Sharedwww / Tables / twist.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2002.07.16:1815������ufv�������6fv����Y><��-�ff
cmcsc10�The�p�First�Newf��orm�on��X�Qffcmr12���(��K�`y

cmr10�0����(���g�ffcmmi12�N���)��such�tha��
<t����}=����N�ffcmbx12�Q�(�a��(��
�b>

cmmi10�n�����)����!",�ff
cmsy10�6�=��Q�(��:�fd:�:���!;�fda��(��m��	G��;��:�:�:���)�p��f��or�all��n��lύ�������K�X�Qcmr12�William��A.�Stein�������ύ����July��16,�2002��%�O�������"V

cmbx10�Abstract��}���``�W��*�e�Q�compute�the�minim���um��N�hDzsuc�h�that�there�is�a�newform��f�7�=�����Q`������u

cmex10�P��]��a����	0e�rcmmi7�n��q~�q��[ٟ�^��n���o�
!",�

cmsy10�2���S����ٓ�Rcmr7�2��|s�(����0���(�N��))�8�with�the�o�Gdd�prop�ert���y�that��Q�(�a����n��q~�)���6�=��Q�(��:���:�:��
UO;���a����m�����;��:�:�:���)����Q`for�UUall��n�.����^��1����";���6�1��NL�The�ffNewform��q���6�K�`y
�3
cmr10�Using�imo�M�dular�sym��!b�ols,� �w�e�icomputed�the�rst�few�terms�of�eac��!h�newform��
����6�/�b>
�3
cmmi10�f�8c�=��
���ɖ�1��u
�3
cmex10�P��l��a���z��2cmmi8�n���P�q��d�����n��հ�on����S���z�|{Ycmr8�2����(���z�0���(�N�1��))�for��N�<F�0!",�
�3
cmsy10��
��512.��F��eor�eac��!h�newform�of�lev�el��<�
��512,��w�e����6found�RKthat�there�exists�an�in��!teger��n��suc�h�that�the�eld��K��Ȯ�f���ƹ=�
��2�"V
�3
cmbx10�Q�(��:��1:�:����;��1a���z�m����;��:�:�:���)����6generated��b��!y�all�F��eourier�co�M�ecien�ts�of��f�E��equals�the�eld��Q�(�a���z�n���P�)�generated�b�y����6a��fsingle�co�M�ecien��!t.���This�lead�me�to�susp�ect�that�w��!e�alw�a�ys�ha�v�e�equalit�y��e.����GW��ee��edo�not�alw��!a�ys��eha�v�e�equalit�y��e.���The�c�haracteristic�p�M�olynomial�of��T���z�3��Ki�on����6�S���������new���S�2����g�(���z�0����(512))���is�(�x�����2������%��6)�����2���(�x�����2����%��2)�����4���(�x�����2���+�%�4�x��+�2)(�x�����2�������4�x��+�2)�;����and�if�w��!e����6let����f�8c�=��
���ɖ�P��l��a���z�n���P�q��d�����n��	�ʹb�M�e�one�of�the�newforms�in�the�four-dimensional�k��!ernel��V�ֹof����6�T�������V�2���S�3����F��n�6,��fthen�����<�$�f�8c�=�
��q������n��hIp������hI�p y��	����6������q��d���z��3�����+�n�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����3�������q��d���z��5���+�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������q��d���z��7���+�3�q��d���z��9��������hIp������hI�p y��	����6������q��d���z��11��Ӈ���2����hI�p���	 ��hI�p y��	����3�������q��d���z��13�����6����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������q��d���z��15���+�����1������6�pro��!vides��fan�example�in�whic�h��K��Ȯ�f�����6�=�
��Q�(�a���z�n���P�)�for�some��n�.��
����GW��ee��fwill�use�the�follo��!wing�theorem�(see�[�1��y�,�Prop.�3.64]):��Lڍ�6�Theorem��1.1�(Shim��tura).����3�':
�3
cmti10�L��p�et�ij�N���;��1r��";�s;�k�b�>�
��0��b��p�e�inte�gers�such�that��s�j�N��R�and����6let��7�M�/��b��p�e�the�le�ast�c�ommon�multiple�of��N�1��,�
�r��Mޟ���2��
��,�and��7�r�M�s�.�C]L�et����(r�esp.�C]�	�)�b�e�a����6primitive���char��p�acter�mo�d��r�8��(r�esp.�	v�s�).�If����f�8c�=��
���ɖ�P��l��a���z�n���P�q��d�����n��	��2�
��S��Ȯ�k��#��(���z�0����(�N�1��)�;��1�	)��then��y�������)̟����X��������(�n�)�a���z�n���P�q��d���z��n��	��2�
��S��Ȯ�k��#��(���z�0����(�M�1��)�;��1�	����z��2���)�:��6����ff��p�
L͍����{���-=��Aa�cmr6�1�����a�*o���		cmr9�Henri�/�Cohen�told�me�that�he�disco��9v�ed�/�this�example�man��9y�y�ears�ago,�6:and�Elkies�\ex-���plained"�b�it�to�him.��This�example�is�not�in�the�literature,�u�and�I�bnfound�it�indep�A�eden��9tly�of���Cohen�Tand�Elkies.������C3�1����*�ufv�������6fv���홊��6�Lemma�8�1.2.���Supp��p�ose���n�^���6��and�let��"��b��p�e�a�primitive�Dirichlet�char�acter�of��
����6c��p�onductor���dividing��8�.�	vThen�the�map��f�8c�7!�
��f����
�n��"��pr�eserves��S��Ȯ�k��#��(���z�0����(2�����n���P�))�.��������6Pr��p�o�of.���XON�Set��f�r�X��=�
�8�in�Theorem�1.1,�and�note�that��"�����2��ʫ�=�1.���W�DŽd,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������GIt�.�is�clear�from�the��q�d��-expansion�of��f�\P�that��Q�(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2�������;����1���"�p���
�2���"�p y��	ލ�3����l�)�����K��Ȯ�f��w�.�vhThe�.�new-����6form���f��۹and�its�companions�lie�inside�of�the�k��!ernel��V�7�of��T�������V�2���S�3��������h�6.�C	A��mo�M�dular����6sym��!b�M�ols���computation�sho�ws�that�this�k�ernel�has�dimension�4,��whic�h�pro�v�es����6that��f�K��Ȯ�f���ƹ=�
��Q�(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2�������;����1���"�p���
�2���"�p y��	ލ�3����l�).����6�Prop�Y�osition�2�1.3.��Ther��p�e���is�no�inte�ger��n��such�that��K��Ȯ�f�����6�=�
��Q�(�a���z�n���P�)�.������6Pr��p�o�of.���XON�Let��s���b�M�e�a�c��!haracter�of�conductor�dividing�8.�By�Lemma�1.2,��v�f����
�v������6�lies��*in��S���z�2����(���z�0���(512)).���W��ee��*c��!hec�k�computationally�that��f�l/�
�>s���is�one�of�the�four����6Galois-conjugates��iof��f�-��,��and�that�eac��!h�conjugate�is�of�the�form��f�cT�
�5����for����6some�����.��ELet��n��>��2���b�M�e�a�p�ositiv��!e�in�teger�and�let���q�b�M�e�an�automorphism.����6Then��kw��!e�ha�v�e�just�sho�w�ed�that���d��(�a���z�n���P�)�
�=���(�n�)�a���z�n��
���for��ksome�c�haracter����of����6order��at�most�2,�oZso���(�n�)�k��2�f�1�g�.�	&�Th��!us��the�action�of��Gal��/�(���,R�p 	u��Ӯ��Q���	u��=�Q�)�on��a���z�n�����6�factors��fthrough��f�1�g�,�so��Q�(�a���z�n���P�)�has�degree�at�most�2.���^z��d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff���� v��6�Ac��tkno�wledgmen�t:��7�It��is�a�pleasure�to�thank�Kevin�Buzzard�and�Ken�Rib�M�et����6for��fhelpful�commen��!ts.��"�A��6�References��q�����6�[1]���{�G.��Shim��!ura,�0'�Intr��p�o�duction�PMto�the�A��\rithmetic�The��p�ory�of�A�uto-����{�morphic���F��)unctions�,��fPrinceton�Univ��!ersit�y��fPress,�(1994).������C32����0���;�ufv��3�':
�3
cmti10�2�"V
�3
cmbx10�1��u
�3
cmex10�0!",�
�3
cmsy10�/�b>
�3
cmmi10�*o���		cmr9��2cmmi8��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12��"V

cmbx10���N�ffcmbx12�!",�ff
cmsy10���g�ffcmmi12��-�ff
cmcsc10�X�Qffcmr12�K�`y
�3
cmr10�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���u

cmex10�v������