Sharedwww / Tables / utrecht.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2000.06.26:1514������������]���b��5L�KtEo��lcmss8�Visible��Shafa��<revich-T���ate�groups��0��]�of��mo���dula��<r�ab�elian�va��<rieties�������K���cmsy8�����2�:��8r��#KtEo�
lcmss8�(Utrecht��Arithmetic�Geometry�W��l�o�rkshop)��:����KtEo�1lcmss8�William�KkA.�Stein����uM,T���#uesda��Oy�,�Kk27�June�2000����M���������%'�,�K�cmsy8�����
`��Thanks��fo��l�r�inviting�me!�����*�������]���߭���`	!�9�	
e�1lcmssb8�Mo�¥dula��=Zr�	�ab�elian�va��=Zrieties��:��`��Let�Kk��2�1cmmi8�f��=�����b���uG�
cmex10�P����a��}�$�2�
cmmi8�n��1��q���؟��y�n������K��1cmsy8�2���S����2��
�h�(����0���(�N�˹);��v�?��N��qcmbx12�C�)�b���e�a�newfo��Orm.����2%(�f��� �����q
msam10� �Kk�optimal�quotient��A�����f��f�of��J����0��
�h�(�N�˹)��.;��������􎎍��������|�����A����y��%�K��
cmsy8�_��I��f�����������������
������5D

xybsql10�������������������������5D

xyatip10�/��5D

xybtip10�/��������9&�fd����������������J����0��
�h�(�N�˹)��������������쵟 c%�����쵟#c%�����������#c%���fd�����������ԟ3���A�����f�������������X�X��`��Shafa��Orevich-T���#ate�Kkgroup�of��A�:��2�p���cD�B�hV1�q
wncyr10�BX��5�ι(�A�)��:=��k��Oer����((���O� ��5��H���b�����1��fʹ(�Q�;��vA�)��!�������Z�Y���7"��S��v���{�H���b�����1���(�Q��}�v��	���;��vA�)����O�!����0&w��`��Conjecture:�9�(Birch,�KkSwinnerton-Dy��Oer,�T���#ate)��)�1�����	�1.����&`��C��1lcmssi8�CF��Oo�rmula:��9�BX��#2ù(�A�����f��
���)�Kkis�nite�and��8�э�/b��L�(�A�����f��
���;��v�1)��=�����ꍑ%z
��z��A����;�2
��cmmi8�f���{ ����H��b�Q���6����p�j�N��6���c��}�p���M�
Ђ����<��-��#�A�����f���(�Q�)��H���#�A���$���_��I��f���@\�(�Q�)������6����H�#��BX��#��(�A�����f���)�:��&�(������	��2.����&`��CRank:���Order�	�of�vanishing�of��L�(�A�����f��
���;��vs�)�at�1����&`�equals�Kkrank�of��A�����f��
���(�Q�).�9(Regulato��Ors,�etc.)��������f�:KtEo
��lcmss8�1������������]������yJ��Mazur:�*ZVisualize��	��BX��!CN�!��1����`��Given�Kk�A��,��y��!��J�ާ�,�let��B��^�=��J���=���-A�.�9W��Oe�have:��&�6��������􎎍������=ٟ��0�����������x����/�/������L����9&�fd+�����������{�����A�(�Q�)������������������/�/��������!��9&�fd?-�����������������J�ާ�(�Q�)������������U�s���/�/������*J���9&�fd+�Ž��������X�s����B��D�(�Q�)���������������p���F�Q

xycirc10�E����â��D���������k��9&�fd���������p��B����â��C�����������CHi��G���F67��F�������MHi�8��fdDi�������CHi��@���F67��A����������d���&�|�-�-����������_�S�%����6δ

xydash10�Z���������Z�Y�%xZ���������Vl_�$j,Z���������Q�e�#��Z���������MHk�#�Z�������������g���4���H���b���y�1��fʹ(�Q�;��vA�)�������������f�-�O�/�/�������f�-���fd������������f�4���H���b���y�1��fʹ(�Q�;��vJ�ާ�)������������drџ-�O�/�/������=�t�-���fd&�]����������grџ2M����v��������������W���`��The�E��Cvisible�o��Or�eaceable�pa�rt��of��H���b���y�1��fʹ(�Q�;��vA�)�is��m֍�`�the��-image�of��B��D�(�Q�);���equivalently���#,��^the�k��Oernel�of����`��H���b���y�1��fʹ(�Q�;��vA�)�]"�!��H���b���y�1���(�Q�;��vJ�ާ�).���Visible,�
##in�+2the�sense����`�that�Kkto��Orso�r�is�b���er�over�p�oint�in��J�ާ�(�Q�).����`��Observation:�	�R�(Greenb���erg,�-|)���Any��c���2��H���b���y�1��fʹ(�Q�;��vA�),����`�is�Avisible�in��J����=���Res���*������K�1e=�@��N�G�cmbx12�@Q��Q�M�(�A��z��K�����),�WJwhere��K��Y�splits��c�.����`�P�ROOF�:�KkNatural�map�����:��A�,��y��!��J�
*�induces��&�6��>'[�H���b�����1��fʹ(�Q�;��vA�)����{O��
8Q�����<�K�
��cmsy8�������������������
~�!����(���H���b�����1���(�Q�;�J�ާ�)��=��H���b�����1��fʹ(�K�;E;�A�)��!�6��`�(b��Oy�KkShapiro's�Lemma),�so����}���	PE�(�c�)��=�0�:����`��Conrad:�ӸAb���elian�-�va��Orieties�over�innite�elds����`�emb���ed�Kkin�Jacobians.����`��Mazur's�	�query:�9�Is��Kk�BX�� n��(�A����y��_��I��f���@\�)�Kkvisible�in��J����0��
�h�(�N�˹)?��������f�2������������]����kz��{��The�	�data�(�N�>��p��=Zrime)��:��`��Assume�
�3BSD.�There�a��Ore�38�rank�zero��A����y��_��I��f���폹of����`�p��Orime���level���?ƹ2161�with�nontrivial�o���dd�pa�rt�of�����`��BX���.�.�9Of�Kkthese,�22�have�all�this���BX��(�`�visible.�E.g.,����y�����N�����C�:�A�����f����u֐�dim��������)��铠�q����q��铠���N/���������q��#��BX��#��=�2����y�?������"�7�notes���!���������[����
�389���Z�-�20����5������
�433���Z�-�16����7������
�563���Z�-�31����13������
�571���a/��2����3������
�709���Z�-�30����11������
�997���Z�-�42����9������
�1061���Z�-�46����151������
�1091���Z�-�62����7����@inv������
�1171���Z�-�53����11������
�1283���Z�-�62����5����@inv������
�1429���Z�-�53����5����@inv������
�1481���Z�-�62����14����@inv�������
���v������YNt��v���������v��������
�2111���T���112����211����@inv,�Kknot�eisen������
�2333���T���101����83341������������f�3����� �������]������v���Criterion�	�fo��=Zr�visibilit�y��1L���`�Theo��=Zrem��u1.�*l(|)����CLet��A;��vB��K��
��J�
l�Cs.t.�F�(�A����\��R���`��B��D�)(�C�)�
�
�Cand��A�(�Q�)��Cnite.��Assume��B��Q�Chas�to��Oric����`�reduction��at�each��`���j��N��z��J�����C.�
L�Let���p��Cb���e�an�o�dd�p��Orime����`�(o��Or�	.�p�rinciple�p�rime�ideal)�not�dividing��N��z��J�����C,�	g�the����`�o��Orders��8of�comp.�grps.�of��A��Cand��B��D�C,�6v�(�J���=B��)(�Q�)��}�to��&r���z�C,����`��B��D�(�Q�)��}�to��&r���z�C,�Kkand��B��[�p�]�����A�C.�9Then��&P���nn��B��D�(�Q�)�=pB��(�Q�)������BX����(�A�)�����vis�����:���yO���`��P�ROOF��vSKETCH�:�[�Since��B��D�[�p�]��<���A����\��B��,�_��B���!��<�C�	�׹fac-����`�to��Ors�Kkthrough��p�:��&P���������􎎍��������!��&�B������������d͟�&���������1���&�fd�����������l����$�p�������������
�y���/�/��������z��9&�fd����������
�y��&�B�����������T%��&�������� ��&�fd����������;�-1`�0������������[�&�X�/�/�������\�&ӊ�fd�����������[�-m��A�����������ݮ��&�X�/�/��������"�&ӊ�fd�u��������஗�-m��J�������������&�X�/�/��������&ӊ�fd�����������-m��C�����������9�џ&�X�/�/������!�ȟ&ӊ�fd:	���������<�џ-1`�0�:������������H>���`��Key�	�diagram:����������􎎍�����������0�����������S�-���/�/������V)��9&�fd5N���������V�-����B��D�(�Q�)������������������f���$�p���������������*���/�/�������t%��9&�fd5N������q�)�!^���������qX��!^���wfd�����������*����B��D�(�Q�)�����������������{����������������:,X� p�(�(����������5���,m�Q���������1,�LUQ���������,���l=Q���������(T��%Q���������#�[��
Q���������}ǟ��Q���������3���Q�������������Q���������;�+�Q���������
�w�
K�Q���������	c�k}Q����������O�	�eQ�������������MQ�����������"���/�/�������"��9&�fd�������&�!����������v�!���fd����������"�#d�B��D�(�Q�)�=pB��(�Q�)�������������k ���/�/�������k!��9&�fd��������[��� p��������[�o� p�fd���������k ����0���������������5?0�����������6V(�.v7�/�/������V)�.�i�fd�����������9V(�3���J�ާ�(�Q�)�=���-A�(�Q�)��������������4�.v7�/�/��������*�.�i�fd:
�����������4�3���C�h�(�Q�)������������芟.v7�/�/������X�.�i�fd�r���������"芟5�L�H���b���y�1��fʹ(�Q�;��vA�)����y�vis��������������k �.v7�/�/���������.�i�fdVg���������k �5?�0�����������Vꍐ`�Snak��Oe��&lemma�implies��B��D�(�Q�)�=pB��(�Q�)��&injects�into��R���`��H���b���y�1��fʹ(�Q�;��vA�)����y�vis��FD�.�gWUse�h�subtle�exactness�p��Orop���erties����`�of�KkN��O��?�eron�mo���dels�to�get�into���BX�� n��(�A�)����y�vis��FD�.��������f�4�����C�������]������i�Visibilit��=Zy�	�at�higher�level��1����`��Theo��Orem�	��1�can�b���e�rened:�
zacondition�that��p����"����q
msbm10�-��qe��`��geometric�Kkcomp���onent�group�of��B�	F��replaced�b��Oy��&�q��F���p���-�������Z�Y���?���
P��`���{�#�����B��f;`���ι(�F�����`���Z�)��H���#�H���b�����1��fʹ(�F�����`���;��v������B��f;`���ι)�:��I!��`��A�
=�while�
>&ago,�
��Cremona�and�Mazur�discovered����`�three���elliptic�curves,����2849A�,��4343B�,��5389A�,����`�in�Kkwhich�BSD�p��Oredicts�o���dd�invisible���BX�� n��.�����;yx�����Tʍ��#B��A�����f��������g��铠�q���x_��铠���N/��������x_��#��BX��#��=�2����y�?������ڏ:�b���ecomes�Kkvisible���`�����������
�2849A����:g�3����.�8547��=�3��H���2849��=�3��H���7����11����37������
�5389A����:g�3����.�37723��=�7��H���5389��=�7��H���17����317��������㡍��
�1429B����:g�5����.�2858��=�2��H���1429�Kk(dim��B��^�=��2)������W����`�No��Ow��Mw�e�kno�w��Cunconditionally��that�there�is�o���dd����`�visible��Kk�BX�� n��!����`��Conjecture:��D�Let�
�q�c�	J:�2���BX��!mĹ(�A����y��_��I��f���@\�)[�p�].�JJThen�there����`�exists���an�integer��M�
ﴹsuch�that����}���	PE�(�c�)�
�:=�0���fo��Or����`���
�9�:��A����y��_��I��f�����!��J����0��
�h�(�N��M��)�ќone�of�the�natural�maps.����`�(Require�Kk�p���-���deg��)љ(��).)��������f�5�������������]���h��1���Evidence�	�fo��=Zr�the�BSD�conjecture��:��`��In���the�eventually�visible�examples�ab���ove,��Xw��Oe����`�have��"�Cunconditionally�p��Oroved��that�up�to�a�2-����`�p���o��Ow�er��Kk�BX�� n��(�A�����f��
���)�Kkis�as�big�as�BSD�p��Oredicts.����`�V��Oanishing�\of��L�(�B��D;��v�1)�usually�fo�rces�vanishing�of����`��L�(�A�����f��
���;��v�1)�	��mo���dulo��p�,�	�2so�w��Oe�a�re�very�unlik�ely�to����`�observe�
�that���BX��"<_�(�A�����f��
���)�is�bigger�than�BSD�
_p��Ore-����`�dicts.��������f�6�����%��������]������J���Query:�*ZConstructing�	�p�¥oints?��1���`�Ha��=Zrd�
�op�¥en�p�roblem:����CSupp���ose��F�L�(�E��;��v�1)��Cand��yݍ�`��L����y�0��G��(�E��;��v�1)�Kk�Cvanish.�9Sho��Ow��E��(�Q�)��Cis�innite.����`��F��Oo�rmulate��visible�analogue�of�BSD��conjecture.����`�Deduce�	��the�existence�of�nontrivial�visible�ele-����`�ments��of���BX��=|�(�A�����f��
���)�in�new�w��Oa�y���#,��>and��conclude�that����`�the�d�rank�of��E����is��>���0�without�computing�p���oints����`�on�Kk�E�ƹ.����`��CT���#est���question:�	�R�Prove�that�the�rst�elliptic�curve����`�of�
�Drank��>�	,:�1�has�rank��>��1��Cwithout��explicitely����`�nding�`�any�p���oints.�
��This�is�the�curve��E�~w�lab�eled����`��389A�.����`�Strategy:�#tLet�
Չ�A��b���e��389E�,�so��E�ƹ[5]�	y���A�#��\��E��.����`�Use�	�m\Euler�system�of�Heegner�p���oints"�to�de-����`�duce�
�-that�5�divides�ca��Ordinalit�y�
�-of��Cvisible�pa��Ort����`��of���Q�BX��%۹(�A�),�
�then��Quse�the�k��Oey�diagram�to�de-����`�duce�zpthat��E�ƹ(�Q�)�=�5�E��(�Q�)�zpis�nontrivial�(assume����`��E�ƹ(�Q�)��=�0�	�and�use�the�snak��Oe�lemma�to�derive����`�a�Kkcontradiction).��������f�7�����'����;���`��C��1lcmssi8�B�hV1�q
wncyr10�@��N�G�cmbx12�?��N��qcmbx12�<�K�
��cmsy8�;�2
��cmmi8�:KtEo
��lcmss8�9�	
e�1lcmssb8�,�K�cmsy8�%�K��
cmsy8�$�2�
cmmi8�#KtEo�
lcmss8�"����q
msbm10� �����q
msam10���uG�
cmex10��K��1cmsy8��K���cmsy8��2�1cmmi8�KtEo��lcmss8�F�Q

xycirc10��5D

xybsql10��5D

xybtip10��5D

xyatip10��6δ

xydash10�KtEo�1lcmss8�,������