Sharedwww / Tables / visshatalk.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.03.06:0232������x�������=�������O�\�D��t�qG�cmr17�Visibilit��uNy�B�of�Shafarevic�h-T��_�ate�Groups����q��of�B�Mo���dular�Ab�elian�V��_�arieties��'&V����������X�Qffcmr12�William��/Stein�������1��߆�Tffcmtt12�[email protected]������`�Lhttp://shimura.math.berkeley.edu/~was������B�����9�Marc���h��/1999��8�2��'���N�G�cmbx12�Con��u�ten�ts�� B����'���N�ffcmbx12�1��<&VBSD�ffConjecture����\2��� ����'2��<&VVisibilit���y��(:3������'3��<&VCongruences���?4������'4��<&VMo�s3dular�ffRank��0��BSD���&�5������'5��<&VF���form���ula�fffor����g�ffcmmi12�L�(�A��(��
�b>

cmmi10�f��x�;�fd�1)�=�
���q�6������'6��<&VMo�s3dular�ffDegree���"97������'7��<&VExp�s3erimen���t:�32Dimension�ff1�(Cremona-Mazur)��,:08������'8��<&VExp�s3erimen���t:�32Dimension�ff�>����1��(Agashe-Stein)��5^�9������'9��<&VExamples���r10��������X�Qcmr12�1����*�x�������=��������'�1��D(�BSD�z�Conjecture��'�����5�� !",�G�
cmsy10�����D_��!��g�G�cmmi12�A=�Q�7t�D��tG�G�cmr17�ab�s�elian�v���ariet��qy���V,��dim��"�d�A����=��d�� �����5������D_��L�(�A;��Fs�)�7tasso�s�ciated��L�-function��B�d����'�Conjecture�z�1.1�(Birc��u�h,�Swinnerton-Dy�er,�T��aGate).����������0���,���@G�cmti12�1.����D_��L�(�A;��Fs�)�M�is�holomorphic�on�al��/l��C�������0���2.������p������OY������L�(�A;��F�1)�������4���3�x��ߍ�3�
�������6=�����OY���>�j���hV1
wncyr10�X��
�n�(�A�)�j������
7�$��uG�
cmex10�Q��
<�c�����"��g�cmmi12�p�������4���w9���ߍ�j�A�(�Q�)�j���j�A���
�#!",�
cmsy10�_����(�Q�)�j������#�W��D_��wher��"�e�������O��������^9q�X��l0��(�A�)���=��Ker��_�(�H��U����1�����(�Q�;��FA�)��!����
7�Q�������v���k�H��U����1���(�Q�����v���m�;��FA�))�������O�������^9q�c�����p���<�=���r��"�ational�c�omp�onents�of�sp�e�cial�b�er�of����^9qNer��"�on�Mmo�del��A�=�F�����p��������O�������^9q�
���=����v�R�������N�A�(�*��N�cmbx12�R�)��,[?�j�!����j�,�Mwher��"�e��H��U����0�����(�A�;��F�
������d����)���=��Z�!������x�������=��������'�2��D(�Visibilit��u�y��'��'�Fix������<�i����:��A�,����!��J�����8���Visible�z�Sha:��"���~�X�X�����Ɵ�݀�0�����(�A�)���:=��Ker��_�(��X��
�n�(�A�)��������	���i�����
!",�

cmsy10����
@������������7!�������X��+ �(�J����))����'W���Ve�7tcan��se��"�e���X���.�����0�����(�A�):����'The�7tlong�exact�sequence�asso�s�ciated�to������b0����!��A��!��J�fd�!��B���!��0����'giv��qes��5�\����w���'0���8���!���T4x�B��<�(�Q�)�=J����(�Q�)����(�!����L��H��U����1�����(�Q�;��FA�)���!��!���:i]�H��U����1�����(�Q�;��FJ����)�������!������F��������y�@[�����[���V3�[������'�0���8���!����h��X���v�q�����0��}Rm�(�A�)����(�!�����Es�X���<��(�A�)���!��!����Ia��X��WYe�(�J����)�����7�!��8���Remark:�o��(Ogg)�FMordell-W���Veil�implies���X���������0��b��(�A�)�is�nite.������x�������=��������'�3��D(�Congruences��'��'�Fix�7t�A�.����'Find�7t�B���suc��qh�that:��"��_�G�A�[�p�]�����	��������������L��=�����
:�B��<�[�p�]��$�as��7tGal��W(���
������
����Q������=�Q�)-mo�s�dules�����'Then������{�H��Uß�݀�1�����(�Q�;��FA�[�p�])�����	��������������L��=�����
:�H��Uß�݀�1���(�Q�;�B��<�[�p�])�:������'�Kummer�7tand�Selmer:��^Q덍��w���'0���8���!���U?9�A�(�Q�)�=pA�(�Q�)����I7�!������H��Uß����1�����(�Q�;��FA�[�p�])���K�l�!���go~�H��Uß����1�����(�Q�;��FA�)[�p�]�����N�!����/��0�������r�jj����[�����ijj������'�0���8���!���U?9�A�(�Q�)�=pA�(�Q�)����I7�!�����I�Selmer���
�ڟ���p��!��(�A=�Q�)���K�l�!����vh�X���_��(�A�)[�p�]�����N�!����/��0������맟�jj��7t�if�luc��qky!�������'0���8���!���T4x�B��<�(�Q�)�=pB��(�Q�)����I7�!����ې��Selmer���
6y����p���&�(�B��<=�Q�)���K�l�!����uⷺX����%�(�B��<�)[�p�]�����N�!����/��0�������r�jj����\�����ijj������'�0���8���!���T4x�B��<�(�Q�)�=pB��(�Q�)����I7�!������H��Uß����1�����(�Q�;��FB��<�[�p�])���K�l�!���f��H��Uß����1�����(�Q�;��FB��<�)[�p�]�����N�!����/��0�����b�ۍ�8��If�7t�A�(�Q�)���=�0�and���X��.��(�B��<�)[�p�]�=�0�then���������X����e�(�A�)[�p�]���=��B��<�(�Q�)�=pB��(�Q�)�:����8���\Luc��qk"�g�understandable�in�terms�of�Mazur's�
at�coho-����'mology���V.�����u�x�������=��������'�4��D(�Mo��=dular�z�Rank��0��BSD��'��'�A�����f����optimal�7tquotien��qt�of��J�����0��_��(�N���),�corresp�s�onding�to��$č��<�f���=�����ʟ�{�X���� ���a�����n�����q������݀�n����2����S�����2��_��(�����0���(�N���)�;��F�C�)�:��"��'�Ha��qv�e������0����!��C�
{�!��J�����0��_��(�N���)��!��A�����f��_q�!��0�:�� ����'�Theorem�z�4.1�(Hec��u�k�e).����#vύ���+�L�(�f��;��Fs�)���=������{�X���� ���a�����n�����n���݀��s�����'�holomorphic�Mon��C�.������'�Theorem�z�4.2�(Shim��u�ura).����#vύ��L3�L�(�A�����f�����;��Fs�)���=������{�Y���@O��
���i���Ž�L�(�f�����i���'�;�s�)�;��.����'�pr��"�o�duct�Mover�c��"�onjugates�of��f��P�.������'�Theorem�z�4.3�(Kolyv���agin-Logac��u�hev).������'�L�(�A�����f�����;��F�1)�	��6�=�0�DW=����)��A�����f���(�Q�)��H�and���X�����(�A�����f���)��b��"�oth�nite.����'(He��"�e�gner�Mp�oints.)�������x�������=�����u��'�5��D(�F��aGorm��u�ula�z�for��L�(�A�����f�����;��F�1)�=�
��'��'Ab�s�el-Jacobi�7tmap:��$���v���H�����1��_��(�X�����0���(�N���)�;��F�Z�)����4U��	�Ź��	˫���������������X!������C���݀�d��g��!����A�����f��_q�!��0��)r���+(�
���)���=�(���z��Z���	���z��
���9�f�����1��_��;���F:�:�:���;���F��z��Z���z�z��
����f�����d����)��E�i����'�Theorem�z�5.1�(Agashe).�������'e����=��f�0�;��F�1g�2��H�����1��_��(�X�����0���(�N���)�;��Q�)����'�T����=��
��He��"�cke�Malgebr�a���)�ԍ������OY��A���L�(�A�����f�����;��F�1)��A����4���;���ߍ���
����������Q=���������OY���E�[(�H���!���Uù+��j'�1���
�K�(�X�����0��_��(�N���)�;��F�Z�))���:�(�T��aGe�)]���E؟�4���Ï��ߍ�Gr��c�����1��W
����c�����M���������c�����j�$�c�����1��������Q�=���������numb��"�er�Mof�c�omp�onents�of��dH\�A�����f�����(�R�)��������j;<�c�����M��������Q�=���������a�MManin�c��"�onstant�(c�onj�=�1)�����A�d����'�Corollary�z�5.2.�������Evidenc��"�e�Mfor�the�BSD�c�onje�ctur�e!�� �����5������D_��L�(�A�����f�����;��F�1)�=�
����2��Q�������5������D_��Bounds�Mon�denomonitor�of��L�(�A�����f�����;��F�1)�=�
�.�����ՠx�������=��������'�6��D(�Mo��=dular�z�Degree��'��'�Auto�s�dualit��qy�7tof��J�����0��_��(�N���)�giv�es:����Vo;���������������Ker�����(������f�����)������=����QQ�A�������_����f���W	�\���C���6�,����!���[wF�C����}���	l6�\���\a\��������<�A�������_����f��������4U��96��n9���2�_���	˫������4;������;�!������\���J������8�C�����f����VOb�#����������X�A�����f������������O�

line10�H���&��H���0��H���:��H���D��H���I���H���I���j�������o;�aT����n֯������f����������=���������mo�s�dular�7tmap����������I�Ker��b��(������f�����)��������=���������congruences�7tb�s�et��qw�een��A���݀��_��h��f���
�u�and��C����������J�t�deg��b��(������f�����)��������=���������(generalized)�7t�mo��=dular�z�degree�������'W���
ARNING:�"�square�of�the�usual�one�for�elliptic�curv��qes!��(Ǘ����'�Theorem�z�6.1�(F��aGorm��u�ula�for���Ker�� 
�(�����)�).���M?��L��"�et�Q��B�%n�G�
eufm10�Bp�����f��_q�=����Ann���"o�����T��,S�(�f��P�)�.����'Then���m���{��Ker����{(�����)�����	��������������L��=���������OY��$�(�H�����1��_��(�X�����0���(�N���)�;��F�Z�))��=m��4�����Ÿ�ߍ(�H�����1��_��(�X�����0���(�N���)�;��F�Z�)[�Bp�����f�����])������!q��'�and����.�$�0����!���Hom��&(�H�����1��_��;��F�Z�)[�Bp�]��!���Hom��(�H�����1��_��[�Bp�]�;��F�Z�)��!���Ker��_�(�����)��!��0��.(덍��'�Prop��=osition�z�6.2.��������f(�X����]���݀�0������(�A���݀��_��h��f�����)�������X���8�(�A���݀��_��h��f����)[�deg��(�����)]�����Ġx�������=�����u��'�7��D(�Exp��=erimen��u�t:��\Dimension�Q�1�(Cremona-Mazur)��'��'�Analyze��[all�non��qtrivial�(analytic)���X�����(�E�T�)�for�optimal��E�ۯ�of����'lev��qel�7t�N��������5500.����'Giv��qen:�� �����2B�1.����D_��E�������J�����0��_��(�N���)�������2B�2.����D_��p�j�#��X��
�n�(�E�T�)����'Searc��qh�7tfor�an�elliptic�curv�e��F�&a�����J�����0��_��(�N���)�suc�h�that�������2B�1.����D_��E�T�[�p�]���=��F�Y��[�p�]����J�����0��_��(�N���)[�p�]�������2B�2.����D_�rank�7t�F���=�2����'F���Vor�7to�s�dd��p�:���do��nd��F���except�������2B�1.����D_��N�
��=�7�2849�;��F�4343�;��5389:�
��where�%�p��do�s�esn't�divide�the����D_�mo�s�dular�7tdegree.�������2B�2.����D_��N��
�=���2932�;��F�3364�;��4229�;��4914�;��5054�;��5073,��{there�m�exists����D_�some��congruence,��but�not�with�a�1�dimensional�fac-����D_�tor.��(No�7tfurther�analysis.)�����	!1�x�������=�����u��'�8��D(�Exp��=erimen��u�t:��\Dimension�Q��>����1��(Agashe-Stein)��'��'�Ev��qen�{�assuming�BSD,�don't�really�kno�w�ho�w�to�compute����'analytic�7t�j��X��
�n�j�!����8��Assume�7t�L�(�A�����f�����;��F�1)����6�=�0.��Can�compute��*�P��'�L�(�f��P�)���=�[(�H���݀��Uù+��j'�1���
�K�)�:�(�T��aGe�)]�=��(conjecture)��\��=�����OY�����j��X��
�n�j������
7�Q��
<�c�����p��
<����c�����1��W
���c�����M�������4������ߍ����j�A�����f�����(�Q�)�j���j�A���K��_����f�����(�Q�)�j������-J捑8���Odd�7tpart�of��j��X��
�n�j��is�a�square,�so�let��"��?�L�s�(�f��P�)���=��largest�7to�s�dd�square�dividing�n��qumer���9�(�L�(�f��))�:����'�W��aGarning:�
���p���j��s�(�f��P�)��need�not�imply��p���j���X����.�JbExample����'�980E1�.��+�d��'�Exp��=erimen��u�t.�� �����2B��1.����D_�F���Vor��Keac��qh�newform��f����of�lev�el��N��������1500�compute��s�(�f��P�).�������2B�2.����D_�When�7t�s�(�f��P�)����6�=�1�compute��deg��7�(������f�����),�then�...�������2B�3.����D_�...��list�7tall��B���=����A�����g��[Z���J�����0��_��(�N���)�7tsuc��qh�that��"������A�����f�����[�p�]���\��A�����g�����[�p�]����6�=��f�0�g����D_��for�7tsome��p����j��s�(�f��P�).�� �����2B�4.����D_�Analyze�7tthe�results�of�1:��conjecture�something!�����
$��x�������=��������'�9��D(�Examples��'��'Notation:���Lev��qel�7t-�Isogen�y�Class�-�Dimension���i��넍���'��Vz�ff�޹�fb����͟���ff����������ff�������͟���ff��Ο�fb�A���[8N�s�(�f��P�)������o�s�dd�7tpart����j(�deg��(������f�����))���
e��B�(analytic�7trk�/��T�)��͟���ff�������͟���ff����������ff����ff�޹�����͟���ff��Ο�fb�305D7���cDN�3������2�����[�3������4����
e��61A1�(1)�JD�����ff�������͟���ff��Ο�fb�309D8���cDN�5������2�����[�5������4����
e��103A2�(�>����0)�.������ff�������͟���ff��Ο�fb�335E11���cDN�3������4�����[�3������8����
e��67B2�(�>����0)�9+1����ff�������͟���ff��Ο�fb�389E20���cDN�5������2�����[�5������2����
e��389A1�(2)�@�m����ff�������͟���ff���Ο�fb���F������^���F��������Y��F������
e���F����������ff�������͟���ff��Ο�fb�446F8���_M��11������2�����0��11������2��
7����359353������2����
e��446A1�(2)�@�m����ff�������͟���ff���Ο�fb���F������^���F��������Y��F������
e���F����������ff�������͟���ff��Ο�fb�1061D46���[W��151������2�����Â�61������2��
7����151������2�����179������2����
e��1061A2�(2)�6�����ff�������͟���ff���Ο�fb���F������^���F��������Y��F������
e���F����������ff�������͟���ff��Ο�fb�1091C62���cDN�7������2�������1���
e�in��qvisible!��(Agashe)��~����ff�������͟���ff���Ο�fb���F������^���F��������Y��F������
e���F����������ff�������͟���ff��Ο�fb�2849A1���cDN�3������4�������5������2��
7����61������2����
e��in��qvisible!��(Mazur)�����ff����ff�޹�����q3�z܍�����A305������V�=��������5�����61����������A309������V�=��������3�����103����������A335������V�=��������5�����67����������A446������V�=��������2�����223����������z2849������V�=��������7�����11����37�������*h���;�x��
�B�%n�G�
eufm10�,���@G�cmti12�*��N�cmbx12�$��uG�
cmex10�#!",�
cmsy10�"��g�cmmi12�!��g�G�cmmi12� !",�G�
cmsy10���N�ffcmbx12���N�G�cmbx12�D��tG�G�cmr17�߆�Tffcmtt12���g�ffcmmi12�D��t�qG�cmr17�X�Qffcmr12��hV1
wncyr10�X�Qcmr12�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10��O�

line10�2�������