Sharedwww / hartsoln4.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1996.04.04:1001������x�������=������������q�jcmr20�Hom��x$ew�or���k��R2,�MA��hnT256B������Ch��x$apt��qZe�ar��RI���I�I,�4.8,�4.9,�5.6��#�􍍍����i�����ffffcmr14�William���A.�St���e�bAin������&a���JA��;}pr�:�il���4,�1996��1!퍍�'��؀�G�G�cmbx17�1��C+�Hom��zsew�or���k��b#����'����@cmti12�Exer��ffcise�351.1.���n�2���N�cmbx12�(4.8)����Cohomolo��ffgic�al�58Dimension�X�Qcmr12�.�ƅLet�����g�cmmi12�X�b�b�)�e�a�n��reot���h�e��r�2"ian�����'s�:}epara���t��Ee�S�d���s��xc��rh�em�e.�
4�W��Ve�d���en�e�t���h�e��c��ffohomolo�gic�al��dimension��of��X��,��Ed���enot��Ee�S�d�����'cd��2��(�X��),�e)t��9o�C�b�)�e�t���h��re�le�!las�[t�in��t��Eege��r��n��su�c�h�t���h�a���t��H���V���2��2cmmi8�i��R0�(�X�Jg;����!!",�
cmsy10�F�1�)�UR=�0�C�for�all�quas�)�i-coh�e��ren��t����'sh��re�!la�v�e�S�s�QH�F��Y�an�d�all��i��>�n�.�l�Th���us�for�examp�ޔle,�j�Se��rre's�t�h��reorem�(3.7)�says�t�h��ra���t�����'cd��2��(�X��)���=�0��2if�an��rd�only�if��X����i�)�s�an�e.�}~Grot���h�en�diec�k's�t���h�eorem�(2.7)�imp�ޔlie�S�s����'t���h��ra���t���cd����(�X��)�UR����dim����X��.����8��(a)�zIn�t���h��re�d���enit�ion�of��cd��:(�X��),���sh���o�w�t���h�a���t�it�i�)�s�sucien��t�t��9o�cons�id���e��r�only����'coh��re��ren��t��sh�e�!la�v�e�S�s�on��X��.����8��(b)�I�If��X�;�i�)�s�quas�i-pro��ject��riv�e�I�o�v�e��r�a�eld��k�g�,��Et���h�en�it�i�)�s�ev�en�sucien��t�t��9o����'cons�)�id���e��r��only�lo�S�cally�f�2"ree�coh��re�ren��t�sh��re�!la�v�e�S�s��on��X��.����8��(c)�$mSup��rp�S�o�!ls�:}e��X��h�as�a�co�v�e��r�2"in��9g�b�y��r��׹+��I1�o�p�)�en�an�e�su���b�!ls�:}et��es.��.Us�e��r����x��$mCec�h����'coh���omo�ޔlogy��t��9o�sh�o��rw�t���h�a���t��cd����(�X��)�UR���r�S��.����8��(d)�\�If��X�N1�i�)�s�a�quas�i-pro��ject��riv�e�\�v��X�ar�2"iet�y�of�dim�ens�)�ion��r��<�o�v�e��r�a�eld��k�g�,�yt���h�en��X����'�can��b�)�e�co��rv�e��re�S�d��b�y��r��6�+���1�o�p�)�en�an�e�su���b�!ls�:}et��es.�8�Conclud���e�t�h��ra���t��cd����(�X��)�UR����dim����X��.����8��(e)�iLet��Y���b�)�e�a�s�:}et-t���h��reoret�i��Jc�icomp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�of�co�S�dim�ens�)�ion��r����in����'�X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k����P�.�8�Sh���o��rw��t���h�a���t��cd����(�X��+�����Y��p�)�UR���r��6���1.�������'�Pr��ffo�of.���K�N�(a)�&"It�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�if,�Mpfor�som�e��i�,�Mp�H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�&"for�all�coh�e��ren��t����'sh��re�!la�v�e�S�s���F�1�,�3t���h�en��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�for�all�quas�)�i-coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s��F�1�.��Th���us�sup�p�S�o�!ls�:}e����'t���h��re�g��i�t�h�coh���omo�ޔlogy�of�all�coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s�on��X�YX�v��X�ani�)�sh�e�S�s�an�d�let��F���b�)�e�quas�i-����'coh��re��ren��t.�(�Let���(�F����������)�b�)�e�t���h�e�co�ޔllect�ion�of�coh�e��ren��t�su���b�!lsh�e�a�v�e�S�s���of��F�1�,�äord���e��re�d�b��ry����'inclus�)�ion.�8�Th��ren��b�y�(I�S�I,�Ex.�8�5.15e)����lim����i�������<b!����<bF�������	J�=�UR�F�1�,�so�b�y�(2.9)������n(��H���V����i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=��H���V����i���(�X�Jg;��������lim����i���������Q�!�����Q�F����������)�=�����lim����i��������!�������H���V����i���(�X�Jg;����F����������)�=�0�:�������1����*�x�������=�������8��(b)�) Sup��rp�S�o�!ls�:}e��n��i�)�s�an�in��t��Eege��r�an�d��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�se=�0�) for�all�coh�e��ren��t�lo�S�cally�����'f�2"ree�[sh��re�!la�v�e�S�s��F���an�d�in��t��Eege��r�[s��i��V>�n�.�	��W��Ve�m���us�[t�sh���o��rw��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�=�0�for�all����'coh��re��ren��t����F���an�d�all��i�UR>�n�,��}t���h��ren�ap�p�ޔlyin��9g�(a)�giv�e�S�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d�re�sul��9t.��Since��X����'�i�)�s��quas�ipro��ject��riv�e�t���h�e��re�i�)�s�an�o�p�)�en�imm�e��r�[s�)�ion���f����W�i�UR�:��X�F�,���!��Y������P������n���ڍk������'�wit���h��C�Y����a�clo�!ls�:}e�S�d�su�b�!ls��xc��rh�em�e��Cof��P����2��n��y��k���	���an��rd��i�(�X��)�o�p�)�en�in��Y��p�.�L�By�(I�S�I,�Ex.�5.5c)�t���h��re�����'sh��re�!laf��4�F��E�on��X����push�e�S�s�forw�ard�t��9o�a�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�on��F��1���2�"�K�cmsy8�0��T��=�UR�i���������F��E�on��Y��p�.�*dBy�(I�S�I,����'5.18)�Жw��re�m���ay�wr�2"it��Ee��F��1���2�0����as�a�quot�ien��t�of�a�lo�S�cally�f�2"ree�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��E��ß��2�0�����on��Y��p�.����'Let��2t��rin��9g���R����2�0����b�)�e�t���h�e�k�e��r�)�n�el�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence���f����
0�UR�!�R�����0��#��!�E��ß���0��6N�!�F��1����0��T��!��0����'wit���h�}�R��J���2�0��d��coh��re��ren��t�(it's�t�h��re�quot�ien��t�of�coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s).�]Pullin��9g�bac�k�via��i��t��9o�����'�X��+�giv��re�S�s��an�exact�s�:}equence�����_0�UR�!�R�!�E�h!�F��c!��0����'of�ߩcoh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s�on��X��,�wit���h��E����lo�cally�f�2"ree.��Th��re�lon��9g�exact�s�:}equence�of����'coh���omo�ޔlogy��sh�o��rws�t���h�a���t�for��i�UR>�n�,�t���h��re��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence����Ml�0�UR=��H���V����i��R0�(�X�Jg;����E�ù)��!��H���V����i���(�X�Jg;����F�1�)��!��H���V����i�|{Ycmr8�+1��.��(�X�;����R�)��!��H���V����i�+1��.��(�X�;����E�ù)�=�0�:����'H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����E�ù)���=��H���V���2�i�+1��.��(�X�;����E�ù)�=�0���b�)�eca��2us�:}e�w��re�h�a�v�e�as�!lsu��9m�e�S�d�t���h�a���t,�~zfor��i���>�n�,����'coh���omo�ޔlogy���v��X�ani�)�sh��re�S�s�on�lo�cally�f�2"ree�coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s.�
C�Th���us��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�����P���1�����԰���J��=��������'�H���V���2�i�+1��.��(�X�Jg;����R�).��Bu��9t��;if��k�R��=���gdim�����X��,��t���h��ren�Grot�h��ren�diec�k��;v��X�ani�)�shin��9g�(2.7)�imp�ޔlie�S�s����'t���h��ra���t����H���V���2�k�6��+1���d�(�X�Jg;����R�)��@=�0�wh��rence��H���V���2�k���(�X�Jg;����F�1�)�=�0.���Bu��9t�t���h��ren�ap�p�ޔlyin��9g�t���h�e�a�b�S�o�v�e����'argu��9m��ren��t�8Nwit���h��F�i_�rep�ޔlace�S�d�b�y��R��sh���o�ws�t���h�a���t��H���V���2�k���(�X�Jg;����R�)��;=�0�8Nwhi��Jc�h�imp�ޔlie�S�s����'�H���V���2�k�6���1���d�(�X�Jg;����F�1�)�i�=�0���(so�lon��9g�as��k��D��'�1�i��>�n�).��Again,���ap��rp�ޔly���t���h�e�en��t�ire�argu��9m�en��t����'wit���h��d�F�u�rep�ޔlace�S�d�b��ry��R��t��9o�s�:}ee�t�h��ra���t��H���V���2�k�6���1���d�(�X�Jg;����R�)���=�0.�#W��Ve��dcan�con��t�in���ue�t�hi�)�s����'d���e�S�s��xcen��t��an��rd�h�ence�sh���o�w�t���h�a���t��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0��for�all��i�UR>�n�.����8��(c)���By�(4.5)�w��re�can�compu��9t��Ee�coh���omo�ޔlogy�b�y�us�)�in��9g�t���h�e��(���x��Cec�h�comp�ޔlex����'re�S�sul��9t��rin�g�;�f�2"rom�t���h�e�co�v�e��r����%n�
eufm10�U��7��of��X�-h�b�y��r�5��+���1�o�p�)�en�an�e�S�s.�,�By�d���enit�ion��C���5���2�p��	Z+�=�ߙ0����'for�vmall��p�C9>�r����s�)�ince�vmt���h��re��re�are�no�in��t��Ee�r�[s�:}ect��rions�of��p�	ѹ+�1�C9���r�]_�+�	�2�vmdi�)�s�t��rinct�o�p�)�en����'s�:}et��es��in�our�co�ޔllect��rion�of��r��6�+���1�o�p�)�en�s�:}et��es.�8�Th�e�����x���Cec�h�comp�ޔlex�i�)�s����i���C���5����0��ȋ�!�URC���5����1���!����������!�C���5����r�����!�C���5����r�<r�+1��we�=�0��!��0��!��0��!��������UL�:����'�Th���us���if��F�ɜ�i�)�s�quas�i��Jcoh��re��ren��t�t���h�en������x��H���
gt���2�p��.ѹ(��U�����;����F�1�)�}L=�0���for�an�y��p�}L>�r���whi��Jc�h���imp�ޔlie�S�s����'t���h��ra���t���cd����(�X��)�UR���r�S��.������2����
�x�������=�������8��(d)�b�I�b�will�r�[s�t�b�pre�S�s�:}en��t�m��ry�so�ޔlu��9t�ion�in�t���h�e�sp�)�ecial�cas�:}e�t���h�a���t��X�Th�i�)�s�pro��ject�iv�e.�����'Th��re��mmore�gen�e��ral�cas�:}e�wh�en��X���i�)�s�quas�i-pro��ject��riv�e��mi�s�s�imiliar,��ybu��9t�more�com-����'p�ޔli��Jca���t��Ee�S�d,��fan��rd��Vwill�b�)�e�pre�s�:}en��t��Ee�d�n��rext.��Sup�p�o�!ls�:}e��V�X�F���UR�P����2�n��	)��i�)�s�a�pro��ject��riv�e��Vv��X�ar�2"iet�y����'of�.Ddim��rens�)�ion��r�S��.��W��Ve�m���us�[t�co�v�e��r��X�ǹwit���h��r�}j�+�)�1�o�p�)�en�an�e�S�s.��Let��U�o(�b�)�e�non�empt�y����'o��rp�)�en�tAan�e�su���b�!ls�:}et�of��X��.�ժSince��X�eĹi�)�s�irre�S�d�u�cib�ޔle,���t���h�e�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��es����'of����X�������U�4߹all�h��ra�v�e���co�S�dim�ens�)�ion�a���t�le�!las�[t�on�e�in��X��.�T�No�w�pi��Jc�k�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e��H����'�whi��Jc��rh�1sdo�)�e�S�sn't�comp�ޔlet��Eely�con��t�ain�an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t�of��X��^�����U�@�.�
BW��Ve����'can��do�t���hi�)�s�b��ry�c�h���o�S�o�!ls�)�in��9g�on�e�p�S�oin��t��P�����i��f��in�e�!lac�h�of�t���h�e�nit��Eely�m���an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle����'comp�S�on��ren��t��es�"�of��X�p����U�c��an�d�c�h���o�S�o�!ls�)�in��9g�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�whi��Jc�h�a�v�oids�all�t���h�e��P�����i��dڹ.����'Thi�)�s���can�b�e�don��re�b�eca��2us�:}e�t���h��re�eld�i�s�innit��Ee�(v��X�ar�2"iet��rie�S�s�are�only�d���en�e�S�d�o�v�e��r����'alge���brai��Jcally�F<clo�!ls�:}e�S�d�elds)�so�w��re�can�alw�ays�c�h���o�S�o�!ls�:}e�a�v�ect��9or�not�ort���h���ogon�al����'t��9o�q�an��ry�of�a�nit��Ee�s�:}et�of�v�ect��9or�[s.��Since��X�cx�i�)�s�clo�!ls�:}e�S�d�in��P����2�n��	E�an�d��P����2�n��\o����H�_K�i�)�s�an�e,����'(�P����2�n�����Ik�H��V�)��\��X��Z�i�)�s���an�o��rp�en�an��re�su���b�!ls�:}et�of��X��.��nBeca��2us�e�of�our�c��rh���oi��Jce�of��H��V�,����'�U����[�f�((�P����2�n��_���H��V�)��\��X��)�K�i�)�s�only�mi�s�!ls�in��9g�co�S�dim��rens�ion�t��rw�o�K�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s�:}et��es�of��X��.��Let����'�H�����1��N�=���H��W�an��rd�c�h���o�S�o�!ls�:}e�anot���h�e��r�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e��H�����2����so�it�do�)�e�S�sn't�comp�ޔlet��Eely�con��t�ain����'an��ry���of�t���h�e�(co�S�dim�ens�)�ion�t�w�o)�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��es�of��X�3���BT�U��8���(�P����2�n������H�����1����).����'Th��ren���(�P����2�n��d������H�����2����)��\��X��S�i�)�s�o��rp�en�an��re�an�d��U����[����((�P����2�n��d����H�����1����)��\��X��)��[��((�P����2�n�����H��V�2)��\��X��)���i�)�s����'only��mi�)�s�!ls�in��9g�co�S�dim��rens�ion�t���hree�clo�!ls�:}e�S�d�su�b�!ls�:}et��es�of��X��.�ŸRep�)�e�a���t��rin��9g�t���hi�)�s�pro�S�ce�s�!ls����'a��few�more�t��rim�e�S�s��yields�h��ryp�)�e��rp�ޔlan�e�s���H�����1����;������������;���H�����r��}
�so�t���h��ra���t��`���v�U��;����(�P�����n��R������H�����1����)��\��X�Jg;��:�:�:��ʚ;��(�P�����n��R����H�����r���b�)��\��X����'�form��an�o��rp�)�en�an�e�co�v�e��r�of��X��,�as�d���e�S�s�)�ire�d.�����8��No��rw�_xfor�t���h�e�quas�)�i-pro��ject�iv�e�cas�:}e.��QSup�p�S�o�!ls�e�_x�X�
���'�P����2�n��
ȹi�)�s�quas�i-pro��ject��riv�e.����'F��Vrom�Mx(I,�Ex.�aO3.5)�w��re�kno�w�t���h�a���t��P����2�n��	�ȹmin���us�a�h�yp�)�e��r�[surf�ace�Mx�H�:ιi�s�an��re.�aONot��Ee����'t���h��ra���t��Ct�h�e��Csam�e�pro�S�of�w�or��eks�ev�en�if��H����i�)�s�a�u��9nion�of�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s.��W��Ve��Cno�w����'pro�S�cee�d�$wit���h�t�h��re�sam�e�sort�of�cons�[tru�ct�ion�as�in�t���h�e�pro��ject�iv�e�cas�:}e,�2obu��9t�w�e����'m���us�[t�m�c��rh���o�S�o�!ls�:}e��H�[�more�clev�e��rly�t��9o�insure�t���h�a���t�(�P����2�n���;����H��V�)��\��X�_F�i�)�s�m�an�e.��0Let��U����'�b�)�e�REa�non��rempt�y�REan�e�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�of��X��.�o�As�b�efore�pi��Jc��rk�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�whi��Jc�h����'do�)�e�S�sn't�'�comp�ޔlet��Eey�con��t��rain�an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t�of��X������Z�U�@�.��Since��X�h�i�)�s����'only���quas�)�i-pro��ject��riv�e�w�e�can't�conclud���e�t���h�a���t�(�P����2�n��g[����H��V�)��\��X��{�i�)�s�an��re.��Bu��9t�w�e�do����'kno��rw���t���h�a���t�(�P����2�n��������H��V�)��\����\-�z�
��	�Ӎ�X���,�i�)�s�an��re.��Our�s�[tra���t��Eegy�i�s�t��9o�add�som��re�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s����'t��9o���H����t�o�get�a�u�nion�of�h��ryp�)�e��r�[surf�ace�S�s��S���so�t���h��ra���t��`���'G(�P�����n��R������S��׹)��\����\-�z�
��	�Ӎ�X�����=�UR(�P�����n�����S��׹)��\��X�Jg:����'�Bu��9t,�V�w��re�1�m���us�[t�b�)�e�careful�t�o�add�t���h��re�S�s�:}e�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s�1�in�su�c�h�a�w�ay�t���h�a���t�((�P����2�n����������'�S��׹)���\��X��)��[��U���i�)�s��mi�s�!ls�in��9g�only�co�S�dim��rens�ion�t��rw�o�or�gre�!la���t��Ee��r�su���b�s�:}et��es�of��X��.�7�W��Ve����'do�#lt���hi�)�s�as�fo�ޔllo��rws.��+F��Vor�e�!lac�h�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��Y��ܹof����\-�z�
��	�Ӎ�X���T�����X��c�h���o�S�o�!ls�:}e�a������3�����x�������=�������'�h��ryp�)�e��r�[surf�ace�x:�H���V���2�0��3ɹwhi��Jc�h�comp�ޔlet��Eely�con��t�ains��Y���bu��9t�whi��Jc�h�do�)�e�S�s�not�comp�ޔlet��Eely�����'con��t��rain��Kan�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t�of��X�����U�@�.���Th�a���t�t���hi�)�s�can�b�e�don��re�i�s�t���h��re����'con��t��Een�t�u1of�a�lemm���a�whi��Jc��rh�will�b�)�e�pro�v�e�S�d�la���t��Ee��r�(jus�[t�pi��Jc�k�a�p�S�oin��t�in�e�!lac�h����'irre�S�d��ru�cib�ޔle�=hcomp�on�en��t�=han�d�a�v�oid�it).�	1Let��S��?�b�y�t���h�e�u��9nion�of�all�of�t���h�e��H���V���2�0�����'�alon��9g��wit���h��H��V�.�8�Th��ren��P����2�n��R������S���i�)�s�an�e�an�d�so������u(�P�����n��R������S��׹)��\��X�Fչ=�UR(�P�����n�����S��׹)��\����\-�z�
��	�Ӎ�X������'�i�)�s�+an��re.���F��Vurt���h�e��rmore,�{�S��׹pro�p�e��rly�+in��t��Ee�r�[s�:}ect��es�all�irre�S�d��ru�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��es�of�����'�X�����U�@�,��lso��E((�P����2�n�������S��׹)��\��X��)��[��U��)�i�)�s�mi�s�!ls�in��9g�only�co�S�dim��rens�ion�t��rw�o�or�gre�!la���t��Ee��r����'su���b�!ls�:}et��es�,	of��X��.��VRep�)�e�a���t��rin��9g�t���hi�)�s�pro�S�ce�s�s�,	as�a��rb�S�o�v�e�,	s�:}ev�e��ral�t�im�e�S�s�yields�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d����'re�S�sul��9t���b�)�eca��2us�:}e�aft��Ee��r�e�!lac��rh�rep�et��rit�ion���t���h�e�co�S�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�re�S�sul��9t�in�g���piece�S�s�i�)�s����'re�S�d��ru�ce�d��b�y�1.�������'�Lemm��fa��1.2.���qc��If��B�Y����is�a�pr��ffoje�ctive��Bvariety�and��p�����1����;����:�:�:��ʚ;���p�����n��	���is�a�nite�c��ffol���le�ction����'of�}p��ffoints�not�on��Y��p�,�=�then�ther�e�exists�a�(p�ossibly�r�e�ducible)�hyp�ersurfac�e��H����'�c��ffontaining�35�Y�ϥ�but�not�c�ontaining�any�of�the��p�����i��d��.����8��By�p�a�p�S�o�!ls�s�)�ib�ޔly�p�re�d��ru�cib�ޔle�p�h�yp�)�e��r�[surf�ace�I�prm��re�!lan�a�u��9nion�of�irre�S�d�u�cib�ޔle�h�yp�)�e��r-����'surf�)�ace�S�s,��not�a�h��ryp�e��r�[surf�ace�u��9nion�high��re��r�co�S�dim�ens�)�ion�v��X�ar�2"iet�ie�S�s.�������'�Pr��ffo�of.���K�N�Thi�)�s�3i�s�ob��rviously�true�an�d�I�2�h�a�v�e�a�pro�S�of,�W�bu��9t�I�2�t���hink�t�h��re��re�i�)�s�proba�b�ޔly����'a��more�alge���brai��Jc�pro�S�of.�
��Not��Ee�t���h��ra���t��k�"�i�)�s�innit�e�s�)�ince�w��re�only�t�alk�a�b�S�ou��9t����'v��X�ar�2"iet��rie�S�s�J�o�v�e��r�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�elds.��Let��f�����1����;������������;���f�����m��Ox�b�)�e�d�enin��9g�equa���t��rions����'for�?�Y��p�.���Th���us��Y��v�i�)�s�t�h��re�common�ze��ro�lo�S�cus�of�t�h��re��f�����i����an�d�not�all��f�����i����v��X�ani�)�sh�on�an�y����'�p�����i��dڹ.�ܥI�ձclaim���t���h��ra���t�w�e�can�n�d�a�lin�e�!lar�com��ekbin���a���t�ion�������$��u
cmex10�P�����a�����i��d��f�����i��:ҹof�t���h�e��f�����i��:ҹwhi��Jc�h�do�)�e�S�sn't����'v��X�ani�)�sh��on�an��ry��p�����i��dڹ.�TSince��k�� �i�s�innit��Ee�an��rd�not�all��f�����i���ݹv��X�ani�sh�on��p�����1����,��$w��re�can�e�!las�ily����'n��rd�{��a�����i���ֹso�t���h�a���t�������P��&��a�����i��d��f�����i���(�p�����1����)�UR�6�=�0�{�an�d�all�t���h�e��a�����i���,�6�=�UR0.��If�������P��&��a�����i��d��f�����i���(�p�����2����)�=�0�{�t���h��ren,��once����'again�$?s�)�ince��k��\�i�s�innit��Ee,�2�w��re�can�e�!las�ily�\jiggle"�t���h��re��a�����i����so�t�h��ra���t�������P�����a�����i��d��f�����i���(�p�����2����)��X�6�=�0����'an��rd��|������P��'6�a�����i��d��f�����i���(�p�����1����)�|�i�)�s�s�[t�ill�nonze��ro.�,Rep�)�e�!la���t�in��9g�t���hi�)�s�sam�e�argu��9m�en��t�for�e�!lac�h�of�t���h�e����'nit��Eely�6�m���an��ry�p�S�oin��t��es��p�����i�����giv�e�S�s�a�p�o�ޔlynomial��f��=��������P�����a�����i��d��f�����i�����whi��Jc��rh�do�)�e�sn't�v��X�ani�)�sh����'on�=an��ry��p�����i��dڹ.���Of�cour�[s�:}e�I�3w�an��t�t��9o�us�:}e��f�Z<�t�o�d���en��re�our�h�yp�)�e��r�[surf�ace,�"bu��9t�=I�3can't����'b�)�eca��2us�:}e���f�L��migh��rt�not�b�e�h���omogen��reous.��.F��Vort�u��9n�a���t��Eely��V,�2�t���hi�)�s��i�s�e�!las�ily�d���e�!lal��9t�wit���h�b��ry����'suit��ra�b�ޔly�b�m���ul��9t�ip�lyin��9g�b�t���h�e�v��X�ar�2"ious��f�����i��ǟ�b�y�t���h�e�d���enin��9g�equa���t�ion�of�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e����'not�@+pas�!ls�)�in��9g�t���hrough�an��ry��p�����i��dڹ,�U�t�h��ren�rep�)�e�!la���t�in��9g�t���h�e�a�b�S�o�v�e�argu��9m�en��t.�9iNo�w�let��H����'�b�)�e�`	t���h��re�h�yp�)�e��r�[surf�ace�`	d���en�e�S�d�b�y��f��Q�=��UR�����P�����a�����i��d��f�����i���.�
�Th�en�`	b�y�cons�[tru�ct�ion��H�M_�con��t�ains����'�Y���an��rd���H����do�)�e�S�sn't�con��t�ain�an�y��p�����i��dڹ.����1p��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������8��(e)��$Sup��rp�S�o�!ls�:}e��Y�k��i�)�s�a�s�et-t���h��reoret�i��Jc��$comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�of�co�S�dim�ens�)�ion��r����'�in�nf�X�'�=�5��P����2��n��y��k����P�.��Th��ren��Y�
ֹi�)�s�t���h�e�in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of��r���h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s,��Vso�nfw�e�can�wr�2"it��Ee������4����3T�x�������=�������'�Y��¹=�UR�H�����1��jF�\���B������T�\��B�H�����r��|عwh��re��re��ve�!lac�h��H�����i��OP�i�)�s�a�h�yp�)�e��r�[surf�ace.�8�By�(I,�Ex.�3.5)��X������B�H�����i������'�i�)�s��an��re�for�e�!lac�h��i�,�t���h�us�������x��X��+�����Y��¹=�UR(�X����H�����1����)��[��������UN[��(�X����H�����r���b�)����'can�b�)�e�co��rv�e��re�S�d�b�y��r�a��o�p�)�en�an�e�su���b�!ls�:}et��es.��[By�(c)�t�hi�)�s�imp�ޔlie�S�s��cd���(�X�٩���&�Y��p�)�UR���r�;����1����'whi��Jc��rh��comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h�e�pro�S�of.����hG��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����7Z����'�Exer��ffcise�351.3.���n�2�(4.9)�ĹLet��X�I�=��W�Sp�)�ec��@�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���]��b�)�e�an��re�four-space�o�v�e��r����'a��eld��k�g�.�~�Let��Y�����1��	���b�)�e�t���h��re�p�ޔlan�e��x�����1��	���=�0��x�����2���=�0��an��rd�let��Y�����2��	���b�)�e�t���h�e�p�ޔlan�e��x�����3��	���=����'�x�����4��V�=�UR0.�&�Sh���o��rw��t���h�a���t��Y��¹=�UR�Y�����1����[�;
�Y�����2��t�i�)�s�not�a�s�:}et-t���h�eoret�i��Jc�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�in����'�X��.�a2Th��re��refore�Mnt���h�e�pro��ject�iv�e�clo�!lsure����\-�z�	m��	�Ӎ�Y�����in��P����2��4��y���k���	q�i�)�s�not�a�s�:}et-t���h�eoret�i��Jc�comp�ޔlet��Ee����'in��t��Ee��r�[s�:}ect��rion.������'�Pr��ffo�of.���K�N�By�XY(Ex.�4.8e)�it�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t��H���V���2�2���Z�(�X�qT����Y��;����O�����X�����Y�����)�UR�6�=�0.�Sup�p�S�o�!ls�:}e����'�Z�H�i�)�s�lRa�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s�:}et�of��X��,���t���h��ren�b�y�(Ex.��2.3d),���for�an�y��i�UR���1,���t���h�e��re�lRi�)�s�an�exact����'s�:}equence������>���H���V����i��R0�(�X�Jg;����O�����X����)�UR�!��H���V����i���(�X��+�����Z�5�;����O�����X�����Z��
9�)��!��H�������V�i�+1��8O��Z���.��(�X�Jg;��O�����X����)��!��H���V����i�+1��.��(�X�Jg;��O�����X����)�:����'�By��p(3.8),��H�H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����O�����X����)�UR=��H���V���2�i�+1��.��(�X�;����O�����X����)�=�0��pso��H���V���2�i��R0�(�X����Z�5�;��O�����X�����Z��
9�)�UR=��H�������V�i�+1��8O��Z���.��(�X�Jg;��O�����X����).����'A��X�p��rp�ޔlyin��9g��t���hi�)�s�wit�h��Z�1�=�UR�Y���an��rd��i��=�2�sh���o��rws�t���h�a���t������H���V����2���Z�(�X��+�����Y��;����O�����X�����Y�����)�UR=��H�������V�3���ڍ�Y���P��(�X�Jg;��O�����X����)�:����'�Th���us��w��re�jus�[t�n�ee�S�d�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t��H����2���V�3��b���Y���P��(�X�Jg;����O�����X����)�UR�6�=�0.����8��May��re��r-Viet��9or�2"i�)�s��(Ex.�8�2.4)�yields�an�exact�s�:}equence�������t���H�������V�3���ڍ�Y��q��Aa�cmr6�1����	�Թ(�X�Jg;����O�����X����)������H�������V�3���ڍ�Y��q�2�����(�X�Jg;����O�����X����)�UR�!��H�������V�3���ڍ�Y���P��(�X�;����O�����X����)��!�����������v���H�������V�4���ڍ�Y��q�1��*��\�Y��q�2����ZX�(�X�Jg;����O�����X����)�UR�!��H�������V�4���ڍ�Y��q�1����	�Թ(�X�;����O�����X����)������H�������V�4���ڍ�Y��q�2����	�Թ(�X�;����O�����X����)�������'As�a��rb�S�o�v�e,���H����2���V�3��b���Y��q�1����	�Թ(�X�Jg;����O�����X����)��u=��H���V���2�2���Z�(�X����Ń�Y�����1����;��O�����X�����Y��q�1����չ).��4Bu��9t��X���Ń�Y�����1����i�)�s�a�s�:}et-t���h��reoret�i��Jc����'comp�ޔlet��Ee�*�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�of�co�S�dim�ens�)�ion�2�so��cd����(�X������g�Y�����1����)�°���1,�:�wh��rence��H���V���2�2���Z�(�X��������'�Y�����1����;����O�����X�����Y��q�1����չ)�UR=�0.�8�Similiarly����7���H���V����2���Z�(�X��+�����Y�����2����;����O�����X�����Y��q�2����չ)�UR=��H���V����3���(�X��+�����Y�����1����;����O�����X�����Y��q�1����չ)�=��H���V����3���(�X��+�����Y�����2����;����O�����X�����Y��q�2����չ)�=�0�:����'�Th���us��pf�2"rom�t�h��re�a�b�S�o�v�e�exact�s�:}equence�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��H����2���V�3��b���Y���P��(�X�Jg;����O�����X����)�UR=��H����2���V�4��b���Y��q�1��*��\�Y��q�2����ZX�(�X�;����O�����X����)�:����8��Let����P�z�=��V�Y�����1���G�\�C�Y�����2���Z�=��f�(0�;����0�;��0�;��0)�g�.�ifW��Ve�h��ra�v�e�re�S�d�u�ce�d���t��9o�sh���o��rwin�g�t���h��ra���t����'�H����2���V�4��b���P���̹(�X�Jg;����O�����X����)��2i�)�s�nonze��ro.��Since��H����2���V�4��b���P����(�X�Jg;����O�����X����)��=��H���V���2�3���Z�(�X�8s��F��P�S�;��O�����X�����P��K͹)��2w��re�can�do����'t���hi�)�s��b��ry�a�direct�compu��9t�a���t�ion�of��H���V���2�3���Z�(�X�	��%��P�S�;����O�����X�����P��K͹)�us�)�in��9g���V���x��Cec�h�coh���omo�ޔlogy��V.������5����G��x�������=�������'�Co��rv�e��r��[�X��������P��!�b�y�t���h�e�an�e�o�p�)�en�s�:}et��es��U�����i���,�=�UR�f�x�����i���6�=�0�g�.�8qTh��ren��[t���h�e��7����x��Cec�h�comp�ޔlex�����'i�)�s��1F�����lx���:h;�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�]����������UN��k�g�[�x�����1����;�x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍4���\|�]����'0����d��q�0����Ѝ��UR�����!�������؍��:h;�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�;�x�������1��諍2����]����������UN��k�g�[�x�����1����;�x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍3���\|�;�x�������1��諍4����]����'0����d��q�1����Ѝ��UR�����!���������:h;�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�;�x�������1��諍2����;�x�������1��諍3����]����������UN��k�g�[�x�����1����;�x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍2���\|�;�x�������1��諍3����;�x�������1��諍4����]����'0����d��q�2����Ѝ��UR�����!����������:h;�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�;�x�������1��諍2����;�x�������1��諍3����;�x�������1��諍4����]�����3����'Th���us����g���H���V����3���Z�(�X��+�����P�S�;����O�����X�����P��K͹)�UR=��f�x������i���ڍ�1�����x���O���j������2����x������k���ڍ�3���#��x������`���ڍ�4���V�:�UR�i;�j��;�k�g;�`�<��0�g�6�=�0�:���򍍍���m��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����=�����'�Exer��ffcise�351.4.���n�2�(5.6)�m��Curves���on�a�Nonsingular�Quadric�Surfac��ffe.�	���Let��Q��b�)�e����'t���h��re�Qnons�)�in��9gular�quadr�2"i��Jc�surf�ace��xy�%��=��o�z���w��ùin��X���=��P����2��3��y���k���
t��o��rv�e��r�Qa�eld��k�g�.�	l4W��Ve����'will�=�cons�)�id���e��r�lo�S�cally�pr�2"incipal�clo�!ls�:}e�d�su���b�!ls��xc��rh�em�e�s�=��Y����of��Q�.�1�Th��re�s�:}e�corre�sp�on��rd����'t��9o�¶Cart��rie��r�divi�)�sor�[s�on��Q��b�y�(I�S�I,�6.17.1).��On�t���h�e�ot���h�e��r�h�an�d,���w�e�kno�w�t���h�a���t�����'Pi��Jc��9jC�Q�����P���5����԰���N�=��������Z�+���Z�,���so�n!w��re�can�t�alk�a�b�S�ou��9t�t���h�e��typ��ffe��(a,b)�of��Y�
��(I�S�I,�6.16)�an�d�(I�S�I,����'6.6.1).��Let��8us�d���enot��Ee�t���h��re�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��L�(�Y��p�)�b�y��O�����Q��/��(�a;���b�).��Th���us�for�an�y����'�n�UR�2��Z�,���O�����Q��/��(�n�)�=��O�����Q���(�n;���n�)�:����8��[�Comm��en��ft!�0�In��mm��ry�so�ޔlu��9t�ion,�_a�su���b�!ls��xc�h�em�e��Y�zݹof�t�yp�)�e�(�a;���b�)�corre�S�sp�on�ds����'t��9o���t���h��re�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��O�����Q��/��(��a;�����b�).�
�I��st���hink�t�hi�)�s�i�s�re�!lason���a��rb�ޔle�s�ince�t���h��ren����'�O�����Q��/��(��a;�����b�)�UR=��L�(��Y��p�)�=��I�����Y��P��.�+GTh��re���corre�S�sp�on�d���ence���i�)�s�not�cle�!larly�s�[t�a���t��Ee�S�d�in�t���h�e����'prob�ޔlem,��bu��9t�t���hi�)�s�c��rh���oi��Jce�w�or��eks.]����'(a)���Us�:}e�t���h��re�sp�)�ecial�cas�e�(�q�n9;����0)�an��rd�(0�;�q�n9�),��wit���h��q�Fs>��:�0,�wh��ren��Y�jg�i�)�s�a�di�sjoin��t����'u��9nion��of��q�X�lin��re�S�s��P����2�1�����in��Q�,�t�o�sh���o��rw:���䍍���5\h1.����D_�if���j�a������b�j�UR��1,�t���h��ren��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;�b�))�UR=�0;��=������5\h2.����D_�if���a;���b�UR<��0,�t���h��ren��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;�b�))�UR=�0;�������5\h3.����D_�if���a�UR���2,�t���h��ren��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;��0))�UR�6�=�0).���卑'�Solution.�
���Fir�[s�t��I�njwill�pro��rv�e��a�big�lemm���a�in�whi��Jc��rh�I�exp�ޔli��Jcit��Eely�calcula���t�e�����'�H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(0�;���q�n9�))��Xan��rd�som�e�ot���h�e��r�t���hin��9gs�whi��Jc�h�will�com�e�in�us�:}eful�la���t��Ee��r.����'Next���I��ngiv��re�an�in�d���ep�)�en�d�en��t���compu��9t�a���t�ion�of�t���h�e�ot���h�e��r�coh���omo�ޔlogy�group�!ls�(1),����'(2).������'�Lemm��fa��1.5.���qc��L��ffet�35�q�Ë>�UR�0�,�then�����b��dim���v�)����k��}���H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���q�n9�))�UR=��q�������1�:�������6����Z��x�������=�������'�F���urthermor��ffe,��uwe�Uknow�al���l�terms�in�the�long�exact�se�quenc�e�of�c�ohomolo�gy�����'asso��ffciate�d�35with�the�short�exact�se��ffquenc�e������\k�0�UR�!�O�����Q��/��(��q�n9;����0)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�:������'�Pr��ffo�of.���K�N�W��Ve��ppro��rv�e�t���h�e�lemm���a�only�for��O�����Q��/��(��q�n9;����0),��Hs�)�ince�t���h�e�argu��9m�en��t�for��O�����Q��/��(0�;�����q�n9�)����'i�)�s��Lexact���ly�t�h��re�sam�e.���Sup�p�S�o�!ls�:}e��Y�U��i�)�s�t���h�e�di�)�sjoin��t�u��9nion�of��q�'��lin�e�S�s��P����2�1��	yP�in��Q��so����'�I�����Y��
��=�UR�O�����Q��/��(��q�n9;����0).�8�Th��re��s�:}equence������10�UR�!�O�����Q��/��(��q�n9;����0)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0����'i�)�s��exact.�8�Th��re�as�!lso�S�cia���t��Ee�d��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�i�s�������Z�U0�UR�!�������p/��(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR�!��(�Q;����O�����Q���)��!��(�Q;����O�����Y��P��)�����������d/��!�������p/��H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR�!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��)��!��H���V����1���(�Q;����O�����Y��P��)����������d/��!�������p/��H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��)��!��H���V����2���(�Q;����O�����Y��P��)��!��0��������'W��Ve���can�compu��9t��Ee�all�of�t���h��re�t�e��rms�in�t���hi�)�s�lon��9g�exact�s�:}equence.��F��Vor�t�h��re�purp�S�o�!ls�:}e�s����'a���t��h��ran�d�it�suce�S�s�t��9o�view�t���h�e�su��9mm���an�ds�as��k�g�-v�ect��9or�space�S�s�so�w�e�sys�[t��Eem���a���t-����'i��Jcally�YCdo�t���hi�)�s�t�hrough���ou��9t.���Since��O�����Q��/��(��q�n9;����0)��=��I�����Y����i�)�s�YCt�h��re�id���e�!lal�sh�e�!laf�of��Y��p�,�t�it��es����'global��s�:}ect��rions�m���us�[t�v��X�ani�)�sh�on��Y��p�.�ßBu��9t��I�����Y��i��i�s�a�su���b�!lsh��re�af��of��O�����Q��Hn�wh���o�!ls�:}e�global����'s�:}ect��rions�h_are�t���h�e�cons�[t�an��t��es.��Since�t���h�e�only�cons�[t�an��t�whi��Jc�h�v��X�ani�)�sh�on��Y�Ϲi�s�0,����'(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�Tn=�0.���By��(I,�3.4),�b(�Q;����O�����Q���)�Tn=��k�g�.���Since���Y��_�i�)�s�t���h��re�di�sjoin��t����'u��9nion���of��q����co��rpie�S�s�of��P����2�1��H��an�d�e�!lac�h�co�p�y�h�as�global�s�:}ect�ions��k�g�,��#(�Q;����O�����Y��P��)�UR=��k�����2��q�����.����'Since�A��Q��i�)�s�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�of�dim�ens�)�ion�2,��Z(Ex.�=�5.5�b)�imp�ޔlie�S�s����'�H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��)�UR=�0.��Beca��2us�:}e����Y�,V�i�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o�s�:}ev��re��ral�co�pie�S�s�of��P����2�1����,��
t���h�e�gen�e��ral����'re�S�sul��9t�:(pro��rv�e�d�:in�clas�!ls,���bu��9t�not�in�t���h��re�b�o�ok)�t���h��ra���t��H����2���V�n��RA��������(�O�����'2�@�cmbx8�P������ ;�cmmi6�n���M)�)��*=��f������P�����a�����I���M�X�����I��
_w�:�����'en��tr�2"ie�S�s��in��I��+�n��rega���t�iv�e���R��g���imp�ޔlie�S�s��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Y��P��)�UR=��H���V���2�1���(�Y��;����O�����Y��P��)�=�0.�%�Since����Q��i�)�s�a�h��ry-����'p�)�e��r�[surf�ace��Hof�d���egree�2�in��P����2�3����,���(I,�Ex.�k7.2(c))�imp�ޔlie�S�s��p�����a��Ϲ(�Q�)�UR=�0.�Th���us��Hb��ry�(Ex.����'5.5c)��w��re�s�:}ee�t���h�a���t��H���V���2�2���Z�(�Q;����O�����Q��/��)�UR=�0.�/�Pu��9t��2t�in�g��t�oget���h�e��r��t�h�e��a�b�S�o�v�e�f�)�act��es�an�d�som�e����'bas�)�i��Jc�Ĥpro��rp�e��rt�ie�S�s�Ĥof�exact�s�:}equence�s�sh���o��rw�t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))��Z=��k��g���2��(�q�I{��1)����,����'�H���V���2�2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=�0��an��rd��H���V���2�2���(�Q;����O�����Y��P��)�UR=�0.�8�Our��lon��9g�exact�s�:}equence�i�)�s�no��rw�������8m0�UR�!�������MH��(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=�0��!��(�Q;����O�����Q���)�=��k��o�!��(�Q;����O�����Y��P��)�=��k��g�����q������N�����AH��!�������MH��H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=��k��g�����(�q�I{��1)�� f��!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��)�=�0��!��H���V����1���(�Q;����O�����Y��P��)�=�0�����������AH��!�������MH��H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=�0��!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��)�=�0��!��H���V����2���(�Q;����O�����Y��P��)�=�0��!��0�����������m��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������7����k��x�������=�������8��Nu��9m��ekb�)�e��r��(3)�no��rw�fo�ޔllo�ws�imm�e�S�dia���t��Eely�f�2"rom�t���h�e�lemm���a�b�)�eca��2us�:}e��`�����H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;��0))�UR=��k��g�����(��a��1)��'r"�6�=�0����'for���a�UR���2�:�����8��No��rw��mw�e�compu��9t��Ee�(1)�an�d�(2).�_/Let��a��b�)�e�an�arbitrary�in��t��Eege��r.�Fir�[s�t�w��re����'sh���o��rw��t���h�a���t��O�����Q��/��(�a;���a�)�UR=�0.�8�W��Ve�h��ra�v�e�an�exact�s�:}equence��`���Xq0�UR�!�O����P������3���Y��(��2)��!�O����P������3������!�O�����Q��
���!��0����'wh��re��re�	�t���h�e�r�[s�t�m���ap�i�)�s�m���ul��9t��rip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��xy��@��n�z���w�R��.���Twi�)�s�[t�in��9g�b�y��a��giv�e�S�s�an�����'exact��s�:}equence����z60�UR�!�O����P������3���Y��(��2���+��a�)�UR�!�O����P������3����(�a�)��!�O�����Q��/��(�a�)��!��0�:����'�Th��re��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�yields�an�exact�s�equence�����M�H�������_�!�UR�H���V����1���Z�(�O����P������3���Y��(�a�))��!��H���V����1���(�O�����Q��/��(�a�))��!��H���V����2���(�O����P������3���Y��(��2���+��a�))�UR�!�����������'�Bu��9t��>f�2"rom�t���h��re�exp�ޔli��Jcit�compu�t��ra���t�ions��>of�pro��ject��riv�e��>space�(5.1)�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t����'�H���V���2�1���Z�(�O����P������3���Y��(�a�))�S8=�0�9an��rd��H���V���2�2���(�O����P������3���Y��(��2�v�+��a�))�S8=�0�9f�2"rom�whi��Jc��rh�w�e�conclud���e�t���h�a���t����'�H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a�))�UR=�0.����8��Next���w��re�sh���o�w�t���h�a���t��O�����Q��/��(�a�*]���1�;���a�)�UR=�0.�#�Let����Y�HH�b�)�e�a�s�in��9gle�co��rp�y���of��P����2�1��kܹs�it��2t��rin��9g����'in���Q��so�t���h��ra���t��Y���h�as�t�yp�)�e�(1�;����0).�8�Th�en�w�e�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence�����ni0�UR�!�I�����Y��
��!�O�����Q��
���!�O�����Y���!��0�:����'�Bu��9t���I�����Y��
��=�UR�O�����Q��/��(��1�;����0)�so�t���hi�)�s�b�ecom��re�S�s�����>`0�UR�!�O�����Q��/��(��1�;����0)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�:����'�No��rw��t�wi�)�s�[t�in��9g�b�y��a��yields�t���h�e�exact�s�:}equence����}
,0�UR�!�O�����Q��/��(�a������1�;���a�)�UR�!�O�����Q���(�a�)��!�O�����Y��P��(�a�)��!��0�:����'�Th��re��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence�����3(��������D}�!�UR�(�O�����Q��/��(�a�))��!��(�O�����Y��P��(�a�))��!��H���V����1���Z�(�O�����Q���(�a������1�;���a�))�UR�!��H���V����1���Z�(�O�����Q���(�a�))��!�����������'�W��Ve��]jus�[t�sh���o��rw�e�S�d��]t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a�))���=�0,��so�t��9o�s�:}ee�t���h��ra���t��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a�3N���1�;���a�))���=�0����'it��suce�S�s�t��9o�not��Ee�t���h��ra���t�t�h��re�m���ap�(�O�����Q��/��(�a�))�.��!��(�O�����Y��P��(�a�))��i�)�s�surject�iv�e.�{Thi�)�s����'can�EWb�)�e�s�:}een�b��ry�wr�2"it�in��9g��Q�W(�=��Pro��j���(�k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�xy��7��D��z�w��))�EWan��rd�(w.l.o.g.)������8����	}z�x�������=�������'�Y�	޹=��nPro��j��-�(�k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�xy�\�����z�w�;���x;�z��))�ƙan��rd�not�in��9g�t���h�a���t�t���h�e�d���egree��a��part�����'of����k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�xy�@F���
�z�w��)���surject��es�on��t��9o�t���h��re�d���egree��a��part�of��k�g�[�x;���y�n9;�z�;�w�R��]�=�(�xy�@F�����'�z���w�R�;���x;�z��).��qTh���us���H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a������1�;���a�))��_=�0�an��rd�exact���ly�t�h��re�sam�e�argu��9m�en��t�sh���o�ws����'�H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a;���a������1))�UR=�0.�8�Thi�)�s��giv��re�S�s�(1).����8��F��Vor��(2)�it�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�for��a�UR>��0,��<��j��H���V����1���Z�(�O�����Q��/��(��a;�����a������n�))�UR=��H���V����1���(�O�����Q��/��(��a������n;�����a�))�UR=�0����'for�@�all��n��>��0.�:�Th���us�@�let��n��>��0�@�an��rd�sup�p�S�o�!ls�:}e��Y���i�)�s�a�di�sjoin��t�u��9nion�of��n��co��rpie�S�s�����'of���P����2�1�����in�su��rc�h��a�w��ray�t���h�a���t��I�����Y��
��=�UR�O�����Q��/��(0�;�����n�).�8�Th�en�w�e�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence�������0�UR�!�O�����Q��/��(0�;�����n�)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�:����'�Twi�)�s�[t��rin��9g��b�y���a��yields�t���h�e�exact�s�:}equence����iͷ0�UR�!�O�����Q��/��(��a;�����a������n�)�UR�!�O�����Q���(��a�)��!�O�����Y��P��(��a�)��!��0�:����'�Th��re��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�t���h�en�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence�����A���������R�-!�UR�(�O�����Y��P��(��a�))��!��H���V����1���Z�(�O�����Q��/��(��a;�����a������n�))�UR�!��H���V����1���(�O�����Q��/��(��a�))��!�����������'�As��pev��re��ry�on�e�kno�ws,��Hs�)�ince��Y�8�i�s�jus�[t�s�:}ev��re��ral�co�pie�S�s�of��P����2�1��\t�an�d���a�UR<��0,��H(�O�����Y��P��(��a�))�=����'0.��xBeca��2us�:}e��pof�our�compu��9t��ra���t�ions��pa�b�S�o�v�e,��H�H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(��a�))�UR=�0.�Th���us��p�H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(��a;�����a�����'�n�))���=�0,�Ԥas���d���e�S�s�)�ire�d.�jpSh���o��rwin��9g�t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(��a�*���n;�����a�))���=�0�i�)�s�exact���ly�t�h��re����'sam��re.����'(b)��No��rw�us�:}e�t���h�e�S�s�:}e�re�sul��9t��es�t�o�sh���o��rw:��������5\h1.����D_�If��/�Y�e��i�)�s�a�lo�S�cally�pr�2"incipal�clo�!ls�:}e�d�su���b�!ls��xc��rh�em�e��/of�t��ryp�)�e�(�a;���b�)�wit�h��a;���b�UR>��0,����D_�t���h��ren���Y���i�)�s�conn�ect��Ee�S�d.�������D_��Pr��ffo�of.���i):�Compu��9t��rin�g��t���h�e�lon��9g�exact�s�:}equence�as�!lso�S�cia���t��Ee�d��t�o�t���h��re�sh���ort�exact����D_�s�:}equence������%0�UR�!�I�����Y��
��!�O�����Q��
���!�O�����Y���!��0��,��D_�giv��re�S�s��t���h�e�exact�s�:}equence����^KH0�UR�!��(�Q;����I�����Y��P��)��!��(�Q;��O�����Q��/��)��!��(�Q;��O�����Y��P��)��!��H���V����1���Z�(�Q;��I�����Y��P��)��!���������D_�Bu��9t,��a(�I�����Y��P��)��=�0,�(�Q;����O�����Q��/��)�=��k�g�,�an��rd�	b�y�(a)2�a�b�S�o�v�e��H���V���2�1���Z�(�Q;����I�����Y��P��)��=����D_��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=�0.�8�Th���us��w��re�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence�����F�0�UR�!��0��!��k��o�!��(�O�����Y��P��)��!��0��!�����������D_�f�2"rom���whi��Jc��rh�w�e�conclud���e�t���h�a���t�(�O�����Y��P��)�UR=��k���whi��Jc�h���imp�ޔlie�S�s��Y�:L�i�)�s�conn�ect��Ee�S�d.��������m��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������9����
���x�������=����������5\h�2.����D_�no��rw� �as�!lsu��9m�e��k����i�)�s�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d.���Th�en�for�an�y��a;���b�UR>��0,�H�t���h��re��re�exi�)�s�[t��es�����D_�an��Girre�S�d��ru�cib�ޔle�nons�)�in��9gular�curv�e��Y�Q��of�t�yp�)�e�(�a;���b�).���Us�:}e�(I�S�I,�7.6.2)�an�d����D_�(I�S�I,��8.18).�������D_��Pr��ffo�of.���i):�Giv��ren��(�a;���b�),�(I�S�I,�7.6.2)�giv�e�S�s�a�clo�!ls�:}e�d�imm��re��r�[s�)�ion���������Q�UR�=��P�����1��j������P�����1��V�!��P�����a���w���P�����b��x.�!��P�����n�����D_�whi��Jc��rh�]ecorre�S�sp�on�ds�]et��9o�t���h�e�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��O�����Q��/��(��a;�����b�)�of�t�yp�)�e�(�a;���b�).�	�By�����D_�Be��rt��rini's��)t���h�eorem�(I�S�I,�8.18)�t���h�e��re�i�)�s�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e��H�m�in��P����2�n��	(y�su�c�h�t���h�a���t�t���h�e����D_�h��ryp�)�e��rp�ޔlan�e���s�:}ect�ion�of�t���h�e�(�a;���b�)�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�of��Q��in��P����2�n��
))�i�s�nons�in��9gular.����D_�Pull�	\t���hi�)�s�h��ryp�e��rp�ޔlan�e�	\s�:}ect�ion�bac�k�t��9o�a�nons�)�in�gular�curv��re��Y��̹of�t�yp�)�e�(�a;���b�)����D_�on�
^�Q��in��P����2�3����.��By�t���h��re�previous�prob�ޔlem,��Y��ιi�)�s�conn�ect��Ee�S�d.��Since��Y��ιcom�e�S�s����D_�f�2"rom��xa�h��ryp�)�e��rp�ޔlan�e��xs�:}ect�ion�t���hi�)�s�imp�ޔlie�S�s��Y�v�i�s�irre�S�d��ru�cib�ޔle�(s�:}ee�t���h�e�rem���ar��ek����D_�in��t���h��re�s�[t�a���t��Eem�en��t�of�Be��rt�ini's�t���h�eorem).����D߄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������5\h3.����D_�an���irre�S�d��ru�cib�ޔle�nons�)�in��9gular�curv�e��Y�WQ�of�t�yp�)�e�(�a;���b�),�.��a;�b�k{>��0�on��Q��i�)�s����D_�pro��ject��riv�ely��{norm���al�(I�S�I,�Ex.��|5.14)�if�an��rd�only�if��j�a�U����b�j�UR��1.�In��{part��ri��Jcular,����D_�t���hi�)�s��giv��re�S�s�lot��es�of�examp�ޔle�s�of�nons�)�in��9gular,�
Obu�t��not�pro��ject��riv�ely��norm���al����D_�curv��re�S�s��Qin��P����2�3����.�_�Th�e�s�)�imp�ޔle�S�s�[t�i�s�t���h��re�on�e�of�t�yp�)�e�(1�;����3)�whi��Jc�h�i�)�s�jus�[t�t���h�e����D_�ra���t��rion���al��quart�i��Jc�curv�e�(I,�Ex.�8�3.18).������D_��Pr��ffo�of.���i):�Let��*�Y�x��b�)�e�an�irre�S�d��ru�cib�ޔle��*nons�in��9gular�curv��re�of�t�yp�)�e�(�a;���b�).�
gTh�e����D_�cr�2"it��Ee��r�ion�R�w��re�ap�p�ޔly�com�e�S�s�f�2"rom�(I�I,�Ex�5.14d)�whi��Jc��rh�as�!ls�:}e��rt��es�t���h�a���t�t���h�e����D_�m���ap�!ls�����ٚ(�P�����3����;����O����P������3���Y��(�n�))�UR�!��(�Y��;��O�����Y��P��(�n�))����D_�are�ysurject��riv�e�for�all��n������0�if�an��rd�only�if��Y���i�)�s�pro��ject�iv�ely�norm���al.����D_�T��Vo�8�d���et��Ee��rmin��re�wh�en�t���hi�)�s�o�S�ccur�[s�w�e�h�a�v�e�t��9o�rep�ޔlace�(�P����2�3����;����O����P������3���Y��(�n�))�wit���h����D_�(�Q;����O�����Q��/��(�n�)).�YQIt�J�i�)�s�e�!lasy�t��9o�s�:}ee�t���h��ra���t�t�h��re�a�b�S�o�v�e�cr�2"it��Ee��r�ion�J�imp�ޔlie�S�s�w�e�can����D_�m���ak��re���t���hi�)�s�rep�ޔlacem�en��t�if��Q��i�)�s�pro��ject�iv�ely�norm���al.�BSince��Q�����P���Z�����԰���s��=�����
��P����2�1��l������P����2�1�����D_�i�)�s���lo�S�cally�i�somorphi��Jc�t��9o��A����2�1��5��A1�A����2�1������P���	������԰���	���=��������A����2�2��	�Źwhi�c��rh�i�)�s�norm���al,��w�e�s�:}ee�t���h�a���t����D_��Q��+�i�)�s�norm���al.�diTh��ren�s�ince��Q��i�s�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�whi��Jc�h�i�)�s�norm���al,����D_�(I�S�I,��8.4b)�imp�ޔlie�s��Q��i�)�s�pro��ject��riv�ely��norm���al.�����D_�Cons�)�id���e��r��t���h��re�exact�s�:}equence������c�0�UR�!�I�����Y��
��!�O�����Q��
���!�O�����Y��P��:������ �10�������x�������=�������D_�Twi�)�s�[t��rin��9g��b�y��n��giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence��T����)0�UR�!�I�����Y��P��(�n�)��!�O�����Q��/��(�n�)��!�O�����Y���(�n�)�:����D_�T��Vakin��9g��coh���omo�ޔlogy�yields�t���h��re�exact�s�:}equence�����a�-�������s}!�UR�(�Q;����O�����Q��/��(�n�))��!��(�Q;��O�����Y��P��(�n�))��!��H���V����1���Z�(�Q;��I�����Y��P��(�n�))��!���������D_�Th���us�b��Y��\�i�)�s�pro��ject��riv�ely�b�norm���al�preci�s�:}ely�if��H���V���2�1���Z�(�Q;����I�����Y��P��(�n�))���=�0�b�for�all�����D_��n������0.���Wh��ren�Scan�t���hi�)�s�h�ap�p�)�en?���W��Ve�ap�p�ޔly�our�compu��9t�a���t�ions�f�2"rom�part����D_�(a).�8�Since���O�����Q��/��(�n�)�UR=��O�����Q���(�n;���n�),��T���D_��I�����Y��P��(�n�)�UR=��O�����Q��/��(��a;�����b�)(�n�)�=��O�����Q���(��a;�����b�)�X��
�����O��X.�Q���
��O�����Q���(�n;�n�)�UR=��O�����Q���(�n�X����a;���n����b�)����D_�If���j�a������b�j�UR��1�t���h��ren��j�(�n������a�)����(�n����b�)�j�UR��1�for�all��n��so������k�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�)(�n�))�UR=�0����D_�for���all��n��whi��Jc��rh�imp�ޔlie�S�s��Y��%�i�)�s�pro��ject�iv�ely�norm���al.�iOn�t���h�e�ot���h�e��r�h�an�d,���if�����D_��j�a��/���b�j���>��1�@�let��n��b�)�e�t���h��re�minim�u��9m�of��a��an��rd��b�,�Vwit�h���ou��9t�lo�!ls�s�@�as�su�m��re�@��b��i�)�s����D_�t���h��re��minim�u��9m,�so��n�UR�=��b�.�8�Th��ren�f�2"rom�(a)�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��T���m���O�����Q��/��(��a;�����b�)(�n�)�UR=��O�����Q���(��a;�����b�)(�b�)�=��O�����Q���(��a����+��b;����0)�UR�6�=�0����D_�s�)�ince����a����+��b�UR���2.�����@��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����m\��8��(c)���If��Y��]�i�)�s�a�lo�S�cally�pr�2"incipal�su���b�!ls��xc��rh�em�e���of�t��ryp�e�(�a;���b�)�in��Q�,�E>sh���o��rw�t���h�a���t�����'�p�����a��Ϲ(�Y��p�)��Y=��ab������a����b��+�1�:���[Hin��t:���Calcula���t��Ee�t���h��re�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomials�of�suit�a�b�ޔle����'sh��re�!la�v�e�S�s,��-an�d��yagain�us�:}e�t���h��re�sp�)�ecial�cas�e�(q,0)�whi��Jc��rh�i�)�s�a�di�sjoin��t�u��9nion�of��q����'�co��rpie�S�s��of��P����2�1����.]��s�����'�Pr��ffo�of.���K�N�Th��re��s�:}equence��T������0�UR�!�O�����Q��/��(��a;�����b�)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0����'i�)�s��exact�so����X.���(�O�����Y��P��)�UR=���(�O�����Q��/��)�������(�O�����Q���(��a;�����b�))�UR=�1�������(�O�����Q���(��a;�����b�))�:����'�Th���us������!��p�����a��Ϲ(�Y��p�)�UR=�1�������(�O�����Y��P��)�UR=���(�O�����Q��/��(��a;�����b�))�:������ �11�������x�������=�������'�Th��re��prob�ޔlem�i�)�s�t���h�us��re�S�d�u�ce�d��t��9o�compu�t��rin�g���(�O�����Q��/��(��a;�����b�)).�����8��As�!lsu��9m��re��%r�[s�t�t���h��ra���t��a;���b�UR<��0.�ѴT��Vo�compu��9t��Ee���(�O�����Q��/��(��a;�����b�))�as�!lsu�m��re��Y��¹=�UR�Y�����1���{�[�2w�Y�����2�����'�wh��re��re�aY�I�����Y��q�1���
�,�=�X�O�����Q��/��(��a;����0)�an�d��I�����Y��q�2���
�,�=�X�O�����Q��/��(0�;�����b�).���Th���us�w�e�could�t�ak�e��Y�����1��	!]�t��9o�b�)�e����'�a��.�co��rpie�S�s�of��P����2�1���2�in�on�e�f�)�amily�of�lin�e�S�s�an�d��Y�����2���2�t��9o�b�)�e��b��co�pie�S�s�of��P����2�1���2�in�t���h�e�ot���h�e��r����'f�)�amily��V.�8�T�ensor�2"in��9g��t���h��re�exact�s�:}equence�������0�UR�!�I�����Y��q�1����&�!�O�����Q��
���!�O�����Y��q�1����!��0����'b��ry��t���h�e�
a���t�mo�S�d�ule��I�����Y��q�2���
�|�yields�an�exact�s�:}equence������|0�UR�!�I�����Y��q�1���B|�
���I�����Y��q�2����&�!�I�����Y��q�2����!�O�����Y��q�1���B|�
���I�����Y��q�2������'�[Not��Ee:�ƢI��us�:}e�-t���h��re�f�)�act�t�h��ra���t��I�����Y��q�2�����i�)�s�
a�t.��Thi�)�s�fo�ޔllo��rws�f�2"rom�a�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�in�s�:}ect�ion�����'9��whi��Jc��rh�w�e�h�a�v�en't�y�et�re�!lac�h�e�S�d,���bu��9t�I'm�goin�g�t�o�us�:}e�it�an��ryw�ays.�#(Since���Y�����2��i��i�)�s����'lo�S�cally�/�pr�2"incipal,�A9�I�����Y��q�2���
ǽ�i�)�s�gen��re��ra���t��Ee�d�lo�cally�b��ry�a�s�)�in��9gle�elem�en��t�an�d�s�)�ince��Q��i�s����'a�?/v��X�ar�2"iet��ry�it�i�)�s�in��t��Eegral.�6tTh���us��I�����Y��q�2���
��i�s�lo�S�cally�f�2"ree�so�b��ry�(9.2)��I�����Y��q�2���
��i�s�
a���t.]�6tThi�s����'exact��s�:}equence�can�also�b�)�e�wr�2"it��2t��Een�as�����[��0�UR�!�O�����Q��/��(��a;�����b�)��!�O�����Q���(0�;�����b�)��!�O�����Y��	�e�
���O�����Q���(0�;�����b�)��!��0�:����'�Th��re��as�!lso�S�cia���t��Ee�d�lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�i�)�s�������'0�UR�!�������<5P�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��(�Q;����O�����Q���(0�;���b�))�UR�!��(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q���(0�;���b�))�����������05N�!�������<5P�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR�!��H���V����1���(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))����������05N�!�������<5P�H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�UR�!��0��������'Th��re��
r�[s�t�t���hree�group�!ls�of�global�s�:}ect��rions�are�0.�4Since��a;���b�P<��0,�(�(a)�imp�ޔlie�S�s�����'�H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=�0.�xF��Vrom�bpt���h��re�lemm���a�w�e�kno�w�t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR=����'�k��g���2��(�b��1)���e�.�
3�Also���b��ry�t���h�e�lemm���a�w�e�kno�w�t���h�a���t��H���V���2�2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�(�=�0.�
3�Since����'�O�����Y��q�1���Z�
��8O�����Q��/��(0�;�����b�)�
Di�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o�t���h��re�id���e�!lal�sh�e�!laf�of��b��8���1�
Dp�S�oin��t��es�in�e�ac��rh�lin�e����'of���Y�����1����,�a�s�)�imiliar�pro�S�of�as�t���h��ra���t�us�:}e�d�in�t���h��re�lemm���a�sh�o��rws�t���h�a���t�������H���V����1���Z�(�Q;����O�����Y��	�e�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�UR=��k��g�����a�(�b��1)��!#4�:����'�Pluggin��9g��all�of�t���hi�)�s�inform���a���t��rion�bac�k�in�yields�t���h�e�exact�s�:}equence�������'0�UR�!�������<5P�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=�0��!��(�Q;����O�����Q���(0�;���b�))�UR=�0��!��(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q���(0�;���b�))�UR=�0�����N�����05N�!�������<5P�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=�0��!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR=��k��g�����(�b��1)���������������!�UR�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�=��k��g�����a�(�b��1)������������05N�!�������<5P�H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR=�0��������������!�UR�H���V����2���Z�(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�=�0��!��0��������� 12����
���x�������=�������'�F��Vrom��t���hi�)�s�w��re�conclud���e�t�h��ra���t�����'��(�O�����Q��/��(��a;�����b�))�UR=�0��+�0�+��h�����2����(�Q;��O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=��a�(�b�����1)����(�b����1)�UR=��ab�����a����b��+�1����'whi��Jc��rh��i�)�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d��re�sul��9t.�����8��No��rw��w�e�d���e�!lal�wit���h�t�h��re�rem���ainin��9g�cas�:}e,�wh�en��Y���i�)�s��a��di�sjoin��t�co��rpie�S�s�of��P����2�1����.����'W��Ve��h��ra�v�e�����V��p�����a��Ϲ(�Y��p�)�UR=�1�������(�O�����Y��P��)�UR=�1�������(�O������UV��a���э�P������1�������)�UR=�1������a�(�O����P������1���Y��)�UR=�1������a����'�whi��Jc��rh��comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h�e�pro�S�of.����hG��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������� 13���������;�x��5�

�'2�@�cmbx8�$��u
cmex10�"�K�cmsy8�!!",�
cmsy10� ;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8���N�cmbx12����@cmti12��؀�G�G�cmbx17�����ffffcmr14����q�jcmr20��%n�
eufm10�X�Qcmr12��G�����