�62�O�����W��:ǹbu��9t����h��2�O�����x��H�.��Let����'(�h�)�T=��D�����1���G���C�D�����2��
Bg�wit���h��c�D�����1����=ze��ro�!ls�of��h��an��rd��D�����2���=p�S�o�ޔle�s��cof��h�.�
Since��h�T�2�O�����x��H�,����'w��re��rh�a�v�e��x�{��62���V��Var����(�D�����2����)=t���h��re�u��9n�d���e��rlyin�g��rs��xc�h�em�e�of�t���h�e�eect�iv�e�divi�)�sor��D�����2����.������4����5��x�������=�������'�(Thi�)�s�xVi�s�b�eca��2us�:}e��h��can't�h��ra�v�e�a�p�S�o�ޔle�a���t��x�.)�	��F��Vurt���h�e��rmore��y�hq�2��8�W��imp�ޔlie�S�s�����'�O�����y���1���$O�����W��
�I�so�1
�h��62�O�����y��	.�t���h�us��y�;]�2���$�V��Var��#(�D�����2����)�(t�hi�)�s�i�s�b�eca��2us�:}e��X�"��i�s�f�act��9or�2"ial�so��O�����y�����'�i�)�s��in��t��Eegrally�clo�!ls�:}e�S�d�so��v�����y���
�(�h�)�7I�<��0��i��h�7I�62�O�����y���.)��XTh���us���W������V��Var��}H(�D�����2����).�Since����'�X�a��i�)�s�o�f�act��9or�2"ial�an��rd��D�����2��
0�i�s�eect��riv�e�(I�S�I,�6.11)�imp�ޔlie�s��D�����2��
0�corre�sp�on��rds�t��9o�an����'eect��riv�e��Cart�ie��r�divi�)�sor�an�d�h�ence�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�an�o�p�)�en�co�v�e��r����%n�
eufm10�U���ڹ=��O(�U�����i��dڹ)�of��X����'�an��rd���ra���t�ion���al�fu��9nct�ions��h�����i�����2���K��K�su�c�h�t���h�a���t��h�����i��d��j�U�����i�����2��O�����U��8:�i���?�an�d�(�h�����i��dڹ)��=��D�����2��	g��on��U�����i��dڹ.����'Since�����v��e��h��8:�i�����-��z��̟���h��8:�j�������~�2��O�����x��H�(�U�����i����\�I9�U�����j��f
�)����2���	���an��rd�ӎ�X���i�)�s�norm���al,�
�(�����v���h�h��8:�i���33�-��z��̟���h��8:�j������72�)�=�0.��Let��L��b�)�e�t���h��re�lo�S�cally���?��'f�2"ree�M�in��rv�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�repre�S�s�:}en��t��Ee�d�b��ry�t���h�e�Cart�ie��r�divi�)�sor�(�U�����i��d��;���h�����i���)�(so��L��i�)�s�lo�S�cally����'gen��re��ra���t��Ee�S�d��b�y�1�=h�����i�����on��U�����i��dڹ),�k�an�d�let��u�����i���z�:�a��Lj�U�����i���!�O�����x��H��j�U�����i�����b�)�e��t���h��re�i�somorphi�sm����'giv��ren�Z�b�y�m���ul��9t�ip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��h�����i��dڹ.���Den�e��s�(�y�n9�)��=��u�������1��
���i���\|�(�h�����i��dڹ(�y��))�Z�for��y��,�2���U�����i��dڹ.���By�t���hi�)�s����'w��re�q�m�e�!lan��u�������1��
���i����
�of�t���h�e�m���ap��y�Ë�7!�UR�h�����i��dڹ(�y�n9�),���i.e.,��s��i�)�s�t���h��re�glue�S�in��9g�of�t�h��re�in�v�e��r�[s�:}e�im���age�S�s����'of�K=t���h��re��h�����i���,�2�URO�����x��H�(�u�����i��dڹ).��Th�us��s��i�)�s�a�s�:}ect��rion�of��L��su�c�h�t���h�a���t��X�����s���E�\�e	�U�����i���,�=�UR�U�����i��������V��Var���(�D�����2����).����'Th���us���X�����s��Î�=�UR�X��+������V��Var���(�D�����2����)����U�@�.����8���Case��J2.����W�K��=��5�X�$���3�U�,.�is�r��ffe�ducible.����Us�)�in��9g���t���h��re�f�act�t���h��ra���t��X��p�i�s�no�et���h��re��r�2"ian����'wr�2"it��Ee�c��W���=�#&�Z�����1����[������������[����Z�����n���P�.���F��Vrom�cas�:}e�1�w��re�kno�w�t���h�a���t�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�in�v�e��rt�ib�ޔle����'sh��re�!la�v�e�S�s��=�L�����1����;����:�:�:��ʚ;����L�����n��
y��an�d�s�:}ect�ions��s�����i��B��2��͹(�X�Jg;����L�����i��dڹ),�
��i��=�1�;��:�:�:��ʚ;�n��=�su��rc�h�t���h�a���t��x����2����'�X�����s��8:�i���
���UR�X����ΐ�Z�����i��dڹ.��.Let���s��=��s�����1�����
���������
��s�����n�����2��(�X�Jg;����L�����1�����
�������
�L�����n���P�).��.Th��ren���X�����s���=�UR�\����2��n��RA�i�=1���AV�X�����s��8:�i������'�h��rence���x�UR�2��X�����s�����U�@�.����8��[[Thi�)�s���pro�S�of�w��ras�co�pie�S�d�f�2"rom�Borelli's�pap�)�e��r�wit���h�lit��2t�le�mo�S�dica���t��rion.��On�e����'d��9an�ge��r���i�)�s�t���h��ra���t�t�h��re�corre�S�sp�on�din��9g���t���h�eorem�in�Borelli's�pap�)�e��r�as�!lsu��9m�e�S�s��X��o�t��9o�b�)�e����'a��f�)�act��9or�2"ial��variety�,�not�a�more�gen��re��ral�s��xc�h�em�e�as�a�b�S�o�v�e.���P�art�(b)�b�)�elo�w�w�as����'not��in�Borelli.]]����8���(b)�5�Now�use�(II,�5.14)�to�show�that�any�c��ffoher�ent�5�she�af�is�a�quotient�of�a����'dir��ffe�ct�35sum��L�������n��8:�i���m���i���
��for�various�invertible�she��ffaves��L�����i����and�various�inte�gers��n�����i��d��.����8��Let�+�F�F<�b�)�e�a�coh��re��ren��t�sh�e�!laf�on��X��.��Let��U�V�b�)�e�an�o�p�)�en�s�:}et�on�whi��Jc�h��F�����j�U������P��������԰�����=��������x����~�����v��M���&��.����'Sup��rp�S�o�!ls�:}e����X�����f���q��UR�U�Źwh�e��re��f��i�)�s�a�global�s�:}ect�ion�of�som�e�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��L�.�0�Our����'s�[tra���t��Eegy���i�)�s�t��9o�cons�tru��rct�an�ap�pro�pr�2"ia���t��Ee�m���ap��L�������n��8:�i���m���i���
���!���F���whi��Jc�h�i�)�s�surject�iv�e����'wh��ren��Wre�S�s�[tr�2"i��Jct��Ee�d�t��9o��X�����f��w�,�̃t���h��ren�us�:}e�t�h��re�f�)�act�t�h��ra���t��X��ڹi�)�s�no�et���h��re��r�2"ian�an�d�t���h�a���t�t���h�e����'�X�����f��	�l�form�CMa�bas�)�i�s�CMfor�t���h��re�t��9o�p�S�o�ޔlogy�on��X�4йt��9o�co�v�e��r��X�4йwhi��Jc�h�su�c�h��X�����f��	�l�an�d�t���h�en����'t��rak�e��t���h�e�su��9m�of�all�t���h�e�re�S�sul��9t�in�g��m���ap�!ls.����8��Let��-�m�����1����;����:�:�:��ʚ;���m�����r��	��gen��re��ra���t��Ee��M�@�.�pLet��t�����1���;����:�:�:��ʚ;���t�����r��	��b�)�e�t���h��re�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ions�of�t���h�e��m�����i�����'�t��9o���X�����f��w�.�8�By�(I�S�I,�5.14b)�t���h��re��re�exi�)�s�[t��es��n��so�t�h��ra���t������Q��t�����1����f��G�����n���O�;����:�:�:��ʚ;���t�����r���b�f��G�����n��
E��2�UR�(�X�����f���ǟ����n���
�V�;��F�۹
���L�����
�n��Dȹ)����'ext��Een��rd��t��9o�global�s�:}ect�ions��s�����1����;����:�:�:��ʚ;���s�����n��	���of�(�X�Jg;��F�۹
���L����2�
�n��Dȹ).�8�Den��re�a�m���ap�������������n���ڍi�=1���AV�O�����X��r��!�URF�۹
���L�����
�n��������5����E�x�������=�������'�b��ry��<s�:}en�din��9g�(0�;����:�:�:��ʚ;����0�;��1�;��0�;��:�:�:��;��0)��<(1�in�t���h��re��i�t�h�p�S�o�!ls�)�it��rion�only)�t��9o��s�����i��dڹ.�
t�Th�en�����'t��Eensor�2"in��9g��wit���h�(�L����2�
�n��Dȹ)����2��1���ι=�UR(�L����2��1��\|�)����2�
�n��/p�w��re�obt�ain�a�m���ap������F]�UR:��������n���ڍi�=1���AV�(�L������1��\|�)�����
�n����!�F�1�:����'�Th��re�S�m���ap��i�)�s�surject�iv�e�wh�en�re�S�s�[tr�2"i��Jct��Ee�d�S�t��9o��X�����f��w�.��T��Vo�s�:}ee�t���hi�)�s�let��p��b�e�a�p�S�oin��t�of����'�X�����f��w�.�-�Th��re�Ȳs�[t�alk�of��F��ùa���t��p��i�)�s�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�t���h�e�s�[t�alks�of��m�����1����;����:�:�:��ʚ;���m�����n��	q�a���t��p�.�-�Since����'t���h��re�>��t�����i�����are�all�in�t�h��re�im���age�of�t�h��re�m���ap��an�d�t���h�e�s�[t�alks�of�t���h�e��t�����i�����a���t��p��are�t���h�e����'sam��re���as�t���h�e�s�[t�alks�of�t���h�e��m�����i��(��a���t��p��it�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t�t���h�e�s�[t�alks�of�t���h�e��m�����i��(��are�all�in����'t���h��re��im���age�u��9n�d���e��r��of�t���h�e�s�[t�alk�of������2��n��RA�i�=1���AV�(�L����2��1��\|�)����2�
�n��/p�a���t��p�.����8��T��Vak��re�Ʈt���h�e�direct�su��9m�of�all�su�c�h�m���ap�!ls�o�v�e��r�a�suit�a�b�ޔle�o�p�)�en�co�v�e��r�(�U�@�)�of����'�X����an��rd��vsuit�a�b�ޔle�o�p�)�en�co�v�e��r�[s�(�X�����f��w�)�of�e�!lac�h��U�@�.�KKSince��X����i�)�s�no�et���h��re��r�2"ian�w�e�can����'arran��9ge��it�so�t���hi�)�s�su�m�i�)�s�nit��Ee.��(V���'�3��C+�Exe�rci�B�s�]{e�B�I���I�I.7.1��b#��'�L��ffet�EA�X�6��b�e�an�inte�gr�al�pr�oje�ctive�scheme�of�dimension���v��1��over�a�eld��k�g�,�I�and����'let�35�L��b��ffe�an�ample�invertible�she�af��X���.�fiThen��H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����L����2��1��\|�)�UR=�0�.�������'�Lemm��fa��3.1.���qc��If�X��M�t{6�=��O�����X��
v�is�an�invertible�she��ffaf�which�is�gener�ate�d�by�its����'glob��ffal�35se�ctions�then��H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����M����2��1��\|�)�UR=�0�.������'Pr��ffo�of.���K�N�By�$�t���h��re�pro�S�of�of�(I�I�$�6.12)��M����2��1���ι=�UR�M����2�_��	��=��H���om�(�M�;����O�����X����).���Th���us�$�w��re�m�us�[t����'sh���o��rw��jt���h�a���t�(�X�Jg;����H���om�(�M�;��O�����X����))���=�0,�!�i.e.,�t���h��ra���t��Hom���\����O��X.�X���+�p�(�M�;����O�����X����)���=�0.�#&Since����'�M����i�)�s�gen��re��ra���t��Ee�S�d�b�y�global�s�:}ect�ions�(�m�����i��dڹ)�t��9o�giv�e�a�morphi�)�sm��f��n�:��o�M�!�O�����X�����'�i�)�s���t���h��re�sam�e�as�t��9o�giv�e�t���h�e�im���age�S�s�������i�����=�W��f�G��(�m�����i��dڹ)��2��(�X�Jg;����O�����X����)���of�t���h�e��m�����i��dڹ.��Since����'�X�	��i�)�s�1in��t��Eegral�an��rd�pro��ject�iv�e�(�X�Jg;����O�����X����)�V�=��k�N�so�1t���h�e�������i��}�all�lie�in��k�g�.��|Th���us�if����'�f�fѹi�)�s��nonze��ro�t���h��ren�som�e�������i��Ƶ�6�=�a�0�so�����Fu����1��R����z��	������8:�i������'A�m�����i���7!�a۹1.��_Let��t��=�����Fu����1�������z��	������8:�i������jJ�m�����i��Ƶ�2��(�X�Jg;����M�).����'Let��a�P��'�b�)�e�an��ry�p�S�oin��t�of��X��.�5Th�e�m���ap��f�����P����:���M�����P���!�O�����X�&�;p��1׹s�:}en��rds��a�t�����p��	���t��9o�1�so�it����'i�)�s�9�surject��riv�e�b�)�e�S�in��9g�a�m���ap�of�f�2"ree��O�����X�&�;p��Hv�-mo�d��rule�s�(an��rd�s�)�ince��O�����X�&�;p���r�i�s�gen��re��ra���t��Ee�S�d����'b��ry�f�1�as�an��O�����X�&�;p��Hv�-mo�S�d�ule).���On�t���h�e�ot���h�e��r�h�an�d��M�����p��	.U�i�)�s�f�2"ree�of�rank�1�o�v�e��r�t���h�e����'in��t��Eegral��ydom���ain��O�����X�&�;p����so��f��x�m���us�[t�b�)�e�inject��riv�e.�xSIn�d���ee�S�d,��mif��y�M�����p������P���	c.����԰���	|�=�����TV�O�����X�&�;p��u���-A�g���for����'som��re���g��Ϲan�d��ag����7!�Z��0�t���h�en��af�G��(�g�n9�)�Z�=�0�so�s�)�ince��O�����X�&�;p��c�i�s�a�dom���ain,�f��a�Z��=�0�or����'�f�G��(�g�n9�)��	=�0.���Bu��9t�4�f��(�g�n9�)��6�=�0�4s�)�ince��f�\3�i�s�surject��riv�e�4so��a��	�=�0�4an��rd�so��ag�
B�=��	0�wh�ence����'�f���i�)�s�7�inject��riv�e.��Th�e��refore��f���i�)�s�an�i�somorphi�sm�s�ince�it�i�s�an�i�somorphi�sm�on����'s�[t��ralks.��.Th���us��m�M�����P���U����԰���nڹ=�����;�O�����X�����con��trary�t��9o�our�as�!lsu�mpt��rion�t���h�a���t��M�U�6�����P�����԰����=�����
�I�O�����X�����so�t���h�e��re����'can��b�)�e�no�nonze��ro��f�2��in��Hom���d1����O��X.�X���*���(�M�;����O�����X����)�UR=�(�X�Jg;��M����2��1��\|�),��as�d���e�S�s�)�ire�d.���'YA��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������6����[#�x�������=�������8��Sup��rp�S�o�!ls�:}e��(t���h�a���t��L��i�)�s�amp�ޔle.�U`If��L�e~�=��O�����X����t���h��ren��L��can�not�b�)�e�amp�ޔle,���for�if��O�����X������'�i�)�s�Kqamp�ޔle�t���h��ren�s�ince��O������UV�
�n��8O�X����.�=���O�����X��h��for�an��ry��n����1�it�fo�ޔllo��rws�b�y�(I�S�I.7.5)�t���h�a���t��O�����X�����'�i�)�s���v��re��ry�amp�ޔle.�	�Thi�s�m��re�!lans�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s�an�imm�e��r�[s�)�ion��i��h�:��X���,���!��P����2��n��y��k���
�O�wh�e��re����'�n����=��dim��<�(�X�Jg;����O�����X����)�˖���1���=�0�whi��Jc��rh�i�)�s�imp�S�o�!ls�s�ib�ޔle�b�eca��2us�:}e��X���h��ras�dim�ens�)�ion�a���t����'le�!las�[t��1.����8��Th���us�Uw��re�m���ay�as�!lsu��9m�e��L��6�����P�����԰����=�����p�O�����X��
r��an�d�ap�p�ޔly�t���h�e�a�b�S�o�v�e�lemm���a.�	w�Th�e��re�i�)�s����'an��{�n��so�t���h��ra���t��L����2�
�n��C�i�)�s�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�it��es�global�s�:}ect�ions.��XBy�t���h�e�a�b�S�o�v�e�lemm���a����'�H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����(�L����2�
�n��Dȹ)����2�_��*��)��m=�0.�`Since�4(t���h��re�co�ޔllect�ion�of�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!la�v�e�S�s�forms�a�group����'an��rd�3��_��i�)�s�t���h�e�in�v�e��r�[s�:}e�o�p�)�e��ra���t�ion�it�fo�ޔllo�ws�tr�2"ivially�t���h�a���t�(�L����2�
�n��Dȹ)����2�_������P���	�O����԰���
7�=�����#E(�L����2�_��*��)����2�
�n��xw�an�d����'h��rence�ڭ(�X�Jg;����(�L����2�_��*��)����2�
�n��Dȹ)���=�0.��Sup�p�S�o�!ls�:}e�ڭ�L����2�_��]�h�as�a�nonze��ro�global�s�:}ect�ion��s�.��Let����'�p���2��X�DO�b�)�e�R�a�p�S�oin��t�so�t���h��ra���t��s�����p�����6�=��0.�qKIt�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t��s���
���������
��s���6�=�0�R�in�(�L����2��_��RA��p���*��)����2�
�n��Dȹ.����'Th���us�9��s��d���en��re�S�s�a�nonze��ro�global�s�:}ect�ion��s����
���������
��s�9ֹof�(�L����2�_��*��)����2�
�n��Dȹ.�	&j[Thi�)�s�las�[t����'s�[t��ra���t��Eem�en��t��ri�)�s�a�bit�su���bt�le��rb�eca��2us�:}e�t���h��re�t��Eensor�pro�S�d�u�ct�i�)�s�t���h�e�sh�e�!laf�as�so�S�cia���t��Ee�d����'t��9o��a�ce��rt��rain�pre�S�sh�e�!laf�so�w�e�don't�kno�w,�
��a��priori�,�t���h�a���t���s�G��
���������
��s��m���ap�!ls�t��9o����'som��ret���hin��9g���nonze��ro�u�n��rd���e��r�t���h�e������of�(I�S�I,�Defn�1.2).�j�Bu��9t�if����(�s�*3�
��������Td
��s�)��-=�0����'t���h��ren�z�0��=���S��(�s����
��������u�
��s�)�����p��
�r�=��(�s��
��������
��s�)�����p��
A��so�z����)�i�)�s�not�inject��riv�e�z�on�s�[t��ralks����'con��tradi��Jct��rin��9g���t���h�e�comm�en��t�aft��Ee��r�(I�S�I,�Defn�1.2).]�
�tTh���us�if��H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����L����2�_��*��)�Y��6�=�0����'t���h��ren�2��H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����(�L����2�
�n��Dȹ)����2�_��*��)���6�=�0,�D�a�con��tradi��Jct��rion.�5It�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t��H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����L����2�_��*��)��=�0,�D�as����'d���e�S�s�)�ire�d.��'�V���'�4��C+�Exe�rci�B�s�]{e�B�I���I�I.7.3��b#��'�L��ffet���X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k����P�.�Z�Show�that��H���V���2�q���T�(�X�Jg;����
���O���p���0�X�����)�=�0��for��p��6�=��q�n9�,���k�w��for��p��=��q�n9�,���0����p;���q����n�.����8��Our��s�[tra���t��Eegy�i�)�s�t��9o�us�:}e�t���h��re�exact�s�equence����|0�UR�!��
�����X��r��!�O�����X����(��1)������n�+1��v��!�O�����X���!��0����'of���(I�S�I,�8.13)�alon��9g�wit���h�(I�I,�Ex�5.16�d)�t��9o�re�d��ru�ce���t���h�e�compu��9t�a���t�ion�of�t���h�e�����'coh���omo�ޔlogy��of�
���O���p���0�X�����t��9o�t���h��re�compu�t��ra���t�ion��of�t���h��re�coh���omo�ޔlogy�of�����2�p���]�O�����X����(��1)����2��n�+1��!D�.����'W��Ve�+At���h��ren�sh���o�w�in�d�u�ct�iv�ely�t���h�a���t�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�of�����2�p���]�O�����X����(��1)����2��n�+1��L��v��X�ani�)�sh�e�S�s�for����'�p�UR���1��t���h�us�comp�ޔlet��rin��9g�t�h��re�pro�S�of.����8��W��Ve��compu��9t��Ee�t���h��re�coh���omo�ޔlogy�of�
����2�r��}
�in�d�u�ct�iv�ely�on��r�S��.����8���Step�g,1,��*�r��;�=�i�0�.�i��Sup��rp�S�o�!ls�:}e�P8�r��=�0�P8so�
����2�r����=��O�����X����.�i�Th��ren�b�y�(I�S�I�I,�P85.5)����'�H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����O�����X����)�`�=��k����an��rd����H���V���2�i��R0�(�X�;����O�����X����)�=�0���for��i�`����1.�w[P��rart���(a)�of�(I�S�I�I,���5.5)�giv�e�S�s����'�H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����O�����X����)�M�=��k�g�,��part�|�(b)�giv��re�S�s��H���V���2�i��R0�(�X�;����O�����X����)�M�=�0�|�for�0�M��<�i�<�n�|��an��rd�part�(d)����'giv��re�S�s���H���V���2�n�����(�X�Jg;����O�����X����)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V���2�0���Z�(�X�;��O�����X����(��n������1))����2�_��	��=�UR0.]����8���Step�352�꨹Sh���o��rw�t���h�a���t������0�H���V����i��R0�(�����r���b�O�����X����(��1)������n�+1��!D�)�UR=�0������7����m��x�������=�������'�for���r�����UR�1.�����8��[Ma���t��2t��Bak��re��r�p�S�oin��t��Ee�d��ou��9t�t�o�m��re�t���h�a���t���ʍ���&�����r���b�O�����X����(��1)������n�+1������P���v�����԰����~�=�����'!?�O�����X���(��1)����������G��������;̍����n�+1����:������r�������Z&��G�������$���:������'�Thi�)�s��i�s�re�!lason���a��rb�ޔle�s�ince�it�i�s�true�on�s�[t��ralks.��5It�imm�e�S�dia���t��Eely�imp�ޔlie�s�t���h��re�v��X�an-����'i�)�shin��9g�d�of�t���h��re�coh���omo�ޔlogy�group�!ls.�/My�or�2"igin�al�more�comp�ޔli��Jca���t��Ee�S�d�pro�of�of�s�[t��Eep����'2��i�)�s�includ���e�S�d�n��rext�an�yw�ays.]����8���Step��-2a,�k��r��d�=���1�.�йW��Ve�٣tre�!la���t��r��=���1�as�a�sp�)�ecial�cas�:}e.��W��Ve�m���us�[t�sh���o��rw����'t���h��ra���t�+��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����O�����X����(��1)����2��n�+1����=���0�or�equiv��X�alen��t�ly�t�h��ra���t��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����O�����X����(��1))���=�0.���Thi�)�s����'i�)�s���imm��re�S�dia���t��Ee�f�2"rom�t���h�e�exp�ޔli��Jcit�compu��9t�a���t�ions�of�(I�S�I�I,���5.5).�
��Th�e�argu��9m�en��t����'pro�S�cee�ds��exact���ly�as�in�s�[t��Eep�1.����8���Step�=2b,���r��B��A��2�.����W��Ve��no��rw�as�!lsu��9m�e��r��B��A��2�an�d�pro�S�cee�d��in�d�u�ct�iv�ely�on��n�.����'Since���r�����UR�2�t���h��re��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence����M��0�UR�!�������r�<r��1��n��O�����X����(��1)������n����!�������r���b�O�����X���(��1)������n�+1��v��!�������r���b�O�����X���(��1)������n����!��0�:����'�I��obt��rain�e�S�d�t���h�e�m���ap�����9k�����r���b�O�����X����(��1)�����
�n�+1��v��!�UR������r���O�����X���(��1)�����
�n�����'�b��ry�.�carefully�ap�p�ޔlyin��9g�(I�S�I,�Ex�5.16d)�t�o�t���h��re�m���ap��O�����X����(��1)����2��n�+1���#�!���O�����X���(��1)����2��n��Dȹ.����'Bu��9t�i�t���hi�)�s�m���ap�jus�[t�t��rur�ns�ou��9t�t�o�b�)�e�lo�S�cally�d���en��re�d�b��ry��x�����n�����7!�UR�0�wh�e��re��x�����0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n�����'�are��lo�S�cal�co�ordin���a���t��Ee�s�for��O�����X����(��1).��Th��ren��x�����i��q�0���s�^��v���������^�v��x�����i���r������m���ap�!ls�t��9o�0�if�som�e����'�i�����k��x�=�UR�n�꨹an��rd�it��es�:}elf�ot���h�e��rwi�)�s�:}e.�8�Th�e�m���ap������-�����r�<r��1��n��O�����X����(��1)������n����!�UR������r���b�O�����X���(��1)������n�+1�����'�id���en��t��rie�S�s������2�r�<r��1��n��O�����X����(��1)����2��n��[c�wit���h�t�h��re�k�e��r�)�n�el�of�t���h�e�n�ext�m���ap.���Th�e�k�e��r�)�n�el�of�t���h�e����'n��rext�g+m���ap�i�)�s�lo�S�cally�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�all�\monomials"�whi��Jc�h�con��t�ain�an��x�����n���P�.�
Since����'�r�o�����2�_\w��re�can�id���en��t�ify�����2�r�<r��1��n��O�����X����(��1)����2��n���$�wit���h�t�hi�)�s�k��re��r�n�el�_\b�y�jus�[t�remo�vin��9g�t���h�e����'�x�����n��	���o��of�t���h��re�w�e�S�dge�pro�d��ru�ct.�8�[Thi�)�s��i�s�not�r�2"igorous�enough!]����8��By��in��rd�u�ct�ion�on��n��w�e�h�a�v�e�t���h�a���t����w���H���V����i��R0�(�����r�<r��1��n��O�����X����(��1)������n��Dȹ)�UR=��H���V����i���(�����r���b�O�����X����(��1)������n��Dȹ)�=�0����'for���all��i��(w��re�will�do�t���h�e�bas�:}e�cas�e��n��.�=�1���in�jus�[t�a�mom��ren��t).��<Th���us,���b�y���t�h�e����'lon��9g�eexact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�w��re�s�ee�t���h��ra���t��H���V���2�i��R0�(����2�r���b�O�����X����(��1)����2��n�+1��!D�)�%�=�0�efor����'all��}�i�.�3'F��Vor��n�UR�=�1,���s�)�ince��}�r������2�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t�����2�r�<r��1��n��O�����X����(��1)�UR=��O�����X���(��1)��}or�0�an��rd����'����2�r���b�O�����X����(��1)�UR=�0��an��rd�t���h�e�S�s�:}e�b�ot���h�h��ra�v�e��tr�2"ivial�coh���omo�ޔlogy�as�compu��9t��Ee�d�a��rb�o�v�e.������8����	�֠x�������=�������8���Step�353.�8�Th��re��n���al�s�[t��Eep�i�)�s�t��9o�obt�ain�t���h�e�lon��9g�exact�s�:}equence��e���a�K�������q�G�H���V����i��R0�(
�����r���b�)�UR�!��H���V����i���(�����r���b�O�����X����(��1)������n�+1��!D�)��!��H���V����i���(
�����r�<r��1��n޹)��!�����������'�t���h��ren��ap�p�ޔly�s�[t��Eep�2�an�d�t���h�e�in�d�u�ct�ion�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��(w��re�are�in�d�u�ct�in��9g�on��r�S��,��^t���h�e�����'bas�:}e��cas�e�w��ras�e�S�s�[t�a�b�ޔli�)�sh�e�d��in�s�[t��Eep�1)�t��9o�calcula���t�e��H���V���2�i��R0�(
����2�r���b�)�for�all��i�.����8��Sup��rp�S�o�!ls�:}e���r�����UR�1,�t���h�en�b�y�(I�S�I,�8.13)�w�e�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence��e���s�0�UR�!��
�����X��r��!�O�����X����(��1)������n�+1��v��!�O�����X���!��0�:����'�By��(I�S�I,�Ex.�8�5.16d),�����2�r���b�O�����X����(��1)����2��n�+1���h��ras�a�l��9tra���t�ion����h������r���b�O�����X����(��1)������n�+1��v��=�UR�F���Ɵ���0��	����F���Ɵ���1���������������F���Ɵ���r��	�z���F���Ɵ���r�<r�+1��e��=�0����'wit���h��quot��rien��t��es��"�č�e�J�F���Ɵ���p��i#�=F���Ɵ���p�+1������P���������԰����ٹ=�����!E�
�����p��r�
���������r�<r��p��v7�O�����X��r۹=���UR��z��(����ǭ���
�0����&�if���r��6���p�UR���2����fa���

����2�p�����&��if���r��6���p��i�)�s�0�or�1�������"�ō�'Th���us������������r���b�O�����X����(��1)������n�+1��v��=�UR�F���Ɵ���0��	��=������������=��F���Ɵ���r�<r��1���d+��'�an��rd��t���h�e�l��9tra���t�ion�b�)�ecom�e�S�s������������r���b�O�����X����(��1)������n�+1��v���UR�F���Ɵ���r��	�z���F���Ɵ���r�<r�+1��e��=�0����'wit���h������2�r���b�O�����X����(��1)����2��n�+1��!D�=F���Ɵ��2�r������P���	�z����԰���	�b�=�����4#
����2�r�<r��1��Y��an��rd��F���Ɵ��2�r������P���	�z����԰���	�b�=�����
����2�r���b�.�8�Thi�)�s�giv��re�S�s�an�exact�s�:}equence������&0�UR�!��
�����r����!�������r���b�O�����X����(��1)������n�+1��v��!��
�����r�<r��1���0�!��0�:����'�Th��re�)as�!lso�S�cia���t��Ee�d�lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�giv��re�s�for�e�!lac��rh��i��an�exact����'s�:}equence����2�I�H���V����i��R0�(�����r���b�O�����X����(��1)������n�+1��!D�)�UR�!��H���V����i���(
�����r�<r��1��n޹)��!��H���V����i�+1��.��(
�����r���b�)��!��H���V����i�+1���(�����r���b�O�����X����(��1)������n�+1��!D�)�:����'�Bu��9t�l�b��ry�s�[t��Eep�2�t���h�e�group�!ls��H���V���2�i��R0�(����2�r���b�O�����X����(��1)����2��n�+1��!D�)�all�v��X�ani�)�sh.��QTh���us��H���V���2�i���(
����2�r�<r��1��n޹)�����P���2�����԰���K��=��������'�H���V���2�i�+1��.��(
����2�r���b�).�8�By��in��rd�u�ct�ion�on��r�>6�t���hi�)�s�sh���o�ws�t���h�a���t��#�p������H���V����i��R0�(
�����r���b�)�UR=�����z��(����ǭ���
�0����C�if���i��6�=��r����fa���
k����C��if���i��=��r������F�n:��"�ō�'�Thi�)�s��comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h��re�pro�of.������9�����?���;�x��	�'2�@�cmbx8�&��N�cmbx12�#��u
cmex10�!�K�cmsy8� !",�
cmsy10�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8����@cmti12��؀�G�G�cmbx17�����ffffcmr14����q�jcmr20��%n�
eufm10�X�Qcmr12��H����