Powered by CoCalc
����;� TeX output 1999.07.08:1116�������7
�����Y���3���v)�%��N�G�cmbx12�Serre's�z�conjectures��)���F�'��N�ffcmbx12�Kenneth�ffA.�Rib�s3et����'ZWilliam�ffA.�Stein�����*��7
�����Y������7
�����Y������`��6��Con��u�ten�ts���}�Ǎ�6��(�"V

cmbx10�Serre's��Tconjectures��{��K�`y

cmr10�1�����6�Lecture�UU1.�In���tro�Gduction�to�Serre's�conjecture���8�3�����6�Lecture�UU2.�The�strong�conjecture�of�Serre�����7�����6�Lecture�UU3.�The�w���eigh�t�UUin�Serre's�conjecture����}11�����6�Lecture�UU4.�Edixho���v�en's�UUpro�Gof���&17�����6�Lecture�UU5.�Galois�represen���tations�from�mo�Gdular�forms��r�721�����6�Lecture�UU6.�In���tro�Gduction�to�lev�el�lo�w�ering���cy25�����6�Lecture�UU7.�Mazur's�principal���b27�����6�Lecture�UU8.�Lev���el�lo�w�ering�with�m�ultiplicit�y�one����29�����6�Lecture�UU9.�Katz�mo�Gdular�forms���*�31�����6�Lecture�UU10.�Exercises���h35�����6�Bibliograph���y��%��45�������mp�)2�@�cmbx8�3����9��7
�����Y������7
����������6��IAS/P��Oark�DFCit�y�Mathematics�Series��	��6�V��.�olume�DF00,�1999�����Y������`���v)�Serre's�z�conjectures����\'���F�Kenneth�ffA.�Rib�s3et��$��HलThese��Care�at�presen���t�rough�notes�that�I��((William�Stein)�am�writing�based�on����6�Ken�0eRib�Get's�notes�and�lectures.��Ken�Rib�et�wrote�this�in���tro�duction,�g(but�did�not����6�write�B(or�ev���en�y�et�read!)�]�Lectures�1{5�and�the�exercises.�I�2ha���v�en't�Bw�ork�ed�out�ho�w����6�to�[lab�Gel�the�\exercises"�and�\app�endix"�sections�correctly��*�.�]�If�y���ou�nd�an�y�t�yp�Gos�or����6�inaccuracies�UUplease�rep�Gort�them�to�me.����H�My��Rplan�is�to�b�Gegin�b���y�discussing�some�examples�of�mo�d��
�b>

cmmi10�`��represen���tations����6�of���uGal��7w(����_�fe������Q������=�Q�).�8'I'll��utry�to�motiv��q�ate�Serre's�conjectures�b���y�referring�rst�to�the�case����6�of���represen���tations�that�are�unramied�outside��`�;��these�should�come�from�cusp�forms����6�on���the�full�mo�Gdular�group��SL�������ٓ�Rcmr7�2����(�Z�)�Z�.��eIn�another�direction,��Aone�migh���t�think�ab�out����6�represen���tations��Hcoming�from��`�-division�p�Goin�ts�on�elliptic�curv�es,�	�or�more�gener-����6�ally�I�from��`�-division�p�Goin���ts�on�ab�elian�v��q�arieties�of�\�GL������2���X�-t���yp�e."�m�Amazingly�(to�me),����6�Serre's�C�conjectures�imply�that�all�o�Gdd�irreducible�t���w�o-dimensional�C�mo�d��`��represen-����6�tations�0fof��Gal���h(����_�fe������Q������=�Q�)�ma���y�b�Ge�realized�in�spaces�of��`�-division�p�oin���ts�on�suc�h�ab�Gelian����6�v��q�arieties.�O�The���w���eak�Serre�conjecture�states�that�all�suc�h�represen�tations�come�from����6�mo�Gdular�6forms,�#�and�then�it�tak���es�only�a�bit�of�tec�hnique�to�sho�w�that�one�can�tak�e����6�the�UUmo�Gdular�forms�to�ha���v�e�UUw�eigh�t�t�w�o�(if�one�allo�ws�p�Go�w�ers�of��`��in�the�lev�el).����H�Since�cAlittle�w���ork�has�b�Geen�done�to�w�ard�pro�ving�the�w�eak�Serre�conjecture,�f�m�y����6�lectures��xwill�fo�Gcus�on�the�bridge�b�et���w�een��xthe�w���eak�and�the�strong�conjectures.����6�The���latter�states�that�eac���h����as�ab�Go�v�e�comes�from�the�space�of�cusp�forms�of����6�a���sp�Gecic�w���eigh�t���and�lev���el,��with�these�in�v��q�arian�ts�b�Get�w�een�determined�b�y�the�lo�Gcal����6�b�Geha���vior���of����at��`��and�at�primes�other�than��`��(resp�ectiv���ely).�@�T��*�o�motiv��q�ate�the�strong����6�conjecture,��Eand��{to�w���ork�to�w�ard�the�bridge,��Ew�e�need�to�discuss�the�lo�Gcal�b�eha���vior����6�of�\Ithose����that�do�come�from�mo�Gdular�forms.���F��*�or�the�most�part,�^w���e�can�lo�ok�only����6�at�P�forms�of�w���eigh�t�P��k���
!",�

cmsy10����2�whose�lev���els��N�h�are�prime�to��`�.�pTIn�that�case,�Q�the�b�Geha�vior����6�of�CD���at��`��is�describ�Ged�in�detail�in�[��13����],�F�where�theorems�of�Deligne�and�F��*�on���taine�are����6�recalled.���(In�lC[��13����,�q��x�6],�Edixho���v�en�supplies�a�pro�Gof�of�F��*�on�taine's�theorem.)���F��*�urther,����6�the�v�b�Geha���vior�of����at�primes��p��.�6�=��`�v��ma�y�b�Ge�inferred�from�Cara�y�ol's�theorems�[��4����,���5��	��],����6�whic���h�Irelate�the�b�Geha�vior�at��p��of�the��`�-adic�represen�tations�attac�hed�to��f�\��with�the����6वp�-adic���comp�Gonen���t�of�the�automorphic�represen�tation�of��GL����(2)�that�one�asso�Gciates����6�with�P��f���.�p/(The�b�Geha���vior�of����at��`��in�the�case�where��`��divides��N�g��is�analyzed�in�[��24����].)��6ट�׉ff<�����-:��Aa�cmr6�1��*��|{Ycmr8�Math��XDepartmen�Ît,�MC�3840;�Berk�eley��J�,�CA�94720-3840.��
��E-mail�DFaddress�:�@�*�C�scmtt8�ribetmath.berkeley.edu�.�������U��������Ѵ�c���������q�%cmsy6�
�����fO�1999�TAmerican�Mathematical�So�1�ciet��9y���������k�1����Ӡ�7
�������9���6��2����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������HलIn��[��29����],�2�Serre�asso�Gciates�to�eac���h����a�lev�el��N��(��)�and�a�w�eigh�t��k�P��(��).��	These����6�in���v��q�arian�ts��are�dened�so�that��N��(��)�is�prime�to��`��and�so�that��k�c?�is�an�in���teger�greater����6�than�o;1.��xAs�Serre�w���as�no�doubt�a�w�are,�u�if����arises�from�a�mo�Gdular�form�of�w�eigh�t��k����6लand�p�lev���el��N��,�w�and�if��k��B�is�at�least�2�and��N��Ʋis�prime�to��`�,�then�one�has��k�P��(��)������k��B�and����6वN��(��)�䋸j��N��.�s�T��*�o��nd�an��f�*�for�whic���h��N����=�䋵N��(��)�and��k�5"�=�䋵k�P��(��)�is�to�\optimize"�the����6�lev���el���and�w�eigh�t�of�a�form�giving���.�?�As�Edixho�v�en�explains�in�his�article�[��13����]�w�eigh�t����6�optimization��follo���ws�in�a�somewhat�straigh�tforw�ard�manner�from�the�theorems�of����6�Deligne���and�F��*�on���taine�alluded�to�ab�Go�v�e,��plus�the�theorem�of�Gross�on�companion����6�forms��![��14����].�s,(See�[��7�����]�for�a�partial�treatmen���t�of�the�companion�form�problem�when����6व`�<�=�2.)���Luc���kily��*�,�Qqw�e�can�p�Gerform�w���eigh�t�optimization�after�ha���ving�optimized�the����6�lev���el,���since�JJthe�w�eigh�t�optimization�mac�hinery�do�Ges�not�disturb�the�lev�el�at�an�y����6�p�Goin���t.����H�In�W-[��5�����],��Cara���y�ol�analyzes�the�lev�el�optimization�problem.�He�sho�ws,��in�particular,����6�that��the�problem�breaks�do���wn�in�to�a�series�of�sub-problems,��Kall�but�one�of�whic�h����6�he��treats�b���y�app�Gealing�to�a�single�lemma,�
�the�lemma�of�[��5�����,��x�3].�TThe�remaining�sub-����6�problem�rxis�the�one�whic���h�in�terv�enes�in�sho�wing�the�implication�\Shim�ura{T��*�aniy�ama����6�=��UX�)�}��F��*�ermat."���I�}�ha���v�e�written�ab�Gout�this�sub-problem�rep�eatedly�[��21���,���34����,���22��,���23���].����6�Most�*tlik���ely��*�,�_�I�*=will�explain�the�principle�of�[��22����]�early�on�in�these�lectures.��#Then,����6�to���w�ard��qthe�end�of�the�series,��9I��Nwill�explain�the�more�rened�lev���el-lo�w�ering��qargumen�t����6�that�"�I�"Vin���tro�Gduced�in�m�y�article�[��23����].��i(This�argumen�t�w�as�extended�b�y�Diamond����6�in�iS[��10����].)���One�reason�for�going�o���v�er�iSthe�argumen���t�no�w�is�that�the�argumen�t�hasn't����6�y���et�5�b�Geen�made�to�w�ork�for��`���=�2.�g1P�erhaps�5�someone�in�the�audience�will�see�ho�w�to����6�mo�Gdify�UUthe�argumen���t�so�that�it�extends�to�this�case.����H�A�2�certain�2�amoun���t�of�w�ork�has�b�Geen�done�on�the�Hilb�ert�mo�dular�case,�9�i.e.,�the����6�case�տwhere��Q��is�replaced�b���y�a�totally�real�n�um�b�Ger�eld��F�c��.�[email protected]��*�or�this�w�ork,��Dthe�reader����6�ma���y�D�consult�articles�of�F��*�razer�Jarvis�and�of�Kazuhiro�F�ujiw���ara.�?�I�DVam�esp�Gecially����6�grateful�R�to�F��*�ujiw���ara�for�his�sending�me�a�preliminary�v�ersion�of�his�man�uscript,����6�\Lev���el��optimization�in�the�totally�real�case."�<I���susp�Gect,��Kho�w�ev�er,�that��these�lectures����6�will�UUtreat�only�the�classical�case��F�*��=���Q�.����H�Expanded�˟notes�for�these�lectures�will�b�Ge�written�in�collab�oration�with�William����6�A.��Stein,��the�T��*�A���for�this�course.�IA�go�Go�d��in���terim�reference�for�m�uc�h�of�this�material����6�is�UUBas�Edixho���v�en's�UUarticle�[��11����].�����]��7
�������9��nh��LECTURE���1.���INTR�ÎODUCTION�TO�SERRE'S�CONJECTURE��5���3����Y������P�_�3��N�cmbx12�LECTURE���1�����4��In��tro�`duction��to�Serre's�conjecture��1���:d#�A��s�Galois�
krepresen��9tation���is�a�con���tin�uous��homomorphism����:��G��=��Gal���
(����_�fe������Q������=�Q�)��!��\k���6लGL��D��(2�;�������_�fe<o����F��������	0e�rcmmi7�`�����),�IZwhere�F[�G��is�the�pronite�limit�of�the�groups��Gal���](�K�(�=�Q�)�as��K��w�v��q�aries�o���v�er����6�nite���Galois�extensions,�+�G��is�endo���w�ed���with�the�pronite�top�Gology��*�,�and��GL���(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�is����6�giv���en���the�discrete�top�Gology��*�.�<@The�image�of����is�nite.�There�exists�non-con���tin�uous����6�homomorphisms���with�nite�image�(Exercise�10.7),�Mbut�w���e�will�not�consider�them����6�in�<\these�lectures.�itThe�eld�xed�b���y��k�er����(��)�is�a�nite�Galois�extension��K��x�of��Q�,�A[and����6व�UU�factors�through��Gal���W(�K�(�=�Q�),�whic���h�in�turn�em�b�Geds�in�to�some��GL��n:(2�;����F����`����O
�\cmmi5����B��).����H�Let�#F�A��b�Ge�an�elliptic�curv���e.�ۚLet��n�S���1�#Fb�e�an�in���teger�and�consider�the�group����6वA�[�n�]�y����(�Z�=n�Z�)���^��2��<��of����n�-torsion�p�Goin���ts�on��A�(����_�fe������Q������).��LAfter�c�ho�Gosing�a�basis�w�e�obtain�a����6�homomorphism��������A;n��,#�:�W�G���������	s�!���GL��o�(2�;����Z�=n�Z�)�:��With��n��v��q�arying�o���v�er�prime�n�um�b�Gers��`����6लw���e��ma�y�view�this�as�a�family�of�Galois�represen�tations.�9Lo�Goking�in�tables�[��8�����]�w�e����6�nd�UUman���y�elliptic�curv�es�giv�en�b�y�equations.�q�F��*�or�example,�the�curv�e��Q������B�G��:���y��[ٟ����2��,�+�8�y�"�=���x������3���S�+��x������2�����12�x��+�2�:����6लSince���B�*��is�isolated�in�its�isogen���y�class,��Jthe�represen�tations������B�W=;`��E�are�all�irreducible����6�(Exercise�UU10.3).����H�The�UU�mo�Q�d��T�n��cyclotomic�c��9haracter��is��Q�����%�����n��8��:���G��!���Gal��g(�Q�(�����n��q~�)�=�Q�)�=��Aut����c��4DF��

cmmib10�����w��qƴn�����T͍��$�D����+3���$�D�=�����/>z(�Z�=n�Z�)������O!�cmsy7�����:����6लThe��<W��*�eil�pairing�denes�an�isomorphism��^���^��2��|s�A�[�n�]����T͍��r�����+3���r��=��������L������p�qƴn��1�,���so��det����(�����A;n��
��)�r�=������n��	-��(Exer-���ۍ�6�cise��10.5).��vThe�complex�conjugation��c���2���Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)��acts�on�on��������1	�qƴn���l�b���y��z��G�7!���z��p���^���1��-�,����6�so�µ����n��q~�(�c�)�w=���1.��Th���us��det���������A;`��<v�(�c�)�=���1.��Call�a�Galois�represen���tation��o�Q�dd��if�the����6�determinan���t�ԗof�the�action�of�complex�conjugation�is���1.��If��`��0>��2,��hthen�ԗ�����A;`��<v�(�c�)�is����6�conjugate�UUo���v�er�����_�fe<o����F����
�ğ��`�����to������b���u

cmex10�����UU���	�T�1���x�0���؍��	�T0���X���1�����?ɟ��b����$*u�(Exercise�10.6�last�part).����H�In�wC1987�Serre�[��29����]�made�v���ery�precise�conjectures�ab�Gout�o�dd�irreducible�Galois��\k��6�represen���tations������whic�h�tak�e�v��q�alues�in��GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����).�S�The�reducible�case�is�also�of����6�considerable�j(in���terest.��@Serre�conjectured�that�if����is�o�Gdd�and�irreducible,��\then������6लarises��Afrom�a�mo�Gdular�form�via�a�construction�similar�to�the�ab�o���v�e.���Th�us��Athe����6�conjecture���asserts�that�the�v���ery�condition�of�b�Geing�o�dd,�үvisibly�necessary�for����to����6�come�UUfrom�a�mo�Gdular�form,�is�also�sucien���t.����H�The�conjecture�of�Shim���ura�and�T��*�aniy�ama,�no�w�a�theorem,�asserts�that�there�is����6�a�<5bijection�b�Get���w�een�<5elliptic�curv���es��A=�Q��and�rational�newforms��f���.�igThe��conductor����6लof�R6�A��is�a�p�Gositiv���e�in�teger�divisible�exactly�b�y�the�primes�of�bad�reduction.�hjThe����6�conjecture�UUpro�Gduces�a�mo�dular�form��f�ڧ�2���S����2��|s�(����0���(�N��))�UUwhose�Diric���hlet�series��U�����f�ڧ�=������Sf�1�����������X���������n�=1����A�c����n��q~�q��[ٟ����n���o�=������Sf�1�����������X���������n�=1����c����n���e������2��@Liz�I{n����E��6लis�UUconnected�to��A��b���y�the�relation���P��������9��1��������9����X���������]�n�=1�������<$����w�c����n�������w�fe
Fԟ	(֍�n���r�s��������ز=���L�(�f��V;���s�)�=��L�(�A;�s�)�=������Sf�1�����������X��������n�=1�������<$���t�a����n����t�w�fe
���	(֍�9��n���r�s������ �U�:����6लThe�UUin���tegers��a����n���Ӳcoun�t�the�n�um�b�Ger�of�p�oin���ts�on��A��o�v�er�v��q�arious�nite�elds.����H�Fix��Nan�elliptic�curv���e��A�,��a�prime��`�,�and�let������`�����:���G��!���GL����(2�;����F����`����)��Nb�Ge�the�asso�ciated����6�represen���tation.���Mak�e�mSthe�h���yp�Gothesis�that������`��F9�is�irreducible.�This�is�true�for�all�but����6�nitely�7man���y��`�.��nMazur�[��19����],�Q�sho�w�ed�that�if��`��>��163�7then������`����is�irreducible.��nThe����6�arithmetic�nof�this�represen���tation�is�enco�Gded�in�its�v��q�alues�on�the�F��*�rob�enius�elemen���ts�����"	��7
�������9���6��4����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6लof�9�G�.��W��*�e�no���w�recall�some�facts�ab�Gout�ramication.�Let��N�P*�b�Ge�the�conductor�of����6वA�.���If�l��p����.���

msbm10�-��`N����then������`��E��is�unramied�at��p�,��ti.e.,�the�nite�extension��K�O��=����Q�(�E����[�`�])����6�of�3��Q��obtained�b���y�adjoining�all�co�Gordinates�of��`�-torsion�p�oin���ts�is�unramied�at��p����6ल(Exercise���10.13).�V�Let����b�Ge�some�prime�of�the�ring��O����K��Wh�of�in���tegers�of��K�XѲlying�o�v�er����6वp�,�gand�0Plet��D����p��Ϣ�b�Ge�the�subgroup�of��Gal���R(�K�(�=�Q�)�of�elemen���ts�whic�h�preserv�e���.��The����6�natural���map��D����p���U�!��'�Aut���(�O����K�����=�)�is�surjectiv���e.�oLet��F��*�rob��������p���2��'�Gal���(�K�(�=�Q�)�denote�a�lift����6�of�;2the��p�-th�p�Go���w�er�;2automorphism�of�the�nite�eld��O����K�����=�;�� it�is�ill-dened�in�t���w�o����6�w���a�ys:���s�����H�1.����U��Mo�Gdulo�UUthe�k���ernel��I����p���R�:�q�but��p��is�unramied,�so��I����p�����is�trivial.�������H�2.����U��Mo�Gdulo��c���hoice�of�prime����lying�o�v�er��p�:��Lbut�the�primes�are�all�conjugate�so�����U��det��c�R(�����`����(�F��*�rob���*����p����))�;��UP�tr��#�(�����`���(�F��*�rob���*����p���))���2��F����`��.;�are�UUw���ell-dened.����H�The��\w���eak�conjecture�of�Serre�asserts�that�ev�ery�irreducible�o�Gdd����comes�from����6�a���mo�Gdular�form��f�ڧ�=�������P�����a����n��q~�q��[ٟ�^��n���O�of�some�w���eigh�t����k������2�and�lev���el��N��3���1.�T�W��*�arning:�Fev���en����6�if�����tak���es�v��q�alues�in��GL���+���2����(�F����`����),��the��a����n����need�not�lie�in��Q�.�[�The�space�of�mo�Gdular�forms����6�of�UUw���eigh�t��k���and�lev�el��N�lp�is�denoted��S����k��됲(����1��|s�(�N��)).�q�Dene�t�w�o�subgroups�of��SL���#����2����(�Z�):���荍��xgH����0��|s�(�N��)������
�=���������f�����b���������?��a���
�b���\q�����c���
]Ud�����1����b������2����SL����S���2��Ʋ(�Z�)��:��c����0�	��(�mo�Gd����N��)�g��������xgH�����1��|s�(�N��)������
�=���������f�����b���������?��a���
�b���\q�����c���
]Ud�����1����b������2�������0��|s�(�N��)�:��a����d����1�	��(�mo�Gd����N��)�g�����鍑6लA�ԋmo�Gdular�ԫform�is�a�holomorphic�function�on�the�upp�er�half�plane��:�%n�

eufm10�h��R�=��f�z��2��C��:����6स=�(�z�p��)���>��0�g�UU�suc���h�that��������	�f����7���^�������<$��M޵az��w�+�8�b��Mޟw�fe�֟	(֍��cz��w�+�8�d������'d���^����1�s�=��(�cz��w�+�8�d�)������k��됵f���(�z�p��)�;���T��6लsatisfying��Tadditional�conditions�at�the�\cusps."�IF��*�or�a�precise�denition�see�[��17���,��I20���,�����6�26��B`�,��Qq31���m�].���One��Bof�the�primary�ob��8jects�asso�Gciated�to��S����k��됲(����1��|s�(�N��))�is�a�large�family�of����6�comm���uting�UUop�Gerators,���卒�l:�T����n��q~�;�UPn�����1�;����h�d�i�;�d��2��(�Z�=n�Z�)����������;����6लcalled�UUthe��Hec��9k�e��Top�Q�erators�,�UUwhic���h�op�Gerate�on�this�space.�q�The�ring��������T���=��Z�[��:���:�:��
UOT����n���&�:���:�:��;����:�:�:�����h�d�i�����:�:�:���]������End����(�S����k��됲(����1��|s�(�N��))����6�is��bcalled�the��Hec��9k�e��algebra�.�+�Supp�Gose��b0�.��6�=��f�B�=������P��gf�a����n��q~�q��[ٟ�^��n���ڸ2��S����k��됲(����1��|s�(�N��))�is�an�eigen-����6�form�s�for�all�the��T����n���a�and��h�d�i�.��rW��*�e�nd�that�if��T����n��q~�f�
��=���c����n���f��r�then�s�a����n��k��=��a����1��|s�c����n���.��rIf�s�a����1��vx�=�0,����6�then����f���=��x0,��^so��a����1���6�=�0.��Normalize��f�慲so�that��a����1���=�1.��Then��f�慲\w���ears�its�eigen�v��q�al-����6�ues��on�its�slea���v�e"��so�to�sp�Geak:����f���=��+����P��D�c����n��q~�q��[ٟ�^��n���W�.��Henceforth�w���e�will�assume�that�all����6�eigenforms�UUare�normalized.����H�What�6do�Ges�the�conjecture�of�Serre�assert?�Starting�with�a�represen���tation���,����6�Serre�‰conjectures�that�there�exists��k�P�;���N���;�f���suc���h�‰that��tr����(�F��*�rob���*����p����)�and��det���(�F��*�rob���*����p���)�are����6�enco�Gded���b���y�the�eigen�v��q�alues�of�the�eigenform��f�=j�2�)۵S����k��됲(����1��|s�(�N��)).�#�One�problem�is�that��\k���6�tr��>��(�F��*�rob���*����p����)�UUand��det��8�(�F��*�rob���*����p���)�lie�in�����_�fe<o����F����
�ğ��`��j��,�whereas�the�eigen���v��q�alues��a����n���Ӳlie�in��C�.�q�The�eld���卒���E�Z��=���E����f���8�=��Q�(��:���:�:��
UOa����n���&�:���:�:��qu�)����6�is�d�a�nite�extension�of��Q��equipp�Ged�with�a�canonical�conjugation,��Xso��E���is�either����6�totally��real,���or�a�quadratic�imaginary�extension�of�a�totally�real�eld.�L�F��*�urthermore,����6�the�Z�a����n��ˀ�lie�in�the�ring��O���of�in���tegers�of��E����.��Let��'���:��O�!�����_�fe<o����F����
S���`��>;�b�Ge�Za�homomorphism.�T��*�o����6�giv���e��w�'��is�to�giv�e�a�maximal�ideal���XO�=��k�er����(�'�)��wof��O��ha�ving�residue�c�haracteristic��`�,����6�and��an�em���b�Gedding�of��O��=��in�����_�fe<o����F����
���`���f�.���W��*�e�can�no���w�b�e�more�precise.���Sa���y�that����arises�����7+��7
�������9��nh��LECTURE���1.���INTR�ÎODUCTION�TO�SERRE'S�CONJECTURE��5���5����Y������6लfrom�8�a�mo�Gdular�form,�>Uor�is��mo�Q�dular�,�if�there�exists��k�P��,��N��,��f���,�and��'���:��O�5!�����_�fe<o����F����
����`���suc���h����6�that,�UUfor�all��p���-��`N��,��32��������tr����(��(�F��*�rob���*����p����))������O�=��������'�(�a����p���R�)�����⍍������det�����(��(�F��*�rob���*����p����))������O�=��������p������k�+B��1��(�'�(�"�(�p�))�;������6लwhere��"����:�(�Z�=��q�N��Z�)���^�������!�O��G��^������giv���es�the�action�of��h�d�i��on�the�eigenform��f���.���Note�that��\k��6�since��UUGal���W(�Q�(�������$�qƴN���ղ)�=�Q�)����T͍�������+3�����=�����
UN(�Z�=��q�N��Z�)���^������,�UUw���e�ma�y�view��"��as�a�c�haracter�of��Gal���W(����_�fe������Q������=�Q�).����H�Where�,
do�Ges�Serre's�conjecture�come�from?�dGiv���en�an�eigenform��f�ڧ�2���S����k��됲(����1��|s�(�N��))����6�one�؅can�construct�a�Galois�represen���tation.��VDeligne�constructed�represen�tations����6�attac���hed�|to�the�eigenform��of�w�eigh�t�12�and�lev�el�1�in�a�conscise�Bourbaki�article����6�[��9�����].��!In�}fact,��he�constructs���-adic�represen���tations���������X�where����is�a�prime�of��O��;�lying����6�o���v�er�UU�`�:��
�����������������ꪵG��������������������#����������������������Xs�����5D

xycmat10�/��5D

xycmbt10�/�������iV���2�fd������������Xs�GL���qX(2�;����O������>:�)������������ٛ{�.5���������hI�.5��5fd�����������iV�(�5�GL��΂;�(�5(2�;����O�G�=�)���������������M��#�7��5D

xybsql10������������������������-�!�Ĵ'�������������
͠�&.5�/�/�������͡�&ag�fd������������͠�)\j�GL��慟)\j(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)������������[email protected]��6�The�UUrepresen���tation�����������is�unramied�at�all��p���-��`N�lp�and�UUfor�suc�h��p�,��������4�tr����(�������>:�(�F��*�rob���*����p����))��������=���������a����p��fj�2��O����������⍍�����E�det�����(�������>:�(�F��*�rob���*����p����))��������=���������"�(�p�)�p������k�+B��1����2��O�����������HलWhat���ab�Gout�the�o�ddness�condition�in�Serre's�conjecture?�-<Let��f�ڧ�2���S����k��됲(����1��|s�(�N��))�b�e����6�a��newform�and����the�asso�Gciated�represen���tation.�By�Exercise�10.6,��I�"�(��1)�]=�(��1)���^��k��됲,����6�so������Z%det���g�(��(�c�))��=��������k�+B��1��(�(��1)�8���"�(��1)��=�(��1)������k�+B��1���(��1)������k�����=�(��1)������k�+B�+�k���1��~<�=���1�:�����L���7
�����Y���WW��7
�����Y������G���P�_�LECTURE���2�����8�The��strong�conjecture�of�Serre��1���:
_�Let�,�����:��G��=��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)����������!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�b�Ge�an�o�dd�irreducible�Galois�represen���tation.����6�Recall�s�that�the�w���eak�conjecture�asserts�that����is�mo�Gdular,��i.e.,�there�s�exists��N��,���k�ċ�suc�h����6�that��ҵ��comes�from�some��f�vw�2�b�S����k��됲(����1��|s�(�N��)).��?The��strong�@�conjecture��giv���es�a�precise����6�recip�Ge���for�in���tegers��N��(��)�and��k�P��(��)�suc�h�that����comes�from��S���:�k�+B�(��)��Q��(�N��(��)).�Q�In�an�y����6�particular��instance,��^at�least�in�theory�the�strong�conjecture�is�v���eriable�b�Gecause�the����6�space���S���:�k�+B�(��)��Q��(����1��|s�(�N��(��)))�is�can�b�Ge�computed.�+
In�the�con���text�of�the�Shim�ura-T��*�aniy�ama����6�conjecture,�A�the�<�dierence�b�Get���w�een�<�the�w���eak�and�strong�conjectures�manifests�itself����6�in���the�dierence�b�Get���w�een���the�assertions�\�A��comes�from�a�mo�dular�form�somewhere"����6�and�UU\�A��comes�from�a�mo�Gdular�form�of�lev���el�equal�to�the�conductor�of��A�."����H�The�UUlev���el�and�w�eigh�t�satisfy�the�follo�wing:��nD�����H�1.����U�µ`���-��N��(��),�UUand��N��(��)��=������Q���8��p�6�=�`���Q�p���^��n�(�p�)���Ҳ,�UUwhere��n�(�p�)�dep�Gends�only�on���j����I���p���>�.���t�����H�2.����U�µk�P��(��)�UUdep�Gends�only�on���j����I����`������.����H�The�UUin���teger��n�(�p�)�is�a�conductor�in�additiv�e�notation,�in�particular��܈���F!�n�(�p�)��=�0��1�(��UX)����UU�is�unramied�at��p��P��:��8�6लF��*�or�H�example,�~~supp�Gose�����:��G��!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�H�is�ramied�only�at��`�.�CThe�strong�conjecture����6�implies���that����comes�from��S���:�k�+B�(��)��Q��(����1��|s�(1))�:��A���form�of�lev���el�1�giv�es�rise�to�a�represen-����6�tation���ramied�only�at��`�;��Lthe�ab�Go���v�e���assertion�is�the�con���v�erse.���When����`�l��=�2�;����3�it�is����6�kno���wn��.that�there�are�no�suc�h�represen�tations���,��$so�the�conjecture�holds�for�these����6�v��q�alues�Ȍof��`�.��kQuite�recen���tly��*�,��YS.�Brueggeman�considered�the�case��`���=�5;�'she�Ȍpro�v�ed����6�that�|3the�conjected�result�follo���ws�from�the�Generalized�Riemann�Hyp�Gothesis�[��3�����].�)gThe����6�case�UU�`���=�7�still�remains�wide�op�Gen.����H�No���w��Iw�e�sa�y�more�ab�Gout��n�(�p�),�
the�exp�onen���t�of�the�conductor�at��p�,�
but�a�v�oid����6�giving��;a�form���ula.�1zView�the�represen�tation����as���1��:��G��!���Aut��#a(�V�8�)��;where��V���is�a�t�w�o����6�dimensional�UUv���ector�space.�q�It�is�natural�to�consider�the�subspace������7�V��8�����I���p���
>�=���f�v�"�2��V����:���(��[ٲ)�v��=��v�[�;�����all��㍵��2��I����p���R�g�:��"���6लF��*�or�UUexample,��V��8��^��I���p���
>�=���V��9�i����is�unramied�at��p�.�q�As�a�rst�appro���ximation�w�e�ha�v�e������n�(�p�)��=��dim��q�(�V�q=V��8�����I���p���
w�)�8�+�(�wild�UUterm��*@)�:����HलW��*�e�S�no���w�recall�the�notion�of��newform�.�
m�Asso�Gciated�to�an�eigenform��f�-��2����6वS����k��됲(����1��|s�(�N��))��Nw���e�ha�v�e�a�pac�k��q�age�(��:���:�:��
UOa����p���I��:���:�:���I�),�IK�p�a��-��N��,�of��Neigen���v��q�alues.�	!�W��*�e�sa�y�that����6वf����is��!a��newform��if�the�system�of�eigen���v��q�alues�comes�from�no�lev�el��M��ٸj�⾵N��<�with����6वM��3�6�=���N��.�B�Newforms��`w���ere�studied�in�[��1����,��3;18���7,��3;6���9,��3;20���].�The��`idea�is�to�understand�where������mp�7����W���7
�������9���6��8����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6लthe�dsystems�of�eigen���v��q�alues�rst�arise,�,gand�see�ho�w�the�full�space�of�forms�can�b�Ge����6�reconstructed�UUfrom�the�newforms.����H�Supp�Gose��:���comes�from�a�newform��f�ڧ�2���S����k��됲(����1��|s�(�N��)),���but�do�not�assume�that��k�P��,��N����6लare���Serre's�optimal��k�P��(��),����N��(��).�$OWhat�is�the�dierence�b�Get���w�een��صN���and��N��(��)?�$OLet����6सO����b�Ge�Ndthe�ring�of�in���tegers�of�the�eld�generated�b�y�the�F��*�ourier�co�Gecien�ts�of��f�a�and����6�let�a�'���:��O�#:!�����_�fe<o����F����
����`��Sd�b�Ge�the�map�suc���h�that��'�(�a����p���R�)�=��tr��
�W(��(�F��*�rob���*����p����))�:��Let����b�Ge�a�prime�of��O����6लlying���o���v�er��`�.��Deligne�constructed�a���-adic�represen�tation���������,�whic�h�giv�es�rise�to���.����6�Set�UU�E�Z��=���F��*�rac���S(�O�G�)�and�view�����������as�giving�a�represen���tation���u����C�������R�:���G����������!���GL����(2�;���E������>:�)�=��Aut����(���x䍑�~�����V���9�)����6�where���x䍑�B~�����R&�V������is�R&a�2�dimensional�v���ector�space�o�v�er��E������>:�.�cThe�follo�wing�diagram�summarizes����6�this�UUinformation.����������������
���jGL��#۟�j(2�;���E������>:�)��=��Aut����(���x䍑�~�����V���9�)��������������v��)��G�����������ȟ��:�0�0���������������#|�fdfe������ٞ�"ޔ�fdfe������0��"�Ąfdfe�������Ÿ"��fdfe�������ݟ"ak�fdfe������5��"7�fdfe�������!�"o�fdfe�������J�!��fdfe������;y�!�фfdfe���������!���fdfe��������!i��fdfe������A#�[email protected]��fdfe�������g�!��fdfe������ﰟ ���fdfe������F�� �*�fdfe�������P� ���fdfe��������� u�fdfe������M� L��fdfe�������g� $;�fdfe�������͟���fdfe������S:��Єfdfe������������fdfe������#��„fdfe������Y��[ބfdfe��������4�fdfe��������]�fdfe������`0����fdfe����������:�fdfe������U��̄fdfe������f�nu�fdfe���������G6�fdfe������4� �fdfe������mޟ���fdfe������ō���fdfe������A��#�fdfe������t���X�fdfe������̹�]��fdfe������$}�7�fdfe������|F���fdfe����������fdfe������+��ńfdfe������������fdfe������ۛ�wa�fdfe������3|�QR�fdfe�������d�+\�fdfe�������Q�|�fdfe������;C�ߴ�fdfe�������9���fdfe�������6��j�fdfe������C7�n�fdfe�������=�I~�fdfe�������H�$*�fdfe������KY���fdfe�������o��˄fdfe������������fdfe������S���Ȅfdfe�������Οj�fdfe��������F$�fdfe������\'�!u�fdfe�������[��݄fdfe���������^�fdfe������dԟ���fdfe�����������fdfe������`�kj�fdfe������m��GH�fdfe��������#=�fdfe������Z��J�fdfe������v���n�fdfe�����������fdfe������'�����fdfe�������ph�fdfe�������`�L�fdfe������0ן)��fdfe�������S�3�fdfe�������ԟ���fdfe������:Z��ڄfdfe���������҄fdfe�������w�y�fdfe������D
�W�fdfe���������4D�fdfe�������I���fdfe������M���fdfe���������̉�fdfe�������G��$�fdfe������W���ׄfdfe���������e��fdfe������	u�C��fdfe������b8�!{�fdfe�����������fdfe������Пݴ�fdfe������l����fdfe�������{��I�fdfe������Y�x��fdfe������w<�W>�fdfe�������$�5ۄfdfe������)���fdfe���������\�fdfe����������?�fdfe������3���:�fdfe����������L�fdfe���������ov�fdfe������?�N��fdfe��������.�fdfe�������1�
��fdfe������JM���fdfe�������m�̧�fdfe����������]�fdfe������U���*�fdfe��������l�fdfe������"�L
�fdfe������a\�,"�fdfe���������M�fdfe��������쑄fdfe������m)���fdfe�������w��^�fdfe������ʟ��fdfe������y$�n��fdfe������҂�OA�fdfe������+�0�fdfe�������M���fdfe������޻����fdfe������8-��
�fdfe����������;�fdfe������� ���fdfe������D��v܄fdfe�������*�XP�fdfe���������9܄fdfe������QG�~�fdfe�������ޟ�9�fdfe������y���fdfe������^���fdfe�����������fdfe������j��
�fdfe������k�g<�fdfe�������ϟI��fdfe��������+�fdfe������xI�W�fdfe�������
���fdfe������+֟Ӊ�fdfe����������E�fdfe�������y���fdfe������9R�|�fdfe�������0�_�fdfe��������B!�fdfe������F��%S�fdfe����������fdfe�������ݟ���fdfe������Tԟ�t�fdfe�������ҟ��fdfe������ԟ���fdfe������b۟zi�fdfe��������^>�fdfe��������B+�fdfe������q�&/�fdfe�������*�
K�fdfe������%J�
�~�fdfe������q�
�Ʉfdfe������ٜ�
�+�fdfe������3̟
���fdfe��������
�6�fdfe�������<�
d߄fdfe������B|�
I��fdfe���������
.w�fdfe�������
�
e�fdfe������QZ��l�fdfe���������݊�fdfe�������¿�fdfe������`e���fdfe�������ɟ�o�fdfe������1�r�fdfe������o��X}�fdfe��������>'�fdfe������$��#�fdfe�������	Äfdfe������ى�ﴄfdfe������4�ռ�fdfe����������܄fdfe�������/���fdfe������CƟ�b�fdfe�������a�nȄfdfe��������UF�fdfe������S��;ۄfdfe�������T�"��fdfe������	�	K�fdfe������c��
�'�fdfe�������u�
��fdfe������5�
�#�fdfe������s��
�D�fdfe�������ğ
�~�fdfe������)��
sτfdfe�����Äh�
[7�fdfe�������A�
B��fdfe������: �
*M�fdfe�����ĕ�
��fdfe��������	���fdfe������Jڟ	ងfdfe�����ťΟ	ɓ�fdfe������Ɵ	���fdfe������[ß	�Äfdfe�����ƶş	���fdfe������͟	jP�fdfe������lڟ	R��fdfe��������	;;�fdfe������#�	#ӄfdfe������~�	��fdfe�������A��L�fdfe������4h��+�fdfe�����ɏ���!�fdfe�������ğ�0�fdfe������E���U�fdfe�����ʡ5����fdfe�������t�k�fdfe������W��UR�fdfe�����˳�>Մfdfe������T�(p�fdfe������i��"�fdfe����������fdfe������ a��̈́fdfe������{ş�ńfdfe�������-��Ԅfdfe������2�����fdfe�����Ύ��;�fdfe������鉟x��fdfe������E�b��fdfe�����Ϡ��M��fdfe��������8!�fdfe������W��"Մfdfe�����г/�
��fdfe������ǟ���fdfe������jc��}�fdfe��������Ώ�fdfe������!�����fdfe������}W����fdfe���������Q�fdfe������4��{��fdfe�����Ӑx�gG�fdfe�������9�R�fdfe������G��>��fdfe�����ԣʟ*j�fdfe���������O�fdfe������[o�L�fdfe�����շI��`�fdfe������(�ڋ�fdfe������o��̈́fdfe����������(�fdfe������&����fdfe�����ׂٟ�"�fdfe�������џx„fdfe������:ϟez�fdfe�����ؖҟRI�fdfe�������ڟ?0�fdfe������N�,.�fdfe�����٪��D�fdfe�������q�fdfe������c.��fdfe�����ڿO���fdfe������w�Ά�fdfe������w����fdfe�������ԟ���fdfe������0
��l�fdfe�����܌F��>�fdfe������臟s'�fdfe������D͟a'�fdfe�����ݡ�O>�fdfe�������g�=m�fdfe������Y��+��fdfe�����޶��fdfe������t���fdfe������nٟ��fdfe�������C�帄fdfe������'���t�fdfe�������%��G�fdfe����������2�fdfe������=��4�fdfe�����ᙠ��N�fdfe�������(�~�fdfe������R��nDŽfdfe������I�^'�fdfe�������M��fdfe������h}�=,�fdfe������� �,ӄfdfe������!ǟ��fdfe������~s�e�fdfe�������$��Q�fdfe������7۟�V�fdfe�����唗��q�fdfe�������X�̤�fdfe������N���fdfe��������P�fdfe���������Ʉfdfe������d���Z�fdfe�������h��fdfe������H�o��fdfe������{-�`��fdfe��������Q��fdfe������5�B��fdfe��������3��fdfe��������$ބfdfe������K�*�fdfe����������fdfe���������	�fdfe������c�꜄fdfe���������F�fdfe������7���fdfe������zU����fdfe�������w��Єfdfe������4���؄fdfe������ʟ���fdfe����������.�fdfe������L3�z|�fdfe������o�l�fdfe��������_^�fdfe������c��Q�fdfe�������B�D��fdfe��������7b�fdfe������{�*<�fdfe�������C�/�fdfe������6��9�fdfe�������Z�fdfe�������r����fdfe������N���fdfe������V��J�fdfe������	ϟ�Ʉfdfe������gM��_�fdfe�������џ�
�fdfe������"Z��҄fdfe����������fdfe�������{����fdfe������;����fdfe���������{҄fdfe�������S�p�fdfe������S��d]�fdfe���������XDŽfdfe������Z�MH�fdfe������m�A�fdfe�������͞6��fdfe������(��+X�fdfe�������U� 6�fdfe�������!�,�fdfe������A�
9�fdfe�������Ȟ�^�fdfe������������fdfe������[����fdfe�������h��Y�fdfe������S��܄fdfe������uB��v�fdfe�������6��(�fdfe������1/����fdfe�������/��фfdfe�������3��Ʉfdfe������K<��لfdfe�������J����fdfe������^��>�fdfe������ev��z��fdfe������Ô��q�fdfe������!���g��fdfe������ߟ�^"�fdfe���������TՄfdfe�����<>��K��fdfe������u��B��fdfe���������9|�fdfe�����V��0��fdfe������9��'��fdfe����������������Ϯ�B4��������������߮�Oξ/�/���������������*�fdfe������٭�*:„fdfe������0��*d|�fdfe�������ӟ*��fdfe��������*���fdfe������6�*��fdfe�������4�+
y�fdfe�������^�+3��fdfe������;��+\�fdfe�������Ÿ+��fdfe���������+���fdfe������A9�+��fdfe�������~�,��fdfe�������ǟ,)m�fdfe������G�,R�fdfe�������h�,z��fdfe���������,��fdfe������M�,�b�fdfe���������,�fdfe��������-τfdfe������SW�-C�fdfe�������ɟ-k��fdfe������@�-�ńfdfe������Y��-���fdfe�������>�-�I�fdfe������ğ.
�fdfe������`P�.2n�fdfe���������.Y݄fdfe������w�.�6�fdfe������g�.�w�fdfe���������.ϡ�fdfe������W�.���fdfe������n�/��fdfe������Ų�/D��fdfe������g�/k[�fdfe������u �/��fdfe���������/���fdfe������$��/�1�fdfe������|m�0��fdfe�������;�0+�fdfe������,�0R4�fdfe��������0x[�fdfe�������ğ0�k�fdfe������3��0�b�fdfe���������0�D�fdfe�������|�1�fdfe������;n�15��fdfe�������e�1[[�fdfe�������b�1�߄fdfe������Cd�1�J�fdfe�������k�1˟�fdfe�������v�1�ۄfdfe������K��2�fdfe���������2;�fdfe���������2`�fdfe������Sٟ2��fdfe���������2���fdfe������*�2�]�fdfe������\Z�2���fdfe���������3v�fdfe������ɟ3;�fdfe������e�3`3�fdfe�������L�3�o�fdfe��������3���fdfe������m�3̟�fdfe�������8�3�fdfe��������4p�fdfe������v�485�fdfe�������R�4[�fdfe������'��4{�fdfe�������'�4���fdfe������ؙ�4�b�fdfe������1�4鳄fdfe���������5�fdfe��������50�fdfe������:��5S�fdfe�������"�5v�fdfe������볟5��fdfe������DI�5���fdfe��������5�V�fdfe���������6�fdfe������N+�6#i�fdfe�������֟6Eτfdfe���������6h�fdfe������X;�6�U�fdfe���������6�u�fdfe������	��6�~�fdfe������bx�6�n�fdfe�������B�7H�fdfe�������74	�fdfe������l�7U��fdfe������Ž�7wF�fdfe��������7�Äfdfe������w�7�'�fdfe�������g�7�t�fdfe������)T�7���fdfe�������G�8Ȅfdfe�������?�8>΄fdfe������4<�8_��fdfe�������=�8���fdfe�������E�8�T�fdfe������?Q�8���fdfe�������b�8⎄fdfe�������x�9�fdfe������J��9#j�fdfe���������9C��fdfe�������ڟ9c�fdfe������V�9��fdfe�������5�9��fdfe������k�9���fdfe������a��9�˄fdfe��������:��fdfe������*�:#0�fdfe������mt�:B��fdfe�������ß:b7�fdfe������ �:���fdfe������yp�:���fdfe�������Ο:��fdfe������,1�:�,�fdfe���������:�.�fdfe��������;�fdfe������8z�;;�fdfe��������;Z��fdfe�������n�;yM�fdfe������D�;�܄fdfe�������x�;�R�fdfe��������;Ա�fdfe������Q��;���fdfe�������-�<'�fdfe������ɟ</?�fdfe������^j�<[email protected]�fdfe��������<k(�fdfe��������<���fdfe������kk�<���fdfe������� �<�X�fdfe������ڟ<��fdfe������x��<�X�fdfe�������_�=��fdfe������,)�=9��fdfe���������=W%�fdfe�������̟=t<�fdfe������9��=�;�fdfe���������=�#�fdfe�������h�=��fdfe������GQ�=竄fdfe�������?�>L�fdfe�������2�> քfdfe������U)�>=G�fdfe�������'�>Y��fdfe������	)�>u�fdfe������c0�>��fdfe�������<�>�&�fdfe������N�>�$�fdfe������qe�>�	�fdfe������ˁ�?ׄfdfe������%��?��fdfe������ȟ?9,�fdfe��������?T��fdfe������4$�?p$�fdfe�������Y�?�|�fdfe������蔟?���fdfe������Bԟ?��fdfe��������?���fdfe�������b�?��fdfe������Q��@لfdfe��������@-��fdfe������_�@HZ�fdfe������`��@b��fdfe�������!�@}|�fdfe��������@��fdfe������o��@�A�fdfe�������j�@��fdfe������$�@樄fdfe������a�A��fdfe��������A��fdfe������4k�A4��fdfe���������AN^�fdfe������銟Ah�fdfe������D!�A���fdfe���������A�/�fdfe�������^�A���fdfe������T�A��fdfe���������A�/�fdfe������	a�BT�fdfe������d�Bc�fdfe�������ҟB2Z�fdfe��������BK:�fdfe������tV�Bd�fdfe�������!�B|��fdfe������)�B�L�fdfe�����ÄƟB�΄fdfe������ߟ�B�8�fdfe������:~�Bތ�fdfe�����ĕb�B�DŽfdfe�������K�C�fdfe������K8�C&��fdfe�����Ŧ,�C>�fdfe������$�CV˄fdfe������\"�Cn��fdfe�����Ʒ$�C�@�fdfe������,�C�؄fdfe������m9�C�W�fdfe�������K�C���fdfe������#a�C��fdfe������~~�C�K�fdfe������٠�Dm�fdfe������4ǟD)x�fdfe�����ɏ�[email protected]�fdfe�������#�DWH�fdfe������FY�Dn�fdfe�����ʡ��D���fdfe�������ӟD�M�fdfe������X�D�̄fdfe�����˳d�D�2�fdfe��������Dނ�fdfe������j�D���fdfe�������b�E
ڄfdfe������ ��E �fdfe������|%�E6Ԅfdfe������׍�EL��fdfe������2��Ebq�fdfe�����Ύp�Ex�fdfe��������E���fdfe������Ef�E�+�fdfe�����Ϡ�E���fdfe�������q�E�ބfdfe������W��E��fdfe�����г��E�1�fdfe������'�F
9�fdfe������jßF"(�fdfe�������e�F7�fdfe������"�FK��fdfe������}��F`j�fdfe�������h�Ft��fdfe������5�F�u�fdfe�����Ӑ؟F�ׄfdfe������왟F�$�fdfe������H_�F�X�fdfe�����Ԥ*�F�u�fdfe���������F�y�fdfe������[ϟGg�fdfe�����շ��G=�fdfe��������G)��fdfe������ol�G=��fdfe�������V�GQ3�fdfe������'E�Gd��fdfe�����׃9�Gx�fdfe�������1�G�U�fdfe������;/�G���fdfe�����ؗ2�G���fdfe�������:�Gĥ�fdfe������OF�Gא�fdfe�����٫Y�G�e�fdfe������q�G�"�fdfe������c��HȄfdfe�����ڿ��H"U�fdfe������֟H4̄fdfe������x�HG+�fdfe�������3�HYs�fdfe������0i�Hk��fdfe�����܌��H}��fdfe��������H���fdfe������E,�H���fdfe�����ݡv�H�y�fdfe�������ƟH�5�fdfe������Z�H�؄fdfe�����޶u�H�d�fdfe������ӟH�ׄfdfe������o8�I5�fdfe������ˢ�I{�fdfe������(�I-��fdfe���������I>��fdfe���������IO��fdfe������=|�I`��fdfe��������Iqx�fdfe���������I�0�fdfe������S�I�ӄfdfe�����⯨�I�]�fdfe������@�I�Єfdfe������hܟI�*�fdfe�������~�I�o�fdfe������"%�I䛄fdfe������~џI���fdfe������ہ�J��fdfe������88�J��fdfe��������J$a�fdfe�������J4�fdfe������Nz�JC��fdfe������E�JSA�fdfe�������Jb��fdfe������d�Jr
�fdfe�������ğJ�K�fdfe��������J�v�fdfe������{��J���fdfe�������s�J���fdfe������5a�J�h�fdfe������U�J�5�fdfe�������N�J��fdfe������LL�J鈄fdfe������N�J�
�fdfe������W�K}�fdfe������ce�KԄfdfe�������x�K#�fdfe��������K1=�fdfe������z��K?O�fdfe�������ϟKMH�fdfe������4��K[*�fdfe������"�Kh�fdfe�������T�Kv��fdfe������L��K�D�fdfe������ǟK�Ʉfdfe�������K�5�fdfe������dN�K���fdfe���������K�Ȅfdfe�������K��fdfe������|>�K���fdfe������ٙ�K���fdfe������6��K�քfdfe������^�K���fdfe�������ǟLP�fdfe������O7�L�fdfe�����򬫟L m�fdfe������
$�L,؄fdfe������g��L9*�fdfe�������&�LEg�fdfe������"��LQ��fdfe������=�L]��fdfe�������ϟLi��fdfe������;g�Lum�fdfe��������L�3�fdfe���������L��fdfe������TM�L�z�fdfe���������L���fdfe��������L�e�fdfe������mc�L���fdfe��������L���fdfe������(��L��fdfe���������L��fdfe�������q�L��fdfe������BA�L��fdfe��������L���fdfe��������Ma�fdfe������[ҟM��fdfe���������Mv�fdfe��������M&ބfdfe������u��M1-�fdfe������ӄ�M;e�fdfe������1}�ME��fdfe�������|�MO��fdfe������퀟MY��fdfe������K��Mc]�fdfe���������Mm�fdfe��������Mv˄fdfe������eŸM�_�fdfe�������ߟM�܄fdfe������"�M�@�fdfe�������)�M���fdfe�������V�M�ńfdfe�����<��M��fdfe��������M��fdfe��������M�܄fdfe�����W;�Mɴ�fdfe��������M�u�fdfe�����̟M��fdfe�����r�M㰄fdfe������t�M�+�fdfe�����.ϟM�fdfe������/�M�ڄfdfe�����땟N�fdfe�����I��N
,�fdfe������n�N2�fdfe������N�fdfe�����e\�N$��fdfe������۟N,��fdfe�����"_�N4^�fdfe�������N;�fdfe������v�NCh�fdfe�����>	�NJɄfdfe��������NR�fdfe������>�NYD�fdfe�����Y�N``�fdfe��������Ngd�fdfe�����	6�NnQ�fdfe�����	u�Nu%�fdfe�����	Ԡ�N{�fdfe�����
3\�N���fdfe�����
��N��fdfe�����
��N���fdfe�����O��N��fdfe��������N�6�fdfe�����
V�N�g�fdfe�����l0�N��fdfe�������N���fdfe�����
)��N�k�fdfe�����
���N�>�fdfe�����
�ϟN���fdfe�����FşNŝ�fdfe��������N�)�fdfe�������NП�fdfe�����cŸN���fdfe������̟N�C�fdfe�����!ڟN�q�fdfe�������N剄fdfe�������Nꈄfdfe�����?#�N�q�fdfe������F�N�B�fdfe������n�N���fdfe�����\��N���fdfe������͟O(�fdfe������O��fdfe�����[email protected]�O
��fdfe�����ف�O:�fdfe�����8ȟOh�fdfe�������O}�fdfe������e�O{�fdfe�����V��Oa�fdfe�������O#1�fdfe�����w�O&�fdfe�����tܟO*��fdfe������F�O.�fdfe�����3��O1��fdfe������+�O4܄fdfe������O8�fdfe�����R#�O;I�fdfe��������O>]�fdfe�����1�OAX�fdfe�����p��OD=�fdfe�����������������B]�!�������������������������&Zj�/�/���������&���fd6�������������(�j�GL��ȝ˟(�j(2�;����O������>:�)����������������&'�6U�'�������������Q��FZj�(�(�������������Dj���6δ

xydash10�R���������I��B�R����������ş@�_R���������}ʟ>�R���������ϟ=�R����������ԟ;9LR����������Kٟ9b�R�����������ޟ7��R�����������5�9R�����������3ވR�����������2�R����������M�01&R�������������.ZuR����������������N�(��`���,�������������ٟZj�6�6����������Y��Lc�l������������
"�l����������L��cl���������8��
��l���������ؠ��cl���������xJ�|�l������������Scl�������������)�l����������WH�cl��������������l���������얜��cl����������6F���l������������Zcl��������������ރ�R6ԲGL��*�h�R6�(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)������������f'I��6�W��*�e���wish�to�compare���x䍑$�~������V���IG�with��V�8�.�J^This�is�lik���e�comparing�apples�with�oranges,���since����6�one��fis�a�v���ector�space�o�v�er�the��`�-adic�eld��E������ݠ�and�the�other�o�v�er�����_�fe<o����F����
�՟��`�����.�O�W��*�e�compare����6�the�UUdimensions�of�the�inertia�in���v��q�arian�ts:��;�����0�dim����x䍒�
3~�����҆�V��8�����I���p�����噇�����dim��n�V��8�����I���p���
w�:����6लMiraculously��*�,��,it��could�b�Ge�that���x䍑%~������V���J;�is�so�ramied�that���x䍑%~������V��8��^��I���p�����*��=�@60,�but��V���is�unramied����6�so��UUdim�����V��8��^��I���p���
>�=��0.�q�The�UUfollo���wing�denes��n�(�p�):���u������ord����%����p�����(�N��)��=��n�(�p�)�8�+�(�dim��UV�V��8�����I���p��������dim����x䍑R~������6�V��8�����I���p�����$ڎ�)�:����6लThough���this�ma���y�b�Ge�a�con�vulated�w�a�y�of�presen�ting��n�(�p�),��#it�is�what�is�used�when����6�trying�4�to�pro���v�e�4�one�of�the�main�theorems�in�the�sub��8ject:�0fIf����is�mo�Gdular�at�all,����6�it���is�p�Gossible�to�\rene"��N����and��k�1�and�ev���en�tually���disco�v�er�that����do�Ges�come�from����6वS���:�k�+B�(��)��Q��(����1��|s�(�N��(��))).�q�After�UUm���uc�h�w�ork�it�turns�out�that�[for��`��>��2?]��������W��*�eak�UUConjecture���U��(��UX)���1�Strong�UUConjecture�����H�Starting�UUwith�a�lev���el��N�lp�giving����w�e�ha�v�e��b<����εn�(�p�)��=��ord���?����p���P�(�N��)�8���(�dim��UV�V��8�����I���p��������dim����x䍑R~������6�V��8�����I���p�����$ڎ�)�:��L卑6लTh���us���w�e�can�read�of��N��(��)�from��ord�������p����(�N��),���gdim��b(�V��8��^��I���p���
w�),��gand��dim��Nx(���x䍑�~�����V��8��^��I���p�����LX�).�]'In�particular,����6वN��(��)�A=�j��N���for���an���y��N��giving��f���.��BIf��f�T̸2�A=�S����k��됲(����1��|s�(�N��))�and��`��-��N��,�0�then��k��Ը��k�P��(��).����6�Ho���w�ev�er,� �if��w�e�allo�w�p�Go�w�ers�of��`��in�the�lev�el�then�the�w�eigh�t��k�di�can�alw�a�ys�b�Ge�made����6�equal�Șto�2.�ˑAmazingly�(to�me),��iSerre's�conjectures�imply�that�all�o�Gdd�irreducible��\k��6�t���w�o-dimensional��qmo�Gd��`��represen���tations�of��Gal��Qs(����_�fe������Q������=�Q�)�ma�y�b�Ge�realized�in�spaces�of����6व`�-division���p�Goin���ts�on�suc�h�ab�Gelian�v��q�arieties.���The�w�eak�Serre�conjecture�states�that����6�all���suc���h�represen�tations�come�from�mo�Gdular�forms,��
and�then�it�tak�es�only�a�bit�of����6�tec���hnique�M�to�sho�w�that�one�can�tak�e�the�mo�Gdular�forms�to�ha�v�e�w�eigh�t�t�w�o�(if�one����6�allo���ws�UUp�Go�w�ers�of��`��in�the�lev�el).����H�W��*�e�UUno���w�consider�the�represen�tations�arising�from�������B�G��:���y��[ٟ����2��,�+�8�y�"�=���x������3���S�+��x������2�����12�x��+�2�:�����	f���7
������ww��w�U�LECTURE���2.���THE�STR�ÎONG�CONJECTURE�OF�SERRE��?,��9����Y������6लThe��Jconductor�of��B�>��is��N���=�v141�=�3�~ظ��47��Jand�there�is�a�newform��f����2�v�S����2��|s�(����0���(141))����6�attac���hed�1to��B��q�.�e�The�curv�e��B��u�is�isolated�in�its�isogen�y�class,�8Gso�b�y�Exercise�10.3,�8Gfor����6�ev���ery�ۥ�`��the�represen�tation������`�����:���G��!���GL����(2�;����F����`����)�����Aut����(�B��q�[�`�])�ۥis��=�':

cmti10�irr��}'e�ducible�.�I7Serre�ۥalso����6�pro���v�ed���that�eac���h������`��\��is�surjectiv�e.���The�(minimal)�discriminan�t�of��B�&�is��c=�3���^��7���>��W˲47.����6�What�R�are�the�Serre�lev���el�and�w�eigh�t�or�the������`��+f�attac�hed�to��B��q�?�iHAfter�a�p�Gossibly����6�quadratic�6~extension,�nǵB���b�Gecomes�a�\T��*�ate�curv���e."�AThis�can�b�e�used�[��30����]�to�sho���w����6�that�UUfor��p���6�=��`�,��32��r�W�����`���.;�is�UUunramied�at��O|}�p��1�(��UX)���ord������p��"�i�()�����0�	��(�mo�Gd����`�)�:����6लT��*�ak���e��`�p�!)�=�3,���`��6�=�3:���then������`��dF�is�unramied�at�3�i��`��j���ord�������3����()�=�7,���i.e.,�when��`�!)�=�7.����6�F��*�urthermore,�%
�����`���f�is���alw���a�ys�ramied�at�47.�dGWhat�do�Ges�this�sa�y�ab�Gout�the�optimal����6�lev���el,���in��Othe�sense�of�Serre's�conjecture?�(�T��*�ak�e��`�,��6�=�3�;����47.�(�Then��O�N��(�����`����)��j��N�CԲ=�3�a����47�:����6लIf��1�`��۸6�=�7�then��N��(�����`����)�=��N����=�3��Ǹ��47,�#hand�the�strong�case�is�v���eried.�`[If��`��۲=�7�then����6वN��(�����`����)��=�47,�UUand��k�P��(�����`���)��=�2�UUsince��`���-��3�8���47.����H�The���remaining�cases�are��`����=�3�;�UP�47.�-iIf���`��=�47�then��N��(�����`����)�=�3.�-iIt�is�hard����6�to���describ�Ge��k�P��(��)�axiomatically��*�.��YBecause�the�cyclotomic�c���haracter�has�order��`�����1,����6वk�P��(�����`����)�����2�q�(�mo�Gd���47�����1).�ֲIt�!�turns�out�that��k��(�����`����)��=�2��+�(47����1)��=�48.�ֲIn�!�order����6�to��uv���erify�the�strong�conjecture�w�e�need�a�mec�hanism�for�going�from�eigenforms�in����6वS����2��|s�(����0���(141);����F����`����)��to�eigenforms�in��S����48��x�(����0��|s�(3)).�o�In�Serre's�[��2�����][x�reference]�article�he����6�constructs�-Rsuc���h�a�map�for�lev�el�1.�dqKoik�e�and�others�generalized�this�map�to�higher����6�lev���el.����H�Let�F�us�no���w�return�to�the�example��`���=�7,�I�in�F�whic�h��N��(�����`����)��=�47�F�prop�Gerly�divides����6वN�`��=�I�3�m
���47.�\�The���strong�conjecture�predicts�the�existence�of��g��b�2��S����2��|s�(����0���(47))���giving����6�rise���to���.�'�Our�initial�instinct�is�to�lo�Gok�for�an�elilptic�curv���e��A��of�conductor�47�for����6�whic���h����A�[�`�]�7�=��B��q�[�`�].�<�W��*�e�lo�Gok�and�are�amazed�to�nd�that�there�is�no�elliptic�curv���e����6�of�v=conductor�47!��In�fact,��w�S����2��|s�(����0���(47))�v=is�4�dimensional,�spanned�b���y�the�4�Galois����6�conjugates��of�a�single�eigenform��f�ڧ�=�������P�����c����n��q~�q��[ٟ�^��n���D�whose�F��*�ourier�co�Gecien���ts��c����n���k�generate����6�the�UUfull�ring�of�in���tegers�in�the�eld��K�q�generated�b�y�a�ro�Got�of��32���4�h�(�x�)��=��x������4���S��8�x������3�����5�x������2���+�5�x����1�:����6लThe�q�discriminan���t�of��K�(��is�1957��/=�19�K����103�q�and�the�eigen�v��q�alue��c����2���	�satises��h�(�c����2��|s�)��/=�0.����6�Since��a�h�(�x�)��+���(�x���+�2)(�x���^��3��#[�+�4�x���^��2���+��x��+�3)�q�(�mo�Gd���7),�#�there��ais�a�prime����lying�o���v�er��a7����6�suc���h�o�that��O�G�=����T͍������+3����=�����
�&�F����7��|s�,�v�and�the�isomorphism�sends��c����2���p�to���2�q�(�mo�d���7).���Coun���ting,�v�w�e���ԍ�6�nd��*that�#���x䍑`s~�����B���9�(�F����2��|s�)�k�=�5��*so��a����2���B�=�k�3�zø��5�=���2�=��'�(�c����2��|s�),���as��*exp�Gected.��FMore�generally��*�,����6�for�UU�p���-��7�8���141,�w���e�ha�v�e��'�(�c����p���R�)�����a����p���I�mo�Gd��!��7�:����Hल\Lev���el�L�optimization:"�m�W��*�e�are�trying�to�strip�3�from�the�lev�el.�n�The�represen�ta-����6�tion�۵��starts�at�lev���el�141��=�3������47��and�is�unramed�at�3.�]IW��*�e�try�to�v�erify�that�there����6�is���a�form�of�lev���el�47�giving�rise�to���.�q�In�general,���the�easier�case,�due�to�Mazur,�is����6�when�UU�p���6��1����mo�Gd��*��`�.�q�The�hard�case,�due�to�Rib�Get,�is�when��p����1�q�(�mo�Gd����`�).�����
�A��7
�����Y����Ԡ�7
�����Y������G���P�_�LECTURE���3�����I��The��w��eigh�t�in�Serre's�conjecture��1���:5��Let�UU����:��G����������!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�b�Ge�an�irreducible�mo�dular�Galois�represen���tation.�� �������=\����ff�F����ff�������Conjecture.�qǵ�UU�is�mo�Gdular�of�t���yp�e��N��(��),��k�P��(��).����yńff��ff�ff�F�������G��6�In��zthe�last�lecture�w���e�discussed�the�lev�el.�.5No�w�w�e�discuss�the�w�eigh�t.�.5The�main����6�reference��is�[��12����].�s�W��*�e�assume�that����arises�from�an�eigenform�of�lev���el��N��IJ=�䩵N��(��)����6�and�UUw���eigh�t��k������k�P��(��)�and�sho�w�that��k���can�b�Ge�\pushed�do�wn"�to��k�P��(��).����H�W��*�e��ha���v�e�not�y�et�dened��k�P��(��).�'In�order�to�nd�the�denition,��w�e�m�ust�think����6�ab�Gout�>�forms�of�lo���w�w�eigh�t�and�their�asso�Gciated�Galois�represen�tations.�.Let��f�_��=�����6ट���P��C��a����n��q~�q��[ٟ�^��n��	�_�b�Ge��an�eigenform�of�lev���el��N�#�with�(�N���;���`�)�ٖ=�1,�#5suc�h��that�the�w�eigh�t��k�J��of��f����6लsatises�P�2�j���k������`��u�+�1,���and�let��"��denote�the�c���haracter�of��f���.�c�By�con�v�en�tion,���in����6�this��lecture�w���e�will�not�consider�w�eigh�t�1�forms,�Athough�it�is�imp�Gortan�t�to�think����6�ab�Gout�Þthem�in�certain�con���text.���Let��O�
��b�e�the�in���teger�ring�of��Q�(��:���:�:��
UOa����n���&�:���:�:��qu�)�and�x��\k��6व'���:��O�5!�����_�fe<o����F����
����`��
�m�.�YVW��*�e�will�sometimes�cut�do���wn�on�notation�b�y�writing��a����n��}�for��'�(�a����n��q~�),��i.e.,����6�b���y�K�thinking�of��a����n����as�in�����_�fe<o����F����
�����`��`�.�n�Let�����=������f��/ �.�In�K�the�previous�lecture�w���e�considered���j����D���p������6लfor����p���6�=��`�.�N�T��*�o�understand�the�w���eigh�t�w�e�instead�consider���j����D����`���
�N�,��whic�h�is�describ�Ged�in����6�man���y�@�cases�b�y�theorems�of�F��*�on�taine�and�Deligne.�j�There�are�t�w�o�cases�to�consider:��������K�������U���or��}'dinary���c�ase:�qǵa����`�����6�=��0��2�����_�fe<o����F����
����`��������K�������U���sup��}'ersingular���c�ase:�qǵa����`�����=��0��2�����_�fe<o����F����
����`�����6लOur�UUgoal�is�to�read�o�the�w���eigh�t�UUfrom�prop�Gerties�of���j����I����`������.����H��Ordinary�Fcase.���W��*�e���rst�consider�the�ordinary�case,��Wdue�to�Deligne.�In�this����6�case,�UU���has�a�one�dimensional�unramied�quotien���t,�so������M��j����D����`���
Mf��������^������d���
#�����*7�������
��0����������� �ş��^�����q���6लwith�G����ܲunramied,�Jwi.e.,�����(�I����`����)��=�1�and���	z�N4�=�����^��k�+B��1��(�"�.�[email protected]�c���haracter��"��is�also�unram-����6�ied�UUat��`��b�Gecause�it�is�a�c���haracter�of�conductor��N�lp�and��N��is�coprime�to��`�.�q�Th���us��񂍒��o��j����I����`���
Nָ�������^������덍�
#�����^��k�+B��1����)�U�������Xp�0���)�U1�����.�V���^�������6लSince������has�order��`��a���1���w���e�can�reco�v�er��k�K,�mo�Gdulo��`��a���1.�S�This���is�enough�to�determine����6वk���when�UU�k���6�=��2�;���`�8�+�1.�q�In�Lecture�5�w���e�will�see�ho�w�to�decide�b�Get�w�een�2�and��`�8�+�1.����H��Sup�Q�ersingular�U&case.��8�F��*�on���taine��{in�v�estigated�the�sup�Gersingular�case.��8In�order����6�to��describ�Ge���j����I����`���o��w���e�in�tro�Gduce�the�fundamen�tal�c�haracters�of�tame�inertia.�)�Fix�an��l��6�algebraic��closure�����_�fe������Q�����P�qƴ`�����of�the�eld��Q����`��쫲of��`�-adic�n���um�b�Gers.��Let���Q���^���nr��v��`���r�b�e�the�maximal����6�unramied�9�extension�and��Q���^���tame��v��`������the�maximal�tame�extension.�h�The�tame�extension�������;�11�������7
�������9���6��12����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6��Q���^���tame��v��`����&�is�ȯbuilt�up�b���y�all�nite�extensions�of��Q���^���nr��v��`����\�of�degree�coprime�to��`�.���W��*�e�ha�v�e����6�the�UUfollo���wing�to�w�er�of�elds.��z3��������������!������fe������Q������?�'�`�����������,��'�fd������������Y��;�fD����`�������������������h��fdfe����������fdfe������kR��@�fdfe������B����fdfe������R�YĄfdfe����������fdfe���������H�fdfe������:���fdfe������z��J̄fdfe������S���fdfe������+ҟ�P�fdfe�����������fdfe�������ҟ	;Ԅfdfe�������	x�fdfe���������	�X�fdfe������j:�	�fdfe������D�
,܄fdfe�������
i�fdfe�������R�
�`�fdfe������Һ�
ᢄfdfe�����߭R��fdfe�����߈�Z&�fdfe������c��h�fdfe������>:�Ҫ�fdfe���������fdfe��������K.�fdfe�������ҟ�p�fdfe�����ެ��ð�fdfe�����ވҟ��fdfe������e�
<4�fdfe������A��
xv�fdfe������:�
���fdfe��������
���fdfe��������-<�fdfe�����ݵR�i~�fdfe�����ݒ�����fdfe������pR���fdfe������N�D�fdfe������,�Z��fdfe������
:��Ȅfdfe������蒟�
�fdfe��������L�fdfe�����ܥҟK��fdfe�����܄���Єfdfe������cҟ��fdfe������C�T�fdfe������"��<��fdfe������:�x؄fdfe����������fdfe���������\�fdfe�����ۢR�-��fdfe�����ۂ��i��fdfe������cR��"�fdfe������D��d�fdfe������%���fdfe������:�Z�fdfe������璟�*�fdfe���������l�fdfe�����ڪҟ��fdfe�����ڌ��K�fdfe������nҟ�0�fdfe������Q��r�fdfe������3����fdfe������:�<��fdfe��������y8�fdfe���������z�fdfe�����ٿR��fdfe�����٢��-��fdfe�����نR�[email protected]�fdfe������j����fdfe������N��Ąfdfe������2:��fdfe��������[H�fdfe�����������fdfe�������ҟ�̄fdfe������ĺ��fdfe�����ةҟLP�fdfe�����؏����fdfe������t���Ԅfdfe������Z:��fdfe������@�=X�fdfe������&�y��fdfe������R��܄fdfe���������fdfe�������R�.`�fdfe��������j��fdfe�����ק���fdfe�����׎:��&�fdfe������u��h�fdfe������]�[��fdfe������Dҟ��fdfe������,���,�fdfe������ҟn�fdfe��������L��fdfe������咟��fdfe�������:��4�fdfe�����ַ�v�fdfe�����֠�=��fdfe�����։R�y��fdfe������r���<�fdfe������\R��~�fdfe������F�.��fdfe������0�k�fdfe������:��D�fdfe��������ㆄfdfe��������Ȅfdfe�������ҟ\
�fdfe������ĺ��L�fdfe�����կҟԎ�fdfe�����՛� Єfdfe�����Ն�� M�fdfe������r:� �T�fdfe������^� Ŗ�fdfe������J�!؄fdfe������6R�!>�fdfe������"��!z\�fdfe������R�!���fdfe��������!���fdfe��������"/"�fdfe�������:�"kd�fdfe������Ò�"���fdfe�����Ա�"��fdfe�����Ԟҟ# *�fdfe�����Ԍ��#\l�fdfe������zҟ#���fdfe������i�#���fdfe������W��$2�fdfe������F:�$Mt�fdfe������5�$���fdfe������$�$���fdfe������R�%:�fdfe��������%>|�fdfe�������R�%z��fdfe��������%��fdfe��������%�B�fdfe�������:�&/��fdfe�����Ӳ��&kƄfdfe�����ӣ�&��fdfe�����ӓҟ&�J�fdfe�����ӄ��' ��fdfe������uҟ'\΄fdfe������g�'��fdfe������X��'�R�fdfe������J:�(��fdfe������<�(Mքfdfe������.�(��fdfe������ R�(�Z�fdfe��������)��fdfe������R�)>ބfdfe��������){ �fdfe��������)�b�fdfe�������:�)�fdfe������ђ�*/�fdfe��������*l(�fdfe�����Ҹҟ*�j�fdfe�����Ҭ��*䪄fdfe�����Ҡҟ+ �fdfe�����ҕ�+].�fdfe�����҉��+�p�fdfe������~:�+ղ�fdfe������s�,�fdfe������h�,N6�fdfe������]R�,�x�fdfe������R��,ƺ�fdfe������HR�-��fdfe������>�-?>�fdfe������4�-{��fdfe������*:�-�„fdfe������ ��-��fdfe�������.0F�fdfe������
ҟ.l��fdfe��������.�ʄfdfe�������ҟ.��fdfe��������/!N�fdfe������꒟/]��fdfe�������:�/�҄fdfe��������/��fdfe��������0V�fdfe�������R�0N��fdfe������º�0�ڄfdfe�����ѻR�0��fdfe�����Ѵ�1^�fdfe�����ѭ�1?��fdfe�����Ѧ:�1{�fdfe�����џ��1�$�fdfe�����љ�1�f�fdfe�����ђҟ20��fdfe�����ь��2l�fdfe�����цҟ2�*�fdfe�����с�2�l�fdfe������{��3!��fdfe������v:�3]��fdfe������q�3�2�fdfe������l�3�t�fdfe������gR�4��fdfe������b��4N��fdfe������^R�4�:�fdfe������Z�4�|�fdfe������V�5��fdfe������R:�[email protected]�fdfe������N��5|B�fdfe������K�5���fdfe������Gҟ5�Ƅfdfe������D��61�fdfe������Aҟ6mJ�fdfe������?�6���fdfe������<��6�΄fdfe������::�7"�fdfe������8�7^R�fdfe������6�7���fdfe������4R�7�քfdfe������2��8�fdfe������1R�8OZ�fdfe������0�8���fdfe������/�8�ބfdfe������.:�9 �fdfe������-��[email protected]�fdfe������-�9|��fdfe������,ҟ9��fdfe������,��9�&�fdfe������,ҟ:1h�fdfe������-�:m��fdfe������-��:��fdfe������.:�:�.�fdfe������/�;"p�fdfe������0�;^��fdfe������1R�;��fdfe������2��;�6�fdfe������4R�<x�fdfe������6�<O��fdfe������8�<���fdfe������::�<�>�fdfe������<��=��fdfe������?�[email protected]„fdfe������Aҟ=}�fdfe������D��=�F�fdfe������Gҟ=���fdfe������K�>1ʄfdfe������N��>n�fdfe������R:�>�N�fdfe������V�>搄fdfe������Z�?"҄fdfe������^R�?_�fdfe������b��?�V�fdfe������gR�?ט�fdfe������l�@ڄfdfe������q�@P�fdfe������v:�@�^�fdfe������{��@Ƞ�fdfe�����с�A�fdfe�����цҟAA$�fdfe�����ь��A}f�fdfe�����ђҟA���fdfe�����љ�A��fdfe�����џ��B2,�fdfe�����Ѧ:�Bnn�fdfe�����ѭ�B���fdfe�����Ѵ�B��fdfe�����ѻR�C#4�fdfe������º�C_v�fdfe�������R�C���fdfe��������C���fdfe��������D<�fdfe�������:�DP~�fdfe������꒟D���fdfe��������D��fdfe�������ҟED�fdfe��������EA��fdfe������
ҟE}Ȅfdfe�������E�
�fdfe������ ��E�L�fdfe������*:�F2��fdfe������4�FnЄfdfe������>�F��fdfe������HR�F�T�fdfe������R��G#��fdfe������]R�G_؄fdfe������h�G��fdfe������s�G�\�fdfe������~:�H��fdfe�����҉��HP��fdfe�����ҕ�H�"�fdfe�����ҠҟH�d�fdfe�����Ҭ��I��fdfe�����ҸҟIA�fdfe��������I~(�fdfe������ђ�I�j�fdfe�������:�I���fdfe��������J2�fdfe��������Jo0�fdfe������R�J�r�fdfe��������J約fdfe������ R�K#��fdfe������.�K`8�fdfe������<�K�z�fdfe������J:�Kؼ�fdfe������X��L��fdfe������g�[email protected]�fdfe������uҟL���fdfe�����ӄ��L�Ąfdfe�����ӓҟM�fdfe�����ӣ�MBH�fdfe�����Ӳ��M~��fdfe�������:�M�̄fdfe��������M��fdfe��������N3P�fdfe�������R�No��fdfe��������N�Ԅfdfe������R�N��fdfe������$�O$X�fdfe������5�O`��fdfe������F:�O�܄fdfe������W��O��fdfe������i�P`�fdfe������zҟPQ��fdfe�����Ԍ��P��fdfe�����ԞҟP�$�fdfe�����Ա�Qf�fdfe������Ò�QB��fdfe�������:�Q~�fdfe��������Q�,�fdfe��������Q�n�fdfe������R�R3��fdfe������"��Ro�fdfe������6R�R�4�fdfe������J�R�v�fdfe������^�S$��fdfe������r:�S`��fdfe�����Ն��S�<�fdfe�����՛�S�~�fdfe�����կҟT��fdfe������ĺ�TR�fdfe�������ҟT�D�fdfe��������Tʆ�fdfe��������UȄfdfe������:�UC
�fdfe������0�UL�fdfe������F�U���fdfe������\R�U�Єfdfe������r��V4�fdfe�����։R�VpT�fdfe�����֠�V���fdfe�����ַ�V�؄fdfe�������:�W%�fdfe������咟Wa\�fdfe��������W���fdfe������ҟW���fdfe������,��X �fdfe������DҟXRb�fdfe������]�X���fdfe������u��X��fdfe�����׎:�Y(�fdfe�����ק�YCj�fdfe��������Y��fdfe�������R�Y��fdfe�������Y�0�fdfe������R�Z4r�fdfe������&�Zp��fdfe������@�Z���fdfe������Z:�Z�8�fdfe������t��[%z�fdfe�����؏�[a��fdfe�����ةҟ[���fdfe������ĺ�[�@�fdfe�������ҟ\��fdfe��������\RĄfdfe��������\��fdfe������2:�\�H�fdfe������N�]��fdfe������j�]C̄fdfe�����نR�]��fdfe�����٢��]�P�fdfe�����ٿR�]���fdfe��������^4Ԅfdfe��������^q�fdfe������:�^�X�fdfe������3��^隄fdfe������Q�_%܄fdfe������nҟ_b�fdfe�����ڌ��_�`�fdfe�����ڪҟ_ڢ�fdfe��������`�fdfe������璟`S&�fdfe������:�`�h�fdfe������%�`˪�fdfe������D�a�fdfe������cR�aD.�fdfe�����ۂ��a�p�fdfe�����ۢR�a���fdfe��������a��fdfe��������b56�fdfe������:�bqx�fdfe������"��b���fdfe������C�b���fdfe������cҟc&>�fdfe�����܄��cb��fdfe�����ܥҟc�„fdfe��������c��fdfe������蒟dF�fdfe������
:�dS��fdfe������,�d�ʄfdfe������N�d��fdfe������pR�eN�fdfe�����ݒ��eD��fdfe�����ݵR�e�҄fdfe��������e��fdfe��������e�V�fdfe������:�f5��fdfe������A��fqڄfdfe������e�f��fdfe�����ވҟf�^�fdfe�����ެ��g&��fdfe�������ҟgb��fdfe��������g�"�fdfe��������g�d�fdfe������>:�h��fdfe������c�hS�fdfe�����߈�h�*�fdfe�����߭R�h�l�fdfe������Һ�i��fdfe�������R�iD��fdfe�������i�2�fdfe������D�i�t�fdfe������j:�i���fdfe���������j5��fdfe�������jr:�fdfe�������ҟj�|�fdfe��������j꾄fdfe������+ҟk'�fdfe������S�kcB�fdfe������z��k���fdfe������:�k�Ƅfdfe��������l�fdfe��������lTJ�fdfe������R�l���fdfe������B��l�΄fdfe������kR�m	�fdfe�������mER�fdfe�������m���fdfe�������:�m�քfdfe��������m��fdfe������9�n6Z�fdfe������bҟnr��fdfe�����㌺�n�܄fdfe����������������
_�'�{�I����`������������������h��k�fdfe������ڟ�
�fdfe�������l�ׯ�fdfe�������ŸQ�fdfe������-ܟ(�fdfe������^��Q��fdfe������\�z7�fdfe������Ÿ�لfdfe���������{�fdfe������ڟ��fdfe������O����fdfe�������Ea�fdfe�������<�n�fdfe�������:����fdfe���������G�fdfe������:����fdfe������h̟��fdfe�������ڟ9-�fdfe������Ĭ�aτfdfe�������B��q�fdfe����������fdfe������L��۵�fdfe������y��Y�fdfe�������B�,��fdfe������Ҭ�U��fdfe�������ڟ~?�fdfe������*̟��fdfe������V��σ�fdfe����������%�fdfe�������:�	 DŽfdfe�������<�	Ii�fdfe�������	r�fdfe������-��	���fdfe������Wڟ	�O�fdfe��������	��fdfe�������Ÿ
��fdfe�������\�
=5�fdfe���������
eׄfdfe������'ܟ
�y�fdfe������PŸ
��fdfe������yl�
߽�fdfe�������ڟ_�fdfe��������1�fdfe��������Y��fdfe���������E�fdfe������A:���fdfe������h|�Ӊ�fdfe����������+�fdfe�������L�$̈́fdfe�������ڟMo�fdfe������,�v�fdfe������)B����fdfe������O��U�fdfe������t�����fdfe��������
��fdfe�������B�
A;�fdfe�������,�
i݄fdfe������ڟ
��fdfe������-L�
�!�fdfe������Q��
�Äfdfe������u|�e�fdfe�������:�5�fdfe���������]��fdfe���������K�fdfe���������fdfe������%ڟ׏�fdfe������Hl�1�fdfe������jŸ(ӄfdfe�������ܟQu�fdfe���������z�fdfe�������\����fdfe�������Ÿ�[�fdfe����������fdfe������3ڟ��fdfe������T��EA�fdfe������u�m�fdfe�������<����fdfe�������:��'�fdfe����������Ʉfdfe�������k�fdfe������̟9
�fdfe������2ڟa��fdfe������Q���Q�fdfe������pB���fdfe���������7�fdfe�������B�U}�fdfe�����"ڟ���fdfe�����\����fdfe������:�II�fdfe����������fdfe�����ڟ�фfdfe�����9Ÿ=�fdfe�����n���Y�fdfe������Ÿߝ�fdfe������ڟ0�fdfe�������%�fdfe�����9:��i�fdfe�����i��$��fdfe������ڟu�fdfe������B��5�fdfe��������y�fdfe�����!B�i��fdfe�����Lڟ��fdfe�����w��E�fdfe������:�]��fdfe��������̈́fdfe������ڟ�fdfe�����ŸQU�fdfe�����>�����fdfe�����cŸ�݄fdfe������ڟE!�fdfe��������e�fdfe������:�穄fdfe�����8�fdfe�����ڟ�1�fdfe�����.B��u�fdfe�����L��,��fdfe�����jB�}��fdfe������ڟ�C�fdfe�������� ��fdfe������:�q˄fdfe���������fdfe������ڟS�fdfe�����Ÿe��fdfe��������ۄfdfe�����4Ÿ�fdfe�����IڟYc�fdfe�����^����fdfe�����q:���fdfe�������� M/�fdfe������ڟ �s�fdfe������B� ﷄfdfe��������[email protected]��fdfe������B�!�?�fdfe������ڟ!ツfdfe�����݂�"4DŽfdfe������:�"��fdfe�������"�O�fdfe������ڟ#(��fdfe�����Ÿ#yׄfdfe�������#��fdfe�����Ÿ$_�fdfe�����ڟ$m��fdfe�����!�$��fdfe�����%:�%+�fdfe�����(��%ao�fdfe�����*ڟ%���fdfe�����,B�&��fdfe�����,��&U;�fdfe�����,B�&���fdfe�����*ڟ&�ńfdfe�����(��'I	�fdfe�����%:�'�M�fdfe�����!�'둄fdfe�����ڟ(<Մfdfe�����Ÿ(��fdfe�������(�]�fdfe�����Ÿ)0��fdfe������ڟ)��fdfe�������)�)�fdfe������:�*$m�fdfe�����݂�*u��fdfe������ڟ*���fdfe������B�+9�fdfe��������+i}�fdfe������B�+���fdfe������ڟ,�fdfe��������,]I�fdfe�����q:�,���fdfe�����^�,�фfdfe�����Iڟ-Q�fdfe�����4Ÿ-�Y�fdfe�������-�fdfe�����Ÿ.D�fdfe������ڟ.�%�fdfe�������.�i�fdfe������:�/8��fdfe��������/��fdfe������ڟ/�5�fdfe�����jB�0,y�fdfe�����L��0}��fdfe�����.B�0��fdfe�����ڟ1 G�fdfe�����1q��fdfe������:�1�τfdfe�������2�fdfe������ڟ2eW�fdfe�����cŸ2���fdfe�����>��3߄fdfe�����Ÿ3Y#�fdfe������ڟ3�g�fdfe�������3���fdfe������:�4L�fdfe�����w��4�3�fdfe�����Lڟ4�w�fdfe�����!B�[email protected]��fdfe��������5���fdfe������B�5�C�fdfe������ڟ64��fdfe�����i��6�˄fdfe�����9:�6��fdfe������7(S�fdfe������ڟ7y��fdfe������Ÿ7�ۄfdfe�����n��8�fdfe�����9Ÿ8mc�fdfe�����ڟ8���fdfe�������9�fdfe������:�9a/�fdfe�����\��9�s�fdfe�����"ڟ:��fdfe�������B�:T��fdfe���������:�?�fdfe������pB�:���fdfe������Q��; '�fdfe������2ڟ;HɄfdfe������̟;qk�fdfe�������;�
�fdfe���������;¯�fdfe�������:�;�Q�fdfe�������<�<�fdfe������u�<<��fdfe������T��<e7�fdfe������3ڟ<�لfdfe�������<�{�fdfe�������Ÿ<��fdfe�������\�=��fdfe���������=0a�fdfe�������ܟ=Y�fdfe������jŸ=���fdfe������Hl�=�G�fdfe������%ڟ=��fdfe�������=���fdfe��������>$-�fdfe���������>Lτfdfe�������:�>uq�fdfe������u|�>��fdfe������Q��>Ƶ�fdfe������-L�>�W�fdfe������ڟ?��fdfe�������,�[email protected]��fdfe�������B�?i=�fdfe��������?�߄fdfe������t��?���fdfe������O�?�#�fdfe������)B�@ńfdfe������,�@4g�fdfe�������ڟ@]	�fdfe�������L�@���fdfe���������@�M�fdfe������h|�@��fdfe������A:�@���fdfe��������A(3�fdfe��������APՄfdfe��������Ayw�fdfe�������ڟA��fdfe������yl�Aʻ�fdfe������PŸA�]�fdfe������'ܟB��fdfe���������BD��fdfe�������\�BmC�fdfe�������ŸB��fdfe��������B���fdfe������WڟB�)�fdfe������-��C˄fdfe�������C8m�fdfe�������<�Ca�fdfe�������:�C���fdfe���������C�S�fdfe������V��C���fdfe������*̟D��fdfe�������ڟD,9�fdfe������Ҭ�DTۄfdfe�������B�D}}�fdfe������y��D��fdfe������L��D���fdfe��������D�e�fdfe�������B�E �fdfe������Ĭ�EH��fdfe�������ڟEqK�fdfe������h̟E��fdfe������:��E�fdfe��������E�1�fdfe�������:�Fӄfdfe�������<�F<u�fdfe�������Fe�fdfe������O��F���fdfe������ڟF�[�fdfe��������F���fdfe������ŸG��fdfe������������������P���I���w�������������������g�[&�fdfe������깟�8�fdfe��������J�fdfe������49�Q\�fdfe������Wf��n�fdfe������y�����fdfe������G��fdfe�����ﺠ����fdfe������ٚ�븄fdfe���������	=ʄfdfe������g�	�ބfdfe������0:�	���fdfe������K�
4�fdfe������d��
��fdfe������}f�
�(�fdfe�������*:�fdfe�����𫙟|L�fdfe���������^�fdfe������ՙ� r�fdfe��������r��fdfe�������f�Ė�fdfe��������
��fdfe��������
h��fdfe������,9�
�΄fdfe������:f���fdfe������G��^�fdfe������S����fdfe������^���fdfe������h��U*�fdfe������q���<�fdfe������yf��P�fdfe������9�Kb�fdfe���������t�fdfe�����񊸟fdfe������e�A��fdfe����������fdfe�����񒘟弄fdfe�������7΄fdfe�����񒘟��fdfe���������fdfe������e�.�fdfe�����񊸟��fdfe���������,�fdfe������9�$>�fdfe������yf�vP�fdfe������q���b�fdfe������h��v�fdfe������^��l��fdfe������S�����fdfe������G����fdfe������:f�b��fdfe������,9��҄fdfe���������fdfe��������X��fdfe�������f��
�fdfe����������fdfe������ՙ�O.�fdfe���������@�fdfe�����𫙟�T�fdfe�������Ef�fdfe������}f��x�fdfe������d��銄fdfe������K�;��fdfe������0:����fdfe������g��„fdfe���������1Ԅfdfe������ٚ���fdfe�����ﺠ����fdfe������(
�fdfe������y��z�fdfe������Wf��0�fdfe������49�B�fdfe�������pT�fdfe������깟�f�fdfe�������g�z�fdfe���������������/�)R�Q���^���tame��v��`������������,��F�V�fd�������������P�<��I���t�������������������g�/8Մfdfe������깟/�K�fdfe�������/���fdfe������49�0*7�fdfe������Wf�0z��fdfe������y��0�!�fdfe������1��fdfe�����ﺠ�1l
�fdfe������ٚ�1���fdfe���������2��fdfe������g�2]o�fdfe������0:�2��fdfe������K�2�[�fdfe������d��3Nτfdfe������}f�3�E�fdfe�������3ﻄfdfe�����𫙟[email protected]�fdfe��������4���fdfe������ՙ�4��fdfe��������51��fdfe�������f�5�	�fdfe��������5�}�fdfe��������6"�fdfe������,9�6si�fdfe������:f�6�߄fdfe������G��7U�fdfe������S��7d˄fdfe������^��7�A�fdfe������h��8��fdfe������q��8V+�fdfe������yf�8���fdfe������9�8��fdfe��������9G��fdfe�����񊸟9��fdfe������e�9�w�fdfe�������:8�fdfe�����񒘟:�c�fdfe�������:�ׄfdfe�����񒘟;*M�fdfe�������;zÄfdfe������e�;�9�fdfe�����񊸟<��fdfe��������<l%�fdfe������9�<���fdfe������yf�=
�fdfe������q��=]��fdfe������h��=���fdfe������^��=�q�fdfe������S��>N�fdfe������G��>�]�fdfe������:f�>�ӄfdfe������,9�[email protected]�fdfe��������?���fdfe��������?�3�fdfe�������f�@1��fdfe��������@��fdfe������ՙ�@ҕ�fdfe��������A#�fdfe�����𫙟As��fdfe�������A���fdfe������}f�Bm�fdfe������d��Bd�fdfe������K�B�W�fdfe������0:�C̈́fdfe������g�CVC�fdfe���������C���fdfe������ٚ�C�-�fdfe�����ﺠ�DG��fdfe������D��fdfe������y��D荄fdfe������Wf�E9�fdfe������49�E�y�fdfe�������E��fdfe������깟F*e�fdfe�������g�Fzۄfdfe�������F�Q�fdfe������t��GDŽfdfe���������������ПP���Q���^���nr��v��`������������,��n�̄fd�����������d���E��+#��cmex7�b��������P�0f$�cmbx7�Z�������������������V�=�fdfe�������g�W>��fdfe������깟W�;�fdfe�������Wۻ�fdfe������49�X*;�fdfe������Wf�Xx��fdfe������y��X�9�fdfe������Y��fdfe�����ﺠ�Yd9�fdfe������ٚ�Y���fdfe���������Z9�fdfe������g�ZO��fdfe������0:�Z�9�fdfe������K�Z칄fdfe������d��[;7�fdfe������}f�[���fdfe�������[�7�fdfe�����𫙟\&��fdfe��������\u7�fdfe������ՙ�\÷�fdfe��������]7�fdfe�������f�]`��fdfe��������]�5�fdfe��������]���fdfe������,9�^L5�fdfe������:f�^���fdfe������G��^�5�fdfe������S��_7��fdfe������^��_�5�fdfe������h��_Ե�fdfe������q��`#3�fdfe������yf�`q��fdfe������9�`�3�fdfe��������a��fdfe�����񊸟a]1�fdfe������e�a���fdfe�������a�1�fdfe�����񒘟bH��fdfe�������b�/�fdfe�����񒘟b寄fdfe�������c4/�fdfe������e�c���fdfe�����񊸟c�/�fdfe��������d��fdfe������9�dn/�fdfe������yf�d���fdfe������q��e-�fdfe������h��eY��fdfe������^��e�-�fdfe������S��e���fdfe������G��fE-�fdfe������:f�f���fdfe������,9�f�-�fdfe��������g0��fdfe��������g+�fdfe�������f�gͫ�fdfe��������h+�fdfe������ՙ�hj��fdfe��������h�+�fdfe�����𫙟i��fdfe�������iV+�fdfe������}f�i���fdfe������d��i�)�fdfe������K�jA��fdfe������0:�j�)�fdfe������g�jީ�fdfe���������k-'�fdfe������ٚ�k{��fdfe�����ﺠ�k�'�fdfe������l��fdfe������y��lg%�fdfe������Wf�l���fdfe������49�m%�fdfe�������mR��fdfe������깟m�%�fdfe�������g�m籠fdfe�������n>%�fdfe������t��n���fdfe���������������!��xy>�Q����`������������������6लThere��are�man���y�elds�in�termediate�b�Get�w�een��Q���^���nr��v��`���(��and��Q���^���tame��v��`����w�.��hIf��n�S���1��and��`�S�-��n��
'~��6लthen����Q���^���nr��v��`���
��(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)�����Q���^���tame��v��`����w�,��land�furthermore�these�extensions�generate��Q���^���tame��v��`����,��lsee�[��28����].����6�Since����`�/z�-��n�,����Q����`��lܲis�unramied�at�primes�dividing��n��and�so��������
��qƴn��I���Q���^���nr��v��`���
��.�-�By�Kummer����6�theory���w���e�understand�the�Galois�group�of��Q���^���tame��v��`����w�.�I�In�particular,���there�is�a�canonical����6�isomorphism��6?�����iGal���Yk(�Q�������nr���፴`���
��(������w��n������T���V�p���	�����V�fe*��	���`������ W�)�=�Q�������nr���፴`����)�����������!���������	�<�qƴn��L��;����"�7!�����<$���K��[ٲ(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`�������)���K�w�fe��
�����	����
��n������8��zP�p���⏟�zP�fe*������`�����������H��6लThis���isomorphism�lifts�to�a�map��I��[�!���#y�����
7��qƴn��5޲whic���h�factors�through��I����t���V�.�The�group��������
��qƴn���N1��6लsits�sinside�the�ring�of�in���tegers��O��+�of�����_�fe������Q������qƴ`����.���Reducing�mo�Gdulo�the�maximal�ideal�giv�es����6�a�UUc���haracter��."�����I�����������	�p!���������	�<�qƴn��L��(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�)����T΍�1+����2��������������=!�������V������z�qƴn��'��(����_�fe<o����F����<o���`��U�)��������_�fe<o����F������w��
�����i��
��`����k�:��G���6लLet���n�<��=��`���^����a���g�1.�EThe�surjectiv���e�map��I���!��F���^�����v��`��������ޘ�is�called�a�fundamen���tal�c�haracter�of���o��6�lev���el�+õ����.�c�Though�this�ma�y�seem�p�Gendan�tic,�4think�of�this�����_�fe<o����F����
h2���`��l۲dieren�tly�than�the�one����6�at�0^the�b�Geginning�of�the�lecture.��There�are����T�dieren���t�fundamen�tal�c�haracters�of����6�lev���el�UU���K�as�illustrated�b�y�the�follo�wing�diagram:��P��������������ꪵI������������0i��5�#�#�����������!	����H����������O���<H����������}�� �H���������ͬw�U�H�������������H����������	k��PH����������7�	��H����������f_�*�H�����������ٟ`H�����������S��dH��������������ܟ���fe<o����F����#SK��5�`�������������������P�'���F���^�����v��`����������	��'�������F����`��������������������l���:�:��������������N�u���������ȧ�W�u���������	����u���������J��
�)u������������
#ru����������̣���u����������
��Vu����������N���Mu���������􏠟��u����������П�!�u����������ܟnG�:�:������������J��u���������9���u���������
z�}5u���������	��~u�������������u���������=�Iu����������~��Yu������������{�u������������u����������A��4u������������������1b�����.9����̾�maps���������������������L����:�:����������h��	���u������������pAu���������ꆟ	�u���������+����u���������l��<u�������������eu���������n�u����������/���u����������p���@u������������!:�u����������9���6लThese�5�c���haracters,�<$tak�en�as�a�whole,�<$are�the��fundamen��9tal��c�haracters�of�lev�el������.����6�The�~fundamen���tal�c�haracter�of�lev�el�1�is�the�mo�Gd��`��cyclotomic�c�haracter,��Nsee�Exer-����6�cise�r$10.14.��5When�����=��2,�yXthere�are�t���w�o�r$fundamen�tal�c�haracters�whic�h�w�e�denote�	����6�and�UU	���^��0���9�.�q�They�satisfy�	���^��`�����=��	���^��0��#��and�(	���^��0���)���^��`�����=��	.����H�If��õB��q=�Q����`��ѩ�is�a�sup�Gersingular�elliptic�curv���e,�Gthen�since��I����t��~�is�ab�elian�of�order�prime��\k��6�to���`�,��the�represen���tation��I����t��)\�!����Aut����(�B��q�[�`�])������GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)���is�diagonalizable,�equal�to�a����6�direct��|sum�of�t���w�o��|c�haracters.��<Amazingly��*�,��the�t�w�o�c�haracters�are�the�fundamen�tal����6�c���haracters��	�and�	���^��0���9�.�[2In�[��25����]�Serre�explains�v�ery�carefully�ho�w�w�e�obtain�these�t�w�o����6�c���haracters�EYb�y�studying�formal�groups.�lsMore�generally��*�,�H�F�on���taine�pro�v�ed�that�if��f�X�is����6�sup�Gersingular�P�of�w���eigh�t�P��k������`��then������f��/ �j����I��]��:��I�����������	�p!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�factors�through��I����t����and�is��Y⍑6�a�UUdirect�sum�of�the�t���w�o�UUc�haracter�	���^��k�+B��1��}Y�and�(	���^��0���9�)���^��k�+B��1��(�.����H�W��*�e���no���w�kno�w�ho�w�to�see�the�w�eigh�t�of�a�Galois�represen�tation�arising�from�a����6�form��Tof�lo���w�w�eigh�t.���Next�start�with�a�represen�tation���ok�:��D����!���GL���P(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)��Twhic�h�is����6�kno���wn�b�to�b�Ge�mo�dular,�f(but�arising�from�a�form�of�some�p�ossibly�quite�large�w���eigh�t�����
በ�7
�������9��ue��LECTURE���3.���THE�WEIGHT�IN�SERRE'S�CONJECTURE��7���13����Y������6वk�P��.�p'Let�Tʵ���^��ss��*زdenote�the��simisimplication��of���,���th���us�����^��ss��F�=�pڵ��if����is�irreducible,����6�otherwise�UU����^��ss��
+c�is�a�direct�sum�of�t���w�o�UUc�haracters���^ϲand�����.���&����6��Lemma��T3.1.���v�9����^��>t}\�cmti7�ss��
��is���tame,�i.e.,�����^��ss��Lв(�I����w��y1�)��=�0�.��㑍���6��Pro�Q�of.���[��The��wild�ramication�group��I����w��
���is�the�k���ernel�of�the�map��Gal����(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�=�Q����`����)�*�!��\k���6लGal��F��(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�=�Q���^���tame��v��`����w�),��}hence���it�is�a�normal�subgroup�of��D�G�.�G�Eac���h�nite�Galois�extension����6�of�UU�Q���^���tame��v��`���̲is�of�degree�a�p�Go���w�er�UUof��`�,�so��I����w��	Ά�is�the�pronite�Sylo���w��`�-subgroup�of��I���.����H�T��*�o�a�simplify�notation,�d�write���7��=�ۧ����^��ss����.���Let��W�?6�=��F����`�������
�ɸ�A�F����`��������[�b�Ge�the�represen���tation����6�space��-of���[ٲ.�NThen��W��c���^��I���w���6��=�*�f�w�_
�2��W�}��:����(��!Dz)�w�_
�=��w���8�for�UUall�� ���;�2��I����w��y1�g��-�is�a�subspace�of��W����6लin���v��q�arian�t�bunder�the�action�of��D�G�.�r�T��*�o�see�this,�+%let������2��-�D��,�+%����2��I����w��y1�,�and�b�w�)�2��W��c���^��I���w���̲.����6�Since�UU�I����w��	Ά�is�normal�in��D�G�,����	z��^���1��
���!��В�=�������^��0��EU�for�UUsome����!ǟ�^��0����2��I����w��y1�.�q�Therefore����������[ٲ(��	z�)�������1��
�t���(��!Dz)���(���)�w���=�����(���!ǟ����0����)�w��=���w����6लso�UU��[ٲ(��!Dz)���(��	z�)�w���=�����(���)�w�D�,�UUhence���[ٲ(���)�w���2���W��c���^��I���w���̲.����H�Claim:���W��c���^��I���w����i�6�=���0.�W��*�rite��r�W�E�as�a�disjoin���t�union�of�its�orbits�under�the�action����6�of�h�I����w��y1�.���Since��I����w��
�"�is�an�Sylo���w��`�-subgroup�and��W�̀�is�nite�w�e�see�that�the�size�of����6�eac���h�7orbit�is�either�1,�<oor�a�p�Gositiv�e�p�Go�w�er�of��`�.��lNo�w��f�0�g��is�a�singleton�orbit,�<o�W����6लhas�<��`�-p�Go���w�er�order,�A�and�all�non-singleton�orbits�ha�v�e�order�a�p�Gositiv�e�p�Go�w�er�of��`�,�A�so����6�there��Fm���ust�b�Ge�at�least��`�w����1��Fother�singleton�orbits.���Eac�h�of�these�giv�es�a�nonzero����6�elemen���t�UUof��W��c���^��I���w���̲.����H�If���W��c���^��I���w���@?�=�#s�W�#��then��I����w��9$�acts�trivially�and�w���e�are�done.���If��W��c���^��I���w����6�=�#s�W�c��,��then����6वW��c���^��I���w���
�ϲis��nonzero�so�it�is�a�one�dimensional�subspace�in���v��q�arian�t��under��D�G�.�EBecause���*ܲis����6�semisimple�u�it�is�diagonal.�'4If����߸2���I����w��y1�,��Zthen����b�has�order��`���^��n����for�some��n��so���[ٲ(��!Dz)�=������b����������	����u�0���\q���	�O0���ߴ������m���b�����l�;��
j���6लwith�����	z��^��`����r�n���{@�=��t������^��`����r�n�����=�1.��But���	z;����8��2��F����`�������$��so�they�ha���v�e�order�dividing��j�F���^�����v��`��������B��j��t�=��`���^�����g�����1.����6�Since��UUgcd��UW(�`���^����2���8�1�;���`���^��n��q~�)��=�1�UUit�follo���ws�that���В�=����N4�=�1,�UUso��I����w��	Ά�acts�trivially��*�.���+U��ff����d�ff�Y��ff����ff����QፑH�Th���us�D���>�=�Ve����^��ss����j����I��ۀ�factors�through�the�(prime-to-�`�)�tame�inertia�group��I����t���V�,���so����
%P��6लis�)�diagonalizable,�^�equal�to�the�direct�sum�of�t���w�o�)�c�haracters���	z;�����Ѳ:�(��I��!�����_�fe<o����F������w��e$����i��e$�`�����.��LThe����6�c���haracters�ڃ��	z;����a��ha�v�e�some�stabilit�y�prop�Gerties�b�ecause����=������^��ss����j����I��q�is�the�restriction����6�of�UUa�represen���tation�of�the�full�decomp�Gosition�group.�q�Consider�the�to�w�er�of�elds��z��������������R?��=�K���(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)����������r�ϡ�fdfd����������D7���K�~4�=���Q���^���ur��v��`������������r�2�{�fdfd����������l�<���Q����`�������������Q'㍑6लLet����G�t�=��Gal���(�K���(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)�=�Q����`����).���Recall�that��Gal��]�(�K��(������
��n������T��zP�p���	����zP�fe*������`������ W�)�=K��)����T͍��t����+3���t�=����������������qƴn��6��(�K��)�and��Gal��]�(�K�(�=�Q����`����)����6�is��top�Gologically�generated�b���y��F��*�rob���6x���`��^�.��&If��h��/�2��������S�qƴn��|Ѳ(�K���)��and��g�S�2��/�G��restricts�to��F��*�rob���6x���`���,����6�then�4yw���e�ha�v�e�the�conjugation�form�ula:�aY�g�[�hg����^���1��
�e�=���h���^��`����:�4y�Applying�this�to����R�with��h��2��I����t�����6लw���e�UUnd�that��섍���5��[ٲ(�g�hg��������1��M�)��=���[ٲ(�h������`����)�=����(�h�)������`�����6लso������4��[ٲ(�g��)���(�h�)���(�g��������1��M�)��=���[ٲ(�g�hg��������1���)��=���[ٲ(�h�)������`����:����6लThe���represen���tation��h�Y�7!���[ٲ(�h�)���^��`���ֲis���equiv��q�alen�t�to��h�Y�7!���[ٲ(�h�)���via�conjugation�b�y���[ٲ(�g��).����6�As�Z�a�consequence,�\fthe�pair�of�c���haracters��f��	z;�UP���g��is�stable�under��`�-th�p�Go�w�ering,�\fi.e.,����6�as�UUa�set��f��	z;�UP���g���=��f�����^��`���`�;�UP�����^��`��`�g�:�UU�There�are�2�p�Gossibilities:���ۍ����K�������U���or��}'dinary���c�ase:�qǵ��	z��^��`���x�=����	z�,�UU������^��`��'�=�����,�so���	z;����N4�:��I����!��F���^�����v��`�����.�����K3��7
�������9���6��14����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y���������K�������U���sup��}'ersingular���c�ase:��>���	z��^��`���0�=�е���6�=���	z�,��ߵ�����^��`��kҲ=���J�6�=�����,�so�~�that����	z��^��`����r���Zcmr5�2���
�P�=��
�and�������^��`����r�2���R�=�����,����U��and�UU��	z;����N4�:���I����!��F���^������v��`����2������.��3��H�W��*�e�,�no���w�discuss�the�sup�Gersingular�case�further,�b�lea�ving�the�ordinary�case�for����6�next�UUtime.�q�Let��3
���CU��	z;����N4�:���I�����������	�p!��F����������v��`����2�����L���6लb�Ge��the�t���w�o��tame�c���haracters�asso�ciated�to�the�semisimplication���\t�of���j����I�����.�U�Letting�	����6�denote�t�one�of�the�fundamen���tal�c�haracters�of�lev�el�2,���w�e�write���В�=��	���^��n��q~�,�����N4�=�	���^��n`���d�,�with����6वn�l��an�in���teger�mo�Gdulo��`���^��2���͸�HZ�1.��lW��*�rite��n��in�base��`��as��n��ɲ=��a��+��`b�l��with�0��ɸ��a;���b����`����1.����6�Then��M�`n�	���b�(ڲ+��`a�q��(�mo�Gd����`���^��2���M���1).���Switc���hing���	z;����Di�p�Germ�utes��a;���b��so,�Krelab�Geling�if����6�necessary��*�,�=�w���e�7�ma�y�assume�that��a�����b�.�g�If��a��=��b�,�=�then���В�=�	���^��a���p�(	���^��0���9�)���^��a�����=�����^��a���,�=�so�7ҵ�AL�tak���es����6�v��q�alues�UUin��F���^�����v��`�����,�con���trary�to�our�dic�hotom�y��*�.�q�Th�us�w�e�ma�y�assume�that��f?��Án0�����a�<�b����`�8���1�:����6लW��*�e�UUcan�factor�out�a�p�Go���w�er�UUof�the�cyclomotic�c���haracter:�����u>����������=������t�	������n��8��=��	������a���p�(	������0���9�)������b���\�=�	������a���(	������0���9�)������a���(	������0���)������b��a��aͲ=���������a���(	������0���)������b��a�����}r���u~����������=������tݵ������a���p�	������b��a�����:������6लTh���us������BJ��"����������a��P�
���8����^������d���	�T�	���^��b��a����7�0������F=0���)�'(	���^��0���9�)���^��b��a������J�Q���^����S�m�:��c���6लSetting��׵k��ܲ=��E�b������a��+�1,���the�un���t�wisted�represen�tation�is������`���������|c�	����r�k�����0ncmsy5��1����-��0����q���(i0���!��(	����r�0���s�)����r�k����1������?�b���`����G.�:��Since�2��E���q͍�6वb�8���a��+�1�����`�,�UUthe�w���eigh�t�UUof�the�un���t�wisted�UUrepresen�tation�is�in�the�correct�range.����H�What��'happ�Gens�to�the�w���eigh�t��'as�w���e�start�t�wisting?��>The�answ�er�is�a�whole����6�c���hapter���in�the�theory�of�mo�Gdular�forms.�ϝThe�theory�w�as�rst�dev�elop�Ged�b�y�Serre����6�and��Swinnerton{Dy���er,�ythen�later�jazzed�up�b�y�Katz�[��16����].��Katz�dened�spaces�of����6�mo�Gdular�UUforms�mo�d��`��(see�App�endix�9)�and�a��q�[ٲ-expansion�map��fC����R��В�:���������M�����Q�k�+B��0����5�M����k��됲(����1��|s�(�N��);����F����`����)�����������!���F����`���[[�q�[ٲ]]�:������6लThis���map�is�not�b�Ge�injectiv���e,�Ofor�example,�the�Hasse�in���v��q�arian�t��εA��of�w���eigh�t��ε`�Ӹ��1�has����6वq�[ٲ-expansion�UU1,�and�so�do�Ges�the�w���eigh�t�UU0�form�1,�so��A�8���1����k���er��(��	z�).��Le��H�Dene���an�op�Gerator���L��=�l�q��������W�d�����&�feG����dq������u�on��q�[ٲ-expansions�b���y����(�����P��8�a����n��q~�q��[ٟ�^��n���W�)�l=������P��>O�na����n���q��[ٟ�^��n���W�:���In��
[email protected]��6�particulary��*�,��if���%����P����a����n��q~�q��[ٟ�^��n��	�2�>��F����`����[[�q�[ٲ]]��%is�the��q��-expansion�of�a�mo�Gd��`��mo�dular�form,��then����6वa����p���R�(��Gf���)��S=��pa����p���(�f���)�:��߲Serre�and�Swinnerton-Dy���er�sho�w�ed�that�if��f�n�is�an�eigenform�of����6�w���eigh�t�	H�k�P��,�~then�there�is�a�mo�Gd��`��eigenform���f�ײof�w���eigh�t�	H�k��^�+��ǵ`��+�1�whose��q�[ٲ-expansion����6�is�UU��G�(�����P��8�a����n��q~�q��[ٟ�^��n���W�).�q�In�particular,�when�applying����,��the���level��N���do��}'es�not�change.����HलDene�W�the��minimal��
w��9eigh�t�ltration�W��w����as�follo���ws.�x�If��f�kB�is�a�mo�Gd��`��form,�XKlet����6वw�D�(�f���)��#b�Ge�the�minimal�p�ossible��k�O��so�that�the��q�[ٲ-expansion�of��f���comes�from�a�mo�dular����6�form���of�w���eigh�t����k�P��;�@Qif�no�suc���h��k�B��exists,�'do�not�dene��w�D�(�f���).�G�W��*�e�ha�v�e�the�follo�wing����6�amazing�UUtheorem.��A�����6��Theorem��T3.2.���~�r�w�D�(��Gf���)��=��w��(�f���)�8�+��`��+�1�����(��UX)��,UJ�`���-��w��(�f���)�:����HलW��*�e���can�no���w�giv�e�the�recip�Ge�for��k�P��(��)�in�the�sup�ersingular�case.�m�The�minimal����6�w���eigh�t�"�b�Gefore�t���wisting�is��b�����a��+�1���>��0,�,�whic�h�"�is�not�divisible�b�y��`�.�`�Eac�h�t�wist�adds����6व`�8�+�1�UUto�the�w���eigh�t.�q�Th�us�UUin�the�sup�Gersingular�case��f?�����k�P��(��)��=�(1�8�+��b����a�)�+��a�(�`��+�1)��=�1�8�+��`a��+��b:�����b	��7
�������9��ue��LECTURE���3.���THE�WEIGHT�IN�SERRE'S�CONJECTURE��7���15����Y������6लThe��Np�Goin���t�is�that�the�minimal�w�eigh�t�do�Ges�not�drop�when�t�wisting��a��times.�ʱThis����6�can�Fmb�Ge�seen�as�follo���ws.�l�Since�1�����1�+��b����a��<�`�Fm�and�(1�+��b����a�)�+��a�(�`��+�1)�����`���^��2��|s�,�Ihthe����6�w���eigh�t�UUcan�only�drop�if�there�exists��c��with�1�����c�<�a�UU�suc���h�that��32���׆(1�8�+��b����a�)�+��c�(�`��+�1)�����0�	��(�mo�Gd����`�)�:����6लIf��*this�happ�Gens,�B�then��c�Y"���a�@���b����1�q�(�mo�d����`�).�	EBut��*1�Y"���c�<�a����`�,�B�so�either����6वc��[�=��a�Mȸ��b����1��[�<��0,�|�since�t��a�<�b�,�or�t��c��=��`�MȲ+��a����b����1��[=��a�MȲ+��`����1����b��[���a�,�neither�t�of����6�whic���h�UUcan�happ�Gen.�����u���7
�����Y���y-��7
�����Y������G���P�_�LECTURE���4����4Č�Edixho��v�en's��pro�`of����:?"�In�^~this�lecture�w���e�sk�etc�h�Edixho�v�en's�pro�Gof�that�if����is�mo�dular�of�t���yp�e��N���;���k���with����6व`���-��N�lp�and�UU���is�sup�Gersingular,�then����is�mo�dular�of�t���yp�e��N��,��k�P��(��).��`��H�Let�̊���IJ:��G���������	�:!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�b�Ge�a�sup�ersingular�mo�d��`��Galois�represen���tation,��Wi.e.,�����6�tr���@Y���(�F��*�rob���*����`����)��iE�=���0.���Let�
��D�R�and��I���denote�the�decomp�Gosition�and�inertia�groups�at��`�,����6�resp�Gectiv���ely��*�,�UUand�let����.�b�e�the�semisimplication�of���j����D��@��.�q�W��*�e�ha���v�e��ō�����[ٸj����I��]���������^������d���
#��	���^��n����*�!�0������?�0���!\((	���^��0���9�)���^��n������9*���^�����
8��6लwhere�^�	�and�	���^��0���%�=���	���^��`��7��are�the�t���w�o�^�fundamen�tal�c�haracters�of�lev�el�2.��DSwitc�hing�	,����6�	���^��0���9�,�UUif�necessary��*�,�w���e�ha�v�e��������n���=��a�8�+��b`;����0�����a�<�b����`�8���1�:����6लThen��ٌ��r��	������n��8��=��	������a�+�b`���B�=�	������a���p�(	������0���9�)������b���\�=�	������a���(	������0���9�)������a���(	������0���)������b��a��aͲ=���������a���(	������0���)������b��a����%��6लso��p����ڌ��[ٸj����I��]�����������a��������^������d���
݌�	���^��b��a����<:��0�������u0���.?_(	���^��0���9�)���^��b��a������O6����^����X=��:��{���6लMotiv��q�ated��ab���y�F��*�on�taine's�lo�Gcal�analysis�of�Galois�represen�tations�arising�from�sup�Ger-����6�singular�UUeigenforms�w���e�dened�������k�P��(��)��=��a�(�`�8�+�1)�+�(�b����a��+�1)��=�1�8�+��`a��+��b:����HलW��*�e��explain�the�ingredien���ts�of�Edixho�v�en's�pro�Gof�in�this�case.�]�W��*�e�w�an�t�to�sho�w����6�that��yif����is�mo�Gdular,��of�lev���el��N�┲prime�to��`�,�then����is�mo�Gdular�of�w���eigh�t��y�k�P��(��)�and����6�lev���el��X�N��.��The�rst�step�is�to�pro�v�e�a�fairly�w�ell-kno�wn�result,��namely�that,�up�to����6�t���wist,�UUall�systems�of�eigen�v��q�alues�o�Gccur�in�w�eigh�t�����`�8�+�1.��|P����6��Theorem��T4.1.���~�r�Supp��}'ose������is�mo�dular�of�level��N���and�some�weight��k�P��,��and�that��`���-��N��.����6�Then���some�twist���8�
�����^��������is���mo��}'dular�of�weight�����`�8�+�1����and�level��N��.����HलThis�m�is�a�general�theorem,��1applying�in�b�Goth�the�ordinary�and�sup�ersingular�case.����6�It�3�w���as�disco�v�ered�b�y�Serre�[��27����]�when��N��3�=��1;�?further�w�ork�w�as�done�b�y�Jo�Gc�hno�witz����6�[��15����]�UUand�Ash-Stev���ens�when��`���6�=�2�;����3.�q�Tw�o�UUpro�Gofs�are�giv�en�in�Edixho�v�en's�article.��\k��H�W��*�e�7�no���w�consider�an�in�teresting�sp�Gecial�case.��Supp�ose���@T�:��G��!���GL��Y9(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�7�is����6�unramied���outside��`�.�cYThen�Serre's�conjecture�implies�that����has�a�t���wist�(b�y�a����6�p�Go���w�er�Tgof���)�coming�from�an�eigenform�on��SL��"�(2�;����Z�)�of�w���eigh�t�Tgat�most��`���+�1.�n�In����6�particular,���supp�Gose���that��`��x<��11.��Then���the�spaces��S����k��됲(�SL����;���2��J��(�Z�))�with��k�����x�`��Ӳ+�1���are�������;�17����yl��7
�������9���6��18����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6लall��0;�=�as�a�result�they�con���tain�no�non-zero�eigenforms!�B�The�conjecture�that�all����6व�6�are�mo�Gdular�(of�lev���el�1)�th�us�predicts�that�there�are��no��represen�tations�of�the����6�t���yp�Ge�iIcon�templated�if��`��is�2�;����3�;��5�;��7.���In�supp�Gort�of�this�conjecture,�nEthe�non-existence����6�statemen���t�mpw�as�pro�v�ed�for��`����=�2�b���y�J.�T��*�ate�in�a�Ma�y��*�,��v1973�letter�to�Serre�[��33����].����6�So�Gon�t�after,�|�Serre�treated�the�case��`����=�3�t�b���y�metho�ds�similar�to�those�of�T��*�ate.�Љ(See����6�[��33����]�;�for�a�discussion�and�a�reference�to�a�note�in�Serre's�Oevres.�i-[x�t���yp�Gesetting�of����6�\Oe".])���Quite��recen���tly��*�,���S.�Brueggeman�considered�the�case��`���=�5;���she��pro�v�ed�that����6�the�h�conjected�result�follo���ws�from�the�Generalized�Riemann�Hyp�Gothesis�[��3�����].���The����6�case�UU�`���=�7�remains�op�Gen.����H�V��*�ery���often,��it�is�useful�to�think�ab�Gout�mo�dular�forms�in�terms�of�group�coho-����6�mology��*�.�bfLet�'2�R���^��2�����b�Ge�the�natural�t���w�o�'2dimensional�v���ector�space�on�whic�h�����1��|s�(�N��)�acts.����6�The�UUEic���hler-Shim�ura�isomorphism�is��p1���L��S����k��됲(����1��|s�(�N��))����T΍����O����1,����0E���?e�=�������2�������������	�b���������������>�����������������������������a!����&�X�H����������1���፴P�����(����1���(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�R������2���))��r���6�where�[��H���^������1��b��P���
��is�just�the�subgroup�of�the�usual�group�cohomology�of�classes�v��q�anishing����6�at��the�cusps.��One�denes�in�a�natural�w���a�y��an�action�of�the�Hec���k�e��algebra��T��on����6�the�D�righ���t�hand�side�and�c�hec�ks�that�the�ab�Go�v�e�is�an�isomorphism�of��T�-mo�Gdules.����6�Eic���hler-Shim�ura��is�a�great�\n���uts�and�b�Golts"�approac�h�to�mo�Gdular�forms.�K�The�forms����6�whose�UU\p�Gerio�ds"�happ�en�to�b�e�in���tegral�form�a�lattice���X��u�=�H����������1���፴P�����(����1��|s�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�Z������2���))�����H����������1���፴P����(����1��|s�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�R������2���))�:��+���6लReducing���mo�Gdulo��`��w���e�obtain��H���^������1��b��P�����(���x䍑�~��������1����
�t�(�N��)�;�����Sym����W�����k�+B��2��#�[�(�F���^���2��v��`���|s�))�where���x䍑*�~���������1����G+�(�N��)�is�the�image��
	؍�6�of�������1��|s�(�N��)�in��SL���u˟��2���>�(�F����`����).�hwSerre�and�Hida�observ���ed�that�for��k�j��[�2��͸��`�,��the���x䍑G�~�����������1����d�(�N��)��
���6�represen���tation��xmSym���������k�+B��2��%� �(�F���^���2��v��`���|s�)�xmis�a�sum�of�represen�tations�arising�in��Sym���������k��+B���r�0��ߵ��2��(��(�F���^���2��v��`���|s�)�for����6वk��P���^��0����<��k�P��.����H�W��*�e���return�no���w�to�the�case�when����is�sup�Gersingular�and�mo�dular.�T�By�the�ab�o���v�e����6�theory��*�,�Z�there�Y�is�a�form��f�m �of�w���eigh�t�Y��k�����&�`�;��+�1�suc���h�that�����^�����.��
����&�������f��/ �:��If��k���=��`�;��+�1,����6�b���y���a�theorem�of�Mazur�[��13����,�ޗ2.8],�there���is�a�form�of�w�eigh�t�2�giving�rise�to������f��/ �,����6�so�}w���e�ma�y�assume��k�T����`�.��?If��k��=�1,�Cm���ultiply�b�y�the�Hasse�in�v��q�arian�t,�Cso�w�e�ma�y����6�assume��a2�����k�k���`:��Our�goal�is�to�sho���w�that��w�D�(���G��^�������f���)�=��k�P��(��)�b���y�understanding�w�ell����6�ho���w���the����op�Gerator�c�hanges�the�minimal�w�eigh�t.���W��*�e�ha�v�e������f���Ǹ
�������^����	7j���������`����������(�	����r�n���� �u�0���K�����Y0�����(	����r�0���s�)����r�n������.����`�������6लwith�|�n��T�=��a��^�+��b`�,��õa��T<�b�.��By�F��*�on���taine's�theorem�(see�Lecture�3)�the�c�haracters����6�corresp�Gonding�UUto������f���u�are�	���^��k�+B��1��}Y�and�(	���^��0���9�)���^��k�+B��1��(�.�q�Th���us��L������f�	������k�+B��1��(�����������;����(	������0���9�)������k�+B��1������������g���=��f�	������n��q~�;����(	������0���9�)������n���g�:����6लW��*�e�RBno���w�compute��w�D�(���G��^�������f���),��}assuming�for�simplicit�y�that��`��is�o�Gdd.�h�There�are�t�w�o����6�cases�UUto�consider.����H��Case��T1.�qDzFirst�UUsupp�Gose���v���U�	������k�+B��1��(���������y��=��	������k�+B��1+��(�`�+1)��0�y�=�(	������0���9�)������n��8��=�	������b�+�a`���*�:����6लThen��k�������1�+���	z�(�`��+�1)��Ÿ��b���+��a`�q��(�mo�Gd����`���^��2��(e���1)�so��k������1��Ÿ��b�����a�q��(�mo�Gd����`��+�1)�and����6�hence�3�k���=��1�Ȝ+��b����a�.�_Next,�(mreduce�mo�Gdulo��`����1�and�substitute��k���=��1�+��b����a��giving����6वb��и��a��+�2���i����b��+��a�q��(�mo�Gd����`����1)��=so����=���a��(note,��w��ӷ�is�only�dened�mo�Gdulo��`��и��1.)����6�Applying�UUTheorem�3.2�and�arguing�as�in�the�end�of�Lecture�3�sho���ws�that����Wx|�w�D�(���G�����a����f���)��=��w��(�f���)�8�+��a�(�`��+�1)��=�1�8�+��b����a��+��a`��+��a���=�1�8�+��b��+��a`���=��k�P��(��)�:����H��Case��T2.�qDzThe�UUsecond�p�Gossibilit���y�is�that���v�����	������k�+B��1��(���������y��=��	������k�+B��1+��(�`�+1)��0�y�=�	������n��8��=�	������a�+�b`���*�:���������7
�������9������LECTURE���4.���EDIXHO�ÎVEN'S�PR�OOF��`X��19����Y������6लThen�UU�k��w��8�1�����a����b�q��(�mo�Gd����`��+�1)�UUso��&����w��k���=���`�8�+�2����(�b����a�)�:����6लIf�Č�b�O���a���=�1,��then��k���=��`�O�+�1,��con���trary�to�our�assumption�that�2�����k�����`�,��so��b�O���a��>��1.����6�W��*�e�UUha���v�e��󍍒���k��w��8�1�+���	z�(�`��+�1)�����a�8�+��b`�	��(�mo�Gd����`����1)��
&��6�so�that,�up�Gon�substituting��k���=���`��5�+�2����(�b����a�)�w���e�nd�that���В�=��b��5���1.�Y�W��*�e�m���ust�no�w��Uݍ�6�v���erify�A�that��w�D�(���G��^��b��1���յf���)����T΍��7�?���2����=����
UN�w��(��)��=�1�\+��b��+��a`�.�k1Unfortunately�A��k���=���`��+�2����(�b����a�)�is�not����6�esp�Gecially�telling,�)�in�particular�it�is�not�p�ossible�to�apply�the�argumen���t�of�case�1�to����6�compute�UU�w�D�(���G��^�������f���).����H�Because��M�f��ܲis�sup�Gersingular,���F��*�ermat's�Little�Theorem�implies�that������^��`��1��\w�f��C�=����f���.����6�T��*�o�B�compute��w�D�(���G��^��b��1���յf���)�w���e�use�T�ate's�theory�of���G�-cycles,�Fnwhic���h�w�as�written�do�wn�in����6�[��15����]��and�recalled�in�[��13���].�xThe���G�-cycle�for�a�sup�ersingular�eigenform�m���ust�exhibit����6�the�UUfollo���wing�pattern:��&��������������������������������������	������H��dip�UUonce���������������������.���������������8ӟ/�@�����������O�ƻ@����������I˟]�@�����������G��[email protected]����������Zß	�:@�����������?�"@����������k����@�������������'������������������������������>���nal�UUdip�bac���k�to��k�������������������Jx_�=*���������8�������H;�/�������&�����F�/����������Dd/����������A�/����������?��/����������=��/����������;�P/����������9v/����������7Y�/����������5=�/����������3!</����������1�/����������.�/����������,�m/�������������ȝ��"*����������������������������go�UUup�������������������$����~ �5�5�����������u�0X�k���������E��zk��������������k����������%�C�k���������
E����k����������E�	�k����������՟W$k����������Fe�
Fk��������������hk�����������j�k����������G��k���������윥���k�����������5�}�k����������Gş/k���������ޝU��4k�������������Vk����������Hu�Bxk���������О��k�������������F���D�o��������������������������aU��go�UUup�����������������������}��;�;��������������oǹv�����������Y�U�v������������
;�v������������
!v�������������gv�����������m��Ov�����������2��7v��������������v���������~����v���������z�����v���������v�F�!j�v���������r��$P�v���������n�П'6�v���������j���*�v���������f�Z�-wv���������b��/�_v���������^��2�Gv���������Z���5�/v���������V�n�8�v���������R�3�;�v���������N���>e�v�������������J���D�o�������������T����q2\�go�UUup,�dip�once,�go�up,�nal�dip�bac���k�to�original�w�eigh�t���_��6�F��*�rom��6this�w���e�can�deduce�the���G�-cycle.�KkStarting�with��k�CͲw�e�list��`��n�um�b�Gers�starting����6�and�UUending�with��k�P��.���썍�X�����ff$\5�fd����ͤ���ff��͟�fd�k�P�;�UPk��w�+�8�(�`��+�1)�;�k��w�+�2(�`��+�1)�;��:���:�:��UG;�k��w�+�(�`����k�P��)(�`��+�1)�;�@N��ff�������ͤ���ff��͟�fd`�8�+�3����k�P�;�UP�(�`��+�3����k��)�+�(�`��+�1)�;��UP:���:�:��UG;�UP�(�`��+�3����k��)�+�(�k��w���3)(�`��+�1)�;��͡�ff�������ͤ���ff��͟�fdk��C��ff����ff$\5�����6लThe��Nrst�and�second�lines�con���tain��`��0�+�1����k��and��N�k��Ǹ��2�n���um�b�Gers,��resp�ectiv���ely��*�.���All����6�told,�UUw���e�ha�v�e�listed��`��n�um�b�Gers.�q�No�w�w�e�can�compute��w�D�(���G��^��b��1���յf���).�q�If��&�����<�b�8���1�����`�8���k���=���`����(�`��+�2����b��+��a�)�=���2�+��b����a����6लthen�UU�a�����1,�a�con���tradiction.�q�Th�us�w�e�ma�y�assume�that��b�8���1���>�`�8���k���so����W���w�D�(���G�����b��1���յf���)��=��`�8�+�3����k��w�+�(�`��+�1)(�b����2����(�`����k�P��))��=�1�8�+��b��+��a`���=��k��(��)����6�whic���h�UUv�eries�Serre's�conjecture�in�this�case.����H��Ordinary��Tcase.�qDzFinally�UUw���e�brie
y�consider�the�ordinary�case,�in�whic�h�������E̵�j����I��]���������^������d���
#�����*7�������
��0����������� �ş��^���������6लwith�)���	z;����N4�:���I����!��F���^�����v��`���‹�b�Goth�p�o���w�ers�of�the�cyclotomic�c�haracter.�c8W��*�e�can�view�this�as�a����6�t���wist�UUof�a�represen�tation�where�the�lo�w�er�righ�t�en�try�is�1:��������Ÿ��^������d�����6���������������IJ0����_S������Ɏo���^����ӱ���������
���8����^������d���	�T��	z�����^���1����*��������ª�0���*�1�����/����^����8��:������6लW��*�e�Z6ha���v�e�to�dev�elop�an�ordinary�v�ersion�of���G�-cycles.��kIn�general�this�can�b�e�compli-����6�cated.�PAssume��that���N4�=��1�to�simplify�the�situation,�Eso�the�represen���tation�lo�Goks�lik�e��q΍���6ट��^������d���>=����^��i����Q�)�������@� �0���Q�)1�����V�*���^����b8�with�Ԛ1��5���i����`������1.��Recall�that�if��f��)�is�of�w���eigh�t��k�P��,��lthen�the�asso�Gciated������X��7
�������9���6��20����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y�������6लrepresen���tation�� is������`��������
�������r�k����1����������_I����x�0�����1�����%W)���`����.I-�with�2�����k�����`��w�+�1.�SOur�� initial�reaction�is�to�dene��k�P��(��)��q͍�6�to�k�b�Ge��i�G��+�1.���But�k�the�extreme�w���eigh�ts�k�2�and��`�G��+�1�k�are�\the�same."�If�w���e�start�with����6�a�%3form�of�w���eigh�t�%3either�2�or��`��s�+�1�%3and�lo�Gok�at�the�corresp�onding�represen���tation,����6�this���recip�Ge�w���ould�predict�that��k�P��(��)���=�2,���whic�h���is��wr��}'ong��in�general.�GF��*�or�example,����6�supp�Gose�=ߵf�ڧ�=���is�the�lev���el�1�cusp�form�of�w�eigh�t�12�and�����=������f��/ �.�i�If�=�w�e�try�to�mak�e����6�the�UUw���eigh�t�of����equal�to�2,�then�w�e�fall�
at!�q�There�is�no�suc�h�form.������֠�7
�����Y������G���P�_�LECTURE���5�����z��Galois��represen��tations�from�mo�`dular�forms��1���;��Supp�Gose��M��$�:��Gal���
(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL��<�(2�;����F����`����)�is�ordinary��*�.���In�the�simplest�case,���j����I��	���������6ट��`��������>�0�����r�k����1����S{!����_I���E���0���S�Z1�����Y>����`����cg��with�02�3����k��%���`�ʩ�+�1.��The�w���eigh�t��k�P��(��)�3����k��W�(�mo�Gd����`�ʩ���1);��Zit�remains�to��
��6�c���ho�Gose�ĥb�et�w�een�ĥ2�and��`���+�1.���The�ĥk�ey�is�\go�Go�d�ĥreduction."���Let��f��+�=��������P����a����n��q~�q��[ٟ�^��n��	���b�Ge�a����6�normalized���eigenform�of�w���eigh�t���2.�KW��*�e�try�to�giv���e�the�
a�v�or�of�the�extra�prop�Gert�y����6�that�\ѵ�Ӓ�=������f����will�ha���v�e.��;Let��O���b�Ge�the�ring�of�in�tegers�of�the�totally�real�or�CM�\�eld����6वE�Z��=���Q�(��:���:�:��
UOa����n���&�:���:�:��qu�).�q�W��*�e�UUasso�Gciate�to��f�h�an�ab�elian�v��q�ariet���y��A=�Q�.���卍������9�����b����3232����c3�32�fdF�����g�3232����讍��b�N��|fd����5���|fd���32����b����3232���c3��fdF�����g�3232�������d��	$��33Gz����ȟ	$���33������������ln�eigenforms�UU�f���������������5�����/�/����������
E���f�/o���������۟��k/o��������q���p/o��������R���u/o������������z/o���������3���/o�������Ӗɟ�|�/o��������X_��u�/o�����������n�/o��������ۋ��g�/o���������!��`�/o��������^���Y�/o�������������a���3232����O��32�fdnj����g�3232���� ���ȉ��fd���r�ʉ��fd���32����a���3232���O���fdnj����g�3232�������5��	�3�33nqώ��rt��	�3�33������������
�O�ab�Gelian�UUv��q�arieties��A=�Q���������������$���HलIf���all��a����n��	[J�lie�in��Q��then��dim��?"�A����=�1.�/,More���generally��*�,��A��is�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y�of����6�dimension�FPequal�to�the�degree�[�E�Z��:���Q�].�l�F��*�urthermore,�IQ�A��is�furnished�with�an�action����6�of�UU�O�G�:���������O�5�,��UX�!����End����Ɵ��Q�����A:���L��6लWhere�+do�w���e�nd��A�?�c�Bibliographically�sp�Geaking,�3�w�e�can�nd��A��in�Shim�ura's�b�Go�ok����6�[��31����,��Theorem�ĥ7.14].�A�But�where,�in�an�arithmetic�sense?�A�If��f��4�has�lev���el��N��,�asso�Gciated����6�to�UU�N�lp�there�is�a�mo�Gdular�curv���e��X����1��|s�(�N��)�=�Q���ލ����X����1��|s�(�N��)��=����Lщfe%����/�����1���(�N��)�n�h���+h+�=�����1���(�N��)�n�h�8�[�f��cusps��qɸg���卑6लwhere�UU�h��is�the�op�Gen�upp�er�half�plane.�q�The�Jacobian������5�J����1��|s�(�N��)�=�Q���=��Jac��\o(�X����1���(�N��))����6�is��san�ab�Gelian�v��q�ariet���y�o�v�er��Q��of�dimension�equal�to�the�gen�us��g��L�of��X����1��|s�(�N��),�ġand�ha�ving����6�go�Go�d���reduction�at�all�primes��`���-��N��.�D�F��*�or���example,���when��N��3�=��1,�w���e�ha�v�e��X����1��|s�(1)����{���^��1���,����6�and�f��J����1��|s�(1)��j=�0.���The�ab�Gelian�v��q�ariet���y��A��asso�ciated�to��F��|�is�constructed�as�a�quotien���t����6�of�UU�J����1��|s�(�N��).�q�In�particular,�the�reduction�of��A��at�eac���h�prime��`���-��N�lp�is�UUgo�Go�d.����H�The�i4represen���tation�����=������f���T�is�i4found�inside�of��A�.�#More�precisely��*�,��nlet�����=��k�er��#�(�O�5!���ۍ��6ट��_�fe<o����F����>���`��A���)�UUand�set�������ϵA�[��]��=��f�P�*��2��A�(����_�fe������Q������)�:��xP��=�0��UUall��8�x��2���g�:����6लSince��ƸO���is�the�full�ring�of�in���tegers,���bdim���D��:�O�7�=��%�5�A�[��]�!�=�2.�The���Galois�represen�tation�is����6�then��_������������p�ʟꪵG����������������*���#���������������7�`����/�/������{�����2�fd��ʎ������ޠ�.5�$�$������������ܟaL�I�����������c��0I�������������I����������gq���I����������I��0�I����������,�
d�I�����������
��I�����������̈I�����������lI���������{���4PI��������������:�`��5�GL��H�E��5(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)��������������������(�5Aut�����`�*|o�O�7�=���8��(�5�A�[��]������������������;ȟ#�������������������&�R�/�/��������&脄fd��������������)5R�GL���4��)5R(2�;����O�G�=�)���������������ß�R�*��	����
������������?�
�.5�8�8����������;2�����p���������7i�
ƈp���������2�,���p���������.��4|p���������*Ų�kvp���������&�u��pp���������"�8��jp���������s��dp���������X��G^p���������=��~Xp���������"D��Rp���������������;�21�����m��7
�������9���6��22����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6लLet��˵I����=���Gal��g(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�=�Q���^���nr��v��`���
��)�b�Ge�the�inertia�group�at��`�.�1�W��*�e�sa���y�that�the�nite�group�sc�heme����6वA�[��]��4has�go�Go�d��4reduction�if�it�extends�to�a�nite�
at�group�sc���heme�o�v�er��O����Q�����nr�����`����<w�.�2This�is��kȍ�6�the���case�for��A�[��];�ےthe�nite�
at�group�sc���heme�extending��A�[��]�is�the�sc�heme�theoretic����6�closure�#�of��A�[��]�in�a�go�Go�d�#�mo�del��A�=�O����Q�����nr�����`����`�of��A�,�W6whic���h�exists�b�ecause��A��has�go�o�d����6�reduction�UUat��`�.�q�In�general,�if����is�a�represen���tation�and��k�P��(��)�����2�q�(�mo�Gd����`�8���1),�UUthen��-��\���k�P��(��)��=�2��1�(��UX)��ㆵ�UU�comes�from�nite�
at�group�sc���heme��=�O����Q�����nr�����`������}���H��A���t��9ypical���example.�iղLet�=��A=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e�with�discriminan�t�����A��	��and����6�conductor��M�N����A�����.�
�Supp�Gose�that��`���^��2��	C&�-�Ƴ�����A��ݲso�that��A��has�semistable�reduction�at��`�.����6�Consider�/Lthe�represen���tation�����=������A;`��k²coming�/Lfrom�the�Galois�action�on��A�[�`�].�eMak�e����6�the�UUh���yp�Gothesis�that��A�[�`�]�is�irreducible.��������6��Theorem��T5.1.���~�rCriterion��Tfor����to�b�Q�e�nite�
at�at��`�:������Y�k�P��(��)��=�2���(��UX)��`���j���ord���?����`���(����A�����)����6��Criterion��Tfor����to�b�Q�e�unramied�at��`�:����F��;�or���p���6�=��`�,�������������unr��}'amie�d�at��p���/�(��UX)���`���j���ord���?����p���������A�����:����H��F��
�rey�$�curv��9es.���F��*�or�y	example,���w���e�can�apply�these�criteria�to�the�F�rey�curv���es����6�asso�Gciated��Lto�h���yp�othetical�solutions�of�the�F��*�ermat�equation��a���^��`��
i�+�1��b���^��`��	
��=�4��c���^��`����,�'�with����6व`�]Ӹ��11.��Let��ƵA��b�Ge�the�elliptic�curv���e�giv�en�b�y�the�equation��y��[ٟ�^��2��6�=�]ӵx�(�x�u+���a���^��`����)(�x��+��b���^��`���).����6�Then�� I���M#����A��	J��=�����<$���K((�abc�)���^��2��|s�)���^��`����K�w�fe%�J�	(֍�'k�2���r�8������*�ȵ:��T���6लBy��"a�theorem�of�Mazur's,���A�[�`�]�is�irreducible�and,�applying�the�ab�Go���v�e��"theorem,����6�the��Xasso�Gciated�represen���tation����is�unramied�a�w�a�y�from�the�prime�2�and��`�.���Th�us����6वN��(��)���j��2,�UUand��k�P��(��)��=�2�UUsince��`���j���ord���?����`���(����A�����).����H��Elliptic�Scurv��9es�of�conductor��33�.���There�_jis�a�unique�normalized�newform����6वf��Q�=���Ÿ���P��䥵a����n��q~�q��[ٟ�^��n��	�߲on�ވ����0��|s�(33)�so��a����n��	@�2����Q��for�all��n�.�
aThere�is�one�isogen���y�class�of�elliptic����6�curv���es���of�conductor�33;���let��A��b�Ge�the�one�giv�en�b�y��y��[ٟ�^��2��/�+�W3�xy�n��=��x���^��3��Ӧ�+��x���^��2�����11�x�.��>Then����6�����A��
�n�=�O�3���^��6��Ro�����11���^��2��|s�.�4�The�Amo�Gd��`��=�3�represen���tation����:��G��!���Aut��A�(�A�[3])�is�surjectiv���e.����6�Since���3����j���ord���X۟��3��������A��
c��=�6,�'��k�P��(��)�=�2�and��N��(��)�=�11.�kVSure�enough,�'�there�is�mo�Gdular����6�form�
with��N��3�=��11�and��k���=�2.�X�Geometrically��*�,�)c���ho�Gose�one�of�the�three�elliptic�curv�es����6�of�.conductor�11�(it�do�Gesn't�matter�whic���h)�and��B��q�[3]�0P���A�[3]�.as�represen�tations�of��\k���6�Gal��F��(����_�fe������Q������=�Q�).�q�F��*�or�UUexample,�the�eigenforms�corresp�Gonding�to��A��and��B��q�,��6����g�L�f����A������}3�=�������Q�q�����8�2�q��[ٟ����2��,���q��[ٟ����3���+�2�q��[ٟ����4���+��q��[ٟ����5���+�2�q��[ٟ����6�����2�q��[ٟ����7�����2�q��[ٟ����9���+����������������g:еf����B������}3�=�������Q�q����+�8�q��[ٟ����2��,���q��[ٟ����3�����q��[ٟ����4���+���2�q��[ٟ����5�����q��[ٟ����6���+�4�q��[ٟ����7�����3�q��[ٟ����8���+��q��[ٟ����9���+��������������6लha���v�e�UUthe�same��a����p�����mo�Gdulo�3.��I��H��Lev��9el� �141��example.��@�Let�m(�A��b�Ge�the�elliptic��y��[ٟ�^��2��˸�+��l�y��N�=��u�x���^��3��o߲+��x���^��2�����12�x��+�2�m(of����6�conductor�B
141�Q�=�3�֯���47�and�ha���ving�discriminan�t�����A��
�.�=�Q�3���^��7��S"��֯�47�(w�e�considered�in����6�Lecture�~1).��First�set��`�
�=�7.�Then�~7��j���ord�������3��c�(),��Kso����=������A;�7��^�has�in���v��q�arian�ts��k�P��(��)�
=�2����6�and��P�N��(��)�b=�47.���Indeed,��w���e�nd�a�form��f�&�2��S����2��|s�(����0���(47))�with�co�Gecien���ts�in�a����6�quartic��eld�whic���h�giv�es�rise�to���.�V�Next�supp�Gose��`���=�3��j��141��and�let�����=������A;�3����.�Then����6वN��(��)��m=�47��"and�3��m�-���ord���1S���3���Ʋ()��"so��k�P��(��)��m=��`��h�+�1��m=�4.�$/Using��"a�computer�w���e�nd�that����6वS����4��|s�(����0���(47))��con���tains�t�w�o�conjugacy�classes�of�eigenforms,��one�dened�o�v�er�a�eld�of����6�degree�F3,�2�and�the�other�o���v�er�Fa�eld�of�degree�8.���The�degree�3�form�giv���es�rise�to����6व����A;�3����.�����Ƌ��7
������ww��W�d�LECTURE���5.���GALOIS�REPRESENT��J�A�TIONS���FR�ÎOM�MODULAR�F�ORMS��~4�23����Y������6��Companion��forms.������HलSupp�Gose�UU�f�h�is�ordinary�of�w���eigh�t�UU�k�P��,�that�2�����k�����`�8�+�1,�UUand�that��������������f��/ �j����I��]���������^������덍�
#�����^��k�+B��1����)�U�������Xp�0���)�U1�����.�V���^����7�r�:����6��Questions:��G�Is��this�split�or�not,�#Ei.e.,�do�Ges����٬�=�0?�`Ho���w�often�do�Ges�this�split?�The����6�split�cprimes�are�in�the�minorit���y��*�.�Z!Ho�w�ccan�one�quan���tify�the�n�um�b�Ger�of�split�primes?����6�I�UUdon't�kno���w.����H�F��*�or�UUno���w,�let�us�supp�Gose�that�����=�0.�q�Then�������OQ����������^������ݍ��
#��1���!Xq0������
#�0���#�����^��k�+B��1������.�V���^����7�r�;�����so���r��8�
��������`��k��K���������^������덍�
#�����^��`��k����(�Ȳ0�������0���(��1�����-�ɟ��^����6��:��<+��6लIn��9particular,�ϲ�k�P��(����^��`��k�����
�z"��)�j>=�1�+��`����k�P��.��sThis��9represen���tation�is�visibly�mo�Gdular,�ϲof����6��some����w���eigh�t�and�lev�el.�O�T��*�o�sa�y�that�it�is�mo�Gdular�of�the�conjectured�w�eigh�t�is�to����6�mak���e�ʼna�v�ery�strong�statemen�t:�R0If�����^��`��k��$�
������is�indeed�mo�Gdular�of�w�eigh�t�1���+��`����k����6लthen��there�exists�an�eigenform��g�c��of�w���eigh�t��1���+��`����k�XR�with������g��n�������^��`��k��"%�
������f��/ �.�W�The�form����6वg��Ʋis�{�called�a��companion��form�.��The�existence�of��g��is�completely�noneviden���t.��If�a����6�companion�Xaform��g��:�do�Ges�exist,�Y#then�the�represen���tation�m�ust�split,�Y#unless�p�Gerhaps�if����6�the�UUt���w�o�c�haracters�are�equal.����H��Sp�Q�ecial�kcases.�0s�Supp�Gose���k�P��(��)�1=��`�,���so�the�companion�has�w���eigh�t�1,���i.e.,�if����is����6�unramied��at��`��then����comes�from�a�w���eigh�t��1�eigenform.�vUSupp�Gose��k�P��(��)��=��`����+�1.����6�If�s����is�unramied�then����comes�from�w���eigh�t�s��`�MP�+�1����k�JDz=��00,�{�whic���h�can�not�happ�Gen.����6�Th���us�UUif����is�unramied�the�minimal�w�eigh�t�m�ust�b�Ge�2.����H�The���existence�of�a�companion�form�w���as�largely�pro�v�ed�(mo�Gdulo�some�unc�hec�k�ed����6�compatibilities)��!b���y�Gross�in�[��14����]�for��k��<��`�,���and�in�a�few�cases�when��k��=���`�.�EaColeman����6�and��?V��*�olo�Gc���h�[��7�����]�nished�the�remaining�cases�except��k�鉲=���`��=�2,��while��?a�v�oiding�the����6�need�oto�c���hec�k�othe�unc���hec�k�ed�ocompatibilities.��Indep�Genden�t�w�ork�is�under�w�a�y�b�y����6�Coleman�UUand�T��*�a���ylor�to�obtain�the�last�remaining�case.������2��7
�����Y������7
�����Y������G���P�_�LECTURE���6�����W��In��tro�`duction��to�lev�el�lo�w�ering��1���:��Let��\���Ͳ:��G��!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�b�Ge�an�o�dd�irreducible�mo�dular�Galois�represen���tation.�c�Is����6व�p��mo�Gdular�of�the�optimal�w���eigh�t�p��k�P��(��)�and�lev���el��N��(��)?��YIn�the�previous�lectures����6�w���e���sk�etc�hed�what�is�kno�wn�ab�Gout�optimalit�y�of�the�w�eigh�t.�=In�this�lecture,���w�e����6�in���tro�Gduce�UUsome�of�the�tec�hniques�in�v�olv�ed�in�optimizing�the�lev�el.����H�Supp�Gose�����arises�from�a�form��f�Ǧ�of�lev���el��N��.��W��*�e�ma�y�assume�that��N��2�prime�to����6व`�.���This���can�b�Ge�accomplished�b���y�m�ultiplying��f�ӌ�b�y�a�suitable�Eisenstein�series�and����6�taking�k�traces�(see�[��23����]).���W��*�e�w���an�t�k�to�\lo���w�er"�k�N���to�the�optimal�lev���el��N��(��)�(the����6�prime-to-�`��r�artin�conductor�of���).�E&Pro���vided��f���is�new,��:the�defect��N�A�=��q�N��(��)�can�b�Ge�seen����6�concretely�UUin�terms�of�inertia�in���v��q�arian�ts.����H�W��*�e�C�rst�reduce�to�the�case��k������`�3�+�1�C�b���y�t�wisting����b�y�an�appropriate�p�Go�w�er�of����6�the��6cyclotomic�c���haracter.�/�Twisting�can�b�Ge�view�ed�as�applying�the���5�=���q��������W�d�����&�feG����dq�����
e��op�Gerator,�����6�so�Kt���wisting�preserv�es�the�lev�el,�M!and�it�ev�en�preserv�es�the�conjectured�minimal�lev�el����6वN��(��).��Th���us�*�w�e�ma�y�as�w�ell�assume�that�the�form��f�>Q�giving�rise�to����has�w�eigh�t����6�satisfying��2�큸��k�>���`����+�1.���W��*�e�can�also�assume,�2$b���y�Edixho�v�en's�theory�[��13����],�2$that����6वk��ײ=�[email protected]�k�P��(��).�jwIn��:particular,���if��k��(��)�[email protected]=�2��:then�w���e�shouldn't�w�ork�with�a�form�of�w�egh�t����6व`�R��+�1.��'Since�| t���wisting�b�y����c�hanges�the�w�eigh�t�b�y��`�R����1,���the�| only�am�biguit�y�o�Gccurs����6�when�ӫ�k��=�=���2�or��`���+�1.���Th���us�ӫif�2����k��=���`���+�1,��@then�ӫautomatically��k��=�=��k�P��(��)�unless����6वk���=��2�UUor��`�8�+�1�UUin�whic���h�case�w�e�can�c�hange�the�w�eigh�t,�if�necessary��*�.����H�As���explained�ab�Go���v�e���w�e�mak�e�a�replacemen�t��f�ڧ�7!���g�"�=��f��ܸ
��M����^��i���ֲand�consider��g�[ٲ.�6�The����6�lev���el��>ma�y�b�Ge�m�uc�h�larger�than��N��(��),�vbut�at�least�the�w�eigh�t�satises�2�����k�����`����+�1.����6�Ho���w�UUdo�w�e�pro�Gceed?�q�There�are�t�w�o�philosophies:���������H�1.����U���Cohomolo��}'gic�al��machinery:��U�Represen���tations��of�a�giv�en�w�eigh�t�come�from����U��Deligne's��@��Getale��]cohomology�groups.�SF��*�earlessly�use�all�the�theory�.�SThis�is�the����U��approac���h�UUof�F��*�altings,�Jordan,�and�Livne����^��1���|s�.�������H�2.����U���Weight��W�2�:��5�Represen���tations�k�arise�from�ph�ysical�division�p�Goin�ts�on�Jacobians����U��of�UUmo�Gdular�curv���es.�q�W��*�e�are�comfortable�with�these�do�wn�to�earth�ob��8jects.����6�In��7these�lectures,��w���e�will�pursue�the�second�approac�h.�'nThe�k�ey�general�fact,��due����6�to�h�Serre,���Koik���e�and�others,�is�that�forms�of�lev���el��N�߲and�w�eigh�t�2��#���k�⺸��`��~�+�1����6�corresp�Gond�UUto�w���eigh�t�UU2�forms�of�lev���el��`N��.��浍�������9�����]!����3232����]T�32�fdo������g�3232����讍��](��|fd����'���|fd���32����]!����3232���]T�fdo������g�3232�������^;[�	$��33o�a�����	$���33������������f��lev���el�UU�N��,�2���<�k�����`�8�+�1����������������'�����o�o���������''�����/�/���������!����f�/o������������k/o��������1���p/o�������Cǟ��u/o�������]���z/o������������/o������������|�/o��������J��u�/o�����������n�/o���������K��g�/o�������َ��`�/o��������Pw��Y�/o��������9�����'!���3232����'AS�32�fdP�ύ���g�3232����讍��&��|fd���x���|fd���32����'!���3232���'AS��fdP�ύ���g�3232�������('��	$��33Q^4���xR��	$���33������������0}�lev���el�UU�`N��,��k���=��2���������������6ट�Y�ff<�O[�����-:�1���*��But��Xsomeho�Îw�these�p�<reople�seem�\c�hic�k�en"�of�w�eigh�t�2.�������;�25�����K��7
�������9���6��26����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6लNote�^&that�when��k�&a�=���2�\forms�of�lev���el��N�uA�and�w�eigh�t�2�corresp�Gond�to�forms�of�lev�el����6वN�lp�and�UUw���eigh�t�2."�q�Th�us�w�e�can�w�ork�with�w�eigh�t��k���=��2�and�lev�el��������N���������w�=�������\�(����.���
�S�N���fc���
�SN�`������3<��HलHo���w�k�can�w�e�visualize����inside�of�a�Jacobian,�q>suc�h�as��J�⇲=��N�J����1��|s�(�N����^�������)?���In�order�to����6�understand��these�represen���tations�it�w�e�ha�v�e�to�learn�ho�w�to�\push�them�around"����6�inside�UUthese�geometric�ob��8jects.�q�Let��32����/�T���=��Z�[��:���:�:��
UOT����n���&�:���:�:��qu�]�����End����Ɵ��Q�����J����6लb�Ge��the�Hec���k�e��algebra.���As�a��Z�-mo�dule,�MJ�T��is�free�of�nite�rank.���In�certain�cases,����6�for�:�example�when�the�lev���el�is�prime,�?��T��is�an�order�in�a�pro�Gduct�of�rings�of�in�tegers����6�of���n���um�b�Ger�elds.�\�MOre�generally��*�,�!�it�can�fail�to�b�e�semisimple�(and�ev���en�con�tain����6�nilp�Goten���ts!).�U�In��an�y�case,���T��is�a�comm�utativ�e�No�Getherian�ring.�U�It�is�helpful�to�view����6�a�UUnormalized�eigenform�as�a�homomorphism��32�����f�ڧ�:���T����������!�O�5�=��Z�[��:���:�:��
UOa����n���&�:���:�:��qu�]����C�;���T����n��8��7!��a����n��q~�:������6लAdding��pto�this�datum�a�map��'�	��:��O�P�!�����_�fe<o����F����F���`���\�giv���es��pthe�connection�with����~��fe+���g�����	���.��Then����6वa����p���׸7!��0��tr����(��(�F��*�rob���*����p����))�0��2�����_�fe<o����F����l����`��Eڲ.��ZComp�Gosing�.1the�homomorphism�coming�from��f�A��with��'���ۍ�6लgiv���es�ɯan�exact�sequence�0���!��m��!��T��!�����_�fe<o����F����
����`����with�ɯ�m��a�maximal�ideal.�C;Th�us��'��em�b�Geds����6��T�=�m���,��UX�!�����_�fe<o����F����
����`��
�m�.����H�Ha���ving���attac�hed�a�maximal�ideal��m�����T��to�the�w���eigh�t�2�lev�el��N���represen�tation����6व�,�UUw���e�nd�an�explicit�connection�with��J��Q�=���J����1��|s�(�N��).�q�Consider����}y_�J��9�[�m�]��=��f�P�*��2��J��(����_�fe������Q������)�:��xP�*��=�0��UUall��8�x��2��m�g���J��(����_�fe������Q������)����tor��
�u�:��32��6लSince��Fthe�endomorphisms�in��T�u�����End���`����Q���Ȳ(�J��9�)��Fare��Q�-rational,�؂�J��[�m�]�is�equipp�Ged�with���ۍ�6�an�`Taction�of��G��l�=��Gal��yn(����_�fe������Q������=�Q�).���F��*�urther,�csince�`T�m��acts�trivially�,�c�J��9�[�m�]�is�a�v���ector�space����6�o���v�er�UUthe�nite�eld��T�=�m�.����H�As�da�quic���k�aside,�G�let�us�ask,�o���v�er�dwhat�eld�do�Ges����ha���v�e�da�mo�del?���W��*�e�ha���v�e������6�tr��>��(��(�F��*�rob���*����p����))�Q��2��T�=�m��,��UX�!�����_�fe<o����F����
����`��l�and���udet���(��(�F��*�rob���*����p���))��2��(�T�=�m�)���^����ꆸ�����_�fe<o����F������w��
�����i��
��`���&��.�k(It��ulo�Goks�as�though����6व�w�has�a�mo�Gdel�o���v�er�w�T�=�m�.���Indeed,�suc�h�a�mo�Gdel�exists�for�the�rather�coarse�reason����6�that��UUBr��UW(�F����`����)��=�0.�q�Therefore�UU���has�a�mo�Gdel,�call�it������;X�&eufm7�m��
�o���v�er�UU�T�=�m�.������3��7
�����Y������G���P�_�LECTURE���7����7�Mazur's��principal��������;�27����o��7
�����Y�����7
�����Y������G���P�_�LECTURE���8�����=�Lev��el��lo�w�ering�with�m�ultiplicit�y�one��������;�29����@��7
�����Y�����7
�����Y������G���P�_�LECTURE���9����'T��Katz��mo�`dular�forms����9�*�In���this�section�w���e�brie
y�in�tro�Gduce�mo�dular�forms�mo�dulo��`��from�a�geometric�p�oin���t����6�of�h�view����^��1���|s�.��~Our�purp�Gose�is�to�giv���e�a�brief�o�v�erview,�m�rather�than�a�complete�(or�ev�en����6�w���ell�motiv��q�ated)�accoun�t.�X[[This�section�is�curren�tly�in�a�rougher�form�than�the�rest����6�of�UUthe�notes.]]����H��Mo�Q�dular��forms�as�rules.�n4�Fix�J�a�base�ring��R�Dz.�Consider�pairs�(�E���;���!�[ٲ)�=S��*�where����6वS��1�is�<�a�ring�o���v�er�<��R�Dz,�A��E��is�an�elliptic�curv���e�o�v�er��S��1�enhanced�with�lev�el�structure,�A�and����6व!�ӯ�is�w�a�dieren���tial�whic�h�do�Ges�not�v��q�anish�mo�dulo�an���y�prime�ideal�of��S����.��IA�w�mo�dular����6�form�{�f���of�w���eigh�t�{�k���is�a�certain�t���yp�Ge�of�rule�whic�h�tak�es�an�y�suc�h�pair�(�E���;���!�[ٲ)�=S��to����6�an�UUelemen���t�of��S����.�q�The�t�w�o�main�prop�Gerties�of��f�h�are:��N������H�1.����U���W��
�eigh��9t:�qDzF��*�or�UUall�����2��R��ǟ�^�������,�UU�f���(�E���;���!�[ٲ)�=�����^���k��+��f��(�E���;���!�[ٲ).�������H�2.����U���Holomorphicit��9y:�qǵf�h�comm���utes�UUwith�base�c�hange�in�the�eviden�t�sense.�������H�3.����U���T��
�ate�Bcurv��9es:�.��Condition���to�insure�that��q�[ٲ-expansions�do�not�ha���v�e���negativ�e����U��p�Go���w�ers�UUof��q�[ٲ.����H�This�UUdenition�is�dicult�to�think�ab�Gout�b�ecause�w���e�ha�v�e�only������
(rules)�
UV+�(functorialit���y)����6��A�d)priori�,�p�w���e�7�do�not�kno�w�what�is�going�on.��F��*�ortunately�,�p�w�e�7�kno�w�what�elliptic����6�curv���es�Ƥare,���not�in�the�sense�of�Shim�ura-T��*�aniy�ama,���but�in�the�mo�Gduli�sense.�ŴSup-����6�p�Gosing��c�N��3����5,���there�exists�a�mo�del�for��X����1��|s�(�N��)�o���v�er��c�Z�[1�=��q�N��]�and�a�sc���heme��E����1��|s�(�N��)�o���v�er����6वX����1��|s�(�N��)�ߞsuc���h�that�for�all�rings��R��e�in�whic�h��N����is�in�v�ertible,�0and�generalized�elliptic����6�curv���es��ŸE����enhanced�with�lev�el�structure,�� there�is�a�unique�map��Sp�Gec����(�R�Dz)�\'�!��X����1��|s�(�N��)����6�making�UUthe�follo���wing�diagram�Cartesian,�i.e.,�a�b�Ger�pro�duct:��#�������������`�ꪸE������������h4����/�/������� v���2�fd(G��������
k������������9����Vfd����������h4�E����1��|s�(�N��)�������������������������X���fd�����������-��(�Sp�Gec���t��((�R�Dz)��������������Q�%��/�/��������Q�%�2�fd�����������Q�(�X����1��|s�(�N��)������������>#��6�Glueing���together�dieren���tials�on�eac�h�elliptic�curv�e��E��òcorresp�Gonding�to�a�p�oin���t�of����6वX����1��|s�(�N��)�ӽgiv���es�a�line�bundle����!������fe�T��<βon��X����1���(�N��).�F�W��*�eigh���t��k�$T�mo�Gdular�forms�on�����1���(�N��)�=�Z�[1�=��q�N��]����6�are���the�same�thing�as�elemen���ts�of��H������^��0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�;�����!��������fe�T���?���^��
�k��k��).�dlThis�is�a�nite�mo�Gdule�o�v�er����6��Z�[1�=��q�N��]�UUwhic���h�giv�es��al���l��rules�of�w�eigh�t��k���and�lev�el��N��.��6ट��ff<�O[�����-:�1���*��This��Xsection�records�a�lecture�of�Mathew�Emerton.�������;�31���� +��7
�������9���6��32����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������H��Mo�Q�dular�;�forms�mo�d��`�.�E:�Supp�Gose�Ϭ�`��is�a�prime�with��`���-��N��.�The�Ϭspace�of�w���eigh�t����6वk���mo�Gdular�UUforms�on�����1��|s�(�N��)�=�F����`��.;�is�the�same�as�������H���������0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�=�F����`����;�����!��������fe�T���?������
�k��k��)�:������6लT��*�o�UUrelate�this�space�to�mo�Gdular�forms�o���v�er�UU�Z�[1�=��q�N��]�rst�consider�the�diagram:����������������q"��E����=�F����`�������������|CP�E���������|�E��@fd������������������������������������/�/�������d���2�fdd+�����������E����=�Z�[1�=��q�N��]���������������E����������s�E��@fd����������(���$4�!���$4����fe�T������(=�F����`�����������������(��E�l�!��E�l����fe�T��L7��(=�Z�[1�=��q�N��]���������������ebl�P�X����1��|s�(�N��)�=�F����`�������������|CP�m���������|�m��fd��������d�0$F�s������������2��s����������ŵ�4�Rs�������������7B�s����������'O�9�^s����������X�<�s������������>ajs�������������@��s����������ꃟC vs����������P�E�s��������������7�K���������������������ޟM��/�/�������$5�M�2�fdL�������������ޟP�X����1��|s�(�N��)�=�Z�[1�=��q�N��]���������������m����������s�m��fd�������E���/��n���������AnK�1��n���������=>�3�$n���������9��5��n���������4�4�7�8n���������0�ן9��n���������,�z�;�Ln���������(R�=��n���������$"��?�`n����������c�A��n�����������C�tn������������E�n��������������h���x�Sp�Gec��|���x(�F����`����)���������������U�s����������������������u��/�/���������u�2�fdSH��������������x�Sp�Gec���e�x(�Z�[1�=��q�N��])��������������l��6�Do�3�all�of�the�mo�Gdular�forms�o���v�er�3��F����`��	ڲcome�via�reduction�from�mo�dular�forms����6�o���v�er�L]�Z�[1�=��q�N��]?�n�Y��*�es,�N(pro�vided�that�the�appropriate�cohomology�comm�utes�with�base����6�c���hange.��This��pis�a�subtle�question�b�Gecause,���in�general,�cohomology�need�not�com-����6�m���ute�	with�base�c�hange.�XVia�some�tric�k�ery��*�,�~and�consideration�of�the�exact�sequence�������0���!����!������fe�T���	\l�����
�k�����T΍�"�`���2������O������k�!������%-�!��%-����fe�T���+�������
�k�����9�*�����?��!����!������fe�T���	\l�����
�k�����=�F����`�����!��0����6�one��sees�that�a�condition�whic���h�insures�that�all�forms�come�from�c�haracteristic�0�is����6�that��
Os����m�H���������1��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�=�F����`����;�����!��������fe�T���?������
�k��k��)��=�0�:��i��6लThe�/�Riemann-Ro�Gc���h�theorem�often�giv�es�this�v��q�anishing,�7"the�essen�tial�ingredien�t�b�Ge-����6�ing��qkno���wledge�of��deg���(���!�����fe�T���T�).�nF��*�or�example,��wwhen��k�N�����2�and��N�	���5,��wthe��H������^��1��	���do��}'es����6लv��q�anish!�	^There�ۇare�problems�when��N�h���Qi�5�b�Gecause�an�appropriate�represen���ting����6�ob��8ject�UU�E����1��|s�(�N��)���!��X����1���(�N��)�UUdo�Ges�not�exist.����H�Flat�T�base�c���hange�comm�utes�with�cohomology��*�.�o�F�or�T�example��Z�[1�=��q�N��]�p��,��UX�!��C�T��is����6�
at���b�Gecause��C��is�torsion�free,��#whereas��Z�[1�=��q�N��]��Ӹ!��F����`��{��is���not�
at.�ZObserv���e�that����6वH������^��0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�;���!��[ٟ�^��
�k���j�=�Z�[1�=��q�N��])�w�is�just�a�c���hoice�of��Z�[1�=�N��]�lattice�in�our�fa���v�orite�w�complex����6�v���ector���space�of�cusp�forms.�N0The�follo�wing�diagram�is�v�ery�helpful�(forgetting�it�is����6�a�UUcommon�source�of�confusion.)��h֍������������g~����C�8�������L���
UT��k�+B��2��(�M����k��됲(�C�)���������������'���������������������/�����/�/��������%���2�fdN�]���������2��C�[[�q�[ٲ]]�����������������I�)���Z�[��������ұ1��33��&�fe������N�����	|�]�8�������L���
UT��k�+B��2��(�M����k��됲(�Z�[��������ұ1��33��&�fe������N������])����������������\�%Eȼ������������������$UY�'�ƾ/�/�������UZ�'���fd5�����������|ӟ �/�?���������������������џf1�O�O�������ɟ�f1�fd��������џI%[���������ɟ�I%[�fd���������'UY�*EDz(�Z�[��������ұ1��33��&�fe������N�����	|�])[[�q�[ٲ]]��������������;�.�!R��?�������������������>9,���O�O������>�����R�fd������>9,�J���������>��J��R�fd�����������_�S�_�F����`��Ƹ��8�����L���
UT��k�+B��2��(�M����k��됲(�F����`����)��������������������Mō�����not�UUinjectiv���e��������������������-��R��/�/�������YD�R>��fdJ]����������0��T���F����`����[[�q�[ٲ]]������������hf)��H�There�Ļexists�mo�Gdular�forms�o���v�er�Ļ�F����`�����of�dieren���t�w�eigh�ts�whic�h�ha�v�e�the�same����6वq�[ٲ-expansions.�yoConsider��8the��Hasse�`�in��9v��\rarian�t��8�A�:�2��H������^��0��Lq�(�X����1��|s�(�N��)�=�F����`����;���!����^��
�`��1���4�).�yoLet����6वA=�F����`���d�b�Ge��~an�elliptic�curv���e�and�let��denote�the�F��*�rob�enius�endomorphism.�R�The�map����6वH������^��1��Lq�(�E���;����O�G�)���!��H������^��1���(�E���;����O�G�)��zinduced�b���y�F��*�rob�enius�is�either�0�or�not;��nif�not�[[ll�in�details�����!U��7
������ww���}~�LECTURE���9.���KA��J�TZ�MODULAR�F�ÎORMS��ZN�33����Y������6लhere.]]���The�u	�q�[ٲ-expansion�of��A��is�1���2��F����`����[[�q��]].���This�u	is�the�same�as�the��q��-expansion�of����6�1.����H�In��bc���haracteristic�0,��ew�eigh�t�1�forms�are�v�ery�sp�Gecial�so�Serre�didn't�allo�w�them����6�in�&+his�conjecture.��JIn�c���haracteristic��p�,�Z`w�eigh�t�1�forms�b�Geha�v�e�in�prett�y�m�uc�h�the����6�same�UUw���a�y�as�other�w�eigh�ts.����H�The�UUreferences�are:����6�Serre,�UUBourbaki,�1969����6�Serre,�UUSwinnerton-Dy���er,�LNM�350�\Galois�represen�tations"����6�Katz�UU\v���ery�geometric"����6�Gross�UU\mo�Gdular�forms�mo�d��`�"����6�Edixho���v�en����6�Jo�Gc���hno�witz,�UUDuk�e,�T��*�rans.�q�of�AMS�����"(S��7
�����Y���#+���7
�����Y������G���H���LECTURE���10����h�u�Exercises����:{k�These���are�the�exercises����^��1���:�whic���h�w�ere�used�in�the�problem�sessions.�BSome�solution����6�are���pro���vided�at�the�end.���[T��*�o�Gdo:�Άc�hange�the��E���;���F�c��'s�to��A;�B��q�'s�to�b�Ge�consisten���t�with����6�Ken's�UUnotation�in�the�lectures.]��<�����6��Exercise��T10.1.�����Supp�Gose�����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!��F���^�����v��`�����is�a�one�dimensional�con���tin�uous�o�Gdd����6�Galois�UUrepresen���tation.��������H�1.����U��Giv���e���an�example�to�sho�w�that����need�not�b�Ge�a�p�o���w�er���of�the�mo�d��`��cyclotomic����U��c���haracter.�������H�2.����U��Assume�n�that����is�unramied�outside��`�.��kDeduce�that����is�a�p�Go���w�er�n�of�the����U��cyclotomic�UUc���haracter.��������6��Exercise��T10.2.�����The�L;principal�congruence�subgroup�(�N��)�of�lev���el��N�cV�is�the�sub-����6�group��&of��SL���xa���2���Բ(�Z�)�consisting�of�matrices�congruen���t�to�the�iden�tit�y�mo�Gdulo��N��.�p9F��*�ur-����6�ther,�)�����1��|s�(�N��)�'is�the�subgroup�of��SL����b���2��iղ(�Z�)�of�matrices�whic���h�are�upp�Ger�triangular�mo�d����6वN�bL�and�K1ha���v�e�diagonal�en�tries�����1�mo�Gd��N��.�nfA�K.congruence�subgroup�is�a�subgroup�of�����6�SL���B�ߟ��2��G+R�(�Z�)��vthat�con���tains�(�N��)�for�some��N��.�=}Let�������SL����S���2��Ʋ(�Z�)��vb�Ge�a�congruence�subgroup.����6�Sho���w�o�that�there�exits��g�N¸2����GL���Ο��2���A�(�Q�)�suc�h�that��g��[ٟ�^���1��M��g�N¸����GL���Ο��2���A�(�Q�)�con�tains�����1��|s�(�N��)�for����6�some�UU�N��.������6��Exercise��T10.3.�����Let��J�E���=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e.�4�Sho�w��Jthat��End��������Q����(�E��)��=��Z�,��that����6�is,�I}in���teger��m�ultiplications�are�the�only��Q�-rational�endomorphisms�of��E����.���Assume����6�further��Athat��E�/βis�\isolated�in�its�isogen���y�class,"��Ei.e.,�if��A�F��V=�Q��is�an�elliptic�curv�e�whic�h����6�is��^isogeneous�to��E�g�o���v�er��^�Q�,�� then��E��and��F�7��are�isomorphic�o���v�er��^�Q�.���Sho�w�that,�� for����6�ev���ery�UUprime�n�um�b�Ger��`�,�the�represen�tation���)����ȵ����`�����:���Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)���!���Aut����(�E����[�`�])�����GL����(2�;����F����`����)����6�is�UUirreducible.������6��Exercise��T10.4.�����Let�d-�E���=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e,�g�and�assume�that,�for�all��`�,�the�rep-��\k��6�resen���tation�
̵����E�b};`��Ak�:���Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)���!���Aut����(�E����[�`�])�is�irreducible.�Y�Sho���w�that��E��Y�is�isolated�in����6�its�UUisogen���y�class.������6��Exercise��T10.5.�����Supp�Gose�S����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!���GL��������2��\p�(�F����`����)�arises�from�the��`�-torsion�of�an����6�elliptic��curv���e.�0�V��*�erify�,���using�standard�prop�Gerties�of�the�W�eil�pairing,���that��det��x�(��)�is����6�the�UUmo�Gd��`��cyclotomic�c���haracter.��6ट���ff<�O[�����-:�1���*��The�:}authors�w�Îould�lik�e�to�thank�D.�Sa�vitt,�YvK.�Kedla�y�a,�Yvand�B.�Conrad�for�con�tributing�problems.�������;�35����$+ �7
�������9���6��36����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y��������6��Exercise��T10.6.�����Let����f�_b�2�KӵS����k��됲(����1��|s�(�N��))�b�Ge�a�mo�dular�form�whic���h�is�an�eigenform�for����6�all�UUof�the�Hec���k�e�UUop�Gerators��T����p�����and�for�the�diamond�brac���k�et�UUop�erators��h�d�i�.�q�Let��ST���&w�"���:�(�Z�=��q�N��Z�)��������_��!��C�����������6लb�Ge�UUthe�c���haracter�of��f���,�so��h�d�i�f�ڧ�=���"�(�d�)�f��V:���������Hल1.����U��Sho���w�UUthat��f�h�satises�the�follo�wing�functional�equation:����U��for�UUan���y������b���������	�T�a���ab���\q���	�c�����d���������b�����s�2�������0��|s�(�N��),�������B�f���(�z�p��)��=��"�(�d�)(�cz��w�+�8�d�)�������k��+��f�������`���������<$��?��az��+�8�b��?��w�fe�֟	(֍��cz��+�8�d��������$V����`�����*O��:���$�����Hल2.����U��Conclude�UUthat��"�(��1)��=�(��1)���^��k��됲.�������H�3.����U��Cho�Gose�`.a�mo�d��`��Galois�represen���tation����asso�ciated�to��f���.��QIts�determinan���t�is�����U��det��c�R(��)�X�=��"�s ������^��k�+B��1��Թ�where������is�an�appropriate�cyclotomic�c���haracter.�w�If��c��is�a����U��complex�UUconjugation,�deduce�that�that����is�o�Gdd:��������Ddet������(��(�c�))��=���1�:���������Hल4.����U��Assume��ȵ`�g�>��2.��!Pro���v�e�that���(�c�)�is�conjugate�o�v�er�����_�fe<o����F����
�7���`����to�the�matrix������b�����UU���	�Ƿ�1����!0����.���
�0����!1������<���b����!5��.����U��What�UUhapp�Gens�if��`���=�2.��������6��Exercise��T10.7.�����Construct�UUa��non-c��}'ontinuous��homomorphism�����r����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!�f�1�g������6लwhere���f�1�g��has�the�discrete�top�Gology��*�.���Y�ou���m���ust�pro�duce�a�map���ò:��Gal����(����_�fe������Q������=�Q�)��!����6�f�1�g�UU�suc���h�that���������H�1.����U�µ�UU�is�a�homomorphism,�and�������H�2.����U�µ�UU�do�Ges�not�factor�through��Gal���W(�K�(�=�Q�)�for�an���y��nite��Galois�extension��K�=�Q�.��������6��Exercise��T10.8.�����One�G�dicult���y�is�that�the�represen�tation����arising�from�a�mo�Gdular����6�form�`;sometimes�tak���es�v��q�alues�in�a�sligh�tly�smaller�eld�than��O�G�=�.��zF��*�or�example,�b�let����6वf�U�b�Ge��one�of�the�t���w�o��conjugate�newforms�of�lev���el�23,�|w�eigh�t�2,�|and�trivial�c�haracter.����6�Then��
 "��tSӵf�ڧ�=���q����+�8��	zq��[ٟ����2��,�+�(��2��BZ���1)�q��[ٟ����3���+�(���BZ���1)�q��[ٟ����4���+�2��	zq��[ٟ����5���+����������*[��6लwith�&����	z��^��2��ax�+�ۋ������1��=�0.�b9The�co�Gecien���ts�of��f�:9�lie�in��O�5�=��Z�[��	z�]�=��Z�[�����	���33�1+����3��p����ɟ�3��W	�s��M��5�����33��s�fe�?�����X�2�������]�:��T��*�ak���e����to�b�Ge����6�the���unique�prime�of��O�/�lying�o���v�er���2,���then��O�G�=����T͍�������+3�����=�����
UN�F����4��d^�and�so����~��fe+���g������z�qƴf�Z�;��چ�is�a�homomorphism��
్�6�to����GL��ˮ(2�;����F����4��|s�).��$Sho���w���that�if��p�bٸ6�=�2���then��a����p��+�2�b��Z�[�����P�p���UW���P�fe�E���5����
UX],��&so�that����~��fe+���g�������X�qƴf�Z�;��pB�has�a�mo�Gdel�o�v�er��N7���6�GL��D��(2�;����F����2��|s�).������6��Exercise��T10.9.�����Let�UU�E���=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e�and��`���6�=�2�UUa�prime.���������H�1.����U��Pro���v�e��,that�the�eld��Q�(�E����[�`�])�generated�b���y�the�co�Gordinates�of�the�p�oin���ts�in����U�µE����[�`�]�UUis�not�equal�to��Q�.�������H�2.����U��Giv���en�UUan�example�of�an�elliptic�curv�e��E���so�that��Q�(�E����[2])��=��Q�.������6��Exercise��T10.10.������Let�UU�E���b�Ge�the�elliptic�curv���e�dened�b�y��ST���{[�y��[ٟ����2���d�=���x������3���S�+�8�ax��+��b��
UV�with��.v�a;���b��2��Q�:�������Hल1.����U��Describ�Ge�UUthe�Galois�represen���tation�����������=������E�b};�2�����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)����������!���GL����(2�;����F����2��|s�)�:�������Hल2.����U��Giv���e�UUnecessary�and�sucien�t�conditions�for����to�b�Ge�reducible.�������H�3.����U��Giv���en�UUan�example�in�whic�h����is�ramied�at�23.�����%8Ҡ�7
������ww������LECTURE���10.���EXER�ÎCISES��u-��37����Y��������6��Exercise��T10.11.������Let�爵"��and����b�Ge�con���tin�uous��homomorphisms��";�����²:��Gal��Z�(����_�fe������Q������=�Q�)��!����6��F���^�����v��`�����.�(�Supp�Gose��Hfurther�that�for�all�primes��p�,���for�whic���h�b�oth����and��"��are�unramied,����6�w���e�UUha�v�e������h��(�F��*�rob���*����p����)��=��"�(�F��*�rob���*����p���)�p������i��d�2��F����`����:��8Ѝ�6लDeduce�UUthat�����=��"�8������^��i�����where�UU���is�the�mo�Gd��`��cyclotomic�c���haracter.������6��Exercise��T10.12.������Let����E���=�Q��b�Ge�an�elliptic�curv���e�of�conductor��N��.��PLet��p��b�e�a�prime���ԍ�6�n���um�b�Ger��@not�dividing��N��.�C�Denote�b���y���x䍑�A~������E���+Բthe�elliptic�curv�e��E�.Ͳconsidered�o�v�er�the����6�nite���eld��F����p���R�.�/�There�is�a�F��*�rob�Genius�endomorphism��0�=�����p���ֲ:��E���!��E�(#�whic���h���sends��I��6�an��ane�p�Goin���t�(�x;���y�[ٲ)�to�the�p�oin���t�(�x���^��p���R�;���y��[ٟ�^��p���+�)�and�xes��1�.�0!Let��X�����^��2���e�+���aX�d�+��b���b�e�the����6�c���haracteristic��p�Golynomial�of��acting�on�the�T��*�ate�mo�dule�of��E����,���for�some�(an���y)����6�prime�UU�`���6�=��p�.�q�Dene��tr��#�()�=���a��and��deg��x�()�=��b�.��������H�1.����U��Sho���w�UUthat��deg��x�().�������H�2.����U��Sho���w�UUthat��tr��#�()��=��p�8�+�1����#�E����(�F����p���R�),�UUi.e.,��tr��()��=��a����p���R�.��
D�����H�3.����U��Let��f�`����-��pN�恲b�Ge�a�prime.���Then���x䍑g~������E���ĺ�[�`�]�is�a�v���ector�space�of�dimension�t�w�o�o�v�er���w��U���F����`����,��and����induces�a�map���x䍑�~������E����B�[�`�]�al�!���x䍑�m�~������E���V��[�`�].���Sho���w���that�this�is�exactly�the�same��\k��U��map�UUas�that�induced�b���y�some�c�hoice�of��F��*�rob�������p���m�2����Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�).�������H�4.����U��Conclude�UUthat��32������tr����(�����E�b};`��zS�(�F��*�rob���*����p����))��=��p�8�+�1����#�E����(�F����p���R�)�	��(�mo�Gd����`�)�:������6��Exercise��T10.13.������Supp�Gose��E���=�Q��is�an�elliptic�curv���e�of�conductor��N��,��and�let��`��b�e����6�a���prime.���Sho���w�that�an�y�prime��p��not�dividing��`N��òis�unramied�in��Q�(�E����[�`�])�=�Q�.����6�Y��*�ou���ma���y�use�the�follo�wing�fact�whic�h�is�pro�v�ed�using�formal�groups:��lThe�map��&���6वE����[�`�]���!���x䍑!�~������E���
�=�(����_�fe<o����F����<o���p�����)�[�is�injectiv���e,�]rwhere���x䍑��~������E������is�the�reduction�of��E��_�mo�Gdulo��p�.��?(Using�formal����6�groups�UUone�can�sho���w�that�all�torsion�in�the�k�ernel�is�of��p�-p�Go�w�er�order.������6��Exercise��T10.14.������Sho���w�:that�the�fundamen�tal�c�haracter�of�lev�el�1�is�the�cyclotomic����6�c���haracter�UU��j����I�����.��\k����6��Exercise��T10.15.������Let�XF�����:��I����t��QU�!���GL����(2�;�������_�fe<o����F��������`�����)�b�Ge�a�represen���tation,�Ywhere��I����t��ݜ�is�the�tame����6�inertia�UUgroup�at��`�.�q�Sho���w�that����is�diagonalizable.������6��Exercise��T10.16.������Guess�UUthe�Eic���hler-Shim�ura�UUem�b�Gedding��32����P�S����2��|s�(����1���(�N��))���,��UX�!��H���������1��Lq�(����1��|s�(�N��)�;����C�)����6�in�UUw���eigh�t�2.������6��Exercise��T10.17.������F��*�or��eac���h�of�the�follo�wing�semistable�elliptic�curv�es��A�,��2and�eac�h����6व`�v��at�whic���h������A;`����is�irreducible,�~�compute�the�Serre�minimal�w�eigh�t��k�P��(�����A;`��<v�)�and�lev�el����6वN��(�����A;`��<v�).��/);���?O˟�L͉ffW!��fd����ͤ���ff��͟�fd�N��ff���>�p�j��j� �9����ff����r�m�reducible���j��`��͟���ff�����VA���)����ff����ffW!������ͤ���ff��͟�fd�30��ϡ�ff���2��2���^��4���S��8�3���^��5�����5�e�����ff������2�;����3�^����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy����+��y�"�=���x���^��3���S�+��x��+�2�>9A����ff�������ͤ���ff��͟�fd210�	�Ρ�ff���*~?2���^��12��
�Ƹ�8�3���^��3���S���5����7�K����ff������2�;����3�^����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy�"�=���x���^��3���S���41�x����39�@�����ff�������ͤ���ff��͟�fd330�	�Ρ�ff���%�2���^��4���S��8�3���^��2�����5���^��4�����11���^��2���A����ff������2��A����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy�"�=���x���^��3���S�+��x���^��2�����102�x��+�324� H�����ff�������ͤ���ff��͟�fd455�	�Ρ�ff���0�5���^��3���S��8�7���^��4�����13�尟���ff������2��A����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy�"�=���x���^��3���S���x���^��2�����50�x��+�111�%H�����ff�������ͤ���ff��͟�fd2926���ff���#2���^��8���S��8�7���^��3�����11���^��4�����19���^��2��	[email protected]����ff������2��A����ff�����V�y��[ٟ�^��2��,�+�8�xy����+��y�"�=���x���^��3���S���x���^��2���+�1934�x����1935��͟���ff����ffW!�������&I���7
�������9���6��38����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y��������6��Exercise��T10.18.������Let��d�M���b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger�and��p��a�prime.���Sho�w�that�there�is����6�injectiv���e�UUlinear�map�����S��S����2��|s�(����1���(�M��))���,��UX�!��S����2��|s�(����1���(�pM��))�����6�sending�UU�f���(�q�[ٲ)�to��f��(�q��[ٟ�^��p���+�).������6��Exercise��T10.19.������Let���N���b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger.���Sho�w�that�the�Hec�k�e�algebra��T�uf�=����6��Z�[��:���:�:��
UOT����n���&�:���:�:��qu�]������End����Ɵ��Q����(�J����1��|s�(�N��))�UUis�of�nite�rank�as�a��Z�-mo�Gdule.������6��Exercise��T10.20.������Let����Sp�Gec���(�T�)���b�Ge�the�ane�sc���heme�asso�ciated�to�the�Hec���k�e���algebra����6��T�.�YGiv���e�;a�careful�in�terpretation�of�the�geometry�of��Sp�Gec��RZ(�T�)�in�terms�of�eigenforms����6�and�UUGalois�represen���tations.�q�Dra�w�UUpictures�to�illustrate�y���our�ideas.������6��Exercise��T10.21.������Supp�Gose�UU�N��3�=���pM�lp�with�(�p;���M��)�=�1.�q�There�is�an�injection��32���b۵S����2��|s�(����1���(�M��))�8���S����2��|s�(����1���(�M��))���,��UX�!��S����2��|s�(����1���(�N��)�8�\������0��|s�(�p�))����6�giv���en���b�y�(�f��V;���g�[ٲ)���7!��f���(�q��)�G�+��g��(�q����^��p���+�).�I�The���Hec���k�e�algebra��T���=��T����N��
r��acts�through�a�quotien���t��\k���6ट��_�fe������T���B���on��the�image�of��S����2��|s�(����1���(�M��))�����S����2��|s�(����1���(�M��)).�T%Supp�Gose���m�����T��is�a�maximal�ideal����6�whic���h���arises�b�y�pullbac�k�from�a�maximal�ideal�in�����_�fe������T������.���Sho�w�that������m��
y��arises�from�a����6�mo�Gdular�UUform�of�lev���el��M��.�����']��7
������ww������LECTURE���10.���EXER�ÎCISES��u-��39����Y������H��Solutions.����6��Solution��T10.1.�㎲1.�q�Let�UU�p��b�Ge�a�prime�dieren���t�than��`��and�������f����:��Gal��g(����_�fe������Q������=�Q�)��!���Gal��(�Q�(����H�p���UW��H�fe�����p����
]W�)�=�Q�)�=��f�1�g��,��UX�!��F����������፴`�����:�����6ल2.���Let�`_�K����=��~�Q����^��k���er��
����^�(��)���Բ.�Then��K�(�=�Q��is�ab�Gelian�and�ramied�only�at��`�,�c!so��K������~�Q�(�����`����1���'%�).����6�But�UU[�K�~4�:���Q�]��j��`�8���1�so��K�~4����Q�(�����`����).����6��Solution��T10.2.�㎲Conjugate�UUusing��g�"�=����(�����؍��UO�N���1�0���؍��	��0���1�1�������)���g8�:����6��Solution��(10.3.���Supp�Gose�(յ'���2���End����Ɵ��Q����(�E����)�is�a�nonzero�endomorphism.�b�The�induced��I��6�map�Xl�d'��on�the�dieren���tials��H������^��0��Lq�(�E���;����
)��>���Q�Xl�is�m�ultiplication�b�y�an�in�teger��n�.�{Then����6वd�(�'�8���n�)��=�0�UUso��'���=��n�.����H�Supp�Gose��that������`�����is�reducible,�ڼso�that�there�is�a�one�dimensional�Galois�stable����6�subspace��R�V�ݡ�����E����[�`�].��The�quotien���t��F�L�=��E���=V�6�is�then�an�elliptic�curv���e�o�v�er��Q��and����6�there�iFis�an�isogen���y���D-�:��T�E�{�!��F��ղof�iFdegree��`�.���By�assumption�that��E��Ӳis�isolated�in�its����6�isogen���y��class,�#vw�e�ha�v�e�in�fact�that��F�*��=���E����and�so�there�is�an�endomorphism�of��E��of����6�degree�T��`�.�q�But��E��!�do�Ges�not�ha���v�e�T�CM�so�the�endomorphism�all�ha���v�e�T�degree�a�p�erfect����6�square.����6��Solution�|�10.4.��|�Supp�Gose��Rall������E�b};`��?��are�irreducible,�!Qy���et�there�exists�an�isogen�y����6व'�/b�:��E���!��F�*��with���F���6����T͍����+3���=��������E����.��Cho�Gose��'��to�ha���v�e��minimal�p�ossible�degree�and�let����6वd��]�=��deg���(�'�)��>��1.�g�Let��M�`��b�Ge�the�smallest�prime�divisor�of��d��and�c���ho�ose�a�p�oin���t����6वx���2���k���er��#�(�'�)�1[of�exact�order��`�.�e�If�the�order��`��cyclic�subgroup�generated�b���y��x��is�Galois����6�stable,�Kthen������E�b};`���7�is�reducible,�con���trary�to�assumption.��tTh�us��k�er��vW(�'�)�con�tains�the����6�full�UU�`�-torsion�subgroup��E����[�`�]�of��E��.�q�In�particular,��'��factors�as��綍������������O�ꪵE����������������HH��#��'�������������D1����/�/������������2�fdT�������������D"�
�U�`��������������j�ꪾ#�#����������ܿ��؜�F����������;۟\F���������շ��^F����������4���F���������ΰ2�
�F����������,O�&\F���������Ǩl�iF����������$����F��������������F������������D1�ꪵF��������������۠��&j�E���=E��[�`�]������������D1��7�;�;����������S���A�x���������
�b���x���������
K?�tx�����������2�x���������B����x�����������֟�bx����������:��m�x�������������,<x����������2m��x����������>�:��6लSince�j��E���=E��[�`�]����T͍��길���+3���긲=�����
���E��,�p
there�is�an�isogen���y�from��E��B�to��F��D�of�degree�equal�to��d=`���^��2��|s�,�whic���h����6�is�UUcon���trary�to�our�assumption�that��d��is�minimal.����6��Solution��T10.14.�㎲The�UUlev���el�one�c�haracter�	�is�obtained�b�y�the�comp�Gosition��΍��xZ�Gal�����(�Q�������nr���፴`���
��(�`������`��1��Z�)�=�Q�������nr���፴`����)���!��������	�<�qƴ`��1���(����_�fe������Q�������qƴ`��|q�)��!��������	�<�qƴ`��1���(����_�fe<o����F������w��<o����i��<o�`����S�)�=��F����������፴`�����:���k��6लLet��ɵ�碲b�Ge�suc���h�that����[ٟ�^��`��1��8K�=���`�.�.�Then�	(��[ٲ)�=�����&h���K��@L�(���)���K��ʉfe������L�������E�(�mo�Gd������)�:��ɲLet������2�����_�fe������Q����j��qƴ`���R�b�Ge�a�primitiv���e����6व`�th�UUro�Got�of�unit���y��*�.�q�No�w������������xĴ`��1������������Y��������7�a�=1����~��(���������a���3��8�1)��=��`;��i܍�6लso�������X\(���ø�8�1)������`��1�������0��`��1������������Y���������a�=1�������<$��!P������^��a���3���1��!P�w�fe,3�	(֍�k8�����1�����@:�=���`�����(e:��7
�������9���6��40����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6लand�UU(this�is�where�Wilson's�theorem�is�used),���R�����������`��1�������ן���Y��������*,�a�=1�������<$���~z����^�����a��v�`����3��8�1���~z�w�fe,3�	(֍�k8���ø�8�1�����ڤ�����1�	��(�mo�Gd������ø�8�1)�:��>֍�6लSince�~the�p�Golynomial��x���^��`��1��⌸��2�1�has�ro�ots�o���v�er�~�F����`����,�*Cb�y�Hensel's�lemma�there�is�a�unit����6वu���2��Q����`����(�`���^��`��1��Z�)�UUsuc���h�that��� ���)�u������`��1���r�=������7��`��1�������ß���Y���������a�=1�������<$��f������^��a���3��8�1��f�w�fe,3�	(֍�k8���ø�8�1�����0z̵:��'ˍ�6लW��*�e�UUcan�tak���e���"�=��(���ø�8�1)�u�.�q�Then��8��������<$������[ٲ(���)�����w�fe��	(֍�������������-�=���������<$��¤~(������^���(��@L�)���x��8�1)��[ٲ(�u�)��¤~�w�feBQܟ	(֍�=�(���ø�8�1)�u��������捍����-�=���������<$��¤~(���ø�8�1)(������^���(��@L�)��1����+���������g�+�1)��[ٲ(�u�)��¤~�w�fe����	(֍�/\,(���ø�8�1)�u���������
������-�=������qK(����������(��@L�)��1����+��8�������g�+�8�1)��[ٲ(�u�)�=u����������-�������qK��(��[ٲ)�	��(�mo�Gd������ø�8�1)����ߍ�6��Solution��v10.5.���The�J$W��*�eil�pairing�(����;�UP�)��:��E����[�`�]�"���E��[�`�]���!��������	�<�qƴ`���F�can�J$b�Ge�view���ed�as�a�map������͊�������2��|s�E����[�`�]����T΍���O����1+����0E���?d�=������2��������������=!�������V������z�qƴ`���pI��6लsending��<�P���^��y�Q��to�(�P�G;���Q�).��{F��*�or�an���y����q�2�����Gal��!�(����_�fe������Q������=�Q�),��5(�P��c���^�����%�;�Q���^����b��)���=�(�P�G;�Q�)���^����b��.��{With��<the����6�action�0�(�P�S��^���Q�)���^����)��=���P��c���^�����-�^��Q���^����b��,�82the�map����^��2��|s�E����[�`�]���!��������	�<�qƴ`����is�a�map�of�Galois�mo�Gdules.�e�T��*�o����6�compute��0
det���(��(��[ٲ))�0
observ���e�that�if��e����1��|s�,�7��e����2�����is�a�basis�for��E����[�`�],�and���(��[ٲ)��=������b���������	�a���w$b���\q���	h�c���$md������ǟ��b������,�then��⍍��{gx��[ٲ(�e����1���S�^�8�e����2��|s�)��������=������m�(�ae����1���S�+�8�ce����2��|s�)��^��(�be����1���+��de����2��|s�)�����������=������m�(�ad�8���bc�)�e����1���S�^��e����2��C��=����det�����(��(��[ٲ))�e����1���^��e����2�����ލ�6लTh���us�����^��2��|s�E����[�`�]�giv�es�the�one�dimensional�represen�tation��det����(��).�]�Since����^��2��|s�E����[�`�]�is�iso-����6�morphic�UUto��������
iy�qƴ`�����it�follo���ws�that��det��8�(��)��=���.����6��Solution���10.6.���The��denition�of��h�d�i��is�as�follo���ws:�O�c�ho�Gose��an�y�matrix������d��pʸ2�������0��|s�(�N��)��[+��6�suc���h���that������d��	ˆ����֟��b�����F���Xմd�����0����卍�ou0���Im�d����r��1������!o����b����,!U�(�mo�Gd����N��),��then��h�d�i�f�,e�=�ֵf���j��������d���	U�:��Observ�e�that�����1��|s�(�N��)�is�a����6�normal���subgroup�of�����0��|s�(�N��)�and�the�matrices������d�����,��=for�(�d;���N��)���=�1,��=�d�<�N��,��=are���a����6�system�9xof�coset�represen���tativ�es.�1Th�us�9xan�y������b���������
yw�a����b���\q���
�?c�����d�����k'���b���� Cϸ2�CQ�����0��|s�(�N��)�can�b�Ge�written�in�the����6�form�UU�����d��Ⓒ�8�g��.�for�some��g�"�2�������1��|s�(�N��).�q�W��*�e�ha���v�e��卑LY�f�ڧ�=���f���j��������d��2Ҵg��C;�=�(�f��j��������d���	U�)�j����g��n�=�(�"�(�d�)�f��)�j����g��n�=��"�(�d�)�f��j����g��n�=��"�(�d�)(�cz��w�+�8�d�)�������k��+��f����7���^�������<$��M޵az��+��b��Mޟw�fe�֟	(֍��cz��+��d������'d���^����0l�:��#����6��Solution��T4.�㎲Let�UU�y��[ٟ�^��2���d�=���x�(�x���^��2���S��8�a�)�with��a��2��Q��not�a�square.�q�Then�����I;�A�[2]��=��f1�;����(0�;��0)�;��(����O�p���UW��O�feI0��㍵a����
��;��0)�;��(�����Op���UW��O�feI0��㍵a����;��0)�g�:����6लThe�."action�of��c��on�the�basis�(0�;����0)�;��(������p���UW����feI0�3荵a����
��;��0)�."is�represen���ted�b�y�the�matrix���(���������Y�1����1���؍���Y0����1�����&Ͳ)���
\,�5�since����6वc�(������p���UW����feI0�3荵a����
��;����0)��=�(������p���UW����feI0�3荵a����;����0)�=�(0�;��0)�8�+�(������p���UW����feI0�3荵a����
��;��0)�:����6��Solution��T10.7.�����)u���7
������ww������LECTURE���10.���EXER�ÎCISES��u-��41����Y���������Hल1.����U��Cho�Gose��Aa�sequence��p����1��|s�;���p����2���;��:�:�:���8�of��Adistinct�prime�n���um�b�Gers.�`�Dene��A�����1��Vh�:����G��!�����U�Ÿ���Q��`�3�F����2���Ȳb���y������H�����1��|s�(��[ٲ)����i��d�=�������\�(����.���
�S�0�����Uif�UU���.�acts�trivially�on��Q�(�������p���UW�����fe\L�;��p����i��������)���ҏ�;���fc���
�S�1�����Uotherwise�������z���U��Th���us�UU�����1���Ȳis�just��zz���V��G���!���Gal��g(�Q�(����H�p���UW��H�fe	�s�����p����1������ʵ;�������H�p���	����H�fe	�s�����p����2������r�;����:�:�:�����)�=�Q�)����������Y����8��F����2��|s�:��������Hल2.����U��Let�dB��F����2��	���������Q����F����2��൲b�Ge�the�subgroup�of�elemen���ts�ha�ving�only�nitely�man�y����U��nonzero�i+co�Gordinates.�#Then������Q��
���F����2��|s�=�`����F����2��垲is�i+a�v���ector�space�o�v�er��F����2��垲of�dimension����U�µ>���0.�[�By��Zorn's�lemma,�!there�is�a�basis��B�aٲof������Q��0o�F����2��|s�=��3���F����2���.�[�Let���b���2�B�aٲand�and����U��let�z̵W��[�b�Ge�the�space�spanned�b���y��B����Q�f�b�g�.��,Then��V�>m�=��(�����Q��q�F����2��|s�=����F����2���)�=W��[�is�z�an����U���F����2���Ȳv���ector�UUspace�of�dimensional�1.�������H�3.����U��Let�UU���b�Ge�the�comp�osite�map��(����������������ݟ�5Gal���>ߟ�5(����_�fe������Q������=�Q�)�������������u��.5���������BƟ.5�fd������������g�
z���������������[K� y��)�)�����������j��i�R���������U���AR����������V�$R����������̟d�R����������+B���R����������Ǹ��R����������d.�'yR������������hQR������������)R����������9���R������������
*�R����������r|�k�R�����������	��R���������׫h��aR����������Gޟ.9R���������������O�!.5�Q���'��(�9�F����2��������������M�&.9�/�/�������࢟&ak�fd#lq���������M�)��V������������������+�~���	酷���0E���	���=������������������[K�&.9�/�/�������[L�&ak�fd�����������[K�(�9�f�1�g������������@�ݍ����Hल4.����U��Let�'��H����=��%�k���er���(��)�%�����Gal��Ů(����_�fe������Q������=�Q�).���If���[ٲ(�������p���UW�����fe\L�;��p����i��������)�=��������p���UW�����fe\L�;��p����i������R�and���[ٲ(����:P�p���UW��:P�fe	>��Ű��p����j�������)�=�����:P�p���{��:P�fe	>��Ű��p����j������^�for��SꍑU�µi���6�=��j����,��cthen��&��"�2��H����.�DbTh���us��H��$�do�Ges�not�x��Q�(�������p���UW�����fe\L�;��p����i��������),��cso�the�xed�eld�of��H��is��Q�.����U��Th���us��Xthe�largest�quotien�t�through�whic�h����migh�t�factor�is��Gal���Z(�Q�=�Q�)��=��f�1�g�;����U��but�UU���visibily�do�Ges�not�factor�through�the�trivial�group.��X��6��Solution��T10.8.�㎲W��*�e�UUha���v�e��f�ڧ�=���f����1���S�+�8��	zf����2���Ȳwith��������f�f����1�������Ȱ�=�����Ǐεq�����8�q��[ٟ����3��,���q��[ٟ����4���+�����������������f�f����2�������Ȱ�=�����Ǐεq��[ٟ����2��,��8�2�q��[ٟ����3�����q��[ٟ����4���+�2�q��[ٟ����5���+��������������6लBecause��y�S����2��|s�(����0���(23))�has�dimension�2,�X�it�is�spanned�b���y��f����1��	m�and��f����2���.�	F2Let���[ٲ(�q��)�u�=��
	؍�6वq�������B��1����x�W	�@��P�24������'����Q���,��n��1��$��(1�j?���q��[ٟ�^��n���W�).�O�Then��d�g��_�=�B�(��[ٲ(�q��)���(�q����^��23��Կ�))���^��2�����2��S����2��|s�(����0���(23)).�O�Expanding��dw���e�nd�that��
p8��6वg�M�=���q��[ٟ�^��2��"[��J�2�q��[ٟ�^��3���+����������^�,�u�so�o�g�M�=���f����2��|s�.��Next�observ���e�that��g����is�a�p�Go�w�er�series�in��q��[ٟ�^��2���L�,�u�mo�Gdulo����6�2,�UUsince�������s�g������V�=�������t�q��[ٟ����2�����������Y����J�(1�8���q��[ٟ����n���W�)������2��|s�(1����q��[ٟ����23�n��
�=�)������2�����������V��������t�q��[ٟ����2�����������Y����J�(1�8���q��[ٟ����2�n��	�ʲ)(1����q��[ٟ����46�n��
�=�)�	��(�mo�Gd���2)����������V��������t�q��[ٟ����2�����������Y����J�(1�8�+��q��[ٟ����2�n����+��q��[ٟ����46�n����+��q��[ٟ����48�n��
�=�)�	��(�mo�Gd���2)������6�Th���us�u�the�co�Gecien�t�in��f����2����of��q��[ٟ�^��p���+�,���with��p����6�=�2�u�prime,�is�ev���en�and�the�prop�Gosition����6�follo���ws.����6��Solution��T10.9.��W�����Hल1.����U��Let�\�����2����$�����	�H�qƴ`����b�Ge�a�primitiv���e��`�th�ro�ot�of�unit���y��*�.��vSince����^��2��|s�E����[�`�]����T͍���$����+3����$�=�������
mf��������qƴ`��Zp�,�^^there�exists����U�µP�G;���Q���2��E����[�`�]���suc���h�that��P�-��^��"�Q���=�����.�4�Since����`�>��2�there�exists����Ͳsuc���h�that�������^����摸6�=�����,����U��hence�OܵP��c���^������^�-�Q���^����)��6�=���P��~�^��Q�.�o�This�is�imp�Gossible�if�all��`�-torsion�is�rational,�P�since����U��then�UU�P��c���^����	�=�=���P���and��Q���^����)��=��Q�.�������H�2.����U�µy��[ٟ�^��2���d�=��(�x�8���a�)(�x����b�)(�x����c�)�UUwhere��a;���b;�c�UU�are�distinct�rational�n���um�b�Gers.�����*�Ġ�7
�������9���6��42����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y������6��Solution��T10.10.���񍍍��Hल1.����U��Let����K����b�Ge�the�splitting�eld�of��x���^��3��"%�+����ax��+��b�.�[zThen������em���b�eds��Gal����(�K�(�=�Q�)�in�����U��GL��c��(2�;����F����2��|s�):���ፍ�������������P��5Gal���KR��5(����_�fe������Q������=�Q�)�����������������vu��#���������������N����/�/�������Y����2�fdc�ǎ������Rj�.5�&�&���������������N�����������u��bN������������{�N�����������S�RN�����������Ÿ(UN�����������1���N���������������N�������������HN�����������~�
��N������������W�N�����������\�.;N��������������!N�GL��/$3(2�;����F����2��|s�)�����������������Y��(�5Gal������(�5(�K�(�=�Q�)���������������jڟ:%�+������p������������'���8�8����������#����q������������
�q���������n�W�q���������Z����q���������G/��Wq���������3��&q��������� E�B�q���������П}�q����������[���q�������������bq�����������q�.1q����������<�������Hल2.����U�µ�UU�is�reducible�exactly�when�the�p�Golynomial��x���^��3���S�+�8�ax��+��b�UU�has�a�rational�ro�ot.�������H�3.����U�µy��[ٟ�^��2���d�=���x�(�x���^��2������L�23),�M�y��[ٟ�^��2���=��x���^��3����+��L�x����1.�W�[[Insert��Ra���vi's�geometric�commen�ts�here.]]����6��Solution��10.11.�	S<�Consider�g�the�c���haracter����=���"=�.���By�assumption���!Dz(�F��*�rob���*����p����)�=�1����6�for��mall�unramied��p�.�
F��*�urthermore,����4�factors�through�a�nite�ab�Gelian�extension�of����6वK�(�=�Q�.�!�F��*�or�d�an���y���"�2����Gal��g(�K�=�Q�),���the�Ceb�Gotarev�densit���y�theorem�insures�that�there�are����6�innitely�c�man���y�primes��p��suc�h�that��F��*�rob��������p��
L�=��c��[ٲ.���In�particular,�g���!Dz(���)��c=���!Dz(�F��*�rob���*����p����)�=�1,����6�so�UU���߲=��1�and�hence����=��"�.����6��Solution��T10.12.�������Hल1.�����U��deg��d�Q()��=��p�,�UU[��32����,�2.11].�������H�2.����U��By���[��32����,��5.5],��빸��1�is�separable,��so�#�E����(�F����p���R�)��=��deg���(�빸��1).�:@Since��has�degree������U�µp�,�Vthere��exists�an�isogen���y�����}�fe8������
(the�dual�isogen�y�[��32����,�VI�GI�I.6]),�suc���h��that�����}�fe8������	��=���p�.����U��Letting�UUbars�denote�the�dual�isogen���y��*�,�w�e�ha�v�e���������f\#�E����(�F����p���R�)��=��deg���(�8���1)�������=�������(�8���1)���Lщfe 8��/�(����1)��������������=�����������}�fe8������	qĸ�8��������}�fe8���������+�1����������=������µp�8����tr��
()�+�1����9⍍���H�3.����U��Both�UUmaps�are��p�th�p�Go���w�ering�UUon�co�ordinates.����6��Solution���10.13.����Because�X\�`��$�6�=��p��and��E���has�go�Go�d�reduction�at��p�,�Ythe�natural�map��&���6वE����[�`�]���!���x䍑�~������E���
�l�[�`�]�UUis�an�isomorphism.�q�W��*�e�ha���v�e�UUthe�follo���wing�comm�utativ�e�diagram��h��������������{����Gal�������(�Q����p���R�(�E����[�`�])�=�Q����p���)���������������^/���������������������	�,����/�/��������-���2�fd��������ƭ�Zj���������y�Zj��2fd�����������,�Aut����(�E����[�`�])�������������������DQ���%�����0E���%��=������������������"���8��������!ދ��8�.8fd�����������ҟ(�j�Gal����ԟ(�j((�O�G�=�)�=�F����p���R�)������������	�,�&���/�/�������;T�&�Ԅfd�؎����������,�)��Aut�����)�(���x䍑P~�����E����T�[�`�])������������<����6�It�PUfollo���ws�that�the�rst�v�ertical�map�m�ust�b�Ge�injectiv�e,��whic�h�is�the�same�as����6��Q����p���R�(�E����[�`�])�=�Q����p�����b�Geing�UUunramied.����6��Solution�10.15.�	���I����t��	g�is��an�ab�Gelian�pronite�group�whic���h,���b�y��Kummer�theory��*�,�has����6�order���prime�to��`�.�E�If���CV�2��}�I����t���V�,���then�the�matrix���(��[ٲ)�has�Jordan�Canonical�F��*�orm������6�(�����̍��<n۴a���C��b���؍��<�ڱ0���C�1�c�����Hɺ�)���L�I.�wIf�㐵b��#�6�=�0�then��a��=��c�,�and�the�matrix�is���(�����̍��	qǴa����3b���؍��	�Ʊ0�����a������5�)���s�,�whic���h�has�order�divisible�b�y����6व`�,�عwhic���h��rcon�tradicts�the�fact�that�the�elemen�ts�of��I����t��CȲha�v�e�order�prime�to��`�.��Th�us����6�eac���h�W6��(��[ٲ)�is�diagonalizable.�wiNo�w�use�that��I����t��܌�is�ab�Gelian�and�a�comm�uting�family�of����6�diagonalizable�UUop�Gerators�is�sim���ultaneously�diagonalizable.����6��Solution�X�10.16.�ǖ�Since������1��|s�(�N��)�acts�trivially�on��C�,��,w���e�ha�v�e��H������^��1��Lq�(����1��|s�(�N��)�;����C�)��4=�����6�Hom��K��(����1��|s�(�N��)�;����C�).�âPic���k�p�a�base�p�Goin�t��z����0����in�the�upp�Ger�half�plane.�âThe�elemen�t�of��H������^��1������+�%��7
������ww������LECTURE���10.���EXER�ÎCISES��u-��43����Y������6लasso�Gciated�UUto��f�h�is�then�the�map���������
�UP�7!�����c��Z�����i����
�n9�(�z���0��� �)��@��UR�z���0����!���f���(�z�p��)�dz�:�� Ϭ��6��Solution��10.17.�	��W��*�e��@write��N�'e�=�J�N��(��)�and��k�`�=��k�P��(��)�to�sa���v�e��@space.���The�essen���tial����6�to�Gol�UUis�Theorem�5.1.��������H�1.����U�µ`���=�5:�qǵN��3�=�6,�UU�k���=�6,��`�>��5,��N��3�=�30,��k���=�2.�������H�2.����U�µ`���=�5:�f��N��3�=�2�����3����7,�C��k���=��6;�F��`��=�7:��N��3�=�2�����3����5,�C��k���=��8;�F��`�>��7:��N��3�=�2�����3����5����7,����U�µk���=��2.�������H�3.����U�µ`���=�3:�+��N��3�=�2�и��5����11,���k���=��4;����`��=�5:��N��3�=�2�и��3����11,���k���=��6;����`��=�7:��N��3�=�2�и��3����5����11,����U�µk���=��2;�UU�`��=�11:�qǵN��3�=�2�8���3����5,��k���=��12;��`�>��11:�qǵN��3�=�2�8���3����5����11,��k���=��2.�������H�4.����U�µ`��O�=�3:�~	�N��j�=�7�<����13,�\��k�!�=��O2;�^��`��=�5:��N��j�=�7�<����13,�\��k�!�=��O6;�^��`��=�7:��N��j�=�5�<����13,�\��k�!�=��O8;����U�µ`���=�13:�qǵN��3�=�5�8���7,�UU�k���=��14;��`��=�11�;���`�>��13:�qǵN��3�=�5�8���7����13,�UU�k���=�2.�������H�5.����U�µ`���=�3:��N��3�=�2��A���11����19,���k���=��2;��ʵ`��=�7:��N��3�=�2��A���11����19,���k���=��8;��ʵ`��=�11:��N��3�=�2��A���7����19,����U�µk���=��12;�UU�`��=�19:�qǵN��3�=�2�8���7����11,��k���=��20;��`��other:�qǵN��3�=�2�8���7����11����19,��k���=��2.�����,�C��7
�����Y���-����7
�����Y�����;���2���BIBLIOGRAPHY��5Y�����;ॲ1.���H��A.��O.�L.�A���tkin�and�J.�Lehner,��H�He��}'cke���op�er�ators�on������0��|s�(�m�),��HMath.��Ann.��185����H�ò(1970),�UU134{160.������;�2.���H��B.���J.�Birc���h�and�W.�Kuyk�(eds.),�f��Mo��}'dular��functions�of�one�variable.�IV�,����H��Springer-V��*�erlag,�UUBerlin,�1975,�Lecture�Notes�in�Mathematics,�V�ol.�476.������;�3.���H��S.��nBrueggeman,����The��non-existenc��}'e�of�c�ertain�Galois�extensions�unr�amie�d�out-����H��side���5�,�UUJournal�of�Num���b�Ger�Theory�x��75�,�47{52.������;�4.���H��H.���Cara���y�ol,����Sur���les�r��}'epr�����$�esentations��`�-adiques�asso�ci�����$�ees�aux�formes�mo�dulair�es��j���H��de���Hilb��}'ert�,�UUAnn.�scien���t.��<r��x���Ec.�Norm.�Sup.,�4���^��eb���;�s���Gerie��19��(1986),�409{468.������;�5.����H�Äff��hR�,���Sur��rles�r��}'epr�����$�esentations�galoisiennes�mo�dulo��`��attach�����$�ees�aux�formes����H��mo��}'dulair�es�,�UUDuk���e�Math.�J.��59��(1989),�785{801.������;�6.���H��W.�ҦCasselman,����On��r��}'epr�esentations�of���gl���
�˟qƱ2��z��and�the�arithmetic�of�mo�dular�curves�,����H��(1973),�UU107{141.�Lecture�Notes�in�Math.,�V��*�ol.�349.������;�7.���H��R.F.��xColeman�and�J.F.�V��*�olo�Gc���h,�
q�Comp��}'anion�A;forms�and�Ko�dair�a-Sp�enc�er�the�ory�,����H��In���v�en�t.�UUMath.��110��(1992),�no.�2,�263{281.������;�8.���H��J.E.��yCremona,����A���lgorithms�
yfor�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second��yed.,�Cam���bridge����H��Univ���ersit�y�UUPress,�Cam���bridge,�1997.������;�9.���H��P��*�.�ѵDeligne,����F��;�ormes�Smo��}'dulair�es�et�r�epr�����$�esentations��`�-adiques.�,���(1971),�139{172,����H��Lecture�UUNotes�in�Mathematics,�V��*�ol.�179.������6�10.���H��F.�UUDiamond,��Not���done.�the�r��}'ene�d���c�onje�ctur�e�of�serr�e�.������6�11.���H��B.�UUEdixho���v�en,��Not���done.�serr��}'e's�c�onje�ctur�es�in�fermat�pr�o�c�e�e�dings�.������6�12.����H�Äff��hR�,����L'action���de�l'alg�����$�ebr��}'e�de�He�cke�sur�les�gr�oup�es�de�c�omp�osantes�des�ja-����H��c��}'obiennes��ddes�c�ourb�es�mo�dulair�es�est�\Eisenstein���P"�,�ySAst�����Gerisque�r (1991),�no.�196-����H��197,��7{8,�159{170��f(1992),�Courb�Ges�mo�dulaires�et�courb�es�de�Shim���ura�(Orsa�y��*�,����H��1987/1988).������6�13.����H�Äff��hR�,��F�The��}weight�in�Serr��}'e's�c�onje�ctur�es�on�mo�dular�forms�,��FIn���v�en�t.��Math.��109����H�ò(1992),�UUno.�3,�563{594.������6�14.���H��Benedict�t2H.�Gross,�{��A��Etameness��Lcriterion�for�Galois�r��}'epr�esentations��Lasso�ciate�d����H��to���mo��}'dular�forms�(mo�d��p�)�,�UUDuk���e�Math.�J.��61��(1990),�no.�2,�445{517.������6�15.���H��N.�d5Jo�Gc���hno�witz,����A���study��of�the�lo��}'c�al��c�omp�onents�of�the�He�cke�algebr�a�mo�d��l�2`�,����H��T��*�rans.�UUAmer.�Math.�So�Gc.��270��(1982),�no.�1,�253{267.������6�16.���H��N.M.���Katz,�̶�A��r��}'esult���on�mo�dular�forms�in�char�acteristic��p�,�̶Mo�Gdular���functions����H��of��Oone�v��q�ariable,��
V���(Pro�Gc.�Second�In���ternat.�Conf.,�Univ.�Bonn,�Bonn,�1976)����H��(Berlin),�UUSpringer,�1977,�pp.�53{61.�Lecture�Notes�in�Math.,�V��*�ol.�601.������6�17.���H��S.��Lang,����A���lgebr��}'aic��snumb�er�the�ory�,���second��ed.,�Springer-V��*�erlag,�New�Y��*�ork,�1994.�������;�45����.�6��7
�������9���6��46����Q�K.���A.�RIBET,�SERRE'S�CONJECTURES���Y��������6ल18.���H��Winnie�UULi,��Unnishe��}'d���r�efer�enc�e�.��j�����6�19.���H��B.��Mazur,�9�Mo��}'dular�;�curves�and�the�Eisenstein�ide�al�,�9Inst.��Hautes����x���Etudes�Sci.����H��Publ.�UUMath.�(1977),�no.�47,�33{186�(1978).������6�20.���H��Miy���ak�e,�UU�Mo��}'dular���forms�.������6�21.���H��K.A.�q�Rib�Get,���On���mo��}'dular�r�epr�esentations�of���Gal��9�(����_�fe������Q������=�Q�)��arising�fr�om�mo�dular����H��forms�,�UUIn���v�en�t.�Math.��100��(1990),�no.�2,�431{476.������6�22.����H�Äff��hR�,����L��}'owering��the�levels�of�mo�dular�r�epr�esentations�without�multiplicity�one�,����H��In���ternational�UUMathematics�Researc�h�Notices�(1991),�15{19.��\k����6�23.����H�Äff��hR�,�R��R��}'ep�ort��!on�mo��}'d��l�Á�r�epr�esentations�of���Gal��1#(����_�fe������Q������=�Q�),�R�Motiv���es�RQ(Seattle,�W���A,����H��1991),�UUAmer.�Math.�So�Gc.,�Pro���vidence,�RI,�1994,�pp.�639{676.������6�24.���H��T.��Saito,�F�Mo��}'dular�fforms�and��p�-adic�Ho�dge�the�ory�,�FIn���v�en�t.��Math.��129��(1997),����H��607{620.������6�25.���H��J.-P��*�.��'Serre,�d�Pr��}'opri�����$�et��es�6�galoisennes�de�p��}'oints�d'or�dr�e�ni�des�c�ourb�es�el���liptiques�,����H��In���v�en�t.�UUMath.��15��(1972),�259{331.������6�26.����H�Äff��hR�,���A��oc��}'ourse��in�arithmetic�,�Springer-V��*�erlag,�New���Y�ork,�1973,�T�ranslated����H��from�UUthe�F��*�renc���h,�Graduate�T�exts�in�Mathematics,�No.�7.������6�27.����H�Äff��hR�,����V��;�aleurs���pr��}'opr�es�des�op�����$�er�ateurs�de�He�cke�mo�dulo��`�,���Ast�����Gerisque���24{25����H�ò(1975),�UU109{117.������6�28.����H�Äff��hR�,���L��}'o�c�al���elds�,�Springer-V��*�erlag,�New���Y�ork,�1979,�T�ranslated���from�the����H��F��*�renc���h�UUb�y�Marvin�Ja�y�Green�b�Gerg.������6�29.����H�Äff��hR�,�F��Sur�les�r��}'epr�����$�esentations�mo�dulair�es�de�de�gr�����$�e��2��de���Gal���!(����_�fe������Q������=�Q�),�F�Duk���e����H��Math.�UUJ.��54��(1987),�no.�1,�179{230.������6�30.����H�Äff��hR�,����A���b��}'elian���l�2`�-adic�r�epr�esentations�and�el���liptic�curves�,���A�x�K�P���eters�x�Ltd.,����H��W��*�ellesley�,��EMA,��1998,�With�the�collab�Goration�of�Willem�Kuyk�and�John�Labute,����H��Revised�UUreprin���t�of�the�1968�original.������6�31.���H��G.�mShim���ura,����Intr��}'o�duction��3to�the�arithmetic�the��}'ory�of�automorphic�functions�,����H��Publications��of�the�Mathematical�So�Gciet���y�of�Japan,�\No.�11.�Iw�anami�Shoten,����H��Publishers,�UUT��*�oky���o,�1971,�Kan^����o�Memorial�Lectures,�No.�1.������6�32.���H��J.H.��Silv���erman,���The���arithmetic�of�el���liptic�curves�,�Springer-V��*�erlag,�New��Y�ork,����H��1992,�UUCorrected�reprin���t�of�the�1986�original.������6�33.���H��J.T.�RT��*�ate,���The�I`non-existenc��}'e�of�c�ertain�Galois�extensions�of��Q��unr�amie�d�out-����H��side���2,�UUCon���temp�Gorary�Math.��174��(1994),�153{156.������6�34.���H��T��*�oulouse,����F��;�r��}'om��the�Shimur�a{T��;�aniyama�c�onje�ctur�e�to�F��;�ermat's�L�ast�The�or�em�,����H��Annales�%de�la�F��*�acult�����Ge�des�Sciences�de�l'Univ�ersit���Ge�de�T��*�oulouse��11��(1990),�.�116{����H��139.������t���;��7
��2�>t}\�cmti7�=�':

cmti10�;X�&eufm7�:�%n�

eufm10�4DF��

cmmib10�3��N�cmbx12�0f$�cmbx7�.���

msbm10�+#��cmex7�*�C�scmtt8�)2�@�cmbx8�(�"V

cmbx10�'��N�ffcmbx12�%��N�G�cmbx12�q�%cmsy6��Aa�cmr6�|{Ycmr8��5D

xycmbt10��5D

xycmat10��5D

xybsql10��6δ

xydash10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10������