Sharedwww / hartsoln1.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1996.04.04:1002������x�������=������n
�����q�jcmr20�Alge��{brai���c��RGeom��x$etry�Hom�ew�or���k��#�􍍍����i�����ffffcmr14�William���A.�St���e�bAin������&a���JA��;}pr�:�il���4,�1996��5V���'��؀�G�G�cmbx17�1��C+�So�ʕlu��9t��zsions��b#����'���N�cmbx12�Prob�ٙlem��1�(I�`I.2.14(a))����]%����@cmti12�L��ffet�lc���g�cmmi12�S�:�b�e�a�gr�ade�d�ring.��Show�that��P���r�S�oj�e�S�r�X�Qcmr12�=��5�!",�
cmsy10�;��i�����'every�35element�of��S�����|{Ycmr8�+��O��is�nilp��ffotent.������'� U~��cmcsc12�Pr��qoof.��W��Thi�)�s�(Si�s�equiv��X�alen��t�t��9o�sh���o��rwin�g�t���h��ra���t�t�h��re�nilradi��Jcal�of��S��*�i�)�s�equal�t��9o����'t���h��re��fin��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of�all�h���omogenous�pr�2"im�e�S�s�of��S��׹.��In�d���ee�S�d,���if�ev�e��ry�elem�en��t�of����'�S�����+��)��i�)�s�
$nilp�S�ot��Een��t�t���h��ren�ev�e��ry�h���omogenous�pr�2"im�e�con��t�ains��S�����+��)��so��P���r�S�oj�e�S����=�C��;�.����'Con��rv�e��r�[s�:}ely��V,�1|if�#R�P���r�S�oj�e�S�h��=����;�,�t���h��ren�ev�e��ry�h���omogenous�pr�2"im�e�con��t�ains��S�����+��?ʹso�t���h�e����'nilradi��Jcal��of��S���con��t��rains��S�����+�� �so�t���h�a���t�ev�e��ry�elem�en��t�of��S�����+�� �i�)�s�nilp�S�ot��Een�t.����8��It�ڃrem���ains�t��9o�sh�o��rw�t���h�a���t�t���h�e�in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of�all�h���omogenous�pr�2"im�e�S�s�of��S��Z�i�)�s����'t���h��re���nilradi��Jcal�of��S��׹.�ӤUs�)�in��9g�Zor�n's�lemm���a�w��re�can�sh�o��rw�t���h�a���t�if��I��l�i�)�s�a�pro�p�)�e��r����'h���omogenous�8id���e�!lal�t���h��ren�t�h��re��re�i�)�s�a���t�le�!las�[t�on�e�m���axim�al�8h�omogenous�id���e�!lal�con-����'t��rainin��9g����I��.���(Th�e�pro�S�of�precee�ds�jus�[t�as�on�page�2�of�Ma���t��esu��9m���ura�except�on��re����'not��Ee�S�s�~�t���h��ra���t�t�h��re�u��9nion�of�a�c�h�ain�of��homo��ffgenous��id���e�!lals�i�)�s�h���omogen�eous.�	��If����'�I�����1��V��UR�I�����2������������[�i�)�s��a�c��rh�ain��of�h���omogen��reous�id���e�!lals,���t���h�en��[����2���K�cmsy8�1��RA���2cmmi8�n�=1������I�����n��	I[�i�)�s�an�id���e�!lal�an�d�if����'�x����2�[����2��1��RA��n�=1������I�����n��	�D�t���h��ren���x��2��I�����n���for��som��re��n�,��so�t���h�e�h���omogenous�comp�S�on�en��t��es�of��x��are����'in���I�����n���P�,�so�t���h��rey�are�in��[����2��1��RA��n�=1������I�����n���,�so��[����2��1��RA��n�=1������I�����n��	���i�)�s�h���omogen��reous.)������'�Th��eorem��1���lx��L��ffet���T�-��b�e�a�multiplic�ative�set�and��I�}��a�homo�gene�ous�ide�al�disjoint����'fr��ffom�)��T����;��<then�ther�e�exists�a�homo�gene�ous�prime�ide�al�c�ontaining��I�B�and�disjoint����'fr��ffom�35�T����.�����'�Pr��qoof.��W��Us�)�in��9g��QZor�n's�lemm���a�w��re�s�:}ee�t���h�a���t�t���h�e�s�:}et�of�h���omogen�eous�id���e�!lals�di�)�s-����'join��t�N�f�2"rom��T��O�an��rd�con�t��rainin��9g��I�@�con�t��rains�a�m���axim�al�N�elem�en��t,�g�say��P��ƹ.�d�Th�en��P����'�i�)�s���pr�2"im��re.�fsF��Vor�if��x������=��������2�����#[�P��ƹ,����y�����e>=��������2��������P�FJ�are�h���omogenous,�t���h��ren��P����+�)3(�x�)�an�d��P����+�)3(�y�n9�)������1����*�x�������=�������'�are�)&b�S�ot���h�h���omogenous�an��rd�so�t�h��rey�m�eet��T��ƹ,�x�so�t���h�e�S�ir�pro�d��ru�ct�)&also�m��reet��es��T��ƹ.�����'Ho��rw�ev�e��r,�������(�P�Ln�+���(�x�))(�P��+�(�y�n9�))�UR���P�Ln�+�(�xy�n9�)�����'so���xy�����(�=�����Ë�2�������P��n�s�)�ince��P��do�)�e�S�s�not�m��reet��T��ƹ.��b�����'�Th��eorem��2���lx��The�nilr��ffadic�al�of��S����is�the�interse�ction�of�the�homo�gene�ous�primes����'of�35�S����.�����'�Pr��qoof.��W��Sup��rp�S�o�!ls�:}e�"3�x��i�)�s�in�t���h�e�nilradi��Jcal�of��S��
�so�t���h�a���t��x��i�)�s�nilp�S�ot��Een��t,�0say��x����2�n��	\,�=����'0.�
��If��Y�I��ܹi�)�s�a�h���omogenous�pr�2"im��re�t���h�en��x����2�n���=�j�0��2��I��ܹso,�.Eb�y��Yin�d�u�ct�ion,��x�j��2����'�I��.�
-�Con��rv�e��r�[s�:}ely��V,��rsup�p�S�o�!ls�e����x��i�)�s�not�nilp�S�ot��Een��t.�
-�Th��ren��T��$�=�%^�f�1�;���x;�x����2�2����;��:�:�:��ʞ�g����i�s�a����'m���ul��9t��rip�ޔli��Jca���t�iv�e�l|s�:}et�di�)�sjoin��t�f�2"rom�(0).�	�[So,���b��ry�t�h��re�a�b�S�o�v�e�t���h�eorem,���t�h�e��re�l|i�)�s�a����'h���omogen��reous�VHpr�2"im�e�id���e�!lal�con��t�ainin��9g�(0)�di�)�sjoin��t�f�2"rom��T��ƹ.�kTh���us��x��i�s�not�in�t���h��re����'in��t��Ee��r�[s�:}ect��rion��of�all�h���omogen�eous�pr�2"im�e�id���e�!lals�of��S��׹.������'�Prob�ٙlem��2�(I�`I.2.14(b))����M%�L��ffet����'�Bݹ:��S����!��T�i��b�e���a�gr�ade�d�homomorphism�of����'gr��ffade�d���rings.�ML�et��U��0�=�_L�f�p��2��P���r�S�oj�e�T��:��p��6��'�(�S�����+��x�)�g�:��Show�that��U���is�an�op��ffen����'subset�rof��P���r�S�oj�e�T��,���and�rshow�that��'��determines�a�natur��ffal�morphism��f���:����U�
��!����'�P���r�S�oj�e�S����.�����'�Pr��qoof.��W��U����i�)�s�?�o��rp�en�b�eca��2us�:}e��P���r�S�oj�e�T�4������U��ڹ=����f�p��2��P�r�S�oj�e�T�;��:��p����'�(�S�����+��x�)�g��=����'�f�p����2��P���r�S�oj�e�T�Me�:��p����T�'�(�S�����+��x�)�g��=��V��p�(�T�'�(�S�����+��x�))���an��rd�t���h�e�id���e�!lal��T���'�(�S�����+��x�)�i�)�s�h���omo-����'genous�Ab�)�eca��2us�:}e�it�i�s�gen��re��ra���t��Ee�S�d�b�y�t���h�e�h���omogen�eous�elem�en��t��es��f�'�(�f�G��)��:��f���2����'�S�����+��� �i�)�s��h���omogen��reous��Z[�g�.����8��Th��re�Ӄn���a���t�ural�morphi�)�sm��f��Q�:�UR�U��G��{c�P���r�S�oj�e�S��Z�i�s�d���en��re�S�d�as�fo�ޔllo�ws.�1)As�a�m���ap�on����'t��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal��Dspace�s�w��re�sp�)�ecify�t���h�a���t,��for��x�UR�2��U�@�,���f�G��(�x�)�=��'����2��1��\|�(�x�).�4�Beca��2us�:}e�of�t���h��re����'w��ray�o��U����w�as�c�h���o�!ls�:}en�an�d�s�)�ince��'��i�s�h���omogen��reous��f��Ĺm�ap�!ls��U����in��t��9o��P���r�S�oj�e�S��׹,��Yso��f��Ĺi�)�s����'w��rell-d���en�e�S�d.�ڣIf� ��V��p�(�a�)�i�)�s�a�clo�!ls�:}e�d�su���b�!ls�:}et�of��P���r�oj�e�S��k�wit���h��a��h���omogen��reous,�.t�h�en����'�f��G����2��1���{�(�V��p�(�a�))�">=��f�p��2��U�c"�:��'����2��1��\|�(�p�)����a�g��=��f�p��2��U��:��p����'�(�a�)�g��=��V��p�(�T���'�(�a�))�:�c�As����'a��rb�S�o�v�e,���T���'�(�a�)�i�)�s�h���omogen��reous�so��f��G����2��1���{�(�V��p�(�a�))�i�s�clo�!ls�:}e�S�d�so��f�2��i�s�con��t��rin���uous.����8��T��Vo��d���en��re�t���h�e�as�!lso�S�cia���t��Ee�d��m���ap��f��G����2�#��
ڡ�:��F�O�����P�.:r�<roj�.�S��z�!��f���������O�����U�����of��sh�e�!la�v�e�S�s�let��V��������'�P���r�S�oj�e�S��w�b�)�e�+�o��rp�en.���Th�en�+�an�elem�en��t�of��O�����P�.:r�<roj�.�S��|¹(�V��p�)�i�)�s�a�m���ap��s���:��V�`W�!���������u

cmex10�F���>���p�2�V��b�S�����(�p�)�����'�su��rc�h�pt���h�a���t��s��i�)�s�lo�S�cally�a�quot�ien��t�of�elem�en��t��es�of��S��׹.���W��Ve�sp�)�ecify�t���h�a���t��f��G����2�#���[�(�s�)�8S=����'�'�*2���s����f��)�:��*�f��G����2��1���{�(�V��p�)��!�������F���遟��p�2�f���ǟ����q�%cmsy6���Aa�cmr6�1��
Ӈ�(�V���)��5���T�����(�p�)��cչ.�j�T��Vo���s�:}ee�t���h��ra���t��f��G����2�#���[�(�s�)��*�2��f���������O�UV�(�V��)���w��re�m���us�[t����'c��rh�ec�k��<t���h�a���t�it�i�)�s�lo�S�cally�a�quot�ien��t.��So�sup�p�S�o�!ls�:}e��p�^"�2��f��G����2��1���{�(�V��p�)�:��Let��W������V�"��b�)�e����'an���o��rp�)�en�n�e�S�igh�b�orh���o�o�d���of��f�G��(�p�)�on�whi��Jc�h��s��i�)�s�repre�S�s�:}en��t��Ee�d���as�a�quot�ien��t.�'ITh�en����'�f��G����2�#���[�(�s�)��i�)�s�repre�S�s�:}en��t��Ee�d��as�a�quot��rien�t�on�t���h��re�o�p�)�en�s�:}et��f��G����2��1���{�(�W��ƹ),�?yas�require�S�d.��Since����'�f��G����2�#����re�S�sp�)�ect��es��t���h��re�re�s�[tr�2"i��Jct��rion�m���ap�!ls�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��f�2��i�)�s�a�morphi�sm.������2����
H�x�������=���������'�Prob�ٙlem��3�(I�`I.2.14(c))�����%�f��W�c��ffan��Xb�e�an�isomorphism�even�when��'��is�not.�; F���or�����'example,�Y�supp��ffose�Q�that��'�����d��m��:��O�S�����d���!��T�����d��	1��is�Q�an�isomorphism�for�al���l��d����d�����0����.�¼Show����'that��i�U��6�=�UR�P���r�S�oj�e�T�l/�and�the�morphism��f��Q�:��P���r�S�oj�e�T���!��P�r�S�oj�e�S�}@�is��ian�isomorphism.������'�Pr��qoof.��W��T��Vo���s�:}ee�t���h��ra���t��U�2S�=��o�P���r�S�oj�e�T�~��not��Ee�t�h��ra���t�if��p��o�2��P���r�S�oj�e�T�~��bu��9t����p�����V�=������2��������U���t�h��ren����'�p�VP���'�(�S�����+��x�).���In���part��ri��Jcular,��c�p���������L���rğ��d��d��q�0���%y1�T�����d��ߨ�,�so����p����(�T�����+��x�)����2�d��	aL�so,�s�)�ince����p��i�s�pr�2"im��re,����'�p�UR���T�����+��x�,��a�con��tradi��Jct��rion.����8��Let�A��f�g����������g��b�)�e�a�s�:}et�of�gen��re��ra���t��9or�[s�of��T�����+��x�.��Th�en��[����������D�����T����(�g��������)�UR=��[����������f�x��2��P���r�S�oj�e�T���:����'�g�����������Jg�=�����
��2�����Ԉ�x�g��x�=��P���r�S�oj�e�T�}d�s�)�ince�۞ev��re��ry�pr�2"im�e�in��P���r�S�oj�e�T�}d�m���us�[t�omit�som�e��g����������.��Since����'�g�����������
�A�=�����	J��2������<�x��;�i��g����2��n9�d��q�0���RA���������32�=��������2�����#-�x��for��x��pr�2"im��re,���w�e��;m���ay�rep�ޔlace�t���h��re��g�������	yҹb�y�elem�en��t��es�of��T������d��q�0���+�an�d����'s�[t��rill��h�a�v�e�a�co�v�e��r�of��P���r�S�oj�e�T��n�b�y�di�)�s�[t�in��9gui�sh�e�S�d��o�p�en��s�:}et��es.����8��Our�	�s�[tra���t��Eegy�i�)�s�as�fo�ޔllo��rws.���W��Ve�r�s�t�sh���o��rw�t���h�a���t��f�G��j�����D��X.�;�cmmi6�T�����(�g�����S��)��$B��:����D�����T����(�g����������)��!����'�D�����S���(�'����2��1��\|�(�g����������)�Bji�)�s�an�i�somorphi�sm�for�e�!lac��rh���U��an�d�t���h�en�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e�o�p�)�en�s�:}et��es����'�D�����S���(�'����2��1��\|�(�g����������))��`co��rv�e��r��P���r�S�oj�e�S��׹.��Th�en�sh���o�win��9g�t���h�a���t��f�_�i�)�s�inject�iv�e�comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h�e����'pro�S�of.����8��Let�2+�g�=C�=��
�g�������
'¹b�)�e�on��re�of�our��g����������.�hBy�Pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�2.5,�D�D�����T����(�g�n9�)�����P����
����԰�����=������k�S���pec���T�����(�g�I{�)�����an�d����'so����f��G����2�0���M�=�t�f�G��j�����D��X.�T�����(�g�I{�)��CI�i�)�s�a�morphi�sm�of�an��re�s��xc�h�em�e�S�s��f��G����2�0���M�:�t�S���pec���T�����g��I�!��S�pec���S����(�'�������1��	���(�g�I{�))��!���.����'Thi�)�s��&m���ap�i�s�in��rd�u�ce�S�d��&b�y�����&�fe�v�]ڍ�'�����:���S����(�'�������1��	���(�g�I{�))��(��!��T�����(�g�I{�)��C��wh��re��re�����&�fe�v�]ڍ�'���V¹i�)�s�t���h�e�lo�S�caliza���t�ion����'of��]t���h��re�r�2"in��9g�h���omomorphi�)�sm��'��׹:��S�8��!��T��ƹ.�
��So��]w�e�jus�[t�n�ee�S�d�t��9o�v�e��r�2"ify�t���h�a���t�����'���&�fe�v�]ڍ�'���3�W�i�)�s�:�an�i�somorphi�sm.�	)�Sup��rp�S�o�!ls�:}e�����&�fe�v�]ڍ�'����W�(�a=b�)���=�0.�Th��ren��:���&�fe�v�]ڍ�'����W�(�a'����2��1��\|�(�g�n9�)�=b'����2��1���(�g��))���=�����'���&�fe�v�]ڍ�'���.�v�(�a=b�)���=�0�;�so��'�(�a'����2��1��\|�(�g�n9�))�='�(�b'����2��1���(�g��))���=�0�;�in��T�����(�g�I{�)���%�so�t���h��re��re�i�)�s��n��su�c�h�t���h�a���t����'�g��n9���2�n����'�(�a'����2��1��\|�(�g�n9�))��=�0�ުin��T��p�so��'�(�a'����2��1���(�g��n9���2�n�+1����)��=�0.��Th���us�ު�a'����2��1���(�g�n9�)����2�n�+1��ys�=�0�ުs�)�ince����'�'�h��i�)�s�an�i�somorphi�sm�in�high�enough�d���egree.�	��Th���us��a��w�=�0�h�in��S����(�'�������1��	���(�g�I{�))��!���,��so����'�a=b�T�=�0��in��S����(�'�������1��	���(�g�I{�))��!���.�)|Thi�)�s�sh���o��rws�t���h�a���t�����&�fe�v�]ڍ�'���}��i�)�s�inject�iv�e.�)|T��Vo�s�:}ee�t���h�a���t�����&�fe�v�]ڍ�'���}��i�)�s�sur-����'ject��riv�e�ilet��a=g��n9���2�n��	�d�2����T�����(�g�I{�)��qv�.��"Th��ren��'����2��1��\|�(�ag�n9�)�='����2��1���(�g�����2�n�+1����)�ii�)�s�a�w��rell-d���en�e�S�d�ielem�en��t�of����'�S����(�'�������1��	���(�g�I{�))��%���an��rd��l
���&�fe�v�]ڍ�'�����(�'����2��1��\|�(�ag�n9�)�='����2��1���(�g�����2�n�+1����))�1�=��ag�=g�����2�n�+1��$��=��a=g�����2�n����,��gwhi��Jc��rh�l
sh���o�ws�t���h�a���t�����&�fe�v�]ڍ�'������'�i�)�s��surject��riv�e.����8��Next�6�w��re�v�e��r�2"ify�t���h�a���t��[�����g������	�>�D�����S���(�'����2��1��\|�(�g����������)�֛=��P���r�S�oj�e�S��׹.��Sup�p�o�!ls�:}e�6��x�����;�=�����֛�2������7�D�����S���(�'����2��1��\|�(�g����������)����'for��all�����.�9Th��ren��'����2��1��\|�(�g����������)�Uh�2��x�굹for�e�!lac�h�����,��so,�s�)�ince��w�e�m���ay�as�!lsu��9m�e�t���h�a���t�t���h�e��g����������'�gen��re��ra���t��Ee���T������d��q�0����ǹ,�an�d��x��i�)�s�pr�2"im�e,��'����2��1��\|�(�T������d��q�0����ǹ)�UR���x�,��a�con��tradi��Jct�ion�s�)�ince��S�����+��
q��6�UR�x�.����8��Next�jw��re�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e�in�d�u�ce�S�d�m���ap��f��Q�:�UR�P���r�oj�e�T���!��P���r�oj�e�S��i�)�s�jinject��riv�e.�Let����'�p;���q�À�2�UG�P���r�S�oj�e�T�"ιan��rd��sup�p�o�!ls�:}e���f�G��(�p�)�UG=��f��(�q�n9�).��Th��ren���'����2��1��\|�(�p�)�=��'����2��1���(�q�n9�)��so,���s�)�ince��'����'�i�)�s��an�i�somorphi�sm,��for��d������d�����0��	y!�w��re��s�:}ee�t���h�a���t��p�79�\��T�����d��	�d�=����q��r�\��T�����d��ߨ�.��>So��if��a��2��p��i�)�s����'h���omogen��reous���t���h�en��a����2�n��
t��2��0�p�@��\��T�����d��	���for�som��re��n��an�d��d��0���d�����0����.�͔So��a����2�n��
t��2��q����\�@��T�����d��	���so����'�a����2�n�����2�UR�q�X�so���a��2��q�n9�.�8�Lik��rewi�)�s�:}e��a��2��q�X�imp�ޔlie�S�s��a��2��p�.�8�Th���us��p��=��q�X�so��f�2��i�)�s�inject��riv�e.����8��Fin���ally��V,�q�no�V�so�ޔlu��9t��rion�i�)�s�comp�let��Ee�wit���h���ou��9t�an�act��rual�examp�le�of�a�m���ap��'���:����'�S�)�!�UR�T�p�whi��Jc��rh��Ysa���t�i�)�se�S�s�t���h�e�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��Yof�t���h��re�t�h��reorem.�/pLet��T���=�UR�k�g�[�x;���y�n9�]�an�d�let����'�S�)�=�UR�T�����0���b�+�#^�T�����2���+����������ȹan��rd��llet��'�UR�:��S�),���!��T�J2�b�)�e��lt���h�e�inclus�)�ion�m���ap.�"�Th�en��'��i�)�s�grad���e�S�d������3���� �x�������=�������'�an��rd��an�i�)�somorphi�sm��for��d�UR���2.�8�Bu��9t���'��i�)�s�not�an�i�somorphi�sm.�������'�Prob�ٙlem��4�(I�`I.2.14(d))����M%�L��ffet��[�V�-��b�e�a�pr�oje�ctive�variety�with�homo�gene�ous�����'c��ffo�or�dinate�35ring��S����.�fiShow�that��t�(�V��p�)�����P���UR����԰���n:�=��������P���r�S�oj�e�S��.�����'�Pr��qoof.��W��Den��re���f��g�:�dh�t�(�V��p�)��!��P���r�S�oj�e�S��\�b�y���f�;��t�ak�e�s��a�p�S�oin��t��x�dh�2��t�(�V��p�)��t��9o�it��es�h���omo-����'gen��reous�� id���e�!lal��I��(�x�)�i��2��P���r�S�oj�e�S��׹.� HBy�� exe��rci�)�s�:}e�I.2.4��f���i�s�inject��riv�e�� an�d�surject�iv�e����'h��rence��a�biject�ion.�9	F��Vurt���h�e��rmore,�*��x�	'���y�X�i���f�G��(�x�)����f��(�y�n9�)��so��f�2��an��rd��f�����2��1���1�s�:}en��rd����'clo�!ls�:}e�S�d��s�et��es�t��9o�clo�!ls�e�S�d�s�et��es�h��rence��f�2��i�)�s�a�h���om�eomorphi�)�sm.����8��T��Vo��d���en��re��f��G����2�#��
�`�let��U��b�)�e�an�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�of��P���r�S�oj�e�S��׹.���Th�en�w�e�m���us�[t�d���en�e����'�f��G����2�#��
���so��_t���h��ra���t�(not�a���t�ion�as�in�t���h�e�pro�S�of�of�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�2.6)��f��G����2�#��
|g�:���O�����P�.:r�<roj�.�S��|¹(�U�@�)��!����'�f���������O�����t�(�V���)��
�(�U�@�)���=��O�����t�(�V���)���(�f��G����2��1���{�(�U�@�))�=��O�����V��Vȹ(�������2��1��p�(�f��G����2��1���(�U�@�))).��Let� d�s��2��P���r�S�oj��e�����S�����(�U��).��Th��ren����'�s����can�lo�S�cally�b�)�e�repre�s�:}en��t��Ee�d�in�t���h��re�form��g�n9=h��wh�e��re��g�n9;���h�]>�2��S�8��h�a�v�e���t���h�e�sam�e����'d���egree��an��rd��h��i�)�s�nonze��ro�on�t���h�e�ap�pro�pr�2"ia���t��Ee�su���b�!ls�:}et�of��V��p�.�&�Th�us��s��n���a���t��rurally����'d���en��re�S�s��an�elem�en��t�of��O�����V��Vȹ(�������2��1��p�(�f��G����2��1���{�(�U�@�)))�an�d�an�y�elem�en��t�of��O�����V��Vȹ(�������2��1��p�(�f��G����2��1���{�(�U�@�)))����'d���en��re�S�s�0{an�elem�en��t�of��O�����P�.:r�<roj�.�S��|¹(�U�@�)�:��Th���us��f��G����2�#��

ֹi�)�s�an�i�somorphi�sm.�
Y[I'm�glo�!ls�s�in��9g����'o��rv�e��r��a�lot�of�d���et��rails!]������'�Prob�ٙlem��5�(I�`I.2.16(a))����]%�L��ffet�7�X�(��b�e�a�scheme,�8let��f��t�2�\u�(�X�Jg;����O�����X����)�,�and�dene����'�X�����f��
/��to���b��ffe�the�subset�of�p�oints��x�Lz�2��X��0�such���that�the�stalk��f�����x��
��of��f���at��x��is�not����'c��ffontaine�d���in�the�maximal�ide��ffal��m�����x��	��of�the�lo�c�al�ring��O�����x��H��.��	(a)�If��U�un�=�4��S���pec���B����'�and�����w}�fe��	����f����j�2�"��B����=�(�U��;����O�����X����j�U��?�)���is�the�r��ffestriction�of��f�G��,���show�that��U�=��\����X�����f��	�ɹ=�"��D�S��(���w}�fe��	����f�����)����'�so�35�X�����f��	�T�is�an�op��ffen�subset�of��X���.�����'�Pr��qoof.��W��Not��Ee�`xt���h��ra���t��D�S��(���w}�fe��	����f�����)��=��f�x��2��U�^��:����w}�fe��	����f���������=�����N[�2�����l6�x�g��=��f�x��2��U��:����w}�fe��	����f����0���T�x���������=������B�2����� ��m�����x��H��g��=��f�x��2����'�U��6�:�UR�f�����x������
��=������9�2�������m�����x��H��g��=��U����\�Z��X�����f��w�.�+�Th���us�Ç�U��\��X�����f��	:��i�)�s�Çan�o��rp�en�su���b�!ls�:}et�of��U�@�.�+�No��rw�let��f�U����������g����'�b�)�e�`an�an��re�o�p�)�en�o�v�e��r�of��X��.��FTh�en��X�����f��	�b�=�C�[����������(�U��������9�\����X�����f��w�)�i�)�s�t���h�e�u��9nion�of�o�p�)�en����'s�:}et��es,��h��rence�o�p�)�en.������'�Prob�ٙlem��6�(I�`I.2.16(b))����M%�Assume�that��X���is�quasi-c��ffomp�act.�L�et��A�UR�=�(�X�Jg;����O�����X����)�,����'and��wlet��a�UR�2��A��w�b��ffe�an�element�whose�r�estriction�to��X�����f��	��is��0�.�1Show�that�for�some����'�n�UR>��0�,�35�f��G����2�n���O�a��=�0�.�����'�Pr��qoof.��W��Us�)�in��9g���t���h��re�f�act�t���h��ra���t��X��B�i�s�quas�i-compact�w��re�can�n�d�a�nit��Ee�co�v�e��r����'�f�U�����i���,�=�UR�S���pec���B�����i��d��g����2��m��RA�i�=1���凉of��O�X��ҹb��ry�an�e�o�p�)�en�s�:}et��es.�$�Since��a�j�����X��i?�f������i�s�0,��at���h��re�im���age�of��a��in�����'�O�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i���[¹=�|(�B�����i��dڹ)������few��h��f���	x��i�)�s�s0.�}ATh���us�t�h��re��re�exi�)�s�[t��es��n�����i��fM�su�c�h�t���h�a���t����w}�fe��	����f�������^�n��8:�i�����ܟ��&�fe+�]ڍ�a������=�|0�in��B�����i��dڹ.�}ATh�a���t�i�)�s,����'�f��G����2�n��8:�i���
��a�j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i���D�i�)�s�(�0.���Let��2t��rin��9g��n��̹=��m���ax��U��f�n�����1����;����:�:�:��ʜ;���n�����m����g�(��w�e�s�:}ee�t���h�a���t��f��G����2�n���O�a�j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i���D�i�)�s�0�for����'e�!lac��rh���i��wh�ence��f��G����2�n���O�a�UR�=�0��in��A�UR�=�(�X�Jg;����O�����X����).������4����9��x�������=���������'�Prob�ٙlem��7�(I�`I.2.16(c))�����%�Assume�`��X�Ra�has�a�nite�c��ffover�by�op�en�anes��U�����i������'�such��that�e��ffach�interse�ction��U�����i����\�GC�U�����j��	l��is�quasi-c�omp�act.��L�et��b����2��(�X�����f��w�;����O�����X��i?�f���Hb�)�.����'Show�35that�for�some��n�UR>��0�,�35�f��G����2�n���O�b��is�the�r��ffestriction�of�an�element�of��A�.��l����'�Pr��qoof.��W��W��Vr�2"it��Ee���U�����i��a��=���S���pec���B�����i��dڹ.�#�Th��ren��b�j�����U��8:�i���i��2��(�B�����i��dڹ)�����f��
Zùso,�!�f�2"rom�t���h��re�d���enit�ion�of����'(�B�����i��dڹ)�����f��w�,�$�t���h��re��re��Jexi�)�s�[t��es��n�����i��X$�su�c�h�t���h�a���t��f��G����2�n��8:�i���
��b�j�����U��8:�i������2�UR�B�����i���,�=��O�����X����(�U�����i��dڹ).��kLet��J�N��6�=��m���ax���u�f�n�����i���g��J�an��rd����'let���g�����i���=��
�f��G����2�N��	aC�b�j�����U��8:�i���
��2�O�����X����(�U�����i��dڹ)�:��Th��ren��g�����i���j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i��,r�\�U��8:�j���-�Y�=��
�f��G����2�N��	aC�b�j�����U��8:�i��,r�\�U��8:�j�����\�X��i?�f����=��g�����j��f
�j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i��,r�\�U��8:�j���.Kݹso����'(�g�����i���D��Yj�g�����j��f
�)�j�����(�U��8:�i��,r�\�U��8:�j�����)��i?�f���)3��=�
70.�:�By��Upart�(b)�s�)�ince��U�����i���\�Yj�U�����j��	Q_�i�)�s�quas�i-compact�t���h��re��re�i�s����'an�	�in��t��Eege��r��n�����ij��TĹsu��rc�h�	�t���h�a���t��f��G����2�n��8:�ij���
���(�g�����i�����n6�g�����j��f
�)�>4=�0�in��O�����U��8:�i��,r�\�U��8:�j����=�.���Let��M��=��m���ax���W�f�n�����ij��J��g�,����'an��rd��elet��h�����i��_ڹ=���f��G����2�M��
���g�����i��d��:��Th�en��h�����i��_��2��O�UV�(�U�����i��dڹ)�for�e�!lac�h��i��an�d��h�����i��d��j�����U��8:�i��,r�\�U��8:�j����=�=���h�����j��f
�j�����U��8:�i��,r�\�U��8:�j������so����'w��re���can�n�d��h����2��(�X�Jg;����O�����X����)���su�c�h�t���h�a���t��h�j�����U��8:�i���~�=����h�����i��dڹ.���Bu��9t,��Qfor�e�!lac�h��i�,��Q�h�j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i������=����'�f��G����2�M��
���g�����i��d��j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i����&�=�݂�f��G����2�M���f��G����2�N��	aC�b�j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i����=�݂�f��G����2�M��"�+�N����b�j�����X��i?�f��ʫ�\�U��8:�i������so��b��ry�u��9niquen�e�S�s�!ls�(sh�e�!laf�axiom����'iii),���h�j�����X��i?�f������=�UR�f��G����2�M��"�+�N����b�,�as�d���e�S�s�)�ire�d.������'�Prob�ٙlem��8�(I�`I.2.16(d))����M%�With�the�hyp��ffothesis�of�(c),�=rc�onclude�that��(�X�����f��w�;����O�����X��i?�f���Hb�)�����P���UR����԰���n:�=��������'�A�����f��w�.�����'�Pr��qoof.��W��Den��re��a�h���omomorphi�)�sm��'�T�:��A�����f���s�!��(�X�����f��w�;����O�����X��i?�f���Hb�)��b�y��'�(�a=f��G����2�n���O�)�T=����'�a�j�����X��i?�f���Hb�=f��G����2�n���O�j�����X��i?�f����.�	!'Thi�)�s�8i�s�w��rell-d���en�e�S�d�b�)�eca��2us�:}e�t���h�e�s�[t�alk��f�����x��
���i�)�s�in�v�e��rt�ib�ޔle�in�e�!lac�h����'lo�S�cal��r�2"in��9g��O�����x��
[��for�e�!lac��rh��x�Mw�2��X�����f��w�.��n�'�׹i�)�s�a�h���omomorphi�sm�s�ince�re�S�s�[tr�2"i��Jct��rion�i�s����'a���h���omomorphi�)�sm.�?�Sup��rp�S�o�!ls�:}e��'�(�a=f��G����2�n���O�)�{�=�0,���t���h�en����a�j�����X��i?�f���Hb�=f�G��j����2��n��RA�X��i?�f�����"�=�0�so��a�j�����X��i?�f����"�=�0.���]��'By���part�(b)�t���h��re��re�exi�)�s�[t��es��m��su�c�h�t���h�a���t��f��G����2�m��	L��a�
��=�0,�,so����a��i�)�s�0�in��A�����f��w�,�wh��rence��'����'�i�)�s��inject��riv�e.��
Sup�p�S�o�!ls�:}e��b��&�2��(�X�����f��w�;����O�����X��i?�f���Hb�),��dt���h��ren�b�y�part�(c)�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es��n��su�c�h����'t���h��ra���t����f��G����2�n���O�b��i�)�s�t�h��re�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�of�som�e��a��f�2��(�X�Jg;����O�����X����)���t��9o��X�����f��w�.��Th�en��'�(�a=f��G����2�n���O�)��f=����'�a�j�����X��i?�f���Hb�=f�G��j����2��n��RA�X��i?�f����K�=���f�����2�n���O�b=f�����2�n���j�����X��i?�f���K�=���b�Q�so��'��i�)�s�surject��riv�e,�j�whi��Jc�h�Qe�S�s�[t�a�b�ޔli�sh�e�S�s�Qt���h�e�d���e�S�s�)�ire�d����'i�)�somorphi�sm.������'�Prob�ٙlem��9�(I�`I.2.17(a))����]%�A�QQCriterion�Q�for�Aneness.���L��ffet��f����:�g��X�Y/�!��Y��
�b�e����'a�a�morphism�of�schemes,�mwand�assume�that��Y��@�c��ffan�b�e�c�over�e�d�by�op�en�sets��U�����i��d��,����'such�v�that�for�e��ffach��i�,��cthe�induc�e�d�map��f��G����2��1���{�(�U�����i��dڹ)�UR�!��U�����i��ۉ�is�v�an�isomorphism.�'�Then����'�f�{4�is�35an�isomorphism.�����'�Pr��qoof.��W��Den��re��a�morphi�)�sm��g��W�:�9�Y�Վ�!��X��f�as��fo�ޔllo�ws.���On�e�!lac�h�o�p�)�en�s�:}et��U�����i�����'�let�OX�g�����i���2�b�)�e�t���h��re�morphi�sm�in��rv�e��r�[s�:}e�OXt��9o��f�G��j����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�U��8:�i��,r�)��"�:���f�����2��1���{�(�U�����i��dڹ)��!��U�����i���.�f�Th��ren�OX�g�����i���j�����U��8:�i��,r�\�U��8:�j�����=����'�f�G��j����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�U��8:�i��,r�)�\�f���ǟ�����1���(�U��8:�j�����)��Hl|�=����g�����j��f
�j�����U��8:�i��,r�\�U��8:�j���n�so,��/as���in�s�[t��Eep�3�of�t���h��re�pro�S�of�of�Th�eorem�3.3,��/w�e����'can���glue�t���h��re�morphi�)�sms��g�����i��	
k�t��9o�obt�ain�a�morphi�)�sm��g����:�LO�Y���!��X���su�c�h���t���h�a���t����'�g�n9�j�����U��8:�i���
�2�=�4��g�����i��dڹ.��sAs�m�a�m���ap�of�space�S�s��g���i�)�s�cle�!larly�in��rv�e��r�[s�:}e�m�t��9o��f�G��.�Since�e�!lac��rh��g�����i��ҳ�i�)�s�an����'i�)�somorphi�sm,�M�t���h��re�&�in�d�u�ce�S�d�m���ap�!ls��g��n9���2�#��*:�on�s�[t�alks�are�i�)�somorphi�sms�so�t���h��re�in�d�u�ce�S�d����'m���ap��on�sh��re�!la�v�e�S�s��i�)�s�an�i�somorphi�sm.�8�Th���us��g�X�i�s�an�i�somorphi�sm.������5����M4���;�x��� U~��cmcsc12�q�%cmsy6��K�cmsy8�!",�
cmsy10�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8����@cmti12���N�cmbx12��؀�G�G�cmbx17�����ffffcmr14����q�jcmr20�X�Qcmr12���u

cmex10�dg����