Sharedwww / hartsoln3.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1996.04.04:1001������x�������=������n
�����q�jcmr20�Alge��{brai���c��RGeom��x$etry�Hom�ew�or���k�����ڏI���I.5,��R1,2,3,4,5,7,8��#�􍍍����i�����ffffcmr14�William���A.�St���e�bAin������&a���JA��;}pr�:�il���4,�1996��-􍍍�'���N�cmbx12�Prob�ٙlem��1�(I�`I.5.1)�����%����@cmti12�L��ffet����X�Qcmr12�(���g�cmmi12�X�Jg;����!",�
cmsy10�O������2cmmi8�X����)��b�e�a�ringe�d�sp�ac�e,�%kand�let��E���b�e�a�lo�c�al���ly�����'fr��ffe�e�a��O�����X����-mo�dule�of�nite�r�ank.��We�dene�the�dual�of��E���,�m�denote�d�by����y��{Q�������E�����,�m�to�b�e����'the�35she��ffaf��H����om����H�����K�cmsy8�O��X.�;�cmmi6�X����Ź(�E���;����O�����X����)�.����8��(a)�35Show�that��(����y��h�����E���h�)�����������P���UR����԰���n:�=��������E���.����8��(b)�35F���or�any��O�����X����-mo��ffdule��F�1�,��H����om����H����O��X.�X����Ź(�E���;����F��)�����P���UR����԰���n:�=��������y��c��������E����
�����O��X.�X����%�F��.����8��(c)�F���or�any��O�����X����-mo��ffdules��F�1�;����G��.�;���Hom���y�����O��X.�X���)��(�E��
F��;����G��.�)�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����O��X.�X���6��(�F��;��H����om����H����O��X.�X����Ź(�E���;��G��.�))�.����8��(d)�/(Pr��ffoje�ction�F���ormula).��VIf��f�/�:��(�X�Jg;����O�����X����)��!��(�Y��;��O�����Y��P��)�/�is�a�morphism�of����'ringe��ffd��sp�ac�es,��if��F�A��is�an��O�����X����-mo�dule,��and�if��E�#��is�a�lo�c�al���ly�fr�e�e��O�����Y��P��-mo�dule�of����'nite��r��ffank,��Pthen�ther�e�is�a�natur�al�isomorphism��f���������(�F�Δ
�����O��X.�X�����f��G����2����E�ù)�����P���UR����԰���n:�=��������f��������(�F�1�)����
�����O��X.�Y������'�E���.������'�U~��cmcsc12�Pr��qoof.��W��(a)��rA��	f�2"ree�mo�S�d��rule�of�nit��Ee�rank�i�)�s��c��ffanonic�al���ly��r�i�somorphi��Jc�t��9o�it��es����'dou���b�ޔle-d��rual�9jvia���l�����m�����(��)��a=���(�m�)�9jwh�e��re��m��a�2��M�@�,�M���2����x��5��������M���zK�,�an��rd���l����9j�m���[��2��(����x��Z!�����M�����)������.�%'Let�9j�U����'�b�)�e���an�o��rp�en�s�:}et�on�whi��Jc��rh��E��j�U����i�s�a�f�2"ree��O�����X����-mo�S�d��rule�of�nit��Ee�rank.��Den�e�a����'m���ap���'���:��E��j�����U��
�%�!��(����y��h�����E���h�)�������j�����U��3�b��ry��V,�$Zfor�all��V�@S���U�@�,�$Z�E�ù(�V��p�)��!��(����y��h�����E���h�)������(�V��)��i�)�s�t���h��re�i�somorphi�sm����'d���e�S�s��xcr�2"ib�)�e�d�x�a��rb�o�v�e.�	��Since�x�t���h�e�i�)�somorphi�sms�x�are�canoni��Jcal,��3w�e�can�pa���t�c�h�on����'in��t��Ee��r�[s�:}ect��rions��an�d�d���en�e�a�global�i�)�somorphi�sm.����8��(b)�NAs�a��rb�S�o�v�e�Nw�e�m���ay�as�!lsu��9m�e��E��i�)�s�a�f�2"ree��O�����X����-mo�S�d�ule.���Let��e�����|{Ycmr8�1����;����:�:�:��ʜ;���e�����n��	���b�)�e�a����'bas�)�i�s�D7for��F�uH�an��rd�let��e����2����RA��1�����;����:�:�:��ʜ;���e����2����RA��n���	쇹b�)�e�t���h�e�corre�S�sp�on�din��9g�D7d�ual�bas�)�i�s.�E�Let�D7�U���b�e�an����'o��rp�)�en�8�su���b�!ls�:}et�of��X��.���Den�e��'�����U��
o��:�UR�H����om����H����O��X.�X����Ź(�E���;����F�1�)�j�����U���!��(�Hom��y�(�E���;����O�����X����)�?�
�����O��X.�X���s��F�1�)�j�����U��
R�b��ry����'�f��Q�7!��UR�������u

cmex10�P����*���
��n���̍�
�i�=1���$��e����2����RA��i������
����f�G��(�e�����i��dڹ)�:���Den��re�� �����U��
o��:�UR(�Hom��y�(�E���;����O�����X����)��
�����O��X.�X���-��F�1�)�j�����U���!�URH����om����H����O��X.�X����Ź(�E���;����F��)�j�����U�����'�b��ry��-�f����
�H��a���7!��(�x��7!��f�G��(�x�)�a�).��pF��Vor�con��rv�enience�of�not�a���t�ion�wr�2"it��Ee��'���=��'�����U���o�an��rd����'� ��=���� �����U��B�.���Let���f��
���a��2��(�Hom��y�(�E���;����O�����X����)��
�����O��X.�X������F�1�)�j�����U��B�.���Th��ren���'���� �n9�(�f��
��a�)�=��'�(�x��7!����'�f�G��(�x�)�a�)�UR=�������P����*���
��n���̍�
�i�=1���$��e����2����RA��i���‘�
���f��(�e�����i��dڹ)�a��=�������P����*���
��n���̍�
�i�=1���$��e����2����RA��i�����f��(�e�����i��dڹ)���
��a�UR�=��f�J��
���a�.��Let��f��Q�2�H����om����H����O��X.�X����Ź(�E���;����F�1�),����'t���h��ren�
�� ��-����'�(�f�G��)��=�� �n9�(������P����*���
�;�n���̍�
�;i�=1���Ϗ�e����2����RA��i������
��f�G��(�e�����i��dڹ))�=�(�x��7!�������P����*����L�n���̍��Li�=1���! �e����2����RA��i�����(�x�)�f��(�e�����i��dڹ))�=�(�x��7!�������1����*�x�������=�������'�f�G��(������P����*���
�;�n���̍�
�;i�=1���Ϗ�e����2����RA��i�����(�x�)�e�����i��dڹ))���=�(�x��7!��f��(�x�)).��]Th���us��|�'��an��rd�� �#��are�in�v�e��r�[s�:}e�biject�iv�e�h���omo-�����'morphi�)�sms,�{�h��rence�^�r�2"in��9g�i�somorphi�sms,�{�an��rd�s�ince�t���h��rey�re�S�sp�ect�t���h��re�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion����'m���ap�!ls��w��re�s�:}ee�t���h�a���t�t���h�e�corre�S�sp�on�din��9g��sh�e�!la�v�e�s��are�i�)�somorphi��Jc.����8��(c)��pOn�e�!lac��rh�o�p�)�en�s�:}et�d���en�e��'�j�����U��
o��:��URHom����۟���O��X.�X���*X�(�E��
F�1�;����G��.�)�UR�!���Hom����۟���O��X.�X����(�F�1�;�����Hom���y�����O��X.�X���(��(�E���;���sg�n9�))����'b��ry�}7�f��Q�7!�UR�(�a��7!��(�e��7!��f�G��(�e���
��a�))).�e(F��Vor�not��ra���t�ion���al�con�v�enience�w�e�omit�t���h�e�sh�e�!laf����'re�S�s�[tr�2"i��Jct��rions.)�3�If����'�(�f�G��)�UR=�0�t���h��ren�t�h��re�m���ap�(�a�UR�7!��(�e��7!��f�G��(�e��^�
��a�)))�i�)�s�0�so��f�#ӹi�s�t���h��re����'ze��ro���m���ap,���h��rence��'��i�)�s�inject�iv�e.�LLet��f�ʬ�2�����Hom����6����O��X.�X���+0��(�F�1�;�����Hom���y�����O��X.�X���(��(�E���;���sg�n9�)).�Den��re����'�g�H.�2�����Hom���S~����O��X.�X���+���(�E�X�
�FF�1�;����G��.�)���b��ry��g�n9�(�a��
��b�)���=�(�f�G��(�b�))(�a�).���Th��ren����'�(�g�n9�)�=�(�a��7!��(�e��7!����'�g�n9�(�e�[��
��a�)))�O=�(�a��7!��(�e��7!��(�f�G��(�a�))(�e�))�=�(�a��7!��f��(�a�))�=��f�6�so����'��i�)�s�surject��riv�e.����'Th���us�7��'��i�)�s�t�h��re�d���e�S�s�)�ire�d�7�i�somorphi�sm�whi��Jc��rh,�Ks�ince��'��evid���en��t���ly�comm�u��9t��Ee�S�s�wit�h����'t���h��re��re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�m���ap�!ls,�in�d�u�ce�S�s�an�i�)�somorphi�sm�of�sh��re�!la�v�e�S�s.����8��(d)��Fir�[s�t�w��re�cons�)�id���e��r�t���h�e�cas�:}e�wh�en��E�����P���h���԰������=�������O����2��UV�n��RA�Y���P��.�8�On�e�on�e�h�an�d,����������f���������(�F�1�)����
�����O��X.�Y���P6�E���������P����=���԰����U��=����������l�f���������(�F�1�)����
�����O��X.�Y���P6�O������UV�n���ڍY���������������P����=����԰����U��=����������l�������n���ڍi�=1���AV�(�f���������(�F�1�)����
�����O��X.�Y���P6�O�����Y��P��)������������P����=����԰����U��=����������l�������n���ڍi�=1���AV�f���������(�F�1�)�:�������8��On��t���h��re�ot�h��re��r�h�an�d,������l�E�F�۹
�����O��X.�X����%�f��G��������E�������&�=��������F�۹
�����O��X.�X����%�f��G��������(�O������UV�n���ڍY���P��)������������P�����>����԰�����&�=������������F�۹
�����O��X.�X����%�(�f��G������1���{�(�O������UV�n���ڍY���P��)����
����f���ǟ����q�%cmsy6���Aa�cmr6�1��
Ӈ�O��X.�Y���9�O�����X����)������������P�����>����԰�����&�=������������F�۹
�����O��X.�X����%�((�f��G������1���{�(�O�����Y��P��)�����n��R��
����f���ǟ�����1��
Ӈ�O��X.�Y���9�O�����X����)����ۍ�������P�����>����԰�����&�=������������F�۹
�����O��X.�X����%�(����������n��
�������X����X:�i�=1���q��f��G������1���{�O�����Y��	�e�
����f���ǟ�����1��
Ӈ�O��X.�Y���9�O�����X����)�����������P�����>����԰�����&�=������������F�۹
�����O��X.�X����%�(�O������UV�n���ڍX�����)������������P�����>����԰�����&�=�����������(�F�۹
�����O��X.�X����%�O�����X����)�����n�����=�UR�F��1����n�������'�wh��re��re��3�f��G����2��1���{�(�O����2��UV�n��RA�Y���P��)�����P���������԰����}�=������f��G����2��1���(�O�����Y���)����2�n��
b��s�)�ince��3�f��G����2��1��^��i�s�a�left�adjoin��t�fu��9nct�or�h��rence�com-�����'m���u��9t��Ee�S�s��wit�h�direct�su��9ms�(whi��Jc��rh�are�a�r�2"igh�t�u��9niv�e��r�[sal�cons�tru��rct�ion).����8��Pu��9t��2t��rin�g��t���hi�)�s�t��9oget�h��re��r�w�e�h�a�v�e�t���h�a���t����^�\�f���������(�F�۹
�����O��X.�Y���P6�f��G��������(�E�ù))�UR=��f��������(�F��1����n���a�)�=��f��������(�������n���ڍi�=1���AV�F�1�)�=��������n���ڍi�=1����f���������(�F�1�)�:����8��In��0gen��re��ral,�גw�e�cons�[tru�ct�i�)�somorphi�sms�as�a��rb�S�o�v�e�on�an�o�p�)�en�co�v�e��r�t���h�en,����'s�)�ince��Mall�of�t���h��re�i�somorphi�sms�are�canoni��Jcal,��6t���h��re�i�somorphi�sms�m���a���t��rc�h��Mup�on����'t���h��re��in��t��Ee��r�[s�:}ect�ions�so�w�e�can�glue�t��9o�obt�ain�an�i�)�somorphi�sm.������2�����x�������=���������'�Prob�ٙlem��2�(I�`I.5.2)�����%�L��ffet�s�R�(��b�e�a�discr�ete�valuation�ring�with�quotient�eld�����'�K�ܞ�,�35and�let��X�Fչ=�UR�S���pec���R�J�.����8��(a)��ST���o�give�an��O�����X����-mo��ffdule��F��d�is�e�quivalent�to�giving�an��R�J�-mo�dule��M�@��,��Za����'�K�ܞ�-ve��ffctor�35sp�ac�e��L�,�and�a�homomorphism���UR�:��M���
�����R��	�;�K�1��!��L�.����8��(b)��That��O�����X����-mo��ffdule�is�quasi-c�oher�ent�if�and�only�if����is�an�isomorphism.������'�Pr��qoof.��W��(a)�#�Fir�[s�t�sup��rp�S�o�!ls�:}e�w�e�are�giv�en�an��O�����X����-mo�S�d�ule��F�1�.���Since��R�=>�i�)�s�a�D�VR,����'�X��=�h��ras��exact���ly�t�w�o�non�empt�y�o�p�)�en�s�:}et��es,���X��=�an�d�t���h�e�s�:}et�cons�)�i�s�[t�in��9g��of�t���h�e�gen�e��r�2"i��Jc����'p�S�oin��t,�VJ�f���s�g�.�;1Let�@��M�(ƹ=���(�F�1�;���X��)�an��rd�let��L��=�(�F�1�;����f���s�g�).�;1Since�(�O�����X����;�X��)���=��R����'�an��rd���(�O�����X����;����f���s�g�)�,=��K�ܞ�,�8��M�6ƹi�)�s�an��R�J�-mo�S�d��rule�an�d��L��i�)�s�a��K�ܞ�-v�ect��9or�space.�Z�Let����'�g�(L�:���M����!��L�%ڹb�)�e�t���h��re�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�m���ap.��uDen�e����b�y���(�m����
�����)��=���������g�n9�(�m�).��uSince����'�g�X�i�)�s��a�h���omomorphi�sm,�so�i�s���.����8��No��rw��bsup�p�S�o�!ls�:}e�w�e�are�giv�en�an��R�J�-mo�S�d�ule��M�@�,��a��K�ܞ�-v�ect��9or�space��L�,��an�d�a����'h���omomorphi�)�sm�I������:��M�,p�
�����R��	��K��)�!��L�.�V�Den��re�an��O�����X����-mo�S�d�ule��F�{�as�fo�ޔllo�ws.�V�Let����'(�F�1�;���X��)�{'=��M�Aƹan��rd��(�F��;����f���s�g�)�=��L�.�{�Den��re��t���h�e�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�m���ap��g��`�:�{'�M���!��L��b��ry����'�g�n9�(�m�)�e�=���(�m���
��1).�W��Ve���jus�[t�n��ree�S�d�t��9o�c�h�ec�k�t���h�a���t��g���i�)�s�a�v��X�alid�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�m���ap.����'Let�p��r����2�UR�R�J;���m��2��M�@�,��@t���h��ren��g���i�)�s�a�v��X�alid�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�m���ap�i��r�������g�n9�(�m�)�UR=��g��(�r�S�m�),��@t���h��ra���t����'i�)�s,���wh��ren�j��r�Uk�����(�m��
��1)�/W=���(�r�S�m���
��1)�/W=���(�m���
��r��).��#So�j�w��re�m���us�[t�v�e��r�2"ify�t���h�a���t�t���h�e����'giv��ren���h���omomorphi�)�sm����i�s��R�J�-lin��re�!lar.��2Bu��9t�t���h�e��re�i�)�s�a�b�!lso�ޔlu��9t��Eely�no�re�ason�wh��ry����'t���hi�)�s��)sh���ould�b�e�t���h��re�cas�:}e!��b(F��Vor�examp�ޔle,��	let��M��h�=����L��=��K�ܞ�,�t���h��ren��)���:��K��"�!��K����'�an��rd�K�it�i�)�s�e�!lasy�t��9o�cons�[tru�ct�non��tr�2"ivial�h���omomorphi�)�sms�of�t���h�e�addit�iv�e�group����'of�Uya�eld).�ySI�U^t���hink�t�h��re�prob�ޔlem�i�)�s�impreci�s�:}ely�s�[t��ra���t��Ee�S�d.�ySIt�sh���ould�b�e�as�!lsu��9m��re�S�d����'t���hrough���ou��9t��t�h��ra���t����i�)�s��K�ܞ�-lin�e�!lar.����8��(b)�bFir�[s�t�sup��rp�S�o�!ls�:}e��F��,�i�)�s�quas�i-coh��re��ren��t.��8Th�en��F�Q��=����x��z�~����� ��M���!��so�Pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�5.1����'imp�ޔlie�S�s�"�t���h��ra���t��L��̹=�(����x��Z!~�����M�����;����f���s�g�)�=�(�R��#���ٹ0)����2��1��\|�M�����P���������԰�����=��������M���
�����R��	�l�K�ܞ�.��'Th�us�"����m�us�[t�b�)�e�an����'i�)�somorphi�sm.�,Con��rv�e��r�[s�:}ely��V,�E�if�3l���i�)�s�an�i�somorphi�sm,�E�w��re�s�:}ee�t���h�a���t��F�����P���>���԰���&�=��������x����~�����(��M���"��s�)�ince����'t���h��rey��are�t�h��re�sam�e�on�e�!lac�h�o�p�)�en�s�:}et�an�d�t���h�e�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�m���ap�i�)�s�t���h�e�sam�e.������'�Prob�ٙlem��3�(I�`I.5.3)�����%�L��ffet�{�X���=���S���pec���A��b�e�an�ane�scheme.�;Show�that�the����'functors�����~���
��and�
���ar��ffe�adjoint,�D�in�the�fol���lowing�sense:��for�any��A�-mo�dule��M�@��,����'and�35for�any�she��ffaf�of��O�����X����-mo�dules��F�1�,�ther�e�is�a�natur�al�isomorphism��������Z�Hom����l����A���Jǹ(�M���;����(�X�Jg;��F�1�))�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����O��X.�X���6��(����x��Z!~�����M�����;��F��)�:�����'�Pr��qoof.�����8��Den��re�s#a�h���omomorphi�)�sm��F��$�:���^Hom���j����A��%H˹(�M���;����(�X�Jg;��F�1�))��^�!���Hom���j����O��X.�X���,�d�(����x��Z!~�����M�����;����F��)�s#as����'fo�ޔllo��rws.�ijSen�d�n�a�r�2"in��9g�h���omomorphi�)�sm��'�5�:��M�v��!��(�X�Jg;����F�1�)�n�t�o�t���h��re�morphi�)�sm�of������3����$y�x�������=�������'�sh��re�!la�v�e�S�s����F��ƹ(�'�)�UR:����x���s~������M���I��!�F�1�.�"�It�suce�S�s�t��9o�d���en��re��F��ƹ(�'�)�on�di�)�s�[t�in��9gui�sh�e�S�d���o�p�en���s�:}et��es�����'(Ei�)�s�:}en��ekbud��&�Harr�2"i�s,�page�13).�8�F��Vor��f��Q�2�UR�A��let��F��ƹ(�'�)�����D�<r�(�f����)��3�b�e�t���h��re�m���ap�� �Ս������ō���T�m����c�Qm�fe����f��G������n����������7!������ō���1�����Qm�fe�����f��G������n������!W������re�S�s���kT����X�&�;D�<r�(�f����)��.5��(�'�(�m�))�� ����'wh��re��re��)�re�S�s����X����X�&�;D�<r�(�f����)��2	��:�UR�F�1�(�X��)��!�F��(�D�S��(�f�G��))�)�i�)�s�t���h��re�re�s�[tr�2"i��Jct��rion�m���ap�of��F�1�.����F��ƹ(�'�)�����D�<r�(�f����)��r�i�)�s�a����'w��rell-d���en�e�S�d�-�h���omomorphi�)�sm�s�ince�b�S�ot���h��'��an��rd��re�s����Q����X�&�;D�<r�(�f����)��3�J�are�h���omomorphi�)�sms����'an��rd��;�'��i�)�s�an��A�-mo�S�d�ule�h���omomorphi�)�sm.�F�Next�not��Ee�t���h�a���t��F��ƹ(�'�)�comm���u��9t��Ee�S�s�wit�h����'t���h��re�jre�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�m���ap�!ls�s�)�ince�e�ac��rh��re�S�s���*�����X�&�;D�<r�(�f����)��6_"�do�)�e�S�s.�	�T��Vo�s�:}ee�t���h�a���t��F�׹i�)�s�inject�iv�e����'sup��rp�S�o�!ls�:}e�k2�'��an�d�� ��k�are�t�w�o�h���omomorphi�)�sms��M�p��!�0�(�X�Jg;����F�1�).��}If��F��ƹ(�'�)�=��F��(� �n9�)����'t���h��ren,��in�w�part�i��Jcular,��'�E��=��F��ƹ(�'�)�����X��c�=��F��(� �n9�)�����X��c�=�� ��.��GT��Vo�w�s�:}ee�t���h��ra���t��F���i�)�s�surject�iv�e,����'let���'�a-�2���Hom���ڶ����O��X.�X���*3�(����x��Z!~�����M�����;����F�1�).�M�Den��re�� ��f�:��M���!��(�X�Jg;����F�1�)�b��ry�let��2t�in��9g�� ��f�=�a-�'�����X����,��]t���h�a���t�i�)�s,����'b��ry�b�t�akin��9g�t���h�e�in�d�u�ce�S�d�m���ap�on�global�s�:}ect�ions.��Th�en,���for��f�i��2�!��A�,��F��ƹ(� �n9�)�����D�<r�(�f����)��j�:���D�����x��+Z!~�����'�M���3��(�D�S��(�f�G��))�UR�!�F�1�(�D��(�f�G��))��Gi�)�s�t���h��re�m���ap�(�����Fu��{|�m��33�콉fe
V��'�f���ǟ����n��������7!�����Fu��s.�1�����콉fe
V��'��f���ǟ����n��������re�s���������X�&�;D�<r�(�f����)��=d�����'�����X����(�m�))��Gwhi��Jc��rh,��'s�)�ince��'����'�i�)�s��a�morphi�sm�of�sh��re�!la�v�e�S�s,�jequals��=�|{(�����Fu��{|�m��33�콉fe
V��'�f���ǟ����n�������7�7!�����Fu���W�1�����콉fe
V��'��f���ǟ����n�������'�����D�<r�(�f����)��I;�(�m�)�=��'�����D�<r�(�f����)���(�����Fu��{|�m��33�콉fe
V��'�f���ǟ����n������{��)�=��'�����D�<r�(�f����)���.������'(W��Ve��are�jus�[t�us�)�in��9g�t���h��re�f�act�t���h��ra���t��'��comm�u��9t��Ee�S�s�wit�h�t�h��re�ap�pro�pr�2"ia���t��Ee�re�S�s�[tr�i��Jct��rion����'m���ap�!ls.)�p�Th���us���F��ƹ(� �n9�)�agree�S�s�wit�h��'��on�a�bas�)�i�s��for��X����h��rence��F��ƹ(� �n9�)���=��'�.�p�Thi�)�s����'sh���o��rws��t���h�a���t��F��n�i�)�s�surject�iv�e.�8�So��F��n�i�)�s�an�i�somorphi�sm,�as�require�S�d.�������'�Prob�ٙlem��4�(I�`I.5.4)�����%�Show���that�a�she��ffaf�of��O�����X����-mo�dules��F��on�a�scheme��X��u�is����'quasi-c��ffoher�ent�hif�and�only�if�every�p��ffoint�of��X���has�a�neighb�orho�o�d��U�@��,�Uusuch����'that�&��F�1j�����U��@��is�isomorphic�to�a�c��ffokernel�of�a�morphism�of�fr�e�e�she�aves�on��U�@��.�b-If����'�X��E�is���no��ffetherian,���then��F���is�c�oher�ent�i�it�is�lo�c�al���ly�a�c�okernel�of�a�morphism����'of�35fr��ffe�e�she�aves�of�nite�r�ank.�����'�Pr��qoof.��W��Sup��rp�S�o�!ls�:}e�B�r�[s�t�t���h��ra���t��F�s��i�)�s�quas�i-coh��re��ren��t.�	@�Let��x����2��X��.�	@�Th��ren�t���h�e��re����'i�)�s�I�an�an��re�o�p�)�en�n�e�S�igh�b�orh���o�o�d�I��U��r�=�^��S���pec���A��of��x��su�c�h�t���h�a���t��F�1j�����U������P���x�����԰������=��������x��#��~�����,��M���+˟�,����'�M�φ�an����A�-mo�S�d��rule.�
$�It�suce�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t��M�φ�i�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o�a�cok��re��r�n�el����'of�@�a�morphi�)�sm�of�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��A�-alge���bras.�;�In��rd�ee�d,��~if�@��'�O��:��A����2�(�I����)���i�!������'�A����2�(�J��[�)���ڹt���h��ren��	dCok�e��r��#�(�����~���'����v�)�=`=����4����~��L̍��A������(�J��[�)�������='�(�A����2�(�I����)��kŹ)����~���=�(�A����2�(�J��[�)���v�='�(�A����2�(�I����)���))����~���	ds�)�ince,�Qfor�all��f��_�2�=`�A�,����'(�A����2�(�J��[�)���v�)�����f��w�='�(�A����2�(�I����)��kŹ)�����f���q�=�UR(�A����2�(�J��[�)���='�(�A����2�(�I����)���))�����f��	aǹso��t���h��ra���t�t�h��rey�agree�on�a�bas�)�i�s.����8��Let�r�A����2�j�M��"�j��=J�b�)�e�t���h��re�f�2"ree��A�-mo�S�d�ule�on�t���h�e�elem�en��t��es�of��M�@�.�z=Let��'�zh�:��A����2�j�M��"�j���@�!��M����'�b�)�e���t���h��re�n���a���t�ural�m���ap.��.Similiary��V,�&�let�� �Ë�:�UR�A����2�j��j��k�Îe�	r����(�'�)�j��!��!���k�e��r��y(�'�)����A����2�j�M��"�j��2j�b�)�e���t���h�e�n���a���t�ural����'m���ap.�8�Th��ren���Cok�e��r��!�7(� �n9�)�����P���UR����԰���n:�=��������A����2�j�M��"�j��<��=�����k�e��r���%(�'�)�����P���UR����԰���n:�=������M�@�,��as�require�S�d.����8��No��rw��ras�!lsu��9m�e�t���h�e��F�,��i�)�s�coh�e��ren��t.�k=W��Ve�pro�S�cee�d�as�a��rb�o�v�e��rbu��9t�no�w��M�<V�i�)�s�a����'nit��Eely��+gen��re��ra���t�e�S�d��A�-mo�d��rule,���gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y��e�����1����;����:�:�:��ʜ;���e�����n���P�,���say��V,�an��rd�w�e�m���us�[t�sh���o�w����'t���h��ra���t�(e�M�iI�i�)�s�t�h��re�cok�e��r�)�n�el�of�a�morphi�)�sm�of�f�2"ree�mo�S�d�ule�s�(eof�nit��Ee�rank.��Let������4����6+�x�������=�������'�'��:��A����2�n��
���!��M�q�b�)�e�ڍt���h��re�m���ap�whi��Jc�h�t�ak�e�S�s�t���h�e��i�t���h�gen�e��ra���t��9or�(0�;����:�:�:��ʜ;����1�;��:�:�:��;��0)�ڍof�����'�A����2�n��	��t��9o�L��e�����i��a*�2��P�M�@�.�_3Th��ren��k�e��r���(�'�)�i�)�s�a�su���bmo�S�d�ule�of��M����so,�eJs�)�ince��M��i�)�s�n��reot���h�e��r�2"ian����'(an��ry�8�nit��Eely�gen�e��ra���t��Ee�S�d�mo�d��rule�o�v�e��r�a�no�)�et���h�e��r�2"ian�r�in��9g�i�)�s�no�et���h��re��r�2"ian),��L5k�e�r��\(�'�)����'i�)�s�*<nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d.���Let��f�����1����;����:�:�:��ʜ;���f�����m��/�b�)�e�a�gen��re��ra���t�in��9g�*<s�:}et.�Let�� �Ë�:�UR�A����2�m��Z�!���k��re��r��y(�'�)����'b�)�e��.t���h��re�surject�ion�d���en�e�S�d�b�y�s�:}en�din��9g�t���h�e��i�t���h�bas�)�i�s��.elem�en��t�of��A����2�m����t��9o��f�����i��dڹ.�7
Th�en�����'Cok��re��r��E�(� �n9�)�����P����[����԰����C�=������
�A����2�n���P�= ��(�A����2�m��Ĺ)�����P����[����԰����C�=������A����2�n���P�=�����k��re��r���%(�'�)�����P����[����԰����C�=������M�@�.�	��Th���us�`T�M��8�i�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o�a����'cok��re��r�)�n�el��of�a�morphi�sm�of�f�2"ree�sh��re�!la�v�e�S�s��of�nit��Ee�rank.�������'�Prob�ٙlem��5�(I�`I.5.5)�����%�L��ffet�35�f��Q�:�UR�X�F��!��Y�ϥ�b�e�35a�morphism�of�schemes.����8��(a)���Show�by�example�that�if��F���is�c��ffoher�ent���on��X���,���then��f���������F��ne��ffe�d���not�b��ffe����'c��ffoher�ent�35on��Y��p�,�even�if��X�$��and��Y�ϥ�ar��ffe�varieties�over�a�eld��k�g�.����8��(b)�35Show�that�a�close��ffd�immersion�is�a�nite�morphism.����8��(c)�*If��f�K)�is�a�nite�morphism�of�ne��ffotherian�schemes,��and�if��F�4;�is�c�oher�ent����'on�35�X���,�then��f���������F�dF�is�c��ffoher�ent�35on��Y��p�.�����'�Pr��qoof.��W��(a)�d7Lex��k��T�b�)�e�a�eld,�›let��X��|�=����S���pec���(�k�g�[�x�]�����x��H�),��Y�ti�=��S���pec���(�k�g�[�x�])�d7an��rd����'�F�+��=��q�O�����X����.�[�Th��ren�K��f���������(�F�1�)(�U�@�)�=��F��(�f��G����2��1���{�(�U�@�)),�c�so�K��f���������(�F��)�=�(�k�g�[�x�]�����x��H�)�����2������~������`�Y�����.�[�Bu��9t�K�(�k��[�x�]�����x���)�����2������~������`�Y������'�i�)�s��not�a�coh��re��ren��t�sh�e�!laf�of��O�����Y��P��-mo�S�d�ule�s.�a<In�d���ee�d,�;yif��it�w�e��re,�;yt���h�e�re��w�ould�b�)�e����'a���di�)�s�[t��rin��9gui�sh�e�S�d���n�e�igh�b�orh���o�o�d����D��(�f�G��)�of�0�so�t���h��ra���t�(�k�g�[�x�]�����x��H�)�����2������~������`�Y������j�����D�<r�(�f����)���йi�)�s�a�nit��Eely����'gen��re��ra���t��Ee�S�d�X�mo�d�ule�X�o�v�e��r��k�g�[�x�]�(h�e��re�I'm�us�)�in��9g�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�o�v�e��r�o�p�)�en�s�:}et�i�s����'di�)�s�[t��rin��9gui�sh�e�S�d��in�t���h�e�t��9o�p�S�o�ޔlogy�of��S���pec���(�k�g�[�x�])).�jBu��9t,�?(�k��[�x�]�����f��
r-�i�)�s��n�ev�e��r�a�nit��Eely����'gen��re��ra���t��Ee�S�d�Rmo�d�ule�Ro�v�e��r��k�g�[�x�]�for�an�y��f�ZQ�of�d���egree�a���t�le�!las�[t�1.���F��Vor��k�g�[�x�]�����f��
�q�con-����'t��rains�l�elem�en��t��es�of�arbitrar�2"ily�sm���all�d���egree�wh�e��re�!las�t���h�e�d���egree�S�s�of�elem�en��t��es����'of���k�g�[�x�]�f������1����;����:�:�:��ʜ;��������n���P�g��are�b�S�ou��9n��rd���e�d��b�)�elo�w.�O(�k�g�[�x�]�f������1����;����:�:�:��ʜ;��������n���P�g��i�)�s�t���h�e��k�g�[�x�]-mo�S�d�ule����'gen��re��ra���t��Ee�S�d��b�y�������1����;����:�:�:��ʜ;��������n���P�.)����8��(b)�Z�Let��f���:�Ǐ�Y�c��!��X�L�b�)�e�Z�a�clo�!ls�:}e�S�d�imm��re��r�[s�ion.�	��Let��U�s�=�Ǐ�S���pec���(�A�)����X����'�an��rd���let��W��ڹ=� �f��G����2��1���{�(�U�@�)����Y��p�.�
$�Th�en����W�0Z�i�)�s�a�a�s��xc�h�em�e�(giv�e�it�t���h�e�in�d�u�ce�S�d����'s��xc��rh�em�e�Xps�[tru�ct�ure�as�an�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�of��Y��p�).��8F��Vurt�h��re��rmore,�s��f�G��(�W��ƹ)�/=��U�6K�\��g�f��(�Y��p�)����'i�)�s���a�rela���t��riv�ely���clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s�:}et�of��U�@�,��t���h��ra���t�i�)�s,�a�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s�:}et�of��S���pec���(�A�).�@@Th��re����'m���ap����f��G����2�#��>�:�*��O�����U��E%�!�O�����W���ùi�)�s�surject��riv�e�s�)�ince��f��G����2�#��>�:�*��O�����X��
Hl�!�O�����Y��OD�i�)�s�surject��riv�e�an�d����'surject��riv�et�y��li�)�s�a�lo�S�cal�pro��rp�e��rt�y��V.�`,Th���us��l�W�D2�i�s�a�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s��xc��rh�em�e��lof��S���pec���(�A�)����'so,��Vb��ry��BCoro�ޔllary�5.10,��W�����P��������԰����=��������S���pec���(�A=I��)�for�som��re�id���e�!lal��I��Źof��A�.�5iSince��A=I��i�)�s�a����'nit��Eely��gen��re��ra���t�e�S�d��A��mo�d��rule�(gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�1���+��I��),��f�2��i�)�s�a�nit��Ee�morphi�sm.����8��(c)���Let��U��6�=�UR�S���pec���(�A�)����Y�.G�b�)�e���an�an��re�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�of��Y��p�.�ETh�en,���s�)�ince��f��ֹi�s����'nit��Ee,����f��G����2��1���{�(�U�@�)�6=��S���pec���(�B���)�n�i�)�s�an��re�wit���h��B�	��i�s�a�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��A�-mo�d��rule.����'By��Pro��rp�S�o�!ls�)�it�ion�5.4�it�suce�S�s�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t��f���������(�F�1�)�j�����U��:�i�)�s����x��	y�~������M���ތ�for�som�e�nit��Eely����'gen��re��ra���t��Ee�S�d���A�-mo�d�ule���M�@�.���No�w�b�y�Pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�5.4,�,s�)�ince��f��G����2��1���{�(�U�@�)�i�s�an��re�an�d����'�B����i�)�s�_�no�et���h��re��r�2"ian,����F�1j����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�U��"�)��"o��=����x��
*E~������$�M���Ϋ�for�som�e�nit��Eely�gen�e��ra���t��Ee�S�d��B����mo�d��rule��M�@�.������5����LZ�x�������=�������'�Bu��9t�m��f���������(�F�1�)�j�����U��Nl�=�4*(�f�G��j����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�U��"�)�����)��������F�j����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�U��"�)�� �ù=�4*(�f�G��j����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�U��"�)�����)��������(����x��Z!~�����M�����)�=���*����]~���U��(�A������M��	��)���$wh��re��re�m�t���h�e�las�[t�����'equalit��ry�[�fo�ޔllo�ws�f�2"rom�Pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�5.2(d).���Since��B����i�)�s�a�nit��Ee�mo�S�d�ule�o�v�e��r��A����'�an��rd�إ�M���i�)�s�a�nit��Ee�mo�S�d�ule�o�v�e��r��B���,��?it�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t��M���i�)�s�a�nit��Ee�mo�S�d�ule�o�v�e��r��A����'�whi��Jc��rh��comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h�e�pro�S�of.��@ȍ���'�Prob�ٙlem��6�(I�`I.5.7)�����%�L��ffet�_��X�QX�b�e�a�no�etherian�scheme,��and�let��sf����b�e�a�c�oher�ent����'she��ffaf.����8��(a)� WIf�the�stalk��F�����x��	i>�is�a�fr��ffe�e� W�O�����X����-mo�dule�for�some�p�oint��x�UR�2��X���,�$then�ther��ffe����'is�35a�neighb��fforho�o�d�35�U�t�of��x��such�that��F�1j�����U��Mw�is�fr��ffe�e.����8��(b)�35�F�dF�is�lo��ffc�al���ly�35fr�e�e�i�its�stalks��F�����x��	|�ar�e�fr�e�e��O�����X����-mo�dules�for�al���l��x�UR�2��X���.����8��(c)�.!�F�_2�is�invertible�i�ther��ffe�is�a�c�oher�ent�she�af��G��O�such�that��F��p
��_G�����P�������԰���$h�=������)�O�����X����.�����'�Pr��qoof.��W��(a)��Let��U�:o�=����S���pec���(�A�)�b�)�e�a�n��re�S�igh�b�orh���o�o�d��of��x��so�t���h��ra���t��F�1j�����U��͹=����x��	S�~��������M����u�,����'�M�z�a�іnit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��A�-mo�d��rule.��Th�en�і�F�����x��
'J�=��c�M�����x��
}�so�w��re�h�a�v�e�re�S�d�u�ce�d�іt���h�e����'prob�ޔlem��t��9o�t���h��re�fo�llo��rwin��9g�purely�alge���brai��Jc�re�S�sul�t.��������'�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��1���|&	�If��m�M��Q�is�a�nitely�gener��ffate�d��mfr�e�e��A��mo�dule�and�ther�e�is�a����'prime��Z�}��of��A��such�that��M�����}��	���is�a�fr��ffe�e��Z�A�����}���8�-mo�dule,��Sthen�ther�e�exists��f��Q�2�UR�A��such����'that�35�f��Q�62�UR�}��and��M�����f��	�T�is�a�fr��ffe�e�35�A�����f��w�-mo�dule.����8��Once��w��re�h�a�v�e�pro�v�en�t���hi�)�s�w�e�will�kno�w�t���h�a���t��F�1j�����D��X.�U��-�(�f����)���ӹi�)�s�f�2"ree�s�ince�Pro��rp�S�o�!ls-���D��'it��rion��5.1�as�!ls�:}e��rt��es�t���h�a���t����x��D�~������M������(�D�S��(�f�G��))�����P���UR����԰���n:�=��������M�����f��w�.�����8���Pr��qoof.��h���(of�<xPro��rp�S�o�!ls�)�it�ion)�Let��a�����1����;����:�:�:��ʜ;���a�����n��	���2���M�}\�b�)�e�a�f�2"ree�bas�i�s�of��M�����}��
��o��rv�e��r����'�A�����}���;�(w��re��can�cle�!lar�d���enomin���a���t��9or�[s�so�t���h�a���t�w�e�m���ay�as�!lsu��9m�e�all��a�����i��	+ݹlie�in��M�@�.)����'Let��@�b�����1����;����:�:�:��ʜ;���b�����m��
*�2�%N�M�<$�b�)�e�a�gen��re��ra���t�in��9g��@s�:}et�for��M��o��rv�e��r��@�A�.�j�F��Vor�e�!lac��rh��i��w�e�can����'wr�2"it��Ee�1��b�����i�����as�an��A�����}���8�-lin��re�!lar�com��ekbin���a���t�ion�of�t���h�e��a�����i��dڹ.�	
�Cle�!lar�2"in��9g�d���enomin���a���t�or�[s�w��re����'s�:}ee���t���h��ra���t��d�����i��d��b�����i��{��2��A�f�a�����1����;����:�:�:��ʜ;���a�����n���P�g��for�som�e��d�����i��{��62��}�.�Q�Let��f�_�=�������Q�����d�����i��dڹ,�4�t���h��ren��f�_�62��}����'�an��rd����a�����1����;����:�:�:��ʜ;���a�����n��
�K�h�a�v�e��A�����f��w�-span�includin��9g�all�of�t���h�e��b�����i��dڹ,�+an�d�t���h�us�includin��9g��M�@�,����'an��rd���t���h�us�includin��9g��M�����f��w�.�d�Bu�t��a�����1����;����:�:�:��ʜ;���a�����n��
L>�i�)�s�f�2"ree�o��rv�e��r��A�����}��
�&�h�ence�o�v�e��r��A�����f��

�s�)�ince����'�A�����f��
�|��o]�A�����}���8�.��.[Thi�)�s�&�pro��rp�S�o�!ls�it�ion�&�i�s�in�Bourbaki,�u��Commutative�U�A��2lgebr��ffa�,�I�S�I.5.1,����'al��9t���h���ough��t�h��re�pro�S�of�i�)�s�more�a�b�!ls�[tract�t���h�an�min�e.]����8��(b)�n(=���)�)�Let��x�5�2��X�_��an��rd�nlet��U�u��=�5�S���pec���(�A�)�b�)�e�an�o�p�)�en�n�e�S�igh�b�orh���o�o�d�nof����'�x�tǹsu��rc�h�t���h�a���t��F�1j�����U��Z��=����x����~�����@k�M���T�wit���h��M����a�f�2"ree��A��mo�S�d�ule.��<Sup�p�o�!ls�:}e�t��}��i�)�s�t���h��re�pr�2"im�e�of����'�A����corre�S�sp�on��rdin��9g�t�o��x�.�]Th��ren��F�����x���ù=�i��M�����}��	��whi��Jc�h�i�)�s�a�f�2"ree��A�����}���8�-mo�S�d�ule.�]In�d���ee�d,���if����'�e�����1����;����:�:�:��ʜ;���e�����n��	�?�i�)�s���a�f�2"ree��A�-bas�i�s�for��M�@�,��t���h��ren�it�i�s�also�a�f�2"ree��A�����}���8�-bas�i�s�for��M�����}���8�.�8�F��Vor����'if�����Fu�����a��q�1������콉fe�v��'��pz�b��q�1������wZ�e�����1���C�+���?��������|�+�����Fu��/r�a���n���/r�콉fe	���'��pz�b���n��������e�����n��	ɜ�=�!L0�;���b�����i���&�62��}�,��tt���h��ren�b~�a�����1������Fu����b���7�콉fe̓��'�b��q�1���������e�����1���+���?��������|�+��?�a�����n������Fu��	j�b��ۃ�콉fe���'�b���n���������e�����n��	ɜ�=�0�;���b��=�������Q����b�����i���X�so����'�b�����..��33�a��8:�i���33��fe�A��'��pz�b��8:�i������
k��=�UR0��for�e�!lac��rh��i�,�so�����..����a��8:�i���۟�fe�A��'��pz�b��8:�i������V��=�0�in�t���h��re�lo�S�caliza���t�ion��A�����}��	��s�)�ince��b�UR�62��}�.����8��(�(���=)�LBy�part�(a)�ev��re��ry�p�S�oin��t�h�as�a�n�e�S�igh�b�orh���o�o�d�Lon�whi��Jc�h��F�1]�i�)�s�f�2"ree.����'Th��re��refore�U��X�GA�can�b�)�e�co�v�e��re�S�d�b�y�o�p�)�en�an�e�S�s�on�whi��Jc�h��F��Ϲi�)�s�f�2"ree�so��F��i�)�s�lo�S�cally����'f�2"ree.������6����b��x�������=�������8��(c)���(=���)�)�Let��G�Mx�=����y���,������J�F������=��J�H����om���H(�F�1�;����O�����X����),��w��re�will�sh���o�w�t���h�a���t��F�\�
�+rG�����P���Mx���԰���f`�=�����:�O�����X����.�����'T��Vo�އd���en��re�a�morphi�)�sm��'��j�:��F���
�P�H����om���H(�F�1�;����O�����X����)��!�O�����X����it�އi�s�enough�t��9o�d���en��re����'�'�i9�on�t���h��re�pre�S�sh�e�!laf�(�U�!c�7!��F�1�(�U�@�)�� �
�����O��X.�X�����(�U��"�)��W�H����om���H(�F��(�U��)�;����O�����X����(�U��)).�	��Den��re�i9�'��b�y����'�a�J�
��f����7!�d��f�G��(�a�).��Th���us��6�'��comm�u��9t��Ee�S�s�wit�h�t�h��re�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ions�so��'��d���en�e�S�s�a�v��X�alid����'morphi�)�sm��of�sh��re�!la�v�e�S�s.����8��Let��-�U�?�b�)�e�an�o��rp�en�an��re�su���b�!ls�:}et�of��X�ﰹsu�c�h�t���h�a���t��F�1�(�U�@�)�i�)�s�a�f�2"ree��O�����X����(�U��)-����'mo�S�d��rule�5�of�rank�1�wit���h�bas�)�i�s�5��e�����0����.���Th�en��H����om���H(�F�1�(�U�@�)�;����O�����X����(�U��))�5�h�as�bas�)�i�s�5��e����2����RA��0������wh�e��re����'�e����2����RA��0�����(�e�����0���)�[email protected]=�1.��5Th���us���H����om���H(�F�1�(�U�@�)�;����O�����X����(�U��))�i�)�s�a�f�2"ree��O�����X����(�U��)-mo�S�d��rule�of�rank�1.����'Th���us�s�ev��re��ry�elem�en��t�of��F�1�(�U�@�)��H�
���Hom��/�(�F��(�U�@�)�;����O�����X����(�U��))�s�can�b�)�e�wr�2"it��2t��Een�in�t���h��re����'form�6��a��Z�
��f�~��(as�o��rp�p�S�o�!ls�:}e�d�t��9o�as�a�su�m�of�su��rc�h�pro�S�d�u�ct��es).��No�w��'�����U��B�(�a��Z�
��f�G��)�֎=�0����'imp�ޔlie�S�s�!M�f�G��(�a�)�UR=�0�whi��Jc��rh�imp�ޔlie�S�s��a��=�0�or��f��Q�=�0�so��a�b�
��f��Q�=�UR0,�I�so��'�����U��
;��i�)�s�inject��riv�e.����'Since���'�����U��B�(�ae�����0��j��
����e����2����RA��0�����)�UR=��a�,��'�����U���i�)�s�surject��riv�e.�8�Th���us��'�����U���i�)�s�an�i�somorphi�sm.����8��Us�:}e��t���h��re�d���enit�ion�of�lo�S�cally�f�2"ree�of�rank�1�t��9o�co�v�e��r��X��-�b�y�an�e�o�p�)�en�s�:}et��es����'�U�Gu�su��rc�h��t���h�a���t��F�1j�����U�� ӹi�)�s�a�f�2"ree��O�����X����j�����U���mo�S�d��rule�of�rank�1.���Th�en,�
�b�y�Pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�5.1����'(c)�� an��rd�an�argu��9m�en��t�lik�e�t���h�a���t�for�(b)�a�b�S�o�v�e,���an�y�di�)�s�[t�in��9gui�sh�e�S�d�� o�p�en�� su���b�!ls�:}et����'of�@��U����h��ras�a��F�1�-s�:}ect�ions�f�2"ree�of�rank�1.�;HSince��'��i�)�s�an�i�somorphi�sm�on�e�!lac��rh�of����'t���h��re�S�s�:}e���di�)�s�[t�in��9gui�sh�e�S�d���o�p�en���s�:}et��es�(us�e�t���h��re�argu��9m�en��t�in�t���h�e�a�b�S�o�v�e�paragraph)�an�d����'t���h��re�S�s�:}e��Bdi�)�s�[t�in��9gui�sh�e�S�d��Bo�p�en��Bs�:}et��es�form�a�bas�i�s�for�t���h��re�t��9o�p�S�o�ޔlogy�on��X��Źit�fo�llo��rws����'t���h��ra���t���'��m�us�[t�b�)�e�an�i�somorphi�sm.����8��(�(���=)��7Beca��2us�:}e�of�part�(b)�a��rb�S�o�v�e��7it�suce�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t��F�����x����i�)�s�f�2"ree�of�rank����'on��re���for�e�!lac�h��x�ց�2��X��.���Since����F�����x�����
�����O���x���0W�G�����x��
h�=�(�F�u�
�D�G��.�)�����x������P�������԰���
8P�=�����[email protected]�O�����X�&�;x����t���h��re���prob�ޔlem�i�)�s����'re�S�d��ru�ce�d��t��9o�t���h��re�fo�ޔllo�win��9g�purely�alge���brai��Jc�s�[t�a���t��Eem�en��t.�������'�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��2���|&	�L��ffet���M�*��and��N��b��ffe�nitely�gener�ate�d�mo�dules�over�a�lo�c�al�ring����'�(�A;���m�)�35�and�supp��ffose�that��M���
�����A��	���N�����P����6����԰�����=�����@��A�.�fiThen��M�t�is�fr�e�e�of�r�ank�1.�����'�Pr��qoof.��W��Let��e�k�&��=��m�A=m�.��Let����4�:��M�|d�
�����A��
d�N�Q�!��A��b�)�e�t���h��re�giv�en�i�)�somorphi�sm.����'Th��ren,�m7t�akin��9g�St���h�e�pro�S�d�u�ct�wit���h�t�h��re�id���en��t�it�y��V,�m7w�e�get�an�i�)�somorphi�sm������
��Ź1�����k��	*��:����'(�M�Y�
�����A��
�Y�N�@�)��u�
�����A���k�|��!���A��
�����A���k�����P���|�����԰����׹=�������k�調(it���i�)�s�ob��rvious�t���h�a���t����<�
��u�1�����k��
��i�)�s�surject�iv�e,����'bu��9t��{it�i�)�s�not�a���t�all�ob��rvious�t���h�a���t�it�i�)�s�inject�iv�e,�#0for�t���hi�)�s�s�:}ee�t�h��re�Bourbaki����'refe��rence���b�)�elo��rw.)�
g?Th���us��k�����P���������԰�����=�����H0�M���
�����A��
���N��
�����A���k����=�E��M��
�����A���(�k�>��
�����A���k�g�)�׭�
�����A���N��¹=����'(�M�/��
�����A��	���k�g�)���
�����A���(�N��
�����A���k�g�)�q=�(�M��
�����A��	���k�g�)���
�����k����(�N��
�����A���k�g�)�q=�(�M���=mM�@�)���
�����k����(�N�F:=mN��)����'so,�js�)�ince�P�t���h��re��k�g�-rank�of�(�M���=mM�@�)���
�����k����(�N�F:=mN��)�P�i�s�1�an��rd�i�s�t���h��re�pro�S�d�u�ct�of�t���h�e����'ranks�\Cof��M���=mM��'�an��rd��N�F:=mN�@�,���e�!lac�h�h�as�rank�1.�	��In�part�i��Jcular,����M���=mM��'�i�)�s����'monogen��reous��(gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�on�e�elem�en��t)�as�an��A=m�-mo�S�d�ule�an�d�h�ence�as����'an�y��A�-mo�S�d��rule�so,��Ub�y�Nak��Jay�am���a's�lemm�a,��U�M����i�)�s�monogen��reous�as�an��A�-mo�S�d�ule.����'Since��t6Ann���QO����A��"/3�(�M�@�)�t6anihila���t��Ee�S�s��M���
�����A��
��N�4�=��2�A��as�w��rell,�֙it�i�)�s�0�(an�y�elem�en��t�of�����'Ann���<�����A��C���(�M�@�)�hw��rould�h�a�v�e�t��9o�annihila���t��Ee�t���h�e�id���en��t�it�y�of��A��an�d�h�ence�b�)�e�0).��Th���us������7����y�x�������=�������'�M�zc�i�)�s�9a�f�2"ree�mo�S�d��rule�of�rank�on�e�o�v�e��r��A�.���[See�Bourbaki,�\��Commutative��^A��2lgebr��ffa�,�����'I�S�I.5.4,��for�a�more�gen��re��ral�t���h�eorem.]���D����'�Prob�ٙlem��7�(I�`I.5.8)�����%�A��ffgain��xlet��X����b�e�a�no�etherian�scheme,�žand��F�׉�a�c�oher�ent����'she��ffaf�35on��X���.�fiWe�wil���l�c�onsider�the�function����������'�(�x�)�UR=��dim���ꚟ���k�6��(�x�)��'s��F�����x����
�����O��X.�X����%�k�g�(�x�)����'�wher��ffe���k�g�(�x�)��y=��O�����X����=m�����x��
T��is�the�r��ffesidue�eld�at�the�p�oint��x�.��LUse�Nakayama's�����'lemma�35to�pr��ffove�the�fol���lowing�r�esults.����8��(a)�^The�function��'��is�upp��ffer�semi-c�ontinuous,�Vi.e.,�for�^any��n�UR�2����:Acmbxti12�Z����,�Vthe�^set����'�f�x�UR�2��X�Fչ:��'�(�x�)����n�g�35�is�close��ffd.����8��(b)���If��F����is�lo��ffc�al���ly���fr�e�e,��yand��X��M�is�c�onne�cte�d,��ythen��'��is�a�c�onstant�function.����8��(c)�)Conversely,�_if��X���is�r��ffe�duc�e�d,�and�)�'��is�c��ffonstant,�then��F�@:�is�lo��ffc�al���ly�)fr�e�e.�����'�Pr��qoof.�����8��(a)�j�W��Ve�m���us�[t�sh���o��rw�t�h��ra���t��f�x�UR�:��'�(�x�)����n�g�j��i�)�s�clo�!ls�:}e�S�d.�:A�j�go�o�d�j�w�ay�t��9o�do�t���hi�)�s�i�s����'b��ry�{0sh���o�win��9g�t���h�a���t��f�x�UR�:��'�(�x�)��<�n�g��i�)�s�o��rp�en.��T��Vo�do�t���hi�s�w��re�sh���o�w�t���h�a���t�if��'�(�x�)�UR=��m����'�t���h��ren�_t�h�e��re�_i�)�s�an�o�p�)�en�n�e�S�igh�b�orh���o�o�d�_�U�BC�of��x��so�t���h�a���t,�
for�all��y��6�2�{��U�@�,��'�(�y�n9�)����m�.����'Since�w0w��re�n�ee�S�d�only�lo�ok�lo�cally��V,��Hw��re�can�as�!lsu��9m�e�t���h�a���t��X�Fչ=�UR�S���pec���A�,��H�F��c�=����x���s~������M����<�,��M����'�a���nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��A�-mo�d��rule.�&�Not��Ee�t���h�a���t��F�����x���q�
�����O��X.�X���q�k�g�(�x�)�UR=��M�����}����
�����A���}���S~�A�����}���8�=�}A�����}����t�=����'�M�����}���8�=�}M�����}����?�.�
Let�^7�s�����1����;����:�:�:��ʜ;���s�����m��Z�2�UR�M���b�)�e�elem��ren��t��es�wh���o�!ls�:}e�im�age�S�s�form�a�bas�)�i�s�^7for�t���h��re����'v��rect��9or��Dspace��M�����}���8�=}M�����}��	�|�o�v�e��r��A�����}���8�=}A�����}��	�|�(t��9o�do�t���hi�)�s�c�h���o�S�o�!ls�:}e�a�bas�)�i�s��Dfor��M�����}���8�=}M�����}�����'�t���h��ren�>�cle�!lar�f�2"ract�ions).���Not��Ee�t���h�a���t�t���h�e�im���age�S�s�of�t���h�e��s�����i�����in�f�)�act�gen�e��ra���t��Ee��M�����}���8�=�}M�����}������'�as���an��A�����}���8�-mo�S�d��rule.�
sBBy�Nak��Jay�am���a's�lemm�a�t���h��re��s�����i��	
��gen�e��ra���t��Ee��M�����}����as�an��A�����}���8�-����'mo�S�d��rule.�ҺLet��5�m�����1����;����:�:�:��ʜ;���m�����k���ǹb�)�e�a�gen�e��ra���t�in��9g�s�:}et�for��M���o�v�e��r��A�.�ҺW��Vr�2"it��Ee��m�����j���\�=��UR�����P������..����a��8:�i������fe�A��'��pz�b��8:�i�������2�s�����i��dڹ,����'�b�����i���,�62�UR�}�,���t���h��ren,�if����c�����j���\�=�������Q����b�����i��dڹ,��c�����j��f
�m�����j��
��i�)�s���in�t���h��re��A�-span�of�t�h��re��s�����i��dڹ.�!�Let��f��Q�=��UR�����Q����c�����j��f
�.�Th��ren����'�}�UR�2��D�S��(�f�G��)��an��rd�if��q�Ë�2�UR�D��(�f�G��),�E�t���h��ren��m�����1����;����:�:�:��ʜ;���m�����k��@%�all�lie�in�t�h��re��A�����q�����-span�of��s�����1����;����:�:�:��ʜ;���s�����m�����'�(s�)�ince����c�����j��f
�m�����j��	�i�s�in�t���h��re��A�-span�of�t�h��re��s�����i����an�d��c�����j��	�i�)�s�in�v�e��rt��Ee�S�d�in��A�����q�����.��Th���us��M����i�)�s����'spann��re�S�d���b�y�t���h�e��s�����i��!��o�v�e��r��A�����q�����,��Fso��M�����q��	Q��i�)�s�spann�e�S�d�b�y�t���h�e��s�����i��!��o�v�e��r��A�����q�����.��(It�fo�ޔllo�ws����'t���h��ra���t��o�'�(�q�n9�)�UR=��dim����M�����q�����=q�M�����q���P���m��o�s�)�ince�t���h��re�im���age�S�s�of�t�h��re��s�����i��I�gen�e��ra���t��Ee��M�����q�����=q�n9M�����q��Bm�as����'a��Uv��rect��9or�space�o�v�e��r��A�����q�����=q�n9M�����q���*�=�X,�k�g�(�q��).�=�T��Vakin��9g��U�D�S��(�f�G��)�as�our�o�p�)�en�n�e�S�igh�b�orh���o�o�d����'comp�ޔlet��Ee�S�s��t���h��re�pro�of.����8��(b)�o�Ch���o�S�o�!ls�:}e��n��so�t���h��ra���t�som�e�s�:}ect�ion�of��F��	�h�as�rank��n�.��Let��U��ܹb�)�e�t���h�e�u��9nion�of����'all�Ŷo��rp�)�en�s�:}et��es��W�g|�su�c�h�t���h�a���t��F�1j�����W������P���
�����԰���
!v�=������7�O����2��UV�n��RA�X�����j�����W��	�<�.�,�Th�en��U���i�)�s�non�empt�y��V.�,�Let��V�b&�b�)�e�t���h�e����'u��9nion���of�all�o��rp�)�en�s�:}et��es��W��W�su�c�h�t���h�a���t��F�1j�����W������P���
%W����԰���
>?�=��������O����2��UV�m��RA�X���Z�j�����W��	�<�,����m�r�6�=��n�.�k�Since����F�,��i�)�s�lo�S�cally����'f�2"ree,�)��U�
��[����V�G��=��!�X��.��Sup��rp�S�o�!ls�:}e��x��2��U��\����V��p�,�)�t���h��ren��F�����x��	e��h�as�rank��n��an�d�rank��m��!�6�=��n����'�(s�)�ince�trank�i�s�pre�S�s�:}e��rv��re�d�tu��9n�d���e��r�lo�S�caliza���t�ion),�@�a�con��tradi��Jct�ion.��$Th���us��U�:�\��8�V��¹=�UR�;�.����'Since��x�U��\�i�)�s�non��rempt�y��xan�d�o�p�)�en,��N�X������|�U��6�=�UR�V�-�i�s�o��rp�en�an��rd��X����i�s�conn��rect��Ee�S�d,��Nt���h�us������8����	���x�������=�������'�w��re��conclud���e�t���h�a���t��V��¹=�UR�X��F�����U��6�=��;�.�8�Th���us��ev�e��ry�p�S�oin��t�i�)�s�con�t��rain�e�S�d��in�an�o��rp�)�en�����'s�:}et���W��n�su��rc�h�t���h�a���t��F�1j�����W������P���
�����԰���
!v�=������7�O����2��UV�n��RA�X�����j�����W��	�<�.����8��Let�,��x�Ś�2��X�"�an��rd�let��U�~�=��S���pec���(�A�)�b�)�e�an�an��re�o�p�)�en�s�:}et�con��t�ainin��9g��x��su�c�h����'t���h��ra���t����F�1j�����U������P����R����԰���:�=��������x��y�~�������M���&���.��By�t�h��re�a�b�S�o�v�e�argu��9m�en��t,���M�¹i�)�s�a�f�2"ree��A�-mo�S�d�ule�of�rank��n�.����'Th���us�1�'�(�x�)��=��dim���b\����k�����M�����x��#v�
�����A���x���hr�A�����x��H��=m�����x��	��=��dim���b\����k���A����2��n��RA�x������
�����k���!�A�����x��H��=m�����x��	��=��dim���b\����k���(�A�����x��H��=m�����x���)����2�n��	ud�=�����'dim���:�H����k��?���k��g���2�n��	d��=�UR�n�,��as�d���e�S�s�)�ire�d.����8��(c)�5�Let��x����2��X��.�	MBy�5�exe��rci�)�s�:}e�5.7b�it�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�t���h�e�s�[t�alk��F�����x�����'�i�)�s�1>f�2"ree.�	�Since��F�bO�i�s�coh��re��ren��t�w�e�can�n�d�an�an�e�o�p�)�en�s�:}et��U���=��5�S���pec���(�A�)����'su��rc�h�#�t���h�a���t��F�1j�����U��
н�=����x���~������{�M���y"�for�som�e�nit��Eely�gen�e��ra���t��Ee�S�d��A�-mo�d��rule,�2�x��{�2��U�@�,�an��rd�#��A�����f��	�ܹi�)�s����'re�S�d��ru�ce�d��]for�e�!lac��rh��f���2���A�.�KLet��}��b�)�e�t���h�e�pr�2"im�e�of��A��corre�S�sp�on�din��9g��]t�o��x�.�KW��Ve����'m���us�[t��/sh���o��rw�t�h��ra���t��M�����}��
�g�i�)�s�f�2"ree�o�v�e��r��A�����}���8�.�_vLet��s�����1����;����:�:�:��ʜ;���s�����n��
6�2����M���b�)�e�pre�S�im���age�s��/of�a����'bas�)�i�s���of��M�����}���8�=}M�����}��	���o��rv�e��r����k�g�(�x�)�_�=��A�����}���=}A�����}��	���(n��rd���t���h�e�S�s�:}e�as�in�part�(a)).�K:Th�en,��Mb�y����'Nak��Jay��ram���a's��lemm�a,�t���h��re��s�����i��O��gen�e��ra���t��Ee��M�����}��	��o�v�e��r��A�����}���8�.����8��W��Ve�I�m���us�[t�sh���o��rw�t�h��ra���t�t�h��re��s�����i���{�are�lin�e�!larly�in�d���ep�)�en�d�en��t�I�o�v�e��r��A�����}���8�.�U�It�will�t���h�en����'fo�ޔllo��rw��t���h�a���t��M�����}��	��i�)�s�f�2"ree�of�rank��n��o�v�e��r��A�����}���8�.�8�So�sup�p�S�o�!ls�:}e���덍�����ō��`��a�����1����`��Qm�fe
������b�����1�������~��s�����1��j��+�����������UN�+������ō����a�����n����۟Qm�fe�Q�����b�����n�������_�s�����n�����=�UR0��]_��'in��4�M�����}��
ml�wit���h�����..���g�a��8:�i����g��fe�A��'��pz�b��8:�i��������2�d��A�����}���8�.��Th��ren�for�e�!lac�h��i�,���b�����i��ɾ�62�d��}��an�d��a�����i��ɾ�2�d��A�.��Since�t���h�e��s�����i����are����'lin��re�!larly���in�d���ep�)�en�d�en��t���o�v�e��r��A�����}���8�=}A�����}���,���for�e�!lac��rh��i��t���h�e��re�exi�)�s�[t��es��c�����i��(��62�ÿ�}��su�c�h�t���h�a���t��������..��(33�c��8:�i��,r�a��8:�i���(33��fe�,��'�����b��8:�i������;�
�2��{�}�.�JXTh���us�E��c�����i��d��a�����i��UU�2��}��so��a�����i��UU�2��}�.�JXLet��r��^�b�)�e�as�in�part�(a)�so�t���h��ra���t��q�^��2��D�S��(�r��)����'imp�ޔlie�S�s�;�t���h��re��s�����i�����gen�e��ra���t��Ee�a�t�le�!las�[t��M�|ʹo��rv�e��r�;��A�����q�����.�,�By�d���enit��rion�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es��c�ߛ�2��A����'�su��rc�h��t���h�a���t������t�c�(�b�����2��������������b�����n���P�a�����1����s�����1��j��+�����������UN�+����b�����1������������b�����n��1�����a�����n���s�����n���)�UR=�0����'in�Ր�A�.���Let��f�-(�=��)�r�S�c���������Q��
q��b�����i��dڹ,�Jt���h��ren�if��q�Sb�2��D�S��(�f�G��),�Jt���h��ren��s�����1����;����:�:�:��ʜ;���s�����n��
}�gen�e��ra���t��Ee��M�����q�����=q�n9M�����q�����'�o��rv�e��r�ύ�A�����q��d��an�d,���s�)�ince��M�����q�����=q�n9M�����q��d��h�as�dim�ens�)�ion��n��(s�ince��'��i�s�cons�[t��ran��t),���t���h�e��s�����i��4g�are����'act��rually��a�bas�)�i�s��for��M�����q�����=q�n9M�����q����o�v�e��r��A�����q�����=q�n9A�����q���.����8��Since�=?�c�j�f�G��,�Q��c����62��q��x�so,�as�=?a��rb�S�o�v�e,�����Fu����a��q�1�����콉fe�v��'��pz�b��q�1������f��s�����1����+������������Ĺ+�����Fu���a���n����콉fe	���'��pz�b���n�������O�s�����n��	�6�=���0�in��M�����q�����,�Q�so,�as�a��rb�S�o�v�e,����'�a�����i��{��2��q�ʮ�for�\ue�!lac��rh��i�.��GTh���us,�x�for�all��q��?�2��D�S��(�f�G��),�x��a�����i��{��2��q�n9�,�so�\u�a�����i���O�lie�S�s�in�t���h��re�nilradi��Jcal����'of���A�����f��	��whi��Jc��rh,��s�)�ince��A�����f���i�)�s�re�S�d��ru�ce�d,��m�e�!lans��t���h�a���t��a�����i���^�=���0�in��A�����f��w�.���So��a�����i��uϹm���ap�!ls�t��9o�0����'u��9n��rd���e��r�n�t���h�e�m���ap��A�����f��	�)�!�6
�A�����}���8�.���Th���us��s�����1����;����:�:�:��ʜ;���s�����n��
��are�lin�e�!larly�in�d���ep�)�en�d�en��t�n�o�v�e��r��A�����}�����'�so����M�����}��	���i�)�s�f�2"ree�of�rank��n��o��rv�e��r����A�����}���8�.� �A��X�p�p�ޔlyin��9g�exe��rci�)�s�:}e�(5.7b)�t���h�en�comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h�e����'pro�S�of.������9���������;�x��		��:Acmbxti12�U~��cmcsc12�q�%cmsy6��K�cmsy8�!",�
cmsy10�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8����@cmti12���N�cmbx12�����ffffcmr14����q�jcmr20�X�Qcmr12���u

cmex10��������