����;� TeX output 1999.10.04:1543�������7
�����Y���3���� �%��N�G�cmbx12�Lectures�z�on�Serre's�conjectures���� �(Octob��=er�z�4,�1999)��)���F�'��N�ffcmbx12�Kenneth�ffA.�Rib�s3et����'ZWilliam�ffA.�Stein�����*��7
�����Y���)��7
�����Y������`��6��Con��u�ten�ts���}�Ǎ�6��(�"V

cmbx10�Lectures��Ton�Serre's�conjectures����6�(Octob�Q�er��T4,�1999)��	���K�`y

cmr10�1�����6�Lecture�UU1.�In���tro�Gduction�to�Serre's�conjecture���8�4�����6�Lecture�UU2.�The�w���eak�and�strong�conjectures���G11�����6�Lecture�UU3.�The�w���eigh�t�UUin�Serre's�conjecture����}17�����6�Lecture�UU4.�Galois�represen���tations�from�mo�Gdular�forms��r�727�����6�Lecture�UU5.�In���tro�Gduction�to�lev�el�lo�w�ering���cy31�����6�Lecture�UU6.�Approac���hes�to�lev�el�lo�w�ering����37�����6�Lecture�UU7.�Lev���el�lo�w�ering�without�m�ultiplicit�y�one���43�����6�Lecture�UU8.�Lev���el�lo�w�ering�with�m�ultiplicit�y�one����47�����6�Lecture�UU9.�Other�directions���c�51�����6�Lecture�UU10.�Katz�mo�Gdular�forms�(App�endix)����53�����6�Lecture�UU11.�Exercises�(App�Gendix)�����57�����6�Bibliograph���y��%��65�������mp�)2�@�cmbx8�3����h��7
�����Y���b��7
����������6��IAS/P��Oark�DFCit�y�Mathematics�Series��	��6�V��.�olume�DF00,�Octob�E�er�4,�1999�����Y������`���� �Lectures�z�on�Serre's�conjectures����\'���F�Kenneth�ffA.�Rib�s3et����'ZWilliam�ffA.�Stein��$�6ठ\�׉ff<�����-:��Aa�cmr6�1��*��|{Ycmr8�Math��XDepartmen�Ît,�MC�3840;�Berk�eley��J�,�CA�94720-3840.��
��E-mail�DFaddress�:�@�*�C�scmtt8�[email protected],�[email protected]�.�������U�������N^�Ѵ�c�������GB�q�%cmsy6�
����ǜ��Octob�1�er�1;4,�]�1999�American�Mathematical�So�ciet��9y���������k�ٓ�Rcmr7�1�������7
���������6��2��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������HलMy��Rplan�is�to�b�Gegin�b���y�discussing�some�examples�of�mo�d��
�b>

cmmi10�`��represen���tations����6�of���uGal��7w(����_�fe������Q������=�Q�).�8'I'll��utry�to�motiv��q�ate�Serre's�conjectures�b���y�referring�rst�to�the�case����6�of���represen���tations�that�are�unramied�outside��`�;��these�should�come�from�cusp�forms����6�on��the�full�mo�Gdular�group��SL���G(2�;����Z�).��In�another�direction,��one�migh���t�think�ab�out����6�represen���tations��coming�from��`�-division�p�Goin�ts�on�elliptic�curv�es,��or�more�general-����6�ly��.from��`�-division�p�Goin���ts�on�ab�elian�v��q�arieties�of�\�GL������2���X�-t���yp�e."�!RAmazingly�(to�me),����6�Serre's�C�conjectures�imply�that�all�o�Gdd�irreducible�t���w�o-dimensional�C�mo�d��`��represen-����6�tations�0fof��Gal���h(����_�fe������Q������=�Q�)�ma���y�b�Ge�realized�in�spaces�of��`�-division�p�oin���ts�on�suc�h�ab�Gelian����6�v��q�arieties.�O�The���w���eak�Serre�conjecture�states�that�all�suc�h�represen�tations�come�from����6�mo�Gdular�6forms,�#�and�then�it�tak���es�only�a�bit�of�tec�hnique�to�sho�w�that�one�can�tak�e����6�the�UUmo�Gdular�forms�to�ha���v�e�UUw�eigh�t�t�w�o�(if�one�allo�ws�p�Go�w�ers�of��`��in�the�lev�el).����H�Since�cAlittle�w���ork�has�b�Geen�done�to�w�ard�pro�ving�the�w�eak�Serre�conjecture,�f�m�y����6�lectures��xwill�fo�Gcus�on�the�bridge�b�et���w�een��xthe�w���eak�and�the�strong�conjectures.����6�The���latter�states�that�eac���h����as�ab�Go�v�e�comes�from�the�space�of�cusp�forms�of����6�a���sp�Gecic�w���eigh�t���and�lev���el,��with�these�in�v��q�arian�ts�b�Get�w�een�determined�b�y�the�lo�Gcal����6�b�Geha���vior���of����at��`��and�at�primes�other�than��`��(resp�ectiv���ely).�@�T��*�o�motiv��q�ate�the�strong����6�conjecture,��Eand��{to�w���ork�to�w�ard�the�bridge,��Ew�e�need�to�discuss�the�lo�Gcal�b�eha���vior����6�of�\Ithose����that�do�come�from�mo�Gdular�forms.���F��*�or�the�most�part,�^w���e�can�lo�ok�only����6�at�P�forms�of�w���eigh�t�P��k���
!",�

cmsy10����2�whose�lev���els��N�h�are�prime�to��`�.�pTIn�that�case,�Q�the�b�Geha�vior����6�of�CD���at��`��is�describ�Ged�in�detail�in�[��26����],�F�where�theorems�of�Deligne�and�F��*�on���taine�are����6�recalled.���(In�lC[��26����,�q��x�6],�Edixho���v�en�supplies�a�pro�Gof�of�F��*�on�taine's�theorem.)���F��*�urther,����6�the���b�Geha���vior�of����at�primes��p���6�=��`��۲ma�y�b�Ge�inferred�from�Cara�y�ol's�theorems�[��10���,���11���޲],����6�whic���h�Irelate�the�b�Geha�vior�at��p��of�the��`�-adic�represen�tations�attac�hed�to��f�\��with�the����6वp�-adic���comp�Gonen���t�of�the�automorphic�represen�tation�of��GL����(2)�that�one�asso�Gciates����6�with�P��f���.�p/(The�b�Geha���vior�of����at��`��in�the�case�where��`��divides��N�g��is�analyzed�in�[��64����].)����H�In��[��75����],�2�Serre�asso�Gciates�to�eac���h����a�lev�el��N��(��)�and�a�w�eigh�t��k�P��(��).��	These����6�in���v��q�arian�ts��are�dened�so�that��N��(��)�is�prime�to��`��and�so�that��k�c?�is�an�in���teger�greater����6�than�o;1.��xAs�Serre�w���as�no�doubt�a�w�are,�u�if����arises�from�a�mo�Gdular�form�of�w�eigh�t��k����6लand�p�lev���el��N��,�w�and�if��k��B�is�at�least�2�and��N��Ʋis�prime�to��`�,�then�one�has��k�P��(��)����k��B�and����6वN��(��)�䋸j��N��.�s�T��*�o��nd�an��f�*�for�whic���h��N����=�䋵N��(��)�and��k�5"�=�䋵k�P��(��)�is�to�\optimize"�the����6�lev���el���and�w�eigh�t�of�a�form�giving���.�?�As�Edixho�v�en�explains�in�his�article�[��26����]�w�eigh�t����6�optimization��follo���ws�in�a�somewhat�straigh�tforw�ard�manner�from�the�theorems�of����6�Deligne���and�F��*�on���taine�alluded�to�ab�Go�v�e,��plus�the�theorem�of�Gross�on�companion����6�forms�FT[��34����].�l�(See�[��15���]�for�a�partial�treatmen���t�of�the�companion�form�problem�when����6व`�<�=�2.)���Luc���kily��*�,�Qqw�e�can�p�Gerform�w���eigh�t�optimization�after�ha���ving�optimized�the����6�lev���el,���since�JJthe�w�eigh�t�optimization�mac�hinery�do�Ges�not�disturb�the�lev�el�at�an�y����6�p�Goin���t.����H�In��[��11����],��Cara���y�ol�analyzes�the�lev�el�optimization�problem.�K[He�sho�ws,��in�particu-����6�lar,���that��1the�problem�breaks�do���wn�in�to�a�series�of�sub-problems,���all�but�one�of�whic�h����6�he��\treats�b���y�app�Gealing�to�a�single�lemma,��[the�lemma�of�[��11����,��x�3].�0�The�remaining�sub-����6�problem�rxis�the�one�whic���h�in�terv�enes�in�sho�wing�the�implication�\Shim�ura{T��*�aniy�ama����6�=��UX�)�}��F��*�ermat."���I�}�ha���v�e�written�ab�Gout�this�sub-problem�rep�eatedly�[��60���,���61����,���62��,���63���].����6�Most�*tlik���ely��*�,�_�I�*=will�explain�the�principle�of�[��62����]�early�on�in�these�lectures.��#Then,����6�to���w�ard��qthe�end�of�the�series,��9I��Nwill�explain�the�more�rened�lev���el-lo�w�ering��qargumen�t����6�that�"�I�"Vin���tro�Gduced�in�m�y�article�[��63����].��i(This�argumen�t�w�as�extended�b�y�Diamond����6�in�iS[��21����].)���One�reason�for�going�o���v�er�iSthe�argumen���t�no�w�is�that�the�argumen�t�hasn't����6�y���et��Ub�Geen�made�to�w�ork�for��`��²=�2.���P�erhaps��Uthe�reader�will�see�ho�w�to�mo�Gdify�the����6�argumen���t�UUso�that�it�extends�to�this�case.�����Q��7
��������tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)��;�u�3����Y������HलThe��Ecase��`��P�=�2��Eis�the�only�remaining�case�for�whic���h�the�lev�el�optimization����6�problem��has�not�b�Geen�resolv���ed.��The�pro�of�in�[��21���,��y63����]�of�lev���el�lo�w�ering�for��`��S���3����6�do�Ges��Wnot�fully�exploit�m���ultiplicit�y��Wone�results,�but�app�ears�to�completely�break����6�do���wn�P�when��`���=�2.�p-It�P�w�as�recen�tly�p�Goin�ted�out�to�me�b�y�Kevin�Buzzard�that�man�y����6�new�Ǔcases�of�m���ultiplicit�y�Ǔone�are�kno���wn�and�that�this�can�b�Ge�used�to�obtain�new����6�lev���el���optimization�results�when��`���=�2.�>EIn���Lecture�8�w�e�extend�the�argumen�ts�of�[��61����]����6�to�UUobtain�a�lev���el�optimization�theorem�in�new�cases�for�whic�h��`���=�2.����H�A�2�certain�2�amoun���t�of�w�ork�has�b�Geen�done�on�the�Hilb�ert�mo�dular�case,�9�i.e.,�the����6�case�տwhere��Q��is�replaced�b���y�a�totally�real�n�um�b�Ger�eld��F�c��.�[email protected]��*�or�this�w�ork,��Dthe�reader����6�ma���y��consult�articles�of�F��*�razer�Jarvis�[��38���,��D�39��ę,��D�40���]��and�of�Kazuhiro�F�ujiw���ara�[��33����].����6�I�19am�1Besp�Gecially�grateful�to�F��*�ujiw���ara�for�his�sending�me�a�preliminary�v�ersion�of�his����6�man���uscript,�d�\Lev�el�a�optimization�in�the�totally�real�case."���I�a�susp�Gect,�ho���w�ev�er,�that����6�these�UUlectures�will�treat�only�the�classical�case��F�*��=���Q�.��������7
���������6��4��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������P�_�3��N�cmbx12�LECTURE���1�����4��In��tro�`duction��to�Serre's�conjecture����99_�Let's�X�start�with�an�elliptic�curv���e��E���=�Q�.��No�w�ada�ys,��Ait's�a�familiar�activit�y�to�consider����6�the�,>Galois�represen���tations�dened�b�y�groups�of�division�p�Goin�ts�of��E����.�dNamely��*�,�4vlet��n����6लb�Ge�s�a�p�ositiv���e�in�teger,���and�let��E����[�n�]�b�Ge�the�k�ernel�of�m�ultiplication�b�y��n��on��E����(����_�fe������Q������).�&�The��\k��6�group�'�E����[�n�]�is�free�of�rank�t���w�o�'o�v�er��Z�=n�Z�;�6uc�ho�Gose�a�basis.�bWThe�action�of��Gal���(����_�fe������Q������=�Q�)����6�on�UU�E����[�n�]�is�giv���en�b�y�a�homomorphism���'���������	0e�rcmmi7�n��8��:���Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)���!���Aut����(�E����[�n�])�����GL��������2��\p�(�Z�=n�Z�)�:��c���6लThis�3Vhomomorphism�is�unramied�at�eac���h�prime��p��that�is�prime�to�the�pro�Gduct����6�of���n��with�the�conductor��N���of��E��p�(Exercise�25).�N�F��*�or�eac���h�suc�h��p�,�ǵ����n��q~�(�F��*�rob���*����p����)�is�a�2�g����2����6�matrix�3that�is�w���ell�dened�up�to�conjugation.�\Its�determinan�t�is��p��mo�Gd��n�;�)�its�trace����6�is���a����p��(6�mo�Gd��n�,���where��a����p���is�the�usual�\trace�of�F��*�rob�Genius"�attac���hed�to��E�q�and��p�,���i.e.,����6�the���quan���tit�y�1���+��p����#�E����(�F����p���R�).�AIn�his�path���breaking�1966�article�[��80����],�aG.�Shim�ura����6�studied���these�represen���tations�(for�the�curv�e��E�Z��=���J����o��r}�(11))�and�the�n�um�b�Ger�elds�that����6�they�ϙcut�out.�E3He�noticed�that�for�prime�v��q�alues��n���=��`�,��Xthe�ϙrepresen���tations������n��A�tended����6�to�o
ha���v�e�large�images.���In�[��67����]�J-P��*�.�Serre�pro�v�ed�that�for�an�y�xed�elliptic�curv�e��E����,����6�not�UUha���ving�complex�m�ultiplication,�the�indices������(�GL������2���X�(�Z�=n�Z�)��:������n��q~�(�Gal���(����_�fe������Q������=�Q�)))����6�are�UUb�Gounded�indep�enden���tly�of��n�.����H�In�d~this�series�of�lectures,��Hw���e�will�b�Ge�concerned�mainly�with�t�w�o-dimensional����6�represen���tations�~>o�v�er�nite�elds.��T��*�o�that�end,��xw�e�restrict�atten�tion�to�the�case����6�where��_�n���=��`��is�prime.�H The�represen���tation������`���E�is�\mo�Gdular"�in�the�familiar�sense�that����6�it's��!a�represen���tation�of�a�group�o�v�er�a�eld�in�p�Gositiv�e�c�haracteristic.�3,The�theme����6�of���this�course�is�that�it's�mo�Gdular�in�a�dieren���t�and�deep�er�sense:���it�comes�from����6�a��imo�Gdular�form!��Indeed,���according�to�a�recen���t�announcemen�t�b�y�Breuil,���Conrad,����6�Diamond��and�T��*�a���ylor�(see�[��7����,����16��;�,����86��,����89���]),�P
the��Shim�ura{T��*�aniy�ama�conjecture�is����6�no���w���a�theorem|all�elliptic�curv�es�o�v�er��Q��are�mo�Gdular!!�N�Th�us�there�is�a�w�eigh�t-t�w�o����6�newform����f�ڧ�=���������u

cmex10�P���
US��m�����c����m�����q��[ٟ�^��m��
���(�q�"�=���e���^��2��@Liz��Y��)�on�����0��|s�(�N��)�with�the�prop�Gert���y�that��a����p��fj�=��c����p��Wزfor�all����6वp���prime�to��N��.�[�Accordingly��*�,������`���|�is�connected�up�with�mo�Gdular�forms�via�the�relation�����6�tr��>��(�����`����(�F��*�rob���*����p����))��=��c����p����mo�Gd��t��`�,�UUv��q�alid�for�all�but�nitely�man���y�primes��p�.����H�More���precisely��*�,���the�Shim���ura{T�aniy�ama���conjecture�asserts�that�for�eac���h�p�Gositiv�e����6�in���teger����N��there�is�a�bijection�b�Get�w�een�isogen�y�classes�of�elliptic�curv�es��A��o�v�er��Q����6लof���conductor��N���and�w���eigh�t���t�w�o�rational�newforms��f��U�for�����0��|s�(�N��).��Giv�en��A�,��the����6�Shim���ura{T��*�aniy�ama�UUconjecture�pro�Gduces�a�mo�dular�form��f�h�whose�Diric���hlet�series�������ܵf�ڧ�=������Sf�O!�cmsy7�1����������X���������n�=1����A�c����n��q~�q��[ٟ����n���W�;���q�"�=���q�[ٲ(�z�p��)�=��e������2��@Liz���	��6लis�UUconnected�to�the��L�-series�of��A��b���y�the�relation��n�����������������g�R�1������d�����X�������dX�n�=1��������)��v��c����n���vG`�w�fe
Fԟ	(֍�n���r�s����������k�=���L�(�f��V;���s�)�����������������������������4o���		cmr9�Shim��9ura{T��:�aniy�ama�������������������8���3�fdq��������8���1�fdq�������������$8~��k�L�(�A;���s�)��=������Sf�1����������X��������n�=1�������<$���t�a����n����t�w�fe
���	(֍�9�n���r�s����������������q�'�:����6लThe�\Kin���tegers��a����n���ɲenco�Gde�information�ab�out�the�n���um�b�er�\Kof�p�oin���ts�on��A��o�v�er�v��q�arious����6�nite��Zelds.�/tMore�precisely��*�,��&if��p��is�a�prime�not�dividing��N��u�then��a����p��fj�=���p���+�1����#�A�(�F����p���R�).�����$��7
�������9��nh��LECTURE���1.���INTR�ÎODUCTION�TO�SERRE'S�CONJECTURE��5���5����Y������6लIf�UU�p���j��N��,�then��򵍑h���a����p��fj�=�������8��	���>�����<�����>�����:������ፍ�����1����"q�if�UU�A��has�non-split�m���ultiplicativ�e�UUreduction�at��p����fc���qŲ1����"q�if�UU�A��has�split�m���ultiplicativ�e�UUreduction�at��p�������qŲ0����"q�if�UU�A��has�additiv���e�reduction�at��p�.�������򴍑6�(See�Dg[��82����,�G�VI�GI.5]�for�a�description�of�the�reduction�t���yp�es.)�l"The�in���tegers��a����n����are�then����6�obtained�UUfrom�the��a����p���using�the�follo���wing�relations:���	�����K�������U�µa����p����O
�\cmmi5�r���n!�=�������\�(����.���
�S�a��㐴p����r�,r���0ncmsy5����Zcmr5�1���xصa����p���2��8�pa��㐴p����r�,r��2������]�IJif�UU�p���.���

msbm10�-��N��,����fc���
�S�a���^���r���p������]�IJif�UU�p���j��N��}*�:������
�����K�������U�µa����nm��Q1�=���a����n��q~�a����m�����,�<bif�UU(�n;���m�)�=�1.������H�Serre's��#conjectures�[��75����]�concern�represen���tations���²:��Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL���2����2����(����_�fe<o����F����<o���`��U�).����6�W��*�e�sprequire�alw���a�ys�sp(usually�tacitly)�that�our�represen���tations�are��5�':

cmti10�c��}'ontinuous�,���the��\k��6�top�Gologies�߱on��Gal���(����_�fe������Q������=�Q�)�and�on��GL��������2��u	�(����_�fe<o����F����<o���`��U�)�b�eing�the�Krull�top�ology�and�the�discrete����6�top�Gology��*�,���resp�ectiv���ely�.��OThe�-con�tin�uit�y�condition�just�means�that�the�k�ernel�of����is����6�op�Gen,���so��that�it�corresp�onds�to�a�nite�Galois�extension��K�Y6�of��Q�.�6	The�represen���tation����6व���then�em���b�Geds��Gal��o�(�K�(�=�Q�)�in�to��GL����П��2��eC�(����_�fe<o����F����<o���`��U�).�ENSince��K�(�=�Q��is�a�nite�extension,��the�image����6�of�UU���is�con���tained�in��GL���n:���2��ꭲ(�F�)�for�some�nite�eld��F��������_�fe<o����F����
����`��
�m�.���9�������������z�k��屉fe������Q���������������fd���������������7�G����1�-�hcmbx5�Q�������������������,���fdfe������������fdfe�������_�!e�fdfe�������K�V	�fdfe������ş���fdfe������B˟�O�fdfe������h_���fdfe�������~�(��fdfe�������+�];�fdfe�������d��݄fdfe�������+�Ɓ�fdfe������~��%�fdfe������@_�/Ʉfdfe������b˟dk�fdfe�������ş��fdfe�������K�ͳ�fdfe�������^�	W�fdfe���������	6��fdfe������+�	k��fdfe������'�	�A�fdfe������G+�	��fdfe������e��
	��fdfe�������^�
>+�fdfe�������J�
rτfdfe�������ğ
�s�fdfe�������ɟ
��fdfe�������]���fdfe������}�E]�fdfe������1+�z�fdfe������Ld����fdfe������g+��I�fdfe�������~��fdfe�������^�L��fdfe�������ʟ�3�fdfe�������ş�ׄfdfe�������K��{�fdfe�������_�
�fdfe��������
S��fdfe������-+�
�e�fdfe������C�
�	�fdfe������Z+�
�fdfe������o��&O�fdfe�������^�Z�fdfe�������J����fdfe�������ğ�;�fdfe�������ʟ�݄fdfe�������^�-��fdfe�������}�b%�fdfe�������*��Ʉfdfe������c��k�fdfe������ *��fdfe������1}�4��fdfe������B^�iW�fdfe������Rʟ���fdfe������bğҝ�fdfe������rJ�A�fdfe�������]�;�fdfe���������p��fdfe�������*��+�fdfe���������τfdfe�������*�s�fdfe���������C�fdfe�������^�w��fdfe�������J��]�fdfe�������ğ��fdfe�������ɟ��fdfe�������]�JG�fdfe������	}�~�fdfe������*����fdfe������c��1�fdfe������%*�Մfdfe������-}�Qy�fdfe������5]���fdfe������<ɟ���fdfe������Cğ�c�fdfe������JJ�$�fdfe������P^�X��fdfe������U���M�fdfe������[*���fdfe������_����fdfe������d*�+9�fdfe������g��_ۄfdfe������k]���fdfe������nI��#�fdfe������pß�DŽfdfe������rɟ2i�fdfe������t]�g
�fdfe������u|����fdfe������v)��U�fdfe������vb���fdfe������v)�9��fdfe������u|�n?�fdfe������t]���fdfe������rɟׇ�fdfe������pß+�fdfe������nI�@τfdfe������k]�us�fdfe������g����fdfe������d*�޹�fdfe������_�]�fdfe������[*�H�fdfe������U��|��fdfe������P^��G�fdfe������JJ���fdfe������Cğ��fdfe������<ɟO1�fdfe������5]��Մfdfe������-}��y�fdfe������%*���fdfe������c�!��fdfe������*�Vc�fdfe������	}���fdfe�������]����fdfe�������ɟ�M�fdfe�������ğ(�fdfe�������J�]��fdfe�������^��9�fdfe����������ۄfdfe�������*���fdfe��������0#�fdfe�������*�dDŽfdfe����������i�fdfe�������]��
�fdfe������rJ���fdfe������bğ7U�fdfe������Rʟk��fdfe������B^����fdfe������1}��?�fdfe������ *� 	�fdfe������c� >��fdfe�������*� s)�fdfe�������}� �̈́fdfe�������^� �q�fdfe�������ʟ!�fdfe�������ğ!E��fdfe�������J�!z[�fdfe�������^�!���fdfe������o��!㡄fdfe������Z+�"E�fdfe������C�"L�fdfe������-+�"���fdfe��������"�/�fdfe�������_�"�ӄfdfe�������K�#w�fdfe�������ş#T�fdfe�������ʟ#���fdfe�������^�#�a�fdfe�������~�#��fdfe������g+�$&��fdfe������Ld�$[K�fdfe������1+�$��fdfe������}�$ē�fdfe�������]�$�7�fdfe�������ɟ%-لfdfe�������ğ%b}�fdfe�������J�%�!�fdfe�������^�%�ńfdfe������e��&i�fdfe������G+�&5
�fdfe������'�&i��fdfe������+�&�U�fdfe���������&���fdfe�������^�'��fdfe�������K�'<?�fdfe�������ş'p�fdfe������b˟'���fdfe������@_�'�)�fdfe������~�(̈́fdfe�������+�(Cq�fdfe�������d�(x�fdfe�������+�(���fdfe�������~�(�[�fdfe������h_�)��fdfe������B˟)J��fdfe������ş)E�fdfe�������K�)��fdfe�������_�)荄fdfe���������*/�fdfe�������,�*Qӄfdfe������W�*�w�fdfe������/,�*��fdfe��������*dfdfe�������������z����m�K����������*�m�fd��������z�k�4���Q���������������������F̟�|r�G����0f$�cmbx7�Q�������������������X���5D

xycmat10���5D

xycmbt10��������X������������X�fd���������� {����������������6L,����&�&����������1�>���6δ

xydash10�M���������-�֟�lM���������){ ��M���������%@j�/�M���������!���dM������������{M����������H� �M���������U���\M���������ܟ
lM����������&��M����������p��TM���������j��\�M��������������ܟ*��Gal���ޟ*��(�K�(�=�Q�)������������1��%����5D

xybsql10�������������������-���(X�/�/���������(��fd����������0���+��GL��>ʉ�+�(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)������������EՌ��6�F��*�or���v��q�arious�tec���hnical�reasons,�B�the�original�conjectures�of�Serre�insist�that����b�Ge����6�irreducible.�	�It��\is�nev���ertheless�sometimes�fruitful�to�consider�the�reducible�case����6�(see�UU[��83����]�and�forthcoming�w���ork�of�C.�Skinner�and�A.�Wiles).����H�The�5;conjectures�state�(in�particular)�that�eac���h�con�tin�uous�irreducible����that����6�satises��a�necessary�parit���y�condition�\arises�from"�(or�is�asso�Gciated�with)�a�suit-����6�able���mo�Gdular�form�mo�d��`�.���T��*�o�explain�what's�going�on,�ײI���w���ould�lik�e�to�start�with����6���=������P���
���n���<��!Dz(�n�)�q��[ٟ�^��n���2�=��q�������Q���xJ��i��̖�(1�Ta���q��[ٟ�^��i���%�)���^��24��x�,���the�~�unique�(normalized)�cusp�form�of�w���eigh�t�~�12����6�on����SL��`3(2�;����Z�).�'�In���[��66����],��!Serre�conjectured�the�existence�of�a�\strictly�compatible"����6�family�;of��`�-adic�represen���tations�of��Gal���=(����_�fe������Q������=�Q�)�whose��L�-function�is�the��L�-function����6�of���,��9namely������P�����n��-:��!Dz(�n�)�n���^���s��
�.�=������Q�������p��$�(1�W8�����(�p�)�p���^���s���s�+��p���^��11��2�s��{��)���^���1��
�t�.��RThe���conjectured��`�-adic���t��6�represen���tations���w�ere�constructed�so�Gon�after�b�y�Deligne�[��19����].��Sp�Gecically��*�,���Deligne����6�constructed,�UUfor�eac���h�prime��`�,�a�represen�tation��Y ���즵����`����1���
�=�:���Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)���!���GL��������2��\p�(�Z����`����)�;����6लunramied�UUoutside��`�,�suc���h�that�����}�*tr����d(�����`����1���'%�(�F��*�rob���*����p����))��=���!Dz(�p�)�;������det���#�:(�����`����1����(�F��*�rob���*����p����))�=��p������11�����6लfor�UUall�primes��p���6�=��`�.�q�On�UUreducing������`����1���|z�mo�Gd��`�,�w���e�obtain�a�represen�tation�����ܪ�����`�����:���Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)���!���GL��������2��\p�(�F����`����)����6�with�cJanalogous�prop�Gerties.�!(Equalities�are�replaced�b���y�congruences�mo�d��`�.)�!In�other����6�w���ords,��Gthe�������`��x�for��is�just�lik�e�the������`��x�for�an�elliptic�curv�e��E����,��Gexcept�that�the�in�tegers����6वa����p����are�R�replaced�b���y�the�corresp�Gonding�v��q�alues�of�the���!Dz-function.��The�determinan�t�of������`����ۍ�6लis�r�the�11th�p�Go���w�er�r�of�the�mo�d��`��cyclotomic�c���haracter�����:��Gal���(����_�fe������Q������=�Q�)��!��F���^�����v��`�����,�zi.e.,�the���o��6�c���haracter�UUgiving�the�action�of��Gal���W(����_�fe������Q������=�Q�)�on�the�group�of��`�th�ro�Gots�of�1�in�����_�fe������Q�����.�����7ݠ�7
���������6��6��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������HलMore�a�generally��*�,�d�tak���e�a�w�eigh�t��k�,S��ۼ�12�and�supp�Gose�that��f��K�=������P���
i���n����c����n��q~�q��[ٟ�^��n��	/�is�a�non-����6�zero�$]w���eigh�t-�k�t�cusp�form�for��SL���(2�;����Z�)�that�satises��f���j�T����n��	���=� %�c����n��q~�f�7�for�all��n����1,�X�T����n�����6लb�Geing�y�the��n�th�Hec���k�e�y�op�erator�on�the�space�of�cusp�forms�of�w���eigh�t�y�k���for��SL��H#(2�;����Z�).����6�(See,��e.g.,�[��70����,�Ch.��~VI�GI].)�Then�the�complex�n���um�b�ers��~�c����n��

��(�n��Y���1)�are�algebraic����6�in���tegers.��7Moreo�v�er,��nthe���eld��E���p�:=��ݎ�Q�(��:���:�:����;���c����n��q~�;��:�:�:���)���generated�b���y�the��c����n��	!N�is�a�totally����6�real���n���um�b�Ger�eld�(of�nite�degree�o�v�er��Q�).��Th�us�the��c����n��	-=�all�lie�in�the�in�teger�ring��\k��6सO����E��
²of�UU�E����.�q�F��*�or�eac���h�ring�homomorphism�����:��O����E��	���!�����_�fe<o����F����
����`��
�m�,�UUone�nds�a�represen�tation��v����}�����=���������:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL��������2��\p�(����_�fe<o����F����<o���`��U�)�;����6लunramied�UUoutside��`�,�suc���h�that��������tr���T*(��(�F��*�rob���*����p����))��=���(�c����p���R�)�;������det���#�:(��(�F��*�rob���*����p���))�=��p������k�+B��1���Ѐ��6लfor�{all��p���6�=��`�.��8W��*�e�{ha���v�e��det��������=�����^��k�+B��1��(�.��8Of�course,�?Dthere�is�no�guaran���tee�that����is����6�irreducible.�]�W��*�e��Dcan�(and�do)�supp�Gose�that����is�semisimple�b���y�replacing�it�b�y�its����6�semisimplication.�S�Then�����is�determined�up�to�isomorphism�b���y�the�displa�y�ed�trace����6�and���determinan���t�conditions;���this�follo�ws�from�the�Ceb�Gotarev�densit�y�theorem�and����6�the�VBrauer-Nesbitt�theorem�[��18����],�VGwhic���h�states�that�semisimple�represen�tations�are����6�determined�UUb���y�their�c�haracteristic�p�Golynomials.����H�It���is�imp�Gortan���t�to�note�that��k�.�is�necessarily�an�ev�en�in�teger;���otherwise�the�space����6वS����k��됲(�SL���;(2�;����Z�))��bof�w���eigh�t-�k�>��cusp��bforms�on��SL����(2�;��Z�)�is�easily�seen�to�b�Ge�0.�<�Th���us�the����6�determinan���t��I����^��k�+B��1�� M�of����is�an�o�Gdd�p�o���w�er��Iof���.�Z�In�particular,��!det���>��֮�:��Gal��v�(����_�fe������Q������=�Q�)��!����6��F���^�����v��`����h�is�B�unramied�outside��`��and�tak���es�the�v��q�alue���1�on�complex�conjugations��c�Rd�2���o���6लGal��F��(����_�fe������Q������=�Q�).��It's�V
a�nice�exercise�(Exercise�12)�to�c���hec�k�V
that,��con�v�ersely��*�,�all�V
con�tin�uous����6�homomorphisms�UUwith�these�prop�Gerties�are�o�dd�p�o���w�ers�UUof���.����H�In�Dthe�early�1970s,�z�Serre�and�T��*�ate�ask���ed�themselv�es�whether�all�homomorphisms����6�that��are�\lik���e���"�migh�t�come�from�cusp�forms�of�some�w�eigh�t�on��SL���8(2�;����Z�).�XTNamely��*�,����6�let��Cl��������:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL��������2��\p�(����_�fe<o����F����<o���`��U�)��]��6�b�Ge�/Za�con���tin�uous,�6�irreducible�/Zrepresen�tation�that�is�(1)�unramied�outside��`��and�(2)����6�of�o�Gdd�determinan���t�(in�the�sense�that��det���P��(�c�)��=���1��2�����_�fe<o����F����
����`���for�complex�conjugations����6वc����2���Gal��$�(����_�fe������Q������=�Q�)).�� Is��it�true�that����is�of�the�form��������N�?�This�w���ould�mean�that�there���ۍ�6�is��Ea��k�������12,��an�eigenform��f�ٌ�2��S����k��됲(�SL���;(2�;����Z�)),��and�a�homomorphism����:��O����E��
�j�!�����_�fe<o����F����l���`�����6ल(where�DӸO����E��@�is�the�ring�of�in���tegers�of�the�eld�generated�b�y�the�co�Gecien�ts�of��f���)����6�so��`that��������	LO�and����are�isomorphic.�i�A���t�the�time,�'bthere�w�as�little�evidence�that�the����6�answ���er�״migh�t�b�Ge�\y�es",���and�no�general�framew�ork�in�whic�h�to�state�the�question.�G�If����6�I�Bunderstand�B	correctly��*�,�E�Serre�and�T�ate�w���ere�willing�to�admit�an�armativ�e�answ�er����6�to�*]their�question�as�a�w���orking�h�yp�Gothesis,�_�but�they�w�ere�reluctan�t�to�conjecture����6�that�UUtheir�h���yp�Gothesis�w�as�correct.����H�T��*�o��vin���v�estigate�a�concrete�consequence�of�an�armativ�e�answ�er�to�the�question,����6�it��is�fruitful�to�consider�the�op�Geration���J=�7!���mU�
�����on�represen���tations.�]�This�\t�wist-����6�ing"�Hcop�Geration�preserv���es�the�set�of�represen�tations�that�come�from�mo�Gdular�forms.����6�Indeed,�Alet�ߵ�Hp�=�S�q��������W�d�����&�feG����dq������e�b�Ge�the�op�erator�of�Serre�and�Swinnerton-Dy���er�[��44���,���&68��.",���&84���],��
[email protected]���6ट���P��C��a����n��q~�q��[ٟ�^��n���o�7!�������P�����na����n���q��[ٟ�^��n���W�;�&�if���f�##�is�a�mo�Gd��`��form�of�w���eigh�t���k�P��,��then���f�##�is�naturally�a�mo�d��`����6लform�-�of�w���eigh�t�-��k���+���`��+�1.��vThen�if����is�asso�Gciated�to��f���,�c����
����is�asso�Gciated�with����6व�Gf���.���According�b�to�a�result�of�A���tkin,�e�Serre�and�T��*�ate�[��71����,�Th.�3],�if����comes�from�an����6�eigenform�in�some�space��S����k��됲(�SL���;(2�;����Z�)),�!%then�a�suitable�t���wist����h�
�����^��i��he�of��f�'��comes�from����6�a�UUform�of�w���eigh�t�UU����`�8�+�1.����H�An��armativ���e�answ�er�to�the�Serre{T��*�ate�question�th�us�has�the�follo�wing�conse-����6�quence:�d-eac���h�:!t�w�o-dimensional�irreducible�o�Gdd�represen�tation�of��Gal���#(����_�fe������Q������=�Q�)�o�v�er�����_�fe<o����F����
v����`������^O��7
�������9��nh��LECTURE���1.���INTR�ÎODUCTION�TO�SERRE'S�CONJECTURE��5���7����Y������6लthat��ois�unramied�outside��`��has�a�t���wist�(b�y�a�p�Go�w�er�of���)�coming�from�an�eigenform����6�on��wSL��EM(2�;����Z�)�wof�w���eigh�t�wat�most��`�O^�+�1.���In�wparticular,��supp�Gose�that��`��S<��11.�Then�wthe����6�spaces�}��S����k��됲(�SL���;(2�;����Z�))�with��k�Zٸ�
B�`�S��+�1�}�are�all�0;���as�a�result,���they�con���tain�no�non-zero����6�eigenforms!�.�The��conjecture�that�all����are�mo�Gdular�(of�lev���el�1)�th�us�predicts�that����6�there���are��no��|�represen���tations�of�the�t�yp�Ge�con�templated�if��`��is�2,��a3,�5���or�7.�J�In�supp�Gort����6�of�nmthe�conjecture,���the�non-existence�statemen���t�w�as�pro�v�ed�for��`����=�2�nmb�y�J.�T��*�ate����6�in�+Xa�Ma���y��*�,�`�1973�letter�to�Serre�[��85����].���So�Gon�after,�Serre�treated�the�case��`�+Ʋ=�3�+Xb���y����6�metho�Gds�7"similar�to�those�of�T��*�ate.�g�(See�[��85����,�=-p.�155]�for�a�discussion�and�a�reference����6�to��a�note�in�Serre's�uvres.)��Quite�recen���tly��*�,��S.�Brueggeman�considered�the�case����6व`���=�5;��7she�çpro���v�ed�that�the�conjectured�result�follo�ws�from�the�Generalized�Riemann����6�Hyp�Gothesis�UU[��8�����].����H�One��>reason�to�b�Ge�sk���eptical�of�the�conjecture�w�as�adv��q�anced�b�y�Deligne:�)�Supp�Gose����6�that��one�tak���es�a����coming�from�an�eigenform��f�����^��0����of�some�w�eigh�t�and�of�lev�el��N��3>���1.����6�On���general�grounds,�ގ���has�the�righ���t�to�b�Ge�ramied�at�primes��p��dividing��N����as�w�ell�as����6�at���the�prime��`�.�T�Supp�Gose�that,�.b���y�acciden�t�as�it�w�ere,�.���turned�out�to�b�Ge�unramied����6�at��Fall�primes��p����j��N��.��Then��Fthe�conjecture�w���ould�predict�the�existence�of�a�lev�el-1����6�form�~X�f�����^��0��` �(presumably�of�the�same�w���eigh�t�~Xas��f���)�whose�mo�Gd��`��represen���tation�w�as����6�isomorphic�UUto���.�q�Ho���w�could�one�man�ufacture�the��f�����^��0���Ȳ?����H�The�<�passage��f�[��,����

msam10� �Hb�f�����^��0��K�comes�under�the�rubric�of�\lev���el�lo�w�ering".�'PWhen�y�ou����6�tak���e�>pa�represen�tation����that�comes�from�high�lev�el��N��,�Cand�it�seems�as�though�that����6�represen���tation���comes�from�a�lo�w�er�lev�el��N����^��0���T�,��1then�to�\lo�w�er�the�lev�el"�is�to�cough����6�up�UUa�form�of�lev���el��N����^��0��:��that�giv�es���.��q���6��7�"V
�3
cmbx10�1.1.��P�Bac��tkground�2�material�����6��1.1.1.��Wu�The��Tcyclotomic�c��9haracter����6लLet�]�A��b�Ge�an�elliptic�curv���e�and��`��a�prime�n�um�b�Ger.���The�W��*�eil�pairing��e����`���C�(see�[��82����,����6�I�GI�I.8])�UUsets�up�an�isomorphism�of��G����Q��G�-mo�Gdules��t)������������JI�e����`�����:������W�2�����������^�����4�A�[�`�]����T΍����O����1,����0E���?e�=�������2�������������	�b���������������>�����������������������������a!������&�X�8DF��

cmmib10�����-�|�qƴ`��1�b�:��������������6ल(1.1)���������6�The���determinan���t�of�the�represen�tation������A;`��T�is�the��mo��}'d���`��cyclotomic�char�acter��޵����`����.���ۍ�6�This�̻is�the�c���haracter�dened�b�y�considering�the�group��������	�ߟqƴ`�����of��`�th�ro�Gots�of�unit�y�in�����_�fe������Q���pF�;����6�the��action�of�the�Galois�group��G����Q��
P
�on�the�cyclic�group��������
�qƴ`����giv���es�rise�to�a�con�tin�uous����6�homomorphism���ލ�����������
ٵ����`�����:���G����Q�����
4�����*�!���Aut����(�������$�qƴ`��
�
�)�:��������������6ल(1.2)�������A��6�Since���/������
Cӟqƴ`��Lh�is�/�a�cyclic�group�of�order��`�,�77its�group�of�automorphisms�is�canonically�the����6�group�u�(�Z�=`�Z�)���^������=��-�F���^�����v��`�����.��!W��*�e�emerge�with�a�map��G����Q��
DI�!��F���^�����v��`�����,�}�whic���h�is�the�c�haracter�in����6�question.����H�Supp�Gose�u'no���w�that��c��!�2��G����Q��
�C�is�u'the�automorphism�\complex�conjugation."��>Then����6�the��Wdeterminan���t�of������A;`��<v�(�c�)�is������`����(�c�).�p�No�w��c��op�Gerates�on�ro�ots�of�unit���y�b�y�the�map��I��6व����7!��������^���1��yW�,�UUsince�ro�Gots�of�unit���y�ha�v�e�absolute�v��q�alue�1.�q�Accordingly��*�,�����������������det���ԟ(�����A;`��<v�(�c�)��=���1;��������������6�(1.3)�������卑6�one�?Zsa���ys�that������A;`��{вis��o��}'dd�.�/�If��`�M�6�=�2,�y�then�?Z�����A;`��<v�(�c�)�is�conjugate�o�v�er�����_�fe<o����F����{ɟ��`���	�to������b�����UU���
Y�1�����0���؍��
Y0���B���1�����)Ο��b������ݍ�6ल(Exercise���17).�9If��`�5Ų=�2���then�the�c���haracteristic�p�Golynomial�of������A;`��<v�(�c�)�is�(�x�e%�+�1)���^��2��0�so���ۍ�6व����A;`��<v�(�c�)�UUis�conjugate�o���v�er��UU���_�fe<o����F����
�ğ��`�����to�UUeither�the�iden���tit�y�UUmatrix�or���(��������㌱1�����1���؍���0�����1�����N�)���1�.�����up��7
���������6��8��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y�������6��1.1.2.��Wu�F��
�rob�Q�enius��Telemen��9ts����6लLet�k&�A��b�Ge�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q��and��`��a�prime�n�um�b�Ger.��9The�xed�eld�of������A;`�����is����6�a�Tnite�Galois�extension��K����`����=�Q��whose�Galois�group��G����`��,��is�a�subgroup�of��GL��l�(2�;����F����`���).����6�A�1lk���ey�1�piece�of�information�ab�Gout�the�extension��K����`����=�Q��is�that�its�discriminan�t�is����6�divisible��Pat�most�b���y��`��and�primes�dividing�the�conductor�of��A�.���In�other�w�ords,���if����6वp���6�=��`���is�a�prime�n���um�b�Ger��at�whic���h��A��has�go�o�d�reduction,��then��K����`����=�Q��is�unramied�at����6व`�	��(Exercise�25);�"�one�sa���ys�that�the�represen�tation������A;`��F�is�unramied�at��p�.�X�Whenev�er����6�this�Y"o�Gccurs,���a�familiar�construction�in�algebraic�n���um�b�er�Y"theory�pro�duces�a�F��*�rob�enius����6�elemen���t�UU�����p���in��G����`��.;�that�is�w�ell�dened�up�to�conjugation.����H�W��*�e��shall�no���w�summarize�this�construction�with��K����n��	l~�replaced�b�y�an�arbitrary����6�nite��Galois�extension��K����of��Q�.�=�The�Galois�group��Gal����(�K�(�=�Q�)�lea���v�es��the�ring��O����K�����6लof�҆in���tegers�of��K����in�v��q�arian�t,���so�that�one�obtains�an�induced�action�on�the�ideals�of����6सO����K�����.�^�The�&set�of�prime�ideals��>�%n�

eufm10�p��of��O����K��
�ٲlying�o���v�er�&�p��(i.e.,�'�that�con���tain��p�)�is�p�Germ�uted����6�under�w�this�action.���F��*�or�eac���h��p�,��Cthe�subgroup��D����?X�&eufm7�p��	*K�of��Gal���(�K�(�=�Q�)�xing��p��is�called����6�the��m�de��}'c�omp�osition�Ɨgr�oup��of��p�.�Mean���while,��3�F����p��Չ�:=�"�O����K�����=�p��is�a�nite�extension�of��F����p���R�.����6�The�6$extension��F����p�����=�F����p���v�is�necessarily�Galois;���its�Galois�group�cyclic,�nXgenerated�b���y����6�the�IUF��*�rob�Genius�automorphism��'����p��fj�:���x��7!��x���^��p��觲of�IU�F����p�����.�m�There�is�a�natural�surjectiv���e�map����6वD����p��y��!����Gal��g(�F����p�����=�F����p���R�);��its��injectivit���y�is�equiv��q�alen�t�to�the�assertion�that��p��is�unramied����6�in���K�(�=�Q�.�Q�Therefore,��whenev���er�this�assertion�is�true,�there�is�a�uique������p��y��2���D����p����whose����6�image���in��Gal����(�F����p�����=�F����p���R�)�is��'����p���.�K�The�automorphism������p���y�is�then�a�w���ell�dened�elemen�t�of�����6�Gal��F��(�K�(�=�Q�)��<kno���wn�as�the�F��*�rob�Genius�automorphism�for��p�.�OIt�is�easy�to�sho�w�that�the����6�v��q�arious�
t�p��are�all�conjugate�under��Gal���v(�K�(�=�Q�)�and�that�the�F��*�rob�Genius�automorphism����6�for��$the�conjugate�of��p��b���y��g����is��g�[�����p�����g����^���1��M�.�6bIn��$particular,���the�v��q�arious������p��U²are�all�conjugate;����6�this���justies�the�practice�of�writing������p��E�for�an���y�one�of�them�and�stating�that������p���is����6�w���ell�UUdened�up�to�conjugation.����H�W��*�e�"�prolong�this�discussion�and�in���tro�Gduce�the�concept�of�F�rob�Genius�elemen���ts�in����6वG���=��Gal��L�(����_�fe������Q������=�Q�).��Let��@�p��again�b�Ge�a�prime�and�let��p��no���w�b�e�a�prime�of�the�ring�of��\k��6�in���tegers���of�����_�fe������Q������lying�o�v�er��p�.��T��*�o��p��w�e�asso�Gciate:��P(1)�its�residue�eld��F����p�����,���whic�h�is�an����6�algebraic��qclosure�of��F����p���R�,���and�(2)�a�decomp�Gosition�subgroup��D����p��5�of��G�.�+|There�is�again�a����6�surjectiv���e��>map��D����p��ď�!���Gal����(�F����p�����=�F����p���R�).���The�F��*�rob�Genius�automorphism��'����p��!��top�ologically����6�generates�[the�target�group.�[�W��*�e�shall�use�the�sym���b�Gol��F�rob���>	���p���to�denote�an���y�preimage����6�of�K��'����p����in�an���y��D����p���6�corresp�Gonding�to�a�prime�lying�o�v�er��p�,��)and�refer�to��F��*�rob���vF���p��!a0�as�a����6�F��*�rob�Genius�&Gelemen���t�for��p��in��G�.�bThis�elemen�t�is�doubly�ill-dened.�bThe�am�biguit�y�in�����6�F��*�rob���KR���p��S�Ųresults��!from�the�circumstance�that��p��needs�to�b�Ge�c���hosen�and�from�the�fact����6�that�X��D����p��	)�!��wS�Gal��U(�F����p�����=�F����p���R�)�has�a�large�k���ernel,���the�inertia�subgroup��I����p��	K�of��D����p���.�{�The����6�usefulness���of��F��*�rob���#����p���*�stems�from�the�fact�that�the�v��q�arious��p��are�all�conjugate,�jso�that����6�lik���ewise�e�the�subgroups��D����p��	8�and��I����p���are�conjugate.���Th���us�if����is�a�homomorphism����6�mapping����G��to�some�other�group,���the�k���ernel�of����con�tains�one��I����p��TI�i�it�con�tains�all����6वI����p�����.�]�In��this�case,���one�sa���ys�that����is��unr��}'amie�d���at��p�;��Xthe�image�of��F��*�rob���ΰ���p�� �is�then�an����6�elemen���t�UUof�the�target�that�is�w�ell�dened�up�to�conjugation.����H�Fix���again�an�elliptic�curv���e��A��and�a�prime�n�um�b�Ger��`�,�evand�let������A;`��÷�:��A�G��!�����6लGL��D��(2�;����F����`����)���b�Ge�the�asso�ciated�represen���tation.�	F��*�or�eac�h�prime��p��not�dividing��`��at����6�whic���h����A��has�go�Go�d���reduction�the�F��*�rob�Genius������p��fj�=�������A;`��<v�(�F�rob���*����p����)�is�w���ell�dened�only�up����6�to���conjugation.�=�Nev���ertheless,��@the�trace�and�determinan�t�of������p��XL�are�w�ell�dened.�=�The����6�determinan���t�UZof������A;`���вis�the�mo�Gd��`��cyclotomic�c�haracter���,���so������p��fj�=����(�F��*�rob���*����p����)�=��p��2��F����`����.����6�On�UUthe�other�hand�(Exercise�24),�one�has�the�striking�congruence���%�����[tr�����(�����A;`��<v�(�F��*�rob���*����p����))��=��p�8�+�1����#���x䍑��~�����A�����(�F����p���R�)�	��(�mo�Gd����`�)�:�����	�s��7
�������9��nh��LECTURE���1.���INTR�ÎODUCTION�TO�SERRE'S�CONJECTURE��5���9����Y�������6��1.1.3.��Wu�Mo�Q�dular��Tforms����6लW��*�e��no���w�summarize�some�bac�kground�material�concerning�mo�Gdular�forms.�N�Serre's����6�b�Go�ok�dB[��70����]�is�an�excellen���t�in�tro�Gduction�(it�treats�only��N���=���1).���One�migh�t�also�read����6�the�UUsurv���ey�article�[��22����]�or�consult�an�y�of�the�standard�references�[��47���,���T48��UP,���T56��,���T81���].����H�The����mo��}'dular�gr�oup���SL���(2�;����Z�)�is�the�group�of�2������2�in���v�ertible�in�teger�matrices.����6�F��*�or�UUeac���h�p�Gositiv�e�in�teger��N��,�consider�the�subgroup��쪍�P#�����1��|s�(�N��)��:=������^�����
G���^�����d������a���!a�b������8c��� �d�����&!/���^����0D��2���SL���S(2�;����Z�)�q�:�h�N��3�j��c��
�and��$w�a����d����1�	��(�mo�Gd����N��)����^����	���:��쫍�6लLet�P��h��b�Ge�the�complex�upp�er�half�plane.�pKA�P��cuspidal���mo��}'dular�form�P�of�in���teger�w�eigh�t����6वk������1�UUand�lev���el��N�lp�is�a�holomorphic�function��f���(�z�p��)�on��h��suc�h�that��z㍍���������q�8�f����7���^�������<$��M޵az��w�+�8�b��Mޟw�fe�֟	(֍��cz��w�+�8�d������'d���^����1�s�=��(�cz��w�+�8�d�)������k��됵f���(�z�p��)��
UVfor�UUall����,1ɟ��^������d���3�=�a���CLQb������4�c���B�md�����Hߟ��^����R/k�2������1��|s�(�N��)��������������6�(1.4)������z䍑6�and�M�that�\v��q�anishes�at�the�cusps"�(see�[��81����,���x�2.1]).�[�W��*�e�denote�b���y��S����k��됲(����1��|s�(�N��))�the����6�space�aZof�w���eigh�t�aZ�k���cusps�forms�of�lev���el��N��.���It�is�a�nite�dimensional�complex�v�ector����6�space.�q�When�UU�k������2�a�form���ula�for�the�dimension�can�b�Ge�found�in�[��81����,��x�2.6].����H�Mo�Gdular�UUforms�are�usually�presen���ted�as�con�v�ergen�t�F��*�ourier�series���4�����f���(�z�p��)��=������Sf�1����������X��������n�=1����A�a����n��q~�q��[ٟ����n���k)��6लwhere��ݵq��)�:=�CP�e���^��2��@Liz��Y��.�Q_This�is�p�Gossible�b�ecause�the�matrices���(�����̍��	.�1���-��b���؍��	.�0����m1��������)����lie�in�����1��|s�(�N��)�so�that����6वf���(�z�f�+��N�b�)��=��f��(�z�p��)�4for�all�in���tegers��b�.�f�F��*�or�the�forms�that�most�in�terest�us,�:�the�complex����6�n���um�b�Gers�UU�a����n���Ӳare�algebraic�in���tegers.����H�The�UUspace��S����k��됲(����1��|s�(�N��))�has�an�action�of�(�Z�=��q�N��Z�)���^������,�giv���en�b�y��������f���(�z�p��)���7!��f��jh����
�fe4r�$���d���4r�i�(�z�p��)�=�(�cz��w�+�8�d�)�������k��+��f����7���^�������<$��M޵az��+��b��Mޟw�fe�֟	(֍��cz��+��d������'d���^�����줍�6लfor�EXan���y�c�hoice�of������b����������W�a����db���\q����c�����d�����w���b�����v�2����SL���S(2�;����Z�)�suc�h�that��d��������
�fe4r�$���d���mJ�(�mo�Gd����N��).�The�EXop�Gerator��h�d�i���=��h����
�fe4r�$���d���4r�i����6लis�UUreferred�to�as�\diamond�brac���k�ets�UU�d�."����H�F��*�or���eac���h�in�teger��n�W?���1,��rthe��ӵn�th��He��}'cke��zop�er�ator��Ӳon��S����k��됲(����1��|s�(�N��))�is�an�endomor-����6�phism��W�T����n��	Eղof��S����k��됲(����1��|s�(�N��)).���The�action�is�generally�written�on�the�righ���t:�o˵f��T�7!��ŵf���j�T����n��q~�.����6�The�?2v��q�arious��T����n��	���comm���ute�with�eac�h�other�and�are�in�terrelated�b�y�iden�tities�that����6�express���a�giv���en��T����n��	m?�in�terms�of�the�Hec�k�e�op�Gerators�indexed�b�y�the�prime�factors����6�of�UU�n�.�q�If��p���-��N�lp�is�UUa�prime�dene�the�op�Gerator��T����p���on��S����k��됲(����1��|s�(�N��))�b���y���ݍ��%ǵf���j�T����p���R�(�z�p��)��=������Sf�1����������X��������n�=1����A�a����np��	�еq��[ٟ����n��7�+�������.�1������������X�������8�n�=1����	�a����n��q~�(�f��jh�p�i�)�q��[ٟ����np��	쩵:���b��6लF��*�or�UU�p���j��N�lp�prime,�dene��T����p���b���y������~�f���j�T����p���R�(�z�p��)��=������Sf�1����������X��������n�=1����A�a����np��	�еq��[ٟ����n���W�:��)��6लThe�UU�He��}'cke���algebr�a��is�the�ring��z܍��!�T������End����(�S����k��됲(����1��|s�(�N��)))����6�generated��o���v�er��Z��b�y�all�the��T����n��(��and��h�d�i�.�=+It�is�nite�as�a�mo�Gdule�o�v�er��Z��(Exercise�30).����H�An����eigenform��is�a�nonzero�elemen���t��f����2��j�S����k��됲(����1��|s�(�N��))�that�is�an�eigen�v�ector�for����6�ev���ery��elemen�t�of�the�Hec�k�e�algebra��T�.�V?W��*�riting��f�ڧ�=�������P�����a����n��q~�q��[ٟ�^��n����w�e�nd�that��a����n��8��=���a����1��|s�c����n�����6लwhere��c����n��~�is�the�eigen���v��q�alue�of��T����n���on��f���.�ZSince��f�!��is�nonzero��a����1���s�is�not�zero�either,�Dso�it�����
�.��7
���������6��10��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लis��Xp�Gossible�to�m���ultiply��f���b�y��a����䍷�1���1���
�t�.���The�resulting��normalize��}'d��deigenform��or��newform����6लw���ears�UUits�eigen�v��q�alues�on�its�sleev�e:�qǵf�ڧ�=�������P�����c����n��q~�q��[ٟ�^��n���W�.����H�W��*�e�8�no���w�recall�the�notion�of��newform�.��Asso�Gciated�to�an�eigenform��f�ڧ�2���S����k��됲(����1��|s�(�N��))����6�w���e��=ha�v�e�a�system�(��:���:�:��
UOa����p���I��:���:�:���I�),���p�š�-��N��,�of��=eigen���v��q�alues.�6�W��*�e�sa�y�that��f��̲is�a��newform����6लif��Zthis�system�of�eigen���v��q�alues�do�Ges�not�comes�from�an�y�lev�el��M���j��˵N��u�with��M��6�=��˵N��.����6�Newforms��ha���v�e�b�Geen�extensiv�ely�studied�(see�[��2����,��aw12���s,��aw51��,��aw56���]);�*the�idea�is�to�under-����6�stand���where�systems�of�eigen���v��q�alues�rst�arise,���and�then�reconstruct�the�full�space����6�from�UUthe�newforms.����H�Let��9�f��w�2���S����k��됲(����1��|s�(�N��))�b�Ge�a�newform�and����the�asso�ciated�represen���tation.�"tBy����6�Exercise�UU17,��"�(��1)��=�(��1)���^��k��됲,�UUso��������Z%det���g�(��(�c�))��=��������k�+B��1��(�(��1)�8���"�(��1)��=�(��1)������k�+B��1���(��1)������k�����=�(��1)������k�+B�+�k���1��~<�=���1�:���������7
�����Y������G���P�_�LECTURE���2����۬�The��w��eak�and�strong�conjectures�����Hल[[DEFINITEL��*�Y�9_SAME�SOMETHING�ABOUT�THE�CONFUSION�IN�THE����6�LITERA��*�TURE�UUBETWEEN�WEAK�AND�STR���ONG.]]��*��6��2.1.��P�The�2�w��teak�conjecture����6लIn�B�the�mid�1980s,�FGG.�F��*�rey�b�Gegan�lecturing�on�the�link�b�et���w�een�B�F��*�ermat's�Last�The-����6�orem�S�and�elliptic�curv���es.�[email protected]�y�ou�probably�kno�w,�The�prop�Gosed�that�if��a���^��`����+�5��b���^��`��,��w�as�a����6�p�Gerfect��`�th�p�o���w�er,�&�then�the�elliptic�curv���e��y��[ٟ�^��2���d�=���x�(�x��f���a���^��`����)(�x��+��b���^��`���)�could�b�Ge�pro���v�ed�to����6�b�Ge��lnon-mo�dular�[��30���,��vn31���j�].�So�on�after,�qSerre�p�oin���ted�out�that�the�non-mo�dularit���y����6�con���templated���b�y�F��*�rey�w�ould�follo�w�from�suitable�lev�el-lo�w�ering�results�concerning����6�mo�Gdular�`Rforms�[��74����].���If�I�`
understand�correctly��*�,��Serre�w���en�t�`Rbac�k�to�the�ten�tativ�e����6�conjecture���that�he�had�made�15�y���ears�earlier�and�decided�to�treat�represen�tations����6व���:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL��������2��\p�(����_�fe<o����F����<o���`��U�)��that�ma���y�b�Ge�ramied�at�primes�other�than��`�.�K�The�result,����6�of�UUcourse,�w���ere�the�conjectures�of�[��75����].����H�An�N�imp�Gortan���t�elemen�t�of�these�conjectures�is�the�so-called�\w�eak�conjecture����6�of�V7Serre."�tlAs�bac���kground,��oI�U�recall�(but�really�men�tion�for�the�rst�time�at�this����6�p�Goin���t),��that���Hec�k�e�eigenforms�on�congruence�subgroups�of��SL��4(2�;����Z�)�giv�e�rise�to��\k��6�t���w�o-dimensional�a9represen�tations�of��Gal��;(����_�fe������Q������=�Q�).��tIf�w�e�set�things�up�correctly��*�,��2w�e����6�get�h	represen���tations�o�v�er�����_�fe<o����F�����x���`��}^�.���More�sp�Gecically��*�,���tak�e�in�tegers��k�ჸ���2�and��N�����1;����6�these���are�the��weight��q�and��level�,�jresp�Gectiv���ely��*�.���Let��f�1k�=��ܟ���P��V��a����n��q~�q��[ٟ�^��n��
��b�e�a�normalized����6�Hec���k�e�6�eigenform�in�the�space��S����k��됲(����1��|s�(�N��))�of�complex�w���eigh�t-�k��Q�cusp�6�forms�on�the����6�subgroup�$D����1��|s�(�N��)�of��SL���(2�;����Z�).�ޔTh���us��f�7Ӳis�non-zero�and�it�satises��f���j�T����n��	�x�=���a����n��q~�f��for����6�all����n�tȸ��1.��kF��*�urther,�יthere�is�a�c���haracter��"��:�(�Z�=��q�N��Z�)���^����
��!��C���^����Vp�so�that��f���jh�d�i��=��"�(�d�)�f����6लfor�
all��d��a�2��(�Z�=��q�N��Z�)���^������;�d~here�
�h�d�i��denotes�the�so-called�\diamond-brac���k�et"�
op�Gerator.����6�(It's�Ireally�a�Hec���k�e�Iop�Gerator,�<�and�it�lies�in�the�ring�generated�b���y�the��T����n��	Dzas�they����6�act��Kon��S����k��됲(����1��|s�(�N��)).)���Again,��let��O�h�b�Ge�the�ring�of�in���tegers�of�the�eld��Q�(��:���:�:��
UOa����n���&�:���:�:��qu�)����6�generated���b���y�the��a����n��q~�;�(�this�eld�is�a�n�um�b�Ger�eld�that�is�either�totally�real�or�a����6�CM���eld.�KAConsider�a�ring�homomorphism��'���:��O�5!�����_�fe<o����F����
����`���.�as���b�Gefore.�Asso�ciated���to�this����6�set-up���is�a�represen���tation���pG�:��Gal��I(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL����,���2����(����_�fe<o����F����<o���`��U�)���with�prop�Gerties�that�connect����6�it���up�with��f�� �(and��'�):�@First,���the�represen���tation�is�unramied�at�all��p��not�dividing����6व`N��.�q�Next,�UUfor�all�suc���h��p�,�w�e�ha�v�e��h�����tr�����(��(�F��*�rob���*����p����))��=��a����p���R�;������det���#�:(��(�F��*�rob���*����p���))�=��p������k�+B��1��(�"�(�p�);�������;�11�����L��7
���������6��12��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लthe�=�n���um�b�Gers��a����p����and��p���^��k�+B��1��(�"�(�p�),�Bsa�priori�in��O��,�Bsare�mapp�ed�tacitly�in���to�����_�fe<o����F����
z)���`���ɲb�y��'�.�i�The����6�represen���tation�cv���is�determined�us�to�isomorphism�b�y�the�trace�and�determinan�t����6�iden���tities���that�are�displa�y�ed,��plus�the�supplemen�tal�requiremen�t�that�it�b�Ge�semisim-����6�ple.�N�W��*�e��are�in���terested�mainly�in�the�(generic)�case�in�whic�h����is�irreducible;�0in�that����6�case,�UUit�is�of�course�semisimple.����H�The���construction�of����from��f���,��V�k���and��'��w���as�accomplished�in�principle�in�[��19����].����6�Indeed,�^Deligne���sk���etc�hes�a�metho�Gd�in�his�article�that�man�ufactures�for�eac�h�non-����6�arc���himedean�kGprime����of��E��Բa�represen�tation���Ve~���������������:���Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)�뫸!���GL�������2����(�E������>:�),�p�where�kG�E���������6लdenotes��the�completion�of��E��@�at���.���Giv���en��'�,�MJw�e�let����b�Ge��k�er��"ε'��and�nd�a�mo�Gdel����6�of���2�~���Gӵ���������o�o���v�er�G�the�ring�of�in���tegers��O�������
�of��E������>:�.�mFReducing�mo�Gd���,�J�w�e�get�a�represen�tation����6�o���v�er�UUthe�residue�eld��O�G�=�O��r�of��O������>:�.�q�The�map��'��em���b�eds�this�nite�eld�in���to�����_�fe<o����F����
�ğ��`��j��.����H�In�ݎretrosp�Gect,���one�remarks,�ho���w�ev�er,�that�ݎthe�mac���hinary�of�[��19����]�can�b�Ge�a�v�oided����6�if�ione�seeks�only�the�mo�Gd����represen���tation�attac�hed�to��f���(as�opp�Gosed�to�the�full����6व�-adic���represen���tation�����~������������t�).�5�As�I���p�Goin�t�out�in�[��63����],��one�can�use�congruences�among����6�mo�Gdular�|aforms�to�nd�a�form�of�w���eigh�t�|at�w�o�and�lev�el��N�`���^��2���Բthat�giv�es�rise�to���.����6�Accordingly��*�,��Bone�Hycan�nd����concretely�b���y�lo�Goking�within�the�group�of��`�-division����6�p�Goin���ts�UUof�a�suitable�ab�elian�v��q�ariet���y�o�v�er��Q�:�q�the�v��q�ariet�y��J����1��|s�(�`���^��2���N��).��\k��H�Whic���h�D
represen�tations�of��Gal���(����_�fe������Q������=�Q�)�arise�in�this�w�a�y�(as��k�P��,���N��,��f�W��and��'��all����6�v��q�ary)?�+�As��Fin�the�case��N���=���1�(i.e.,���that�where�����1��|s�(�N��)�=��SL���8(2�;����Z�)),���an���y����that����6�comes��from�mo�Gdular�forms�is�an�o�dd�represen���tation:�Uw�e��ha�v�e��det���_(��(�c�))��=���1�when����6वc�Oa�2���Gal���c(����_�fe������Q������=�Q�)��is�a�complex�conjugation.�gT��*�o�see�this,���w���e�b�Gegin�with�the�fact�that����6व"�(��1)�1�=�(��1)���^��k��됲,��zwhic���h��sgeneralizes�(�1.3);���this�follo�ws�from�the�functional�equation��Le��6�that�!�relates��f���(�������33�az�I{�+�b��33��&�fe՟����cz�I{�+�d������;�)�to��f�5F�when������b���������	a��a�����b���\q���	�~c���d�����Sf���b����
t�is�an�elemen���t�of�����0��|s�(�N��)�(see�Exercise�17).�`�On��
œ��6�the�q1other�hand,�x'using�the�Ceb�Gotarev�densit���y�theorem,�w���e�nd�that��det���i�����=�����^��k�+B��1��(�"�,����6�where�<ӵ��is�again�the�mo�Gd��`��cyclotomic�c���haracter�and�where��"��is�regarded�no�w�as�a�����6�map���pGal��}r(����_�fe������Q������=�Q�)���!�����_�fe<o����F������w��
�����i��
��`���y۲in��pthe�ob���vious�w�a�y��*�,��knamely�b�y�comp�Gosing��"���:�(�Z�=��q�N��Z�)���^����_��!�����_�fe<o����F������w��
�����i��
��`������6लwith���the�mo�Gd��N��cyclotomic�c���haracter.�T�The�v��q�alue�on��c��of�the�latter�incarnation�of��"����6लis��qthe�n���um�b�Ger��q�"�(��1)�~�=�(��1)���^��k��됲.��Since���(�c�)�=���1,���w���e�deduce�that�(�det���8��)(�c�)�=���1,����6�as�UUw���as�claimed.����H�Serre's�.tw���eak�conjecture�states�that,�6;con�v�ersely��*�,�ev�ery�.tirreducible�o�Gdd�represen-����6�tation������:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL��������2��\p�(����_�fe<o����F����<o���`��U�)�is�mo�Gdular�in�the�sense�that�it�arises�from�some��f����6लand�UU�'�.����H�This���conjecture�has�a�certain�n���um�b�Ger���of�amazing�consequences.��Among�other����6�things,���it���implies�that�all�o�Gdd�irreducible�2-dimensional����come�from�ab�elian�v��q�ari-����6�eties��o���v�er��Q�.�]�Giv�en���,�$�one�should�b�Ge�able�to�nd�a�totally�real�or�CM��n�um�b�Ger�eld����6वE����,�Y�an�X�ab�Gelian�v��q�ariet���y��A��o�v�er��Q��of�dimension�[�E�`��:��'�Q�]�that�comes�equipp�Ged�with�an����6�action��-of�the�ring�of�in���tegers��O��J�of��E����,���and�a�ring�homomorphism��'�+�:��O�\H!�����_�fe<o����F����
Q����`�����with����6�the�$�follo���wing�prop�Gert�y:�PLet��� ��=��k�er��'��'�.�ߕ�Then�R�the�r��}'epr�esentation�R��A�[��]��
�
���:�O�7�=��������_�fe<o����F���������`��"v�is��
j���6�isomorphic���to���.��˲(In�{comparing��A�[��]�and���,��lw���e�use��'��:��O�G�=�,��UX�!�����_�fe<o����F����
BP���`���7�to�{promote�the����6�2-dimensional�UU�A�[��]�in���to�a�represen�tation�o�v�er�����_�fe<o����F����
�ğ��`��j��.)����H�Another�+]frequen���tly�noted�consequence�of�the�w�eak�conjecture�is�that�represen-����6�tations������o���v�er�������_�fe<o����F����
�#���`��&��are���required�to�\lift"�to���-adic�represen���tations�of��Gal��(�(����_�fe������Q������=�Q�).��In����6�a�UUrecen���t�article�[��58����],�R.�Ramakrishna�pro�v�ed�a�result�in�this�direction.����H�Muc���h���of�the�evidence�for�the�w�eak�conjecture�concerns�represen�tations�taking����6�v��q�alues��in��GL���'����2����(�F����q��j��)�where�the�nite�eld��F����q��yH�has�small�cardinalit���y��*�.���In�his�original����6�article��[��75����,���x�5],�Serre�uses�theorems�of�Langlands�[��50����]�and�T��*�unnell�[��87���]�to�establish����6�his���w���eak�conjecture�for�o�Gdd�irreducible�represen�tations�with�v��q�alues�in��GL����ş��2��n8�(�F����2��|s�)����6�and��O�GL���h����2����(�F����3��|s�).�o�F��*�urther,�P�he�O�rep�Gorts�on�n���umerical�computations�of�J.-F.�Mestre�that�����
Ɍ��7
������ww��rr(�LECTURE���2.���THE�WEAK�AND�STR�ÎONG�CONJECTURES��5��13����Y������6लp�Gertain�
to�represen���tations�o�v�er��F����4�����(and�trivial�determinan�t).��Additionally��*�,�7JSerre����6�remarks��R[��75����,�	Sp.�219]�that�the�w���eak�conjecture�is�true�for�those�represen�tations�with��\k��6�v��q�alues��in��GL���
����2���r�(����_�fe<o����F����<o���p�����)�that�are�dihedral�in�the�sense�that�their�pro��8jectiv���e�images�(in���ۍ��6�PGL��K��(2�;�������_�fe<o����F��������p��
�i�))�UUare�dihedral�groups.�q�(See�also�[��23����,��x�5]�for�a�related�argumen���t.)����H�More��recen���tly��*�,�0�represen�tations�o�v�er�the�elds��F����4���c�and��F����5���w���ere�treated,�0�under����6�somewhat���mild�h���yp�Gotheses,�Ԇb�y���Shepherd-Barron�and�T��*�a���ylor�[��78����].�	qF�or�example,����6�Shepherd-Barron��>and�T��*�a���ylor�sho�w�that�����:��Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL���6����2����(�F����5��|s�)��>is�mo�Gdular�if�it����6�is���o�Gdd,��irreducible�and�unramied�at�3,�pro���vided�in�addition�that��det��^���is�the�mo�Gd�5����6�cyclotomic�UUc���haracter.������6��2.2.��P�The�2�strong�conjecture����6लFix�UUan�o�Gdd�irreducible�Galois�represen���tation������!ѵ���:��G����Q�����
4�����*�!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�:����6लThe�x2w���eak�conjecture�asserts�that����is�mo�Gdular,��lin�the�sense�that�there�exists�in�tegers����6वN�pf�and�YK�k���suc���h�that����comes�from�some��f��@�2�ͱ�S����k��됲(����1��|s�(�N��)).�}�The��str��}'ong���c�onje�ctur�e�YK�go�Ges����6�further��Eand�giv���es�a�recip�Ge�for�in�tegers��N��(��)�and��k�P��(��)�and�then�asserts�that����comes����6�from�쨵S���:�k�+B�(��)��Q��(����1��|s�(�N��(��))).�N�In�particular�instances�the�strong�conjecture�is�v���eriable�(at��:��6�least�H'in�theory)�b�Gecause�the�space��S���:�k�+B�(��)��Q��(����1��|s�(�N��(��)))�is�nite�dimensional�and�can����6�b�Ge�S�computed.�m-The�relation�b�et���w�een�S�the�w���eak�and�strong�conjectures�is�lik�e�the����6�dierence��b�Get���w�een�asserting�that�ev�ery�elliptic�curv�e�is�mo�Gdular�of�some�lev�el��N����6लand��asserting�that�ev���ery�elliptic�curv�e�is�mo�Gdular�of�lev�el�equal�to�the�conductor�of����6�the�UUcurv���e.����H�F��*�or�feac���h�prime��p�,�:*let��I����p�����denote�an�inertia�group�at��p��(see��x�1.1.2).���The�lev�el����6वN��(��)��Vand�w���eigh�t��V�k�P��(��)�asso�Gciated�to�the�mo�d��`��represen���tation����satisfy�the�follo�wing����6�t���w�o�UUprop�Gerties.��������K�������U�²First,�UU�N��(��)��=����1m����Y������p�6�=�`���
��p������n�(�p�)���ҵ;��where��n�(�p�)�dep�Gends�only�on���j����I���p���>�.��㐍����K�������U�²Second,�UU�k�P��(��)�dep�Gends�only�on���j����I����`������.���P��6�The�UUin���teger��n�(�p�)�is�a�conductor�in�additiv�e�notation.�q�In�particular,������F!�n�(�p�)��=�0��1�(��UX)����UU�is�unramied�at��p��P��:����HलView�����as�a�homomorphism��G����Q��F�!����Aut���(�V�8�),��9where��V���is�a�t���w�o-dimensional���ۍ�6�v���ector�UUspace�o�v�er�����_�fe<o����F����
�ğ��`��j��.�q�It�is�natural�to�consider�the�subspace�����GŵV��8�����I���p���
>�=���f�v�"�2��V����:���(��[ٲ)�v��=��v�[�;�����all��㍵��2��I����p���R�g��H���6लof�cinertia�in���v��q�arian�ts.��EF��*�or�cexample,�g	�V��8��^��I���p���
U��=�޳�V��c�exactly�when����is�unramied�at��p�.�As����6�a�T,rst�appro���ximation�write��n�(�p�)��=��dim��q�(�V�q=V��8��^��I���p���
w�)�6�+�(�wild�UUterm��*@)�T,where�the�wild�term����6�is�UUthe�Sw���an�conductor;�in�particular�it�is�nonnegativ�e.����H�Supp�Gose�Tߵ��comes�from�a�newform��f����2�p��S����k��됲(����1��|s�(�N��)),���but�do�not�mak���e�the�as-����6�sumption�O�that��k��a�and��N�f�are�Serre's�optimal��k�P��(��)�and��N��(��).�o�Since��N��(��)�is�optimal,����6वN��(��)���j��N��.�5\It��is�pro�Gductiv���e�to�inquiry�ab�out�the�quotien���t��N�A�=��q�N��(��).�5\Let��O��0�b�e�the�ring����6�of��[in���tegers�of�the�eld�generated�b�y�the�F��*�ourier�co�Gecien�ts�of��f�
�and�let��'���:��O�5!�����_�fe<o����F����
����`�����6लb�Ge�gthe�map�suc���h�that��'�(�a����p���R�)��=��tr��
�R(��(�F��*�rob���*����p����))�:�g�Let����b�e�a�prime�of��O�V��lying�o���v�er�g�`��and����6वE�������Բb�Ge���the�completion�of��F��*�rac����(�O��).�64Deligne�[��19����]�attac���hed�to��f��)�and����a�represen�tation���t�����������R�:���G����Q�����
4�����*�!���GL����(2�;���E������>:�)�=��Aut����(���x䍑�~�����V���9�)��������7
���������6��14��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लwhere���x䍑�E~�����g)�V���܋�is�g)a�t���w�o-dimensional�g)v�ector�space�o�v�er��E������>:�.��DThe�represen�tation���������c�can�b�Ge����6�c���hosen��in�suc�h�a�w�a�y�that�it�stabilizes��O������>:�,���and�so�that�the�reduction�mo�Gdulo����is����6व�.�q�The�UUfollo���wing�diagram�summarizes�the�set�up.��}������������������jGL���i��j(2�;���E������>:�)��=��Aut����(���x䍑�~�����V���9�)���������������s��(VܵG����Q�������������������@v���������������������������{Y�/�/������������.h���fdfe�������@����fdfe������� �z„fdfe������3�G�fdfe���������/�fdfe��������⛄fdfe������7��)�fdfe��������}ڄfdfe���������K��fdfe������=���fdfe�������1��„fdfe�������V���fdfe������B���a�fdfe���������R�fdfe��������!��fdfe������H6��X�fdfe����������E�fdfe�������ԟ�W�fdfe������N.�]��fdfe���������,�fdfe����������]�fdfe������Tl����fdfe�����������fdfe������g�k��fdfe������Z�;��fdfe���������҄fdfe������
�� �fdfe������a�����fdfe�������_�}$�fdfe�������M܄fdfe������hş��fdfe���������ﳄfdfe������I��ӄfdfe������p���fdfe��������c�fdfe������̟5	�fdfe������w����fdfe������Ϟ�؇�fdfe������'���{�fdfe��������|��fdfe������ב�N˄fdfe������/��!)�fdfe����������fdfe�������̟�M�fdfe������7���fdfe��������k��fdfe�������K�?
�fdfe������@��:�fdfe�������ş卄fdfe����������fdfe������I`����fdfe���������`[�fdfe��������4;�fdfe������R��?�fdfe���������e�fdfe������h����fdfe������[���fdfe�������n�Y��fdfe��������._�fdfe������e��5�fdfe�������/��.�fdfe������՟�K�fdfe������o�����fdfe�������6�W�fdfe������ �-r�fdfe������y���fdfe������҃���fdfe������+W��لfdfe�������2���fdfe��������["�fdfe������6�1{�fdfe����������fdfe��������ޖ�fdfe������@��Y�fdfe����������?�fdfe�������	�cH�fdfe������L!�:t�fdfe�������B�Ąfdfe�������j��6�fdfe������W���˄fdfe�������џ���fdfe������
�p`�fdfe������cX�H_�fdfe��������� ��fdfe���������DŽfdfe������o\��0�fdfe�������Ÿ���fdfe������"0��k�fdfe������{��[<�fdfe�������"�42�fdfe������.��
J�fdfe�������2�憄fdfe�������Ɵ��fdfe������;b��f�fdfe��������s�fdfe������Lӄfdfe������Hb�&��fdfe��������΄fdfe����������fdfe������U���U�fdfe�������{��̈́fdfe������	U�ji�fdfe������c6�E'�fdfe�������� 	�fdfe�������
�
�fdfe������q�
�6�fdfe��������
���fdfe������%�
��fdfe�������
h��fdfe�������4�
D6�fdfe������3R�
 �fdfe�������x��	�fdfe������祟�&�fdfe������A۟�h�fdfe���������̈́fdfe�������^�mU�fdfe������P��J�fdfe���������&τfdfe������[���fdfe������_���Ԅfdfe�������*���fdfe���������f�fdfe������o�x�fdfe������ɛ�V��fdfe������$%�4I�fdfe������~��1�fdfe�������Q�
�;�fdfe������3�
�i�fdfe���������
���fdfe�������L�
�.�fdfe������D�
ińfdfe�������ğ
H��fdfe���������
']�fdfe������T\�
^�fdfe�������3�	傄fdfe������
�	�Ʉfdfe������d��	�3�fdfe��������	���fdfe������ݟ	cr�fdfe������u۟	CF�fdfe�������ߟ	#<�fdfe������+�	W�fdfe��������㔄fdfe����������fdfe������=A��w�fdfe�������m���fdfe�������e�fdfe������NݟFքfdfe��������'�fdfe������j�	�fdfe������`���q�fdfe����������fdfe������w����fdfe������r��H�fdfe�������R�q+�fdfe������)˟S2�fdfe�������K�5[�fdfe�������ӟ��fdfe������<c���fdfe���������ܫ�fdfe��������`�fdfe������OA��:�fdfe���������7�fdfe��������hW�fdfe������bd�K��fdfe�������*�/�fdfe����������fdfe������u͟�7�fdfe������ѩ���fdfe������-�����fdfe�������z���fdfe�������n��I�fdfe������Ai�j��fdfe�������m�O%�fdfe�������x�3DŽfdfe������U����fdfe�����±���u�fdfe������
ǟ₄fdfe������i�Dz�fdfe�������#���fdfe������"[��z�fdfe������~��x�fdfe��������]τfdfe������75�C��fdfe�����œ��)��fdfe��������քfdfe������LT���fdfe�����ƨß܋�fdfe������9���fdfe������a���̈́fdfe�����Ǿ>����fdfe������̟w��fdfe������w`�^��fdfe���������E��fdfe������0��-W�fdfe�����ɍP�݄fdfe�����������fdfe������F���Q�fdfe�����ʣ���@�fdfe������P��R�fdfe������]"����fdfe�����˹���߄fdfe�������m[�fdfe������sʟU��fdfe������л�>��fdfe������-��'��fdfe�����͊����fdfe������翟�ӄfdfe������Dϟ�!�fdfe�����Ρ�̓�fdfe���������(�fdfe������\0���fdfe�����Ϲ_����fdfe��������s��fdfe������s՟]ۄfdfe��������H �fdfe������.i�2��fdfe�����ы���fdfe����������fdfe������F���fdfe�����ң�݆�fdfe������c�Ȟ�fdfe������^ߟ�لfdfe�����Ӽc��7�fdfe����������fdfe������w��v\�fdfe��������b$�fdfe������2��N�fdfe�����Րk�:�fdfe��������&O�fdfe������K؞��fdfe�����֩����fdfe������b�봄fdfe������e4��r�fdfe���������S�fdfe������ 잲W�fdfe������~Ԟ�~�fdfe�������Ğ�Ʉfdfe������:���z6�fdfe�����٘���gDŽfdfe����������Uz�fdfe������Tџ�CR�fdfe�����ڲ��1L�fdfe��������j�fdfe������o*��
��fdfe�������X����fdfe������+���ꕄfdfe�����܉ɟ��?�fdfe�������
����fdfe������FY�����fdfe�����ݤ�����fdfe������	���H�fdfe������ak�����fdfe�����޿ן�t�fdfe������I��c��fdfe������|ß�S��fdfe�������D��Cg�fdfe������9Ο�3r�fdfe������`��#��fdfe�����������fdfe������U���b�fdfe������C�����fdfe��������岄fdfe������q���֏�fdfe�������j��ǎ�fdfe������/2�����fdfe�����������fdfe�������ן��`�fdfe������K�����fdfe�����䪛��~��fdfe������	���pp�fdfe������h~��bf�fdfe�������z��T��fdfe������&���F��fdfe�����慌��9�fdfe������䠟�+��fdfe������C���D�fdfe���������fdfe����������fdfe������a>����fdfe�������x���<�fdfe���������ݑ�fdfe���������
�fdfe�������W��Ħ�fdfe������=����f�fdfe���������H�fdfe�������y���N�fdfe������[���w�fdfe������a���Ąfdfe��������}2�fdfe������zj��qńfdfe����������fz�fdfe������9���[S�fdfe������0��PN�fdfe�������֟�En�fdfe������X���:��fdfe������9��0�fdfe���������%��fdfe������w���J�fdfe������׉���fdfe������7]���fdfe������9����fdfe����������X�fdfe������W	��鳄fdfe����������3�fdfe����������Ԅfdfe������v���͙�fdfe���������ā�fdfe������7�����fdfe������0�����fdfe�������R���
�fdfe������W{�����fdfe���������fdfe���������Մfdfe������x$�����fdfe�������l�����fdfe������8���xۄfdfe���������q"�fdfe�������r��i��fdfe������Y؟�b�fdfe�������F��Zτfdfe���������S��fdfe������{;��L��fdfe����������E��fdfe������<M��>�fdfe���������8T�fdfe���������1لfdfe������^#��+��fdfe�������ϟ�%L�fdfe���������9�fdfe�������?��K�fdfe����������fdfe������A̟�
ׄfdfe����������Q�fdfe������y���fdfe������d[�����fdfe�������C�����fdfe������&5���fdfe�������.���Ƅfdfe�������/����fdfe������I7��兄fdfe�������G����fdfe�����_���Єfdfe�����l��ت�fdfe�����ͥ��ԩ�fdfe�����.՟��Ʉfdfe���������
�fdfe������I���t�fdfe�����R������fdfe������ܟ�¬�fdfe�����1���}�fdfe�����v����p�fdfe�����������fdfe�����9_�����fdfe������ӟ���fdfe������O�����fdfe�����]ҟ��B�fdfe����������������TA�G�Ĵ�������������y&�R �/�/������������.��-7��fdfe�������d�-j��fdfe�������D�-���fdfe������3,�-�Q�fdfe��������.�fdfe��������.5r�fdfe������8�.g̈́fdfe��������.��fdfe�������(�.��fdfe������=?�.�
�fdfe�������]�//܄fdfe������냟/a��fdfe������B��/��fdfe��������/�v�fdfe�������!�/���fdfe������He�0&ׄfdfe���������0W҄fdfe��������0���fdfe������Na�0�a�fdfe�������ş0��fdfe�������/�1b�fdfe������T��1J��fdfe��������1zׄfdfe��������1�݄fdfe������['�1ڿ�fdfe���������2
�fdfe������
R�2:�fdfe������a�2i��fdfe���������2��fdfe������J�2��fdfe������i�2�,�fdfe�������Ÿ3&�fdfe��������3T�fdfe������pX�3���fdfe�������.�3��fdfe������ �3�k�fdfe������w�4��fdfe��������4<��fdfe������'֟4j��fdfe������ӟ4���fdfe�������ן4�9�fdfe������/�4�DŽfdfe���������5!0�fdfe��������5Nw�fdfe������87�5{��fdfe�������c�5���fdfe������蕟5�v�fdfe������@ϟ60�fdfe��������6.Ƅfdfe�������[�6[:�fdfe������I��6���fdfe��������6���fdfe�������g�6���fdfe������Rџ7��fdfe�������A�77k�fdfe��������7c�fdfe������\8�7���fdfe���������7��fdfe������
O�7��fdfe������e�8-�fdfe���������8;�fdfe������*�8e�fdfe������o؟8���fdfe������Ȏ�8��fdfe������!J�8��fdfe������z�9��fdfe�������ݟ99ބfdfe������+��9cلfdfe���������9���fdfe�������q�9�d�fdfe������6]�9��fdfe�������P�:
b�fdfe�������J�:3��fdfe������AM�:\Ԅfdfe�������W�:�؄fdfe�������i�:���fdfe������L��:�v�fdfe���������;�fdfe�������̟;(��fdfe������W��;P݄fdfe�������4�;y
�fdfe������
u�;��fdfe������c��;��fdfe�������
�;�΄fdfe������c�<r�fdfe������oß<?�fdfe�������)�<gQ�fdfe������"��<���fdfe������|�<���fdfe������Պ�<ܘ�fdfe������/�=i�fdfe���������=*�fdfe�������0�=P��fdfe������;̟=w�fdfe�������p�=�O�fdfe��������=�q�fdfe������HΟ=�n�fdfe���������>J�fdfe�������M�>5�fdfe������V�>Z��fdfe��������>�	�fdfe������	ß>�X�fdfe������c��>ʃ�fdfe���������>fdfe������~�?p�fdfe������qx�?93�fdfe�������x�?]фfdfe������%��?�M�fdfe��������?���fdfe������٧�?�ۄfdfe������3Ɵ?��fdfe��������@ۄfdfe��������@6��fdfe������BQ�@ZO�fdfe���������@}Ԅfdfe�������՟@�7�fdfe������Q!�@�u�fdfe�������w�@璄fdfe������ӟA
��fdfe������`7�A-`�fdfe���������AP�fdfe�������Ar��fdfe������o��A�
�fdfe��������A�V�fdfe������$��A�{�fdfe������2�A�~�fdfe�������̟B]�fdfe������4n�B?�fdfe��������B`��fdfe�������ȟB�(�fdfe������D��B�z�fdfe�������A�BĪ�fdfe�������	�B嶄fdfe������TٟC��fdfe���������C'e�fdfe������
��CH�fdfe������ew�Ch��fdfe�������g�C��fdfe������]�C��fdfe������v[�C�4�fdfe�������`�C�&�fdfe������,n�D��fdfe���������D(��fdfe������⟟DH-�fdfe������=ßDg��fdfe��������D�քfdfe�������$�D���fdfe������O`�D��fdfe���������D�̄fdfe�������E��fdfe������[email protected]�E!�fdfe���������E?��fdfe��������E]҄fdfe������sf�E{��fdfe�������؟E��fdfe������*Q�E��fdfe�������џEզ�fdfe�������Z�E�D�fdfe������<�F��fdfe���������F.�fdfe������� �FKF�fdfe������OȟFhW�fdfe�������w�F�D�fdfe������.�F��fdfe������b�F���fdfe���������F�:�fdfe��������F���fdfe������vV�G؄fdfe�������2�G/�fdfe������.�GK�fdfe��������Gg��fdfe���������G�m�fdfe������A�G���fdfe���������G�e�fdfe��������Gլ�fdfe������V�G�Єfdfe�����²/�HЄfdfe������R�H&��fdfe������j|�HAi�fdfe������Ʈ�H\�fdfe������"�Hvt�fdfe������)�H�Ƅfdfe�������q�H��fdfe������7��H���fdfe�����Ŕ�H��fdfe�������y�H���fdfe������L�IK�fdfe�����ƩP�I+Ʉfdfe������ƟIE#�fdfe������bE�I^[�fdfe�����Ǿ˟Iwo�fdfe������Y�I�a�fdfe������w�I�.�fdfe������Ԍ�I�ڄfdfe������11�I�a�fdfe�����ɍޟI�Ƅfdfe������꒟J�fdfe������GN�J#&�fdfe�����ʤ�J;!�fdfe������ޟJR��fdfe������]��Jj��fdfe�����˺��J�@�fdfe������n�J���fdfe������tX�J���fdfe�������J�J�!�fdfe������.D�J�'�fdfe�����͋E�J��fdfe�������N�KDŽfdfe������E^�K#a�fdfe�����΢w�K9ڄfdfe���������KP/�fdfe������\��Kfa�fdfe�����Ϲ�K|o�fdfe������&�K�[�fdfe������td�K�#�fdfe������Ѫ�K�Ʉfdfe������.��K�J�fdfe�����ьN�K誄fdfe������鬟K��fdfe������G�L��fdfe�����Ҥ~�L'�fdfe�������L<ńfdfe������_o�LQs�fdfe�����Ӽ�Le��fdfe������~�Lzg�fdfe������x�L���fdfe������ծ�L�Єfdfe������3Q�L�Єfdfe�����Ր��Lʫ�fdfe������L�e�fdfe������Lh�L���fdfe�����֪*�Mm�fdfe�������M��fdfe������eğM+�fdfe������Ü�M>�fdfe������!|�MQׄfdfe������d�Md��fdfe�������T�Mw9�fdfe������;K�M���fdfe�����ٙJ�M��fdfe�������P�M�D�fdfe������U`�M�X�fdfe�����ڳv�M�G�fdfe��������M��fdfe������o��M���fdfe��������ND�fdfe������,�N��fdfe�����܊X�N)�fdfe������蜟N;�fdfe������F�NK��fdfe�����ݥ<�N\҄fdfe��������Nm��fdfe������a��N~�fdfe�������e�N���fdfe������ןN�̄fdfe������}Q�N��fdfe�������ҟN���fdfe������:\�N�քfdfe�������Nޓ�fdfe���������N�-�fdfe������V'�N���fdfe������ПO��fdfe��������O'�fdfe������r8�O+5�fdfe���������O:�fdfe������/��OH�fdfe�����㎌�OW��fdfe�������b�Of
�fdfe������[email protected]�Otf�fdfe������&�O���fdfe������
�O���fdfe������i	�O���fdfe��������O�{�fdfe������'�O�)�fdfe�������Odz�fdfe�������+�O��fdfe������DF�O�^�fdfe������j�O��fdfe��������O�|�fdfe������aǟP	W�fdfe��������P
�fdfe������ C�P"��fdfe��������P/�fdfe�������ߟP;`�fdfe������>7�PG��fdfe�����ꝙ�PS��fdfe��������P_v�fdfe������\q�Pk7�fdfe�������PvԄfdfe������h�P�P�fdfe������z�P���fdfe��������P�܄fdfe������:�P��fdfe�����홴�P�ۄfdfe�������Z�P���fdfe������Y�P�M�fdfe������P�фfdfe������{�P�3�fdfe������[email protected]�P�q�fdfe��������P퍄fdfe������7�P���fdfe�����𗼟QY�fdfe���������Q
�fdfe������W��Q��fdfe������}�Q�fdfe������y�Q'L�fdfe������w{�Q0p�fdfe������ׅ�Q9r�fdfe������7��QBP�fdfe�����󗰟QK�fdfe�������џQS��fdfe������W��Q\�fdfe������*�Qdj�fdfe������c�Ql��fdfe������x��Qt��fdfe��������Q|��fdfe������99�Q�R�fdfe���������Q���fdfe��������Q�s�fdfe������ZU�Q�τfdfe�������ŸQ��fdfe������8�Q��fdfe������{��Q��fdfe�������<�Q�ބfdfe������<ȟQ���fdfe�������]�Q��fdfe���������Q�w�fdfe������^��Qк�fdfe�������H�Q�؄fdfe��������Q�Մfdfe���������Q⭄fdfe�������y�Q�c�fdfe������BC�Q���fdfe��������Q�e�fdfe�������Q���fdfe������dПQ�لfdfe������Ÿ�Rބfdfe������&��R��fdfe���������R��fdfe������袟R�fdfe������I��R��fdfe���������R�fdfe�����џR�fdfe�����l�R".�fdfe�������R&�fdfe�����/E�R)�fdfe������{�R-��fdfe������R1�fdfe�����R��R4k�fdfe������K�R7��fdfe�������R:��fdfe�����v��R=��fdfe������^�[email protected]��fdfe�����9ʟRC:�fdfe������>�REƄfdfe��������RH0�fdfe�����^<�RJv�fdfe������ǟRL��fdfe�����!Y�RN��fdfe�����������������$�!�����������������������(t�&Zj�/�/�������(t�&���fd6�����������(t�(�j�GL���AY�(�j(2�;����O������>:�)����������������ɵ�6U�'������������� �*�FZj�(�(����������SI�Dj��R����������N�B�R����������S�@�_R���������!X�>�R���������
�]�=�R���������Ub�;9LR����������g�9b�R�����������l�7��R����������#q�5�9R����������v�3ވR����������W{�2�R�����������01&R���������狅�.ZuR�������������7���N�(��`���,�����������������*��5�������������� �g�Zj�6�6�������������Lc�l����������0�
"�l���������<ڟ�cl���������܄�
��l���������
|.��cl���������؟|�l������������Scl����������[,�)�l�����������֟cl������������l����������:*��cl�����������ԟ��l����������y~�Zcl��������������	sڟR6ԲGL�����R6�(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)��=��Aut����(�V�8�)������������eh?��H�[[CITE��CARA��*�YOL,��Duk���e�1989:��"\Ha�v�e��ord���Yh���p���b�N�pѲ=�Y��n����p���R�(����~������+��)�b�y�Cara�y�ol.�	OHa�v�e��
D��6वn����p���R�(����~������+��)��=��dim��q�(���x䍑�~�����V���9=���x䍑��~�����V��8��^��I���p�����LX�)�8�+�(�wild�UUterm��*@).�q�Then�UUwild=wild."]]����H�Though���x䍑k�~������y�V���
�+�and��y�V�]�are�v���ector�spaces�o�v�er�dieren�t�elds,��w�e�can�compare�the�di-��&���6�mensions�M�of�their�inertia�in���v��q�arian�t�M�subspaces.��These�satisfy�[[SA��*�Y�M�WHY]]��dim����x䍑*$~�������V��8��^��I���p�����'�x����ԍ��6लdim��I5��V��8��^��I���p���
w�,�b'but�_�w���e�need�not�ha�v�e�equalit�y��*�.���F�or�_�example,�b'it�could�b�Ge�that���x䍑�~������V����g�is�highly����6�ramied�UUthat���x䍑�q~������V��8��^��I���p�����hŲ=��0,�but��V��9�is�unramied�so��dim�����V��8��^��I���p���
>�=��dim��n�V����=�2.�q�The�form���ula��X�������������\ord�����B���p���(��(�N��)��=��n�(�p�)�8�+�(�dim��UV�V��8�����I���p��������dim����x䍑R~������6�V��8�����I���p�����$ڎ�)��������������6�(2.1)������<΍�6�indicates��ho���w�this�dierence�measures�the�deviation�of��N��+�from�the�optimal�lev�el.����6�This���is�the�description�of��n�(�p�)�that�is�used�in�attempting�to�pro���v�e���that�if����is����6�mo�Gdular��Nat�all,���then�it�is�p�ossible�to�rene��N��i�and��k���to�ev���en�tually��Ndisco�v�er�that������6लindeed��do�Ges�come�from��S���:�k�+B�(��)��Q��(����1��|s�(�N��(��))).��mAfter�m���uc�h��w�ork�[��21���,���63��5�]����^��1����U�it�has�b�Geen����6�sho���wn�UUthat��for���`��>��2��the�we��}'ak�and�str�ong�c�onje�ctur�es�ar�e�e�quivalent.����HलRearranging�UU(2.1)�in���to���?���\�n�(�p�)��=��ord���?����p���P�(�N��)�8���(�dim��UV�V��8�����I���p��������dim����x䍑R~������6�V��8�����I���p�����$ڎ�)��B���6�pro���vides�͑us�with�a�w�a�y�to�read�o��N��(��)�from��ord���Fw���p���ɲ(�N��),���dim��@��V��8��^��I���p���
w�,��and��dim����x䍑�~�����"�V��8��^��I���p�����&o?�.��|If����6वf��y�2���S����k��됲(����1��|s�(�N��))���giv���es�rise�to����and��`��-��N��,���then��k�P��(��)����k��.�CIn���con���trast,���if�w�e�allo�w����6�p�Go���w�ers�� of��`��in�the�lev���el�then�the�w�eigh�t��k�䷲can�alw�a�ys�b�Ge�made�equal�to�2.�1`Amazingly����6�(to���me),��VSerre's�conjectures�imply�that�all�o�Gdd�irreducible�t���w�o-dimensional���mo�d��`����6लrepresen���tations��7of��G����Q���S�ma�y�b�Ge�realized�in�spaces�of��`�-division�p�oin���ts�on�ab�elian����6�v��q�arieties.�O�The���w���eak�Serre�conjecture�states�that�all�suc�h�represen�tations�come�from����6�mo�Gdular�6forms,�#�and�then�it�tak���es�only�a�bit�of�tec�hnique�to�sho�w�that�one�can�tak�e����6�the�UUmo�Gdular�forms�to�ha���v�e�UUw�eigh�t�t�w�o�(if�one�allo�ws�p�Go�w�ers�of��`��in�the�lev�el).�� č��6��2.3.��P�Represen��ttations�2�arising�from�elliptic�curv�es����6लEquations��ofor�elliptic�curv���es�can�b�Ge�found�in�tables�suc�h�as�[��4����,��B�17��®�].��Consider�the����6�elliptic�UUcurv���e��B��Ʋof�giv�en�b�y�the�equation��1k������������Pc�y��[ٟ����2��,�+�8�y�"�=���x������3���S�+��x������2�����12�x��+�2�:��������������6ल(2.2)���������6�This�!�is�the�curv���e�lab�Geled�141A1�in�[��17����];��it�has�conductor��N�3�=��141�=�3��3���47�!�and����6�discriminan���t�0���=�3���^��7��k���v�47.�e�Let��f�ڧ�2��S����2��|s�(����0���(141))�b�Ge�the�newform�attac���hed�to��B��q�.�e�The����6�curv���e�IǵB��8�is�isolated�in�its�isogen�y�class,�Lequiv��q�alen�tly��*�,�for�I�ev�ery��`�,�Lthe�represen�tation�����*������`�����=�������B�W=;`��b
�:��G����Q��
4�!���GL����(2�;����F����`����)�����Aut����(�B��q�[�`�])��6ट	�Ӊff<�O[�����-:�1���*��More��Xreferences?���������7
������ww��rr(�LECTURE���2.���THE�WEAK�AND�STR�ÎONG�CONJECTURES��5��15����Y������6लis��Airreducible�(see�Exercise�14�and�Exercise�15).�F�It�follo���ws�from�results�of�Serre�that����6�eac���h��>�����`��p$�is�surjectiv�e�[��67����]�[[MORE��-REFS,�DISCUSSION�ABOUT��`�4�=�2]].�7�W��*�e��>will����6�return�UUto�this�example�p�Gerio�dically�UUin�the�course�of�these�lectures.����H�W��*�e��4determine��N��(�����`����)�and��k�P��(�����`���)�for�eac���h�prime��`�.�adA�t�primes�of�bad�reduction,����6�after�:�a�p�Gossibly�quadratic�extension,�s`�B��T�b�ecomes�a�T��*�ate�curv���e.��This�can�b�e�used�[��76����]����^��2������6लto�UUsho���w�that�for��p���6�=��`�,��32��r�W�����`���.;�is�UUunramied�at��O|}�p��1�(��UX)���ord������p��"�i�()�����0�	��(�mo�Gd����`�)�:����6ल[[THE�<�F���OLLO�WING�IS�INCOMPREHENSIBL��*�Y�WRITTEN.]]�<�T�ak���e��p���=�3,�A��`��6�=�3:����6�then��P�����`���6�is�unramied�at�3�i��`�ָ�j���ord���O����3����()�=�7,�!i.e.,�when��P�`�ָ�=�7.�Z�F��*�urthermore,�!�����`�����6लis���alw���a�ys�ramied�at�47.��What�do�Ges�this�sa�y�ab�Gout�the�optimal�lev�el,��min�the�sense����6�of�T�Serre's�conjecture?�o�T��*�ak���e��`�p��6�=�3�;����47.�Then�T��N��(�����`����)��j��N����=�3�����47�:��If��`�p��6�=�7�then����6वN��(�����`����)���=��N��=�3�G����47,�p�and�k\the�strong�case�is�v���eried.���If��`��ϲ=�7�k\then��N��(�����`����)���=�47,�p�and����6वk�P��(�����`����)��=�2�UUsince��`���-��3�8���47.����H�Still�,ttaking��p���=�3,�4�the�,tremaining�cases�are��`���=�3�;�UP�47.�d'If�,t�`��=�47�then��N��(�����`����)�=�3.����6�Because�bKthe�cyclotomic�c���haracter�has�order��`�A����1,�e��k�P��(�����`����)�ܳ���2�q�(�mo�Gd���47�A����1).���Serre's����6�recip�Ge�%�giv���es��k�P��(�����`����)�"�=�2���+�(47����1)�"�=�48.��In�%�order�to�v�erify�the�strong�conjecture����6�w���e�Rneed�a�mec�hanism�for�relating�eigenforms�in��S����2��|s�(����0���(141);����F����`����)�Rto�eigenforms�in����6वS����48��x�(����0��|s�(3);����F����`����).��bIn�z�Serre�[��4�����]�he�constructs�suc���h�a�map�for�lev�el�one.��bKoik�e�and����6�others�UUgeneralized�this�map�to�higher�lev���el.����H�Let�nrus�return�to�case��`���=�7,�t�in�nrwhic���h�the�optimal�lev�el��N��(�����`����)���=�47�nris�a�prop�Ger����6�divisor��Cof��N��3�=��3����47.�;�The��Cstrong�conjecture�predicts�the�existence�of��g�"�2��S����2��|s�(����0���(47))����6�giving���rise�to���.�aOur�initial�instinct�is�to�lo�Gok�for�an�elliptic�curv���e��A��of�conductor����6�47��suc���h�that��A�[�`�]��=��B��q�[�`�].���In��fact,�@�there�is�no�elliptic�curv�e�of�conductor�47;�o�the����6�space��I�S����2��|s�(����0���(47))�is�four-dimensional,�ha���ving�basis�the�Galois�conjugates�of�a�single����6�eigenform�۵f�
ڲ=���K����P��0.�c����n��q~�q��[ٟ�^��n���W�.��XThe�F��*�ourier�co�Gecien���ts��c����n��	}Y�of��f�j�generate�the�full�ring�of����6�in���tegers��4in�the�eld��K��P�obtained�from��Q��b�y�adjoining�a�ro�Got�of��h�(�x�)���=��x���^��4�����t�x���^��3�������6ल5�x���^��2�����+�Q�5�x����1�:�zI�The�discriminan���t�1957��=�19�Q����103�zIof��K�1e�equals�the�discriminan�t�of��h�,����6�therefore�x�a�ro�Got�of��h��generates�the�full�ring�of�in���tegers.��yThe�eigen�v��q�alue��c����2����satises����6वh�(�c����2��|s�)��=�0.�YhSince�6�h�(�x�)����(�x����+�2)(�x���^��3��#�+�4�x���^��2���+��x��+�3)�q�(�mo�Gd���7),��there�6is�a�prime����lying����6�o���v�er��$7�suc���h�that��O�G�=����T͍���q����+3����q�=�����.�F����7��|s�;�*the�isomorphism�is�giv�en�b�y��c����2��/�7!��q�2����mo�Gd��*�7.�5As�a����6�c���hec�k,�Hnote��that�#�B��q�(�F����2��|s�)�
�=�5��so��a����2���6�=�
�3��X���5�=���2�=��'�(�c����2��|s�).��dMore��generally��*�,�Hfor����6वp���-��7�8���141,�UUw���e�ha�v�e��'�(�c����p���R�)�����a����p���I�mo�Gd��!��7�:����HलW��*�e�{ujust�stripp�Ged�3�from�the�lev���el.��(The�represen�tation������7����starts�at�lev�el�141��=����6�3�*-���47�M�and�is�unramed�at�3.�oTW��*�e�v���eried�that�there�is�a�form�of�lev�el�47�giving�rise����6�to��l��.��In�general�the�easier�case,��rdue�to�Mazur,�is�when��p�`��6��1�q�(�mo�Gd����`�).��The��lhard����6�case,�UUdue�to�the�rst�author,�is�when��p�����1�q�(�mo�Gd����`�).��6ठ�JA�ff<�O[�����-:�2���*��Where��Xin�here?�����H���7
�����Y���[C��7
�����Y������G���P�_�LECTURE���3�����I��The��w��eigh�t�in�Serre's�conjecture����9�
�In��f[��75����,��c�x�2],�Serre�asso�Gciated�to�a�con���tin�uous,��co�Gdd,�irreducible�Galois�represen���tation��\k��6व���:��G����Q��D��!���GL���(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)��t���w�o�in�tegers��N��(��)�and��k�P��(��),�>lmean�t�to�b�Ge�the�minimal�lev�el����6�and�UUw���eigh�t�of�a�form�giving�rise�to���.�q�He�then�made�the�follo�wing�conjecture:�������6��Conjecture��T1��(W��*�eak�UUconjecture�of�Serre)�.�����}�Let��:����:��G����Q��N��!���GL�� x(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�b�Ge�an�o�dd����6�irreducible�aGalois�represen���tation�arising�from�a�mo�Gdular�form.���Then����arises�from����6�a�UUmo�Gdular�form�of�lev���el��N��(��)�and�w�eigh�t��k�P��(��).����H�In���this�lecture�w���e�are�concerned�with��k�P��(��).�GMW��*�e�consider�a�represen�tation����that����6�arises��Tfrom�an�eigenform�of�lev���el��N�1��=�k�N��(��)�and�w�eigh�t��k�k��k�k�P��(��).��[[EDIXHO�VEN����6�DOESN'T��	ASSUME��N�sڲ=�\��N��(��);��he�� assumes��`��-��N��.]]�(Using�v��q�arious�argumen���ts�in-����6�v���olving�ˆthe�Eic�hler-Shim�ura�corresp�Gondence�and�T��*�ate's����-cycles,���Edixho���v�en�ˆsho�w�ed����6�in���[��25����]�that�there�m���ust�exist�another�form�of�w�eigh�t��k�P��(��),���still�of�lev�el��N��(��),���that����6�giv���es�Qrise�to���.�pWWhen��`���=�2,�Q�Edixho�v�en's�Qresult�relies�on�unc�hec�k�ed�compatibilities����6�assumed�D-in�[��34����].�>OIn�this�lecture�w���e�sk�etc�h�his�argumen�ts�to�giv�e�a�
a�v�or�of�the����6�sub��8ject.��
8���6��3.1.��P�Represen��ttations�2�arising�from�forms�of�lo�w�w�eigh�t����6लW��*�e�;?rst�consider�Galois�represen���tations�asso�Gciated�to�newforms�of�lo�w�w�eigh�t:�d�Fix����6�a�$�prime��`��and�supp�Gose��f�4A�=�� �����P��Y��a����n��q~�q��[ٟ�^��n��	�
�is�a�newform�of�w���eigh�t�$��k�uJ�and�lev���el��N��,�X�suc�h����6�that���`�EP�-��N��,�and�2����k�����`�k]�+�1.�T�(W��*�e�a���v�oid�w�eigh�t�one�forms�in�this�lecture.)�T�Fix�a��`��6�homomorphism�Y)�'��from�the�ring�of�in���tegers��O��F�of��Q�(��:���:�:����;���a����n��q~�;��:�:�:���)�Y)to�����_�fe<o����F����	�����`��
n~�.��T��*�o�abbreviate��\k��6�notation,�#Ew���e��often�write��a����n��	k��for��'�(�a����n��q~�);�Luwhereb�y�thinking�of��a����n��	k��as�an�elemen�t�����_�fe<o����F����6����`��j�.����6�Let��+���!y����=������f�Z�;'��*~�:��G����Q��
4�!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)��č�6�b�Ge��the�t���w�o-dimensional��o�dd�Galois�represen���tation�attac�hed�to��f�/'�and��'�.�^�The�recip�Ge����6�for��z�N��(��)�dep�Gends�on�the�lo�cal�b�eha���vior�of����at�primes��p��other�than��`�;�0�the�recip�e����6�for�"�k�P��(��)�dep�Gends�on�the�restriction���j����I����`���
��of����to�the�inertia�group�at��`�.�VaMotiv��q�ated�b���y����6�Serre's��questions,��F��*�on���taine�and�Deligne�describ�Ged�the�Galois�represen�tations���j����I����`���
xh�in����6�man���y�ՙsituations.�G3W��*�e�distinguish�t�w�o�cases,��%the�ordinary�case�and�the�sup�Gersingular����6�case.��Ѝ��6��3.1.1.��Wu�The��Tordinary�case����6लDeligne�Z(see�[��34����,�[BProp.��12.1])�considered�the��or��}'dinary��Cc�ase�,�in�Zwhic���h����arises�from��\k��6�a��[newform��f���with��a����`����(�f���)�ct�6�=�0��2�����_�fe<o����F��������`��xɲ.�	$�He��[sho���w�ed�that����has�a�one-dimensional�������;�17����[���7
���������6��18��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लunramied�UUquotien���t�����;�more�precisely��*�,���a���M��j����D����`���
Mf��������^������d���
#�����*7�������
��0����������� �ş��^�����
��6लwith������(�I����`����)�pS=�1�and���	z��o�=�����^��k�+B��1��(�"�.��gThe�mo�Gd��N����c���haracter��"��is�also�unramied;��this����6�is���b�Gecause��`��do�es�not�divide��N��,��[but�the�conductor�of��"��do�es.��Since�the�mo�d��`����6लcyclotomic�UUc���haracter����has�order��`�8���1�UUand���ፒ�ݵ�j����I����`���
Nָ�������^������덍�
#�����^��k�+B��1����"⵸������
#��0���"�1�����'⶟��^����0�ҵ;��#��6लthe���v��q�alue�of��k��C�mo�Gdulo��`�aŸ��1���is�determined�b���y���j����I����`������.�)�When��k��is�neither�2�nor��`�aŲ+�1,����6�this�UUdetermines��k�P��.�q�Cho�Gosing�b�et���w�een�UU2�and��`�8�+�1�UUis�discussed�in�Lecture�4.���g���6��3.1.2.��Wu�The��Tsup�Q�ersingular�case�and�fundamen��9tal�c�haracters����6लF��*�on���taine��A(see�[��26����,����x�6])�in�v�estigated�the�sup�Gersingular�case,���in�whic�h����arises�from��\k��6�a�l�newform��f��&�with��a����`����(�f���)���=�0��2�����_�fe<o����F��������`���ٲ.���T��*�o�l�describ�Ge�the�restriction���j����I����`����U�of����to�the����6�inertia���group�at��`�,�"�it�is�necessary�to�in���tro�Gduce�the�fundamen�tal�c�haracters�of�the����6�tame�sinertia�group.��Fix�an�algebraic�closure�����_�fe������Q������qƴ`��b��of�the�eld��Q����`��L�of��`�-adic�n���um�b�Gers;��N1��6�let����Q���^���nr��v��`���.`���#����_�fe������Q�����>�qƴ`��-	�denote�the�maximal�unramied�extension�of��Q����`����,���and��Q���^���tm��v��`���
U}���#����_�fe������Q�����>�qƴ`���the����6�maximal�\(tamely�ramied�extension�of��Q���^���nr��v��`���
��.��AThe�extension��Q���^���tm��v��`���
��is�the�comp�Gositum���o��6�of��^all�nite�extensions�of��Q���^���nr��v��`�����in�����_�fe������Q������qƴ`��]-�of�degree�prime�to��`�.�B�Letting��D����`���D�denote�the����6�decomp�Gosition���group,�յI����`���ղthe�inertia�group,��I����t��fE�the�tame�inertia�group,�and��I����w��
Z �the����6�wild�UUinertia�group,�w���e�ha�v�e�the�follo�wing�diagram:��0r��������������!������fe������Q������?�'�`�����������,��%so�LWfd������������Y��F��D����`�����������������㌺��„fdfe������bҟ���fdfe������9�(,�fdfe��������o`�fdfe�������:����fdfe��������ʄfdfe�������D��fdfe������kR��2�fdfe������B���f�fdfe������R�	��fdfe��������	aЄfdfe��������	��fdfe������:�	�8�fdfe������z��
7n�fdfe������S�
~��fdfe������+ҟ
�քfdfe��������
�fdfe�������ҟ[email protected]�fdfe��������t�fdfe�������⨄fdfe������j:�)܄fdfe������D�q�fdfe��������F�fdfe�������R��z�fdfe������Һ�
F��fdfe�����߭R�
��fdfe�����߈�
��fdfe������c�L�fdfe������>:�c��fdfe�����������fdfe����������fdfe�������ҟ9�fdfe�����ެ���P�fdfe�����ވҟdž�fdfe������e���fdfe������A��U�fdfe������:��"�fdfe���������X�fdfe��������+��fdfe�����ݵR�r��fdfe�����ݒ����fdfe������pR�*�fdfe������N�H^�fdfe������,����fdfe������
:��Ƅfdfe������蒟��fdfe��������e0�fdfe�����ܥҟ�d�fdfe�����܄���fdfe������cҟ:΄fdfe������C���fdfe������"���6�fdfe������:�j�fdfe��������W��fdfe���������Ԅfdfe�����ۢR���fdfe�����ۂ��-<�fdfe������cR�tr�fdfe������D����fdfe������%�ڄfdfe������:�J�fdfe������璟�D�fdfe���������x�fdfe�����ڪҟ��fdfe�����ڌ��f�fdfe������nҟ��fdfe������Q��J�fdfe������3��<~�fdfe������:����fdfe����������fdfe���������fdfe�����ٿR�YP�fdfe�����٢�����fdfe�����نR�纄fdfe������j�.�fdfe������N�v"�fdfe������2:��V�fdfe����������fdfe��������K��fdfe�������ҟ��fdfe������ĺ��(�fdfe�����ةҟ!^�fdfe�����؏�h��fdfe������t���Ƅfdfe������Z:����fdfe������@�>0�fdfe������&��d�fdfe������R�̘�fdfe�������̄fdfe�������R�[�fdfe���������6�fdfe�����ק��j�fdfe�����׎:� 0��fdfe������u�� w҄fdfe������]� ��fdfe������Dҟ!:�fdfe������,��!Mn�fdfe������ҟ!���fdfe��������!�؄fdfe������咟"#�fdfe�������:�"[email protected]�fdfe�����ַ�"�v�fdfe�����֠�"���fdfe�����։R�#?ބfdfe������r��#��fdfe������\R�#�H�fdfe������F�$|�fdfe������0�$\��fdfe������:�$��fdfe��������$��fdfe��������%2N�fdfe�������ҟ%y��fdfe������ĺ�%���fdfe�����կҟ&�fdfe�����՛�&O �fdfe�����Ն��&�T�fdfe������r:�&݈�fdfe������^�'$��fdfe������J�'k�fdfe������6R�'�&�fdfe������"��'�Z�fdfe������R�(A��fdfe��������(�Ąfdfe��������(���fdfe�������:�),�fdfe������Ò�)^b�fdfe�����Ա�)���fdfe�����Ԟҟ)�ʄfdfe�����Ԍ��*3��fdfe������zҟ*{4�fdfe������i�*�h�fdfe������W��+	��fdfe������F:�+PЄfdfe������5�+��fdfe������$�+�:�fdfe������R�,&n�fdfe��������,m��fdfe�������R�,�؄fdfe��������,��fdfe��������[email protected]�fdfe�������:�-�t�fdfe�����Ӳ��-Ѫ�fdfe�����ӣ�.ބfdfe�����ӓҟ.`�fdfe�����ӄ��.�F�fdfe������uҟ.�|�fdfe������g�/5��fdfe������X��/|�fdfe������J:�/��fdfe������<�0N�fdfe������.�0R��fdfe������ R�0���fdfe��������0��fdfe������R�1( �fdfe��������1oT�fdfe��������1���fdfe�������:�1���fdfe������ђ�2D�fdfe��������2�$�fdfe�����Ҹҟ2�X�fdfe�����Ҭ��3��fdfe�����Ҡҟ3a„fdfe�����ҕ�3���fdfe�����҉��3�*�fdfe������~:�47^�fdfe������s�4~��fdfe������h�4�Ȅfdfe������]R�5��fdfe������R��5T0�fdfe������HR�5�f�fdfe������>�5⚄fdfe������4�6)΄fdfe������*:�6q�fdfe������ ��6�8�fdfe�������6�l�fdfe������
ҟ7F��fdfe��������7�Ԅfdfe�������ҟ7�
�fdfe��������8>�fdfe������꒟8cr�fdfe�������:�8���fdfe��������8�܄fdfe��������99�fdfe�������R�9�D�fdfe������º�9�x�fdfe�����ѻR�:��fdfe�����Ѵ�:U�fdfe�����ѭ�:��fdfe�����Ѧ:�:�J�fdfe�����џ��;+�fdfe�����љ�;r��fdfe�����ђҟ;��fdfe�����ь��<�fdfe�����цҟ<HQ�fdfe�����с�<���fdfe������{��<ֹ�fdfe������v:�=�fdfe������q�=e#�fdfe������l�=�W�fdfe������gR�=�fdfe������b��>:��fdfe������^R�>���fdfe������Z�>�)�fdfe������V�?]�fdfe������R:�?W��fdfe������N��?�DŽfdfe������K�?���fdfe������Gҟ@-/�fdfe������D��@tc�fdfe������Aҟ@���fdfe������?�Ä́fdfe������<��AJ�fdfe������::�A�5�fdfe������8�A�k�fdfe������6�B��fdfe������4R�Bfӄfdfe������2��B��fdfe������1R�B�=�fdfe������0�C<q�fdfe������/�C���fdfe������.:�C�لfdfe������-��D
�fdfe������-�DYA�fdfe������,ҟD�u�fdfe������,��D穄fdfe������,ҟE.߄fdfe������-�Ev�fdfe������-��E�G�fdfe������.:�F{�fdfe������/�FK��fdfe������0�F��fdfe������1R�F��fdfe������2��G!M�fdfe������4R�Gh��fdfe������6�G���fdfe������8�G��fdfe������::�H>�fdfe������<��H�U�fdfe������?�H̉�fdfe������AҟI��fdfe������D��IZ�fdfe������GҟI�'�fdfe������K�I�[�fdfe������N��J0��fdfe������R:�JwÄfdfe������V�J���fdfe������Z�K-�fdfe������^R�KMa�fdfe������b��K���fdfe������gR�K�˄fdfe������l�L"��fdfe������q�Lj3�fdfe������v:�L�g�fdfe������{��L���fdfe�����с�M?фfdfe�����цҟM��fdfe�����ь��M�9�fdfe�����ђҟNo�fdfe�����љ�N\��fdfe�����џ��N�ׄfdfe�����Ѧ:�N��fdfe�����ѭ�O2A�fdfe�����Ѵ�Oyu�fdfe�����ѻR�O���fdfe������º�P݄fdfe�������R�PO�fdfe��������P�G�fdfe��������P�{�fdfe�������:�Q$��fdfe������꒟Qk�fdfe��������Q��fdfe�������ҟQ�M�fdfe��������RA��fdfe������
ҟR���fdfe�������R��fdfe������ ��S�fdfe������*:�S^S�fdfe������4�S���fdfe������>�S콄fdfe������HR�T3�fdfe������R��T{%�fdfe������]R�T�[�fdfe������h�U	��fdfe������s�UPÄfdfe������~:�U���fdfe�����҉��U�+�fdfe�����ҕ�V&_�fdfe�����ҠҟVm��fdfe�����Ҭ��V�DŽfdfe�����ҸҟV���fdfe��������WC1�fdfe������ђ�W�e�fdfe�������:�Wљ�fdfe��������Xτfdfe��������X`�fdfe������R�X�7�fdfe��������X�k�fdfe������ R�Y5��fdfe������.�Y|Մfdfe������<�Y�	�fdfe������J:�Z=�fdfe������X��ZRs�fdfe������g�Z���fdfe������uҟZ�ۄfdfe�����ӄ��[(�fdfe�����ӓҟ[oE�fdfe�����ӣ�[�y�fdfe�����Ӳ��[���fdfe�������:�\D�fdfe��������\��fdfe��������\�K�fdfe�������R�]�fdfe��������]a��fdfe������R�]��fdfe������$�]��fdfe������5�^7Q�fdfe������F:�^~��fdfe������W��^Ż�fdfe������i�_�fdfe������zҟ_T#�fdfe�����Ԍ��_�W�fdfe�����Ԟҟ_⍄fdfe�����Ա�`)��fdfe������Ò�`p��fdfe�������:�`�)�fdfe��������`�_�fdfe��������aF��fdfe������R�a�DŽfdfe������"��a���fdfe������6R�b1�fdfe������J�bce�fdfe������^�b���fdfe������r:�b�̈́fdfe�����Ն��c9�fdfe�����՛�c�7�fdfe�����կҟc�k�fdfe������ĺ�d��fdfe�������ҟdUՄfdfe��������d�	�fdfe��������d�=�fdfe������:�e+q�fdfe������0�er��fdfe������F�e�ۄfdfe������\R�f�fdfe������r��fHC�fdfe�����։R�f�y�fdfe�����֠�f֭�fdfe�����ַ�g�fdfe�������:�ge�fdfe������咟g�I�fdfe��������g�}�fdfe������ҟh:��fdfe������,��h��fdfe������Dҟh��fdfe������]�iO�fdfe������u��iW��fdfe�����׎:�i���fdfe�����ק�i��fdfe��������j-!�fdfe�������R�jtU�fdfe�������j���fdfe������R�k��fdfe������&�kI�fdfe������@�k�'�fdfe������Z:�k�[�fdfe������t��l��fdfe�����؏�lfńfdfe�����ةҟl���fdfe������ĺ�l�-�fdfe�������ҟm<c�fdfe��������m���fdfe��������m�˄fdfe������2:�n��fdfe������N�nY5�fdfe������j�n�i�fdfe�����نR�n睄fdfe�����٢��o.фfdfe�����ٿR�ov�fdfe��������o�;�fdfe��������po�fdfe������:�pK��fdfe������3��p�لfdfe������Q�p�
�fdfe������nҟq!A�fdfe�����ڌ��qhu�fdfe�����ڪҟq���fdfe��������q�߄fdfe������璟r>�fdfe������:�r�G�fdfe������%�r�}�fdfe������D�s��fdfe������cR�sZ�fdfe�����ۂ��s��fdfe�����ۢR�s�O�fdfe��������t0��fdfe��������tw��fdfe������:�t��fdfe������"��u!�fdfe������C�uMU�fdfe������cҟu���fdfe�����܄��u۽�fdfe�����ܥҟv"�fdfe��������vj'�fdfe������蒟v�[�fdfe������
:�v���fdfe������,�w?ńfdfe������N�w���fdfe������pR�w�-�fdfe�����ݒ��xa�fdfe�����ݵR�x\��fdfe��������x�˄fdfe��������x���fdfe������:�y23�fdfe������A��yyg�fdfe������e�y���fdfe�����ވҟzτfdfe�����ެ��zO�fdfe�������ҟz�9�fdfe��������z�m�fdfe��������{$��fdfe������>:�{kՄfdfe������c�{��fdfe�����߈�{�?�fdfe�����߭R�|As�fdfe������Һ�|���fdfe�������R�|�݄fdfe�������}�fdfe������D�}^E�fdfe������j:�}�y�fdfe�������}쯄fdfe�������~3�fdfe�������ҟ~{�fdfe��������~�K�fdfe������+ҟ	��fdfe������S�P��fdfe������z����fdfe������:���fdfe���������&S�fdfe���������m��fdfe������R�����fdfe������B�����fdfe������kR��C%�fdfe���������Y�fdfe��������э�fdfe�������:����fdfe���������_��fdfe������9���)�fdfe������bҠ��]�fdfe�����㌺��5��fdfe������Ҡ�|DŽfdfe������������fdfe���������/�fdfe������6:��Rc�fdfe������a�����fdfe����������������
_�/JҴI����`������������������h��>�fdfe������ڟ�,�fdfe�������l� �fdfe�������ŸP�fdfe������-ܟ��fdfe������^����fdfe������\��Ԅfdfe������Ÿ„fdfe��������?��fdfe������ڟo��fdfe������O�����fdfe��������|�fdfe������<��j�fdfe�������:�/X�fdfe��������_H�fdfe������:���6�fdfe������h̟�$�fdfe�������ڟ��fdfe������Ĭ�	�fdfe�������B�	N�fdfe��������	~܄fdfe������L��	�ʄfdfe������y��	޺�fdfe�������B�
��fdfe������Ҭ�
>��fdfe�������ڟ
n��fdfe������*̟
�t�fdfe������V��
�b�fdfe���������
�P�fdfe�������:�.>�fdfe�������<�^.�fdfe���������fdfe������-���
�fdfe������Wڟ���fdfe���������fdfe�������ŸMԄfdfe�������\�}„fdfe������������fdfe������'ܟݠ�fdfe������PŸ

��fdfe������yl�
=|�fdfe�������ڟ
mj�fdfe��������
�Z�fdfe��������
�H�fdfe��������
�6�fdfe������A:�-$�fdfe������h|�]�fdfe�����������fdfe�������L���fdfe�������ڟ�ބfdfe������,�̄fdfe������)B�L��fdfe������O�|��fdfe������t�����fdfe��������܆�fdfe�������B�t�fdfe�������,�<b�fdfe������ڟlP�fdfe������-L��@�fdfe������Q���.�fdfe������u|���fdfe�������:�,
�fdfe���������[��fdfe����������fdfe��������քfdfe������%ڟ�Ąfdfe������Hl���fdfe������jŸK��fdfe�������ܟ{��fdfe����������|�fdfe�������\��l�fdfe�������ŸZ�fdfe�������;H�fdfe������3ڟk6�fdfe������T���&�fdfe������u���fdfe�������<���fdfe�������:�*�fdfe���������Z�fdfe��������΄fdfe������̟���fdfe������2ڟꪄfdfe������Q����fdfe������pB�J��fdfe���������zt�fdfe����������b�fdfe������ʜ��R�fdfe�������B�
@�fdfe�������:.�fdfe�����"ڟj�fdfe�����?̟��fdfe�����\�����fdfe�����x����fdfe������:�)քfdfe������<�YƄfdfe����������fdfe�����茟���fdfe�����ڟ鐄fdfe������~�fdfe�����9ŸIl�fdfe�����T\�yZ�fdfe�����n���H�fdfe������ܟ�8�fdfe������Ÿ	&�fdfe������l�9�fdfe������ڟi�fdfe���������fdfe��������fdfe����� ���΄fdfe�����9:�(��fdfe�����Q|�X��fdfe�����i�����fdfe������L����fdfe������ڟ�v�fdfe������,�d�fdfe������B�HR�fdfe�������mail protected]�fdfe�������.�fdfe��������fdfe�����!B��fdfe�����7,�7��fdfe�����Lڟg�fdfe�����bL��؄fdfe�����w���Ƅfdfe������|����fdfe������:�'��fdfe��������W��fdfe����������fdfe��������n�fdfe������ڟ�\�fdfe�����l�J�fdfe�����ŸG8�fdfe�����+ܟw&�fdfe�����>����fdfe�����Q\���fdfe�����cŸ�fdfe�����u�6�fdfe������ڟf΄fdfe�������Ƭ�fdfe������:� &��fdfe����� �f�fdfe�����ڟ �B�fdfe�����.B�!F�fdfe�����L��!���fdfe�����jB�"؄fdfe������ڟ"e��fdfe��������"Œ�fdfe������:�#%n�fdfe�������#�L�fdfe������ڟ#�(�fdfe�����Ÿ$E�fdfe�������$��fdfe�����4Ÿ%��fdfe�����Iڟ%d��fdfe�����^�%�x�fdfe�����q:�&$T�fdfe��������&�2�fdfe������ڟ&��fdfe������B�'C�fdfe��������'�Ƅfdfe������B�(��fdfe������ڟ(c��fdfe�����݂�(�^�fdfe������:�)#:�fdfe�������)��fdfe������ڟ)��fdfe�����Ÿ*BЄfdfe�������*���fdfe�����Ÿ+��fdfe�����ڟ+bf�fdfe�����!�+�D�fdfe�����%:�," �fdfe�����(��,���fdfe�����*ڟ,�ڄfdfe�����,B�-A��fdfe�����,��-���fdfe�����,B�.p�fdfe�����*ڟ.aL�fdfe�����(��.�*�fdfe�����%:�/!�fdfe�����!�/��fdfe�����ڟ/���fdfe�����Ÿ[email protected]��fdfe�������0�x�fdfe�����Ÿ1V�fdfe������ڟ1`2�fdfe�������1��fdfe������:�2�fdfe�����݂�2ʄfdfe������ڟ2ߦ�fdfe������B�3?��fdfe��������3�^�fdfe������B�3�<�fdfe������ڟ4_�fdfe��������4���fdfe�����q:�5҄fdfe�����^�5~��fdfe�����Iڟ5ތ�fdfe�����4Ÿ6>h�fdfe�������6�D�fdfe�����Ÿ6�"�fdfe������ڟ7]��fdfe�������7�܄fdfe������:�8��fdfe��������8}��fdfe������ڟ8�r�fdfe�����jB�9=N�fdfe�����L��9�*�fdfe�����.B�9��fdfe�����ڟ:\�fdfe�����:�„fdfe������:�;��fdfe�������;||�fdfe������ڟ;�X�fdfe�����u�<F�fdfe�����cŸ<<4�fdfe�����Q\�<l"�fdfe�����>��<��fdfe�����+ܟ<��fdfe�����Ÿ<��fdfe�����l�=+܄fdfe������ڟ=[ʄfdfe�������=���fdfe�������=���fdfe��������=떄fdfe������:�>��fdfe������|�>Kt�fdfe�����w��>{b�fdfe�����bL�>�P�fdfe�����Lڟ>�>�fdfe�����7,�?,�fdfe�����!B�?;�fdfe������?k�fdfe������?���fdfe�������?��fdfe������B�?�Ԅfdfe������,�@*„fdfe������ڟ@Z��fdfe������L�@���fdfe�����i��@���fdfe�����Q|�@�|�fdfe�����9:�Aj�fdfe����� ��AJZ�fdfe������AzH�fdfe�������A�6�fdfe������ڟA�$�fdfe������l�B
�fdfe������ŸB:�fdfe������ܟBi�fdfe�����n��B�܄fdfe�����T\�B�̄fdfe�����9ŸB���fdfe������C)��fdfe�����ڟCY��fdfe�����茟C���fdfe�������C�t�fdfe������<�C�b�fdfe������:�DP�fdfe�����x��[email protected]�fdfe�����\��Dy.�fdfe�����?̟D��fdfe�����"ڟD�
�fdfe�������E��fdfe�������B�E8�fdfe������ʜ�EhԄfdfe���������E�„fdfe���������EȲ�fdfe������pB�E���fdfe������Q��F(��fdfe������2ڟFX|�fdfe������̟F�l�fdfe�������F�Z�fdfe���������F�H�fdfe�������:�G6�fdfe�������<�GH&�fdfe������u�Gx�fdfe������T��G��fdfe������3ڟG��fdfe�������Hބfdfe�������ŸH7̄fdfe�������\�Hg��fdfe���������H���fdfe�������ܟHǘ�fdfe������jŸH���fdfe������Hl�I't�fdfe������%ڟIWb�fdfe�������I�R�fdfe��������I�@�fdfe���������I�.�fdfe�������:�J�fdfe������u|�JG�fdfe������Q��Jv��fdfe������-L�J��fdfe������ڟJ�քfdfe�������,�KĄfdfe�������B�K6��fdfe��������Kf��fdfe������t��K���fdfe������O�K�~�fdfe������)B�K�l�fdfe������,�L&Z�fdfe�������ڟLVH�fdfe�������L�L�8�fdfe���������L�&�fdfe������h|�L��fdfe������A:�M�fdfe��������ME�fdfe��������Mu�fdfe��������M�΄fdfe�������ڟMռ�fdfe������yl�N��fdfe������PŸN5��fdfe������'ܟNe��fdfe���������N�t�fdfe�������\�N�d�fdfe�������ŸN�R�fdfe��������O%@�fdfe������WڟOU.�fdfe������-��O��fdfe�������O��fdfe�������<�O���fdfe�������:�P�fdfe���������PD؄fdfe������V��PtƄfdfe������*̟P���fdfe�������ڟPԢ�fdfe������Ҭ�Q��fdfe�������B�Q4~�fdfe������y��Qdl�fdfe������L��Q�Z�fdfe��������Q�J�fdfe�������B�Q�8�fdfe������Ĭ�R$&�fdfe�������ڟRT�fdfe������h̟R��fdfe������:��R��fdfe��������R��fdfe�������:�S΄fdfe������<�SC��fdfe�������Ss��fdfe������O��S���fdfe������ڟSӈ�fdfe��������Tv�fdfe������ŸT3d�fdfe������\�TcR�fdfe������^��T�@�fdfe������-ܟT�0�fdfe�������ŸT��fdfe�������l�U#�fdfe������ڟUR��fdfe������h�U��fdfe������6�U�؄fdfe������������������P��
�I���w������������������ ��b��fdfe������5����fdfe������K ��>�fdfe������_���fdfe������t��#�fdfe�������[email protected]�fdfe����������fdfe������ٟ��fdfe�������g��@�fdfe������ײ���fdfe������깟E�fdfe��������[email protected]�fdfe����������fdfe������"?���fdfe������49�	@�fdfe������E�	7��fdfe������Wf�	g�fdfe������h��	�B�fdfe������y��	Ȗ�fdfe������
)B�fdfe�����ﺠ�
��fdfe������ٚ�
Ꚅfdfe���������KD�fdfe������g���fdfe������0:���fdfe������K�mF�fdfe������d����fdfe������}f�
.��fdfe�������
�F�fdfe�����𫙟
��fdfe��������P��fdfe������ՙ��H�fdfe���������fdfe�������f�r��fdfe���������H�fdfe��������3�fdfe������,9����fdfe������:f��L�fdfe������G��U��fdfe������S�����fdfe������^��L�fdfe������h��w��fdfe������q��آ�fdfe������yf�9N�fdfe������9����fdfe�����������fdfe�����񊸟[N�fdfe������e����fdfe���������fdfe�����񒘟}P�fdfe����������fdfe�����񒘟>��fdfe��������R�fdfe������e����fdfe�����񊸟`��fdfe���������T�fdfe������9�!��fdfe������yf����fdfe������q���T�fdfe������h��D�fdfe������^�����fdfe������S��V�fdfe������G��f�fdfe������:f�Ƭ�fdfe������,9�'V�fdfe����������fdfe��������謄fdfe�������f�IX�fdfe����������fdfe������ՙ�
��fdfe��������kZ�fdfe�����𫙟��fdfe�������,��fdfe������}f��\�fdfe������d����fdfe������K�N��fdfe������0:��\�fdfe������g� �fdfe��������� p��fdfe������ٚ� �^�fdfe�����ﺠ�!2�fdfe������!���fdfe������y��!�^�fdfe������h��"#��fdfe������Wf�"T
�fdfe������E�"�`�fdfe������49�"���fdfe������"?�"��fdfe�������#b�fdfe��������#E��fdfe������깟#v�fdfe������ײ�#�b�fdfe�������g�#ָ�fdfe������ٟ$�fdfe�������$7b�fdfe�������$g��fdfe������t��$��fdfe������_��$�d�fdfe������K �$���fdfe������5��%)�fdfe������ ��%Yd�fdfe������
�%���fdfe����������������B�0b��Q���^���tm��v��`������������,��U��LWfd�������������P�G}lI���t������������������ ��6�
�fdfe������5��6•�fdfe������K �6��fdfe������_��7!��fdfe������t��7Q+�fdfe�������7���fdfe�������7�9�fdfe������ٟ7���fdfe�������g�8G�fdfe������ײ�8>τfdfe������깟8nU�fdfe�������8�c�fdfe������49�9,q�fdfe������Wf�9��fdfe������y��9ꍄfdfe������:I��fdfe�����ﺠ�:���fdfe������ٚ�;��fdfe���������;fDŽfdfe������g�;�ׄfdfe������0:�<$�fdfe������K�<��fdfe������d��<��fdfe������}f�=B�fdfe�������=��fdfe�����𫙟>-�fdfe��������>_;�fdfe������ՙ�>�I�fdfe��������?W�fdfe�������f�?|e�fdfe��������?�s�fdfe��������@:��fdfe������,9�@���fdfe������:f�@���fdfe������G��AW��fdfe������S��A���fdfe������^��B˄fdfe������h��Btلfdfe������q��B��fdfe������yf�C2��fdfe������9�C��fdfe��������C��fdfe�����񊸟DP!�fdfe������e�D�/�fdfe�������E=�fdfe�����񒘟EmK�fdfe�������E�Y�fdfe�����񒘟F+i�fdfe�������F�w�fdfe������e�F酄fdfe�����񊸟GH��fdfe��������G���fdfe������9�H��fdfe������yf�He��fdfe������q��H�̈́fdfe������h��I#݄fdfe������^��I��fdfe������S��I���fdfe������G��JA�fdfe������:f�J��fdfe������,9�J�#�fdfe��������K^1�fdfe��������K�?�fdfe�������f�LO�fdfe��������L{]�fdfe������ՙ�L�k�fdfe��������M9y�fdfe�����𫙟M���fdfe�������M���fdfe������}f�NV��fdfe������d��N���fdfe������K�OÄfdfe������0:�Osфfdfe������g�O�߄fdfe���������P1�fdfe������ٚ�P���fdfe�����ﺠ�P�	�fdfe������QO�fdfe������y��Q�%�fdfe������Wf�R
5�fdfe������49�RlC�fdfe�������R�Q�fdfe������깟S*_�fdfe������ײ�SY�fdfe�������g�S�o�fdfe������ٟS���fdfe�������S�}�fdfe�������T�fdfe������t��TG��fdfe������_��Tw�fdfe������K �T���fdfe������5��T�!�fdfe������ ��U��fdfe������
�U51�fdfe��������Ud��fdfe�������ٟU�?�fdfe���������������П_`v�Q���^���nr��v��`������������,����фLWfd�����������vD����E��+#��cmex7�b��������P�Z��������������������e��fdfe������
�e���fdfe������ ��e�#�fdfe������5��f��fdfe������K �fJ;�fdfe������t��f�U�fdfe�������gm�fdfe�������g�ga��fdfe������깟g���fdfe�������h��fdfe������49�hẍ́fdfe������Wf�h��fdfe������y��i2��fdfe������i��fdfe�����ﺠ�i�/�fdfe������ٚ�jJG�fdfe���������j�_�fdfe������g�ky�fdfe������0:�ka��fdfe������K�k���fdfe������d��l��fdfe������}f�lxۄfdfe�������l��fdfe�����𫙟m3�fdfe��������m�#�fdfe������ՙ�m�;�fdfe��������nJS�fdfe�������f�n�k�fdfe��������o��fdfe��������oa��fdfe������,9�o���fdfe������:f�p̈́fdfe������G��px�fdfe������S��p���fdfe������^��q3�fdfe������h��q�/�fdfe������q��q�G�fdfe������yf�rJa�fdfe������9�r�y�fdfe��������s��fdfe�����񊸟sa��fdfe������e�s���fdfe�������tلfdfe�����񒘟tx�fdfe�������t�	�fdfe�����񒘟u3#�fdfe�������u�;�fdfe������e�u�S�fdfe�����񊸟vJk�fdfe��������v���fdfe������9�w��fdfe������yf�wa��fdfe������q��w�̈́fdfe������h��x�fdfe������^��xx��fdfe������S��x��fdfe������G��y3/�fdfe������:f�y�G�fdfe������,9�y�_�fdfe��������zJw�fdfe��������z���fdfe�������f�{��fdfe��������{a��fdfe������ՙ�{�لfdfe��������|�fdfe�����𫙟|y�fdfe�������|�#�fdfe������}f�}3;�fdfe������d��}�S�fdfe������K�}�m�fdfe������0:�~J��fdfe������g�~���fdfe�����������fdfe������ٚ�ä́fdfe�����ﺠ���fdfe���������fdfe������y���y�fdfe������Wf���/�fdfe������49��3G�fdfe���������_�fdfe������깠��w�fdfe�������g��J��fdfe�����������fdfe������t�����fdfe������K ��aلfdfe������5����g�fdfe������ �����fdfe������
����fdfe����������fdfe�������٠�J��fdfe�������g��y#�fdfe�����������fdfe���������������!���^C�Q����`�����������������HलIt���is�a�standard�fact�(see�e.g.,���[��32����,��x�8])���that�the�extensions��Q���^���nr��v��`���
��(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�),���for�all��n����6लnot�ιdivisible�b���y��`�,��generate��Q���^���tm��v��`���
1ʲ.���F��*�or��n��not�divisible�b�y��`�,��the��n�th�ro�Gots�of�unit�y������6������=�ȟqƴn��GD}�are��7con���tained�in��Q���^���nr��v��`���
��.�lKummer�theory�(see�[��3�����])�giv�es,�ofor�eac�h��n�,�oa�canonical����6�isomorphism���~����U�Gal�����(�Q�������nr���፴`���
��(������w��n������T���V�p���	�����V�fe*��	���`������ W�)�=�Q�������nr���፴`����)�����������!���������	�<�qƴn��L��;����"�7!�����<$���K��[ٲ(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`�������)���K�w�fe��
�����	����
��n������8��zP�p���⏟�zP�fe*������`���������!'�:��<���6लEac���h�
�suc�h�isomorphism�lifts�to�a�map��I����`��ӕ�!����������ӟqƴn���Q�,�<whic�h�factors�through�the�tame��N1��6�quotien���t�j�I����t�����of��I����`����.�]�The�groups��������
-��qƴn��f$�=���������	�<�qƴn��L��(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�)�are�con�tained�in�the�ring�of�in�tegers�����_�fe����Z����
 ����`���\k��6लof���v���_�fe������Q����S�qƴ`��+�.��*Comp�Gosing��van���y�of�the�maps��I����t��⤸!���]N�����
qr�qƴn���f�with�reduction�mo�dulo�the�maximal�����i���7
�������9��ue��LECTURE���3.���THE�WEIGHT�IN�SERRE'S�CONJECTURE��7���19����Y������6लideal�UUof�����_�fe����Z����
\o���`�����giv���es�a�mo�Gd��`��c�haracter��I����t��Ln�!������_�fe<o����F������w��
�����i��
��`����k�,�as�illustrated:���Ǎ������������0��*��I����t�������������(�n����/�/�������3���2�fd�;��������ϟ��!�!�����������悟�T�C���������������C����������Mh���C����������۟�C�����������N�	,,C����������g��TbC����������4�|�C��������������+�n����fe<o����F���������2�ݷ���i��2�ݴ`��������������������U&�#�u������iJ�&;�n����ȟ#�u�(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�)�������������������F������P����0E������=�������������������XI� [email protected]�/�/�������W� �r�fd9򎍍�������XI�#�v������lm�&<�n�����#�v�(����_�fe<o����F����<o���`��U�)�:������������^��H��-������
������������(�n�?��;�;����������$�m�F��w���������!(�	�Iw����������Y���w���������ϟa�w���������qE�Yw���������޻��	w����������9��6लConsider�[�n���=��`���^����7��=C�1�for���u>��0.���The�map��I����t��We�!��������	�3�qƴn�����denes�a�c���haracter��"��:��I����`�����!��F���^�����v��`��������B��.���o��6�Comp�Gosing�E�with�eac���h�of�the���課eld�em�b�Geddings��F����`�������	ȸ!������_�fe<o����F����
����`��"!�giv�es�the�����fundamental����6�char��}'acter�UU�of�lev���el������:���x������������*��I����t������������?�����#�#�����������?����G���������ͦ��EG�����������h�G����������u��}G������������G����������C!�r�G�����������*��QG����������3�
#�G����������x<�|�G�����������E��%G������������"2˟���fe<o����F����)o:��5�`��-H �.6�:��������������?�/�q�F���^�����v��`����������%v�/�q�����F����`�����������������Rמ���;�;����������R֟���w����������ߟBXw��������� ��
w�����������
��w������������
9nw���������V�� w�������������w����������$�0�w�������������6w�����������'��w����������2˟�d�;�;����������2ʟ�d�w����������ӟ
mw���������ܟ
�w���������g��zw�����������d,w���������	5���w�������������w���������	�[Bw����������k��w��������������w�����������������!�>����z���K�maps�������������������#��	�"�;�;�������������"�w���������yǟ��w����������П?�w���������Gٟ�8w�������������w���������
�6�w���������	|��Nw�������������w���������K�"-�w������������$�dw����������H?��6लF��*�or���example,��gthe�unique�fundamen���tal�c�haracter�of�lev�el�1�is�the�mo�Gd��`��cyclotomic����6�c���haracter�M(see�Exercise�26).�{�When�����=��
2,�.�there�are�t�w�o�fundamen�tal�c�haracters,����6�denoted�UU	�and�	���^��0���9�;�these�satisfy�	���^��`�����=��	���^��0��#��and�(	���^��0���)���^��`�����=��	.����H�Consider�[email protected]�sup�Gersingular�elliptic�curv���e��A��o�v�er��Q����`����.�(kIn�[��67����],��DSerre�pro�v�ed�that�the��\k��6�represen���tation�_��I����t��Ln�!����Aut����(�A�[�`�])������GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�is�the�direct�sum�of�the�t���w�o�fundamen�tal����6�c���haracters�UU	�and�	���^��0���9�.�q�More�precisely��*�,�one�of�the�c�haracters�is���ύ���ŵI����t��Ln�!���F����������v��`����2����
�����GL����(2�;����F����`����)����6�where�D
�F���^������v��`����2�����sits�inside��GL��\�(2�;����F����`����)�via�the�action�of�the�m���ultiplicativ�e�D
group�of�a�eld����6�on�j�itself�after�a�c���hoice�of�basis.�#�In�analogy��*�,���F�on�taine�j�pro�v�ed�that�if��f�~j�is�sup�Gersingular����6�of���w���eigh�t��k��(��:��`�,���then���j����I����`���
�O�:��I����`��w�!���GL��Sv(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�factors�through��I����t���and�is�a�direct�sum��
��6�of��Sthe�t���w�o��Sc�haracter�	���^��k�+B��1���W�and�(	���^��0���9�)���^��k�+B��1��(�.���This�determines��k�%�mo�Gdulo��`���^��2��
����3�1,��Rhence����6�determines�UU�k�P��.����H�[[W���AIT!�UUWE�NEVER�GA�VE���j����I����`���
��in�general!!!!!]]���u���6��3.2.��P�Represen��ttations�2�arising�from�forms�of�high�w�eigh�t����6लThe���previous�section�describ�Ged�ho���w�to�determine�the�w�eigh�t�(mo�Gdulo��`�#����1)���of����6�a���form��f��L�of�w���eigh�t���2��ĸ��k�*[���l�?��+�
%1�purely�from�prop�Gerties�of�the�corresp�onding����6�Galois��(represen���tation.�TAConsider�a�mo�Gdular�represen�tation����!�:��D����`����!���GL���(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)��(of����6�a��decomp�Gosition�group�at��`��that�arises�from�a�form��f�
��of�p�ossibly�large�w���eigh�t���k�P��.����6�Let��i����^��ss��	zw�denote�the��semisimplic��}'ation��of���;��cso�����^��ss��	�&�=�����if����is�irreducible,���otherwise�����^��ss�����6लis���a�direct�sum�of�t���w�o���c�haracters����I�and�����.�M�The�follo�wing�lemma�is�due�to�Serre�(see����6�[��67����,�UUProp.�q�4]).��h썍��6��Lemma��T2.���m�u�The��semisimplic��}'ation�����^��Dt}\�cmti7�Dss��
���of����is�tame,��Din�the�sense�that�����^��Dss��Lв(�I����w��y1�)��=�0�.������6��Pro�Q�of.���[��The��=wild�inertia�group��I����w��
]n�is�the�pronite�Sylo���w��`�-subgroup�of��I����`����:���it�is�a����6�Sylo���w��I�`�-subgroup�b�Gecause�eac�h�nite�Galois�extension�of��Q���^���tm��v��`���
��has�degree�a�p�Go�w�er����6�of��ֵ`�,��6and�the�order�of��I����t��,�is�prime�to��`�;�1�it�is�unique,�b�Gecause�it�is�the�k���ernel�of�����6�Gal��F��(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�=�Q����`����)��)�!���Gal��F+(����_�fe������Q�������qƴ`���=�Q���^���tm��v��`���
1ʲ),���hence��,normal.�MBecause����is�con���tin�uous,�the��,image����6�of��,�D����`��}�is�nite�and�w���e�can�view����as�a�represen�tation�on�a�t�w�o-dimensional�v�ector����6�space�UU�W���o���v�er�a�nite�extension�of��F����`����.�q�The�subspace���ύ��0еW��c������I���w���
��=���f�w���2��W�*��:���[ٲ(��!Dz)�w��=��w���8�for�UUall�� ����߸2��I����w��y1�g������W��7
���������6��20��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लis��hin���v��q�arian�t�under��D����`����.��It�is�nonzero,��-as�can�b�Ge�seen�b�y�writing�the�nite�set��W����as����6�a��disjoin���t�union�of�its�orbits�under��I����w��y1�.�:!Since��I����w��
O�is�an��`�-group,���eac�h�orbit�has�size����6�either�#v1�or�a�p�Gositiv���e�p�o���w�er�#vof��`�.��)The�orbit��f�0�g��has�size�1,�V�and�#�W���is�a�p�o���w�er����6�of��:�`�,��sso�there�m���ust�b�Ge�at�least��`�|#���1��:other�singleton�orbits��f�w�D�g�;��for�eac�h�of�these,����6वw���2���W��c���^��I���w���̲.����H�If����I����w��9βdo�Ges�not�act�trivially��*�,�othen��W��c���^��I���w���AY�6�=�$��W�$,�so��W��con���tains�a��D����`����-in�v��q�arian�t����6�subspace�rof�dimension�one;�zsemisimplicit���y�of�����then�forces�ev�ery���[ٲ(��!Dz)�to�b�Ge�di-����6�agonalizable.���An���y��`��=��2�ҵI����w��4��has�order�a�p�Go�w�er��`���^��n��
,޲of��`�,��so�there�are���	z;������2���F����`����������6लwith�yH��[ٲ(��!Dz)���=������b����������
����[��0���\q�����0����r������w���b����W�,��Dand����	z��^��`����r�n���
ww�=�������^��`����r�n���
��=�1.�ݠSince���	z;����4Ǹ2��F���^�����v��`��������B��,��Dtheir�orders�divide��ݍ�6सj�F���^�����v��`��������B��j���=��`���^����2���8�1,�UUhence���В�=����N4�=�1.�q�Th���us�UU�I����w��	Ά�acts�trivially��*�.�����������ff����d�ff�Y��ff����ff��������H�The��nrestriction�����^��ss����j����I����`���U,�is�ab�Gelian�and�semisimple,�+tso�it�is�giv���en�b�y�a�pair�of����6�c���haracters��
&q�������	z;����N4�:���I����`�����!�����_�fe<o����F������w��
�����i��
��`����k�:��@
��6लSince�[����^��ss����j����I����`�����is�the�restriction�of�a�represen���tation�of�the�full�decomp�Gosition�group,����6�these�#�c���haracters�exhibit�stabilit�y�prop�Gerties.�a;Let��n��b�e�an�in���teger�not�divisible�b�y��`�,����6�and�UUconsider�the�to���w�er�UUof�elds���b������������ʶ����Q���^���nr��v��`����
��(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)������������ß(�i�"$�fd������������e�2�G����������������)n���fdfe��������<�fdfe������负Px�fdfe������Ȓ����fdfe�����֨����fdfe�����ֈƟ�(�fdfe������i�d�fdfe������I��K��fdfe������*?�}؄fdfe������
���fdfe���������N�fdfe��������	��fdfe�����ծc�	FĄfdfe�����Տџ	x��fdfe������qe�	�:�fdfe������S"�	�t�fdfe������5�
��fdfe�������
A�fdfe�������E�
t$�fdfe������ۡ�
�^�fdfe�����Ծ$�
ؚ�fdfe�����ԠП
Ԅfdfe�����ԃ��=�fdfe������f��oJ�fdfe������I�����fdfe������-����fdfe������~���fdfe��������86�fdfe�������ڟjr�fdfe�����ӻş���fdfe�����ӟ֟��fdfe�����ӄ�
"�fdfe������hr�
3\�fdfe������L��
e��fdfe������1��
�҄fdfe��������
��fdfe���������
�H�fdfe������௟.��fdfe���������`��fdfe�����ҫw����fdfe�����ґ��2�fdfe������v��l�fdfe������\ϟ)��fdfe������B�[�fdfe������)&���fdfe���������X�fdfe���������fdfe�������ԟ$΄fdfe������ó�W�fdfe�����Ѫ���B�fdfe�����ё��~�fdfe������y?��fdfe������`���fdfe������Hc�R.�fdfe������00��j�fdfe������&����fdfe������D���fdfe������芟�fdfe���������MV�fdfe�����й����fdfe�����ТG��̄fdfe�����Ћ-���fdfe������t9�B�fdfe������]n�H|�fdfe������Fʟz��fdfe������0O���fdfe���������,�fdfe������Οf�fdfe�������ɟC��fdfe��������u܄fdfe�������7���fdfe�����Ϭ���R�fdfe�����ϗE���fdfe�����ς	�>Ƅfdfe������l�q�fdfe������X��<�fdfe������C?��x�fdfe������.����fdfe������,�9�fdfe������ޟl(�fdfe��������b�fdfe������ݺ�М�fdfe��������؄fdfe�����ζ3�5�fdfe�����΢��gN�fdfe�����ΏM����fdfe������|��Ąfdfe������i����fdfe������V�0:�fdfe������C^�bt�fdfe������0ş���fdfe������U���fdfe��������&�fdfe��������+`�fdfe��������]��fdfe�������"��քfdfe�������x���fdfe�����Ͳ���J�fdfe�����͡��&��fdfe�����͐l�X��fdfe������b����fdfe������n���6�fdfe������]ş�r�fdfe������M3�!��fdfe������<ɟS�fdfe������,���!�fdfe������k��]�fdfe������y�ꗄfdfe���������ӄfdfe��������O
�fdfe������ݏ��I�fdfe�������<����fdfe�����̿�彄fdfe�����̰
���fdfe�����̡0�J3�fdfe�����̒|�|m�fdfe�����̃����fdfe������u����fdfe������gM��fdfe������Y9�EY�fdfe������KK�w��fdfe������=���τfdfe������/���fdfe������"s�E�fdfe������%�@��fdfe�������r��fdfe�����������fdfe�������+��1�fdfe�������}� 	k�fdfe��������� ;��fdfe������ȗ� m�fdfe�����˼`� ��fdfe�����˰P� �W�fdfe�����ˤj�!��fdfe�����˘��!6̈́fdfe�����ˍ�!i�fdfe�����ˁ��!�A�fdfe������v\�!�{�fdfe������k;�!���fdfe������`C�"1�fdfe������Us�"d-�fdfe������J˟"�g�fdfe������@I�"ȣ�fdfe������5�"�݄fdfe������+��#-�fdfe������!��#_Q�fdfe�������#�DŽfdfe������� �$(=�fdfe�������ß$���fdfe��������$�)�fdfe��������%U��fdfe�����ʵj�%��fdfe�����ʥ��&��fdfe�����ʖL�&���fdfe�����ʇ��&�u�fdfe������y��'K�fdfe������lH�'�a�fdfe������_��(Մfdfe������Sb�(yK�fdfe������Gߟ(���fdfe������<��)B7�fdfe������2��)���fdfe������)�*!�fdfe������ 
�*o��fdfe��������*�
�fdfe������ܟ+8��fdfe��������+���fdfe������*�,o�fdfe�������@�,e�fdfe���������,�Y�fdfe�������K�-.τfdfe�������@�-�E�fdfe�������ӟ-���fdfe��������.\/�fdfe�������ٟ.���fdfe�������K�/%�fdfe�������\�/���fdfe�������
�/��fdfe�������\�0R{�fdfe�������K�0��fdfe�������ٟ1g�fdfe��������1݄fdfe�������ӟ1�S�fdfe�������@�2HɄfdfe�������K�2�?�fdfe���������3��fdfe�������@�3v)�fdfe������*�3ڟ�fdfe��������4?�fdfe������ܟ4���fdfe��������5�fdfe������ 
�5lw�fdfe������)�5��fdfe������2��65a�fdfe������<��6�ׄfdfe������Gߟ6�M�fdfe������Sb�7bÄfdfe������_��7�9�fdfe������lH�8+��fdfe������y��8�%�fdfe�����ʇ��8�fdfe�����ʖL�9Y�fdfe�����ʥ��9���fdfe�����ʵj�:!��fdfe��������:�q�fdfe��������:��fdfe�������ß;O[�fdfe������� �;�фfdfe�������<G�fdfe������!��<|��fdfe������+��<���fdfe������5�<�1�fdfe������@I�=m�fdfe������J˟=E��fdfe������Us�=w�fdfe������`C�=��fdfe������k;�=�Y�fdfe������v\�>��fdfe�����ˁ��>@τfdfe�����ˍ�>s	�fdfe�����˘��>�E�fdfe�����ˤj�>��fdfe�����˰P�?	��fdfe�����˼`�?;��fdfe������ȗ�?n/�fdfe���������?�i�fdfe�������}�?ҥ�fdfe�������+�@߄fdfe��������@7�fdfe�������@iU�fdfe������%�@���fdfe������"s�@�˄fdfe������/�A�fdfe������=��A2?�fdfe������KK�Ad{�fdfe������Y9�A���fdfe������gM�A��fdfe������u��A�+�fdfe�����̃�B-g�fdfe�����̒|�B_��fdfe�����̡0�B�ۄfdfe�����̰
�B��fdfe�����̿�B�Q�fdfe�������<�C(��fdfe������ݏ�CZDŽfdfe��������C��fdfe���������C�=�fdfe������y�C�w�fdfe������k�D#��fdfe������,��DU�fdfe������<ɟD�)�fdfe������M3�D�c�fdfe������]şD쟄fdfe������n��Eلfdfe������b�EQ�fdfe�����͐l�E�O�fdfe�����͡��E���fdfe�����Ͳ��E�Äfdfe�������x�F��fdfe�������"�FL9�fdfe��������F~u�fdfe��������F���fdfe�������F��fdfe������U�G%�fdfe������0şGG_�fdfe������C^�Gy��fdfe������V�G�Մfdfe������i�G��fdfe������|�HK�fdfe�����ΏM�HB��fdfe�����΢��Ht��fdfe�����ζ3�H���fdfe��������H�5�fdfe������ݺ�Io�fdfe�������I=��fdfe������ޟIo�fdfe������,�I�!�fdfe������.��I�[�fdfe������C?�J��fdfe������X�J8фfdfe������l�Jk
�fdfe�����ς	�J�G�fdfe�����ϗE�Jσ�fdfe�����Ϭ��K��fdfe�������7�K3��fdfe��������Kf3�fdfe�������ɟK�o�fdfe������ΟKʩ�fdfe��������K��fdfe������0O�L/�fdfe������FʟLaY�fdfe������]n�L���fdfe������t9�L�τfdfe�����Ћ-�L�	�fdfe�����ТG�M*E�fdfe�����й��M\�fdfe���������M���fdfe������芟M��fdfe������D�M�/�fdfe������&�N%i�fdfe������00�NW��fdfe������Hc�N�߄fdfe������`��N��fdfe������y?�N�U�fdfe�����ё�O ��fdfe�����Ѫ��ORɄfdfe������ó�O��fdfe�������ԟO�?�fdfe��������O�{�fdfe��������P��fdfe������)&�PM�fdfe������B�P�+�fdfe������\ϟP�g�fdfe������v�P䡄fdfe�����ґ�Q݄fdfe�����ҫw�QI�fdfe���������Q{S�fdfe������௟Q���fdfe���������Q�Ʉfdfe��������R�fdfe������1��RD=�fdfe������L��Rvw�fdfe������hr�R���fdfe�����ӄ�R��fdfe�����ӟ֟S
)�fdfe�����ӻşS?c�fdfe�������ڟSq��fdfe��������S�لfdfe������~�S��fdfe������-�TM�fdfe������I��T:��fdfe������f��TlÄfdfe�����ԃ��T���fdfe�����ԠПT�9�fdfe�����Ծ$�Uu�fdfe������ۡ�U5��fdfe�������E�Ug�fdfe�������U�#�fdfe������5�U�_�fdfe������S"�U���fdfe������qe�V0Մfdfe�����ՏџVc�fdfe�����ծc�V�K�fdfe��������VDž�fdfe��������V���fdfe������
�W+��fdfe������*?�W^7�fdfe������I��W�q�fdfe������i�W­�fdfe�����ֈƟW��fdfe�����֨��X'#�fdfe������Ȓ�XY]�fdfe������负X���fdfe��������X�фfdfe������)n�X�
�fdfe������J�Y"G�fdfe������jȟYT��fdfe�����׋��Y���fdfe�����׬ŸY���fdfe���������Y�3�fdfe�������[�Zm�fdfe�������ZO��fdfe������2��Z��fdfe������Tk�Z��fdfe�������������������:����9*��cmmib7�������1���n������������������1��H�fdfe������UK�Z�fdfe������y�Fj�fdfe������m�y|�fdfe������S����fdfe�������ȟߠ�fdfe������ʟ��fdfe������%[�E„fdfe������Fz�x҄fdfe������g'���fdfe������b���fdfe������-�	�fdfe������Ƅ�	E�fdfe�������j�	x(�fdfe������ݟ	�8�fdfe������!�	�J�fdfe������?p�
Z�fdfe������\��
Dl�fdfe������y:�
w|�fdfe������v�
���fdfe������?�
ݠ�fdfe������̗���fdfe�������|�C„fdfe�������vԄfdfe���������fdfe������5�����fdfe������N���fdfe������gM�C�fdfe��������v(�fdfe������Q��:�fdfe�����鮧��J�fdfe������ō�
\�fdfe��������
Bl�fdfe��������
u~�fdfe��������
���fdfe��������
۠�fdfe������1\���fdfe������E��AĄfdfe������Y_�tԄfdfe������l����fdfe�����������fdfe��������fdfe�������A�fdfe�����굠�t*�fdfe������ƽ��:�fdfe�������i��L�fdfe������碟
\�fdfe�������k�@n�fdfe��������s~�fdfe�����������fdfe������$�٠�fdfe������2���fdfe������?��?Ąfdfe������LƟrքfdfe������Yq���fdfe������e�����fdfe������qs��fdfe������|ʟ?�fdfe�����뇭�r*�fdfe������ ��<�fdfe������!��L�fdfe�����륰�^�fdfe������͟>n�fdfe������y�q��fdfe�����뿲����fdfe�������z�ע�fdfe�������ϟ
��fdfe������մ�=Ąfdfe�������&�pքfdfe�������'���fdfe������絟���fdfe�������ҟ

�fdfe�������}�=�fdfe���������p,�fdfe�������}��<�fdfe���������	^�fdfe������(�o��fdfe������ӟբ�fdfe��������;Ąfdfe������ӟ��fdfe������(�
�fdfe���������n,�fdfe�������}��N�fdfe���������`�fdfe�������}�:r�fdfe�������ҟm��fdfe������絟���fdfe�������'�Ӧ�fdfe�������&���fdfe������մ�9Ȅfdfe�������ϟl؄fdfe�������z���fdfe�����뿲����fdfe������y��fdfe������͟9�fdfe�����륰�l0�fdfe������!��@�fdfe������ ��R�fdfe�����뇭�b�fdfe������|ʟ8t�fdfe������qs�k��fdfe������e�����fdfe������Yq�Ѧ�fdfe������LƟ��fdfe������?��7Ȅfdfe������2�jڄfdfe������$���fdfe�����������fdfe���������fdfe�������k�7 �fdfe������碟j0�fdfe�������i��B�fdfe������ƽ��R�fdfe�����굠�d�fdfe�������6t�fdfe�������i��fdfe�����������fdfe������l��Ϩ�fdfe������Y_� ��fdfe������E�� 5ʄfdfe������1\� hڄfdfe�������� ��fdfe�������� ���fdfe��������!�fdfe��������!5 �fdfe������ō�!h2�fdfe�����鮧�!�B�fdfe������Q�!�T�fdfe��������"d�fdfe������gM�"4v�fdfe������N��"g��fdfe������5��"���fdfe�������"ͨ�fdfe�������#��fdfe�������|�#3ʄfdfe������̗�#f܄fdfe������?�#��fdfe������v�#���fdfe������y:�$�fdfe������\��$3 �fdfe������?p�$f2�fdfe������!�$�D�fdfe������ݟ$�T�fdfe�������j�$�f�fdfe������Ƅ�%2v�fdfe������-�%e��fdfe������b�%���fdfe������g'�%˪�fdfe������Fz�%���fdfe������%[�&1̄fdfe������ʟ&d܄fdfe�������ȟ&��fdfe������S�&���fdfe������m�&��fdfe������y�'1 �fdfe������UK�'d2�fdfe������1�'�D�fdfe������c�'�V�fdfe�������C�'�f�fdfe���������(0x�fdfe�����困�(c��fdfe������u;�(���fdfe������NT�(ɪ�fdfe��������������թٟ2���Q���^���nr��v��`�������������ßZ���"$�fd������������J���ﺌ�b�������:��Z�����M�K�|�=�h��F��Z�rob���
����`���"�i�����������������u;�8�q�fdfe�����困�8�Մfdfe���������99�fdfe�������C�9A��fdfe������c�9s�fdfe������1�9�g�fdfe������UK�9�˄fdfe������y�:/�fdfe������m�:8��fdfe������S�:i��fdfe�������ȟ:�]�fdfe������ʟ:���fdfe������%[�:�'�fdfe������Fz�;/��fdfe������g'�;`�fdfe������b�;�S�fdfe������-�;ù�fdfe������Ƅ�;��fdfe�������j�<&��fdfe������ݟ<W�fdfe������!�<�K�fdfe������?p�<���fdfe������\��<��fdfe������y:�=w�fdfe������v�=N݄fdfe������?�=�A�fdfe������̗�=���fdfe�������|�=�	�fdfe�������>o�fdfe�������>Eӄfdfe������5��>w7�fdfe������N��>���fdfe������gM�>��fdfe��������?e�fdfe������Q�?<Ʉfdfe�����鮧�?n-�fdfe������ō�?���fdfe��������?���fdfe��������@[�fdfe��������@3��fdfe��������@e%�fdfe������1\�@���fdfe������E��@��fdfe������Y_�@�Q�fdfe������l��A*��fdfe��������A\�fdfe�������A��fdfe�������A��fdfe�����굠�A�I�fdfe������ƽ�B!��fdfe�������i�BS�fdfe������碟B�u�fdfe�������k�B�ۄfdfe��������B�?�fdfe��������C��fdfe������$�CJ�fdfe������2�C{m�fdfe������?��C�фfdfe������Yq�D��fdfe������qs�Drc�fdfe�����뇭�D�+�fdfe������!�E7��fdfe������͟E���fdfe�����뿲�E���fdfe�������ϟF`O�fdfe�������&�F��fdfe������絟G%�fdfe�������}�G���fdfe�������}�G�s�fdfe���������HN=�fdfe������(�H��fdfe������ӟIτfdfe��������Iv��fdfe������ӟI�a�fdfe������(�J<)�fdfe���������J��fdfe�������}�K��fdfe�������}�Kd��fdfe������絟K�M�fdfe�������&�L*�fdfe�������ϟL�߄fdfe�����뿲�L梅fdfe������͟MRq�fdfe������!�M�;�fdfe�����뇭�N�fdfe������qs�Nz̈́fdfe������Yq�Nݕ�fdfe������?��[email protected]_�fdfe������2�OqÄfdfe������$�O�'�fdfe��������Oԍ�fdfe��������P�fdfe�������k�P7U�fdfe������碟Ph��fdfe�������i�P��fdfe������ƽ�P˃�fdfe�����굠�P��fdfe�������Q.K�fdfe�������Q_��fdfe��������Q��fdfe������l��Q�y�fdfe������Y_�Q�݄fdfe������E��R%C�fdfe������1\�RV��fdfe��������R��fdfe��������R�o�fdfe��������R�Մfdfe��������S9�fdfe������ō�SM��fdfe�����鮧�S�fdfe������Q�S�g�fdfe��������S�˄fdfe������gM�T/�fdfe������N��TD��fdfe������5��Tu��fdfe�������T�]�fdfe�������T���fdfe�������|�U
%�fdfe������̗�U;��fdfe������?�Ul�fdfe������v�U�S�fdfe������y:�UϷ�fdfe������\��V�fdfe������?p�V2��fdfe������!�Vc�fdfe������ݟV�I�fdfe�������j�VƯ�fdfe������Ƅ�V��fdfe������-�W)w�fdfe������b�WZۄfdfe������g'�W�A�fdfe������Fz�W���fdfe������%[�W�	�fdfe������ʟX m�fdfe�������ȟXQӄfdfe������S�X�7�fdfe������m�X���fdfe������y�X���fdfe������UK�Ye�fdfe������1�YHɄfdfe������c�Yz-�fdfe�������C�Y���fdfe���������Y���fdfe�����困�Z[�fdfe������u;�Z?��fdfe������NT�Zq#�fdfe������&��Z���fdfe���������������½�dj��Q����`�������������yލ�6लin�cwhic���h��G�ٲ=��Gal����(�Q���^���nr��v��`���
��(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)�=�Q����`����),���N'�����bK�qƴn�����T͍��梸���+3���梲=������ ��Gal��0`�(�Q���^���nr��v��`����(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`�������)�=�Q���^���nr��v��`����),�N'and��cGal���e(�Q���^���nr��v��`����=�Q����`����)�cis����6�top�Gologically�Ǚgenerated�b���y��F��*�rob����G���`���-�.�B�Cho�ose�a�lift��g�"�2���G��of��F��*�rob����G���`���-�,���and�supp�ose��h���2��������	�<�qƴn����@��6लcorresp�Gonds�UUto���"�2����Gal��g(�Q���^���nr��v��`���
��(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)�=�Q���^���nr��v��`����).�q�Then����������<$��j=�g�[��g����^���1��M�(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)��j=�w�fe0�Y�
�����3��
��n�����U��zP�p���a���zP�fe*������`����������/ò=�����ٝ���K�g�[���(���㐴g��@L����1��������
��n������*��zP�p����zP�fe*������`������-�)���K�ٕ�fe3sٟ
�����pٟ�
��n�����J��zP�p����l��zP�fe*������`���������;ho�=�����ٝ���K�g�[ٲ(���㐴g��@L����1���
�ֵh������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)���K�ٕ�fe3$&�
�����I��
��n�����"<��zP�p���w���zP�fe*������`���������;��=�����<$���K�g�[ٲ(�h�)������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`��������K�w�fe �O�
��������
��n�����
�П�zP�p���K'��zP�fe*������`���������(��=���h������`����;���0��6लsince�,��g��ղacts�as��`�th�p�Go���w�er�,�map�on�ro�ots�of�unit���y��*�.�dTApplying�the�conjugation�form�ula����6वg�[�hg����^���1��
�e�=���h���^��`��.;�to�UU����^��ss��
+c�giv���es�����^��ss����(�g�[�hg����^���1��M�)�=�����^��ss����(�h���^��`����)�=�����^��ss���(�h�)���^��`����;�UU�so������"յ������ss����(�g�[ٲ)�������ss���(�h�)�������ss���(�g��������1��M�)��=��������ss����(�g�hg��������1��M�)�=��������ss����(�h�)������`����:��Y���6लThe��t���w�o�represen�tations��h���7!�����^��ss����(�h�)���^��`����and��h��7!�����^��ss����(�h�)�of��I����t���]�are�equiv��q�alen���t�via����6�conjugation���b���y�����^��ss����(�g�[ٲ).��Consequen�tly��*�,��	the�pair�of�c�haracters��f��	z;�UP���g��is�stable�under����6व`�th�UUp�Go���w�er�map;�as�a�set��f��	z;�UP���g���=��f�����^��`���`�;�UP�����^��`��`�g�:�UU�There�are�t���w�o�UUp�Gossibilities:���ҍ����F��|����U��The�UU�or��}'dinary���c�ase�:�qǵ��	z��^��`���x�=����	z�,�������^��`��'�=�����,�so���	z;����N4�:��I����t��Ln�!��F���^�����v��`�����.��Rv�����F��|����U��The�UU�sup��}'ersingular���c�ase�:�qǵ��	z��^��`���x�=����N4�6�=���	z�,�������^��`��'�=���В�6�=�����,�so���	z;����N4�:��I����t��Ln�!��F���^������v��`����2������.����6�By���theorems�of�F��*�on���taine�and�Deligne�this�terminology�is�consisten�t�with�the�termi-����6�nology�UUin���tro�Gduced�ab�o���v�e.����H�First�D�consider�the�sup�Gersingular�case.�@�Let�	�denote�one�of�the�fundamen���tal����6�c���haracters�)�of�lev�el�2,�2�and�write���В�=��	���^��n��q~�,���N4�=�	���^��n`���d�,�with�)۵n��an�in���teger�mo�Gdulo��`���^��2��^a����1.����6�W��*�rite��c�n��in�base��`��as��n���=��a����+��`b��c�with�0�����a;���b����`������1.�=wThen��c�`n�����b����+��`a�q��(�mo�Gd����`���^��2��{q���1).������g��7
�������9��ue��LECTURE���3.���THE�WEIGHT�IN�SERRE'S�CONJECTURE��7���21����Y������6लSwitc���hing�1B��	z;�����^�p�Germ�utes��a;���b��so,�8yrelab�Geling�if�necessary��*�,�w���e�ma�y�assume�that��a�����b�.����6�If��a�a�6~�=��b�,�(�then���?��=�	���^��a���p�(	���^��0���9�)���^��a��
�=�����^��a���,�(�so��a���۲tak���es�v��q�alues�in��F���^�����v��`�����,�whic���h�is�not�the����6�sup�Gersingular��fcase;���th���us�w�e�ma�y�assume�that�0�&3���a�<�b����`�^���1�:��f�F��*�actoring�out�b�y����6�a�UUp�Go���w�er�of�the�cyclotomic�c�haracter�giv�es��32���u>����������=������t�	������n��8��=��	������a���p�(	������0���9�)������b���\�=�	������a���(	������0���9�)������a���(	������0���)������b��a��aͲ=���������a���(	������0���)������b��a�����}r���u~����������=������tݵ������a���p�	������b��a�����:������6लPut�UUanother�w���a�y��*�,���Ս��Jе������ss��	�&����������a��P�
���8���^������d���	�T�	���^��b��a����.��0������?�0���)�'(	���^��0���9�)���^��b��a������J�Q���^����S�m�:��0���6लThe��tun���t�wisted�represen�tation�is������`�����������	����r�k����1����%�G�0����q����0���!�d(	����r�0���s�)����r�k����1������?�����`����E��,�|where��k��=��K1���+��b����a�.�F%Since�2��K���q͍�6ल1�s�+��b����a�����`�s����1,���the�r�w���eigh�t�of�the�un�t�wisted�represen�tation�is�in�the�range�considered����6�ab�Go���v�e.����H�Before�<�giving��k�P��(��),�A�it�is�necessary�to�understand�ho���w�the�w�eigh�t�c�hanges�up�Gon����6�t���wisting�˹b�y�a�p�Go�w�er�of�the�cyclotomic�c�haracter���.���This�problem�is�addressed�b�y����6�the��theory�of�mo�Gd��`��mo�dular�forms,�&�rst�dev���elop�ed�b���y�Serre�and�Swinnerton-Dy�er,����6�then�*lgeneralized�b���y�Katz.��
In�[��44����],�_�Katz�dened�spaces�of�mo�Gd��`��mo�dular�forms����6�(see�UUApp�Gendix�10),�and�a��q�[ٲ-expansion�map��36�������В�:���������M�����Q�k�+B��0����5�M����k��됲(����1��|s�(�N��);����F����`����)���!��F����`���[[�q�[ٲ]]�:��xt��6लThis�map�is�not�injectiv���e,�!�b�Gecause�b�oth�the�Hasse�in���v��q�arian�t�of�w���eigh�t��`��9���1�and�the����6�constan���t�UU1�ha�v�e�the�same��q�[ٲ-expansion.����H�The�iC�minimal��=weight�ltr��}'ation��w�D�(�f���)�of�a�mo�Gd��`��mo�dular�form��f�|Ҳis�the�smallest����6�in���teger���k�c��suc�h�that�the��q�[ٲ-expansion�of��f�&��comes�from�a�mo�Gdular�form�of�w�eigh�t��k�P��;�)if����6�no�6�suc���h��k�� �exists,�<�do�not�dene��w�D�(�f���).�g�Dene�an�op�Gerator���5�=���q��������W�d�����&�feG����dq�����
ֆ�,�on��q�[ٲ-expansions,��
[email protected]��6�b���y�|���G�(�����P��8�a����n��q~�q��[ٟ�^��n���W�)�o=������P��AR�na����n���q��[ٟ�^��n���W�.��eIf�|��f���is�an�eigenform�of�w���eigh�t�|��k�P��,��Wthen�there�is�a�mo�Gd��`����6लeigenform�R+��Gf�e��of�w���eigh�t�R+�k��#�+�2��`��+�1,�R�still�of�lev���el��N��,�whose��q�[ٲ-expansion�is���G�(�����P��8�a����n��q~�q����^��n���W�).������6��Theorem��T3.���u���L��}'et���f��v�b�e�a�mo�d��`��eigenform.���Then��32������`���-��w�D�(�f���)���(��UX)��w��(��Gf���)��=��w��(�f���)�8�+��`��+�1�:����6��If���`���j��w�D�(�f���)��then��w��(��Gf���)���<�w�D�(�f��)�8�+��`��+�1�.����HलW��*�e�~are�no���w�ready�to�giv�e�the�recip�Ge�for��k�P��(��)�in�the�sup�ersingular�case.�sAThe����6�minimal�&�w���eigh�t,�Z�b�Gefore�t�wisting,�Z�is�1��]+��b����a�,�Z�whic���h�is�p�Gositiv�e�and�not�divisible����6�b���y��ȵ`�.�� Eac�h�t�wist�b�y����adds��`�},�+�1�to�the�w���eigh�t,��eso�in�the�sup�Gersingular�case,�one����6�denes�����3`�k�P��(��)��:=�(1�8�+��b����a�)�+��a�(�`��+�1)��=�1�8�+��`a��+��b:�����6लT��*�o�njustify�this�denition,�6w���e�observ�e�that�the�minimal�w�eigh�t�do�Ges�not�drop�during����6�eac���h��of�the��a��t�wists�b�y���;�gsince�1��<�<��1���+��b����a��<<�`�Ҳand�(1���+��b����a�)�+��a�(�`��+�1)��<�����6ल(�`�%B���1)�+�(�`����2)(�`��+�1)���<�`���^��2��|s�,��the�˅w���eigh�t�can�only�drop�if�there�exists��c��with�1�����c�<�a����6लsuc���h�UUthat�����׆(1�8�+��b����a�)�+��c�(�`��+�1)�����0�	��(�mo�Gd����`�)�:����6लIf��this�o�Gccurred,�Rthen��c����a������b����1�q�(�mo�d����`�).��TBut��1����c�<�a����`������2,�Rso�either����6वc���=��a�+?���b����1,��zwhic���h�΃implies��c�����0�΃since��a��<�b�,�or�΃�c��=��`�+?�+��a����b����1��=��a�+?�+��`����1����b�����a�,����6�a�UUcon���tradiction.�����C!��7
���������6��22��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y�������6��3.2.1.��Wu�Sup�Q�ersingular��Tcase����6लAssume���that����is�sup�Gersingular�in�the�sense�that��tr���
Bӵ�(�F��*�rob���*����`����)��5…=��q0.�ϛW��*�e�no���w�sk�etc�h����6�Edixho���v�en's�;�pro�Gof�that����arises�from�a�mo�d��`��eigenform�of�w���eigh�t�;�k�P��(��)�and�lev-����6�el�UU�N��(��).����H�Let�!�����^��ss��	�²denote�the�semisimplication�of�the�restriction���j����D����`���
��of����to�a�decomp�Go-����6�sition�UUgroup�at��`�.�q�The�restriction�of�����^��ss��
+c�to�the�inertia�group�at��`��is���b����#�������ss����j����I����`���
Nָ�������^������d���
#��	���^��n����&\ �0�������40���!\((	���^��0���9�)���^��n������9*���^����B17�;�����6लwhere��P	�and�	���^��0����=�'�	���^��`��h6�are�the�t���w�o��Pfundamen�tal�c�haracters�of�lev�el�2.��If�necessary��*�,����6�reorder�UU	�and�	���^��0���9�,�so�that��n���=��a�8�+��b`�UU�with�0�����a�<�b����`�8���1.�q�Then������q|f	������n��8��=��	������a�+�b`���B�=�	������a���p�(	������0���9�)������b���\�=�	������a���(	������0���9�)������a���(	������0���)������b��a��aͲ=���������a���(	������0���)������b��a�����;����6लand���p���#c�������ss����j����I����`���
Nָ���������a��P�
���8���^������d���	�T�(	���^��0���9�)���^��b��a����67&�0�������L0���4�~	���^��b��a������J�Q���^����S�m�:���Ѝ�6लMotiv��q�ated��fb���y�F��*�on�taine's�theorem�on�Galois�represen�tations�arising�from�sup�Gersin-����6�gular�UUeigenforms,�w���e�ha�v�e�dened�����3`�k�P��(��)��:=��a�(�`�8�+�1)�+�(�b����a��+�1)��=�1�8�+��`a��+��b:����HलThe��6rst�step�in�sho���wing�that����arises�from�a�form�of�w�eigh�t��k�P��(��),���is�to�pro�v�e����6�the��w���ell�kno�wn�result�that,��@up�to�t�wist,��@all�systems�of�mo�Gd��`��eigen�v��q�alues�o�Gccur�in����6�w���eigh�t�UUat�most��`�8�+�1.��2�����6��Theorem��T4.���u���Supp��}'ose��ϵ��is�mo�dular�of�level��N����and�some�weight��k�P��,��	and�that��`����-��N��.����6�Then���some�twist���8�
�����^��������is���mo��}'dular�of�weight�����`�8�+�1����and�level��N��.����HलThis�v�is�a�general�theorem,��0applying�to�b�Goth�the�ordinary�and�sup�ersingular����6�cases.�ۯIt�x�w���as�disco�v�ered�b�y�Serre�[��71����]�when��N�ò�=���1;�
Ifurther�w�ork�w�as�done�b�y����6�Jo�Gc���hno�witz��2[��41����]�and�Ash-Stev���ens�[��1�����,���Thm.�3.5]�when��`�����5.��^Tw�o��2pro�Gofs�are�giv�en����6�in�UU[��26����,�Thm.�3.4�and��x�7].����H�As�ara�digression,�dzw���e�pause�to�single�out�some�of�the�to�Gols�in�v�olv�ed�in�the�pro�Gof����6�of���Theorem�4.���The�group�����1��|s�(�N��)�acts�b���y�matrix�m�ultiplication�on�the�real�v�ector����6�space����R���^��2��|s�.��The�Eic���hler-Shim�ura���corresp�Gondence�(see�[��81����,��Ҹx�8.2])�is�an�isomorphism����6�of�UUreal�v���ector�spaces��������S����k��됲(����1��|s�(�N��))����T΍����O����1,����0E���?e�=�������2�������������	�b���������������>�����������������������������a!����&�X�H����������1���፴P�����(����1���(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�R������2���))�:������6लThe��0�p��}'ar�ab�olic��(or�cuspidal)�cohomology�group��H���^������1��b��P���	��is�the�in���tersection,��o�v�er�all�cusps����6व�В�2���P���^��1��|s�(�Q�),�UUof�the�k���ernels�of�the�restriction�maps��Dw���o��res���|4������|.�:���H���������1��Lq�(����1��|s�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�R������2���))��!��H���������1��Lq�(��������;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�R������2���))�;����6लwhere�t^������
'@�denotes�the�stabilizer�of���	z�.���F��*�or�xed��z����0���Ѳin�the�upp�Ger�half�plane,�� the����6�Eic���hler-Shim�ura�gisomorphism�sends�a�cuspform��f�z��to�the�class�of�the�co�Gcycle��c��g�:��*���6�����1��|s�(�N��)���!���Sym����ǟ����k�+B��2��%˲(�R���^��2���)�UUinduced�b���y�������k��
�UP�7!�����c��Z�����i����
�n9�(�z���0��� �)��@��UR�z���0�����!���Re����/h���\� ��6��f���(�z�p��)��������^������d���	�z������	��1�����:���^�����z����۴k�+B��2��'��dz�����\�!������;��"�4��6लwhere�������^������d���w%�z���������1������C���^�����귟��۴k�+B��2��+-l�denotes��the�image�of������^������d���w%�z���������1������C���^�����)�
���r������#�
����r���^������d���
�z������
$u�1�����0���^�����}�2���Sym���:������k�+B��2��&b��(�C���^��2��|s�),�Land�in���te-��qύ�6�gration�3�is�co�Gordinate�wise.�
�There�is�a�natural�action�of�the�Hec���k�e�3�algebra��T��on�����UU��7
�������9��ue��LECTURE���3.���THE�WEIGHT�IN�SERRE'S�CONJECTURE��7���23����Y������6वH���^������1��b��P�����(����1��|s�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�R���^��2���)),���and�`0the�Eic���hler-Shim�ura�`0corresp�Gondence�is�an�isomor-����6�phism�UUof��T�-mo�Gdules.����H�The�UUforms�whose�p�Gerio�ds�UUare�in���tegral�corresp�Gond�to�a�lattice���F��u�=�H����������1���፴P�����(����1��|s�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�Z������2���))�����H����������1���፴P����(����1��|s�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�R������2���))�:������6लReducing��.this�lattice�mo�Gdulo��`�,�Σw���e�obtain�a�relationship�b�et���w�een��.mo�d��`��mo�du-��*���6�lar���forms�and��H���^������1��b��P�����(���x䍑�~��������1����
�t�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�F���^���2��v��`���|s�)),�(Ywhere���x䍑j�~���������1�����f�(�N��)�is�the�image�of�����1��|s�(�N��)�in��
	؍��6�SL��B��(2�;����F����`����).�0rSerre���and�Hida�[[REF??]]�observ���ed�that,���for��k��ָ�c?�2�1���`�,�the���x䍑4�~�����������1����QW�(�N��)���rep-��
���6�resen���tations��W�Sym����������k�+B��2��&���(�F���^���2��v��`���|s�)�W�are�sums�of�represen�tations�arising�in��Sym����������k��+B���r�0��ߵ��2��)_!�(�F���^���2��v��`���|s�)�for����6वk��P���^��0���<�ѿk�P��.�Q�This��Tis�the�essen���tial�idea�used�in�pro�ving�that�all�systems�of�eigen�v��q�alues����6�o�Gccur�UUin�w���eigh�t�UUat�most��`�8�+�1.����H�W��*�e��	again�consider�a�Galois�represen���tation����that�is�sup�Gersingular�and�mo�dular.����6�By��/Theorem�4�there�is�a�form��f�о�of�w���eigh�t��/�k��ĸ�t-�`�~�+�1�suc���h�that�����^�����p��
���t-�������f��/ �.��TIn����6�fact,�W�w���e�$ma�y�assume�that�2�����k�p%���`�:�$when��k�p%�=��`�©�+�1�a�theorem�of�Mazur�(see����6�[��26����,�{sThm.�@�2.8])�implies�that�there�is�a�form�of�w���eigh�t�@�2�giving�rise�to������f��/ �;��Fwhen����6वk���=��1,�	Qm���ultiply��P�f�	߲b�y�the�w�eigh�t��`�zظ��1�Hasse�in���v��q�arian�t.�RT��*�o�sho�w�that��w�D�(���G��^�������f���)��=��k�P��(��)����6�w���e��:in�v�estigate�ho�w�application�of�the���G�-op�erator�c���hanges�the�minimal�w�eigh�t.�.vW��*�e��q̍�6�ha���v�e�V�(�����f����
�䏵���^������)�j����I����`��������tN���`����������ڱ	����r�n�����)�0���K������0����(	����r�0���s�)����r�n������/�՟��`����9㖲with��n�tN�=��a��+��b`�Vݲand��a�tN<�b�.�v`F��*�on���taine's�V�theory���x��6�(see��Lecture�3)�iden���ties�the�c�haracters�corresp�Gonding�to������f��/ �j����I����`���
���as�p�o���w�ers��	���^��k�+B��1��.ײand��Y⍑6�(	���^��0���9�)���^��k�+B��1��}Y�of�UUthe�fundamen���tal�c�haracters.�q�This�giv�es�an�equalit�y�of�unordered�sets�������f�	������k�+B��1��(�����������;����(	������0���9�)������k�+B��1������������g���=��f�	������n��q~�;����(	������0���9�)������n���g�:����6लIt�ޑis�no���w�p�Gossible�to�compute��w�D�(�����^�������f���)�b���y�considering�t�w�o�cases,��corresp�Gonding�to����6�the�UUw���a�ys�in�whic�h�equalit�y�of�unordered�pairs�can�o�Gccur.����H��Case��T1�UU�Supp�Gose�that�	���^��k�+B��1��(����^����y��=��(	���^��0���9�)���^��n��q~�.�q�Since����=�	���^��`�+1��
��,�w���e�ha�v�e�����w�i	������k�+B��1+��(�`�+1)��0�y�=��	������k�+B��1��(���������y��=�(	������0���9�)������n��8��=�(	������0���)������a�+�b`���B�=�	������b�+�a`���*�:����6लComparing�UUexp�Gonen���ts�of�	�giv�es���������������w�k��w��8�1�+���	z�(�`��+�1)�����b�8�+��a`�	��(�mo�Gd����`������2���S���1)�;��������������6ल(3.1)������88��6�whic���h�Ireduces�mo�Gdulo��`��c�+�1�Ito��k�+����c�1�]_���b����a�q��(�mo�Gd����`��+�1);���b�Gecause�I2����k������`�,����6�this�f0implies�that��k��o�=���1���+��b����a�.��XReducing�f0(3.1)�mo�Gdulo��`��Ƹ��1�f0and�substituting����6वk�Z��=�
1�S�+��b����a�}��giv���es��b�S����a��+�2������b��+��a�q��(�mo�Gd����`����1);���w���e�}�nd�the�p�Gossible�solutions����6व�x1�=�n��a�{�+��m�(�`����1)�=�2���with��m��an�in���teger.���No�solution����=�n��a�{�+��m�(�`����1)�=�2,��
with���m����6लo�Gdd,�]satises���(3.1),�so���Л�=��!�a��as�an�in���teger�mo�Gd��`��J���1.�>�Finally��*�,�]apply�Theorem�3����6�and�UUargue�as�in�the�end�of�Lecture�3,�to�sho���w�that����Wx|�w�D�(���G�����a����f���)��=��w��(�f���)�8�+��a�(�`��+�1)��=�1�8�+��b����a��+��a`��+��a���=�1�8�+��b��+��a`���=��k�P��(��)�:����H��Case��T2�UU�Supp�Gose�that�	���^��k�+B��1��(����^����y��=��	���^��n��q~�.�q�Then���d�����	������k�+B��1+��(�`�+1)��0�y�=��	������k�+B��1��(���������y��=�	������n��8��=�	������a�+�b`���*�:����6लComparing�UUp�Go���w�ers�of�	,�w�e�obtain���������������w�k��w��8�1�+���	z�(�`��+�1)�����a�8�+��b`�	��(�mo�Gd����`������2���S���1)�;��������������6ल(3.2)������88��6�whic���h�81reduces�mo�Gdulo��`����+�1�81to��k�O/�����1�����a����b�q��(�mo�Gd����`��+�1);�A�th���us�81�k���=��`��+�2����(�b����a�)�:����6लThe���dierence��b�gĸ��a����m���ust�b�Ge�greater�than�1;���otherwise��k���=�<Q�`�gIJ+�1,��@con�trary���to�our����6�assumption�UUthat�2�����k�����`�.�q�Reducing�UU(3.2)�mo�Gdulo��`�8���1�UUgiv���es�����㮵k��w��8�1�+�2��В����a��+��b�	��(�mo�Gd����`����1);�����g��7
���������6��24��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लsubstituting�௵k���=��W�`��Ʋ+�2����(�b����a�)�w���e�nd�that����Ѳ=��W�b����1�+��m�(�`����1)�=�2�with��m��an����6�in���teger.��fIf�s��m��is�o�Gdd,��then���}�do�es�not�satisfy�(3.2),��so������=���b������1�s�as�an�in���teger����6�mo�Gdulo��Ƶ`������1.��It�remains�to�v���erify�the�equalit�y��w�D�(���G��^��b��1���յf���)�z)=��w��(��).��Unfortunately��*�,����6वk���=���`��:�+�2����(�b����a�)��is�not�esp�Gecially�telling.�[+The�argumen���t�of�Case�1�do�es�not�apply����6�to�UUcompute��w�D�(���G��^�������f���);�instead�w���e�use���G�-cycles.����H�Because��M�f��ܲis�sup�Gersingular,���F��*�ermat's�Little�Theorem�implies�that������^��`��1��\w�f��C�=����f���.����6�W��*�e�9�use�T�ate's�theory�of���G�-cycles�(see�[��26����,�?r�x�7]�and�[��41���])�to�compute��w�D�(���G��^��b��1���յf���).�h�The����6व�G�-cycle�UUasso�ciated�to��f�h�is�the�sequence�of�in���tegers������0R�w�D�(�f���)�;���w��(��Gf��)�;���w��(���G�����2��Ð�f��)�;����:�:�:����;���w��(���G�����`��2��\w�f��)�;���w��(�f��)�:����6लThe�UU��G�-cycle�for�an���y�sup�ersingular�eigenform�m���ust�b�eha���v�e�UUas�follo���ws:���������������ञ��������������������������ٹ��drop��������������������e�&��������������L�#:f�?����������Eܟ�@?�����������l��?���������۰��y�?����������f��9�?�������������?����������Ѭ���?���������·<�y\?����������<̟	96?�����������\��?���������ħ���?�������������nञ���������������������*�������लdrop�����������������������U*���������P���������;�/�������
������O�/������������/������������f/������������/�������������/�����������Y�/�����������(J/������������/�����������ż/������������u/�����������c./�����������1�/�����������/����������|�Y/����������z�/����������xl�/����������v;�/����������t
=/��������������ट.*�������������������������,�T�go�UUup���:���:�:��������������������kट�s �5�5����������g&'� ;�j���������b�Ɵºj���������]�e�e9j���������YQ��j���������T����7j���������PB�	L�j���������K{�
�5j���������F߀���j���������BC�43j���������=���ֲj���������9
]�y1j���������4m���j���������/ћ��/j���������+5:�`�j���������&�ٟ-j���������!�x���j���������`�H+j���������ö��j���������'U��)j����������� /�j���������
!�'j���������R2�#t�j����������џ%%j����������p�&��j����������}�(\#j����������ட)��j�������������9ट\�o��������������������&������X��go�UUup���:���:�:���������������������ट[email protected]�:�:������������D�G&�v�����������̟�v�����������T�	�v�����������ܟ�Tv�����������d��v������������s�v�����������t�I�v�������������<v����������Մ���v������������ʰv����������֔� �jv������������#v$v����������פ�&K�v�����������,�)!�v���������}ش�+�Rv���������y�<�.�v���������u�ğ1��v���������q�L�4x�v���������m�ԟ7N:v���������i�\�:#�v���������e��<��v���������a�l�?�hv���������]��B�"v���������Y�|�Ez�v���������U��HP�v���������Qތ�K&Pv���������M��M�
v���������Iߜ�P��v���������E�$�S�~v���������AଟV}8v��������������ट\�o�������������l�ڍ�o���go�UUup���:���:�:��UL�,�drop�once,�go�up���:���:�:���,�drop�to�original�w���eigh�t���R��6�Kno���wing��Wthis,��w�e�can�deduce�the�exact���G�-cycle.�O�List��`��n�um�b�Gers�starting�and�ending����6�with�UU�k�P��:���������d���]���k�P�;�UPk��w�+�8�(�`��+�1)�;�k��w�+�2(�`��+�1)�;��:���:�:��UG;�k��w�+�(�`����k�P��)(�`��+�1)�;������]��`�8�+�3����k�P�;�UP�(�`��+�3����k��)�+�(�`��+�1)�;��UP:���:�:��UG;�UP�(�`��+�3����k��)�+�(�k��w���3)(�`��+�1)�;������]��k������k��6लThe��Nrst�and�second�lines�con���tain��`��0�+�1����k��and��N�k��Ǹ��2�n���um�b�Gers,��resp�ectiv���ely��*�.���All����6�told,�UU�`��n���um�b�Gers�UUare�listed;�this�m���ust�b�e�the����-cycle.����H�It�UUis�no���w�p�Gossible�to�compute��w�D�(�����^��b��1���յf���).�q�If���������b�8���1�����`�8���k���=���`����(�`��+�2����b��+��a�)�=���2�+��b����a;����6लthen�UU�a�����1,�a�con���tradiction;�th�us��b�8���1���>�`�8���k�P��.�q�It�follo���ws�that����V���w�D�(���G�����b��1���յf���)��=��`�8�+�3����k��w�+�(�`��+�1)(�b����2����(�`����k�P��))��=�1�8�+��b��+��a`���=��k��(��)�;����6लv���erifying�UUSerre's�conjecture�in�this�case.���?���6��3.3.��P�Ordinary�2�case����6लConsider�UUthe�ordinary�case,�in�whic���h���r����8��j����I����`���
Nָ�������^������d���
#�����*7�������
��0����������� �ş��^������s��6लwith�[email protected]��	z;����r��:�렵I����`��Ć�!��F���^�����v��`���$�p�Go���w�ers�of�the�cyclotomic�c�haracter.���View������I����`���
���as�the�t�wist�of�a����6�represen���tation�UUin�whic�h�the�lo�w�er�righ�t�en�try�is�1:��������Ÿ��^������d�����6���������������IJ0����_S������Ɏo���^����ӱ���������
���8���^������d���	�T��	z�����^���1����*��������B��0���*�1�����/����^����8��:�����6लT��*�o�U�determine�the�minimal�w���eigh�t�U�of�a�form�giving�rise�to���j����I����`����p�it�is�necessary�to����6�dev���elop���an�ordinary�v�ersion�of���G�-cycles.�6�In�general�this�can�b�e�complicated,��2so�mak���e�����}���7
�������9��ue��LECTURE���3.���THE�WEIGHT�IN�SERRE'S�CONJECTURE��7���25����Y���À��6लthe��bsimplifying�assumption�that����=���1;��hthen���j����I����`���	��������^������d���
�K����^��i����t\�������S��0���t\1�����#t]���^����.�3�with�1����i����`������1.����6�Deligne�Zxsho���w�ed�(see�Lecture�3)�that�if��f�n�is�of�w�eigh�t��k���and���N4�=��1,���then�the�asso�Gciated����6�represen���tation��is������`��������
�C�����r�k����1�����4����_I�����0����m1�����%O����`����.:[�with�2�����k�����`�q��+�1.�P�Motiv��q�ated��b�y�this,��our�rst�reaction����6�is��uto�dene��k�P��(��)�to�b�Ge��i�$J�+�1.��'This��udenition�do�es�not�distinguish�b�et���w�een��uthe����6�extreme��w���eigh�ts�2�and��`��۲+�1�b�Gecause�they�are�congruen���t�mo�dulo��`��۸��1.��3Giv���en�a����6�represen���tation������arising�from�a�form�of�w�eigh�t�either�2�or��`�s��+�1,�ßit���is�incorrect,�in����6�general,���to�F�set��k�P��(��)�Y9=�2.�E�F��*�or�F�example,�supp�Gose��f�lȲ=�Y9�is�the�lev���el�1�cusp�form����6�of���w���eigh�t�12�and�����=������f��/ �.�ƵIt�is�nonsense�to�set��k�P��(��)�=�2|there�is�no�cuspform�of����6�w���eigh�t�UU2�and�lev���el�1.���������7
�����Y����Ǡ�7
�����Y������G���P�_�LECTURE���4�����z��Galois��represen��tations�from�mo�`dular�forms��1���:a�Consider�9�a�represen���tation�����:��G����Q��
4�!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�9�that�arises�from�a�mo�Gdular�form�of����6�lev���el���N�zU�=�c:�N��(��),��oand�some�w�eigh�t��k�P��.���Assume�that����is�ordinary�in�the�sense�that�����6�tr���@Y���(�F��*�rob���*����`����)��h�9�6�=��r0.��8In��%the�simplest�case,�����j����I����`���'0�������`��������B������r�k����1�����N����_I���
�@�0����1�����$�ڟ��`����.o�with�2����k��	���`��j�+�1.��8Th���us����6व�j����I����`���
�Ͳdetermines��k�P��(��)�mo�Gdulo��`��U���1,�Pwhic���h�determines��k��(��)�when��k���62��f�2�;���`��U�+�1�g�.�ZThe����6�k���ey�UUto�c�ho�Gosing�b�et���w�een�UU2�and��`�8�+�1�UUis�go�o�d�reduction.����H�The�7hrepresen���tation���?�=������f��	f��attac�hed�7hto�a�normalized�eigenform��f�Sp�=��?����P��xĵa����n��q~�q��[ٟ�^��n�����6लof��w���eigh�t�2�and�lev�el��N�+òcan�b�Ge�constructed�as�follo�ws.���Consider�the�totally�real����6�or�e�CM�egeld��E� ��=����Q�(��:���:�:����;���a����n��q~�;��:�:�:���).���In�e�[��81����,���Thm.�7.14],�Shim���ura�e�asso�Gciated�to��f����6लan���ab�Gelian�v��q�ariet���y��A�f�=��A����f���ڲo�v�er����Q�,�̓furnished�with�an�action��O��2�,��UX�!��f�End���Pß��Q��B��A��of�the����6�ring�͖of�in���tegers�of��E����.�ڊThe�dimension�of��A��is�the�degree�[�E�#�:����Q�],��and��A��has�go�Go�d����6�reduction�UUat�primes��`��not�dividing��N��.�q�The�Riemann�surface��a؍��0x�X����1��|s�(�N��)��:=����Lщfe%����/�����1���(�N��)�n�h���+h+�=�����1���(�N��)�n�h�8�[�f��cusps��qɸg�����6लhas�%%a�natural�structure�of�algebraic�curv���e�o�v�er��Q�;��
it�is�called�the��mo��}'dular�Scurve����6�of���level��N��.�&�Its���Jacobian��J����1��|s�(�N��)��::=��Jac��k�(�X����1��|s�(�N��))���is�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y�o�v�er��Q��of����6�dimension���equal�to�the�gen���us�of��X����1��|s�(�N��),��!and�ha�ving�go�Go�d���reduction�at�all�primes����6व`���-��N��.��UWhen�˄�N��+�=�1,��the�curv���e��X����1��|s�(1)�is�isomorphic�o�v�er��Q��to�the�pro��8jectiv�e�line����6�and�xG�J����1��|s�(1)�V=�0.�ڝThere�is�a�functorial�action�of�the�Hec���k�e�algebra��T��on��J����1��|s�(�N��),��and����6वA���=��J����1��|s�(�N��)�=I���J����1���(�N��)�UUwhere��I�7�is�the�k���ernel�of�the�map��T���!��E���sending�UU�T����p���to��a����p���R�.���ۍ�H�The�UUrepresen���tation�����=������f���u�is�UUfound�inside�of��A�;�let�����=��k�er��#�(�O�5!�����_�fe<o����F����
����`��
�m�)�UUand�set������ϵA�[��]��=��f�P�*��2��A�(����_�fe������Q������)�:��xP��=�0��UUall��8�x��2���g�:����6लSince�8�O���is�the�full�ring�of�in���tegers�[[ADD�8�PRECISE�REF�TO�SHIMURA]],��8�dim���㑟�:�O�7�=��$s��A�[��]��=��:��6�2,�UUso��A�[��]�aords������f�Z�;���!�:��X�������������hҮ��|r�G����Q�����������������������wx�����f�>9;���������������<�`����/�/������z�����2�fd��ʎ�������� ��$�$������������ܟ�/�I�����������c�I������������A�I�����������q�u�I��������������wI����������l��II����������O�
I����������1��
D�I����������x�I���������z�����I��������������?�`��5�GL��M�E��5(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�:��������������������+'�Aut�����`�,�R�O�7�=���x��+'�A�[��]�������������������ȟ&ط���������������\�).5�/�/�������\�)ag�fd�����������\�+�5�GL���t��+�5(2�;����O�G�=�)�������������C�%5�*��	����
������������FIF�.5�8�8����������A���Ĺp���������=߫�
�p���������9�t��@p���������5�=�
~p���������1��6�p���������-�ϟ_�p���������)㘟�8p���������%�a��vp���������!�*�۴p������������p���������漟.0p����������B��6लA���nite���group�sc���heme��G��o�v�er��Q���^���nr��v��`���
�is�said�to�ha�v�e�go�Go�d���reduction,��%or�to�b�Ge��nite��
at�,����6�if��
it�extends�to�a�nite�
at�group�sc���heme�o�v�er��O����Q�����nr�����`����<w�.���The�group�sc�heme��A�[��]�has��kȍ�6�go�Go�d��reduction;�-the�nite�
at�group�sc���heme�extending��A�[��]�is�the�sc�heme�theoretic����6�closure��of��A�[��]�in�a�go�Go�d��mo�del��A�=�O����Q�����nr�����`����҉�of��A�,��Awhic���h�exists�b�ecause��`�2��-��N�J�=��N��(��)�������;�27�������7
���������6��28��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लso�)�that��A��has�go�Go�d�)�reduction�at��`�.�c5In�general,�2]if����is�a�represen���tation�and��k�P��(��)�����2����6�(�mo�Gd����`�8���1),�UUthen�w���e�dene��i����'�k�P��(��)��:=������\�(����.���
�S�2����*8�if�UU���is�nite�
at�at��`�,����fc���
�S�`�8�+�1����*8�otherwise.�������,E����6��4.1.��P�Represen��ttations�2�arising�from�elliptic�curv�es����6लLet��V�A��b�Ge�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q��with�minimal�discriminan�t�����A��	!�and�conductor��N����A�����.����6�Supp�Gose���that��`���^��2��]��-��<�N����A�����,�(�so�that��A��has�semistable�reduction�at��`�,�and�consider�the����6�represen���tation�����=������A;`��T��giv�en�b�y�the�action�of��G����Q��_:�on��A�[�`�].��#Assume�that��A�[�`�]�is����6�irreducible.���v����6��Theorem��T5.���u���The��r��}'epr�esentation������A;`��*
�is�nite�
at�at��`��if�and�only�if��`�i��j���ord����w���`��f�����A�����.����6�If���p���6�=��`�,�then������A;`���]�is�unr��}'amie�d�at��p��if�and�only�if��`���j���ord���?����p���������A�����:����Hल[[REF�UUTO�SERRE]]��r/���6��4.1.1.��Wu�F��
�rey��Tcurv��9es����6लW��*�e��?can�apply�Theorem�5�to�deduce�F�ermat's�Last�theorem�from�the�Shim���ura-����6�T��*�aniy���ama�Y�conjecture�and�the�w�eak�conjecture�of�Serre.��Supp�Gose�(�a;���b;�c�)�Y�is�a�solution����6�to��
the�F��*�ermat�equation��a���^��`��W��+�~��b���^��`��N��=�u��c���^��`����with��`����11�and��abc��6�=�0.���Consider�the�F��*�rey����6�curv���e��G�A��giv�en�b�y�the�equation��y��[ٟ�^��2��V��=�~V�x�(�x��,���a���^��`����)(�x��+��b���^��`���);��Ait��Gis�an�elliptic�curv���e�with���	��6�discriminan���t��{����A�����=�����&h���2�((�abc�)����r�2��� �)����r�`����2��ʉfeQ,������ͱ2����8������'-��:��By�[��67����,�X��x�4.1,�Prop.�	F96]��{the�represen�tation��A�[�`�]�is����6�irreducible.�+�Theorem��5�implies�that������A;`��%/�is�unramied�a���w�a�y��from�2�and��`�.�Th���us����6वN��(��)����j��2,��and��K�k�P��(��)�=�2�since��`��j���ord���	����`���}�(����A�����).�ܩBut�there�are�no�cuspforms�of�lev���el�2����6�and��w���eigh�t�2.���The�mo�Gdularit�y�of��A��(pro�v�ed�in�[��86���,��^�89����]),���together�with�the�w�eak����6�conjecture�UUof�Serre�(enough�of�whic���h�is�pro�v�ed�in�[��61����]),�leads�to�a�con�tradiction.�����6��4.1.2.��Wu�Elliptic��Tcurv��9es�of�conductor��33����6�There�UUis�a�unique�w���eigh�t�UU2�normalized�newform���P��[0�f�ڧ�=���������X����㉵a����n��q~�q��[ٟ����n���o�=���q����+�8�q��[ٟ����2��,���q��[ٟ����3�����q��[ٟ����4�����2�q��[ٟ����5�����q��[ٟ����6���+�4�q��[ٟ����7�����3�q��[ٟ����8���+��q��[ٟ����9���+����������i���6लon��
����0��|s�(33).��One�of�the�elliptic�curv���es�asso�Gciated�to��f�is�the�curv�e��A��giv�en�b�y�the����6�equation�G�y��[ٟ�^��2���+�U�xy�"�=���x���^��3���Ȳ+��x���^��2�����11�x�.�mThe�Gdiscriminan���t�of��A��is�����A��	J��=��3���^��6����U�11���^��2��Ã�and�the����6�conductor�y�is��N����A��	� �=��3�Q���11.�ޠBecause�y��A��is�semistable�and�there�are�no�elliptic�curv���es����6�3-isogeneous��to��A�,��the�asso�Gciated�mo�d�3�represen���tation�����=������A;�3����:��G����Q��
4�!���Aut����(�A�[3])����6�is�
�surjectiv���e.�X�[[REF�
�TO�AR�G�EARLIER�IN�NOTES.]]�
�Since�3���j���ord���?����3��g�����A�����,��the�
�Serre����6�w���eigh�t��and�lev���el�are��k�P��(��)��=�2��and��N��(��)��=�11.�ѧAs��exp�Gected,�R�there�is�a�w�eigh�t�2����6�newform��Ton�����0��|s�(11).���If��B�Ųis�one�of�the�three�elliptic�curv���es�of�conductor�11�(it����6�do�Ges��Wnot�matter�whic���h),��then��B��q�[3]�����A�[3]��Was�represen�tations�of��G����Q��G�.�W�Placing�the����6�eigenforms��corresp�Gonding�to��A��and��B��X�next�to�eac���h�other,�:�w�e�see�that�they�their����6�F��*�ourier�UUco�Gecien���ts�are�congruen�t�mo�Gdulo�3:���L�����d���B�d�f����A����XK�=���i�i�q���}��+�q��[ٟ�^��2������O��q��[ٟ�^��3�����֋��q��[ٟ�^��4������Ƹ�2�q��[ٟ�^��5�������q��[ٟ�^��6����>�+4�q��[ٟ�^��7����4/z��3�q��[ٟ�^��8����YE��+�q��[ٟ�^��9����t[�+����������������BH�f����B����XK�=���i�i�q���x���2�q��[ٟ�^��2������O��q��[ٟ�^��3�����֊�+2�q��[ٟ�^��4������Dz+�q��[ٟ�^��5������+2�q��[ٟ�^��6����>��2�q��[ٟ�^��7����TE���2�q��[ٟ�^��9����t[�+���������������������7
������ww��W�d�LECTURE���4.���GALOIS�REPRESENT��J�A�TIONS���FR�ÎOM�MODULAR�F�ORMS��~4�29����Y�������6��4.1.3.��Wu�Elliptic��Tcurv��9es�of�conductor��141����6�Let����A��b�Ge�the�elliptic�curv���e��y��[ٟ�^��2���w�+�+�y�"�=���x���^��3�����+��x���^��2�����12�x��+�2���of�conductor��N����A��	J��=��141�=�3�+���47����6�and���discriminan���t�����A��	J��=��3���^��7��z����47.�,�First�consider�the�mo�Gd��`��=�7�represen���tation����=������A;�7�����6लof�و�G����Q��G�.��aSince�7��l�j���ord���R���3���Ų(),���the�وSerre�in���v��q�arian�ts�وof����are��k�P��(��)��l=�2�وand��N��(��)��l=�47.����6�There�Ajis�a�form��f�ڧ�2���S����2��|s�(����0���(47)),�x�giving�Ajrise�to���,�whose�F��*�ourier�co�Gecien���ts�generate�a����6�quartic��Reld.�I�Next�consider�the�mo�Gd�3�represen���tation�����=������A;�3����;�Sthe��RSerre�in�v��q�arian�ts����6�are�$εN��(��)� �=�47�and,�X�since�3��-���ord����Ɵ��3��9�(),�X��k�P��(��)�=��`��0�+�1� �=�4.��2The�space��S����4��|s�(����0���(47))����6�con���tains�p�t�w�o�conjugacy�classes�of�eigenforms,�wlone�eigenform�dened�o�v�er�a�eld�of����6�degree�մ3,��;and�the�other�o���v�er�մa�eld�of�degree�8.�G<Sure�enough,�one�of�the�eigenforms,����6�the�UUdegree�3�one,�giv���es�rise�to������A;�3����.�����6��4.2.��P�Companion�2�forms����6लSupp�Gose�UU�f�h�is�ordinary�of�w���eigh�t�UU�k�P��,�that�2�����k�����`�8�+�1,�UUand�that�������������f��/ �j����I����`���
Nָ�������^������덍�
#�����^��k�+B��1����)�U�������
xܲ0���)�U1�����.�V���^����7�r�:����6लIs���this�split�or�not;��put�another�w���a�y��*�,��sdo�Ges��Ը�P��=�0?�iCHo���w�frequen�tly�do�Ges�this�split?����6�The���split�primes��`��are�in�the�minorit���y��*�.�`.Ho�w���can�one�quan���tify�the�n�um�b�Ger�of�split����6�primes?����H�If�UU����=�0,�then����x���j����I����`���
Nָ�������^������ݍ��
#��1���x�0������
#�0���#�����^��k�+B��1������.�V���^����7�r�;�����so���r��j����I����`���	���
�8�������`��k��K���������^������덍�
#�����^��`��k����%�x�0������
�0���%�x1�����*�y���^����3���;��<+��6लso��ӵk�P��(����^��`��k���U�
�K޵�)��=�1�+��`����k�P��.�JGUsing���the���G�-op�erator���w���e�see�that����
�����^��`��k��cJ�is�mo�Gdular,���of����6��some�\�w���eigh�t�and�lev�el.�V�T��*�o�sa�y�that�it�is�mo�Gdular�of�Serre's�conjectured�w�eigh�t�is�to����6�mak���e�Ua�m�uc�h�strong�statemen�t.�q�If���8i�
�����^��`��k��ّ�is�Uindeed�mo�Gdular�of�w�eigh�t�1�8i+��`����k�P��,����6�then��pthere�exists�an�eigenform��g�TI�of�w���eigh�t��p1���+��`����k�I�with������g��}���������f��Լ�
�����^��`��k���w�.�[Suc���h����6�an�#eigenform��g�[ٲ,�/�if�it�exists,�is�called�a��c��}'omp�anion�#�of��f���.�~0The�existence�of��g�_��is�far����6�from�y�ob���vious.�޴Starting�with�an�arbitrary�ordinary�form��f���,���it�can�b�Ge�sho�wn�that�if����6�a���companion�form��g�@Ҳdo�Ges�exist,��rthen�the�represen���tation�m�ust�split|except�p�Gerhaps����6�when�UUthe�t���w�o�UUc�haracters�are�equal.�����6��4.2.1.��Wu�Sp�Q�ecial��Tcases����6लIf����k�P��(��)���=��`�,��gthen�the�companion�has�w���eigh�t�1,��gi.e.,�if����is�unramied�at��`�,�then������6लcomes��from�a�w���eigh�t��1�eigenform.���If��k�P��(��)��p=��`����+�1��then����m���ust�b�Ge�ramied�at��`�;����6�otherwise�UU���comes�from�a�form�of�w���eigh�t�UU�`�8�+�1����k���=��0,�a�con���tradiction.����H�The�O�existence�of�a�companion�form�w���as�pro�v�ed�(assuming�unc�hec�k�ed�compati-����6�bilities)�lin�most�cases�in�whic���h��k��<��`��b�y�Gross�in�[��34����],���and�in�a�few�cases�when��k���=���`�.����6�Using���new�metho�Gds,��~Coleman�and�V��*�olo�c���h�[��15����]�pro�v�ed�all�cases�except��k���=�kN�`��=�2,����6�and��ndidn't�use�an���y�unc�hec�k�ed�compatibilities.��The�argumen�ts�of�Coleman�and����6�V��*�olo�Gc���h�UUdo�not�require�v�erication�of�Gross's�unc�hec�k�ed�compatibilities.��������7
�����Y����`��7
�����Y������G���P�_�LECTURE���5�����W��In��tro�`duction��to�lev�el�lo�w�ering��1���;
�Consider�)san�irreducible�represen���tation���(��:��G����Q��o��!���GL��A�(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�)sthat�arises�from�an����6�eigenform�lnof�w���eigh�t�ln�k���and�lev���el��N��.�$%Serre�asso�Gciated�to����in�tegers��k�P��(��)�and��N��(��),��and����6�conjectured�X|that����arises�from�a�newform�of�w���eigh�t�X|�k�P��(��)�and�lev���el��N��(��).�In�Lecture�3����6�w���e�b�sk�etc�hed�Edixho�v�en's�pro�Gof�that�if��`����-��N�y��then����arises�from�an�eigenform�of����6�w���eigh�t�CA�k�P��(��)�and�lev���el��N��.�k�In�this�lecture,�F�w�e�in�tro�Gduce�some�of�the�tec�hniques�used����6�in�p�pro���ving�that����arises�from�a�newform�of�lev�el��N��(��).�%�F��*�or�more�details,���see�[��61���,��μ63��N��].����H�In�D�[��75����,�G�x�1.2]�Serre�dened�the�optimal�lev���el��N��(��)�as�the�prime-to-�`��part�of�the��a��6�Artin��^conductor�of���.���Recall�that��N��(��)�is�a�pro�Gduct������Q���ϵp���^��n�(�p�)���0�o���v�er��^prime�n���um�b�ers����6वp���6�=��`�.�-�The���in���teger��n�(�p�)�is�dened�b�y�restricting����to�a�decomp�Gosition�group��D����p��)7�at��p�.����6�Consider�g'the�sequence�of�ramication�groups��G����0��a=���ʵG����1�����������t;��G����i��9����������@�where�g'�G����0�����6लis�/the�inertia�subgroup��I����p�����of��D����p���R�.��ULet��V�V�b�Ge�a�v���ector�space�o�v�er�����_�fe<o����F����Y����`��O��aording�the����6�represen���tation�6��,�<Wand�for�eac�h��i�����0�6let��V����i���d�b�Ge�the�subspace�of��V�n��consisting�of�those����6वv�"�2���V��9�that�UUare�xed�b���y��G����i��TL�.�q�Then��5k���d��n�(�p�)��:=��������1����������X����t���մi�=0�������<$��%j�1����w�fe'�Ÿ	(֍(�G����0��C��:��G����i��TL�)������>�Ydim��P�V�q=V����i��TL�:��&�%���6��5.1.��P�Reduction�2�to�the�salien��tt�case����6लThe��loptimal�lev���el��N��(��)�is�not�divisible�b�y��`�.��
The�rst�step�in�lev�el�lo�w�ering�is�to����6�strip�D�the�p�Go���w�er�D�of��`��from��N��.�?�When��`��is�o�dd,���this�is�done�explicitly�in�[��63����,��x�2];����6�for�(�the�case��`�'��=�2�(�see�[��9�����,�]��x�1].��TMan���y�of�the�argumen�ts�and�k�ey�ideas�are�due�to����6�Serre��[��68����].�E�The�pro�Gof�that��`��can�b�e�stripp�ed�from�the�lev���el�uses�concrete�tec�hniques����6�of��xSerre�[��69����,����x�3],�[��72���,���Thm.�5.4],�and�Queen�[��57����,��x�3];��
it�in���v�olv�es��xm�ultiplying��f���b�y����6�suitable�5�Eisenstein�series�and�taking�traces.�g8Katz's�theory�of��`�-adic�mo�Gdular�forms����6�suggests���an�alternativ���e�metho�Gd:�F.a�classical�form�of�w�eigh�t�2�and�lev�el��M�`���^��m��X$�is�an����6व`�-adic�/�form�of�lev���el��M��;�<Lthe�mo�Gd��`��reduction�of�this�form�is�classical�of�lev�el��M�F�and����6�some�"mw���eigh�t,�,�and�is�congruen�t�to��f���.�`�See�the�app�Gendices�of�[��43����]�and�the�discussions����6�in�UU[��35����,��x�1]�and�[��36���,��x�1].����H�The�yvnext�step�is�to�replace��f���b�Ge�a�newform�of�w���eigh�t�yvb�et�w�een�yv2�and��`����+�1����6�that�/4giv���es�rise�to�a�t�wist�of���.��cTwisting����b�y�the�mo�Gd��`��cyclotomic�c�haracter������6लpreserv���es��9�N��;���this�is�b�Gecause���8��
����9�arises�from����(�f���)��=��q��������W�d�����&�feG����dq�����
ֆ�(�f��)��9whic���h�also�has�lev�el��N��.����6�Theorem�ϭ4�asserts�that�some�t���wist���5�
�����^��i��#��of�ϭ���arises�from�a�form��g�+��of�w�eigh�t����6�b�Get���w�een�RM2�and��`�2в+�1.�p�If�RM���
�����^��i�����arises�from�a�newform�of�lev���el��N��,�R�then����also�arises����6�from�׶a�newform�of�the�same�lev���el,��Nso�w�e�can�replace��f��E�b�y��g�3��and��k�(M�b�y�the�w�eigh�t�������;�31���� ̟��7
���������6��32��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लof�
�g�[ٲ.�Y�By�results�discussed�in�Lecture�3,�4w���e�ma�y�assume�that��k���=���k�P��(����
�����^��i��TL�).�Y�F��*�or�
�the����6�case�UU�`���=�2�see�[��9�����,�Prop.�1.3(a)].����H�W��*�e��$ha���v�e�reduced�to�considering�a�represen�tation����that�arises�from�a�newform��f����6लof�=w���eigh�t��k�P��(��)�and�lev�el��N�X�not�divisible�b�y��`�.�V�The�w�eigh�t�satises�2�����k�P��(��)����`����+�1,����6�but��m�N�Ĉ�migh���t�w�ell�b�Ge�a�large�m�ultiple�of��N��(��).�9�The�fact�that��N�Ĉ�is�a�m�ultiple�of��N��(��)����6�is��(a�theorem�of�Cara���y�ol��([��11����],�	whic�h�w�as�also�pro�v�ed�indep�Genden�tly�b�y�Livn���Ge�[��52����,����6�Prop.�UU0.1].����H�In�3�order�to�lo���w�er�3ŵN�J�it�is�con���v�enien�t�3�to�use�the�crutc���h�of�reduction�to�w�eigh�t�2.����6�P���arado�xically��*�,��ev�en�though�w���e�ha�v�e�just�tak�en�all�p�Go�w�ers�of��`��out�of��N��,��w�e�are�no�w����6�going�B?to�put�one�p�Go���w�er�B?of��`��bac���k�in�to��N��.�kjThis�allo�ws�us�to�reduce�to�w�eigh�t�2�and����6�realize��R���as�a�group�of�torsion�p�Goin���ts�on�an�ab�elian�v��q�ariet���y��*�.�<�An�alternativ�e�approac�h����6�(see��U[��29���,��[n42���j�])�is�to�a���v�oid��Uthis�crutc���h�and�w�ork�directly�with�represen�tations�coming����6�from�:arbitrary�w���eigh�ts�:b�Get�w�een�2�and��`�d�+�1;�C,these�are�realized�in�����Getale�cohomology����6�groups.�8This��3later�approac���h�has�the�adv��q�an�tage�that��X����0��|s�(�N��)�has�go�Go�d��3reduction�at��`�.����H�Reduction���to�w���eigh�t���2�is�accomplished�using�a�general�fact�that�originates�with����6�ideas���of�Serre�and�Koik���e.�0�In�c�haracteristic��`�,���eigenforms�of�lev�el��N���whose�w�eigh�ts����6�satisfy��'2�R˵<�k��b���`�p��+�1�corresp�Gond�to�eigenforms�of�w���eigh�t�2�and�lev�el��`N��B�(see�[��63����,����6�Thm.�UU2.2]):��A����������������l-���_�n�����v-���2���<�k�����`�8�+�1,�UUlev���el��N����������_�o�����������������,����o�o���������
�,����/�/���������(����f�/o���������`���3/o���������.���/o�����������l�/o��������_ʟ�Y�/o�����������������,���_�n������-���k���=��2,�UUlev���el��`N������`"a���_�o��������������i�
�:���o��6लTh���us�UUw�e�w�ork�with�w�eigh�t�2�and�lev�el���s����}�N���������w�:=�������\�(����.���
�S�N����"��if�UU�k���=��2,����fc���
�S�N�`����"��otherwise.�������%�̍��6��5.2.��P�Realizing�2�Galois�represen��ttations�geometrically����6लT��*�o��tunderstand�represen���tations�arising�from�mo�Gdular�forms,�Ӽit�is�helpful�to�realize����6�these���represen���tations�inside�of�geometric�ob��8jects�suc�h�as��J�}|�:=��C�J����1��|s�(�N����^�������).�	eNThese����6�represen���tations�are�constructed�geometrically�with�the�help�of�the�Hec�k�e�algebra����6��T���:=��Z�[��:���:�:����;���T����n��q~�;��UP:�:�:�����].��dRecall��that��T��is�a�comm���utativ�e��subring�of��End�������Q���Q�J��that�is����6�free��as�a�mo�Gdule�o���v�er���Z�,��and�that�its�rank�is�equal�to�the�dimension�of��J��9�.��When����6वN���is���cub�Ge�free,��T��is�an�order�in�a�pro�duct�of�in���teger�rings�of�n�um�b�Ger�elds;�S0this����6�is�f�a�result�of�Coleman�and�Edixho���v�en�f�(see�[��14����,�kiThm.�4.1]).���In�con���trast,�the�Hec���k�e����6�op�Gerators�UU�T����p���R�,�for��p���^��3��C��j���N��,�are�usually�not�semisimple�(see�Exercise�2).����H�It�UUis�fruitful�to�view�a�newform��f�h�as�a�homomorphism��A�������T�����������!��O�5�=��Z�[��:���:�:����;���a����n��q~�;��UP:�:�:�����]�����C�;���T����n��8��7!��a����n���:�����6लLetting��׵'���:��O�5!�����_�fe<o����F����
����`���D�b�Ge�the�map�sending��a����p��|)�to��tr��
�(��(�F��*�rob���*����p����))��2�����_�fe<o����F����
����`���D�w���e�obtain�an�exact���ۍ�6�sequence���0���!��m��!��T��!�����_�fe<o����F����
����`���g�with��m��a�maximal�ideal.�F�Th���us�together��f�色and��'��em�b�Ged����6��T�=�m�UU�in�����_�fe<o����F����
�ğ��`��j��.����H�Our���next�step,��after�ha���ving�attac�hed�a�maximal�ideal��m��to�the�giv�en�newform��f����6लthat�;sgiv���es�rise�to���,�s�is�to�nd�a�v�ector�space�aording����inside�of��J��9�(����_�fe������Q������).��F��*�ollo�wing�[��53����,����6सx�I�GI.7]w���e�UUconsider�the��T�=�m�-v�ector�space����d5ߵJ��9�[�m�]��:=��f�P�*��2��J��(����_�fe������Q������)�:��tP�*��=�0��UUall��8�t��2��m�g���J��(����_�fe������Q������)[�`�]����(�Z�=`�Z�)������2�g���z�:��A���6लSince���the�endomorphisms�in��T��are��Q�-rational,��_�J��9�[�m�]�comes�equipp�Ged�with�an�action��\k��6�of�UU�G����Q��
4�:=���Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�).�����!�b��7
������ww��wŻ�LECTURE���5.���INTR�ÎODUCTION�TO�LEVEL�LO�WERING��:\��33����Y������HलSince��,�tr��
��(��(�F��*�rob���*����p����))���2��T�=�m��,��UX�!�����_�fe<o����F����
����`��	
�and��,�det��0(��(�F��*�rob���*����p���))��2��(�T�=�m�)���^����_�������_�fe<o����F������w��
�����i��
��`�����w���e�,�susp�Gect��I��6�that�趵��has�a�mo�Gdel�o���v�er���T�=�m�.�+�Suc�h�a�mo�Gdel�exists����^��1���e)�for�the�rather�coarse�reason����6�that���zBr���|(�F����`����)�:U=�0��z(see�[��73����,���X.7,�Ex.��za]).�A6Alternativ���ely��*�,�when��`��is�o�Gdd,�observ���e�that����6�complex�C�conjugation�acts�through����as�a�matrix�with�distinct�rational�eigen���v��q�alues;����6�a���w���ell�kno�wn�theorem�of�I.�Sc�h�ur�[��65����,���IX�a]�(cf.�[��88���,���Lemme�I.1])�then�implies�that������6लcan�	�b�Ge�conjugated�in���to�a�represen�tation�with�v��q�alues�in��GL��"�(2�;����T�=�m�).���X���^��2���
-òCho�Gose�suc�h����6�a�UUmo�Gdel������m��	}Ѳ:���G����Q��
4�!���GL����(2�;����T�=�m�)�UUfor���.��XB���6��5.3.��P�Multiplicit��ty�2�one����6लUnder��0the�assumption�that������m��	��is�absolutely�irreducible�Boston,�
�Lenstra,�and��0Rib�Get����6�(see�UU[��6�����])�pro���v�ed�UUthat��J��9�[�m�]�is�a�sum�of�copies�of������m�����:������ʠH�J��9�[�m�]���������Ҩ�t����������M����t���+�i�=1����5�����m�����:�����6लNote��kthat�when��`��is�o�Gdd,��girreducibilit���y�of������m��	�$�is�equiv��q�alen�t�to�absolute�irreducibilit�y��*�.����H�In���the�1940s�W��*�eil�sho���w�ed���(see,��for�example,�[��55����,��x�12])�that��End���~(�J��9�)��1�
��Z����`��Ͷ�op-����6�erators���faithfully�on�the�T��*�ate�mo�Gdule��T�ate���~����`��K�J��9�.��PBecause��T�.��
��Q����`�����is���Artinian,�!�it����6�decomp�Goses�F�as�a�pro�duct�of�lo�cal�rings:�T��T���
��Q����`��2��=��Y�����L���v(���j�`����T������%�
��Q����`��Ͳwhere�F���runs���ʍ�6�through�%�the�maximal�ideals�of��T��lying�o���v�er�%�`�,�/^and��T������d�denotes�the�completion�of��T����6लat�UU��.�q�Since��T��*�ate���:���`���ȵJ�/�
�8��Q����`��.;�is�an�Artinian��T��
��Q����`����-mo�Gdule,�it�breaks�up�as�a�sum���-�����<T��*�ate����e!���`���诵J�/�
�8��Q����`�����=���������M���j���ô�j�`�����5�T��*�ate���'G�����./��J��
��Q����`���x׍�6लIf��ҽT��*�ate��������m����J��Q�=��0�ҽthen��T����m���k�
�3��Q����`�����acts�trivially�on��T��*�ate��������`��0�J�)�
��Q�,���whic���h�con�tradicts�W��*�eil's����6�theorem,�Rso��there�is�some�in���teger��r�M��suc�h�that��J��9�[�m���^��r��m��]���6�=�0.�W�Let���r�M��b�Ge�the�smallest�suc�h����6�in���teger.���F��*�ollo�wing�[�[��53����,��Jpg.�112],�note�that�giv���en�an�y�generating�set�of�elemen�ts����6�(�a����1��|s�;����:�:�:����;���a����t���V�)�`�of�the��T�=�m�-v���ector�space��m���^��r�7��1����=�m���^��r��m��,�c�the�map��x�ډ�7!��a����1���x�@����������+���a����t���V�x�`��is�an����6�injection���of�the�mo�Gdule��J��9�[�m���^��r��m��]�=J��[�m���^��r�7��1����]���in���to�the�direct�sum�of��t��copies�of��J��9�[�m�].���In����6�particular,�UU�J��9�[�m�]���6�=�0.���qǟ�^��3������HलWhen�88�t���=�1�w���e�sa�y�that������m��	��o�Gccurs�in��J�.q�with��multiplicity�yone�.�hA�81detailed�sum-����6�mary�W�of�m���ultiplicit�y�W�one�results�can�b�Ge�found�in�[��26����,�X��x�9],�and�W�some�supplemen���tary����6�results��8are�con���tained�in�[��89����,��0Thm.�2.1].��oIn�our�situation,�in�whic���h��`���^��2����-����N��,�w���e�are����6�a���w�are�Ybof�no�examples�in�whic���h�m�ultiplicit�y�one�fails.�}�When�w�e�admit�arbitrary����6�p�Go���w�ers�UUof��`��in���to�the�lev�el,�then�there�are�coun�terexamples�(see�[��46����]).����H�Man���y�imp�Gortan�t�tec�hniques�for�pro�ving�m�ultiplicit�y�one�results�w�ere�pioneered����6�b���y�t�Mazur�in�[��53����]�who�considered��J����0��|s�(�N��)�with��N���prime.��7F��*�or�eac�h�maximal�ideal��m����6लof�A��T��he�considered������m��	�9�and�ask���ed,�Ew\is��J��9�[�m�]����T͍�������+3�����=�����
UN�����m�����?"�k+The�answ�er�is�y�es,�Ewif��`���6�=�2;�Hand����6�y���es|in��some�sense|if��`��=�2��and������m��
:Բis�reducible.��Mazur�did�not�treat�the�case�in����6�whic���h�ٽ�`���=�2�and������m��	�v�is�ordinary�in�the�sense�that��T����2��C��62��m�.�H�The�pap�Ger�[��54����]�elab�orates����6�on�'>Mazur's�results�in�v��q�arious�directions,�[�and�[��34����,��x�12]�pro���v�es�'>m�ultiplicit�y�one�in����6�man���y�UUcases�for��J����1��|s�(�N����^�������)�where��N����^����w�=���N�`�.����H�Consider,���as��ab�Go���v�e,�a��represen�tation�����=������m��	�s�at�lev���el��N����^�������and�of�w�eigh�t��k���=���k�P��(��)����6�satisfying�.52�����k�����`�꠲+�1.�d�Multiplicit���y�one�is�kno�wn,�6except�p�Gerhaps�when�all�of�the����6�follo���wing�UUh�yp�Gothesis�on����are�satised:��.1�����F��|����U�µ`���=��k�P��(��);��6टk߉ff<�O[�����-:�1���*��I��Xdon't�see�wh�Îy��J�.��
�����-:�2���*��I��Xhop�<re�to�record�W��J�allspurger's�pro�of.�������-:�3���*��Ken,��Xb�<reliev�Îe�it�or�not�this�is�the�b�est�argumen�Ît�I�can�think�of���!�� Do�y�ou�something�b�<retter?�����"�ޠ�7
���������6��34��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y���������F���|����U�µ�UU�is�unramied�at��`�;�������F��|����U�µ�UU�is�ordinary�at��`��in�the�sense�that��T����`�����62���m�;�������F��|����U�µ�j����D����`���
Mf������(����Dr���UO���������\q����0���O������ޥ�)����with�UU��В�=������.�����6�In�ڃ[��34����,��θx�12]�Gross�pro���v�es�ڃm�ultiplicit�y�one�when������6�=������,��εk������`�,�and�ڃ���is�ordinary;����6�he��ouses�this�result�in�his�pro�Gof�of�the�existence�of�companion�forms.�7In�con���trast,����6�Coleman�)Sand�V��*�olo�Gc���h�[��15����]�pro�v�e�the�existence�of�companion�forms�when���В�=�����o�and����6व`��>��2�UUusing�a�metho�Gd�that�a���v�oids�UUthe�need�for�m���ultiplicit�y�UUone.����H�W��*�e��no���w�discuss�the�ab�Go�v�e�h�yp�Gothesis�when��`���=�2.�\6The��optimal�w�eigh�t�satises����6�2�ţ���k�:���`����+�1�ţ=�3.�;�If���k��=�3��then����is�ramied�at�2;�:mthis�can�b�Ge�used�to�deduce����6�m���ultiplicit�y�6�one����^��4���|s�.�g�Assume����is�unramied�at�2,�<�so��k���=��2.�When����is�sup�Gersingular,����6�i.e.,�=�T����2��C��2���m�,�the�8inertia�group���I����2���Q��op�Gerates�through�the�2�fundamen���tal�c�haracters�of����6�lev���el��(2.��AThese�b�Goth�ha�v�e�order��`���^��2����x�1�e"=�3��6�=�1,���so��(���is�ramied�and�w�e�can�again����6�deduce�Úm���ultiplicit�y�one.���Finally��*�,��,assume����is�ordinary;���then���j����D���2���o۸���~�(����Dr���	
����l����\q���	�O�0���ߴ������m�)���=�with������6लunramied�i�and�����(�F��*�rob���*����2���!�)��=��T����2����Ȳmo�Gd��Q��m�.���Since�i��k�:�=�2,�o&the�determinan���t���	z���of���j����D���2���Z��is����6�the�1�mo�Gd�2�cyclotomic�c���haracter�����^��k�+B��1����=����,�9whic�h�is�unramied,�9so���;f�is�unramied.����6�Let�X]�f��]�=��vΟ���P�����a����n��q~�q��[ٟ�^��n��
D%�2�vεS����2��|s�(����1���(�N����^�������)�;���"�)�b�Ge�a�form�giving�rise�to���.�z�Since���(�F��*�rob���*����2���!�)�v�=��I���6�1���and���	z�Z�=����"�,��Aw���e�ha�v�e���	z�(�F��*�rob���*����2���!�)���=�������^���1��C��(�F��*�rob���*����2���)�"�(2)�=��a����䍷�1���2���
�t�"�(2)�q�(�mo�Gd����m�)�:����The����6�further��%condition,��under�whic���h�w�e�migh�t�not�kno�w�m�ultiplicit�y�one,��is���	z�j����D���2���
��=������j����D���2���
���;��I�6�reexpressed�5in�terms�of�the�image�of�F��*�rob�Genius,�&�this�b�ecomes��a����2��C��=���a����䍷�1���2���
�t�"�(2)��2�O��=�m�,����6�or�UUequiv��q�alen���tly��*�,��a���^���2��l�2���C��=���"�(2)��2�O�G�=�m�.�����6��5.4.��P�The�2�salien��tt�case����6लW��*�e�Oha���v�e�set�our�problem�up�so�that�lev�el�lo�w�ering�p�Gertains�to�w�eigh�t�2�forms�of����6�appropriate��wlev���el,��?and�tak�es�place�on�Jacobians�of�mo�Gdular�curv�es.��,This�problem����6�w���as�UUdescrib�Ged�and�partially�treated�in�a�long�pap�er�of�Cara���y�ol�UU[��11����].����H�Assume��Wthat����arises�from�a�newform��f���of�w���eigh�t��W2�and�lev���el��N����^�����p�=�q�pM��,��with����6वp�IY�-��M�T1�and�=�p��6�=��`�.�)Moreo���v�er,�was�could�easily�happ�Gen,�assume�that�the�c���haracter����6व"���:�(�Z�=��q�N����^�������Z�)���^�����˸!�O��G��^�����:�of�9�f�Ȳhas�\nothing�to�do�with��p�"�in�the�sense�that��"��factors����6�through�ϴthe�natural�map�(�Z�=��q�N����^�������Z�)���^����+�!���(�Z�=�M��Z�)���^������.���In�ϴthe�salien���t�case,��L�f���,��a�|priori����6ल\on"��8����1��|s�(�N��),�B�is�also�\on"�the�bigger�group�����1���(�M��)�@!�\������0���(�p�).�	qThe��8w���ord�\on"�in����6�this��\con���text�is�sp�Gecial�to�the�area�of�mo�dular�forms;�_it�means�that��f���satises�the����6�appropriate�>�in���v��q�ariance�with�resp�Gect�to�the�group.��Finally��*�,�vqmak�e�the�extra�h�yp�Gothesis����6�that��U�p���-��N��(��).�PSince�precisely�the�ramied�primes�(except��`�)�divide�Serre's�minimal����6�lev���el,�UUthis�is�the�same�as�assuming�that����is�unramied�at��p�.��������6��Example��T6.���tNȲConsider�/�the�represen���tation����ò=��A�[7]�/�arising�from�the�7-division����6�p�Goin���ts���of�the�mo�dular�elliptic�curv���e��A��of�conductor��N����A���޲=�iN3�F����47���and�minimal����6�discriminan���t�'�����A��
�C�=�%�3���^��7��A�����47.���The�newform��f�;B�corresp�Gonding�to��A��is�on�����0��|s�(3����47).����6�As�h�in�Section�2.3,�m�since��ord���᚟��3��^
�(����A�����)��a=�7,�the�h�represen���tation����is�unramied�at�3�and����6वN��(��)��=�47.�q�W��*�e�UUm���ust�get��p���=�3�UUout�of�the�lev�el.������6��Example��T7��(F��*�rey�UUcurv���es)�.�����"�The���elliptic�curv���es�that�F��*�rey�asso�Gciated�in�[��30����]�to�h�y-����6�p�Gothetical�v�solutions�of�the�F��*�ermat�equation��x���^��`��(�+�O9�y��[ٟ�^��`��3��=����z��p���^��`���W�giv���e�rise�to�mo�d��`��Galois����6�represen���tations.��According��to�Wiles's�theorem,��these�represen�tations�fall�in�to�the���э�6�salien���t�Z�case.���Since��k��C�=�z�2,���N��Dz=��N����^����
*��=�2��F���@ffcmti12�FL��
0
�with��Z��FL�����big�Z�and�square�free.�A���t�the����6�same�3#time,�9��N��(��)��=�2.�faOur�strategy�is�to�tak���e��p��to�b�Ge�an�y�prime�dividing���FL��;��and�to����6�try�{ato�lo���w�er�{athe�lev���el.���If�w�e�succeed,���w�e�rep�Geat�the�pro�cess�at�the�lo���w�er�{alev�el,���and����6�ev���en�tually�UUreac�h�a�con�tradiction.��6ट�ff<�O[�����-:�4���*��wh�Îy?�� ho�w?�reference?�����#N��7
������ww��wŻ�LECTURE���5.���INTR�ÎODUCTION�TO�LEVEL�LO�WERING��:\��35����Y������HलThe�yDsalien���t�case�divides�in�to�t�w�o�cases.�(lThe��har��}'d��rc�ase�yD�o�Gccurs�when�the�follo�wing����6�t���w�o�UUconditions�are�b�Goth�satised:��������F��|����U�µp�����1�q�(�mo�Gd����`�);�������F��|����U�µ�(�F��*�rob���*����p����)�UUis�a�scalar�matrix.��s{��6�The���second�condition�mak���es�sense�b�Gecause��p��-��N��(��);��'since����det��j(��(�F��*�rob���*����p����))�=�����^��k�+B��1��(�"�,����6�w���e�Ekno�w�the�scalar�up�to���1.�	The��e��}'asy��sc�ase�,�{�often�referred�to�as�\Mazur's�principle",����6�is�Ӱthe�complemen���tary�case.���Example�6�falls�in�to�the�easy�case�b�Gecause�3�DW�6��1����6�(�mo�Gd���7),�UUbut�treating�Example�7�requires�a�pro�Gof�in�the�hard�case.�����6��5.5.��P�Lev��tel�2�lo�w�ering�in�terms�of�comm�utativ�e�algebra����6लBefore�}	concluding�this�lecture,���w���e�set�up�some�of�the�comm�utativ�e�algebra�that�is����6�required�Mqin�order�to�lo���w�er�Mqlev�els�in�the�easy�case�of�the�salien�t�case.�o&There�are�t�w�o����6�injectiv���e�UUmaps���������������u��S����2��|s�(����1���(�M��))�����������������ʼ�������������������)��1Ⱦ/�/�������)��d��fd6������������N:��������������������)��8�/�/�������)�j�fd6����������)�S����2��|s�(����1���(�M��)�8�\������0��|s�(�p�))�����������N���:��32��6लOne��Eis�the�inclusion��f���(�q�[ٲ)�'��7!��f��(�q�[ٲ)��Eand�the�other�is��f��(�q�[ٲ)�'��7!��f��(�q��[ٟ�^��p���+�)��E(see�Exercise�28).����6�The����p�-new��subsp��}'ac�e��S����2��|s�(����1���(�M��)���\������0��|s�(�p�))���^��;�cmmi6�p�-new��	��is�the�complemen���t,���with�resp�Gect�to����6�the�t�P���etersson�inner�pro�Gduct,���of�the�subspace��S�4��generated�b�y�the�t�w�o�images�of����6वS����2��|s�(����1���(�M��)).���The�b?�p�-new�subspace�can�also�b�Ge�dened�algebraically�as�the�k���ernel����6�of���the�natural�map�from��S����2��|s�(����1���(�M��)�;�\������0��|s�(�p�))���to�the�direct�sum�of�t���w�o���copies�of����6वS����2��|s�(����1���(�M��)).����H�Let����T��denote�the�Hec���k�e���algebra�acting�on��S����2��|s�(����1���(�M��)�8�\������0��|s�(�p�)).�F�If���p���-��M��,��then���T����p�����6लacts��6on��S�\2�as�a�direct�sum�of�t���w�o��6copies�of�its�action�on��S����2��|s�(����1���(�M��));���otherwise,���T����p�����6लusually���do�Ges�not�act�diagonally�(see�Exercise�1).�XThe�action�of��T��on��S�G��is�through��\k��6�a��quotien���t�����_�fe������T�����.���Giv�en�a�represen�tation����asso�Gciated�to�a�maximal�ideal��m��of��T��w�e����6�ask�D�whether�or�not�the�image�of��m��in�����_�fe������T����7�is�con���tained�in�a�maximal�ideal.�l4Lo�w�ering����6�the���lev���el�is�equiv��q�alen�t�to�sho�wing�that��m��arises�b�y�pullbac�k�from�a�maximal�ideal����6�of��UU���_�fe������T������(see�UUExercise�32).��\k����6��Example��T8.���tNȲFigure�O�1�represen���ts�the�inclusion��Sp�Gec����(����_�fe������T������)���,��UX�!���Sp�Gec��7(�T�)�O�of�Example�6.����6�In�UUthis�diagram,�����_�fe������T������acts�on�the�image�of��32������S����2��|s�(����0���(47))�8���S����2��|s�(����0���(47))���,��UX�!��S����2��|s�(����0���(47)�8�\������0��|s�(3))����6�and�UUis�represen���ted�b�y�a�b�Gold�curv�e.�����$%��7
���������6��36��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y���������$�x�������Figure�DF1.�@�Lev�Îel��Xlo�w�ering����]����6��?PSfile="141.eps" llx=0 lly=0 urx=460 ury=322 rwi=3600 rhi=2160 �������%*$��7
�����Y������G���P�_�LECTURE���6�������Approac��hes��to�lev�el�lo�w�ering�������6��6.1.��P�Cara��ty�ol's�2�reduction�to�the�salien��tt�case����6लConsider��a�mo�Gdular�represen���tation�����:��G����Q��
4�!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)��that�arises�from�a�newform����6�of�[�lev���el��N�r��and�w�eigh�t��k�P��(��),�]4and�assume�that��`�ї�-��N��.���The�[�goal�is�to�sho�w�that�there����6�is�UUa�newform�of�lev���el��N��(��)�that�giv�es�rise�to���.�q�Set�������N���������w�=�������\�(����.���
�S�N����"��if�UU�k���=��2,����fc���
�S�N�`����"��otherwise.����������6�Then�/����arises�from�a�newform��f�ڧ�=�������P�����a����n��q~�q��[ٟ�^��n����of�w���eigh�t�/�2�and�c���haracter��"��on�����1��|s�(�N����^�������).����6�Let�8��m��b�Ge�the�maximal�ideal�of��T��asso�ciated�to����and��f���;�B;th���us��m��is�the�k�ernel�of�the����6�map���T��W�!�����_�fe<o����F����
�Ɵ��`���[�giv���en�b�y��T����p��b��7!���W��~��feI0��g��a����	����p��o0�=���Wtr����(��(�F��*�rob���*����p����))��W�2�����_�fe<o����F����
�Ɵ��`��ج�,��for��p��-��`N����^�������.�7�In�particular,����6व`���2��m���and�the�represen���tation����is�realized�geometrically�inside�the�subspace��J��9�[�m�]�������6वJ��9�[�`�]��of�the��`�-torsion�on�the�Jacobian��J�	0�of��X����1��|s�(�N����^�������).���Let��O�JB�=�%�Z�[��:���:�:����;���a����n��q~�;��:�:�:���],�B`and����6�denote�UUb���y��'��the�map��a����p��fj�7!�����~��feI0��g��a����H���p�����.��
$��H�Fix�{�a�divisor��p��of���������N���,���r��������&�fe{ן����N��,�(��)�����^�.��Our�goal�is�to�nd�a�newform�of�lev���el�a�divisor�of����������N���,���r��������&�feC������M�p������
$���6लthat��also�giv���es�rise�to���.�\DThe�full�tree�of�p�Gossibilities�is�discussed�in�pap�ers�of����6�Cara���y�ol�Q�and�Livne�(see�[��11���,���T52��QP�]).�p�When��`�����5,�R�Cara���y�ol�Q�reduced�the�other�cases�to����6�the�UUsalien���t�case�(see�Section�5.4)����^��1���|s�.����H�Supp�Gose��*that��p��#�j��N����^����
T)�but��*�p��-��N��(��),���so����is�unramied�at��p�.�^EIn�particular,���0���6�det��D�4(��)�+g=������䍴k�+B��1��K[��`����(��~��fe�Ɵ�g��"����1�=�������`�������~��fe�Ɵ�g��"���1�is���unramied�at��p�,���so����~��fe�Ɵ�g��"����вis�unramied�at��p�.�&VThe�c���haracter��"����6लis�X�initialized�dened�as�a�map�(�Z�=��q�N����^�������Z�)���^����	E�!�waO��G��^������;��ethe�reduction����~��fe�Ɵ�g��"���
[0�is�obtained�b���y��\k��6�comp�Gosing�UU�"��with��'���:��O�5!�����_�fe<o����F����
����`��
�m�.��9֍�H�What��pdo�Ges�it�mean�for����~��fe�Ɵ�g��"���D��to�b�e�unramied�at��p�?��Let��M�Q�=�������m �N���,���r����m ��&�feC������M�p��������and�write��
O<��6�(�Z�=��q�N����^�������Z�)���^����_��=��(�Z�=p�Z�)���^����T
���&�(�Z�=�M��Z�)���^������.�\�Restricting�w�"��to�eac���h�factor�allo�ws�us�to�write��"��a��6लas�>a�pro�Gduct�of�t���w�o�>c�haracters:�S;�"���=��"����p��^�����"���^��(�p�)��
���where��"����p�����is�a�c���haracter�of�(�Z�=p�Z�)���^�����"�and���q��6व"���^��(�p�)��+�is�K�a�c���haracter�of�(�Z�=��q�M��Z�)���^������.�n�The�c�haracter��"���^��(�p�)��+�has�conductor�dividing��M�b̲so�it����6�is��3unramied�at��p�.�|bSince��"����p��M��is�totally�ramied�at��p�,��kthe�reduction����~��fe�Ɵ�g��"���,�is�unramied����6�at���p��precisely�when����~��fe�Ɵ�g��"����dߟ��p��t�=�p�1;���equiv��q�alen���tly��*�,�Ԋwhen��"����p��Zk�has�order�a�p�Go�w�er�of��`�.��If��"����p��Zk�is����6�non���trivial,�dtthen,�since�anthe�order�divides�the�order��p�@���1�anof�a�generator�of�(�Z�=p�Z�)���^������,����6�a���p�Go���w�er�of��`��divides��p��S���1,��so��p�����1�q�(�mo�Gd����`�).�U0Cara���y�ol�sho�w�ed,��except�in�a�few�cases��6ट
8�ff<�O[�����-:�1���*��Did��Xhe�also�do���2cmmi8�`�\t�=�3,��Xor�did�someone�else;�who?�������;�37����&+>��7
���������6��38��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लwhen����`��<��5,�_that�there�is�another�newform�that�also�giv���es�rise�to����whose�c�haracter����6�is�UUtrivial�at��p�.�q�W��*�e�th���us�reduce�to�the�salien�t�case.��'\���6��6.2.��P�Lev��tel�2�lo�w�ering�in�the�salien�t�case����6लCara���y�ol's��&result�reduces�to�the�salien���t�case.��;In�the�salien�t�case,���w�e�are�giv�en�a����6�form�UU�f�h�on�����1��|s�(�M��)�8�\������0���(�p�)�UUof�w���eigh�t�UU2�that�giv���es�rise�to����suc�h�that��^������F��|����U�µp����jj��N����^����w�=���pM��;�������F��|����U�µp���-��N��(��),�UUso����is�unramied�at��p�.����6�The��@goal�is�to�sho���w�that����arises�from�a�newform�on�����1��|s�(�M��).�6This�has�b�Geen�ac�hiev�ed����6�in�UUsev���eral�cases:�������F��|����U���Using��(Mazur's�principle:����If��Ceither���(�F��*�rob���*����p����)�is�not�scalar�or��p�=N�6��1�q�(�mo�Gd����`�),����U��then�UUan�argumen���t�of�Mazur,�whic�h�w�e�presen�t�in�Section�6.3,�can�b�Ge�used.�������F��|����U���Using���multiplicity�one:�qDzIf�UU���o�Gccurs�inside��J����1��|s�(�N����^�������)�with�m���ultiplicit�y�UUone:�������@�J��9�[�m�]��=��������M�����5�����m��	}Ѳ=������m������(one�UUcop���y!)�����U��then��the�argumen���t�in�[��61����]�can�b�Ge�used.�4�W��*�e�outline�this�argumen�t�in�Lec-����U��ture��j8.��The�cases�in�whic���h�m�ultiplicit�y�one�is�kno�wn�w�ere�review�ed�in�Sec-����U��tion�Wd5.3;�Xkin�particular,�W�w���e�do�not�kno�w�m�ultiplicit�y�one�in�some�cases�when����U�µk�P��(��)��=��`�UU�and�the�eigen���v��q�alues�of��F��*�rob�������p��t��are�not�distinct.�������F��|����U���When��b�`��is�o��}'dd:��;�When�T=�`��is�o�Gdd�and��"���=�1,���lev���el�T=lo�w�ering�in�the�salien�t�case�w�as����U��pro���v�ed��[b�y�Rib�Get�in�[��63����]�using�an�argumen�t�that�do�Ges�not�require�m�ultiplicit�y����U��one.�i'The�� fact�that���1�޾�6��1����mo�Gd��*��`�� �is�used�in�the�pro�Gof�of�Prop�osition�7.8����U��of��c[��63����]�to�force�splitting�of�a�short�exact�sequence.�A!In�[��21���],��Diamond�extend-����U��ed�6the�argumen���t�to�co�v�er�the�case�of�arbitrary�c�haracter,�$obut�still�under�the����U��assumption�UUthat��`��is�o�Gdd.�q�These�argumen���ts�are�describ�ed�in�Lecture�7.����H�One��1encoun���ters�seemingly�insurmoun�table�diculties�in�trying�to�push�the����6�third��0argumen���t�through�when��`���=�2.�E�K.��0Buzzard�observ�ed�that�the�m�ultiplicit�y�one����6�approac���h�UUgo�Ges�through�when��`���=�2;�UUfor�more,�see�[��9�����]�and�Lecture�8.��'\���6��6.3.��P�Mazur's�2�principle����6लIn�^this�section�w���e�outline�Mazur's�principle.���This�argumen�t�is�used�to�lo�w�er�the����6�lev���el��in�the�salien�t�case�when�either���(�F��*�rob���*����p����)�is�not�scalar�or��p�旸6��1�q�(�mo�Gd����`�);�Xfor����6�more�UUdetails�see�[��61����,��x�6]�and�[��21���,��x�4].����H�Let��n���b�Ge�a�represen���tation�arising�from�a�mo�dular�form��f����as�in�the�b�eginning����6�of���Section�6.2.���First�w���e�describ�Ge�the�lo�cal�represen���tation���j����G���p����A�of�a�decomp�osition��
UM��6�group����G����p��fj�����Gal��g(����_�fe������Q�������qƴp��
Bݵ=�Q����p���R�).�+�Supp�Gose�that����arises�from�a�form��f���of�w���eigh�t���2,��ylev�el��M�p��N7��6लwith���(�M���;���p�)���=�1,�and�c���haracter��"��of�conductor�dividing��M��.�/�Then���j����G���p���֡�resem�bles������6�the��mo�Gd��`��represen���tation�attac�hed�to�a�T��*�ate�curv�e����^��2���|s�:��'��j����G���p����@�������(����q?���	?ɴ���ŭ����_I���	?ɱ0���8�������8�)��� ��.��Because�w�e����6�are��kconsidering�the�salien���t�case,��pthe�t�w�o�c�haracters���	z��and�����are�unramied�at��p�.����6�Th���us��M��	z�(�F��*�rob���*����p����)�mak�es�sense;�Iw�e�ha�v�e���	z�(�F��*�rob���*����p����)��_=����~��feI0��g��a����ۏ���p��
z�(�f���)��Mand����(�F��*�rob���*����p����)��_=��p���~��feI0��g�a����I0���p��	育(�f���).��I��6�Since��UUdet��8�(��j����G���p���
쮲)��=����	z��^��2������=����~��fe�Ɵ�g��"���p��,�UUw���e�see�that������!���~��feI0��g��a����������j�2���ፒ�j�p�����V�=�����~��fe�Ɵ�g��"���p޲(�p�)�:�����6लF��*�or�D�example,���if��f�Xu�is�a�form�on�����0��|s�(�M��)�then�w���e�ha�v�e��"�V^�=�1�D�so����~��feI0��g��a�����*���	��2��N/��	��p����Ʋ=�V^1.�@{When��f����6लreally���do�Ges�corresp�ond�to�an�elliptic�curv���e,��it�corresp�onds�to�a�T��*�ate�curv���e�with��6टh��ff<�O[�����-:�2���*��What��Xis�the�canonical�reference�for�this?�����';��7
������ww��|��LECTURE���6.���APPR�ÎO�A�CHES�TO�LEVEL�LO�WERING��?P��39����Y������6लeither���split�or�nonsplit�m���ultiplicativ�e���reduction�at��p�,��tdep�Gending�on�the�sign�of��a����p�����6ल(see���Exercise�33).���This�lo�Gcal�analysis�w���as�v��q�astly�generalized�b�y�Langlands�in�[��49����]����6�whic���h�UUextends�it�to�include�man�y��`�-adic�represen�tations�of�p�Gossibly�higher�w�eigh�t.����H�Let�i�T��b�Ge�the�Hec���k�e�ialgebra�asso�ciated�to�����1��|s�(�M��)��\������0���(�p�),���and�ilet��m��b�Ge�the��\k��6�k���ernel�UUof�the�map��T���!�����_�fe<o����F����
����`��
�m�:��� ���{0�����������!���m���������!��T����x[��1+�T���n���l�7!����W�W	Vp����a����Vp��n��	=ܴ;�]��h�d�i7!����W�W	�4����"����4�(�d�)�����������������4���������������>�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3!�����Kî���_�fe<o����F����S���`��V��:��洍�6लThe���determinan���ts�and�traces�of����lie�in��T�=�m�a=������_�fe<o����F����
�����`��v��,���so���w�e�can�form�a�mo�Gdel�for������6लo���v�er�UU�T�=�m�.�q�Let��V��9�b�Ge�the�represen���tation�space�of����o�v�er��T�=�m�;�w�e�ha�v�e��
����^/�����m��	}Ѳ:���G����Q�����
4�����*�!���Aut������:�T�=�m��&z��V��9;�����and��/� �V������(�T�=�m�)�������2��
�t�:����HलNext���w���e�realize������m��C=�as�a�group�of�division�p�Goin�ts�in�a�Jacobian.�SThe�curv�e����6वX����1��|s�(�M�p�)�Bcorresp�Gonding�to�����1���(�M�p�)�co���v�ers�Bthe�curv���e��X����1���(�M���;���p�)�corresp�Gonding�to����6�����1��|s�(�M��)�k�\������0���(�p�).�S�The���induced�map��J�:߲=��D�Jac����(�X����1���(�M���;���p�))�D��!��J����1���(�M�p�)�=��Jac����(�X����1���(�M�p�))����6�has�UUa�nite�k���ernel�on�whic�h�the�Galois�action�is�ab�Gelian����^��3���|s�.����H�The���Hec���k�e�algebra�asso�Gciated�to�����1��|s�(�M��)�m�\������0���(�p�),��can���b�Ge�constructed�as�a�ring����6�of�e�corresp�Gondence�and�view���ed�as�a�subring��T������End���w����Q�����(�J��9�).���The�e�action�of��T��on��I��6�mo�Gdular��forms�then�comes�b���y�thinking�of��S����2��|s�(����1���(�M��)���\������0��|s�(�p�))��as�the�tangen�t�space����^��4������6लto���the�iden���tit�y���of��J��9�.�4�Inside�of��J��ݲw���e�nd�the�nonzero��G����Q��G�-mo�Gdule��J��[�m�]�������^���t��;Z�i�=1���
tO�V�8�.�4�F��*�or����6�the���purp�Goses�of�this�discussion,���w���e�do�not�need�to�kno�w�that��J��9�[�m�]�is�a�direct�sum����6�of�C-copies�of��V�8�.�k�The�follo���wing�w�eak�er�assertion,�F�kno�wn�long�ago�to�Mazur�[��53����,�Fϸx�14,����6�pg.���112],��"will�suce:�|��J��9�[�m�]�is�a�successiv���e�extension�of�copies�of��V�8�.�In�particular,����6वV�������J��9�[�m�].�q�A�UUw���eak�er�conclusion,�true�since��`���2��m�,�is�that��V������J��9�[�`�],����H�Our�O�h���yp�Gothesis�that����is�unramied�at��p��translates�in�to�the�inclusion��V�������J��9�[�`�]���^��I���p���>�.����6�By���[��77����,���Lem.�2],�if��A��is�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y�o�v�er��Q��with�go�Go�d���reduction�at��p�,���then����6वA�[�`�]���^��I���p������T͍��Vb����+3���Vb�=�����5õA����F���p���
\m�[�`�].�аHo���w�ev�er,�R6the��mo�Gdular�curv���e��X����1��|s�(�M���;���p�)�has�complicated�bad�re-����6�duction��at��p�,�'Wso��J��is�lik���ely�to�ha�v�e�bad�reduction�at��p�|in�this�case�it�do�Ges.�^�W��*�e�are����6�led��"to�consider�the�N�����Geron�mo�Gdel��J���of��J��9�,�ϕwhose�construction�and�main�prop�erties����6�are�|odescrib�Ged�in�[��5�����].��The�N�����Geron�mo�del�is�a�smo�oth�comm���utativ�e�|ogroup�sc���heme����6�o���v�er�k�Z��with�generic�b�Ger��J�aJ�that�satises�the�follo���wing�prop�ert���y:��?the�restriction����6�map���Hom���|v���Z���۲(�S����;����J���)����Of�����	k�!��Of�Hom���$����Q��k۲(�S����Q��G�;�J��9�)��is�bijectiv���e�for�all�smo�Goth�sc�hemes��S�g�o�v�er��Z�.����6�P���assing���to�the�sc�heme�theoretic�closure,�&�w�e�ha�v�e,�&�inside�of��J���,�a�t���w�o-dimensional����6��T�=�m�-v���ector�T�space�sc�heme��V��}�.�q�W��*�e�kno�w�a�great�deal�ab�Gout�the�complicated�bad�re-����6�duction�v�of��X����1��|s�(�M���;���p�)�(see�[��20���,���)45��U%�]).�'�The�Deligne-Rap�Gop�ort�v�mo�del�is�often�illustrated����6�b���y�UUthe�follo�wing�fairly�standard�squiggly�diagram:��0��������K��O�X����1��|s�(�M���;���p�)���K���p��X����1��|s�(�M���;���p�)���t����m������t.u����������t.u����������tU����ф�����tU����ф�����t����Tg������t����Tg������t�6��4˄�����u#n��/������u#n��/������urt��������u�z���)������u�z���)������v N���̄�����v"��_o������v"��_n������v�ğ�$*������w\f���������w\f���������w�����������xIx��ju������xIx��ju������x���'J������y>p���������y>q���������y�����������z3i��U������z3j��U������z����������{(b��ϊ������{(c��ω������{�����Q������|
���Q������|
���Q������|x<��������|���ҩ������|���ҩ������}I����q������}�a��T9������}�a��T9������~5���������~n	��ݱ������~n	��ݰ������~����_������#ɟ�o������#ʟ�o������z���3ʄ�����Ѥ����������Ѥ�����������$����4�������w�����������w�����������ʐ��N�����������[����������Z�������l���������������҄����������ф���������a��������a���&I�������a���&H��������������������ǟ����������ǟ󯿄������:ٟ�t{����������97����������96���������������������®���������­�������k�������������<W����������<V�������	#���+�������X)���������X)�����������"��rԄ���������/�����������/��������Q��艄���������j����������j�����������VX�������Q��F�������Q��E��������֟��3��������ß�u!��������ß�u �������V���&�������������������������������}���������c]��@�������c^��@��������K����������8���������8���������l��Wф������������������������������!ٟ콸�������|���n��������|���n��������ӧ��#��������*���؎�������*���؍�����������n��������n��JO��������n��JO�������/[��0��������H����������H����������A��t�������,:��-ӄ������,;��-ӄ������4��ꨄ�������-��}��������.��|�������!4��hD�������p:��)�������p:��)��������@���Ȅ������F�貄�������F�貃�������YX��{2��������j��C��������k��C��������}����������:����?�������:����?������������������д��n��������е��n�����������73�������n�����������n������������ǟ�̅�������͟�(�������͟�'�������_Ɵ�eʄ����������2m�����������2l�������Ɵ��������P̟�Ә�������P̟�Ә�����������.�����������tĄ����������tĄ������Q���IN�����������؄����������ׄ�����������a�������Rs����������Rs�����������S��g�������3��w�������4��w�������_!��TU����������0Ƅ���������0ń��������
6�������kΟ�駄������kϟ�馄������Ư���
�������!���n�������!���n�������|p��҄�������P��k6��������Q��k6����������3����������3�������:��b�������:��b���������������������������������\�����������\�������Dz�⥧�������Dz�⥧��������T����������T����������`��~$��������`��~$�������6S��nV�������6S��nV��������_��fo�������4_��fo���󎍒��R��fo�������^��fo��������Q��nV��������Q��nV�������dD��~$�������dD��~$�������
7���������
7�������������������������������mҟ�u�������mҟ�u�������#�����������#������������g���҄�������;������������;���������������$�����������$��������П�7؄������T���K��������T���K���������x��cO�������L��{�������L��{�������q �㖬����������T����������U�����������馄����������馄��������	B�������;u��(ބ������;v��(ބ�������P��`/��������P��`/�������@=��˄�������*��g��������*��g��������#�����������=��慄������=��憄�������#��"��������)��%���������)��%��������&;��IM�������qM��l܄������qN��l݄�������`��l�������r����������s����������N���׋��������������������������������П���������#��B9�������#��B:�������k��m���������-��&��������-��'��������?�����������HQ���-�������HR���-��������q����������֐��G�������֐��G����������vk�������dΟ�Մ������dΟ�Մ����������2�����������������������������>��?��������0��sJ��������1��sK��������P�誜�������o����������o����������^���1�����������Xu�����������Xv��������̟铺�������3�����������3�����������{
��
C��������)��E���������)��E��������T����������H�����������H����������������0�������־��Bh�������־��Bh���������끠�������U.���؄������U.���؄�������f���������Ӟ��?H�������Ӟ��?H�������֟�~��������R�콸�������R�콸��������R����������Ȗ��<(�������ȗ��<(�������۟�wl�������?���������? ���������vq�����������Ÿ�1!��������Ÿ�1!����������le�������d��������d��������S��������������&����������&��������W��a^���������������������������0����ۄ������hJ���������hJ�������������ZK���������𙃄��������𙃄������=��ܮ�������E���ل������E���ڄ�������ҟ�c����������0����������1��������O���P�������:���4o�������:���4o�������y���{������������­�����������­��������/��	̄������7g��P�������7g��P�������v���
��������ן��)��������ן��)����������&H�������<-��mg�������<.��mg�������{f�����������������������������������ɟ�BĄ������@����������@������������ �����������K��9��������L��:����������Or�������E������������E������������������������,��
��������,��
�������d��H^�������B������������B�������������ԟ�������������+�����������,�������D��-��������?|��`�������?|��`�������z����D������¶��ǡ������¶��Ǣ��������=�����������4u��.\�������4u��.]�������o���Yӄ�����ê����I������ê����J��������6�����������)n����������)n����������h����������ħޟ�;
������ħޟ�;��������	��f��������.4�����������.5�����������uT���{������żs����������żs��������������t�������J���7�������J���7������ƕß�_n��������՟����������֟���������+���t�������v������������v����������������z���������$����������$��������d
��H�������ȳ��l������ȳ��l������������������Q���:�������Q���;������ɤ���ׄ����������s�����������s�������F��������ʕ��1�������ʕ��1���������$��QG�������3*��p�������3*��p��������6���4��������6���4�������g[��߅�������g[��߅�������g���������g��������͛���>Y������͛���>Y�������1���e܄������1���e܄�������֟��F��������֟��F�������]����Ʉ������]����Ʉ������� ���L�������� ���L������В,��������В,���������08��+k�������08��+k����������R����������R������ҋ��r�������ҋ��r��������9ƞ�&�������9ƞ�&������Ә�����������n��„�������n��„�����ԭ/��w������ԭ/��w���������E�������jמ��������jמ��������͞����������0e���������0f��������֏:�����������������������������L�}������׫�� d������׫�� d�������
��$W�������i^�(J�������i^�(K��������2�,>�������'�01������ه�02��������<Ǟ02���������02��������HI�02��������#�(K��������#�(K������ܫ� d������ܫ� d�������I���������I�����������Ȅ��������Ȅ�����ޕ֞�������ޕ֞��������;ɞ�^�������;ɞ�^�������飞�„������飞�„������d��&�������d��&�������U%��r��������U%��r�����������^Ʉ������͟�K�������͟�K�������Ȏ����������Ȏ����������'b���������6���3�������6���3��������
���~�������Cޟ��Ʉ������Cޟ��Ʉ�����䢲��������������_�����������_�������G��V�������G��V�������m����������m���������������!���������߅���������߅�������ȼ���4�������ȼ���4�������n���p�������n���p������轵��QG����������1�����������1�����������Z����������Z����������ھ�������9���"�������9���"�������$������������C��{��������C��{�������U���D��������U���D�������뜠��!
�������㿟��{�������㿟��z�������.џ���������y���\�������y���[�����������؄������"��gU�������"��gU�������OA��CƄ������`�� 7�������`�� 6��������r�����������,����J�������,����I�������s����Ƅ������ß�zC�������ß�zC�������՟�N̈́������P��#W�������P��#V���������������������Ă��������
��Ă�������.,����������uK��e��������uK��e���������]��2Q�������o����������p����������V���ω������񡔟��������񡕟���������负�l„������/ӟ�9e�������/ӟ�9d�������z��������������„�����������„������
���e�������T6��d�������T6��d�������a��0��������ڌ���M�������ڍ���L�������!�����������h˟����������h˟�������������[email protected]��������!��'��������"��'�������2M���������ux���5�������uy���4������������ׄ�������ϟ�Zz��������П�Zy�������>���#(��������&���ׄ�������'���ׄ�������_��z���������������������������?ϟ�Q����������b���������a��������2����������]�󷧄������^�󷦄������H���U�����������I�����������I����������
�����������|����������{�������]��*��������0��cل�������1��cل�������P��$��������6o���i�������6o���i��������u��1��������{��f���������{��f�����������'��������j���艄������j���艄����������Q����������j����������j�������S���&��������П��Ä�������џ��„�������ן金�������<ݟ�eR�������<ݟ�eR����������&�������������������������������������i&��hr�������i'��hr��������9��):��������K�����������L����������Fk��ʄ����������k������������k��������е��4A������������������������W�����������7��h�������8��g�������p��O���������ń��������ń�����S���h�������0���������1��
�������u��}����������JP���������JO������@���������|B��㕄�����|C��㔄������{��P����������m����������m������=ޟ�1DŽ������	�����������
�����������B��>�������z����������z���������B���D��������П�	q�������џ�	p�������	���������A��΄�����A��΄�����Cy��_�����������$F����������$E�������ܟ��������	�筽������	�筼������[email protected]��vk�������x��?�������x��?������ʣ��Ʉ�����
��x������
ϟ��x������M��'�������?��aք������?��aք������w��*�������
����4������
����4������I���ʄ��������`���������`�������W��a������	���-�������	���-�������	Bӟ�/������	~��ֹ������	~��ָ������	�\��B������	��̄�����	��˄�����
/��TU������
k)��(߄�����
k*��(ބ�����
�n��[������
Ჟ��؄�����
᳟��؄��������I������X;�㒺������X<�㒹�������t��k6������֬��C�������֬��C��������� $������U����������U�����������G����������r�⭎�������s�⭎������
����������
aɟ�fp������
aʟ�fo������
�ܟ�B������
���Q������
���P������C��������������2����������1��������ᴢ������, ��������, ����������qv���������Qڄ��������Qڄ�����%��2>������x���������x������������������������j����������j�������ӟ��������ӟ�������qƟ�l�������qƟ�l����������=E���������=E����������„���������„�����[����&������[����&�������ğ��q�������ğ��q���������Ƽ���������Ƽ������&�߶������&�߶�������3�ߧ �������3�ߧ ������Z?�ߟ9�������?�ߟ9���%���Pd�ߟ9���󎍒�W�ߟ9������<J�ߧ ������<J�ߧ �������$�߶�������$�߶����������Σ����������Σ������E؟��?������E؟��?����������„���������„������Z��=E�������Z��=E������g��l�������g��l�������ܟ�������ܟ�������w���Ü������Ҝ���8������ҝ���8������)���DŽ������w��*V�������w��*W�������p��M������ &i��qu������ &j��qv������ }W��������� �D���|������ �D���|������!'=����������!z6���������!z7���������!�0��:�������" )��fn������" *��fo������"cU��������"����u������"����u������"鬟���������#,ן�{������#,؟�{������#s���/������#���[g������#���[h������$(��҄�����$Q:��<������$Q;��<������$�M��馄�����$�_��������$�`��������%2r��Lm������%}���ʄ�����%}���˄�����%̋��������&����m������&����m������&n���)�������&����d�������&����d�������'}��:������'gv���~������'gw���������'�p���������(
i��Y������(
j��Y������(dW��'������(�D���_������(�D���_������)=���������)a6��^�������)a7��^�������)�$��������*���������*���
������*b
��(8������*���kc������*���kd������+��讏������+Z���������+Z���������+���0������,��p+������,��p+������,O��V������,������������,������������,����5�������-=��t������-=��t������-���������-����H������-����I������.& ��:�������.q2��y�������.q3��y�������.�E���������/W���A������/X���B������/Rj��/z������/�|��n�������/�}��n�������/菟�������03����"������03����"������0~���(f������0�Ɵ�c�������0�ǟ�c�������1ٟ�������1_���������1_���������1���%F������1����hq������1����hr������2L��������2����������2����������2�
��*
������3:��m8������3:��m9������3�	��d������3���������3���������42���6�������4����y������4����y������4���������53П�=������53П�>������5����Ci������5᪟񆔄�����5᪟񆕄�����68�����������6����������6����������6�q��P������7=^��B������7=^��C������7�K���n������7�8���������7�8���������8B%��X҄�����8���
������8���
������8����N������9?���������9?���������9����Iׄ�����9����������9����������:3���m������:���������:���������:�
��+������;!��b`������;!��b`������;p���ʄ�����;����4������;����4������<
.��������<[email protected]��'������<UA��'������<�S��Se������<�e��~ۄ�����<�f��~܄�����=6x���F������=����ݰ������=����ݰ������=Ԅ��	&������>'}��4�������>'~��4�������>zw��d������>�p���q������>�q���q������? j���������?sc���]������?sd���^������?�Q��������@!>��9d������@!>��9d������@x+��dڄ�����@����P������@����Q������A)����Ԅ�����A�؟��W������A�ٟ��W������A߹��������B:���&u������B:���&v������B�n��J������B�B��m�������B�B��m�������CW���$������C�����������C�����������D����P������Ds����������Ds����������D�f���������E1:��+<������E1:��+=������E���F������E���b�������E���b�������FM���vO������F�����������F�����������GbK����������GbK����������H���0������H���0������H����������H����������Is����������Is����������J���h������J���h������J����O������K���O���󎍒Kř��O���󎍒L���O������L���h������L���h������MWr���������MWr���������M�e���������M�e���������N�&���0������N�&���0������Oa����������Oa����������P����������P����������Pu���vP������P�i��b�������P�i��b�������Q3=��F������Q���+>������Q���+=������RGҟ��������RGҟ��������R�����P������Sz����������Sz����������S`Z���%������S�:��m�������S�;��m�������T��J������Tp���&w������Tp���&v������T�ܟ�������U&����X������U&����W������Uy����Ԅ�����U̯���Q������Ṵ���Q������V#���dۄ�����Vz���9e������Vz���9d������Vɐ��������W����^������W����^������Wg����������W�����r������W�����q������X���d������XLƟ�4�������XLǟ�4�������X�͟�	'������X�ӟ�ݱ������X�ӟ�ݰ������Y-����F������Yq)��~܄�����Yq*��~܄�����Y�U��Sf������Y����'������Y����'������Z:���������Z}ן��5������Z}؟��4������Z�����ׄ�����[��Zz������[��Zy������[S5��'������[�T��������[�T��������[�s��z������\(���}6������\(���}5������\s���A������\�����������\�����������]	ɟ��t������]T۟�<������]Tܟ�<������]���I������]���	̄�����]���	̄�����^A��­������^���{�������^���{�������^����8c������_/���8������_/���7������_~��������_���f�������_���f�������` ��������`r����Մ�����`r����Ԅ�����`��������a��B�������a��B�������a`����������a���r������a���q������b��a_������bU	��M������bU
��L������b����-������b���������b���������cB��<�������c�"���������c�"���������c�(��ʄ�����d/.��c�������d/.��c�������[email protected]���������d�R��͇������d�S��͆������eY��g������ec_��?H������ec_��?H������e�X���6������f	Q��$������f	R��#������fL}��i������f����*�������f����*�������f�ȟ��{������g��C������g��C������ge��i������g�%��%������g�%��%������g�7����������hBI�韖������hBJ�韕������h�\��\j������h�n��?������h�o��>������i'u���������iv{��������iv{��������i�t��C������jm���„�����jn���„�����jog�絣������j�`��n�������j�a��n�������kN��'e������kp;���F������kp;���F������k�(��4������l��J"������l��J!������lu��������l���������l���������m&ϟ�pф�����m����%�������m����%�������mܐ��ޟ������n7p�䗀������n7q�䗀������n�E��Pa������n���	B������n���	B������oO����������o�ٟ�������o�ڟ�������p���?�������p`�����������p`�����������p�{��i������q[��v>������q\��v=������qq<��7������q����̈́�����q����̈́�����r#
�Ἁ������ry���E������ry���D������r���I������s'џ��������s'џ��������s~����Q������sի��������sի��������t(���p�������t{���=F������t{���=E������tΗ��τ�����u!����Y������u!����X������up��߶������u���߇�������u���߇�������v���`������ve���8~������ve���8~������v����������w����`������w����_������w^|���������w�\�ޚs������w�]�ޚr������x=��v������xo��ST������xo��SS������x���/Ą�����y,Ɵ�5������y,Ɵ�4������y����옄�����y�T����������y�U����������zU�ݱT������z��ݕ�������z��ݕ�������{"���}�������{�@��fA������{�A��fA������{���R�������|j���>�������|j���>�������|���*�������}W���<������}W���;������}���z������~Tw��﹄�����~Tw��︄�����~�Ο��������a%���������a%����������o���N�������u��ܰ��������u��ܰ����������ܤ���������6�ܘ̄�������6�ܘ˄������ t�܌����������܁����������܁�������8���u<��������F��ib��������G��ia�������E���az��������
��Y�����������Y��������6���U���������R��Q���������R��Q��������&��M��������b���IƄ������b���Iń�������8��Aބ�������8��Aބ������H%��9���������%��9���7Q�����v��9�������t����Q������t.u���8������t.u���8������t]ߟ��������t]ߟ��������t�̟�"p������t�̟�"p������u3<��Y�������u3<��Y�������u�B��}P������u�H��߄�����u�H��������v4���V������v�֟��̄�����v�ן��̈́�����v����+*������wdM��^�������wdM��^�������w���������xA����B������xA����C������x�3����������y՟�3������y՟�3������y�w��k6������y��㢇������y��㢇������zbԟ��؄�����zɏ��)������zɏ��)������{(c��D�������{�7��w������{�7��w������{�$��A������|5��ޞ������|5��ޟ������|�
���������|���EY������|���EZ������}*
��x�������}y��������}y��������}�"���r������~4��τ�����~5��Є�����~R`��J!������~����r������~����r������~ܫ��Ä�����#ʟ��������#ʟ��������f���/L������� ��n��������!��n��������r���������ß��>�������ß��?�������T�����������K��C��������L��C�������ʐ��{2�������ԟ貃�������՟貃�������A���DŽ������|]��)�������|^��)�����������hD����������|����������|�������2��꧄������qW��-҄������qW��-ӄ����������t��������ǟ���������ǟ��������2��0�������v��JO�������v��JO��������I��a��������t���s��������u���t�������C���+������������v������������v���������ҟ�ş���������������������������`��c���������/����������/����������A����������=S��P��������=T��P���������f��Ä�������x���Ʉ�������y���Ʉ���������=τ������i���Մ������i���Մ�����������ۄ�������Ÿ�*��������ß�*�������J՟�u���������������������������������������3��W*�������3��W+���������=�����������O�����������P�������+��4o�������`=��{��������`>��{���������P�򾹄�������b����������c���������Ei��E��������o��;��������o��<�������߁���g�������*�����������*�����������y���M˄������Ƞ���������Ƞ�������������T�������^ğ����������^ş�����������ן�2�����������jG����������jG�������C���������������������������������������:�������1��G��������1��G�����������~܄�������ܟ��-��������ܟ��-�������5ɟ�銄����������������������������疟�T9�������Bv�����������Bw������������W�����������7���D��������8���E�������Z���)���������Ɵ�`��������ǟ�`������� ����Q��������U������������V����������������������H��&u�������H��&v�����������U�������A���J�������B���J��������������������븟���������븟���������Vf�������������B����������B�������+ß�ju��������q������������r����������� ���n�������kΟ���������kϟ����������}��t�������A+��0�������A,��0��������ڟ�S�����������w"����������w#��������7���������������A�����������B�������R����ބ�������\���z��������\���z�������$
��"�����������4ʄ����������4˄��������L��������TG��d5�������TH��d5����������{�������!������������!�����������������T��������L���	��������M���	�������J���ׄ�������۟�⥄�������ܟ�⥄����������f�������zR��
'�������zR��
(�����������������?��!܄������?��!݄����������-��������o��9��������p��9��������l+��El����������QF����������QG�������9���]!��������\��h���������\��h��������
��l�������u���p�������u���p��������g��xʄ������K�������������������D����(Z������������������������������������������������x3������������ȟ����������Jɟ������D�����
�����������>���xʄ���������p����������p�������'���h���������I��a��������J��a�������ߟ�Y.�������t��QG�������u��QG��������
��Em�������d���9��������d���9���������B��)Ą������A����������A�����������y���������'��B�������'��A������������������k��ڿ��������l��ھ�������g������������ȟ��<��������ɟ��;�������<w���z��������%������������&�����������	��t�������l���\N�������l���\N��������|��D��������2C��,�������2D��,����������/�����������z�����������z������������)������������)�������[n���؄������[n���؄������	H��W��������	H��W��������\A��7��������:��O��������;��O����������̄������tɟ��I�������tʟ��I�������Ӟ���Ƅ������2r��zC�������2r��zC��������F��N̈́���������#W����������#V�������R��������������Ă�����������Ă�������}����������sQ��e��������sQ��e���������%��2Q�������0�����������0������������͟�Ǣ���������Q���������Q�������Mu��Y��������I��!���������I��!�����������k�������i���'�������i���&��������џ�k����������,�����������,��������~����~��������Z���F��������Z���F�������4G��o��������4��/ք�������4��/ք�������!���������9���f�������9���f�����������r.����������2�����������2��������5�������������������������������uN�������#��6�������#��6�������n���ބ�������$�󷦄�������%�󷦄������7��|b�������OI��A�������OJ��A������’u��ل������ՠ��ʕ�������ա��ʔ�������̟�P�������[���T�������[���T������Û0�����������h���i��������h���i�����������������X؟�vDŽ������X؟�vDŽ�����Ĝ��7���������.���W��������/���W�������"Z���������e���τ������e���΄�����Ũ���B���������ܟ�^��������ݟ�^�������/���&�������r3���������r4��������ƹS��E��������r��~�������r��~�������C����F������džȟ�������džɟ�����������Hք��������	����������	��������`���s������ȫ+��H������ȫ,��G��������K��@�������9j����������9j���������Ʉ|�콸�������ώ��~��������Ϗ��~�����������;U�������e����*�������e����)������ʬӟ�����������y�����������y��������?��:�������ˊ���I������ˊ���I��������)��������� ;��|ل������ <��|ل������g[��=�������̮z���i������̮z���i������������%�������D����������D���������͋���P���������ݟ�>��������ݟ�>������������������a�誜�������a�誜������ά-��sK��������?��;���������@��;��������BR���������ύd���X������ύe���X�������А�������������f�����������f��������Z۟�73������С���Ʉ�����С���Ʉ����������l�������8���������8��������у1��m���������C��:T��������D��:S�������!=����������t6��ә�������t7��Ә��������0��.�������)��tĄ������*��tĄ������q��Ag����������
����������	�������"��ڬ�������}ğ�O�������}ş�N�������ܙ��s�������;m��@��������;m��@�������՚A��
6�����������ل����������؄������[ܟ�n������־���{������־���{�������%_��O�������׌��$������׌��$�������������������Q����+�������Q����*������ظd�⥧���������~$���������~$������مڟ�V��������앟�/�������앟�/�������O\���������ڲ#���������ڲ$�����������ߟ��c����������DŽ���������DŽ�������a���������E(��qw�������E)��qv������ܧ��Y��������
���B�������
���B�������m��.K��������F�����������G����������3��
�������ޕ՟��������ޕ֟���������������������[d���Q�������[e���Q�������&��Ü�������&��Ü�������o��࿩��������Ο໶��������Ο໵������ᄏ��΄�����ᄏ��΄�������V��ۄ������J�������������ŏ��������������vh��ڄ�������#��̈́�������#��΄������Cޟ໵������䪙��Ü������䪙��Ü�������G���v�����������P�����������Q���������+�������]:����������]:�����������ܟ�Ԅ������:~����������:~���������� ��&c�������Ÿ�:$�������Ÿ�:%�������d��M����������a�����������a��������c���}P��������J�����������J����������@�ᰮ������ꯎ���c������ꯎ���c�������<��������������������������������'7�������ZG��Fӄ������ZH��Fӄ���������fo�������'����������'����������y�⩚��������4���)��������4���*�������W����������Ÿ�0�������ß�0����������?��������xk��cN�������xk��cO��������?��҄������6��U�������6��U����������˄�������ӟ�	A��������ԟ�	B�������B���4�������񙮟�`.������񙮟�`/��������䋥�������G����������G���������򚁟�憄�������z����������{���������@t��EZ�������m��tĄ������n��tĄ�������g��!�������9`���~�������9a����������Z��܄�������S��B9��������T��B:�������2M��y���������F��܄�������G��܄�������4��� �������3!��'d�������3!��'e����������b����������������������������0���&����������^����������^����������_��������,�袴�������,�袵��������Ο���������ڻ��)�������ڻ��)�������-���l7�����������b�����������c�������ӧ���������&���5��������&���5��������y���|ل������̓�����������̔���������������������j���R6�������j���R6�����������a����������،����������؍�������[���������������f˄����������f˄�������ʟ���������<ܟ��!�������<ݟ��"����������0M����������sx����������sy�������!���������[email protected]����������[email protected]�����������k��1!�������疟�pY�������痟�pY�������*Ÿ�������m���Ʉ������m���Ʉ���������*
��������D��eQ��������E��eR������3}�������r����ڄ�����r����ۄ��������,�������%��J}�������%��J}������4P�������w{���������w|�������������1�������ҟ�?u�������ӟ�?v������@���z��������)����������*����������I���C������h��,�������h��,�������Y���k������������������������������ş��<������.��!�������.��!�������y���`�����������������	�����������5������[-��y������[.��z�������@��Q��������R���������S��������@Y���G�������_����������_����������q��>Є�����%���z������%���z������t����Y������Ð��������Ð�����������'������a���[email protected]������a���[email protected]������������������������������������������	J����X������	�̟�,�������	�͟�,�������	�ߟ�`������
+���p������
+���q������
z����ۄ�����
�����E������
�����E���������������X<��I1������X<��I2�������N��t��������`����������a���������9s��˕����������������������������˥���������
ğ�>*������
ğ�>+������
]֟�e�������
����1������
����1������
������������?
���O������?���P������� ���߄������2��n�������3��o������$9��>�������s?��b�������s?��b��������8���������1����������2����������l+���I�������$����������%������������������l���(������l���(�������ߟ�G�������"���gU������"���gU�������������������h�����������h����������?<���N����������������������������ן�������c���a������c���a�������f��������)-��4˄�����).��4˄���������H��������\M�������\N������Q���p�������K���Є������L���ф����������������Ÿ����������Ÿ���������䉟��`������GP���:������GQ���;����������"������ߟ��	���������	������o�����������n���ׄ�����2o���ׄ����������ׄ������M����ׄ����������������g���������g����������(���"�������(���"����������H������~П��n������~П��m������$ß���������$ß���������ҝ��l������ҝ��l�������w��D��������w��D������� 68�������� 68�������� ���������� ����������!�����[������!�����[������"�����������"_b��w#������"_b��w#������"�6��S�������#
��0������#
��0������#џ�u������#☟��������#♟��������$Am���b������$�A���߄�����$�A���߄�����%��r\������%eϟ�Jل�����%eП�Jل�����%Ĥ��c������&#x���������&#x���������&�L��Ă������&� ���������&� ���������'?��e�������'�ȟ�6D������'�ȟ�6D������'����ڄ�����(T����p������(T����p������(�i���������)
I��x�������)
J��x�������)]C��E?������)�<��������)�=��������*6��ބ������*V/���'������*V0���&������*�)��{�������*�"��LR������*�#��LR������+G5���������+�G��嘄�����+�H��嗄�����+�g���:������, ���~݄�����, ���~܄�����,g���K������,�ğ�"������,�ğ�!������,�����Ą�����--4���g������--4���f������-p_����������-����R�������-����R�������-����Z������.Aɟ��"������.Aɟ��"������.���������.���U�������.���U�������/2��z������/V]���B������/V^���B������/�}��������/䜟�P������/䜟�P������0#ԟ�	̄�����0c��­������0c��­������0�7��{�������0�b��4o������0�c��4o������1(����P������1gӟ�1������1gӟ�1������1���[������1�C��
������1�C��������2%{���������2d���r������2d���r������2���&������2�#���܄�����2�#���ۄ�����3g��Մ�����3Y���=τ�����3Y���=τ�����3�����Ʉ�����3�N��Ä�����3�N��Ä�����3����T�������46��	�������46��	�������4nA��������4����sz������4����sy������4���(g������5L���U������5M���T������5?���B������5s��G0������5s��G/������5�r��������5�ܟ�������5�ܟ�������69��uƄ�����68���2�������68���2�������6h���{������6�k��\������6�k��\������6�՟�a1������6�?��������6�?��������7%����ڄ�����7U�闯������7U�问������7�}��P�������7���	p������7���	p������7�D���E������8���������8���������8M���;�������8�\���ۄ�����8�]���ۄ�����8���筼������8����f�������8����f�������9+C���������9f����y������9f����x������9�̟�Y������9���B:������9���B:������:I���(������:[���������:[���������:����d�������:���ׄ�����:���ׄ�����;)���ń�����;Xa�䇳������;Xa�䇲������;����D�������;޷��\������;޸��[������<!��<������<e��s������<e��s������<�:��3������<�e��������<�f��������=.���u������=q���v=������=q���v=������=���:�������=�����������=�����������>;?���c������>~j��������>~k��������>����Y�������?���"p������?Ÿ�"p������?G���������?���Ü������?���Ü������?�D��&������@o��l�������@p��l�������@T���A9������@�Ɵ�Ä�����@�ǟ�„�����@�����3������A7��Τ������A7��Σ������AUo�߫������A���߇�������A���߇�������A�ҟ�g������B���HL������B���HL������B�U���������B�U���������C/���٪������C/���٪������CŸ�ޢY������CŸ�ޢY������Dcğ�zք�����Dcğ�zք�����EП�SS������EП�SS������E�ß�3�������E�ß�3�������FM���������FM���������F����M������F����M������G�j���f������H	j���f���ڎ��H�D���f�������I
���f������I�ߟ�4������I�ߟ�4������Jp���#������Jp���#������Kz��C�������Kz��C�������K�T��k������K�T��k������Lz.�ޚr������Lz.�ޚr������M(���܄�����M(���܄�����M{���x������M����	������M����	������N$��,�������N{՟�P2������N{՟�P3������N���oτ�����O��ߏk������O��ߏk������O]�߲�������O���։������O���֊������O�1��������P>C��-v������P>D��-w������P�J��T�������P�P��|}������P�P��|}������Q+V��������Qz\���Q������Qz\���Q������Q�U���������R N��B������R O��B������Rw<��y]������R�)�ᰮ������R�)�ᰮ������S%����������S|��P������S|��P������S���Z�������T1ß�؄�����T1ğ�ل�����T�����������T焟�I������T煟�I������UFY��Wt������U�-�㚟������U�-�㚠������V���˄�����Vb՟� �������Vb՟� �������V����h������W }��5������W }��5������W�D���T������W���=s������W���=s������XD�刅������X����ӗ������X����Ә������Y{���������YiB��aք�����YiC��aք�����Y���������Z&����������Z&����������Z����C
������Z�y��������Z�z�� ������[KN���?������[�"��^������[�"��^������\��gp������\_�貂������\_�貃������\������������]���@�������]���@�������]xk��������]�K����������]�L����������^.,��*������^���UU������^�
��UV������^��ꘁ������_>͟�۬������_>Ο�ۭ������_����"̄�����_쨟�i������_쨟�i������`G���#������`�h���[������`�i���[������`�V��+�������aPC��n�������aPC��n�������a�#��݄�����b���������b���	������b`��4A������b�ğ�sy������b�ş�sy������c���������cym���τ�����cym���Є�����c�A��<�������d7��&������d7��'������d����R������d��}������d��~������eW���I�������e�K��Ԅ�����e�L��Մ�����f!���������f�Ÿ�+������f�Ÿ�,������f�}��VW������gU8�𙂄�����gU8�𙃄�����g���ܮ������h"���ل�����h"���ڄ�����h�i��c������h�$��0������h�$��1������iZҟ��\������iŀ��,�������iŁ��,�������j0/��o�������j�ݟ�ބ�����j�ޟ�߄�����k����������khT��1O������khT��1O������k���p�������l=��󯿄�����l=��󯿄�����l�l���������m'��&G������m'��&H������mq��a�������m؝��Є�����m؝��ф�����n;d���"������n�+��s������n�,��s������o��BĄ�����oc���z������oc���z������oƂ���r������p)I���τ�����p)J���Є�����p�*��:������p�
��?�������p���?�������q=ߟ�o������q�����x������q�����x������q���������rJ����d������rJ����e������r�z��������r�g��Dk������r�g��Dk������sOT��k������s�A���q������s�A���q������s�:���������tL3���w������tL4���w������t����	�������uŸ�1}������uß�1}������ut���\������u�Q���i������u�R���j������v:����������v���ψ������v���ω������v�����������wbo���������wbp���������w���:7������x7̟�]Ƅ�����x7͟�]DŽ�����x�{���V������y
)���������y
*���������y����u������y�T���������y�U���������zlџ��������z�M��+=������z�N��+=������{i���N̄�����{���r[������{���r\������|rl���������|�ß��z������|�ß��{������}����
������~?���������~?���������~�p��$)������9���G�������9���G����������kH�������V���ׄ������V���؄�������h���t�������j�����������j��������������鸄������oy��`�������oz��a�����������������T���4˄������T���4˄�������y��L��������M��d5�������M��d5�����������{�����������{��������x������������x�����������.ɟ����������.ɟ����������F~���m����������p��H�The���reduction��X����1��|s�(�M���;���p�)����F���p�����is�the�union�of�2�copies�of��X����1���(�M��),���in���tersecting�trans-����6�v���ersely�(at�the�sup�Gersingular�p�oin���ts;�-7these�are�the�p�oin���ts��E���2��X����1��|s�(�M��)�(that�represen�t����6�a��Vsup�Gersingular�elliptic�curv���e�enhanced�b�y�����1��|s�(�M��)-structure.���Ra�ynaud�thoroughly����6�studied�UU�J�.7�using�a�w���ell-understo�Go�d�UUmo�del�of��X����1��|s�(�M���;���p�)�o���v�er��Z����p���R�.����H�The��subspace��S����2��|s�(����1���(�M��))�����S����2��|s�(����1���(�M��))��of��S����2��|s�(����1���(�M��)���\������0��|s�(�p�))��is�stable�under����6�the��-Hec���k�e�algebra��T�,�
5so�there�is�a�map��T���!���End����(�S����2��|s�(����1���(�M��))������S����2��|s�(����1���(�M��))).�S�Recall��6ट�$�ff<�O[�����-:�3���*��Where��Xis�this�discussed�in�the�literature?��	�������-:�4���*��I�7&think�7Nit's�more�natural�to�think�of�cusp�forms�as�the�cotangen�Ît�space,�V�ev�en�though�the�P�etersson��
�inner��Xpro�<rduct�pro�Îvides�a�canonical�isomorphism�b�et�Îw�een��Xthe�tangen�Ît�and�cotangen�t�space.�����(N��7
���������6��40��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लthat��Ythe��p�-old���quotient��of��T��is�the�image�����_�fe������T����V�.���Since�the�map��T��t�!�����_�fe������T���Iʲis��Ysurjectiv���e,����6�the��pimage�of��m��in�����_�fe������T���Nݲis�an�ideal�����fe�����m���RW�.�hT��*�o�lo���w�er��pthe�lev���el�in�the�salien�t�case�amoun�ts����6�to�UUsho���wing�that�����fe�����m���U��is�not�the�unit�ideal.����H�As��is�w���ell�kno�wn�(cf.�[��53����,�P&App�Gendix,�Prop��1.4]),�the�results�of�Mic���h���Gele�Ra�y-����6�naud�UU[��59����]�and�Deligne-Rapap�Gort�[��20���]�com���bine�to�pro�Gduce�an�exact�sequence��2������������~��0�����������!��T����Q�����n9!�J���������0�����F���p�������
#������?�!��J����1��|s�(�M��)����F���p����M��8�J����1���(�M��)����F���p������
#������?�!���0�;��������������6ल(6.1)����������6�where�){�T��&�is�a�torus,�[email protected],��T����<L�W	���Ҟ��F��������p���
#������G����m����x����,������l����,�G����m����`�,�and�){�J���^�����0��g��F���p����
��is�the�iden���tit�y�){comp�Gonen�t������6�of��;�J����F���p���
\m�.�I�F��*�urthermore,��@there�is�also�a�precise�description�of��T�g�and�of�the�maps�in�the����6�exact���sequence.�R�Eac���h�ob��8ject�in�the�sequence�is�equipp�Ged�with�a�functorial�action�of����6�the�z1Hec���k�e�op�Gerators,��hand�the�exact�sequence�is��T�-in�v��q�arian�t.��ZThe��p�-old�quotien�t�����_�fe������T������6लcan�UUb�Ge�view���ed�as�coming�from�the�action�of��T��on��J����1��|s�(�M��)����F���p����M��8�J����1���(�M��)����F���p���
\m�.������H�W��*�e���next�observ���e�that��V��}�,��whic�h�sits�inside��J���,��in�fact�lies�in��J����^��0��UU�.�H�The�comp�Gonen���t����6�group����<=��J���=�J����^��0��	�&�is�\Eisenstein",���in�the�sense�that�it�do�Ges�not�con���tain�irreducible����6�represen���tations�νarising�from�eigenforms.���Since��V���is�irreducible,�-,�as�νa�Galois����6�mo�Gdule,�@do�es�:�not�con���tain�an�isomorphic�cop�y�of��V�8�.�h�Th�us��V�����J�����^��0��	��and�w�e�ha�v�e�the����6�follo���wing�UUdiagram:��������������^{����0�����������~{�����/�/������f{����2�fd�����������{��ꪸT�������������%����/�/�������x����2�fd(^������������%��2p�J���^�����0��g��F���p����������������[email protected]����/�/������������2�fd(^�����������[email protected]����J����1��|s�(�M��)����F���p����M��8�J����1���(�M��)����F���p��������������l~�����/�/������T~����2�fd���������o~����0�:��������������x��.ƽV����=���V����F���p�������������x��$F�b�b�������������Ec�Vx�fdfe��������������Ĕ����fdfe��������������Cş���fdfe������������������
�fdfe��������������B'�,��fdfe���������������X�	b�fdfe��������������@��
���fdfe������������������)�fdfe��������������>�
��fdfe����������������87�fdfe��������������=M�m��fdfe���������������~��E�fdfe��������������;���̄fdfe����������������S�fdfe��������������:�Cڄfdfe���������������B�ya�fdfe��������������8s���fdfe������������������o�fdfe��������������6՟��fdfe����������������O}�fdfe��������������57���fdfe���������������h����fdfe��������������3����fdfe���������������ʟ%��fdfe�����������������!qg�?��������������������h��i�O�O�������5���i�fd�������`��q�7�7����������d�#��n���������	�y�
J|n�����������qUn�������������.n��������������n����������v͟��n�������������n����������l��3�n������������Zkn����������c!��Dn�����������6��n����������YK���n����������H·��6लSince��R�m��acts�as�0�on��V�8�,��the�image�of��V�/6�in��J����1��|s�(�M��)����F���p���
����3�J����1���(�M��)����F���p���R��is��Racted�on�as�0����6�b���y��the�image�����fe�����m�����of��m�.�W�If�����fe�����m�����6�=�F�(1)�then�w�e�can�lo�w�er�the�lev�el,��?so�assume�����fe�����m�����=�F�(1).����6�Then�UU�V��9�m���ust�go�to�0�in��J����1��|s�(�M��)����F���p����M��8�J����1���(�M��)����F���p���
\m�,�UUso�b���y�exactness,��V���,��UX�!��T����.����H�In�gCthe�follo���wing�paragraph�w�e�will�mak�e�explicit�the�action�of��T��on�the�torus;���w�e����6�disco���v�er�Hthat��F��*�rob���r͟��p��Z>�acts�as�a�scalar�on��V�8�,�J�and�that��p�����1�q�(�mo�Gd����`�).�m`By�Hh���yp�Gothesis,����6�one��^of�these�conditions�fails,���so�����fe�����m���)��is�not�the�unit�ideal,�a�con���tradiction.���Th�us��^w�e����6�lo���w�er�UUthe�lev���el.����H�It�fNremains�to�mak���e�explicit�the�action�of��T�.���Let��X����p���R�(�J��9�)��
=��Hom��cc(�T����;�����G����m����ܲ)�fNb�Ge����6�the���char��}'acter�'�gr�oup��of��T����.�TSince��T��Ȳis�equipp�Ged�with�an�action�of��T�,�Oso�is��X����p���R�(�J��9�).���ۍ�6�F��*�urthermore,��۸X����p���R�(�J��9�)�wZsupp�Gorts�an�action�of��Gal��\(����_�fe<o����F����<o���p�����=�F����p���)�whic���h,���b�Gecause�tori�split����6�o���v�er�~�a�quadratic�extension,��@factors�through�the�Galois�group�of��F����p����2����r�.��aThink�of�the������6�Galois�UUaction�as�an�action�of��F��*�rob�������p���m�2���D����p��fj����Gal��g(����_�fe������Q�������qƴp��
Bݵ=�Q����p���R�).��N7��H�In�UUthe�next�section�w���e�v�erify�that�on��X����p���R�(�J��9�)�the�follo�wing�relations�hold:��荍����r�T����p�������IJ=��������h�p�i�8����F��*�rob���c����p���;�������6ल(6.2)�������I�����bµT�������c��2���፴p��������IJ=��������h�p�i�:�������6ल(6.3)������d9��6�W��*�e�UUnd�that��T����T͍��Q����+3���Qò=��������Hom���$�R���Z��*���(�X����p���R�(�J��9�)�;�����G����m����ܲ)�and���Í��nX�V������T����(����_�fe<o����F����<o���p�����)[�`�]�=��Hom����q���Z���ֲ(�X����p���R�(�J��9�)�;�����������̟qƴ`�����)�:����6लSince����F��*�rob����j���p��Gx�acts���as��p��on��������	��qƴ`��
�Ʋ,���w���e�nd�that��F��*�rob����j���p���acts�as��pT����p��^�on��T����(����_�fe<o����F����<o���p�����).�?�In�particular,�����6�F��*�rob���KR���p��SW�acts�r�on��V�0���	T����(����_�fe<o����F����<o���p�����)�as��pa����p���[�2��T�=�m�,�z
i.e.,�as�r�a��sc��}'alar�.���Because��F��*�rob����a���p���f�acts�as�a����6�scalar�UUand��det��8�(��)��=��"�,�UUw���e�ha�v�e�sim�ulatenously��񍍍����det�����V(��(�F��*�rob���*����p����))��=������\�(����.���
�S�p"�(�p�)����2Єand����fc���
�S(�pa����p���R�)���^��2��|s�:���������) Ӡ�7
������ww��|��LECTURE���6.���APPR�ÎO�A�CHES�TO�LEVEL�LO�WERING��?P��41����Y������6लBut���on��V����w���e�ha�v�e,���b�y�(6.3),���that��a���^���2��፴p����m�=��T���^���c��2��፴p�����=��h�p�i��=��"�(�p�),�so����p���^��2�������p�q��(�mo�Gd����`�).�Since��UQ��6वp���6�=��`�,�UUthis�can�only�happ�Gen�if��p�����1�q�(�mo�d����`�).��l����6��6.3.1.��Wu�The��Taction�of�F��
�rob�Q�enius�on�the�torus.����6लIn�UUthis�section�w���e�let��F��*�rob���Xdenote��F��*�rob�������p��U�.��^�����6��Prop�Q�osition��T9.������On���X����p���R�(�J��9�)��the�r��}'elation��h�p�i�8����F��*�rob��*�=���T����p��39�holds.������6��Pro�Q�of.���[��First�UUw���e�pro�v�e�that�on��D�5�=���Div���o(�X����0��|s�(�M���;���p�)���^��ss����)�w�e�ha�v�e�the�relation���č������������h�p�i�8���T����p��fj�=���F��*�rob����Ɵ��p���';��on�UU�D��=��:��������������6ल(6.4)������2`��H�In�$�what�follo���ws,�X�w�e�$�denote�b���y��L��the�lev�el�(�M���;���p�)�structure.��bFirst,�X�recall�the����6�in���terpretation��Wof��T����p��M��o�v�er�the�complex�n�um�b�Gers�that�arises�from�the�follo�wing�cor-����6�resp�Gondence:���Y������������܉�X���(�Lp�)�����������������3���������������������z�z��������������v��������������mv����������Zt�?�v������������kv�����������b���v����������wٟUiv����������,P�
��v�����������ǟgv���������ە>�j�v��������������c�
#����������������Ÿ��$�$�����������b���H���������
k���H���������Xt�UH����������}���H���������
H���������9��
j�H�������������
�H����������ϡ�#�H�������������H�����������������(�X���(�L�)���������������83�(�X���(�L�)������������9��6�The���b�Ger�of����n�o���v�er���a�p�oin���t��x��arises�from�the�set�of�all�isogenies��f�ڧ�:���y�"�!��x���of�degree��p����6ल(of�$�enhanced�elliptic�curv���es).�a�Th�us�$��x��maps�to�the�sum�o���v�er�$�all��y��w�coming�from�suc���h����6�an���isogen���y��*�,��equipp�Ged�with�the�lev�el�structure�got�b�y�pullbac�k�via��f��V�from��x�,��follo�w�ed����6�b���y�UUa�pushforw�ard.����H�No���w�w�consider�enhanced�elliptic�curv�es�in�c�haracteristic��p�;���an�enhanced�elliptic����6�curv���e���is�a�pair��E�9�=�#A(�E���;���C���)�where��C�v�is�a�lev�el�(�M���;���p�)-structure.��HThe�action�of��a��6�F��*�rob�Genius��on�an�enhanced�curv���e�(�E���;���C���)�in��D�Z�is�b�y��F��*�rob��=�(�E���;���C���)��=�(�E����^��(�p�)��r�;���C�����^��(�p�)���p�).�[�Note����6�that��P�F��*�rob���is�P�an�isogen���y��F��*�rob��Bo:���E�Z��!��E������^��(�p�)��Ê�that�P�is�purely�inseparable�of�degree��p��and����6वC�����^��(�p�)��]��=���F��*�rob����(�C���).����H�The��action�of��T����p���ڲis�got�b���y�considering�all�elliptic�curv�es��F�O�equipp�Ged�with�an����6�isogen���y�d�F�U�!��E���of�degree��p�,�5'and�then�pulling�bac�k�lev�el�structure,�5'follo�w�ed�b�y�a����6�pushforw���ard.��When���E��
�is�sup�Gersingular,�Bthe�only�suc�h�isogen�y�is��V��*�er����:����E������^��(�p�)��$��!��E����,����6�where��UUV��*�er����is�UUthe�isogen���y�dual�to��F��*�rob���,�in�the�sense�that�������V��*�er����q������F��*�rob���n=���F��*�rob��������V��*�er��x�=���p:����6लW��*�e��ha���v�e��T����p���R�(�E���;���C���)���=�(�E����^��(�p�)��r�;�����V��*�er����ş�����1��n9�(�C���))��since��V��*�er����̟�����1���@�(�C��)�is�the�pullbac���k�of�the�lev�el����6�structure.�W�The��diamond�brac���k�ets��op�Gerator�is�dened�b���y��h�p�i�(�E���;���C���)��=�(�E�;���pC���)�:���Since��a���6�F��*�rob��L��������V��*�er��x�=���p�UU�and��E���is�sup�Gersingular,�w���e�ha�v�e��p�����V��*�er����ş�����1��n9�(�C���)��=��F��*�rob����(�C��)�=��C����^��(�p�)���p�,�UUso��yō����$(�h�p�i�8���T����p���R�)(�E���;���C���)������g=������u�(�E���������(�p�)��r�;���p���V��*�er����ş�����1��n9�(�C���))����=q�����g=������u�(�E���������(�p�)��r�;���C��������(�p�)���p�)���������g=�������u�F��*�rob���3(�E���;���C���)�:������HलBy��K[��61����,�IProp.�3.8],�the�action�of��T����p�����on�the�c���haracter�group,�iden���tied�as�the����6�subgroup���of�degree�0�divisors�in��D�G�,�Kis�the�map�induced�b���y�F��*�rob�enius.���This�is����6�b�Gecause��T����p��fj�=����w����p���Ѳand��w����p���sw���aps�the�comp�Gonen�ts,�whence�c�hanges�the�orien�tation�of����6�the�Ocorresp�Gonding�graph.�^�Th���us�(6.4)�translates�in�to�the�relation��h�p�i������F��*�rob����=���T����p�����on����6�the�UUc���haracter�group��X����p���R�(�J��9�).���ꤠ��ff����d�ff�Y��ff����ff����l�����6��Corollary��T10.���}�8�The���action�of���F��*�rob��R|�on��T�Qò=���Hom���q(�X����p���R�(�J��9�)�;�������`����)��is�by��pT����p���.�����*;���7
���������6��42��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y��������6��Pro�Q�of.���[��The�UUaction�on��Hom��*�(�X����p���R�(�J��9�)�;�������`����)�is�as�follo���ws.�q�If��'���2���Hom���q(�X����p���(�J��9�)�;�������`����),�UUthen��_���G�(�F��*�rob���V�:'�)(�x�)��=��F��*�rob����(�'�(�F��*�rob���*������1���"�(�x�)))�:��32��6लF��*�or�UUexample,�with�this�action����a_��H���������0��Lq�(�Gal���(����_�fe<o����F����<o���p�����=�F����p���R�)�;�����Hom���(�X����p���(�J��9�)�;�������`����))��=��Hom�����q��Gal��$u��(���-b�W	���Ҟ��F��������p��	�m�=�F���p��2Ա)��B�5�(�X����p���R�(�J��)�;�������`����)�:��^؍�6लSince�UU�T���^���c��2��፴p�����=���h�p�i��and��h�p�i�8����F��*�rob��*�=��T����p���R�,�UUw���e�ha�v�e���\����R�F��*�rob���'��T����p��fj�=���h�p�i�������1���T��8�T����p���2���T����p���=��1�;����6लso��UUF��*�rob���������1��%��=���T����p���R�.�q�Hence�UU(�F��*�rob���V�:'�)(�x�)�=��p'�(�T����p���x�)�=��'�(�pT����p���x�)�:���_�„�ff����d�ff�Y��ff����ff�������+O
��7
�����Y������G���P�_�LECTURE���7�������Lev��el��lo�w�ering�without�m�ultiplicit�y�one��������6��7.1.��P�Easy�2�case����6लFirst���w���e�giv�e�a�pro�Gof�of�lev�el�lo�w�ering�in�a�sp�Gecial�case.�p�This�pro�of�w���as�giv�en�in����6�[��62����]�and�has�the�k���ey�feature�that�it�do�Ges�not�require�an�y�\m�ultiplicit�y�one"�results.����6�Assume��vthat��M�O��=�8��K�g��fK�q��O�with��q��}�-��K�P��and�that��"��is�dened�mo�Gd��K���,��~so�that����arises����6�from�UUa�from�on�����1��|s�(�K���)�8�\������0���(�pq�[ٲ).�q�Mak���e�UUthe���S�����Key��Tassumption:�qǵ�UU�is�ramied�at��q�[ٲ.����H�The��Btric���k�is�to�use��q�#�as�a�piv�ot.�ǎEdixho�v�en�p�Goin�ted�out�to�me�the�p�Gossibilit�y����6�of�V�doing�this,��0in�the�con���text�of�F��*�ermat.�v;Asso�Gciated�to�a�(h�yp�Gothetical)�solution����6वa���^��`��� �+��:�b���^��`���+��c���^��`�����=��0��is�a�mo�Gdular�Galois�represen���tation��V����=��E����[�`�]�attac���hed�to�an�elliptic���	��6�curv���e��O�E����.�DUsing�T��*�ate's�algorithm�one�disco�v�ers�that�����E��	���=�����&h���K�(�abc�)����r�2�`����K��ʉfe�*�����V̱2����8���������,��whic�h�is�a�p�Gerfect����6व`�-th��p�Go���w�er�a�w�a�y�from�2,�,�and�that�the�conductor�is��N����E��
���=���rad��_t(�abc�).�w8T��*�ak�e��q�Bg�=��2.����6�Then�͢�E����[�`�]�is�denitely�ramied�at�2.�D�Use�2�as�a�piv���ot�to�successiv�ely�remo�v�e�primes����6�dividing�I�the�lev���el��N����E���m�.�N^So�in�real�life����^��1������this�setup�can�o�Gccur,���though�one�do�esn't����6�alw���a�ys�{�ha�v�e�this�luxury��*�.��T�o�complete�the�pro�Gof�of�F�ermat�w���e�use��q�cD�=�k2�as�a�piv�ot����6�and�Minductiv���ely�remo�v�e�eac�h�o�Gdd�factor�from��N��.�[�One�dicult�y�that�ma�y�arise�(the����6�second�x^case�of�F��*�ermat�Last�Theorem)�is�that��`�|�j��N��.���In�x^this�case,�� up�Gon�remo���ving��`����6लfrom��the�lev���el,�the�w�eigh�t�ma�y�initially�go�up�to��`�pR�+�1.�PZIf��this�o�Gccurs,�since��k�P��(��)��=�2����6�w���e�UUcan�use�[��26����]�to�lo�w�e�the�w�eigh�t�bac�k�do�wn�to�2.����H�In��order�to�get�started�w���e�m�ust�mak�e�an�una�v�oidable�construction:�ʤShim�ura����6�curv���es.��(Denote��b�y��X���(�K�(�;���pq�[ٲ)�the�mo�Gdular�curv�e�asso�Gciate�to�����1��|s�(�K���)��.�\������0���(�pq�[ٲ)��and����6�let��1�J�jj�=��t1Jac��	�(�X���(�K�(�;���pq�[ٲ))�b�Ge�its�Jacobian.��[Lik���ewise,��(denote�b�y��X�����^��pq��	Rɲ(�K���)�the�Shim�ura����6�curv���e���asso�Gciated�to�the�quaternion�algebra�of�discriminan�t��pq�[ٲ.�$bThe�curv�e��X�����^��pq��	Rɲ(�K���)����6�is�	Aconstructed�as�follo���ws.����^��2����޲Let��B����b�Ge�an�indenite�quaternion�algebra�o�v�er��Q��of�dis-����6�criminan���t���pq�[ٲ.�M�(Up�to�isomorphism,��^�B�jQ�is�unique.)�Let��O�0��b�Ge�an�Eic���hler�order�of�lev�el����6वK�,�(i.e.,���reduced�t�discriminan���t��K��pq�[ٲ)�in��B��q�.�&�Let�����1��
�ڲb�Ge�the�group�of�elemen�ts�of��O���with����6�(reduced)�{�norm�1.��After�xing�an�em���b�Gedding��B����!�$�M��(2�;����R�)�(an�em�b�Gedding�exists����6�b�Gecause�Y��B��'�is�indenite),���w���e�obtain�in�particular�an�em�b�Gedding�����1����,��UX�!��y�SL��GG(2�;����R�)����6�and�xtherefore�an�action�of�����1���]�on�the�upp�Ger�half-plane��h�.��0Let��X�����^��pq��	Rɲ(�K���)�b�e�the�s-����6�tandard��canonical�mo�Gdel,���o���v�er���Q�,�of�the�compact�Riemann�surface�����1��x�n�h�,�and�let��6ट
Y��ff<�O[�����-:�1���*��Brian��XConrad�remarks�that�coun�Îterexamples�to�F��J�ermat�are��G#�f�cmti8�Gnot��real�life.��
�����-:�2���*��Copied��Xfrom�y�Îour�In�v�en�t.�� 100�pap�<rer.�������;�43����,S۠�7
���������6��44��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6वJ���9��^��0�����=���Jac��\o(�X�����^��pq��	Rɲ(�K���))��denote�its�Jacobian.�^�The�curv���e��X�����^��pq���(�K���)�is�furnished�with�Hec���k�e����6�corresp�Gondences�5��T����n����for��n�����1.�g4W��*�e�5�write��T����n���for�the�endomorphism�of��J�+ղinduced�b���y����6�the�UU�T����n���Ӳvia��Pic����functorialit���y��*�.����H�By�UUw���ork�of�[��27���,���T37��UP,���T79���]�UUthere�is�a�corresp�Gondence��\���������9�����?<U���3232����?o��32�fd��䍍��g�3232����讍��?"���|fd���Ϥ8��|fd���32����?<U���3232���?o���fd��䍍��g�3232�������@U�$��33�NI����q�$���33������������K�Ctraces�UUof�automorphic�forms���������������Ϥ7����o�o���������)�6����/�/���������${����f�/o�������=���k/o������������p/o��������C���u/o��������ٟ��z/o�������Co���/o����������|�/o��������ƛ��u�/o��������1��n�/o��������Iǟ�g�/o��������]��`�/o�����������Y�/o��������9�����)�����3232����)�Ϟ32�fdl`�����g�3232����讍��)q��|fd����k\��|fd���32����)�����3232���)�ϡ�fdl`�����g�3232�������*�7�$��33l�%����8)�$���33������������5���traces�UUof�cusp�forms�����������������6�Up�Gon�jPunderstanding�this,���and�applying�F��*�altings's�isogen���y�theorem�[��28����],�w���e�nd����6�(noncanonically!)��an�(�isogen���y��J���9��^��0���I�!�'׵J��=��J��9�(�K�(�;���pq�[ٲ)�=��Jac���.(�X���(�K�;���pq�[ٲ)).��The�(��pq��-new����6�part�UUof��J�K��is��
�����qg�J����pq�7�-new���ֲ=���k���er��#�(�J��9�(�K�(�;���pq�[ٲ)�����������!���J��(�K�;���p�)������4��|s�)���!��6�where�UUthe�maps�are�induced�b���y�Albanese�functorialit�y�from�the�four�maps��\�������������Z�T�X���(�K�(�;���pq�[ٲ)��������������Ÿ�X�/�/��������ß���fd����������ž��/�/��������Þ�N�fd�������������µX���(�K�(�;���p�)������������������㍍��ቆand�����������������������X���(�K�(�;���pq�[ٲ)������������Rrh��X�/�/������:ri����fd��������Rrh���/�/������:ri��N�fd�����������Urh�X���(�K�(�;���q�[ٲ)�:�������������J��6लThe�UUk���ernel�of��J���9��^��0�����!���J�K��is�nite�and�the�image�is�the��pq�[ٲ-new�part�of��J��9�.����H�Amazingly��*�,��8there�s�seems�to�b�Ge�no�canonical�map��J���9��^��0��h��!��E�J��9�.�̵Amazingly�,��8up�Gon����6�lo�Goking�$�at�the�corresp�onding�c���haracter�groups,�.Wy�ou�do�see�some�canonical�relation-����6�ship�k�b�Get���w�een��J���9��^��0��0#�and��J��9�.���The���#��x���Cerednik-Drinfeld�theory�[��13���,���
24��o�]�giv�es�a�description����6�of����X�����^��pq��	Rɲ(�K���)�in�c���haracteristic��p�.�J�Using�this�one�nds�the�follo�wing�relation�b�Get�w�een����6�c���haracter�UUgroups:�q�there�is�a�canonical��T�-equiv��q�arian�t�exact�sequence��꺍������������[0�����������!��X����p���R�(�J���9�����0���r�)���������!�X����q��j��(�J��9�)���������!�X����q��j��(�J����9�����0���Dr����0�����)���������!��0��������������6�(7.1)���������6�where���J����9��^��0���Dr��^�0�����=����Jac���F(�X���(�K�(�;���q�[ٲ))���^��2��|s�.�T�Amazingly��*�,���this�exact�sequence�relates�a�c���haracter����6�group�UU\in�c���haracteristic��p�"�to�t�w�o�c�haracter�groups�\in�c�haracteristic��q�[ٲ."����H�Since����is�ramied�at��q�x��(the�k���ey�assumption),�N��m�����T��is��not��q�[ٲ-old.��zW��*�e�ma�y����6�as�eqw���ell�supp�Gose�w�e�are�in�a�situation�where�w�e�can't�lo�w�er�the�lev�el�using�Mazur's����6�principle,��]so���w���e�assume�that��m��is�not��p�-old�either�(and�hop�Ge�for�a�con�tradiction).����6�Lo�Gcalization�UUis�an�exact�functor,�so�the�lo�calization���������������F0�����������!��X����p���R�(�J���9�����0���r�)����m�����	}Ѹ�����G!�X����q��j��(�J��9�)����m�����	}Ѹ����!�X����q��j��(�J����9�����0���Dr����0�����)����m�����	}Ѹ����!��0��������������6�(7.2)��������6�of�mP(7.1)�is�also�exact.���The�Hec���k�e�mPalgebra��T��acts�on��X����q��j��(�J����9��^��0���Dr��^�0�����)�through�a�quotien���t���ۍ��6ट��_�fe������T���>ࡲ.���Since�¦�m��is�not��q�[ٲ-old,���the�image�of��m��in�����_�fe������T����I�generates�the�unit�ideal.�Therefore����6सX����q��j��(�J����9��^��0���Dr��^�0�����)����m��;�=��c0�`�and�w���e�obtain�an�isomorphism��X����p���R�(�J���9��^��0���r�)����m�����cX����q��j��(�J��9�)����m�����.��RIf��M�w��is�a��T�-����6�mo�Gdule�UUthen��M���=�m�M��3�=���M����m�����=�m�M����m��
�so��������������y��X����q��j��(�J��9�)�=�m�X����q���(�J��)����X����p���R�(�J�������0���r�)�=�m�X����p���(�J�������0���r�)�:��������������6ल(7.3)��������6�Switc���hing�UU�p��and��q��.�and�applying�the�same�argumen�t�w�e�nd�that��������������y��X����p���R�(�J��9�)�=�m�X����p���(�J��)����X����q��j��(�J�������0���r�)�=�m�X����q���(�J�������0���r�)�:��������������6ल(7.4)��������6�Eac���h��of�these�is�an�isomorphism�of��T�=�m�-v�ector�spaces.�Recall�[��6�����]�that��J��9�[�m�]��
���
c����6ट���L�����ލ�A����%��A�i�=1���Q�V�8�,���with�xѵ�<>��0�and��J���9��^��0���r�[�m�]��������L�����ލ�����%���i�=1���=��V�8�.��;It�follo���ws�from�[��37����]�that����2>��0,���but�w���e����6�will�=ynot�use�this�here.�~Our�h���yp�Gothesis�that��V�v]�is�unramied�automatically�propagates����6�to��$all�of��J��9�[�m�]��Ÿ������L����V�8�.�W5Since��$�V�0�is�irreducible�and�w���e�are�assuming�that��m��is�not����6वp�-old,�/<the�%�same�argumen���t�as�in�the�previous�lecture�sho�ws�that��J��9�[�m�]����T����[�m�]�%�where����6सT�p�is�{�the�toric�part�of��J����F���p���
\m�.��This�means�that��dim��&s(�X����p���R�(�J��9�)�=�m�X����p���(�J��))�'���2��.��Using�{�the����6�same�UUargumen���t�with��J�K��replaced�b�y��J���9��^��0��Dzgiv�es�that��dim��(�X����p���R�(�J���9��^��0���r�)�=�m�X����p���(�J���9��^��0���))�����2��.����H�Since�*�V�X�is�ramied�at��q�{�(b���y�h�yp�Gothesis)�and�there�is�an�unramied�line�(?),�����6�dim��G�R(�V��8��^��I���q���
=��)�ؖ=�1.�^Th���us���ndim��NĵJ��9�[�m�]���^��I���q����7�=����n�so,�"usince��Hom����(�X����q��j��(�J��)�=�m�X����q���(�J��)�;�����������̟qƴ`�����)�ؖ���J��[�m�]���^��I���q�������-c��7
������ww��`O�LECTURE���7.���LEVEL�LO�ÎWERING�WITHOUT�MUL��J�TIPLICITY�ONE��"��45����Y������6लw���e���nd�that��dim����X����q��j��(�J��9�)�=�m�X����q���(�J��)�Ÿ���.���A���similar���argumen���t�b�Gound�the�dimension�of����6सX����q��j��(�J���9��^��0���r�)�=�m�X����q���(�J���9��^��0���).�q�W��*�e�UUobtain�the�follo���wing�quadruple�of�inequalities:��32�������dim���\0�X����q��j��(�J��9�)�=�m�X����q���(�J��)������ ������y>�;����������jh�dim������X����q��j��(�J���9�����0���r�)�=�m�X����q���(�J���9�����0���)������ ������y>�;�����������`�dim����X����p���R�(�J��9�)�=�m�X����p���(�J��)������ ������y>�2�;�����������dim���VD�X����p���R�(�J���9�����0���r�)�=�m�X����p���(�J���9�����0���)������ ������y>�2�:�������6लCom���bining�UUthese�with�(7.3,�7.4)�w�e�nd�that���������2�����������������]�dim��ڲo�X����p���R�(�J��9�)�=�m�X����p���(�J��)�����������=�������]dim��ڲo�X����q��j��(�J���9�����0���r�)�=�m�X����q���(�J���9�����0���)�����������6लand���sim���ulatenously�that�2��A�����.�N[Com�bining���giv�es�that�4��A�����,��=so��ܵ��=�0.�N[This�is����6�con���trary�UUto�fact:�q�the�m�ultiplicit�y�of����in��J��9�[�m�]�is�strictly�p�Gositiv�e.����H�This�UUcompletes�the�pro�Gof.�����.|���7
�����Y���/���7
�����Y������G���P�_�LECTURE���8�����=�Lev��el��lo�w�ering�with�m�ultiplicit�y�one����:5��The�UUhard�case�is�illustrated�in�the�follo���wing�diagram:���=�������������U��ǵM�pq���������������������9�����M5�piv���ot�������������������%������/�/����������A���f�/o�������������/o�������dӟ��
/o�������
'���\/o��������e����/o�������������/o��������m���xR/o��������[email protected]��p�/o����������h�/o�������޴ҟ�aH/o��������w��Y�/o������������(����ǵM�q��������������������ƍ���G�}�easy�������������������T����p�!�!���������QYr���!a�������K�(��!a�������F�ޟ_�!a�������AA���s!a�������;�J��!a�������������3��&��M�p�������������������
㍍���t���lev���el�UUaddition��������������������'��㍾<�<����������tݟ-G�<|�����������j<|��������;��<|����������>�<|��������%���<|�����������VH��'�ĵM�����������;he��6लThe�J]piv���ot�step�is�p�Goten�tially�the�hardest.�nThis�is�b�Gecause�the�symmetry�is�brok�en.����6�Before���w���e�knew�that��q�Z��could�not�b�Ge�remo�v�ed�from�the�lev�el.�nnBut�here,�)E�q�Z��c��}'an��b�Ge����6�remo���v�ed.��The���argumen�t�has�b�Geen�made�to�w�ork�under�the�assumption�that��`��>��2����6�[��63����].��When��Nthe�h���yp�Gothesis�of�the�m�ultiplicit�y�one�theorems�hold�[��26����,�6��x�9],�the����6�follo���wing�UUargumen�t�w�orks,�ev�en�when��`���=�2.����H�W��*�e�;0start�with�the�data�of�a�mo�Gd��`��represen���tation����arising�from�a�w�eigh�t�2����6�newform����f��K�on�����1��|s�(�M��)�}$�\������0���(�p�).���The���prime��p��do�Ges�not�divide��N��(��)�and�our�goal�is����6�to�UUget��p��out�of�the�lev���el.����H�F��*�or��all�w���e�kno�w,�����is�unramied�at�eac�h�prime��q��/�j��V�M��.��F��*�or�example�w�e�could����6�ha���v�e���M��3�=��1.�N�In�particular,�there�is�no�reason�to�exp�Gect�that�w���e�are�in�the�situation����6�of�;ٸx�7.1;�DXthere�is�no�reason�for�the�k���ey�assumption�to�hold�for�some�c�hoice�of��q�"�j���M��.����6�W��*�e�h�are�th���us�forced�to�man�ufacture��q��n�as�follo�ws.���Pic�k��q��n�to�b�Ge�one�of�the�(innitely����6�man���y)�UUprimes�not�dividing��M�p`��suc�h�that�b�Goth�of�the�follo�wing�conditions�hold:��-&č����ڍ������1.��������Ÿ��\�(����.��������(�F��*�rob���*����q���C�)��UUis�not�a�scalar,��or����fc�������q�"�6���1�q�(�mo�Gd����`�)�:�������B��	������ल2.��������Ÿ��\�(����.�����R�the�UUratio�of�the�eigen���v��q�alues�of����fc��������(�F��*�rob���*����q���C�)��UUis�either��q��.�or�1�=q�[ٲ.���������,����6�T��*�o�z�b�Ge�more�precise,��Gin�the�second�condition�w���e�mean�that�the�c�haracteristic�p�Goly-�����6�nomial�UUof���(�F��*�rob���*����q���C�)�is�of�the�form�(�x�8���a�)(�x����q�[�a�)�UUfor�some��a���2�����_�fe<o����F������w��
�����i��
��`����k�.��&����6��Prop�Q�osition��T11.������Ther��}'e�x�ar�e�innitely�many��q�ԉ�satisfying�the�two�c�onditions�enu-����6�mer��}'ate�d���ab�ove.������6��Pro�Q�of.���[��First��jsupp�Gose�that��`��7>��2.�	^Using��jthe�Ceb�otarev�densit���y�theorem,�bnnd����6�innitely�/8man���y�prime�n�um�b�Gers��q���suc�h���(�F��*�rob���*����q���C�)�2;=���(�c�)�/8where��c��denotes�complex����6�conjugation.��3The�oyeigen���v��q�alues�of���(�c�)�are�1�and���1�(Exercise�18),�vwhic�h�ha�v�e�ratio�������;�47����0�A��7
���������6��48��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6स�1.�q�This�UUratio�is�equal�to��q��.�b�Gecause�in�c���haracteristic��`�,���8����Ը�1��=���(�c�)�=���det�����(��(�F��*�rob���*����q���C�))�=���(�F��*�rob���*����q���)�=��q�[�:����HलIn���the�case��`���=�2���w���e�rst�observ�e�[b�y�an�argumen�t�to�b�Ge�referenced�and�sk�etc�hed��\k��6�here�>�in���v�olving�classifying�subgroups�of��GL��Wr(2�;�������_�fe<o����F��������2��
c��)]�that�the�image�of����has�ev�en�order.����6�After�ŗa�p�Gossible�c���hange�of�basis�w�e�nd���(��������	Sα1���'1���؍��	S�0���'1������B�)���$�2��0��(�G����Q��G�).�Using�Ceb�Gotarev�densit�y����6�w���e���nd�innitely�man�y��q���with���(�F��*�rob���*����q���C�)�conjugate�to���(��������	C�1���A1���؍��	C�0���A1������\�)�����.���F��*�or�suc�h��q�[ٲ,���condition����6�(1)��!is�satised.�s+Condition�(2)�is�also�satised�b�Gecause�the�ratio�of�the�eigen���v��q�alues����6�is�UU1�whic���h,�b�Gecause��q��.�is�an�o�dd�prime,�is�congruen���t�to��q��.�mo�dulo��`���=�2.���-b��ff����d�ff�Y��ff����ff�����	��H�With��E�q�1�c���hosen�as�ab�Go�v�e�w�e�can�raise�the�lev�el.��More�precisely��*�,��Athere�exists�a����6वpq�[ٲ-new�UUform�at�lev���el��M�pq��.�q�[[Sa���y�a�lot�more�here.]]�W��*�e�illustrate�this�as�follo���ws.����������������m���G (�M���;�����pq������[�fe	ڪ���R�)������������������HL�	������������������ꩍ���ƭ�goal�������������������٣��8�$�$����������Յ4�j�I���������Ѡ��ĮI���������ͼ��lI����������؀�x*I�����������D���I�����������+�I����������+̟�dI����������G���"I����������cT�8�I�������������_�(��(�M���;���p�)��������������x��)t�5�������������������p����x���raise����������������������8�:�:������������Q�	ɹu�����������Q��+u�����������Q�R�u�����������Q���u����������Q��Qu����������%Q�E�u����������?Q��u���������}YQ��wu���������ysQ�8�u�������������׽��(��(�M���;���q�[ٲ)�����������������#�������������������� �������Mazur�UU(condition�1)�������������������h��&8�/�/���������&l�fdr��������k��)���M�����������;���6लW��*�e�Kzunderline��pq��S�to�emphasize�that�the�situation�at�lev���el�(�M���;���pq�[ٲ)�is�symmetrical�in����6वp�UU�and��q�[ٲ.����H�Let��y�J��Q�=���J��9�(�M���;���pq�[ٲ).�H(Inside�of��T��=��Z�[��:���:�:��
UOT����n���&�:���:�:��qu�]�����End��\n�J�β�there�is�a�maximal�ideal����6��m�:Ѳattac���hed�to�the��pq�[ٲ-newform��f�N`�giving�rise�to���.�";Applying�the�m�ultiplicit�y�one����6�theorem�UUat�lev���el��M�pq��.�(when�p�Gossible{see�[��26����,��x�9])�w�e�ha�v�e���8����ԵJ��9�[�m�]��=��V��8�(m���ultiplicit�y�UUone�assumption)�����6�where��1�V���supp�Gorts���.�4In�all�of�this,��8�M��L�can�b�e�divisible�b���y�2.�4The�distinction�b�et���w�een����6�whether��-or�not��M�H�is�ev���en�comes�in�to�pla�y�mainly�in�the�m�ultiplicit�y�one�argumen�t,����6�not�UUin�this�lev���el�lo�w�ering�argumen�t.����H�Let�f�J���9��^��0���O�=��ݵJ���9��^��pq��	� �(�M��)�b�Ge�the�Shim���ura�curv�e�analogue�of��J����1��|s�(�M��).���This�is�an�ana-����6�logue��of��J����1��|s�(�M��)�with��M����2���(�Q�)�replaced�b���y�a�quaternion�algebra.��One�has�the�v�ery����6�imp�Gortan���t:��^����۵J���9�����0���r�[�m�]��=������n�����������M����t���+�i�=1����5�V��8�(at�UUleast�one�cop���y:�qǵ�j����1)�����:����6लThis���follo���ws��mor��}'al���ly��b�Gecause����arises�from�a��pq�[ٲ-new�form.�x
[[The�actual�argumen�t����6�is�UUmore�in���v�olv�ed.]]����H�Assume���that�w���e�cannot�lo�w�er�the�lev�el.�:�W��*�e�ha�v�e�an�exact�sequence�of�c�haracter����6�groups�������0�����������!��X����p���R�(�J���9�����0���r�)���������!�X����q��j��(�J��9�)���������!�X����q��j��(�J��9�(�M���;���q�[ٲ)������2��|s�)���������!��0�:������6लUp�Gon�
%lo�calizing�at��m��as�in�(7.2)�w���e�disco�v�er,��taking�dimensions�o�v�er�the�eld��T�=�m�,����6�that���8�������������$3dim���y��X����p���R�(�J���9�����0���r�)�=�m�X����p���(�J���9�����0���)��=��dim��n�X����q��j��(�J��9�)�=�m�X����q���(�J��)�:��������������6ल(8.1)������
���6�F��*�urther,�C)since��the�comp�Gonen���t�group�of��J���9��^��0���
�at��p��is�a�quotien�t�of��X����q��j��(�J��9�(�M���;���q�[ٲ)���^��2��|s�),�C)w�e����6�nd�UUthat������X�V���,��UX�!���(�J���9�����0���r�[�m�]������I���p���>�)������toric���>�:������6लTh���us���*dim��3��X����p���R�(�J���9��^��0���r�)�=�m�����2,���so��*(8.1)�implies�that��dim���X����q��j��(�J��9�)�=�m�����2.�JThe��*endomorphis-���-��6�m����F��*�rob����H���q���w�acts���as�a�scalar�on��J��9�[�m�]���^��toric�����=�J��[�m�],��land����F��*�rob��������H�2���ō��H�q������=��q��[ٟ�^��2���L�h�q�[ٸi����(??�G�is�it�true,��ldo��
+���6�w���e�'�need�this?).�b�But�b�Goth��J��9�[�m�]���^��toric���Ȳand��J��[�m�]�ha���v�e�'�dimension�2,�0�hence��F��*�rob���R8���q���W�acts�as����6�a���scalar�on��J��9�[�m�].�JQIf��q�)u�6�͜�1�q�(�mo�Gd����`�)�then�w���e�could�use�Mazur's�principle�to�lo�w�er�����1����7
������ww��i�G�LECTURE���8.���LEVEL�LO�ÎWERING�WITH�MUL��J�TIPLICITY�ONE��,&�49����Y������6लthe�WWlev���el,���so�b�y�condition�1�w�e�ma�y�assume�that���(�F��*�rob���*����q���C�)�is�not�a�scalar.�w�This����6�con���tradiction�UUcompletes�the�pro�Gof.��ꨍ�6��More��details.���p����2����7
�����Y���3���7
�����Y������G���P�_�LECTURE���9����>P��Other��directions�����< ��H��<x

cmtt10�HI�?�looked�through�Ash�and�Sinnott.�
�There�should�be�a�paragraph�somewhere����< �in�?�your�PCMI�notes�indicating�this�direction.�
�But�where:�in�the����< �introduction,�?�or�in�a�new�section�that�would�also�discuss�Ramakrishna's����< �work�?�and�maybe�even�Serre�mod�pq?�����6�Perhaps�?�there�should�be�a�final�section�called�"other�directions".����6�It�?�could�summarize�the�many�topics�that�we�don't�touch�on�in�the����6�notes.�����6�-ken�������;�51����4�O��7
�����Y���5�Ơ�7
�����Y������G���H���LECTURE���10����޹��Katz��mo�`dular�forms�(App�endix)����9�*�In���this�section�w���e�brie
y�in�tro�Gduce�mo�dular�forms�mo�dulo��`��from�a�geometric�p�oin���t����6�of���view����^��1���)4�Our�purp�Gose�is�to�giv���e�a�brief�o�v�erview,�œrather�than�a�complete�(or�ev�en����6�w���ell�UUmotiv��q�ated)�accoun�t.����H��Mo�Q�dular��forms�as�rules.�n4�Fix�J�a�base�ring��R�Dz.�Consider�pairs�(�E���;���!�[ٲ)�=S��*�where����6वS��1�is�<�a�ring�o���v�er�<��R�Dz,�A��E��is�an�elliptic�curv���e�o�v�er��S��1�enhanced�with�lev�el�structure,�A�and����6व!�ӯ�is�w�a�dieren���tial�whic�h�do�Ges�not�v��q�anish�mo�dulo�an���y�prime�ideal�of��S����.��IA�w�mo�dular����6�form�{�f���of�w���eigh�t�{�k���is�a�certain�t���yp�Ge�of�rule�whic�h�tak�es�an�y�suc�h�pair�(�E���;���!�[ٲ)�=S��to����6�an�UUelemen���t�of��S����.�q�The�t�w�o�main�prop�Gerties�of��f�h�are:���������H�1.����U���W��
�eigh��9t:�qDzF��*�or�UUall�����2��R��ǟ�^�������,�UU�f���(�E���;���!�[ٲ)�=�����^���k��+��f��(�E���;���!�[ٲ).�������H�2.����U���Holomorphicit��9y:�qǵf�h�comm���utes�UUwith�base�c�hange�in�the�eviden�t�sense.�������H�3.����U���T��
�ate�Bcurv��9es:�.��Condition���to�insure�that��q�[ٲ-expansions�do�not�ha���v�e���negativ�e����U��p�Go���w�ers�UUof��q�[ٲ.����H�This�UUdenition�is�dicult�to�think�ab�Gout�b�ecause�w���e�ha�v�e�only������
(rules)�
UV+�(functorialit���y)����6��A�d)priori�,�p�w���e�7�do�not�kno�w�what�is�going�on.��F��*�ortunately�,�p�w�e�7�kno�w�what�elliptic����6�curv���es��are,���not�in�the�sense�of�Shim�ura{T��*�aniy�ama,���but�in�the�mo�Gduli�sense.�sSup-����6�p�Gosing��c�N��3����5,���there�exists�a�mo�del�for��X����1��|s�(�N��)�o���v�er��c�Z�[1�=��q�N��]�and�a�sc���heme��E����1��|s�(�N��)�o���v�er����6वX����1��|s�(�N��)�ߞsuc���h�that�for�all�rings��R��e�in�whic�h��N����is�in�v�ertible,�0and�generalized�elliptic����6�curv���es��ŸE����enhanced�with�lev�el�structure,�� there�is�a�unique�map��Sp�Gec����(�R�Dz)�\'�!��X����1��|s�(�N��)����6�making�UUthe�follo���wing�diagram�Cartesian,�i.e.,�a�b�Ger�pro�duct:���,�������������`�ꪸE������������h4����/�/������� v���2�fd(G��������
k������������9����Vfd����������h4�E����1��|s�(�N��)�������������������������X���fd�����������-��(�Sp�Gec���t��((�R�Dz)��������������Q�%��/�/��������Q�%�2�fd�����������Q�(�X����1��|s�(�N��)������������>�,��6�Glueing���together�dieren���tials�on�eac�h�elliptic�curv�e��E��òcorresp�Gonding�to�a�p�oin���t�of����6वX����1��|s�(�N��)�ӽgiv���es�a�line�bundle����!������fe�T��<βon��X����1���(�N��).�F�W��*�eigh���t��k�$T�mo�Gdular�forms�on�����1���(�N��)�=�Z�[1�=��q�N��]����6�are���the�same�thing�as�elemen���ts�of��H������^��0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�;�����!��������fe�T���?���^��
�k��k��).�dlThis�is�a�nite�mo�Gdule�o�v�er����6��Z�[1�=��q�N��]�UUwhic���h�giv�es��al���l��rules�of�w�eigh�t��k���and�lev�el��N��.��6टw3�ff<������-:�1���*��This��ksection�records�a�lecture�of�Mathew�Emerton.�YThis�lecture�should�b�<re�an�app�endix,��0and��
�migh�Ît��Xb�<re�replaced/supplemen�ted�b�y�notes�that�Brian�Conrad�is�writing�up�on�his�lectures.�������;�53����6���7
���������6��54��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������H��Mo�Q�dular�;�forms�mo�d��`�.�E:�Supp�Gose�Ϭ�`��is�a�prime�with��`���-��N��.�The�Ϭspace�of�w���eigh�t����6वk���mo�Gdular�UUforms�on�����1��|s�(�N��)�=�F����`��.;�is�the�same�as�������H���������0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�=�F����`����;�����!��������fe�T���?������
�k��k��)�:������6लT��*�o�UUrelate�this�space�to�mo�Gdular�forms�o���v�er�UU�Z�[1�=��q�N��]�rst�consider�the�diagram:����������������q"��E����=�F����`�������������|CP�E���������|�E��@fd������������������������������������/�/�������d���2�fdd+�����������E����=�Z�[1�=��q�N��]���������������E����������s�E��@fd����������(���$4�!���$4����fe�T������(=�F����`�����������������(��E�l�!��E�l����fe�T��L7��(=�Z�[1�=��q�N��]���������������ebl�P�X����1��|s�(�N��)�=�F����`�������������|CP�m���������|�m��fd��������d�0$F�s������������2��s����������ŵ�4�Rs�������������7B�s����������'O�9�^s����������X�<�s������������>ajs�������������@��s����������ꃟC vs����������P�E�s��������������7�K���������������������ޟM��/�/�������$5�M�2�fdL�������������ޟP�X����1��|s�(�N��)�=�Z�[1�=��q�N��]���������������m����������s�m��fd�������E���/��n���������AnK�1��n���������=>�3�$n���������9��5��n���������4�4�7�8n���������0�ן9��n���������,�z�;�Ln���������(R�=��n���������$"��?�`n����������c�A��n�����������C�tn������������E�n��������������h���x�Sp�Gec��|���x(�F����`����)���������������U�s����������������������u��/�/���������u�2�fdSH������������x�Sp�Gec���e�x(�Z�[1�=��q�N��])��������������l��6�Do�n{all�the�mo�Gdular�forms�o���v�er�n{�F����`��Ga�come�via�reduction�from�mo�dular�forms�o���v�er����6��Z�[1�=��q�N��]?�
�Y��*�es,��jpro���vided�5fthat�the�appropriate�cohomology�comm�utes�with�base����6�c���hange.��This��pis�a�subtle�question�b�Gecause,���in�general,�cohomology�need�not�com-����6�m���ute�	with�base�c�hange.�XVia�some�tric�k�ery��*�,�~and�consideration�of�the�exact�sequence�������0���!����!������fe�T���	\l�����
�k�����T΍�"�`���2������O������k�!������%-�!��%-����fe�T���+�������
�k�����9�*�����?��!����!������fe�T���	\l�����
�k�����=�F����`�����!��0����6�one��sees�that�a�condition�whic���h�insures�that�all�forms�come�from�c�haracteristic�0�is����6�that��
Os����m�H���������1��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�=�F����`����;�����!��������fe�T���?������
�k��k��)��=�0�:��i��6लThe�/�Riemann-Ro�Gc���h�theorem�often�giv�es�this�v��q�anishing,�7"the�essen�tial�ingredien�t�b�Ge-����6�ing��qkno���wledge�of��deg���(���!�����fe�T���T�).�nF��*�or�example,��wwhen��k�N�����2�and��N�	���5,��wthe��H������^��1��	���do��}'es����6लv��q�anish!�	^There�ۇare�problems�when��N�h���Qi�5�b�Gecause�an�appropriate�represen���ting����6�ob��8ject�UU�E����1��|s�(�N��)���!��X����1���(�N��)�UUdo�Ges�not�exist.����H�Flat�T�base�c���hange�comm�utes�with�cohomology��*�.�o�F�or�T�example��Z�[1�=��q�N��]�p��,��UX�!��C�T��is����6�
at���b�Gecause��C��is�torsion�free,��#whereas��Z�[1�=��q�N��]��Ӹ!��F����`��{��is���not�
at.�ZObserv���e�that����6वH������^��0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�;���!��[ٟ�^��
�k���j�=�Z�[1�=��q�N��])�w�is�just�a�c���hoice�of��Z�[1�=�N��]�lattice�in�our�fa���v�orite�w�complex����6�v���ector���space�of�cusp�forms.�N0The�follo�wing�diagram�is�v�ery�helpful�(forgetting�it�is����6�a�UUcommon�source�of�confusion.)��h֍������������g~����C�8�������L���
UT��k�+B��2��(�M����k��됲(�C�)���������������'���������������������/�����/�/�������%���2�fdN�]���������2��C�[[�q�[ٲ]]�����������������I�)���Z�[��������ұ1��33��&�fe������N�����	|�]�8�������L���
UT��k�+B��2��(�M����k��됲(�Z�[��������ұ1��33��&�fe������N������])����������������\�%Eȼ������������������$UY�'�ƾ/�/�������UZ�'���fd5�����������|ӟ �/�?���������������������џf1�O�O�������ɟ�f1�fd��������џI%[���������ɟ�I%[�fd���������'UY�*EDz(�Z�[��������ұ1��33��&�fe������N�����	|�])[[�q�[ٲ]]��������������;�.�!R��?�������������������>9,���O�O������>�����R�fd������>9,�J���������>��J��R�fd�����������_�S�_�F����`��Ƹ��8����L���
UT��k�+B��2��(�M����k��됲(�F����`����)��������������������Mō�����not�UUinjectiv���e��������������������-��R��/�/�������YD�R>��fdJ]����������0��T���F����`����[[�q�[ٲ]]������������hf)��H�There�Ļexists�mo�Gdular�forms�o���v�er�Ļ�F����`�����of�dieren���t�w�eigh�ts�whic�h�ha�v�e�the�same����6वq�[ٲ-expansions.�l�Consider�F:the��Hasse��invariant��A���2��H������^��0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�=�F����`����;���!����^��
�`��1���4�).�l�Let�F:�A=�F����`�����6लb�Ge��an�elliptic�curv���e�and�let��denote�the�F��*�rob�enius�endomorphism.�	@�The�map����6वH������^��1��Lq�(�E���;����O�G�)���!��H������^��1���(�E���;����O�G�)��zinduced�b���y�F��*�rob�enius�is�either�0�or�not;��nif�not�[[ll�in�details�����7�y��7
��������y8��LECTURE���10.���KA��J�TZ�MODULAR�F�ÎORMS�(APPENDIX)��;ϒ�55����Y������6लhere.]]���The�u	�q�[ٲ-expansion�of��A��is�1���2��F����`����[[�q��]].���This�u	is�the�same�as�the��q��-expansion�of����6�1.����H�In��bc���haracteristic�0,��ew�eigh�t�1�forms�are�v�ery�sp�Gecial�so�Serre�didn't�allo�w�them����6�in�&+his�conjecture.��JIn�c���haracteristic��p�,�Z`w�eigh�t�1�forms�b�Geha�v�e�in�prett�y�m�uc�h�the����6�same�UUw���a�y�as�other�w�eigh�ts.����H�The�UUreferences�are:����6�Serre,�UUBourbaki,�1969����6�Serre,�UUSwinnerton-Dy���er,�LNM�350�\Galois�represen�tations"����6�Katz�UU\v���ery�geometric"����6�Gross�UU\mo�Gdular�forms�mo�d��`�"����6�Edixho���v�en����6�Jo�Gc���hno�witz,�UUDuk�e,�T��*�rans.�q�of�AMS�����8���7
�����Y���9�7
�����Y������G���H���LECTURE���11���� 
��Exercises��(App�`endix)��#ٍ�:���The��Sfollo���wing�exercises�w�ere�used�in�the�problem�sessions����^��1���|s�.�a�Solutions�to�selected����6�exercises�UUare�pro���vided�at�the�end.��������6��Exercise��T12.���x&@�Supp�Gose��o�����:��Gal��_�(����_�fe������Q������=�Q�)��!��F���^�����v��`����S�is�a�one-dimensional�con���tin�uous�o�Gdd����6�Galois�UUrepresen���tation.���Ս����H�1.����U��Giv���e���an�example�to�sho�w�that����need�not�b�Ge�a�p�o���w�er���of�the�mo�d��`��cyclotomic����U��c���haracter.�������H�2.����U��Assume�n�that����is�unramied�outside��`�.��kDeduce�that����is�a�p�Go���w�er�n�of�the����U��cyclotomic�UUc���haracter.������6��Exercise��T13.���x&@�The��principal�congruence�subgroup�(�N��)�of�lev���el��N��is�the�subgroup����6�of��)�SL���(2�;����Z�)�)�consisting�of�matrices�congruen���t�to�the�iden�tit�y�mo�Gdulo��N��.��IF��*�urther,����6�����1��|s�(�N��)��is�the�subgroup�of��SL���P(2�;����Z�)�of�matrices�that�are�upp�Ger�triangular�mo�d��N��0�and����6�ha���v�e���diagonal�en���tries�����1�mo�Gd��N��.�:UA���congruence�subgroup�is�a�subgroup�of��SL��}9(2�;����Z�)����6�that���con���tains�(�N��)�for�some��N��.�I�Let�������SL���S(2�;����Z�)���b�Ge�a�congruence�subgroup.�Sho���w����6�that��kthere�exits��g�"�2����GL����(2�;����Q�)�suc���h�that��g��[ٟ�^���1��M��g������GL����(2�;����Q�)�con���tains�����1��|s�(�N��)�for�some����6वN��.������6��Exercise��T14.���x&@�Let�Z�A=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e.��Sho�w�Zthat��End���D����Q���ڲ(�A�)���=��Z�,�[?that�Zis,�in-����6�teger��m���ultiplications�are�the�only��Q�-rational�endomorphisms�of��A�.�V�Assume�further����6�that�_+�A��is�isolated�in�its�isogen���y�class,�a�b�y�whic�h�w�e�mean�that�if��B��q=�Q��is�an�elliptic����6�curv���e�flthat�is�isogeneous�to��A��o�v�er��Q�,�j�then��A��and��B��ݲare�isomorphic�o�v�er��Q�.��Sho�w����6�that,�UUfor�ev���ery�prime�n�um�b�Ger��`�,�the�represen�tation��������r�����`�����:���Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)���!���Aut����(�A�[�`�])�����GL����(2�;����F����`����)����6�is�irreducible.�Z�Must������`����b�Ge�absolutely�irreducible�(i.e.,��remain�irreducible�after�com-��\k��6�p�Gosing�UUwith�the�em���b�edding��GL��n:(2�;����F����`����)���,��UX�!���GL����(2�;�����_�fe<o����F��������`�����))?������6��Exercise��T15.���x&@�Let�w��A=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e,�� and�assume�that,�for�all��`�,�the�repre-����6�sen���tation��������A;`���7�:��t�Gal���(����_�fe������Q������=�Q�)�t��!���Aut��f�(�A�[�`�])�is�irreducible.��_Sho���w�that��A��is�isolated�in����6�its�UUisogen���y�class.�q�This�is�the�con�v�erse�of�Exercise�14.������6��Exercise��T16.���x&@�Supp�Gose��C��BO�:��Gal���Q(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL��[4(2�;����F����`����)�arises�from�the��`�-torsion�of�an����6�elliptic��curv���e.�0�V��*�erify�,���using�standard�prop�Gerties�of�the�W�eil�pairing,���that��det��x�(��)�is����6�the�UUmo�Gd��`��cyclotomic�c���haracter.��6ट�5�ff<�O[�����-:�1���*��The�:}authors�w�Îould�lik�e�to�thank�D.�Sa�vitt,�YvK.�Kedla�y�a,�Yvand�B.�Conrad�for�con�tributing�problems.�������;�57����:����7
���������6��58��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y��������6��Exercise��T17.���x&@�Let��"�f����2�~�S����k��됲(����1��|s�(�N��))�b�Ge�a�mo�dular�form�that�is�an�eigenform�for�all����6�the�UUHec���k�e�op�Gerators��T����p���and�for�the�diamond�brac�k�et�op�Gerators��h�d�i�.�q�Let��32���&w�"���:�(�Z�=��q�N��Z�)��������_��!��C�����������6लb�Ge�UUthe�c���haracter�of��f���,�so��h�d�i�f�ڧ�=���"�(�d�)�f��V:��������Hल1.����U��Sho���w�UUthat��f�h�satises�the�follo�wing�functional�equation:����U��for�UUan���y������b���������	�T�a���ab���\q���	�c�����d���������b�����s�2�������0��|s�(�N��),��hٍ��B�f���(�z�p��)��=��"�(�d�)(�cz��w�+�8�d�)�������k��+��f�������`���������<$��?��az��+�8�b��?��w�fe�֟	(֍��cz��+�8�d��������$V����`�����*O��:��b�����Hल2.����U��Conclude�UUthat��"�(��1)��=�(��1)���^��k��됲.�������H�3.����U��Cho�Gose�`.a�mo�d��`��Galois�represen���tation����asso�ciated�to��f���.��QIts�determinan���t�is�����U��det��c�R(��)��=��"���������^��k�+B��1��JI�where�"E���is�an�appropriate�cyclotomic�c���haracter.�`�If��c��is�the����U��complex�UUconjugation,�deduce�that�that����is�o�Gdd:��q�det��UW(��(�c�))��=���1�:��u����6��Exercise��T18.���x&@�Let��ȵ�*,�:��G��!���GL��C(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�b�Ge�an�o�dd�Galois�represen���tation.�$Let��c�*,�2��G����6लdenote�UUthe�complex�conjugation.�������H�1.����U��Assume�UU�`���6�=�2.�q�Pro���v�e�that���(�c�)�is�conjugate�o�v�er�����_�fe<o����F����
�ğ��`�����to�the�matrix������b�����UU���	�T��1�����0����.����U0�����1�����?ɟ��b���� � �.�������H�2.����U��Assume�(�`���=�2.�b�Giv���e�an�example�to�sho�w�that���(�c�)�need�not�b�Ge�conjugate�to������U�Ÿ��b�����UU���[����1���h�0����.���b'�0���h�1�����n�6���b����s'��.���
����6��Exercise��T19.���x&@�Construct�UUa��non-c��}'ontinuous��homomorphism��32���r����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!�f�1�g������6लwhere���f�1�g��has�the�discrete�top�Gology��*�.��Y�ou���m���ust�pro�duce�a�map���ò:��Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)��!����6�f�1�g�UU�suc���h�that�������H�1.����U�µ�UU�is�a�homomorphism,�and�������H�2.����U�µ�UU�do�Ges�not�factor�through��Gal���W(�K�(�=�Q�)�for�an���y��nite��Galois�extension��K�=�Q�.���
����6��Exercise��T20.���x&@�One�,�dicult���y�is�that�the�represen�tation����arising�from�a�mo�Gdular����6�form�`;sometimes�tak���es�v��q�alues�in�a�sligh�tly�smaller�eld�than��O�G�=�.��zF��*�or�example,�b�let����6वf�U�b�Ge��one�of�the�t���w�o��conjugate�newforms�of�lev���el�23,�|w�eigh�t�2,�|and�trivial�c�haracter.����6�Then����tSӵf�ڧ�=���q����+�8��	zq��[ٟ����2��,�+�(��2��BZ���1)�q��[ٟ����3���+�(���BZ���1)�q��[ٟ����4���+�2��	zq��[ٟ����5���+����������
9��6लwith�&����	z��^��2��ax�+�ۋ������1��=�0.�b9The�co�Gecien���ts�of��f�:9�lie�in��O�5�=��Z�[��	z�]�=��Z�[�����	���33�1+����3��p����ɟ�3��W	�s��M��5�����33��s�fe�?�����X�2�������]�:��T��*�ak���e����to�b�Ge����6�the���unique�prime�of��O�/�lying�o���v�er���2,���then��O�G�=����T͍�������+3�����=�����
UN�F����4��d^�and�so����~��fe+���g������z�qƴf�Z�;��چ�is�a�homomorphism��
్�6�to����GL��ˮ(2�;����F����4��|s�).��$Sho���w���that�if��p�bٸ6�=�2���then��a����p��+�2�b��Z�[�����P�p���UW���P�fe�E���5����
UX],��&so�that����~��fe+���g�������X�qƴf�Z�;��pB�has�a�mo�Gdel�o�v�er��N7���6�GL��D��(2�;����F����2��|s�).������6��Exercise��T21.���x&@�Let�UU�A=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e�and��`���6�=�2�UUa�prime.��������H�1.����U��Pro���v�e���that�the�eld��Q�(�A�[�`�])�generated�b���y�the�co�Gordinates�of�the�p�oin���ts�in����U�µA�[�`�]�UUis�not�equal�to��Q�.�������H�2.����U��Giv���en�UUan�example�of�an�elliptic�curv�e��A��so�that��Q�(�A�[2])��=��Q�.������6��Exercise��T22.���x&@�Let�UU�A��b�Ge�the�elliptic�curv���e�dened�b�y��32���{[�y��[ٟ����2���d�=���x������3���S�+�8�ax��+��b��
UV�with��.v�a;���b��2��Q�:�������Hल1.����U��Describ�Ge�UUthe�Galois�represen���tation������s����=������A;�2����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)����������!���GL����(2�;����F����2��|s�)�:�������Hल2.����U��Giv���e�UUnecessary�and�sucien�t�conditions�for����to�b�Ge�reducible.�������H�3.����U��Giv���en�UUan�example�in�whic�h����is�ramied�at�23.�����;�R��7
���������r�LECTURE���11.���EXER�ÎCISES�(APPENDIX)��Y��59����Y��������6��Exercise��T23.���x&@�Let��;�"��and����b�Ge�con���tin�uous��;homomorphisms��";����H�:��Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)��!��F���^�����v��`�����.����6�Supp�Gose��further�that�for�all�primes��p�,��for�whic���h�b�oth����and��"��are�unramied,��w���e����6�ha���v�e���k����h��(�F��*�rob���*����p����)��=��"�(�F��*�rob���*����p���)�p������i��d�2��F����`����:���;��6लDeduce�UUthat�����=��"�8������^��i�����where�UU���is�the�mo�Gd��`��cyclotomic�c���haracter.�������6��Exercise��T24.���x&@�Let���A=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e�of�conductor��N��.��!Let��p��b�e�a�prime���ԍ�6�n���um�b�Ger���not�dividing��N��.�NODenote�b���y���x䍑�}~������A���
Uٲthe�elliptic�curv�e��A��considered�o�v�er�the�nite����6�eld�+#�F����p���R�.�c�There�is�a�F��*�rob�Genius�endomorphism���=�����p��fj�:��A��!��A�+#�that�sends�an�ane��I��6�p�Goin���t��:(�x;���y�[ٲ)�to�the�p�oin���t�(�x���^��p���R�;���y��[ٟ�^��p���+�)�and�xes��1�.�GiLet��X�����^��2����+�:��aX���+��b��:�b�e�the�c���haracteristic����6�p�Golynomial��of��acting�on�the�T��*�ate�mo�dule�of��A�,��Kfor�some�(an���y)�prime��`���6�=��p�.�0YDene�����6�tr��>��()��=���a�UU�and��deg��x�()��=��b�.��vύ����H�1.����U��Sho���w�UUthat��deg��x�().�������H�2.����U��Sho���w�UUthat��tr��#�()��=��p�8�+�1����#�A�(�F����p���R�),�UUi.e.,��tr��()��=��a����p���R�.��
D�����H�3.����U��Let��w�`����-��pN�쒲b�Ge�a�prime.��.Then���x䍑y~������A���Ux�[�`�]�is�a�v���ector�space�of�dimension�t�w�o�o�v�er���w��U���F����`����,���and����induces�a�map���x䍑b ~������A���>��[�`�]�vx�!���x䍑	�~������A���
�y�[�`�].��uSho���w���that�this�is�exactly�the�same��\k��U��map�UUas�that�induced�b���y�some�c�hoice�of��F��*�rob�������p���m�2����Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�).�������H�4.����U��Conclude�UUthat��흍���@vtr����(�����A;`��<v�(�F��*�rob���*����p����))��=��p�8�+�1����#�A�(�F����p���R�)�	��(�mo�Gd����`�)�:������6��Exercise��T25.���x&@�Supp�Gose�i��A=�Q��is�an�elliptic�curv���e�of�conductor��N��,���and�let��`��b�e�a����6�prime.���Sho���w�ǭthat�an�y�prime��p��not�dividing��`N��Ȳis�unramied�in��Q�(�A�[�`�])�=�Q�.���Y��*�ou���ԍ�6�ma���y���use�the�follo�wing�fact�pro�v�ed�using�formal�groups:�ʪThe�map��A�[�`�]�*�!���x䍑���~������A���
�+�(����_�fe<o����F����<o���p�����)���is��
D��6�injectiv���e,���where���x䍑al~������۵A������is���the�reduction�of��A��mo�Gdulo��p�.��Y(Using�formal�groups�one�can����6�sho���w�UUthat�all�torsion�in�the�k�ernel�is�of��p�-p�Go�w�er�order.������6��Exercise��T26.���x&@�Sho���w��gthat�the�fundamen�tal�c�haracter�of�lev�el�1�is�the�cyclotomic����6�c���haracter�UU��j����I�����.������6��Exercise��T27.���x&@�F��*�or�c]eac���h�of�the�follo�wing�semistable�elliptic�curv�es��A�,���and�eac�h��`����6लat�whic���h������A;`��R��is�irreducible,�F9compute�the�Serre�minimal�w�eigh�t��k�P��(�����A;`��<v�)�and�lev�el����6वN��(�����A;`��<v�).��1㦍��?O˟�L͉ffW!��fd����ͤ���ff��͟�fd�N��ff���>�p�j��j� �9����ff����r�m�reducible���j��`��͟���ff�����VA���)����ff����ffW!������ͤ���ff��͟�fd�30��ϡ�ff���2��2���^��4���S��8�3���^��5�����5�e�����ff������2�;����3�^����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy����+��y�"�=���x���^��3���S�+��x��+�2�>9A����ff�������ͤ���ff��͟�fd210�	�Ρ�ff���*~?2���^��12��
�Ƹ�8�3���^��3���S���5����7�K����ff������2�;����3�^����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy�"�=���x���^��3���S���41�x����39�@�����ff�������ͤ���ff��͟�fd330�	�Ρ�ff���%�2���^��4���S��8�3���^��2�����5���^��4�����11���^��2���A����ff������2��A����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy�"�=���x���^��3���S�+��x���^��2�����102�x��+�324� H�����ff�������ͤ���ff��͟�fd455�	�Ρ�ff���0�5���^��3���S��8�7���^��4�����13�尟���ff������2��A����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy�"�=���x���^��3���S���x���^��2�����50�x��+�111�%H�����ff�������ͤ���ff��͟�fd2926���ff���#2���^��8���S��8�7���^��3�����11���^��4�����19���^��2��	[email protected]����ff������2��A����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy����+��y�"�=���x���^��3���S���x���^��2���+�1934�x����1935��͟���ff����ffW!����1�x����6��Exercise��T28.���x&@�Let��,�M��G�b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger�and��p��a�prime.��MSho�w�that�there�is����6�injectiv���e�UUlinear�map���k���S��S����2��|s�(����1���(�M��))���,��UX�!��S����2��|s�(����1���(�pM��))�����6�sending�UU�f���(�q�[ٲ)�to��f��(�q��[ٟ�^��p���+�).������6��Exercise��T29.���x&@�Let�C��M�Zٲb�Ge�suc���h�that��S����2��|s�(����1���(�M��))�C�has�p�ositiv���e�dimension�and�let��p��b�e����6�a�UUprime.����^��2����6ट%4�ff<�O[�����-:�2���*��This��Xproblem�is�based�on�a�Cam�Îbridge�handout�of�Kevin�Buzzard's.�����<�X��7
���������6��60��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y���������Hल1.����U��Let��N�f�ڧ�2���S����2��|s�(����1���(�M��))�b�Ge�an�eigen���v�ector�for��T����p��1��with�eigen�v��q�alue���.�0�Sho�w�that��T����p�����U�²acting���on��S����2��|s�(����1���(�M�p�))���preserv���es�the�t�w�o-dimensional�subspace�generated�b�y����U�µf����and��/�T����p���R�f���.�"TSho���w�furthermore�that�if�����^��2�����6�=�)-4�p���^��k�+B��1���3�then��T����p��/��is�diagonalizable����U��on�o�this�2-dimensional�space.��RWhat�are�the�eigen���v��q�alues�of��T����p��+�on�this�space?��Y⍑U��Remark:�I��ab�Geliev���e��vthere�is�no�example�kno�wn�where�����^��2���k�=�J�4�p���^��k�+B��1���z�and�it's�a����U��theorem�UUthat�it�can�nev���er�happ�Gen�if��k���=��2.�������H�2.����U��Sho���w�Սthat�for�an�y��r�5>���2,��the�Hec�k�e�op�Gerator��T����p��t߲on��S����2��|s�(����1���(�M�p���^��r��m��))�Սis�not�diag-����U��onalizable.�p5Conclude��$that�the�Hec���k�e��$algebra��T��asso�Gciated�to��S����2��|s�(����1���(�M�p���^��r��m��))����U��can�UUnot�b�Ge�an�order�in�a�pro�duct�of�rings�of�in���tegers�of�n�um�b�Ger�elds.���l����6��Exercise��T30.���x&@�Let��g�N�Ղ�b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger.���Sho�w�that�the�Hec�k�e�algebra��T� ݲ=����6��Z�[��:���:�:��
UOT����n���&�:���:�:��qu�]������End����Ɵ��Q����(�J����1��|s�(�N��))�UUis�of�nite�rank�as�a��Z�-mo�Gdule.������6��Exercise��T31.���x&@�Let��#�Sp�Gec��j�(�T�)�#�b�Ge�the�ane�sc���heme�asso�ciated�to�the�Hec���k�e�#�algebra����6��T�.�YGiv���e�;a�careful�in�terpretation�of�the�geometry�of��Sp�Gec��RZ(�T�)�in�terms�of�eigenforms����6�and�UUGalois�represen���tations.�q�Dra�w�UUpictures�to�illustrate�y���our�ideas.������6��Exercise��T32.���x&@�Supp�Gose�UU�N��3�=���pM�lp�with�(�p;���M��)�=�1.�q�There�is�an�injection��32���b۵S����2��|s�(����1���(�M��))�8���S����2��|s�(����1���(�M��))���,��UX�!��S����2��|s�(����1���(�N��)�8�\������0��|s�(�p�))����6�giv���en���b�y�(�f��V;���g�[ٲ)���7!��f���(�q��)�G�+��g��(�q����^��p���+�).�I�The���Hec���k�e�algebra��T���=��T����N��
r��acts�through�a�quotien���t��\k���6ट��_�fe������T���B���on��the�image�of��S����2��|s�(����1���(�M��))�����S����2��|s�(����1���(�M��)).�T%Supp�Gose���m�����T��is�a�maximal�ideal����6�that�+�arises�b���y�pullbac�k�from�a�maximal�ideal�in�����_�fe������T���+��.��|Sho�w�that������m��
�J�arises�from�a����6�mo�Gdular�UUform�of�lev���el��M��.������6��Exercise��T33.���x&@�An�UUexercise�on�T��*�ate�curv���es.�����6��Solutions.���q��6��Solution��T12.�㎲1.�q�Let�UU�p��b�Ge�a�prime�dieren���t�than��`��and��32���f����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!���Gal��(�Q�(����H�p���UW��H�fe�����p����
]W�)�=�Q�)�=��f�1�g��,��UX�!��F����������፴`�����:�����6ल2.���Let�`_�K����=��~�Q����^��k���er��
����^�(��)���Բ.�Then��K�(�=�Q��is�ab�Gelian�and�ramied�only�at��`�,�c!so��K������~�Q�(�����`����1���'%�).����6�But�UU[�K�~4�:���Q�]��j��`�8���1�so��K�~4����Q�(�����`����).����6��Solution��T13.�㎲Conjugate�UUusing��g�"�=����(�����؍��UO�N���1�0���؍��	��0���1�1�������)���g8�:����6��Solution�G14.�5�Supp�Gose��>�'�k�2���End���V����Q�����(�E����)�is�a�nonzero�endomorphism.���The�induced��I��6�map�_1�d'��on�the�dieren���tials��H������^��0��Lq�(�A;����
)�׆���Q�_1�is�m�ultiplication�b�y�an�in�teger��n�.��ZThen����6वd�(�'�8���n�)��=�0�UUso��'���=��n�.����H�Supp�Gose���that������`�����is�reducible,��so�that�there�is�a�one-dimensional�Galois�stable����6�subspace��]�V�����$�A�[�`�].��The�quotien���t��B�2��=��A=V�A�is�then�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q��and����6�there�GPis�an�isogen���y���"�:���A��!��B����of�GPdegree��`�.�mBy�the�assumption�that��A��is�isolated�in����6�its��Nisogen���y�class,���w�e�ha�v�e�in�fact�that��B��(�=�;��A��and�so�there�is�an�endomorphism�of����6वA�R.�of�degree��`�.�p�But�all��Q�-rational�endomorphisms�are�m���ultiplication�b�y�an�in�teger,����6�and�UUm���ultiplication�b�y�an�in�teger�has�degree�a�p�Gerfect�square.����6��Solution�D915.��p�Supp�Gose��'all������A;`����are�irreducible,��dy���et�there�exists�an�isogen�y��'���:��A��!����6वB��M�with�@ܵB�G��6����T͍����+3���=�����
�6�A�.�j�Cho�Gose��'��to�ha���v�e�@�minimal�p�ossible�degree�and�let��d���=��deg���(�'�)��>��1.����6�Let�,��`��b�Ge�the�smallest�prime�divisor�of��d��and�c���ho�ose�a�p�oin���t��x�.�2���k�er����(�'�)�,�of�exact�����=��7
���������r�LECTURE���11.���EXER�ÎCISES�(APPENDIX)��Y��61����Y������6लorder�K��`�.�n�If�the�order��`��cyclic�subgroup�generated�b���y��x��is�Galois�stable,�Mzthen������A;`�����is����6�reducible,��Vcon���trary��to�assumption.�:]Th�us��k�er���(�'�)�con�tains�the�full��`�-torsion�subgroup����6वA�[�`�]�UUof��A�.�q�In�particular,��'��factors�as��!��������������0�ꪵA����������������ן�#��'�������������*����/�/�������1���2�fdS*������������u�
�U�`���������������ꪾ"�"����������ܖܟ�ڹF����������$�=F���������ձ2�M�F����������>]��F����������ˈ�
�fF����������X���F�����������ޟW,F����������s	���F����������4���F������������*�ꪵB���������������0�&j�A=��q�A�[�`�]������������*���<�<����������:4�-i�x���������Kӟ	Hrx���������]r�c{x���������o�~�x��������������x�����������O���x������������ϟx�����������x����������:�7��6लSince����A=��q�A�[�`�]����T͍��ȸ���+3���Ȳ=�����
���A�,��there�is�an�isogen���y�from��A��to��B���of�degree�equal�to��d=`���^��2��|s�,�whic���h����6�is�UUcon���trary�to�our�assumption�that��d��is�minimal.����6��Solution��T16.�㎲The�UUW��*�eil�pairing�(����;�UP�)��:��A�[�`�]�8���A�[�`�]���!��������	�<�qƴ`��	w�can�UUb�Ge�view���ed�as�a�map��Mp����d������2��|s�A�[�`�]����T΍���O����1+����0E���?d�=������2��������������=!�������V������z�qƴ`�����6लsending��<�P���^��y�Q��to�(�P�G;���Q�).��{F��*�or�an���y����q�2�����Gal��!�(����_�fe������Q������=�Q�),��5(�P��c���^�����%�;�Q���^����b��)���=�(�P�G;�Q�)���^����b��.��{With��<the����6�action�7a(�P�`��^����Q�)���^����)��=���P��c���^������^��Q���^����b��,�=_the�map����^��2��|s�A�[�`�]���!��������	�<�qƴ`��냲is�a�map�of�Galois�mo�Gdules.�g�T��*�o����6�compute��8�det��^(��(��[ٲ))�8�observ���e�that�if��e����1��|s�,�>��e����2���A�is�a�basis�for��A�[�`�],�and���(��[ٲ)��=������b���������	�a���w$b���\q���	h�c���$md������ǟ��b������,�then��������{gx��[ٲ(�e����1���S�^�8�e����2��|s�)��������=������m�(�ae����1���S�+�8�ce����2��|s�)��^��(�be����1���+��de����2��|s�)�����������=������m�(�ad�8���bc�)�e����1���S�^��e����2��C��=����det�����(��(��[ٲ))�e����1���^��e����2���������6लTh���us��"���^��2��|s�A�[�`�]�giv�es�the�one-dimensional�represen�tation��det����(��).��/Since����^��2��|s�A�[�`�]�is�iso-����6�morphic�UUto��������
iy�qƴ`�����it�follo���ws�that��det��8�(��)��=���.����6��Solution�&n17.�
���The���denition�of��h�d�i��is�as�follo���ws:���c�ho�Gose���an�y�matrix������d���S�2�<������0��|s�(�N��)��[+��6�suc���h���that������d��	ˆ����֟��b�����F���Xմd����0����卍�ou0���Im�d����r��1������!o����b����,!U�(�mo�Gd����N��),��then��h�d�i�f�,e�=�ֵf���j��������d���	U�:��Observ�e�that�����1��|s�(�N��)�is�a����6�normal���subgroup�of�����0��|s�(�N��)�and�the�matrices������d�����,��=for�(�d;���N��)���=�1,��=�d�<�N��,��=are���a����6�system�9xof�coset�represen���tativ�es.�1Th�us�9xan�y������b���������
yw�a����b���\q���
�?c�����d�����k'���b���� Cϸ2�CQ�����0��|s�(�N��)�can�b�Ge�written�in�the����6�form�UU�����d��Ⓒ�8�g��.�for�some��g�"�2�������1��|s�(�N��).�q�W��*�e�ha���v�e������LY�f�ڧ�=���f���j��������d��2Ҵg��C;�=�(�f��j��������d���	U�)�j����g��n�=�(�"�(�d�)�f��)�j����g��n�=��"�(�d�)�f��j����g��n�=��"�(�d�)(�cz��w�+�8�d�)�������k��+��f����7���^�������<$��M޵az��+��b��Mޟw�fe�֟	(֍��cz��+��d������'d���^����0l�:��!3���6��Solution��T18.���ڍ����Hल1.����U��Since�녵c���^��2��=۲=��h1,�the�minimal�p�Golynomial��f���of���(�c�)�divides��x���^��2��s����1.�4XTh���us��f��is��.��U��either�B�x���+�1,�F��x����1,�or�B�x���^��2���k���1.�k�If��f�ڧ�=���x��+�1�then���(�c�)��=���1�=������b�����ꪍ��	��1���Jr0����.���G0���
q��1�����!���b����&��.�k�This�����U��implies��F�det��*N(��(�c�))�Yp=�(��1)���^��2����=�1,��a�F�con���tradiction�since��det��(��(�c�))�Yp=���1�F�and����U�µ`��>��2.�i?If�;��f�ڧ�=��x�����1,�@�then���(�c�)��=�1;�DEagain�a�con���tradiction.�i?Th�us�the�minimal����U��p�Golynomial�Y3of���(�c�)�is��x���^��2�����;t�1�͋=�(�x����1)(�x��+�1).�}bSince�Y3��1��6�=�1�there�is�a�basis����U��of�"�eigen���v�ectors�for���(�c�)�suc�h�that�matrix�of���(�c�)�with�resp�Gect�to�this�basis�is������U�Ÿ��b�����UU���[����1���h�0����.���b'�0���h�1�����n�6���b����s'��.�������H�2.����U��The���follo���wing�example�sho�ws�that�when��`�Z:�=�2���the�matrix�of������A;`����need�not��\s��U��b�Ge�Iconjugate�to������b�����UU���	��1����w0���؍��	�0���Lv��1�����3����b���� ��.�m�Let��y��[ٟ�^��2���d�=���x�(�x���^��2����� s�a�)�with��a��2��Q��not�a�square.�m�Then���e���I;�A�[2]��=��f1�;����(0�;��0)�;��(����O�p���UW��O�feI0��㍵a����
��;��0)�;��(�����Op���UW��O�feI0��㍵a����;��0)�g�:������U�²The��action�of��c��on�the�basis�(0�;����0)�;��(������p���UW����feI0�3荵a����
��;��0)��is�represen���ted�b�y�the�matrix���(��������>P�1����1���؍��>P0����1������IJ)����S,����U��since�UU�c�(������p���UW����feI0�3荵a����
��;����0)��=�(������p���UW����feI0�3荵a����;����0)�=�(0�;��0)�8�+�(������p���UW����feI0�3荵a����
��;��0)�:���ۍ�6��Solution��T19.�����>���7
���������6��62��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y���������Hल1.����U��Cho�Gose��Aa�sequence��p����1��|s�;���p����2���;��:�:�:���8�of��Adistinct�prime�n���um�b�Gers.�`�Dene��A�����1��Vh�:����G��!�����U�Ÿ���Q��`�3�F����2���Ȳb���y������H�����1��|s�(��[ٲ)����i��d�=�������\�(����.���
�S�0�����Uif�UU���.�acts�trivially�on��Q�(�������p���UW�����fe\L�;��p����i��������)���ҏ�;���fc���
�S�1�����Uotherwise�������z���U��Th���us�UU�����1���Ȳis�just��zz���V��G���!���Gal��g(�Q�(����H�p���UW��H�fe	�s�����p����1������ʵ;�������H�p���	����H�fe	�s�����p����2������r�;����:�:�:�����)�=�Q�)����������Y����8��F����2��|s�:��������Hल2.����U��Let�dB��F����2��	���������Q����F����2��൲b�Ge�the�subgroup�of�elemen���ts�ha�ving�only�nitely�man�y����U��nonzero�i+co�Gordinates.�#Then������Q��
���F����2��|s�=�`����F����2��垲is�i+a�v���ector�space�o�v�er��F����2��垲of�dimension����U�µ>���0.�[�By��Zorn's�lemma,�!there�is�a�basis��B�aٲof������Q��0o�F����2��|s�=��3���F����2���.�[�Let���b���2�B�aٲand�and����U��let�z̵W��[�b�Ge�the�space�spanned�b���y��B����Q�f�b�g�.��,Then��V�>m�=��(�����Q��q�F����2��|s�=����F����2���)�=W��[�is�z�an����U���F����2���Ȳv���ector�UUspace�of�dimensional�1.�������H�3.����U��Let�UU���b�Ge�the�comp�osite�map��(����������������ݟ�5Gal���>ߟ�5(����_�fe������Q������=�Q�)�������������u��.5���������BƟ.5�fd�����������g�
z���������������[K� y��)�)�����������j��i�R���������U��AR����������V�$R����������̟d�R����������+B���R����������Ǹ��R����������d.�'yR������������hQR������������)R����������9���R������������
*�R����������r|�k�R�����������	��R���������׫h��aR����������Gޟ.9R���������������O�!.5�Q���'��(�9�F����2��������������M�&.9�/�/�������࢟&ak�fd#lq���������M�)��V������������������+�~���	酷���0E���	���=������������������[K�&.9�/�/�������[L�&ak�fd�����������[K�(�9�f�1�g������������@�ݍ����Hल4.����U��Let�'��H����=��%�k���er���(��)�%�����Gal��Ů(����_�fe������Q������=�Q�).���If���[ٲ(�������p���UW�����fe\L�;��p����i��������)�=��������p���UW�����fe\L�;��p����i������R�and���[ٲ(����:P�p���UW��:P�fe	>��Ű��p����j�������)�=�����:P�p���{��:P�fe	>��Ű��p����j������^�for��SꍑU�µi��3�6�=��j����,��jthen�ș����2��H����.�˓Th���us��H����do�Ges�not�x�an�y��Q�(�������p���UW�����fe\L�;��p����i��������),��jso�the�xed�eld�of����U�µH�O�is���Q�.��The�largest�Galois�group�quotien���t�through�whic�h����factors�is�then�����U��Gal��eG�(�Q�=�Q�)��=��f�1�g�,�UUa�con���tradiction�since�����6�=�1.��X��6��Solution��T20.�㎲W��*�e�UUha���v�e��f�ڧ�=���f����1���S�+�8��	zf����2���Ȳwith��������f�f����1�������Ȱ�=�����Ǐεq�����8�q��[ٟ����3��,���q��[ٟ����4���+�����������������f�f����2�������Ȱ�=�����Ǐεq��[ٟ����2��,��8�2�q��[ٟ����3�����q��[ٟ����4���+�2�q��[ٟ����5���+��������������6लBecause��y�S����2��|s�(����0���(23))�has�dimension�2,�X�it�is�spanned�b���y��f����1��	m�and��f����2���.�	F2Let���[ٲ(�q��)�u�=��
	؍�6वq�������B��1����x�W	�@��P�24������'����Q���,��n��1��$��(1�j?���q��[ٟ�^��n���W�).�O�Then��d�g��_�=�B�(��[ٲ(�q��)���(�q����^��23��Կ�))���^��2�����2��S����2��|s�(����0���(23)).�O�Expanding��dw���e�nd�that��
p8��6वg�M�=���q��[ٟ�^��2��"[��J�2�q��[ٟ�^��3���+����������^�,�u�so�o�g�M�=���f����2��|s�.��Next�observ���e�that��g���is�a�p�Go�w�er�series�in��q��[ٟ�^��2���L�,�u�mo�Gdulo����6�2,�UUsince�������s�g������V�=�������t�q��[ٟ����2����������Y����J�(1�8���q��[ٟ����n���W�)������2��|s�(1����q��[ٟ����23�n��
�=�)������2�����������V��������t�q��[ٟ����2����������Y����J�(1�8���q��[ٟ����2�n��	�ʲ)(1����q��[ٟ����46�n��
�=�)�	��(�mo�Gd���2)����������V��������t�q��[ٟ����2����������Y����J�(1�8�+��q��[ٟ����2�n����+��q��[ٟ����46�n����+��q��[ٟ����48�n��
�=�)�	��(�mo�Gd���2)������6�Th���us�u�the�co�Gecien�t�in��f����2����of��q��[ٟ�^��p���+�,���with��p����6�=�2�u�prime,�is�ev���en�and�the�prop�Gosition����6�follo���ws.����6��Solution��T21.��W�����Hल1.����U��Let�b+���`�2����}�����	�qƴ`��+��b�Ge�a�primitiv���e��`�th�ro�ot�of�unit���y��*�.��JSince����^��2��|s�A�[�`�]����T͍���}����+3����}�=�������
�������<�qƴ`��m"�,�eathere�exists����U�µP�G;���Q���2��A�[�`�]��$suc���h�that��P�>�^�ڀ�Q���=�����.�7bSince��$�`�>��2�there�exists�����suc���h�that�������^����摸6�=�����,����U��hence�OܵP��c���^������^�-�Q���^����)��6�=���P��~�^��Q�.�o�This�is�imp�Gossible�if�all��`�-torsion�is�rational,�P�since����U��then�UU�P��c���^����	�=�=���P���and��Q���^����)��=��Q�.�������H�2.����U�µy��[ٟ�^��2���d�=��(�x�8���a�)(�x����b�)(�x����c�)�UUwhere��a;���b;�c�UU�are�distinct�rational�n���um�b�Gers.�����?+���7
���������r�LECTURE���11.���EXER�ÎCISES�(APPENDIX)��Y��63����Y������6��Solution��T22.��:ڍ����Hल1.����U��Let����K����b�Ge�the�splitting�eld�of��x���^��3��"%�+����ax��+��b�.�[zThen������em���b�eds��Gal����(�K�(�=�Q�)�in�����U��GL��c��(2�;����F����2��|s�):��ղ���������������P��5Gal���KR��5(����_�fe������Q������=�Q�)�����������������vu��#���������������N����/�/�������Y����2�fdc�ǎ������Rj�.5�&�&���������������N�����������u��bN������������{�N�����������S�RN�����������Ÿ(UN�����������1���N���������������N�������������HN�����������~�
��N������������W�N�����������\�.;N��������������!N�GL��/$3(2�;����F����2��|s�)�����������������Y��(�5Gal������(�5(�K�(�=�Q�)���������������jڟ:%�+������p������������'���8�8����������#����q������������
�q���������n�W�q���������Z����q���������G/��Wq���������3��&q��������� E�B�q���������П}�q����������[���q�������������bq�����������q�.1q����������=�������Hल2.����U�µ�UU�is�reducible�exactly�when�the�p�Golynomial��x���^��3���S�+�8�ax��+��b�UU�has�a�rational�ro�ot.�������H�3.����U�µy��[ٟ�^��2���d�=���x�(�x���^��2������L�23),�M�y��[ٟ�^��2���=��x���^��3����+��L�x����1.�W�[[Insert��Ra���vi's�geometric�commen�ts�here.]]��:ۍ�6��Solution��23.�
]̲Consider�_the�c���haracter���'D�=�}�"=�.���By�assumption���!Dz(�F��*�rob���*����p����)�=�1����6�for��mall�unramied��p�.�
F��*�urthermore,����4�factors�through�a�nite�ab�Gelian�extension�of����6वK�(�=�Q�.�!�F��*�or�d�an���y���"�2����Gal��g(�K�=�Q�),���the�Ceb�Gotarev�densit���y�theorem�insures�that�there�are����6�innitely�c�man���y�primes��p��suc�h�that��F��*�rob��������p��
L�=��c��[ٲ.���In�particular,�g���!Dz(���)��c=���!Dz(�F��*�rob���*����p����)�=�1,����6�so�UU���߲=��1�and�hence����=��"�.����6��Solution��T24.�������Hल1.�����U��deg��d�Q()��=��p�,�UU[��82����,�2.11].�������H�2.����U��By��^[��82����,��\5.5],������1�is�separable,��\so�#�A�(�F����p���R�)��=��deg���(�����1).�<uSince��has�degree������U�µp�,�Vthere��exists�an�isogen���y�����}�fe8������
(the�dual�isogen�y�[��82����,�VI�GI�I.6]),�suc���h��that�����}�fe8������	��=���p�.����U��Letting�UUbars�denote�the�dual�isogen���y��*�,�w�e�ha�v�e���s������#�A�(�F����p���R�)��=��deg���(�8���1)��������=������(�8���1)���Lщfe 8��/�(����1)���������������=����������}�fe8������	qĸ�8��������}�fe8���������+�1�����������=�������p�8����tr��
()�+�1����u������H�3.����U��Both�UUmaps�are��p�th�p�Go���w�ering�UUon�co�ordinates.��:ۍ�6��Solution��25.�
$��Because�
ص`����6�=��p��and��A��has�go�Go�d�reduction�at��p�,�89the�natural�map��&���6वA�[�`�]���!���x䍑j��~������A���
G�[�`�]�UUis�an�isomorphism.�q�W��*�e�ha���v�e�UUthe�follo���wing�comm�utativ�e�diagram���덍�������������M���Gal����O���(�Q����p���R�(�A�[�`�])�=�Q����p���)���������������^/���������������������	�-����/�/��������-���2�fd�������罟1��������ƴ��1�]�fd�����������-�Aut����(�A�[�`�])�������������������DQ���$�����0E���$�M�=������������������!���8��������!���8�.8fd������������'�(�1�Gal���9)�(�1((�O�G�=�)����F���p���
\m�)������������	�-�&���/�/�������6T�&�Ԅfd!�َ����������-�)��Aut�����)�(���x䍑��~�����A�����[�`�])������������=ʆ��6�It�PUfollo���ws�that�the�rst�v�ertical�map�m�ust�b�Ge�injectiv�e,��whic�h�is�the�same�as����6��Q����p���R�(�A�[�`�])�=�Q����p���b�Geing�UUunramied.����6��Solution��T26.�㎲The�UUlev���el�one�c�haracter�	�is�obtained�b�y�the�comp�Gosition��ʍ��xZ�Gal�����(�Q�������nr���፴`���
��(�`������`��1��Z�)�=�Q�������nr���፴`����)���!��������	�<�qƴ`��1���(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�)��!��������	�<�qƴ`��1���(����_�fe<o����F������w��<o����i��<o�`����S�)�=��F����������፴`�����:���g��6लLet��ɵ�碲b�Ge�suc���h�that����[ٟ�^��`��1��8K�=���`�.�.�Then�	(��[ٲ)�=�����&h���K��@L�(���)���K��ʉfe������L�������E�(�mo�Gd������)�:��ɲLet������2�����_�fe������Q����j��qƴ`���R�b�Ge�a�primitiv���e����6व`�th�UUro�Got�of�unit���y��*�.�q�No�w������������xĴ`��1������������Y��������7�a�=1����~��(���������a���3��8�1)��=��`;�����@@��7
���������6��64��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y������6लso��\t���X\(���ø�8�1)������`��1�������0��`��1������������Y���������a�=1�������<$��!P������^��a���3���1��!P�w�fe,3�	(֍�k8�����1�����@:�=���`��G��6लand�UU(this�is�where�Wilson's�theorem�is�used),��������������`��1�������ן���Y��������*,�a�=1�������<$���~z����^�����a��v�`����3��8�1���~z�w�fe,3�	(֍�k8���ø�8�1�����ڤ�����1�	��(�mo�Gd������ø�8�1)�:��^*��6लSince�~the�p�Golynomial��x���^��`��1��⌸��2�1�has�ro�ots�o���v�er�~�F����`����,�*Cb�y�Hensel's�lemma�there�is�a�unit����6वu���2��Q����`����(�`���^��`��1��Z�)�UUsuc���h�that���t���)�u������`��1���r�=������7��`��1�������ß���Y���������a�=1�������<$��f������^��a���3��8�1��f�w�fe,3�	(֍�k8���ø�8�1�����0z̵:����6लW��*�e�UUcan�tak���e���"�=��(���ø�8�1)�u�.�q�Then��X�������<$������[ٲ(���)�����w�fe��	(֍�������������-�=���������<$��¤~(������^���(��@L�)���x��8�1)��[ٲ(�u�)��¤~�w�feBQܟ	(֍�=�(���ø�8�1)�u��������捍����-�=���������<$��¤~(���ø�8�1)(������^���(��@L�)��1����+���������g�+�1)��[ٲ(�u�)��¤~�w�fe����	(֍�/\,(���ø�8�1)�u���������
������-�=������qK(����������(��@L�)��1����+��8�������g�+�8�1)��[ٲ(�u�)�=u����������-�������qK��(��[ٲ)�	��(�mo�Gd������ø�8�1)����33��6��Solution��P27.��B�W��*�e�6�write��N��3�=���N��(��)�and��k���=��k�P��(��)�to�sa���v�e�6�space.�g�The�essen���tial�to�Gol����6�is�UUTheorem�5.��������H�1.����U�µ`���=�5:�qǵN��3�=�6,�UU�k���=�6,��`�>��5,��N��3�=�30,��k���=�2.�������H�2.����U�µ`���=�5:�f��N��3�=�2�����3����7,�C��k���=��6;�F��`��=�7:��N��3�=�2�����3����5,�C��k���=��8;�F��`�>��7:��N��3�=�2�����3����5����7,����U�µk���=��2.�������H�3.����U�µ`���=�3:�+��N��3�=�2�и��5����11,���k���=��4;����`��=�5:��N��3�=�2�и��3����11,���k���=��6;����`��=�7:��N��3�=�2�и��3����5����11,����U�µk���=��2;�UU�`��=�11:�qǵN��3�=�2�8���3����5,��k���=��12;��`�>��11:�qǵN��3�=�2�8���3����5����11,��k���=��2.�������H�4.����U�µ`��O�=�3:�~	�N��j�=�7�<����13,�\��k�!�=��O2;�^��`��=�5:��N��j�=�7�<����13,�\��k�!�=��O6;�^��`��=�7:��N��j�=�5�<����13,�\��k�!�=��O8;����U�µ`���=�13:�qǵN��3�=�5�8���7,�UU�k���=��14;��`��=�11�;���`�>��13:�qǵN��3�=�5�8���7����13,�UU�k���=�2.�������H�5.����U�µ`���=�3:��N��3�=�2��A���11����19,���k���=��2;��ʵ`��=�7:��N��3�=�2��A���11����19,���k���=��8;��ʵ`��=�11:��N��3�=�2��A���7����19,����U�µk���=��12;�UU�`��=�19:�qǵN��3�=�2�8���7����11,��k���=��20;��`��other:�qǵN��3�=�2�8���7����11����19,��k���=��2.�����AQǠ�7
�����Y�����;���2���BIBLIOGRAPHY��AY�����;ॲ1.���H��A.�q�Ash�and�G.�Stev���ens,�y�Cohomolo��}'gy��=of�arithmetic�gr�oups�and�c�ongruenc�es�b�e-����H��twe��}'en���systems�of�He�cke�eigenvalues�,��WJ.��WReine�Angew.�Math.��365��(1986),�192{����H��220.������;�2.���H��A.���O.�L.�HA���tkin�and�J.�Lehner,�n��He��}'cke�uop�er�ators�on������0��|s�(�m�),�n�Math.�HAnn.��185����H�ò(1970),�UU134{160.������;�3.���H��B.���J.���Birc���h,����Cyclotomic�$�elds�and�Kummer�extensions�,�Algebraic���Num���b�Ger�The-����H��ory���(Pro�Gc.�Instructional�Conf.,�Brigh���ton,�1965),�Thompson,�W��*�ashington,�D.C.,����H��1967,�UUpp.�85{93.������;�4.���H��B.���J.�9�Birc���h�and�W.�Kuyk�(eds.),�ra�Mo��}'dular���functions�of�one�variable.�IV�,�9�Springer-����H��V��*�erlag,�UUBerlin,�1975,�Lecture�Notes�in�Mathematics,�V�ol.�476.������;�5.���H��S.�aBosc���h,�*,W.�L�G����utk�eb�ohmert,�*,and�aM.�Ra�ynaud,�*,�N�����$�er��}'on�bDmo�dels�,�Springer-V��*�erlag,����H��Berlin,�UU1990.������;�6.���H��N.��7Boston,��pH.���W.�Lenstra,�Jr.,�and�K.���A.�Rib�Get,��Quotients�Ѯof�gr��}'oup�rings�arising����H��fr��}'om�v�two-dimensional�r�epr�esentations�,�;�C.�5�R.�Acad.�Sci.�P���aris�S���Ger.�I�5�Math.��312����H�ò(1991),�UUno.�4,�323{328.������;�7.���H��C.���Breuil,��!B.�Conrad,�F.�Diamond,�and�R.�T��*�a���ylor,��On�$the�mo��}'dularity�of�el���liptic����H��curves���over��Q�,�UUin�preparation.������;�8.���H��S.��nBrueggeman,����The��non-existenc��}'e�of�c�ertain�Galois�extensions�unr�amie�d�out-����H��side���5�,�UUJournal�of�Num���b�Ger�Theory�x��75��(1999),�47{52.������;�9.���H��K.�UUBuzzard,��On���Level�lowering�for�mo��}'d�2�r�epr�esentations�,�UUin�preparation.������6�10.���H��H.���Cara���y�ol,����Sur���les�r��}'epr�����$�esentations��`�-adiques�asso�ci�����$�ees�aux�formes�mo�dulair�es��j���H��de���Hilb��}'ert�,�UUAnn.�scien���t.��<r��x���Ec.�Norm.�Sup.,�4���^��eb���;�s���Gerie��19��(1986),�409{468.������6�11.����H�Äff��hR�,���Sur��rles�r��}'epr�����$�esentations�galoisiennes�mo�dulo��`��attach�����$�ees�aux�formes����H��mo��}'dulair�es�,�UUDuk���e�Math.�J.��59��(1989),�785{801.������6�12.���H��W.��Casselman,�=��On���r��}'epr�esentations�of���GL����۟��2��D�and�the�arithmetic�of�mo�dular����H��curves�,�~�Mo�Gdular�v�functions�of�one�v��q�ariable,�I�GI�vz(Pro�c.�v�In���ternat.�Summer�Sc�ho�Gol,����H��Univ.�_An���t�w�erp,�asAn�t�w�erp,�1972)�_(Berlin),�Springer,�1973,�pp.�107{141.�Lecture����H��Notes�UUin�Math.,�V��*�ol.�349.������6�13.���H��I.���V.����x�����Cerednik,�(��Uniformization�/�of�algebr��}'aic�curves�by�discr�ete�arithmetic�sub-����H��gr��}'oups��}of���PGL���㜟��2��`�(�k����w��y1�)��with�c�omp�act�quotient�sp�ac�es�,��nMat.��Sb.�(N.S.)��100(142)����H�ò(1976),�UUno.�1,�59{88,�165.������6�14.���H��R.���F.���Coleman�and�B.�Edixho���v�en,��On�1�the�semi-simplicity�of�the��U����p���R�-op��}'er�ator�1�on����H��mo��}'dular���forms�,�UUMath.�Ann.��310��(1998),�no.�1,�119{127.�������;�65����B]���7
���������6��66��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y��������6ल15.���H��R.���F.���Coleman�and�J.�F.�V��*�olo�Gc���h,����Comp��}'anion��forms�and�Ko�dair�a-Sp�enc�er�the�ory�,����H��In���v�en�t.�UUMath.��110��(1992),�no.�2,�263{281.������6�16.���H��B.��1Conrad,�#�F.�Diamond,�and�R.�T��*�a���ylor,��Mo��}'dularity���of�c�ertain�p�otential���ly����H��Barsotti-Tate��VGalois�r��}'epr�esentations�,��rJ.�_Amer.�Math.�So�Gc.��12��(1999),�no.�2,����H��521{567.������6�17.���H��J.���E.��7Cremona,����A���lgorithms���for�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second��7ed.,�Cam���bridge����H��Univ���ersit�y�UUPress,�Cam���bridge,�1997.������6�18.���H��C.���W.�.[Curtis�and�I.�Reiner,�6'�R��}'epr�esentation�pthe�ory�of�nite�gr�oups�and�asso�cia-����H��tive�^algebr��}'as�,�g�In���terscience�1Publishers,�a�division�of�John�Wiley�&�Sons,�New����H��Y��*�ork-London,�UU1962,�Pure�and�Applied�Mathematics,�V�ol.�XI.������6�19.���H��P��*�.���Deligne,����F��;�ormes��mo��}'dulair�es�et�r�epr�����$�esentations��`�-adiques.�,���S�����Gem.���Bourbaki�no.����H��355,���1968/69��/(Berlin�and�New�Y��*�ork),�Springer-V�erlag,�1971,�Lecture��/Notes�in����H��Mathematics,�UUV��*�ol.�179,�pp.�139{172.������6�20.���H��P��*�.��Deligne�and�M.�Rap�Gop�ort,�F	�L��}'es�Esch�����$�emas�de�mo�dules�de�c�ourb�es�el���liptiques�,����H��Mo�Gdular��functions�of�one�v��q�ariable,�@�I�I�k(Pro�c.�In���ternat.�Summer�Sc�ho�Gol,�@�Univ.����H��An���t�w�erp,�H�An�t�w�erp,�1972)�EO(Berlin),�Springer,�1973,�pp.�143{316.�Lecture�Notes����H��in�UUMath.,�V��*�ol.�349.������6�21.���H��F.��Diamond,���The�C�r��}'ene�d�c�onje�ctur�e�of�Serr�e�,��Elliptic��curv���es,�mo�Gdular�forms,�&����H��Fermat's��alast�theorem�(Hong�Kong,��$1993)�(Cam���bridge,�MA),�In���ternat.�Press,����H��1995,�UUpp.�22{37.������6�22.���H��F.�UUDiamond�and�J.�Im,��Mo��}'dular���forms�and�mo�dular�curves�,�UU(1995),�39{133.���ԍ���6�23.���H��D.���Doud,�&ŵS����4����and���x䍑�
�~�����.�S����
�`���4�����extensions�.of��Q��r��}'amie�d�.at�only�one�prime�,�J.���Num���b�Ger����H��Theory�x��75�UU�(1999),�no.�2,�185{197.������6�24.���H��V.���G.���Drinfeld,���Coverings��of��p�-adic�symmetric�domains�,�F��*�unk���cional.���Anal.�i����H��Prilo���v�UUzen.��10��(1976),�no.�2,�29{40.������6�25.���H��B.�}2Edixho���v�en,��l�L'action��de�l'alg�����$�ebr��}'e�de�He�cke�sur�les�gr�oup�es�de�c�omp�osantes�des����H��jac��}'obiennes���des�c�ourb�es�mo�dulair�es�est�\Eisenstein���P"�,�yAst�����Gerisque�A�(1991),�no.�196{����H��197,��7{8,�159{170��f(1992),�Courb�Ges�mo�dulaires�et�courb�es�de�Shim���ura�(Orsa�y��*�,����H��1987/1988).������6�26.����H�Äff��hR�,��F�The��}weight�in�Serr��}'e's�c�onje�ctur�es�on�mo�dular�forms�,��FIn���v�en�t.��Math.��109����H�ò(1992),�UUno.�3,�563{594.������6�27.���H��M.�ZEic���hler,�[Q�Quadr��}'atische��OFormen�und�Mo�dulfunktionen�,�[QActa�ZArith.��4��(1958),����H��217{239.������6�28.���H��G.���F��*�altings,����End���lichkeitss���atze��8f� �����ur�ab��}'elsche�Variet�aten������ub��}'er�Zahlk�orp��}'ern�,���In���v�en�t.����H��Math.�UU�73��(1983),�no.�3,�349{366.������6�29.���H��G.��.F��*�altings�and�B.���W.�Jordan,��$�Crystal���line�Úc��}'ohomolo�gy�and���GL���(2�;����Q�),��$Israel��.J.����H��Math.�UU�90��(1995),�no.�1-3,�1{66.������6�30.���H��G.��UF��*�rey�,���Links�/b��}'etwe�en�stable�el���liptic�curves�and�c�ertain�Diophantine�e�quations�,����H��Ann.�UUUniv.�Sara���v.�Ser.�Math.��1��(1986),�no.�1,�iv+40.������6�31.����H�Äff��hR�,����Links�wtb��}'etwe�en�solutions�of��A��ĸ��B��²=�cQ�C�.��and�el���liptic�curves�,���Num���b�Ger����H��theory�UU(Ulm,�1987),�Springer,�New�Y��*�ork,�1989,�pp.�31{62.������6�32.���H��A.�8�F��*�r����ohlic���h,�>~�L��}'o�c�al�y�elds�,�Algebraic�8�Num���b�Ger�Theory�(Pro�c.�Instructional�Conf.,����H��Brigh���ton,�UU1965),�Thompson,�W��*�ashington,�D.C.,�1967,�pp.�1{41.������6�33.���H��K.�UUF��*�ujiw���ara,��L��}'evel���optimization�in�the�total���ly�r�e�al�c�ase�,�UUin�preparation�(1999).������6�34.���H��B.���H.���Gross,��;�A���tameness���criterion�for�Galois�r��}'epr�esentations���asso�ciate�d�to�mo�d-����H��ular���forms�(mo��}'d��p�)�,�UUDuk���e�Math.�J.��61��(1990),�no.�2,�445{517.������6�35.���H��H.�:�Hida,�s��Galois�f�r��}'epr�esentations�into���GL���ȟ��2���;�(�Z����p���R�[[�X���]])��attache�d�to�or�dinary�cusp����H��forms�,�UUIn���v�en�t.�Math.��85��(1986),�no.�3,�545{613.�����Ci͠�7
������ww���3�BIBLIOGRAPHY���7�67����Y��������6ल36.����H�Äff��hR�,�!�Iwasawa��mo��}'dules�attache�d�to�c�ongruenc�es�of�cusp�forms�,�!Ann.���Sci.��j����I���x���H��Ecole�UUNorm.�Sup.�(4)��19��(1986),�no.�2,�231{273.������6�37.���H��H.�K�Jacquet�and�R.���P��*�.�Langlands,����A���utomorphic��Zforms�on���GL���?(2),�Springer-V��*�erlag,����H��Berlin,�UU1970,�Lecture�Notes�in�Mathematics,�V��*�ol.�114.������6�38.���H��F.�p�Jarvis,����On���Galois�r��}'epr�esentations���asso�ciate�d�to�Hilb�ert�mo�dular�forms�,���J.����H��Reine�UUAngew.�Math.��491��(1997),�199{216.������6�39.����H�Äff��hR�,����L��}'evel�:�lowering�for�mo�dular�mo�d��`��r�epr�esentations�over�total���ly�r�e�al����H��elds�,�UUMath.�Ann.��313��(1999),�no.�1,�141{160.������6�40.����H�Äff��hR�,����Mazur's���principle�for�total���ly�r��}'e�al���elds�of�o��}'dd�de�gr�e�e�,���Comp�Gositio�m�Math.����H���116�UU�(1999),�no.�1,�39{79.������6�41.���H��N.�O�Jo�Gc���hno�witz,��j�A�zstudy�zUof�the�lo��}'c�al�zUc�omp�onents�of�the�He�cke�algebr�a�mo�d��`�,����H��T��*�rans.�UUAmer.�Math.�So�Gc.��270��(1982),�no.�1,�253{267.������6�42.���H��B.���W.��Jordan�and�R.�Livn�����Ge,��Conje��}'ctur�e�:�\epsilon���P"�for�weight��k��>���2,�Bull.��Amer.����H��Math.�UUSo�Gc.�(N.S.)��21��(1989),�no.�1,�51{56.������6�43.���H��N.���M.���Katz,���Higher��c��}'ongruenc�es�b�etwe�en�mo�dular�forms�,��Ann.���of�Math.�(2)��101����H�ò(1975),�UU332{367.������6�44.����H�Äff��hR�,����A���r��}'esult���on�mo�dular�forms�in�char�acteristic��p�,���Mo�Gdular�^�functions�of�one����H��v��q�ariable,��V��r(Pro�Gc.�͑Second�In���ternat.�Conf.,�Univ.�Bonn,�Bonn,�1976)�(Berlin),����H��Springer,�UU1977,�pp.�53{61.�Lecture�Notes�in�Math.,�V��*�ol.�601.������6�45.���H��N.���M.�bKatz�and�B.�Mazur,�*-�A���rithmetic�bFmo��}'duli�of�el���liptic�curves�,�Princeton�bUni-����H��v���ersit�y�UUPress,�Princeton,�N.J.,�1985.������6�46.���H��C.��Khare,�>��Multiplicities�?�of�mo��}'d��p��Galois�r�epr�esentations�,�>�Man���uscripta��Math.����H���95�UU�(1998),�no.�2,�181{188.������6�47.���H��A.���W.��_Knapp,��*�El���liptic�/�curves�,�Princeton�Univ���ersit�y�Press,��*Princeton,�NJ,�1992.������6�48.���H��S.�;�Lang,�u<�Intr��}'o�duction�g�to�mo��}'dular�forms�,�Springer-V��*�erlag,�Berlin,�1995,�With����H��app�Gendixes���b���y�D.�Zagier�and�W��*�alter�F�eit,��Corrected�reprin���t�of�the�1976�original.������6�49.���H��R.���P��*�.�@�Langlands,�{��Mo��}'dular�lpforms�and��`�-adic�r�epr�esentations�,�{�(1973),�361{500.����H��Lecture�UUNotes�in�Math.,�V��*�ol.�349.������6�50.����H�Äff��hR�,���Base��change�for���GL��-�(2),�Princeton��Univ���ersit�y�Press,��Princeton,�N.J.,����H��1980.������6�51.���H��W.���C.�W.�اLi,���Newforms�!3and�functional�e��}'quations�,�Math.�اAnn.��212��(1975),�285{����H��315.������6�52.���H��R.�ʼnLivn�����Ge,��L�On��the�c��}'onductors�of�mo�d��`��Galois�r�epr�esentations�c�oming�fr�om�mo�d-����H��ular���forms�,�UUJ.�Num���b�Ger�Theory�x��31��(1989),�no.�2,�133{141.���㍍��6�53.���H��B.��Mazur,�9�Mo��}'dular�;�curves�and�the�Eisenstein�ide�al�,�9Inst.��Hautes����x���Etudes�Sci.����H��Publ.�UUMath.�(1977),�no.�47,�33{186�(1978).������6�54.���H��B.�q�Mazur�and�K.���A.�Rib�Get,�x��Two-dimensional��r��}'epr�esentations�in�the�arithmetic����H��of���mo��}'dular�curves�,�R�Ast�����Gerisque�R(1991),�no.�196-197,�6,�215{255�(1992),�Courb�Ges����H��mo�Gdulaires�UUet�courb�es�de�Shim���ura�(Orsa�y��*�,�1987/1988).������6�55.���H��J.���S.��Milne,�h��A���b��}'elian��Ovarieties�,�Arithmetic�geometry�(Storrs,�Conn.,�1984),����H��Springer,�UUNew�Y��*�ork,�1986,�pp.�103{150.������6�56.���H��T.�o3Miy���ak�e,�u��Mo��}'dular���forms�,�Springer-V��*�erlag,�Berlin,�1989,�T�ranslated�o3from�the����H��Japanese�UUb���y�Y��*�oshitak��q�a�Maeda.������6�57.���H��C.���Queen,�σ�The��?existenc��}'e�of��p�-adic�Ab�elian��L�-functions�,�σNum���b�Ger���theory�and����H��algebra�UU(New�Y��*�ork),�Academic�Press,�1977,�pp.�263{288.������6�58.���H��R.�UURamakrishna,��Lifting���galois�r��}'epr�esentations�,�UUpreprin���t.������6�59.���H��Mic���h���Gele�P}Ra�ynaud,��G�Sp�����$�ecialisation�z�du�foncteur�de�Pic��}'ar�d�,�Inst.�P}Hautes��7���x���Etudes����H��Sci.�UUPubl.�Math.�No.��38��(1970),�27{76.�����D{���7
���������6��68��tS<�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES�(Octob�<rer�4,�1999)���Y��������6ल60.���H��K.���A.�ZRib�Get,�&&�F��;�r��}'om�]�the�Taniyama-Shimur�a�c�onje�ctur�e�to�Fermat's�last�the�or�em�,����H��Ann.�UUF��*�ac.�Sci.�T�oulouse�Math.�(5)��11��(1990),�no.�1,�116{139.��\k����6�61.����H�Äff��hR�,���On��mo��}'dular�r�epr�esentations�of���Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)��arising�fr�om�mo�dular�forms�,����H��In���v�en�t.�UUMath.��100��(1990),�no.�2,�431{476.������6�62.����H�Äff��hR�,����L��}'owering��the�levels�of�mo�dular�r�epr�esentations�without�multiplicity�one�,����H��In���ternational�UUMathematics�Researc�h�Notices�(1991),�15{19.������6�63.����H�Äff��hR�,�<H�R��}'ep�ort�won�mo��}'d��`��r�epr�esentations�of���Gal��(����_�fe������Q������=�Q�),�<HMotiv���es�6(Seattle,�W���A,����H��1991),�UUAmer.�Math.�So�Gc.,�Pro���vidence,�RI,�1994,�pp.�639{676.������6�64.���H��T.��Saito,�F�Mo��}'dular�fforms�and��p�-adic�Ho�dge�the�ory�,�FIn���v�en�t.��Math.��129��(1997),����H��607{620.������6�65.���H��I.�'�Sc���h�ur,�\1�A���rithmetische�U^Untersuchungen�v����ub��}'er�end���liche�Grupp�en�line�ar�er�Sub-����H��stitutionen�,��Sitz.���Pr.�Ak��q�ad.�Wiss.�(1906),�164{184,�Gesam.�Abhl.,��I�,�177{197,����H��Springer-V��*�erlag,�UUBerlin-Heidelb�Gerg-New�Y�ork-T�oky���o,�1973.������6�66.���H��J-P��*�.�@9Serre,�Dr�Une��|interpr�����$�etation�des�c��}'ongruenc�es��|r�elatives����a�la�fonction����C�de�R�a-����H��manujan�,��S�����Geminaire�xJDelange-Pisot-P�oitou��n���^��o��	�k�14��(1967{68),��English�transla-����H��tion:�q��Hhttp://www.rzuser.uni-heidelberg.de/uhb3/Trans.html�.������6�67.����H�Äff��hR�,���Pr��}'opri�����$�et��es��galoisiennes�des�p��}'oints�d'or�dr�e�ni�des�c�ourb�es�el���liptiques�,����H��In���v�en�t.�UUMath.��15��(1972),�no.�4,�259{331.������6�68.����H�Äff��hR�,���Congruenc��}'es�Det�formes�mo�dulair�es�[d'apr�����$�es�H.��=P.�F.�DSwinnerton-Dyer]�,����H��(1973),�UU319{338.�Lecture�Notes�in�Math.,�V��*�ol.�317.������6�69.����H�Äff��hR�,�ʍ�F��;�ormes��-mo��}'dulair�es�et�fonctions�z���^��$�eta��p�-adiques�,�ʍ(1973),�191{268.��Lec-����H��ture�UUNotes�in�Math.,�V��*�ol.�350.������6�70.����H�Äff��hR�,� h�A�V�Course�W
in�Arithmetic�,�Springer-V��*�erlag,�New�-Y�ork,�1973,�T�ranslated����H��from�UUthe�F��*�renc���h,�Graduate�T�exts�in�Mathematics,�No.�7.������6�71.����H�Äff��hR�,����V��;�aleurs���pr��}'opr�es�des�op�����$�er�ateurs�de�He�cke�mo�dulo��`�,���Ast�����Gerisque���24{25����H�ò(1975),�UU109{117.������6�72.����H�Äff��hR�,�k)�Divisibilit�����$�e���de�c��}'ertaines�fonctions�arithm���$�etiques�,�k)Enseignemen���t�f�Math.����H��(2)�UU�22��(1976),�no.�3-4,�227{260.������6�73.����H�Äff��hR�,���L��}'o�c�al���elds�,�Springer-V��*�erlag,�New���Y�ork,�1979,�T�ranslated���from�the����H��F��*�renc���h�UUb�y�Marvin�Ja�y�Green�b�Gerg.������6�74.����H�Äff��hR�,� ��L��}'ettr�e�W����a�J.-F.�Mestr��}'e�,�Curren���t��trends�in�arithmetical�algebraic�geome-����H��try�M/(Arcata,��Calif.,�1985),�Amer.�Math.�So�Gc.,�Pro���vidence,�RI,�1987,�pp.�263{268.������6�75.����H�Äff��hR�,�F��Sur�les�r��}'epr�����$�esentations�mo�dulair�es�de�de�gr�����$�e��2��de���Gal���!(����_�fe������Q������=�Q�),�F�Duk���e����H��Math.�UUJ.��54��(1987),�no.�1,�179{230.������6�76.����H�Äff��hR�,���A���b��}'elian��!�`�-adic�r�epr�esentations�and�el���liptic�curves�,��A���K���P���eters���Ltd.,����H��W��*�ellesley�,��EMA,��1998,�With�the�collab�Goration�of�Willem�Kuyk�and�John�Labute,����H��Revised�UUreprin���t�of�the�1968�original.������6�77.���H��J-P��*�.��5Serre�and�J.���T.�T�ate,�$��Go��}'o�d�,�r�e�duction�of�ab�elian�varieties�,�$�Ann.��5of�Math.����H��(2)�UU�88��(1968),�492{517.������6�78.���H��N.���I.�Shepherd-Barron�and�R.�T��*�a���ylor,��5�Mo��}'d���2�and�mo�d�5�ic�osahe�dr�al�r�epr�esen-����H��tations�,�UUJ.�Amer.�Math.�So�Gc.��10��(1997),�no.�2,�283{298.������6�79.���H��H.�5bShimizu,�me�On�bzeta�functions�of�quaternion�algebr��}'as�,�Ann.�5bof�Math.�(2)��81����H�ò(1965),�UU166{193.������6�80.���H��G.�8Shim���ura,�o��A��r��}'e�cipr�o�city� Rlaw�in�non-solvable�extensions�,�J.�8Reine�Angew.����H��Math.�UU�221��(1966),�209{220.������6�81.����H�Äff��hR�,���Intr��}'o�duction��$to�the�arithmetic�the��}'ory�of�automorphic�functions�,�Prince-����H��ton��Univ���ersit�y�Press,�+cPrinceton,�NJ,�1994,�Reprin���t�of�the�1971�original,�Kan����H��Memorial�UULectures,�1.�����E�s��7
������ww���3�BIBLIOGRAPHY���7�69����Y��������6ल82.���H��J.���H.���Silv���erman,����The���arithmetic�of�el���liptic�curves�,�Springer-V��*�erlag,�New���Y�ork,����H��1992,�UUCorrected�reprin���t�of�the�1986�original.������6�83.���H��C.���M.�>/Skinner�and�A.�J.�Wiles,�xf�Or��}'dinary�j!r�epr�esentations�and�mo�dular�forms�,����H��Pro�Gc.�UUNat.�Acad.�Sci.�U.S.A.��94��(1997),�no.�20,�10520{10527.������6�84.���H��H.���P��*�.�F.�xQSwinnerton-Dy���er,���On���`�-adic�r��}'epr�esentations��and�c��}'ongruenc�es��for�c��}'o�ef-����H��cients���of�mo��}'dular�forms�,�UU(1973),�1{55.�Lecture�Notes�in�Math.,�V��*�ol.�350.������6�85.���H��J.���T.���T��*�ate,���The�"mnon-existenc��}'e�of�c�ertain�Galois�extensions�of��Q��unr�amie�d�out-����H��side���2,�UUCon���temp�Gorary�Math.��174��(1994),�153{156.������6�86.���H��R.��YT��*�a���ylor�and�A.���J.�Wiles,����R���ing-the��}'or�etic�Уpr�op�erties�of�c�ertain�He�cke�algebr�as�,����H��Ann.�UUof�Math.�(2)��141��(1995),�no.�3,�553{572.������6�87.���H��J.���T��*�unnell,����A���rtin���P's��sc��}'onje�ctur�e�for�r�epr�esentations�of�o�ctahe�dr�al�typ�e�,���Bull.���Amer.����H��Math.�UUSo�Gc.�(N.S.)��5��(1981),�no.�2,�173{175.������6�88.���H��J.-L.���W��*�aldspurger,����Quelques��pr��}'opri�����$�et��es��arithm��etiques��de�c��}'ertaines�formes�au-����H��tomorphes���sur���GL����(2),�UUComp�Gositio�Math.��54��(1985),�no.�2,�121{171.������6�89.���H��A.���J.�|TWiles,���Mo��}'dular���el���liptic�curves�and�Fermat's�last�the�or�em�,��Ann.�|Tof�Math.����H��(2)�UU�141��(1995),�no.�3,�443{551.����������;��7
��I�H��<x

cmtt10�G#�f�cmti8�F���@ffcmti12�Dt}\�cmti7�?X�&eufm7�>�%n�

eufm10�9*��cmmib7�8DF��

cmmib10�7�"V
�3
cmbx10�5�':

cmti10�4o���		cmr9�3��N�cmbx12�1�-�hcmbx5�0f$�cmbx7�.���

msbm10�,����

msam10�+#��cmex7�*�C�scmtt8�)2�@�cmbx8�(�"V

cmbx10�'��N�ffcmbx12�%��N�G�cmbx12�q�%cmsy6�;�cmmi6��2cmmi8��Aa�cmr6�|{Ycmr8��5D

xycmbt10��5D

xycmat10��5D

xybsql10��6δ

xydash10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10��g�����