Sharedwww / hartnotes.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1996.05.04:1254��������э����Ơ�
:���sr���^������q�jcmr20�Not��qZe���s��Rfor�Alge��{brai���c�Geom��x$etry�I�I��#�􍍍�����%�����ffffcmr14�William���A.�St���e�bAin�������?���|�May���4,�1996��5V���iF��؀�G�G�cmbx17�Con��mt��s�en�t���s��b#����iF���N�cmbx12�1��	:Pref�0ace�����1���?�����iF2��	:Amp�ٙle��In��v�e�frt�ib�le��Sh�e�&fa�v�e�`s��%��4�������iF3��	:In��ftro�`d��u�ct�ion��t��o�Coh��fomo�ٙlogy���5�������iF4��	:Coh��fomo�ٙlogy��in�Alge��fbrai���c�Geom��etry����6�������iF5��	:Review��of�De�fr�9�iv��e�`d�F���u��nct�or�	�s���*6�������	:�X�Qcmr12�5.1��!�Examp�ޔle�S�s��of�A��X�b�)�elian�Ca���t��Eegor�2"ie�s���������g�cmmi12�:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:�����7������	:5.2��!�Exactn��re�S�s�!ls�=g�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:�����7������	:5.3��!�Inject��riv�e��an�d�Pro��ject�iv�e�Ob��ject��es��Y�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:�����8���?�����iF�6��	:De�fr�9�iv��e�`d��F���u��nct�or�	�s�an��d�Homo�ٙlogi���cal�Alge��fbra���#{8������	:�6.1��!�Cons�[tru��rct�ion��of��R��J���2��2cmmi8�i��~$�F�	w;����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:�����9������	:6.2��!�Pro��rp�)�e��rt�ie�S�s��of�De�r�2"iv��re�S�d�F��Vu��9nct�or�[s�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:�����9�������iF�7��	:Lon��g��Exact�Sequence�of�Coh��fomo�ٙlogy�an��d�Ot��ph�e�fr�W���on�d��fe�fr�	�s��c�10�������iF8��	:Bas�0i���c��Pro��p�e�frt�ie�`s��of�Coh��fomo�ٙlogy���{z10������	:�8.1��!�Coh���omo�ޔlogy��of�Sc��rh�em�e�S�s�T������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �10������	:8.2��!�Ob��ject��riv�e�KD�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �10�������iF�9��	:Flasque��Sh��e�&fa�v�e�`s��U��11�������iF10��	:Examp�ٙle�`s��|�12�������iF11��	:Fir�	�s�t��V���ani�0shin��g�Th��eorem��!kz12�������iF12����:�����	:Cec��h��Coh��fomo�ٙlogy��J��13������	:�12.1��!�Cons�[tru��rct�ion�|ፑ���:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �14������	:12.2��!�Sh��re�!lafy��L�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �14�������iF�13����:�����	:Cec��h��Coh��fomo�ٙlogy�an�d�De�fr�9�iv�e�`d�F���u��nct�or��Coh��fomo�ٙlogy��~��16������	:�13.1��!�Hi�)�s�[t��9ory��of�t���hi�s�Mo�S�d��rule��E��̍���:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �17�������iF�14��	:Coh��fomo�ٙlogy��of�P����2��n��y��k����O��17�������y!�1����*���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�15��	:Se�frre's��Finit��2e�Gen��e�ra���t�ion��Th�eorem����18�������	:�15.1��!�A��X�p��rp�ޔli��Jca���t�ion:�8�Th�e��Ar�2"it���hm�et�i�c��Gen���us�Y5�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �19���?�����iF�16��	:Eule�fr��Ch��aract��2e�r�9�i�0s�	�t�i���c��>[�19�������iF17��	:Corre�`sp�on��d��fence��b�0et�w�een�An��falyt�i���c�an�d�Alge��fbrai���c�Coh��fomo�ٙlogy��I#S21�������iF18��	:Ar�9�it��phm��et�i���c��Gen�us��Lb�21������	:�18.1��!�Th��re��Gen���us�of�Plan�e�Curv�e�of�Degree��d�%�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �22�������iF�19��	:Not��Enough�Pro��ject��iv�e�`s��&��22�������iF20��	:Som��e��Sp�0ecial�Cas�C4e�`s�of�Se�frre�Dualit�y���;K23������	:�20.1��!�Examp�ޔle:�8�� !",�
cmsy10�O�����X��1�on��Pro��ject��riv�e�Space��������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �23������	:20.2��!�Examp�ޔle:�8�Coh��re��ren��t��sh�e�!laf�on�Pro��ject�iv�e�Space�ڍ����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �24������	:20.3��!�Examp�ޔle:�8�Se��rre��Dualit��ry�on��P����2��n��y��k���
�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �25�������iF�21��	:Th��e��F���u��nct�or���Ext���l3M�25������	:�21.1��!�Sh��re�!laf���Ext���t�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �25������	:21.2��!�Lo�S�cally��F��Vree�Sh��re�!la�v�e�s�=������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �26�������iF�22��	:More��T���ec��hni���cal�Re�`sul��t���s�on���Ext���u��27�������iF23��	:Se�frre��Dualit��y��e��28�������iF24��	:Se�frre��Dualit��y�for�Arbitrary�Pro��ject�iv�e�Sc�h�em�e�`s���Z29�������iF25��	:Exi�0s�	�t��2ence��of�t��ph��e�Dualizin��g�Sh�e�&faf�on�a�Pro��ject�iv�e�Sc�h�em�e��hhx32������	:�25.1��!�Rela���t��riv�e��Gamm���a�an��rd�Twiddle�mō����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �32�������iF�26��	:Gen��e�fralize�`d��Grot��ph�en�diec�k�Dualit�y�Th�eory����34�������iF27������35�������iF28��	:Review��of�Die�fren��ft��ials��.��37������	:�28.1��!�Th��re��Sh�e�!laf�of�Die��ren��t�ials�on�a�Sc�h�em�e��������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �39�������iF�29��	:Die�fren��ft��ials��on�P����2�n���M0��40�������iF30��	:Sh��e�&faf��of�Die�fren��ft�ials�an�d�Canoni���cal�Divi�0sor�����42�������iF31��	:Denit��ions��uj�44�������iF32��	:Gen��pus���W645�������iF33��	:Riem��fann-Ro�`c��h��Th�eorem��$�46�������iF34��	:Se�frre��Dualit��y��e��47�������iF35��	:A��Bird's�Ey��e�View�of�Curv�e�`s��ޫ47�������iF36��	:Mo�`d��uli��Space��d��47�������y!�2����>���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�37��	:Em��Nfb�0e�`ddin��gs��in�Pro��ject��iv�e��Space�����48���?�����iF38��	:Elem��en��ft�ary��Curv�e�Th�eory��+ 48�������	:�38.1��!�Denit��rions�1S�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �48������	:38.2��!�Map�!ls��t��9o�Pro��ject��riv�e��Space�J������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �48�������iF�39��	:Lo��w��Gen��pus�Pro��ject�iv�e�Em��Nfb�0e�`ddin��gs���Ŝ48������	:�39.1��!�Gen���us��0�curv��re�S�s�P������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �49������	:39.2��!�Gen���us��1�curv��re�S�s�P������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �49������	:39.3��!�Mo�S�d��ruli��Space�Co�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �49�������iF�40��	:Curv��e�`s��of�Gen��pus�3��Gא50�������iF41��	:Curv��e�`s��of�Gen��pus�4��Gא53������	:�41.1��!�As�)�id���e:�8�exi�s�[t��Eence��of��g����2��n9�|{Ycmr8�1��y���d���.=�'s�in�gen��re��ral�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �53������	:41.2��!�Clas�!ls�)�ifyin��9g��curv��re�S�s�of�gen���us�4�v
�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �53�������iF�42��	:Curv��e�`s��of�Gen��pus�5��Gא55������	:�42.1��!�Th��re��space�of�quadr�2"i��Jcs�con��t�ainin��9g�an�em��ekb�)�e�S�dd���e�d��gen���us�5�curv�e.�C�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:���� �55������	:42.2��!�Gen���us��5�curv��re�S�s�wit�h�v��re��ry�amp�ޔle�canoni��Jcal�divi�)�sor�Ղ�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �55�������iF�43��	:Hom��ew�or���k��As�&fs�0ignm�en��ft��,�i57�������iF44��	:Curv��e�`s��of�gen��pus�6��K�57�������iF45��	:Oral��Rep�`ort�T���o��pi���cs��C&�59�������iF46��	:Curv��e�`s��of�gen�e�fral�gen��pus��(`F60�������iF47��	:Halph��en's��Th�eorem��A̋62�������iF48��	:Hurwitz's��Th��eorem��B��63�������iF49��	:Ellipt��i���c��Curv�e�`s��\��65�������iF50��	:A��@u��t�omorphi�0sms��of�Ellipt��i���c�Curv�e�`s���67�������iF51��	:Mo�`d��uli��Space�s��^�m70�������iF52��	:Th��e��Jacobian�V���ar�9�iet�y��6R�71������	:�52.1��!�Cons�:}equence��of�exi�)�s�[t��Eence�of�t���h��re�Jacobian��B�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �73�������iF�53��	:Th��e��Jacobian��fj73������	:�53.1��!�Cons�:}equence�S�s��of�exi�)�s�[t��Eence��������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �74������!�53.1.1��F�
Group��s�[tru��rct�ure�,�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �74������!�53.1.2��F�
Na���t��rural��bra�t�ion,��dim�ens�)�ion�������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �75������!�53.1.3��F�
Th��re��Zar�2"i�)�ski�t�an��9gen��t�space�Fb�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �76�������iF�54��	:Fla���tn��e�`s�&fs����76������	:�54.1��!�T��Vec��rhni��Jcal��d���enit�ions�B������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �76������!�54.1.1��F�
Gen��re��ral��nons�:}ens�e��L�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �77������	:54.2��!�Examp�ޔle�S�s��������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �77�������y!3����"f���э����Ơ�
:���B�ƍ��	:�54.3��!�Alge���brai��Jc��geom��retry�d�enit��rions��k�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �78�������	:54.4��!�F��Vamilie�S�s��o�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �79���?�����iF�55��	:Th��eorem��a�b�`ou��t�
a���t�f�0amilie�s��q,80�������iF56��	:Examp�ٙle�`s��of�Fla���t�F���amilie�s���80�������iF57��	:Hom��ew�or���k��prob�ٙlems��;�82������	:�57.1��!�Exe��rci�)�s�:}e��on�bas�i��Jc�coh���omo�ޔlogy�an��rd�a�b�!ls�[tract�nons�:}ens�e�#{�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �82������	:57.2��!�Ch��rapt��Ee��r��I�S�I�I,�4.8,�4.9,�5.6�V�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �83������!�57.2.1��F�
Exe��rci�)�s�:}e��I�S�I�I.4.8:�8�Coh���omo�ޔlogi��Jcal�Dim��rens�)�ion�4������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �83������!�57.2.2��F�
Exe��rci�)�s�:}e��I�S�I�I.4.9�*�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �85������!�57.2.3��F�
Exe��rci�)�s�:}e��I�S�I�I.5.6:�8�Curv��re�s�on�a�nons�)�in��9gular�quadr�2"i��Jc�surf�ace��?�����:��	C�����:������:������:������:������:������:���� �86������	:57.3��!�IV,��3.6,�3.13,�5.4,�Extra�Prob�ޔlems������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �91������!�57.3.1��F�
Exe��rci�)�s�:}e��IV.3.6:�8�Curv��re�S�s�of�Degree�4������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �91������!�57.3.2��F�
Exe��rci�)�s�:}e��IV.3.12��������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �92������!�57.3.3��F�
Exe��rci�)�s�:}e��IV.5.4�|������:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �94������!�57.3.4��F�
Extra��Prob�ޔlem�3,�b��ry�William�St��Ee�S�in�c�����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �95������!�57.3.5��F�
Extra��Prob�ޔlem�4,�b��ry�Nghi�Nguy�en�`ۍ����:��	C�����:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:������:���� �96���'�I����iF�1����Pref�B�ace��b#���iF�Re�&fad��a���t�y��our�o�wn�r�9�i�0sk!����	:�Th��re�S�s�:}e�Ӌare�m�y��(���@cmti12�very�	Er��ffough,�>�err�or�pr�one�Ӌ�not��Ee�S�s�of�a�s�:}econ��rd�cour�[s�e�on�alge���brai��Jc�geom��retry�����iFoe��re�S�d�D[a���t�U.C.�Be�r��ek��reley�in�t���h�e�Spr�2"in��9g�of�1996.�qTh�e�ins�[tru�ct��9or�w�as�Robin�Hart��esh���or�)�n�e�an�d�t���h�e�����iFs�[t��rud���en��t��es���w�e��re�W��Vayn�e�Whitn�ey��V,�ăWilliam�St��Ee�S�in,�Ma���t��2t�Bak��re��r,�Jano�!ls�Cs�)�ir�2"ik,�Nghi�Nguy��ren,�an�d�����iFAmo�S�d.�2oI��Qwi�)�sh��Vt��9o�t���h��rank�Robin�Hart��esh���or�n��re�for�givin��9g�t���hi�s�cour�[s�:}e�an��rd�t��9o�Nghi�Nguy�en�for�hi�)�s�����iFins�)�igh��rtful�#�sugge�S�s�[t�ions�an�d�correct�ions.���Of�cour�[s�:}e�all�of�t���h�e�e��rror�[s�are�so�ޔlely�m�y�re�S�sp�ons�)�ibilit��ry��V.����	:Th��re��1rem���ar��eks�in�brac�k�et��es�[[lik�e�t���hi�)�s]]�are�not��Ee�S�s�t�h��ra���t�I��/wrot��Ee�t��9o�m�ys�:}elf.�6Th�ey�are�m�e�!lan��t�as�����iFa�y�w��rar�)�nin��9g�or�as�a�remin�d���e��r�of�som�et���hin��9g�I�y�sh���ould�h�a�v�e�c�h�ec�k�e�S�d�bu��9t�did�not�h�a�v�e�t�im�e�for.�����iFY��Vou��m���ay�wi�)�sh�t��9o�view�t���h��rem�as�exe��rci�s�:}e�S�s.����	:If�܏y��rou�h�a�v�e�sugge�S�s�[t�ions,��que�s�[t�ions,��or�܏comm�en��t��es�feel�f�2"ree�t��9o�wr�it��Ee�t��9o�m��re.���My�em���ail�addre�S�s�!ls�����iFi�)�s���)߆�Tcmtt12�[email protected]�.������iF�2����Amp�ʕle�B�In��zsv�e�rt�ib�le�B�Sh�e�5ja�v�e���s��b#���iF�Let�:��k����b�)�e�an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld�an��rd�let��X�,^�b�e�a�s��xc��rh�em�e�:�o�v�e��r��k�g�.�)yLet����Թ:��X��W�!��P����2��n��y��k���	�+�b�)�e�a�����iFmorphi�)�sm.���Th��ren�m�t��9o�giv�e����i�)�s�equiv��X�alen��t�t��9o�givin�g�an�in��rv�e��rt�ib�ޔle�m�sh�e�!laf��L��on��X�_�an�d�s�:}ect�ions�����iF�s�����0����;����:�:�:��ʚ;���s�����n�����2�UR�(�X�Jg;��L�)�Xqwhi��Jc��rh�gen�e��ra���t��Ee��L�.�#If��X�I�i�)�s�pro��ject�iv�e�(t���h�a���t�i�)�s,�u�if�t���h�e��re�i�)�s�som�e�imm�e��r�[s�)�ion�����iFof���X���in��t��9o��some��P����2��m��y��k���Ĺ)�t���h��ren����i�)�s�a�clo�!ls�:}e�S�d�imm�e��r�[s�)�ion�i��s�����0����;����:�:�:��ʚ;���s�����n��	��s�:}epara���t��Ee�p�S�oin��t��es�an�d�t�an��9gen��t�����iFv��rect��9or�[s.��~�����iF�Denit��ion��2.1.���M�	�Let��5�X����b�)�e�a�s��xc��rh�em�e��5an�d��L��an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�on��X��.�%Th�en�w�e�say��L��i�)�s��very�����iFample�꨹if�t���h��re��re�i�)�s�an�imm�e��r�[s�)�ion��i�UR�:��X�F�,���!��P����2��n��y��k���	���su�c�h��t���h�a���t��L�����P���UR���԰���n:�=��������i����2�!�K�cmsy8�����O�UV�(1).�������iF�Th��eorem��2.2.���H"$�L��ffet��o�X�}��b�e�a�close�d�subscheme�of��P����2��n��y��k���	4��and��F����a�c�oher�ent�she�af�on��X���,���then��F�1�(�n�)�����iF�is�35gener��ffate�d�by�glob�al�se�ctions�for�al���l��n�UR���0�.�������iF�Coro�ٙllary��2.3.���K��L��ffet��L�X����b�e�any�scheme�and��L��a�very�ample�c�oher�ent�she�af�on��X���,��then�for�al���l�����iF�n�UR���0�,�35�F�۹
���L����2�
�n��w��is�gener��ffate�d�35by�glob��ffal�se�ctions.������y!�4����:����э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Denit��ion��2.4.���M�	�Let�)��X�^�b�)�e�a�No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e�an�d��L��b�)�e�an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf.��yW��Ve�say�t���h�a���t������iF�L��߹i�)�s��ample��if�for�ev��re��ry�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��F���on��X��,���t���h�e��re�i�)�s��n�����0����su�c�h�t���h�a���t�for�all��n�UR���n�����0����,����F���
�c�L����2�
�n������iF�i�)�s��gen��re��ra���t��Ee�S�d�b�y�it��es�global�s�:}ect�ions.�����	:Th���us��t�h��re�previous�coro�ޔllary�says�t�h��ra���t�a�v�e��ry�amp�ޔle�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�i�)�s�amp�ޔle.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��2.5.���W�O�L��ffet�35�X�$��and��L��b�e�as�ab�ove.�fiThen�the�fol���lowing�ar�e�e�quivalent.�����	:1)�35�L��is�ample,����	:2)�35�L����2�n��	ۅ�is�ample�for�al���l��n�UR>��0�,����	:3)�35�L����2�n��	ۅ�is�ample�for�some��n�UR>��0�.��������iF�Th��eorem��2.6.���H"$�L��ffet�Ғ�X���b�e�of�nite�typ�e�over�a�No�etherian�ring��A��and�supp�ose��L��is�an�in-�����iFvertible�P*she��ffaf�on��A�.��GThen��L��is�ample�i�ther�e�exists��n��such�that��L����2�n��
�z�is�very�ample�over������iF�Sp�)�ec����A�.�������iFExample�352.7.���=A�Let�n��X�'ƹ=�6C�P����2�1����,����L��=��O�UV�(�`�),�som��re�n��`��2��Z�.��VIf��`�<��0�t���h��ren�(�L�)�=�0.��VIf��`��=�0�t���h��ren�����iF�L�h$�=��O�����X�����whi��Jc��rh��i�)�s�not�amp�ޔle�s�ince��O�����X����(��1)����2�n�����
��O�����X������P���������԰������=�����C(�O�����X���(��1)����2�n��
4m�i�s��not�gen��re��ra���t��Ee�S�d�b�y�global�����iFs�:}ect��rions��?for�an�y��n�.�#�Not��Ee�t���h�a���t��O�����X���ȹit��es�:}elf�i�)�s�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�global�s�:}ect�ions.�#�Fin���ally��V,��%if��el�C�l��T>�kŹ0�����iFt���h��ren���L�UR�=��O�����X����(�`�)�i�)�s�v��re��ry�amp�ޔle�h�ence�amp�ޔle.��������iF�Example�352.8.���=A�Let�Q��C��;�����P����2�2��
Ϲb�)�e�a�nons�in��9gular�cu���bi��Jc�curv��re�an�d��L��an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�on��C�����iF�d���en��re�S�d��wb�y��L����=��L�(�D�S��),�۪wh��re��re��D���=�������#��u
cmex10�P��H+�n�����i��d��P�����i��Q�i�)�s�a�divi�sor�on��C�ܞ�.�{LIf��d���eg��C�D��<����0�t���h��ren��L��h�as�no�����iFglobal��s�:}ect��rions�so�it�can't�b�)�e�amp�ޔle.��(V����iF�3����In��mtro���d��zsu�ct�ion�B�t��9o�Coh��|omo�ʕlogy��b#���iF�W��Ve�
�r�[s�t�ask,��wh��ra���t�i�)�s�coh���omo�ޔlogy�an�d�wh�e��re�do�)�e�S�s�it�ar�2"i�s�:}e�in�n���a���t��rure?���Coh�omo�ޔlogy�o�S�ccur�[s�in�����iFcomm���u��9t��ra���t�iv�e��^alge���bra,��for�examp�ޔle�in�t�h��re��Ext��b�an�d��T��Vor���>fu��9nct�or�[s,��it��^o�S�ccur�s�in�group�t���h��reory��V,�����iFt��9o��rp�S�o�ޔlogy��V,�K�die��ren��t�ial�$8geom�etry�,�K�an�d�$8of�cour�[s�:}e�in�alge���brai��Jc�geom��retry�.���Th�e��re�$8are�s�:}ev��re�ral�
a��rv�or�[s�����iFof��jcoh���omo�ޔlogy�whi��Jc��rh�are�s�[t�udie�S�d�b�y�alge���brai��Jc�geom�et��Ee��r�[s.�"vSe�rre's��jcoh�e�ren��t��jsh�e�!laf�coh���omo�ޔlogy�����iFh��ras��Nt���h�e�adv��X�an��t�age�of�b�)�e�S�in��9g�e�!lasy�t�o�d���en��re,���bu�t�h��ras�t���h�e�pro�p�)�e��rt�y�t���h�a���t�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�group�!ls�����iFare�m�v��rect��9or�space�S�s.���Grot���h�en�diec�k�in��tro�S�d�u�ce�d����s�et�ale�m�coh���omo�ޔlogy�an�d��`�-adi��Jc�coh���omo�ޔlogy��V.���See,�����iFfor�k�examp�ޔle,��#Miln��re's��(���x���Etale���Cohomolo��ffgy��an�d�SGA�k�4�����Fu��33�1��33����z�@���2������j�,��#5�an�d�6.��Thi�)�s�coh���omo�ޔlogy�t���h�eory�aro�!ls�:}e�����iFf�2"rom�~t���h��re�s�[t�udy�of�t���h�e�W��Ve�S�il�Conject�ure�S�s�(1949)�whi��Jc�h�d���e�!lal�wit���h�a�d�eep�rela���t��rionship�b�)�et�w�een�����iFt���h��re�dfn�u��9m��ekb�)�e��r�of�p�S�oin��t��es�on�a�v��X�ar�2"iet��ry�o�v�e��r�a�nit��Ee�eld�an�d�t���h�e�geom�etry�of�t���h�e�comp�ޔlex�an���alyt�i��Jc�����iFv��X�ar�2"iet��ry���cu��9t�ou�t�b��ry�t���h�e�sam�e�equa���t�ions�in�comp�ޔlex�pro��ject�iv�e�space.�x+Delign�e�w�as�n���ally�a�b�ޔle�����iFt��9o��re�S�so�ޔlv��re�t���h�e�S�s�:}e�conject�ure�S�s�in�t���h�e�arm���a���t�iv�e�in�1974.����	:Wh��ra���t��pi�)�s�coh���omo�ޔlogy�go�S�o�d��pfor?�-�Coh�omo�ޔlogy�allo��rws�on�e�t��9o�get�n���u�m��re��r�2"i��Jcal�in�v��X�ar�2"ian��t��es�of�an�����iFalge���brai��Jc��=v��X�ar�2"iet��ry��V.�ϼF�or�examp�ޔle,��Rif��X����i�)�s�a�pro��ject��riv�e�s��xc�h�em�e�d���en�e�S�d�o�v�e��r�an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�����iFeld�Mh�k����t���h��ren��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�i�)�s�a�nit��Ee�dim�ens�)�ion���al��k�g�-v�ect��9or�space.�a!Th���us�t�h��re��h�����i��bB�=���hdim���������k���@�H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�����iFare��Oa�s�:}et�of�n���u��9m��ekb�)�e��r�[s�as�!lso�S�cia���t��Ee�d��Ot�o��X��.�+m\Nu�m��ekb�)�e��r�[s�are�us�:}eful�in�all�branc��rh�e�S�s��Oof�m���a���t���h��rem�a�t��ri��Jcs."�������iF�Example�353.1.���=A�Ar�2"it���hm��ret�i��Jc��pGen�us�Let��X���b�)�e�a�nons�in��9gular�pro��ject��riv�e��pcurv�e.��xTh�en��dim��1��H���V���2�1���Z�(�X�Jg;����O�����X����)�����iFi�)�s�F�t���h��re�ar�2"it�hm��ret�i��Jc�F�gen�us�of��X��.�	MNIf��X��j�����P����2�n��
��i�)�s�a�pro��ject��riv�e�F�v��X�ar�2"iet�y�of�dim�ens�)�ion��r��[�t���h�en,���if�����iF�p�����a��Y!�=��URdim����H���V���2�1���Z�(�X�Jg;����O�����X����),���t���h��ren��(1�Q�+�(��1)����2�r���b�p�����a���=��(t���h��re�cons�[t�an��t�t��Ee��rm�of�t���h�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�of��X��.�������iF�Example�353.2.���=A�Let���X��+�b�)�e�a�nons�in��9gular�pro��ject��riv�e��surf�ace,�t���h��ren���������>1���+��p�����a��Y!�=�UR�h�����0����(�O�����X����)����h�����1���(�O�����X����)�+��h�����2���(�O�����x��H�)��������iFan��rd��1���+�(��1)����2�r���b�p�����a��Y!�=�UR��(�O�����X����),�t���h��re�Eule��r�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�of��X��.������y!5����U���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Example�353.3.���=A�Let�I��X�;�b�)�e�an�alge���brai��Jc�v��X�ar�2"iet��ry�an�d��Pi��Jc�����X�;�t���h�e�group�of�Cart�ie��r�divi�)�sor�[s�mo�S�d�ular������iFlin��re�!lar��'equiv��X�alence�(whi��Jc�h�i�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o�t���h��re�group�of�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!la�v�e�S�s�u��9n�d���e��r�t��Eensor�pro�S�d�u�ct�����iFmo�S�d��rulo��i�)�somorphi�sm).�8�Th�en���Pi��Jc��T��X�����P���F�����԰���_��=������~�H���V���2�1���Z�(�X�Jg;����O����2��UV���b���X�����).��������iF�Example�353.4��*�:Acmbxti12�(Deformation�ߔThe��O\ory)�.���Ů�Let���X�����0��	r�b�)�e�a�nons�in��9gular�pro��ject��riv�e��v��X�ar�2"iet�y��V.��Th�en�����iFt���h��re��,r�[s�t�ord���e��r�innit��Ee�S�s�)�im���al�d�eform���a���t��rions�are�clas�!ls�)�ie�S�d�b�y��H���V���2�1���Z�(�X�����0����;���T�����X��q��Aa�cmr6�0����^�)�wh�e��re��T�����X��q�0���j��i�)�s�t���h�e�����iFt��ran��9gen��t��bu�n�dle��of��X�����0����.�8�Th�e�ob�!ls�[tru�ct�ions�are�clas�!ls�)�ie�S�d�b�y��H���V���2�2���Z�(�X�����0����;���T�����X��q�0����^�).����	:On��re�.�can�d���en�e�Coh�en-Maca��2ulay�r�2"in��9gs�in�t��Ee��rms�of�coh���omo�ޔlogy��V.�	gLet�(�A;������%n�
eufm10�m��3y�)�b�)�e�a�lo�S�cal�����iFNo�)�et���h��re��r�2"ian��r�in��9g�of�dim��rens�)�ion��n�,�+let��X��3�=��	�Sp�ec���e�A�,�+an��rd�let��P��v�=��	��m��F��2�	��X��,�t���h��ren�w�e�h�a�v�e�t���h�e�����iFfo�ޔllo��rwin��9g.��������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��3.5.���W�O�L��ffet�35�A��b�e�as�ab�ove.�fiThen��A��is�Cohen-Mac�aulay�i����	:1)�35�H���V���2�0���Z�(�X��+�����P�S�;����O�����X�����P��K͹)�UR=��A��and����	:2)�35�H���V���2�i��R0�(�X��+�����P�S�;����O�����X�����P��K͹)�UR=�0��for��0��<�i�<�n������1�.����	:�A���go�S�o�d���p�ޔlace�t��9o�get�t���h��re�n�ece�S�s�!lsary�bac�kgrou��9n�d�for�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�w�e�will�s�[t�udy�i�)�s�in�����iFA��X�p��rp�)�en�di��Jce�S�s��3�an��rd�4�f�2"rom�Ei�s�:}en��ekbud's��Commutative�35A��2lgebr��ffa�.��(V����iF�4����Coh��|omo�ʕlogy�B�in�Alge���brai��Jc�Geom��zsetry��b#���iF�F��Vor��an��ry�s��xc�h�em�e��X�ʆ�an�d�an�y�sh�e�!laf��F�
�of��O�����X����-mo�S�d�ule�s��w�e�w�an��t�t��9o�d���en�e�t���h�e�group�!ls��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�).�����iFW��Ve���can�e�S�it���h��re��r��dene��coh���omo�ޔlogy�b�y�li�)�s�[t�in��9g�it��es�pro�p�)�e��rt�ie�S�s,�7�t���h�en�la���t��Ee��r�pro�v�e�t���h�a���t�w�e�can�����iFcons�[tru��rct��t���h�e��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�or�w�e�can�skip�t���h�e�d���enit�ion�an�d�jus�[t�cons�tru��rct�t���h�e��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�).���Th�e�����iFr�[s�t��m��ret���h���o�S�d�i�)�s�more�e�s�[t���h��ret�i��Jcally��p�ޔle�!las�)�in��9g,�bu�t�w��re�will�c�h���o�S�o�!ls�:}e�t���h�e�s�:}econ�d.����	:W��Ve�f�r�[s�t�forget�t���h��re�s��xc�h�em�e�s�[tru�ct�ure�of��X�X�an�d�regard��X�X�as�a�t��9o�p�S�o�ޔlogi��Jcal�space�an�d��F����as�a�����iFsh��re�!laf��of�a�b�)�elian�group�!ls�(b�y�ignor�2"in��9g�t���h�e�r�2"in��9g�m���ul�t��rip�ޔli��Jca���t�ion).�D�Let�����A��@b����b�(�X��)��b�)�e�t���h��re�ca�t��Eegory�of�����iFsh��re�!la�v�e�S�s�Bof�a��rb�)�elian�group�s�on��X��.�y�Let��z=�(�X�Jg;�����)�Bb�)�e�t���h��re�global�s�:}ect�ion�fu��9nct�or�Bf�2"rom����A��@b����	�(�X��)�����iFin��t��9o�����A��@b����o�,��wh��re��re����A��@b�����i�)�s�t���h�e�ca���t��Eegory�of�a�b�)�elian�group�!ls.�8�Recall�t���h�a���t��i�)�s�left�exact�so�if�����������0�UR�!�F��1����0��T��!�F��c!�F���1����0���J���0���	���!��0��������iFi�)�s��an�exact�s�:}equence�in����A��@b����o�(�X��)�t���h��ren�t�h��re�fo�ޔllo�win��9g�s�:}equence�i�)�s�exact���������0�UR�!��(�F��1����0���J�)��!��(�F�1�)��!��(�F�������0���J���0���M��)��������iFin�����A��@b����o�.�������iF�Denit��ion��4.1.���M�	�W��Ve�
d���en��re�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�group�!ls��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�t��9o�b�)�e�t���h�e�r�2"igh�t�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s������iFof��.��(V����iF�5����Review�B�of�De�r�P!iv��zse���d�F��o[u��9nct�or�
[s��b#���iF�Th��re��s�)�it�ua���t�ion�will�oft��Een�b�)�e�as�fo�ޔllo�ws.�8�Let��A��an�d��B�H�b�)�e�a�b�)�elian�ca���t��Eegor�2"ie�S�s�an�d���n���Wr�A����2�����F���p���UR�����!����OOB�����iF�a�6�fu��9nct�or.��De��r�2"iv��re�S�d�fu�nct�or�[s�are�t���h��re�m�e�!lasure�of�t���h�e�non-exactn�e�S�s�!ls�of�a�fu��9nct�or.��Let��X�(�b�)�e�a�����iFt��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal��`space,���;�A��@b����(�X��)�t���h�e�ca���t��Eegory�of�sh�e�!la�v�e�S�s�of�a�b�)�elian�group�!ls�on��X���an�d����A��@b������t���h�e�ca���t��Eegory�����iFof���a��rb�)�elian�group�!ls.���Th�en�(�X�Jg;�����)��O:����A��@b�����(�X��)��!����A��@b���[ƹi�)�s���a�left�exact�fu��9nct�or.���Our���coh���omo�ޔlogy�����iFt���h��reory��will�t�ur�)�n�ou��9t�t�o�b�)�e�t���h��re�r�2"igh�t�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�ion�of�(�X�Jg;�����).������y!6����mI���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�+��Kffffcmbx14�5.1����Examp���le�qs�L�of�A���b�8�elian�Ca��>t��Gegor�C�ie�s��@���iF�Al��9t���h���ough���w��re�will�not�d���en�e�an�a�b�)�elian�ca���t��Eegory�w�e�will�giv�e�s�:}ev�e��ral�examp�ޔle�S�s�an�d�not��Ee�t���h�a���t������iFan��a��rb�)�elian�ca���t��Eegory�i�s�a�ca���t��Eegory�whi��Jc��rh�h�as�t���h�e�sam�e�bas�)�i��Jc�pro�p�)�e��rt�ie�S�s�as�t���h�e�S�s�:}e�examp�ޔle�s.��h�����iF�Example�355.1��(�A�-Mo��O\dules)�.������Let����A��b�)�e�a�xe�S�d�comm���u��9t��ra���t�iv�e���r�2"in�g�an��rd�cons�)�id���e��r�t���h�e�ca���t��Eegory�������iF�Mo�`d���׀�(�A�)��of��A�-mo�S�d��rule�s.�8�Th�en��if��M���;���N�+��are�an�y�t�w�o�mo�S�d�ule�s��on�e�h�as����	:1)���Hom��d1(�M���;���N�@�)��i�)�s�an�a��rb�elian�group,����	:2)���Hom��d1(�M���;���N�@�)�������Hom��$1(�N�;���L�)�UR�!���Hom����(�M�;���L�)��i�)�s�a�h���omomorphi�sm�of�a��rb�elian�group�!ls.����	:3)��t���h��re��re�are�k�e��r�)�n�els,�cok�e��r�)�n�els,�et�c.������	:�Mo�`d���!wt�(�A�)��i�)�s�an�a��rb�elian�ca���t��Eegory��V.�������iF�Example�355.2.���=A�Let�o��A��b�)�e�a�No�et���h��re��r�2"ian�r�in��9g�an��rd�let�our�ca���t��Eegory�b�)�e�t���h�e�co�ޔllect�ion�of�all�nit��Eely�����iFgen��re��ra���t��Ee�S�d��T�A�-mo�d�ule�s.�V�Th�en��Tt���hi�)�s�ca���t��Eegory�i�s�a��rb�elian.�V�Not��Ee�t���h��ra���t�if�t�h��re�con�dit�ion�t���h�a���t��A��b�)�e�����iFNo�)�et���h��re��r�2"ian��-i�s�relaxe�S�d�w��re�m���ay�no�lon��9ge��r�h�a�v�e�an�a�b�)�elian�ca���t��Eegory�b�eca��2us�:}e�t���h��re�k�e��r�)�n�el�of�a�����iFmorphi�)�sm�i�of�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d�mo�d��rule�s�o��rv�e��r�i�an�arbitrary�r�2"in��9g�n��ree�d�not�b�)�e�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d�����iF(for�#~examp�ޔle,�1�t��rak�e�t���h�e�m���ap�f�2"rom�a�r�in��9g�t�o�it��es�quot��rien��t�b�y�an�id���e�!lal�whi��Jc�h�cannot�b�)�e�nit��Eely�����iFgen��re��ra���t��Ee�S�d).�������iF�Example�355.3.���=A�Let��7�X�캹b�)�e�a�t��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal�space,��Zt���h�en����A��@b������(�X��)�i�)�s�an�a�b�)�elian�ca���t��Eegory��V.�j�If�(�X�Jg;����O�����X����)�����iFi�)�s���a�r�2"in��9ge�S�d�space�t���h��ren�t�h��re�ca���t��Eegory����Mo�`d���޹(�O�����X����)�i�)�s�a�b�)�elian.�"�If��X��'�i�s�a�s��xc��rh�em�e���t���h�en�t���h�e�ca���t��Eegory�����iFof�_quas�)�i-coh��re��ren��t��O�����X����-mo�S�d�ule�s�_i�)�s�a�b�)�elian,��an�d�if��X���i�)�s�also�No�et���h��re��r�2"ian�t�h��ren�t�h��re�su�b-ca���t��Eegory�����iFof��coh��re��ren��t��O�����X����-mo�S�d�ule�s��i�)�s�a�b�)�elian.�������iF�Example�355.4.���=A�Th��re���ca���t��Eegory�of�a�b�)�elian�v��X�ar�2"iet�ie�S�s�i�)�s��not��an�a�b�)�elian�ca���t��Eegory�s�ince�t���h��re�k�e��r�)�n�el�of�����iFa�nmorphi�)�sm�of�a��rb�elian�v��X�ar�2"iet��rie�S�s�migh�t�b�)�e�re�S�d�u�cib�ޔle�(for�examp�le�an�i�)�sogen��ry�of�d���egree��n��of�����iFellipt��ri��Jc��curv�e�S�s�h�as�k�e��r�)�n�el��n��p�S�oin��t��es�whi��Jc�h�i�)�s�re�S�d�u�cib�ޔle).���It�m���ay�b�)�e�t���h�e�cas�:}e�t���h�a���t�t���h�e�ca���t��Eegory�����iFof��a��rb�)�elian�group�s��xc�h�em�e�S�s�i�)�s�a�b�)�elian�bu��9t�I�don't�kno�w�a���t�t���h�e�mom�en��t.�������iF�Example�355.5.���=A�Th��re�֮ca���t��Eegory�of�compact�Ha��2usdor�a�b�)�elian�t��9o�p�S�o�ޔlogi��Jcal�group�!ls�i�)�s�an�a�b�)�elian�����iFca���t��Eegory��V.��"[email protected]����iF�5.2����Exactn���e�qs�-9s��@�����iF�Denit��ion��5.6.���M�	�A��fu��9nct�or��F���:�UR�A�!�B�H�i�)�s��additive��if�for�all��X�Jg;���Y����2�A�,�t���h��re�m���ap���Ӎ��_�F���:��URHom����۟���A��#��(�X�Jg;���Y��p�)�UR�!���Hom����۟���B��"Ź(�F���X�;���F�Y��p�)�����iFi�)�s��a�h���omomorphi�sm�of�a��rb�elian�group�!ls.��P#�����iF�Denit��ion��5.7.���M�	�A��s�:}equence��aX���53�A�����h����f��J����UR�����!������B�����h��{�g��J�����X���E�!������C������iF�i�)�s���exact��if��Im���q(�f�G��)�UR=��k��re��r��y(�g�n9�).�������iF�Denit��ion��5.8.���M�	�Let���F���:�UR�A�!�B�H�b�)�e�a�fu��9nct�or�an��rd���Ӎ��P#0�UR�!��M��@����0��do�!��M��6�!��M���@����0�������0���	���!��0�����iFb�)�e��an�exact�s�:}equence�an��rd�cons�id���e��r�t���h��re�s�:}equence�������0�UR�!��F���M��@����0��do�!��F�M��6�!��F�M���@����0�������0���	���!��0�:�����iF�If��t���h��re�s�:}econ�d�s�:}equence�i�)�s�exact�in�t���h�e�middle,���t���h�en��F�&͹i�)�s�a�calle�S�d��half��exact�functor�.��If��t���h�e������iFs�:}econ��rd��
s�equence�i�)�s�exact�on�t���h��re�left�an�d�t���h�e�middle�t���h�en��F��йi�)�s�calle�S�d�a��left�0exact�functor�.�����iFIf�E�t���h��re�s�:}econ�d�s�:}equence�i�)�s�exact�on�t���h�e�r�2"igh�t�an�d�in�t���h�e�middle�t���h�en�w�e�call��F��T�a��right���exact�����iFfunctor�.������y!7�����=���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Example�355.9.���=A�Let�Ѧ�A��b�)�e�a�comm���u��9t��ra���t�iv�e�Ѧr�2"in�g�an��rd��N���an��A�-mo�S�d�ule.���Th�en��N����
�G���i�)�s�a�r�2"igh�t������iFexact�Hfu��9nct�or�on�t���h��re�ca���t��Eegory�of��A�-mo�S�d�ule�s.���T��Vo�Hs�:}ee�t���h��ra���t��N�	��
��
��i�)�s�not�exact,�"osup�p�S�o�!ls�:}e��A;�����m������iF�i�)�s��a�lo�S�cal�r�2"in��9g�an��rd��N��6�=�UR�k��o�=��A=��m��	3{�.�8�Th�en��t���h�e�s�:}equence���΍����0�UR�!���m����!��A��!��k��o�!��0�����iFi�)�s��exact,�bu��9t������+�0�UR�!��k���
�����m��3u�!��k��
����A��!��k��
����k��o�!��0���덑�iFi�)�s��r�2"igh��rt�exact�bu��9t�not�exact.��Y덍���iF�Example�355.10.���CD�Th��re��fu��9nct�or��T��Vor����*����1���.�(�N���;�����)�i�)�s�n��re�S�it���h�e��r�left�nor�r�2"igh�t�exact.�������iF�Example�355.11.���CD�Th��re��con��tra�v��X�ar�2"ien�t��h���om�fu��9nct�or,���Hom��d1(��;���N�@�)��i�)�s�left�exact.����	:Oft��Een��t���h��re�fo�ޔllo�win��9g�i�)�s�us�:}eful�in�w�or��ek.��3Ս����iF�Th��eorem��5.12.���N�$�If������t�0�UR�!��M��@����0��do�!��M��6�!��M���@����0�������0�����덑�iF�is�35exact�and��F����is�left�exact,�then���΍����0�UR�!��F���M��@����0��do�!��F�M��6�!��F�M���@����0�������0�������iF�is�35exact.��"e`����iF�5.3����Inject���iv�e�L�an�d�Pro��!ject�iv�e�Ob��!ject��s��@���iF�Let���A��b�)�e�an�a��rb�elian�ca���t��Eegory��V.�8�Th��ren��Hom���d1����A��#B�(�P�S�;�����)�UR:��A�!����A��@b���1��i�s��left�exact.��3Ս����iF�Denit��ion��5.13.���T�	�An����A��mo�S�d��rule��P��k�i�)�s�said�t��9o�b�e��pr��ffoje�ctive����if�t���h��re�fu��9nct�or����Hom���w.����A��"U�(�P�S�;�����)���i�s�exact.�����iFAn���A��mo�S�d��rule��I��+�i�)�s�said�t��9o�b�e��inje��ffctive��if�t���h��re�fu��9nct�or���Hom���d1����A��#B�(��;���I��)��i�s�exact.�������iF�Denit��ion��5.14.���T�	�W��Ve�]xsay�t���h��ra���t�an�a�b�)�elian�ca���t��Eegory��A��h�as��enough���pr��ffoje�ctives�]x�if�ev�e��ry��X�N��in�����iF�A�i�i�)�s�t���h��re�surject�iv�e�im���age�of�a�pro��ject�iv�e��P���in��A�.�
�A�i�ca���t��Eegory�i�)�s�said�t��9o�h�a�v�e��enough���inje��ffctives�����iF�if��ev��re��ry��X��+�in��A��inject��es�in��t��9o�an�inject�iv�e�ob��ject�iv�e�of��A�.�������iF�Example�355.15.���CD�Let���A��b�)�e�a�comm���u��9t��ra���t�iv�e��r�2"in�g,���t���h�en�����Mo�`d����K�(�A�)��h�as�enough�inject�iv�e�S�s�b�)�eca��2us�:}e�����iFev��re��ry���mo�S�d�ule�i�)�s�t���h�e�quot�ien��t�of�a�f�2"ree�mo�S�d�ule�an�d�ev�e��ry�f�2"ree�mo�S�d�ule�i�)�s�pro��ject�iv�e.�4CIf��X��S�i�)�s�a�����iFt��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal�%space�t���h�en����A��@b�����(�X��)�h�as�enough�inject�iv�e�S�s.��XIf��X����i�)�s�a�No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e,�
�t���h�en�t���h�e�����iFca���t��Eegory��yof�quas�)�i-coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s�h�as�enough�inject�iv�e�S�s�(h�ard�t���h�eorem).��TTh�e�ca���t��Eegory�of�����iF�O�����X����-mo�S�d��rule�s�/�h�as�enough�inject�iv�e�S�s�bu��9t�t���h�e�ca���t��Eegory�of�coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s�on��X�!v�do�)�e�sn't�h��ra�v�e�����iFenough��inject��riv�e�S�s�or�pro��ject�iv�e�S�s.��'�����iF�6����De�r�P!iv��zse���d�B�F��o[u��9nct�or�
[s�an��zsd�Homo�ʕlogi��Jcal�Alge���bra��b#���iF�Let��R�F���:�Y,�A�!�B�࿹b�)�e�an�addit��riv�e�co�v��X�ar�2"ian��t�left-exact�fu��9nct�or�b�)�et��rw�een�a�b�)�elian�ca���t��Eegor�2"ie�S�s,��|for�����iFexamp�ޔle���F�)�=��=�:����A��@b���y�(�X��)��!����A��@b����.���As�!lsu��9m��re���A��h�as�enough�inject�iv�e�S�s,�Qi.e.,�for��all��X���in��A��t���h�e��re�����iFi�)�s�ńan�inject��riv�e�ńob��ject��I���in��A��su��rc�h�ńt���h�a���t�0�UR�!��X�F�,���!��I��.�,W��Ve�cons�[tru��rct�t���h�e�r�2"igh�t�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s�����iFof���F��ƹ.�8�If�����P#0�UR�!��M��@����0��do�!��M��6�!��M���@����0�������0���	���!��0���덑�iFi�)�s��exact�in��A��t���h��ren���΍�9�~0�UR�!��F��ƹ(�M��@����0���)��!��F��(�M�@�)��!��F��(�M���@����0�������0���]V�)��!��R��J����1���N�F��(�M��@����1���)��!��R��J����1���N�F��(�M�@�)��!������������iF�i�)�s��exact�in��B�H�wh��re��re��R��J���2�i��~$�F��n�i�s�t���h��re�r�2"igh�t�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or��of��F��ƹ.������y!8����	�&���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�6.1����Cons�Otru���ct�ion�L�of����g�ffcmmi12�R��X���=�
�b>

cmmi10�i��L�F��@���iF�T��Vak��re��an�y��M�+��in��A�,�t���h�en�s�)�ince��A��h�as�enough�inject�iv�e�S�s�w�e�can�cons�[tru�ct�an�exact�s�:}equence���I���.�0�UR�!��M��6�!��I������0��	��!��I������1���!��I������2���!������������iF�wh��re��re��Ye�!lac�h��I�����2�i��	K��i�)�s�an�inject�iv�e�ob��ject.�X�(Thi�)�s�i�sn't�t��9ot��rally�ob�vious,�8bu��9t�i�)�s�a�s�[traigh�tforw�ard������iFargu��9m��ren��t�?�b�y�pu��9t��2t�in�g�?�t�oget���h�e��r�?�sh���ort�exact�s�:}equence�S�s�an��rd�comp�o�!ls�)�in��9g�m���ap�s.)�8�Th��re�r�2"igh�t�part�����iFof���t���h��re�a�b�S�o�v�e�s�:}equence��I�����2�0��	 ��!�o^�I�����2�1���!��������iP�i�)�s���calle�S�d�an��inje��ffctive�AFr�esolution����of��M�@�.�f�A��X�p��rp�ޔlyin��9g��F����w�e�����iFget��a�comp�ޔlex������F��ƹ(�I������0�����)����'0����d��q�0����Ѝ��UR�����!����JO�F��(�I������1���)����'0����d��q�1����Ѝ��UR�����!����JO�F��(�I������2���)����'0����d��q�2����Ѝ��UR�����!�����JO������������iF�in�~c�B��йwhi��Jc��rh�m���ay�not�b�)�e�exact.��Th�e�ob��ject��es��H���V���2�i�����=��P�k�e��r���(�d�����2����)�=�����Im���(�d�����1���)�~cm�e�!lasure�t���h�e�d���evia���t�ion�of�����iFt���hi�)�s��s�:}equence�f�2"rom�b�e�S�in��9g�exact.�8��H���V���2�i��<عi�s�calle�S�d�t���h��re��i�t�h��c��ffohomolo�gy�꨹ob��ject�of�t�h��re�comp�ޔlex.��������iF�Denit��ion��6.1.���M�	�F��Vor���e�!lac��rh�ob��ject�in��A��x�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion.�
T�Th�e��i�t���h��right���derive��ffd�����iFfunctor��|�of��F�WB�i�)�s�t���h��re�fu��9nct�or��|whi��Jc�h�as�!ls�)�igns�t��9o�an�ob��ject��M��`�t���h�e��i�t���h�coh���omo�ޔlogy�of�t�h��re�comp�ޔlex�����iF�F��ƹ(�I�����2������)��wh��re��re��I�����2������i�)�s�t���h�e�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��M�@�.��"������iF�6.2����Pro���p�8�e��rt�ie�qs�L�of�De�r�C�iv���e�qd�F����u��wnct�or�Os�����iF�W��Ve��sh���ould�no��rw�pro�v�e�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g:��������Ů1.�����2If�+[w��re�x�die��ren��t�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ions�for�all�of�our�ob��ject��es�t���h�en�t���h�e�corre�S�sp�on�din��9g�����2d���e��r�2"iv��re�S�d��fu��9nct�or�[s�are,�in�a�suit��ra�b�ޔle�s�:}ens�e,�i�)�somorphi��Jc.��<^�����Ů2.�����2Th��re�e^�R��J���2�i��~$�F�$�can�also�b�)�e�d���en�e�S�d�on�morphi�)�sms�in�su�c�h�a�w�ay�t���h�a���t�t���h�ey�are�re�!lally�fu��9nct�or�[s.�������Ů3.�����2If�'Y0����!��M��@���2�0��˼�!��M����!��M���@���2�0�������20���
���i�)�s�a�sh���ort�exact�s�:}equence�t���h��ren�t�h��re��re�i�)�s�a�lon��9g�exact�s�:}equence������2of��coh���omo�ޔlogy:���I�������0�UR�!��F���M��@����0��do�!��F�M��6�!��F�M���@����0�������0���	���!���������������R��J����1���N�F���M��@����0��do�!�UR�R��J����1���F�M��6�!�UR�R��J����1���F�M���@����0�������0���	���!�����������%Z�R��J����2���N�F���M��@����0��do�!��UR������UL�:�����qx�����Ů�4.�����2If�8�w��re�h�a�v�e�t�w�o�sh���ort�exact�s�:}equence�S�s�t���h�en�t���h�e�in�d�u�ce�S�d�m���ap�!ls�on�lon��9g�exact�s�:}equence�s�����2are��\��s2�-compa���t��rib�ޔle".��<^�����Ů5.�����2�R��J���2�0���N�F�����P��������԰����=��������F��ƹ.�������Ů6.�����2If���I��+�i�)�s�inject��riv�e,��t���h�en�for�an�y��i�UR>��0�on��re�h�as�t���h�a���t��R��J���2�i��~$�F��ƹ(�I��)�UR=�0.��������iF�Th��eorem��6.2.���H"$�The�35�R��J���2�i��~$�F����and�etc.�fiar��ffe�uniquely�determine�d�by�pr�op�erties�1-6�ab�ove.�������iF�Denit��ion��6.3.���M�	�A�?��s2�-functor�F�i�)�s�a�co�ޔllect��rion�of�fu��9nct�or�[s�F�f�R��J���2�i��~$�F����g��whi��Jc�h�sa���t�i�)�sfy�3�an�d�4�a�b�S�o�v�e.�����iFAn��n�augmente��ffd����s2�-functor��i�)�s�a����-functor��alon��9g�wit���h�a�n���a���t��rural�transform�a���t��rion��F�;��!��
�R��J���2�0���N�F��ƹ.�u2A�����iF�universal�U:augmente��ffd���s2�-functor��(�i�)�s�an��augmente�d�U:��s2�-functor��wit���h�som��re�u��9niv�e��r�[sal�pro�p�)�e��rt�y�whi��Jc�h�����iFI��didn't�quit��Ee�ca���t��rc�h.�������iF�Th��eorem��6.4.���H"$�If�e'�A��has�enough�inje��ffctives�then�the�c�ol���le�ction�of�derive�d�functors�of��F���is�a�����iFuniversal�35augmente��ffd���s2�-functor.����	:�T��Vo�¯cons�[tru��rct�t���h�e��R��J���2�i��~$�F�du�c�h���o�S�o�!ls�:}e�once�an�d�for�all,�8�for�e�!lac�h�ob��ject��M���in��A��an�inject�iv�e�����iFre�S�so�ޔlu��9t��rion,��t���h�en�pro�v�e�t���h�e�a�b�S�o�v�e�pro�p�)�e��rt�ie�S�s�h���o�ޔld.������y!9����
�Y���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�7����Lon��9g���Exact�Sequence�of�Coh��|omo�ʕlogy�an��zsd�Ot��7�h�e�r�W��o[on-������d���e�r�
[s��b#���iF�\T��Vo�S�d��9ay��I��Zsa���t�in�aw��re�as�Hart��esh���or�)�n�e�eort���le�S�s�!ls�drew�h�u��9n��rdre�S�ds�of�arro�ws�an�d�ob��ject��es�ev�e��rywh�e�re,������iFc��rh�as�:}e�S�d���som�e�elem�en��t��es�an�d�pro�v�e�S�d�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s�a�lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�in�30�����iFs�:}econ��rds.���Th�en��h�e�whip�p�)�e�S�d�ou��9t�hi�s�co�ޔlore�S�d�c��rh�alk�an�d�t���hin��9gs�re�!lally�got�crazy��V.���V�o��jt��ra�tr�2"ie�S�d�t��9o�����iFe��ras�:}e�],Hart��esh���or�)�n��re's�diagrams�d�ur�2"in��9g�t���h�e�n�ext�clas�!ls�bu��9t�only�part�ially�su�ccee�S�d���e�d�],jokin��9g�t���h�a���t�����iFt���h��re���fu��9nct�or�w��ras�not�`eace�!la�b�ޔle'.��C(Th�e�diagrams�are�s�[t�ill�not�quit��Ee�gon�e�4�d��9ays�la���t��Ee��r!)��CNee�S�dle�s�!ls�����iFt��9o�xhsay��V,��AI�xJdon't�feel�lik��re�t��Eexin�g�diagrams�an��rd�elem�en��t�c�h�as�:}e�S�s...��it's�all�tr�2"ivial�an�yw�ays,��Ar�2"igh�t?"��'=I����iF�8����Bas�B�i��Jc�B�Pro��zsp�e�rt�ie���s�B�of�Coh��|omo�ʕlogy�����iF�Let���X��+�b�)�e�a�t��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal�space,����A��@b����o�(�X��)�t���h�e�ca���t��Eegory�of�sh�e�!la�v�e�S�s�of�a�b�)�elian�group�!ls�on��X��+�an�d���e�����(�X�Jg;�����)�UR:����A��@b���G�(�X��)��!����A��@b�������iF�t���h��re��vco�v��X�ar�2"ian��t,�*left�exact�global�s�:}ect�ions�fu��9nct�or.�
�KTh��ren�w�e�h�a�v�e�cons�[tru�ct��Ee�S�d�t���h�e�d���e��r�2"iv�e�S�d������iFfu��9nct�or�[s���H���V���2�i��R0�(�X�Jg;�����).��!򞍍��iF�8.1����Coh���omo���logy�L�of�Sc���h�em�e�qs��@���iF�Let��(�X�Jg;����O�����X����)�b�)�e�a�s��xc��rh�em�e��an�d��F��.�a�sh�e�!laf�of��O�����X����-mo�S�d�ule�s.�P?T��Vo��compu��9t��Ee��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�forget�all�����iFextra��s�[tru��rct�ure�an�d�us�:}e�t���h�e�a�b�S�o�v�e�d���enit�ions.�8�W��Ve�m���ay�get�som�e�extra�s�[tru�ct�ure�an�yw�ays.���|�����iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��8.1.���W�O�L��ffet�&W�X���and��F�Wh�b�e�as�ab�ove,�\then�the�gr�oups��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)��ar�e�natur�al���ly�mo�dules�����iFover�35the�ring��A�UR�=�(�X�Jg;����O�����X����)�.�������iFPr��ffo�of.���2��Let�6w�A��\�=��H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����F�1�)�=�(�X�;����O�����X����)�6wan��rd�let��a��\�2��A�.�NTh�en�6wb�)�eca��2us�:}e�of�t���h�e�fu��9nct�or�2"ialit�y�6wof�����iF�H���V���2�i��R0�(�X�Jg;�����)��t���h��re�m���ap��F��c!�URF���in�d�u�ce�S�d�b�y�left�m���ul��9t�ip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��a��in�d�u�ce�S�s�a�h���omomorphi�)�sm���e���
�a�UR�:��H���V����i��R0�(�X�Jg;����F�1�)��!��H���V����i���(�X�Jg;����F�1�)�:��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����!򞍍��iF�8.2����Ob��!ject���iv�e��@���iF�Our�tWob��ject��riv�e�i�)�s�t��9o�compu�t��Ee��H���V���2�i��R0�(�P����2��n��y��k����P�;����O�UV�(�`�))�for�all��i;�n;�`�.�pThi�)�s�i�s�enough�for�mo�!ls�[t�ap��rp�ޔli��Jca���t�ions������iFb�)�eca��2us�:}e�K_if�on��re�kno�ws�t���h�e�S�s�:}e�group�!ls�on�e�can,�c�in�pr�2"incip�ޔle�a���t�le�!las�[t,�compu��9t��Ee��r�t���h��re�coh���omo�ޔlogy�����iFof���an��ry�pro��ject�iv�e�s��xc�h�em�e.�W�If��X��u�i�)�s�an�y�pro��ject�iv�e�v��X�ar�2"iet�y��V,���w�e�em��ekb�)�e�S�d��X��u�in�som�e��P����2��n��y��k���	�B�an�d�push�����iFforw��rard��t���h�e�sh�e�!laf��F�F��on��X��.��|Th�en�w�e�cons�[tru�ct�a�re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��F�F��b�y�sh�e�!la�v�e�S�s�of�t���h�e�form�����iF�O�UV�(��`�)����2�n���P�.�n�Us�)�in��9g���Hil��rb�e��rt's�syzigy�t���h��reorem�on�e�s�:}ee�S�s�t���h�a���t�t���h�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�so�cons�[tru�ct��Ee�S�d�i�)�s�nit�e�����iFan��rd��so�w�e�can�pu��9t�t�oget���h��re��r�our�kno�wle�S�dge�t��9o�get�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�of��X��.����	:Our��p�ޔlan�of�a���t��2t��rac�k��i�)�s�as�fo�llo��rws.�������Ů1.�����2Den��re��C
asque�sh�e�!la�v�e�S�s�whi��Jc�h�are�acycli��Jc�for�coh���omo�ޔlogy��V,�нi.e.,�t���h�e��Ccoh���omo�ޔlogy�v��X�ani�)�sh�e�S�s�����2for���i�UR>��0.���ԍ����Ů2.�����2If����X�mF�=��{�Sp�)�ec��%x�A�,����A��No�)�et���h��re��r�2"ian,�an�d����F�ȵ�i�)�s�quas�i-coh��re��ren��t,���sh���o�w���t���h�a���t��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�{�=�0�for�����2�i�UR>��0.�������Ů3.�����2If��/�X����i�)�s�an��ry�No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e�an�d���U���I�=�UR(�U�����i��dڹ)�i�)�s�an�o�p�)�en�an�e�co�v�e��r,��Hn�d�a�rela���t�ionship�����2b�)�et��rw�een��t���h�e�coh���omo�ޔlogy�of��X��+�an�d�t���h�a���t�of�e�!lac�h��U�����i��dڹ.�8�(Th�e�\��N8���x�Cec�h�pro�S�ce�s�!ls".)�������Ů4.�����2A��X�p��rp�ޔly��n���u��9m��ekb�)�e��r�3�t�o��P����2��n��y��k���	���wit���h��U�����i���,�=�UR�f�x�����i���6�=�0�g�.�����؉#10�����̠��э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�9����Flasque�B�Sh��zse�5ja�v�e���s��b#�����iF�Denit��ion��9.1.���M�	�A��*�
asque��Rshe��ffaf�˦�(also�calle�S�d��
abby�she��ffaf�)�i�)�s�a�sh��re�!laf��F����on��X��)�su�c�h�t���h�a���t������iFwh��ren�ev�e��r���V�����UR�U�+��are�o��rp�)�en�s�:}et��es�t���h�en�������U��Z;V����:�UR�F�1�(�U�@�)��!�F��(�V��p�)��i�)�s�surject��riv�e.�����	:Th���us��in�a�
asque�sh��re�!laf,�\ev�e��ry�s�:}ect�ion�ext��Een�ds".���ʍ����iF�Example�359.2.���=A�Let�K;�X�<��b�)�e�a�t��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal�space,�k�p�UR�2��X��a�K;p�S�oin��t,�knot�n��rece�s�!lsar�2"ily�clo�s�:}e�S�d,�kan��rd��M���an�����iFa��rb�)�elian�%group.���Let��j�ey�:����f�P����g��,���!��X���b�e�%t���h��re�inclus�ion,�3�t���h��ren��F�鷹=����j���������(�M�@�)�i�s�
asque.���Thi�s�fo�ޔllo��rws�����iFs�)�ince������j���������(�M�@�)(�U��)�UR=�����z��(����ǭ���
�M����%^�if���p��2��U����fa���
�0����%^�if���p��62��U������Q#|:���֍��iF�Not��Ee��t���h��ra���t��j���������(�M�@�)�i�)�s�non�e�ot���h�e��r�t���h�an�t���h�e�skys��xcrap�)�e��r�sh�e�!laf�a���t��p��wit���h�s�:}ect�ions��M�@�.�������iF�Example�359.3.���=A�If����F��i�)�s�a�
asque�sh��re�!laf�on��Y��f�an�d��f�Q��:�	��Y���!��X��y�i�)�s���a�morphi�sm�t���h��ren��f���������F��i�s�a�����iF
asque��sh��re�!laf�on��X��.�������iF�Example�359.4.���=A�If���F�����i��O��are�
asque�t���h��ren�������L���@���i�����F�����i���i�)�s�
asque.��������iF�Lemm��fa��9.5.���>���If�������0�UR�!�F��1����0��T��!�F��c!�F���1����0���J���0���	���!��0��Hʍ��iF�is�35exact�and��F��1���2�0��2�is�
asque�then������8�(�F�1�)�UR�!��(�F�������0���J���0���M��)��!��0�����iF�is�35exact.��������iF�Lemm��fa��9.6.���>���If�������0�UR�!�F��1����0��T��!�F��c!�F���1����0���J���0���	���!��0�����iF�is�35exact�and��F��1���2�0��2�and��F�dF�ar��ffe�b�oth�
asque�then��F���1���2�0���J���20���
���is�
asque.��������iFPr��ffo�of.���2��Sup��rp�S�o�!ls�:}e�l��V��O��2��U����are�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et��es�of��X��.��[Since��F��1���2�0��l�i�s�
asque�an��rd�t���h�e�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�of�a�����iF
asque��sh��re�!laf�i�)�s�
asque�an�d�re�S�s�[tr�2"i��Jct�ion�i�)�s�exact,�lemm���a�1�imp�ޔlie�S�s�t���h�a���t�t���h�e�s�:}equence��ԁ���զ�F�1�(�V��p�)�UR�!�F�������0���J���0���M��(�V��p�)��!��0�����iFi�)�s��exact.�8�W��Ve�t���h�us��h��ra�v�e�a�comm���u��9t�in�g��diagram��,�A����鴔�����r�F�1�(�U�@�)��������
�����
썍������������������UO!�������F���1���2�0���J���20���M��(�U�@�)���Kl�������������3,������?��38�����?�������y�����������������������3,���o?��38���o?�����oy������������������T�F�1�(�V��p�)��������
�����
썍������������������UO!���������F���1���2�0���J���20���M��(�V��p�)�������Q����Q򍍑�����������������UO!������$1�0������-�퍑�iFwhi��Jc��rh,��s�)�ince��F�1�(�U�@�)�UR�!�F��(�V��p�)��i�)�s�surject��riv�e,��imp�ޔlie�S�s��F������2�0���J���20���M��(�U�@�)�UR�!�F������2�0���J���20���M��(�V��p�)��i�)�s�surject��riv�e.���5ꘄ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Lemm��fa��9.7.���>���Inje��ffctive�35she�aves�(in�the�c�ate�gory�of�ab�elian�she�aves)�ar�e�
asque.�������iFPr��ffo�of.���2��Let�@z�I�#B�b�)�e�an�inject��riv�e�@zsh�e�!laf�of�a�b�)�elian�group�!ls�on��X�1��an�d�let��V������f�U��^�b�)�e�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et��es.������iFLet�)8�s����2�I��ȹ(�V��p�),�8�t���h��ren�w�e�m���us�[t�n�d��s����2�0����2���I��ȹ(�U�@�)�whi��Jc�h�m���ap�!ls�t��9o��s��u�n��rd���e��r�t���h�e�m���ap��I��ȹ(�U�@�)����!�I��(�V��p�).�����iFLet��{�Z�����V��
�C�b�)�e�t���h��re�cons�[t�an��t�sh�e�!laf��Z��on��V�;�ext��Een�d���e�S�d�b�y�0�ou��9t��es�)�id���e��V�;�(t���h�us��{�Z�����V��Vȹ(�W��ƹ)�UR=�0�if��W���6��V��p�).�����iFDen��re��2a�m���ap��Z�����V��
��!�URI�w��b�y�s�:}en�din��9g�t���h�e�s�:}ect�ion�1�UR�2��Z�����V��Vȹ(�V��p�)��2t��9o��s�UR�2�I��ȹ(�V��).�cTh��ren��2s�)�ince��Z�����V��
��,���!�UR�Z�����U������iF�an��rd�G��I�*��i�)�s�inject�iv�e�t���h�e��re�i�)�s�a�m���ap��Z�����U�����!���I�*��whi��Jc�h�s�:}en�ds�t���h�e�s�:}ect�ion�1����2��Z�����U��b�t��9o�G�a�s�:}ect�ion�����iF�s����2�0��#��2�URI��ȹ(�U�@�)��wh���o�!ls�:}e�re�S�s�[tr�2"i��Jct��rion�t��9o��V���m���us�t�b�)�e��s�.����}̄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����܍����iF�R��ffemark�359.8.���8�r�Th��re�msam�e�pro�S�of�also�sh���o�ws�t���h�a���t�inject�iv�e�sh�e�!la�v�e�S�s�in�t���h�e�ca���t��Eegory�of��O�����X����-mo�S�d�ule�s�����iFare��
asque.�����؉#11���������э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Coro�ٙllary��9.9.���K��If�35�F�dF�is�
asque�then��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�35�for�al���l��i�UR>��0�.���_�����iFPr��ffo�of.���2��P��rage��208�of�[Hart��esh���or�)�n�e].���$���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Coro�ٙllary��9.10.���Q���L��ffet� �(�X�Jg;����O�����X����)��b�e�a�ringe�d�sp�ac�e,�W�then�the�derive�d�functors�of���UR:����Mo�`d��� Ê�O�����X��r��!��������iF�A��@b���	�B�ar��ffe�35e�qual�to��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�.�������iFPr��ffo�of.���2��If������0�UR�!�F��c!�I���ȟ���0����!�I���ȟ���1���!��������������iF�i�)�s��an�inject��riv�e��re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��F�(�in����Mo�`d��� eD�O�����X����t���h�en,�'�b�y�t���h�e�a�b�S�o�v�e�rem���ar��ek,�'�it�i�)�s�a�
asque�re�S�so�ޔlu��9t�ion�����iFin��t���h��re�ca���t��Eegory����A��@b����o�(�X��)�h�ence�w�e�get�t���h�e�regular�coh���omo�ޔlogy��V.����M��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����� �����iF�R��ffemark�359.11.���>�u�W���ar�0nin��g!���If�<�(�X�Jg;����O�����X����)�i�)�s�a�s��xc��rh�em�e�<�an�d�w�e�c�h���o�S�o�!ls�:}e�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�in�t���h�e�����iFca���t��Eegory��Eof�quas�)�i-coh��re��ren��t��O�����X����-mo�S�d�ule�s��Et���h�en�w�e�are�only�guaran��t��Eee�S�d�t��9o�get�t���h�e�r�2"igh�t�answ�e��r�����iFif���X��+�i�)�s�No�et���h��re��r�2"ian.��'�􍍑�iF�10����Examp�ʕle���s��b#�����iF�Example�3510.1.���CD�Sup��rp�S�o�!ls�:}e�H��C�%��i�)�s�a�nons�in��9gular�pro��ject��riv�e�H�curv�e�o�v�e��r�an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld�����iF�k�g�.�GvLet���K�:7�=�]��K�ܞ�(�C��)�b�)�e�t���h��re�fu��9nct�ion�eld�of��C��#�an�d�let��K�����C���d���enot��Ee�t���h�e�cons�[t�an��t�sh�e�!laf��K�ܞ�.�GvTh�en�����iFw��re��h�a�v�e�an�exact�s�:}equence�����B0�UR�!�O�����C��
t��!�K�����C���!����
VC���M����Y���)����	�L�P�.:�2�C���#����P����clo�.s�*Pe�<rd������%yW�K�5�=�O�����P��
g�!��0�;��)+8���iF�wh��re��re��t���h�e�m���ap��K�����C��
t��!��UR�����L�����K�5�=�O�����P��
�޹h�as�only�nit��Eely�m���an�y�comp�S�on�en��t��es�nonze��ro�s�)�ince�a�fu��9nct�ion�����iF�f��Q�2�UR�K�+��h��ras�O!only�nit��Eely�m���an�y�p�S�o�ޔle�s.�Since�O!�C�+��i�)�s�irre�S�d�u�cib�ޔle��K�����C��
n��i�)�s�
asque�an�d�s�)�ince��K�,`�=�O�����P��
`�i�s�a�����iFskys��xcrap�)�e��r��vsh��re�!laf�it�i�s�
asque�so�s�ince�direct�of�
asque�sh��re�!la�v�e�S�s��vare�
asque,��������L��[	�K�5�=�O�����P��	�B�i�s�
asque.�����iFOn��re�E�c�h�ec�ks�t���h�a���t�t���h�e�s�:}equence�i�)�s�exact�an�d�so�t���hi�)�s�i�s�a�
asque�re�S�so�ޔlu��9t��rion�of��O�����C����.��T��Vakin�g�global�����iFs�:}ect��rions��an�d�ap�p�ޔlyin��9g�t���h�e�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence����z��K�1��!����
VC���M���'؍�UR�P���clo�.s�*Pe�<rd���%yW�K�5�=�O�����P��
g�!�UR�H���V����1���Z�(�X�Jg;����O�����C����)��!��0�;��"¯���iF�an��rd��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����O�����C����)�W�=�0�for��i����2.���Th���us�t�h��re�only�in��t��Ee��re�S�s�[t�in��9g�inform���a���t�ion�i�)�s��dim����L����k�����H���V���2�1���Z�(�X�Jg;����O�����C����)�����iFwhi��Jc��rh��i�)�s�t���h�e��ge��ffometric�35genus��of��C�ܞ�.��'�􍍑�iF�11����Fir�
[s�t�B�V��o[ani�B�shin��9g�Th��zseorem��b#���2�\An��ry�on�e���wh���o�s�[t��rudie�S�s�alge���brai��Jc�geom�etry�m���us�[t�re�!lad�F��Vrenc�h...��lo�S�okin��9g�up�t���h�e�more�����2gen��re��ral��v�e�r�[s�)�ion��of�t���hi�s�pro�S�of�in�EGA�w��rould�b�e�a�go�S�o�d��exe��rci�s�:}e."���~�����iF�Th��eorem��11.1.���N�$�L��ffet�3�A��b�e�a�No�etherian�ring,�3�X�Fչ=��URSp�)�ec����A��and��F�d&�a�quasi-c�oher�ent�she�af�on�����iF�X���,�35then��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�35�for��i�UR>��0�.���_�����iFR��ffemark�3511.2.���>�u�Th��re��ft���h�eorem�i�)�s�true�wit���h���ou��9t�t�h��re�No�)�et�h��re��r�2"ian�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��fon��A�,���bu��9t�t���h��re�pro�of�����iFus�:}e�S�s��sp�)�ectral�s�equence�S�s.��������iF�R��ffemark�3511.3.���>�u�Th��re�Uas�!lsu��9mpt�ion�t���h�a���t��F�Mf�i�)�s�quas�i-coh��re��ren��t�i�s�e�S�s�!ls�:}en��t��rial.���F��Vor�examp�ޔle,�(�let��X�
عb�e�����iFan�&+an��re�alge���brai��Jc�curv�e�o�v�e��r�an�innit��Ee�eld��k�g�.��hTh�en��X���i�)�s�h���om�eomorphi��Jc�as�a�t��9o�p�S�o�ޔlogi��Jcal�����iFspace��t��9o��P����2��1��y���k���	:�so�t���h��re�sh�e�!laf��O�UV�(��2)�on��P����2��1��y���k���	:�in�d�u�ce�S�s�a�sh�e�!laf��F���of�a�b�)�elian�group�!ls�on��X��+�su�c�h�t���h�a���t��B���H���V����1���Z�(�X�Jg;����F�1�)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����1���(�P������1���ڍ�k���#��;��O�UV�(��2))�UR�6�=�0�:�����؉#�12����
ݝ���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�R��ffemark�3511.4.���>�u�If����I��:�i�)�s�an�inject��riv�e����A�-mo�S�d�ule�t���h�en����x��h~������I�����n�ee�S�d��not��b�)�e�inject�iv�e�in����Mo�`d��� g�(�O�����X����)�or��������iF�A��@b���[
�(�X��).�(`F��Vor��'examp�ޔle,��
let��A�UR�=��k��o�=��F�����p�����an��rd��'�X�Fչ=��Sp�)�ec����A�,�t���h��ren��'�I�Fչ=��k� D�i�)�s�an�inject��riv�e��A�-mo�S�d�ule�����iFbu��9t����x���~��������I���
3ùi�)�s���t���h��re�cons�[t�an��t�sh�e�!laf��k�g�.��Bu��9t��k���i�)�s�a�nit��Ee�group�h�ence�not�divi�)�s�ib�ޔle���so����x���~������I���
3ùi�)�s�not�inject�iv�e.�����iF(See��Pro��rp�S�o�!ls�)�it�ion�A3.5�in�Ei�)�s�:}en��ekbud's��Commutative�35A��2lgebr��ffa�.)��������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��11.5.���^�O�Supp��ffose��8�A��is�No�etherian�and��I�ۻ�is�an�inje�ctive��A�-mo�dule,�W�then����x��X��~������I�����is�����iF
asque�35on���Sp�)�ec�����A�.����	:�Th��re�O�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�imp�ޔlie�S�s�t���h�e�t���h�eorem�s�)�ince�if��F���i�s�quas�i-coh��re��ren��t�t���h�en��F�2̹=����x��[�~�������M����for�som�e�����iF�A�-mo�S�d��rule���M�@�.�8�Th�e��re�i�)�s�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�������0�UR�!��M��6�!��I������������iF�whi��Jc��rh,��up�S�on�ap�p�ޔlyin��9g�t���h�e�exact�fu��9nct�or�����~����,�giv�e�S�s�a�
asque�re�so�ޔlu��9t��rion�������0�UR�!����x���s�~������M���I��=��F��c!����x��â�~������I����������5��:�����iF�No��rw��ap�p�ޔlyin��9g��giv�e�S�s�us�bac�k�t���h�e�or�2"igin���al�re�S�so�ޔlu��9t�ion������!�UR:�J0��!��M��6�!��I������������iF�whi��Jc��rh��i�)�s�exact�so�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�group�!ls�v��X�ani�)�sh�for��i�UR>��0.��������iF�Pr��ffo�of.���2��Let��&�A��b�)�e�a�No�et���h��re��r�2"ian�r�in��9g�an��rd��I�Ω�an�inject�iv�e��A�,���t���h�en����x��Kv~������I���
�w�i�)�s�a�quas�i-coh��re��ren��t�sh�e�!laf�on������iF�X���=����Sp�)�ec��UH�A�.���W��Ve�Um���us�[t�sh���o��rw�t�h��ra���t�it�i�)�s�
asque.���It�i�s�sucien��t�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�for�an�y�o�p�)�en�s�:}et�����iF�U�@�,��(�X��)�UR�!��(�U��)��i�)�s�surject��riv�e.����	:�Case��\1,��&sp��ffe�cial�op�en�ane:�V?�Sup��rp�S�o�!ls�:}e�yX�U���=�H0�X�����f��	�w�i�)�s�a�sp�ecial�o��rp�en�an��re.���Th�en�yXw�e�h�a�v�e�a�����iFcomm���u��9t��ra���t�iv�e��diagram��%@�������������(�X�Jg;����x��nN�~��������I��� )�)����������������������������������UO!���������(�X�����f��w�;����x��nN�~��������I��� )�)���Kl����������U3�=��������3,�����?��38����?������y����������������������=��������3,��
J6�?��38��
J6?����
J6y�������������0�������I�������h���Q�surject�Îiv�e?��J������i����(����������������������������������������!�������S�I�����f�������+�����iF�T��Vo���s�:}ee�t���h��ra���t�t�h��re�t��9o�p�m���ap�i�)�s�surject�iv�e�it�i�)�s�equiv��X�alen��t�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t��I�F��!�UR�I�����f��	R�i�)�s�surject�iv�e.�3�Thi�)�s�����iFi�)�s��a�tr�2"i��Jc��rky�alge���brai�c�lemm���a�(s�:}ee�Hart��esh�or�)�n��re�for�pro�S�of��8).����	:�Case�352,�any�op��ffen�set:�8�Let���U�+��b�)�e�an��ry�o�p�)�en�s�:}et.�8�See�Hart��esh���or�n��re�for�t���h�e�re�S�s�[t.��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(V����iF�12���ԟ�������Cec��zsh�B�Coh��|omo�ʕlogy��b#���iF�Let�q�X�b��b�)�e�a�t��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal�space,�����U�����=�:(�U�����i��dڹ)�����i�2�I����an�o�p�)�en�co�v�e��r�an�d��F���a�sh�e�!laf�of�a�b�)�elian�group�!ls.�����iFW��Ve��will�d���en��re�group�!ls���b���x��H��������2�i��k�(��U�����;����F�1�)�calle�S�d��8���x��Cec�h�coh���omo�ޔlogy�group�!ls.����	:�W���ar�0nin��g:����W���x���8�H���ɟ��2�i��l��(��U�����;�����)��i�)�s�a�fu��9nct�or��in��F�1�,�bu��9t�it�i�s��not��a���s2�-fu��9nct�or.�������iF�Th��eorem��12.1.���N�$�L��ffet���X���b�e�a�No�etherian�scheme,����U��9X�an�op�en�c�over�and��F�ސ�a�quasi-c�oher�ent�����iFshe��ffaf,�35then���Q˟��x��H�������2�i��P��(��U�����;����F�1�)�UR=��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;��F�1�)�35�for�al���l��i�.�����؉#�13�������э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�12.1�� ��Cons�Otru���ct�ion��@���iF�T��Vot��rally��ord���e��r�t���h�e�in�d���ex�s�:}et��I��.�8�Let���������U�����i��q�0���*����@�i���;�cmmi6�p���9�=�UR�\���O���p��á�j�v�=0���B��U�����i��8:�j���O��:�����iF�F��Vor��an��ry��p�UR���0��d���en�e�����O��C��ܞ����p�����(��U�����;����F�1�)�UR=�����b���Y���
㇍��i��q�0��*��<i��q�1���<����\�<i���p����5���F��(�U�����i��q�0���*����@�i���p���䎹)�:��!����iF�Th��ren��w�e�get�a�comp�ޔlex����eF�C��ܞ����0�����(��U�����;����F�1�)�UR�!��C��ܞ����1���(��U�����;����F�1�)��!��������!��C��ܞ����p�����(��U�����;��F�1�)��!����������iF�b��ry��d���enin��9g�a�m���ap��������d�UR�:��C��ܞ����p�����(��U�����;����F�1�)��!��C��ܞ����p�+1���w�(��U���;����F�1�)�����iFb��ry��V,��for���h��2�UR�C��ܞ���2�p�����(��U�����;����F�1�),��%�2��r��(�d���)�����i��q�0���*����@�i��q�p�+1���"���:=���ԍ�n�p�+1��},���UR���X���
�ҍ�	���0������(��1)�����j��f
���D9�i��q�0���*������'ߍ����^���!��@�i��8:�j���������%�i��q�p�+1���-��j�����U��8:�i�����0���*��"q�%cmsy6���
���i����p�+1����$���:��%�����iF�On��re��c�h�ec�ks�t���h�a���t��d����2�2��V�=�UR0.��������iF�Lemm��fa��12.2.�����G�����x���E��H���NE���2�0��S�(��U�����;����F�1�)�UR=�(�X�Jg;��F�1�)�������iF�Pr��ffo�of.���2��A��X�p��rp�ޔlyin��9g��t���h�e�sh�e�!laf�axioms�t��9o�t���h�e�exact�s�:}equence���0��[��0�UR�!��(�X�Jg;����F�1�)��!��C��ܞ����0����=�������Y��������i�2�I������F��(�U�����i��dڹ)����2�����d���p��������!������C��ܞ����1����=�������Y���
㇍�LP�i<j������F��(�U�����ij��J�)��(8%���iFw��re��s�:}ee�t���h�a���t���b���x��H��������2�0��y��(��U�����;����F�1�)�UR=��k�e��r��w�d��=�(�X�Jg;����F�1�).�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����"ʫ����iF�12.2�� ��Sh���e�-9afy�����iF�Let�vW�X�gڹb�)�e�a�t��9o��rp�S�o�ޔlogi��Jcal�space,���B�U���a�an�o�p�)�en�co�v�e��r�an�d��F��h�a�sh�e�!laf�of�a�b�)�elian�group�!ls.���Th�en�w�e������iFd���en��re������4�C���5����p��z��(��U�����;����F�1�)�UR=�����e���Y���
㇍��i��q�0��*��<����\�<i���p����'���j���������(�F�j�����U��8:�i�����0���*����
���i��p����sӹ)��!����iFan��rd��d���en�e��������d�UR�:��C���5����p��z��(��U�����;����F�1�)��!�C���5����p�+1��W�(��U���;����F�1�)�����iFin��t��Ee��rms�of�t���h��re��d��d���en�e�S�d�a�b�S�o�v�e�b�y��V,�for��V���an�o�p�)�en�s�:}et,���0��7S)�C���5����p��z��(��U�����;����F�1�)(�V��p�)�UR=��C��ܞ����p�����(��U���j�����V��V��;����F�1j�����V���)����2�����d���p���UR�����!������C��ܞ����p�+1���w�(��U���j�����V���;����F�1j�����V���)�UR=��C���5����p�+1��W�(��U���;����F�1�)(�V��p�)�:��������iF�R��ffemark�3512.3.���>�u�C��ܞ���2�p�����(��U�����;����F�1�)�UR=�(�X�Jg;��C���5���2�p��z��(��U�����;��F�1�)��������iF�Lemm��fa��12.4.���E���The�35se��ffquenc�e����}~��0�UR�!�F��c!�C���5����0��s9�(��U�����;����F�1�)��!�C���5����1���(��U�����;����F�1�)��!����������iF�is�35a�r��ffesolution�of��F�1�,�i.e.,�it�is�exact.�����؉#�14��������э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Pr��ffo�of.���2��W��Ve��jd���en��re�t���h�e�m���ap��F��c!�URC���5���2�0��	��b�y�t�akin��9g�t���h�e�pro�S�d�u�ct�of�t���h�e�n���a���t�ural�m���ap�!ls��F��c!�UR�f���������(�F�1j�����U��8:�i���	l��),������iFexactn��re�S�s�!ls��t���h�en�fo�ޔllo�ws�f�2"rom�t���h�e�sh�e�!laf�axioms.����	:T��Vo�M�sh���o��rw�t���h�e�re�S�s�[t�of�t���h�e�s�:}equence�i�)�s�exact�it�suce�S�s�t��9o�sh���o�w�exactn�e�S�s�!ls�a���t�t���h�e�s�[t�alks.��So�let�����iF�x�UR�2��X��,�\�an��rd�9Gsup�p�S�o�!ls�:}e��x�UR�2��U�����j��f
�.���Giv��ren�������x���9�2�C����2���5�p��RA�x����ٹit�i�)�s�repre�S�s�:}en��t��Ee�d�b��ry�a�s�:}ect�ion���h��2�UR�(�V��;����C���5���2�p��z��(��U�����;��F�1�)),�����iFo��rv�e��r� �a�n��re�S�igh�b�orh���o�o�d� ��V���of��x�,�Iwhi��Jc��rh�w�e�m���ay�c�h���o�S�o�!ls�:}e�so�sm�all�t���h��ra���t��V�����UR�U�����j��f
�.���No�w�for�an�y��p�-t�up�ޔle�����iF�i�����0��V�<��UR:���:�:��uD<�URi�����p��1���ٹ,��w��re�s�:}et�����+
(�k�g���)�����i��q�0��*��;�:::���;i��q�p��1���(�4�=�UR������j��$;i��q�0��*��;�:::���;i��q�p��1���+C|�:������iF�Thi�)�s��m���ak��re�S�s�s�:}ens�e��b�eca��2us�e��������Y�V�G�\����U�����i��q�0��*��;�:::���;i��q�p��1���(�4�=�UR�V��\��U�����j��$;i��q�0��*��;�:::���;i��q�p��1���+C|�:�����iF�Th��ren��t�ak�e�t���h�e�s�[t�alk�of��k�g��7�a���t��x��t��9o�get�t���h�e�require�S�d�m���ap��k�g�.�����	:No��rw��w�e�c�h�ec�k�t���h�a���t�for�an�y��p�UR���1�an��rd���h��2�C����2���5�p��RA�x���z��,�����T�(�dk�Ź+����k�gd�)(����)�UR=���:�����iF�Fir�[s�t��not��Ee�t���h��ra���t��H卍�����(�dk�g���)�����i��q�0��*��;�:::���;i���p����������41�=���ԍ�	�P�p��},���UR���X���'؍��M�`�=0������(��1)�����`����(�k�g���)��D9�i��q�0��*��;�:::���;���'ߍ� ��^���!��i��i?�`�����L�;�:::��;i���p������������41�=����UR���X�������(��1)�����`�������D9�j��$;i��q�0��*��;�:::���;���'ߍ� ��^���!��i��i?�`�����L�;�:::��;i���p�����������iF�Wh��re��re�!las,��on�t���h�e�ot���h�e��r�h�an�d,�������W��(�k�gd���)�����i��q�0��*��;�:::���;i���p����������4�=�UR(�d���)�����j��$;i��q�0��*��;�:::���;i���p�������{�����4�=�UR(��1)�����0���������i��q�0��*��;�:::���;i���p����ʹ+���ԍ�	1��p��},��������X���'؍�*��`�=1����(��1)�����`�+1���b���D9�j��$;i��q�0��*��;�:::���;���'ߍ� ��^���!��i��i?�`�����L�;�:::��;i���p�����������iF�Addin��9g��t���h��re�S�s�:}e�t�w�o�expre�S�s�!ls�)�ions�yields�������i��q�0��*��;�:::���;i���p����ʹas�claim�e�S�d.����	:Th���us�KV�k��s�i�)�s�a�h���omot��9o��rp�y�KVo�p�e��ra���t��9or�KVfor�t���h��re�comp�ޔlex��C����2���5���RA��x���s9�,���sh���o�win��9g�t���h�a���t�t���h�e�id���en��t�it�y�m���ap�i�)�s�����iFh���omot��9o��rpi��Jc�a[t�o�t���h��re�ze��ro�m���ap.���It�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�group�!ls��H���V���2�p�����(�C����2���5���RA��x���s9�)�of�t���hi�)�s�comp�lex�����iFare��0�for��p�UR���1.���}$���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����6�����iF�Lemm��fa��12.5.���E���If�35�F�dF�is�
asque�then��C���5���2�p��z��(��U�����;����F�1�)��is�also�
asque.�������iFPr��ffo�of.���2��If����F�!ѹi�)�s�
asque�t���h��ren��F�1j�����U��8:�i�����0��*��;�:::��l;i��p����%9�i�s�
asque�so��j���������(�F�1j�����U��8:�i�����0��*��;�:::��l;i��p����!I$�)�i�s�
asque�so�������Q��F�j���������(�F�1j�����U��8:�i�����0��*��;�:::��l;i��p����!I$�)�����iFi�)�s��
asque.����F��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��12.6.���^�O�If�35�F�dF�is�
asque�then���Q˟��x��H�������2�p���|�(��U�����;����F�1�)�UR=�0�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Cons�)�id���e��r��t���h��re�re�S�so�ޔlu��9t�ion�����e�0�UR�!�F��c!�C���5������s9�(��U�����;����F�1�)�:������iF�By��xt���h��re�a�b�S�o�v�e�lemm���a�it�i�)�s�
asque,�ٵso�w�e�can�us�:}e�it�t��9o�compu�t��Ee�t���h��re�usual�coh���omo�ޔlogy�group�!ls�����iFof�ܞ�F�1�.�42Bu��9t��F�
��i�)�s�
asque,��mso��H���V���2�p�����(�X�Jg;����F��)�UR=�0�ܞfor��p�UR>��0.�42On�ܞt���h��re�ot�h��re��r�h�an�d,��mt���h�e�answ�e��r�giv�en�b�y�����iFt���hi�)�s��re�S�so�ޔlu��9t��rion�i�s�������H���V����p�����((�X�Jg;����C���5������s9�(��U�����;��F�1�)))�UR=����ɟ��x��H���$;����p��똹(��U���;����F�1�)�:�����iF�So��w��re�conclud���e�t���h�a���t���b���x��H��������2�p����(��U�����;����F�1�)�UR=�0��for��p�UR>��0.����{���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����6�����iF�Lemm��fa��12.7.���E���L��ffet�Q��X�C>�b�e�a�top�olo�gic�al�sp�ac�e,�Y\and���U��c>�an�op�en�c�overing.���Then�for�e�ach��p������0�����iF�ther��ffe�35is�a�natur�al�map,�functorial�in��F�1�,��������������x�����H���������p���\B�(��U�����;����F�1�)�UR�!��H���V����p�����(�X�Jg;��F�1�)�:�������iF�Th��eorem��12.8.���N�$�L��ffet�Z��X�L+�b�e�a�No�etherian�sep�ar�ate�d�scheme,�d�let���U��u�b�e�an�op�en�ane�c�over�of�����iF�X���,�O$and�[let��F�Gl�b��ffe�a�quasi-c�oher�ent�she�af�on��X���.��Then�for�al���l��p������0�[�the�natur�al�maps�give�����iFisomorphisms�������O���x���1PH�����:����p������(��U�����;����F�1�)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����p�����(�X�Jg;��F��)�:�����؉#�15����
���э����Ơ�
:���F[����iF�13���ԟ�������Cec��zsh�QCoh��|omo�ʕlogy�an�d�De�r�P!iv�e���d�F��o[u��9nct�or�QCoh��|omo�ʕlogy��b#���iF�T��Vo�S�d��9ay��w��re�pro�v�e��J!�����iF�Th��eorem��13.1.���N�$�L��ffet��w�X����b�e�a�No�etherian,���sep�ar�ate�d�scheme,���лU��f�an�op�en�c�over�and��F����a�quasi-������iFc��ffoher�ent�35she�af�on��X���.�fiThen��������Q���x�����H����e�����i�����(��U�����;����F�1�)�UR=��H���V����i��R0�(�X�Jg;��F�1�)�:����	:�T��Vo��do�t���hi�)�s�w��re�in��tro�S�d�u�ce�a�con�dit�ion�(*):����	:�Con��dit�ion���*:�T��Let����F�)��b�)�e�a�sh��re�!laf�of�a�b�)�elian�group�!ls�an�d���U��%R�=�l�(�U�����i��dڹ)�����i�2�I��Wf�an�o�p�)�en�co�v�e��r.�b�Th�en�����iFt���h��re��pair��F���an�d���U����sa���t�i�)�sfy�con�dit�ion�(*)�if�for�all��i�����0����;����:�:�:��ʚ;���i�����p����2�UR�I��,���ҍ��24�H���V����(�����U�����i��q�0��*��;�:::���;i���p���"�;����F�1�)�UR=�0�;���all��g�i�>��0�:�������iF�Lemm��fa��13.2.���E���If�_�0����!�F��1���2�0�����!�F�ם!�F���1���2�0���J���20���	��!��0��is�an�exact�se��ffquenc�e�in����A��@b���Pٹ(�X��)��and��F��1���2�0��^\�satises������iF(*)�35then�ther��ffe�is�a�long�exact�se�quenc�e�for���Q˟��x��H�������2�i��P��(��U�����;�����)�.�������iFPr��ffo�of.���2��Since��pt���h��re�global�s�:}ect�ions�fu��9nct�or��pi�)�s�left�exact�an�d�coh���omo�ޔlogy�comm���u��9t��Ee�S�s�wit�h�pro�S�d��ru�ct��es,�����iFw��re��h�a�v�e�an�exact�s�:}equence��Zč����,�0�UR�!��C��ܞ����p�����(��U�����;����F��1����0���J�)�=�����e���Y���
㇍��i��q�0��*��<����\�<i���p����'���F��1����0���(�U�����i��q�0��*��;�:::���;i���p���"�)��!��C��ܞ����p�����(��U�����;����F�1�)�=�����e���Y���
㇍��i��q�0��*��<����\�<i���p����'���F��(�U�����i��q�0��*��;�:::���;i���p���"�)�����!������B��!�UR�C��ܞ����p�����(��U�����;����F���1����0���J���0���M��)�=�����e���Y���
㇍��i��q�0��*��<����\�<i���p����'���F���1����0���J���0����(�U�����i��q�0��*��;�:::���;i���p���"�)��!�����e���Y���
㇍��i��q�0��*��<����\�<i���p����'���H���V����1���Z�(��U����ȟ���i��q�0��*��;�:::���;i���p���#���;����F��1����0���J�)�=�0�����$�7���iFwh��re��re�:jt���h�e�las�[t�t��Ee��rm�i�)�s�0�b�eca��2us�:}e��F��1���2�0��9��sa���t��ri�se�S�s�con��rdit�ion�(*).�(&Rep�ޔlacin��9g��p��b�y����giv�e�S�s�an�exact�����iFs�:}equence��of�comp�ޔlexe�S�s.�8�A��X�p��rp�lyin��9g���b���x���H��������2�i��k�(��U�����;�����)��t���h�en�giv�e�S�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d��re�sul��9t.���b���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Th��eorem��13.3.���N�$�L��ffet����X�}:�b�e�a�top�olo�gic�al�sp�ac�e,���ػU���W�an�op�en�c�over�and��F�*J2����9�A��@b�����(�X��)�.�o�Supp�ose�����iF�F�dF�and��35�U��&2�satisfy�35(*).�fiThen�the�maps���ҍ��]��'�����i���,�:���s���x���URH���<����i��s�(��U�����;����F�1�)�UR�!��H���V����i��R0�(�X�Jg;��F�1�)�����iF�ar��ffe�35isomorphisms.�������iFPr��ffo�of.���2��Th��re��pro�S�of�i�)�s�a�clev�e��r�in�d�u�ct�ion.���֏��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Lemm��fa��13.4.���E���If�Z��0�xQ�!�F��1���2�0��	w��!�F��b!�F���1���2�0���J���20������!��0��is�exact�and��F��1���2�0��	Y��and��F����satisfy�(*)�then��F���1���2�0���J���20��������iF�satises�35(*).����	:�T��Vo�y�pro��rv�e�t���h�e�m���ain�t���h�eorem�of�t���h�e�s�:}ect�ion�us�:}e�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t��X�k0�s�:}epara�t��Ee�S�d�imp�ޔlie�s�an��ry�nit��Ee�����iFin��t��Ee��r�[s�:}ect��rion�d�of�an�e�S�s�i�)�s�an�e�an�d�t���h�en�us�:}e�t���h�e�v��X�ani�)�shin��9g�t���h�eorem�for�coh���omo�ޔlogy�of�a�quas�)�i-�����iFcoh��re��ren��t��sh�e�!laf�on�an�an�e�s��xc�h�em�e.���Th�e�a�b�S�o�v�e�t���h�eorem�t���h�en�imp�ޔlie�S�s�t���h�e�m���ain�re�S�sul��9t.���F��Vrom�����iFno��rw��on�w�e�will�alw�ays�as�!lsu��9m�e�our�s��xc�h�em�e�S�s�are�s�:}epara���t��Ee�d�u��9nle�s�!ls�ot���h��re��rwi�)�s�:}e�s�[t�a���t��Ee�S�d.�������iF�Coro�ٙllary��13.5.���Q���If����X��o�is�a�(sep��ffar�ate�d)���No�etherian�scheme�and��X��o�c�an�b�e�c�over�e�d�by��n����+�1�����iF�op��ffen�35anes�for�some��n�UR>��0�35�then��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�35�for��i�UR>�n�.�������iFExample�3513.6.���CD�Let����X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k����P�,��	t���h��ren�t�h��re�exi�)�s�[t��Eence�of�t�h��re�s�[t�an�d��9ard�an�e�co�v�e��r��U�����0����;����:�:�:��ʚ;���U�����n��f1�imp�ޔlie�S�s�����iFt���h��ra���t���H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�for��i�>�n�.��e�����iF�Example�3513.7.���CD�Let����X�|D�b�)�e�a�pro��ject��riv�e���curv�e�em��ekb�)�e�S�dd���e�d�in��P����2��k��RA�n����P�.�+Let��U�����0��	%���e��X�|D�b�)�e�o��rp�en�an��re,�����iFt���h��ren����X����!S�U�����0��	X��i�)�s�nit��Ee.�C�Th�us��U�����0��	>��}��X�o����P����2�n��
AC�an��rd����X����!S�U�����0���=��f�P�����1����;����:�:�:��ʚ;���P�����r���b�g�.�C�In����P����2�n��
AC�t���h��re��re�i�)�s�a�����iFh��ryp�)�e��rp�ޔlan�e����H��J�su�c�h�t���h�a���t��P�����1����;����:�:�:��ʚ;���P�����r��	�+�62���H��V�.�K�Th�en��P�����1����;����:�:�:��ʚ;���P�����r��	�+�2���P����2�n��	���]>�H��=��A����2�n��
��=��V��p�.�K�Th��ren�����iF�U�����1���!�=���V����\��,�X�9v�i�)�s�G�clo�!ls�:}e�S�d�in�t���h��re�an�e�s�:}et��V��p�,�_Eh�ence�an�e.�P�Th�en��X�堹=���U�����0���0�[��,�U�����1��	��wit���h��U�����0���an��rd��U�����1������iF�b�S�ot���h��an��re.�8�Th�us��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�for�all��i����2.�����؉#16����#����э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Exer��ffcise�3513.8.���A�{�If����X�vF�i�)�s�an��ry�pro��ject�iv�e�s��xc�h�em�e�of�dim�ens�)�ion��n��t���h�en��X�vF�can�b�)�e�co�v�e��re�S�d�b�y��n�ډ�+�1������iFo��rp�)�en��an�e�S�s�so�����E��H���V����i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0���for�all��&/��i�>�n:������iF�[Hin��t:�8�Us�:}e��in��rd�u�ct�ion.]������	:Hart��esh���or�)�n��re��w�as�u��9n���aw�are�of�t���h�e�answ�e��r�t��9o�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�que�S�s�[t�ion�t��9o�S�d�ay��V.���
�����iF�Que�`s�	�t��ion��13.9.���N��If�e��X�W[�is�a�No��ffetherian�scheme�of�dimension��n��do�ther�e�exist��n��ʹ+�1�e��op�en�����iFanes�35c��ffovering��X���.�������iF�Th��eorem��13.10�(Grot��ph�en�diec�k).�������If����F��12���� �A��@b�����(�X��)��then��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�� =�0����for�al���l��i�� >�n��=������iFdim��	���X���.�������iFExample�3513.11.���IG�Let����k�%Ϲb�)�e�an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld.�*9Th��ren��X�Fչ=�UR�A����2��2��y���k���tn��P�f�(0�;����0)�g��i�s�not�an��re�����iFs�)�ince�h.it�h��ras�global�s�:}ect�ions��k�g�[�x;���y�n9�].�	�qW��Ve�compu��9t��Ee��H���V���2�1���Z�(�X�Jg;��O�����X����)�b��ry���f���x��Cec�hcoh���omo�ޔlogy��V.�	�qW�r�2"it��Ee�����iF�X�Fչ=�UR�U�����1��j��[����U�����2�����wh��re��re���U�����1��V�=��f�x��6�=�0�g��an��rd��U�����2��V�=��f�y�Ë�6�=�0�g�.�8�Th��ren�t���h�e��8���x��Cec�hcomp�ޔlex�i�)�s�����P���C��ܞ��������(��U�����;����O�����X����)�UR:��k�g�[�x;�y�n9;�x������1��\|�]������k�g�[�x;�y�n9;�y�������1��ʵ�]����2�����d���p���UR�����!������k�g�[�x;�x������1��\|�;�y�;�y�������1��ʵ�]�:��t6���iF�Th���us�ղon��re�s�:}ee�S�s�wit�h�a�lit��2t�le�t�h���ough��rt�t�h��ra���t��H���V���2�0��
���=���bk�e��r�����d��b�=��k�g�[�x;���y�n9�]�ղan�d��H���V���2�1��
���=��b�f������P��������i;j�v<�0��#.�a�����ij��J��x����2�i��d��x����2�j��	Kl�:�����iF�a�����ij��
�6�2�UR�k�g�g��=��E����as���k��-v��rect��9or�space�S�s�(all�su�ms�are�nit��Ee).��"}Y����iF�13.1�� ��Hi�8�s�Ot��wory�L�of�t��Vfhi�s�Mo�qd���ule��E��&j���5��E�	i�=�UR�f����W>���X���
㇍�i;j�v<�0�����a�����ij��J��x�����i��d��x�����j���\�:��a�����ij��
�6�2��k�g�g��"�������Ů�1.�����2Maca��2ulay's��\In��rv�e��r�[s�:}e�Sys�t��Eem"�(1921?)���X�����Ů2.�����2�E���i�)�s�`�an�inject��riv�e�`��A�-mo�S�d�ule,��in�f�)�act,�t���h��re�in�d���ecomp�S�o�!lsa�b�ޔle�inject�iv�e�as�!lso�S�cia���t��Ee�d�t��9o�t���h��re�����2pr�2"im��re��(�x;���y�n9�)�������Ů3.�����2�E���i�)�s�*�t���h��re�d�ualizin��9g�mo�S�d�ule�of��A�,�:�t���h�us�*��D��=��…Hom���<����A��#�(��;���E���)�i�)�s�a�d�ualizin��9g�fu�nct�or�for�nit��Ee�����2len��9gt���h��mo�S�d��rule�s�(so�doin��9g��D�>6�t��rwi��Jce�giv�e�S�s�y�ou�bac�k�wh�a���t�y�ou�s�[t�art��Ee�S�d�wit���h).�������Ů4.�����2Lo�S�cal��d��rualit�y�t���h�eorem:�8�t�hi�)�s��i�s�t���h��re�mo�S�d�ule�y�ou�\h���om�in��t��9o".��'�����iF�14����Coh��|omo�ʕlogy�B�of�P�������n���k����b#���iF�T��Vo�S�d��9ay��w��re�b�)�egin�t�o�compu�t��Ee��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����O�����X����(�`�))�for�all��i��an��rd�all��`�.����	:a)���H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����O�����X����(�`�))�i�)�s�t���h��re�v�ect��9or�space�of�forms�of�d���egree��`��in��S�)�=�UR�k�g�[�x�����0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�],�t���h�us��t6��p?�������`�2�&2�@�cmbx8�Z�����H���V����0���Z�(�O�����X����(�`�))�UR=��H�������V�0���ڍ�����(�O�����X����)�=����������(�O�����X���)�=��S��:�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��14.1.���^�O�Ther��ffe�35is�a�natur�al�map����i�[�H���V����0���Z�(�O�����X����(�`�))������H���V����i��R0�(�O�����X���(�m�))�UR�!��H���V����i��R0�(�O�����X���(�`����+��m�))�:�������iF�Pr��ffo�of.���2���h��2�UR�H���V���2�0���Z�(�O�����X����(�`�))��d���en��re�S�s�a�m���ap��O�����X��r��!�O�����X����(�`�)�giv��ren�b�y�1�UR�7!�����.�8�Thi�)�s��d���en�e�S�s�a�m���ap���ȍ��I.�O�����X��
�1�
���O�����X����(�m�)����C������(�m�)���_���UR����j���������������������f!����!V�O�����X���(�`�)��
�O�����X���(�m�)�����iFwhi��Jc��rh���giv�e�S�s�a�m���ap��O�����X����(�m�)���!�O�����X���(�`�b�+��m�).�`�Thi�)�s���in��rd�u�ce�S�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d�m���ap��H���V���2�i��R0�(�O�����X����(�m�))���!������iF�H���V���2�i��R0�(�O�����X����(�`����+��m�)).���x����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#17����:&���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�b)��'�H���V���2�i��R0�(�O�����X����(�`�))��=�0�wh��ren�0��<�i�<�n��an��rd�for�all��`�.�
 \(Thi�)�s�do�e�S�sn't�h���o�ޔld�for�arbitrary������iFquas�)�i-coh��re��ren��t��sh�e�!la�v�e�S�s!)����	:c)�
�H����2���V�n��RA��������(�X�Jg;����O�����X����)�i�)�s�a�grad���e�S�d��S��׹-mo�d��rule�whi��Jc�h�i�)�s�0�in�d���egree�S�s���UR�n�,�6�bu��9t�i�s�nonze��ro�in�d���egree�S�s�����iF��UR�n������1.�8�As��a��k�g�-v��rect��9or�space�it�i�)�s�equal�t�o��ީ���7�f����+m���X���
㇍�i��8:�j�����<�0����/�a�����i��q�0��*��;�:::���;i���n���˂�x����n��i��q�0���/č�0����	���������{�x������i���n����ڍ�n����c�:��URsu��9m��i�)�s�nit��Ee��AɃ�g�:��!iV��	:�d)��F��Vor��`�UR���0��t���h��re�m���ap��o���Cc��H���V����0���Z�(�O�����X����(�`�))������H���V����n�����(�O�����X���(��`����n����1))�UR�!��H���V����n�����(�O�����X���(��n������1))�����P���UR����԰���n:�=��������k�����iF�i�)�s��a�p�e��rfect�pair�2"in��9g�so�w��re�h�a�v�e�a�d�ualit�y�(whi��Jc�h�i�)�s�in�f�act�a�sp�ecial�cas�:}e�of�Se��rre�Dualit��ry).��'02����iF�15����Se�rre's�B�Finit��s�e�Gen��zse�ra���t�ion�B�Th�eorem��b#���iF�W��Ve��relax�t���h��re�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��f�2"rom�t���h�e�las�[t�lect�ure�an�d�claim�t���h�a���t�t���h�e�sam�e�re�S�sul��9t��es�are�s�[t�ill�true.��Mx�����iF�Th��eorem��15.1.���N�$�L��ffet�35�A��b�e�a�No�etherian�ring�and��X�Fչ=�UR�P����2��n��b��A������.�fiThen�������O�1.�����2�H����2���V�0��RA������Z�(�O�����X����)�UR=�������`�����H����2���V�0��y���`����(�O�����X����(�`�))�=��S�)�=��A�[�x�����0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�]���~�����O��2.�����2�H����2���V�i��RA�������(�O�����X����)�UR=�0�35�for�al���l��0�UR�<�i�<�n�������O��3.�����2�H����2���V�n��RA��������(�O�����X����)�UR=��f������P��������I����=�i��q�0��*��;�:::���;i���n���6a��a�����I���M�x����n��i��q�0���/č�0����	���������{�x����2��i���n���RA��n����c�:��a�����I��$��2��A�g���]�����O��4.�����2�H���V���2�0���Z�(�O�����X����(�`�))�r���H���V���2�n�����(�O�����X���(��`����n����1))�UR�!��H���V���2�n�����(�O�����X���(��n�r���1))���is�a�p��fferfe�ct��p�airing�of�fr�e�e��A�-������2mo��ffdules.�<�Notic�e���that��H���V���2�n�����(�O�����X����(��n������1))����is�a�fr��ffe�e����A�-mo�dule�of�r�ank�1�so�it�is�isomorphic�����2to�35�A�,�but��not��in�a�c��ffanonic�al�35way!��Mx��	:�Al��9t���h���ough���pair�2"in�g�i�)�s�in�gen��re��ral�not�fu�nct�or�2"ial�as�a�m���ap�in��t�o��A�,���t���h��re��re�i�)�s�a�sp�ecial�s�it��rua���t�ion�����iFin�)lwhi��Jc��rh�it�i�)�s.��,Let�
����2��1��뀍�X��|=k���u5�b�e�t���h��re�sh�e�!laf�of�die��ren��t�ials�on��X����=��(�P����2��n��y��k����P�.��,Let��!�.a�=�
����2��n��뀍X��|=k����=�����2�n���P�
����2�1���p�b�)�e�������iFt���h��re��t��9o�p�lev�el�die��ren��t�ials�(or�\d�ualizin��9g�mo�S�d�ule").�8�Th�en�som�e�m���ap�i�)�s�fu��9nct�or�2"ial�(??)�����2\Is���!�X�more�imp�S�ort��ran��t�t���h�an�
?"�8�{�Jano�!ls�Cs�)�ir�2"ik���?���2\Th��ra���t's��4a�v��X�alue�judgm�en��t...�y�ou�can�m���ak�e�y�our�o�wn�d���eci�)�s�ion��4on�t���h�a���t...�I��w�on't."�����2{��Hart��esh���or�)�n��re�������iF�Th��eorem��15.2�(Se�frre).���|�n�L��ffet�̖�X���b�e�a�pr�oje�ctive�scheme�over�a�No�etherian�ring��A�.�D4L�et��F����b�e�����iFany�35c��ffoher�ent�she�af�on��X���.�fiThen�������O�1.�����2�H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�35�is�a�nitely�gener��ffate�d�35�A�-mo�dule�for�al���l��i���~�����O��2.�����2for�35al���l��F�dF�ther��ffe�exists��n�����0���9�such�that�for�al�l��i�UR>��0�35�and�for�al�l��n�UR���n�����0����,�35�H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�(�n�))�=�0�.����	:�Th��re�p�fo�ޔllo�win��9g�w�as�dicul��9t�t�o�pro��rv�e�las�[t�s�:}em�e�S�s�[t��Ee��r�an�d�w�e�w�e��re�only�a�b�ޔle�t��9o�pro�v�e�it�u��9n�d���e��r�����iFsom��rewh�a���t��re�S�s�[tr�2"i��Jct�iv�e�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��on��A��(n���am��rely��V,�t���h�a���t��A��i�)�s�a�nit��Eely�gen�e��ra���t��Ee�S�d��k�g�-alge���bra).�������iF�Coro�ٙllary��15.3.���Q���(�X�Jg;����F�1�)�35�is�a�nitely�gener��ffate�d�35�A�-mo�dule.�������iFPr��ffo�of.���2��Set���i�UR�=�0�in�1.���^���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����}�����iF�Pr��ffo�of.���2��(of��t���h��reorem)����	:I.��W�R��ffe�duc�e��to�the�c��ffase��X�Fչ=�UR�P����2��r��b��A������.�)p�Us�:}e�t���h��re�f�)�act�t�h��ra���t�t�h��re�push�forw�ard�of�a�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s��xc��rh�em�e�����iFh��ras��t���h�e�sam�e�coh���omo�ޔlogy�t��9o�rep�lace��F���b��ry��i���������(�F�1�).����	:I�S�I.����Sp��ffe�cial��c�ase,���F��Z�=��I�O�����P������r���[b�(�`�)��any��`��2��Z�.���1.�an��rd���2.�b�S�ot���h�fo�ޔllo��rw�imm�e�S�dia���t��Eely�f�2"rom�t���h�e�����iFprevious��t���h��reorem.�8�Thi�)�s�i�s�wh��re��re�w�e�h�a�v�e�don�e�t���h�e�w�or��ek�in�exp�ޔli��Jcit�calcula���t�ions.����	:I�S�I�I.���Cr��ffanking�35the�Machine�of�Cohomolo�gy��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#�18����K����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�15.1�� ��A���p���p���li��cca��>t�ion:�Th�e�L�Ar�C�it��Vfhm�et�i�c�L�Gen��Vfus��@���iF�Let��2�k�RO�b�)�e�an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld�an��rd��V����V=�X�G��=��P����2��n��y��k���	���a��2pro��ject�iv�e�v��X�ar�2"iet�y��V.�:~Th�e�ar�2"it���hm�et�i��Jc������iFgen���us��of��V���i�)�s�����s��p�����a��Y!�=�UR(��1)������dim���d����V���,�(�p�����V��Vȹ(0)������1)�����iFwh��re��re�'^�p�����V��~&�i�)�s�t���h�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�of��V��p�,�v�t���h�us�'^�p�����V��Vȹ(�`�)�pf=��dim��������k��)@�(�S��=I�����V���)�����`��	 D�for�'^all��`�pf���0.��Th��re�����iFHil��rb�)�e��rt��p�S�o�ޔlynomial�d���ep�en��rds�on�t���h�e�pro��ject�iv�e�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�of��V��p�.��������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��15.4.���^�O�p�����V��Vȹ(�`�)�UR=�������P����*������1��	U_�����i�=0���AU�(��1)����2�i���dعdim���� ����k�� ��H���V���2�i��R0�(�O�����V���(�`�))�35�for��all��`�UR�2��Z�.����	:�Thi�)�s��re�S�d���en��re�s�t���h��re�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial.�8�F��Vurt���h�e��rmore,��"�R��?g2�p�����a��Y!�=�UR(��1)������dim���d����V���,�(�p�����V��Vȹ(0)������1)�=�(��1)������dim���d����V��������V��1������*���X���
㇍��+�i�=0���*A��(��1)�����i���dعdim���� ����k����(�H���V����i��R0�(�O�����V��Vȹ))��$l���iFwhi��Jc��rh��sh���o�ws�t���h�a���t��p�����a���Q�i�)�s�in��tr�2"ins�i��Jc,��9i.e.,�it�do�)�e�S�sn't�d���ep�en��rd�on�t���h�e�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�of��V���in�pro��ject�iv�e������iFspace.��(V����iF�16����Eule�r�B�Ch��zsaract��s�e�r�P!i�B�s�
[t�i��Jc��b#���iF�Fix���an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld��k�g�,���let��X�\ι=�kK�P����2��n��y��k����P�.�_�Sup��rp�o�!ls�:}e��F�(��i�)�s�a�coh��re��ren��t�sh�e�!laf�on��X��.�_�Th�en�����iFb��ry��Se��rre's�t���h�eorem��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�i�)�s�a�nit��Ee�dim�ens�)�ion���al��k�g�-v�ect��9or�space.�8�Let������%y�h�����i��dڹ(�X�Jg;����F�1�)�UR=��dim���ꚟ���k��*�H���V����i��R0�(�X�;����F�1�)�:�������iF�Denit��ion��16.1.���T�	�Th��re���Eule�fr��c��h�aract��2e�r�9�i�0s�	�t�i���c�꨹of��F���i�)�s�� ���������(�F�1�)�UR=�������	k��n��������X���
㇍�S�i�=0������(��1)�����i��d��h�����i���(�X�Jg;����F��)�:��%���	:�Th���us�����i�)�s�a�fu��9nct��rion����Coh���꨹(�X��)�UR�!��Z�.��������iF�Lemm��fa��16.2.���E���If�35�k��R�is�a�eld�and�����ˁ�0�UR�!��V�����1��V�!��V�����2���!��UP��������!��V�����N��n��!��0�����iF�is�35an�exact�se��ffquenc�e�35of�nite�dimensional�ve��ffctor�sp�ac�es,�then�������P����*������N��	U_����i�=1���8�(��1)����2�i���dعdim����V�����i���,�=�UR0�.�������iFPr��ffo�of.���2��Since�N�ev��re��ry�sh���ort�exact�s�:}equence�of�v�ect��9or�space�S�s�sp�ޔlit��es,�g�t���h�e�s�[t�a���t��Eem�en��t�i�)�s�true�wh�en������iF�N�Gڹ=��3.�q�If�St���h��re�s�[t�a���t��Eem�en��t�i�)�s�true�for�an�exact�s�:}equence�of�len��9gt���h��N�2����1�t�h��ren,�map�p�ޔlyin��9g�Sit�t�o�����iFt���h��re��exact�s�:}equence�����l�0�UR�!��V�����2����=V�����1��V�!��V�����3���!����������!��V�����N��n��!��0�;�����iF�sh���o��rws��t���h�a���t��dim����V�����2����=V�����1��j�������dim��?��V�����3���+�����������UN�����dim���V�����n�����=�UR0��f�2"rom�whi��Jc��rh�t���h�e�re�S�sul��9t�fo�ޔllo�ws.���0�,��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Lemm��fa��16.3.���E���If�s>�0����!�F��1���2�0���0�!�F���!�F���1���2�0���J���20���
i�!��0��is�an�exact�se��ffquenc�e�of�c�oher�ent�she�aves�on��X���,�����iFthen�����4���(�F�1�)�UR=���(�F������0���J�)���+���(�F�������0���J���0���M��)�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��A��X�p��rp�ޔly�S�t���h�e�a�b�S�o�v�e�lemm���a�t��9o�t���h�e�lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�t�akin��9g�in��t�o�accou�n��t�����iFt���h��ra���t���H���V���2�n�����(�F���1���2�0���J���20���M��)�UR=�0�b��ry�Se��rre's�v��X�ani�)�shin��9g�t���h�eorem.���ڱP��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#19����`a���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�More��ugen��re��rally��V,��Lan�y�m���ap����f�2"rom�an�a�b�)�elian�ca���t��Eegory�t��9o��Z��i�s�calle�S�d�addit��riv�e�if,��Lwh�en�ev�e��r��v�����0�UR�!�F��1����0��	Fg�!�F��1����1���!����������!�F��1����n��
.��!��0�����iFi�)�s��exact,�t���h��ren���R����������S�n�������ϟ��X���
㇍��U��i�=0�����'�(��1)�����i��d���(�F��1����i����)�UR=�0�:������	:�Que�`s�	�t��ion.�"��Giv��ren���an�a�b�)�elian�ca���t��Eegory��A��n�d�an�a�b�)�elian�group��A��an�d�a�m���ap��X�Fչ:�UR�A�!��A���n���iF�su��rc�h��Dt���h�a���t�ev�e��ry�addit�iv�e�fu��9nct�ion����
�:��A�!��G��f�)�act��9or�t���hrough��A����2���a��X���p��������!����`��A�.��In�t���h��re�ca���t��Eegory�of������iFcoh��re��ren��t��sh�e�!la�v�e�S�s�t���h�e�Grot���h�en�diec�k�group�so�ޔlv�e�S�s�t���hi�)�s�prob�ޔlem.����	:Let�2��X����=��9�P����2��n��y��k���	�-�an��rd�sup�p�S�o�!ls�:}e��F�c�i�)�s�a�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�on��X��.�~Th�e�Eule��r�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�in�d�u�ce�S�s�����iFa��m���ap�����'��Z�UR�!��Z��:��n��7!���(�F�1�(�n�))�:���9�����iF�Th��eorem��16.4.���N�$�Ther��ffe���is�a�p�olynomial��p�����F��
���2�UR�Q�[�z���]��such�that��p�����F��^<�(�n�)�=���(�F�1�(�n�))��for�al���l��n��2��Z�.����	:�Th��re�k�p�S�o�ޔlynomial��p�����F��^<�(�n�)�i�)�s�calle�d�t���h��re�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�of��F�1�.���Las�[t�s�:}em�e�S�s�[t��Ee��r�w�e�d���en�e�S�d������iFt���h��re��:Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�of�a�grad���e�d�mo�d��rule��M���o�v�e��r�t���h�e�r�2"in��9g��S��߹=�J�k�g�[�x�����0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�].�
n�Den�e�����iF�'�����M��
Lɹ:����Z��!��Z�.��b��ry��'�����M��	��(�n�)���=��dim���^!����k�����M�����n���P�.�Th�en�.�w�e�sh���o�w�e�S�d�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s�a�u��9nique�p�S�o�ޔlynomial��p�����M������iF�su��rc�h��t���h�a���t��p�����M��	��(�n�)�UR=��'�����M���(�n�)��for�all��n�UR���0.���������iF�Pr��ffo�of.���2��W��Ve�
gin��rd�u�ct�on��dim����(�sup�p���2�F�1�).��If��dim����(�sup�p���2�F�1�)�D5=�0�t���h��ren��sup�p����F�>x�i�)�s�a�u��9nion�of�clo�!ls�:}e�S�d�����iFp�S�oin��t��es�2�so��F�~�=��m�����2��k��RA�i�=1���AV�F�����p��8:�i����Ϲ.��Since�e�!lac��rh��F�����p��8:�i���&ʹi�)�s�a�nit��Ee�dim�ens�)�ion���al��k�g�-v�ect��9or�space�an�d��O�����X����(�n�)�i�)�s�����iFlo�S�cally��f�2"ree,�t���h��re��re�i�)�s�a�non-canoni��Jcal�i�somorphi�sm��F�1�(�n�)�UR=��F�۹
���O�����X����(�n�)�����P�������԰���n:�=��������F��.�8�Th���us��"����qfU������F��^<�(�n�)�UR=��h�����0����(�F�1�(�n�))�=��h�����0���(�F�1�)�=�������	�5�k��������X���
㇍�S�i�=1�������dim���*?����k��1c��F�����p��8:�i����!b&���iF�whi��Jc��rh��i�)�s�a�cons�[t�an��t�fu��9nct�ion,�h�ence�a�p�S�o�ޔlynomial.����	:Next�e�sup��rp�S�o�!ls�:}e��dim����(�sup�p���2�F�1�)�&y=��s�.���Let�e��x��2��S�����1���}�=��H���V���2�0���Z�(�O�����X����(1))�b�)�e�su��rc�h�t���h�a���t�t���h�e�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�����iF�H��-�:=����f�x��=�0�g�ɠ�do�)�e�S�sn't�con��t��rain�an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t�of��sup�p�����F�1�.���Mul��9t�ip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��x�����iF�d���en��re�S�s��`a�m���ap��O�����X����(��1)����2������x���p���.���Z�!�����O�����X��
�whi��Jc�h�i�)�s�an�i�somorphi�sm�ou��9t��es�id���e�of��H��V�.�2T��Vensor�2"in��9g�wit���h��F�����iF�giv��re�S�s���a�m���ap��F�1�(��1)�UR�!�F��.�&�Let����R��b�)�e�t���h��re�k�e��r�)�n�el�an�d��Q��b�)�e�t���h�e�cok�e��r�)�n�el,���t���h�en�t���h�e��re�i�)�s�an�exact�����iFs�:}equence�����S�0�UR�!�R�!�F�1�(��1)����2�����x���p��������!������F��c!�Q�!��0�:�������iF�No��rw��Ogsup�p��3��R�m�[���sup��rp��Q��Q�UR���sup��rp��9��F���\�m��H�<��so��Ogdim���(�sup��rp���2�R�)�����dim���(�sup��rp���F�1�)�m��\��H�B�<��UR�dim���(�sup��rp���F�1�)�Ogan��rd������iFdim����(�sup��rp���2�Q�)�Ύ����dim��c�(�sup��rp���F�1�)�A��\��H���<��Ύ�dim��c�(�sup��rp���F�1�)��Hso�b��ry�our�in�d�u�ct�ion�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��H��(�Q�(�n�))�����iFan��rd�:.��(�R�(�n�))�are�p�S�o�ޔlynomials.��
Twi�)�s�[t�in��9g�t���h�e�a�b�S�o�v�e�exact�s�:}equence�b�y��n��an�d�ap�p�ޔlyin��9g����yields��v��6G��(�F�1�(�n�))�������(�F��(�n����1))�UR=���(�Q�(�n�))�������(�R�(�n�))�UR=��P�����Q��q�(�n�)������P�����R���O�(�N�@�)�:�����iF�Th���us�Gt�h��re�r�[s�t�die��rence�fu��9nct��rion�of���(�F�1�(�n�))�i�)�s�a�p�S�o�ޔlynomial�so���(�F��(�n�))�i�)�s�a�p�S�o�ޔlynomial.���d��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Example�3516.5.���CD�Let�
�X�|X�=����P����2�1����an��rd��F���=��O�����X����.��1Th��ren��S�=��=��k�g�[�x�����0����;���x�����1���],���M�˹�=��S���an��rd��
dim���^�S�����n��	3%�=��n���+�1.������iFTh���us�K��p�����M��	��(�z���)���=��z�u��+���1�an��rd��p�����M��	��(�n�)�=��'�(�n�)�for��n����1.�\lCompu��9t��rin�g�t���h��re�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�in�����iFt��Ee��rms��of�t���h��re�Eule�r�c��rh�aract��Ee�r�2"i�)�s�[t�i��Jc��giv�e�S�s��!Kw��&F���(�F�1�(�n�))�UR=��h�����0����(�O�����X����(�n�))������h�����1���(�O�����X����(�n�))�UR=�����z��(����ǭ���
�(�n����+�1)����0����|/�n����1���fa���
0������(��n����1)�UR=��n����+�1����|/�n����2������!�$���iFTh���us���p�����F��^<�(�n�)�UR=��n����+�1.��2���	:Th��re��high�e��r�coh���omo�ޔlogy�correct��es�t���h�e�f�)�ailure�of�t���h�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�in�lo�w�e��r�d���egree�S�s.�����؉#20����p����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�17����Corre���sp�on��zsd���ence��b�B�et�w�een�An��|alyt�i��Jc�an�d�Alge���brai��Jc�Co-������h��|omo�ʕlogy��b#���iF�Hom��ew�or���k.�8�Ch��rapt��Ee��r��I�S�I�I,�4.8,�4.9,�5.6.�����	:Lo�S�ok�&a���t�Se��rre's�1956�pap�)�e�r��Ge��ffometrie�U#A��2lgebr�aique�et�Ge�ometrie�A��2nalytique�&�(GA��rGA).�����iF\Wh��ra���t��vare�t���h�e�pre��requi�)�s�it��Ee�S�s?"��Iasks��vJano�!ls.�\F��Vrenc�h,"��iansw�e��r�[s��vNghi.�\Is�t���h��re��re�an�En��9gli�)�sh�����iFtransla���t��rion"�ժasks�t���h�e�clas�!ls.���\T��Vransla���t�ion?�...�Wh�a���t�ժfor?�It's�so�b�)�e�!la��2u��9t��riful�in�t���h�e�F��Vrenc�h,"�����iFret��9ort��es��Hart�sh���or�)�n��re.����	:Let����F�+��b�)�e�a�coh��re��ren��t�sh�e�!laf�on��P����2��n��h���C����y�wit���h�it��es�Zar�2"i�)�ski�t��9o�p�S�o�ޔlogy��V.�h�Th�en�w�e�can�as�!lso�S�cia���t��Ee�t��9o��F�����iF�a��fsh��re�!laf��F��1���2�an���on��P����2��n��h���C���gS�wit���h�it��es�an���alyt�i��Jc�t��9o�p�S�o�ޔlogy��V.�1�F�w�i�)�s�lo�cally�a�cok��re��r�)�n�el��fof�a�morphi�sm�of�f�2"ree�����iFsh��re�!la�v�e�S�s��so�w��re�can�d���en�e��F��1���2�an���b�y�d���enin��9g��O����2��UV�an��b���X���
<j�.�8�Th�e�m���ap��3w�������Coh�����(�P������n���ڍ�C�����)����2����an���p���UR���
��!������'�Coh����2'���W�an��?((�P������n���ڍ�C����)������iFi�)�s��an�equiv��X�alence�of�ca���t��Eegor�2"ie�S�s�an��rd��������H���V����i��R0�(�X�Jg;����F�1�)����2��������p���UR���$!����\x�H���V����i���(�X������an��
ؗ�;��F��1����an��%)�����iFfor��all��i�.�8�If��X���=�C��i�)�s�an��re�t���h�e�corre�S�sp�on�din��9g��ob��ject��X����2���an��h���C����?�i�)�s�a�St��Ee�S�in�m���anifo�ޔld.��(V����iF�18����Ar�P!it��7�hm��zset�i��Jc�B�Gen�us�����iF�Let�x��X�F�,���!�UR�P����2��n��y��k���	!?�b�)�e�a�pro��ject��riv�e�x�v��X�ar�2"iet�y�wit���h��k���alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�an�d�sup�p�S�o�!ls�:}e��F���i�)�s�a�coh�e��ren��t������iFsh��re�!laf��on��X��.�8�Th�en�����A���(�F�1�)�UR=�������X�������(��1)�����i��d��h�����i���(�F��)��n��iFi�)�s��t���h��re�Eule��r�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�of��F�1�,��������P�����F��^<�(�n�)�UR=���(�F�1�(�n�))�����iFgiv��re�S�s��t���h�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�of��F���on��X��,�an�d�������+�p�����a��Ϲ(�X��)�UR=�(��1)������dim���d����X����(�P�����O��X.�X���4}�(0)������1)�����iFi�)�s�H�t���h��re�ar�2"it�hm��ret�i��Jc�H�gen�us�of��X��.��Th��re�ar�2"it�hm��ret�i��Jc�H�gen�us�i�)�s�in��rd���ep�en�d���en��t�H�of�t���h��re�c�h���oi��Jce�of�em��ekb�)�e�S�ddin��9g������iFof���X��+�in��t��9o��P����2��n��y��k����P�.����	:If���X��+�i�)�s�a�curv��re�t���h�en�����5�1������p�����a��Ϲ(�X��)�UR=��h�����0����(�O�����X����)������h�����1���(�O�����X����)�����iF.��VTh���us�(zif��X���i�)�s�an�in��t��Eegral�pro��ject��riv�e�(zcurv�e�t���h�en��h����2�0����(�O�����X����)���=�1�so��p�����a��Ϲ(�X��)�=��h����2�1����(�O�����X����).��VIf��X���i�)�s�a�����iFnons�)�in��9gular��pro��ject��riv�e�curv�e�t���h�en��p�����a��Ϲ(�X��)�UR=��h����2�1����(�O�����X����)�i�)�s�calle�S�d��t��ph��e��gen�us��of��X��.����	:Let�p��V�����1��0��an��rd��V�����2���b�)�e�v��X�ar�2"iet��rie�S�s,��t���h�us�p�t�h�ey�p�are�pro��ject�iv�e�in��t��Eegral�s��xc�h�em�e�S�s�o�v�e��r�an�alge���brai��Jcally�����iFclo�!ls�:}e�S�d�)jeld��k�g�.��%Th��ren��V�����1���n�an�d��V�����2���n�are��bira���t��ion��fally��equiv��@alen��ft��if�an�d�only�if��K�ܞ�(�V�����1����)�����P����$����԰�����=�����՟�K��(�V�����2���)�����iFo��rv�e��r���k�g�,�U�wh�e�re���K�ܞ�(�V�����i��dڹ)�i�)�s�t���h��re�fu��9nct�ion�eld�of��V�����i��dڹ.����V��`�i�)�s��ra���t��ion��fal��if��V��i�)�s�biron���a���t��rion�al��t��9o��P����2��n��y��k�������iF�for� lsom��re��n�.��,Since�a�ra���t�ion���al�m�ap�on�a�nons�)�in��9gular�pro��ject��riv�e� lcurv�e�alw�ays�ext��Een�ds,�m�t�w�o�����iFnons�)�in��9gular�0�pro��ject��riv�e�curv�e�S�s�are�bira���t�ion���al�if�an�d�only�if�t���h�ey�are�i�)�somorphi��Jc.�	Th���us�for�����iFnons�)�in��9gular��pro��ject��riv�e�curv�e�S�s�t���h�e�gen���us��g�X�i�)�s�a�bira���t�ion���al�in�v��X�ar�2"ian��t.�����؉#21�����̠��э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�18.1�� ��Th���e�L�Gen��Vfus�of�Plan�e�Curv�e�of�Degree��d��@���iF�Let�;�C�n�����P����2��2��y���k���
^��b�)�e�a�curv��re�of�d���egree��d�.�	*BTh�en��C���i�)�s�a�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s��xc��rh�em�e�;d���en�e�S�d�b�y�a�s�)�in��9gle������iFh���omogen��reous��p�S�o�ޔlynomial��f�G��(�x�����0����;���x�����1���;�x�����2���)��of�d���egree��d�,�t���h�us���������C�1�=��URPro��j���(�S��=�(�f�G��))�:����	:�Som��re��p�S�o�!ls�s�)�ibilit�ie�S�s��wh�en��d�UR�=�3��are:���������5������2�f��Q�:�UR�Y���p���2�2��
�����X��(�X�����2�2��\/���1),��a�nons�)�in��9gular�ellipt��ri��Jc�curv�e��������5������2�f��Q�:�UR�Y���p���2�2��
�����X�����2�2�����(�X��+���1),��a�no�S�d��9al�cu���bi��Jc��������5������2�f��Q�:�UR�Y���p���2�3��\t�,��a�tr�2"ip�ޔle�S�d��x�-axi�)�s��������5������2�f��Q�:�UR�Y��p�(�X�����2�2��\/�+����Y�����2�2��
���1),��t���h��re�u��9nion�of�a�circle�an�d�t���h�e��x�-axi�)�s����	:No��rw��w�e�compu��9t��Ee��p�����a��Ϲ(�C�ܞ�).�8�Let��I�Fչ=�UR(�f�G��)�wit���h��d���eg���?�f��Q�=��d�.�8�Th��ren�����f@1������p�����a��Y!�=�UR�h�����0����(�O�����C����)����h�����1���(�O�����C����)�+��h�����2���(�O�����C����)�UR=���(�O�����C���)�:�����iF�W��Ve��h��ra�v�e�an�exact�s�:}equence������0�UR�!�I�����C��
t��!�O����P������2������!�O�����C���!��0�:�����iF�No��rw�O��I�����C������P���������԰����ȹ=�����G�O����P������2���Y��(��d�)�s�)�ince��O����P������2����(��d�)�can�b�)�e�t���h���ough��rt�of�as�b�e�S�in��9g�gen��re��ra���t��Ee�d�b��ry�1�=f����on�����iF�D�����+��x�(�f�G��)�P�an��rd�b�y�som�et���hin��9g�els�:}e�els�ewh��re��re,���an�d�P�t���h�en�m���ul��9t�ip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��f���giv�e�S�s�an�inclus�)�ion�����iF�so����P������2���Y��(��d�)�j�����D����+��n�(�f����)��~��!�URO����P������2����j�����D����+��n�(�f����)��)7�,��et��rc.�8�Th�e��refore�����C,��(�O�����C����)�UR=���(�O����P������2���Y��)�������(�O����P������2����(��d�))�:�����iF�No��rw����W�B��(�O����P������2���Y��)�UR=��h�����0����(�O����P������2����)������h�����1����(�O����P������2����)�+��h�����2����(�O����P������2����)�UR=�1���+�0�+�0�����iFan��rd�������Z��(�O����P������2���Y��(��d�))�UR=��h�����0����(�O����P������2����(��d�))������h�����1����(�O����P������2����(��d�))�+��h�����2����(�O����P������2����(��d�))�UR=�0���+�0�+������ō���1���۟[��z����
�΍2�����
�
(�d����1)(�d����2)�:��;>���iF�F��Vor��t���h��re�las�[t�compu��9t�a���t�ion�w�e�us�:}e�S�d�d�ualit�y�(14.1)�t��9o�s�:}ee�t���h�a���t������Al�h�����2����(�O����P������2���Y��(��d�))�UR=��h�����0���(�O����P������2���Y��(�d������3)�UR=��dim����S�����d��3��v�=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)�:������iF�Th���us����(�O�����C����)�UR=�1���������Fu�����1���۟���z�@���2�����	Q�(�d����1)(�d����2)�so�� �P���K�p�����a��Ϲ(�C�ܞ�)�UR=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)�:��(V����iF�19����Not�B�Enough�Pro�ject��zsiv�e���s��b#�����iF�Exer��ffcise�3519.1.���A�{�Pro��rv�e���t���h�a���t�t���h�e�ca���t��Eegory�of�quas�)�i-coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s�on��X�pŹ=�B�P����2��1��y���k���	�D�do�)�e�sn't�h��ra�v�e�����iFenough��pro��ject��riv�e�S�s.��������iF�Pr��ffo�of.���2��W��Ve�g�sh���o��rw�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s�no�pro��ject�iv�e�ob��ject��P�ړ2������Qco������(�X��)�alon��9g�wit���h�a�surject�ion�����iF�P�Q�!�URO�����X��r��!��0.�����؉#22��������э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Lemm��fa��19.2.���E���If����P�����h��-�'��J����������!�����TO�����X���{�is�surje��ffctive�and��P�ڈ�is�quasi-c�oher�ent,��then�ther�e�exists��`��such������iFthat�35�H���V���2�0���Z�(�P�(�`�))�UR�!��H���V���2�0���(�O�����X����(�`�))�35�is�surje��ffctive.�����	:�Th��re��false��pro�S�of�of�t���hi�)�s�lemm���a�i�s�t��9o�wr�2"it��Ee�do��rwn�an�exact�s�:}equence�0�UR�!�R�!�P�Q�!�O�����X��r��!��0�����iFt���h��ren��us�:}e�t�h��re�\f�)�act"�t�h��ra���t��H���V���2�1���Z�(�R�(�`�))�V=�0��for�sucien��t�ly�large��`�.�:9Thi�)�s�do�e�S�sn't�w��ror��ek�b�eca��2us�:}e��R�����iF�migh��rt���not�b�)�e�coh�e��ren��t�s�)�ince�it�i�s�only�t���h��re�quot�ien��t�of�quas�)�i-coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s.�DA���v��X�alid�w�ay�t��9o�����iFpro�S�cee�d���i�)�s�t��9o�us�:}e�(I�S�I,�Ex.�%�5.15)�t�o�wr�2"it��Ee��P����as�an�as��xcen��rdin�g�u�nion�of�it��es�coh��re��ren��t�su���b�!lsh�e�a�v�e�S�s,�����iF�P�Q�=�UR�[�����i��d��P�����i���.�'gTh��ren��=s�)�ince��'��i�s�surject��riv�e,����O�����X��r۹=�UR�[�����i��d��'�(�P�����i���),�wh��re��re��=�'�(�P�����i���)�i�)�s�t���h��re�sh�e�!laf�im���age.�'gUs�)�in��9g�����iFt���h��re��f�)�act�t�h��ra���t��'�(�P�����i��dڹ)�i�)�s�t�h��re�sh�e�!laf�im���age,��t���h�a���t��O�����X��,@�i�)�s�coh�e��ren��t�an�d�t���h�a���t�t���h�e�u��9nion�i�)�s�as��xcen�din��9g,�����iFt���hi�)�s��imp�ޔlie�S�s��O�����X��r۹=�UR�'�(�P�����i��dڹ)�for�som��re��i�.�8�W��Ve�no�w�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence�������?0�UR�!�R�����i���,�!�P�����i���!�O�����X��r��!��0�����iFwit���h����R�����i��Z��coh��re��ren��t�s�)�ince��P�����i���an��rd��O�����X��R�are�b�S�ot���h�coh�e��ren��t.�ZDTh���us��H���V���2�i��R0�(�R�����i��dڹ(�`�))�hD=�0���for��l�����hD�0�whi��Jc�h,������iFup�S�on��compu��9t��rin�g�t���h��re�lon�g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy��V,�giv��re�S�s�t���h�e�lemm���a.����	:No��rw��x�su�c�h�an��`�.�8�W��Ve�h�a�v�e�a�comm���u��9t�a���t�iv�e�diagram��.:Y�����N-����H�P�������ˡ;��ҡ;��������������������UO!�������q�O�����X��������
������󍍑�����������������UO!������.��0���Kl���������9��9��������3,������?��38�����?�������y�����������������������3,���G�?��38���G�?�����G�y�����������������$T�O�����X����(��`������1)�������ˡ;���ҡ;��������������������UO!�������7�k�g�(�p�)�������
������󍍑�����������������UO!������.��0���������iFTwi�)�s�[t��rin��9g��b�y��`��giv�e�S�s�a�comm���u��9t�a���t�iv�e�diagram��.������鴔����'%�P����(�`�)�������������ü���������������������UO!�������O�����X����(�`�)�������9����
9���������������������UO!������*��0���Kl�������������3,���ڰ�?��38���ڰ?�����ڰy�����������������������3,���{'?��38���{'?�����{'y�����������������ت�O�����X����(��1)�������������ü���������������������UO!���������k�g�(�p�)�������9����
9���������������������UO!������*��0������/Kl���iFLet���s�UR�2��(�O�����X����(�`�))�b�)�e�a�global�s�:}ect��rion�whi��Jc�h�i�)�s�nonze��ro�a���t��p�,��t���h�en�t���h�e��re�i�)�s��t�UR�2��(�P����(�`�))�whi��Jc��rh������iFm���ap�!ls�0�t��9o��s�.���Bu�t�t���h��ren�b�y�comm���u��9t�a���t�ivit�y��t��m���us�[t�m���ap�t��9o�som�e�elem�en��t�of�(�O�����X����(��1))�UR=�0�0�whi��Jc�h�����iFm���ap�!ls��t��9o�a�nonze��ro�elem��ren��t�of��k�g�(�p�),�whi��Jc�h�i�)�s�a�b�!lsurd.�����d��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(V����iF�20����Som��zse�B�Sp�B�ecial�Cas�]{e���s�of�Se�rre�Dualit�y���#����iF�20.1�� ��Examp���le:��!",�ff
cmsy10�O��(��X��ޑ�on�L�Pro��!ject���iv�e�Space��@���iF�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k����P�,�t���h�en�t���h�e��re�i�)�s�a�p�e��rfect�pair�2"in��9g�����A���H���V����0���Z�(�O�����X����(�`�))������H���V����n�����(�O�����X���(��`����n����1))�UR�!��H���V����n�����(�O�����X���(��n������1))�����P���UR����԰���n:�=��������k�g:�����iF�F��Vor��t���hi�)�s�s�:}ect��rion�let������O��!�����X��r۹=�UR�O�����X����(��n������1)�:�����iF�Beca��2us�:}e��t���h��re�pair�2"in��9g�i�)�s�p�e��rfect�w��re�h�a�v�e�a�non-canoni��Jcal�bu��9t�fu�nct�or�2"ial�i�)�somorphi�sm��������H���V����0���Z�(�O�����X����(�`�))�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����n�����(�O�����X���(��`������n����1))�����0���9�:�����iF�(If���V���i�)�s�a�v��rect��9or�space�t���h�en��V���p���2�0��	UQ�d���enot��Ee�S�s�it��es�d�ual.)�����؉#23�����w���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�20.2�� ��Examp���le:�Coh���e��ren���t�L�sh�e�-9af�on�Pro��!ject�iv�e�Space��@���iF�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���F���i�)�s�an�y�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�on��X�Fչ=�UR�P����2��r��y��k���#��.�8�View��Hom��d1(�F�1�;���!�n9�)�as�a��k�g�-v�ect��9or�space.�����	:By��fu��9nct�or�2"ialit��ry�an�d�s�)�ince��H���V���2�n�����(�!�n9�)�UR=��k�QŹt���h��re��re�i�)�s�a�m���ap��t��]���'�UR�:��Hom����(�F�1�;���!�n9�)��!���Hom��(�H���V����n�����(�F�1�)�;���H���V����n���(�!�n9�))�UR=��H���V����n�����(�F��)�����0���9�:�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��20.1.���^�O�'�35�is�an�isomorphism�for�al���l�c��ffoher�ent�35she�aves��F�1�.��v#�����iFPr��ffo�of.���2�Case�RZ1.����If���F���=����O�����X����(�`�)�for�som��re��`��2��Z��t���h��ren�t�hi�)�s�i�s�jus�[t�a�re�S�s�t��ra���t��Eem�en��t��of�t���h��re�previous�����iFexamp�ޔle.����	:�Case�O�2.��
�If� b�E�wE�=�d������2��k��RA�i�=1���AV�O�UV�(�`�����i��dڹ)�i�)�s�a�nit��Ee�direct�su��9m,�m�t���h��ren�t�h��re�s�[t�a���t��Eem�en��t�fo�ޔllo�ws�f�2"rom�t���h�e�����iFcomm���u��9t��ra���t�ivit�y��of�t�h��re�fo�ޔllo�win��9g�diagram.��2<�������䍍��q'Hom�����(�����2��k��RA�i�=1���AV�O�UV�(�`�����i��dڹ)�;���!�n9�)�������ٗ:����:��������������������UO!�������w6�H���V���2�n�����(�����2��k��RA�i�=1���AV�O�UV�(�`�����i��dڹ))����2�0����Kl�������������3,����-�?��38����-?������-y��������F������⍍���.����������.�=��������������������3,��!,�?��38��!,?����!,y��������F������⍍�)-��������)-�=�������������p'�����2��k��RA�i�=1����AT�Hom��(��(�O�UV�(�`�����i��dڹ)�;���!�n9�)�������ٗ:����:��������������������UO!��33���H���������w6�����2��k��RA�i�=1���AV�H���V���2�n�����(�O�UV�(�`�����i��dڹ))����2�0�������2<���	:�Case�353.�8�No��rw��let��F���b�)�e�an�arbitrary�coh�e��ren��t�sh�e�!laf.�8�View��'��as�a�morphi�)�sm�of�fu��9nct�or�[s��������Hom���$v(��;���!�n9�)�UR�!��H���V����n�����(��)�����0���9�:�����iF�Th��re���fu��9nct�or��Hom��.(��;���!�n9�)�i�)�s�con��tra��rv��X�ar�2"ien�t�left�exact.���H���V���2�n�����(��)�i�)�s�co��rv��X�ar�2"ian�t�r�2"igh��rt�exact�s�)�ince��X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k�������iF�so���H���V���2�n�+1��r"�(�F�1�)�UR=�0�for�an��ry�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��F�1�.�8�Th���us��H���V���2�n�����(��)����2�0����i�)�s�con��tra�v��X�ar�2"ien�t��left�exact.��������iF�Lemm��fa��20.2.���E���L��ffet�35�F�dF�b�e�any�c�oher�ent�she�af.�fiThen�ther�e�exists�a�p�artial�r�esolution�����{E�E�����1��V�!�URE�����0���!�F��c!��0�����iF�by�35she��ffaves�of�the�form�������i��d��O�����X����(�`�����i���)�.����	:�By�.�(I�S�I,�5.17)�for��`�UR���0,�T0�F�1�(�`�)�.�i�)�s�gen��re��ra���t��Ee�d�b��ry�it��es�global�s�:}ect�ions.��.Th���us�t�h��re��re�i�)�s�a�surject�ion������3�O������UV�m���ڍX����l�!�URF�1�(�`�)��!��0�����iFwhi��Jc��rh��up�S�on�t�wi�)�s�[t�in��9g�b�y���`��b�)�ecom�e�S�s�����F��E�����0��V�=�UR�O�����X����(��`�)�����m��Z�!�F��c!��0�:�����iF�Let���R��b�)�e�t���h��re�k�e��r�)�n�el�so��������0�UR�!�R�!�E�h!�F������iF�i�)�s�@�exact.�;PSince��R��i�s�coh��re��ren��t,�VWw�e�@�can�rep�e�!la���t�t���h��re�argu��9m�en��t�a�b�S�o�v�e�t��9o�n�d��E�����1��	ѹsurject�in��9g�on��t�o�����iF�R�.�8�Thi�)�s��yields�t���h��re�d���e�S�s�ire�d��exact�s�:}equence.����	:No��rw���w�e�ap�p�ޔly�t���h�e�fu��9nct�or�[s��Hom���Q(��;���!�n9�)�an��rd��H���V���2�n�����(��)����2�0���9�.��Thi�)�s�re�S�sul�t��es�in�a�comm���u�t��ra���t�iv�e�diagram��/?덍��鴔���F�|0�������S�v���Z�v��������������������UO!�������w�r�Hom����(�F�1�;���!�n9�)���������\�����\��������������������UO!���������X�Hom���E�(�E�����0����;���!�n9�)�������a���� a���������������������UO!�������=A��Hom��U�(�E�����1����;���!�n9�)���Kl�������������3,��E�y�?��38��E�y?����E�yy������������������|�;�'�(�F��(�)��������3,������?��38�����?�������y��������������������f�'�(�E��q�0��*��)��������3,�����?��38����?������y�����������������������3,��V(?��38��V(?����V(y����������^)�'�(�E��q�1��*��)���������F�|�0�������S�v���Z�v��������������������UO!�������Ɏ�H���V���2�n�����(�F�1�)����2�0����������\�����\��������������������UO!��������t�H���V���2�n�����(�E�����0����)����2�0��������a���� a���������������������UO!������Fo��H���V���2�n�����(�E�����1����)����2�0����������iF�F��Vrom�K�cas�:}e�S�s�1�an��rd�2,�c�t���h�e�m���ap�!ls��'�(�E�����0����)�an�d��'�(�E�����1����)�are�i�)�somorphi�sms�K�so��'�(�F�1�)�m���us�[t�also�b�)�e�an������iFi�)�somorphi�sm.����(ń�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#24�����y���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�20.3�� ��Examp���le:�Se��rre�L�Dualit���y�on�P����=��n��	?��k����@���iF�Let���X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k���	���an��rd��F���b�)�e�a�coh�e��ren��t�sh�e�!laf.�8�Th�en�for�e�!lac�h��i��t���h�e��re�i�)�s�an�i�somorphi�sm��_����c�'�����i���,�:��URExt�����x��/�i������/�O��X.�X����$M��(�F�1�;���!�n9�)�UR�!��H���V����n��i����(�F��)�����0���9�:��'�獍��iF�21����Th��zse�B�F��o[u��9nct�or���D��tG�G�cmr17�Ext���b#���iF�Let���(�X�Jg;����O�����X����)�b�)�e�a�s��xc��rh�em�e���an�d��F�1�;����G�,02���v�Mo�`d����<�(�O�����X����).�r|Th�en��Hom��we(�F�1�;����G��.�)�v�2����A��@b���gɹ.�r|View��Hom��we(�F�1�;�����)������iFas�?4a�fu��9nct�or���?4�Mo�`d��� �n�(�O�����X����)����!����A��@b������.�	6�Not��Ee�?4t���h��ra���t��Hom����(�F�1�;�����)�i�)�s�left�exact�an�d�co�v��X�ar�2"ian��t.�	6�Since�������iF�Mo�`d���׀�(�O�����X����)��h��ras�enough�inject�iv�e�S�s�w�e�can�t�ak�e�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s.���􍍍��iF�Denit��ion��21.1.���T�	�Th��re���pExt����fu��9nct�or�[s���pExt�����x��`M�i������`M�O��X.�X����#�ʹ(�F�1�;�����)��pare�t���h�e�r�2"igh�t�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s��pof��Hom��������O��X.�X���)Jv�(�F�1�;�����)�����iFin��t���h��re�ca���t��Eegory����Mo�`d���X�(�O�����X����).����	:Th���us��t��9o�compu�t��Ee��Ext�����x�����i���������O��X.�X����$��(�F�1�;����G��.�),�t��rak�e��an�inject��riv�e��re�S�so�ޔlu�t�ion��_���V�0�UR�!�G��!��I������0��	��!��I������1���!������������iF�t���h��ren�������-UExt�����x����2�i��������2�O��X.�X�����%��(�F�1�;����G��.�)�UR=��H���V����i��R0�(�Hom���y�����O��X.�X�����(�F��(�;I���ҟ�������&�)��?)Ϲ)�:��8������iF�R��ffemark�3521.2.���>�u�W���ar�0nin��g!�ƹIf�W[�i�UR�:��X�F�,���!��P����2�n�����i�)�s�a�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s��xc��rh�em�e�of��P���Ɵ��2�n��
�q�t���h�en��Ext�����x��8�i������8�O��X.�X����$O��(�F�1�;����G��.�)�n�ee�S�d������iF�not�꨹equal��Ext�����x�����i���������P������n����"���(�i���������(�F�1�)�;���i��������(�G��.�)).�8�Wit���h��coh���omo�ޔlogy�t�h��re�S�s�:}e�are�t�h��re�sam�e,�bu��9t�not�wit���h��Ext����!���z�����iF�Example�3521.3.���CD�Sup��rp�S�o�!ls�:}e�/��F���=��
�O�����X����,�At���h�en��Hom����Z����O��X.�X���*�׹(�O�����X����;����G��.�)��
=�(�X�Jg;��G��.�).�[Th���us��/�Ext�����x����i��������O��X.�X����%(+�(�O�����X����;���)�/�are�����iFt���h��re�;vd���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s�of�(�X�Jg;�����)�in����Mo�`d��� ���(�O�����X����).�	+ISince�w��re�can�compu�t��Ee��r�coh���omo�ޔlogy�us�)�in�g�����iF
asque��sh��re�!la�v�e�S�s�t���hi�)�s�imp�ޔlie�s��Ext�����x��ġ�i������ġ�O��X.�X����$��(�O�����X����;�����)�z�=��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;���).�{3Th���us���Ext���egen��re��ralize�S�s���H���V���2�i��R�bu��9t�w�e�get�����iFa��lot�more�b�)�e�S�s�id���e�s.��"z<����iF�21.1�� ��Sh���e�-9af��L˾Ext���@���iF�No��rw��w�e�d���en�e�a�n�ew�kin�d�of��Ext����.�8�Th�e�sh�e�!laf�h���om�fu��9nct�or��_���v��H���om�����Ÿ���O��X.�X�����?�(�F�1�;�����)�UR:����Mo�`d���Ì�(�O�����X����)��!����Mo�`d����(�O�����X����)�����iFi�)�s�5co��rv��X�ar�2"ian��t�an�d�left�exact.��Since����Mo�`d����o�(�O�����X����)�h�as�enough�inject�iv�e�S�s�w�e�can�d���en�e�S�d�t���h�e�d���e��r�2"iv�e�S�d������iFfu��9nct�or�[s����E�ùxt�����y���i�������O��X.�X����$L��(�F�1�;�����).���������iF�Example�3521.4.���CD�Cons�)�id���e��r��*t���h��re�fu��9nct�or���*Ext�����x����i��������O��X.�X����%҄�(�O�����X����;�����).�gSince���*�H���om����͟���O��X.�X���,�J�(�O�����X���;��G��.�)���=��G��X�t���hi�)�s��*i�s�t���h��re�����iFid���en��t��rit�y��fu��9nct�or�whi��Jc��rh�i�)�s�exact�so��"4{����Ext�����x������i����������O��X.�X�����i�(�O�����X����;����G��.�)�UR=�����z��(����ǭ���
�G�v&�i��=�0���fa���
0����i�>��0������"4|��	:Wh��ra���t�^if�w�e�h�a�v�e�a�sh���ort�exact�s�:}equence�in�t���h�e�r�[s�t�^v��X�ar�2"ia�b�ޔle�S�s,�HKdo�w�e�get�a�lon��9g�exact�����iFs�:}equence?�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��21.5.���^�O�The��Ifunctors���Ext����&���x�i��#I�and���E�ùxt���*����y�i�����ar��ffe���s2�-functors�in�the�rst�variable.�TpThus�if��_�����0�UR�!�F��1����0��T��!�F��c!�F���1����0���J���0���	���!��0�����iF�is�35exact�then�ther��ffe�is�a�long�exact�se�quenc�e��������iF�0�UR�!�����������Hom��$(�F���1����0���J���0���M��;����G��.�)�UR�!���Hom����(�F�1�;��G��.�)��!���Hom����(�F��1����0���J�;��G��.�)��!���������ծ�Ext��������x�1��Y��(�F���1����0���J���0���M��;����G��.�)�UR�!���Ext���/���x�1���3�(�F�1�;��G��.�)��!���Ext���/���x�1���3�(�F�1�;��G��.�)��!�������������؉#�25�����e���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�Th��re�x�conclus�)�ion�of�t���hi�s�pro��rp�S�o�!ls�it�ion�x�i�s�not�ob��rvious�b�eca��2us�:}e�w��re�t���h�e��Ext���<z���x�i���as�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s������iFin��t���h��re�s�:}econ�d�v��X�ar�2"ia�b�ޔle,�not�t���h�e�r�[s�t.��������iF�Pr��ffo�of.���2��Sup��rp�S�o�!ls�:}e��nw�e�are�giv�en�0�UR�!�F��1���2�0��T��!�F��c!�F���1���2�0���J���20���	���!��0�an��rd��G��.�.� wCh���o�S�o�!ls�:}e�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�����iF0�UR�!�G��!��I�����2���	r��of��+�G��.�.�+Since��Hom��:�(��;���I�����2�n���ӹ)�i�)�s�exact�(b��ry�d���enit�ion�of�inject�iv�e�ob��ject),��wt���h�e�s�:}equence�����U�0�UR�!���Hom����(�F���1����0���J���0���M��;���I�����������)��!���Hom��(�F�1�;���I�����������)��!���Hom��(�F��1����0���J�;���I�����������)��!��0�����iFi�)�s�T�exact.��By�gen��re��ral�h���omo�ޔlogi��Jcal�alge���bra�t���h�e�S�s�:}e�giv�e�r�2"i�)�s�:}e�a�lon��9g�exact�s�equence�of�coh���omo�ޔlogy������iFof��t���h��re�S�s�:}e�comp�ޔlexe�s.�8�F��Vor���E�ùxt������y�i��g��s�)�imp�ޔly�s��xcr�2"ipt��rify�ev�e��ryt���hin��9g!����b���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����"ʫ����iF�21.2�� ��Lo�qcally�L�F����ree�Sh���e�-9a�v�e�s��@�����iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��21.6.���^�O�Supp��ffose��E���is�a�lo�c�al���ly�fr�e�e��O�����X����-mo�dule�of�nite�r�ank.�L�et��E��ß��2�_��
�Ź=��URHom����(�E���;����O�UV�)�.�����iFF���or�35any�she��ffaves��F�1�,��G��.�,��������Ext�����r���x�i���/L�(�F�۹
���E���;����G��.�)�����P���UR����԰���n:�=��������Ext���"�؟��x�i��&(��(�F�1�;��G�`�
�E�����_��=s�)�����iF�and�����U
��E�ùxt���g7����y�i��j�й(�F�۹
���E���;����G��.�)�����P���UR����԰���n:�=���������E��xt���"-d���y�i��%�>�(�F�1�;��G�`�
���E������_��=s�)�����P���UR����԰���n:�=���������E��xt���"-d���y�i��%�>�(�F�1�;��G��.�)����
�E�����_��=s�:��������iF�Lemm��fa��21.7.���E���If�f�E�x��is�lo��ffc�al���ly�ffr�e�e�of�nite�r�ank�and��I��52����m�Mo�`d���!��(�O�����X����)��is�inje�ctive�then��I��
��LE�����iF�is�35inje��ffctive.�������iFPr��ffo�of.���2��Sup��rp�S�o�!ls�:}e�݄0���!�F�#�!�G����i�)�s�an�inject��rion�an�d�t���h�e��re�i�)�s�a�m���ap��'��:��F�#�!�I�2�
�PE�ù.�uT��Vensor�����iFev��re��ryt���hin��9g��wit�h��E��ß��2�_��=s�.���Th��ren�w�e�h�a�v�e�an�inject�ion�0�1��!�F��S
�iBE����2�_��oG�!�G�p
�E����2�_��@�an��rd��a�m���ap��'����2�0��
�:�����iF�F�E
��4E����2�_��
�#�!���I��ȹ.��Since�#F�I��i�)�s�inject��riv�e�#Ft���h�e��re�i�)�s�a�m���ap��G��b
��4E����2�_��
�#�!���I��whi��Jc�h�m���ak�e�S�s�t���h�e�ap�pro�pr�2"ia���t��Ee�����iFdiagram���comm���u��9t��Ee.�R�T��Vensor�2"in�g�ev��re��ryt���hin�g�wit���h��E����giv��re�S�s�a�m���ap�m�akin��9g�t���h��re�or�2"igin�al�diagram�����iFcomm���u��9t��Ee.����<���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������iF�of�35pr��ffop�osition.���C�ԹLet��0�UR�!�G��!�I���ȟ��2���	�t�b��ry�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��G��.�.�8�Since������~��Hom���T|(�F�۹
���E���;����I���ȟ������̹)�UR=��Hom����(�F�1�;��I���ȟ�����Mt�
���E�����_��=s�)�;�����iF�w��re��s�:}ee�t���h�a���t��������0�UR�!�G�`�
���E�����_��
���!�I���ȟ�����i��
�E���_������iF�i�)�s��an�inject��riv�e��re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��G�`�
���E��ß��2�_��=s�.�8�Th���us��Hom��d1(�F�1�;����I���ȟ��2���Mt�
�E��ß��2�_��=s�)�compu��9t��Ee�S�s��Ext����(�F�۹
�E���;�����).����Ԅ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��21.8.���^�O�If�35�F�dF�has�a�lo��ffc�al���ly�35fr�e�e�r�esolution��E�������1��!�URF��c!��0��then������m �E�ùxt�����y������i����������O��X.�X�������(�F�1�;����G��.�)�UR=��H���V����i��R0�(��H���om���(�E���������;��G��.�))�:�������iF�R��ffemark�3521.9.���>�u�Not��ri��Jce��t���h�a���t�wh�en��i�UR>��0�an��rd��E��k�i�)�s�lo�S�cally�f�2"ree,���������E�ùxt�����I���y�i��� #�(�E���;����G��.�)�UR=���E��xt��������y�i��畹(�O�����X����;����G�`�
���E������_��=s�)�=�0�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Regard���b�S�ot���h�s�)�id���e�s�as�fu��9nct�or�[s���in��G��.�.��Th��re�left�h�an�d�s�)�id���e�i�s�a���s2�-fu��9nct�or���an��rd�v��X�ani�sh��re�S�s�for������iF�G�i�inject��riv�e.�&LI���claim���t���h�a���t�t���h�a���t�r�2"igh�t�h�an�d�s�)�id���e�i�s�also�a���s2�-fu��9nct�or�an��rd�v��X�ani�)�sh�e�S�s�for��G��.�-inject�iv�e.��������iF�Lemm��fa��21.10.���LL��If�35�E�E��is�lo��ffc�al���ly�35fr�e�e,�then���H���om���(�E���;�����)��is�exact.��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#�26����ޣ���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�22����More�B�T��o[ec��zshni��Jcal�Re���sul��9t���s�on���Ext���b#���iF�Let�=(�X�Jg;����O�����X����)�b�)�e�a�s��xc��rh�em�e�=an�d��F�1�;����G��9�b�)�e�sh�e�!la�v�e�S�s�in�t���h�e�ca���t��Eegory����Mo�`d����E�(�O�����X����).�0	Th�en��Ext���(�F�1�;����G��.�)������iFan��rd����E�ùxt��(�F�1�;����G��.�)��are�t���h�e�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s��of��Hom��d1,�re�sp.��8��H���om��#�,�in�t���h��re�s�:}econ�d�v��X�ar�2"ia�b�ޔle.��ri�����iF�Lemm��fa��22.1.���E���If�	��F�:��and��G��
�ar��ffe�c�oher�ent�over�a�No�etherian�scheme��X���,�?�then���E�ùxt���7E���y�i����(�F�1�;����G��.�)��is�����iFc��ffoher�ent.����	:�Thi�)�s�RJlemm���a�w��rould�fo�ޔllo�w�imm�e�S�dia���t��Eely�f�2"rom�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�f�)�act�whi��Jc�h�w�e�h�a�v�en't�pro�v�e�S�d�����iFy��ret.�������iF�F���act��22.2.���3���L��ffet�35�X�Fչ=��URSp�)�ec����A��with��A��No�etherian�and�let��M�t�b�e�an��A�-mo�dule.�fiThen��p%�������Ext�����x������i����������O��X.�X������R�(����x��Z!~�����M�����;����x��_u�~��������N������)�UR=��Ext�����x��/�i������/A�����(�M���;���N�@�)�����iF�and����������E�ùxt�����y�����i���������O��X.�X�������(����x��Z!~�����M�����;����x��_u�~��������N������)�UR=�(�Ext�����x�����i��������A������(�M���;���N�@�))����������~�����:����	:�Ins�[t��Ee�!lad��of�us�)�in��9g�t���h��re�f�act�w��re�can�pro�v�e�t���h�e�lemm���a�us�)�in��9g�a�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�f�2"rom�y�e�S�s�[t��Ee��rd��9ay��V.��{x�����iF�Pr��ffo�of.���2��Ch���o�S�o�!ls�:}e��a�lo�cally�f�2"ree�re�so�ޔlu��9t��rion�����b��L�������V�!�URF��c!��0�����iFof���F�1�.�8�Th��ren��������3�E�ùxt����	����y�i���nv�(�F�1�;����G��.�)�UR=��H���V����i��R0�(��H���om���(�L���������;��G��.�))�:���4���iF�Bu��9t��all�of�t���h��re�k�e��r�)�n�els�an�d�cok�e��r�)�n�els�in���H���om���T(�L���������;����G��.�)�are�coh�e��ren��t,��so�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�i�)�s.�8�(W��Ve�����iFcan't�h�jus�[t�c��rh���o�S�o�!ls�:}e�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��F���an�d�ap�p�ޔly�t���h�e�d���enit�ions�b�)�eca��2us�:}e�t���h�e��re�i�)�s�no�����iFguaran��t��Eee��t���h��ra���t�w�e�can�n�d�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�b�y�coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s.)���^L��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��22.3.���^�O�L��ffet�(��X�t�b�e�a�No�etherian�pr�oje�ctive�scheme�over��k���and�let��F�Z�and��G���b�e�����iFc��ffoher�ent���on��X���.�N�Then�for�e��ffach��i��ther�e�exists�an��n�����0����,���dep�ending�on��i�,���such�that�for�al���l��n�UR���n�����0����,��p%���{�ٹExt�����x������i����������O��X.�X������3�(�F�1�;����G��.�(�n�))�UR=�(��E�ùxt�����y��-i�i������-i�O��X.�X���� a�(�F��;����G��.�(�n�)))�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Wh��ren���i�UR�=�0�t���h��re�as�!ls�:}e��rt�ion�i�)�s�t���h�a���t������٩Hom���S2(�F�1�;����G��.�(�n�))�UR=�(��H���om���(�F��;����G��.�(�n�)))�����iFwhi��Jc��rh��i�)�s�ob�vious.�����	:�Claim.�D4�Bot���h��s�)�id���e�S�s�are���s2�-fu��9nct�or�[s��in��F�1�.�W��Ve�h��ra�v�e��alre�!lady�sh���o��rw�e�S�d��t���hi�)�s�for�t�h��re�left�h�an�d�����iFs�)�id���e.�)�[I���don't���u��9n��rd�e��r�[s�t�an�d���wh�y�t���h�e�r�2"igh�t�h�an�d�s�)�id���e�i�s,���bu��9t�it�i�s�not�tr�2"ivial�an��rd�it�ca��2us�:}e�S�d�m���u�c�h�����iFcons�[t��Ee��r�)�n���a���t��rion��wit���h�t�h��re�a��2udience.]����	:T��Vo��Qsh���o��rw�t���h�e�fu��9nct�or�[s��Qare�i�)�somorphi��Jc�w�e�jus�[t�n�ee�S�d�t��9o�sh���o�w�b�S�ot���h�s�)�id���e�s�are�co�)�eace�!la��rb�ޔle.�����iFTh��ra���t���i�)�s,���for�ev�e��ry�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��F���t���h�e��re�i�)�s�a�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��E��an�d�a�surject�ion��E�h!�URF��c!��0�����iFsu��rc�h�`t���h�a���t��Ext�����x���=�i�������=�O��X.�X����%��(�E�ù)���=�0�an��rd�s�)�imilarly�for�t���h�e�r�2"igh�t�h�an�d�s�)�id���e.��Th���us�ev�e��ry�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�i�)�s�����iFa��quot��rien��t�of�an�acycli��Jc�sh�e�!laf.����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e����F��ҹi�)�s�coh�e��ren��t.�>Th�en�for��`�UR���0,����F�1�(�`�)���i�)�s�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�it��es�global�s�:}ect�ions,���so�t���h�e��re�����iFi�)�s��a�surject��rion�����e��O������UV�a���ڍX���r��!�URF�1�(�`�)��!��0�:���4���iF�Un��t��rwi�)�s�[t�in��9g��giv�e�S�s�a�surject�ion�����9"�O�����X����(��`�)�����a��Y!�!�URF��c!��0�:�����؉#�27�������э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Let��I�E��1�=�xn�O�����X����(��`�)����2�a��Ϲ,�qt���h��ren�I��Cclaim�t�h��ra���t��E��i�)�s�acycli��Jc�for�b�S�ot�h�s�)�id���e�S�s.�v�Fir�[s�t��Icons�id���e��r�t���h��re�left�h�an�d������iFs�)�id���e.�8�Th��ren���������jnExt���}1���x�i����ƹ(�O�UV�(��`�)�;����G��.�(�n�))���������B=�UR������Ext����۟��x�i��(��(�O�����X����(��`�)�;����G��.�(�n�))�������������B=�UR������Ext����۟��x�i��(��(�O�����X����;����G��.�(�`����+��n�))������덍�����B=�UR�H���V����i��R0�(�X�Jg;����G��.�(�`����+��n�))��������iFBy�~Se��rre�(t���h��reorem�5.2�of�t�h��re�b�S�o�ok)�~t�hi�)�s�i�s�ze��ro�for��n��sucien��t���ly�large.���F��Vor�t�h��re�r�2"igh�t�h�an�d�����iFs�)�id���e��t���h��re�s�[t�a���t��Eem�en��t�i�)�s�jus�[t�t���h�a���t���������E�ùxt����f���y�i���[email protected]�(�E���;����G��.�(�n�))�UR=�0�����iFwhi��Jc��rh��w�e�h�a�v�e�alre�!lady�don�e�s�)�ince��E��k�i�s�a�lo�S�cally�f�2"ree�sh��re�!laf.����	:Th���us��b�S�ot�h�fu��9nct�or�[s�are�u�niv��re��r�[sal�s�)�ince�t���h�ey�are�co�)�eace�!la�b�ޔle.�4Since�u��9niv�e��r�[sal�fu��9nct�or�[s�are�����iFcomp�ޔlet��Eely��d���et�e��rmin��re�S�d�b�y�t���h�e�S�ir�ze��rot���h�on�e�t���h�ey�m���us�[t�b�)�e�equal.�����߄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������iF�Example�3522.4.���CD�On��re�<#migh�t�ask�if��Ext������x�i�����n�ece�S�s�!lsar�2"ily�v��X�ani�)�sh�e�S�s�for�sucien��t���ly�large��i�.���Th�e�answ�e��r�����iFi�)�s��9no.���He��re�i�s�an�alge���brai��Jc�examp�ޔle�whi�c��rh�can�b�)�e�con�v�e��rt��Ee�S�d�t��9o�a�geom�etr�2"i��Jc�examp�ޔle.���Let�����iF�A�UR�=��k�g�[�"�]�=�(�"����2�2����),��t���h��ren�a�pro��ject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion��L����������of��k�QŹi�)�s������{�����������2����h��"���p���������&y!�����B��A����2�����"���p���UR�����!������A����2�����"���p���UR�����!�����A����2�����"���p���UR�����!�����k��o�!�UR�0�:�����iF�Th��ren���H��Vom�(�L���������;���k�g�)�i�)�s�t���h�e�comp�ޔlex��(v���b�k����2���G�0���p����o����!����g!�k����2���G�0���p����o����!�����k����2���G�0���p����o����!�����k����2���G�0���p����o����!���������������iF�Th���us���Ext�����x�����i��������A����i�(�k�g;���k��)�UR=��k�QŹfor��all��i�UR���0.��(V����iF�23����Se�rre�B�Dualit��zsy��b#���iF�W��Ve��are�no��rw�don�e�wit���h�t��Eec�hni��Jcal�re�S�sul��9t��es�on��Ext����'s�so�w�e�can�get�bac�k�t��9o�Se��rre�d�ualit�y�on��P����2�n���P�.�����iFLet��)�X����=���P����2��n��y��k���
]y�an��rd�let��!�;�=��O�����X����(��n�4����1).��dNot��Ee��)t���h��ra���t�t�hi�)�s�i�s�an��ad��Xho��ffc��d���enit��rion�of��!�#b�whi��Jc�h�����iFjus�[t�:�h��rap�p�)�ens�t��9o�w�or��ek�s�)�ince��X�ϋ�=���P����2��n��y��k����P�.�)�In�t���h�e�more�gen�e��ral�s�)�it�ua���t�ion�it�will�b�)�e�an�in��t��Ee��re�S�s�[t�in��9g�����iFprob�ޔlem���jus�[t�t��9o�sh���o��rw�t���h�e�so�calle�S�d�d�ualizin��9g�sh�e�!laf��!�/��act�ually�exi�)�s�[t��es.��Wh�en�our�v��X�ar�2"iet�y�i�)�s�����iFnons�)�in��9gular,��1�!��will���b�e�t���h��re�canoni��Jcal�sh�e�!laf.���W��Ve�h�a�v�e�sh���o�wn�t���h�a���t�for�an�y�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��F�����iF�t���h��re��re��i�)�s�a�m���ap�������Hom���!�(�F�1�;���!�n9�)����2��������p���UR���$!����\x�H���V����n�����(�F��)�����_��*��:�����iF�Th��re��m���ap�i�)�s�cons�[tru�ct��Ee�S�d�b�y�us�)�in��9g�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t��H���V���2�n��
�N�i�)�s�a�fu��9nct�or:�����/�Hom��H�(�F�1�;���!�n9�)�UR�!���Hom����۟���k�� �m�(�H���V����n�����(�F��)�;���H���V����n���(�!�n9�))�UR=��Hom����۟���k�� �m�(�H���V����n�����(�F��)�;���k�g�)�=��H���V����n�����(�F��)�����_��*��:����	:�W��Ve��sh��rall�us�:}e�sa���t��Eellit�e��fu��9nct�or�[s�t�o�pro��rv�e�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�t���h�eorem.��������iF�Th��eorem��23.1.���N�$�L��ffet�35�F�dF�b�e�a�c�oher�ent�she�af�on��P����2��n��y��k����P�.�fiThen�ther�e�is�an�isomorphism������йExt����ӭ���x�i���8��(�F�1�;���!�n9�)����2��������p���UR���$!����\x�H���V����n��i����(�F��)�����_��*��:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Regard��b�S�ot���h�s�)�id���e�s�as�fu��9nct�or�[s��in��F�1�.����	:�1.�\�Both��sides�ar��ffe���s2�-functors�in��F�1�.�.$�W��Ve��sh��ra�v�e�alre�!lady�c�h�ec�k�e�S�d�t���hi�)�s�for��Ext����P���x�i���*�.�.$Since��H���V���2�n��i���k�i�s�����iFa��d���el��9t��ra�fu�nct�or�in��F�1�,�so�i�)�s�(�H���V���2�n��i����)����2�_��*��.�8�Not��Ee�t���h��ra���t�b�S�ot�h�s�)�id���e�S�s�are�con��tra��rv��X�ar�2"ien�t.����	:�2.�fiThey�35agr��ffe�e�for��i�UR�=�0�.�8�Thi�)�s��w��ras�pro�v�e�S�d�las�[t�t�im�e.�����؉#28��������э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�3.�UNow�;�we�just�ne��ffe�d�;�to�show�b��ffoth�sides�ar�e�c�o�eac�e�able.����Sup��rp�S�o�!ls�:}e�
5�E�Q�!�>�F�o�!��0�wit���h������iF�E��I�=�ц�O�UV�(��`�)����2��a���G�.���F��Vor��som��re�re�!lason�w�e�can�as�!lsu��9m�e��`�ц���0.���W��Ve��jus�[t�n�ee�S�d�t��9o�sh���o�w�b�S�ot���h�s�)�id���e�s�����iFv��X�ani�)�sh��on�t���hi�s��E�ù.�8�Fir�[s�t��compu��9t��rin�g�t���h��re�left�h�an�d�s�)�id���e�giv�e�S�s�������<������Ext����۟��x�i��(��(�O�UV�(��`�)�;���!�n9�)�UR=��H���V����i��R0�(�!��(�`�))�=�0�����iFfor���`�UR���0.�8�Next�compu��9t��rin�g�t���h��re�r�2"igh�t�h�an�d�s�)�id���e�w�e�get�����q��H���V����n��i����(�O�UV�(��`�))�UR=�0�����iFb��ry��7t���h�e�exp�ޔli��Jcit�compu��9t�a���t�ions�of�coh���omo�ޔlogy�of�pro��ject�iv�e�space�(in�part�i��Jcular,��not��Ee�t���h�a���t������iF�i�UR>��0).��������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:Next���t��rim�e�w�e�will�gen�e��ralize�Se�rre�d��rualit�y�t��9o�an�arbitrary�pro��ject�iv�e�s��xc�h�em�e��X��F�of�dim�en-�����iFs�)�ion����n�.�lqW��Ve�will�pro�S�cee�d���in�t��rw�o���s�[t��Eep�!ls.�Th�e���r�[s�t�i�)�s�t��9o�ask,�$wh��ra���t�i�s��!�����X����?�lqAl��9t���h���ough�t�h��re�answ�e��r�����iFt��9o�J�t���hi�)�s�que�S�s�[t��rion�i�s�e�!lasy�on��P����2��n��y��k���	��it�i�s�not�ob��rvious�wh�a���t�t���h�e�suit�a�b�ޔle�an���alogy�sh�ould�b�)�e�for�an�����iFarbitrary��pro��ject��riv�e�v��X�ar�2"iet�y��V.�8�Secon�d�w�e�will�d���en�e�n���a���t�ural�m���ap�!ls��������<�Ext�����x�����i���������O��X.�X�����5$�(�F�1�;���!�n9�)�����h����'���-:�i���J����UR���!!����vl�H���V����n��i����(�F��)�����_�������iF�wh��re��re��n�n���=��dim��8)�X��.�2Unlik�e��nin�t���h�e�cas�:}e�wh�en��X��f�=����P����2��n��y��k����P�,�W�t���h�e�S�s�:}e�m���ap�!ls�are�not�n�ece�S�s�!lsar�2"ily�����iFi�)�somorphi�sms���u��9nle�S�s�!ls��X��d�i�)�s�lo�cally�Coh��ren-Maca��2ulay�(t���h�e�lo�S�cal�r�2"in��9gs�a���t�e�!lac�h�p�S�oin��t�are�Coh�en-�����iFMaca��2ulay).��������iF�Denit��ion��23.2.���T�	�Let�/e�A��b�)�e�a�nonze��ro�No�et���h��re��r�2"ian�lo�S�cal�r�in��9g�wit���h�re�S�s�)�id��rue�eld��k�g�.�Th�en�t���h�e�����iF�d��fept��ph�꨹of��A��i�)�s��������d���ept���h���8)�A�UR�=���inf����H�f�i��:��Ext�����x��/�i������/A�����(�k�g;���A�)��6�=�0�g�:�����iFA�꨹i�)�s�said�t��9o�b�e��Coh��en-Maca��~fulay��if��d���ept���h��"��A�UR�=��dim����A�.��(V����iF�24����Se�rre�B�Dualit��zsy�for�Arbitrary�Pro�ject�iv�e�Sc�h�em�e���s��b#���iF�T��Vo�S�d��9ay�ٷw��re�will�t�alk�a�b�S�ou��9t�Se��rre�d�ualit�y�for�an�arbitrary�pro��ject�iv�e�s��xc�h�em�e.�3:W��Ve�h�a�v�e�alre�!lady�����iFt��ralk�e�S�d�y�a�b�ou��9t�y�Se��rre�d��rualit�y�y�in�t���h��re�sp�)�ecial�cas�:}e��X�:w�=�H��P����2��n��y��k����P�.��HLet��F��ܹb�e�a�lo�S�cally�f�2"ree�sh��re�!laf.��HW��Ve�����iFsh���o��rw�e�S�d��t���h�e��re�i�)�s�an�i�somorphi�sm������8(Ext��������x�i���`߹(�F�1�;���!�����X����)����2��������p���UR���$!����\x�H���V����n��i����(�F��)�����_��*��:�����iF�Thi�)�s��w��ras�e�S�s�[t�a�b�ޔli�)�sh�e�d��b�y�not�in��9g�t���h�a���t�����YFExt���l	���x�i��on��(�F�1�;���!�����X����)�UR=��Ext���/���x�i��~	�(�O�����X���;����F��1����_��
i�
����!�����X���)�=��H���V����i��R0�(�F��1����_��
i�
����!�����X���)�:�����iF�Anot���h��re��r���t�hin��9g�t�o�k��reep�in�min�d�i�)�s�t���h�a���t�lo�S�cally�f�2"ree�sh�e�!la�v�e�S�s�corre�sp�on��rd�t��9o�wh�a���t,��fin�ot���h�e��r�����iFbranc��rh�e�S�s��of�m���a���t���h��rem�a�t��ri��Jcs,��are��v�ect��9or�bu�n��rdle�S�s.���Th�ey�aren't�t���h�e�sam�e�ob��ject,��bu��9t�t���h�e��re�i�)�s�a�����iFcorre�S�sp�on��rd���ence.����	:W��Ve�Ww��rould�lik�e�t��9o�gen�e��ralize�t���hi�)�s�t��9o�an�arbitrary�pro��ject�iv�e�s��xc�h�em�e��X��.���Th�e��re�are�t�w�o�����iFt���hin��9gs��w��re�m�us�[t�do.��������Ů1.�����2Figure��ou��9t�wh��ra���t��!�����X��1�i�)�s.�������Ů2.�����2Pro��rv�e��a�suit��ra�b�ޔle��d�ualit�y�t���h�eorem.�����؉#29����E���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Wh��ren�t��X��ɹ=��F�P����2��n��y��k���(�it�i�)�s�e�!lasy�t��9o�n�d�a�suit�a�b�ޔle��!�����X��Ϲ=��F�O�����P���>���n���O�k����M)�(��n��
���1)�t�b�)�eca��2us�:}e�of�t���h�e�exp�ޔli��Jcit������iFcompu��9t��ra���t�ions��lw�e�did�b�)�efore.�0wW��Ve�no�w�d���en�e��!�����X�����t��9o�b�)�e�a�sh�e�!laf�whi��Jc�h�will�do�wh�a���t�w�e�h���o�p�)�e�it�����iFwill��do.�8�Of�cour�[s�:}e�exi�)�s�t��Eence�i�)�s�anot���h��re��r�m���a���t��2t�e��r.��sD�����iF�Denit��ion��24.1.���T�	�Let����X��
�b�)�e�a�No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e�of�nit��Ee�t�yp�)�e�o�v�e��r�a�eld��k���an�d�let��n��4�=������iFdim��	���X��.��!Th��ren��ka��d��ualizin��g�<�sh�e�&faf��k�for��X���i�)�s�a�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��!�����X��
��alon��9g�wit���h�a�m���ap��t�UR�:��H���V���2�n�����(�!�����X����)��!�����iF�k�g�,�_�su��rc�h��t���h�a���t�for�all�coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s��F�F�on��X��,�_�t���h�e�m���ap��Hom��������O��X.�X���+���(�F�1�;���!�����X����)�Q�!��H���V���2�n�����(�F��)����2�_��?��i�)�s��an�����iFi�)�somorphi�sm.�8�Th��re��la���t��2t��Ee��r�m���ap�i�)�s�d���en�e�S�d�b�y�t���h�e�diagram��(>č���m����b��Hom���{5����O��X.�X����i��(�F�1�;���!�����X����)�����������#���E��P`_�Hom��h��(�H���V���2�n�����(�F�1�)�;���H���V���2�n���(�!�����X����))������2����p��t���p����ky������!���������Hom���l(�H���V���2�n�����(�F�1�)�;���k�g�)�UR=��H���V���2�n���(�F�1�)����2�_������(�p��	:�Str�2"i��Jct���ly���sp�)�e�!lakin��9g,���a�d��rualizin�g�sh��re�!laf�i�)�s�a�pair�(�!�����X����;���t�).��Not��Ee�t���h�a���t�on��P����2�n��	/=�w�e�h�ad��H���V���2�n�����(�!�����P������n���M)�)�����P���UR����԰���n:�=���������iF�k�g�,��sbu��9t��fon�an�arbitrary�s��xc��rh�em�e��f�X���w�e�only�h�a�v�e�a�m���ap�f�2"rom��H���V���2�n�����(�!�����X����)�t��9o��k�L��whi��Jc�h�n�ee�S�d�not�b�)�e�����iFan��i�)�somorphi�sm.�8�Th��re�d���enit�ion�n�ev�e��r�m�en��t�ions�exi�)�s�[t��Eence.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��24.2.���^�O�If�2�X���admits�a�dualizing�she��ffaf��(�!�����X����;���t�)��then�the�p�air��(�!�����X����;���t�)��is�unique�up�����iFto�dunique�isomorphism,�(i.e.,�if�d�(��n9;���s�)��is�another�dualizing�she��ffaf�for��X����then�ther�e�is�a�unique�����iFisomorphism�35�'�UR�:��!�����X��r��!����n�such�that��)@d����������%��H���V���2�n�����(�!�����X����)������C���֔M�H������-:�n�����(�'�)���_����	�����D��������������������N�!����������H���V���2�n�����(��n9�)�����������t�UR�#���e�#�UR�s�������U�k����q��=���	��k�����(L����iF�c��ffommutes.����	:�Before��w��re�pro�v�e�t���h�e�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�w�e�m���ak�e�a�sh���ort�digre�S�s�!ls�)�ion�t��9o�in��tro�d��ru�ce��repre�s�:}en��t�a�b�ޔle�����iFfu��9nct�or�[s��whi��Jc��rh�giv�e�a�pro�S�of�of�t���h�e�u��9niquen�e�S�s�!ls�part�of�t���h�e�a�b�S�o�v�e�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion.�������iF�Denit��ion��24.3.���T�	�Let�k��C���b�)�e�a�ca���t��Eegory�an��rd��D���a�ca�t��Eegory�wh���o�!ls�:}e�ob��ject��es�h��rap�p�)�en�k�t��9o�b�e�s�:}et��es.�����iFSup��rp�S�o�!ls�:}e���T���:��C��R!�D�;�i�)�s�a�con��tra��rv��X�ar�2"ien�t�fu��9nct�or.�,�Th��ren��T��Y�i�)�s��repre�`s�C4en��ft��a�b�ٙle��if�t���h��re��re�exi�)�s�[t��es�����iFan��lob��ject��!����2��j��Ob��U(�C��5�)�an��rd�an�elem�en��t��t�j��2��T��ƹ(�!�n9�)��lsu�c�h�t���h�a���t�for�all��F�{�2��j��Ob��U(�C��5�)�t���h�e�m���ap������iFHom����ϟ���C��P��(�F�S�;���!�n9�)�UR�!��T��ƹ(�F��)��i�)�s�a�biject��rion�of�s�:}et��es.�8�Th�e�la���t��2t��Ee��r�m���ap�i�)�s�d���en�e�S�d�b�y�t���h�e�diagram��)yI����Y5����WbHom���o�����C��t���(�F�S�;���!�n9�)�������h����M�biject�Îion��Xof�s�*Pet���s��J�����(�����ʍ����������������������������������������������������������������5z!������)�l�T��ƹ(�F��)�������o
��&���[@%��?��ev��X�alua���t��rion��a�t��t�����������Hom�����G����D���Ԫ�((�!�n9�)�;���T��ƹ(�F��))�������	:Th���us�S�t�h��re��re�i�)�s�an�i�somorphi�sm�of�fu��9nct�or�[s��Hom���X(��;���!�n9�)��=��T��ƹ(��).�	tUTh��re�pair�(�t;���!�n9�)�i�)�s�said������iFt��9o��$repre�S�s�:}en��t�t���h��re�fu�nct�or��T��ƹ.��TTh��re�relev��X�an��t�ap�p�ޔli��Jca���t�ion�of�t���hi�)�s�d���enit�ion�i�)�s�t��9o�t���h�e�cas�:}e�wh�en�����iF�C���=���UR�Coh���UR�(�X��),���D����=�UR�f���k�g�-v��rect��9or�space�S�s��Q�R�g�,��T��n�i�)�s�t���h��re�fu��9nct�or���F���7!��H���V���2�n�����(�F�1�)����2�_��*��.�8�Th��ren��!�Ë�=��!�����X��1�an��rd��Fz��qΨ�t�UR�=��t��2���Hom����(�H���V����n�����(�!�n9�)�;���k�g�)�=��H���V����n���(�!�n9�)�����_��	��=��T��ƹ(�!��)�:�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��24.4.���^�O�If�>��T����is�a�r��ffepr�esentable�>�functor,���then�the�p��ffair��(�!�n9;���t�)��r�epr�esenting�it�is������iFunique.�������iFPr��ffo�of.���2��Sup��rp�S�o�!ls�:}e��(�!�n9;���t�)�an�d�(��n9;���s�)�b�S�ot���h�repre�s�:}en��t�t���h��re�fu��9nct�or���T��ƹ.�8�Cons�)�id���e��r�t�h��re�diagram��)/T����@������XHom���n�(��n9;���!��)������2���ɰE�T���p����%�����z�!���������Hom���+�(�T��ƹ(�!�n9�)�;���T��(���))��������bm�&�����..��?��ev��X�al.�8�a���t���t��������σT��ƹ(��n9�)��������؉#30����&����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�By� Od���enit��rion�t���h�e�m���ap��Hom����(��n9;���!��)�UR�!��T��ƹ(��n9�)� Oi�)�s�biject�iv�e.��mSince��s�UR�2��T��ƹ(��n9�),�H�t���h�e��re� Oi�)�s��'�UR�2���Hom����(��n9;���!��)������iFsu��rc�h���t���h�a���t��'�UR�7!��s��2��T��ƹ(��n9�).�!�Th���us��'��h��ras�t�h��re�pro�p�)�e��rt�y�t���h�a���t��T��ƹ(�'�)(�t�)�UR=��s�.�!�Thi�)�s�argu��9m��ren��t�us�:}e�S�s�t���h�e�����iFf�)�act���t���h��ra���t�(�!�n9;���t�)�repre�S�s�:}en��t��es��T��ƹ.�%�Us�in��9g�t���h��re�f�act�t���h��ra���t�(��n9;���s�)�repre�S�s�:}en��t��es��T�R��imp�ޔlie�s�t���h��ra���t�t�h��re��re�exi�)�s�[t��es�����iF� �Ë�2��UR�Hom����(�!�n9;�����)��su��rc�h�t���h�a���t��T��ƹ(� �n9�)(�s�)�UR=��t�.�8�W��Ve�h��ra�v�e�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�pi��Jct�ure�S�s��*Xh����fd�������h���?�� ��J�����@����Ѐ퍍�������������������������������������T!��������������!�����q���e��������h��ܤ����J����w�� ���Ѝ��������������������������������������^v���������>ᕍ���fd������C�������T�.:�(� �I{�)=� ����-:�����_������ ��1��������������������������������������������������������������������������������������c������������Y_�t�UR�2��T��ƹ(�!�n9�)���
b��T��ƹ(��n9�)�UR�3��s���I.������C���͡�T�.:�(��)=����-:�����_�����8���†9��������������������������������������������������������������������������9O!��������&a����iF�I��claim�t���h��ra���t������u� �������'�UR�=��Id��n��2���Hom����(��n9;�����)�:��z���iF�In��diagram�form�w��re�h�a�v�e��aX����X������h��N9�'��J����Ë����!�����3�!�����h��N9� ��J����Ë����!�����������iF�whi��Jc��rh��up�S�on�ap�p�ޔlyin��9g��T��n�giv�e�S�s��#X��������T��ƹ(��n9�)�����������h����(� ��I{��-:����J�����Dz���†�!������5�T��ƹ(�!�n9�)�����h����'���-:����J����UR���I�!�����N�T��(���)�����������fG�s�������Dz�7!�UR�t��7!��s�����%���iF�Wh��re��re��do�)�e�S�s�� �)5�����'��go�t��9o�u�n��rd���e��r�t���h�e�m���ap��Hom��|-(��n9;�����)����2��������p���~%���/�!������T��ƹ(���)?���By��d���enit�ion�� �)5�����'��go�)�e�S�s�t��9o�t���h�e������iFev��X�alua���t��rion�Qqof��T��ƹ(� �^�����'�)�a�t��s�F�2��T��ƹ(��n9�).�m<Bu��9t,�k#as�Qqin��rdi��Jca�t��Ee�S�d�a��rb�o�v�e,�k#t���h�e�Qqev��X�alua���t�ion�of��T��ƹ(� �^�����'�)�a���t�����iF�s�#�i�)�s�jus�[t��s��again.��Bu��9t�t���h��re�id���en��t�it�y�morphi�)�sm�1��������<�2���ԹHom��0](��n9;�����)�#�also�m���ap�!ls�t��9o��s��u�n��rd���e��r�t���h�e�m���ap������iFHom����(��n9;�����)����2���޼����p���T����!����Y��T��ƹ(���).���Since��Pt���hi�)�s�m���ap�i�s�a�biject��rion�t���hi�s�imp�ޔlie�S�s�t���h��ra���t�� �~�����'�T�=�1�������
h�,���as��Pd���e�s�)�ire�d.�����iFSimilarly���'������ �Ë�=�UR1�����!����.�8�Th���us�� �X�an��rd��'��are�b�S�ot�h�i�)�somorphi�sms.��������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����ޛ���2\Wh��ren��y�ou�d���en�e�som�et���hin��9g�an�d�it�i�)�s�u��9nique�up�t�o�u�nique�i�)�somorphi�sm,�g�y��rou�����2kno��rw��it�m���us�[t�b�)�e�go�S�o�d."�����iFW��Ve��ret��rur�)�n�t��9o�t���h�e�que�S�s�[t�ion�of�exi�)�s�[t��Eence.���������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��24.5.���^�O�If�35�X�$��is�a�pr��ffoje�ctive�35scheme�over�a�eld��k��R�then��(�!�����X����;���t�)��exists.�������iF�Lemm��fa��24.6.���E���If���X���is�an��n��dimensional�pr��ffoje�ctive��scheme�over�a�eld��k�g�,��then�ther��ffe�is�a������iFnite�35morphism��f��Q�:�UR�X�F��!��P����2��n��y��k����P�.�������iFPr��ffo�of.���2��Em��ekb�)�e�S�d���X�u�in��P����2�N��
86�t���h��ren�c�h���o�S�o�!ls�:}e�a�lin�e�!lar�pro��ject�ion�do�wn�t��9o��P����2�n��
�B�whi��Jc�h�i�)�s�sucien��t���ly�����iFgen��re��ral.��S����fd�����L�X����RA,���!������P����2�N����������F�f��Q�&����>�#��������K�P����2�n������#����iF�Let��f�L��b�)�e�a�lin��re�!lar�space�of�dim�ens�)�ion��N�(�����n����1��fnot�m�eet�in��9g��X��.�Let�t���h�e�m���ap�f�2"rom��P����2�N��n��!�UR�P����2�n������iF�b�)�e�<�pro��ject��rion�t���hrough��L�.�	/�By�cons�[tru�ct�ion��f���i�)�s�quas�i-nit��Ee,��i.e.,�for�<�all��Q���2��P����2�n���P�,���f��G����2��1���{�(�Q�)�����iFi�)�s�(�nit��Ee.��It�i�s�a�s�[t��ran�d��9ard�(�QUALIFYING�(KEXAM�prob�ޔlem�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�if�a�morphi�)�sm�i�s�����iFquas�)�i-nit��Ee���an��rd�pro��ject�iv�e�t���h�en�it�i�)�s�nit��Ee.��Thi�s�can�b�e�don��re�b�y�ap�p�ޔlyin��9g�(I�S�I,�Ex.��4.6)�b�y�����iFco��rv�e��r�2"in��9g��?�X��¹b�y�su���btract�in��9g�o�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�S�s�an�d�not�in��9g�t���h�a���t�t���h�e�correct�t���hin��9gs�are�an�e�b�y�����iFcons�[tru��rct�ion.���See�}Zalso�(I�S�I�I,�}ZEx.�11.2)�for�t���h��re�more�gen�e��ral�cas�:}e�wh�en��f��Y�i�)�s�quas�i-nit��Ee�an��rd�����iFpro��rp�)�e��r,��bu��9t�not�n�ece�S�s�!lsar�2"ily�pro��ject�iv�e.���y��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#31���� ;����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�25����Exi�B�s�
[t��s�ence�,aof�t��7�h��zse�Dualizin��9g�Sh�e�5jaf�on�a�Pro�ject�iv�e�Sc�h�em�e��b#���iF�Let�|��X�nE�b�)�e�a�s��xc��rh�em�e�|�o�v�e��r��k�g�.�>Recall�t���h�a���t�a�d�ualizin��9g�sh�e�!laf�i�)�s�a�pair�(�!�n9;���t�)�wh�e��re��!����i�)�s�a�coh�e��ren��t������iFsh��re�!laf��on��X��+�an�d�����zL�t�UR�:��H���V����n�����(�X�Jg;���!�n9�)��!��k�����iF�i�)�s��a�h���omomorphi�sm�su��rc�h��t���h�a���t�for�all�coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s��F���t���h�e�n���a���t�ural�m���ap��������Hom����������X�����(�F�1�;���!�n9�)�UR�!��H���V����n�����(�F��)�����_������iF�i�)�s��an�i�somorphi�sm.�8�W��Ve�kno��rw�t���h�a���t�su�c�h�a�d�ualizin��9g�sh�e�!laf�exi�)�s�[t��es�on��P����2��n��y��k����P�.��������iF�Th��eorem��25.1.���N�$�If�ڵ�X��8�is�a�pr��ffoje�ctive�ڵscheme�of�dimension��n��over��k�g�,��hthen��X��has�a�dualizing������iFshe��ffaf.����	:�Th��re�W�b�S�o�ok's�pro�of�t��rak�e�S�s�an�em��ekb�)�e�ddin��9g��j���:��X��,���!��P����2��N��y��k���q�an��rd�w�or��eks�on��X�IK�as�a�su���b�!ls��xc�h�em�e�of�����iF�P����2��N��y��k���D�.�8�Th��ren��t���h�e�b�S�o�ok's�pro�of�sh���o��rws�t���h�a���t������)6�!�����X��r۹=��UR�E�ùxt�����y�����N��"��n��8O�����O��i>�'�E�tcmbx6�P������N��U�k������)�f�(�O�����X����;���!�����P���>���N���O�k����"$�)�:��2]���iF�T��Vo�S�d��9ay��w��re�will�us�:}e�a�die��ren��t�m�et���h���o�S�d.�������iF�Denit��ion��25.2.���T�	�A����nit��2e�Qtmorphi�0sm���i�)�s�a�morphi�sm��f�Ӝ�:����X�} �!��Y�=d�of���No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e�S�s�����iFsu��rc�h��t���h�a���t�for�an�y�o�p�)�en�an�e��U����=��K�Sp�)�ec���o�A�K����X��,�[�t���h��re�pre�S�im���age��f��G����2��1���{�(�U�@�)����Y��B�i�)�s�an��re,�[�say�����iF�f��G����2��1���{�(�U�@�)�t'=��Sp�)�ec����B���,�Lan��rd���t���h�e�n���a���t�ural�m���ap��A�t'�!��B��˹t��rur�)�ns��B��in��t��9o�a�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��A�-mo�d��rule.�����iFW��Ve�bcall��f�ba�an��an��e���morphi�0sm��if�w��re�jus�[t�require�t���h�a���t��f��G����2��1���{�(�U�@�)�i�)�s�an�e�bu��9t�not�t���h�a���t��B��h�i�)�s�a�����iFnit��Eely���gen��re��ra���t�e�S�d��A�-mo�d��rule.��A���morphi�)�sm��f��Q�:�UR�X�F��!��Y�6�i�)�s��quas�0i-nit��2e��if�for�all��y�Ë�2��Y�6�t���h��re�s�:}et�����iF�f��G����2��1���{�(�y�n9�)��i�)�s�nit��Ee.�������iF�Example�3525.3.���CD�Cons�)�id���e��r��t���h��re�morphi�sm������9��j�%�:�UR�P�����1��j�����f��pt����g��,���!��P�����1����:�����iF�Since��I�P����2�1��	jM�min���us�an��ry�non�empt�y�nit��Ee�s�:}et�of�p�S�oin��t��es�i�)�s�an�e��j�W�i�)�s�an�e.�w�Bu��9t�it�i�)�s�not�nit��Ee.�����iFIn��rd���ee�S�d,��let��a��b�)�e�a�p�oin��t�die��ren�t�f�2"rom��pt���,an��rd�let��U��6�=�UR�P����2�1��j�����f�a�g�.�8�Th�en��U��6�=��URSp�)�ec����k�g�[�x�]�an�d����yi��j���ӟ����1��	O�(�U�@�)�UR=��P�����1��j�����f��pt����;���a�g��=��Sp�)�ec����k�g�[�x;�x������1��\|�]�;�����iF�bu��9t���k�g�[�x;���x����2��1��\|�]�i�)�s�not�a�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��k�g�[�x�]-mo�d��rule.��������iF�Exer��ffcise�3525.4.���A�{�A��;morphi�)�sm��jcan�b�e�an��re�bu��9t�not�nit��Ee�or�ev�en�quas�)�i-nit��Ee.�`'F��Vor�examp�ޔle,�����iFlet���f�2��b�)�e�t���h��re�n���a���t�ural�m���ap������+�f��Q�:�UR�A�����n�+1��/t����f�0�g�!��P�����n������iF�t���h��ren���sh���o�w�t���h�a���t��f�׋�i�)�s�an�e.�'�Thi�)�s�i�s�t���h��re�b�e��r�bu��9n��rdle�as�!lso�S�cia���t��Ee�d�t��9o�t���h��re�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��O�UV�(1)�����iF[[or��i�)�s�it��O�UV�(��1)?]]��"ʫ����iF�25.1�� ��Rela��>t���iv�e�L�Gamm���a�an���d�Twiddle��@���iF�W��Ve��will�no��rw�d���en�e�rela���t�iv�e�v�e��r�[s�)�ions�of�global�s�:}ect�ions�an�d����~���^an���alogous�t��9o�t���h�e�a�b�!lso�ޔlu��9t��Ee�v�e��r�[s�)�ions.�����iFIt��ui�)�s�not�a�gen��re��raliza���t�ion��uof�t���h��re�a�b�!lso�ޔlu��9t��Ee�not�ion,��Lbu��9t�a�rela���t�iviza�t�ion.�%$Sup�p�S�o�!ls�:}e��u�X����i�)�s�a�s��xc�h�em�e�����iFo��rv�e��r�{��Y��wit���h�s�[tru��rct�ure�{�m���ap��f��Q�:�UR�X�F��!��Y��an��rd�{�as�!lsu��9m�e��f�ë�i�)�s�an�e.��Th�en�t���h�e�m���ap�s�:}en�din��9g�a�sh�e�!laf�����iF�F����on�v��X�h'�t��9o�t���h��re�sh�e�!laf��f���������F����on��Y��i�)�s�t���h�e�an���alog�of�t�akin��9g�global�s�:}ect�ions.�4Since��f����i�)�s�a�morphi�sm�����؉#32����!Oi���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�t���h��re��re��i�)�s�a�m���ap��O�����Y��
��!��_�f���������O�����X��,�so��f��������O�����X��,�i�)�s�a�sh��re�!laf�of��O�����Y��P��-mo�S�d�ule�s.��{Not��Ee��t���h�a���t��f���������F�?��i�)�s�a�sh�e�!laf�of������iF�f���������O�����X����-mo�S�d��rule�s.�8�Th���us��w�e�h�a�v�e�s�:}et�up�a�m���ap���㍍��[a�Qco���rD��(�X��)�UR�!�f��꨹quas�)�i��Jcoh��re��ren��t��f���������O�����X����-mo�S�d�ule�s��on��Y���h��g�:�����iF�Th��re�X�n�ext�n���a���t�ural�t���hin��9g�t�o�do�i�)�s�d���en��re�a�m���ap�an�alogous�t��9o���h�~����Xwhi��Jc��rh�go�)�e�S�s�t���h�e�ot���h�e��r�direct�ion.�����iFSup��rp�S�o�!ls�:}e�Q4�G�b�i�)�s�a�quas�i�coh��re��ren��t�sh�e�!laf�of��f���������O�����X����-mo�S�d�ule�s�Q4on��Y��p�.�l�Let��U�D�����Y��b�)�e�an�an�e�o�p�)�en�����iFsu���b�!ls�:}et�E�of��Y��p�.�J\Let��G��}�=�(�U��;����G��.�)�E�an��rd�wr�2"it��Ee��U�1a�=���}Sp�)�ec���2�A�.�Th��ren�s�)�ince��f��йi�s�an�an��re�morphi�sm,�����iF�f��G����2��1���{�(�U�@�)�UR=��Sp�)�ec����B�&ιwh��re��re����B��X�=�(�f��G����2��1���(�U�@�)�;����O�����X����).�@Since����G�A��i�)�s�an��f���������O�����X���-mo�S�d��rule,���an�d����f���������O�����X���Q�o�v�e��r��U�����iF�i�)�s�LUjus�[t��B��[�t���h���ough��rt�of�as�an��A�-mo�S�d�ule,�d�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��G��i�)�s�a��B���-mo�S�d�ule.�]�Th���us�w�e�can�form�t���h�e�����iFsh��re�!laf����x��)�~�����|��G���=Ĺon��|�Sp�)�ec��&A�B��X�=�UR�f��G����2��1���{�(�U�@�).�,P�a���t�c�hin��9g�|�t���h�e�v��X�ar�2"ious�sh�e�!la�v�e�S�s����x��)�~������G���=Ĺt��9oget���h�e��r�as��U��p�ru��9ns�t���hrough�an�����iFan��re��o�p�)�en�co�v�e��r�of��Y���giv�e�S�s�a�sh�e�!laf����y��<�~������G�����in����Qco����5�(�X��).����	:Let��I�G�Ew�b�)�e�a�quas�i-coh��re��ren��t�sh�e�!laf�of��O�����Y��P��-mo�S�d�ule�s.�&�W��Ve��Ican't�t�ak�e����K~���	�of��G�Ew�b�)�eca��2us�:}e��G��migh��rt�����iFnot�3�b�)�e�a�sh��re�!laf�of��f���������O�����X����-mo�S�d�ule�s.��Bu��9t��3��H���om���J����O��X.�Y���+�ع(�f���������O�����X����;����G��.�)�3�i�)�s�a�sh�e�!laf�of��f���������O�����X����-mo�S�d�ule�s,�E�so�3�w�e�����iFcan��form�(��H���om���꣟���O��X.�Y���'�1�(�f���������O�����X����;����G��.�))����2������~�����.�8�Thi�)�s�i�s�a�quas�i-coh��re��ren��t�sh�e�!laf�on��X��+�whi��Jc�h�w�e�d���enot��Ee��f��G����2�!��$s�(�G��.�).��r0�����iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��25.5.���^�O�Supp��ffose����f�qȹ:�)��X�L�!��Y�Ba�is�an�ane�morphism�of�No��ffetherian�schemes,� �F�����iF�is�35c��ffoher�ent�on��X���,�and��G��c�is�quasi-c�oher�ent�on��Y��p�.�fiThen����}���f����������H���om��� ������O��X.�X���.�"�(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)�����P���UR����԰���n:�=���������H���om���)ꞟ���O��X.�Y���7�,�(�f���������F��;��G��.�)�����iF�and�35p��ffassing�to�glob�al�se�ctions�gives�an�isomorphism�������3�Hom���x�(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)�����P���UR����԰���n:�=��������Hom��(y�(�f���������F��;��G��.�)�:�����iF�Thus�35�f��G����2�!��W��is�a�right�adjoint�for��f���������.��r0�����iFPr��ffo�of.���2��Th��re���natur��ffal��m���ap�i�)�s�������"�<�f����������H���om��� ������O��X.�X���.�"�(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)���������/�!��URH���om���?�����O��X.�Y���*價(�f���������F�1�;���f��������f��G�����!��$s�G��.�)�������������/=��UR�H���om���?�����O��X.�Y���*價(�f���������F�1�;�����H���om���ꡟ���O��X.�Y���)�/�(�f��������O�����X����;����G��.�))�UR�!��H���om���?�����O��X.�Y����(�f���������F�1�;����G��.�)��������iFwh��re��re��;t���h�e�m���ap���H���om����ޟ���O��X.�Y���,Gl�(�f���������O�����X����;����G��.�)����!�G�mi�i�)�s�obt��rain�e�S�d�obt�ain�e�S�d�b�y�ev��X�alua���t�ion�a���t�1.���Since�t���h�e�����iFque�S�s�[t��rion���i�)�s�lo�cal�w��re�m���ay�as�!lsu��9m�e��Y�k�=��c�Sp�)�ec��
��A��an�d��X�U~�=��c�Sp�)�ec��
��B���.��Th�en��F����corre�S�sp�on�ds���t��9o�a�����iFnit��Eely�$gen��re��ra���t�e�S�d�mo�d��rule��M�F�o�v�e��r�t���h�e�No�)�et���h�e��r�2"ian�r�in��9g��B��*�an��rd��G��R�corre�S�sp�on��rds�t��9o�a�mo�d��rule��N�����iF�o��rv�e��r���A�.�8�W��Ve�m���us�[t�sh���o��rw�t�h��ra���t�����t��Hom���������B���S��(�M���;�����Hom���y�����A��!Wk�(�B��;���N�@�))�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����A��/Wh�(�M�;�N�@�)�:�����iF�Wh��ren���M�H��i�)�s�f�2"ree�o�v�e��r��B��ҹso�t���h�a���t��M��6�=�UR�B������2��n��皹t���h�e�equalit�y�h���o�ޔlds.��AAs�fu��9nct�or�[s��in��M�@�,�5+b�S�ot���h�s�)�id���e�s�are�����iFcon��tra��rv��X�ar�2"ien�t�]�an�d�left�exact.���No�w�sup�p�S�o�!ls�:}e��M����i�)�s�an�arbitrary�nit��Eely�gen�e��ra���t��Ee�S�d��B���-mo�d��rule.�����iFW��Vr�2"it��Ee��b�M��F�as�a�quot��rien��t��F�����0����=F�����1��if�wh�e��re��F�����0��if�an�d��F�����1��if�are�b�S�ot���h�f�2"ree�of�nit��Ee�rank.�#A��X�p�p�ޔlyin��9g�e�!lac�h�of�����iFt���h��re��con��tra�v��X�ar�2"ien�t��left-exact�fu��9nct�or�[s��t�o�t���h��re�exact�s�:}equence�������F�����1��V�!�UR�F�����0���!��M��6�!��0�����iFan��rd��us�)�in��9g�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�equalit�y�h���o�ޔlds�for�nit��Ee�f�2"ree�mo�S�d�ule�s��yields�a�diagram��$�6����fd����iF0���	IB�!����ID�Hom���7�͟���B��?�(�M���;�����Hom���y�����A��!Wk�(�B��;���N�@�))����`(�!�����`*�Hom����ٳ����B���'�(�F�����0����;�����Hom���y�����A��!Wk�(�B��;���N�@�))���A�t�!����W�v�Hom���pS�����B��w�=�(�F�����1����;�����Hom���y�����A��!Wk�(�B��;���N�@�))��������G��jj�����Ejj�������iF�0���	IB�!����;$ŹHom���S�N����A��Z|2�(�M���;���N�@�)����`(�!�����;��Hom����4����A�����(�F�����0����;���N�@�)���A�t�!����s���Hom����/�����A���
d�(�F�����1����;���N�@�)�����$�5���iFTh��re��5-lemm���a�t���h�en�yields�an�i�)�somorphi�sm�����t��Hom���������B���S��(�M���;�����Hom���y�����A��!Wk�(�B��;���N�@�))�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����A��/Wh�(�M�;�N�@�)�:��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#�33����"a ���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Lemm��fa��25.6.���E���Supp��ffose�35�f��Q�:�UR�X�F��!��Y�ϥ�is�ane�and��F�dF�is�a�quasi-c��ffoher�ent�she�af�on��X���.�fiThen��獒�y��H���V����i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����i���(�Y��;�f���������F�1�)�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Th��re��lemm���a�i�)�s�pro�v�e�S�d�us�)�in��9g���H���x��Cec�h�coh���omo�ޔlogy��V.�qIf��f�U�����i��d��g��i�)�s�an�o�p�)�en�an�e�co�v�e��r�of��Y������iF�t���h��ren���f�f��G����2��1���{�(�U�����i��dڹ)�g��i�)�s�an�o�p�)�en�an�e�co�v�e��r�of��X��.�8�Bu��9t������(�U�����i��d��;���f���������F�1�)�UR=�(�f��G������1���{�(�U�����i���)�;����F�1�)�����iFso��t���h��re��8���x��Cec�h�coh���omo�ޔlogy�of��f���������F���on��Y���i�)�s�t���h�e�sam�e�as�t���h�e��8���x��Cec�h�coh���omo�ޔlogy�of��F���on��X��.�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����덍���iF�Th��eorem��25.7�(Dualit�y�for�a�nit��2e�
a���t�morphi�0sm).���#�Supp��ffose�<�f��޹:�?��X�1b�!��Y�،�is�a�nite�����iFmorphism�[email protected]��X�*��and��Y�հ�No��ffetherian�and�assume�every�c�oher�ent�she�af�on��X�*��is�the�quotient�����iFof�
Qa�lo��ffc�al���ly�
Qfr�e�e�she�af�(this�is�true�for�almost�every�scheme�arising�natur�al���ly�in�this�c�ourse).�����iFAssume�)that��f���������O�����X��F��is�a�lo��ffc�al���ly�)fr�e�e��O�����Y��P��-mo�dule.�cL�et��F�Z�b�e�a�c�oher�ent�she�af�on��X���and��G��5�b�e�a�����iFquasi-c��ffoher�ent�35she�af�on��Y��p�.�fiThen�for�al���l��i�UR���0��ther��ffe�is�an�isomorphism���������Ext�����x���]x�i�������]x�O��X.�X��������(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)����2��������p���UR���$!�����\x�Ext�����x��' U�i������' U�O��X.�Y����4��(�f���������F��;��G��.�)�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Th��re�Npro�p�S�o�!ls�)�it�ion�sh���o�ws�t���h�a���t�t���h�e�t���h�eorem�i�)�s�true�wh�en��i��~�=�0.�cW��Ve�n��rext�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e�����iFs�[t��ra���t��Eem�en��t��i�)�s�true�wh��ren��F��c�=�UR�O�����X����.�8�A��X�p�p�ޔlyin��9g�t���h�e�a�b�S�o�v�e�lemm���a�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��������h�&Ext�����x��{��i������{��O��X.�X�����䀹(�O�����X����;���f��G�����!��$s�G��.�)���������=�UR�H���V����i��R0�(�X�Jg;���f��G�����!��$s�G��.�)�=��H���V����i���(�Y��;���f���������f��G�����!��$s�G��.�)������덍�����=�UR�H���V����i��R0�(�Y��;�����H���om���ꡟ���O��X.�Y���)�/�(�f���������O�����X����;����G��.�))��������iFSince���f���������O�����X��1�i�)�s�a�lo�S�cally�f�2"ree��O�����Y��P��-mo�d��rule,��������l6pExt�����x��~�M�i������~�M�O��X.�Y������۹(�f���������O�����X����;����G��.�)��������k�=��URExt�����x��/�i������/�O��X.�Y����#���(�O�����Y��P��;����(�f���������O�����X����)�����_���X�
���G��.�)�����������k�=�UR�H���V����i��R0�(�Y��;����(�f���������O�����X����)�����_���X�
���G��.�))��������iFPu��9t��2t��rin�g��t���h�e�S�s�:}e�t�w�o�compu��9t�a���t�ions�t��9oget���h�e��r�b�y�us�)�in��9g�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�����z(�f���������O�����X����)�����_���X�
���G���=��UR�H���om���?�����O��X.�Y���*價(�f��������O�����X���;����G��.�)�����iFt���h��ren��giv�e�S�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d�re�sul��9t.�����	:A��clev��re��r��ap�p�ޔli��Jca���t�ion�of�t���h�e�5-lemm���a�can�b�)�e�us�:}e�S�d�t��9o�obt�ain�t���h�e�gen�e��ral�cas�:}e.�3TThi�)�s�will�b�e�����iFdon��re��in�a�su���b�!ls�:}equen��t�lect�ure.���6����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(�����iF�26����Gen��zse�ralize���d�B�Grot��7�h�en�diec�k�Dualit�y�Th�eory��b#���iF�If���X��+�i�)�s�a�pro��ject��riv�e��s��xc�h�em�e�o�v�e��r��k�g�,�t���h�en��獍��8(Ext��������x�i���`߹(�F�1�;���!�����X����)����2��������p���UR���$!����\x�H���V����n��i����(�F��)�����_��*��:�����iF�Thi�)�s�P�i�s�a�sp�ecial�t��ryp�e�of�d��rualit�y��V.�k}If��X�B_�i�)�s�an�an�e�s��xc�h�em�e�o�v�e��r��Y��L�wit���h�s�[tru�ct�ure�morphi�)�sm������iF�f��Q�:�UR�X�F��!��Y��p�,��t���h��ren�������~Ext�����x����[�i��������[X������(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)����2��������p���UR���$!�����\x�Ext�����x��' U�i������' UY���.q�(�f���������F��;��G��.�)�:�������iF�Thi�)�s��i�s�anot���h��re��r�d�ualit�y��V.����	:A��rt���Harv��X�ard,��SHart��esh���or�)�n�e�w�as�t���h�e�s��xcr�2"ib�)�e�[Lect�ure�Not��Ee�S�s�in�Ma���t���h�V��Vo�ޔl�???]���for�Grot�h��ren�diec�k's�����iFs�:}emin���ar���on�hi�)�s�d��rualit�y���t���h�eory��V.�$wSup�p�S�o�!ls�e����X��]�i�)�s�pro��rp�e��r�o��rv�e�r����Y��J�wit���h�s�[tru��rct�ure���morphi�)�sm��f�Ez�:�����iF�X�F��!�UR�Y��p�.�8�As�!lsu��9m��re��furt���h�e��rmore�t���h�a���t��f�2��sa�t��ri�)�se�S�s�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��(*):�����؉#34����#y����э����Ơ�
:���B�ƍ�{�(*)����f���������O�����X��1�i�)�s��a�lo�S�cally�f�2"ree��O�����Y��P��-mo�d��rule���L���iFNot��Ee���t���h��ra���t�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s���s�[t�art�imp�ޔlie�S�s���H���om����(�f���������O�����X����;����G��.�)�i�)�s�an�exact�fu��9nct�or���in��G��.�"LW��Ve�h��ra�v�e���d���en�e�S�d������iFfu��9nct�or�[s���f�������
!׹:���a��Coh���aӹ(�X��)�a��!����Coh����(�Y��p�)��an��rd��f��G����2�!��	�F�:���a��Qco���E`�(�Y��)�a��!����Qco���E`�(�X��).��QGrot���h��ren�diec�k's��d�ualit�y�����iFcompare�S�s��sJHom����ӟ���X��$
\�(�F�1�;���f��G����2�!��$s�G��.�)�sJan��rd�it��es�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s�sJt�o��Hom����ӟ���Y��#=��(�f���������F�1�;����G��.�)�an��rd�it��es�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s.�����iFTh��re��t�w�o�f�)�amilie�S�s�of�fu��9nct�or�[s�are�e�S�s�!ls�:}en��t��rially�equal.�t0W��Ve�are�comp�o�!ls�)�in��9g�fu�nct�or�[s�h��re��re.�t0Thi�)�s�����iFoft��Een��giv��re�S�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�sp�ectral�s�:}equence�S�s.����	:It��i�)�s�p�S�o�!ls�s�ib�ޔle��t��9o�obt��rain�t���h�e�d�ualit�y�m�en��t�ion�e�S�d�a�b�S�o�v�e�as�a�sp�)�ecial�cas�:}e�of�t���h�e�more�gen�e��ral�����iFGrot���h��ren�diec�k���d�ualit�y��V.��uSup�p�S�o�!ls�:}e��X��]�i�)�s�a�pro��ject�iv�e�s��xc�h�em�e�o�v�e��r��Y�Uչ=���eSp�)�ec��c�k�"��wit���h�morphi�)�sm�����iF�f��y�:��z�X����!��Y��p�.���Th��ren�
��f���������(�F�1�)�=�(�X�Jg;����F��)�
�whi��Jc��rh�h�as�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s�
��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;�����).���A�
�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�����iFon���Y�d�i�)�s�a�nit��Ee�dim��rens�ion���al��k�g�-v��rect��9or�space.�OLet��!�����X���}�b�e�t���h��re�sh�e�!laf��f��G����2�!��$s�(�k�g�).�OSu���b�s�[t��rit�u��9t�in�g��t���hi�)�s�in��t�o��������qDExt�����x���5!�i�������5!X����R��(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)����2��������p���UR���$!�����\x�Ext�����x��' U�i������' UY���.q�(�f���������F��;��G��.�)�����iFwit���h���G�UR�=��k�QŹgiv��re�S�s������o�Ext�����x������i���������X�����m�(�F�1�;���!�����X����)����2��������p���UR���$!�����\x�Ext�����x��' U�i������' UY���.q�(�f���������F��;�k�g�)�UR=��H���V����n��i����(�F�1�)�����_����&���iF�[[Do��pw��re�obt�ain��H���V���2�n��i���h�ins�[t��Ee�!lad�of��H���V���2�i��s�)�ince�w�e�are�cons�)�id���e��r�2"in��9g�t���h�e�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s��pof��Hom���(�f��G����2����(��)�;�����)?]]��'�͍���iF�27���b#�����iF�Th��eorem��27.1�(Dualit�y�for�a�pro��ject�iv�e�s��c�h�em�e).���J�Supp��ffose��G�X����is�a�pr�oje�ctive�scheme.�����iFThen�35�X�$��has�a�dualizing�she��ffaf��!�����X��P��and�their�is�an�isomorphism��������b�Ext�����x���&��i�������&�X����DF�(�F�1�;���!�����X����)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����n��i����(�X�Jg;��F��)�����_��*��:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Us�)�in��9g��lin��re�!lar�pro��ject�ions�n�d�a�nit��Ee�morphi�)�sm��f��Q�:�UR�X�F��!��P����2�n���P�.�8�Let���!�����X��r۹=��f��G����2�!��$s�!�����P������n���7ѹwh�e��re�����A��f��G�����!��$s�!�����P������n����{�=��UR�H���om���?�����P������n���)��(�f���������O�����X����;���!�����P������n���M)�)����������~�������iF�an��rd���!�����P������n����{�=�UR�O�����P������n���M)�(��n������1).�8�Th�en��for�an�y��F�1�,��������g��Hom����>b����X���[�(�F�1�;���!�����X����)��������W�=��URHom����۟���P������n���(�(�f���������F�1�;���!�����P������n���M)�)�����`]��������2���������p����W�����	�!�����_�H���V����n�����(�P�����n���P�;���f���������F�1�)�����_��	��=�UR�H���V����n���(�X�Jg;��F�1�)�����_�����������iF�Th��re��[las�[t�equalit�y�h���o�ޔlds�s�)�ince��f�	Z�i�s�nit��Ee�an��rd�h�ence�an�e.���Th�e�s�:}econ�d�i�)�somorphi�sm��[com�e�S�s������iFf�2"rom��t���h��re�f�)�act�t�h��ra���t��!�����X��1�i�)�s�a�d�ualizin��9g�sh�e�!laf�for��X��.����	:Next��w��re�obt�ain�t���h�e�d�ualit�y�t���h�eorem�for��X��.�8�By�d�ualit�y�for�a�nit��Ee�(*)�morphi�)�sm���������KExt�����x����(�i��������(X�������(�F�1�;���!�����X����)�����P���UR����԰���n:�=��������Ext�����x��"���i������"���P������n����/�(�f���������F��;�!�����P������n���M)�)�:�����iF�By��Se��rre�d��rualit�y��on��P����2�n������%�Ext�����x�����i���������P������n����� +�(�f���������F�1�;���!�����P������n���M)�)����2��������p���UR���$!����\x�H���V����n��i����(�P�����n���P�;�f��������F�1�)�����_��*��:�����iF�Bu��9t���f�2��i�)�s�an��re�so���������H���V����n��i����(�P�����n���P�;���f���������F�1�)�����_��	��=�UR�H���V����n��i���(�X�Jg;��F�1�)�����_��*��:�����iF�Th���us������b�Ext�����x���&��i�������&�X����DF�(�F�1�;���!�����X����)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����n��i����(�X�Jg;��F��)�����_��*��:��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#�35����$�Ϡ��э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�Un��rd���e��r��wh�a���t�con�dit�ions�do�)�e�S�s�a�nit��Ee�m���ap��f��Q�:�UR�X�F��!��P����2�n��	���sa���t��ri�)�sfy�(*)?��y֍����iF�Denit��ion��27.2.���T�	�A��s��xc��rh�em�e���X��X�i�)�s��Coh��en-Maca��~fulay��if�for�all��x��~�2��X��t���h��re��lo�S�cal�r�2"in��9g��O�����X�&�;x���չi�)�s������iFCoh��ren-Maca��2ulay��V.�������iF�Denit��ion��27.3.���T�	�Th��re�0�h��fomo�ٙlogi���cal���dim��ens�0ion��of�a�mo�S�d�ule��M�q�o�v�e��r�a�r�2"in��9g��A��i�)�s�t���h�e�min-�����iFim���u��9m�B�p�S�o�!ls�s�)�ib�ޔle�len��9gt���h�of�a�pro��ject��riv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��M����in�t���h�e�ca���t��Eegory�of��A�-mo�S�d�ule�s.�	A'W��Ve�����iFd���enot��Ee��t���hi�)�s�n�u��9m��ekb�)�e��r�b��ry��h�d���H�M�@�.����	:W��Ve��will�n��ree�S�d�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�t���h�eorem�f�2"rom�pure�alge���bra.�������iF�Th��eorem��27.4.���N�$�If�35�A��is�a�r��ffe�gular�35lo�c�al�ring�and��M�t�a�nitely�gener�ate�d��A�-mo�dule,�then��N%����L�h��rd������M�댹+����d���ept���h��![�M��6�=��URdim����A:�������iF�Th��eorem��27.5.���N�$�Supp��ffose���f���:�[��X�Ml�!��Y�q��is�a�nite�morphism�of�No��ffetherian�schemes�and�����iFassume�35�Y�ϥ�is�nonsingular.�fiThen��f�{4�satises�(*)�i��X�$��is�Cohen-Mac��ffaulay.��y֍����iFPr��ffo�of.���2��Th��re���que�S�s�[t�ion�i�)�s�lo�S�cal�on��Y��p�.��Sup�p�S�o�!ls�:}e��y�Ë�2�UR�Y��p�,���t���h�en��A�UR�=��O�����Y�x�;y��AK�i�)�s�a�regular�lo�S�cal�r�2"in��9g�an��rd�����iF�f��G����2��1���{�(�y�n9�)�fh���X�|��i�)�s��a�nit��Ee�s�:}et.�0Let��B�&�b�e�t���h��re�s�:}emi�lo�S�cal�r�2"in��9g�of��f��G����2��1���{�(�y�n9�).�0Th�us��B�n�=����fhlim����i����fh����"!������"����U���d�F�1�(�U�@�)��髍��iFwh��re��re��-t���h�e�inject�iv�e�limit�i�)�s�t�ak�en�o�v�e��r�all�o�p�)�en�s�:}et��es��U���con��t�ainin��9g��f��G����2��1���{�(�y�n9�).�*�B�Y3�h�as�only�nit��Eely�����iFm���an��ry�rm�axim�al�id���e�!lals�so�w��re�call��B��x�s�:}emi�lo�S�cal.��>Since��f�gq�i�)�s�a�nit��Ee�morphi�sm��B��x�i�s�a�nit��Ee��A�-�����iFmo�S�d��rule.�,�No�w��Q�B�aW�i�)�s�f�2"ree�as�an��A�-mo�d��rule�i��h�d��������A��^��B��X�=�UR0,�͖wh�e��re��h�d��������A��^��B�aW�d���enot��Ee�S�s�t���h�e�h���omo�ޔlogi��Jcal�����iFdim��rens�)�ion��of��B����as�an��A�-mo�S�d�ule.�7�Thi�)�s�i�s�cle�!lar�b�eca��2us�:}e��h��rd����5����A����B����i�s�t���h��re�sh���ort��Ee�S�s�[t�p�o�!ls�s�)�ib�ޔle��len��9gt���h�����iFof�|�a�f�2"ree�re�S�so�ޔlu��9t��rion�of��B���.�O(Since��A��i�)�s�lo�cal�w��re�n�ee�S�d�only�cons�)�id���e��r�f�2"ree�re�so�ޔlu��9t��rions�an�d�not�t���h�e�����iFmore��gen��re��ral�pro��ject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ions.)�ŠNo�w�(�f���������O�����X����)�����y���:�=��-�B����so�con�dit�ion�(*)�i�)�s�t���h�a���t��B����i�)�s�a�f�2"ree�����iF�A�-mo�S�d��rule.�4�Th���us���if��f�&�sa���t�i�)�se�S�s�(*)�t���h�en��h�d�����B��X�=�UR0.�4�By�t���h�e�t���h�eorem�f�2"rom�pure�alge���bra�an�d�t���h�e�����iFf�)�act��t���h��ra���t��f�2��i�s�nit��Ee�w��re�s�:}ee�t���h�a���t������d���ept���h���̄�B��X�=��URdim����A�UR�=��dim���B��:�����iF�Thi�)�s�Rimp�ޔlie�S�s��B���i�s�a�Coh��ren-Maca��2ulay�r�2"in��9g�an�d�t���h�e��refore��X�C��i�)�s�Coh�en-Maca��2ulay��V.�Con�v�e��r�[s�:}ely�,�p�if�����iF�X�uܹi�)�s��YCoh��ren-Maca��2ulay�t���h�en��B�_�i�)�s�Coh�en-Maca��2ulay�so��d���ept���h��"4��B��X�=��URdim����B���.��Th�e�purely�alge���brai��Jc�����iFt���h��reorem��|t�h�en��|imp�ޔlie�S�s�t���h�a���t��h�d����B��=�f0�so��B����i�)�s�a�f�2"ree��A�-mo�S�d�ule�an�d�h�ence��f�<{�sa���t�i�)�se�S�s�con�dit�ion�����iF(*).�!n[[W��Ve���are�t��racit���ly�as�!lsu��9min�g���t�h��ra���t��B�}ݹi�)�s�Coh�en-Maca��2ulay�i�it's�lo�S�caliza���t�ions�a���t�m���axim�al�����iFid���e�!lals��are.�8�It�w��rould�b�)�e�ni��Jce�t��9o�kno�w�t���hi�)�s�i�s�true.]]���ͭ���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(���	:No��rw��w�e�ni�)�sh�up�t���h�e�pro�S�of�of�d�ualit�y�for�a�nit��Ee�morphi�)�sm.�������iF�Pr��ffo�of�35(of�duality,�c��ffontinue�d).�����۹Sup��rp�S�o�!ls�:}e�("�f�mq�:�%r�X���!��Y�Ē�i�)�s�a�nit��Ee�morphi�sm�of�No�et���h��re��r�2"ian�����iFs��xc��rh�em�e�S�s�lOwhi��Jc�h�sa���t�i�)�se�S�s�(*),���an�d�as�!lsu��9m�e�t���h�a���t��X�]ҹh�as�enough�lo�S�cally�f�2"ree�sh�e�!la�v�e�S�s�(i.e.���ev�e��ry�����iFcoh��re��ren��t��sh�e�!laf�i�)�s�a�quot�ien��t�of�a�lo�S�cally�f�2"ree�sh�e�!laf��8).�8�W��Ve�sh���o�w�e�S�d�t���h�a���t��N%����HHom����������X����"�(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����Y��/�A�(�f���������F��;��G��.�)�:�����iF�Thi�)�s�/i�s�t���h��re��i�1�=�0�cas�:}e�of�t���h��re�t�h��reorem�an�d�i�)�s�true�ev�en�if�w�e�dro�p�t���h�e�as�!lsu��9mpt�ion�t���h�a���t��f�����iF�sa���t��ri�)�se�S�s�:H(*).�'�It�can�b�e�sh���o��rwn�b�y�t�akin��9g�an�inject�iv�e�re�S�so�ޔlu��9t�ion�of��f��G����2�!��$s�G��v�an�d�compu��9t�in�g��:HExt�����x���%�i�������%X�������iF�us�)�in��9g��it�t���h��ra���t�t�h��re��re�are�n���a���t�ural�m���ap�!ls�����%��'�����i���,�:��URExt�����x��/�i������/X���6��(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)�UR�!���Ext�����x��/�i������/Y���i�(�f���������F��;����G��.�)�:�����iF�W��Ve���h��ra�v�e�alre�!lady�sh���o�wn�t���h�a���t�t���hi�)�s�i�s�an�i�somorphi�sm�wh��ren��sF���=�UR�O�����X����.�)�By�t���h�e�sam�e�argu��9m�en��t�����iFon��re�/sh���o�ws�t���h�a���t�t���hi�)�s�i�s�an�i�somorphi�sm�wh��ren��F�`#�i�s�jus�[t�lo�S�cally�f�2"ree.�Th��re�k�ey�p�S�oin��t�t��9o�not�i��Jce�����iFi�)�s���t���h��ra���t�if��F���i�s�lo�S�cally�f�2"ree�t���h��ren��F���i�s�lo�S�cally�f�2"ree�o��rv�e��r����f���������O�����X��
o�whi��Jc�h�i�)�s�lo�S�cally�f�2"ree�o�v�e��r��O�����Y������؉#�36����%�����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�b��ry��+con�dit�ion�(*).�hFin���ally�sup�p�S�o�!ls�:}e��F��<�i�)�s�an�arbitrary�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�on��X��.�hW��Vr�2"it�in��9g��F��<�as�a������iFquot��rien��t��of�of�a�lo�S�cally�f�2"ree�sh�e�!laf��E��k�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence��z�����~0�UR�!�R�!�E�h!�F��c!��0�����iFwit���h���R��coh��re��ren��t.�8�Th�e��lon��9g�exact�s�:}equence�of��Ext����'s�giv��re�S�s�a�diagram��'̍���fd������Hom���0�����X��N!�(�E���;���f��G����2�!��$s�G��.�)���L3��!����b���Hom���z� ����X�����(�R�;���f��G����2�!��$s�G��.�)�������!�������Ext�����x����i�1��������i�X������(�F�1�;���f��G����2�!��$s�G��.�)���?��!����3�\�Ext���FQ9���x�1��K=�(�E���;���f��G����2�!��$s�G��.�)���|���!�����D��Ext�����x�����1���������X����&�(�R�;���f��G����2�!��$s�G��.�)�������#��#�����P�����԰����=��������P�#�����P�����԰����=��������I��#��UR�??����Kp��#�����P�����԰����=��������V��#�??����������iFHom����ϟ���X��X�(�f���������E���;����G��.�)���L3��!����b3ιHom���z�W����X�����(�f���������R�;����G��.�)�������!������ùExt�����x����1��������X����)�(�f���������F�1�;����G��.�)���?��!����3?��Ext���Fp���x�1��J�t�(�f���������E���;����G��.�)���|���!�������Ext�����x������1����������X�����P�(�f���������R�;����G��.�)�����'ˍ��iFNo��rw��ap�p�ޔly�t���h�e��subtle��5-lemm���a�t��9o�sh�o��rw�t���h�a���t�t���h�e�m���ap������r�'�����1��V�:��URExt�����x��/�1������/�X���6��(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)�UR�!���Ext�����x��/�1������/�X����(�f���������F�1�;����G��.�)�����iFi�)�s��inject��riv�e.�8�Anot���h�e��r�diagram�c�h�as�:}e�sh���o�ws�t���h�a���t�h�e�m���ap�������NExt�����x���M+�1�������M+�X����j��(�R�;���f��G�����!��$s�G��.�)�UR�!���Ext�����x��/�1������/�X���6��(�f���������R�;��G��.�)�����iFi�)�s�
�inject��riv�e.���Th�en�[[I�
�gue�S�s�!ls??]]���t���h�e�5-lemm���a�sh�o��rws�t���h�a���t��'����2�i��ru�i�)�s�an�i�somorphi�sm.���Clim��ekbin��9g�t���h��re�����iFs�:}equence��in��rd�u�ct�iv�ely�sh���o�ws�t���h�a���t��'����2�i��O��i�)�s�an�i�somorphi�sm�for�all��i�.����֛��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����5I�����iF�Exer��ffcise�3527.6.���A�{�Giv��re�ban�examp�ޔle�of�a�s��xc�h�em�e��X�S��whi��Jc�h�do�)�e�S�s�not�h�a�v�e�enough�lo�S�cally�f�2"ree�����iFsh��re�!la�v�e�S�s.�+�[Hin��t��es:���By�;�(I�I�I,�6.8)��X�-1�h��ras�enough�lo�cally�f�2"ree�sh��re�!la�v�e�S�s�if��X�-1�i�)�s�quas�i-pro��ject��riv�e�or�����iFnons�)�in��9gular.���Hart��esh���or�n��re�*Lin��t�im�a���t��Ee�S�d�*Lt���h�a�t�*Lt���hi�)�s�prob�ޔlem�i�s��har��ffd�,�P�bu��9t�sugge�S�s�[t��Ee�d�*Lon��re�migh�t�s�:}e�!larc�h�����iFfor�I a�cou��9n��t��Ee��rexamp�ޔle�b��ry�lo�S�okin�g�for�an�ap��rpro�pr�2"ia���t��Ee�I non-pro��ject�iv�e�3-fo�ޔld�wit���h�2�s�)�in��9gular�����iFp�S�oin��t��es.]��'���iF�28����Review�B�of�Die�ren��mt��zsials��b#�����iF�Denit��ion��28.1.���T�	�Let�q��B���b�)�e�a�r�2"in��9g�an��rd��M����a��B���-mo�S�d�ule.�	�Th�en�a�m���ap��d���:��B����!��M����i�)�s�q�a�����iF�d��fe�fr�9�iv��@a���t��ion�꨹if�������� �d�(�b�����1��j��+����b�����2����)�������ќ�=�UR�db�����1��j��+����db�����2����������������d�(�b�����1����b�����2���)�������ќ�=�UR�b�����1����db�����2��j��+����b�����2���db�����1���������iF�If���B����i�)�s�an��A�-alge���bra,�t���h��ren��d��i�s�a��d��fe�fr�9�iv��@a���t��ion��o�v�e�r���A�꨹if�in�addit��rion��da�UR�=�0��for�all��a�UR�2��A�.���܍�	:Not��Ee��t���h��ra���t�a�d���e��r�2"iv��X�a�t��rion�o�v�e��r��A��i�)�s�lin�e�!lar�s�)�ince��d�(�ab�)�UR=��adb����+��bda�UR�=��adb����+�0�UR=��adb:�����iF�Example�3528.2.���CD�Let����k���b�)�e�a�eld�an��rd�let��B���=�l��k�g�[�x�].�%MLet��d��:��B���!��B�)ҹb�)�e�t���h��re�die��ren��t�ian�m���ap�����iF�f�G��(�x�)�UR�7!��f�����2�0��8�(�x�).�8�Th��ren���d��i�)�s�a�d���e��r�2"iv��X�a���t�ion.�������iF�Denit��ion��28.3.���T�	�Let����B����b�)�e�an��A�-alge���bra.�u�Th��ren�t���h�e��mo�`d��ule��Rof�die�fren��ft�ials���of��B����o��rv�e��r����A�����iF�i�)�s�Oua�pair�(
�����B�d�=��A��sB�;���d��:��B����!��
�����B�d�=��A���),�h�wh��re��re�Ou
�����B�d�=��A��·�i�)�s�a��B���-mo�S�d�ule�an�d��d��i�)�s�a�d���e��r�2"iv��X�a���t�ion�of��B��{�in��t��9o�����iF
�����B�d�=��A�����o��rv�e��r���A�,��whi��Jc�h�sa���t�i�)�se�S�s�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�u�niv��re��r�[sal�pro�p�)�e��rt�y:���if��d����2�0��b��:��e�B�/k�!��M�P��i�)�s�a�d���e��r�2"iv��X�a���t��rion�����iFo��rv�e��r���A��t���h��ren�t�h��re��re�exi�)�s�[t��es�a�u��9nique��B���-lin�e�!lar�m���ap��'�UR�:�
�����B�d�=��A��Ȕ�!��M�+��su�c�h��t���h�a���t��d����2�0��#��=�UR�'������d�.����	:If��(
�����B�d�=��A��sB�;���d�)�exi�)�s�[t��es�it�i�s�u��9nique�as�a�pair�up�t�o�u�nique�i�)�somorphi�sm.����	:W��Ve�wr�[s�t�cons�tru��rct�
�����B�d�=��A��w��b�y�bru��9t��Ee�force.��MLet�
�����B�d�=��A��w��b�)�e�t���h�e�f�2"ree�mo�S�d�ule�on�sym��ekb�S�o�ޔls��db��(all�����iF�b�d��2��B���)��?mo�S�d��rulo�t���h�e�su���bmo�S�d�ule�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�t���h�e�rela���t�ions��d�(�b�����1���T�+�P�b�����2����)����db�����1�����db�����2����,��$�d�(�b�����1���b�����2���)�P������iF�b�����2����db�����1��_����b�����1���db�����2���,��an��rd����da��for�all��b�����1����;���b�����2��V�2�UR�B���in��a��2��A�.�6�Thi�)�s�i�s�ob��rviously�a�mo�S�d�ule�of�die��ren��t�ials.�����iF�Example�3528.4.���CD�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���A�UR�=��B���,�t���h��ren�
�����B�d�=��A��Ȕ�=�0.�����؉#37����&�����э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Example�3528.5.���CD�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���k�n�i�)�s�a�eld�of�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc��p��r>��0.���Let���B� x�=��k�g�[�x�]�an��rd�let��A��=��k�g�[�x����2�p���]�].������iFTh��ren��
�����B�d�=��A��]�i�)�s�t���h�e�f�2"ree��B���-mo�S�d�ule�of�rank�1�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y��dx�.���؍����iF�Example�3528.6.���CD�Let�ȸ�B�jR�=��L�Q�[������p���
��ljz����	�9��2������]�an��rd��A��=��Q�.��Th��ren�0�=��d�(2)�=��d�(������p���
��ljz����	�9��2������������p������ljz����	�9��2������)�=�2������p���
��ljz����	�9��2�������d�(������p���
��ljz����	�9��2����)�ȸso�����iF�d�(������p���
��ljz����	�9��2������)�UR=�0.�8�Th���us��
��5��Q�[����`��p���\��`��\)@��o��2����U`]�=�Q��&܊�=�0.��������iF�Coro�ٙllary��28.7.���Q���The�35mo��ffdule�of�dier�entials��
�����B�d�=��A���w�is�gener�ate�d�by��f�db�UR�:��b��2��B��;���b��62��A�g�.����	:�No��rw���w�e�will�cons�[tru�ct�
�����B�d�=��A��U"�in�a�more�elo�S�quen��t�m���ann�e��r.��Sup�p�S�o�!ls�:}e��B�|�i�)�s�an��A�-alge���bra.������iFCons�)�id���e��r��t���h��re�exact�s�:}equence�of��A�-mo�S�d�ule�s���n�����0�UR�!��I�F��!��B�E��
�����A��	���B����2���{����p����X���!����pb�B��X�!��0������iFwh��re��re�ۼ�i�)�s�t���h�e�diagon���al�m�ap��b�����1����
�N��b�����2��	���7!���b�����1����b�����2��	���an��rd��I��?�i�)�s�t���h�e�k�e��r�)�n�el�of�.�Mak�e��I��=I�����2�2��
�C�in��t��9o�ۼa�����iF�B���-mo�S�d��rule�_Sb�y�let��2t�in��9g��B��Y�act�on�t���h�e�r�[s�t�f�)�act��9or�(t���h�us��b�(�x���
��y�n9�)��=�(�bx�)���
��y��)�_San��rd�d���en�e�a�m���ap�����iF�d�UR�:��B��X�!��I��=I�����2�2��	�/�b��ry���db�UR�=�1����
��b����b��
��1.��������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��28.8.���^�O�The��Pmo��ffdule��I��=I�����2�2��	q��along��Pwith�the�map��d��is�the�mo�dule�of�dier�entials�for�����iF�B��;�over�35�A�.�������iFPr��ffo�of.���2��Sup��rp�S�o�!ls�:}e���b�����1����;���b�����2��V�2�UR�B���,�t���h�en������$>�d�(�b�����1����b�����2���)�UR=�1����
��b�����1����b�����2��j����b�����1���b�����2��j��
��1�:�����iF�On��re��t���h�e�ot���h�e��r�h�an�d,�������PP�b�����1����db�����2��j��+����b�����2���db�����1���������O��=�UR�b�����1����(1����
��b�����2��j����b�����2���
��1)�+��b�����2����(1��
��b�����1�����b�����1���
��1)������������O�=�UR�b�����1��j��
����b�����2�����b�����1����b�����2���
��1�+��b�����2���
��b�����1�����b�����1����b�����2���
��1��������iFNo��rw��t�akin��9g�t���h�e�die��rence�giv�e�S�s�������G��1����
��b�����1����b�����2��j����b�����1���b�����2��j��
��1����b�����1���
��b�����2���+��b�����1����b�����2���
��1����b�����2���
��b�����1���+��b�����1����b�����2���
��1�����������U"=�UR(1����
��b�����1��j����b�����1���
��1)(1��
��b�����2�����b�����2���
��1)�UR�2��I������2���������iF�F��Vor��t���h��re�u��9niv�e��r�[sal�pro�p�)�e��rt�y�s�:}ee�Ma���t��esu��9m���ura.����^���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������iF�Coro�ٙllary��28.9.���Q���If�Z�B��`�is�a�nitely�gener��ffate�d�Z�A�-algebr�a�and��A��is�No�etherian�then��
�����B�d�=��A�����is�a������iFnitely�35gener��ffate�d��B���-mo�dule.�������iFPr��ffo�of.���2��If��e�B�~k�i�)�s�a�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��A�-alge���bra�t���h��ren��B�~k�i�)�s�a�No�et���h��re��r�2"ian�r�in��9g.��Since��I���i�)�s�a�k��re��r�n�el��eof�����iFa��r�2"in��9g�h���omomorphi�)�sm��I����i�s�an�id���e�!lal�so��I����i�s�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d.�Th���us��I��=I�����2�2��	K��i�)�s��nit�ely�gen��re��ra���t�e�S�d�����iFas��a��B���-mo�S�d��rule.���}]ń�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������iF�Example�3528.10.���IG�Let��7�A��b�)�e�an��ry�r�2"in��9g�an�d�let��B��A�=�;�A�[�x�����1����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�].�L�Th�en�
�����B�d�=��A��dy�i�)�s�t���h�e�f�2"ree��B���-�������iFmo�S�d��rule��Fgen�e��ra���t��Ee�d��Fb�y��dx�����1����;����:�:�:��ʚ;���dx�����n���P�.�8jTh�e�d���e��r�2"iv��X�a���t�ion��d�UR�:��B��X�!��
�����B�d�=��A��\��i�)�s�t���h��re�m���ap��f��Q�7!�������P�������w���M�@�x�f��30����z�萟��@�x�x��8:�i������!N��dx�����i��dڹ.�����iFSince��Y�B�M_�i�)�s�gen��re��ra���t��Ee�S�d�as�an��A�-alge���bra�b�y�t���h�e��x�����i��dڹ,���
�����B�d�=��A��%��i�)�s�gen�e��ra���t��Ee�S�d�as�a��B���-mo�d��rule�b�y�t���h�e��dx�����i������iF�an��rd��t���h�e��re�i�)�s�an�epimorphi�sm��B������2�r�����!�UR�
�����B�d�=��A��]�t��rakin��9g�t���h�e��i�t���h�bas�)�i�s�v��rect��9or�t�o��dx�����i��dڹ.����	:On���t���h��re�ot�h��re��r�h�an�d,��Kt���h�e�part�ial�d���e��r�2"iv��X�a���t�iv�e��@��[email protected]�x�����i���k�i�)�s���an��A�-lin�e�!lar�d���e��r�2"iv��X�a���t�ion�f�2"rom��B� ��t��9o��B���,�����iFan��rd�C�t���h�us�in��rd�u�ce�S�s�a��B���-mo�d��rule�m���ap��@�����i��Q��:���
�����B�d�=��A��`�!��B�ެ�carryin��9g��dx�����i�����t�o�1�an��rd�all�t���h�e�ot���h�e��r��x�����j�����t��9o�����iF0.�%hPu��9t��2t��rin�g��@t���h�e�S�s�:}e�m���ap�!ls�t��9oget���h�e��r�w�e�get�t���h�e�in�v�e��r�[s�:}e�m���ap.�%hThi�)�s�pro�S�of�i�s�lift��Ee�S�d�f�2"rom�Ei�s�:}en��ekbud's�����iF�Commutative�35A��2lgebr��ffa�.�����	:Th��re��re��are�a�few�ni��Jce�exact�s�:}equence�S�s.�����؉#38����'�I���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��28.11.���eOO�Supp��ffose�35�A�,��B���,�and��C���ar�e�thr�e�e�rings�and��5����;o�A�UR�!��B�����h��{�g��J�����X���E�!������C�����iF�is�ba�se��ffquenc�e�bof�maps�b��ffetwe�en�bthem�(it�ne��ffe�dn����'t�bb�e�exact�{�in�fact�it�wouldn����'t�make�sense�to������iFstipulate��nthat�it�is�exact�b��ffe�c�ause��nkernels�don����'t�exist�in�the�c��ffate�gory��nof�c��ffommutative�rings�with�����iF�1�).�fiThen�35ther��ffe�is�an�exact�se�quenc�e�of��C�ܞ�-mo�dules��5����G��
�����B�d�=��A����
�����B��	���C�1��!�UR�
�����C�TD=��A��]|�!��
�����C�TD=B��F��!��0�:�����iF�If���d����:��B����!��
�����B�d�=��A����is�the�derivation�asso��ffciate�d�with��
�����B�d�=��A����then�the�rst�map�is��db�S8�
�����B��
�v�c����7!������iF�cd�(�g�n9�(�b�))�.�����	:�W��Ve�5w��ron't�pro�v�e�t���hi�)�s�h�e��re,�$�bu��9t�not��Ee�t���h�a���t�exactn�e�S�s�!ls�in�t���h�e�middle�i�)�s�t���h�e�mo�!ls�[t�in��t��Ee��re�S�s�t��rin��9g.�����iFTh��re��Ffu��9nct�or�[s��T���Ɵ��2�i��	��com��re�S�s�n�ext�on�t���h�e�left.�@�See�t���h�e�w�or��ek�of�Sc�hle�S�s�)�in��9ge��r�an�d�Li��Jc�h�en��ekba��2u��9m,�-�or�����iFIllus�)�i��an��rd�An�dr���s�e.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��28.12.���eOO�Supp��ffose�35�A�,��B���,�and��C���ar�e�rings�and��5������A�UR�!��B��X�!��C�����iF�is�>a�se��ffquenc�e�>of�maps.��Assume�furthermor��ffe��I�[��i}�B���is�an�ide�al,�@�that��C�F�=�i}�B��=I���,�and�the�map������iFfr��ffom�35�B��X�!�UR�C���is�the�natur�al�surje�ction.�fiThen�ther�e�is�an�exact�se�quenc�e�of��C�ܞ�-mo�dules���ˍ�uג�I��=I������2�����2������d���p���	����
\8!�����/�
�����B�d�=��A����
�����B��	���C�1��!�UR�
�����C�TD=��A��]|�!��
�����C�TD=B��F��=�0����	:Next��w��re�cons�)�id���e��r�wh�a���t�h�ap�p�)�ens�for�a�lo�S�cal�r�2"in��9g.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��28.13.���eOO�Supp��ffose�P��B��;����m��is�a�lo�c�al�ring�with�r�esidue�eld��k��=��r�B��=�m��and�ther�e�is������iFan�35inje��ffction��k��o,���!�UR�B���.�fiThen�ther�e�is�an�exact�se�quenc�e���ˍ����m�=�m�����2�����2�����d���p���V���	j�!����߬�
�����B�d�=k���|�
�����B��	���k��o�!�UR�0�����iF�and�35�d��is�actual���ly�an�isomorphism.����	:�Th��re�b�exact�s�:}equence�i�)�s�obt�ain�e�S�d�f�2"rom�t���h�e�previous�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�b�y�let��2t�in��9g��A�UR�=��C�1�=��k�g�.��Th�e������iFf�)�act��;t���h��ra���t��d��i�s�an�i�somorphi�sm�i�s�sup��rp�S�o�!ls�:}e�d��;t��9o�b�e�tr�2"i��Jc��rky��V.�$fTh�e��;pro�p�S�o�!ls�it�ion��;imp�ޔlie�S�s�t���h��ra���t�a�lo�w�e��r�����iFb�S�ou��9n��rd�xhon�t���h�e�n���u��9m��ekb�)�e��r�of�gen�e��ra���t��9or�[s�of�
�����B�d�=k���<�i�)�s��dim���
�����k��[email protected]�m�=�m����2�2����.�� If��B�n�i�s�regular�an��rd�lo�S�cal,���t���h�en������iFdim��	���B��X�=��URdim���ꚟ���k��*�m�=�m����2�2�����whi��Jc��rh��imp�ޔlie�S�s�
�����B�d�=k��|�can�b�)�e�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y��dim�������k�����B����elem�en��t��es.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��28.14.���eOO�L��ffet�t�B��z�b�e�a�lo�c�alization�of�an�algebr�a�of�nite�typ�e�over�a�p�erfe�ct�eld,�����iFlet����m��b��ffe�the�maximal�ide�al�and�let��k�~c�=�F�B��=�m�.���Then��B�6��is�a�r�e�gular�lo�c�al�ring�i��
�����B�d�=k�����is�a�����iFfr��ffe�e�35�B���-mo�dule�of�r�ank�e�qual�to�the�dimension�of��B��;�over��k�g�.�������iFPr��ffo�of.���2��(� �)�ouIf�
�����B�d�=k���I�i�)�s�f�2"ree�of�rank��n�7]�=��dim���̥����k���5�B�
{�t���h��ren�out�h�e�ouminim�u��9m�n�u��9m��ekb�)�e��r�of�gen��re�ra���t��9or�[s�of�����iF
�����B�d�=k��J��i�)�s���n�,�dkso��dim���#
�����B�d�=k���>�
�xj�k��Թ=�W��n��=��dim���������k�� ��m�=�m����2�2����.�ÀTh���us���dim���B��=��dim�����m�=�m����2�2��	��wh��rence���B���i�)�s�����iFregular.�8�(�!�)�����%��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����!�󍍑�iF�28.1�� ��Th���e�L�Sh�e�-9af�of�Die��ren���t�ials�on�a�Sc�h�em�e��@���iF�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���f����:�f��X�Xz�!��Y��v�i�)�s�a�morphi�sm�of�s��xc��rh�em�e�S�s.�W�Let��V�g�=��f�Sp�)�ec����B���b�)�e�an�o�p�)�en�an�e�su���b�!ls�:}et�of�����iF�X�I	�an��rd�W��U�O��=���Sp�)�ec���U�A��an�o�p�)�en�an�e�su���b�!ls�:}et�of��Y����su�c�h�t���h�a���t��f�G��(�V��p�)�����U�@�.�zTh�en�W��B��i�)�s�an�alge���bra�����iFo��rv�e��r�֑�A��so�w��re�m���ay�cons�)�id���e�r�t���h��re�mo�S�d�ule�
�����B�d�=��A��sB�.�2.Pu��9t����x��
�j~�����
�����B�d�=��A����!�йon��V�s�an�d�glue�t��9o�get�a�sh�e�!laf�
�����X��|=�x�Y���ع.�����iFW��Ve�տcan�glue�b�)�eca��2us�:}e�lo�S�caliza���t��rion�comm���u��9t��Ee�s�wit���h�formin��9g�
�an��rd�t�h��re�u��9niv�e��r�[sal�pro�p�)�e��rt�y�of�
�����iFm���ak��re�S�s��gluin��9g�i�)�somorphi�sms��canoni��Jcal�an�d�u��9nique.����	:If���X���=k��ٹi�)�s�a�nons�in��9gular�v��X�ar�2"iet��ry�of�dim�ens�)�ion��n��t���h�en�
�����X��|=k��f��i�)�s�lo�S�cally�f�2"ree�of�rank��n�.��If��X�����iF�i�)�s��a�curv��re,�t���h�en�
�����X��|=k��6q�i�)�s�lo�S�cally�f�2"ree�of�rank�1�so�it�i�s�a�lin��re�bu��9n�dle.����	:Th��re�s�sh�e�!laf�
�����X��|=k���¹i�)�s�imp�S�ort�an��t�b�)�eca��2us�:}e�it�i�s�in��tr�2"ins�i��Jcally�d���en��re�S�d�an�d�canoni��Jcally�as�!lso�S�cia���t��Ee�d���㍑�iFt��9o���X�����h��у�f��J����F�����4!�������Y��p�.�����؉#39����(㪠��э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�29����Die�ren��mt��zsials�B�on�P������n���b#�����iF�R��ffemark�3529.1.���>�u�Sup��rp�S�o�!ls�:}e�RR�X�Cչi�)�s�a�s��xc�h�em�e�o�v�e��r��Y��¹t���h�en�on�e�could�also�d���en�e�
�����X��|=�x�Y��D*�as�fo�ޔllo�ws.�Let������iF��:��X���!��X�ڬ������Y��
9��X�7��b�)�e�Fvt���h��re�diagon���al�morphi�sm�an��rd�let��I��������ҹb�e�t���h��re�id���e�!lal�sh�e�!laf�of�t���h�e�im���age�of�����iF.�8�Den��re��
�����X��|=�x�Y��G*�=�UR����2�����(�I��������\�=�I����2�����2��b������).���㍍���iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��29.2.���^�O�L��ffet���X���,����Y��p�,�and��Z����b��ffe�schemes�along�with�maps��X�����h��у�f��J����F�����4!�������Y�����h��	|p�g��J���������G!!�����n�Z�5�:��Then�ther�e�����iFis�35an�exact�se��ffquenc�e�35of��O�����X����-mo��ffdules������*��f��G��������(
�����Y���=��Z��yM�)�UR�!��
�����X��|=��Z�����!��
�����X��|=�x�Y��G*�!��0�:�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��29.3.���^�O�L��ffet�ɥ�Y�f�b�e�a�close�d�subscheme�of�a�scheme��X��(�over��S����.�C9L�et��I�����Y��b�b�e�the�ide�al������iFshe��ffaf�35of��Y�ϥ�on��X���.�fiThen�ther�e�is�an�exact�se�quenc�e�of�she�aves�of��O�����X����-mo�dules�����{�I�����Y��P��=�I���������2���ڍ�Y���
��!�UR�
�����X��|=S�����
���O�����Y���!��
�����Y���=S���-�!��0�:�������iF�Example�3529.4.���CD�Let�9V�S��-�b�)�e�a�s��xc��rh�em�e�9Van�d�let��X����=��>�A����2��n��b��S���
W8�b�)�e�an�e��n�-space�o�v�e��r��S��׹.�$�Th�en�
�����X��|=S��o�i�)�s�����iFt���h��re��f�2"ree��O�����X����-mo�S�d�ule�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y��dx�����1����;����:�:�:��ʚ;���dx�����n���P�.�����	:Pro��ject��riv�e��space�i�)�s�more�in��t��Ee��re�S�s�[t��rin��9g.��������iF�Th��eorem��29.5.���N�$�L��ffet�35�X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k����P�,�then�ther�e�is�an�exact�se�quenc�e�����0�UR�!��
�����X��|=k����!�O�����X����(��1)�����n�+1����!�O�����X��r��!��0�:����	:�Th��re��%pro�S�of�in�t���h�e�b�S�o�ok��%i�)�s�t��9o�S�o�compu�t��ra���t�ion���al��%an�d�nob�S�o�dy�u��9n��rd���e��r�[s�t�an�ds��%it�t���h�e��refore�w�e�����iFpre�S�s�:}en��t��an�\exp�ޔlan���a���t��rion"�ev�en�t���h���ough�it�do�)�e�S�sn't�quit��Ee�h�a�v�e�t���h�e�force�of�pro�S�of.��������iF�Explanation.���:�Since��B�U�����i���"�=�sH�f�x�����i���6�=�0�g��B�i�)�s�an��re,��
�����X����j�����U��8:�i����ڹ=�
�����U��8:�i���
hԹi�)�s�f�2"ree�of�rank��n��t���h�us��B
�����X��˹i�s�lo�S�cally�����iFf�2"ree��lof�rank��n�.�t-Let��W���=�v��A����2�n�+1��<����f�0�g��an��rd�let��f����:��W���!��X���b�)�e�t���h��re�n���a���t�ural�quot�ien��t�m���ap.�t-Th�e�����iFs�:}equence���W�����h�����f��J��������Lw!����X��X�F��!�UR�k�QŹgiv��re�S�s�r�2"i�)�s�e�t��9o�an�exact�s�equence��������f��G��������
�����X��r��!�UR�
�����W��
��!��
�����W�<r=X���S�!��0�:�����iF�Since�>gt���h��re�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et��W����UR�A����2�n�+1���3�i�s�a�nons�in��9gular�v��X�ar�2"iet��ry��V,�`�
�����W���i�s�f�2"ree�of�rank��n�Jӹ+�1,�`�gen��re��ra���t��Ee�S�d�����iFb��ry���dx�����0����;����:�:�:��ʚ;���dx�����n���P�.����	:Th��re��an�e�su���b�!ls�:}et��U�����0��V�=�UR�f�x�����0���6�=�0�g���X��+�can��b�)�e�repre�S�s�:}en��t��Ee�d��as��H捑j^��U�����0��V�=��URSp�)�ec����k�g�[������ō�33�x�����1���33�[��z�mV�
�΍�x�����0������
Ӽ�;����:�:�:��ʚ;������ō�31x�����n���31�[��z�U��
�΍�t&�x�����0��������]�UR=��Sp�)�ec���k�g�[�y�����1����;����:�:�:��ʚ;���y�����n���P�]�:��]^���iF�Th��re��in�v�e��r�[s�:}e�im���age�i�)�s��/J�����L�Y�f��G������1���{�(�U�����0����)�UR=��A�����n�+1��/t����f�x�����0��V�=�0�g�������ޚ%�=��URSp�)�ec���	(�k�g�[�x�����0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�;������ō��޹1��31�[��z�mV�
�΍�x�����0������Ӻ�])�����������ޚ%=��URSp�)�ec���	(�k�g�[�y�����1����;����:�:�:��ʚ;���y�����n���P�][�x�����0���;������ō��޹1��31�[��z�mV�
�΍�x�����0������Ӻ�])����� �����iFTh���us�~d�f��G����2��1���{�(�U�����0����)�����P���P�����԰���i��=��������U�����0���B��>�(�A����2�1����f�0�g�)�~dwhi��Jc��rh�i�)�s�an�e.��Th�e��refore�
�����W�<r=X����j����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�U��q�0��*��)��$n��i�)�s�lo�S�cally�f�2"ree�of�����iFrank��1�gen��re��ra���t��Ee�S�d�b�y��dx�����0����.�8�Cons�)�id���e��r�again�t���h�e�exact�s�:}equence��������f��G��������
�����X��r��!�UR�
�����W��
��!��
�����W�<r=X���S�!��0�:�����؉#�40����)�����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Since�o~
�����W��"��i�)�s�f�2"ree�of�rank��n��+�1,���
�����W�<r=X���i�s�o~lo�S�cally�f�2"ree�of�rank�1,���an��rd��f��G����2����
�����X����i�s�lo�S�cally�f�2"ree�of������iFrank��)�n��(pull��rbac�k��)pre�S�s�:}e��rv�e�s��)rank�lo�cally),��Iw��re�conclud���e�t���h�a���t�t���h�e�m���ap��f��G����2����
�����X��}>�!�_��
�����W��:e�m���us�[t�b�)�e�����iFinject��riv�e.�8�W��Ve��t���h�us�obt��rain�an�exact�s�:}equence�of�sh�e�!la�v�e�S�s�on��W���!����7�0�UR�!��f��G��������
�����X��r��!��
�����W��
��!��
�����W�<r=X���S�!��0�:�����iF�P��ras�!ls�)�in��9g�[xt�o�global�s�:}ect��rions�an�d�us�)�in��9g�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t��W��>�i�)�s�an�e�w�e�obt�ain�an�exact�s�:}equence������iFof��mo�S�d��rule�s�o��rv�e��r��S�)�=�UR�k�g�[�x�����0����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�]��%���k0�UR�!��(�f��G��������
�����X����)��!��S���ן���n�+1������h���� ��J����������T!����$�\�S��:�����iF�Th��re�b�las�[t�t��Ee��rm�i�)�s��S���b�eca��2us�:}e�an��ry�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�on��W���=�UR�A����2�n��=C����f�0�g��i�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o��O�����W��	�<�.��Thi�s�����iFfo�ޔllo��rws��f�2"rom�t���h�e�exact�s�:}equence�(I�S�I,�6.5)������*0�UR�!���Pi��Jc�����A�����n�����2����P����p��������
�t!�����ȹPi��Jc��,o�W���!��0�����iFan��rd�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t��Pi��Jc���R�A����2�n�����=�UR0.��T��Vak�e�gen�e��ra���t��9or�[s��e�����0����;����:�:�:��ʚ;���e�����n���_�of��S���ן��2�n�+1��7��.��Th�en�� ��H�i�)�s�t���h�e�m���ap��e�����i���,�7!�UR�x�����i��dڹ,�����iFi.e.�8�t���h��re��m�ul��9t�ip�ޔli��Jca���t�ion��b�y��x��m���ap.����	:T��Vo���ni�)�sh�t���h��re�pro�S�of�w�e�n�ee�S�d�t��9o�kno�w�t���h�a���t�if��F�)��i�)�s�a�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�on��P����2�n���P�,�(�t���h�en�(�W�;���f��G����2����F�1�)����2������~����R�=�����iF�F�1�.�/�Thi�)�s���as�!ls�:}e��rt��rion�i�s�comp�ޔlet��Eely�n���a���t��rural�bu��9t��do��ffesn����'t��carry�t���h�e�force�of�pro�S�of,��Ji.e.,�Hart��esh���or�)�n�e�����iFga��rv�e��no�pro�S�of.�>�T��Vakin��9g�global�s�:}ect��rions�an�d�ap�p�ޔlyin��9g�t���hi�)�s�t�o�t���h��re�a�b�S�o�v�e�s�:}equence�yields�t���h�e�����iFexact��s�:}equence�of�sh��re�!la�v�e�S�s��on��X�����>V�0�UR�!��
�����X��|=k����!��
�����X����(��1)�����n�+1����!�O�����X��r��!��0�����iFwhi��Jc��rh��i�)�s�jus�[t�wh�a���t�w�e�w�an��t.���<���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��29.6.���^�O�If����X��U�is�a�nonsingular�variety�over�a�eld��k�g�,��9then��
�����X���[�is�lo��ffc�al���ly���fr�e�e�of�����iFr��ffank�35�n�UR�=��dim����X���.����	:�Th��re��pro�S�of�can�b�)�e�fou��9n�d�in�t���h�e�b�S�o�ok.��ō����iF�Example�3529.7.���CD�Let����C��j�b�)�e�a�nons�in��9gular�curv��re�in��P����2��2��y���k���	�^�d���en�e�S�d�b�y�an�equa���t�ion��f�˹of�d���egree��d�.�����iFTh��ren���
�����C�TD=k�����i�)�s�a�lo�S�cally�f�2"ree�sh�e�!laf�of�rank�1�so�it�corre�S�sp�on�ds���t��9o�a�divi�)�sor.�-�Whi��Jc�h�divi�)�sor�����iFclas�!ls��will�
�����C�TD=k���h�corre�S�sp�on��rd��t��9o?���Let��I�t�b�)�e�t���h�e�id���e�!lal�sh�e�!laf�of��C��y�����P����2�2����.���Th�en�w�e�h�a�v�e�an�exact�����iFs�:}equence�����0�UR�!�I����=�I������2����!�UR�
����P������2���A�
���O�����C��
t��!��
�����C�TD=k���!��0�:���ō��iF�Th��re�fWleft�m���ap�i�)�s�inject�iv�e�s�)�ince��I����=�I�����2�2������P���	ʤ����԰���	㌹=�����G��O�����C����(��d�)�fWso��I����=�I�����2�2��
	#�i�s�fWlo�S�cally�f�2"ree�of�rank�1.���[[Wh��ry�i�s�����iF�I����=�I�����2�2������P��������԰���	�=��������O�����C����(��d�)?]]�8�T��Vakin��9g��t���h��re�s�:}econ�d�ext��Ee��r�2"ior�p�S�o�w�e��r�giv�e�S�s�an�i�)�somorphi�sm���!���f������2����(
����P������2���A�
���O�����C����)�����P���UR����԰���n:�=�������(�I����=�I������2���̹)��
��
�����C�TD=k��Ƽ�:�����iF�Thi�)�s��i�s�a�f�act�f�2"rom�t���h��re�gen�e��ral�t���h�eory�of�lo�S�cally�f�2"ree�sh�e�!la�v�e�S�s.�8�W��Ve�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence������f0�UR�!��
����P������2������!�O�UV�(��1)�����3��V�!�O���!��0�����iFt���h�us�����I������3����(�O�UV�(��1)�����3���)�����P���UR����԰���n:�=������������2���
����P������2���A�
���������1���O����P������2�����ō��iF�so���O�UV�(��3)�����P���UR����԰���n:�=�����������2�2����
����P������2���Y��.�8�Th���us����s_��O�UV�(��3)�����P���UR����԰���n:�=��������I����=�I������2��Mt�
����
�����C�TD=k������P�������԰���4��=�����Ʒ�O�����C����(��d�)��
��
�����C�TD=k��Ƽ�:�����iF�T��Vensor�2"in��9g��wit���h��O�UV�(3)�giv��re�S�s��O�����C������P���
t�����԰���
�ҹ=�������O�����C����(3������d�)��
��
�����C�TD=k���d�so��
�����C�TD=k������P�������԰���4��=�����Ʒ�O�����C���(�d����3).�����؉#41����*���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�If���C��F�i�)�s�a�cu���bi��Jc�t�h��ren��������
�����C�TD=k���=�UR�O�����C����(3������3)�=��O�����C����(0)�=��O�����C���:�������iF�F��Vurt���h��re��rmore������1
����P������1�����=�UR�O�UV�(��2)��6�����P�����԰����=��������O��(0)�=�
�����C�TD=k������iF�so��a�nons�)�in��9gular�p�ޔlan��re�cu���bi��Jc�i�s�not�ra���t��rion���al.��ꍍ���iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��29.8.���^�O�Supp��ffose�"��0���!�E��ß��2�0�����!�E�#�!�E���ß��2�0���`����20���@�!��0��is�an�exact�se��ffquenc�e�of�lo�c�al���ly�fr�e�e�����iFshe��ffaves�35of�r�anks��r��S����2�0��!��,��r�S��,�and��r������2�0����ǟ��20���p�.�fiThen���捒�~�������r���b�E�����P���h���԰������=�����������r��<r��-:�0���D)�E��ß���0�����
���������r���<r��-:�0���n9��-:0����	u��E������0���`����0���/5�:��'������iF�30����Sh��zse�5jaf�B�of�Die�ren��mt�ials�an�d�Canoni��Jcal�Divi�B�sor��b#�����iF�Th��eorem��30.1.���N�$�L��ffet���X�y�b�e�a�nonsingular�pr�oje�ctive�variety�of�dimension��n�.�
�Then��
����2��n��뀍X��|=k�������P��������԰�����=����� K��!�����X������iF�wher��ffe��K�!�����X�����is�the�dualizing�she�af�on��X���.�1�F���urthermor�e,��
�����X��|=k���is�lo�c�al���ly�fr�e�e�of�r�ank��n��and�so�����iF�
����2��n��뀍X��|=k���~��is�35lo��ffc�al���ly�fr�e�e�of�r�ank��1�.�fiThus��
����2��n��뀍X��|=k���~��is�an�invertible�she�af�on��X���.�����	:�Not��Ee�Q�t���h��ra���t�
����2��n��뀍X��|=k������i�)�s�an�(a�bus�)�iv�e)�sh���ort���h�an�d�not�a���t�ion�for�����2�n���P�
�����X��|=k�����an�d�t���h�a���t�
����2��n��뀍X��|=k������i�)�s��not��t���h�e�����iFdirect��su��9m�of��n��co��rpie�S�s�of�
�����X��|=k��Kɹ.����	:Recall���t���h��re�cons�[tru�ct�ion�of�t���h�e�d�ualizin��9g�sh�e�!laf��!�����X����.�#>Let��f��Q�:�UR�X�F��!��P����2�n��	R�b�)�e���a�nit��Ee�morphi�sm.�����iFLet���!�����P������n����{�=�UR�O�����P������n���M)�(��1).�8�Th��ren����f/��!�����X��r۹=�UR�f��G�����!��$s�O�����P������n���M)�(��1)�=��f��G�����!���!�����P������n����{�=���H���om��?�(�f���������O�����X����;���!�����P������n���M)�)����������~�����:�����iF�Since���X��+�i�)�s�Coh��ren-Maca��2ulay��V,��f���������O�����X��1�i�s�lo�S�cally�f�2"ree�so��f��G����2�!��$s�!�����P������n���7ѹi�s�lo�S�cally�f�2"ree�of�rank�1.����	:Fir�[s�t�c�w��re�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e�t���h�eorem�h���o�ޔlds�wh�en��X���=�#�P����2�n���P�.��rF��Vrom�las�[t�t�im�e�w�e�h�a�v�e�an�exact�����iFs�:}equence�����}:0�UR�!��
�����P������n����{�!�O�UV�(��1)�����n�+1����!�O���!��0�������iFso��t��rakin��9g�high�e�S�s�[t�ext��Ee��r�2"ior�p�o��rw�e��r�[s��giv�e�s��an�i�)�somorphi�sm����m*������n�+1���̹(�O�UV�(��1)�����n�+1���)�����P���UR����԰���n:�=������������n���P�
�����P������n������
���������1����O�����P��������԰���Ð�=�����UQ�����n���
�����P������n���M)�:�����iF�F��Vor��Qt���h��re�las�[t�i�)�somorphi�sm��Qw�e�us�:}e�S�d�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�����2�1����O����2���5�����p�������\�!������O�UV�.���Bu��9t�s�)�ince�t���h�e�high�e�S�s�[t�ext��Ee��r�2"ior�����iFp�S�o��rw�e��r��c�h�an��9ge�s��a�direct�su��9m�in��t�o�a�t��Eensor�pro�S�d��ru�ct����XW�����n�+1���̹(�O�UV�(��1)�����n�+1���)�UR=��O��(��1)�����
�n�+1��v��=��O��(��n������1)�UR=��!�����P������n���M)�:�����iF�so��Com��ekbinin��9g�t���h��re�S�s�:}e�sh���o�ws�t���h�a���t�����2�n���P�
�����P������n����{�=�UR�!�����P������n���M)�:����	:�No��rw��sup�p�S�o�!ls�:}e��X���i�)�s�an�arbitrary�nons�in��9gular�pro��ject��riv�e�v��X�ar�2"iet�y�of�dim�ens�)�ion��n�.��(As�w�e�h�a�v�e�����iFdon��re��b�)�efore�let��f��Q�:�UR�X�F��!��P����2�n��	~T�b�e��a�nit��Ee�morphi�sm�(do�t���hi�s�us�in��9g�suit��ra�b�ޔle��lin�e�!lar�pro��ject�ions).�����iFT��Vo���pro��rv�e�t���h�e�t���h�eorem�it�i�)�s�enough�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t��f��G����2�!��$s�(
����2��n��뀍�P������n��7�=k���0��)�����P���UR����԰���n:�=�������
����2��n��뀍X��|=k����g�s�)�ince��f��G����2�!���(
����2��n��뀍�P������n��7�=k���0��)�UR=��f��G����2�!��$s�(�!�����P������n���M)�)�=�����iF�!�����X����.�8�Thi�)�s��i�s�jus�[t�a�s�t��ra���t��Eem�en��t�a�b�S�ou��9t�die��ren��t�ials.����	:More��gen��re��rally�sup�p�S�o�!ls�:}e��f��Q�:�UR�X�F��!��Y��|�i�)�s��a�nit��Ee�m���ap�an�d�t���h�a���t�b�S�ot���h��X�䏹an�d��Y��|�are�nons�)�in��9gular�����iFpro��ject��riv�e��v��X�ar�2"iet�ie�S�s�of�dim�ens�)�ion��n�.�8�Th�en�w�e�h�a�v�e�t���h�e�d�ualit�y������`�Hom����ځ����X����
�(�F�1�;���f��G�����!��$s�G��.�)�UR=��Hom����۟���Y��#��(�f���������F��;����G��.�)�:�����iF�Th���us��t��9o�giv��re�a�m���ap��'�UR�:�
����2��n��b��X���r��!��f��G����2�!��$s�
����2��n��b��Y���;e�i�)�s��equiv��X�alen��t�t�o�givin�g�a�m���ap����d��z��v��K��'����p�:�UR�f���������
����2��n��b��X���r��!��
����2��n��b��Y���P��.����	:It��i�)�s�an��op��ffen�Tpr�oblem��t��9o�n��rd�a�n���a���t�ural�y�et�elem�en��t�ary�w�ay�t��9o�d���en�e�a�m���ap��f���������
����2��n��b��X������!����
����2��n��b��Y�������iF�whi��Jc��rh�?zcorre�S�sp�on�ds�?zt��9o�an�i�)�somorphi�sm�?z
����2��n��b��X���
���!��p�f��G����2�!��$s�
����2��n��b��Y���P��.�	7WBeca��2us�:}e�t���h�e�m���ap�s�:}en�ds�die��ren��t�ials�����؉#42����+����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�\a��rb�S�o�v�e"�wt��9o�die��ren��t��rials�\b�)�elo�w"�it�sh���ould�b�)�e�calle�S�d�a�\trace"�m�ap.�[In�Hart��esh�or�)�n��re's�b�S�o�ok�wt���h�e������iFexi�)�s�[t��Eence�ecof�su��rc�h�eca�m���ap�i�s�pro��rv�e�S�d�ecb�y�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��X�V�in�som�e�large��P����2�N��D�,��sh���o�win��9g�t���h�a���t�
�����X��Cù=������iF�E�ùxt��������y�N��"��n��t��(�O�����X����;���!�����P������n���M)�)���an��rd�t���h�en�ap�p�ޔlyin��9g�t���h�e�\fu��9n�d�am�en��t�al���lo�S�cal�i�)�somorphi�sm".� �Th�e���ap�proac�h�i�)�s�����iFce��rt��rainly��not�elem�en��t�ary�b�)�eca��2us�:}e�it�in�v�o�ޔlv�e�S�s�t���h�e�high�e��r���E�ùxt���group�!ls.����	:Con��t��rin���ue�Adt��9o�as�!lsu�m��re��f��Q�:�UR�X�F��!��Y��Թi�)�s�Ada�nit��Ee�morphi�sm�of�nons�in��9gular�v��X�ar�2"iet��rie�S�s�of�dim�ens�)�ion�����iF�n�.�R�As�!lsu��9m��re��D�f�;C�i�)�s�s�:}epara�b�ޔle�so�t���h�a���t�t���h�e�eld�ext��Eens�)�ion��K�ܞ�(�X��)�=K��(�Y��p�)��Di�s�nit��Ee�an��rd�s�:}epara�b�ޔle.�R�A�����iFt���h��reorem��pro�v�e�S�d�las�[t�t�im�e�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence���F���\�f��G��������
�����Y��
��!�UR�
�����X��r��!��
�����X��|=�x�Y��G*�!��0�:�����iF�Since��!�X����i�)�s�nons�in��9gular�of�dim��rens�ion��n�,���
�����X��
Ī�i�s�lo�S�cally�f�2"ree�of�rank��n�.��Similarly�
�����Y��	�޹i�s�lo�S�cally�f�2"ree������iFof�T!rank��n��so��f��G����2����
�����Y��
�޹i�)�s�lo�S�cally�f�2"ree�of�rank��n�.��(Lo�cally�t���hi�)�s�i�s�jus�[t�t���h��re�f�act�t���h��ra���t��A����2�n����
�����A��U�B�����P����X����԰���	@�=�������B������2�n��CV�.)�����iFSince�J�lo�S�caliza���t��rion�comm���u��9t��Ee�s�wit���h�t��rakin��9g�t�h��re�mo�S�d�ule�of�die��ren��t�ials�t���h�e�s�[t�alk�a���t�t���h�e�gen�e��r�2"i��Jc�����iFp�S�oin��t�Vof�
�����X��|=�x�Y��G��i�)�s�
�����K����(�X����)�=K��(�Y���)��/޾�.�{FThi�s�i�s�0�s�ince��K�ܞ�(�X��)�=K��(�Y��p�)�Vi�s�nit��Ee�s�:}epara��rb�ޔle,�p�t���h�us�V
�����X��|=�x�Y��G��i�s�����iFa��kt��9or�[s�)�ion�sh��re�!laf.�T)By�gen�e��ral�f�)�act��es�a�b�S�ou��9t�f�2"ree�mo�d��rule�s�t���hi�)�s�imp�ޔlie�s�t���h��re�m���ap��f��G����2����
�����Y���	�!��L�
�����X����i�)�s�����iFinject��riv�e,��i.e.,�t���h��re�s�:}equence���F���_�0�UR�!��f��G��������
�����Y��
��!��
�����X��r��!��
�����X��|=�x�Y��G*�!��0�����iFi�)�s��exact.�����	:W��Ve�]pa��2us�:}e�t��9o�cons�)�id���e��r�t���h��re�s�imp�ޔle�S�s�[t�illus�tra���t��riv�e�]examp�ޔle,�kJn���am�ely�t���h�e�cas�:}e�wh�en��X��i�)�s�a�����iFpara��rb�S�o�ޔla��an�d��Y���i�)�s�t���h�e�lin�e.��7C�����iF�Example�3530.2.���CD�Let����A�>�=��k�g�[�x�]�an��rd�let��B���=��k�g�[�x;���y�n9�]�=�(�x������y�����2�2��.=�)�����P���>�����԰���Wֹ=������3�k�g�[�y��]���wh��re��re��k�ѹi�)�s�a�eld�of�����iFc��rh�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�:Xnot�equal�t��9o�2.�'�Let��X��y�=����Sp�ec�����B��^�an��rd�let��Y�yf�=����Sp�ec�����A�.�'�Let��f�$��:����X��y�!��Y��ȹb�e�:Xt���h��re�����iFmorphi�)�sm�{�in��rd�u�ce�S�d�b�y�t���h�e�inclus�)�ion��A�L,���!��B���(t���h�us��x�L�7!��y��n9���2�2��.=�).��Since��B�����P��������԰�����=������]�k�g�[�y�n9�]�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t�����iF
�����X��q�=����B��dy�n9�,�d�t���h��re�L�f�2"ree��B��-mo�S�d��rule�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y��dy�n9�.�^}Similarly�
�����Y��L��=����Adx�.�Th��re�exact�s�:}equence�����iFa��rb�S�o�v�e��b�)�ecom�e�s��%E����fd���R��0���b���!���x��
�����Y��	�e�
�����A��	���B�������!����8ڹ
�����X�����k��!����
�����X��|=�x�Y����NL�!���dN�0��������ۊ�jj����0jj���h�oj���������B��dx�������!���ǟ��B��dy����k��!����k��B��dy�n9=B��(2�y�dy��)�����(D���iFTh��re�2�p�S�oin��t�i�)�s�t���h�a���t�
�����X��|=�x�Y��G*�=�UR(�k�g�[�y�n9�]�=�(2�y��))�dy���i�)�s�2�a�t��9or�[s�ion�sh��re�!laf�sup�p�S�ort��Ee�d�2�on�t���h�e�ramica���t�ion�lo�S�cus�����iFof��t���h��re�m���ap��f��o�:��p�X����!��Y��p�.���(Th�e��only�ramica���t�ion�p�S�oin��t�i�)�s�a�b�S�o�v�e�0.)���Not��Ee�t���h�a���t�
�����X��|=�x�Y���عi�)�s�t���h�e�����iFquot��rien��t�ͮof�
�����X���7�b�y�t���h�e�su���bmo�S�d�ule�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�t���h�e�im���age�of��dx��in�
�����X��r۹=�UR�B��dy�n9�.�/7Th�e�im���age�of�����iF�dx�꨹i�)�s�2�y�n9dy��.����	:More��gen��re��rally�w�e�d���en�e�t���h�e�ramica���t�ion�divi�)�sor�as�fo�ޔllo�ws.������iF�Denit��ion��30.3.���T�	�Let���f��Q�:�UR�X�F��!��Y�2��b�)�e�a�nit��Ee�s�:}epara��rb�ޔle�morphi�sm�of�nons�in��9gular�v��X�ar�2"iet��rie�S�s�of�����iFdim��rens�)�ion���n�.�8�Th�en�t���h�e��ramica���t��ion��divi�0sor��of��X���=��Y���i�)�s���䍒�F��R�n��=����	����X���'؍�UR���q�2�Z�����X����#� �len��9gt���h���C+`��T�O��i?����N�6�((
�����X��|=�x�Y���ع)���������)������Z��%�ލ��iF�wh��re��re�ut���h�e�su��9m�i�)�s�t�ak�en�o�v�e��r�all�clo�!ls�:}e�S�d�irre�d��ru�cib�ޔle�su���b�!ls�:}et��es��Z�W��zn�X����of�co�S�dim�ens�)�ion�1�an�d����v�i�)�s�����iFt���h��re��gen�e��r�2"i��Jc�p�S�oin��t�of��Z�ܞ�.����	:Since��t���h��re�s�:}equence�����_�0�UR�!��f��G��������
�����Y��
��!��
�����X��r��!��
�����X��|=�x�Y��G*�!��0���C���iFi�)�s��exact�it�will�fo�ޔllo��rw�t���h�a���t������Q
������n���ڍX�������P���r�����԰����ù=�������f��G��������
������n���ڍY���	�e�
���L�(�R�J�)�����؉#43����,3̠��э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�wh��re��re�i��R��G�i�)�s�t���h�e�ramica���t�ion�divi�)�sor�of��X���=��Y�m�an�d��L�(�R�J�)�d���enot��Ee�S�s�t���h�e�corre�S�sp�on�din��9g�i�in�v�e��rt�ib�ޔle������iFsh��re�!laf.�8�[[Thi�)�s��i�s�som��re�lin�e�!lar�alge���bra�o�v�e��r�mo�S�d�ule�s.]]����	:Th��re�k�n�ext�part�of�t���h�e�argu��9m�en��t�i�)�s�t��9o�s�[t�udy��f��G����2�!��$s�.�	�mAs�usual�let��f�,`�:��a�X����!��Y��b�)�e�a�nit��Ee�����iFmorphi�)�sm��2of�nons�in��9gular�v��X�ar�2"iet��rie�S�s�of�dim�ens�)�ion��n��an�d�as�!lsu��9m�e�furt���h�e��rmore�t���h�a���t��f���������O�����X�����i�)�s�a�����iFlo�S�cally��gf�2"ree��O�����Y��P��-mo�d��rule.�PDen�e��ga�trace�m���ap��T��Vr��hn:�b��f���������O�����X���
�!�O�����Y��C$�lo�cally��gas�fo�ޔllo��rws.�PLet��Sp�)�ec����A�����iF�b�)�e���an�o��rp�en�an��re�su���b�!ls�:}et�of��Y��6�an�d�let��Sp�)�ec���{�B���=�w��f��G����2��1���{�(�Sp�)�ec�����A�).�u9Th�en��B��̹i�)�s�a�f�2"ree��A�-mo�S�d�ule�of�����iFrank��s�d�q�=��d���eg��	~�f�G��.�[email protected]���o�S�o�!ls�:}e�a�bas�)�i�s��e�����1����;����:�:�:��ʚ;���e�����d����for��B��=��X�A�.�[email protected]��b�q��2��B���,���an��rd�sup�p�S�o�!ls�:}e��be�����i�����=��q�����P�������j�����a�����ij��J��e�����j��f
�.���э��iFDen��re����T��Vr���a(�b�)���=�������P���x����i���X�a�����ii��I��.��xLet���۟�\-�z���	�ӍT��Vr����4�2���Hom���G\����X��%d�(�O�����X����;���f��G����2�!��$s�O�����Y��P��)���corre�S�sp�on�d���t��9o��T��Vr���4�2���ӹHom���G\����Y��$��(�f���������O�����X����;����O�����Y��P��)�����iFu��9n��rd���e��r��t���h�e�i�)�somorphi�sm�b�et��rw�een�t���h�e�S�s�:}e�Hom�group�!ls.����	:�Claim.�8��f��G����2�!��$s�O�����Y������P���
�����԰���
���=�����P��L�(�R�J�).����	:Once���w��re�h�a�v�e�pro�v�e�S�d�t���h�e�claim,��Ot���h�e�t���h�eorem�will�fo�ޔllo�w.�%�T��Vo�s�:}ee�t���hi�)�s�t��Eensor�b�S�ot�h�s�)�id���e�S�s�b��ry�����iF�f��G����2����
����2��n��b��Y���P��.�8�Th��ren����e���f��G�����!��$s�
������n���ڍY���
��=�UR�f��G�����!���O�����Y��	�e�
����f��G��������
������n���ڍY����=�UR�L�(�R�J�)��
��f��G��������
������n���ڍY����=�UR
������n���ڍX��|=�x�Y������:����	:�W��Ve�ޕlo�S�ok�wh��ra���t�h�ap�p�)�ens�lo�S�cally��V.��Let��Sp�ec���J�A��B���Y�{�an��rd��ޕSp�ec���J�B�CH�=��f��G����2��1���{�(�Sp�ec�����A�)����X��.�����iFW��Ve���w��ran��t�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t��f��G����2�!��$s�(�O�����Y��P��)��<=��L�(�R�J�).�
�7Since����f��G����2�!���O�����Y��
���=���H���om��� rߟ���O��X.�Y���.m�(�f���������O�����X����;����O�����Y��P��)����2������~���KŹw��re���lo�S�ok�a���t�����iF�B������2����\�=��URHom����۟���A��"���(�B��;���A�).�,`Fir�[s�t��(cons�)�id���e��r�t���h��re�sp�ecial�cas�:}e�of�t���h��re�para�b�S�o�ޔla�in�v�e�S�s�[t�iga���t��Ee�d��(a�b�o�v�e.�,`Th�en�����iF�B���h��ras�K�a�bas�)�i�s�K�1�;���y��!�o�v�e��r��A��an�d��B������2���	��i�)�s�spann�e�S�d�b�y��e�����0��	�an�d��e�����1��	�wh�e��re��e�����0����(1)���=�1,�d8�e�����0���(�y�n9�)�=�0,�d8an��rd�����iF�e�����1����(1)��=�0,�.��e�����1���(�y�n9�)�=�1.�B�Th���us���y�e�����0����(1)�=��e�����0���(�y�n9�)�=�0,�.��y�e�����0����(�y��)�=��e�����0����(�y�����2�2��.=�)�=��e�����0����(�x�)�=��xe�����0���(1)�=��x�,�����iFan��rd��6�y�n9e�����1����(1)��Y=��e�����1���(�y�n9�)�=�1,�͙�y�e�����1����(�y��)�=��e�����1����(�y�����2�2��.=�)�=��e�����1����(�x�)�=��xe�����1���(1)�=�0.�Y�Th��re��refore��6�y�n9e�����1��	J]�=��e�����0��	`:�so��e�����1������iF�gen��re��ra���t��Ee�S�s�v�B������2���	m��o�v�e�r�v�A�.��JTh�e�trace��T���r�졹:���B�4�!��A��i�)�s�an�elem��ren��t�of��B������2���[
�.��JW��Ve�d���et��Ee��rmin�e�it.��JW��Ve�s�:}ee�����iFt���h��ra���t���T���r�S��(1)�UR=�2�an��rd��T���r�S��(�y�n9�)�=�0�s�)�ince��!����1�UR�$������
��������d���
��1���_�0�������
�0���_�1������� ?���
������+UJ�an��rd��Aڐ�y�Ë�$������
��������d���
��0���_��x�������
��1���ƥ0�������!
L��
������ �S���iF�Th���us���T��Vr��S�=�UR2�e�����0��V�=�2�y�n9e�����1�����s�)�ince���y�e�����1���=�UR�e�����0�����as��sh���o��rwn�a�b�S�o�v�e.�8�W��Ve�h�a�v�e�sh���o�wn�t���h�a���t�t���h�e�m���ap�������䛟�\-�z���	�ӍT��Vr����Ms:�UR�B��X�!��B����������\�:�1��7!���T��Vr������iFh��ras��Dim���age�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y�2�y�n9e�����1����.�
��More�gen�e��rally�sup�p�S�o�!ls�:}e��B�5�=���A�[�y�n9�]�=�(�f�G��(�y��))��Dwh�e��re��f�G��(�y�n9�)��=������iF�y��n9���2�d��IW�+��v�a�����1����y��n9���2�d��1��%ӹ+�����������+��a�����d���4�i�)�s��a�moni��Jc�p�S�o�ޔlynomial�of�d���egree��d�.��Th��ren��B����h�as��A�-bas�)�i�s��1�;���y�n9;�y�����2�2��.=�;��:�:�:��ʚ;�y�����2�d��1������iF�an��rd����B������2�����i�)�s�spann�e�S�d�b�y��e�����0����;���e�����1���;��:�:�:��ʚ;�e�����d��1���$�.� �By���a�s�)�imilar�argu��9m��ren��t�t�o�t���h��re�on�e�a�b�S�o�v�e,��Ow�e�can�sh���o�w�����iFt���h��ra���t���T��Vr��Z�=�UR�f��G����2�0��8�(�y�n9�)�e�����d��1���$�.��Th�us��lo�S�cally��f��G����2�!��$s�O�����Y��
Bعi�)�s�a�f�2"ree��O�����X����-mo�d��rule�of�rank�1�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y��f��G����2�0��8�(�y�n9�)�e�����d��1���$�.�����iFBu��9t�¡t���hi�)�s�i�s�re�!lally�wh��ra���t�w�e�d���en�e�S�d��L�(�R�J�)�t��9o�b�)�e�(wh�e��re�t���hi�)�s�d���e�r�2"iv��X�a���t��riv�e�¡i�)�s�ze�ro�i�)�s�wh��re�re�t���h��re�re�i�)�s�����iFramica���t��rion).�8�Th���us���f��G����2�!��$s�O�����Y��
��=�UR�L�(�R�J�)�an�d�w�e�are�don�e.��!�9���e��5���E�H�cmr25�Curv��`�e��qs��(V����iF�31����Denit��zsions��b#�����iF�Denit��ion��31.1.���T�	�A�O1�curv��e�OY�i�)�s�a�conn��rect��Ee�S�d�nons�in��9gular�pro��ject��riv�e�OY1-dim�ens�ion���al�OYs��xc�h�em�e�o�v�e��r�����iFan��alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld��k�g�.�����	:W��Ve��h��ra�v�e�pro�v�e�S�d�t���h�a���t�if��C�����1��	� �an�d��C�����2��	� �are�curv�e�S�s�t���h�en��C�����1������P���	�1����԰���
�=�����i��C�����2��	� �i��C�����1���i�)�s�bira���t��rion���al�t��9o��C�����2������iF�(i.e.,�p>t���h��rey�U�h�a�v�e�i�)�somorphi��Jc�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et��es)�i��K�ܞ�(�C�����1����)�����P���9����԰���$!�=�����k��K��(�C�����2���).�y{He��re�U��K��(�C�����1���)�9=��O�����C��;�����wh��re��re�U�������iF�i�)�s��t���h��re�gen�e��r�2"i��Jc�p�S�oin��t�of��C�����1����.��If�an�y�of�t���h�e�h�yp�S�ot���h�e�s�)�i�s��nons�in��9gular,��mconn�ect��Ee�S�d,�pro��ject�iv�e,�or�����iFon��re-dim�ens�)�ion���al��i�s�remo��rv�e�S�d�t���h�en�t���h�e�S�s�:}e�equiv��X�alence�s�can�f�)�ail�t��9o�h���o�ޔld.�����؉#44����-IG���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�32����Gen��7�us��b#���iF�Let��,�X�F�,���!�UR�P����2�n��	|�b�)�e�an�em��ekb�e�S�dd���e�d��,pro��ject��riv�e�v��X�ar�2"iet�y��V.�2aLet��P�����X����(�n�)�b�)�e�it��es�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial.�2aTh�e������iF�ar�9�it��phm��et�i���c�6gen�us��}�of��X�z�i�)�s�t���h��re�quan��t�it�y��p�����a���L�d���en�e�S�d�b�y�t���h�e�equa���t�ion��P�����X����(0)�UR=�1��%+�(��1)�����2�dim���d���2�X�����p�����a��Ϲ.�����iFTh���us��vif��C���i�)�s�a�curv��re�t�h��ren��p�����a��Y!�=�UR1������P�����X����(0).�3zF��Vor��va�nons�)�in��9gular�pro��ject�iv�e�curv�e�w�e�also�d���en�e�����iFt���h��re���quan��t�it�y��g����=��m�h����2�1����(�O�����C����)�an�d�call�it�t���h�e��gen��pus�.�`�Th�e��geom��etr�9�i���c�SYgen��pus��p�����g��	ck�=��m�h����2�0����(�!�����X����)�i�)�s�a�����iFt���hird�V�not��rion�of�gen�us�for�a�nons�)�in��9gular�pro��ject��riv�e�V�v��X�ar�2"iet�y��X��.�}�F��Vor�curv�e�S�s�all�t�yp�)�e�S�s�of�gen���us�����iFcoincid���e.���Ӎ����iF�Th��eorem��32.1.���N�$�If�35�C���is�a�curve�then��w�����p�����a��Y!�=�UR�g�Ë�=��p�����g�����:�������iF�Pr��ffo�of.���2��P�����C����(�n�)�5W=�������P����(��1)����2�i��d��h����2�i���(�O�����X����(�n�))�nEso��P�����C���(0)�5W=�������P����(��1)����2�i��d��h����2�i���(�O�����X����).�öBu��9t�nE�C�J�h��ras�dim�ens�)�ion�1�so������iFb��ry��Grot���h�en�diec�k�v��X�ani�)�shin��9g����IQ�1������p�����a��Y!�=�UR�P�����C����(0)�=��h�����0����(�O�����C���)������h�����1����(�O�����C���)�UR=�1������h�����1����(�O�����C���)�UR=�1������g�����iF�so���p�����a��Y!�=�UR�g�n9�.����	:Se��rre�:�d��rualit�y�says�t���h�a���t�if��X�,V�i�)�s�nons�in��9gular�of�dim��rens�ion��n��t���h��ren��Ext�����x�����i��������X���9�(�F�1�;���!�����X����)�i�s�lin��re�!larly�����iFd��rual��t��9o��H���V���2�n��i����(�X�Jg;����F�1�).�8�Th���us�wh�en��X�Fչ=�UR�C�ܞ�,��F��c�=��O�����C����,��i��=�0,�an��rd��n��=�1�w��re�s�:}ee�t���h�a���t�����N��H���V����0���Z�(�!�����C����)�UR=��Ext�����x��/�0������/�C���8ǹ(�O�����C���;���!�����C���)�����iFi�)�s��d��rual�t��9o��H���V���2�1���Z�(�O�����C����).�8�Th���us��p�����g��*P�=�UR�h����2�1����(�O�����C���)�=��h����2�0����(�!�����C���)�=��g�n9�.����V���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����F���iFTh���us���w��re�m���ay�sp�)�e�!lak�of��the��gen�us�of�a�curv��re.��F��Vor�more�gen�e��ral�v��X�ar�2"iet�ie�S�s�t���h�e�concept��es�div�e��rge.����	:Th��re���clas�!ls�)�ica���t�ion�prob�ޔlem�i�)�s�t��9o�d���e�S�s��xcr�2"ib�e�all�curv��re�S�s�up�t��9o�i�somorphi�sm.�~Th��re�s�:}et�of�curv�e�S�s�����iFi�)�s��a�di�sjoin��t�u��9nion��C���=��UR�����`��������g�I{��0�� \!�C�����g�����wh��re��re��C�����g���cons�)�i�s�[t��es��of�all�curv��re�S�s�of�gen���us��g�n9�.���������iF�Th��eorem��32.2.���N�$�A��2ny�35curve�of�genus��0��is�isomorphic�to��P����2�1����.���Ӎ����iFPr��ffo�of.���2��Let���C��,�b�)�e�a�curv��re�of�gen���us�0�an�d�let��P��s�2����C��,�b�)�e�a�clo�!ls�:}e�S�d�p�oin��t.�&�Th��re��re�i�)�s�an�exact�����iFs�:}equence�����^0�UR�!�O�����C��
t��!�L�(�P��ƹ)��!���(�P��)��!��0�:���ꍑ�iF�AS�.�a�/+divi�)�sor��P���corre�S�sp�on��rds�/+t��9o�t���h�e�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��L�(�P��ƹ).��aLet��s�UR�2��(�L�(�P��))�/+b�)�e�a�global�s�:}ect��rion�����iFwhi��Jc��rh���gen�e��ra���t��Ee�S�s��L�(�P��ƹ)�as�an��O�����C����-mo�d��rule.���Th���us��s��h�as�a�p�S�o�ޔle�of�ord���e��r�1�a���t��P�Td�an�d�no�ot���h�e��r�����iFp�S�o�ޔle�s.�8�Th��ren���s��d���en�e�S�s�a�morphi�)�sm�����l��O�����C��
t��!�URL�(�P��ƹ)�:�1��7!��s�����iF�whi��Jc��rh��h�as�cok�e��r�)�n�el���(�P��ƹ).�8�T��Vakin��9g�coh���omo�ޔlogy�yields����N$0�UR�!��H���V����0���Z�(�O�����C����)��!��H���V����0���(�L�(�P��ƹ))��!��H���V����0���(��(�P��ƹ))��!��H���V����1���(�O�����C����)�=�0�:�����iF�Since�[email protected]�H���V���2�0���Z�(�O�����C����)�UR=��k��]�an��rd��H���V���2�0���Z�(��(�P��ƹ))�=��k��]�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t��H���V���2�0���Z�(�L�(�P��ƹ))�UR=��k����\��k�g�.�hView��O�����C��
t���L�(�P��ƹ)�������iF�K��F�wh��re��re���K�1�=�UR�K�ܞ�(�X��)�i�)�s�t���h�e�cons�[t�an��t�fu��9nct�ion�eld�sh�e�!laf.�8�Th�en��������H���V����0���Z�(�O�����C����)�UR�,���!��H���V����0���(�L�(�P��ƹ))��,���!��K�5�:�����iF�Since��%dim���b�H���V���2�0���Z�(�L�(�P��ƹ))�UR�>���dim����H���V���2�0���(�O�����C����),�L�t���h��re��re�%i�)�s��f��Q�2�UR�H���V���2�0���(�L�(�P��ƹ))�(���H���V���2�0���(�O�����C����)�%an��rd��f�m�i�)�s�non�cons�[t�an��t.�����iFTh���us����f��Q�2�UR�K�1�=��K�ܞ�(�X��)�an��rd��f��Q�62��k�g�.��So��f�ɧ�d���en��re�S�s�a�morphi�)�sm��C�1��!��P����2�1��A��as�fo�ޔllo��rws.��If��Q��2��C�^F�an��rd�����iF�f�4��2���O�����Q��sB�s�:}en��rd�C��Q��t��9o����:�z���	���f���CT�2�O�����Q��/��=�m�����Q��w�=��k�T���P����2��1��y���k���#��.�DIf��Q��62��C� Z�so�t���h��ra���t��f����h�as�a�p�S�o�ޔle�a���t��Q�,�Zs�:}en�d��Q��t��9o�����iF�1��2��P����2��1��y���k���#��.�O�Since�G��f����lie�S�s�in��H���V���2�0���Z�(�L�(�P��ƹ))�whi��Jc��rh�h�as�dim�ens�)�ion�1�o�v�e��r��k�Z��=���H���V���2�0���Z�(�O�����C����),�^��v�����P��̹(�f�G��)�=���1.�����iFTh���us����1��do�)�e�S�s�not�ramify�so�t�h��re�d���egree�of�t�h��re�morphi�)�sm�d���en�e�S�d�b�y��f�ݱ�i�)�s�t���h�e�n���u��9m��ekb�)�e��r�of�p�S�oin��t��es�����iFlyin��9g��o��rv�e��r��1��whi��Jc�h�i�)�s�1.�8�Th���us��P����2��1��y���k�������P���x�����԰����̹=�����#��C�ܞ�.���"G��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#45����.c���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�R��ffemark�3532.3.���>�u�Thi�)�s�y2re�S�sul��9t�i�s�f�als�:}e�if��k��O�i�s�not�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d.��~Bu��9t�it�i�s�true�if��C�Uйh��ras�a������iFra���t��rion���al��p�S�oin��t,�i.e.,�a�p�oin��t��P���2�UR�C��F�so�t���h��ra���t���(�P��ƹ)�=��O�����P����=�m�����P��
g�=��k�g�.��������iF�Example�3532.4.���CD�Let�ٿ�k��o�=�UR�R��an��rd�let��C��]�b�)�e�t���h�e�curv�e��x����2�2��H!�+���y��n9���2�2���Z�+��z������2�2���9�=�UR0�ٿon��P����2��2��h���R���Ҁ�.�3=�C��]�i�)�s�nons�in��9gular�����iFof��d���egree�2�so��g��v�=�q=0.�jBu��9t��C�׭�i�)�s�not�i�somorphi��Jc�o��rv�e��r���R��t��9o��P����2��1��h���R���͏�s�ince��C�׭�h��ras�no�ra���t�ion���al�p�S�oin��t��es�����iFwh��re��re�!las��\�P����2��1��h���R���yܹdo�)�e�S�s.�n�Let��P�8I�=���(1�;���i;��0)��2��C�����C��;I�an��rd���\��\-�z�	4��	�Ӎ�P���rz�=�(1�;���i;��0)��2��C�����C����.�n�Let��\�P���Ɵ��2���
�M�2��C�����R��yܹb�)�e�t���h��re�����iFGaloi�)�s��conjugacy�clas�!ls��f�P�S�;������\-�z�	4��	�ӍP���4��g�.�8�Th��ren���(�P���Ɵ��2���aʹ)�UR=��C��F�i�s��of�d���egree�2�o��rv�e��r���R�.�������iF�Exer��ffcise�3532.5.���A�{�Ov��re��r���R��an�curv�e�of�gen���us�0�not�i�)�somorphi��Jc�t��9o��P����2��1��h���R����(�i�s�i�somorphi��Jc�t��9o���������C�1�:�UR�x�����2��j��+����y��n9����2����+��z�������2���9�=�0�����iF.����	:[[If��t���h��re�curv�e�i�)�s�p�ޔlan���ar�t���hi�s�fo�ޔllo��rws�f�2"rom�diagon���aliza�bilit�y�of�quadra���t�i��Jc�forms.]]��(V����iF�33����Riem��|ann-Ro���c��zsh�B�Th�eorem��b#���iF�Th��re��Riem���ann-Ro�S�c�h�t���h�eorem�i�)�s�t���h�e�cor�)�n�e��r�[s�t��9on��re�of�all�of�curv�e�t���h�eory��V.��������iF�Th��eorem��33.1�(Riem��fann-Ro�`c�h).����,��L��ffet��?�C����b�e�a�curve�and��D��v�=��/�����P����*���ڕ�t��	U_��ڕi�=1���!��n�����i��d��P�����i���b�e�a�divisor�on������iF�C�ܞ�.�fiThen����{���h�����0����(�L�(�D�S��))������h�����1���(�L�(�D�S��))�UR=��d���eg�����D��6�+���1����g�����iF�wher��ffe��35�d���eg�����D���=��UR�����P����*������t��	U_����i�=1��� AS�n�����i��d��.�������iFPr��ffo�of.���2��Wh��ren���D���=�UR0�t���h�e�as�!ls�:}e��rt�ion�i�)�s�t���h�a���t���������h�����0����(�O�����C����)������h�����1���(�O�����C����)�UR=�1������g�����iF�whi��Jc��rh�@Yi�)�s�e�!las�ily�c��rh�ec�k�e�S�d.�9�Next�@Ysup�p�o�!ls�:}e�@Y�D���i�)�s�an��ry�divi�sor�an��rd��P���an�y�p�S�oin��t.�9�Compare��D���an�d������iF�D��6�+����P��n�as��fo�ޔllo��rws.�8�Th�e�s�[t�a���t��Eem�en��t�of�t���h�e�t���h�eorem�for��D�>6�i�)�s����{���h�����0����(�L�(�D�S��))������h�����1���(�L�(�D�S��))�UR=��d���eg�����D��6�+���1����g�����iF�an��rd��for��D��6�+����P��n�t���h�e�t���h�eorem�i�)�s����X+D�h�����0����(�L�(�D��6�+����P��ƹ))����h�����1���(�L�(�D��6�+��P��ƹ))�UR=��d���eg�����D��+���1�+�1����g�n9:�����iF�Us�:}e��t���h��re�exact�s�equence����O�0�UR�!�L�(�D�S��)��!�L�(�D��6�+����P��ƹ)��!���(�P��)��!��0�����iFt��9o��compu�t��Ee�t���h��re�Eule��r�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc���UR�=��h����2�0��j������h����2�1�����of��L�(�D��6�+��P��ƹ).�8�Thi�)�s�yields���������(�L�(�D��6�+����P��ƹ))�UR=���(�L�(�D�S��))�+���(��(�P��ƹ))�����iFso����D��h�����0����(�L�(�D��6�+����P��ƹ))����h�����1���(�L�(�D��6�+��P��ƹ))�UR=��h�����0���(�L�(�D�S��))������h�����1���(�L�(�D�S��))�+�1�:�����iF�Th��re��t���h�eorem�i�)�s�t���h�us�true�for��D� u�+����P����i�it�i�)�s�true�for��D�S��.���Since�t�h��re�t�h��reorem�i�)�s�true�for��D���=�UR0�an�d�����iFw��re��can�obt�ain�an�y�divi�)�sor�b�y�addin��9g�or�su���btract�in��9g�p�S�oin��t��es�s�[t�art�in��9g�wit���h��D�ӄ�=��0�t�h��re�t�h��reorem�����iFfo�ޔllo��rws.�����}��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#46����/z����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�34����Se�rre�B�Dualit��zsy��b#���iF�By��Se��rre�Dualit��ry��H���V���2�1���Z�(�L�(�D�S��))�i�)�s�d�ual�t��9o���������R�qExt���eiN���x�0��j)R�(�L�(�D�S��)�;���!�����C����)��������ս=��URExt���/���x�0���3�(�O�����C����;���!�����C��	�@�
���L�(�D�S��)�����_��*��)������������ս=�UR�H���V����0���Z�(�!�����C��	�@�
���L�(��D�S��))�=��H���V����0���(�L�(�K��F�����D�S��))��������iFTh���us���h����2�1����(�L�(�D�S��))���=��h����2�0���(�L�(�K����5)�D�S��))��wh��re��re��K����i�)�s�som�e�divi�)�sor�so�t���h�a���t��L�(�K�ܞ�)���=��!�n9�.��)�K����i�)�s��oft��Een������iFcalle�S�d��t���h��re�canoni��Jcal�divi�)�sor.�8�Th�us�w��re�can�re�S�s�[t�a���t��Ee�t���h�e�Riem���ann-Ro�S�c�h�t���h�eorem�as����mA��h�����0����(�L�(�D�S��))������h�����0���(�L�(�K��F���D�S��))�UR=��d���eg�����D��6�+���1����g�n9:�����iF�Som��ret�im�e�S�s��on�e�a�bbrevia���t��Ee�S�s��h����2�0����(�L�(�D��))�as��`�(�D��)�an��rd�t���h�en�Riem���ann-Ro�S�c�h�b�)�ecom�e�S�s������	�L�(�D�S��)�����L�(�K��F���D��)�UR=��d���eg�����D��6�+���1����g�n9:�������iF�Coro�ٙllary��34.1.����Q���d���eg��eq��K�1�=�UR2�g�������2�.��������iFPr��ffo�of.���2��By��Riem���ann-Ro�S�c��rh,����|���h�����0����(�L�(�K�ܞ�))������h�����0���(�L�(0))�UR=��d���eg�����K��F�+���1����g�����iF�bu��9t���h����2�0����(�L�(�K�ܞ�))�UR=��g�X�an��rd��h����2�0����(�L�(0))�=�1.�8�Th���us��d���eg���?�K�1�=�2�g�������2.����z��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:�Hom��qew�or���k�꨹I�S�I,�Exe��rci�)�s�:}e�8.4;�I�I�I,�Exe��rci�)�s�:}e�6.8,�7.1,�7.3��'�p����iF�35����A�B�Bird's�Ey��zse�View�of�Curv�e���s����=���3�g�����j��3�+��g��+�4(�d����+�1����g�����4)�j�+�15�J=�4�d��������Ů�1.�����23�g�������3��i�)�s�t���h��re�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�mo�S�d�uli�space��M�����g�����of�curv�e�S�s�of�gen���us��g�n9�.��J�����Ů2.�����2�g�X�i�)�s��t���h��re�dim�ens�)�ion�of��Pi��Jc���T���x�d��4��C�ܞ�.�������Ů3.�����24(�d����+�1����g�����4)��i�)�s�t���h��re�n�u��9m��ekb�)�e��r�of�w��rays�t�o�c��rh���o�S�o�!ls�:}e�a�lin�e�!lar�sys�[t��Eem��W��n�in��W���Ɵ��2�0��aʹ(�L�).�������Ů4.�����215��i�)�s�t���h��re�dim�ens�)�ion�of��A��X�u��9t����P����2�3������P���V����԰���.>�=��������PGL��-N)(4�;���k�g�).�������Ů5.�����24�d����i�)�s�t���h��re�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�Hil�b�)�e��rt�s��xc�h�em�e��H����2���V�0��y���d;g���:�of�nons�)�in��9gular�curv�e�S�s�of�gen���us��g�1�an�d������2d���egree���d�.��'�p����iF�36����Mo���d��zsuli�B�Space�����iF�As�Ha�s�:}et��M�����g��	�i�)�s�t���h��re�s�et�of�curv��re�S�s�of�gen���us��g��G�mo�d��rulo�i�)�somorphi�sm.�Q�M�����g��	�can�Hb�e�m���ad���e�in��t��9o�a�����iFv��X�ar�2"iet��ry��in�a�n���a���t�ural�w�ay��V.�8�As�a�v��X�ar�2"iet�y��M�����g�����i�)�s�irre�S�d�u�cib�ޔle�an�d��,��������dim���H+�M�����g��*P�=����̼��UR�8��
�ԍ�UR>������UR<������UR>����UR:�����|���
���0����:9%if���g��=�UR0����fa���
��1����:9%if���g��=�UR1�������
��3�g�������3����:9%if���g�Ë��UR�2�������-�'���iF�M�����g����i�)�s�9�not�a�pro��ject��riv�e�9�v��X�ar�2"iet�y��V,�\�bu��9t�it��es�clo�!lsure����\.�z�i*�	�ҍ�M����������g���,�i�)�s.���Th�e�p�S�oin��t��es�of����\.�z�i*�	�ҍ�M����������g���,�not�in��M�����g����are�calle�d�����iFs�[t��ra�b�ޔle��curv�e�S�s.�����؉#47����0����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�37����Em���b�B�e���ddin��9gs�B�in�Pro�ject��zsiv�e�B�Space��!�#����iF38����Elem��zsen��mt�ary�B�Curv�e�Th�eory���#����iF�38.1�� ��Denit���ions��@���iF�Let�F��C�#+�b�)�e�a�curv��re�t���h�us�F��C��i�)�s�a�nons�in��9gular�conn��rect��Ee�S�d�pro��ject�iv�e�v��X�ar�2"iet�y�of�dim�ens�)�ion�1�o�v�e��r������iFan��Palge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld��k�g�.�t�Let��g���b�)�e�t���h��re�gen�us�of��C�ܞ�.�t�A��divi�)�sor��D��޹i�s�a�su��9m�������P����*���S��k��	U_��S�i�=1���!�Q�n�����i��d��P�����i���㘍��iF�wh��re��re��|�n�����i����2�b��Z��an�d��P�����i��WV�i�)�s�a�clo�!ls�:}e�S�d�p�oin��t�of��C�ܞ�.�P\Let��d���eg����D��3�=��b������P����*���
R�k��	U_��
Ri�=1��� N��n�����i��dڹ.�A��zdivi�)�sor��D�F
�corre�S�sp�on��rds�����iFt��9o��an�in��rv�e��rt�ib�ޔle��sh�e�!laf��L�(�D�S��)�UR=��I����2�����_��b���D���n��wh��re��re��I�����D���i�)�s�t���h��re�id���e�!lal�sh�e�!laf�of��D���an�d��I����2�����_��b���D���
��=��URHom����۟���C��"�s�(�I�����D�����;����O�����C����)�����iFi�)�s��t���h��re�d�ual�of��I�����D�����.�8�Not��Ee�t���h�a���t��L�(�nD�S��)�UR=��L�(�D��)����2�
�n��/p�s�)�ince���
��an��rd��_��comm���u��9t��Ee.����	:Not��ra���t�ion:�8��O�UV�(�D�S��)�UR:=��L�(�D��),���M�(�D��)�=��M���
�L�(�D��).����	:W��Ve�Ιsay�a�divi�)�sor�������P��yD�n�����i��d��D�����i��3s�i�s�eect��riv�e�Ιif�all��n�����i��>'���M�0.��Let��j�D�S��j��d���enot��Ee�t���h��re�comp�ޔlet�e�lin��re�!lar�����iFsys�[t��Eem��as�!lso�S�cia���t�e�d��t��9o��D��.�8�Th���us���5��wox�j�D�S��j�UR�=��f�D������0��w�:��D������0���o�i�)�s��eect��riv�e�an�d��V���D������0��w���D��g�:�����iF�He��re��G���d���enot��Ee�S�s��line��ffar�ȯe�quivalenc�e�.� �Tw��ro��Gdivi�)�sor�[s��D��չan�d��D��S����2�0����are�lin�e�!larly�equiv��X�alen��t�if�t���h�e��re������iFexi�)�s�[t��es���f�V��2���K��E�=��K�ܞ�(�C��)�(t���h��re�fu��9nct�ion�eld�of��C�ܞ�)�so�t���h�a���t��D�{���'��D��S����2�0��
0n�=��(�f�G��)�wh�e��re�(�f�G��)��=������iF�����P������P�.:�2�C��f�clo�.s�*Pe�<rd���0@�v�����P��̹(�f�G��)�P��ƹ.����	:Since��t���h��re�con�dit�ion��D�Oy�+���(�f�G��)�UR���0��i�)�s�exact���ly�t�h��re�con�dit�ion�t���h�a���t��f��Q�2�UR�H���V���2�0���Z�(�C�5�;����L�(�D�S��)),��8it�fo�ޔllo�ws�����iFt���h��ra���t��t�h�e��re��i�)�s�a�biject�ion�����Ru�j�D�S��j����2��������p���UR���$!����\x�H���V����0���Z�(�C�5�;����L�(�D��))�=k��g�������j;������D��S�����0��w�=�UR�D��6�+���(�f�G��)��7!��f���:�����iF�Tw��ro���fu��9nct�ions��f�G��,����g��whi��Jc�h�die��r�b�y�an�elem�en��t�of��k��g���2���	��giv�e�t���h�e�sam�e�divi�)�sor.�m?Not��Ee�t���h�a���t��j�D�S��j������iF�m���ay��b�)�e�empt��ry��V.����	:If���s���2��H���V���2�0���Z�(�L�)�t���h��ren�t�h��re��re�i�)�s�an�inject�ion�0���!�O����2������s���p���C�����@!����N�L�(�D�S��)�giv��ren�b�y�m���ul��9t�ip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��s�.�����iFDualizin��9g��w��re�obt�ain��~��}q��L�(��D�S��)�UR=��I�����D��
��=��L�����_�����2���
��s���-:�_����p���	�����!����X�O���!�O�����D���!��0�:��j;���iF�Th���us�A��D����6�=�UR0�i�)�s�eect��riv�e�A�i��D��T�corre�S�sp�on��rds�A�t��9o�a�clo�!ls�:}e�S�d�su�b�!ls��xc��rh�em�e�A�d���en�e�S�d�lo�cally�b��ry�(�t�������n��8:�i����1��P��8:�i����eV��URO�����P��8:�i�������iF�wh��re��re���t�����P��8:�i���eV�2�UR�m�����P��8:�i�����O�����P��8:�i������i�)�s��a�u��9niformizin�g��param��ret��Ee��r�a���t��m�����P��8:�i���	�.����	:�j�D�S��j�꨹can�b�)�e�regard���e�d�as�a�pro��ject��riv�e��space�an��rd�as�su�c�h���5����ɽdim���_�j�D�S��j�UR�=��h�����0����(�`�(�D��))������1�UR=��`�(�D��)������1�;�����iF�wh��re��re����`�(�D�S��)�Se=��h����2�0����(�L�(�D��)).�
W��Ve���can�gen��re��ralize�t���h�e�not�ion�of�a�comp�ޔlet��Ee�lin�e�!lar�sys�[t��Eem�b�y������iFcons�)�id���e��r�2"in��9g�۩lin��re�!lar�su���b�space�S�s�of��j�D��j�.�3�A�ۦ�(gener��ffal)�%mline�ar�system�۩�i�)�s�a�lin��re�!lar�su���b�space��D����URj�D�S��j�.�����iFTh���us���D�?��corre�S�sp�on��rds�t��9o�a�v�ect��9or�su���b�!lspace��W����UR�H���V���2�0���Z�(�C�5�;����L�(�D�S��)).��">荍��iF�38.2�� ��Map�-9s�L�t��wo�Pro��!ject���iv�e�L�Space�������iF�39����Lo��zsw�B�Gen��7�us�Pro�ject�iv�e�Em���b�B�e���ddin��9gs��b#���iF�Let��4�C�rҹb�)�e�a�curv��re�of�gen���us��g�n9�,�let��K��b�)�e�t���h��re�canoni��Jcal�divi�sor�(whi��Jc��rh�corre�S�sp�on�ds��4t��9o�t���h�e�����iFin��rv�e��rt�ib�ޔle��sh�e�!laf�
�UR=��!�X�of�die��ren��t��rials)�an�d�let��D�>6�b�)�e�a�divi�sor.��Tw�����iF�Th��eorem��39.1�(Riem��fann-Ro�`c�h).����,��`�(�D�S��)������`�(�K��F���D��)�UR=��d���eg����(�D��)���+�1����g�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��39.2.���^�O�A�35divisor��D����is�ample�i���d���eg�����D���>�UR�0�.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��39.3.���^�O�If��35�d���eg�����D�����UR�2�g��+���1�35�then��D����is�very�ample.�����؉#�48����1�٠��э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�39.1�� ��Gen��Vfus�L˾0��curv���e�qs��@���iF�Sup��rp�S�o�!ls�:}e�3)�C�ǹi�)�s�a�curv�e�of�gen���us��g�>�=�л0.�dIf��d���eg�����D�$I���1�t���h��ren��D����i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle.�dSup�p�S�o�!ls�:}e��D�$I�=�л�P������iF�i�)�s���a�p�S�oin��t.�klTh��ren��D�O�giv�e�S�s�r�2"i�)�s�:}e�(aft��Ee��r�a�c�h���oi��Jce�of�bas�)�i�s���for�t���h�e�corre�S�sp�on�din��9g���in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��8)�����iFt��9o�}ran�em��ekb�)�e�S�ddin�g��C�+�,���!�O,�P����2�n��
%¹wh��re��re��n��=��`�(�D�S��)�����1�=�1.��>Wh��ren�}r�D����=�2�P�8�w�e�}robt�ain�t���h�e�2-up�ޔle�����iFem��ekb�)�e�S�ddin��9g�c��C���,���!�#�P����2�2��	#��whi��Jc��rh�i�s�a�coni��Jc�s�ince��g��@�=�#0.��pWh��ren��D�v��=�3�P��ƹ,����C���,���!��P����2�2��	#��i�)�s�t���h��re�t�wi�)�s�[t��Ee�S�d�����iFcu���bi��Jc.��IMore�"vgen��re��rally��D�ܹ=��N�dP��<�giv�e�S�s�t���h�e�ra���t�ion���al�norm�al�curv��re��C���,���!��N�P����2�d��	�of�d���egree��d��(whi��Jc�h�����iFi�)�s��in�f�act�pro��ject��riv�ely��norm���al).��"ʫ����iF�39.2�� ��Gen��Vfus�L˾1��curv���e�qs�����iF�If�
N�C���i�)�s�a�curv��re�of�gen���us��g��(�=�>�1�t�h��ren��d���eg�����D��}��>�2�g�ܹ�+�n�1�=�3�
Ni��D�]ܹi�)�s�v�e��ry�amp�ޔle.���Th���us�t�h��re�����iFcon��rv�e��r�[s�:}e���t��9o�pro��rp�S�o�!ls�)�it�ion���2�h���o�ޔlds�wh��ren��g�Ë�=�UR1.�4CSup�p�S�o�!ls�:}e��D�0`�i�)�s�a�v�e��ry�amp�ޔle�divi�)�sor�of�d���egree�2.�����iF(F��Vor���d���egree�1�or�0�a�s�)�imilar�argu��9m��ren��t�w�or��eks.)�Q�Th�en��D�F��giv�e�S�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�an�em��ekb�e�S�ddin��9g��C�@,���!�cy�P����2�1������iF�s�)�ince��Z�`�(�D�S��)��{���1�UR=�2��{���1�UR=�1�whi��Jc��rh�i�)�s�a�b�!lsurd�s�)�ince��C����h�as�gen���us�1�bu��9t��P����2�1���^�h�as�gen���us�0.�4qT��Vo�s�:}ee�����iFt���h��ra���t��
�`�(�D�S��)�UR=�2�ap��rp�ޔly�Riem���ann-Ro�S�c�h�t��9o�obt�ain��`�(�D�S��)�CK���`�(�K�����D��)�UR=�2�CK+�1����1�UR=�2.�(Th��ren��
s�)�ince������iFd���eg����K���=��z2�g�QW����2�=�0�=�w��re�s�:}ee�t���h�a���t��d���eg���/(�K�������D�S��)��z�<��0�=�an�d�h�ence��`�(�K�������D�S��)��z=�0�=�so��`�(�D��)��z=�2�=�as�����iFd���e�S�s�)�ire�d.����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e�ew�D���i�)�s�a�divi�sor�of�d���egree�3�on�a�gen���us�1�curv��re��C�ܞ�.�	�LTh�en��D���giv�e�S�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�an�����iFem��ekb�)�e�S�ddin��9g����C�iI,���!����P����2�2��	a��s�ince��`�(�D�S��)�'2���1���=�(�d���eg�����D�z��+�'21����g�n9�)����1���=�3�'2���1���=�2.�]�Th���us�an��ry�curv�e�����iFof���gen���us�1�can�b�)�e�em��ekb�e�S�dd���e�d���as�a�nons�in��9gular�cu���bi��Jc�curv��re�in��P����2�2����.�
K�Thi�s�em��ekb�e�S�ddin��9g�also�����iFallo��rws���us�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t��K����,�0.�
9�W��Ve�sh���o�w�e�S�d�b�)�efore�t���h�a���t�if��C����,�P����2�2��
U��i�)�s�of�d���egree��d��t���h�en�����iF�!�����C������P���h����԰���P�=�����@��O�����C����(�d��t���3).�7�Th���us�?�c��rh���o�S�o�!ls�)�in��9g�an�em��ekb�e�S�ddin��9g�ar�2"i�s�in��9g�f�2"rom�a�divi�sor�of�d���egree�3�as�a��rb�S�o�v�e�����iFw��re��s�:}ee�t���h�a���t��!�����C������P���
�����԰���
��=��������O�����C����(0),�ft���h�us��t�h�e��canoni��Jcal�sh�e�!laf�corre�S�sp�on�ds��t��9o�t���h�e�tr�2"ivial�divi�)�sor�clas�!ls�so�����iF�K�1���UR�0.�8�Al��9t��Ee��r�)�n���a���t��riv�ely��V,��w�e�can�pro�v�e�t���hi�)�s�b�y�us�)�in��9g�Riem���ann-Ro�S�c�h�t��9o�s�:}ee�t���h�a���t�����]5G�`�(�K�ܞ�)�UR=��`�(0)���+��d���eg��BA(�K��)�+�1����g�Ë�=�UR1�+�0�+�1����1�=�1�����iFan��rd��t���h�us��K��F�i�)�s�lin��re�!larly�equiv��X�alen��t�t��9o�an�eect�iv�e�divi�)�sor�of�d���egree�2�g�������2�UR=�0.��"ʫ����iF�39.3�� ��Mo�qd���uli�L�Space�����iF�Th��re��mo�S�d�uli�space�S�s�of�curv�e�S�s�of�lo�w�gen���us�are�����=Q�M�����0��V�=�UR�f��꨹curv��re�S�s�of�gen���us�0��_�+�g��=��f�P�����1����g�������M�����1��V�=�UR�f��꨹curv��re�S�s�of�gen���us�1��_�+�g��=��A�����1�����	:�A���curv��re����C��q�of�gen���us��g���=�"�1�can�b�)�e�giv�en�b�y�a�d���egree�3�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��C��,���!�"��P����2�2����.�f`W��Ve�will������iFsh���o��rw�/�[[in�ni��Jce�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�only?]]�Ht���h�a���t�t�w�o�em��ekb�)�e�S�dd���e�d�/�curv�e�s�/��C�����1����,���!����P����2�2���Ϲan�d��C�����2����,���!����P����2�2���Ϲare�����iFi�)�somorphi��Jc��2as�a��rb�!ls�[tract�curv�e�S�s�i�t���h�e��re�i�)�s�an�a��2u��9t�omorphi�sm��2in��A��X�u��9t���P����2�2��V�=��URPGL���|(3)�s�:}en��rdin��9g��C�����1������iF�t��9o�e�C�����2����.���Not��Ee�t���h��ra���t��A��X�u�t��{��P����2�2��	%
�i�)�s�a�3����2�2���������1�%�=�8�edim��rens�ion���al�f�amily��V.���A�d�d���egree�3�curv��re��C�9,���!�%��P����2�2��	%
�i�s�����iFgiv��ren��b�y�a�d���egree�3�p�S�o�ޔlynomial������G��F���=�UR�a�����0����x�����3��j��+�������������2��H���V����0���Z�(�O����P������2���Y��(3))�:�����iF�Since����dim��q!�H���V���2�0���Z�(�O����P������2���Y��(3))���=�10���w��re�obt�ain�a�10�N����1���=�9���dim�ens�)�ion���al�pro��ject�iv�e�space�of�su�c�h������iFcurv��re�S�s��j(includin��9g�t���h�e�s�)�in��9gular�on�e�S�s).�!Th�e�nons�)�in��9gular�on�e�S�s�form�an�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et��UR�6�=�0.�!Th�e�����iFmo�S�d��ruli��space��M�����g�����h�as�dim�ens�)�ion�9������8�UR=�1.�8�[[Not��cle�!lar.]]����	:Ho��rw���can�d���egree�3�em��ekb�)�e�S�dd�e�d���curv��re�s��C�����1����;���C�����2��g>���:�P����2�2��
���b�)�e�i�somorphi��Jc?��W��Ve�gen��re��ralize�t��9o�����iFarbitrary��d���egree�an��rd�ask�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�que�S�s�[t�ion.�����؉#49����2�Ѡ��э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Que�`s�	�t��ion��39.4.���N��Supp��ffose�G��C�����1����;���C�����2��;���{��P����2�2��	��ar�e�b�oth�nonsingular�curves�of�de�gr�e�e��d��and�supp�ose������iF�C�����1������P���������԰����׹=�����31�C�����2��	Ws�as��oabstr��ffact�curves.��Do�es�is�ne�c�essarily�fol���low�that�ther�e�is�an�automorphism��g���of�����iF�P����2�2���9�sending�35�C�����1���to��C�����2����,�i.e.,�such�that��g�n9�(�C�����1���)�UR=��C�����2����?�����	:�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���d�UR�=�1.�8�Th�en���C�����1�����an�d��C�����2�����are�b�S�ot���h�lin�e�S�s�in��P����2�2�����so�t���h�e�answ�e��r�i�)�s�y�e�S�s.����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e����d�mC�=�2.�
��Th�en����C�����1��
{�an�d��C�����2��
{�are�b�S�ot���h�coni��Jcs.�
��If��k�#	�i�)�s�alge���brai�cally�clo�!ls�:}e�S�d�an��rd������iFc��rh�ar�����k�΄�6�=�gg2���t���h��re�d���enin��9g�equa���t�ions��C�����1��	K��an�d��C�����2��	K��can�b�)�e�transform�e�S�d�in��t��9o��x����2�2���N�+�J�y��n9���2�2��F��+��z������2�2��	�N�=�gg0���b�y�����iFan�NNa��2u��9t�omorphi�)�sm�of��P����2�2��	R�(b��ry�\comp�ޔlet�in��9g�t���h�e�square").�c�Th���us�in�t�hi�)�s�cas�:}e�t�h��re�answ�e��r�t��9o�t���h�e�����iFque�S�s�[t��rion��i�)�s�y�e�S�s.�8�Wh�en��c�h�ar��uB�k��o�=�UR2�t���h�e�answ�e��r�i�)�s�no.�8�[[giv�e�an�e�!lasy�cou��9n��t��Ee��rexamp�ޔle�h�e��re.]]����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e�k��d�1
�=�3.��!Th���us��C�����1��	+¹an��rd��C�����2���are�b�S�ot���h�cu�bi��Jc�curv��re�S�s�in��P����2�2��	+¹an�d��C�����1������P��������԰���		��=�����wo�C�����2��	+¹as�a�b�!ls�[tract�����iFcurv��re�S�s.�8�Equiv��X�alen��t���ly��w�e�are�giv�en�an�a�b�!ls�[tract�curv�e��C��F�an�d�t�w�o�em��ekb�)�e�S�ddin��9gs���������'�����1��V�:�UR�C�1�,���!��P�����2���������'�����2��V�:�UR�C�1�,���!��P�����2������iF�Th��re��ique�S�s�[t�ion�i�)�s�t���h�en:��Ado�)�e�S�s�t���h�e��re�exi�)�s�[t�an�a��2u��9t�omorphi�)�sm��g�k��of��P����2�2���m�su��rc�h�t���h�a���t��g�n9�(�'�����1����(�C�ܞ�))�UR=��'�����2���(�C�ܞ�)?������iFTh��re�x�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�d�a���t��ra�givin�g��'�����1��8͹i�)�s�a�divi�sor��D��W�alon��9g�wit���h�a�bas�i�s�of�global�s�:}ect��rions��s�����0����;���s�����1���;�s�����2��V�2�����iF�H���V���2�0���Z�(�O�����C����(�D�S��)).�=�An�A�a��2u��9t�omorphi�)�sm�of��P����2�2��	��in��rd�u�ce�S�s�a�m���ap�on��C�0�whi��Jc�h�pre�S�s�:}e��rv�e�s�A��D�� �bu��9t�c��rh�an�ge�S�s�����iFt���h��re�g�bas�)�i�s��s�����0����;���s�����1���;�s�����2���.���Sup��rp�S�o�!ls�:}e�g��'�����1��	'��i�)�s�giv�en�b�y��D�����1��	'��an�d�global�s�:}ect�ions��s�����0����;���s�����1���;�s�����2���,���an��rd�g�t���h�a���t��'�����2��	'��i�)�s�����iFgiv��ren��b�y��D�����2�����an�d��t�����0����;���t�����1���;�t�����2���.�8�Th��re��a��2u��9t�omorphi�)�sm��g�X�in��rd�u�ce�S�s�a�m���ap���������g��n9����0���Ĺ:�UR�C�����P���1�����԰���Jع=�����ܙ�'�����1����(�C�ܞ�)�����h����g��J���������!������'�����2���(�C�ܞ�)�����P�������԰���n:�=��������C�5�:�����iF�Th��ren���g��n9���2�0��<r�(�D�����1����)�UR=��D�����2�����an�d���g��n9���2�0���Ĺ:��s�����0����;���s�����1���;�s�����2��V�7!�UR�t�����0���;�t�����1���;�t�����2���.�����	:Thi�)�s���gen��re��ralize�S�s�so�t���h�a���t�in�d���egree��d������3���a�n�ece�S�s�!lsary�con�dit�ion�for�a�y�e�S�s�answ�e��r�t��9o�t���h�e�����iFa��rb�S�o�v�e���que�s�[t�ion���i�)�s�t���h��ra���t�for�an�y�t�w�o�divi�)�sor�[s��D�����1����an�d��D�����2����of�d���egree��d��on��C�х�t���h�e��re�i�)�s��g����2��fùA��X�u��9t��}��P����2�2������iF�su��rc�h��t���h�a���t��g��n9���2�0��<r�(�D�����1����)�UR=��D�����2���.��(V����iF�40����Curv��zse���s�B�of�Gen��7�us�3��b#���iF�T��Vo�S�d��9ay��w��re�will�s�[t�udy�curv�e�S�s�of�gen���us�3.��������iF�Example�3540.1.���CD�A��p�ޔlan��re�curv�e��C�1���UR�P����2�2�����of�d���egree��d��=�4�h��ras�gen���us�����Fu����1��۟���z�@���2�����
��(�d������1)(�d����2)�=�3.�������iF�Example�3540.2.���CD�A��^curv��re���C��@�on�t���h�e�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace��Q��in��P����2�3��	���of�t�yp�)�e�(2,4)�h�as�d���egree�6�an�d������iFgen���us��3.����	:Th��re�S�s�:}e�'�t�w�o�examp�ޔle�S�s�are��qualitatively��die��ren��t.��kTh�e�curv�e�S�s�in�t���h�e�r�[s�t�examp�ޔle�are�\ca-�����iFnoni��Jcal"��wh��re��re�!las�t���h�e�curv�e�S�s�in�t���h�e�s�:}econ�d�clas�!ls�are�\h�yp�)�e��rellipt�i��Jc".����	:W��Ve�1cons�)�id���e��r�t���h��re�r�[s�t�1examp�ޔle�in�more�d�et��rail.��Let��C�������P����2�2���	�b�)�e�a�gen���us�3�p�ޔlan�e�curv�e�(so�����iF�C��F�h��ras��d���egree��d�UR�=�4).�8�Th�en�����O�!�����C��
t�=�UR�O�����C����(�d������3)�=��O�����C����(1)�����iFso��#�!�����C�����i�)�s�v��re��ry�amp�ޔle.�
RTh���us�t�h��re�canoni��Jcal�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�ar�2"i�s�in��9g�f�2"rom�t���h��re�canoni��Jcal�divi�sor�i�s�����iFexact���ly��t�h��re�giv�en�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��C�1�,���!�UR�P����2�2����.����	:Next�W�w��re�cons�)�id���e��r�examp�ޔle�2�in�more�d�et��rail.��Let��C�4��b�)�e�a�gen���us�t�hree�curv��re�of�t�yp�)�e�(2,4)�on�����iFt���h��re�M�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace��Q�����P���UR����԰���n:�=��������P����2�1��*���j��P����2�1��V��UR�P����2�3����.��Th�e�pro��ject�ions��p�����1����;���p�����2��V�:�UR�Q��!��P����2�1��
�giv�e�M�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�a�d���egree�����iF2���an��rd�a�d���egree�4�morphi�)�sm�of��C��I�t��9o��P����2�1����.�(�Th���us�t�h��re��re�exi�)�s�[t��es�a�2-t��9o-1�morphi�sm��f��Q�:�UR�C�1��!��P����2�1����.�(��f�����iF�corre�S�sp�on��rds�kxt��9o�a�bas�:}e�p�S�oin��t�f�2"ree�lin�e�!lar�sys�[t��Eem�on��C�H�of�d���egree�2�an�d�dim�ens�)�ion�1.�{Thi�s�lin��re�!lar�����iFsys�[t��Eem�,zin�t��rur�)�n�corre�S�sp�on�ds�,zt��9o�an�eect�iv�e�divi�)�sor��D���of�d���egree�2�wit���h��`�(�D�S��)��[=�2�,zso��j�D��j��[�=�1.�����iFTh��re��exi�)�s�[t��Eence�of�su�c�h�a�divi�)�sor�m�e�!lans�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es��P��ƹ,��Q��su�c�h�t���h�a���t��j�P�Ln�+����Q�j��h�as�dim�ens�)�ion�1.�����؉#50����3�R���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Denit��ion��40.3.���T�	�A���curv��re����C��f�i�)�s��hyp��ffer�el���liptic��ȹif��g�������2�an�d�t���h�e��re�i�)�s�a�bas�:}e�p�S�oin��t�f�2"ree�lin�e�!lar������iFsys�[t��Eem��of�d���egree�2�an��rd�dim�ens�)�ion�1.���s��	:It�IDi�)�s�clas�!ls�i��Jcal�not��ra���t�ion�IDt���h�a�t�IDa�bas�:}e�p�S�oin��t�f�2"ree�lin��re�!lar�sys�[t��Eem�of�d���egree��d��an�d�dim�ens�)�ion��r�����iF�i�)�s��calle�S�d�a��g����2��n9�r��y��d�����.�8�T��Vo�say�t���h��ra���t�a�curv�e�i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�i�)�s�t��9o�say�t���h�a���t�it�h�as�a��g����2��n9�1��RA�2���.=�.��?C������5������2�If���g�Ë�=�UR0�t���h��ren�t�h��re��re�i�)�s�alw�ays�a��g����2��n9�2��RA�2���.=�.���Ѝ�����5������2�If����g�疹=�y]1�an��ry�divi�)�sor�of�d���egree�2�giv�e�S�s�a��g����2��n9�1��RA�2���	.�b�y�Riem���ann-Ro�S�c�h.�xfIn�d���ee�d,� if����D�Sc�h�as�d���egree�����22��t���h��ren������tmdim���	��j�D�S��j������dim��?��j�K��F���D��j�UR�=�2���+�1����g�Ë�=�UR2�������2an��rd���d���eg���A(�K��F�����D�S��)�UR=���2��so��dim����j�D��j�����(��1)�UR=�2��an��rd�h�ence��dim����j�D�S��j�UR��1.��������5������2�If����g�Ë�=�UR2�ev��re��ry�curv�e�i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�s�)�ince��j�K�ܞ�j��i�s�a��g����2��n9�1��RA�2���.=�.�*�In��rd���ee�S�d,��jap�p�ޔlyin��9g���Riem���ann-Ro�c�h�����2w��re��s�:}ee�t���h�a���t�������dim�����j�K�ܞ�j�UR�=��dim����j�K��j������dim��?��j�0�j�UR�=�2������1�UR=�1�:��?C�����iF�Lemm��fa��40.4.���E���L��ffet����C����b�e�any�curve�and��D����any�divisor�of�de�gr�e�e��d�&/>��0�.���Then���dim��9E�j�D�S��j���d�����iF�with�35e��ffquality�i��C���is�a�r�ational�curve.���s�����iFPr��ffo�of.���2��Thi�)�s�`[i�s�(IV,�Ex.�	��1.5)�in�Hart��esh���or�n��re.�	��Al��9t���h�ough�`[on�e�migh�t�gue�S�s�!ls�t���h�a���t�t���hi�)�s�lemm���a�����iFfo�ޔllo��rws�5�f�2"rom�Riem���ann-Ro�S�c�h�t���hi�)�s�i�s�not�t���h��re�cas�:}e.�	Riem���ann-Ro�S�c�h�giv�e�S�s�a�die��ren��t�sort�of�����iFrela���t��rionship��b�)�et�w�een�t���h�e�dim�ens�)�ion�an�d�d���egree�of�a�divi�)�sor.�8�W��Ve�in�d�u�ct�on��d�.����	:Fir�[s�t��sup��rp�S�o�!ls�:}e��d�UR�=�1.�8�Fir�[s�t��not��Ee�t���h�a���t��[���~:�dim���� �j�P����j�UR�=��`�(�P��)������1�UR=��h�����0����(�O�����C����(�P��))������1�:�����iF�Th��re��re��i�)�s�an�exact�s�:}equence�����J�0�UR�!�O�����C��
t��!�O�����C����(�P��ƹ)��!��k�g�(�P��)��!��0�:�����iF�No��rw���h����2�0����(�O�����C����)�m�=�1�an��rd��h����2�0����(�k�g�(�P��ƹ))�=�1�t���h��re��refore��h����2�0����(�O�����C����(�P��ƹ))����2�so��dim���Z�j�P����j���1.�d$If��dim���Z�j�P����j��=�1������iFt���h��ren�p,�j�P����j��h�as�no�bas�:}e�p�S�oin��t��es�so�w�e�obt�ain�a�morphi�)�sm��C�2�!�8��P����2�1��	00�of�d���egree��d�eg����P��Z�=�8�1�whi��Jc��rh�����iFm���us�[t��b�)�e�an�i�somorphi�sm�so��C��F�i�s�ra���t��rion���al.����	:Next��sup��rp�S�o�!ls�:}e��D���=�UR�P�����1��j��+�����������UN�+����P�����d��ߨ�.�8�Let��D�����2�0��w�=�UR�P�����1��j��+�����������UN�+����P�����d��1���$�.�8�Th��re��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence��[��~8]0�UR�!�O�����C����(�D��S�����0��!ǹ)��!�O�����C���(�D�S��)��!��k�g�(�P�����d��ߨ�)��!��0�:�����iF�No��rw�At�h����2�0����(�O�����C����(�D��S����2�0��!ǹ))������d��b��ry�in�d�u�ct�ion�an�d��h����2�0����(�k�g�(�P�����d��ߨ�))���=�1�so��h����2�0����(�O�����C����(�D�S��))����d���+�1,��'t���h��re��refore�������iFdim��	���j�D�S��j�SW��d����wit���h�equalit��ry�i��h����2�0����(�O�����C����(�D�����2�0��!ǹ))�SW=��d�.�
~�By���in��rd�u�ct�ion��h����2�0����(�O�����C����(�D��S����2�0��!ǹ))�SW=��d��i��C��P�i�)�s�����iFra���t��rion���al.����Q���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�Th��eorem��40.5.���N�$�Supp��ffose�MW�C�)��is�a�curve�of�genus��g��������2�.���Then��!�����C��l��is�very�ample�i��C��is�not�����iFhyp��ffer�el���liptic.�������iFPr��ffo�of.���2��Let��y�K���b�)�e�t���h��re�canoni��Jcal�divi�sor.�/&Th��ren�b�y�a�previous�re�S�sul��9t��K���i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle�i�for�all�����iFp�S�oin��t��es���P��ƹ,��Q�,��dim����j�K��F�����P�Ln���Q�j�UR�=��dim����j�K�ܞ�j�����2.�8�By��Riem���ann-Ro�c��rh,��[���V�kdim��l[��j�P�Ln�+����Q�j����dim��?��j�K��F���P����Q�j�UR�=�2���+�1����g�Ë�=�UR3����g�n9:�����iF�No��rw�
B�K���i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle�i��dim�����j�K������7�P�c����Q�j��8�=��dim��%~�j�K�ܞ�j��7��2��8=�(�g�0p���7�1)����2��8=��g����7�3�
Bso�wh��ren��K������iF�i�)�s��v��re��ry�amp�ޔle�t���h�e�a�b�S�o�v�e�b�)�ecom�e�S�s�������dim���Wa�j�P�Ln�+����Q�j���(�g�����3)�UR=�3������g�n9:�����iF�Th���us�c��K�@��i�)�s�v��re��ry�amp�ޔle�i�for�all��P���an�d��Q�,���1dim��w�j�P����+��1�Q�j�#��=�0.���Th���us�c��K�@��i�)�s�not�v�e��ry�amp�ޔle�i�����iFt���h��re��re�n[exi�)�s�[t��es��P�!�an�d��Q��so�t���h�a���t��dim����j�P�N��+����Q�j�UR�=�1.�qBu��9t�n[t���h�e�la���t��2t��Ee��r�con�dit�ion�o�S�ccur�[s�preci�)�s�:}ely�wh�en�����iF�C��i�)�s�%Gh��ryp�e��rellipt�i��Jc.��(W��Ve�%Gcan�exclud���e�t���h�e�cas�:}e��dim�����j�P�tX�+�Ғ�Q�j����2�%Gb�y�us�)�in��9g�t���h�e�previous�lemm���a�����iFan��rd��t���h�e�f�)�act�t���h�a���t��C��F�i�)�s�not�ra�t��rion���al.)������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#51����4ڇ���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Coro�ٙllary��40.6.���Q���If�35�C���is�a�curve�of�genus��g�Ë��UR�1��then��j�K�ܞ�j��has�no�b��ffase�p�oints.���b�����iFPr��ffo�of.���2��If�+��g�2~�=��E1�t���h��ren��K���=�0�so��j�K�ܞ�j��=��f�0�g��an��rd�w�e�are�don�e.��mIf��g�2~���E�2�t���h�en��j�K�ܞ�j��i�)�s�bas�:}e�p�S�oin��t������iFf�2"ree��i������1odim���Ƶ�j�K��F�����P����j�UR�=��dim����j�K�ܞ�j���1���1���iFfor���all��P��ƹ.�K~(If��j�K�ܞ�j��h��ras�a�bas�:}e�p�S�oin��t��P����t���h�en�ev�e��ry�eect�iv�e�divi�)�sor��D�Dk�lin�e�!larly�equiv��X�alen��t�t��9o��K�����iF�i�)�s�+7su��rc�h�t���h�a���t��D�*+��֝�P����i�)�s�eect�iv�e�an�d�lin�e�!larly�equiv��X�alen��t�t��9o��K��;��֝�P��ƹ.���If��j�K�ܞ�j��h�as�no�bas�:}e�p�S�oin��t��es�����iFt���h��ren�t�h�e�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�space�of�eect�iv�e�divi�)�sor�[s�equiv��X�alen��t�t��9o��K��������P��۹m���us�t�go�do��rwn�for�����iFev��re��r���P��ƹ.)�8�Since��������dim���*$�j�P����j�UR�=��dim����j�K��F�����P��j��+�1�+�1����g�����iF�an��rd��������dim����/�j�K�ܞ�j�UR�=�2�g�������2�+�1����g�Ë�=�UR�g����1�����iFw��re��s�:}ee�t���h�a���t�����:�dim�����j�K��F�����P����j�UR�=��dim����j�K�ܞ�j���1�+��dim��?��j�P����j�����iF�so����j�K�ܞ�j��i�)�s�bas�:}e�p�S�oin��t�f�2"ree�i��dim����j�P����j�WO�=�1���for�all��P��.�<aBu��9t��dim����j�P��j�WO��1���for�ev��re��ry��P����an�d�w�e�h�a�v�e�����iFequalit��ry��i��C��N�i�)�s�ra���t�ion���al�(i.e.,��g=0).�88Since��C��N�i�)�s�not�ra���t�ion���al�it�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t��j�K�ܞ�j��i�)�s�bas�:}e�p�S�oin��t�����iFf�2"ree.����pӄ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����H!��	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e��giv�en�an�a�b�!ls�[tract�curv�e��C�|��of�gen���us�3.�Y=Th�en��C�|��b�)�elon��9gs�t�o�on��re�of�t�w�o�di�)�sjoin��t�����iFclas�!ls�:}e�S�s.��?If�t���h��re�canoni��Jcal�sh�e�!laf��!�����C��8��i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle�t���h�en�w�e�obt�ain�an�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�of��C����in��t�o�����iF�P����2�g�I{��1�����=�
;�P����2�2��	��as�V�a�nons�)�in��9gular�quart��ri��Jc�curv�e.�}If��!�����C��vL�i�)�s�not�v�e��ry�amp�ޔle�t���h�en��C�3R�i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�����iF(s�)�ince�0�t���h��re�m���ap�in�d�u�ce�S�d�b�y��!�����C��PV�i�)�s�2-t��9o-1).� Do�e�S�s�ev��re��ry�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�ar�2"i�)�s�:}e�as�a�curv�e�of�����iFt��ryp�)�e��(2,4)�on��Q�UR���P����2�3����?�8�Hart��esh���or�n��re��claims�t��9o�h�a�v�e�t���hree-fourt�hs��of�a�pro�S�of.���b�����iF�Lemm��fa��40.7.���E���If�t�C���is�any�curve�of�genus��3��then�ther��ffe�exists�a�very�ample�divisor�of�de�gr�e�e�����iF�6�UR=�2�g�n9�.�������iFPr��ffo�of.���2��Let���D�>6�b�)�e�a�divi�sor�of�d���egree�6.�8�W��Ve�h��ra�v�e��sh���o�wn�t���h�a���t��D�>6�i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle�i���r������dim������j�D��6�����P�Ln���Q�j�UR�=��dim����j�D�S��j�����2�����iFfor��all��P��n�an��rd��Q�.�8�Since��d���eg���?�K�1�=�UR2�g�������2�=�4��Riem���ann-Ro�S�c�h�as�!ls�:}e��rt��es�t���h�a���t�����6r�dim��L��j�D�S��j�UR�=��dim����j�K��F�����D��j��+�6�+�1����g�Ë�=�UR��1�+�6�+�1����g��=�UR6����g��=�UR3�����H8�dim��]���j�D��6�����P����j�UR�=��dim����j�K��F���(�D��6���P��ƹ)�j��+�5�+�1����g�Ë�=�5����g�Ë�=�2���1���N��dim��d=��j�D��6�����P�Ln���Q�j�UR�=��dim����j�K��F�����(�D����P�Ln���Q�)�j��+�4�+�1����g�n9:�����iF�Th���us��for��D�>6�t��9o�b�)�e�v��re��ry�amp�ޔle�it�m�us�[t�b�)�e�t�h��re�cas�:}e�t�h��ra���t���r�����dim���oQ�j�K��F�����(�D��6���P�Ln���Q�)�j�UR�=���1�:�����iF�Since���d���eg���i(�K�������(�D�����P�k����Q�))���=�0��it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t��dim����j�K�������(�D�����P�k����Q�)�j���=���1��i��K��n�i�)�s�not������iFlin��re�!larly�8equiv��X�alen��t�t��9o��D�����F�P�h���Q�.���Th�e�8as�!ls�:}e��rt�ion�i�)�s�t���h�us�8re�S�d�u�ce�d�8t��9o�sh���o�win��9g�t���h�a���t�amon��9g�all�����iFdivi�)�sor�[s��of�d���egree�6�t���h��re�s�:}et�wit�h��D��6�����P�Ln���Q�UR���K��F�i�)�s��a�pro��rp�e��r�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s�:}et.����	:[[I��do��anot�u��9n��rd���e��r�[s�t�an�d��aHart��esh���or�)�n�e's�pro�S�of�of�t���hi�)�s.��He�says��D�i���Y�P�����Q�UR���K����i��a�D������K����+�Y�P��+��Q�.�����iFHe�rit���h��ren�claims�t�h��ra���t�t�h��re�f�)�amily�of��D����of�d���egree�6�i�s�a�6�dim��rens�ion���al�f�amily�an��rd�t���h�a���t�t���h�e�f�)�amily�����iFof��divi�)�sor��K��F�+����P�Ln�+��Q�꨹i�s�a�5�dim��rens�ion���al�f�amily��V.]]���дh��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����H!��	:Wh��ra���t��a�b�S�ou��9t�t���h�e�con�v�e��r�[s�:}e?�K�If��C�͞�i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�m���us�[t��C�͞�t�h��ren�h�a�v�e�t��9o�lie�on�a�quadr�2"i��Jc�����iFsurf�)�ace?�����؉#52����5����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�41����Curv��zse���s�B�of�Gen��7�us�4��b#���iF�Recall��t���h��ra���t�curv�e�S�s�of�gen���us��g�Ë��UR�2�sp�ޔlit�up�in��t��9o�t�w�o�di�)�sjoin��t�clas�!ls�:}e�S�s.����������(a)�����2h��ryp�)�e��rellipt�i��Jc��������>�(b)�����2�!�����X��1�i�)�s��v��re��ry�amp�ޔle�����iFIf�J=�g�f=�=��3�an��rd��C�&۹i�)�s�of�t�yp�)�e�(2�;����4)�on��Q�����P����2�3��	
A�t���h�en�J=�C�&۹i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc.�W�Also,�b#if��g�f=�=��3�t���h�en��!�����X�������iF�i�)�s�W�v��re��ry�amp�ޔle�i��C�4��i�s�a�d���egree�4�curv��re�in��P����2�2����.���An�y�curv�e�of�gen���us��g�}~�=�E3�can�b�)�e�em��ekb�e�S�dd���e�d�����iFas�0�a�curv��re�of�d���egree�6�in��P����2�3����.�fW��Ve�do�not�kno�w�wh�et���h�e��r�an�y�su�c�h�curv�e�can�act�ually�b�)�e�pu��9t�����iFon�x�a�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace.��\Thi�s�x�w��rould�m���ak�e�a�gre�!la���t�h���om�ew�or��ek�prob�ޔlem�|�I�x�do�not�kno�w�t���h�e�����iFansw��re��r."����	:Next��w��re�cons�)�id���e��r�curv�e�S�s�of�gen���us�4.��������iF�Example�3541.1.���CD�Cons�)�id���e��r���a�t��ryp�e�(2�;����5)�curv��re��C��h�on��Q������P����2�3����.��FTh�en����C��h�h�as�d���egree�7���=�2�1�+�5�����iFan��rd��$�C��¹i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�(b�)�eca��2us�:}e�of�t���h�e�d���egree�2�m���ap�comin��9g�f�2"rom�pro��ject�ion�on��t��9o�t���h�e�r�[s�t�����iFf�)�act����p�����1��	"2�:�b.�Q��!��P����2�1����).��A��tt��ryp�e���(3�;����3)�curv��re�on��Q��i�s�also�of�gen���us�4.��It�i�s�a�d���egree�6�comp�ޔlet��Ee�����iFin��t��Ee��r�[s�:}ect��rion��of��Q��an�d�a�cu���bi��Jc�surf�)�ace.�8�Curv�e�S�s�of�t�yp�)�e�(3�;����3)�h�a�v�e�a���t�le�!las�[t�t�w�o��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.��"ʫ����iF�41.1�� ��As�8�id��(e:�exi�s�Ot��Gence�L�of��g����=���D�K�`y

cmr10�1��	?���d���E�'s�in�gen���e��ral��@���iF�As�!lsu��9m��re�6�for�t���hi�)�s�di�s��xcus�!ls�ion�t���h��ra���t��g����2��n9�1��y���d���.=�'s�are�allo�w�e�S�d�t��9o�h�a�v�e�bas�:}e�p�S�oin��t��es.�Call�su�c�h��g����2��n9�1��y���d���.=�'s�tr�2"ivial.�����iFGiv��ren��a��g����2��n9�1��y���d���	�addin��9g�a�p�S�oin��t��p��tr�2"ivially�giv�e�S�s�a�(tr�2"ivial)��g����2��n9�1��y���d�+1����$�.��������iF�Que�`s�	�t��ion��41.2.���N��Given�35any�curve��C���what�is�the�le��ffast��d��for�which�ther�e�exists�a��g����2��n9�1��y���d���.=�?���������5������2�g�Ë�=�UR0��t���h��re��re�i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�1���	�comin��9g�f�2"rom�t�h��re�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��P����2�1��V�,���!�UR�P����2�1����,��������5������2�g�Ë�=�UR1��t���h��re��re�are�innit��Eely�m���an�y��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s,��������5������2�g�Ë�=�UR2��t���h��re��re�i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�2���	�n���am�ely��!�����C����,��������5������2�g�Ë��UR�2]��if�t���h��re��re�i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�2���	�t�h��ren��C��F�i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc,��������5������2�g�Ë>�UR�2��t���h��re��re�exi�)�s�[t��es�nonh�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�S�s.�����iFIf��a�curv��re��C��T�h�as�a��g����2��n9�1��RA�3���	?�it�i�)�s�calle�S�d��trigonal�.��	If��g����˹2�t���h�en�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�a�tr�2"ivial��g����2��n9�1��RA�3���	?�(jus�t�add�a������iFp�S�oin��t��
t��9o�a��g����2��n9�1��RA�2���.=�).�0�If��g��=�UR3�an��rd��C����i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�t���h�en�it�i�)�s�tr�2"ivial�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�0�If��C����i�s�not�����iFh��ryp�)�e��rellipt�i��Jc�LUit�i�s�not�tr�2"ivial.�]�Bu��9t�pro��ject��rion�t���hrough�a�p�S�oin��t��P��Z�2����C�(�giv�e�S�s�a�3-t��9o-1�m���ap�t�o�����iF�P����2�1����.�cThi�)�s��1corre�S�sp�on��rds�t��9o�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�cTh���us�a�curv�e�of�gen���us�3�h�as�innit��Eely�m���an�y��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s�(on�e�for�e�!lac�h�����iFp�S�oin��t,�o�comin��9g�Uf�2"rom�pro��ject��rion).�xDIf��g�x��=�
�4�an�d��C�1��i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�t���h�en�it�i�)�s�tr�2"ivial�t���h�a���t�t���h�e��re�����iFi�)�s�F�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�M�In�gen��re��ral�giv�en�an�y�gen���us�4�curv�e�on�e�can�alw�ays�cons�[tru�ct�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�M�Wh�en��g�`����f�5�in�����iFgen��re��ral��t���h�e�re��will�not�b�)�e�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�8�Thi�s�pa���t��2t��Ee��r�n�rep�e�!la���t��es�it�s�:}elf.��"ʫ����iF�41.2�� ��Clas�-9s�8�ifyin��wg�L�curv���e�qs�of�gen��Vfus��4��@���iF�St��rart���wit���h�an�a�b�!ls�[tract�curv�e��C��c�of�gen���us�4.��8W��Ve�do�not�d���e�!lal�wit�h�t�h��re�cas�:}e��C��c�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�����iFno��rw.�8�A��rela���t��Ee�S�d�que�s�[t��rion�i�)�s�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g.��������iF�Que�`s�	�t��ion��41.3.���N��Do��ffes�35every�hyp�er�el���liptic�curve�live�on�the�quadric�surfac�e?�����؉#�53����62���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�W��Ve��'p�S�o�!ls�[t��Tp�on��re�t���hi�)�s�que�s�[t��rion�or�m���ayb�)�e�pu��9t�it�on�an�up�comin��9g�h���om��rew�or��ek�as�!ls�)�ignm�en��t.������iF[Ev��re��ry�on�e��sh���udd���e�r�[s.]����	:If��V�C���i�)�s�not�h��ryp�e��rellipt�i��Jc��Vt���h�en��!�����C��
��i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle.�5Th�e��refore�w�e�h�a�v�e�t���h�e�canoni��Jcal�em��ekb�)�e�S�d-�����iFdin��9g�~��C�1�,���!�UR�P����2�g�I{��1��̹=��P����2�3����:��Th��re�d���egree�of�t���h�e�em��ekb�)�e�S�dd���e�d�curv��re�i�)�s��d���eg��a�!�����C��
t�=�UR2�g�<����U�2�=�6.��Th���us�view�����iF�C��F�as��a�d���egree�6�gen���us�4�curv��re�in��P����2�3����.�8�Wh�a���t�do�)�e�S�s��C��F�lie�on?�8�Th�e��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence���f��Y,q0�UR�!��H���V����0���Z�(�I�����C����(2))��!��H���V����0���(�O����P������3���Y��(2))��!��H���V����0���(�O�����C����(2))��!������������iF�Since��@Riem���ann-Ro�S�c��rh�s�[t�a���t��Ee�S�s�t���h�a���t��`�(�D�S��)�UR=��d���eg�����D��6�+�A�1����g���+��h����2�1����(�O�UV�(�D��))��@w��re�s�:}ee�t���h�a���t��h����2�0����(�O�����C����(2))�UR=������iF12�=)+�1����4�+�0�UR=�9.�'[[Thi�)�s��
i�s�not�quit��Ee�cle�!lar.]]�'Since��h����2�0����(�O����P������3���Y��(2))�UR=�10�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t�t���h�e�m���ap�����iF�H���V���2�0���Z�(�O����P������3���Y��(2))�UR�!��H���V���2�0���(�O�����C����(2))���m���us�[t�h��ra�v�e���a�non��tr�2"ivial�k��re��r�)�n�el���so��h����2�0����(�I�����C���(2))�UR�>��0.�(�Th��re��refore����C����lie�S�s�����iFin�r
som��re�surf�)�ace�of�d���egree�2.��Can�t���h�e�surf�)�ace�b�e�t��rwi��Jce�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e?��No.�Can�r
t���h�e�surf�)�ace�����iFb�)�e�et���h��re�u��9nion�of�t�w�o�p�ޔlan�e�S�s?�zNo.�Could�et���h�e�surf�)�ace�b�y�t���h�e�s�)�in��9gular�quadr�2"i��Jc�con�e��Q�����on�Îe��
��?�zY��Ve�S�s.�����iFCould��t���h��re�surf�)�ace�b�e�t���h��re�nons�in��9gular�quadr�2"i��Jc�surf�ace��Q�����ns���;�?�8�Y��Ve�S�s.����	:If�̽�C��[�lie�S�s�on��Q�����ns��_��t���h��ren�it�m�us�[t�h��ra�v�e�̽a�t��ryp�)�e�(�a;���b�)�whi��Jc�h�m���us�[t�sa���t�i�)�sfy��a���+��b���=�6�̽an�d�����iF(�a������1)(�b����1)�UR=�4.�8�Th��re��only�so�ޔlu��9t�ion�i�)�s��a�UR�=��b��=�3.����	:Th��re���ot���h�e��r�p�S�o�!ls�s�)�ibilit��ry�i�s�t���h��ra���t��C�{"�lie�S�s�on��Q�����on�Îe��
��.�On�e�w�ay�t��9o�u�n��rd���e��r�[s�t�an�d����C�{"�i�)�s�t��9o�gure�ou�t�all�����iFdivi�)�sor�[s��;on��Q�.�6fAnot���h��re��r�w�ay�i�)�s�t��9o�compu�t��Ee�an�exact�s�:}equence�lik��re�t���h�e�on�e�a�b�S�o�v�e.�6fW��Ve�obt�ain���f��Y,q0�UR�!��H���V����0���Z�(�I�����C����(3))��!��H���V����0���(�O����P������3���Y��(3))��!��H���V����0���(�O�����C����(3))��!������������iF�As�»b�)�efore�on��re�s�:}ee�S�s�t���h�a���t��h����2�0����(�O�����C����(3))��=�15�»an�d��h����2�0����(�O����P������3���Y��(3))��=�20.��Th���us�»�h����2�0���(�I�����C����(3))����5.��Let������iF�q�'��2����H���V���2�0���Z�(�I�����C����(2))�Rrb�)�e�t���h��re�d���enin��9g�equa���t�ion�of��Q�����on�Îe��
��.�	p>Th�en��xq�n9;���y�q�;�z���q�;�w�R�q�'��2����H���V���2�0���Z�(�I�����C����(3)).�	p>Bu��9t�����iF�h����2�0����(�I�����C����(3))��j���5�Kso�t���h��re��re�exi�)�s�[t��es�an��f�Ai�2��j�H���V���2�0���Z�(�I�����C���(3))�so�t���h��ra���t�t�h��re�global�s�:}ect�ions��xq�n9;���y�q�;�z���q�;�w�R�q�;�f�����iF�are�S!in��rd���ep�)�en�d�en��t.�rLTh���us�S!t�h��re��re�i�)�s�an��f�� �not�in�(�q�n9�).�rLSince��f�O%�62�&�(�q��)�w��re�s�:}ee�t���h�a���t��F�����3���*�=�&�Z�ܞ�(�f�G��)��6��Q�����iF�so����C��ܞ���2�0��)�=�UR�F�����3��Z��\����Q��i�)�s�a�d���egree�6�not�n��rece�S�s�!lsar�2"ily�nons�in��9gular�or�irre�S�d��ru�cib�ޔle���curv�e.�6GSince��C�1���UR�F�����3������iF�an��rd��C������T�Q��it�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t��C������T�C��ܞ���2�0���׹.�� Since��d���eg�����C��=��T6�=��d���eg��;��C��ܞ���2�0����it�fo�ޔllo��rws�b�y�an�e�!lasy�exe��rci�)�s�:}e�����iFt���h��ra���t���C�1�=�UR�C��ܞ���2�0���׹.��TW�����iF�Lemm��fa��41.4.���E���Supp��ffose�^��C�\����F�C��ܞ���2�0��		��ar�e�b�oth�close�d�subschemes�of��P����2�n��3�with�the�same�Hilb�ert�����iFp��ffolynomial.�fiThen�35�C�1�=�UR�C��ܞ���2�0�����.����	:�Th���us�^4in�t�h��re�cas�:}e�t�h��ra���t��C�:ҹlie�S�s�on��Q�����on�Îe��aιw�e�s�:}ee�t���h�a���t��C�:ҹi�)�s�also�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion��C����=�����iF�Q�����on�Îe���B�\����F�����3����.����	:Next��=w��re�comm�en��t�on�t���h�e��g����2��n9�1��RA�3����z�que�S�s�[t�ion�in�t���hi�)�s�s�it��rua���t�ion.�!�Pro��ject�ion��=f�2"rom�t���h��re�con�e�p�S�oin��t�t��9o�����iFt���h��re�ٖconi��Jc�(t�h��re�bas�:}e�of�t�h��re�con�e)�in�d�u�ce�S�s�a��g����2��n9�1��RA�3���	ӹon��C�ܞ�.�3/So�in�gen���us��g�Ë�=�UR4�t�h��re��re�i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�3/Th�e��re�i�)�s�����iFon��re��in�t���h�e�cas�:}e�t���h�a���t��C�u��lie�S�s�on��Q�����on�Îe�����(it�i�)�s�not�cle�!lar�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s��just��on�e),��ct���h�e��re�are�t�w�o�in�t���h�e�����iFcas�:}e��t���h��ra���t��C��F�lie�S�s�on��Q�����ns���;�,�an�d�t���h�e��re�i�)�s�a�tr�2"ivial�on�e�in�t���h�e�cas�:}e�t���h�a���t��C��F�i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��41.5.���^�O�Supp��ffose��f�C���is�a�genus�4�nonsingular�c�omplete�interse�ction��Q�'��\��F�����3��V��UR�P����2�3������iF�with�35�Q��of�de��ffgr�e�e�35�2��and��F�����3���9�of�de��ffgr�e�e�35�3�.�fiThen��!�����C������P���
t�����԰���
�ҹ=�������O�����C����(1)�.����	:�Recall���t���h��ra���t�if��C�n��i�)�s�of�d���egree��d��in��P����2�2��	Q�t�h��ren��!�����C������P���������԰������=�����X��O�����C����(�d�����3).�.�Thi�)�s���can�b�e�s�:}een�f�2"rom�an�����iFan���alys�)�i�s��of�t���h��re�exact�s�:}equence���f���rJ0�UR�!�I����=�I������2����!�UR�
����P������2���Y��j�C�1��!��
�����C��
t��!��0�����iFt��9oget���h��re��r��wit�h�t�h��re�exact�s�:}equence����~X�0�UR�!��
����P������2���Y��j�!�O�����C����(��1)�����3��V�!�O����P������2����j�C�1��!��0�:�����iF�W��Ve��could�do�t���h��re�sam�e�t���hin��9g�for��C�1���UR�P����2�3����.�������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��41.6.���^�O�Supp��ffose��K�C��=�,I�F�����e��r����F�����f��	�h���P����2�3��	gO�with��F�����e��	��and��F�����f��
j�nonsingular�of�de��ffgr�e�e��e;���f�G��,������iFr��ffesp�e�ctively.�fiThen�35�!�����C��
t�=�UR�O�����C����(�e����+��f�����4)�.����	:�Thi�)�s��w��ras�(I�S�I,�Ex.�8�8.4�e)�an�d�it�can�b�)�e�fou��9n�d�in�m�y�h���om�ew�or��ek�so�ޔlu��9t�ions.�����؉#54����7)���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�42����Curv��zse���s�B�of�Gen��7�us�5��b#���iF�Th��re��re���are�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�S�s�of�gen���us�5.�6�F��Vor�examp�ޔle�a�curv�e�of�t�yp�)�e�(2�;����6)�on�t���h�e�quadr�2"i��Jc������iFsurf�)�ace���Q�UR���P����2�3����.�8�Are�t���h��re��re�an�y�more�curv�e�S�s�of�gen���us�5?����	:If�/4�C�ҹi�)�s�a�curv��re�of�gen���us�5�whi��Jc�h�i�)�s�not�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�t���h�en��!�����C��N̹i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle�so�t���h�e��re�i�)�s�a�����iFcanoni��Jcal�a$em��ekb�)�e�S�ddin��9g��C���,���!���P����2�4��	!(�in�whi�c��rh��C�=¹h�as�d���egree�8.��THo�w�m���an�y�quadr�2"i��Jc�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s�����iFdo�)�e�S�s��su��rc�h�a��C��F�lie�on?��"�ɍ���iF�42.1�� ��Th���e��mspace�of�quadr�C�i��ccs�con���t�ainin��wg�an�em��.�b�8�e�qdd��(e�d��mgen��Vfus�5�curv�e.��@���iF�Th��re��re��i�)�s�an�exact�s�:}equence��lv��Y,q0�UR�!��H���V����0���Z�(�I�����C����(2))��!��H���V����0���(�O����P������4���Y��(2))��!��H���V����0���(�O�����C����(2))��!������������iF�Riem���ann-Ro�S�c��rh��=imp�ޔlie�s��h����2�0����(�O�����C����(2))���=��d���eg��;�(�O�����C���(2))�0�+�1����g�&�=���16�+�1����5�=�12.���He��re��=�O�����C����(2)������iFh��ras�Kbd���egree�16�s�)�ince�t���h�e�d���egree�i�)�s�addit�iv�e�on�t���h�e�clas�!ls�group�an�d��C�(�h�as�d���egree�8�so�t���h�e�����iFdivi�)�sor�D��O�����C����(1)�h��ras�d���egree�8.��Also��O�����C���(2)�i�)�s�sup�e��r�[sp�ecial�s�ince�t���h��re�canoni��Jcal�divi�sor�h��ras�d���egree�����iF2�g��`��'�2�h�=�8.��2Com��ekbinin��9g�"�t���hi�)�s�wit�h�t�h��re�f�)�act�t�h��ra���t��h����2�0����(�O����P������4���Y��(2))�h�=�15�"�imp�ޔlie�S�s��h����2�0���(�I�����C����(2))�h����3.�����iFTh���us����C�to�lie�S�s�on�a�3�dim��rens�)�ion���al�space�of�quadr�2"i��Jc�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s.�@ZLet����F�����2����;���F����2�����0��RA��2����;�F����2������0�����0���RA��2���V	�b�)�e���lin��re�!larly�����iFin��rd���ep�)�en�d�en��t���quadr�2"i��Jc�h��ryp�)�e��r�[surf�ace�S�s���con�t��rainin��9g��C�ܞ�.��In�t���h�e�gen���us�4�cas�:}e��F�����2�����\���F�����3��J��w�as�a�curv�e��C��ܞ���2�0������iF�whi��Jc��rh��w�e�w�e��re�a�b�ޔle�t��9o�sh���o�w�w�as�equal�t��9o��C�ܞ�.�8�Bu�t�in�our�s�)�it��rua���t�ion�it�migh�t�b�)�e�p�S�o�!ls�s�)�ib�ޔle�t���h��ra���t��lv����*�F�����2��j��\����F���������0���ڍ�2���V�=�UR�H�����P���B�����԰���[��=������Q�P�����3����:�����iF�Bu��9t��in�t���h��ra���t�cas�:}e��C�@S��c��F�����2��pm�\��i�F����2�����0��RA��2���� �w�ould�b�)�e�con��t�ain�e�S�d�in��P����2�3����.�R<Bu��9t�t���hi�)�s�i�s�not�true�s�ince��C�Ϻ�i�s�not������iFcon��t��rain�e�S�d�Q�in�an��ry�lin�e�!lar�su���b�space�s�)�ince�t���h��re�em��ekb�e�S�ddin��9g�com��re�s�f�2"rom�t���h��re�comp�ޔlet��Ee�lin�e�!lar�sys�[t��Eem�����iF�j�!�����C����j�.���(If�j��C�G8�w��re��re�con��t�ain�e�S�d�in�a�lin�e�!lar�su���b�space�t���h��ren�t�h��re��re�w�ould�b�)�e�a�d���ep�en��rd�ence�j�rela���t�ion�����iFb�)�et��rw�een��t���h�e�lin�e�!larly�in�d���ep�)�en�d�en��t��global�s�:}ect��rions�of��!�����C��
@�givin��9g�r�2"i�)�s�e�t��9o�t���h��re�em��ekb�)�e�S�ddin�g.)����	:If��<�F�����2��
�\�M�F����2�����0��RA��2���	�@�i�)�s�a�h��ryp�e��r�[surf�ace�t���h��ren�it�i�s�d���en��re�S�d�b�y�a�s�)�in��9gle�p�S�o�ޔlynomial�equa���t�ion��f�3h�=��i0.�����iFTh��ren����f�&ɹdivid���e�S�s�t���h�e�quadra���t�i��Jc�d���enin��9g��F�����2���ιan�d�t���h�e�quadra���t�i��Jc�d���enin��9g��F����2�����0��RA��2����ιso��f�&ɹm���us�[t�b�)�e�lin�e�!lar.�����iFBu��9t�út���hi�)�s�cas�:}e�w��ras�rule�S�d�ou�t�a��rb�S�o�v�e.�+�Th���us�ú�S�)�=�UR�F�����2��)�\�[%�F����2�����0��RA��2������i�)�s�a�surf�ace.�+�W��Ve�cannot�conclud���e�t���h��ra���t�����iF�F�����2���Q�\�M�F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2���
^ƹi�)�s���t���h��re�curv�e��C�ܞ�.� -It�could�h�ap�p�)�en�t���h�a���t��S�)��UR�F����2������0�����0���RA��2���
^ƹan�d�so��S�)�=�UR�F�����2���Q�\�M�F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2����8�.� -It���could�����iFalso��h��rap�p�)�en�t���h�a���t��F�����2��f`�\��\�F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2���
�Źi�)�s��jus�[t�a�part��S�����1�����of�t���h��re�surf�ace��S��׹.�8,Bu��9t�t���hi�s�giv��re�S�s�us�a�hin��t�as�����iFt��9o��h���o��rw�t�o�cons�[tru��rct�curv�e�S�s�of�gen���us�5.������iF�42.2�� ��Gen��Vfus�L�5�curv���e�qs�wit�h�v���e��ry�amp���le�canoni��ccal�divi�8�sor��@���iF�In�ۂ�P����2�4�����t��rak�e��F�����2����;���F����2�����0��RA��2����;�F����2������0�����0���RA��2���
���t���hree�ۂquadr�2"i��Jc�h��ryp�)�e��r�[surf�ace�S�s�ۂwhi�c��rh�are�sucien��t���ly�gen�e��ral�so�t���h�a���t��C�1�=�����iF�F�����2�����\����F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2���
�~�i�)�s�'Fa�nons�in��9gular�curv��re.��(Th�a���t�'Ft���hi�s�can�b�e�don��re�ap�p�)�e�!lals�t��9o�Be��rt�ini's�t���h�eorem.)�����iFGiv��ren�7su�c�h�a�curv�e��C��չt���h�en��d���eg�����C�{�=�2�2����2�3��	��=�8�an��rd��!�����C��Ru�=��O�����C����(2�i�+�2�+�2����4����1)�2�=��O�����C���(1).�����iFTh��re��refore���C�ݔ�i�)�s�t���h�e�canoni��Jcal�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�of�t���h�e�a�b�!ls�[tract�curv�e�hidin��9g�in�t���h�e�sh�ado�ws�b�)�e�ɱhin�d�����iF�C�ܞ�.�Th��re�U!gen���us�of��C�1��i�)�s�5�s�ince�2�g��v��y=�2�UR=��d���eg�����C�1�=�8.�Thi�s�U!cons�[tru��rct�ion�giv�e�S�s�examp�ޔle�s�of�curv��re�s�����iFof��gen���us�5�for�whi��Jc��rh��!�����C��
@�i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle,�i.e.,�curv�e�S�s�of�gen���us�5�whi��Jc�h�are�not�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc.����	:Do�)�e�S�s�(Ct���hi�s�t��ryp�e�of�curv��re�h�a�v�e�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�,�O$i.e.,�a�comp�ޔlet��Ee�lin��re�!lar�sys�[t�em�of�d���egree�3�an��rd�dim�ens�)�ion�����iF1?����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e����C�~��i�)�s�an�a�b�!ls�[tract�curv�e�of�gen���us�5�whi��Jc�h�i�)�s�not�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc.� �Em��ekb�e�S�d����C�~��in��P����2�4��a��b�y�����iFit��es��canoni��Jcal�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��C�1�,���!�UR�P����2�4����.�8�Th��re��re�are�t�w�o�p�S�o�!ls�s�)�ibilit�ie�S�s:��[email protected]�����Ů1.�����2�C�1�=�UR�F�����2��j��\����F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2����zj�����Ů�2.�����2�C�1���UR�S�)�=��F�����2��j��\����F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2�������؉#�55����80����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�As�as�:}een�a��rb�S�o�v�e�acas�e�1�can�o�S�ccur.��
In�cas�e�2,�%�S��8�i�)�s�a�surf�ace�of�d���egree�8�[[I�Umi�s�!ls�:}e�S�d�t���h��re�pro�of.]]������iFW��Ve��do�not�y��ret�kno�w�if�cas�:}e�2�can�o�S�ccur.����	:Is���C��e�tr�2"igon���al,�^t���h��ra���t�i�)�s,�do�e�S�s���C��e�h��ra�v�e�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�?��=T��Vo�s�[t�udy�t���hi�)�s�que�S�s�[t�ion�w�e�in��tro�S�d�u�ce�a�n�ew�����iFt��Eec��rhnique.�.�Sup�p�S�o�!ls�:}e�<��C��e,���!����P����2�4�����i�)�s�t���h��re�canoni��Jcal�em��ekb�e�S�ddin��9g�of��C�5�in��t�o��P����2�4�����as�a�d���egree�8�curv��re.�����iFTh��ren�5�t���h�e��re�i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�3���	c��i�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�t���hree�p�S�oin��t�s��P�S�;���Q;�R���2�Է�C��su��rc�h�t���h�a���t��dim�����j�P�c�+�ݝ�Q��+��R�J�j�Է�=�1.�����iFGiv��ren��t���hree�p�S�oin��t��es��P�;���Q;�R��Riem���ann-Ro�c��rh��imp�ޔlie�s��HH����dim�����j�P�Ln�+����Q��+��R�J�j�UR�=�3���+�1����5�+��dim��?��j�K��F���P����Q����R�J�j�UR�=���1���+��dim��?��j�K��F���P����Q����R�J�j�����iF�so���dim��eU�j�P�7�+�iq�Q��+��R�J�j�UR�=�1��i��dim���j�K�F��iq�P�7���Q����R�J�j�UR�=�2.�ڭTh��re��con�dit�ion�t���h�a���t��dim��eU�j�K�F��iq�P�7���Q����R�J�j�UR�=�2������iFi�)�s��8t���h��ra���t�t�h��re��re�i�)�s�a�2�dim�ens�)�ion���al�lin�e�!lar�sys�[t��Eem�of�eect�iv�e�canoni��Jcal�divi�)�sor�[s��K��ֹwhi�c��rh�con��t�ain�����iF�P�S�;���Q;�R�J�.����	:Th��re�}[t��Eec�hnique�i�)�s�t��9o�transla���t��Ee�t���h�e�con�dit�ion��dim����j�K��'����P��O���Q����R�J�j�O�=�2�in��t��9o�a�geom��retr�2"i��Jc�����iFcr�2"it��Ee��r�ion�P�in��rv�o�ޔlvin��9g�t���h�e�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��C�1�,���!�UR�P����2�4����.��Since�t���h�e�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��C�1�,���!�UR�P����2�4����i�s�canoni��Jcal�ev��re��ry�����iFeect��riv�e�j�divi�)�sor�in�t���h��re�canoni��Jcal�divi�sor�clas�!ls�i�s�t���h��re�in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of��C�G��wit���h�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�in�����iF�P����2�4����.�.�W��Ve��7obt��rain��every��eect�iv�e�divi�)�sor�b�eca��2us�:}e��j�K�ܞ�j��h��ras�dim�ens�)�ion�4�an�d�t���h�e�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�����iFspace�qoof�lin��re�S�s�in��P����2�4��	1s�i�)�s�4.��6Th���us�an�eect�iv�e�canoni��Jcal�divi�)�sor�con��t�ains��P�S�;���Q;�R����i�qot���h�e��re�i�)�s�a�����iFh��ryp�)�e��rp�ޔlan�e��in��P����2�4��	��con��t��rainin��9g��P�S�;���Q;�R�J�.�6�Hence��t���h�e��re�i�)�s�a�2�dim�ens�)�ion���al�lin�e�!lar�sys�[t��Eem�in��P����2�4������iF�con��t��rainin��9g����P�S�;���Q;�R���i��P�S�;�Q;�R���are�co�ޔllin��re�!lar�in��P����2�4����.�)�W��Ve�h�a�v�e�t���h�us�in��t��Ee��rpret�e�S�d��dim��S�j�P��Ϲ+�O	�Q��+��R�J�j�����iF�in��t��Ee��rms�of�t���h��re�geom�etry�of�wh�e��re��P�S�;���Q;�R��M�lie��on��C����in�t���h�e�canoni��Jcal�em��ekb�)�e�S�ddin��9g.�0�Th�e�up�!lsh���ot�����iFof��t���hi�)�s�i�s��P>�����iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��42.1.���^�O�Supp��ffose�
2�C����is�a�not�a�hyp�er�el���liptic�curve.�X�Then��C����has�a��g����2��n9�1��RA�3���	8o�i�ther�e�ar�e�����iF�3�35�p��ffoints��P�S�;���Q;�R�n��2�UR�C���which�35ar�e�c�ol���line�ar�in�the�c�anonic�al�emb�e�dding.����	:�Not��ri��Jce��t���h�a���t�t���h�e�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�i�)�s�ev�en�true�wit���h���ou��9t�t�h��re�as�!lsu��9mpt�ion�t���h�a���t��C��F�h�as�gen���us�5.����	:W��Ve��xret��rur�)�n�t��9o�our�s�it��rua���t�ion.��OSup�p�S�o�!ls�:}e��x�C���,���!���P����2�4��	�|�i�s�t���h��re�d���egree�8�canoni��Jcal�em��ekb�e�S�ddin��9g�of�����iFsom��re�Dnonh�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e��C���of�gen���us�5.���Sup�p�S�o�!ls�:}e��P�;���Q;�R����2����C���are�co�ޔllin��re�!lar�so�t���h�ey�all�lie�����iFon��som��re�lin�e��L�.����	:Fir�[s�t�'usup��rp�S�o�!ls�:}e��C��i�)�s�t���h�e�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion��C��n�=����F�����2����\���F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2����8�.��GTh��ren�'u�P�S�;���Q;�R���2����F�����2���y�an�d�����iF�P�S�;���Q;�R�n��2�UR�L����so��L�V��\��F�����2�����con��t��rains���a���t�le�!las�[t�3�p�oin��t��es.�+7If��L��i�)�s�not�con�t��rain�e�S�d���in��F�����2�����t���h��ren��L�V��\��F�����2���h��ras�����iF(�d���eg�����L�)�����(�d���eg���F�����2����)�O=�2�}\p�S�oin��t��es�so�it�m���us�[t�b�)�e�t�h��re�cas�:}e�t�h��ra���t��L�O���F�����2����.���By�}\s�)�imilar�re�!lasonin��9g�w�e�����iFconclud���e��t���h��ra���t��L�UR���F����2�����0��RA��2������an�d���L����F����2������0�����0���RA��2���
��so��L����C�ܞ�,�a�con��tradi��Jct��rion.�8�So��C��F�do�)�e�S�s�not�h�a�v�e�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.����	:Next�isup��rp�S�o�!ls�:}e��C�s����I�S�J �=��F�����2����\���F����2�����0��RA��2����\��F����2������0�����0���RA��2����8�.��#Th��ren�iit�i�)�s�p�S�o�!ls�s�ib�ޔle�it���h��ra���t��L��I���S��@�s�ince�it���hi�s�le�!lads�t��9o�����iFno��con��tradi��Jct��rion.�8�So��mayb��ffe��t���h�e��re�could�b�)�e�a��g����2��n9�1��RA�3���	�on��C�ܞ�,�w�e�s�[t�ill�do�not�kno�w.����	:Next��Cw��re�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e��re�do�exi�)�s�[t�gen���us�5�tr�2"igon���al�curv�e�S�s.�3�W��Ve�cons�[tru�ct�direct���ly�a�gen�us�����iF5��curv��re��C�}��wit���h�non��tr�2"ivial��g����2��n9�1��RA�3���.=�.� STh�e�t���hin��9gs�t�o�do�i�)�s�lo�S�ok�in��P����2�2��a�for�a�curv��re��D��of�d���egree�5�whi��Jc�h�����iFh��ras��on�e�no�S�d���e�an�d�no�ot���h�e��r�s�)�in��9gular�2"it�ie�S�s.����	:As���an�as�)�id���e�w��re�cons�id���e��r�a�more�gen��re�ral�prob�ޔlem.�+6Cons�)�id���e�r�s�)�in��9gular�irre�S�d��ru�cib�ޔle���curv�e�s����C�����iF�of�s�d���egree��d��in��P����2�2��	3��con��t��rainin��9g��r��!�no�S�d�e�s�s�an��rd��k�ڰ�cusp�!ls.�ӠA�so�no��ffde��lo�S�oks�lo�cally�lik��re��xy����=�>^0�an�d�a�����iFcusp���lo�S�oks�lik��re��y��n9���2�2�����=�UR�x����2�3����.�%-Wh�a���t�are�t���h�e�p�S�o�!ls�s�)�ib�ޔle���tr�2"ip�le�s���(�d;���r��r;�k�g�)�whi��Jc��rh�can�o�S�ccur?�%-Th�e�answ�e��r�����iFfor��sm���all��d��i�)�s��4Cn�����y���6�ffg�^�
&c����ͤY���ff��͟��d�d����ff���*\�(�d;���r��r;�k�g�)�
�Y���ff�����ffg�^��ffg�^�����ͤY���ff��͟��d1�ӡ��ff���,Wf(1,0,0)�	1�Y���ff����ffg�^�����ͤY���ff��͟��d2�ӡ��ff���,Wf(2,0,0)�	1�Y���ff����ffg�^�����ͤY���ff��͟��d3�ӡ��ff���(3,1,0),��(3,0,1)��͟Y���ff����ffg�^�����ͤY���ff��͟��d4�ӡ��ff��� ��(4,3,0),����:���:�:��"B�Y���ff����ffg�^����6�����iF�In���gen��re��ral�t���hi�)�s�i�s�an�o��rp�en�prob�ޔlem.�fxSo�lvin��9g���it�i�s�a�guaran��t��Eee�S�d�t���h��re�s�)�i�s,���s�:}ev��ren���y�e�!lar�[s�of�go�S�o�d�����iFlu��rc�k,�Ǹan�d���an...�*Qacad���emi��Jc�p�S�o�!ls�)�it��rion!�Th�e���comp�ޔlet��Ee�answ��re��r�i�)�s�proba�b�ޔly�kno�wn�up�t��9o�d���egree�10.�����؉#56����9J���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�On��re��cons�[train��t�com�e�S�s�f�2"rom�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�if����x����~������C�����i�)�s�t���h�e�norm���aliza���t�ion�of��C��F�t���h�en��!�����U�g�n9�(����x���~�����C���	D��)�UR=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)����r��6���k��o���0��dK���iFso���r��6�+����k��o������Fu�����1��������z�@���2�����	���(�d����1)(�d����2).�����	:Fin��rdin��9g��a��D�>6�as�a�b�S�o�v�e�m�e�!lans�n�din��9g�a�(5�;����1�;��0).�8�Sup�p�S�o�!ls�:}e���c�h�ar��uB�k��o�6�=�UR3�;��5.�8�Let��ǯ������f��Q�=�UR�xy�n9z�������3���+����x�����5��j��+��y������5��.=�:�����iF�Th��re��;p�S�oin��t��x��~�=��y����=�0��;i�)�s�a�no�d��9al�s�)�in�gular�2"it��ry��V.�b�Th�e��re��;are�no�ot���h��re�r�s�)�in��9gular�2"it��rie�S�s.�b�See�t���hi�s�b��ry�����iFcompu��9t��rin�g���f�����x��ݳ�=����y�n9z������2�3���+��5�x����2�4����,�F�f�����y���ٹ=��xz������2�3���+��5�y��n9���2�4��.=�,�Fan��rd���f�����z��_z�=�3�xy�n9z������2�2��H�.���F��Vor�t���h��re�S�s�:}e�t��9o�all�v��X�ani�)�sh�it�m�us�[t�����iFb�)�e���t���h��re�cas�:}e�t�h��ra���t��x�,��g�y�n9�,�or����z� ��i�)�s�0.�EIf��x��or��y��i�s�0�t���h��ren�b�S�ot�h��x��an��rd��y��are�0�so�w�e�reco�v�e��r�t���h�e�no�S�d��9al�����iFs�)�in��9gular�2"it��ry��V.��If��
�x��an�d��y�F�are�nonze��ro�t���h�en��z�,~�=���0�so�f�2"rom��f�����x��	삹=�0�an��rd��f�����y��	���=�0�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t�����iF�x�UR�=��y�Ë�=�0,��bu��9t��x�UR�=��y��=��z��5�=�0��i�)�s�not�a�p�S�oin��t.����	:Let����C�1�=����x���~�����UR�D����T�b�)�e�t���h��re�norm���aliza���t�ion�of��C�ܞ�.�QTh�en��C�n��i�)�s�a�gen���us�5�nons�in��9gular�curv��re.�Q(Th�a���t���t���h�e�����iFnorm���aliza���t��rion��Jof�a�curv�e�i�)�s�nons�in��9gular�i�s�a�f�act�f�2"rom�comm���u��9t��ra���t�iv�e��Jalge���bra.)�4Pi��Jc�k�a�no�S�d���e��P�����iF�on���D�S��.�<Th��ren�lin�e�S�s�t���hrough��P�!��in��P����2�2��?��giv�e�a�m���ap��D�#����Bf�P����g�UR!��P����2�1����.�<A��p�S�oin��t���Q��in��P����2�1��?��corre�sp�on��rds�����iFt��9o�QMa�lin��re��L��t���hrough��P��ƹ.��Since��P���i�)�s�a�dou�b�ޔle�p�S�oin��t�an��rd��D��۹h�as�d���egree�5,�o�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��L��in��t��Ee��r�[s�:}ect��es�����iF�D�qйin�B3�ot���h��re��r�p�S�oin��t��es.�ӮTh�e�s�:}e�Bt���hree�p�S�oin��t��es�m���ap�t��9o��Q��'�2��P����2�1����.�ӮThi�)�s�Bm�ap�ext��Een��rds�t��9o�a�m�ap�on��C�����iF�whi��Jc��rh��corre�S�sp�on�ds��t��9o�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.����	:W��Ve�4'can�no��rw�say�som�et���hin��9g�a�b�S�ou��9t�t���h�e�3�g�J���ܲ�3��k=�12�4'dim�ens�)�ion���al�space�of�gen���us�5�curv�e�S�s.�����iFTh��rey�$Qcan�b�)�e�divid���e�S�d�in��t��9o�3�non�empt�y�clas�!ls�:}e�S�s:��2tr�2"igon���al,�2�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�an�d�gen�e��ral�on�e�S�s�wit���h�����iFno����g����2��n9�1��RA�3���.=�.�4�Th��re�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�S�s�form�a�2�g�����g�1�UR=�9���dim�ens�)�ion���al�f�amily��V.�4�[[Th��re�tr�2"igon���al�curv�e�S�s�����iFmigh��rt��cform�an�11�dim�ens�)�ion���al�f�amily??]]�1tIt�migh��rt�b�e�t���h��re�cas�:}e�t�h��ra���t�ev�e��ry�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�����iFi�)�s��tr�2"igon���al.����	:Next��t��rim�e�w�e�will�do�t���h�e�cas�:}e�of�gen���us�6�s�)�ince�a�n�ew�ph�enom�enon�ap�p�)�e�!lar�[s.��'�W����iF�43����Hom��zsew�or���k�B�As�5js�B�ignm�en��mt��b#���iF�Do��t���h��re�fo�ޔllo�win��9g�f�2"rom�t���h�e�b�S�o�ok:�8�IV��Ex.�3.6,�3.12,�5.4.����	:Do���an��ry�on�e�of�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�prob�ޔlems�(an�d�try�t��9o�do�on�e�t���h�a���t�som�eon�e�els�:}e�i�)�s�not�doin��9g!)����	:1.��If��T�C�e�i�)�s�a�h��ryp�e��rellipt�i��Jc��Tcurv�e�of�gen���us��g�џ��cf�2,���n�d�t���h�e�le�!las�[t�p�S�o�s�s�)�ib�ޔle�d���egree�of�a�v��re��ry�����iFamp�ޔle��divi�)�sor�on��C�ܞ�.�8�Is�it�in��rd���ep�en�d���en��t��of�t���h��re�part�i��Jcular�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�c�h���o�!ls�:}en?����	:2.�}�Can��ev��re��ry�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�of�gen���us��g�����|��2�b�)�e�em��ekb�e�S�dd���e�d��in��P����2�3����,�sso�as�t��9o�b�e�a�curv��re�����iFof��bid���egree�(2�;���g��+���1)�on�a�non-s�)�in��9gular�quadr�2"i��Jc�surf�ace��Q�?����	:3.�8�If���C��F�i�)�s�h��ryp�e��rellipt�i��Jc��of�gen���us��g�Ë��UR�3,�t�h��ren��C��F�do�)�e�S�s�not�h�a�v�e�a��g����2��n9�1��RA�3���	�(wit���h���ou��9t�bas�:}e�p�S�oin��t��es).����	:4.���If���C�噹i�)�s�a�non-h��ryp�e��rellipt�i��Jc��curv�e�of�gen���us��g�����<��4�sh���o�w�t���h�a���t��C�噹h�as�a���t�mo�!ls�[t�a�nit��Ee�����iFn���u��9m��ekb�)�e��r��of��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.����	:5.�$�If�9B�C��i�)�s�a�non-h��ryp�e��rellipt�i��Jc�9Bcurv�e�of�gen���us��g�IV����3,�L�t�h��ren�it�admit��es�a�v�e��ry�amp�ޔle�divi�)�sor�����iFof��d���egree��d�UR���g��+���2.������iF�44����Curv��zse���s�B�of�gen��7�us�6��b#���iF�Examp�ޔle�S�s��of�curv��re�s�of�gen���us�6.����������(a)�����2d���egree��5�curv��re�in��P����2�2����,��2������>�(b)�����2a��t��ryp�)�e�(2�;����7)�curv�e�(of�d���egree�9)�on�t���h�e�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace��Q��in��P����2�3����,����������(c)�����2a��t��ryp�)�e�(3�;����4)�curv�e�(of�d���egree�7)�on�t���h�e�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace��Q��in��P����2�3����.�����؉#57����:eg���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Claim��44.1.���=�B�The�|Labstr��ffact�curves��C�X��which�c�an�b�e�r�e�alize�d�in�typ�es�(a),�Α(b),�and�|L(c)�ar�e������iFmutual���ly�35disjoint.��t���	:�Since� (b)�i�)�s�h��ryp�e��rellipt�i��Jc� it�h��ras�a��g����2��n9�1��RA�2���.=�.��HSince�(c)�i�s�tr�2"igon���al�(i.e.��Hit�h��ras�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�)�b�y�exe��rci�)�s�:}e�3�����iFit��do�)�e�S�s�not�h��ra�v�e��a��g����2��n9�1��RA�2���.=�.�8�Th���us�(b)�an��rd�(c)�are�di�sjoin��t�clas�!ls�:}e�S�s.����	:I�M�will�Nn��rext�sh���o�w�t���h�a���t�(a)�h�as�no�o�v�e��rlap�wit���h�(b)�an�d�(c).��Fir�[s�t�Nnot��Ee�t���h�a���t�(a)�h�as�innit��Eely�����iFm���an��ry�D��g����2��n9�1��RA�4���.=�'s,�[>on�e�for�e�!lac�h�p�S�oin��t.�GThi�)�s�i�s�b�eca��2us�:}e�pro��ject��rion�t���hrough�a�p�S�oin��t�giv�e�S�s�a�d���egree�4�����iFm���ap��t��9o��P����2�1����.�8�I�will�pro��rv�e��t���h�a���t�(a)�h�as�no��g����2��n9�1��RA�2���	�or��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�������iF�Lemm��fa��44.2.���E���If��5�C�t��is�a�nonsingular�curve�of���d���eg��/�5��in��P����2�2��	X9�then��C��do��ffes�not�have�a��g����2��n9�1��RA�2���	�r�or�a�����iF�g����2��n9�1��RA�3���.=�.����	:�Th��re��lemm���a�i�)�s�a�sp�ecial�cas�:}e�of�a�re�S�sul��9t�of�Max�No�et���h��re��r:��t����2\On�Vua�p�ޔlan��re�curv�e,��it���h�e�only�lin�e�!lar�sys�[t��Eems��g����2��n9�r��y��d���
W�of�m���axim�al�Vudim�ens�)�ion�(so��r���i�s�����2m���axim�al��wit���h�re�S�sp�)�ect�t��9o��d�)�are�t�h��re��obvious��on�e�S�s."����	:Th��re�Veob�vious�lin�e�!lar�sys�[t��Eems�are�t���h�e�on�e�S�s�ar�2"i�)�s�in��9g�in�a�n���a���t��rural�w�ay�b�y�in��t��Ee��r�[s�:}ect�in��9g�t���h�e�curv�e�����iFwit���h�6�a�s�[traigh��rt�lin�e,�I�or�wit���h�a�coni��Jc�s�:}ect�ion,�I�or�a�coni��Jc�s�:}ect�ion�bu��9t�xin�g�on��re�p�S�oin��t,�I�an�d�so�����iFon.�N�Sup��rp�S�o�!ls�:}e����C�Ν�h�as�d���egree�5�in��P����2�2����.�N�Th�en�cu��9t��2t�in�g���wit���h�a�lin��re�giv�e�S�s�a��g����2��n9�2��RA�5���	 <�s�)�ince�t���h�e�lin�e�S�s�in��P����2�2������iF�form��Ba�2�param��ret��Ee��r�f�)�amily�an�d�t���h�ey�in��t��Ee��r�[s�:}ect��C�}�in�5�p�S�oin�t��es.� iCu��9t��2t��rin�g��Bwit���h�a�coni��Jc�giv�e�S�s�a��g����2��n9�5��RA�10�������iF�s�)�ince��ct���h��re�coni��Jcs�form�a�5�param�et��Ee��r�f�)�amily��V.�ABy�xin��9g�t�w�o�p�S�oin��t��es�on�e�obt�ains�a��g����2��n9�4��RA�9���.=�,��b�y�xin��9g�����iFt���hree��\p�S�oin��t��es�a��g����2��n9�3��RA�8���	ƙ�an��rd�s�)�imilarly�a��g����2��n9�2��RA�7����an��rd��g����2��n9�1��RA�6���.=�.�A�All�lin�e�S�s�wit���h�1�xe�d�p�oin��t�giv��re�s�a��g����2��n9�2��RA�6���.=�.�A�More�����iFgen��re��rally��V,��if�U�C���h�as�d���egree��n��in��P����2�2���Y�t���h�en�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�a��g����2��n9�1��RA��n��1����!�bu��9t�No�et���h��re��r's�re�S�sul��9t�imp�ޔlie�s�t���h��ra���t�����iFt���h��re��re��do�)�e�S�s�not�exi�s�[t�a��g����2��n9�1��y���d���	�for��d�UR<�n������1.��|-�����iF�Pr��ffo�of.���2��No��rw���w�e�pro�v�e�t���h�e�lemm���a.���Let��C����b�)�e�a�nons�in��9gular�curv��re�of�d���egree�5�in��P����2�2����.���Th�en�����iF�!�����C��
t�=�UR�O�����C����(�d������3)�=��O�����C����(2).�{Thi�)�s�eycurv��re�i�s��sub��ffc�anonic�al�,��i.e.,��!�����C��
t�=�UR�O�����C����(�`�)�eyfor�som��re��`�>��0.�{Th���us�����iFt���h��re��canoni��Jcal�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�i�s�obt��rain�e�S�d��b�y�fo�ޔllo�win��9g��C�1�,���!�UR�P����2�2�����b�y�t���h�e�2-up�ޔle�em��ekb�)�e�S�ddin��9g.����	:F��Vrom��	las�[t�t��rim�e��	w�e�kno�w�t���h�a���t�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�a��g����2��n9�1��RA�3���	�F�on��C�]��i�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�p�S�oin��t�s��P�S�;���Q;�R�n��2�UI�C�����iF�su��rc�h�.�t���h�a���t��P�S�;���Q;�R�H�are�co�ޔllin��re�!lar�in�t���h�e�canoni��Jcal�em��ekb�)�e�S�ddin��9g.�3Thi�s�migh��rt�le�!lad�t��9o�a�pro�S�of�bu�t�����iFI��can�not�t���hink�of�it�r�2"igh��rt�no�w,�so�forget�it!����	:�C��F�i�)�s��h��ryp�e��rellipt�i��Jc��i�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es��P�S�;���Q��su�c�h�t���h�a���t��dim����j�P�Ln�+����Q�j�UR�=�1.�8�By��Riem���ann-Ro�S�c�h��r����m�dim���aX�j�P�Ln�+����Q�j�UR�=�2�+�1����6�+��dim��?��j�K��F���P�Ln���Q�j�����iF�so��6in�t���hi�)�s�s�it��rua���t�ion���6dim��!|�j�K��D����P��l���Q�j�hN�=�4.��Since��6�C�hԹh��ras�d���egree�5�an�d�t���h�e�canoni��Jcal�divi�)�sor������iFh��ras��d���egree�10,�!�t���h�e�canoni��Jcal�divi�)�sor�i�s�cu��9t�b��ry�coni��Jcs.���T��Vo�s�:}ee�t���hi�s�not��Ee�t���h��ra���t��j�K�ܞ�j��C�=��g�6���Ȣ�1�=�5�����iFan��rd���t���h�e�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�space�of�coni��Jcs�in��P����2�2�����i�)�s�also�5.�e�If��dim�����j�K��j�����P�V����Q�j�n��=�4�t���h��ren�t�h��re��re�����iFexi�)�s�[t��es���P�S�;���Q�UR�2��C��F�su��rc�h�t���h�a���t�t���h�e�f�)�amily��r�������f��꨹coni��Jcs�con��t��rainin��9g��P�S�;���Q��y~��g�����iF�h��ras���dim�ens�)�ion�4.�yzBu��9t�t���h�e�f�)�amily�of�all�coni��Jcs�in��P����2�2��	j߹h�as�dim�ens�)�ion�5,���t���h�e�f�)�amily�of�coni��Jcs������iFt���hrough�con��re�xe�S�d�p�oin��t�h��ras�dim�ens�)�ion�4,��an�d�t���h�e�f�)�amily�of�coni��Jcs�t���hrough�t�w�o�xe�S�d�p�oin��t��es�����iFh��ras��dim�ens�)�ion�3.�8�Th���us��C��F�can�not�b�e�h��ryp�e��rellipt�i��Jc.����	:�C��C�i�)�s���tr�2"igon���al�i�t���h��re��re�exi�s�[t��es�p�S�oin��t�s��P�S�;���Q;�R���su��rc�h���t���h�a���t��dim��R��j�P��~�+�N��Q��+��R�J�j�UR�=�1.�)�By�Riem���ann-�����iFRo�S�c��rh�Ӗt���hi�)�s�la���t��2t��Ee��r�con�dit�ion�imp�ޔlie�S�s�t���h�a���t��dim��h��j�K�X&��{��P�N���Q����R�J�j�UR�=�3.�1/Thi�)�s�Ӗw�ould�m�e�!lan�t���h�a���t�w�e�����iFcould��n��rd�t���hree�p�S�oin��t��es��P�;���Q;�R�)��in���C��N�su��rc�h�t���h�a���t�t���h�e�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�f�)�amily�of�coni��Jcs�con��t�ainin��9g�����iF�P�S�;���Q;�R��#�i�)�s���3.��Bu��9t�t���h��re�f�amily�of�coni��Jcs�t���hrough��P�/��an��rd��Q��h�as�dim�ens�)�ion�3�an�d�t���h�e��re�are�coni��Jcs�����iFpas�!ls�)�in��9g�K�t���hrough��P��an��rd��Q��bu�t�not�t���hrough��R�e2�so�t�h��re�f�)�amily�of�coni��Jcs�t�hrough�all�of��P�S�;���Q;�R�����iF�m���us�[t��h��ra�v�e�dim�ens�)�ion�le�S�s�!ls�t���h�an�3.�8�Th���us��C��F�i�)�s�not�tr�2"igon���al�an�d�t���h�e�lemm���a�i�)�s�pro�v�e�S�d.���$����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#58����;z����э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�Can��}ev��re��ry�curv�e�of�gen���us�6�b�)�e�re�!lalize�S�d�as�on�e�of�t�yp�)�e�(a),�չ(b),�or��}(c)?�0'Th�e�answ�e��r�i�)�s�no.��I&b����\"-��@�ff��
&c����ͤY���ff��͟��d�g��.���ff������g����2��n9�r��y��d�����'s�d��Y���ff�����ff���ff�塍���ͤY���ff��͟��d�g�Ë�=�UR2����ff����h��9�g����2��n9�1��RA�2���j��Y���ff����ff�塍���ͤY���ff��͟��d�g�Ë�=�UR3����ff����h��9�g����2��n9�1��RA�3���j��Y���ff����ff�塍���ͤY���ff��͟��d�g�Ë�=�UR4����ff���h�9�꨹nit��Eely�m���an��ry��g����2��n9�1��RA�3���ECџY���ff����ff�塍���ͤY���ff��͟��d�g�Ë�=�UR5����ff���-���9�꨹innit��Eely�m���an��ry��g����2��n9�1��RA�4���	�(not�sh�o��rwn�in�clas�!ls)��͟Y���ff����ff�塍���ͤY���ff��͟��d�g�Ë�=�UR6����ff���23^w��re��sh���ould��exp��ffe�ct�꨹t���h�a���t�t���h�e�gen�e��ral�curv�e�
Cs�Y���ff��������͟Y���ff�'VR��ff���R(ih��ras��only�nit��Eely�m���an�y��g����2��n9�1��RA�4���.=�'s�*8~�Y���ff����ff�厎��H{���	:Kle�S�im���an-Lac��rkso�v�	�pro�v�e�t���h�a���t�wh�a���t�w�e�exp�)�ect�i�s�act��rually�t���h�e�cas�:}e�in�gen�e��ral.���Our�examp�ޔle�S�s������iF(a),�P(b),�an��rd��(c)�all�h�a�v�e�innit��Eely�m���an�y��g����2��n9�1��RA�4���.=�'s�so�w�e�susp�)�ect�t���h�a���t�our�examp�ޔle�S�s�do�not�co�v�e��r�����iFall��gen���us�6�curv��re�S�s.����	:Th��re��re��zexi�)�s�[t��es�a�curv�e�of�a�fourt���h�t�yp�)�e�(d)=non�e�of�t���h�e�a�b�S�o�v�e,��an�d�t���hi�)�s�will�b�e�t���h��re�gen�e��ral�����iFcurv��re.�B6It��oi�)�s�h�ard�t��9o�get�our�h�an�ds�on�a�gen�e��ral�curv�e�s�)�ince�an�y�t�im�e�w�e�exp�ޔli��Jcit���ly�m���ak�e�a�����iFcurv��re��it�h�as�sp�)�ecial�pro�p�)�e��rt�ie�S�s�an�d�i�)�s�t���h�us��not�gen�e��ral.����	:W��Ve�'w��ran��t�t��9o�n�d�a�p�ޔlan�e�curv�e�of�d���egree�6�wit���h�4�no�S�d�e�s�'an��rd�no�ot���h�e��r�s�)�in��9gular�2"it�ie�S�s.��;Th�e�����iFspace��of�all�curv��re�S�s�of�d���egree�6�h�as�dim�ens�)�ion�����Fu����1������z�@���2�����
��d�(�d����+�3)�UR=�27.�7�It��t�ak�e�S�s�3�lin�e�!lar�con�dit�ions�t��9o�����iFforce���a�no�S�d���e�a���t�a�part��ri��Jcular�p�oin��t,��Kt���h�us���it�t��rak�e�s���12�lin��re�!lar�con�dit�ions�t��9o�get�4�no�S�d���e�s.��5Since�����iF12�UR�<��27�x�t���h��re��re�exi�)�s�[t�su�c�h�curv�e�S�s.��Th�e�curv�e�could�h�a�v�e�w�e�S�ird�s�)�in��9gular�2"it�ie�S�s,���bu�t�x�t���h�e��re�i�)�s�a�w�ay�����iFt��9o���get�t���h��re�curv�e�w�e�w�an��t.��Thi�)�s�i�s�lik��re�h���om�ew�or��ek�IV.5.4.��Th���us�sup�p�S�o�!ls�:}e��C�����0��V��UR�P����2�2��D��i�)�s�a�curv�e�of�����iFd���egree�,%6�wit���h�exact�ly�4�s�)�in��9gular�2"it��rie�S�s�whi��Jc�h�are�all�no�S�d���e�s.��VLet�,%�C��g�=����x��h�~��������C�����0������b�)�e�t���h�e�norm���aliza���t�ion�����iFof���C�����0����.�8�Th��ren����h�]�g�Ë�=�UR�g�n9�(�C�ܞ�)�=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)����4�UR=�10������4�UR=�6�:��=ߍ��iF�Th��re��re��9are�v�e�ob�vious��g����2��n9�1��RA�4���.=�'s.�.�F��Vour�com�e�f�2"rom�pro��ject�in��9g�aw�ay�f�2"rom�an�y�of�t���h�e�dou���b�ޔle�p�S�oin��t��es.�����iFT��Vo���get�t���h��re�ft�h�cons�)�id���e��r�coni��Jcs�pas�!ls�in��9g�t���hrough�all�four�dou�b�ޔle�p�S�oin��t��es.�?�Th�us��C��|�h��ras��g����2��n9�1��RA�4���.=�'s�bu��9t�����iFnon��re��of�our�previous�curv�e�S�s�did�an�d�so�t���h�e�clas�!ls�(d)�i�)�s�non�empt�y��V.����	:Anot���h��re��r��que�S�s�[t�ion�i�)�s�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g.��������iF�Que�`s�	�t��ion��44.3.���N��When�`�g��:�is�even�ther��ffe�ar�e�only�nitely�many��g����2��n9�1��RA��g�I{��1����z�'s.���F���or�example�when�����iF�g��|�=�@C4���ther��ffe�ar�e�two��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s,���and�when��g��|�=�@C6��ther�e�ar�e�ve��g����2��n9�1��RA�4���.=�'s.��In�gener�al�how�many��g����2��n9�1��RA��g�I{��1����z�'s�����iFar��ffe�35ther�e?����	:�W��Ve�]�could�h��ra�v�e�]�also�ap��rproac�h�e�S�d�]�sh���o�win��9g�clas�!ls�:}e�S�s�(a),���(b),�(c),�an��rd�(d)�are�di�)�sjoin��t�b�y�����iFaskin��9g:�X:wh��ra���t�zUi�)�s�t���h�e�le�!las�[t�d���egree�of�a�v�e��ry�amp�ޔle�divi�)�sor?���F��Vor�(a)�t���h�e�le�!las�[t�d���egree�i�)�s�5,��@for�����iF(b)��it�i�)�s�9,��ofor�(c)�it�i�s�7,��oan��rd�for�(d)�it�i�s�8.�e$W��Ve�giv��re�no�pro�S�of�of�t���hi�s�h��re��re.�e$Thi�s�t��ryp�e�of�����iFclas�!ls�)�ica���t��rion��m�et���h���o�S�d�sh�ould�gen��re��ralize�t��9o�arbitrary�gen���us.��(V����iF�45����Oral�B�Rep���ort�T��o[o��zspi��Jcs��b#���iF�Dur�2"in��9g��t���h��re�w�eek�of�t���h�e�29t���h�of�A��X�pr�2"il�oral�rep�S�ort��es�will�b�)�e�pre�s�:}en��t��Ee�d�b��ry�t���h�e�s�[t�ud���en��t��es.�Th�e�����iFsugge�S�s�[t��Ee�d��t��9o��rpi��Jcs�are��������5������2�Curv��re�S�s�|��=k����wh�e��re��k����i�)�s�not�n�ece�S�s�!lsar�2"ily�alge���brai��Jcally�clo�s�:}e�S�d�an��rd�ra���t�ion���al�p�S�oin��t��es�on�curv�e�S�s�����2o��rv�e��r��nit��Ee�elds.��������5������2�Th��re��v��X�ar�2"iet�y�of�mo�S�d�uli��M�����g�����.��������5������2�Dualit��ry��for�a�nit��Ee�smo�S�ot���h�morphi�)�sm��X�F��!�UR�Y��p�.�����؉#59����<�����э����Ơ�
:���B�ƍ�����5������2�Jacobian��v��X�ar�2"iet��ry�of�a�curv�e.�8�(\wh�a���t�do�)�e�S�s�it�re�!lally�m�e�!lan?")���������5������2�Curv��re�S�s��on�a�nons�)�in��9gular�cu���bi��Jc�surf�ace�in��P����2�3�����(c��rh�5,�s�:}ec�4).��������5������2�Fla���t��f�)�amilie�S�s�of�curv��re�s�in��P����2�3�����(c��rh�3,�s�:}ec�9).�����iFY��Vour��aoral�rep�S�ort��es�m���us�[t�b�)�e�20�min�u��9t��Ee�S�s�in�len�gt���h.�A
Th��rey�sh���ould�con��t�ain�preci�)�s�:}e�d���enit�ions,������iFs�[t��ra���t��Eem�en��t��es���of�t���h��re�m���ain�t�h��reorems,��som�e���examp�ޔle�S�s,�an�d���m���ayb�)�e�som��re�pro�S�ofs�if�t���h�e��re�i�)�s�t�im�e.�����iFY��Vou��sh���ould�consul��9t�wit���h�m��re�b�)�efore�y�ou�b�)�egin.����	:F��Vor���t���h��re�re�S�s�[t�of�t�h��re�s�:}em�e�S�s�[t��Ee��r�w�e�will�b�)�e�s�[t�udyin��9g�curv�e�S�s�of�gen���us��g�n9�,��g�i�gen�e��ral�an�d�ellipt�i��Jc�����iFcurv��re�S�s.��(V����iF�46����Curv��zse���s�B�of�gen�e�ral�gen��7�us��b#���iF�T��Vo�S�d��9ay's��lect��rure�con��t�ains�hin��t��es�for�som�e�of�t���h�e�h���om�ew�or��ek�prob�ޔlems.��������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��46.1.���^�O�If��\�C�f��is�hyp��ffer�el���liptic��\of�genus��g�Ë��UR�2�,��!then�the��g����2��n9�1��RA�2������is�unique.�.!F���urthermor��ffe,�����iF�K�1���UR�(�g�������1)�D����for�35any��D����2��g����2��n9�1��RA�2���.=�.�������iFPr��ffo�of.���2��Th��re��Ocomp�ޔlet��Ee�lin�e�!lar�sys�[t��Eem��j�K�ܞ�j��h�as�no�bas�:}e�p�S�oin��t��es�i��dim��=��j�K�����@�P����j�UR�=��dim����j�K�ܞ�j���1��Ofor�an��ry�����iFp�S�oin��t���P��o�on��C�ܞ�.���By�Riem���ann-Ro�c��rh��dim��w��j�K�ܞ�j�UR�=�2�g������o�2�+�1����g�Ë�=�UR�g����1��an��rd��dim��w��j�P����j��o���dim��$��j�K�l
���P��j�UR�=�����iF2�yW���g�F�so����dim��m�j�K�U����P����j�UR�=��dim����j�P��j�yW�+��g�����2.��ETh���us����dim��m�j�K�U����P��j�UR�=��dim����j�K�ܞ�j�yW��1���for�all��P�y��i��dim��m�j�P��j�UR�=�0�����iFfor��aall��P�}'�whi��Jc��rh�i�)�s�true�s�ince��g�Ë��UR�1.�3�(If�t���h��re��re�w�e��re�a�on�e�dim�ens�)�ion���al�space�of�p�S�oin��t��es�lin�e�!larly�����iFequiv��X�alen��t���t��9o�a�giv��ren�p�S�oin�t��P��h�t���h��ren��C��@�w�ould�h�a�v�e�gen���us�0.)�Y�Th�us��K��@�d���en��re�S�s�a�morphi�)�sm�����iF(whi��Jc��rh��i�)�s�not�n�ece�S�s�!lsar�2"ily�an�em��ekb�)�e�ddin��9g)������Z��C�1��!�UR�P�����g�I{��1���z�:�����iF�Th��re�|�m���ap�i�)�s�in��t��9o��P����2�g�I{��1��.�s�ince��dim����j�K�ܞ�j�M��=��g�|A���1.��W��Ve�|�saw�b�efore�t���h��ra���t�if��C�Y;�i�s�not�h��ryp�e��rellipt�i��Jc������iFt���h��ren�]t�hi�)�s�i�s�an�em��ekb�e�S�ddin��9g.��%If��C�9��i�s�h��ryp�e��rellipt�i��Jc�]t���h�en�t���h�e�canoni��Jcal�divi�)�sor�can�not�b�e�v��re��ry�����iFamp�ޔle��so�t���hi�)�s�m���ap�will�not�b�e�an�em��ekb�e�S�ddin��9g.����	:Fir�[s�t��1cons�)�id���e��r�t���h��re�sp�ecial�cas�:}e��g�Ë�=�UR1.�%�Th��ren�w�e�h�a�v�e�a�m���ap��C�1��!�UR�P����2�0��V�=��f��꨹p�S�oin��t��"�q�g��1�whi��Jc�h�i�)�s�����iFnot��in��t��Ee��re�S�s�[t��rin��9g.����	:Next��sup��rp�S�o�!ls�:}e��g�Ë�=�UR2.�8�Th�en�t���h�e�canoni��Jcal�divi�)�sor�in�d�u�ce�S�s�a�m���ap������u�C�1��!�UR�P�����1������iF�an��rd�im�K�F�i�)�s�t���h�e�pull�bac�k�of��O�UV�(1).��/Since��d���eg���K�	��=�-2�g�o0����2�=�2�imt���h�e�m���ap��C�	��!�-�P����2�1��	)q�h�as�d���egree�2,������iFan��rd���t���h�e�comp�ޔlet��Ee�lin�e�!lar�sys�[t��Eem��j�K�ܞ�j��i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�2���.=�.�&�In�f�act,���an��ry��j�D�S��j��i�s�a��g����2��n9�1��RA�2������t���h��ren��D�����UR�K�ܞ�.�&�T��Vo�s�:}ee�t�hi�)�s�����iFsup��rp�S�o�!ls�:}e���P�;���Q��are�t��rw�o�p�S�oin��t��es�an�d��dim����j�P�Ln�+����Q�j�UR�=�1.�8�By�Riem���ann-Ro�S�c��rh,�����b��1�UR=��dim����j�P�Ln�+����Q�j��=�2�+�1����2�+��dim��?��j�K��F���P�Ln���Q�j�����iF�so���ydim����j�K������1�P������Q�j�UR�=�0.��Th���us��yt�h��re��re�i�)�s�an�eect�iv�e�divi�)�sor�lin�e�!larly�equiv��X�alen��t�t��9o�t���h�e�d���egree�0������iFdivi�)�sor��R�K�}���� �P�B����Q�.���Bu��9t�t���h��re�only�eect�iv�e�divi�)�sor�of�d���egree�0�i�s�t���h��re�0�divi�sor.���Th���us��K�1���UR�P�B�+�� �Q�.�����iFTh���us��Ein�gen�us�2��any��g����2��n9�1��RA�2���킹i�)�s�giv��ren�b�y��K���s�)�ince�an�y�eect�iv�e��D�ӹgivin��9g�a��g����2��n9�1��RA�2���킹i�)�s�lin�e�!larly�equiv��X�alen��t�����iFt��9o���K�ܞ�.����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e��no�w�t���h�a���t��g�Ë��UR�3.�8�Th�e�comp�ޔlet��Ee�lin�e�!lar�sys�[t��Eem��j�K�ܞ�j��giv�e�S�s�a�morphi�)�sm�������/�'�UR�:��C�1��!��P�����g�I{��1���z�:�����؉#�60����=�����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Since��;�K��ٹi�)�s�not�v��re��ry�amp�ޔle,�
`�'��i�s�not�a�clo�!ls�:}e�S�d�imm��re��r�[s�ion.��No�w��;as�!lsu��9m�e��C��ٹi�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc.������iFSup��rp�S�o�!ls�:}e����P����an�d��Q��are�t�w�o�p�S�oin��t��es�on��C��p�su�c�h�t���h�a���t��P�N��+����Q��lie�S�s�in�som�e��g����2��n9�1��RA�2���.=�.�B^Th�en�b�y�Riem���ann-�����iFRo�S�c��rh,����a;�1�UR=��dim����j�P�Ln�+����Q�j��=�2�+�1����g��+��dim��?��j�K��F���P�Ln���Q�j�:��f����iF�Th���us���9dim���j�K��}�����P�d����Q�j�۹=��g�1���߹2.�
�Bu��9t���9dim���j�K�ܞ�j��=��g�1���߹1��9an��rd��j�K��j��h��ras�no�bas�:}e�p�S�oin��t��es�so������iFdim��	���j�K��J����P����j�UR�=��g������2.� �Th���us����dim��6��j�K��J���P����j��=��dim����j�K��J���P��r���Q�j����so��Q��i�)�s�a�bas�:}e�p�S�oin��t�of��j�K��J���P����j�.�����iFThi�)�s� �m��re�!lans�t���h�a���t�an�y�canoni��Jcal�divi�)�sor�con��t�ainin��9g��P��~�also�con��t�ains��Q�.���Th�e��refore��'�(�P��ƹ)�UR=��'�(�Q�)�����iFif��w��re�lo�S�ok�a���t�t���hi�)�s�in�t��Ee��rms�of�t�h��re�morphi�)�sm.�&Th�us�if��P���+�7.�Q��i�)�s�in�som��re��g����2��n9�1��RA�2����\�t�h��ren��'�(�P��ƹ)�UR=��'�(�Q�).����	:Th���us���'��i�)�s�a���t�le�!las�[t�t��rw�o-t��9o-on�e.���Let���C�����0��Vc�=��_�'�(�C�ܞ�)����P����2�g�I{��1���Y�b�e��t���h��re�im���age�curv�e.���Pullin��9g�bac�k�����iF�O�UV�(1)��on��P����2�g�I{��1���e�giv��re�S�s��O�����C��q�0���
���(1)�on��C�����0����whi��Jc�h�pulls�bac�k�t��9o�t���h�e�canoni��Jcal�divi�)�sor��O�����C����(1)�UR=��K����whi�c��rh�����iFh��ras��ud���egree�2�g�����Pa�2.�*$Th�e��re�are�t�w�o�n���u��9m��ekb�)�e��r�[s�t�o�cons�)�id���e��r.�*$Fir�[s�t��ut���h��re�d�egree�of�t���h��re�curv�e��C�����0����,��Lcall�����iFit���d�.�8�Let��e��b�)�e�t���h��re�d���egree�of�t�h��re�nit��Ee�morphi�)�sm��'�.�8�Th�en��ލ��g	2�g�������2�UR=��d���eg�����j�K�ܞ�j��=��de:�����iF�See�
9t���hi�)�s�b��ry�not�in��9g�t���h�a���t��O�����C��q�0���
���(1)�i�)�s�obt�ain�e�S�d�b�y�cu��9t��2t�in�g�
9�C�����0���=�wit���h�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�an�d�s�:}ee�S�in��9g�t���h�a���t������iFit��in��t��Ee��r�[s�:}ect��es�in��d��p�S�oin�t��es�t���h��ren�pullin��9g�t�h��re�S�s�:}e�p�oin��t��es�bac��rk�t��9o�t���h�e�S�ir��de��pre�im���age�s�t��9o�obt��rain�t���h�e��de�����iF�d���egree��divi�)�sor��O�����C��
t�=�UR�K�ܞ�.����	:Since�:��e�UR���2�t���h��re�equalit�y��de�UR�=�2(�g�����C��1)�imp�ޔlie�S�s��d����g�����C��1.��NCons�)�id���e��r��C�����0�����whi��Jc��rh�i�s�a�(p�S�o�!ls�s�)�ib�ޔly�����iFs�)�in��9gular)���in��t��Eegral�curv��re.�g�Let��D�����0��	Ro�=��k�O�����C��q�0���
���(1),�Ӈt���h�en��D�����0��	d��h�as�d���egree��d��an�d�s�)�ince��j�D�����0����j��giv�e�S�s�t���h�e�����iFem��ekb�)�e�S�ddin��9g�+Fof��C�����0���J�in��t�o��P����2�g�I{��1�����an��rd��C�����0���J�lie�S�s�in�no�lin�e�!lar�su���b�space,��Q�dim�����j�D�����0����j�UR��g�����#��1.��By�+Fa�previous�����iFpro��rp�S�o�!ls�)�it�ion��(IV,�Ex.�8�1.5),�w��re�kno�w�t���h�a���t��dim����j�D�����0����j�UR���d���eg�����D�����0�����wit���h��equalit�y�i��C�����0������P���V����԰���.>�=��������P����2�1����.�8�Bu��9t��ލ�zn�g�������1�UR����dim����j�D�����0����j����d���eg�����D�����0��V�=��d����g������1�����iFso���w��re�do�h�a�v�e�equalit�y�an�d��C�����0������P���6����԰���N��=�����{�P����2�1����i�)�s�nons�in��9gular�an��rd�i�s�in�f�act�t���h��re��d������1-up�ޔle���em��ekb�e�S�ddin��9g������iFof���P����2�1�����in��t��9o��P����2�g�I{��1���z�.�8�F��Vurt���h��re��rmore,�s�)�ince��d�UR�=��g�������1��w�e�also�s�:}ee�t���h�a���t��e�UR�=�2.����	:Th��re��up�!lsh���ot�of�all�t���hi�)�s�i�s�t���h��ra���t�if��C�n��i�s�h��ryp�e��rellipt�i��Jc��an�d��g�Ë��UR�3�t���h�en��j�K�ܞ�j��giv�e�S�s�an�em��ekb�)�e�ddin��9g�����iF�'��k�:��C��	�!��P����2�g�I{��1���޹whi��Jc��rh�2df�)�act��9or�[s�t���hrough�t�h��re��g�I�����1-up�ޔle�em��ekb�)�e�S�ddin��9g�of��P����2�1����.�Th�us��'��k�:��C��	�!��P����2�g�I{��1������iF�can��b�)�e�wr�2"it��2t��Een�as�a�comp�S�o�!ls�it��rion��"���!V�C�����捑���g���-:��I{�1��N��2����8���1������!����C�C�����0��V�=�UR�P�����1���,���!��P�����g�I{��1���z�:��ލ��iF�[[On��re�q�sh���o�ws�t���h�a���t�t���h�e��g����2��n9�1��RA�2���	��i�)�s�u��9niquely�d���et��Ee��rmin�e�S�d,���et�c.��has�on�page�343�of�t���h�e�b�S�o�ok.��hWRITE�����iFTHIS��UP�HERE!]]���k�o��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:I�h�t���h���ough��rt�h�of�anot�h��re��r�pro�S�of�of�t�h��re�u��9niquen�e�S�s�!ls�of��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s.�
�It�i�)�s�not�in�t���h�e�b�S�o�ok.�
�Thi�)�s�h�t��Eec�hnique�����iFi�)�s��us�:}eful�for�t���h��re�exe��rci�s�:}e�S�s.�8�Th��re�drawbac�k�i�)�s�t���h�a���t�it�do�)�e�S�s�not�exp�ޔli��Jcit���ly�giv�e��K�ܞ�.��M�����iF�Th��eorem��46.2.���N�$�If�35�C���is�a�curve�of�genus��g�Ë��UR�2��then��C��c��ffan�not�have�two�distinct��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s.�������iFPr��ffo�of.���2��Th��re���pro�S�of�i�)�s�b�y�con��tradi��Jct�ion.��Sup�p�S�o�!ls�:}e��C�{@�h�as�non-lin�e�!larly�equiv��X�alen��t�divi�)�sor�[s��D��0�an�d������iF�D��S����2�0���,�su��rc�h��et���h�a���t��j�D�S��j��an�d��j�D��S����2�0��!��j��are��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s.�Th�en��j�D�S��j��an�d��j�D��S����2�0��!��j��giv�e�morphi�)�sms��p��an�d��p����2�0��h��t��9o��P����2�1��Zi�T��Vakin�g�����iFt���h��re��$pro�S�d�u�ct�giv�e�S�s�a�morphi�)�sm��'�UR�=��p�n^���p����2�0��#��:�UR�C�1��!��P����2�1��.b��n^�P����2�1����.�/	Since��j�D�S��j��an��rd��j�D�����2�0��!��j��do�not�con��t��rain�����iFan��ry��?of�t���h�e�sam�e�divi�)�sor�[s�t���h�e�morphi�)�sms��p��an�d��p����2�0���x�co�ޔllap�!ls�:}e�die��ren��t�p�S�oin�t��es�an��rd�so�t���h�ey�are�����iFdie��ren��t.�8�Let�������C�����0��V�=�UR�'�(�C�ܞ�)����P�����1��j������P�����1���=��Q����P�����3������iF�t���h��ren��3�C�����0��U7�i�)�s�a�p�S�o�!ls�s�ib�ޔly��3s�in��9gular�bu�t�s�[t��rill�in��t��Eegral�curv�e�on�t���h�e�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace��Q�.�dBy�cons�[tru�c-�����iFt��rion��e�!lac�h�rulin��9g�giv�e�S�s�a��g����2��n9�1��RA�2���	�on��C�ܞ�.����	:Let�¼(�a;���b�)�b�)�e�t���h��re�bid���egree�of��C�����0�����on��Q�.�+�It�i�s�cle�!lar�t���h��ra���t��C�����0�����i�s�not�a�p�S�oin��t�s�ince��p��an��rd��p����2�0�����are�����iFnot���cons�[t��ran��t.�'�Let��e��b�)�e�t���h�e�d���egree�of��'�UR�:��C�1��!��C�����0����.�'�A���divi�)�sor���of�t�yp�)�e�(1�;����0)�on��Q��pulls�bac�k�t��9o�����؉#61����>�7���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�a�եdivi�)�sor�on��C�����0�����of�d���egree��a�.�1�Since�t���h��re�morphi�sm��C�1��!�UR�C�����0�����h��ras�d���egree��e��t���hi�s�divi�sor�of�d���egree������iF�a���pulls�bac��rk�t��9o�a�d���egree��ea��divi�)�sor�on��C�ܞ�.���On�t���h�e�ot���h�e��r�h�an�d�a�divi�)�sor�of�t�yp�)�e�(1�;����0)�on��Q�����iF�pulls��Cbac��rk�t��9o�a�divi�)�sor�of�d���egree�2�s�ince�it�giv��re�S�s�r�2"i�s�:}e�t��9o��p�.�*Th���us�2�UR=��ae��C�an��rd�s�imilarly�2�UR=��be�.����	:�Case�<�1:�{�Fir�[s�t��sup��rp�S�o�!ls�:}e��e�Ac�=�2��an�d�h�ence��a�Ac�=��b��=�1.��&Th�en���C�����0��	�ùi�)�s�of�t�yp�)�e�(1�;����1)�so�t���h�e�����iFnorm���aliza���t��rion��of��C�����0��	ں�i�)�s�of�gen���us�0.��
Bu��9t�t�h��re�ar�2"it�hm��ret�i��Jc��gen�us�of��C�����0��	ں�i�)�s�(1�y����1)(1����1)�Z�=�0�����iFso,�Ps�)�ince���t���h��re�gen�us�can�only�go�no��rw�up�S�on�norm���aliza���t�ion,�Pw�e�s�:}ee�t���h�a���t��C�����0��	�̹m���us�[t�alre�!lady�b�)�e�����iFnons�)�in��9gular.���Th���us���'��m���ap�!ls��C��G�in��t�o��P����2�1����.���Bu�t��p��i�)�s�jus�[t�t���h��re�comp�S�o�!ls�it��rion�of��'��wit���h�t�h��re�r�[s�t�����iFpro��ject��rion�X�Q���!��P����2�1��	�an�d�Xt���hi�)�s�pro��ject�ion�i�)�s�t���h�e�id���en��t�it�y��C�����0��ϋ�=���P����2�1�����Q��!��P����2�1����.��Th���us�X�p��an��rd��p����2�0������iF�co�ޔllap�!ls�:}e��t���h��re�sam�e�p�S�oin��t��es,�a�con�tradi��Jct��rion.����	:�Case�	�2:�"l�Next���sup��rp�S�o�!ls�:}e��e�UR�=�1���an�d�h�ence��a�UR�=��b��=�2.�)�Th�en����'��:��C�1��!��C�����0��}Ĺin�d�u�ce�S�s���a�bira���t�ion���al�����iFmorphi�)�sm��Ut��9o�t���h��re�norm���aliza���t�ion�of��C�����0����.�_�Bu��9t�t���h�e�norm���aliza���t�ion�of��C�����0��	bY�h�as�gen���us�le�S�s�!ls�t�h��ran�or�����iFequal���t��9o��p�����a��Ϲ(�C�����0����)�n�=�(2������1)(2����1)�n�=�1���so�t���h��re�gen�us�of��C��-�i�)�s�le�S�s�!ls�t�h��ran�or�equal�t��9o�1.�e�In�f�)�act,��Iif�����iFt���h��re��kgen�us�of��C��	�i�)�s�on��re�t�h��ren�t�h��re��re�are�t�w�o�di�)�s�[t�inct��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s.�5!Bu��9t�u�n��rd���e��r�our�as�!lsu�mpt��rion�t���h�a���t��g�Ë��UR�2�����iFw��re��h�a�v�e�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d�con��tradi��Jct��rion.���ڄ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����L��	:Th��re�\a�b�S�o�v�e�pro�S�of�proba�b�ޔly�can�b�)�e�gen�e��ralize�S�d�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t,�x�for�large�enough�gen���us,��C�8��can�����iFnot��h��ra�v�e�an�y��g����2��n9�1��y���d���.=�'s.����	:As�,�in�cas�:}e�1�w��re�saw�t���h�a���t�a�t�yp�)�e�(1,1)�curv�e��C�����0��솹can�not�b�)�e�s�in��9gular�s�ince�t���h��re�norm���aliza���t�ion�����iFw��rould��t���h�en�h�a�v�e�n�ega���t�iv�e�gen���us.�8�Thi�)�s�migh�t�h�elp�wit���h�prob�ޔlems�3�an�d�4.����	:Next��w��re�giv�e�a�s�[t�a���t��Eem�en��t�of�t���h�e�t���h�eorem�whi��Jc�h�will�b�)�e�pro�v�e�S�d�n�ext�t�im�e.���䍍���iF�Th��eorem��46.3�(Halph�en).����	A�L��ffet���C��f�b�e�a�curve�of�genus��g�y���j�2�.�,#Then�ther�e�exists�a�very�����iFample�35nonsp��ffe�cial�divisor��D����of�de�gr�e�e��d��i��d�UR���g��+���3�.����	:�Th��re�Z�exi�)�s�[t��Eence�i�s�act��rually�v�e��ry�s�[tron��9g�in�t���h�e�s�:}ens�e�Z�t���h�a���t�a�Zar�2"i�)�ski�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�h�as�t���h�e�����iFpro��rp�)�e��rt�y��V.����	:Thi�)�s���gen��re��ralize�S�s�our�pro�of�t���h��ra���t��g��=���3�imp�ޔlie�s�t���h��ra���t�t�h��re��re�exi�)�s�[t��es�a�v�e��ry�amp�ޔle�divi�)�sor�of�����iFd���egree��6.�8�Not��Ee�t���h��ra���t�2�g��+���1�UR=�7.����	:Th��re��re��can�b�)�e�v�e��ry�amp�ޔle��sp��ffe�cial�꨹divi�)�sor�[s�of�d���egree�le�S�s�!ls�t���h�an��g��+���3.��'A%����iF�47����Halph��zsen's�B�Th�eorem��b#���iF�T��Vo�S�d��9ay��w��re�will�giv�e�on�e�more�gen�e��ral�re�S�sul��9t�a�b�S�ou��9t�curv�e�S�s.�������iF�Th��eorem��47.1�(Halph�en).����	A�Supp��ffose��a�C����is�a�curve�of�genus��g�Ë��UR�2�.�7#Then�ther�e�exists�a�very�����iFample�35nonsp��ffe�cial�divisor��D����of�de�gr�e�e��d��i��d�UR���g��+���3�.�������iFPr��ffo�of.���2��(�)�)��Sup��rp�S�o�!ls�:}e��D����i�)�s�a�v�e��ry�amp�ޔle�nonsp�)�ecial�divi�sor�of�d���egree��d�.�m�W��Ve�will�sh���o��rw�t���h�a���t�����iF�d��}���g�L%�+���3.��By�5�Riem���ann-Ro�S�c��rh��`�(�D��)��}���d���+�1����g�n9�.��Since�5��D����i�)�s�v��re��ry�amp�ޔle��D��giv��re�S�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�an�����iFem��ekb�)�e�S�ddin��9g� 	�C���,���!��-�P����2�n���P�.��If��n��=�1�t���h��ren��C����h�as�gen���us�0,�-aa�con��tradi��Jct�ion.��If��n��-�=�2� 	t���h�en�som�e�ɱh���o�w�����iF[I���can���not�gure�t���hi�)�s�ou��9t�f�2"rom�m��ry�not��Ee�S�s],�_t�hi�)�s�imp�ޔlie�S�s��g���<�u��2,�_a�con��tradi��Jct��rion.�q�Th�us��D�Q/�giv��re�S�s�����iFan�Qeem��ekb�)�e�S�ddin��9g��C���,���!�1�P����2�n��	���wit���h��n����3.�mTh���us��`�(�D�S��)����4�an��rd�so��d��+�1����g�rj���4�Qeso��d����g�^Թ+��3�as�����iFclaim��re�S�d.����	:(�(�)�r`Thi�)�s�direct��rion�i�s�a�lit��2t���le�h��rard���e��r.�	�As�!lsu��9m�e�r`�d�����g�#��+��[3�an��rd�lo�S�ok�for�a�v�e��ry�amp�ޔle�����iFnonsp�)�ecial�1divi�sor��D�S��.�
Rem��rem��ekb�e��r�our�cr�2"it��Ee�r�ion�1for�wh��ren�a�divi�)�sor�i�s�v��re��ry�amp�ޔle?�
A�0�divi�sor�����iF�D����i�)�s�R�v��re��ry�amp�ޔle�i��dim���>�j�D�E;����P��s���Q�j�߹=��dim���%�j�D�S��j����2�R�for�all�p�oin��t��es��P�;���Q�.�q�By�Riem���ann-Ro�c��rh�����iFt���hi�)�s��i�s�equiv��X�alen��t�t��9o�t���h��re�as�!ls�:}e��rt�ion�t���h�a���t�for�all�p�S�oin��t��es��P�;���Q�,��⊍��}J�dim������j�K��F�����D�S��j�UR�=��dim����j�K������D��6�+��P�Ln�+��Q�j�:����	:�As�k�a�\w��rarm-up�exe��rci�)�s�:}e"�w�e�x��d��an�d�ask�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g.���Do�)�e�S�s�t���h�e��re�exi�)�s�[t�a�nonsp�ecial������iFeect��riv�e��divi�)�sor��D�>6�of�d���egree��d�?����	:Recall:�����؉#62����?�s���э����Ơ�
:���B�ƍ�����5������2�F��Vor���D�>6�t��9o�b�)�e��nonsp��ffe�cial�꨹m��re�!lans�t���h�a���t��dim����j�K��F�����D�S��j�UR�=���1.��|������5������2�F��Vor����D�'��t��9o�b�)�e��sp��ffe�cial����m��re�!lans�t���h�a���t��K�&!��I��D�'��i�)�s�lin�e�!larly�equiv��X�alen��t�t��9o�an�eect�iv�e�divi�)�sor.������2Th���us��.�D�A��i�)�s�sp�ecial�i�t���h��re��re�exi�s�[t��es�an�eect��riv�e��.divi�sor��E��E�su��rc�h��.t���h�a���t��D���+�[Z�E��'���K�ܞ�,�/i.e.,�����2�D��6�+����E����i�)�s��a�canoni��Jcal�divi�sor.��t4���iFTh��re��las�[t�con�dit�ion�sh���o�ws�t���h�a���t��D�>6�i�)�s�sp�ecial�i��D�>6�i�s�\ins�id���e"��some��canoni��Jcal�divi�sor.����	:Since���bdim�����j�K�ܞ�j�V��=��g�`���'�1��bt���h��re��re�i�)�s�a��g����'�1�dim��rens�)�ion���al�f�amily�of�eect��riv�e��bcanoni��Jcal�divi�sor�[s.�����iFF��Vrom�C
e�!lac��rh�on�e�t���h�e��re�are�only�nit��Eely�m���an�y�w�ays�t��9o�get�a�sp�)�ecial�divi�sor.�Th���us�t�h��re�dim�ens�)�ion�����iFof��Mt���h��re�f�)�amily�of�all�sp�ecial�divi�sor�[s�of�d���egree��d��i�s�a���t�mo�!ls�[t��g�� ���1.���Thi�s�sh���o��rws�t���h�a���t�if��d�Wp���g�����iF�t���h��ren��t�h�e��re��exi�)�s�[t��es�nonsp�ecial�divi�sor�[s�of�d���egree��d�.�8�In�f�act,�mo�!ls�[t�are�nonsp�ecial.����	:Next���w��re�pro�v�e�som�et���hin��9g�whi��Jc�h�i�)�s�more�dicul��9t.�0�W��Ve�w�an��t�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�a�����iFnonsp�)�ecial��wv��re��ry�amp�ޔle�divi�sor�of�an��ry�giv�en�d���egree��d�x����g�'�+���3.�wMIt��wi�)�s�enough�t��9o�pro�v�e�t���h�a���t�t���h�e�����iFco�ޔllect��rion��of�nonsp�)�ecial�not�v�e��ry�amp�ޔle�divi�)�sor�[s�h�as�dim�ens�)�ion���UR�g��+���2.����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e�E�D����i�)�s�nonsp�ecial.��Th��ren�for��D����t��9o�b�e�not�v��re��ry�amp�ޔle�m�e�!lans�t���h�a���t�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�p�S�oin��t�s�����iF�P��n�an��rd���Q��so�t���h�a���t������Y�dim�����j�D��6�����P�Ln���Q�j�UR�>���dim����j�D�S��j�����2�:������iF�A��s�[traigh��rtforw�ard�c�h�ec�k�us�)�in��9g�Riem���ann-Ro�S�c�h�sh���o�ws�t���h�a���t�t���hi�)�s�i�s�equiv��X�alen��t�t��9o��r<���}J�dim������j�K��F�����D�S��j�UR�<���dim����j�K������D��6�+��P�Ln�+��Q�j�:�����iF�Since���D�>6�i�)�s�as�!lsu��9m��re�S�d�nonsp�ecial��dim����j�K��F�����D�S��j�UR�=���1��t���h�us������/bdim���Ĩ�j�K��F�����D��6�+��P�Ln�+��Q�j�UR��0�:�����iF�So�xTt���h��re��re�exi�)�s�[t��es�an�eect�iv�e�divi�)�sor��E�,k�whi��Jc�h�i�)�s�sp�ecial�an��rd�h�as�d���egree��d����2�xTsu�c�h�t���h�a���t��E����������iF�D��6�����P�Ln���Q�.�8�[[I��t���h���ough��rt�I�saw�t�hi�)�s�y��re�S�s�[t��Ee��rd��9ay�bu�t�not�ev��ren�t���hi�)�s�m���ak�e�S�s�an�y�s�:}ens�e��t��9o�S�d�ay��V.]]����	:By��t���h��re�a�b�S�o�v�e�w�or��ek�t���h�e�dim�ens�)�ion�of�t���h�e�s�:}et�of�eect�iv�e�sp�)�ecial�divi�sor�[s�i�s���UR�g�������1.�7�Th���us�����iFt���h��re��s�:}et��r<��-d��f����E�^��+����P�Ln�+��Q��:�8��E����i�)�s�eect��riv�e,�sp�)�ecial,�d���egree��d������2,��P�S�;���Q��an��ry�p�oin��t��es��V��g�����iF�h��ras��xdim�ens�)�ion���js�g����+��1.�!QBu��9t�t���h�e��re�i�)�s�anot���h�e��r�wr�2"inkle.�!QW��Ve�m���us�[t�cou��9n��t�all�divi�)�sor�s�lin��re�!larly������iFequiv��X�alen��t��t��9o�an��ry�su�c�h��E�^��+����P�Ln�+��Q�.����	:Som��re�ɱh���o�w�`�[[an�d�I�`�h�a�v�en't�gure�S�d�ou��9t�h���o�w!!]]���Hart��esh�or�)�n�e�`�cou��9n��t��es�t���hi�s�an��rd�conclud���e�S�s�t���h�a���t�����iFit�Wrh��ras�dim�ens�)�ion����g�b�+��2.�?[[I�WVt���h���ough�t�sort�of�h�ard�a�b�S�ou��9t�t���hi�)�s�an�d�can�not�s�:}ee�it,�r�bu��9t�I�WVgot�����iFconfus�:}e�S�d��Na���t�t���hi�)�s�p�oin��t�in�clas�!ls�wh��ren�I��;w�as�t�akin��9g�not��Ee�S�s�so�t���h�a���t�m���ay�b�)�e�wh�y�m�y�not��Ee�S�s�do�not�����iFrev��re�!lal��t���h�e�tru��9t���h.]]���r~��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(N����iF�48����Hurwitz's�B�Th��zseorem��b#���iF�Sup��rp�S�o�!ls�:}e����X��x�an�d��Y�+e�are�curv�e�S�s�(nons�)�in��9gular,��	pro��ject�iv�e,�o�v�e��r���an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld�����iF�k�g�).��Sup��rp�S�o�!ls�:}e�^�f��ع:�E��X�7\�!��Y��ιi�)�s�a�nit��Ee�morphi�sm.��Th��ren��f�V]�in�d�u�ce�S�s�a�m���ap�of�fu��9nct�ion�elds�����iF�K�ܞ�(�Y��p�)��]�,���!��K��(�X��)��whi��Jc��rh�m���ak�e�S�s��K�ܞ�(�X��)�in��t��9o�a�nit��Ee�ext�ens�)�ion�of��K�ܞ�(�Y��p�).���Th��re��de��ffgr�e�e���of��f�d��i�s�t���h��re�����iFd���egree�Ϣof�t���h��re�corre�S�sp�on�din��9g�Ϣext��Eens�)�ion�of�fu�nct��rion�elds��K�ܞ�(�Y��p�)�=K��(�X��).�/�W��Ve�Ϣsay��f���i�)�s��sep��ffar�able�����iF�(not��t��9o�b�)�e�confus�:}e�S�d�wit���h�s�epara���t��Ee�S�d)�if��K�ܞ�(�X��)�i�)�s�a�s�epara��rb�ޔle�eld�ext��Eens�)�ion�of��K�ܞ�(�Y��p�).����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e��P���2�UR�X�p��m���ap�s�t��9o��Q�UR�2��Y��p�.��Th��ren�t���h�e��re�i�)�s�an�in�d�u�ce�S�d�m���ap�of�lo�cal�r�2"in��9gs��f��G����2�#��2��:�UR�O�����Q��
���,���!�����iFO�����P��̹.�
�Since�1��X�#.�an��rd��Y���are�nons�)�in��9gular�curv�e�S�s�t���hi�)�s�i�s�an�ext��Eens�ion�of�di�s��xcret��Ee�v��X�alua���t��rion�r�2"in��9gs.�����iFLet�oE�t�UR�2�O�����Q��
�˹b�)�e�a�u��9niformizin�g�param��ret��Ee��r�for��O�����Q��
�˹an�d�let��u�UR�2�O�����P��
��b�)�e�a�u��9niformizin�g�param��ret��Ee��r�����iFfor����O�����P��̹.�ߔTh��ren��f��G����2�#���[�(�t�)�UR�2��m�����P��
g��O�����P���.�ߔTh��re����r��ffamic�ation�<�index��of��P����o��rv�e��r��Q��i�)�s��e�����P��
g�:=�UR�v�����P��̹(�f��G����2�#���[�(�t�))����1.�����؉#63����@�ߠ��э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�W��Ve��say�t���h��ra���t�a�p�S�oin��t��P��y�lyin��9g�o�v�e��r�a�p�S�oin��t��Q��i�)�s��wild���ly�`Ir��ffamie�d���if��c�h�ar���M�k��=����p�>��0��an�d��p�j�e�.������iFOt���h��re��rwi�)�s�:}e�A	t�h�e�A	ramica���t�ion�i�)�s�calle�S�d��tame�,�V�i.e.,�wh�en��A	c�h�ar��ˣ�k�Ov�=��Y0�A	or��c�h�ar��ˣ�k�Ov�=��Y�p��6��]j�e�.�<Not��Ee�A	t���h�a���t�����iFw��re�ddo�not,�"�as�in�som�e�d���enit�ions,�"�n�ee�S�d�t��9o�w�orry�a�b�S�ou��9t�t���h�e�ext��Eens�)�ion�of�re�S�s�id��rue�elds�b�e�S�in��9g�����iFs�:}epara��rb�ޔle��b�)�eca��2us�e��k�QŹi�)�s�alge���brai��Jcally�clo�!ls�e�S�d.���ۍ����iF�Th��eorem��48.1�(Hurwitz).����3��Supp��ffose��G�f�K��:���X���!��Y�-��is�a�nite�sep��ffar�able�morphism�of�curves�����iFwhich�35is�at�most�tamely�r��ffamie�d.�fiThen��Rq��ev��2�g�n9�(�X��)������2�UR=�(�deg�f�G��)(2�g��(�Y��p�)������2)�+���������X������P�.:�2�X������(�e�����P��	�t���1)�:��$~d��	:�Not��Ee��]t���h��ra���t�as�a�cons�:}equence�of�t�hi�)�s�t�h��reorem,��a�nit��Ee�s�:}epara�b�ޔle�t�am�ely�ramie�S�d�morph-�����iFi�)�sm��sof�curv��re�S�s�h�as�a���t�mo�!ls�[t�nit��Eely�m���an�y�p�S�oin��t��es�of�ramica���t�ion.��B\An�y�go�S�o�d��st���h�eorem�h�as�a�����iFcou��9n��t��Ee��rexamp�ޔle."��<퍍���iF�Example�3548.2��(F���
r��O\ob�enius�ߔmap)�.����g��If���t���h��re�morphi�)�sm��f����i�s�not�s�:}epara��rb�ޔle�t���h�en�t���h�e��re�can�b�)�e�����iFinnit��Eely��m���an��ry�p�S�oin��t��es�of�ramica���t�ion.�{yF��Vor�examp�ޔle,�hlet��k�g��b�)�e�a�eld�of�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc��p�.�{yTh�e�����iFdivi�)�sor���corre�S�sp�on��rdin��9g�t�o�t���h��re�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��O����P������1���f�giv�e�S�s�a�m���ap�f�2"rom��P����2�1��	r��!����P����2�1����.��NIt�i�)�s�giv�en�����iFexp�ޔli��Jcit���ly��s�)�imp�ly�b��ry�������(�x�UR�:��y�n9�)��7!��(�x�����p����:��y������p��5��)�:���퍑�iF�[[Is�<�t���hi�)�s�true,�Q or�do�I�<�jus�[t�w��ran��t�it�t��9o�b�e�true?]]�.�F��Vor�an��ry�p�S�oin��t��P����2����P����2�1�����w�e�h�a�v�e�t���h�a���t��e�����P��
�=����p�����iF�s�)�ince��t���h��re�m���ap�corre�S�sp�on�ds��t��9o�t���h�e�m���ap�������n�k�g�(�t�)�UR�!��k��(�t�)�:��t��7!��t�����p���]�:�����iF�Th���us��t�hi�)�s�m���ap�i�s�wid���ely�ramie�S�d�ev��re��rywh�e�re.��SI�����iF�Hurwitz's�35the��ffor�em.���Z���[[Fir�[s�t��part�omit��2t��Ee�S�d.]]�����	:Th���us��w��re�h�a�v�e�t���h�e�exact�s�:}equence�����O�0�UR�!��f��G��������
�����Y���=k�����!��
�����X��|=k����!��
�����X��|=�x�Y��G*�!��0�����iFan��rd��&
�����X��|=�x�Y�����i�)�s�a�t��9or�[s�ion�sh��re�!laf�so�it�equals�������P�.:�2�X��Z�(
�����X��|=�x�Y���ع)�����P��̹.�5_Next�w�e�s�[t�udy�
�����X��|=�x�Y�����lo�S�cally��V.�5_Let��P�����iF�b�)�e��a�p�S�oin��t�in��X��+�lyin��9g�o��rv�e��r���Q��in��Y��p�.�8�Th��ren�t���h�e��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence�����	80�UR�!��f��G��������
�����Q��
���!��
�����P��
g�!��
�����P��V=Q�����!��0�:�����iF�He��re�'�
�����P��V=Q���q�i�)�s�t���h��re�mo�S�d�ule�of�die��ren��t�ials�of�t���h�e�lo�S�cal�r�2"in��9g��O�����P��
9˹o�v�e��r��O�����Q��/��.���Let��t��b�)�e�a�u��9niformizin�g�����iFparam��ret��Ee��r��dfor��O�����Q����an�d�let��u��b�)�e�a�u��9niformizin�g��dparam�et��Ee��r�for��O�����P��̹.��Th�en�
�����Q����i�)�s�a�f�2"ree��O�����Q��/��-�����iFmo�S�d��rule��of�rank�1�lo�cally�gen��re��ra���t��Ee�d�b��ry��dt�.����	:Next�#*let��e����=��e�����P��
�M�=��v�����P��̹(�t�),�1Kt���h�us�#*�t����=��au����2�e�����in��O�����P��4��(wit���h��a��a�u��9nit�in��O�����P��̹).��gDie��ren��t��ria���t��Ee�t�o�s�:}ee�����iFt���h��ra���t��������dt�UR�=��aeu�����e��1��M��du����+��u�����e��qp�da:���퍑�iF�Th��re�&�t��Ee��rm��u����2�e��qp�da��i�)�s�som�e�m�ys�[t��Ee��r�2"ious�elem�en��t�of�
�����P��̹.���W��Ve�do�not�kno�w�an�yt���hin��9g�a�b�S�ou��9t�wh�a���t��a�����iF�lo�S�oks�IClik��re�so��da��can�b�)�e�v�e��ry�s�[tran��9ge.�T�If��e��Z�=�0�ICin��k��`�t���hi�)�s�m�e�!lans�t���h�a���t��dt��w�ould�b�)�e��wild��in�t���h�e�����iFs�:}ens�e�q�t���h��ra���t�w�e�h�a�v�e�no�re�!lal�con��tro�ޔl�o�v�e��r��da�.�ΆSince�w�e�are�as�!lsu��9min�g�q�t���h�a���t�t���h�e�ramica���t�ion�i�)�s�����iFt��ram�e,���1c�h�ar��;��k����6�c�j�e�,��1so��|�e�c��6�=�0�in��k�g�.�\Th���us��aeu����2�e��1��M��du��6�=�0.�\Den��re��b��2�O�����Q����b��ry��u����2�e��qp�da��=��bdu�.�\Since�����iF�v�����p���]�(�b�)�����e�@M�an��rd��v�����p���(�aeu����2�e��1��M�)��=��e������1�@Mw��re�s�:}ee�t���h�a���t�if��dt���=��Adu�@M�t���h�en��v�����p���]�(�A�)��=��e������1.�9�Thi�)�s�@Mm�e�!lans�����iFt���h��ra���t�:��u����2�e��1��M��du��i�)�s�ze��ro�in�
�����P��V=Q���8�[[bu��9t�wh�y�i�)�s�no�lo�w�e��r�p�S�o�w�e��r�of��u��t�im�e�S�s��du��also�0.]]�)9Th���us�
�����P��V=Q������iF�i�)�s��a�pr�2"incipal�mo�S�d��rule�gen�e��ra���t��Ee�S�d�b�y��du��of�len��9gt���h��e������1.�8�Th�us��noncanoni��Jcally������A
�����P��V=Q������P���������԰������=�����!�m�O�����P����=u�����e��1��M��:�����؉#�64����AY���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�W��Ve��t���h�us�h��ra�v�e�an�exact�s�:}equence��������0�UR�!��f��G��������(
�����Y��P��)��!��
�����X��r��!��R�n��!��0�����iFwh��re��re��A�R�n��=�UR������P����O�����P���=u�������e��X.�P��&���1���%��P���tع.��Let��K�����X��ʹd���enot��Ee�t���h��re�canoni��Jcal�divi�)�sor�on��X��Ĺan�d��K�����Y��
;��b�)�e�t���h�e�canoni��Jcal������iFdivi�)�sor��on��Y��p�.�8�Th��ren�
�����X��r۹=�UR�L�(�K�����X����)�an�d�
�����Y��
��=�UR�L�(�K�����Y��P��).�����4��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������iF�Example�3548.3.���CD�As�!lsu��9m��re��f_c�h�ar�����k���6�=�'�2.��Let�f_�C�B��b�)�e�t���h��re�cu�bi��Jc�curv��re�in��P����2�2��	&c�d���en�e�S�d�b�y��y��n9���2�2��	V#�=�'��x�(�x���+�����iF1)(�x��g���1).��Let�f�����b��ry�t���h�e�d���egree�2�pro��ject�ion�of��C�Cs�f�2"rom��1��on��t��9o��P����2�1��&ٹ(i.e.,��3t���h�e��x�-axi�)�s).��Th�e��re�are�����iF4�
�p�S�oin��t��es�of�ramica���t��rion,��n���am�ely�
�(��1�;����0)�;��(0�;��0)�;��(1�;��0)�;��an��rd��1�.���Hurwitz's�t���h�eorem�i�)�s�sa���t�i�)�se�S�d�����iFs�)�ince����|�F2������1����2�UR=�2(2������0����2)�+�����w���X���
����4���Xp�<roin���t���s���� U��(2����1)�:��!�"�����iF�Example�3548.4.���CD�Let����C����b�)�e�a�cu���bi��Jc�curv��re�in��P����2�2����.���Let��O�J�b�e�a�p�S�oin��t�not�on��C����an��rd�x�a�co�p�y�����iFof�W��P����2�1���K��G�P����2�2����.���Th��ren�pro��ject�ion�f�2"rom��O��>�on��t��9o��P����2�1��	�d���en�e�S�s�a�d���egree�3�m���ap��C����!�G�P����2�1����.���Thi�)�s�m�ap�����iFi�)�s�q|ramie�S�d�a���t�a�p�oin��t��P�ܗ�2�:��C�N�exact���ly�wh��ren�t�h��re�lin�e�f�2"rom��O��ҹt��9o��P�B�i�)�s�t�an��9gen��t�t�o��C�ܞ�.��]As�!lsu�m��re�����iFt���h��re��re�	�are�no�in
ect�ion���al�t�an��9gen��t��es�so�t���h�a���t�t���h�e�ramica���t�ion�d���egree�of�ramie�S�d�p�oin��t��es�i�)�s�2.���By�����iFHurwitz's��t���h��reorem,�����u}0�UR=�3(��2)���+�������X�����(�e�����P��	�t���1)��n��iFso�l�t���h��re��re�are�6�p�S�oin��t��es�of�ramica���t�ion�2.��Thi�)�s�m�e�!lans�t���h�a���t�f�2"rom��O��$�on�e�can�draw�6�t�an��9gen��t�lin�e�S�s�����iFt��9o���C�ܞ�.��������iF�Example�3548.5.���CD�Let����C��.�b�)�e�a�cu���bi��Jc�curv��re�in��P����2�2����.�n�Den�e�a�m���ap��'�s͹:��C�Pk�!��P����2�1�����b�y���s�:}en�din��9g�a�p�S�oin��t�����iF�P����t��9o�01t���h��re�in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of�t���h�e�t�an��9gen��t�space�t�o��C�Ϲa���t��P����wit���h��P����2�1������˭�P����2�2����.�	zBy�t�h��re�a�b�S�o�v�e�examp�ޔle�����iFt���hi�)�s��m���ap�h��ras�d���egree�6.�8�By�Hurwitz's�t�h��reorem,�����u}0�UR=�6(��2)���+�������X�����(�e�����P��	�t���1)�������iFso�$�t���h��re��re�are�12�p�S�oin��t��es�of�ramica���t�ion.��w[[Of�cour�[s�:}e�on�e�m���us�[t�sh���o�w�(or�s�:}et�t���hin��9gs�up�so)�t�h��ra���t�����iFt���h��re�c�ramica���t�ion�of�a�p�S�oin��t�i�)�s�a���t�mo�!ls�[t�2.]]��Th�e��re�are�3�ramica���t�ion�p�S�oin��t��es�wh�e��re��P����2�1��#�in��t��Ee�r�[s�:}ect��es�����iF�C�ܞ�.��tTh��re���ot���h�e��r�9�ramica���t�ion�p�S�oin��t��es�are�in
ect�ion�p�S�oin��t��es.��tTh���us�Hurwitz's�t�h��reorem�imp�ޔlie�S�s�����iFt���h��ra���t��t�h�e��re��are�9�in
ect�ions�on�a�cu���bi��Jc.��(V����iF�49����Ellipt��zsi��Jc�B�Curv�e���s��b#�����iF�Denit��ion��49.1.���T�	�An��ellipt��ri��Jc�curv�e��C��F�i�)�s�a�nons�in��9gular�pro��ject��riv�e��curv�e�of�gen���us�1.�����	:W��Ve���kno��rw�t���h�a���t�an�y�divi�)�sor�of�d���egree��d�x����3���i�s�v��re��ry�amp�ޔle.�:�Th���us�t�h��re��re�i�)�s�an�em��ekb�e�S�ddin��9g�����iF�C�1�,���!�UR�P����2�2�����of���C��F�in��t��9o��P����2�2���as�a�d���egree�3�curv��re.�������iF�Th��eorem��49.2.���N�$�Supp��ffose��lѹc��rh�ar���k�k�'�6�=��2�l��and��k����is�algebr�aic�al���ly�close�d.�>If��C�Io�is�an�el���liptic�curve�����iFthen�35ther��ffe�is�an�emb�e�dding��C�1�,���!�UR�P����2�2���9�with�e�quation��������y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x�����)�����iF�for�35some���UR�2��k�g�,�35���6�=�1�;����0�.�������iFPr��ffo�of.���2��Fix�u�a�p�S�oin��t��P�����0��
���2����C�R6�an��rd�let��D�I�=�3�P�����0����.�	ٯTh��ren,��Taft��Ee��r�c�h���o�S�o�!ls�)�in��9g�s�:}ect�ion��x�����0����;���x�����1���;�x�����2��
���2������iF�H���V���2�0���Z�(�L�(3�P�����0����))��w��re�obt�ain�an�em��ekb�)�e�S�ddin��9g��C��,���!��q�P����2�2����.��Cons�[tru�ct�bas�)�i�s��for�t���h�e�global�s�:}ect�ions�of�����iF�L�(�nP�����0����)��for�v��X�ar�2"ious��n�.�����؉#65����B����э����Ơ�
:���B�ƟY�������ˍ��:/5�Y���ff���@bh�O�����C���e�Y���ff���]��L�(�P�����0����)��͟Y���ff�������L�(2�P�����0����)��͟Y���ff����j�L�(3�P�����0����)��͟Y���ff����/��L�(4�P�����0����)�
�E�Y���ff���.*��L�(5�P�����0����)�"�Y���ff�����<�L�(6�P�����0����)�$pɟY���ff����iF���ff�y#�
&c����h����2�0��9e�Y���ff���Q_Ź1�3p�Y���ff���t�1��j�Y���ff����B42��h�Y���ff�����f3��h�Y���ff����4���Y���ff���H�5�"ཟY���ff�����6�3Od�Y���ff����ff�y#����bas�)�i�s��of��H���V���2�0��z'�Y���ff���Q_Ź1�3p�Y���ff���t�1��j�Y���ff����I�1�;���x����Y���ff����0Ĺ1�;���x;�y�	j��Y���ff������1�;���x;�y�n9;�x����2�2��
�џY���ff���+��1�;���x;�y�n9;�x����2�2����;�xy�;�Y���ff���w���1�;���x;�y�n9;�x����2�2����;�xy�;�x����2�3����;�y�����2�2��
�
�Y���ff����ff�y#����#�8���iF�Since�jpt���h��re�s�:}ev�en�fu��9nct�ion�1�;���x;�y�n9;�x����2�2����;�xy�;�x����2�3����;�y�����2�2��	���lie�jpin�a�s�)�ix�dim��rens�ion���al�space�t���h��re��re�m�us�[t�b�)�e�a������iFd���ep�)�en��rd�ence��rela���t�ion����u�"�ay��n9����2����+����bx�����3��j��+��cxy��+��dx�����2���+��ey��+��f�G�x��+��g�Ë�=�UR0�������iFfor�djsom��re��a;���b;�c;�d;�e;�f���;�g����2�$��k�g�.��'F��Vurt���h�e��rmore,���b�S�ot�h�dj�x����2�3��	$n�an�d��y��n9���2�2��	���o�S�ccur�wit���h�co�)�ecien��t�not�equal�����iFt��9o��Uze��ro,��@b�)�eca��2us�:}e�t���h��rey�are�t�h��re�only�fu��9nct�ions�wit���h�a�6-fo�ޔld�p�S�o�le�a���t��P�����0����.�w�So�rep�lacin��9g��y���b�)�e�a�����iFsuit��ra�b�ޔle��s��xcalar�m���ul��9t��rip�le�w��re�m���ay�as�!lsu��9m�e��a�UR�=�1.�8YPrepar�2"in��9g��t�o�comp�ޔlet��Ee�t���h��re�square�w�e�rewr�2"it��Ee�����iFt���h��re��rela���t�ion�as��6΍�&51�y��n9����2����+���(�cxy��+��ey�n9�)�+�(������ō�331��33�[��z����
�΍2�����Fb�cx��+������ō���1���۟[��z����
�΍2�����
�
�e�)�����2��j����(������ō�331��33�[��z����
�΍2������cx��+������ō���1���۟[��z����
�΍2�����
�
�e�)�����2��j��+��bx�����3���+��dx�����2���+��f�G�x��+��g�Ë�=�UR0�:��yt���iF�Rep�ޔlacin��9g���y�X�b��ry�����Fu����1��۟���z�@���2�����
��cx����+�����Fu�����1���۟���z�@���2�����	Q�e��transforms�t���h�e�equa���t�ion�in��t��9o���؍��
�y��n9����2�����=�UR�e�(�x������a�)(�x����b�)(�x����c�)�����iFwh��re��re���a;���b;�c;�e�UR�2��k�QŹare�n��rew�cons�[t�an��t��es.�8�Next�a�b�!lsorb��e��t��9o�obt�ain������S�y��n9����2�����=�UR(�x������a�)(�x����b�)(�x����c�)�:�����iF�No��rw��transla���t��Ee��x��b�y��a��t��9o�obt�ain�an�equa���t�ion�of�t���h�e�form�������y��n9����2�����=�UR�x�(�x������a�)(�x����b�)�:�����iF�Mul��9t��rip�ޔly��an�d�divid���e�b�y��a����2�3�����t��9o�obt�ain��%����Q��y��n9����2�����=�UR�a�����3�������ō��7�x���7�[��z��R�
�΍�A)a�����
Ӽ�(������ō�33�x��33�[��z��R�
�΍�A)a������`�����1)(������ō�33�x��33�[��z��R�
�΍�A)a������������ō�s��b���۟[��z�+�
�΍a�����<�)�:������iF�Rep�ޔlace���x��b��ry�����Fu����x��۟���z����ꍐ"�a�������an�d��a�b�!lsorb��a����2�3�����t��9o�get�������y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x�����)�����iFwh��re��re����UR�6�=�0�;����1�s�)�ince��C��F�i�s�nons�in��9gular.���	g/��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����㫍��iFIn�v!t���hi�)�s�pro�S�of�w��re�d���enit��Eely�us�:}e�d�t���h��ra���t��k��>�i�)�s�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�d�t��9o�a��rb�!lsorb�cons�[t�an��t��es�an�d�t���h�a���t������iFt���h��re��c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�i�)�s�not�2�in�ord���e��r�t��9o�comp�ޔlet��Ee�t���h�e�square.��������iF�R��ffemark�3549.3.���>�u�Since��=�A�UR�=��k�g�[�x;���y�n9�]�=�(�y�����2�2��i���;��x�(�x����1)(�x�����))�i�)�s�not�a�UFD��/t���h��re�clas�!ls�group�of��C��۹i�s�����iFnon��tr�2"ivial.����	:Ho��rw��iu��9nique�i�)�s�t���h�e�repre�S�s�:}en��t�a���t�ion��y��n9���2�2��
8��=�
X�x�(�x�Yw���1)(�x�����)?�;"Th�e��iansw�e��r�i�)�s�t���h�a���t�it�i�)�s�not�����iFu��9nique.�8�F��Vor��examp�ޔle,�rep�lace��x��b��ry��x����+�1��t��9o�obt�ain���؍��ʚ�y��n9����2�����=�UR(�x����+�1)�x�(�x��+�1�����)�����iFt���h��ren��divid���e�b�y���(1�������)��t��9o�obt�ain��6΍�|���y��n9����2�����=�UR��(������ō��/�x��33�[��z�eI�
�΍�1����������� vW�+������ō�	�1���۟[��z�/��
�΍������������ō� �:x��t>�[��z�eI�
�΍�1�����������3��(������ō��/�x��33�[��z�eI�
�΍�1������������+���1)�:���j���iF�Next��rep�ޔlace��x��b��ry�������Fu�����x��33����z��֟���1�������"�an�d�a�b�!lsorb�t���h�e�min���us�s�)�ign�t��9o�obt�ain��/�������y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x��������ō����1���۟[��z�eI�
�΍1��������� vW�)�:�����iF�By��s�)�imilar�m��ret���h���o�S�ds�w�e�get�an�y�of�s�)�ix�c�h���oi��Jce�S�s:��%����i���UR�7!��;������ō����1��31�[��z�ڦ�
�΍������A
;����1������;������ō�
�ع1��31�[��z�eI�
�΍1���������˭;������ō�
x���31�[��z�eI�
�΍����1������;����1��������ō�[0�1���۟[��z�ڦ�
�΍�������:�����؉#�66����C*,���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��49.4.���^�O�In�35the�r��ffepr�esentation�35�C���in�the�form���
�����y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x�����)�����iF�,�35���up�to�the�gr��ffoup��S�����3���9�dep�ends�only�on��C�ܞ�.���-��	:�Th��re��r�[s�t�t���hin��9g�t�o�s�[truggle�wit���h�i�)�s�t�h��re�d���ep�)�en�d�ency��on�t���h��re�c�h���oi��Jce�of��P�����0����.��'�v����iF�50����A����u��9t�omorphi�B�sms�B�of�Ellipt��zsi��Jc�Curv�e���s��b#���iF�Let�}��C�ZY�b�)�e�an�ellipt��ri��Jc�curv�e�so��C�ZY�h�as�gen���us�1.��Sup�p�S�o�!ls�:}e��c�h�ar��U�k��o�6�=�UR2.��Fix�a�p�S�oin��t��P�����0��=��on��C�ܞ�.�Th��ren������iFt���h��re��lin�e�!lar�sys�[t��Eem��j�3�P�����0����j��giv�e�S�s�an�em��ekb�)�e�ddin��9g�����˝�j�3�P�����0����j�UR�:��C�1�,���!��P�����2���:�����iF�(Th��re���divi�)�sor�3�P�����0��	d��i�s�v��re��ry�amp�ޔle�b�y�(3.3.3)�an�d�Riem���ann-Ro�S�c�h�imp�ޔlie�S�s��dim��:>�j�3�P�����0����j��r�=�2.)�g�F��Vor�����iFsuit��ra�b�ޔle��c�h���oi��Jce�of�co�S�ordin�a���t��Ee�s���C��F�i�)�s�giv��ren�b�y����t^@�y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x�����)�;�
����2��k�g;���6�=�0�;����1�:�����iF�Th��re��c�h���oi��Jce�of����i�)�s�not�u��9nique�s�ince��S�����3�����act��es�b��ry��-퍒�i���UR�7!��;������ō����1��31�[��z�ڦ�
�΍������A
;����1������;��1��������ō�[0�1���۟[��z�ڦ�
�΍�������;������ō�
�ع1��31�[��z�eI�
�΍1���������˭;������ō�
x���31�[��z�eI�
�΍����1������:�������iF�Except��for�t���hi�)�s�am��ekbiguit��ry��V,����i�s�u��9niquely�d���et��Ee��rmin��re�S�d.�8�Den�e�� [:����,�j��ӹ(��)�UR=������ō���2����2�8����(�����2�2��j��������+�1)����2�3������[��z�M�W�
�΍��l�������2����(1�������)������2������S��:�������iF�Th��ren���-�����iF�Th��eorem��50.1.���N�$�The�35�j����-invariant�has�the�fol���lowing�pr��ffop�erties.��������5������2�j�%�2�UR�k�g�,��S�������5������2�j���dep��ffends�35only�on��C�ܞ�,��������5������2�C�����1������P���V����԰���.>�=��������C�����2���9�i�35�j��ӹ(�C�����1����)�UR=��j��(�C�����2����)�,�35and��������5������2�for�35al���l��j�%�2�UR�k��R�ther��ffe�is�a�curve��C���such�that��j��ӹ(�C�ܞ�)�=��j��.���-��	:�Th��re��t���h�eorem�imp�ޔlie�S�s�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s�a�biject�ion�of�s�:}et��es���1�����/s��
�n�����;^��i�)�somorphi�sm��clas�!ls�:}e�S�s�of�ellipt��ri��Jc�curv�e�S�s�/��k�����y��
�o�������2���!Y�����p����E����!�������.�k��
�n�����:��elem��ren��t��es��of��k���������
�o�������:���2���iF�Thi�)�s��can�b�e�giv��ren�a�mo�S�d�uli�t���h�eoret�i��Jc�in��t��Ee��rpret�a���t�ion.��=������iF�Example�3550.2.���CD�Let���E����b�)�e�t���h��re�ellipt�i��Jc�curv�e�d���en�e�S�d�b�y���
������y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x��+�1)�=��x�����3��j����x:�����iF�Th���us����UR�=���1�so���܍�� �j�%�=������ō���2����2�8����(3)����2�3������[��z�c��
�΍��s�1������2������2������'t��=�UR2�����6��j������3�����3��V�=�12�����3���=�1728�:�����؉#�67����D>���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�If���C�y��i�)�s�an�ellipt��ri��Jc�curv�e�t���h�en��A��X�u��9t�����C�y��i�)�s�trans�it��riv�e.�So��t��9o�s�[t��rudy�t���h�e�a��2u��9t�omorphi�)�sms��of��C�y��w�e������iFn��ree�S�d��t��9o�cu�t�do��rwn�t���h�e�n���u��9m��ekb�)�e��r�u�n��rd���e��r�cons�)�id�e��ra���t��rion.�8�T��Vo�do�t���hi�)�s�x�a�p�S�oin��t��P�����0�����an�d�cons�)�id���e��r���4���cVA��X�u��9t��vl�(�C�5�;���P�����0����)�UR=��f��꨹a��2u��9t�omorphi�)�sms�of��C��F�xin�g��P�����0�������g�:�����iF�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���C��F�i�)�s�giv�en�b�y�t���h�e�equa���t�ion�������y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x�����)�����iFan��rd�
{�P�����0��P��=���(0�:�1�:�0)�i�)�s�t���h��re�p�S�oin��t�a���t�innit�y��V.��XTh�en�t���h�e�m���ap���{��d���en�e�S�d�b�y��y����7!����y�{��an�d��x����7!��x�����iF�i�)�s�
Wan�elem��ren��t�of��A��X�u��9t��!9(�C�5�;���P�����0����).���Not��Ee�t���h�a���t���x��i�)�s�t���h�e�co�v�e��r�2"in��9g�transform���a���t�ion�of�som�e�2-t��9o-1�m���ap�����iF�C�1��!�UR�P����2�1����.����	:Is�AM�����u��9nique?�<�Let��P���b�)�e�an��ry�p�S�oin��t�on��C��su�c�h�t���h�a���t��Q��͹=���n9�(�P��ƹ)��6�=��P��.�<�Th��ren�AM�����i�)�s�a�co�v�e��r�2"in��9g�����iFtransform���a���t��rion���of�t���h�e�morphi�)�sm�d���et��Ee��rmin�e�S�d�b�y�t���h�e�lin�e�!lar�sys�[t��Eem��j�P��\�+�ޖ�Q�j�.��As�so�S�cia���t��Ee�d���t��9o�an��ry�����iFd���egree�fu2�m���ap�t��9o��P����2�1��	&y�t���h��re��re�i�)�s�a�co�v�e��r�2"in��9g�transform���a���t�ion�(t���h�e�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�in�v�o�ޔlu��9t�ion).��FTh���us�����iFif��~�R�q�+�X��S�uU�i�)�s�an�eect��riv�e��~divi�sor�of�d���egree�2�whi��Jc��rh�i�s�not�lin��re�!larly�equiv��X�alen��t�t��9o��P��e�+�X��Q��t���h�en�w�e�����iFobt��rain���a�die��ren��t�d���egree�2�morphi�)�sm�t��9o��P����2�1��	C��an�d�h�ence�a�die��ren��t�a��2u��9t�omorphi�)�sm���of�d���egree�����iFt��rw�o.��-Th�e���conclus�)�ion�in�clas�!ls�w��ras�t���h�a���t���9��i�)�s��not��u��9nique�b�eca��2us�:}e�y��rou�obt�ain�m���an�y�die��ren��t�����iFa��2u��9t�omorphi�)�sms��\of�d���egree�2�in�t���h��re�a�b�S�o�v�e�m���ann�e��r.�.�Bu��9t�t���h�e��re�i�)�s�no�re�!lason�an�y�of�t���h�e�S�s�:}e�sh���ould�����iF�x�I�P�����0����.�TF��Vurt���h��re��rmore,�`�if��A��X�u��9t��_�(�C�5�;���P�����0���)�re�!lally�t��rur�)�ns�ou��9t�t�o�b�)�e�t���h��re�u�nit��es�in�an�ord���e��r�in�a�n���u�m��ekb�)�e��r�����iFeld��t���h��ren�t�h��re��re���X�m�us�[t�b�)�e�u��9nique�b�eca��2us�:}e�t���h��re��re�i�s�only�on��re�non��tr�2"ivial�square�ro�S�ot�of���1.����	:Let���C��F�b�)�e�as�in�t���h��re�a�b�S�o�v�e�examp�ޔle,�so��C��F�i�)�s�d���en�e�S�d�b�y�����ғ�y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x��+�1)�:�����iF�Th��ren��t���h�e�m���ap���AŹd���en�e�S�d�b�y��U_���]���o�:���J��z��(����ǭ������x�UR�7!��x���fa�����y�Ë�7!�UR�iy����������iF�i�)�s��an�a��2u��9t�omorphi�sm��of��C��&�xin��9g��P�����0��!	�=�a(0�:�1�:�0).�MF��Vurt���h��re��rmore�����>�=����W���2�2��
��so��A��X�u��9t��j(�C�5�;���P�����0����)�con��t��rains�����iFa���t��le�!las�[t��Z�=�4�Z�.�8�Is��A��X�u��9t���(�C�5�;���P�����0����)�exact���ly��Z�=�4�Z�?�W��Ve�will�com��re�bac�k�t��9o�t���hi�)�s�que�S�s�[t�ion�la���t��Ee��r.����	:Th��re���m���ap�s�:}en�din��9g�ev�e��ry�p�S�oin��t�t��9o�it��es�dou���b�ޔle�u�n��rd���e��r�t���h�e�group�law�i�)�s�not�an�a��2u��9t�omorphi�sm�����iFal��9t���h���ough��eit�do�)�e�S�s�x��P�����0����.�Since��k���i�s�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�t���h��re��re�are�4�p�oin��t��es�on��C�z�whi��Jc��rh�m���ap�t��9o�����iF�P�����0�����u��9n��rd���e��r��m���ul�t�ip�ޔli��Jca���t�ion��b�y�2.��_�����iF�Example�3550.3.���CD�Let���C��F�b�)�e�t���h��re�gen�us�1�curv��re�in��P����2�3�����d���en�e�S�d�b�y������4�x�����3��j��+����y��n9����3����+��z�������3���9�=�UR0�:�����iF�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���c�h�ar��uB�k��o�6�=�UR2�;����3.�8�W��Ve��w�an��t�t��9o�n�d�an�equa���t�ion�for��C��F�of�t���h�e�form�����<W�y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x�����)�:�����iF�Since�yw�1��i�)�s�an�in
ect��rion���al�t�an��9gen��t�of��y��n9���2�2�����=�UR�x�(�x��u���1)(�x�����)�yww�e�h���u��9n��t�for�an�in
ect�ion���al�t�an��9gen��t�����iFof���C�ܞ�.�8�Th��re�lin�e��y��+����z��5�=�UR0�m�eet��es��C��F�in�an�in
ect�ion���al�t�an��9gen��t�s�)�ince����t���x�����3��j��+����y��n9����3����+��z�������3���9�=�UR�x�����3���+�(�y��+��z���)(�y��n9����2�������y�n9z�3��+��z������2��H�)�����iFso��s�:}et��2t��rin��9g��y��+����z��5�=�UR0�giv�e�S�s��x����2�3��V�=�UR0.����	:Next���p�)�e��rform�t���h��re�c�h�an��9ge�of�v��X�ar�2"ia�b�ޔle�S�s��z�Sj�=�ʇ�z������2�0�����?��y�n9�.�ʨTh�e�re�!lason�for�doin��9g�t���hi�)�s�i�s�so�t���h��ra���t�����iF�z������2�0���n�=�UR0��Fwill�giv��re�t���h�e�p�S�oin��t�of�in�t��Ee��r�[s�:}ect��rion�of��C�s�wit���h��y�n��+�W�z��5�=�UR0.�Aft�e��r�su���b�!ls�[t��rit�u��9t�ion��Ft�h�e��Fequa���t�ion�����iFb�)�ecom��re�S�s�����,W�x�����3��j��+����y��n9����3����+�(�z�������0������y�n9�)�����3��V�=�UR0�����؉#68����EK[���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�whi��Jc��rh��i�)�s�����|�F�x�����3��j��+����y��n9����3����+���z�������0����w���|�3�������3��z�������0�����n���|�2��
�r�y��+�3��z�������0����n�y��n9����2�����y��n9����3�����=�UR0�:�����iF�Set��2t��rin��9g���z������2�0���n�=�UR1�w�e�obt�ain������Z�x�����3��j������3�y��+�3�y��n9����2����+�1�UR=�0�����iFor��equiv��X�alen��t���ly��V,�aft��Ee��r�f�)�act��9or�2"in�g��t�h��re�-1�in��t��9o��x����2�3����,��/J������y��n9����2���������y�Ë�=�UR�x�����3��j��������ō��۹1���۟[��z����
�΍3�����
�
�:�������iF�Next��w��ror��ekin��9g�mo�S�d�ulo�lin�e�!lar�c�h�an��9ge�S�s�of�v��X�ar�2"ia�b�ޔle�S�s�giv�e�S�s�������y��n9����2���������y��+������ō���1���۟[��z����
�΍4�����F\=�UR�x�����3��j��������ō��۹1���۟[��z����
�΍3�����
��+������ō���1���۟[��z����
�΍4�����
�
�;��%4���B\�(�y���������ō��۹1���۟[��z����
�΍2�����
�
)�����2��V�=�UR�x�����3��j��������ō��ٹ1���۟[��z����
�΍12�������;���4���L�y��n9����2�����=�UR�x�����3��j��������ō��ٹ1���۟[��z����
�΍12�������;���x���o�y��n9����2�����=�UR�x�����3��j������1�;����j5y��n9����2�����=�UR(�x������1)(�x����!�n9�)(�x����!������2��.=�)�;��
���wh��re��re���!������3�����=�UR1��Q��:����	:�In��gen��re��ral������8�y��n9����2�����=�UR(�x������a�)(�x����b�)(�x����c�)�����iFi�)�s��equiv��X�alen��t�t��9o��y��n9���2�2�����=�UR�x�(�x������1)(�x�����)��wh��re��re����=�����Fu�����a��c��������z�����ꍐpzb��c������x�.�8�In�our�s�)�it��rua���t�ion��t���hi�s�m��re�!lans��!Ҩ��V����UR�=������ō��+1������!�����[��z�"�3�
�΍!��n9�����2���������!�����+�=�=������ō���1������!�����[��z�-,��
�΍!�n9�(�!�������1)�����6=�=��������ō�"׹1��33�[��z��D�
�΍�!�����
z��=���!��n9����2�����=������ō���1�����[��z����
�΍2�����F\+������ō���1���۟[��z����
�΍2�������
�
�����p�������Ήz�5S�
2��3����$&_�:��!;>���iF�Th���us���j��ӹ(��)�UR=�0�an��rd��C��F�i�)�s�d���en�e�S�d�b�y���������y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x��+��!��n9����2��.=�)�:�����iF�A��rt��7t���hi�)�s�p�S�oin��t�Hart��esh���or�n��re�tr�2"ie�S�d�t��9o�exp�ޔli��Jcit���ly�d���e�s��xcr�2"ib�)�e�a�d���egree�3�a��2u��9t�omorphi�sm��7of��C�sչwhi��Jc��rh������iFxe�S�s�Winnit��ry��V.�}�Bu��9t�try�as�h�e�m���ay�it�did�not�com�e�ou��9t�r�2"igh�t.�}�Not��Ee�t���h�a���t��x�
��7!��x�W�an�d��y�{��7!�
��y�����iF�d���en��re�S�s��a�d�egree�2�a��2u��9t�omorphi�)�sm��of��C�ܞ�.����	:T��Vo��d���en��re�a�d�egree�3�a��2u��9t�omorphi�)�sm��lo�S�ok�a���t�t���h��re�F��Ve��rm���a�t�form�of��C�����z�[x�����3��j��+����y��n9����3����+��z�������3���9�=�UR0�;��P�����0��V�=�(0�:�1�:���1)�:�����iF�Th��ren������R���Ë�:����̼��J�8��
�ԍ�J>������J<������J>����J:�����|������x�UR�7!��!�n9x���fa�����y��7!�UR�y��������z��5�7!�UR�z������&�卑�iF�i�)�s���an�a��2u��9t�omorphi�sm���of�d���egree�3�xin��9g��P�����0����.�/�In��t��Ee��rc��rh�an�gin�g����y�>�an�d��z�X��yields�an�a��2u��9t�omorphi�)�sm�of������iFd���egree��2�xin��9g��P�����0�����an��rd�whi��Jc�h�comm���u��9t��Ee�S�s�wit�h���n9�.�8�Th�us��A��X�u��9t���(�C�5�;���P�����0����)�i�)�s�a���t�le�!las�[t��Z�=�6�Z�.�����	:No��rw��w�e�ap�proac�h�t���h�e�a��2u��9t�omorphi�)�sm�group�a��rb�!ls�[tract���ly��V.�����؉#69����F_���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Th��eorem��50.4.���N�$�If�35�C���is�an�el���liptic�curve�and��P�����0���9�is�a�xe��ffd�p�oint�then��=�G���]_�A��X�u��9t��p(A(�C�5�;���P�����0����)�UR=����̰���8��
�ԍ�>������>����>����>����>����>����<������>����>����>����>����>����>����:����ݮ���
���Z�=�2�Z����<��if�35�j�%�6�=�0�;��12����2�3�����fa���
���Z�=�4�Z����<��if�35�j�%�=�12����2�3��V�6�=�0�,���c��rh�ar�����k��o�6�=�3�������
���Z�=�6�Z����<��if�35�j�%�=�0��6�=�12����2�3����,���c��rh�ar�����k��o�6�=�3�������
���Z�=�12�Z����<��if�35�j�%�=�0�=�12����2�3����,���c��rh�ar�����k��o�=�3�������
���Z�=�24�Z����<��if�35�j�%�=�0�=�12����2�3����,���c��rh�ar�����k��o�=�2�������=�F��	:W��Ve��do�not�pro��rv�e��t���h�e�t���h�eorem�no�w�bu��9t�t���h�e�id���e�!la�i�)�s�t��9o�s�[t�are�a���t�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�square��*o�����X+�����W�C������2����4�����p���������ٹ�!����������C��������p��j�2�P�����0����j����J�#����D#���@zj�2�P�����0����j����x����N8�P����2�1�������2���֧&�9��X����p����G ��������������*�!�������G��P����2�1�����)��:��*o������iF�Example�3550.5.���CD�Cons�)�id���e��r������tY�y��n9����2�����=�UR�x�(�x������1)(�x��+�1)�����iFin��c��rh�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�3.�8�Den�e�a��2u��9t�omorphi�)�sms��$U_��v U���o�:���J��z��(����ǭ������x�UR�7!��x���fa�����y�Ë�7!�UR�iy�����\ͺ�UR�:���J��z��(����ǭ������x��7!��x����+�1���fa������y�Ë�7!��y������$Ua���iF�of�&�ord���e��r�[s�4�an��rd�3.���Cle�!larly���W�o��=����~:���:�:��o��bu��9t�&�up�S�on�c�h�ec�kin��9g�t���hi�)�s,�vcle�!larly���W�o��6�=����.���Th���us������iFA��X�u��9t���((�C�5�;���P�����0����)��i�)�s�ob��rviously��not��cycli��Jc�of�ord���e��r�12,�in�f�act�it�i�s�an�ext��Eens�ion�of��S�����3����.�����	:Let�/��C�y�b�)�e�an�ellipt��ri��Jc�curv�e�an�d��P�����0���߹a�xe�S�d�p�oin��t�on��C�ܞ�.�zTh��ren�w�e�as�!lso�S�cia���t��Ee�t��9o�t���h�e�pair��C�ܞ�,�����iF�P�����0�����t���h��re��alge���brai��Jc�ob��ject��es���������5�������2�A��X�u��9t��$�(�C�5�;���P�����0����),��������5������2�a��group�s�[tru��rct�ure��on��C��F�wit���h��P�����0�����as�t�h��re�id���en��t�it�y��V,�an�d��������5������2�t���h��re��en�domorphi�)�sm�r�2"in��9g��En�d����(�C�5�;���P�����0����).�����iFTh��re��r�2"in��9g��En�d����(�C�5�;���P�����0����)�i�)�s�d���en�e�S�d�t��9o�b�)�e�t���h�e�s�:}et�of�morphi�)�sms����ҹ:�|D�C�X��!��C��'�xin��9g���P�����0����.�}�By�gen�e��ral������iFf�)�act��es�2a��rb�S�ou��9t�a�b�)�elian�v��X�ar�2"iet�ie�S�s�an�y�su�c�h������i�)�s�in�f�act�a�group�en��rdomorphi�sm.�	In�c��rh�aract��Ee��r�2"i�s�[t�i��Jc�����iF0��dt���hi�)�s�en��rdomorphi�sm�r�2"in��9g�i�s�e�S�it���h��re��r��Z��or�an�ord���e�r�in�an�im���agin�ary��dquadra���t��ri��Jc�n���u��9m��ekb�)�e�r�eld.�In�����iFc��rh�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�>N�p��t���h��re�en�domorphi�)�sm�r�2"in��9g�can�b�e�an�ord���e��r�in�a�rank�4�qua���t��Ee�r�)�nioni��Jc�ext��Eens�ion�����iFof���Z�.�7�In�c��rh�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc���p��t���h��re�en�domorphi�)�sm�r�2"in��9g�can�not�b�e�jus�[t��Z��b�eca��2us�:}e�of�t���h��re�F��Vrob�eni���us�����iFen��rdomorphi�)�sm���whi��Jc�h�v�e��r�2"ie�S�s�a�ce�rt��rain�quadra���t�i��Jc�equa���t�ion.�Q�[[Ho�w�do�)�e�S�s�t���hi�s�las�[t�s�t��ra���t��Eem�en��t�����iFw��ror��ek?]]��(V����iF�51����Mo���d��zsuli�B�Space�s��b#���iF�F��Vor�ct���h��re�re�S�s�[t�of�t�h��re�s�:}em�e�S�s�[t��Ee��r�I�b�am�goin��9g�t�o�t��ralk�a�b�S�ou��9t�Jacobian�v��X�ar�2"iet�ie�S�s,��v�ar�2"iet�y�cof�mo�S�d�uli�����iFan��rd� �
a���t�f�)�amilie�S�s.���In�e�!lac�h�of�t���h�e�S�s�:}e�s�)�it�ua���t�ions�w�e�param�et��Ee��r�2"ize�\som�et���hin��9g�or�ot�h��re��r�[s"�b�y�p�S�oin��t��es�����iFon��a�v��X�ar�2"iet��ry�t���h�en�ap�p�ޔly�alge���brai��Jc�geom�etry�t��9o�t���h�e�v��X�ar�2"iet�y��V.����	:He��re��are�som��re�examp�ޔle�S�s.�����؉#70����Gm����э����Ơ�
:�����̍����Ο�p`�ff~�
&c����ͤY���ff�M���d�St��rart����ff���V?�Set��S��Y���ff����{P��raram�et��Ee��r��Space�-�z�Y���ff�����ff~�
0[����ͤY����ff�
B����dA��curv��re��C������ff����V?ҹPi��Jc���f����x�0��mj�C��F�=���f��divi�)�sor�[s�of�d���egree�
j��Y����ff����{Clo�!ls�:}e�S�d��p�oin��t��es�of�0p��Y����ff��������͟Y���ff�O�l��ff���V?�0��mo�S�d��rulo�lin�e�!lar�equiv��X�alence��g���Y���ff����{�Jacobian��v��X�ar�2"iet��ry��J�r�.� �ΟY���ff�������͟Y���ff�O�l��ff���V?�Not��jus�[t�a�s�:}et�bu��9t�a�fu�nct�or�2�Y���ff����{�J��repre�S�s�:}en��t��es��t���h��re�0�1�Y���ff�������͟Y���ff�O�l��ff�����V?��Sc��h���n5$�!���UR�Set���z�"�Y���ff����{�fu��9nct�or.�[�I�Y���ff����ff~�
&c����ͤY���ff�9y���d�P����2��n��y��k���	���an��rd����ff���V?�s�:}et��of�clo�!ls�e�S�d�su���b�!ls��xc��rh�em�e�s�!v�Y���ff����{Th��re��Hil�b�)�e��rt�s��xc�h�em�e� 4�Y���ff���������ͤY����ff�	˟��d�P��ƹ(�z���)�UR�2��Q�[�z��]�	ˡ���ff���V?��Z�1���UR�P����2��n��y��k���	���wit���h��Hil��rb�)�e��rt�4�şY����ff�����{Hil��rb�������W�P���ҹ(�P����2�n���P�)�O�Y����ff�������͟Y���ff�O�l��ff���V?�p�S�o�ޔlynomial���P��ƹ(�z���)�I�^�Y���ff���~�p�Y���ff����ff~�
&c����ͤY���ff������dx���g�Ë>�UR�0����ff���V?�i�)�somorphi�sm��clas�!ls�:}e�S�s�of�curv��re�s��͟Y���ff����{Th��re��v��X�ar�2"iet�y��M�����g�����of�'5��Y���ff�������͟Y���ff�O�l��ff���V?�of��gen���us��g�kl��Y���ff����{�mo�S�d��ruli.�8�Fin�e��if�rep�!ls.�t���h��re��͟Y���ff�������͟Y���ff�O�l��ff�����H�Y���ff����{fu��9nct�or,��coar�[s�:}e�if�not.�Uy�Y���ff����ff~�
&c����ͤY���ff��V���d�P����2��n��y��k����P�,����ff���V?�s�:}et��of�cycle�S�s�of�dim.�8��r�>6�an��rd�>�Y���ff����{Th��re��Ch���o�w�s��xc�h�em�e.�$HH�Y���ff�������ͤY���ff��͟��dd���egree���d�,�an��rd����ff���V?�d���egree���d��in��P����2�n��	���mo�S�d��rulo�)�N�Y���ff����{It��do�)�e�S�s�not�repre�s�:}en��t���Y���ff�������ͤY���ff�	k����ddim��rens�)�ion���r�	����ff���V?ҹra���t��rion���al��equiv��X�alence.�6r��Y���ff����{a��fu��9nct�or.�R
��Y���ff����ff~򣎎��w�b���iFA��tcycle��of�dim��rens�)�ion��r�DB�i�s�a��Z�-lin��re�!lar�com��ekbin���a���t�ion�of�su���b�!ls��xc�h�em�e�S�s�of�dim�ens�)�ion��r�S��.��If��Z�1�=��UR�����P�����n�����i��d��Y�����i�������iF�i�)�s��a�cycle�of�dim��rens�ion��r�>6�t���h��ren��d���eg���?�Z�1�=��UR�����P�����n�����i���dعd���eg���q(�Y�����i��dڹ).��(��iF�52����Th��zse�B�Jacobian�V��o[ar�P!iet�y��b#���iF�Fix��-a�curv��re��C��˹of�gen���us��g�n9�.�qpTh�en��Pi��Jc���r���x�0���t�C��˹i�)�s�t���h�e�group�of�divi�)�sor�[s�of�d���egree�0�mo�S�d�ulo�lin�e�!lar�����iFequiv��X�alence.���Th��re�$�Jacobian�i�)�s�goin��9g�t�o�b�)�e�a�v��X�ar�2"iet��ry��J�Aj�wh���o�!ls�:}e�clo�s�:}e�S�d�p�oin��t��es�corre�sp�on��rd�t��9o�����iFdivi�)�sor�[s���D����2��UR�Pi��Jc��������x�0����C�ܞ�.����	:A�Y,clo�!ls�:}e�S�d�YIp�oin��t�of��J�u��i�)�s�a�m���ap��'���:��Sp�)�ec���T�k�x��!��J�r�.���T��Vakin��9g�t���h��re�pro�S�d�u�ct�(o�v�e��r��Sp�)�ec����k�g�)�of�t���hi�)�s�����iFm���ap��wit���h�t�h��re�id���en��t�it�y�m���ap��C�1��!�UR�C��F�giv�e�S�s�a�comm���u��9t�in�g��square��1!O�����xR����!��C�������h��ڜ��'���-:�0���J����Ϻ����ֺ���������������������UO!��������C��F�����J���Kl�������������3,������?��38�����?�������y�����������������������3,���_�?��38���_�?�����_�y��������������������X�Sp�)�ec���W
�k�������h������'��J����Ϻ����ֺ���������������������UO!��������9�J������1�����iF�Giv��ren�i3an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��D����on��C�������J����an�d�a�clo�!ls�:}e�S�d�p�oin��t��t��of��J����(giv��ren�b�y�a�morphi�)�sm�����iF�'�UR�:��Sp�)�ec����k��o�!��J�r�)��d���en��re�an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��D�����t��|r�on��C��F�b�y��f���
��D�����t����=��UR�'�����0����
����|����D�UV�:�����iF�In��t���hi�)�s�w��ray�w�e�obt�ain�a�m���ap�f�2"rom�t���h�e�clo�!ls�:}e�S�d�p�oin��t��es�on��J��t��9o��Pi��Jc��T�(�C�ܞ�).�����	:W��Ve�>�r�[s�t�s�tren��9gt���h��ren�our�requirem�en��t�for�t���h�e�Jacobian�of��C�y�b�y�askin��9g�for�a�divi�)�sor��D��1�on�����iF�C��F�����J��su��rc�h��t���h�a���t�t���h�e�m���ap��D���7!�URD�����t��|r�giv�e�S�s�a�corre�sp�on��rd���ence��f����(clo�!ls�:}e�S�d��p�oin��t��es��׹(�J�r�)����2��������p���UR���$!�����\x�Pi��Jc���$ƽ���x�0��)���(�C�ܞ�)�:����	:�Grot���h��ren�diec�k's���geni���us�w��ras�t��9o�gen�e��ralize�all�of�t���hi�)�s.�*�Th�e�p�S�oin��t�i�)�s�t��9o�rep�ޔlace��Sp�ec��i��k�g�-v��X�alue�S�d������iFp�S�oin��t��es��&of��J���wit���h��T��ƹ-v��X�alue�d�p�oin��t��es�of��J���wh��re��re��T���i�)�s�an�y�s��xc�h�em�e�o�v�e��r��k�g�.�UYT��Vakin��9g�t���h�e�pro�S�d�u�ct�of��+M���iF�T�����h�����'��J��������Lw!�������J��wit���h���C�����s������id������X.�C�������1����	�z�����������!������C��F�w��re�obt�ain�a�diagram��0v������"��������C��F�����T�������h����!�'���-:�0���J�������������������������������UO!���������C��F�����J���Kl�������������3,������?��38�����?�������y�����������������������3,����(?��38����(?������(y���������������������T�������h����'��J�������������������������������UO!����������J���������؉#�71����H}����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�If���L��i�)�s�an�in��rv�e��rt�ib�ޔle��sh�e�!laf�on��C��F�����J��t���h�en�as�!lso�S�cia���t��Ee�t��9o��L��t���h�e�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��M�UR�=���'����2�0����
���^����L�.�����	:Next��>w��re�m���ak�e�a�s�[tron��9ge��r�requirem�en��t�for�t���h�e�Jacobian�of��C�ܞ�.�0W��Ve�require�t���h�a���t�t���h�e��re�exi�)�s�[t�����iFan��in��rv�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�wit���h�t�h��re�fo�ޔllo�win��9g�u�niv��re��r�[sal�pro�p�)�e��rt�y��V.��TF�or�an��ry�s��xc�h�em�e��T��ʹan�d�an�y�in�v�e��rt�ib�ޔle�����iFsh��re�!laf�[��M��on��C�����}�T��G�whi��Jc�h�i�)�s�\of�d���egree�0�alon��9g�t���h�e�b�)�e��r�[s"�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�a�u��9nique�morphi�sm�����iF�'�UR�:��T���!��J��su��rc�h��t���h�a���t��M�UR�=���'����2�0����
���^����L�.����	:Th��re�&-p�S�oin��t�i�)�s�t���h�a���t�w�e�are�param�et��Ee��r�2"izin��9g�f�)�amilie�S�s�of�divi�sor�clas�!ls�:}e�S�s.��bW��Ve�m���ak��re�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�����iFt��Een��t��ra���t�iv�e��d���enit�ion.�8�It�will��not��t�ur�)�n�ou��9t�t�o�b�)�e�t���h��re�r�2"igh�t�on�e.��������iF�Denit��ion��52.1.���T�	�Th��re���Jac��ffobian�Gvariety��i�)�s�a�pair�(�J��:;����L�)�wit���h��L��an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�on��C�B���e��J�����iF�su��rc�h���t���h�a���t�for�all�s��xc�h�em�e�S�s��T�D��an�d�for�all�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!la�v�e�S�s��M��on��C����(�T�D��of�d���egree�0�on�t���h�e�����iFb�)�e��r�[s,��t���h��re�re�exi�)�s�[t��es�a�u��9nique�morphi�sm��'�UR�:��T���!��J��su��rc�h�t���h�a���t��M�����P���UR���԰���n:�=���������'����2�0��������^��@��L�.����	:Wh��ra���t�
do�)�e�S�s�\d���egree�0�on�t���h�e�b�)�e��r�[s"�m�e�!lan?��8Sup�p�S�o�s�:}e�
�M��i�)�s�an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�on��C�������T��ƹ.�����iFLet���t��b�)�e�a�p�S�oin��t�in��T��ƹ.�8�Th���us��t��can�b�e�t���h���ough��rt�of�as�a�m�ap��������� �Ë�:��URSp�)�ec�����(�t�)�UR�!��T�����iF�wh��re��re�uG��(�t�)�i�)�s�t���h�e�re�S�s�)�id�ue�eld�a���t��t�.�ؾT��Vensor�2"in��9g�t���hi�)�s�m���ap�wit�h�t�h��re�id���en��t�it�y�m���ap��id���1:�AF�C���!��C������iF�yields��a�m���ap�����ρ� ��n9����0���Ĺ:�UR�C�����t����=��C��F������k����:�Sp�)�ec��!w���(�t�)��!��C������T���:�����iF�If��/�M��i�)�s�an�in��rv�e��rt�ib�ޔle��/sh�e�!laf,� d���en�e��M�����t��s��t��9o�b�)�e�t���h�e�pull�bac�k��� ��n9���2�0�����)��^���-�M�.�vTh�e�d���egree�of��M�����t��s��as�a�����iFdivi�)�sor��on�t���h��re�curv�e��C�����t���q�m���ak�e�S�s�s�:}ens�e.�S�Al��9t���h���ough����(�t�)�m�ay�not�b�)�e�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�w��re�can�����iFs�[t��rill��d���en�e�t���h�e�d���egree�of�a�divi�)�sor�in�a�n���a���t�ural�w�ay��V.�������iF�Denit��ion��52.2.���T�	�M�ֶ�on��C�'���K`�T�x|�i�)�s�said�t��9o�b�e��of�.de��ffgr�e�e��0��along�the�b�ers�ֶ�if�for�all��t���2��T��ƹ,������iFd���eg����M�����t����=�UR0.�������iF�R��ffemark�3552.3.���>�u�On��re��can�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e�m���ap��t�UR�7!���d���eg����(�M�����t���ʹ)��i�)�s�a�con��t�in���uous�fu��9nct�ion��T���!�UR�Z�.�����	:Th��re��re�ʠi�)�s�s�[t�ill�on�e�su���bt�let�y��V.���Our�ʠt��Een��t�a���t�iv�e�d���enit�ion�of�t���h�e�Jacobian�i�)�s�bad�s�ince�it�ob��rviously�����iFcannot��exi�)�s�[t.����	:Cons�)�id���e��r��t���h��re�diagram��2�"�����j����#��C��F�����T�������h���2�� ��I{��-:�0���J�����w�����w���������������������UO!�������W��C�1�=�UR�C�����t��������h��&t'���-:�0���J�����DT����DT��������������������UO!������$P�C��F�����J���Kl�������Ǎ��H�p��������3,���]��?��38���]�?�����]�y�����������������������3,����?��38����?������y�����������������������3,��&�{?��38��&�{?����&�{y�������������0�����B�T�������h������ ��J�����w�����w���������������������UO!���������a�Sp�)�ec���q�k�������h��W�'��J�����DT����DT��������������������UO!������'��J������3�����iF�Pull��rbac�k��L��on��C�P`��s��J�.x�via��'����2�0���?�t��9o�obt��rain��L�����t���ܹ=��L�'����2�0��������^�����L�.���Th�en�pull�bac�k��L�����t���йt��9o�obt�ain��� ��n9���2�0�������^����L�����t���йon�����iF�C��D����T��ƹ.��Let��$�N�QԹb�)�e�an��ry�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�on��T��ƹ.��Th�en��F��c�=�UR�p����2�����N��V
���� ��n9���2�0����ˠ��^�����L�����t���i�)�s�an�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf�on�����iF�C��B�����T��ƹ.�z�F��Vurt���h��re��rmore���p����2�����N��Z�i�)�s�tr�2"ivial�on�t�h��re�b�)�e��r�[s�so�t�h��re�b�)�e��r�[s�of��F�1��do�not�d���ep�en��rd�on��N�İ�.�z�[[I�����iFcan��lnot�s�:}eem�t��9o�gure�ou�t�wh��ry�t���hi�)�s�all�le�!lads�t�o�a�con��tradi��Jct��rion!]]�n-F��Vor�som�e�re�!lason�t���h�e�m���ap�����iFf�2"rom�r�T�ݣ�!�;��J����whi��Jc��rh�corre�S�sp�on�ds�rt��9o��F��+�m���us�[t�b�)�e�t�h��re�cons�[t�an��t�m���ap�s�:}en�din��9g�ev�e��ryt���hin��9g�t�o�t���h��re�����iFp�S�oin��t��corre�sp�on��rdin��9g�t�o��'�.�pSince�in�gen��re��ral�t���h�e��re�are�m���an�y�p�S�o�!ls�s�)�ibilit��rie�s��for��p����2�����N����t���hi�)�s�giv��re�s�a�����iFcon��tradi��Jct��rion.���[[No���m���a���t��2t��Ee��r�wh�a���t,���I���can�not�s�:}eem�t��9o�u�n��rd���e��r�[s�t�an�d���t���hi�)�s.���I���do�not�s�:}ee�wh�y�t���h�e�����iFm���ap��f�2"rom��T��n�t��9o��J��corre�S�sp�on��rdin�g��t�o��F���m���us�[t�b�)�e�an��ryt�hin��9g�in�part��ri��Jcular.]]����	:So��t��9o�t���h��re�correct�d���enit�ion�i�)�s�t���h�a���t�w�e�require��M��t��9o�equal���'����2�0����kW��^��+[�L��in�t���h�e�quot�ien��t�group������w
,Pi��Jc����wq���x�0���7u�(�C��F�����T�N8=T��ƹ)�UR:=��Pi��Jc��������x�0����(�C������T��ƹ)�=p����������Pi��Jc��*E�T���:�����iF�No��rw��w�e�h�a�v�e�t���h�e�correct�d���enit�ion�of�t���h�e�Jacobian�v��X�ar�2"iet�y��V.�����؉#72����I�����э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�Thi�)�s��says�t���h��re�pair�(�J��:;����L�)�repre�S�s�:}en��t��es�t�h��re�fu��9nct�or�������a(�F���:���UR�Sc��h����P�=k�g�)�����o����!���UR�Set���������T���7!��UR�Pi��Jc��������x�0����(�C��F�����T�N8=T��ƹ)�:�����iF�He��re�cA(���Sc��h������=k�g�)����2�o����i�)�s�t���h��re�o�p�p�S�o�!ls�)�it��Ee�ca���t�egory�of�t���h��re�ca���t�egory�of�s��xc��rh�em�e�S�s�cAo�v�e��r��k��^�obt�ain�e�S�d�b�y�rev�e��r�[s-������iFin��9g�{�all�t���h��re�arro�ws.��If�� �Ë�:�UR�T���Ɵ��2�0���Q�!��T���i�)�s�{�a�morphi�sm�t���h��ren��F���s�:}en�ds�� ��*�t��9o�t���h�e�group�h���omomorphi�)�sm������H�Pi��Jc��������x�0���r��(�C��F�����T�N8=T��ƹ)�UR�!���Pi��Jc��������x�0����(�C������T���Ɵ���0��o��=T���Ɵ���0���)�����iFd���en��re�S�d��b�y��M�UR7!��� ��n9���2�0����5L��^���P�M�.�8�He��re�� ��n9���2�0��'�i�)�s�t���h��re�m���ap�d���en�e�S�d�b�y�t���h�e�diagram��1�x�����Í������C��F�����T���Ɵ��2�0��������h��ۋ|� ��I{��-:�0���J������<�����<��������������������UO!�������8�C��F�����T���Kl�������������3,���O�?��38���O?�����Oy�����������������������3,���D?��38���D?�����Dy�������������0��������T���Ɵ��2�0��������h����`� ��J������<�����<��������������������UO!���������T������2�$��	:�T��Vo��}say�t���h��ra���t�(�J��:;����L�)��r��ffepr�esents��}�F�+C�i�)�s�t��9o�say�t�h��ra���t��Hom��(�T���;���J�r�)�c�=��F��ƹ(�T��)��}in�t�h��re�s�:}ens�e��}t�h��ra���t�t�h��re�����iFm���ap���'�UR�7!��'����2�����L��i�)�s�a�biject��rion.����	:Exi�)�s�[t��Eence�F�of�t���h��re�Jacobian�v��X�ar�2"iet�y�in�gen�e��ral�i�)�s�dicul��9t.�	L�Wh�en�t���h�e�gen���us�i�)�s�1�w�e�are�����iFlu��rc�ky�#hb�)�eca��2us�:}e�t���h��re�Jacobian�i�s�jus�[t�t���h��re�curv�e�it��es�:}elf.��!F��Vor�high�e��r�gen���us�w�e�m���us�[t�do�som�et���hin��9g�����iFnon��tr�2"ivial.�8�Let��m��re�giv�e�som�e�cons�:}equence�S�s�of�exi�)�s�[t��Eence.��"ʫ����iF�52.1�� ��Cons�O%equence�L�of�exi�8�s�Ot��Gence�of�t��Vfh���e�Jacobian��@���iF�1.�fi�J�O��is�35automatic��ffal���ly�an�ab�elian�gr�oup�scheme.��������iF�Denit��ion��52.4.���T�	�If���C�� �i�)�s�an��ry�ca���t��Eegory�wit���h�nit�e�pro�S�d��ru�ct��es��t���h�en�a�group�ob��ject�i�)�s��G�UR�2���Ob����(�C�ܞ�)�����iFgiv��ren��wit���h�morphi�)�sms��������|��UR�:��G������G�UR�!��G����������(m���ul��9t��rip�ޔli��Jca���t�ion)��������������UR�:��G��!��G�������Bƹ(in��rv�e��r�[s�:}e)����������{�"�UR�:��f�e�g�!��G�������p�(id���en��t��rit�y)��������	:F��Vor�-=an��ry��G�Ʀ�2���Ob��qD�C�	۹t���h�e��re�-=exi�)�s�[t��es�a�n���a���t�ural�repre�S�s�:}en��t�a�b�ޔle�fu��9nct�or�-=�h�����G��
�>�=��ƦHom��@/(��;���G�).��T��Vo�say�����iFt���h��ra���t��st�h�e��sfu��9nct�or��h�����G��
�f�)�act�or�[s�t���hrough�t�h��re�ca���t��Eegory����Grp���z�of�group�!ls�i�)�s�equiv��X�alen��t�t��9o�sayin�g�t���h��ra���t�����iF�G���i�)�s�a�group�ob��ject.��In�part��ri��Jcular�s�ince��J�׃�repre�S�s�:}en��t��es�a�fu��9nct�or��t�o�t���h��re�ca���t��Eegory�of�a�b�)�elian�����iFgroup�!ls��it�i�)�s�an�a��rb�elian�group�s��xc��rh�em�e.����	:�2.�fiThe�35Zariski�tangent�sp��ffac�e�35to��J�O��at��0�.����	:�Let�_��P�����0��	��b�)�e�t���h��re�ze��ro�p�S�oin��t�of��J�r�.���Let��m�����0���
��O�����P��q�0���n4�b�e�t���h��re�m���axim�al�_�id���e�!lal�of�t�h��re�lo�S�cal�r�2"in��9g�a���t�����iF�P�����0����.�7�Th��ren�?�t���h�e�Zar�2"i�)�ski�t�an��9gen��t�space�a���t��P�����0�����i�)�s�t���h�e�d�ual�v�ect��9or�space�(�m�����0����=�m����2��2��RA�0����)����2�0���9�.�7�[[I�?�will�gure�����iFt���hi�)�s��ou��9t�la���t��Ee��r.]]��(V����iF�53����Th��zse�B�Jacobian��b#���iF�In��t���hi�)�s�lect��rure�w�e�recons�)�id���e��r�more�direct���ly�t�h��re�Jacobian�in�gre�!la���t��Ee��r�d���ept�h.��MLet��C��j�b�)�e�a�curv��re�����iFof���gen���us��g�n9�.�C�Ho��rw�can�w�e�param�et��Ee��r�2"ize�divi�)�sor�[s�of�d���egree�0�on��C�ܞ�?�C�Th�e�fo�ޔllo�win��9g�d���enit�ion�����iFgiv��re�S�s��a�not�ion�of�a�f�)�amily�of�divi�sor�[s�of�d���egree�0.�����؉#73����J�'���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Denit��ion��53.1.���T�	�If���T���i�)�s�an��ry�s��xc�h�em�e,��8a��family�)�of�divisor�classes�on��C�!�of�de��ffgr�e�e�)�0���param�et-������iFe��r�2"ize�S�d��b��ry��T��n�i�)�s�an�elem�en��t�of������u�bPi��Jc�����0����%��(�C��F�����T�N8=T��ƹ)�UR:=��Pi��Jc�����0�����(�C������T��ƹ)�=p����������Pi��Jc�����0����I�T�����iF�wh��re��re���p�UR�:��C��F�����T���!��T��n�i�)�s�pro��ject��rion.��������iF�Denit��ion��53.2.���T�	�If�#M�M��i�)�s�an�in��rv�e��rt�ib�ޔle�#Msh�e�!laf�on��C������9�T���t���h�en�t���h�e��b��ffer�gF�M�����t����of��M��at��t��i�)�s�t���h��re�����iFpull��rbac�k��of��M��b��ry�t���h�e�m���ap��C�����t����!�UR�C��F�����T��ƹ.�8�Th�e�diagram�i�)�s��.:Z�����N-����R+�C�����t�����������������������������������UO!����������C��F�����T���Kl�������������3,���O�?��38���O?�����Oy�����������������������3,��0�?��38��0�?����0�y���������Ǎ�0��p�����������g��Sp�)�ec���M��(�t�)����������������������������������UO!�������6�T������.������iF�Denit��ion��53.3.���T�	�Th��re�h��Jac��ffobian���variety��i�)�s�a�pair�(�J��:;����L�)�wh�e��re��J��f�i�)�s�a�s��xc�h�em�e�o�v�e��r��k���an�d�����iF�L�UR2���Pi��Jc����2�0�����(�C��F�����J�uV=J�r�)��su��rc�h�t���h�a���t�t���h�e�pair�(�J��:;����L�)�repre�S�s�:}en��t��es�t���h�e�fu��9nct�or�������T���7!��UR�Pi��Jc�����0�����(�C��F�����T�N8=T��ƹ)�:�����iF�In���ot���h��re��r�w�ords,�ޢfor�ev�e��ry�f�)�amily��M��on��C�)��/��T�O��t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�a�u��9nique��'����:��T�CP�!��J��H�su�c�h���t���h�a���t�����iF�M�UR�=���'����2�0����
���^����L�.��$�?�����"��������C��F�����T�������h����!�'���-:�0���J�������������������������������UO!���������C��F�����J���Kl�������������3,������?��38�����?�������y�����������������������3,����(?��38����(?������(y���������������������T�������h����'��J�������������������������������UO!����������J������7M�����iF�53.1�� ��Cons�O%equence�qs�L�of�exi�8�s�Ot��Gence��@����iF�53.1.1��$iFGroup��s�	�tru��ct�ure�����iF�J��i�)�s��a��2u��9t�om���a���t��ri��Jcally�an�a�b�)�elian�group�s��xc�h�em�e.�8�In�part�i��Jcular,����������UR�:��J�������J�q��!��J�����iF�i�)�s��a�morphi�sm.��������iF�Example�3553.4.���CD�Wh��ren���g�Ë�=�UR1�w�e�obt�ain�a�group�s�[tru�ct�ure�on�t���h�e�ellipt�i��Jc�curv�e��C�ܞ�.����	:Let����L��b�)�e�an��ry�divi�sor�clas�!ls�of�d���egree�1.��By�Riem���ann-Ro�S�c��rh��h����2�0����(�L�)�UR=�1��+�1����1�UR=�1���so�t���h�e��re�����iFi�)�s�_"som��re��s��whi��Jc�h�spans��H���V���2�0���Z�(�L�).�
^Thi�)�s�m�e�!lans�t���h�a���t�t���h�e��re�i�)�s�exact���ly�on�e�eect�iv�e�divi�)�sor�of�d���egree�����iF1���corre�S�sp�on��rdin��9g�t�o��L�,���n���am��rely�a�p�S�oin��t.�{�Th���us�for�an�y�su�c�h��L��of�d���egree�1�t���h�e��re�i�)�s�a�u��9nique�����iFp�S�oin��t���P���2�UR�C��F�su��rc�h�t���h�a���t��L�����P���UR���԰���n:�=��������L�(�P��ƹ).����	:Fix�� a�p�S�oin��t��P�����0��	^��2����C�ܞ�.�}ICons�)�id���e��r�t���h��re�m���ap��C�
���.a�C�{?�!��C����d���en��re�S�d�as�fo�ޔllo�ws.�}ISen�d�t���h�e�pair�����iF�h�P�S�;���Q�i�꨹t��9o�t���h��re�p�oin��t��R��corre�sp�on��rdin��9g�t�o�t���h��re�d���egree�1�divi�)�sor��������L�(�P�Ln�+����Q����P�����0����)�����P���UR����԰���n:�=��������L�(�R�J�)�:�����iF�Th��re���m���ap��h�P�S�;���Q�i�UR7!��R���d���en�e�S�s���a�group�s�[tru�ct�ure�on��C�ܞ�.�'>It�i�)�s��not��ob�vious�t���h�a���t�t���hi�)�s�rule�giv�e�S�s�a�����iFmorphi�)�sm���C��F�����C�1��!�UR�C�ܞ�.�8�[[W��Ve�h��ra�v�e��only�d���en��re�S�d�a�m���ap�on�clo�!ls�:}e�d�p�oin��t��es.�8�Hmm.]]�����؉#74����K�����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�53.1.2��$iFNa���t��ural��bra�t�ion,��dim�ens�0ion��@���iF�Fix���d�UR>��0.�8�Pi��Jc��rk�a�bas�:}ep�S�oin��t��P�����0��V�2��C�ܞ�.�8�Cons�)�id���e��r�t���h��re�pro�S�d�u�ct��ߴ���2W�C��ܞ����d��	��=�UR�C��F�����������UN����C�5�:�����iF�It��es��clo�!ls�:}e�S�d�p�oin��t��es�are�(�P�����1����;����:�:�:��ʚ;���P�����d��ߨ�)�wit���h��P�����i���,�2�UR�C�ܞ�.��?������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��53.5.���^�O�Ther��ffe�35exists�a�natur�al�morphism��C��ܞ���2�d��	��!�UR�J�r�.�fiOn�close�d�p�oints�it�is��"vx������(�P�����1����;����:�:�:��ʚ;���P�����d��ߨ�)�UR�7!�������	�*�d��������X���
㇍�S�i�=1������P�����i��������dP�����0���:��#_u�����iF�Pr��ffo�of.���2��T��Vo�giv��re�a�morphi�)�sm��C��ܞ���2�d��	��!�UR�J�;��i�s�equiv��X�alen��t�t��9o�givin�g�an�ap��rpro�pr�2"ia���t��Ee�f�)�amily�on��C��l��
��T�N8=T������iF�wh��re��re���T���=�UR�C��ܞ���2�d���F�.�8�Let����q�:�D���=�UR�f�(�R�J;���P�����1����;��:�:�:��ʚ;�P�����d��ߨ�)�:��R���i�)�s��on��re�of�t���h�e��F��P�����i��d��g�:���ߍ��iF�Since��p�D�*��i�)�s�t���h��re�su��9m�of�pull�bac�ks�of�v��X�ar�2"ious�diagon���als�it�d���en�e�S�s�a�divi�)�sor�of�d���egree��d�.��9Let�����iF�p�UR�:��C��F�����T���!��C��F�b�)�e��pro��ject��rion�on��t��9o��C�ܞ�.�8�Let��ߴ������M�UR�=��L�(�D�S��)������d�(�p���������L�(�P�����0���))�:�����iF�[[Proba��rb�ޔly�mif�som�eon�e�t���hinks�a�b�S�ou��9t�it�for�awhile�sh�e�s�:}ee�S�s�t���h�a���t��M��giv�e�S�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d�mf�amily��V.]]������iFCh��rec�k��t���h�a���t��M�UR�=��'����2�����L��wh��re��re��'��i�)�s�t���h�e�m���ap�w�e�w�an��t�on�clo�!ls�:}e�S�d�p�oin��t��es.���n���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����ꍑ	:Th��re��Kr�[s�t�in��t��Ee��re�S�s�t��rin��9g�cas�:}e�t�o�cons�)�id���e��r�i�s�wh��ren��d�UR>��2�g�����?��2.�'lTh��ren�t���h�e�b�)�e��r�of�a�p�S�oin��t��j�%�2�UR�J�����iF�of��t���h��re�m���ap��S����fd����V��C��ܞ���2�d���������i�#������ڛ��J�����!����iF�i�)�s����LT�C������ܞ�d���ڍj���	��=�UR�f�(�P�����1����;����:�:�:��ʚ;���P�����d��ߨ�)�:�������X�������P�����i��������dP�����0��V�=��j���{�in���J���s�g��=��j�j�W{�+��dP�����0����j�:��Nҍ��iF�By��Riem���ann-Ro�S�c��rh�t���h�e�s�)�ize�of�a�b�e��r�i�s�t���h�us��ߴ���|[Edim�����j�j�W{�+����dP�����0����j�UR�=��d��+�1����g�����1�=��d����g�n9:�����iF�Let��/�C��ܞ���2�(�d�)���b��ry��C��ܞ���2�d��
iu�mo�S�d�ulo�t���h�e�act�ion�of��S�����d��ߨ�.��uTh�en��C��ܞ���2�(�d�)���i�)�s�of�dim�ens�)�ion��d��an�d�t���h�e�a�b�S�o�v�e�m���ap������iFf�)�act��9or�[s��as�a�surject��rion��C��ܞ���2�(�d�)����!�UR�J��wit���h�b�e��r�[s�of�dim��rens�ion��d������g�n9�.�8�Th���us���J��h��ras�dim�ens�)�ion��g�n9�.����	:A��s�:}econ��rd��?in��t��Ee��re�S�s�[t�in��9g�sp�)�ecial�cas�:}e�i�s�wh��ren��d�p�=��g�n9�.�,�If��P�����1����+���������8&�+��P�����g��	f=�i�)�s�c��rh���o�!ls�:}en�sucien��t���ly�����iFgen��re��rally��+t���h�en��j�P�����1��.p�+��nl��������ֹ+�nl�P�����g�����j�UR�=��f�P�����1���+��nl��������ֹ+�nl�P�����g�����g�.�/T��Vo��+s�:}ee�t���hi�)�s�c��rh���o�S�o�!ls�e�e�!lac��rh��P�����i��2�so�t���h�a���t�it�i�)�s�not�����iFa��bas�:}ep�S�oin��t�of��j�K��F�����P�����1��j����������UN��P�����i��1��AV�j�.�8�Th��ren���`�(�K����P�����1��j����������UN��P�����g�����)�UR=�0��so�b��ry�Riem���ann-Ro�S�c�h��ߴ��L�_�`�(�P�����1��j��+�����������UN�+����P�����g�����)�UR=��g��+�1����g��+��`�(�K��F���P�����1��j����������UN��P�����g�����)�UR=�1�:�����iF�Thi�)�s���m��re�!lans�t���h�a���t�t���h�e�gen�e��ral�b�)�e�r�of��C��ܞ���2�(�g�I{�)���f�!�UR�J��D�h��ras�d���egree�1.�%�Th���us�it�i�)�s�a�bira���t�ion���al�m�ap,��cbu��9t������iFit��i�)�s�not�n��rece�S�s�!lsar�2"ily�an�i�somorphi�sm�s�ince�t���h��re��re�can�exi�s�[t�sp�ecial�divi�sor�[s�of�d���egree��g�n9�.����	:Let�yM�U��1�b�)�e�t���h��re�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�of�nonsp�ecial�divi�sor�[s�on��J�r�.�Thi�s�m���ap�hin��t��es�a���t�t���h��re�cons�[tru�ct�ion�����iFof��t���h��re�Jacobian�s�)�ince�it�giv�e�S�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�a�\ge��rm�of�t���h�e�group�law"�or�a�\group�c�h���u��9nk"��ߴ������U�������U��6�!�UR�U������_�h�D�S�;���E���i�UR7!��D��6�+����E�^����g�n9P�����0����:�����iF�Th��re��"n�ext�s�[t��Eep�i�)�s�t��9o�try�t�o�ll�ou�t�t���h��re�group�law�t�o�get�a�group�law�on��J�r�.��NThi�)�s�i�s�W��Ve�S�il's������iFm��ret���h���o�S�d.�����؉#75����L�����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�53.1.3��$iFTh��e��Zar�9�i�0ski�t�an��gen��ft�space��@���iF�W��Ve��compu��9t��Ee�t���h��re�Zar�2"i�)�ski�t�an��9gen��t�space�t�o��J��a���t�0.���썍���iF�Denit��ion��53.6.���T�	�Th��re���Zariski�35tangent�sp��ffac�e��t��9o�0�UR�2��J��i�)�s��J�����T�����J�Γ;�0����=�UR(�m�����0����=�m������2���ڍ0����)�����_��*��:����	:�Let��s�"��b�)�e�su��rc�h��st���h�a���t��"����2�2��	!�=�a�0.�BTh�e�elem�en��t��es�of��T�����J�Γ;�0��!�are�in�on�e-t��9o-on�e�corre�S�sp�on��rd���ence�wit���h������iFmorphi�)�sms������,MSp�)�ec�����k�g�[�"�]�UR�!��J��
v���iF�s�:}en��rdin��9g���t���h�e�p�S�oin��t�of��Sp�)�ec�����k�g�[�"�]�t��9o�0�UR�2��J�r�.�6QTh��re�corre�S�sp�on��rdin��9g�m���ap��O�����0��V�!�UR�k�g�[�"�]�s�:}en�ds��m�����0�����t��9o�(�"�).�����iFSince���"����2�2��V�=�UR0�t���hi�)�s�m���ap�f�act��9or�[s�t���hrough��m�����0����=�m����2��2��RA�0������givin�g�an�elem��ren��t�of��T�����J�Γ;�0�����.����	:No��rw��rewr�2"it��Ee��T�����J�Γ;�0��zV�as��������T�����J�Γ;�0����=��URHom����۟���0�� �߹(�Sp�)�ec�����k�g�[�"�]�;���J�r�)�����iFwh��re��re���Hom���d1����0��%ݹm�e�!lans��all�h���omomorphi�)�sms�s�:}en��rdin��9g�t���h�e�p�S�oin��t�of��Sp�)�ec���]�k�g�[�"�]�t��9o�0�UR�2��J�r�.����	:Th��re��n�ext�s�[t��Eep�i�)�s�t��9o�us�:}e�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t��J��repre�S�s�:}en��t��es�a�ce��rt�ain�fu��9nct�or.�8�Th��re�p�S�oin��t�i�)�s�t���h�a���t��J���\;�Hom���t� ����0��yu$�(�Sp�)�ec�����k�g�[�"�]�;���J�r�)�UR=��k��re��r��y(�Pi��Jc�����0���*I�(�C��F�����T��ƹ)��!���Pi��Jc�����0�����(�C�ܞ�))�:�����iF�[[Thi�)�s�x{i�s�a�direct�c��rh�ec�k�us�)�in��9g�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�0�UR�2��J�r�,��Qb��ry�repre�S�s�:}en��t�a�bilit�y��V,��Qm���us�[t�corre�S�sp�on��rd�t��9o��O�����C�������iF�on���C�ܞ�.]]����	:Th��re��las�[t�s�t��Eep�i�)�s�t��9o�wr�2"it�e�do��rwn�som�e�exact�s�:}equence�S�s.��'�̍���iF�54����Fla���tn��zse���s�5js��b#���iF�[[Th��re�!orals�are�in�959�1-3pm�on�Mon�d��9ay�an�d�W��Ve�S�dn�e�sd��9ay��V.��JMon�d�ay�!Jano�!ls,�YWilliam,�t���h�en�����iFNghi��t��ralk.�8�W��Ve�S�dn�e�sd��9ay��W��Vayn�e,�Amo�S�d,�t���h�en�Ma���t��2t�t�alk.]]����	:Th��re��ou��9t���lin�e�for�t���hi�)�s�lect�ure�i�)�s���썍���Ů1.�����2t��Eec��rhni��Jcal��d���enit�ion���N�����Ů2.�����2s�)�ignicance�������Ů3.�����2pro��rp�)�e��rt�ie�S�s�������Ů4.�����2examp�ޔle�S�s��"w!����iF�54.1�� ��T����ec���hni��ccal�L�d��(enit�ions��@���iF�Let���A��b�)�e�a�comm���u��9t��ra���t�iv�e��r�2"in�g�wit���h�id���en��t��rit�y��V.�������iF�Denit��ion��54.1.���T�	�An���A�-mo�S�d��rule�i�)�s��
at��if�t���h�e�fu��9nct�or���M���
�����A��	�����i�)�s�exact.����	:F��Vor���M���
�����t��9o�b�)�e�exact�m��re�!lans�t���h�a���t�wh�en�ev�e��r��J���@!0�UR�!��N��@����0��do�!��N��6�!��N���@����0�������0���	���!��0�����iFi�)�s��an�exact�s�:}equence�of��A�-mo�S�d��rule�s��t���h�en����vQ�0�UR�!��M���
����N��@����0��do�!��M��
����N��6�!��M��
����N���@����0�������0���	���!��0�����iFi�)�s���exact.�n}Not��Ee�t���h��ra���t��M����
�����i�s�r�2"igh��rt�exact�ev�en�if��M�=k�i�)�s�not�
a���t.�n}Th�e�salien��t�pro�p�)�e��rt�y�of�a�
a���t������iFmo�S�d��rule��i�)�s�t���h�a���t�it�pre�S�s�:}e��rv�e�s��inject�ivit�y��V.�����؉#76����M�6���э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�54.1.1��$iFGen��e�fral��nons�C4ens�e��@���iF�If�V��A��i�)�s�No�et���h��re��r�2"ian�t�h��ren��M���i�)�s�
a���t�if�t�h��re�fu��9nct�or�V��M����
�}
��pre�S�s�:}e��rv�e�s�V�t���h�e�exactn�e�S�s�!ls�of�an�y�s�:}equence������iFof�F�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d��A�-mo�d��rule�s.�	M�Ev�en�F�b�)�et��2t��Ee��r,���M���i�s�
a���t�if�for�an��ry�id���e�!lal��I������=�A��t���h�e�m���ap�����iF�M���
����I�F��!�UR�M��
��A�꨹i�)�s�inject��riv�e.���������iF�Denit��ion��54.2.���T�	�Sup��rp�S�o�!ls�:}e����A�t��!��B�.��i�)�s�a�morphi�sm�of�r�2"in��9gs.�3�Th��ren��B�.��i�s��
at�Άover��A��if��B�.��i�)�s�����iF
a���t��as�an��A�-mo�S�d��rule.��"������iF�54.2�� ��Examp���le�qs�������iF�Example�3554.3.���CD�Sup��rp�S�o�!ls�:}e����A��i�)�s�a�r�2"in��9g�an�d��S��Y�a�m���ul��9t�ip�ޔli��Jca���t�iv�e�s�:}et.���Th�en��S���ן��2��1��S�A��i�)�s�a�
a���t��A�-mo�S�d�ule,�����iFi.e.,��t���h��re�fu��9nct�or���M��6�7!�UR�S���ן��2��1��S�M�+��i�)�s�exact.��	΍����iF�Example�3554.4.���CD�If���A��i�)�s�a�No�et���h��re��r�2"ian�lo�S�cal�r�in��9g�t���h��ren�t�h��re�comp�ޔlet�ion����x���D^������A���t��of��A��a���t�it��es�m���axim�al�����iFid���e�!lal��i�)�s�
a���t.�������iF�Example�3554.5.���CD�Th��re�K��rst���example��of�
a���tn�e�S�s�!ls�w�as�in�Se��rre's�GA�GA.�He�calle�S�d�a�
a���t�mo�d��rule�����iFan��\exact�coup�ޔle".�8�Th��re�examp�le�i�)�s��l5��t���A�UR�=��C�[�x�����1����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�]��,���!��C�f�x�����1���;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�g�����x��n��^������A�������iF�in��whi��Jc��rh��C�f�x�����1����;����:�:�:��ʚ;���x�����n���P�g�,�t���h�e�r�2"in��9g�of�con�v�e��rgen��t�p�S�o�w�e��r�s�:}e�r�2"ie�S�s,�i�)�s�
a���t�o��rv�e�r���A�.�����	:A���mo�S�d��rule����B��X�!�UR�C��h�i�)�s�f�ait���hfully�
a���t�if��C�D$�
�����B��	���M��6�=�UR0�imp�ޔlie�S�s��M��=�UR0.�-�Sup��rp�S�o�!ls�:}e��A��!��B��X�!��C�����iF�wit���h�k��C�HJ�
a���t�o��rv�e��r�k��A��an��rd��C��f�)�ait���hfully�
a���t�o��rv�e��r�k��B���.���Th�en��B���i�)�s�
a���t�o�v�e��r��A�.���Thi�)�s�i�s�h���o��rw�Se��rre�����iFpro��rv�e�S�d��t���h�a���t�hi�)�s�mo�S�d�ule�w�as�
a���t.���������iF�Th��eorem��54.6.���N�$�Supp��ffose����A�,��^�m��is�a�lo�c�al�No�etherian�ring�and��M�0��is�a�nitely�gener�ate�d�
at�����iFmo��ffdule.�fiThen�35�M�t�is�fr�e�e.�������iFPr��ffo�of.���2��T��Vak��re���a�minim���al�s�:}et�of�gen�e��ra���t��9or�[s�for��M�@�.�)-Nak��Jay�am���a's�lemm�a�t��Eells�us�h�o��rw�t���hi�)�s�can�b�e�����iFdon��re.�.JTh�e�<vquot�ien��t��M���=�m�M�}Z�i�)�s�a�v�ect��9or�space�o�v�e��r��A=�m��so�it�h�as�a�bas�)�i�s,�P�say����d��z�
G��K��m����������1��C��;����:�:�:��ʚ;������d��z�
G��K�m����G����r���u�.�����iFBy��XNak��Jay��ram���a's�lemm�a�t���h��re�S�s�:}e�gen�e��ra���t��Ee��M�@�.�0�(Th�e�mo�S�d�ule��M���=�(�m�����1����;����:�:�:��ʚ;���m�����r���b�)�i�)�s�s�:}en��t�t��9o�it��es�elf�b��ry�����iF�m�b��s�)�ince�ev��re��ry��x�"�2��M��ܹi�s�b�equiv��X�alen��t�t��9o�an�elem��ren�t�of�(�m�����1����;����:�:�:��ʚ;���m�����r���b�)�p�ޔlus�som��ret���hin��9g�in��m�M�@�.�����iFTh���us����M���=�(�m�����1����;����:�:�:��ʚ;���m�����r���b�)���=�0�:�)�Thi�)�s�giv��re�S�s�a�surject�ion��A����2�r��		�!����M�@�.�T�Let��Q��b�)�e�t���h�e�k�e��r�)�n�el�so�w�e�����iFh��ra�v�e��an�exact�s�:}equence�������0�UR�!��Q��!��A�����r����!��M��6�!��0�:���΍�	:�It��i�)�s�a�gen��re��ral�f�act�t���h��ra���t�if��A��i�s�No�et���h��re��r�2"ian,��M�+��i�s�
a���t,�an��rd��l5���h�0�UR�!��R�n��!��S�)�!��M��6�!��0�����iFi�)�s��exact�t���h��ren�����~j90�UR�!��R����
����N��6�!��S�]�
��N��6�!��M���
��N��6�!��0�����iFi�)�s�exact�for��any��A�-mo�S�d��rule��N�@�.��-Thi�s�i�s�pro��rv�e�S�d�b�y�us�)�in��9g�t���h�e�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�
a�tn��re�S�s�!ls�imp�ޔlie�s�t���h��re�����iFv��X�ani�)�shin��9g��of��T��Vor�����x���*�A�������*�1�����(�M���;�����).����	:Us�)�in��9g��t���h��re�gen�e��ral�f�)�act�t��Eensor�wit���h��k��o�=�UR�A=�m��t��9o�obt�ain�an�exact�s�:}equence��l5����|0�UR�!��Q����
��k��o�!�UR�k��g����r��N��!��M���=�m�M��6�!��0�:�����iF�Since���k��g���2�r�����an��rd��M���=�m�M��c�are��k�g�-v�ect��9or�space�S�s�of�t���h�e�sam�e�dim�ens�)�ion�an�d�t���h�e�m���ap��k��g���2�r��N��!�UR�M���=�m�M������iF�i�)�s��surject��riv�e�it�m���us�[t�also�b�)�e�inject�iv�e.�tFTh���us��Q�,V�
��k���=���0.�tFBu��9t��Q��i�)�s�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d�s�)�ince�����iF�A��7�i�)�s�No�et���h��re��r�2"ian�an�d��Q��i�)�s�a�su���bmo�S�d�ule�of��A����2�r���b�.�D�Th���us�Nak��Jay�am���a's�lemm�a�imp�ޔlie�S�s��Q�~p�=�0��7so�����iF�M�����P����6����԰�����=�����@��A����2�r��}
�i�)�s��f�2"ree.���{����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#77����N괠��э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Th��eorem��54.7.���N�$�Supp��ffose�1�A��is�a�d.v.r.�bwith�maximal�ide�al��m�UR�=�(�t�)�.�bL�et�1�M�r�b�e�any��A�-mo�dule.������iFThen�35the�fol���lowing�ar��ffe�e�quivalent.�����������(i)�����2�M�t�is�35
at,��������^(ii)�����2�M�t�is�35torsion�fr��ffe�e,���R��������(iii)�����2�M����2������t���p����6����!������M�t�is�35inje��ffctive.�������iFPr��ffo�of.���2��(i)�)�(ii)��Since��A��i�)�s�a�dom���ain������r0�UR�!��A����2�����x���p��������!�������A�����iF�i�)�s��exact�for�an��ry��x�UR�2��A�.�8�By��
a���tn�e�S�s�!ls�of��M�����@q�0�UR�!��M����2��� ��x���p����6����!�������M�����iF�i�)�s��exact�so��M�+��i�s�t��9or�[s�ion�f�2"ree.����	:(ii)�)�(iii)��i�)�s�tr�2"ivial����	:(iii)�)�(i)���It�i�)�s�enough�t��9o�c��rh�ec�k���exactn�e�S�s�!ls�for�an�y�id���e�!lal��a��[�=�(�t����2�n���P�)����A�.�I�Wh��ry�i�)�s�t���h�e�m���ap�����iF�M�2��
����a�UR�!��M��
����A��,�an�i�)�somorphi�sm?��Beca��2us�:}e��,u��9n��rd���e��r�t���h�e�n���a���t�ural�id���en��t�ica���t�ion�of�b�S�ot���h�mo�d��rule�s�����iFwit���h���M�2��t�h��re�m���ap�i�)�s�jus�[t�m�ul��9t��rip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��t����2�n��	��whi��Jc�h�i�)�s�inject�iv�e�b�y�as�!lsu��9mpt�ion.�M�Th�e�diagram�����iFi�)�s��������e�M�����P����6����԰�����=�����@��M���
����a������u��!������u��M���
����A�����P���UR����԰���n:�=��������M������������m�UR�7!��m����
��t�����n�������u��7!������u��m����
��t�����n�����7!�UR�t�����n���P�m����������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������iF�Example�3554.8.���CD�If���M�+��i�)�s�a�pro��ject��riv�e���A��mo�S�d��rule�t���h�en��M�+��i�)�s�
a���t.��"ʫ����iF�54.3�� ��Alge��(brai��cc�L�geom���etry�d�enit���ions��@�����iF�Denit��ion��54.9.���T�	�Let�b��F���b�)�e�a�coh��re��ren��t�sh�e�!laf�on��X�Tf�an�d�let��f��Q�:�UR�X�F��!��Y��S�b�)�e�b�a�morphi�sm.��Th��ren�����iF�F�?�i�)�s��.�
at�2�over��Y����if�for�all��x�UR�2��X��,��F�F�����x��	3�i�)�s�a�
a���t��O�����Y�x�;f����(�x�)����-mo�S�d��rule�u��9n�d���e��r�t���h�e�m���ap��O�����Y�x�;f����(�x�)���U�!�URO�����X�&�;x����.�����iFTh��re��morphi�)�sm��f��Q�:�UR�X�F��!��Y���i�s���
at��if��O�����X��1�i�s�
a���t�o��rv�e��r���Y��p�.�����	:[[\Ev��ren��6if��f�G5�i�)�s�nit��Ee,�Y�F�����x��	H�migh�t�not�b�)�e�nit��Ee�o�v�e��r��O�����Y��P��.�v�It�i�)�s�only�nit��Ee�o�v�e��r�t���h�e�s�:}emilo�S�cal�����iFr�2"in��9g."]]��������iF�Example�3554.10.����Wh��1.����fl3An��o��rp�)�en�imm�e��r�[s�)�ion��U��6,���!�UR�X��+�i�s�
a���t�s�ince�t���h��re�lo�S�cal�r�2"in��9gs�are�t�h��re�sam�e.�������Ů2.�����2A��comp�S�o�!ls�)�it��rion�of�
a���t�morphi�sms�i�s�
a���t.�������Ů3.�����2Bas�:}e��ext��Eens�)�ion�pre�S�s�e��rv��re�s��
a���tn�e�s�!ls.�ƮTh���us��if��X�K�!�Y��Y��]�i�)�s�
a���t�an�d��Y���p���2�0��
�.�!�Y��Y��]�t���h�en��X�����2�0��	A�=�����2�X��+������Y��	�e�Y���p���2�0��	UQ�i�)�s��
a���t�o��rv�e��r���Y���p���2�0��j��.�� �������ߍ����]�X�����2�0���=�UR�X��+������Y��	�e�Y���p���2�0���������������㍍������������������UO!������!���X���Kl�������������3,����"�?��38����"?������"y�����������������������3,��#�?��38��#�?����#�y������������������1�Y���p���2�0���������������㍍������������������UO!������"^�Y������(���2�Thi�)�s��i�s�an�exe��rci�s�:}e�in�lo�S�cal�r�2"in��9gs.�������Ů4.�����2Th��re��pro�S�d�u�ct�of�
a���t�morphi�)�sms�i�s�
a���t.�8�[[Wh��ra�t�do�)�e�S�s�t���hi�s�m��re�!lan?]]�����؉#78����O����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�54.4�� ��F����amilie�qs��@���iF�Fla���tn��re�S�s�!ls�+�i�)�s�us�:}e�d�for�expre�s�!ls�)�in��9g�t���h��re�not�ion�of�a�f�)�amily�of�su���b�!ls��xc�h�em�e�S�s.��{F��Vor�examp�ޔle�let��T�͢�b�)�e������iFan��ry�!�s��xc�h�em�e�an�d�let��X������S�P����2��n��b��T���
���b�)�e�a�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s��xc��rh�em�e.�ގTh�en��f�X�����t��E�:��S�t��2��T����g��i�)�s�t���h��re�f�amily��V.�ގHe��re�����iF�X�����t��|r�i�)�s��d���en��re�S�d�b�y�t���h�e�diagram��.h����鴔����xh�X�����t����=�UR�X��+������k����:�Sp�)�ec��!w���(�t�)��������������덍������������������UO!������"���X���Kl�������������3,���0+�?��38���0+?�����0+y�����������������������3,��$�?��38��$�?����$�y������������������H��Sp�)�ec����b��(�t�)��������������덍������������������UO!������#�{�T������.����iF�wh��re��re����(�t�)�i�)�s�t���h�e�re�S�s�)�id�ue�eld�of��t�UR�2��T��ƹ.����	:Thi�)�s��not��rion�of�f�amily�i�s�bad�s�ince�it�allo��rws�for�t���hin��9gs�whi��Jc�h�w�e�do�not�w�an��t.��>������iF�Example�3554.11.���IG�Let�t��T����=�?��A����2�1��	4��an��rd��X�1~���P����2�����1��b���T���
��=��A����2�1��ȉ����P����2�1��	4��b�)�e�t���h��re�u��9nion�of�t�h��re�co�S�ordin���a���t��Ee�axi�)�s.�����iFTh��ren��for�an�y��t�UR�6�=�0,���X�����t��|r�i�)�s�a�p�S�oin��t.�8�Bu��9t��X�����0��V�=�UR�P����2�1����.����	:Hard�S�exp�)�e��r�2"ience�h��ras�le�!lad�t���h�e�o�ޔld�pro�!ls�t��9o�agree�t���h�a���t�t���h�e�not�ion�of�f�)�amily�sh���ould�require�����iFt���h��ra���t��'�X��|�!����T�{�i�)�s�
a�t.�^Thi�)�s�rule�S�s�ou��9t�t���h��re�a�b�S�o�v�e�examp�ޔle�s�)�ince��X��|�!����T�{�i�s�not�
a���t.�^In��rd���ee�S�d,�����iF�X����i�)�s��d���en��re�S�d�on�an�o�p�)�en�an�e�b�y��xt���=�0��so�t���h�e�co�S�ordin���a���t��Ee�r�2"in��9g�i�)�s��M��ʹ=����k�g�[�x;���t�]�=�(�xt�).�z<Th�e�����iFlo�S�caliza���t��rion���of��M�Ӭ�a�t�(�x;���t�)�h��ras�t��9or�[s�)�ion�as�a��k�g�[�t�]�����(�t�)��
.B�-mo�S�d�ule.��Th�e�elem�en��t��x��i�)�s�kille�S�d�b�y��t�.��Since�����iF�k�g�[�t�]�����(�t�)���i�)�s��a�d.v.r.�8�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t��M�+��i�)�s�not�a�
a�t.����	:A�wv��X�ague�}gen��re��raliza���t�ion�i�)�s�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g.��`Sup�p�S�o�!ls�:}e��T��C�i�)�s�a�nons�in��9gular�curv��re�an�d��X�r����K�P����2��n��b��T�����.�����iFTh��ren����X���i�)�s�
a���t�o�v�e��r��T�;G�i��X���h�as�no�as�!lso�S�cia���t��Ee�d���p�oin��t�(i.e.,��7gen��re��r�2"i��Jc�p�oin��t��es�of�em��ekb�)�e�dd���e�d�an��rd�����iFirre�S�d��ru�cib�ޔle�"Ccomp�on�en��t��es)�"Cwh���o�!ls�:}e�im�age�i�)�s�a�clo�!ls�:}e�S�d�p�oin��t�of��T��ƹ.�߰Equiv��X�alen�t���ly�on��re�could�say�����iF\ev��re��ry�_ucomp�S�on�en��t�of��X�P��domin���a���t��Ee�S�s��T��ƹ."�
zIn�our�examp�ޔle�t���h�e��t�-axi�)�s�domin���a���t��Ee�S�s��T�;�bu��9t�t���h�e��x�-axi�)�s�����iFdo�)�e�S�s��not.�������iF�Example�3554.12��(Bad)�.���o׋�Let�i��X�F���UR�P����2��1��b���T���	�i�=��A����2�1��c`���\�P����2�1��)Ĺb�)�e�d���en��re�S�d�b�y�(�x����2�2����;���xt�).�
�Wh�en��t�UR�6�=�0�t���h��re�b�)�e��r�����iFi�)�s���P�����0��V�=��URSp�ec����k�g�[�t�]�s�ince��x��lo�S�calize�s�aw��ray��V.�8�If��t�UR�=�0�t���h��re�b�)�e��r�i�s�giv��ren�b�y�t���h�e�r�2"in��9g��稍�{V+�k�g�[�x;���t�]�=�(�x�����2����;�xt�)����
�����k�6��[�t�]�����k��[�t�]�=�(�t�)�����P���UR����԰���n:�=��������k��[�x�]�=�(�x�����2����)�����iFwhi��Jc��rh��i�)�s��P�����0�����wit���h�m�ul��9t��rip�ޔli��Jcit�y��2�s�[tru��rct�ure.�������iF�Example�3554.13��(Go��O\o�d)�.���vTH�Let�(�X��e�����P����2��1��b���T���
�.�b�)�e�d���en��re�S�d�b�y��x�(�x��{���t�).��,Th�en�(for��t���=��a��6�=�0�(t���h�e�b�)�e��r������iFi�)�s���P�����0��j��+����P�����a��Ϲ.�8�Wh��ren��t�UR�=�0��t���h�e�b�)�e��r�i�s�2�P�����0����.�8�Thi�s�i�s�go�S�o�d.���l�����iF�Th��eorem��54.14.���U�$�Supp��ffose�b��T�p�is�a�c�onne�cte�d�scheme.� �[[Must�ther�e�b�e�a�niteness�assumption�����iFon���T����?]]�bIf��X�x��is�
at�over��T�(��then�the�Hilb��ffert�p�olynomials��P�����X���t���
�'�(�z���)���2��Q�[�z��]���ar��ffe�indep�endent�of�����iF�t�.�fiIf�35�T����is�inte��ffgr�al�35then�the�c��ffonverse�is�also�true.�������iFPr��ffo�of.���2��Recall��t���h��ra���t�for�an�y�s��xc�h�em�e��Y��p�,��稍�~թ�P�����Y��P��(�m�)�UR=��h�����0����(�O�����Y���(�m�))����for��all��m�UR���0��P���:�����iF�W��Ve���jus�[t�n��ree�S�d�t��9o�sh���o�w��h����2�0����(�O�����X���t���
�'�(�m�))�i�)�s�in�d���ep�)�en�d�en��t���of��t��for�all��m��sucien�t���ly�large.�%rSince��T������iF�i�)�s��conn��rect��Ee�S�d�w�e�re�S�d�u�ce�t��9o�t���h�e�cas�:}e��T�b޹i�)�s�an�e.��0F��Vurt���h�e��rmore�w�e�m���ay�as�!lsu��9m�e��T�d�=���RSp�)�ec��l�A�,�����iFwit���h��v�A;����m��a�lo�S�cal�No�)�et�h��re��r�2"ian�r�in��9g.�z[[\Can�get�f�rom�an��ry�lo�S�cal�r�in��9g�t�o�an��ry�ot���h�e��r�b�y�su�cce�S�s�!ls�)�iv�e�����iFsp�)�ecializa���t��rions��Yan�d�gen�e��raliza���t�ions.�
��Also�us�:}e�t���h�e�f�)�act�t���h�a���t�
a�tn��re�S�s�!ls�i�)�s�pre�s�:}e��rv��re�d�b��ry�bas�:}e�����iFext��Eens�)�ion."]]�����iF�Claims.�������Ů�1.�����2F��Vor�$�all��m�����0,�3%�H���V���2�i��R0�(�O�����X����(�m�))�=�0�$�for��i��>��0�$�an��rd��H���V���2�0���Z�(�O�����X���(�m�))�i�)�s�a�f�2"ree�nit��Eely�gen��re��ra���t�e�S�d�����2�A�-mo�S�d��rule.�����؉#79����Pi���э����Ơ�
:���B�ƍ����Ů�2.�����2F��Vor��all�p�S�oin��t��es��t�UR�2��T��n�an��rd��all��m�UR���0,���������H���V����0���Z�(�O�����X���t���
�'�(�m�))�UR=��H���V����0���(�O�����X����(�m�))����
�����A��	����(�t�)�:���Ǎ��iF�T��Voget���h��re��r��t�h�e�S�s�:}e��t�w�o�claims�imp�ޔly�t���h�e�t���h�eorem.���⃝��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����'�_����iF�55����Th��zseorem�B�a�b���ou��9t�
a���t�f�B�amilie�s��b#�����iF�Th��eorem��55.1.���N�$�L��ffet����X�F���UR�P����2��n��b��T���
5��b�e�a�close�d�subscheme�wher�e��T�6h�is�a�c�onne�cte�d�scheme�of�nite������iFtyp��ffe���over��k�g�.�@�If��X��s�is�
at�over��T����,�ؗthen�the�Hilb�ert�p�olynomial��P�����X���t�����is�indep�endent�of��t�UR�2��T�c��(al���l�����iFscheme��zp��ffoints�{�not�just�close�d�p�oints!).�O+Conversely,��lif��T��@�is�inte�gr�al�and��P�����X���t���ǡ�is�indep�endent�����iFof�35�t��then��X�$��is�
at�over��T����.���������iFPr��ffo�of.���2��See��Ch��rapt��Ee��r�I�S�I�I,��s�:}ect�ion�9�of�Hart��esh���or�)�n�e.����;��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������iF�56����Examp�ʕle���s�B�of�Fla���t�F��o[amilie�s��b#�����iF�Example�3556.1��(Two�ߔlines)�.�����i�Cons�)�id���e��r��t���h��re�param�et��Ee��r�2"ize�S�d�f�)�amily�of�curv�e�S�s�d���en�e�S�d�as�fo�ޔllo�ws.�����iFF��Vor��e�!lac��rh��t���2��T�#ڹ=��Sp�)�ec��+��k�g�[�t�]��as�so�S�cia���t��Ee�t���h��re�u��9nion�of�t�h��re��x�-axi�)�s�an�d�a�lin�e�parallel�t��9o�t���h�e��y�n9�-axi�)�s�����iFwhi��Jc��rh�rzin��t��Ee��r�[s�:}ect��es�t���h�e��z���-axi�)�s�a���t��z��5�=�UR�t�.��Th���us�for��t��6�=�0�t���h��re�b�)�e��r��X�����t��D�cons�i�s�[t��es�of�t���h��re�di�sjoin��t�u��9nion�����iFof��t��rw�o�lin�e�S�s.�8�F��Vor��t�UR�=�0�t���h��re�b�)�e��r�cons�i�s�[t��es�of�t��rw�o�lin�e�S�s�m�eet�in��9g�a���t�t���h�e�or�2"igin.����	:A��coh���omo�ޔlogi��Jcal�compu��9t��ra���t�ion��sh�o�ws��t���h�a���t�t���h�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomials�are��#v
��{��H�����X���t���
�'�(�z���)�UR=�����z��(����ǭ���
�2�z�����2�2���+���1����(��1)�;����g��for���t��6�=�0����fa���
2�z�����2�2���+���1�;����g��for���t��=�0�������$�[��	:Wh��ra���t��i�)�s�wron��9g?�8�Let��C��ܞ���2�0����b�e�t���h��re�su�b�!ls��xc��rh�em�e��of��P����2��3��b���T�.:��0���h;�d���en��re�S�d�b�y�t���h�e�id���e�!lal������T)��I�����C���������0���
&��=�UR(�y�n9;���z���)����\��(�x;�z�3����t�)�UR=�(�xy�n9;�xz���;�y�z�3������ty�w�R�;�z�������2��������tz���w��)�:�����iF�(Th��re�U]in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of�t���h�e�t�w�o�id���e�!lals�i�)�s�t���h�e�pro�S�d�u�ct�of�t���h�e�giv�en�gen�e��ra���t��9or�[s�s�)�ince�t���h�ey�form�a������iFregular���s�:}equence.)�:Since�t���h��re�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�of��C��ܞ���2�0��@��i�s�cons�[t��ran��t�o�v�e��r�t���h�e�b�)�e��r�[s�w�e�kno�w�����iFt���h��ra���t���C��ܞ���2�0����i�)�s�
a�t�o��rv�e��r���T�Ln�����0.�8�W��Ve�h��ra�v�e��t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion.���������iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��56.2.���^�O�L��ffet��
�T���=��URSp�)�ec����k�g�[�t�]��and�let��X�F���UR�P����2��n��b��T�.:��0���5��b�e�a�close�d�subscheme�which�is�
at�����iFover����T����	F�0�.��Then�ther��ffe�is�a�unique�close�d�subscheme����\-�z�
��	�Ӎ�X���d��,���
at�over��T����,�whose�r��ffestriction�to�����iF�P����2��n��b��T�.:��0������is�35�X���.�fiF���urthermor��ffe����\-�z�
��	�Ӎ�X���Y�is�the�scheme-the�or�etic�closur�e�of��X���.�������iFPr��ffo�of.���2��See��Ch��rapt��Ee��r�I�S�I�I,��Sect�ion�9�of�Hart��esh���or�)�n�e.����a��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����@2���iFIn��our�s�)�it��rua���t�ion��a�n���a�t��rural�gue�S�s�!ls�for����\-�z�
��	�Ӎ�X����?�i�)�s�t���h�e�clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s��xc��rh�em�e���C��F�d���en�e�S�d�b�y�t���h�e�id���e�!lal������lә(�xy�n9;���xz���;�y�z�3������ty�w�R�;�z�������2��������tz���w��)�UR���k�g�[�t�][�x;���y�n9;�z���;�w��]�:�����iF�As��ua�b�S�on���us,��if�w��re�can�sh���o�w��C���i�)�s�
a���t�o�v�e��r��T�K;�t���h�en�w�e�will�kno�w�t���h�a���t�it�i�)�s�t���h�e�s��xc�h�em�e-t���h�eoret�i��Jc������iFclo�!lsure��of��C��ܞ���2�0���׹.����	:T��Vo��t��Ee�S�s�[t�if��C��A�i�)�s�
a���t�i�s�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�t���h�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomials�are�cons�[t�an��t�o�v�e��r�t���h�e�����iFb�)�e��r�[s.�*�W��Ve��xkno��rw�t���hi�s�wh��ren��t�UR�6�=�0��xso�w�e�n�ee�S�d�only�c�h�ec�k�t���h�a���t�t���h�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�a���t��t�UR�=�0�����iFi�)�s��2�z������2�2���+���2.�8�A��rt��t�UR�=�0��t���h�e�d���enin��9g�id�e�!lal�b�)�ecom��re�S�s������rpz(�xy�n9;���xz���;�y�z���;�z������2��H�)�UR=�(�x;���z��)����\��(�y�n9;���z��)��\��(�x;���y�n9;�z��)�����2����:�����؉#�80����Q!����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Thi�)�s��lo�S�oks�lik��re�t���h�e�u��9nion�of�t���h�e��x��an�d��y��޹wit���h�an�em��ekb�)�e�S�dd���e�d��p�oin��t�a���t�t���h��re�or�2"igin.��Th�e�ar�2"it���hm�et�i��Jc������iFgen���us��of�t�h��re�d���egree��d�UR�=�2��p�ޔlan�e�curv�e�d���en�e�S�d�b�y�(�z���;���xy�n9�)�i�)�s���΍��I��p�����a��Y!�=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)�UR=�0�������iFso��-it�h��ras�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�2�z�0��+���1.�8bTh�e��i�t���h�grad���e�S�d�piece�of��k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�xy�;�xz���;�y�z���;�z�����2�2��H�)��-h��ras�����iFdim��rens�)�ion�|�on�e�more�t���h�an�t���h�e�dim�ens�)�ion�of�t���h�e��i�t���h�grad���e�S�d�piece�of��k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�z�;�xy�n9�).��b(In�����iFd���egree�mY�i��t���h��re�r�[s�t�mYr�2"in��9g�h�as��w��R����2�i��1����z��<�wh�e��re�!las�t���h�e�la���t��2t��Ee��r�do�)�e�S�s�not.)�Th�e�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�i�s�t���h��ren��K؍��L��P�����C��q�0���
���(�z���)�UR=�(2�z�3��+���1)�+�1�UR=�2�z��+���2�:�����iF�Th���us�"$�P�����C���t���	�R�(�z���)���=�2�z�YR�+��o2�for�all��t��so�b��ry�t���h�e�big�t���h�eorem�f�2"rom�t���h�e�las�[t�lect�ure��C��a�����P����2��3��b���T���
�;�i�)�s�a�
a���t������iFf�)�amily��V.����	:Not��Ee��it���h��ra���t�al��9t�h���ough�t�h��re�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomial�i�s�cons�[t��ran��t�alon��9g�t���h�e�b�)�e��r�[s�t���h�e�coh���omo�ޔlogy�of�����iF�C�����0��B0�i�)�s��,die��ren��t�t���h��ran�t�h��ra���t�of�t�h��re�ot�h��re��r�b�)�e�r�[s.�Thi�s��,f�amily�can�sort�of�b�e�t���h���ough��rt�of�as�2�p�ޔlan�e�S�s�����iFm��reet�in��9g��a���t�a�p�S�oin��t�in�4-dim��rens�)�ion���al�space.���@���2\Thi�)�s���i�s�an�examp�ޔle�of�t���h��re�geni���us�of�Grot�h��ren�diec�k.�(�Th�e�It�alians�kn�ew�t���h�a���t�wh�en�����2t��rw�o���p�ޔlan�e�S�s�cam�e�t��9oget���h�e��r�t���h�e�gen���us�c�h�an��9ge�S�d�bu�t�t���h��rey�w�e��re�not�a�b�ޔle�t��9o�d���e�!lal�wit���h�����2it��lik��re�Grot���h�en�diec�k�did."�������iF�Example�3556.3��(The�ߔTwiste��O\d�Cubic)�.�������Thi�)�s��i�s�t���h��re�las�[t�examp�ޔle�of�t�h��re�cour�[s�:}e.���Som�e�say�t���hi�)�s�����iFi�)�s���t���h��re�only�examp�ޔle�in�alge���brai��Jc�geom�etry��V.�,�Let��T���=��URSp�)�ec����k�g�[�t�].�Th��re�b�)�e��r�o�v�e��r�1�in�our�f�)�amily�����iFwill��b�)�e��C�����1��V��UR�P����2��3��y���k���	:�d���en��re�S�d�b�y��K؍��^��I�����C��q�1���۹=�UR(�xy�������z���w�R�;���x�����2��j����y�n9w�;���y������2���������xz���)�:�����iF�Ho��rw���can��C�����1��
h��giv�e�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�a�f�amily?�
sOn��re�w�ay�i�)�s�t��9o�as�!ls�ign�w��re�S�igh�t��es���t��9o�t���h��re�v��X�ar�2"ia�b�ޔle�S�s�t���h�en������iFh���omogenize��wit���h�re�S�sp�)�ect�t��9o�a�n��rew�v��X�ar�2"ia�b�ޔle��t�.�8�As�!ls�)�ign�w�e�S�igh�t��es�as�in�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�t�a�b�ޔle.���\������M��LΉffo��
&c����ͤY���ff��͟��dv��X�ar�2"ia��rb�ޔle����ff���9�b�x��͟Y���ff���L��y�;�Y���ff���^��z�U��Y���ff���p��w�w�Y���ff�����ffo������ͤY���ff��͟��d�w��re�S�igh�t�
���ff���:I
8�3x�Y���ff���L�&4��?�Y���ff���^ǰ2���Y���ff���r#91�9>�Y���ff����ffo��������iFIn��tro�S�d��ru�cin��9g��a�n��rew�v��X�ar�2"ia�b�ޔle��t��of�w�e�S�igh�t�1�an�d�h���omogenizin��9g�w�e�obt�ain�t���h�e�id���e�!lal��K؍�RF�I�Fչ=�UR(�xy�������t�����9����z���w�R�;���x�����2��j����t�����11��	�y�n9w�;���xz�3����t�����2����y��n9����2��.=�)�UR���k�g�[�t�][�x;�y�n9;�z���;�w�R��]�:�����iF�Thi�)�s��9id���e�!lal�d�en��re�S�s�a�clo�!ls�:}e�d�su���b�!ls��xc��rh�em�e��9�C��׹of��P����2��3��b���T���~P�s�)�ince��I�μ�i�s�h���omogen��reous�as�an�id���e�!lal�in�t���h�e�����iFp�S�o�ޔlynomial��r�2"in��9g��k�g�[�t�][�x;���y�n9;�z���;�w�R��].����	:Is���C��F�a�
a���t�f�)�amily?�8�Wh��ren��t�UR�6�=�0,���C�����t��|r�i�s�a�curv��re.�8�Bu��9t��C�����0�����i�s�d���en��re�S�d�b�y�t���h�e�id���e�!lal������(�xy�n9;���x�����2����;�xz���)�UR=�(�x�)����\��(�x;���y�;�z���)�����2������iF�so��xit�i�)�s�t���h��re�en��t�ire��y�n9�{�z�([�p�ޔlan�e�p�ޔlus�an�em��ekb�)�e�S�dd���e�d��xp�oin��t.��Thi�s��xi�s�w��ray�t��9o�S�o�large�so��C�|�i�s�not�a�
a���t�����iFf�)�amily��V.�8�Th��re��re��m���us�[t�b�e�som��re�t��9or�[s�ion.�8�In��rd���ee�S�d,��������xy�n9z�3������t�����9����z�������2��H��w�R�;���xy�z������t�����2����y������3�����2�UR�I�����iF�so�������t�����2����(�y��n9����3���������t�����7���z�������2��H��w�R��)�UR=��t�����2����y��n9����3�������t�����9���z�������2��H��w����2�UR�I��:��8���iF�Th���us����y��n9���2�3������c��t����2�7����z������2�2��H��w���i�)�s�a�t��9or�[s�ion�elem��ren��t�of��k�g�[�t�][�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=I��^�o�v�e��r����k�g�[�t�].�-FSo�no�w�add��y��n9���2�3������c��t����2�7����z������2�2��H��w���t��9o�����iF�I��.�8�Let���C��ܞ���2�0����b�)�e�t���h��re�clo�!ls�:}e�S�d�su�b�!ls��xc��rh�em�e��d���en�e�S�d�b�y�t���h�e�id���e�!lal����^���I������0���=�UR(�y��n9����3���������t�����7����z�������2��H��w�R�;���xz�3����t�����2���y��n9����2��.=�;���x�����2��j����t������0���N9���0���r�y�n9w�R�;�xy�����t�����9����z���w�R��)�:�����؉#�81����R5T���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Wh��ren���t�UR�=�0�t���h��re�b�)�e��r��C����2��ܞ�0��RA��0������i�s�d���en��re�S�d�b�y�����mo�(�xy�n9;���x�����2����;�xz���;�y������3��.=�)�UR=�(�x;���y������3��.=�)����\��(�x�����2����;���xy�;�xz���;�z������2��H��;�y��n9����3��.=�)�:�����iF�On��re�kcan�sh���o�w��C����2��ܞ�0��RA��0���	+�i�)�s�of�d���egree�3�an�d�h�as�ar�2"it���hm�et�i��Jc�gen���us�0.���Th�us��C��ܞ���2�0��ٹi�)�s�a�
a���t�f�amily��V.���Th��re������iFbas�)�i�s��w��re�h�a�v�e�giv�en�for��I�����2�0���d�i�)�s�calle�S�d�a��Gr����obner�35b��ffasis�.�����	:[[A��rt���t���hi�)�s�p�S�oin��t�t�h��re�clas�!ls�cam�e�t��9o�an�en�d.�u�Ev�e��ry�on�e�clap�p�)�e�S�d,��t���h�en�clap�p�)�e�S�d�som�e�more.�u�It�����iFi�)�s��cle�!lar�t���h��ra���t�w�e�re�!lally�ap�precia���t��Ee�S�d�Hart��esh���or�)�n�e.�8�He�did�a�gre�!la���t�job.]]��(V����iF�57����Hom��zsew�or���k�B�prob�ʕlems��b#���iF�I��edid���not�t��ryp�)�e�up�so�ޔlu��9t�ions�t��9o�t���h�e�r�[s�t���h���om�ew�or��ek�s�:}et.�c�I��edid�t�yp�)�e�of�so�ޔlu��9t�ions�t��9o�t���h�e�ot���h�e��r�����iFh���om��rew�or��ek��s�:}et�s.��"ʫ����iF�57.1�� ��Exe��rci�8�s�O%e�L�on�bas�i��cc�coh���omo���logy�an���d�a�b�-9s�Otract�nons�O%ens�e��@�����iF�Exer��ffcise�3557.1.���A�{�F��Vor���e�!lac��rh�of�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�ca���t��Eegor�2"ie�S�s,���d���ecid�e���wh�et���h�e��r�t���h�e�ca���t��Eegory�h�as�enough�����iFpro��ject��riv�e��ob�ject��es�(i.e.�8�ev��re��ry�ob�ject�i�)�s�a�quot��rien��t�of�a�pro�ject��riv�e��ob�ject).����	:a)�����A��@b����o�(�X��),��wh��re��re��X��+�i�)�s�a�t��9o�p�S�o�ޔlogi��Jcal�space,����	:b)�����Mo�`d���X�(�X��),��wh��re��re�(�X�Jg;����O�����X����)�i�)�s�a�r�2"in��9ge�S�d�space,����	:c)�����Qco����5�(�X��),��wh��re��re��X��+�i�)�s�a�No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e,����	:d)�����Qco����5�(�X��),��wh��re��re��X��+�i�)�s�a�No�et���h��re��r�2"ian�an�e�s��xc�h�em�e.�������iF�Exer��ffcise�3557.2.���A�{�Let�^��X�h�=���P����2��1��y���k���#��,�{�o��rv�e��r�an�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�eld��k�g�.��Us�)�in��9g�only�m���a���t��Ee�r�2"ial�f�rom�����iFChI�S�I�I,����x��	?��1,2��(e�sp.�8�Exe��rci�)�s�:}e�2.2)�sh���o��rw����	:a)��F��Vor�an��ry�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��F���on��X��,���������H���V����i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0����for��all��i�UR���2��G�T�:�����iF�[Hin��t:��T��Vre�!la���t�_t���h��re�cas�:}e��F��+�t��9or�[s�)�ion�an�d��F��+�t��9or�[s�)�ion-f�2"ree�s�:}epara���t��Eely;���in�t���h�e�t��9or�[s�)�ion-f�2"ree�cas�:}e,�{t��Eensor������iFt���h��re��exact�s�:}equence�of�Exe��rci�)�s�e�2.2�b��ry��F�1�.]����	:b)��Sh���o��rw�t���h�a���t�for�all��`�UR>��0,���H���V���2�1���Z�(�X�Jg;����O�����X����(�`�))�=�0.�������iF�Exer��ffcise�3557.3.���A�{�Let���X��+�b�)�e�an�in��t��Eegral�No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e.����	:a)��Sh���o��rw�t���h�a���t�t���h�e�sh�e�!laf��K��,`���2�����(cf.�8�I�S�I���x��	?��6)�i�)�s�
asque.�Conclud���e�t���h��ra���t��Pi��Jc��T��X�����P���F�����԰���_��=������~�H���V���2�1���Z�(�X�Jg;����O����2��UV���b���X�����).����	:b)��Giv��re�an�examp�ޔle�of�a�No�)�et���h�e��r�2"ian�an�e�s��xc�h�em�e�wit���h��H���V���2�1���Z�(�X�Jg;����O����2��UV���b���X�����)�UR�6�=�0.�������iF�Exer��ffcise�3557.4.���A�{�Let���X��+�b�)�e�a�No�et���h��re��r�2"ian�s��xc�h�em�e.����	:a)���Sh���o��rw�t���h�a���t�t���h�e�sh�e�!laf��G�[Ĺcons�[tru�ct��Ee�S�d�in�t���h�e�pro�S�of�of�(3.6)�i�)�s�an�inject�iv�e�ob��ject�in�t���h�e�����iFca���t��Eegory�����Qco����5�(�X��)��of�quas�)�i-coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s�on��X��.�8�Th���us����Qco����5�(�X��)�h��ras�enough�inject�iv�e�S�s.����	:b)��Sh���o��rw�t���h�a���t�an�y�inject�iv�e�ob��ject�of����Qco����-�(�X��)�i�)�s�
asque.���[�Hints:�pѹTh�e�m�et���h���o�S�d�of�pro�of�of�����iF(2.4)��will��not��w��ror��ek,��4b�)�eca��2us�:}e��O�����U��
�Z�i�s�not�quas�i-coh��re��ren��t�on��X�Ǜ�in�gen�e��ral.�2Ins�[t��Ee�!lad,��4us�:}e�(I�S�I,�Ex.�����iF5.15)�(tt��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�if��I��J2������Qco�����(�X��)�i�)�s�inject�iv�e,�7�an�d�if��U��f�����X���i�)�s�an�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et,�7�t�h�en�(t�I���j�����U��B��i�)�s�����iFan��inject��riv�e�ob��ject�of����Qco����5�(�U�@�).�8�Th�en�co�v�e��r��X��+�wit���h�o�p�)�en�an�e...]����	:c)��Conclud���e�t���h��ra���t�on�e�can�compu��9t��Ee�coh���omo�ޔlogy�as�t���h�e�d���e��r�2"iv�e�S�d�fu��9nct�or�[s��of�(�X�Jg;�����),�εcon-�����iFs�)�id���e��re�S�d��as�a�fu��9nct�or��f�2"rom����Qco����5�(�X��)�t��9o����A��@b����o�.�����؉#82����SJ����э����Ơ�
:���B�ƍ���iF�57.2�� ��Ch���apt��Ge��r�L�I�qI�I,�4.8,�4.9,�5.6��@����iF�57.2.1��$iFExe�frci�0s�C4e��I�`I�I.4.8:�Coh��fomo�ٙlogi���cal�Dim��ens�0ion�����iF�L��ffet�]��X�O�b�e�a�No�etherian�sep�ar�ate�d�scheme.��RWe�dene�the��coh���omo�ޔlogi��Jcal�/1dim��rens�)�ion��of��X���,������iFdenote��ffd���<�cd���4(�X��)�,�>�to��<b�e�the�le�ast�inte�ger��n��such�that��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�]G=�0��for�al���l�quasi-c��ffoher�ent�����iFshe��ffaves����F����and�al���l��i�Y�>�n�.�Thus���for�example,���Serr�e's�the�or�em�(3.7)�says�that���cd���(�X��)�Y�=�0����if�����iFand�35only�if��X�$��is�ane.�fiGr��ffothendie�ck's�35the�or�em�(2.7)�implies�that���cd���-(�X��)�UR����dim����X��.����	:(a)��sIn�the�denition�of���cd��sk(�X��)�,��show�that�it�is�sucient�to�c��ffonsider�only�c�oher�ent�she�aves�����iFon�35�X���.����	:(b)�rFIf��X�c��is�quasi-pr��ffoje�ctive�rFover�a�eld��k�g�,���then�it�is�even�sucient�to�c��ffonsider�only�lo�c�al���ly�����iFfr��ffe�e�35c�oher�ent�she�aves�on��X���.����	:(c)��cSupp��ffose��X����has�a�c�overing�by��r��+�+���1��op�en�ane�subsets.�>�Use�������x��Ce�ch�c�ohomolo�gy�to�show�����iFthat��35�cd���-(�X��)�UR���r�S��.����	:(d)��TIf��X����is�a�quasi-pr��ffoje�ctive��Tvariety�of�dimension��r����over�a�eld��k�g�,���then��X��c��ffan�b�e�c�over�e�d�����iFby�35�r��6�+���1��op��ffen�ane�subsets.�fiConclude�that���cd���-(�X��)�UR����dim����X��.����	:(e)��UL��ffet��Y����b�e�a�set-the�or�etic�c�omplete�interse�ction�of�c�o�dimension��r�=��in��X���=��o�P����2��n��y��k����P�.���Show�����iFthat��35�cd���-(�X��+�����Y��p�)�UR���r��6���1�.��������iFPr��ffo�of.���2��(a)�l�It�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�if,��sfor�som�e��i�,��s�H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�2�=�0�l�for�all�coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s��F�1�,�����iFt���h��ren�~��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�for�all�quas�)�i-coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s��F�1�.��Th���us�sup�p�S�o�!ls�:}e�t���h�e��i�t���h�coh���omo�ޔlogy�of�all�����iFcoh��re��ren��t�?~sh�e�!la�v�e�S�s�on��X�1�v��X�ani�)�sh�e�S�s�an�d�let��F�p��b�)�e�quas�i-coh��re��ren��t.�7cLet�(�F����������)�b�e�t���h��re�co�ޔllect�ion�of�����iFcoh��re��ren��t�su���b�!lsh�e�a�v�e�S�s�of��F�1�,�zord���e��re�d�b��ry�inclus�)�ion.�y>Th�en�b�y�(I�S�I,�Ex.�y>5.15e)����lim����i�������Q�!����Q�F�������	on�=�y��F�1�,�zso�b�y�����iF(2.9)����b���H���V����i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=��H���V����i���(�X�Jg;��������lim����i���������Q�!�����Q�F����������)�=�����lim����i��������!�������H���V����i���(�X�Jg;����F����������)�=�0�:������	:�(b)��XSup��rp�S�o�!ls�:}e��n��i�)�s�an�in��t��Eege��r�an�d��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0��Xfor�all�coh�e��ren��t�lo�S�cally�f�2"ree�sh�e�!la�v�e�S�s��F��i�an�d�����iFin��t��Eege��r�[s��a�i�Y�>�n�.�AW��Ve�m���us�[t�sh���o��rw��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�=�0�for�all�coh��re��ren��t��F�r�an�d�all��i�Y�>�n�,��t���h��ren�ap�p�ޔlyin��9g�����iF(a)��giv��re�S�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d��re�sul��9t.�8�Since��X��+�i�)�s�quas�ipro��ject��riv�e�t���h�e��re�i�)�s�an�o�p�)�en�imm�e��r�[s�)�ion�������v�i�UR�:��X�F�,���!��Y������P������n���ڍk�������iF�wit���h�P�Y����a�clo�!ls�:}e�S�d�su�b�!ls��xc��rh�em�e�Pof��P����2��n��y��k���	���an��rd��i�(�X��)�o�p�)�en�in��Y��p�.���By�(I�S�I,�Ex.�5.5c)�t���h��re�sh�e�!laf��F�Ia�on��X������iF�push��re�S�s�7forw�ard�t��9o�a�coh�e��ren��t�sh�e�!laf�on��F��1���2�0��֠�=��V�i���������F�h�on��Y��p�.�By�(I�S�I,�5.18)�w�e�m���ay�wr�2"it��Ee��F��1���2�0��6U�as�a�����iFquot��rien��t���of�a�lo�S�cally�f�2"ree�coh�e��ren��t�sh�e�!laf��E��ß��2�0���ٹon��Y��p�.��Let��2t�in��9g��R����2�0��}�b�)�e�t���h�e�k�e��r�)�n�el�giv�e�S�s�an�exact�����iFs�:}equence�����Y	0�UR�!��R�����0��#��!�E��ß���0��6N�!�F��1����0��T��!��0�����iFwit���h����R��J���2�0���w�coh��re��ren��t�(it's�t�h��re�quot�ien��t�of�coh�e��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s).�U�Pullin��9g�bac�k�via��i��t��9o��X��w�giv�e�S�s�an�����iFexact��s�:}equence������^0�UR�!��R��!�E�h!�F��c!��0�����iFof��>coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s�on��X����wit���h��E�EU�lo�cally�f�2"ree.�Th��re�lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�sh�o��rws�����iFt���h��ra���t��for��i�UR>�n�,��t�h��re��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence�����A�0�UR=��H���V����i��R0�(�X�Jg;����E�ù)��!��H���V����i���(�X�Jg;����F�1�)��!��H���V����i�+1��.��(�X�;����R�)��!��H���V����i�+1��.��(�X�;����E�ù)�=�0�:�����iFH���V���2�i��R0�(�X�Jg;����E�ù)��\=��H���V���2�i�+1��.��(�X�;����E�ù)�=�0�b�)�eca��2us�:}e�w��re�h�a�v�e�as�!lsu��9m�e�S�d�t���h�a���t,�(_for��i��\>�n�,�coh���omo�ޔlogy�v��X�ani�)�sh��re�S�s������iFon��lo�S�cally�f�2"ree�coh��re��ren��t�sh�e�!la�v�e�S�s.���Th���us��H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�����P���۽����԰����=�������H���V���2�i�+1��.��(�X�;��R�).���Bu��9t��if��k�Bڹ=��۽dim��q�X��,�	_t���h��ren�����iFGrot���h��ren�diec�k�h�v��X�ani�)�shin��9g�(2.7)�imp�ޔlie�S�s�t�h��ra���t��H���V���2�k�6��+1���d�(�X�Jg;����R�)�߸=�0�h�wh�ence��H���V���2�k���(�X�Jg;����F�1�)�߸=�0.�	�6Bu��9t�����iFt���h��ren���ap�p�ޔlyin��9g�t���h�e�a�b�S�o�v�e�argu��9m�en��t�wit���h��F����rep�ޔlace�S�d�b�y��R��sh���o�ws�t���h�a���t��H���V���2�k���(�X�Jg;����R�)�`�=�0�whi��Jc��rh�����iFimp�ޔlie�S�s�_c�H���V���2�k�6���1���d�(�X�Jg;����F�1�)�=�0�(so�lon��9g�as��k�a?���"�1��>�n�).��Again,�|�ap��rp�ޔly�t���h�e�en��t�ire�argu��9m�en��t�wit���h��F�����؉#�83����T]���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�rep�ޔlace�S�d�m
b��ry��R��t��9o�s�:}ee�t���h�a���t��H���V���2�k�6���1���d�(�X�Jg;����R�)�3D=�0.��W��Ve�m
can�con��t�in���ue�t�hi�)�s�d���e�S�s��xcen��t�an��rd�h�ence�sh���o�w������iFt���h��ra���t���H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����F�1�)�UR=�0�for�all��i�>�n�.����	:(c)��By�(4.5)�w��re�can�compu��9t��Ee�coh���omo�ޔlogy�b�y�us�)�in��9g�t���h�e��l$���x��Cec�h�comp�ޔlex�re�S�sul��9t�in�g��f�2"rom�t���h�e�����iFco��rv�e��r�����U���of����X���b�y��r�~Թ+�+F1�o�p�)�en�an�e�S�s.�o�By�d���enit�ion��C���5���2�p��
o�=���0�for�all��p�>�r���s�)�ince�t���h��re��re�are�no�����iFin��t��Ee��r�[s�:}ect��rions�o�of��p���+�1�UR���r���+��2�o�di�)�s�t��rinct�o�p�)�en�s�:}et��es�in�our�co�ޔllect�ion�of��r���+��1�o�p�)�en�s�:}et��es.��Th�e���/���x��Cec�h�����iFcomp�ޔlex��i�)�s����]���C���5����0��ȋ�!�URC���5����1���!����������!�C���5����r�����!�C���5����r�<r�+1��we�=�0��!��0��!��0��!��������UL�:���I���iF�Th���us��if��F���i�)�s�quas�i��Jcoh��re��ren��t�t���h�en���b���x��H��������2�p����(��U�����;����F�1�)�UR=�0��for�an�y��p�UR>�r�>6�whi��Jc�h��imp�ޔlie�S�s�t���h�a���t��cd����(�X��)�UR���r�S��.����	:(d)��/I���will�r�[s�t��/pre�S�s�:}en��t�m��ry�so�ޔlu��9t�ion�in�t���h�e�sp�)�ecial�cas�:}e�t���h�a���t��X����i�)�s�pro��ject�iv�e.��tTh�e�more�����iFgen��re��ral�7�cas�:}e�wh�en��X�){�i�)�s�quas�i-pro��ject��riv�e�7�i�s�s�imilar,�[�bu��9t�more�comp�ޔli��Jca���t��Ee�S�d,�an��rd�will�b�)�e�pre�S�s�:}en-�����iFt��Ee�S�d�h�n��rext.��SSup�p�o�!ls�:}e�h��X����,�P����2�n��
�i�)�s�a�pro��ject��riv�e�h�v��X�ar�2"iet�y�of�dim�ens�)�ion��r�S��.��SW��Ve�m���us�[t�co�v�e��r��X�ZQ�wit���h�����iF�r��^�+�s�1�o��rp�)�en�an�e�S�s.��;Let��U�S�b�)�e�non�empt�y�o�p�)�en�an�e�su���b�!ls�:}et�of��X��.��;Since��X���i�)�s�irre�S�d�u�cib�ޔle,�����iFt���h��re���irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��es�of��X����s�U�Ͼ�all�h�a�v�e�co�S�dim�ens�)�ion�a���t�le�!las�[t�on�e�in��X��.�%wNo�w�pi��Jc�k�a�����iFh��ryp�)�e��rp�ޔlan�e�g��H�UE�whi��Jc�h�do�)�e�S�sn't�comp�ޔlet��Eely�con��t�ain�an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t�of��X��w�����U�@�.���W��Ve�����iFcan��do�t���hi�)�s�b��ry�c�h���o�S�o�!ls�)�in��9g�on�e�p�S�oin��t��P�����i��j��in�e�!lac�h�of�t���h�e�nit��Eely�m���an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��es�of�����iF�X�'���60�U��|�an��rd���c�h���o�S�o�!ls�)�in��9g�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�whi��Jc�h�a�v�oids�all�t���h�e��P�����i��dڹ.���Thi�)�s�can�b�e�don��re�b�eca��2us�:}e�t���h��re�����iFeld�6�i�)�s�innit��Ee�(v��X�ar�2"iet��rie�S�s�are�only�d���en�e�S�d�o�v�e��r�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d�elds)�so�w�e�can�alw�ays�����iFc��rh���o�S�o�!ls�:}e�͜a�v�ect��9or�not�ort���h���ogon�al�͜t�o�an��ry�of�a�nit��Ee�s�:}et�of�v�ect��9or�[s.�/1Since��X���i�)�s�clo�!ls�:}e�S�d�in��P����2�n��	u�an�d�����iF�P����2�n��p`����H�0�i�)�s��an��re,� �(�P����2�n�����H��V�)��\��X�]�i�)�s��an�o��rp�en�an��re�su���b�!ls�:}et�of��X��.��uBeca��2us�e�of�our�c��rh���oi��Jce�of��H��V�,�����iF�U��]�[�Ry�((�P����2�n�������H��V�)��\��X��)��#i�)�s�only�mi�s�!ls�in��9g�co�S�dim��rens�ion�t��rw�o��#clo�!ls�:}e�S�d�su���b�s�:}et��es�of��X��.�PLet��H�����1��	��=����H�����iF�an��rd���c�h���o�S�o�!ls�:}e�anot���h�e��r�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e��H�����2�����so�it�do�)�e�S�sn't�comp�ޔlet��Eely�con��t�ain�an�y�of�t���h�e�(co�S�dim�ens�)�ion�����iFt��rw�o)��Oirre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��es�of��X�5U��C��U������(�P����2�n���"���H�����1����).�(Th��ren�(�P����2�n���"���H�����2����)��\��X��ҹi�)�s�o��rp�en�an��re�an�d�����iF�U�i��[�(��((�P����2�n���O���H�����1����)��\��X��)��[��((�P����2�n�����H��V�2)��\��X��)��-i�)�s�only�mi�s�!ls�in��9g�co�S�dim��rens�ion�t���hree�clo�!ls�:}e�S�d�su�b�!ls�:}et��es�of�����iF�X��.�8�Rep�)�e�!la���t��rin��9g��t���hi�s�pro�S�ce�s�!ls�a�few�more�t��rim�e�S�s�yields�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�S�s��H�����1����;������������;���H�����r��}
�so�t���h�a���t��󪍑|�2�U��;����(�P�����n��R������H�����1����)��\��X�Jg;��:�:�:��ʚ;��(�P�����n��R����H�����r���b�)��\��X�����iF�form��an�o��rp�)�en�an�e�co�v�e��r�of��X��,�as�d���e�S�s�)�ire�d.�����	:No��rw���for�t���h�e�quas�)�i-pro��ject�iv�e�cas�:}e.��DSup�p�S�o�!ls�e����X�������P����2�n��
^�i�)�s�quas�i-pro��ject��riv�e.��DF��Vrom���(I,�Ex.�����iF3.5)�\cw��re�kno�w�t���h�a���t��P����2�n��	��min���us�a�h�yp�)�e��r�[surf�ace�\c�H�I��i�s�an��re.�	tNot��Ee�t���h�a���t�t���h�e�sam�e�pro�S�of�w�or��eks�ev�en�����iFif� �H�
m�i�)�s�a�u��9nion�of�h��ryp�e��r�[surf�ace�S�s.��ZW��Ve�no��rw�pro�cee�d�wit���h�t�h��re�sam�e�sort�of�cons�[tru�ct�ion�as�in�t���h�e�����iFpro��ject��riv�e��wcas�:}e,���bu��9t�w��re�m���us�[t�c�h���o�S�o�!ls�:}e��H��͹more�clev�e��rly�t��9o�insure�t���h�a���t�(�P����2�n��[����a�H��V�)��\��X����i�)�s��wan�e.�����iFLet�hm�U��Q�b�)�e�a�non��rempt�y�hman�e�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�of��X��.��/As�b�efore�pi��Jc��rk�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�whi��Jc�h�do�)�e�S�sn't�����iFcomp�ޔlet��Eely���con��t��rain�an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t�of��X�?����U�@�.���Since��X�r�i�)�s�only�quas�i-pro��ject��riv�e�����iFw��re���can't�conclud���e�t���h�a���t�(�P����2�n���3��'��H��V�)��\��X��%�i�)�s���an�e.�#�Bu��9t�w�e�do�kno�w�t���h�a���t�(�P����2�n���3��'��H��V�)��\����\-�z�
��	�Ӎ�X����t�i�)�s���an�e.�����iFOur��s�[tra���t��Eegy�i�)�s�t��9o�add�som��re�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s��t��9o��H����t�o�get�a�u�nion�of�h��ryp�)�e��r�[surf�ace�S�s���S���so�t���h�a���t��󪍒��f(�P�����n��R������S��׹)��\����\-�z�
��	�Ӎ�X�����=�UR(�P�����n�����S��׹)��\��X�Jg:�����iF�Bu��9t,��|w��re��m���us�[t�b�)�e�careful�t�o�add�t���h��re�S�s�:}e�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s��in�su�c�h�a�w�ay�t���h�a���t�((�P����2�n��U�����S��׹)��\��X��)��[��U������iF�i�)�s��+mi�s�!ls�in��9g�only�co�S�dim��rens�ion�t��rw�o�or�gre�!la���t��Ee��r�su���b�s�:}et��es�of��X��.�iW��Ve�do�t���hi�)�s�as�fo�ޔllo��rws.�F��Vor�e�!lac��rh�����iFirre�S�d��ru�cib�ޔle�F$comp�on�en��t�F$�Y�┹of����\-�z�
��	�Ӎ�X����Q���>�X�7��c��rh���o�o�!ls�:}e�a�h��ryp�)�e��r�[surf�ace�F$�H���V���2�0��	��whi��Jc�h�comp�ޔlet��Eely�con��t�ains�����iF�Y�йbu��9t�x`whi��Jc��rh�do�)�e�S�s�not�comp�ޔlet��Eely�con��t�ain�an�y�irre�S�d�u�cib�ޔle�comp�S�on�en��t�of��X�����%�U�@�.��Th�a���t�t���hi�)�s�����iFcan��b�)�e�don��re�i�s�t���h��re�con��t��Een�t��of�a�lemm���a�whi��Jc�h�will�b�)�e�pro�v�e�S�d�la���t��Ee��r�(jus�[t�pi��Jc�k�a�p�S�oin��t�in�e�!lac�h�����iFirre�S�d��ru�cib�ޔle�s9comp�on�en��t�s9an�d�a�v�oid�it).�Let��S�&�b�y�t���h�e�u��9nion�of�all�of�t���h�e��H���V���2�0��.ȹalon��9g�wit���h��H��V�.�Th�en�����iF�P����2�n��R������S���i�)�s��an��re�an�d�so�����ޞ(�P�����n��R������S��׹)��\��X�Fչ=�UR(�P�����n�����S��׹)��\����\-�z�
��	�Ӎ�X�������iF�i�)�s���an��re.�$�F��Vurt���h�e��rmore,����S�`��pro�p�e��rly���in��t��Ee�r�[s�:}ect��es�all�irre�S�d��ru�cib�ޔle�comp�S�on�en��t��es�of��X����.5�U�@�,���so�((�P����2�n��օ������iF�S��׹)����\��X��)��[��U��D�i�)�s�h`mi�s�!ls�in��9g�only�co�S�dim��rens�ion�t��rw�o�or�gre�!la���t��Ee��r�su���b�s�:}et��es�of��X��.�
sRep�)�e�a���t��rin��9g�t���hi�)�s�pro�S�ce�s�!ls�����iFas�T�a��rb�S�o�v�e�s�:}ev�e��ral�t�im�e�S�s�yields�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d�re�sul��9t�b�)�eca��2us�:}e�aft��Ee��r�e�!lac��rh�rep�et��rit�ion�t���h�e�co�S�dim�ens�)�ion�����iFof��t���h��re�re�S�sul��9t�in�g��piece�S�s�i�)�s�re�d��ru�ce�d��b�y�1.�����؉#84����Us����э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Lemm��fa��57.5.���E���If� ��Y���is�a�pr��ffoje�ctive� �variety�and��p�����1����;����:�:�:��ʚ;���p�����n��	���is�a�nite�c��ffol���le�ction� �of�p��ffoints�not������iFon�]k�Y��p�,��-then�ther��ffe�exists�a�(p�ossibly�r�e�ducible)�hyp�ersurfac�e��H�J��c�ontaining��Y����but�not�c�ontaining�����iFany�35of�the��p�����i��d��.�����	:�By��a�p�S�o�!ls�s�)�ib�ޔly��re�d��ru�cib�ޔle��h�yp�)�e��r�[surf�ace�I��m��re�!lan�a�u��9nion�of�irre�S�d�u�cib�ޔle�h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s,�0not�a�����iFh��ryp�)�e��r�[surf�ace��u��9nion�high�e��r�co�S�dim�ens�)�ion�v��X�ar�2"iet�ie�S�s.�������iF�Pr��ffo�of.���2��Thi�)�s���i�s�ob��rviously�true�an�d�I��h�a�v�e�a�pro�S�of,�$�bu��9t�I��t���hink�t�h��re��re�i�)�s�proba�b�ޔly�a�more�����iFalge���brai��Jc�9�pro�S�of.�&�Not��Ee�t���h��ra���t��k���i�)�s�innit�e�s�)�ince�w��re�only�t�alk�a�b�S�ou��9t�v��X�ar�2"iet�ie�S�s�o�v�e��r�alge���brai��Jcally�����iFclo�!ls�:}e�S�d��elds.�HLet��f�����1����;������������;���f�����m���{�b�)�e�d���enin��9g�equa���t��rions�for��Y��p�.�Th���us��Y��'�i�)�s�t�h��re�common�ze��ro�lo�S�cus�����iFof�/t���h��re��f�����i�����an�d�not�all��f�����i�����v��X�ani�)�sh�on�an�y��p�����i��dڹ.�	@I�.�claim�t���h�a���t�w�e�can�n�d�a�lin�e�!lar�com��ekbin���a���t�ion������iF�����P����a�����i��d��f�����i��I�of��Ct���h��re��f�����i���whi��Jc��rh�do�)�e�S�sn't�v��X�ani�sh�on�an��ry��p�����i��dڹ.�%�Since��k�K`�i�s�innit��Ee�an��rd�not�all��f�����i��I�v��X�ani�sh�����iFon�ž�p�����1����,���w��re�can�e�!las�)�ily�n�d��a�����i��*��so�t���h�a���t�������P��pi�a�����i��d��f�����i���(�p�����1����)��;�6�=�0�žan�d�all�t���h�e��a�����i��/�6�=��;0.��#If�������P��pi�a�����i��d��f�����i���(�p�����2����)�=�0�����iFt���h��ren,��once�sagain�s�)�ince��k�{��i�s�innit��Ee,��w��re�can�e�!las�ily�\jiggle"�t���h��re��a�����i��yM�so�t�h��ra���t�������P����a�����i��d��f�����i���(�p�����2����)��u�6�=�0�san�d������iF�����P����a�����i��d��f�����i���(�p�����1����)�#�i�)�s�s�[t��rill�nonze��ro.���Rep�e�!la���t��rin��9g�t���hi�s�sam��re�argu��9m�en��t�for�e�!lac�h�of�t���h�e�nit��Eely�m���an�y�p�S�oin��t��es�����iF�p�����i���#�giv��re�S�s�AIa�p�o�ޔlynomial��f�0Ź=���Ɵ����P���q�a�����i��d��f�����i���#�whi��Jc��rh�do�)�e�sn't�v��X�ani�)�sh�on�an��ry��p�����i��dڹ.�<�Of�cour�[s�:}e�I�A3w�an��t�t��9o�us�:}e�����iF�f��t��9o���d���en��re�our�h�yp�)�e��r�[surf�ace,���bu��9t���I���can't�b�)�eca��2us�:}e��f��migh�t�not�b�)�e�h���omogen�eous.�"�F��Vort�u��9n�a���t��Eely��V,�����iFt���hi�)�s�*�i�s�e�!las�ily�d���e�!lal��9t�wit���h�b��ry�suit�a�b�ޔly�m���ul��9t�ip�ޔlyin�g�*�t���h�e�v��X�ar�2"ious��f�����i���n�b�y�t���h�e�d���enin��9g�equa���t�ion�of�a�����iFh��ryp�)�e��rp�ޔlan�e�Z�not�pas�!ls�in��9g�t���hrough�an��ry��p�����i��dڹ,�v�t�h��ren�rep�)�e�!la���t�in��9g�t���h�e�a�b�S�o�v�e�argu��9m�en��t.��TNo�w�let��H�H%�b�)�e�����iFt���h��re���h�yp�)�e��r�[surf�ace�d���en��re�S�d�b�y��f��Q�=��UR�����P�����a�����i��d��f�����i���.�&8Th��ren�b�y�cons�[tru�ct�ion��H���con��t�ains��Y�O�an�d��H���do�)�e�S�sn't�����iFcon��t��rain��an�y��p�����i��dڹ.����˄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������	:(e)�YESup��rp�S�o�!ls�:}e��Y����i�)�s�a�s�et-t���h��reoret�i��Jc�YEcomp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�of�co�S�dim�ens�)�ion��r��ӹin��X�Fչ=�UR�P����2��n��y��k����P�.�jTh�en�����iF�Y���i�)�s�1yt���h��re�in��t��Ee��r�[s�:}ect�ion�of��r���h�yp�)�e��r�[surf�ace�S�s,�C-so�1yw�e�can�wr�2"it��Ee��Y�jL�=����H�����1�����\������������\����H�����r���۹wh�e��re�e�!lac�h��H�����i������iF�i�)�s��a�h��ryp�e��r�[surf�ace.�8�By�(I,�Ex.�3.5)��X��+�����H�����i��O��i�)�s�an��re�for�e�!lac�h��i�,�t���h�us���_����X��+�����Y��¹=�UR(�X����H�����1����)��[��������UN[��(�X����H�����r���b�)�����iFcan�9�b�)�e�co��rv�e��re�S�d�9�b�y��r��'�o�p�)�en�an�e�su���b�!ls�:}et��es.�	%�By�(c)�t�hi�)�s�imp�ޔlie�S�s��cd����(�X��6�����Y��p�)��n���r��A���1�9�whi��Jc��rh������iFcomp�ޔlet��Ee�S�s��t���h��re�pro�of.���c�e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������iF�57.2.2��$iFExe�frci�0s�C4e��I�`I�I.4.9��@���iF�L��ffet����X�V3�=��d�Sp�)�ec��e�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���]����b��ffe�ane�four-sp�ac�e�over�a�eld��k�g�.�	L�et��Y�����1��	���b�e�the�plane��x�����1��	$��=�����iF�x�����2���L�=�9H0��O�and�let��Y�����2��	nS�b��ffe�the�plane��x�����3���=�9H�x�����4���=�0�.�׷Show��Othat��Y�ո�=�9H�Y�����1�����[���Y�����2��	nS�is�not�a�set-the��ffor�etic�����iFc��ffomplete���interse�ction�in��X���.�jTher�efor�e�the�pr�oje�ctive�closur�e����\-�z�	m��	�Ӎ�Y����4�in��P����2��4��y���k���	�W�is�not�a�set-the�or�etic�����iFc��ffomplete�35interse�ction.�������iFPr��ffo�of.���2��By��x(Ex.�hO4.8e)�it�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t��H���V���2�2���Z�(�X������l�Y��;����O�����X�����Y�����)�p<�6�=�0.�hOSup�p�S�o�!ls�:}e��x�Z���i�)�s�a�clo�s�:}e�S�d�����iFsu���b�!ls�:}et��of��X��,�t�h��ren�b�y�(Ex.�8�2.3d),�for�an�y��i�UR���1,��t���h�e��re�i�)�s�an�exact�s�:}equence���_��3R��H���V����i��R0�(�X�Jg;����O�����X����)�UR�!��H���V����i���(�X��+�����Z�5�;����O�����X�����Z��
9�)��!��H�������V�i�+1��8O��Z���.��(�X�Jg;��O�����X����)��!��H���V����i�+1��.��(�X�Jg;��O�����X����)�:�����iF�By�k�(3.8),����H���V���2�i��R0�(�X�Jg;����O�����X����)�0�=��H���V���2�i�+1��.��(�X�;����O�����X����)�=�0�k�so��H���V���2�i��R0�(�X�����c�Z�5�;��O�����X�����Z��
9�)�0�=��H�������V�i�+1��8O��Z���.��(�X�Jg;��O�����X����).��qA��X�p��rp�ޔlyin��9g������iFt���hi�)�s��wit�h��Z�1�=�UR�Y���an��rd��i��=�2�sh���o��rws�t���h�a���t�����l:�H���V����2���Z�(�X��+�����Y��;����O�����X�����Y�����)�UR=��H�������V�3���ڍ�Y���P��(�X�Jg;��O�����X����)�:�����iF�Th���us��w��re�jus�[t�n�ee�S�d�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t��H����2���V�3��b���Y���P��(�X�Jg;����O�����X����)�UR�6�=�0.����	:May��re��r-Viet��9or�2"i�)�s��(Ex.�8�2.4)�yields�an�exact�s�:}equence�������ib��H�������V�3���ڍ�Y��q�1����	�Թ(�X�Jg;����O�����X����)������H�������V�3���ڍ�Y��q�2�����(�X�Jg;����O�����X����)�UR�!��H�������V�3���ڍ�Y���P��(�X�;����O�����X����)��!�����������k��H�������V�4���ڍ�Y��q�1��*��\�Y��q�2����ZX�(�X�Jg;����O�����X����)�UR�!��H�������V�4���ڍ�Y��q�1����	�Թ(�X�;����O�����X����)������H�������V�4���ڍ�Y��q�2����	�Թ(�X�;����O�����X����)��������؉#85����V�-���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�As���a��rb�S�o�v�e,�L��H����2���V�3��b���Y��q�1����	�Թ(�X�Jg;����O�����X����)��?=��H���V���2�2���Z�(�X������Y�����1����;��O�����X�����Y��q�1����չ).�
�cBu��9t����X�����Y�����1��
�عi�)�s�a�s�:}et-t���h��reoret�i��Jc�comp�ޔlet��Ee������iFin��t��Ee��r�[s�:}ect��rion���of�co�S�dim�ens�)�ion�2�so��cd��w�(�X�3���BX�Y�����1����)�UR���1,���wh�ence����H���V���2�2���Z�(�X�3���BX�Y�����1����;����O�����X�����Y��q�1����չ)�=�0.�'�Similarly�����+��H���V����2���Z�(�X��+�����Y�����2����;����O�����X�����Y��q�2����չ)�UR=��H���V����3���(�X��+�����Y�����1����;����O�����X�����Y��q�1����չ)�=��H���V����3���(�X��+�����Y�����2����;����O�����X�����Y��q�2����չ)�=�0�:�����iF�Th���us��f�2"rom�t�h��re�a�b�S�o�v�e�exact�s�:}equence�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��H����2���V�3��b���Y���P��(�X�Jg;����O�����X����)�UR=��H����2���V�4��b���Y��q�1��*��\�Y��q�2����ZX�(�X�;����O�����X����)�:����	:�Let�I��P���=�UR�Y�����1��!��\�a��Y�����2��V�=��f�(0�;����0�;��0�;��0)�g�.�7W��Ve�h��ra�v�e�re�S�d�u�ce�d�I�t��9o�sh���o��rwin�g�t���h��ra���t��H����2���V�4��b���P���̹(�X�Jg;����O�����X����)�i�)�s�nonze��ro.�����iFSince�*��H����2���V�4��b���P���̹(�X�Jg;����O�����X����)��V=��H���V���2�3���Z�(�X������C�P�S�;��O�����X�����P��K͹)�*�w��re�can�do�t���hi�)�s�b�y�a�direct�compu��9t�a���t�ion�of��H���V���2�3���Z�(�X���������iF�P�S�;����O�����X�����P��K͹)�h�us�)�in��9g������x��Cec��rh�coh���omo�ޔlogy��V.�
�Co�v�e��r��X������-�P�
t�b�y�t���h�e�an�e�o�p�)�en�s�:}et��es��U�����i���,�=�UR�f�x�����i���6�=�0�g�.�
�Th��ren�����iFt���h��re��8���x���Cec�h�comp�ޔlex�i�)�s��4�����lx���.�Z�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�]����������UN��k�g�[�x�����1����;�x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍4���\|�]����'0����d��q�0����Ѝ��UR�����!�������؍��.�Z�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�;�x�������1��諍2����]����������UN��k�g�[�x�����1����;�x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍3���\|�;�x�������1��諍4����]����'0����d��q�1����Ѝ��UR�����!���������.�Z�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�;�x�������1��諍2����;�x�������1��諍3����]����������UN��k�g�[�x�����1����;�x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍2���\|�;�x�������1��諍3����;�x�������1��諍4����]����'0����d��q�2����Ѝ��UR�����!����������.�Z�k�g�[�x�����1����;���x�����2���;�x�����3���;�x�����4���;�x�������1��諍1���\|�;�x�������1��諍2����;�x�������1��諍3����;�x�������1��諍4����]�����4����iFTh���us����\'��H���V����3���Z�(�X��+�����P�S�;����O�����X�����P��K͹)�UR=��f�x������i���ڍ�1�����x���O���j������2����x������k���ڍ�3���#��x������`���ڍ�4���V�:�UR�i;�j��;�k�g;�`�<��0�g�6�=�0�:��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����J�����iF�57.2.3��$iFExe�frci�0s�C4e��I�`I�I.5.6:�Curv��e�s�on�a�nons�0in��gular�quadr�9�i���c�surf�ace��@���iF�L��ffet�z.�Q��b�e�the�nonsingular�quadric�surfac�e��xy�!�=����z���w����in��X��R�=��P����2��3��y���k���
���over�a�eld��k�g�.�	;TWe�wil���l�����iFc��ffonsider��lo�c�al���ly�princip�al�close�d�subschemes��Y�^v�of��Q�.��These�c�orr�esp�ond�to�Cartier�divisors�����iFon��Q��by�(II,�6.17.1).�U�On�the�other�hand,�we�know�that���Pi��Jc��kO�Q�����P���UR����԰���n:�=��������Z�;2���Z�,�so�we�c��ffan�talk�ab�out�����iFthe���t��ryp�)�e��(a,b)�of��Y����(II,�6.16)�and�(II,�6.6.1).�� L��ffet�us�denote�the�invertible�she�af��L�(�Y��p�)��by�����iF�O�����Q��/��(�a;���b�)�.�fiThus�35for�any��n�UR�2��Z�,�35�O�����Q���(�n�)�=��O�����Q���(�n;���n�)�:����	:�[�Comm��en��ft!�)T�In�t.my�solution,��la�subscheme��Y���of�typ��ffe��(�a;���b�)��c�orr�esp�onds�to�the�invertible�����iFshe��ffaf��q�O�����Q��/��(��a;�����b�)�.�I��Nthink�this�is�r�e�asonable�sinc�e�then��O�����Q��/��(��a;�����b�)�W(=��L�(��Y��p�)�=��I�����Y��P��.�The�����iFc��fforr�esp�ondenc�e�35is�not�cle��ffarly�state�d�in�the�pr�oblem,�but�this�choic�e�works.]�����iF(a)��+Use�the�sp��ffe�cial��+c�ase��(�q�n9;����0)��and��(0�;�q�n9�)�,���with��q�U�>�狹0�,�when��Y���is�a�disjoint�union�of��q��d�lines�����iF�P����2�1���9�in�35�Q�,�to�show:��������O�1.�����2if�35�j�a������b�j�UR��1�,�then��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;�b�))�UR=�0�;�������O�2.�����2if�35�a;���b�UR<��0�,�then��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;�b�))�UR=�0�;�������O�3.�����2if�35�a�UR���2�,�then��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;��0))�UR�6�=�0)�.����	:Solution.�"ܹFir�[s�t���I���will�pro��rv�e���a�big�lemm���a�in�whi��Jc��rh�I�exp�ޔli��Jcit���ly�calcula���t��Ee��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(0�;���q�n9�))�����iFan��rd���som�e�ot���h�e��r�t���hin��9gs�whi��Jc�h�will�com�e�in�us�:}eful�la���t��Ee��r.�%�Next�I���giv�e�an�in�d���ep�)�en�d�en��t���compu��9t�a-�����iFt��rion��of�t���h�e�ot���h�e��r�coh���omo�ޔlogy�group�!ls�(1),�(2).�������iF�Lemm��fa��57.6.���E���L��ffet�35�q�Ë>�UR�0�,�then������Wi�dim���j�H����k��r!��H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���q�n9�))�UR=��q�������1�:�����iF�F���urthermor��ffe,�,�we���know�al���l�terms�in�the�long�exact�se�quenc�e�of�c�ohomolo�gy�asso�ciate�d�with�����iFthe�35short�exact�se��ffquenc�e�����Ŋ�0�UR�!�O�����Q��/��(��q�n9;����0)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�:�����؉#�86����W�����э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Pr��ffo�of.���2��W��Ve���pro��rv�e�t���h�e�lemm���a�only�for��O�����Q��/��(��q�n9;����0),��zs�)�ince�t���h�e�argu��9m�en��t�for��O�����Q��/��(0�;�����q�n9�)�i�)�s�exact���ly������iFt���h��re�8�sam�e.�	"�Sup�p�S�o�!ls�:}e��Y���i�)�s�t���h�e�di�)�sjoin��t�u��9nion�of��q��׹lin�e�S�s��P����2�1��	���in��Q��so��I�����Y��ހ�=����O�����Q��/��(��q�n9;����0).�	"�Th�e�����iFs�:}equence�����gP0�UR�!�O�����Q��/��(��q�n9;����0)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�����iFi�)�s��exact.�8�Th��re�as�!lso�S�cia���t��Ee�d��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�i�s��������Oct0�UR�!�������d�Ĺ(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR�!��(�Q;����O�����Q���)��!��(�Q;����O�����Y��P��)�����������X���!�������d���H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR�!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��)��!��H���V����1���(�Q;����O�����Y��P��)����������X���!�������d���H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��)��!��H���V����2���(�Q;����O�����Y��P��)��!��0��������iFW��Ve�}�can�compu��9t��Ee�all�of�t���h��re�t�e��rms�in�t���hi�)�s�lon��9g�exact�s�:}equence.��6F��Vor�t�h��re�purp�S�o�!ls�:}e�s�}�a���t�h�an�d�it������iFsuce�S�s���t��9o�view�t���h��re�su�mm���an��rds�as��k�g�-v�ect��9or�space�S�s�so�w�e�sys�[t��Eem���a���t�i��Jcally�do�t���hi�)�s�t�hrough���ou��9t.�����iFSince��W�O�����Q��/��(��q�n9;����0)�sl=��I�����Y��M�i�)�s�t���h��re�id���e�!lal�sh�e�!laf�of��Y��p�,��it��es�global�s�:}ect�ions�m���us�[t�v��X�ani�)�sh�on��Y��p�.�m�Bu��9t��I�����Y������iF�i�)�s�-�a�su���b�!lsh��re�af�-�of��O�����Q��]��wh���o�!ls�:}e�global�s�ect��rions�are�t���h�e�cons�[t�an��t��es.��Since�t���h�e�only�cons�[t�an��t�whi��Jc�h�����iFv��X�ani�)�sh�S�on��Y���i�s�0,�m�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))��=�0.�s�By�S�(I,�3.4),�(�Q;����O�����Q��/��)��=��k�g�.�s�Since�S��Y���i�)�s�t���h��re�di�sjoin��t�����iFu��9nion���of��q��co��rpie�S�s�of��P����2�1��	f��an�d�e�!lac�h�co�p�y�h�as�global�s�:}ect�ions��k�g�,�հ(�Q;����O�����Y��P��)��]=��k�����2��q�����.�l�Since����Q��i�)�s�����iFa�t�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�of�dim�ens�)�ion�2,��F(Ex.��(5.5�b)�imp�ޔlie�S�s��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��)�@_=�0.�Beca��2us�:}e�t��Y�0�i�)�s�����iFi�)�somorphi��Jc��3t��9o�s�:}ev��re��ral�co�pie�S�s�of��P����2�1����,���t���h�e�gen�e��ral�re�S�sul��9t�(pro�v�e�S�d�in�clas�!ls,���bu��9t�not�in�t���h�e�b�S�o�ok)�����iFt���h��ra���t�!��H����2���V�n��RA��������(�O�����P������n���M)�)�f�=��f������P�����a�����I���M�X�����I��
5ٹ:��en��tr�2"ie�S�s��in��I��+�n�ega���t�iv�e��l�M�g�!��imp�ޔlie�S�s��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Y��P��)�f�=��H���V���2�1���(�Y��;����O�����Y��P��)�=�0.�����iFSince���Q��i�)�s�a�h��ryp�e��r�[surf�ace�of�d���egree�2�in��P����2�3����,�)(I,�Ex.��7.2(c))�imp�ޔlie�S�s��p�����a��Ϲ(�Q�)��=�0.�Th���us��b��ry�����iF(Ex.�-L5.5c)���w��re�s�:}ee�t���h�a���t��H���V���2�2���Z�(�Q;����O�����Q��/��)�=�0.�-LPu��9t��2t�in�g���t�oget���h�e��r���t�h�e���a�b�S�o�v�e�f�)�act��es�an�d�som�e�bas�)�i��Jc�����iFpro��rp�)�e��rt�ie�S�s���of�exact�s�:}equence�s�sh���o��rw�t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=��k��g���2��(�q�I{��1)����,��@�H���V���2�2���(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=�0�����iFan��rd���H���V���2�2���Z�(�Q;����O�����Y��P��)�UR=�0.�8�Our�lon��9g�exact�s�:}equence�i�)�s�no��rw�������,|�0�UR�!�������A�ܹ(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=�0��!��(�Q;����O�����Q���)�=��k��o�!��(�Q;����O�����Y��P��)�=��k��g�����q������N�����5���!�������A���H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=��k��g�����(�q�I{��1)�� f��!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��)�=�0��!��H���V����1���(�Q;����O�����Y��P��)�=�0�����������5���!�������A���H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��q�n9;��0))�UR=�0��!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��)�=�0��!��H���V����2���(�Q;����O�����Y��P��)�=�0��!��0�����������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:Nu��9m��ekb�)�e��r��(3)�no��rw�fo�ޔllo�ws�imm�e�S�dia���t��Eely�f�2"rom�t���h�e�lemm���a�b�)�eca��2us�:}e�����g6�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(�a;��0))�UR=��k��g�����(��a��1)��'r"�6�=�0�����iFfor���a�UR���2�:����	:�No��rw��^w�e�compu��9t��Ee�(1)�an�d�(2).���Let��a��b�)�e�an�arbitrary�in��t��Eege��r.�Fir�[s�t�w��re�sh���o�w�t���h�a���t��O�����Q��/��(�a;���a�)�UR=�����iF0.�8�W��Ve��h��ra�v�e�an�exact�s�:}equence�������0�UR�!�O����P������3���Y��(��2)��!�O����P������3������!�O�����Q��
���!��0�����iFwh��re��re��t���h�e�r�[s�t�m���ap�i�)�s�m���ul��9t��rip�ޔli��Jca���t�ion�b�y��xy�������z���w�R��.�8�Twi�)�s�[t�in��9g�b�y��a��giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence����nU0�UR�!�O����P������3���Y��(��2���+��a�)�UR�!�O����P������3����(�a�)��!�O�����Q��/��(�a�)��!��0�:�����iF�Th��re��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�yields�an�exact�s�equence�����B-g�������S��!�UR�H���V����1���Z�(�O����P������3���Y��(�a�))��!��H���V����1���(�O�����Q��/��(�a�))��!��H���V����2���(�O����P������3���Y��(��2���+��a�))�UR�!������������iF�Bu��9t���f�2"rom�t���h��re�exp�ޔli��Jcit�compu�t��ra���t�ions���of�pro��ject��riv�e���space�(5.1)�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�O����P������3���Y��(�a�))�Y=�0�����iFan��rd���H���V���2�2���Z�(�O����P������3���Y��(��2���+��a�))�UR=�0�f�2"rom�whi��Jc��rh�w�e�conclud���e�t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a�))�UR=�0.�����؉#87����XË���э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�Next���w��re�sh���o�w�t���h�a���t��O�����Q��/��(�a�.����1�;���a�)�UR=�0.�$�Let����Y�J`�b�)�e�a�s�in��9gle�co��rp�y���of��P����2�1��m�s�it��2t��rin��9g�in��Q��so�t���h�a���t��Y������iF�h��ras��t�yp�)�e�(1�;����0).�8�Th�en�w�e�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence��2Ӎ��׈0�UR�!�I�����Y��
��!�O�����Q��
���!�O�����Y���!��0�:�����iF�Bu��9t���I�����Y��
��=�UR�O�����Q��/��(��1�;����0)�so�t���hi�)�s�b�ecom��re�S�s������0�UR�!�O�����Q��/��(��1�;����0)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�:�����iF�No��rw��t�wi�)�s�[t�in��9g�b�y��a��yields�t���h�e�exact�s�:}equence����qsK0�UR�!�O�����Q��/��(�a������1�;���a�)�UR�!�O�����Q���(�a�)��!�O�����Y��P��(�a�)��!��0�:�����iF�Th��re��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence�����'���������8�!�UR�(�O�����Q��/��(�a�))��!��(�O�����Y��P��(�a�))��!��H���V����1���Z�(�O�����Q���(�a������1�;���a�))�UR�!��H���V����1���Z�(�O�����Q���(�a�))��!������������iF�W��Ve��jus�[t�sh���o��rw�e�S�d��t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a�))�Ή=�0,�w�so�t��9o�s�:}ee�t���h��ra���t��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a�X���1�;���a�))�Ή=�0�it�suce�S�s�����iFt��9o�dnot��Ee�t���h��ra���t�t�h��re�m���ap�(�O�����Q��/��(�a�))����!��(�O�����Y��P��(�a�))�di�)�s�surject�iv�e.�	�:Thi�)�s�can�b�e�s�:}een�b��ry�wr�2"it�in��9g�����iF�Q��R�=��Pro��j��k�(�k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�xy�B{���B�z�w��))�'�an��rd�(w.l.o.g.)��.�Y�Y¹=���RPro��j��k�(�k�g�[�x;���y�n9;�z�;�w�R��]�=�(�xy�B{���B�z�w�;���x;�z��))�'�an��rd�����iFnot��rin��9g��Ft���h�a���t�t���h�e�d���egree��a��part�of��k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�xy�ɤ��[k�z�w��)��Fsurject��es�on��t��9o�t���h��re�d���egree��a��part�of�����iF�k�g�[�x;���y�n9;�z���;�w�R��]�=�(�xy��������z�w�;���x;�z��).�	%,Th���us�9l�H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a������1�;���a�))��!=�0�an��rd�exact���ly�t�h��re�sam�e�argu��9m�en��t�����iFsh���o��rws���H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(�a;���a������1))�UR=�0.�8�Thi�)�s�giv��re�S�s�(1).����	:F��Vor��(2)�it�suce�S�s�t��9o�sh���o��rw�t���h�a���t�for��a�UR>��0,����_J��H���V����1���Z�(�O�����Q��/��(��a;�����a������n�))�UR=��H���V����1���(�O�����Q��/��(��a������n;�����a�))�UR=�0�����iFfor��all��n���>��0.��wTh���us��let��n���>��0��an��rd�sup�p�S�o�!ls�:}e��Y����i�)�s�a�di�sjoin��t�u��9nion�of��n��co��rpie�S�s�of��P����2�1��׉�in�su�c�h�a�����iFw��ray��t���h�a���t��I�����Y��
��=�UR�O�����Q��/��(0�;�����n�).�8�Th�en�w�e�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence������0�UR�!�O�����Q��/��(0�;�����n�)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�:�����iF�Twi�)�s�[t��rin��9g��b�y���a��yields�t���h�e�exact�s�:}equence����^6�0�UR�!�O�����Q��/��(��a;�����a������n�)�UR�!�O�����Q���(��a�)��!�O�����Y��P��(��a�)��!��0�:�����iF�Th��re��lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�t���h�en�giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence�����5���������GCL!�UR�(�O�����Y��P��(��a�))��!��H���V����1���Z�(�O�����Q��/��(��a;�����a������n�))�UR�!��H���V����1���(�O�����Q��/��(��a�))��!������������iF�As�|�ev��re��ry�on�e�kno�ws,��s�)�ince��Y���i�s�jus�[t�s�:}ev��re��ral�co�pie�S�s�of��P����2�1��
<��an�d���a�g<��0,��(�O�����Y��P��(��a�))�=�0.�����iFBeca��2us�:}e�N.of�our�compu��9t��ra���t�ions�N.a�b�S�o�v�e,�g�H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(��a�))���=�0.�crTh���us��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(��a;�����a��k���n�))���=�0,�gas�����iFd���e�S�s�)�ire�d.�8�Sh���o��rwin��9g��t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�O�����Q��/��(��a������n;�����a�))�UR=�0�i�)�s�exact���ly�t�h��re�sam�e.�����iF(b)��No��rw�us�:}e�t���h�e�S�s�:}e�re�sul��9t��es�t�o�sh���o��rw:������Ů1.�����2If�C��Y��\�i�)�s�a�lo�S�cally�pr�2"incipal�clo�!ls�:}e�d�su���b�!ls��xc��rh�em�e�C�of�t��ryp�)�e�(�a;���b�)�wit�h��a;���b��>��0,��<t�h��ren�C��Y��\�i�)�s�����2conn��rect��Ee�S�d.��:Z�����2�Pr��ffo�of.���6���Compu��9t��rin�g��t���h�e�lon��9g�exact�s�:}equence�as�!lso�S�cia���t��Ee�d��t�o�t���h��re�sh���ort�exact�s�:}equence�����)D0�UR�!�I�����Y��
��!�O�����Q��
���!�O�����Y���!��0�����2giv��re�S�s��t���h�e�exact�s�:}equence����R�g0�UR�!��(�Q;����I�����Y��P��)��!��(�Q;��O�����Q��/��)��!��(�Q;��O�����Y��P��)��!��H���V����1���Z�(�Q;��I�����Y��P��)��!����������2�Bu��9t,���(�I�����Y��P��)�UR=�0,�(�Q;����O�����Q��/��)�=��k�g�,�an��rd���b�y�(a)2�a�b�S�o�v�e��H���V���2�1���Z�(�Q;����I�����Y��P��)�UR=��H���V���2�1���(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=�����20.�8�Th���us��w��re�h�a�v�e�an�exact�s�:}equence������0�UR�!��0��!��k��o�!��(�O�����Y��P��)��!��0��!������������2�f�2"rom��whi��Jc��rh�w�e�conclud���e�t���h�a���t�(�O�����Y��P��)�UR=��k�QŹwhi��Jc�h��imp�ޔlie�S�s��Y���i�)�s�conn�ect��Ee�S�d.���B�%��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#88����Y����э����Ơ�
:���B�ƍ����Ů�2.�����2no��rw��as�!lsu��9m�e��k��;�i�)�s�alge���brai��Jcally�clo�!ls�:}e�S�d.�Th�en�for�an�y��a;���b�UR>��0,���t���h��re��re�exi�)�s�[t��es�an�irre�S�d�u�cib�ޔle������2nons�)�in��9gular��curv��re��Y���of�t�yp�)�e�(�a;���b�).�8�Us�:}e�(I�S�I,�7.6.2)�an�d�(I�S�I,�8.18).��P�����2�Pr��ffo�of.���6���Giv��ren��(�a;���b�),�(I�S�I,�7.6.2)�giv�e�S�s�a�clo�!ls�:}e�d�imm��re��r�[s�)�ion��e{������Q�UR�=��P�����1��j������P�����1��V�!��P�����a���w���P�����b��x.�!��P�����n������2�whi��Jc��rh��corre�S�sp�on�ds��t��9o�t���h�e�in�v�e��rt�ib�ޔle�sh�e�!laf��O�����Q��/��(��a;�����b�)�of�t�yp�)�e�(�a;���b�).���By�Be��rt�ini's�t���h�e-�����2orem�$�(I�S�I,�8.18)�t���h��re��re�i�)�s�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e��H���in��P����2�n��	��su�c�h�t���h�a���t�t���h�e�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�s�:}ect�ion�of�t���h�e�����2(�a;���b�)���em��ekb�)�e�S�ddin��9g�of��Q��in��P����2�n��
�ѹi�s�nons�in��9gular.�hlPull�t���hi�s�h��ryp�e��rp�ޔlan�e���s�:}ect�ion�bac�k�t��9o�a�����2nons�)�in��9gular��curv��re��Y�ru�of�t�yp�)�e�(�a;���b�)�on��Q��in��P����2�3����.�1�By�t���h�e�previous�prob�ޔlem,��%�Y�ru�i�)�s�conn�ec-�����2t��Ee�S�d.��.Since��m�Y�_ݹcom��re�s�f�2"rom�a�h��ryp�)�e��rp�ޔlan�e�s�:}ect�ion�t���hi�)�s�imp�ޔlie�S�s��Y�_ݹi�s�irre�S�d��ru�cib�ޔle�(s�:}ee�t���h�e�����2rem���ar��ek��in�t���h��re�s�[t�a���t��Eem�en��t�of�Be��rt�ini's�t���h�eorem).���‹���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����P�����Ů3.�����2an���irre�S�d��ru�cib�ޔle�nons�)�in��9gular�curv�e��Y��d�of�t�yp�)�e�(�a;���b�),�G�a;�b�y�>��0�on��Q��i�)�s�pro��ject��riv�ely�norm���al�����2(I�S�I,���Ex.���5.14)�if�an��rd�only�if��j�a�����b�j�T��1.�In���part��ri��Jcular,��
t���hi�)�s�giv�e�S�s�lot��es�of�examp�ޔle�s�of�����2nons�)�in��9gular,��bu�t��2not�pro��ject��riv�ely��2norm���al�curv��re�S�s�in��P����2�3����.��Th�e�s�)�imp�ޔle�S�s�[t�i�s�t���h��re�on�e�of�t�yp�)�e�����2(1�;����3)��whi��Jc��rh�i�)�s�jus�[t�t���h�e�ra���t�ion���al�quart�i��Jc�curv�e�(I,�Ex.�8�3.18).�������2�Pr��ffo�of.���6���Let�Z��Y��8�b�)�e�an�irre�S�d��ru�cib�ޔle�Z�nons�in��9gular�curv��re�of�t�yp�)�e�(�a;���b�).��Th�e�cr�2"it��Ee��r�ion�Z�w�e�ap�p�ޔly�����2com��re�S�s��f�2"rom�(I�I,�Ex�5.14d)�whi��Jc��rh�as�!ls�:}e��rt��es�t���h�a���t�t���h�e�m���ap�!ls��e{���B�(�P�����3����;����O����P������3���Y��(�n�))�UR�!��(�Y��;��O�����Y��P��(�n�))�����2are���surject��riv�e�for�all��n�UR���0�if�an��rd�only�if��Y�u;�i�)�s�pro��ject�iv�ely�norm���al.�2�T��Vo�d���et��Ee��rmin�e�wh�en�����2t���hi�)�s�o�S�ccur�[s�w��re�h�a�v�e�t��9o�rep�ޔlace�(�P����2�3����;����O����P������3���Y��(�n�))�wit���h�(�Q;��O�����Q��/��(�n�)).���It�i�)�s�e�!lasy�t��9o�s�:}ee�t���h��ra���t�����2t���h��re�1�a�b�S�o�v�e�cr�2"it��Ee��r�ion�imp�ޔlie�S�s�w��re�can�m���ak�e�t���hi�)�s�rep�ޔlacem�en��t�if��Q��i�)�s�pro��ject�iv�ely�norm���al.�����2Since��[�Q�����P���a�����԰���z��=�������P����2�1������P����2�1��	H_�i�)�s�lo�S�cally�i�somorphi��Jc�t��9o��A����2�1������A����2�1������P���	!�����԰���	:��=��������A����2�2��	H_�whi�c��rh�i�)�s�norm���al,���w�e�s�:}ee�����2t���h��ra���t�#��Q��i�)�s�norm���al.���Th�en�s�)�ince��Q��i�s�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�whi��Jc�h�i�)�s�norm���al,�2P(I�S�I,�8.4b)�����2imp�ޔlie�S�s���Q��i�)�s�pro��ject��riv�ely��norm���al.���[���2Cons�)�id���e��r��t���h��re�exact�s�:}equence�������0�UR�!�I�����Y��
��!�O�����Q��
���!�O�����Y��P��:�����2�Twi�)�s�[t��rin��9g��b�y��n��giv�e�S�s�an�exact�s�:}equence������60�UR�!�I�����Y��P��(�n�)��!�O�����Q��/��(�n�)��!�O�����Y���(�n�)�:�����2�T��Vakin��9g��coh���omo�ޔlogy�yields�t���h��re�exact�s�:}equence�����V2L�������g��!�UR�(�Q;����O�����Q��/��(�n�))��!��(�Q;��O�����Y��P��(�n�))��!��H���V����1���Z�(�Q;��I�����Y��P��(�n�))��!����������2�Th���us�,�Y����i�)�s�pro��ject��riv�ely�,norm���al�preci�s�:}ely�if��H���V���2�1���Z�(�Q;����I�����Y��P��(�n�))���=�0�,for�all��n������0.��kWh��ren�,can�����2t���hi�)�s��h��rap�p�en?�8�W��Ve��ap�p�ޔly�our�compu��9t�a���t�ions�f�2"rom�part�(a).�8�Since��O�����Q��/��(�n�)�UR=��O�����Q���(�n;���n�),����1���I�����Y��P��(�n�)�UR=��O�����Q��/��(��a;�����b�)(�n�)�=��O�����Q���(��a;�����b�)����
�����O��X.�Q���2��O�����Q���(�n;�n�)�UR=��O�����Q���(�n������a;���n����b�)�����2If���j�a������b�j�UR��1�t���h��ren��j�(�n������a�)����(�n����b�)�j�UR��1�for�all��n��so�����"��H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�)(�n�))�UR=�0�����2for��all��n��whi��Jc��rh�imp�ޔlie�S�s��Y��Q�i�)�s�pro��ject�iv�ely�norm���al.���On�t���h�e�ot���h�e��r�h�an�d,�#/if��j�a��r���b�j��K�>��1��let�����2�n�_�b�)�e�t���h��re�minim�u��9m�of��a��an��rd��b�,�
wit�h���ou��9t�lo�!ls�s�_as�su�m��re�_�b��i�)�s�t���h�e�minim���u��9m,�
so��n��8�=��b�.��Th�en�����2f�2"rom��(a)�w��re�s�:}ee�t���h�a���t����bX�O�����Q��/��(��a;�����b�)(�n�)�UR=��O�����Q���(��a;�����b�)(�b�)�=��O�����Q���(��a����+��b;����0)�UR�6�=�0�����2s�)�ince����a����+��b�UR���2.���K���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#89����Z�Р��э����Ơ�
:���B�ƍ�	:�(c)���If��Y�ad�i�)�s�a�lo�S�cally�pr�2"incipal�su���b�!ls��xc��rh�em�e���of�t��ryp�e�(�a;���b�)�in��Q�,���sh���o��rw�t���h�a���t��p�����a��Ϲ(�Y��p�)�UR=��ab�R����a����b��+�1�:������iF�[Hin��t:��}Calcula���t��Ee��t���h��re�Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomials�of�suit�a�b�ޔle�sh�e�!la�v�e�S�s,�(Jan�d�again�us�:}e�t���h�e�sp�)�ecial�cas�:}e�����iF(q,0)��whi��Jc��rh�i�)�s�a�di�sjoin��t�u��9nion�of��q�X�co��rpie�S�s�of��P����2�1����.]��������iF�Pr��ffo�of.���2��Th��re��s�:}equence������0�UR�!�O�����Q��/��(��a;�����b�)��!�O�����Q��
���!�O�����Y��
��!��0�����iFi�)�s��exact�so����L����(�O�����Y��P��)�UR=���(�O�����Q��/��)�������(�O�����Q���(��a;�����b�))�UR=�1�������(�O�����Q���(��a;�����b�))�:�����iF�Th���us����|���p�����a��Ϲ(�Y��p�)�UR=�1�������(�O�����Y��P��)�UR=���(�O�����Q��/��(��a;�����b�))�:�����iF�Th��re��prob�ޔlem�i�)�s�t���h�us��re�S�d�u�ce�d��t��9o�compu�t��rin�g���(�O�����Q��/��(��a;�����b�)).����	:As�!lsu��9m��re��Qr�[s�t�t���h��ra���t��a;���b�5<��0.�	��T��Vo�compu��9t��Ee���(�O�����Q��/��(��a;�����b�))�as�!lsu�m��re��Y����=�5�Y�����1���:�[��6�Y�����2��
BU�wh�e��re�����iF�I�����Y��q�1���
��=�.�O�����Q��/��(��a;����0)�P6an��rd��I�����Y��q�2����=�.�O�����Q��/��(0�;�����b�).�i�Th���us�w��re�could�t�ak�e��Y�����1��	:�t��9o�b�)�e��a��co�pie�S�s�of��P����2�1��	:�in�on�e�����iFf�)�amily���of�lin��re�S�s�an�d��Y�����2��z׹t��9o�b�)�e��b��co�pie�S�s�of��P����2�1��z׹in�t���h�e�ot���h�e��r�f�)�amily��V.�(�T�ensor�2"in��9g���t���h�e�exact�s�:}equence������270�UR�!�I�����Y��q�1����&�!�O�����Q��
���!�O�����Y��q�1����!��0�����iFb��ry��t���h�e�
a���t�mo�S�d�ule��I�����Y��q�2���
�|�yields�an�exact�s�:}equence�������0�UR�!�I�����Y��q�1���B|�
���I�����Y��q�2����&�!�I�����Y��q�2����!�O�����Y��q�1���B|�
���I�����Y��q�2�������iF�[Not��Ee:�s�I��us�:}e�5t���h��re�f�)�act�t�h��ra���t��I�����Y��q�2����	�i�)�s�
a�t.���Thi�)�s�fo�ޔllo��rws�f�2"rom�a�pro�p�S�o�!ls�)�it�ion�in�s�:}ect�ion�9�whi��Jc�h������iFw��re�Zih�a�v�en't�y�et�re�!lac�h�e�S�d,�vZbu��9t�I'm�goin�g�t�o�us�:}e�it�an��ryw�ays.��$Since��Y�����2��	m�i�)�s�lo�S�cally�pr�2"incipal,�vZ�I�����Y��q�2�������iF�i�)�s�l5gen��re��ra���t��Ee�S�d�lo�cally�b��ry�a�s�)�in��9gle�elem�en��t�an�d�s�)�ince��Q��i�s�a�v��X�ar�2"iet��ry�it�i�s�in��t��Eegral.���Th���us��I�����Y��q�2���	�i�s�����iFlo�S�cally��f�2"ree�so�b��ry�(9.2)��I�����Y��q�2���
�|�i�)�s�
a���t.]�8�Thi�s�exact�s�:}equence�can�also�b�e�wr�2"it��2t��Een�as�����O��0�UR�!�O�����Q��/��(��a;�����b�)��!�O�����Q���(0�;�����b�)��!�O�����Y��	�e�
���O�����Q���(0�;�����b�)��!��0�:�����iF�Th��re��as�!lso�S�cia���t��Ee�d�lon��9g�exact�s�:}equence�of�coh���omo�ޔlogy�i�)�s�������r�0�UR�!�������,�N�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��(�Q;����O�����Q���(0�;���b�))�UR�!��(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q���(0�;���b�))����������� �L�!�������,�N�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR�!��H���V����1���(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))���������� �L�!�������,�N�H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�UR�!��0���������iFTh��re��pr�[s�t�t���hree�group�!ls�of�global�s�:}ect��rions�are�0.��xSince��a;���b�UR<��0,��H(a)�imp�ޔlie�S�s��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=������iF0.�<RF��Vrom���t���h��re�lemm���a�w�e�kno�w�t���h�a���t��H���V���2�1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�WF=��k��g���2��(�b��1)���e�.�<RAlso���b�y�t���h�e�lemm���a�w�e�kno�w�����iFt���h��ra���t�)�H���V���2�2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�y�=�0.�ydSince��O�����Y��q�1���Q �
��LO�����Q��/��(0�;�����b�)�i�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o�t���h��re�id���e�!lal�sh�e�!laf�of��b��L���1�����iFp�S�oin��t��es��in�e�!lac��rh�lin�e�of��Y�����1����,�a�s�)�imilar�pro�S�of�as�t���h�a���t�us�:}e�S�d�in�t���h�e�lemm���a�sh�o��rws�t���h�a���t�����@+�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Y��	�e�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�UR=��k��g�����a�(�b��1)��!#4�:�����iF�Pluggin��9g��all�of�t���hi�)�s�inform���a���t��rion�bac�k�in�yields�t���h�e�exact�s�:}equence�������NN0�UR�!�������$���(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=�0��!��(�Q;����O�����Q���(0�;���b�))�UR=�0��!��(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q���(0�;���b�))�UR=�0�����N��������!�������$���H���V����1���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=�0��!��H���V����1���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR=��k��g�����(�b��1)�����������p�!�UR�H���V����1���Z�(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�=��k��g�����a�(�b��1)���������������!�������$���H���V����2���Z�(�Q;����O�����Q��/��(��a;���b�))�UR�!��H���V����2���(�Q;����O�����Q��/��(0�;���b�))�UR=�0����������p�!�UR�H���V����2���Z�(�Q;����O�����Y��q�1���B|�
���O�����Q��/��(0�;���b�))�=�0��!��0��������؉#90����[����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�F��Vrom��t���hi�)�s�w��re�conclud���e�t�h��ra���t��i��
l���(�O�����Q��/��(��a;�����b�))�UR=�0���+�0�+��h�����2����(�Q;��O�����Q��/��(��a;���b�))�UR=��a�(�b������1)����(�b����1)�UR=��ab������a����b��+�1�����iFwhi��Jc��rh��i�)�s�t���h�e�d���e�S�s�)�ire�d��re�sul��9t.�����	:No��rw��w�e�d���e�!lal�wit���h�t�h��re�rem���ainin��9g�cas�:}e,�wh�en��Y���i�)�s��a��di�sjoin��t�co��rpie�S�s�of��P����2�1����.�8�W��Ve�h�a�v�e����Jj��p�����a��Ϲ(�Y��p�)�UR=�1�������(�O�����Y��P��)�UR=�1�������(�O������UV��a���э�P������1�������)�UR=�1������a�(�O����P������1���Y��)�UR=�1������a�����iF�whi��Jc��rh��comp�ޔlet��Ee�S�s�t���h�e�pro�S�of.���Bg���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����"�ˍ���iF�57.3�� ��IV,�L�3.6,�3.13,�5.4,�Extra�Prob���lems��@����iF�57.3.1��$iFExe�frci�0s�C4e��IV.3.6:�Curv��e�`s�of�Degree��4�����iF�(a)�35If��X�$��is�a�curve�of�de��ffgr�e�e�354�in�some��P����2�n���P�,�show�that�either��������O�1.�����2�g����=�M�0�,���in��^which�c��ffase��X����is�either�the�r�ational�normal�quartic�in��P����2�4��	yb�(Ex.���3.4)�or�the�����2r��ffational�35quartic�curve�in��P����2�3���9�(II,�7.8.6),�or��6������O�2.�����2�X�F���UR�P����2�2����,�35in�which�c��ffase��g�Ë�=�3�,�or�������O�3.�����2�X�F���UR�P����2�3���9�and�35�g�Ë�=�1�.�����	:(b)�W�In�the�c��ffase��g�x�=��?1�,�ashow�that��X�If�is�a�c�omplete�interse�ction�of�two�irr�e�ducible�quadric�����iFsurfac��ffes�35in��P����2�3���9�(I,�Ex.�fi5.11).��6������iFPr��ffo�of.���2��(a)��	Fir�[s�t�sup��rp�S�o�!ls�:}e��n�a2���4.�If��X�y��i�)�s�not�con��t��rain�e�S�d�in�an�y��P����2�n��1��չt���h�en�s�)�ince�4�a2���n��(Ex.�����iF3.4b)��kimp�ޔlie�S�s��n���=�4,����g�n9�(�X��)�=�0,�an��rd��k�X���die��r�[s�f�2"rom�t���h�e�ra���t�ion���al�norm�al�curv��re�of�d���egree�4�����iFonly���b��ry�an�a��2u��9t�omorphi�)�sm���of��P����2�4����.�)�(I��ut�ak�e�t���hi�)�s�t��9o�m�e�!lan�t���h�a���t��X���is��t���h�e�ra���t�ion���al�norm�al�curv��re�of�����iFd���egree��4.)�8�Th���us�wh��ren��n�UR���4��w�e�h�a�v�e�pro�v�e�S�d�t���h�a���t�cas�:}e�(1)�o�S�ccur�[s.����	:Next�b�sup��rp�S�o�!ls�:}e��n�!R�=�3.��mTh�en�b��X�T�i�)�s�a�d���egree�4�curv�e�in��P����2�3����.��mIf��X�T�i�)�s�con��t�ain�e�S�d�in�som�e��P����2�2������iF�t���h��ren�*n�g�0�=�����Fu����1�������z�@���2�����
hH�(�d�����1)(�d����2)���=�3�an��rd�so�cas�:}e�(2)�o�S�ccur�[s.��1If��X��i�)�s�not�con��t�ain�e�S�d�in�an�y��P����2�2���r�t���h�en�����iF(Ex.�8�3.5��b)�imp�ޔlie�S�s���������g�Ë<������ō����1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)�UR=�3�:���荑�iF�Th���us����g�c��i�)�s�e�S�it�h��re��r�0,���1,�or���2.�Z8If��g��v�=�h=0�t�h��ren��X��H�i�)�s�t�h��re�ra���t�ion���al�quart�i��Jc�curv�e�in��P����2�3���ɹwhi��Jc�h�i�)�s�cas�:}e�����iF(1).�If�mH�g�Ë�=�UR1�t���h��ren��X�^˹f�)�alls�in��t��9o�cas�:}e�(3).�If��g�Ë�=�UR2�t���h��ren��O�����X����(1)�i�)�s�a�v�e��ry�amp�ޔle�divi�)�sor�of�d���egree�����iF4��@(3.3.2)�on�a�gen���us�2�curv��re�con��trary�t��9o�(Ex.��3.1)�whi��Jc�h�as�!ls�:}e��rt��es�t���h�a���t�t���h�e�d���egree�of�a�v�e��ry�����iFamp�ޔle��divi�)�sor�on�a�curv��re�of�gen���us�2�i�s�a���t�le�!las�[t�5.����	:Next�'�sup��rp�S�o�!ls�:}e��n��C�=�2.��Th�en�'��X�<�i�)�s�a�d���egree�4�curv�e�in��P����2�2��罹so��X�<�h�as�gen���us�3�an�d�f�)�alls�in��t��9o�����iFcas�:}e��(2).����	:Th��re��cas�:}e��n�UR�=�1��cannot�o�S�ccur�s�)�ince��P����2�1�����con��t�ains�no�curv�e�of�d���egree�4.����	:(b)��A�rcurv��re��C��K�of�gen���us�1�h�as��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s�s�)�ince�Riem���ann-Ro�S�c�h�guaran��t��Eee�S�s�t���h�a���t�t���h�e�comp�ޔlet��Ee�lin�e�!lar�����iFsys�[t��Eem��has�!lso�S�cia���t�e�d��ht��9o�an��ry�divi�)�sor�of�d���egree�2�i�s�a��g����2��n9�1��RA�2���.=�.�- Th��re��re�are�innit��Eely�m���an�y�divi�)�sor�[s�of�����iFd���egree���2�whi��Jc��rh�i�)�s�not�lin�e�!larly�equiv��X�alen��t.�nlThi�)�s�i�s�b�eca��2us�:}e��P�X��+����Q�s����P��+����R�˹i����Q����R�J�.�nlSince�����iF�C��F�i�)�s��not�ra���t��rion���al�t���h�e��re�are�innit��Eely�m���an�y�p�S�oin��t��es��Q��an�d��R��wit���h��Q�UR�6��R�J�.����	:Giv��ren�K)t�w�o�di�)�s�[t�inct��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s�t�ak�e�t���h�e�pro�S�d�u�ct�of�t���h�e�corre�S�sp�on��rdin��9g�morphi�)�sms�t�o�obt��rain�a�m���ap�����iF�'�UR�:��C�1��!��Q�꨹wh��re��re��Q��i�)�s�t���h�e�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace�in��P����2�3����.�8�Th�e�diagram�i�)�s��'�����fd������C���������������!������P����2�1����������	�#���Ʀ}&�UR�'�����x�"����������P����2�1������� ������������G�C�����0��V��UR�Q��������؉#�91����\d���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Let�#��C�����0����d���enot��Ee�t���h��re�im���age�of��C���u��9n�d���e��r��'�.��Not��Ee�t���h�a���t��C�����0����i�)�s�not�a�p�S�oin��t�so�t���h�e�t�yp�)�e�(�a;���b�)�of��C�����0�������iF�i�)�s�8�d���en��re�S�d.�#�Let��e��b�e�t���h��re�d���egree�of��'�.�#�Th�en�b�y�an���alyzin��9g�h�o��rw�ce��rt�ain�divi�)�sor�[s�pull�bac�k�on�e�����iFs�:}ee�S�s�l�t���h��ra���t��ae�2i�=�2�l�an�d��be�2i�=�2.���Th�e�l�only�p�S�o�!ls�s�)�ibilit�ie�S�s�l�are�t���h�a���t��C�����0��	,��i�)�s�of�t�yp�)�e�(1�;����1)�or�of�t�yp�)�e�����iF(2�;����2).�7�If����C�����0��	T�i�)�s�of�t��ryp�e�(1�;����1)�t���h��ren��C�����0��	T�m�us�[t�b�)�e�nons�in��9gular�b�eca��2us�:}e�of�t���h��re�rela���t�ion�b�)�et�w�een�����iFt���h��re��lar�2"it�hm�et�i��Jc��lgen�us�of��C�����0��	Cp�an��rd�t�h��ra���t�of�it��es�norm���aliza�t��rion.�+So�in�t���hi�)�s�cas�:}e��C�����0������P���	\����԰���	2D�=�������P����2�1��	Cp�an�d�t���h�e�����iFpro��ject��rions����Q���!��P����2�1��	��are�inject��riv�e�wh�en�re�S�s�[tr�2"i��Jct��Ee�d�t��9o��C�����0����.��Thi�)�s�imp�ޔlie�s�t���h��ra���t�t�h��re�t�w�o�m���ap�!ls�����iFcomin��9g��f�2"rom�t���h��re�di�)�s�[t�inct��g����2��n9�1��RA�2���.=�'s�co�ޔllap�!ls�:}e�t���h�e�sam�e�p�S�oin��t��es,�a�con�tradi��Jct��rion.����	:Th���us��=�C�����0���A�i�)�s�of�t��ryp�e�(2�;����2)�an��rd��e�UR�=�1.�3�Beca��2us�:}e��=�C��۹h�as�gen���us�1�an�d��C�����0���A�h�as�ar�2"it���hm�et�i��Jc�gen���us�����iF(2�)4���1)(2����1)���=�1���it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t��C�����P���nO����԰����7�=�����UW�C�����0����.�f{W��Ve�no�w�kno�w�t���h�a���t��C��$�em��ekb�)�e�S�ds�as�a�t�yp�)�e�(2�;����2)�����iFcurv��re��on��Q�.�8�Since�a�curv�e�of�t�yp�)�e�(�a;���a�)�on��Q��i�s�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion�w�e�are�don�e.����	:Anot���h��re��r�\=w�ay�t��9o�do�t���hi�)�s�prob�ޔlem�i�s�t��9o�som��re�ɱh���o�w�em��ekb�)�e�S�d��X�M��in��t��9o��P����2�3��A�as�a�d���egree�4�curv�e�t���h�en�����iFcons�)�id���e��r��t���h��re�exact�s�:}equence������pm0�UR�!�I�����X����(2)��!�O����P������3���Y��(2)��!�O�����X���(2)��!��0�:�����iF�T��Vakin��9g��coh���omo�ޔlogy�yields�t���h��re�exact�s�:}equence�of�v�ect��9or�space�S�s����U��0�UR�!��H���V����0���Z�(�I�����X����(2))��!��H���V����0���(�O����P������3���Y��(2))��!��H���V����0���(�O�����X����(2))��!��������UL�:�����iF�Since�o�X�a�h��ras�d���egree�4�it�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t��dim����H���V���2�0���Z�(�O�����X����(2))�UR=�8.��F��Vurt���h�e��rmore��odim����H���V���2�0���Z�(�O����P������3���Y��(2))�=�10������iFso��w��re�s�:}ee�t���h�a���t�������Cdim������H���V����0���Z�(�I�����X����(2))�UR���2�:�����iF�Thi�)�s�1Em��re�!lans�t���h�a���t�t���h�e��re�exi�)�s�[t�lin�e�!larly�in�d���ep�)�en�d�en��t�1Eh���omogen�eous�p�S�o�ޔlynomials��f�yD�an�d��g��~�of�d���egree�����iF2�*su��rc�h�t���h�a���t��X������F�Z�ܞ�(�f�G��)�an�d��X������F�Z�ܞ�(�g�n9�).��%Since��X���h�as�d���egree�4�an�d��Z�ܞ�(�f�G��)����\��Z��(�g�n9�)�*h��ras�d���egree�4�����iFt���h��re��2f�)�act�t�h��ra���t��X�F���UR�Z�ܞ�(�f�G��)���\��Z��(�g�n9�)��2imp�ޔlie�S�s�t���h��ra���t��X�Fչ=�UR�Z��(�f�G��)���\��Z��(�g�n9�).� �Thi�)�s��2i�s�s�:}een�b��ry�lo�S�okin��9g�a���t�t���h�e�����iFap��rpro�pr�2"ia���t��Ee��Hil�b�)�e��rt�p�S�o�ޔlynomials.���$�d��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����J�����iF�57.3.2��$iFExe�frci�0s�C4e��IV.3.12��@���iF�F���or��e��ffach�value�of��d��*�=�2�;����3�;��4�;��5���and��r�<��satisfying��0��*���r���������Fu���]�1���]����z�@���2�����L��(�d�1e���1)(�d����2)�,��show��that�ther�e�����iFexists�35an�irr��ffe�ducible�35plane�curve�of�de��ffgr�e�e�35�d��with��r����no��ffdes�and�no�other�singularities.��������iFPr��ffo�of.���2��I�Padid�P�t���h��re�r�[s�t�P�few�b�y�n�din��9g�exp�ޔli��Jcit�equa���t�ions.�	kIt�migh�t�h�a�v�e�b�)�een�b�et��2t��Ee��r�t��9o�do�����iFev��re��ryt���hin��9g��b�y�a�b�!ls�[tract�gen�e��ral�m�et���h���o�S�ds�bu��9t�it�w�as�a�go�S�o�d�exe��rci�)�s�:}e�t��9o�s�e�!larc��rh�for�d���enin��9g�����iFequa���t��rions.����	:�d��۹=�2�;���r�i�=�0:���T��Vak��re�/��f�ڹ=��x����2�2������٬�y�n9z�S��=�0.�	Thi�)�s�w��ror��eks�in�an�y�c�h�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�s�)�ince�t���h�e�part�ials�����iFare:���f�����x��	<��=���2�x;���f�����y����=���z���;�f�����z�����=���y���so�G�if��f�����y����=����f�����z���=�0�G�t���h��ren��z�|��=����y�b�=�0�G�so��x��ӹ=�0.�P=Bu��9t�G�(0�;����0�;��0)�i�)�s�����iFnot��a�p�S�oin��t.����	:�d���=�3�;���r�P��=�0:���Wh��ren��M4c�h�ar�����k�d,�6�=��3�M4t�ak�e��x����2�3���Ĺ+����y��n9���2�3����+��z������2�3��	E��=��0�whi��Jc��rh�i�)�s�cle�!larly�nons�in��9gular.�`�F��Vor������iFc��rh�ar�����k�1/�=��3�/?t��rak�e��x����2�2����y�G��+��[�z������2�2��H��y��+��z������2�3��"B�+��y��n9���2�3���O�=��0.��Thi�)�s�/?i�s�nons�in��9gular�as�w��ras�pro�v�e�S�d�in�m�y�so�ޔlu��9t�ion�����iFt��9o��(I,�Ex.�8�5.5).����	:�d�,�=�3�;���r���=�1:�5>Let�h��f�t�=��xy�n9z��t�+���x����2�3�����+��y�����2�3��.=�,��ct���h��ren�h��f�����x��	u�=�,�y�z��t�+�3�x����2�2����,��c�f�����y��	)'�=�,�xz��+�3�y��n9���2�2��	��an��rd�h��f�����z���ȹ=�,�xy�n9�.�����iFTh���us�qa�s�)�in��9gular�p�S�oin��t�m�us�[t�h��ra�v�e�q�x�UR�=�0�or��y�Ë�=�0.�\If��x��=�0�t���h��ren�f�2"rom��f��Q�=�0�w��re�s�:}ee�t���h�a���t��y�Ë�=�UR0.�����iFTh���us�(0�~�:�0�:�1)�i�)�s�t���h��re�only�s�in��9gular�2"it��ry�an�d�it�i�)�s�cle�!larly�no�S�d��9al.��Not��Ee�t���h�a���t�t���hi�)�s�curv�e�w�or��eks�in�����iFc��rh�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc��3�as�w��rell.����	:�d�UR�=�4�;���r���=�0:��LWh��ren��рc�h�ar��\�k��o�6�=�UR2�рt�ak�e��x����2�4��,e�+�la�y��n9���2�4�����+��z������2�4���9�=�UR0.��(If��c��rh�ar��\�k��o�=�2�t��rak�e��x����2�3����y�ښ�+�la�z������2�3��H��y��+��z������2�4���H�+��y��n9���2�4�����=�����iF0��as�in�(I,�Ex.�8�5.5).����	:�d����=�4�;���r�L�=�1:�R<If��wVc��rh�ar����k�_��6�=�2�wVt��rak�e��f�@��=����xy�n9z������2�2��	��+����x����2�4��x��+��y�����2�4��&��=���0.�	��Th��ren�wV�f�����x��Ak�=��y�z������2�2��	��+���4�x����2�3����,�����iF�f�����y��R_�=�UR�xz������2�2����+�k4�y��n9���2�3��.=�,���an��rd�ˌ�f�����z�� �=�2�xy�n9z���.�.�Th�e�ˌonly�s�)�in��9gular�p�S�oin��t�i�s�(0�UR:�0�:�1)�ˌwhi��Jc��rh�i�s�a�no�S�d���e.�.�Wh��ren������iFc��rh�ar�����k��~�=�%a2�d�t��rak�e��f�m`�=�%a�xy�n9z������2�2��Fȹ+����x����2�3����z��Ĺ+��y�����2�4��	S��=�%a0.���Th��re�d�part�ials�are��f�����x��	nH�=�%a�y�n9z������2�2��Fȹ+����x����2�2����z���,��s�f�����y��	"n�=��xz�����2�2��H�,��san��rd�����؉#92����]*O���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�f�����z��	3U�=�h��x����2�3����.�&Th���us��ja�s�)�in��9gular�p�S�oin��t�m�us�[t�sa���t��ri�)�sfy��x�h��=�0.�&Th�en��j�f����=�0�imp�ޔlie�S�s��y���=�0.�&Th���us�t�h��re������iFonly��s�)�in��9gular�p�S�oin��t�i�s�(0�UR:�0�:�1)��whi��Jc��rh�i�s�a�no�S�d���e.����	:�d�\l�=�4�;���r����=�2:�A8Let����C��r�b�)�e�y��rour�f�a��rv�or�2"it��Ee���gen���us�1�curv��re.�EdLet��D�Bb�b�e�a�divi�sor�of�d���egree�4,���t���h��ren�����iFb��ry��(3.3.3)��D�>6�i�)�s�v�e��ry�amp�ޔle.�8�By�Riem���ann-Ro�S�c�h,���h������dim���H�j�D�S��j������dim��?��j�K��F���D��j�UR�=�4���+�1����1�����iFso��}�j�D�S��j��giv��re�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�em��ekb�e�S�ddin��9g�of��C���as�a�d���egree�4�curv��re�in��P����2�3����.�e`Us�in��9g�(3.11)�pro��ject��C���on��t�o������iFt���h��re��p�ޔlan�e�t��9o�obt�ain�a�p�ޔlan�e�curv�e�of�d���egree�4�wit���h�only�no�S�d��9al�s�)�in�gular�2"it��rie�S�s.��_Since�t���h�e�gen���us�����iFof��t���h��re�norm���aliza���t�ion�i�)�s�1�it�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t�t���h�e��re�are�exact���ly�2�no�S�d���e�s.����	:�d����=�4�;���r�9�=�3:�ΪEm��ekb�)�e�S�d����P����2�1��	u��as�t���h��re�d���egree�4�ra���t�ion���al�norm�al�curv��re�in��P����2�4����.���Th�en�us�:}e�(3.5)�����iFan��rd�7(3.10)�t��9o�pro��ject�in��t�o��P����2�2��	��t�o�get�a�curv��re��X�(��of�d���egree�4�in��P����2�2��	��h�a�vin��9g�only�no�S�d���e�s�7for�����iFs�)�in��9gular�2"it��rie�S�s.�8�Since��/���ar�0�UR=��g�n9�(����x��c�~�����X���
��)�=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(4������1)(3����1)�����P�n���u��9m��ekb�)�e��r��of�no�S�d���e�s��������iFit��fo�ޔllo��rws�t���h�a���t��X��+�h�as�3�no�S�d���e�s.����	:�d�UR�=�5�;���r���=�0:��LWh��ren��рc�h�ar��\�k��o�6�=�UR5�рt�ak�e��x����2�5��,e�+�la�y��n9���2�5�����+��z������2�5���9�=�UR0.��(If��c��rh�ar��\�k��o�=�5�t��rak�e��x����2�4����y�ښ�+�la�z������2�4��H��y��+��z������2�5���H�+��y��n9���2�5�����=�����iF0.����	:�d���=�5�;���r�+z�=�1:��"Wh��ren����c�h�ar��Xc�k�?	�6�=���5���t�ak�e��f��=����xy�n9z������2�3���3�+�EL�x����2�5��P�+��y�����2�5��
)�=���0.��CTh��ren����f�����x��
 ӹ=��y�z������2�3���3�+�EL5�x����2�4����,�����iF�f�����y����=����xz������2�3��7˹+���5�y��n9���2�4��.=�,�g�an��rd�N��f�����z��ʕ�=�3�xy�n9z������2�2��H�.�e�Th�e�N�only�s�)�in��9gular�p�S�oin��t�i�s�(0���:�0�:�1)�N�whi��Jc��rh�i�s�a�no�S�d���e.�e�In�����iFc��rh�aract��Ee��r�2"i�)�s�[t�i��Jc�ƴ5�let��f��Q�=�UR�xy�n9z������2�3����+�a8�x����2�5��!<�+��y�����2�5���u�+��x����2�3����y�����2�2��.=�:�ƴ�Th��ren��f�����x���9�=�UR�y�z������2�3����+�a83�x����2�2����y�����2�2��.=�,����f�����y��R_�=��xz������2�2����+�a82�x����2�3����y��,���an��rd�����iF�f�����z�� �=�UR3�xy�n9z������2�2��	3��so��t���h��re�only�s�)�in��9gular�p�S�oin��t�i�s�(0�UR:�0�:�1)��whi��Jc��rh�i�s�cle�!larly�a�no�S�d��9al�s�in��9gular�2"it��ry��V.����	:�d���=�5�;���r�n��=�2:�!By�^�(Ex�5.4�a)�a�gen���us�4�curv��re�whi��Jc�h�h�as�t�w�o�di�)�s�[t�inct��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s�giv�e�S�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�a�����iFp�ޔlan��re�]>quin��t�i��Jc�wit���h�t�w�o�no�S�d���e�s.�	�Th��re�curv�e�of�t�yp�)�e�(3�;����3)�on�t���h�e�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace�i�s�su��rc�h�a�curv�e.����	:�d����=�5�;���r��M�=�3.���I�@h��ra�v�e�Hnot�fou��9n��rd�on�e�y�et.���If�I�@could�n�d�a�d���egree�5�space�curv�e�of�gen���us�3�����iFI��w��rould�win.�8�Bu��9t�b�y�Th�eorem�6.4�no�su�c�h�space�curv�e�exi�)�s�[t��es.����	:�d�UR�=�5�;���r���=�4:�ːLet��C�즹b�)�e�a�curv��re�of�gen���us�2.��By�Halph�en's�t���h�eorem�t���h�e��re�exi�)�s�[t��es�a�nonsp�ecial�����iFv��re��ry��amp�ޔle�divi�)�sor��D�>6�of�d���egree�5.�8�Th�en���h�����ndim���n��j�D�S��j�UR�=�5���+�1����1����1�UR=�3�����iFso��C�ݤ�em��ekb�)�e�S�ds�in��t��9o��P����2�3���
�as�a�curv��re�of�d���egree�5.�{�Pro��ject�t�o��P����2�2���
�t�o�obt��rain�a�curv�e��X��of�d���egree�5������iFwh���o�!ls�:}e��Cs�)�in��9gular�2"it��rie�S�s�are�all�no�d��9al�an��rd�wh���o�!ls�:}e�norm�aliza���t��rion�h�as�gen���us�2.��It�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t��X�~ƹh�as�����iF4��no�S�d���e�s.����	:�d�#V�=�5�;���r�v�=�5:�*�Pi��Jc��rk�c�y�our�f�)�a�v�or�2"it��Ee�curv�e�of�gen���us�1.���By�(3.3.3)�t�h��re��re�exi�)�s�[t��es�a�v�e��ry�amp�ޔle�����iFnonsp�)�ecial�l�divi�sor�of�d���egree�5.�	��As�usual,��1pro��ject�t��9o�obt��rain�a�d�egree�5�p�ޔlan��re�curv�e�wit���h�����iFs�)�in��9gular�2"it��rie�S�s�\only�no�d���e�s�an��rd�norm���aliza���t�ion�of�gen���us�1.���It�fo�ޔllo�ws�t���h�a���t�t���h�e��re�m���us�[t�b�)�e�exact�ly�����iF5��no�S�d���e�s.����	:�d��ȹ=�5�;���r��V�=�6:�q�Em��ekb�)�e�S�d� �P����2�1���$�in��P����2�5���as�a�curv��re�of�d���egree�5�(Ex.��I3.4),�>an�d�t���h�en�pro��ject�it�in��t��9o�����iF�P����2�2�����t��9o��get�a�curv��re��X��+�of�d���egree�5�in��P����2�2���h��ra�vin��9g��only�no�S�d���e�s��as�s�)�in�gular�2"it��rie�S�s�Since����ar�0�UR=��g�n9�(����x��c�~�����X���
��)�=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(5������1)(4����1)�����P�n���u��9m��ekb�)�e��r��of�no�S�d���e�s��������iFt���h��re��n�u��9m��ekb�)�e��r�of�no�S�d���e�s�m���us�[t�b�)�e�6.���)�L��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����g��	:W��Ve��can�also�obt��rain�t���h�e�fo�ޔllo�win��9g�gen�e��ral�re�S�sul��9t.��74�����iF�Pro��p�`o�&fs�0it�ion��57.7.���^�O�If�35�r����and��d��ar��ffe�such�that���������ō�hdй1��hdП[��z����
�΍2�����ow�(�d������1)(�d����2)�+�3����d�UR���r����������ō����1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)�����iF�then�4�ther��ffe�exists�a�plane�curve�of�de�gr�e�e��d��which�has�exactly��r����singularities�al���l�of�which�ar�e������iFno��ffdes.�����؉#�93����^E<���э����Ơ�
:���B�ƍ����iF�Pr��ffo�of.���2��By�
H(6.2)�if��d��'���g�.i�+��03�
Ht���h��ren�t�h��re��re�exi�)�s�[t��es�a�curv�e�in��P����2�3���L�of�gen���us��g�x��an�d�d���egree��d�.���Us�)�in��9g������iF(3.11)��pro��ject�t���hi�)�s�curv��re�on��t��9o�t�h��re�p�ޔlan�e�t��9o�obt�ain�a�curv�e�of�d���egree��d��wit���h���P���i��r���=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)����g�������iF�s�)�in��9gular�2"it��rie�S�s���all�of�whi��Jc�h�are�no�S�d���e�s.���W��Ve���can�carry�ou��9t�t���hi�)�s�pro�S�ce�s�!ls���so�lon�g�as��r���������Fu�����1��������z�@���2�����	���(�d�	#���1)(�d����2)�����iFan��rd���d�UR���g��+���3,�t���h��ra���t�i�)�s,�as�lon��9g�as��礍�[L#�r���=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(�d������1)(�d����2)����g�Ë�������ō����1�����[��z����
�΍2�����(�d����1)(�d����2)�+�3����d:����������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����@����iF�57.3.3��$iFExe�frci�0s�C4e��IV.5.4��@���iF�A��2nother��*way�of�distinguishing�curves�of�genus��g�c�is�to�ask,��what�is�the�le��ffast�de�gr�e�e�of�a�����iFbir��ffational�(�plane�mo�del�with�only�no�des�as�singularities�(3.11)?�b�L�et��X��b�e�nonhyp�er�el���liptic�of�����iFgenus�35�4�.�fiThen:����	:(a)���if��X��R�has�two��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s,�4uit�c��ffan�b�e�r�epr�esente�d�as�a�plane�quintic�with�two�no�des,�4uand�����iFc��ffonversely;����	:(b)�3if��X�$��has�one��g����2��n9�1��RA�3���.=�,�3then�it�c��ffan�b�e�r�epr�esente�d�as�a�plane�quintic�with�a�tacno�de�(I,�Ex.�����iF5.14d),�35but�the�le��ffast�de�gr�e�e�of�a�plane�r�epr�esentation�with�only�no�des�is��6�.��k������iFPr��ffo�of.���2��(a)�A�Su��9mm���ary:��5If��X�3U�i�)�s�nonh��ryp�e��rellipt�i��Jc�A�wit���h�t��rw�o�A��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s�t�h��ren��X�3U�i�)�s�t�yp�)�e�(3�;����3)�in�t���h�e�����iFquadr�2"i��Jc���so�pro��ject��rin��9g�t���hrough�a�p�S�oin��t�on��X��e�giv�e�S�s�a�p�ޔlan�e�quin��t�i��Jc�mo�S�d���el�wit���h�exact�ly�t��rw�o�����iFno�S�d��9al��s�)�in�gular�2"it��rie�s.����	:Sup��rp�S�o�!ls�:}e�wm�X�h�i�)�s�nonh�yp�)�e��rellipt�i��Jc�an�d��X�h�h�as�t�w�o��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.��0Let��p��an�d��p����2�0��E��b�)�e�t���h�e�d���egree�3�m���ap�!ls�����iF�X�F��!�UR�P����2�1�����d���et��Ee��rmin��re�S�d��b�y�t���h�e�t�w�o��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.�8�Let��8Z�����'�UR�:��X�F��!��P�����1��j������P�����1��V�=��Q����P�����3������iF�b�)�e�T?t���h��re�S�ir�pro�d��ru�ct.��Let�T?�X�����0��V�=�UR�'�(�X��)�b�)�e�t���h��re�im���age�of��X��,�rTan��rd�let�(�a;���b�)�b�)�e�t���h�e�t�yp�)�e�of��X�����0����.��Let��2t�in��9g������iF�e��b�)�e�t���h��re�d���egree�of��'��w�e�s�:}ee�t���h�a���t��ea��4�=�3��an�d��eb��4�=�3.���Thi�)�s��imp�ޔlie�S�s�t���h�a���t�e�S�it���h�e��r��a��4�=��b��=�1��an�d�����iF�e�UR�=�3��or��a�UR�=��b��=�3��an��rd��e�UR�=�1.����	:Fir�[s�t��sup��rp�S�o�!ls�:}e��a���=��b��=�1��an�d��e���=�3.�P�Th�en���X�����0��	���i�)�s�nons�in��9gular�of�gen���us�0�an��rd�t�h��re�t�w�o�����iFpro��ject��rion��bm���ap�!ls��X�����0��	0�!�T,�P����2�1��	@f�are�inject�iv�e.��
Thi�)�s�imp�ޔlie�S�s��p��an�d��p����2�0��N��co�ޔllap�!ls�:}e�t���h�e�sam�e�p�S�oin��t��es,���a�����iFcon��tradi��Jct��rion.����	:Th���us���a�UR�=��b��=�3�an��rd��e��=�1.�6]Beca��2us�:}e�t���h��re�ar�2"it�hm��ret�i��Jc�gen���us�of��X�����0���#�i�)�s�(�a��C���1)(�b����1)�UR=�4�an��rd�����iF�X�S�h��ras�'�gen���us�4�w�e�s�:}ee�t���h�a���t��X�����0���Թm���us�[t�b�)�e�nons�in��9gular.��XTh���us��X�S�em��ekb�e�S�ds�as�a�t��ryp�e�(3�;����3)�curv��re�����iFon��t���h��re�quadr�2"i��Jc�surf�)�ace.�8�Hencefort�h�view��X��+�as�em��ekb�)�e�S�dd���e�d��in��Q�.����	:Pi��Jc��rk���a�p�S�oin��t��P�����0��	A��on��X�G���V�Q��an�d�x�a�co�p�y�of��P����2�2����.��sMap��X�s�t��9o��P����2�2��	A��b�y�pro��ject�ion�t���hrough�����iF�P�����0����.��HIf�� t��rw�o�p�S�oin��t��es��P�;���Q��pro��ject�t��9o�t���h��re�sam�e�p�S�oin��t�t���h�en��P�����0����;���P�S�;�Q��are�co�ޔllin��re�!lar.��HI���claim�t���h�a���t�����iFt���hi�)�s���imp�ޔlie�S�s�t�h��re�lin�e��L��t���hrough��P�����0����;���P�S�;�Q���i�)�s�con��t�ain�e�S�d�in��Q�.�!�T��Vo�s�:}ee�t���hi�)�s�let��H��=�b�y�a�h�yp�)�e��rp�ޔlan�e�����iFcon��t��rainin��9g��Z�L�.�qTh�en�e�S�it���h�e��r��H�F::Q��i�)�s�t�w�o�co�pie�S�s�of�a�lin�e�or�a�d���egree�2�curv�e.�qIf��H�F::Q��i�)�s�a�d���egree�����iF2��curv��re�t���h�en��L:�(�H�F::Q�)�cons�)�i�s�[t��es��of�a���t�mo�!ls�t�2�p�S�oin��t��es,�
a�con�tradi��Jct��rion�s�)�ince�t���h�e�p�S�oin��t��es��P�����0����;���P�;�Q�����iF�are��jall�con��t��rain�e�S�d��jin��L:�(�H�F::Q�).�#�Th���us��H�:Q��i�)�s�t��rw�o��jco�pie�S�s�of�a�lin�e.�#�Since��P�����0����;���P�S�;�Q��are�con��t��rain�e�S�d�����iFin�̄�H�F::Q��w��re�s�:}ee�t���h�a���t��H�F::Q�UR�=�2�L�̄�an�d�h�ence�t���h�a���t��L��i�)�s�con��t�ain�e�S�d�in��Q�.�.�Since�t���h�e��re�are�exact���ly�2�����iFlin��re�S�s���on��Q��t���hrough�an�y�giv�en�p�S�oin��t�of��Q��t���h�e�im���age�of��X��
�u��9n�d���e��r�pro��ject�ion�can�h�a�v�e�a���t�mo�!ls�[t�����iF2��s�)�in��9gular�2"it��rie�S�s.����	:T��Vo���sh���o��rw�t���h�a���t�t���h�e�s�)�in��9gular�2"it�ie�S�s�are�no�d���e�s�w��re�sh���o�w�t���h�a���t�t���hree�or�more�p�S�oin��t��es�can�not�����iFco�ޔllap�!ls�:}e�SDu��9n��rd���e��r�pro��ject�ion.�	r�[[Thi�)�s�i�s�not�quit��Ee�enough.�	r�I�R�do�not�kno��rw�h���o�w�t��9o�sh���o�w�t���h�a���t�����؉#94����_\E���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�t���h��re��re���i�)�s�not�som�e�ot���h�e��r�u��9n���usual�s�)�in�gular�2"it��ry��V.]]��Sup�p�S�o�!ls�:}e���som�e�t���hree�p�S�oin��t��es�are�co�ޔllap�!ls�:}e�d�u��9n��rd���e��r������iFpro��ject��rion.��pTh�en�&Yt���h�e��re�exi�)�s�[t��es�p�S�oin��t�s��P�S�;���Q;�R�?��on��X�ܹsu��rc�h�t���h�a���t��P�����0����;���P�S�;�Q;�R�?��are�all�co�ޔllin��re�!lar.��pNo�w�����iF�X�ùi�)�s�#@of�t��ryp�e�(3�;����3)�so��X�ùi�s�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion��Q:F�����3���D�wh�e��re��F�����3���D�i�)�s�som�e�d���egree�3�surf�)�ace.�����iFSince��#�F�����3���'�h��ras�d���egree�3�an�d�con��t�ains��P�����0����;���P�S�;�Q;�R��m�it��#m���us�[t�con��t�ain�t���h�e�lin�e�t���hrough�t�h��rem.�,^(T��Vak�e�����iFa��p�ޔlan��re�con��t�ainin��9g�t���h�e�lin�e,��2an�d�ap�p�ޔly�an�argu��9m�en��t�as�a�b�S�o�v�e.)�V�Similarly��Q��con��t�ains�t���h�e�lin�e�����iFt���hrough���P�����0����;���P�S�;�Q;�R��so��X��+�con��t��rains�t���hi�)�s�lin�e,�a�con��tradi��Jct�ion.����	:Since���t���h��re�gen�us�of�t�h��re�norm���aliza���t�ion�of�t���h�e�im���age��X�����0���׹of��X��V�in��P����2�2���i�)�s�4�an��rd��X�����0���h��ras�exact���ly�����iFt��rw�o��no�S�d���e�s�as�s�)�in��9gular�2"it��rie�s�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t��X�����0�����h�as�d���egree�5.����	:�The��Lc��ffonverse.���Sup��rp�S�o�!ls�:}e��%w�e�are�giv�en�a�p�ޔlan�e�quin��t�i��Jc�curv�e��C��ùwit���h�t�w�o�no�S�d���e�s�an��rd�no�����iFot���h��re��r��s�)�in��9gular�2"it�ie�S�s.�8�Th�en�t���h�e�norm���aliza���t�ion�h�as�gen���us��/J����$�g�n9�(����x���~�����C���	D��)�UR=������ō���1�����[��z����
�΍2�������(5������1)(4����1)����2�=�4�:�������iF�Th���us���C��H�repre�S�s�:}en��t��es�a�curv��re��X�-�of�gen�us�4.���Let��P�����0��Ю�b�)�e�on��re�of�t�h��re�t�w�o�no�S�d���e�s,�*t���h�en��s�)�ince��C��H�h�as�����iFd���egree���5�a�lin��re�t���hrough��P�����0����in��t��Ee��r�[s�:}ect��C�ׅ�in�3�ot�h��re��r�p�S�oin��t��es.�i�Thi�)�s�giv�e�S�s�a�d���egree�3�m���ap�f�2"rom��C�����iF�t��9o�Ef�P����2�1����.�ISince�t���hi�)�s�m���ap�i�s�d���en��re�S�d�on�a�non�empt�y�o�p�)�en�su���b�!ls�:}et�of��X�6�it�ext��Een�ds�t��9o�a�d���egree�3�����iFmorphi�)�sm���of��X��Y�in��t��9o��P����2�3����.�"EThi�s�giv��re�S�s�a��g����2��n9�1��RA�3�����on��X��.�"ETh�e�ot���h�e��r�no�S�d���e�giv�e�S�s�a�die��ren��t��g����2��n9�1��RA�3�����so��X��Y�h�as�����iFt��rw�o��di�)�s�[t�inct��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.����	:W��Ve�m|m���us�[t�also�sh���o��rw�t�h��ra���t��X�^��i�)�s�not�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc.�'Sup�p�S�o�!ls�:}e��X�^��i�)�s�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�so��X�^��h�as�a��g����2��n9�1��RA�2���.=�.�����iFLet��a�p��b�)�e�t���h��re�m���ap�t��9o��P����2�1���e�corre�S�sp�on�din��9g��at�o�t���hi�)�s��g����2��n9�1��RA�2���	��an��rd�let��p����2�0�����b�e�t���h��re�m���ap�t��9o��P����2�1���e�corre�S�sp�on��rdin��9g�����iFt��9o�4Xsom��re��g����2��n9�1��RA�3���.=�.��Let��'�ҿ�=��p������p����2�0�����:�ҿ�X��B�!��Q����P����2�3���\�b�)�e�4Xt���h�e�S�ir�pro�d��ru�ct.��Let�4X�X�����0���ù=�ҿ�'�(�X��)�b�)�e�t���h��re�im���age�����iFof��7�X�q��an��rd�sup�p�S�o�!ls�:}e��X�����0��	@;�h�as�t�yp�)�e�(�a;���b�).���Let��e��b�e�t���h��re�d���egree�of��'�.���Th�en��ea�S�=�2��7an�d��eb�S�=�3.�����iFTh���us���e�S�=�1�so��X��i�)�s�bira���t��rion���al�t��9o�t���h�e�norm���aliza���t�ion�of��X�����0����.���Bu��9t��X�����0��	֠�h�as�ar�2"it���hm�et�i��Jc�gen���us�����iF(2������1)(3����1)�UR=�2��<��4��whi��Jc��rh�i�)�s�a�con��tradi�ct��rion.����	:(b)�O=Sup��rp�S�o�!ls�:}e��C�+۹i�)�s�a�nonh�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e�wit���h�exact�ly�on��re��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�	f�By�lo�S�okin��9g�a���t�t�wi�)�s�[t��es�����iFof���ce��rt��rain�exact�s�:}equence�S�s�w�e�sh���o�w�e�S�d�in�clas�!ls�t���h�a���t��C��C�lie�S�s�on�t���h�e�(s�)�in��9gular)�quadr�2"i��Jc�con�e.�����iFW��Ve��sh���o��rw�e�S�d�furt���h�e��rmore�t���h�a���t��C��a�i�)�s�a�comp�ޔlet��Ee�in��t�e��r�[s�:}ect��rion��Q�����con�Îe��ʺ�:F�����3���ǹof��Q�����con�Îe���}�wit���h�som�e�cu���bi��Jc�����iFh��ryp�)�e��r�[surf�ace�0�F�����3����.���Pi��Jc�k�a�p�S�oin��t��P�����0����on��C���an�d�a�co�p�y�of��P����2�2��V��UR�P����2�3����.���Pro��ject�ion�t���hrough��P�����0����d���en�e�S�s�����iFa��m���ap��C�;��!�_[�P����2�2����.�J�If�t��rw�o��p�S�oin��t��es��P�;���Q��co�ޔllap�!ls�:}e�t���h��ren�t�h��re�t�hree�p�S�oin��t��es��P�����0����;���P�;�Q��are�co�ޔllin��re�!lar.�J�Let�����iF�L�6��b�)�e�t���h��re�lin�e�d���et��Ee��rmin�e�S�d�b�y��P�����0����;���P�S�;�Q�.�Since�6��Q�����con�Îe��q�h�as�d���egree�2�an�d��L��in��t��Ee��r�[s�:}ect��es��Q�����con�Îe��q�in�a���t�����iFle�!las�[t�F3t���hree�p�S�oin��t��es�it�fo�ޔllo��rws�t�h��ra���t��L��lie�S�s�on��Q�����con�Îe��ʺ�:��Since�t�h��re��re�i�)�s�only�on�e�lin�e�t���hrough��P�����0��7�whi��Jc�h�����iFlie�S�s���on��Q�����con�Îe��eZ�it�fo�ޔllo��rws�t���h�a���t�pro��ject�ion�d���en�e�S�s�a�bira���t�ion���al�m�ap�of��C�w>�t��9o�p�ޔlan��re�curv�e��C�����0��Z��whi��Jc�h�����iFh��ras��exact���ly�on�e�s�)�in��9gular�2"it�y��V.����	:If��,3�p�S�oin��t��es��P�;���Q;�R��v�are��,co�ޔllap�!ls�:}e�d�b��ry�pro��ject�ion�t���h�en�t���h�e�four�p�S�oin��t��es��P�����0����;���P�;�Q;�R��v�are��,co�ޔllin��re�!lar.�����iFLet�>�L��b�)�e�t���h��re�lin�e�t���hrough�t�h��rem.���Th�en�>�L��m�us�[t�lie�in��F�����3��	�B�an��rd��L��m�us�[t�lie�in��Q��whi��Jc��rh�i�)�s�a�����iFcon��tradi��Jct��rion.�8�Thi�)�s��sh���o�ws�t���h�a���t�t���h�e�s�)�in��9gular�p�S�oin��t�on��C�����0�����i�s�a�dou���b�ޔle�p�S�oin��t.����	:I��do�not�kno��rw�h���o�w�t��9o�sh���o�w�it�m���us�[t�b�)�e�a�t�acno�S�d���e.����	:�The�35Converse:����	:�If���t���h��re��re�i�)�s�a�quin��t�i��Jc�p�ޔlan�e�repre�S�s�:}en��t�a���t�ion�of�d���egree�le�S�s�!ls�t���h�an�6�wit���h�only�no�S�d���e�s���t�h��ren�t�h��re��re�����iFm���us�[t���b�)�e�a���t�le�!las�t�t��rw�o���no�S�d���e�s�b�)�eca��2us�:}e�of�t���h��re�form�ula�for�t�h��re�gen�us�of�t�h��re�norm���aliza���t�ion.�՞Bu��9t�e�!lac�h�����iFno�S�d���e��giv��re�s�r�2"i�)�s�:}e�t��9o�a�di�s�[t��rinct��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�8�Since�t���h�e��re�i�)�s�a�u��9nique��g����2��n9�1��RA�3���	�on��X��+�t���hi�s�i�s�a�con��tradi��Jct��rion.���4��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����J�����iF�57.3.4��$iFExtra��Prob�ٙlem�3,�b��y�William�St��2e�`in��@���iF�Supp��ffose�35�C���is�hyp�er�el���liptic�and��g�Ë��UR�3�.�fiThen�ther�e�do�es�not�exist�a��g����2��n9�1��RA�3���	ar�on��C�ܞ�.��������iFPr��ffo�of.���2��Sup��rp�S�o�!ls�:}e���t���h�a���t��C�k0�h�as�a��g����2��n9�1��RA�3���	�Ϲan�d�let��p�lR�:��C�H��!��P����2�1��	N��b�)�e�t���h��re�corre�S�sp�on��rdin��9g�morphi�)�sm.�$�Let�����iF�p����2�0��#��:�UR�C�1��!��P����2�1�����b�)�e��t���h��re�morphi�sm�corre�S�sp�on��rdin��9g��t�o�a��g����2��n9�1��RA�2���	�on�t���h��re�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�curv�e��C�ܞ�.�8�Let�����~�<�'�UR�=��p������p�����0��#��:�UR�C�1��!��P�����1��j������P�����1��V�=��Q����P�����3����:�����؉#�95����`r=���э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Let�ce(�a;���b�)�b�)�e�t���h��re�t�yp�)�e�of��C�����0���ٹ=�"��'�(�C�ܞ�).��If��e��d���enot��Ee�S�s�t���h�e�d���egree�of��'��t���h�en��ea�"չ=�2�cean�d��eb�"չ=�3.������iFW��Ve�xs�:}ee�t���hi�)�s�b��ry�lo�S�okin��9g�a���t�h���o�w�divi�)�sor�[s�of�t�yp�)�e�S�s�(1�;����0)�an�d�(0�;����1)�pull�bac�k.��Th���us��e�UR�=�1,��T�a��=�2�����iFan��rd���b�Y^�=�3.��iNo�w���C��t�i�)�s�i�somorphi��Jc�t��9o�t���h��re�norm���aliza���t�ion�of��C�����0��	�ڹwhi��Jc�h�h�as�ar�2"it���hm�et�i��Jc�gen���us�����iF(2������1)(3����1)�UR=�2��<��3��so��C��F�h��ras�gen���us�le�S�s�!ls�t�h��ran�3,�a�con��tradi��Jct�ion.���v����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����Ge����iF�57.3.5��$iFExtra��Prob�ٙlem�4,�b��y�Nghi�Nguy�en��@���iF�If����C��b�is�a�non-hyp��ffer�el���liptic���curve�of�genus��g�Ë��UR�4�,���show�that��C��has�at�most�a�nite�numb��ffer�of�����iF�g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.��y������iFPr��ffo�of.���2��Thi�)�s�(�pro�S�of�i�s�t���h��re�w�or��ek�of�Nghi�al��9t���h���ough�t�h��re�wr�2"it��Ee�up�i�)�s�m�y�o�wn.��(Th�e��refore�an�y�����iFmi�)�s�[t��rak�e�S�s��are�m��ry�re�sp�ons�)�ibilit��ry��V.)����	:�Summary.����F��Vor�_a�xe�S�d�p�oin��t��P�����0��	�t���h��re��re�are�only�nit��Eely�m���an�y��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s�ar�2"i�)�s�in��9g�_f�rom�a�divi�)�sor�����iF�D��}�of���t���h��re�form��D���=�UR�P�����0��胹+�(�Q��+��R�J�.�#�If���som�e��g����2��n9�1��RA�3����,�i�)�s�d���en�e�S�d�b�y�a�divi�)�sor��D�S��,���t���h�en��D�|
��(�P�����0��j�i�)�s�lin�e�!larly�����iFequiv��X�alen��t�%�t��9o�an�eect��riv�e�%�divi�)�sor��Q���+��R�?�so�%��D�
������P�����0����+��Q��+��R�J�.��JCom��ekbinin�g�%�t���hi�)�s�wit�h�t�h��re�r�[s�t�����iFas�!ls�:}e��rt��rion��imp�ޔlie�S�s�t���h�a���t�t���h�e��re�are�only�nit��Eely�m���an�y��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.����	:�Step�G1.�yz�Fix�1a�p�S�oin��t��P�����0����,��t���h��ren�w�e�sh���o�w�t���h�a���t�t���h�e��re�are�only�nit��Eely�m���an�y��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s�ar�2"i�)�s�in��9g�1f�rom�����iFa�'divi�)�sor��D�S��of�t���h��re�form��P�����0��yO�+��K�Q��+��R�J�.�y^Sup�p�S�o�!ls�:}e�'�D��w�=�y��P�����0��yO�+��Q��+��R�q�i�)�s�a�divi�sor�su��rc�h�t���h�a���t��j�D�S��j��i�)�s�����iFa���g����2��n9�1��RA�3���.=�.����	:Since����C��h�i�)�s�non-h��ryp�e��rellipt�i��Jc���t���h�e�canoni��Jcal�divi�)�sor��K��h�i�s�v��re��ry�amp�ޔle.�.ATh���us��K�F.��i��P�����0���ιi�s�bas�:}e�����iFp�S�oin��t��f�2"ree.�8�Let��'�UR�:��X�F��!��P����2�g�I{��2���"�b�)�e��t���h��re�morphi�sm�d���et��Ee��rmin��re�S�d�b�y��K��F�����P�����0����.�8�By�Riem���ann-Ro�S�c�h��iՍ��R�dim��hvU�j�P�����0��j��+����Q��+��R�J�j����dim��?��j�K��F���P�����0�����Q����R�J�j�UR�=�3���+�1����g�����iF�so��s�)�ince��dim����j�P�Ln�+����Q��+��R�J�j�UR�=�1,��������dim���E�j�K��F�����P�����0��j����Q����R�J�j�UR�=��g�������3�:�����iF�Bu��9t���K��F�i�)�s�v��re��ry�amp�ޔle�so��dim����j�K��F�����P�����0��j����Q�j�UR�=��dim����j�K�ܞ�j�����2�UR=��g�������3.�8�Th���us�����p�&dim���*l�j�K��F�����P�����0��j����Q����R�J�j�UR�=��dim����j�K������P�����0��j����Q�j�����iF�so���R��i�)�s�a�bas�:}ep�S�oin��t�of��K��F�����P�����0��j����Q�.�8�Thi�s��m��re�!lans�t���h�a���t��'�(�R�J�)�UR=��'�(�Q�).�����	:Let���X�����0��V�=�UR�'�(�X��)����P����2�g�I{��2���z�.�8�Let����=��d���eg�����'��an��rd�let��d��=��d���eg�����X�����0����.�8�Th��ren�������d�UR�=��d���eg����(�K��F�����P�����0����)�=�2�g�����3�:�����iF�If��f��UR>��1�t���h��ren��d��������w�����2�g�I{��3��������z�q~��ꍑ��3������s�)�ince����i�s�not�2�b�eca��2us�:}e�2�g�ʼ��\��3�i�s�o�S�dd.�,Bu��9t������w�����2�g�I{��3��������z�q~��ꍑ��3�������<�URg�ʼ��\��2�s�ince��g�Ë��UR�4.�����iFTh���us���d�UR<�g�������2.����	:Let����x���<~������X�����0����~t�b�)�e�t���h��re�norm���aliza���t�ion�of�t���h�e�d���egree��d��curv�e��X�����0��V��UR�P����2�g�I{��2���z�.��Let��h��b�)�e�t���h�e�lin�e�!lar�sys�[t��Eem�����iFof��d���egree��d��corre�S�sp�on��rdin��9g��t�o�t���h��re�morphi�)�sm�������x���̤~������|j�X�����0�����R,�!�UR�X�����0��V���P�����g�I{��2���z�:�����iF�Th��ren���h��i�)�s�a�lin�e�!lar�sys�[t��Eem�of�d���egree��d��an�d�dim�ens�)�ion��g�1����`�2.���Th���us�b�y�(Ex.���3.4)�w�e�conclud���e�����iFt���h��ra���t�u�g�ei���0�2�UR���d�.���Thi�)�s�con��tradi��Jct��es�t���h��re�conclus�ion��d�UR<�g�ei���0�2�whi��Jc��rh�fo�ޔllo�w�e�S�d�f�2"rom�our�as�!lsu��9mpt�ion�����iFt���h��ra���t����UR>��1.�8�Th�us�����=�1.����	:Since�����w�=�1�t���h��re�m���ap��'��i�)�s�bira���t�ion���al�so�it�can�co�ޔllap�!ls�:}e�only�nit��Eely�m�an��ry�p�S�oin��t��es.�V8Thi�)�s�����iFm��re�!lans��t���h�a���t�t���h�e��re�are�only�nit��Eely�m���an�y�c�h���oi��Jce�S�s�for��D���=�UR�P�����0��j��+����Q��+��R��so�t���h��ra���t��j�D�S��j��i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.����	:�Step�352.�8�Sup��rp�S�o�!ls�:}e���j�D��j��i�)�s�a��g����2��n9�1��RA�3���.=�.�8�Th��ren��dim����j�D��j�UR�=�1�an��rd�s�)�ince��j�D�S��j��i�s�bas�:}ep�S�oin��t�f�2"ree�������%dim����k�j�D��6�����P�����0����j�UR�=��dim����j�D�S��j���1�=�0�:�����؉#�96����a�����э����Ơ�
:���B�ƍ��iF�Th���us��t�h��re��re�exi�)�s�[t��es�an�eect�iv�e�divi�)�sor��Q����+��R��su��rc�h�t���h�a���t��������D��6�����P�����0��V��UR�Q��+��R�J;�����iF�so�9�D�����UR�P�����0���+�@�Q��+��R�J�.���Thi�)�s�sh���o��rws�t���h�a���t�ev�e��ry��g����2��n9�1��RA�3���gX�i�)�s�d���en�e�S�d�b�y�an�eect�iv�e�divi�)�sor�whi��Jc�h�con��t�ains������iF�P�����0����.�?#By��s�[t��Eep�1�w��re�kno�w�t���h�e��re�are�only�nit��Eely�m���an�y�su�c�h��g����2��n9�1��RA�3���	��so�w�e�conclud���e�t���h�a���t��C��\�h�as�only�����iFnit��Eely��m���an��ry��g����2��n9�1��RA�3���.=�'s.���n�A��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������؉#97���������;������a�5���E�H�cmr25�+��Kffffcmbx14�*�:Acmbxti12�)߆�Tcmtt12�(���@cmti12�'�E�tcmbx6�&2�@�cmbx8�#��u
cmex10�"q�%cmsy6�!�K�cmsy8� !",�
cmsy10�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8���N�cmbx12��؀�G�G�cmbx17�D��tG�G�cmr17�!",�ff
cmsy10���g�ffcmmi12�����ffffcmr14����q�jcmr20��%n�
eufm10�X�Qcmr12�
�b>

cmmi10�K�`y

cmr10���������