����;� TeX output 1996.04.04:1023������x�������=��������1����q�jcmr20�Ma���t��47h��x$em���a�t�i���cal��RDiary��#�􍍍�����@�����ffffcmr14�William���St���e�bAin������&a���JA��;}pr�:�il���4,�1996��5V���'��؀�G�G�cmbx17�1��C+�4/3/96���#���'���Kffffcmbx14�1.1��K7nLam's�L�Rep.�Th���eory��@��'�X�Qcmr12�W��Ve��sh���o��rw�e�S�d�t���h�a���t����g�cmmi12�S�����|{Ycmr8�4��	M�i�)�s�an��M�@�-group.��Thi�s�w��ras�accomp�ޔli�sh��re�S�d�b�y�in�d�u�cin��9g�up�����'1���dim��rens�)�ion���al�repre�S�s�:}en��t�a���t�ions�of�ce��rt�ain�su���bgroup�!ls��H��"�an�d�us�)�in��9g�F��Vrob�eni���us����'recipro�S�cit��ry��V.�	 BNext�7�w�e�pro�v�e�S�d�t���h�a���t��G����2�!�K�cmsy8�0��[�� !",�
cmsy10�\��w�Z�ܞ�(�G�)��\��H�y����X�H���V���2�0���X�wh��re��re��G����2�0���d���enot��Ee�S�s����'t���h��re�{comm�u��9t�a���t�or�{su���bgroup�of��G�.��ZLam�said�h�e�couldn't�pro�v�e�t���hi�)�s�in�a�purely����'group��t���h��reoret�i��Jc�w�ay�bu��9t�h�e�pro�v�e�S�d�it�e�!las�)�ily�us�in��9g�in��rd�u�ce�S�d�c�h�aract��Ee��r�[s.��"ʫ���'�1.2��K7nHour�L�Bre�-9ak����'�I��"t��ralk�e�S�d��)t��9o�Sa��2ul�a��rb�ou��9t�Rib�)�et's�clas�!ls.�/W��Ve�di�s��xcus�!ls�:}e�S�d�t���h��re�cons�[tru�ct�ion�of�t���h�e��������2cmmi8������'�an��rd��t���h�e�cons�[tru�ct�ion�of�t���h�e���X�via�fu��9nct�ions�on��GL���zC����2��:G�(�&��N�cmbx12�A�).��"ʫ���'�1.3��K7nRib�8�et����'�W��Ve��]le�!lar�)�n��re�S�d�more�a�b�S�ou��9t�t���h�e�s�[tru�ct�ure�of�t���h�e�repre�S�s�:}en��t�a���t�ions�������p��P��corre�S�sp�on�din��9g����'(via��Lan��9glan��rds)�t�o�t���h��re�lo�S�cal�repre�s�:}en��t��ra���t�ions����������uZ�j�����D���;�cmmi6�p����	�.�~�������p��	�\�can�b�)�e�on��re�of�t���hree����'t���hin��9gs.���1)��a�pr�2"incipal�s�:}e��r�ie�S�s�repre�s�:}en��t��ra���t�ion���P���S��׹(���;�����O�),��2)�a�sp�)�ecial�repre�s�:}en��t-����'a���t��rion����.Z�
���s�[t��j�,��qor�3)�cuspid��9al�(som��re�of�t���h�e�S�s�:}e�com�e�f�2"rom�quadra���t�i��Jc�ext��Eens�)�ions����'�K�5�=�Q�����p���]�,��t���h��re�re�S�s�:}et�are�calle�d�extraordin���ary).����8��W��Ve��xalso�t��ralk�e�S�d��xa�b�ou��9t��xt�wi�)�s�[t�in�g��xa�mo�S�d��rular�form�b�y�a�Dir�2"i��Jc�hlet�c�h�aract��Ee��r���:��"�R��{��f���
�����UR�=����������1��������#��u
cmex10�X���
�ҍ�	���1�������(�n�)�a�����n���P�q��n9����n��	k��2��S�����k��#��(�����1����(�N�@�M������2���)�;���"�����2���)�:�������1����*�x�������=�������'�Th��re��|f�)�act�i�s:�/�t���h��re��re�i�s�a�n��rewform��g�Ë�=��UR�����P�����b�����n���P�q��n9���2�n����,���b�����n�����=�UR�a�����p���]��(�p�)�for�all��p��6�j�N�@�M�`�su��rc�h�����'t���h��ra���t��if���������	`�corre�S�sp�on�ds��t��9o��f�2��t���h�en��������� �
������corre�S�sp�on�ds��t��9o��g�n9�.����8��Next�R�w��re�h�ad�t��9o�t�alk�a�b�S�ou��9t��C�ܞM��k�mo�d��rular�forms�in�ord���e��r�t��9o�lo�ok�a���t�wh��ra�t����'can��Oh��rap�p�)�en�t��9o���������uZ�j�D�����p�����wh�en���j�p�UR�=��`�.�/�F��Vor��f�N�t��9o�b�)�e��C�ܞM�3�m��re�!lans�t���h�a���t���������	D��b�)�ecom�e�S�s����'a��rb�)�elian��on�som�e�nit��Ee�in�d���ex�su���bgroup.����8��Fin���ally��V,��w��re�b�)�egan�askin��9g�que�S�s�[t�ions�a�b�S�ou��9t�t���h�e�re�S�d�u�ct�ion�of�t���h�e���������	`�mo�S�d��`�.��"ʫ���'�1.4��K7nW����et��Vfh���e��rall��@��'�W��Ve���w��ren��t�t��9o�lu�nc��rh.��He�t�o�ޔld�m��re�a�b�S�ou��9t�a�prob�ޔlem�of�Ed�Sc�h�aee��r.��\If��C����i�)�s����'a��curv��re�wit���h�p�S�oin��t��es�of�d���egree�s�2�an��rd�3�do�)�e�s��C��!�n��rece�s�!lsar�2"ily�h��ra�v�e��a�ra���t��rion���al����'p�S�oin��t��es?"�%[A��	p�o�!ls�s�)�ib�ޔly��h��relpful�f�act�i�s�t���h��ra���t�if��P�Q޹h�as�d���egree�2�an�d��Q��h�as�d���egree�3����'t���h��ren����D���=��wdgaloi�)�s��orbit�of��Q��Zv�����I�galoi�)�s��orbit�of��P��Z��i�)�s�a�divi�sor�of�d���egree�1.�t�Th���us����'�R�n��7!�UR�R��������D�>6�giv��re�S�s��a�m���ap��C�1�,���!���Jac��wi(�C�ܞ�).�����'�1.5��K7nHart��sh���or�8�n���e��@��'�W��Ve��#s�[t��rudie�S�d�curv�e�S�s�of�gen���us�3.�)RTh�ey�bre�!lak�in��t��9o�2�di�)�sjoin�t�clas�!ls�:}e�S�s.�)R1)�t���h���o�s�:}e����'wh���o�!ls�:}e�w�canoni��Jcal�sh��re�af�i�)�s�v��re��ry�amp�ޔle�(t���h�e�S�s�:}e�are�all�p�ޔlan�e�curv�e�S�s�of�d���egree����'4)��	an��rd�2)�h�yp�)�e��rellipt�i��Jc�gen���us�3�curv�e�S�s�(whi��Jc�h�Hart��esh���or�)�n�e�claims�all�liv�e�on�a����'quadr�2"i��Jc�4surf�)�ace).��W��Ve�did�t���h��re�exe��rci�s�:}e�t��9o�pro��rv�e��4dim���z�j�D�S��j�UR���d���eg�����D��.��Th��re�4so�ޔlu��9t�ion����'didn't��us�:}e�Riem���ann-Ro�S�c��rh�lik�e�I�t���h���ough�t�it�w�ould.�����'�1.6��K7nV����o��!jt���a��@��'�Let�67�X�'��b�)�e�a�pgsa��rv�(pro�p�)�e��r�gen�e��r�2"i��Jcally�smo�S�ot���h�ar�it���hm��ret�i��Jc�67v��X�ar�iet�y).��Let�67�D��Źb�)�e����'a�8%Cart��rie��r�divi�)�sor�on��X��.�!VTh�en�t���h�e��re�i�)�s�a�w�ay�t��9o�us�:}e�t���h�e�ar�2"it���hm�et�i��Jc�s�[tru�ct�ure����'of���X��+�t��9o�d���en��re�a�fu�nct��rion��g�����D���L�on��X��+������Sup�p��sx�D�S��.�8��g�����D���L�i�)�s�in�f�act�a�W��Ve�S�il�fu��9nct��rion.�����'�1.7��K7nA���t�iy�a��wh��@��'�I���w��ren��t���t��9o�a�t�alk�b�y�Sir�Mi��Jc�h�ael�on�t��9o�p�S�o�ޔlogi��Jcal�quan��t�u��9m�eld�t���h�eory��V.�.QHe�ga�v�e����'an��1axiom���a���t��ri��Jc�form���ula�t��rion�whi��Jc�h�re�S�s�:}em��ekb�ޔle�d��1h���omo�logy�t���h��reory��V.��A��TQFT�s�:}eems����'t��9o�	vb�)�e�a�m���ap�f�2"rom�m�anifo�ޔlds�of�dim��rens�)�ion��d��(wit���h�b�S�ou��9n�d�ary)�	vt�o�Hil��rb�)�e��rt�Space�S�s����'whi��Jc��rh�:�t�ur�)�ns�di�sjoin��t�u��9nion�in�t��9o�t��Eensor�pro�S�d��ru�ct��es�ins�[t��Ee�!lad�of�direct�su��9ms.�)
Th�e����'or�2"ien��t��ra���t�ion��rev�e��r�[s�:}e�S�d�v�e��r�[s�)�ion�of�a�m���anifo�ޔld��M���m���us�t�m���ap�t��9o�t���h��re�d�ual�hil�b�)�e��rt����'space.�NThi�)�s��giv��re�S�s�r�2"i�s�:}e�t��9o�lot��es�of�in��t��Ee��re�S�s�[t��rin�g�bilin��re�!lar�pair�2"in�gs.�NNu�m��ekb�)�e��r�t���h��reory������2����
��x�������=�������'�ev��ren�܊com�e�S�s�in��t��9o�it�b�)�eca��2us�:}e�t���h�e��re�i�)�s�som�e�n���u��9m�e��r�2"i��Jcal�in�v��X�ar�2"ian��t�whi��Jc�h�oft��Een�t�ur�)�ns�����'ou��9t��t�o�b�)�e�t���h��re�v��X�alue�of�Riem���ann's�zet�a�fu��9nct�ion�a���t�som�e�p�S�oin��t.������3�������;�x���&��N�cmbx12�#��u
cmex10�!�K�cmsy8� !",�
cmsy10�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12�|{Ycmr8���Kffffcmbx14��؀�G�G�cmbx17�����ffffcmr14����q�jcmr20�X�Qcmr12�r�����