Sharedwww / Tables / shacomp.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2000.11.14:0417������������a����P�������4{���-�G�
cmcsc10�Visibility��&of�Shaf��v�arevich-T��|�a���te�gr���oups�of����4��modular��&abelian�v��v�arieties�and�the�Bir���ch����U�Aand��&Swinner���ton-D��~�yer�conjecture����������r�X�Qcmr12�Amo�S�d��Agashe�����2� �K�cmsy8��������������$�William��A.�Stein������������UNo��rv�em�b�S�er��14,�2000��.���!K�/t�:		cmbx9�Abstract���э�P-�.o���		cmr9�W��:�e��agiv��9e�examples�of�ab�A�elian�sub�v��|rarieties�of��05��"		cmmi9�J������Aa�cmr6�0��*��(�N����)�that�ha�v�e�non�trivial�visi-����BMble��Shafarevic��9h-T��:�ate�groups.���These�examples�pro�vide�evidence�for�the�Birc�h�and����BMSwinnerton-Dy��9er���conjecture,���and�the�metho�A�ds�used�to�compute�them�ma�y�lead�to����BMnew�>�connections�b�A�et��9w�een�>�this�conjecture�and�the�theory�of�congruences�b�et��9w�een����BMmo�A�dular�Tforms.��!č��)M�6��N�ffcmbx12�1��A��In���tro�s3duction�����)M�K�`y

cmr10�Let�|��
�b>

cmmi10�N����b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger�and�let��J����ٓ�Rcmr7�0��|s�(�N��)�b�Ge�the�Jacobian�of�the�mo�dular�curv���e��X����0��|s�(�N��)����)M(see,�Ye.g.,�[�5��]).�z�Let�XI�A��b�Ge�an�ab�elian�sub���v��q�ariet�y�XIof��J����0��|s�(�N��).�z�Then�the�inclusion��A��,��UX�
!",�

cmsy10�!��J����0���(�N��)����)Minduces�/:a�map�on�Galois�cohomology��H������^��1��Lq�(�<�"V

cmbx10�Q�;���A�)�2>�!��H������^��1���(�Q�;���J����0��|s�(�N��)),�e�whic���h�/:restricts�to�a����)Mmap��,���hV1

wncyr10�X���N�(�A�)���!���X��j��(�J����0��|s�(�N��)).�dCF��*�ollo���wing�,�[�4��],�4�w�e�call�an�elemen�t��c���2���X��j��(�A�)��?�':

cmti10�visible��in��J����0��|s�(�N��)�if����)Mit�~7lies�in�the�k���ernel�of�this�map.��nWhen��c��is�visible�the�torsor�attac�hed�to��c��is�realized�as����)Ma�UUsub���v��q�ariet�y�of��J����0��|s�(�N��);�it�is�a�b�Ger�of�the�quotien�t�map��J����0��|s�(�N��)���!��J����0���(�N��)�=��q�A:����8M�In�b�[�4��],��Cremona�and�Mazur�ask�the�follo���wing�question:���If��E�����"�J����0��|s�(�N��)�is�a�elliptic����)Mcurv���e,�ENho�w�Om�uc�h�of���X���ղ(�E����)�is�visible�in�an�ab�Gelian�surface��B����that�is�itself�a�sub�v��q�ariet�y����)Mof��ϵJ����0��|s�(�N��)?�CEAmong�the�52�examples�of�o�Gdd�non���trivial���X��7$�that�they�consider,��巹X��S�is�in�visible����)Min�o�at�least�8�cases.��RHo���w�ev�er,�vzthey�o�w�arn�that�the�elliptic�curv�es�they�consider�ha�v�e�small����)Mconductor,�YUand�%Uthe�general�situation�is�probably�m���uc�h�%Udieren�t.���Standard�conjectures����)Mimply�=�that�when��`��is�sucien���tly�large,�BOelemen�ts�of�order��`��in���X����(�E����)�can�not�b�Ge�visible�in����)Man�:ab�Gelian�surface;�Cit�is�th���us�essen�tial�to�consider�visibilit�y�in�higher�dimensional�ab�Gelian����)Mv��q�arieties.����8MW��*�e��Ugeneralize�the�exp�Gerimen���t�of�Cremona�and�Mazur�b�y�remo�ving�the�constrain�t�that����)Monly���elliptic�curv���es�b�Ge�considered.�B�The�n�um�b�Gers�b�ecome�large�at�m���uc�h���smaller�conductor,����)Mand�UUthe�prop�Gortion�of���X��N0�that�is�visible�declines�accordingly��*�.����8MIn�8�Section�2�w���e�giv�e�a�general�denition�of�visibilit�y��*�,�q�whic�h�is�motiv��q�ated�b�y�a�restriction-����)Mof-scalars�4�construction�of�torsors.�f�Then�w���e�pro�v�e�a�theorem�that�giv�es�a�criterion�for�the����)Mexistence��of�non���trivial�visible�elemen�ts�of�Shafarevic�h-T��*�ate�groups.�}Section�3�describ�Ges����)Mthe��Talgorithms�w���e�use�to�en�umerate�mo�Gdular�ab�elian�v��q�arieties,��compute�conjectural�or-����)Mders��eof�their�Shafarevic���h-T��*�ate�groups,��and�v�erify�the�visibilit�y�criterion�of�Section�2�when����)Mp�Gossible.�p�Section�R�4�presen���ts�the�results�of�extensiv�e�n�umerical�in�v�estigations.�p�It�pro�vides����)Mthe�UUimp�Getus�for�the�conjectures�w���e�mak�e�and�questions�w�e�ask�in�Section�5.��)M�ff�ff����	@����
����-:�!q�%cmsy6����L��|{Ycmr8�W��J�arning:�� Agashe��Xhas�not�y�Îet�read�this�draft�of�our�preprin�t.�������1����*�������a����P�������8M�Ac��9kno�wledgmen�t.�>Z�It���is�a�pleasure�to�thank�B.�Mazur�for�his�lectures�and�con-����)Mv���ersations�)ab�Gout�visibilit�y��*�,�/�K.�Rib�Get�for�explaining�congruences�to�us,�and�R.�Coleman����)Mfor���helping�us�to�understand�comp�Gonen���t�groups.�^PThe�authors�w�ould�also�lik�e�to�thank����)MB.�+Conrad,��J.�Ellen���b�Gerg,�R.�Green���b�Gerg,�D.�Gross,�L.�Merel,�B.�P���o�Gonen,�and�R.�T��*�a���ylor�for����)Mman���y�UUhelpful�discussions.��!č��)M�2��A��Visible�ffcohomology�classes�����)M�In�_�Section�2.1�w���e�dene�the�notion�of�visibilit�y�and�observ�e�that�ev�ery�cohomology�class����)Marises��from�a�torsor�that�can�b�Ge�constructed�geometrically�inside�of�an�appropriate�re-����)Mstriction�s�of�scalars,�{�then�w���e�dene�visible�cohomology�classes.��vSection�2.2,�whic���h�should����)Mp�Gerhaps��Ib�e�omitted�from�a�rst�reading,��giv���es�a�criterion�for�the�existence�of�visible����)Melemen���ts�UUof�Shafarevic�h-T��*�ate�groups.���6���)M�@��N�cmbx12�@2.1��H
Geometric��realization�of�torsors��uT��)M�Let�UU�A��b�Ge�an�ab�elian�v��q�ariet���y�o�v�er�a�eld��K���.�q�The�follo�wing�denition�is�due�to�Mazur.����)M�Denition��2.1�(Visible).�0��Let�o
����:��A�,��UX�!��J�eC�b�Ge�an�em���b�edding�of��A��in���to�an�ab�elian�v��q�ariet���y��J��9�.����)MThen�UUthe��visible���p��}'art�of��H������^��1��Lq�(�K�(�;���A�)��with�r�esp�e�ct�to�the�emb�e�dding���UU�is������n�Vis�����ڟ��	0e�rcmmi7�J���=��(�H���������1��Lq�(�K�(�;���A�))��=��Ker���(�H���������1���(�K�(�;���A�)��!��H���������1���(�K�(�;���J��9�))�:����8M�The��Galois�cohomology�group��H������^��1��Lq�(�K�(�;���A�)�has�a�geometric�in���terpretation�as�the�group����)Mof��2classes�of�torsors��X�r�for��A��(see�[�13��
]).�m^T��*�o�a�cohomology�class��c�Rݸ2��H������^��1��Lq�(�K�(�;���A�),��)there��2is�a����)Mcorresp�Gonding�rrv��q�ariet���y��X�;T�o�v�er��K�)��and�a�map��A�LI���X���!����X�;T�that�rrsatises�axioms�similar�to����)Mthose��Wfor�a�simply�transitiv���e�group�action.�:�Supp�Gose���6Ų:��A��!��J����is��Wan�em�b�Gedding�and��c�6Ÿ2�����)M�Vis���7����J��=��(�H������^��1��Lq�(�K�(�;���A�)).�VW��*�e���ha���v�e�an�exact�sequence�of�ab�Gelian�v��q�arieties�0�!g�!��A��!��J���!��B��ظ!��0.����)MA�UUpiece�of�the�asso�Gciated�long�exact�sequence�of�Galois�cohomology�is�����s����������!���J��9�(�K���)��!��B��q�(�K��)��!��H���������1��Lq�(�K�(�;���A�)��!��H���������1���(�K�(�;���J��9�)��!��������;����)M�so,��db�Gecause��ǵ����O!�cmsy7�����(�c�)�C,=�0,�there���is�a�p�Goin���t��x�C,�2��B��q�(�K���)���that�maps�to��c�C,�2��H������^��1��Lq�(�K�(�;���A�).�QThen���the����)Mb�Ger��X�X�}:�o���v�er��x��is�a�sub�v��q�ariet�y�of��J��9�,��whic�h,�when��Xequipp�Ged�with�its�natural�action�of��A�,����)Mlies�UUin�the�class�of�torsors�corresp�Gonding�to��c�.����)M�Prop�Q�osition��T2.2.��Every���element�of��H������^��1��Lq�(�K�(�;���A�)��is�visible�in�some�ab��}'elian�variety��J��9�.������)MPr��}'o�of.���H�M�Fix�!յc��2��H������^��1��Lq�(�K�(�;���A�).��HThere�is�a�nite�extension��L��of��K���suc���h�that��res���p���L��l��(�c�)�=�0��2����)M�H������^��1��Lq�(�L;���A�).�LLet��,�J��a�=���(Res���p(��:�L=K��$�3�(�A����L���t�)�b�Ge�the�restriction�of�scalars�do���wn�to��K��H�of�the�ab�elian����)Mv��q�ariet���y��ƵA�,��Iwhic�h�w�e�view�as�an�ab�Gelian�v��q�ariet�y�o�v�er��L��(see�[�2��,��I�x�7.6]).�J�Th�us��J����is�an�ab�Gelian����)Mv��q�ariet���y��o�v�er��K�s+�of�dimension�[�L�rN�:��K���]�}\����dim��(
(�A�),�վand�for�an���y�sc�heme��S�O��o�v�er��K���,�վw�e�ha�v�e�a����)Mnatural�g�bijection��J��9�(�S����)�����A����L���t�(�S����L���).�"�In�g�particular,��J�J��(�A�)��=��A����L���t�(�A����L���),��Jand�g�there�is�an�injection����)M����:��A�,��UX�!��J�Hv�attac���hed�R=to��id��������A��m�O
�\cmmi5�L���9\�2���A����L���t�(�A����L���).�p�Using�R=the�Shapiro�lemma,�R�one�nds�that�there�is����)Ma�UUcanonical�isomorphism��H������^��1��Lq�(�L;���A�)����T͍�������+3�����=�����
UN�H������^��1���(�K�(�;�J��9�)�UUand�that����������(�c�)��=�0��2��H������^��1��Lq�(�K�(�;�J��9�).���"�؄�ff����d�ff�Y��ff����ff������)M�R��}'emark�c�2.3�.���In�[�4��],��J.�de�Jong�giv���es�a�sophisticated�pro�Gof�of�the�ab�o���v�e�prop�osition�in�the����)Msp�Gecial�UUcase�when��A��is�an�elliptic�curv���e.�q�His�pro�of�in���v�olv�es�UUAzuma�y�a�algebras.���6���)M�@2.2��H
Visible��elemen��ts�of�Shafarevic�h-T���ate�groups��uT��)M�The���Shafarevic���h-T��*�ate�group�of�an�ab�Gelian�v��q�ariet�y�o�v�er�a�n�um�b�Ger�eld�measures�the�failure����)Mof�UUthe�lo�Gcal-to-global�principle�for�its�torsors.������2������������a����P�������)M�Denition��2.4�(Shafarevic��9h-T��
�ate�group).�\�Let�p��A��b�Ge�an�ab�elian�v��q�ariet���y�o�v�er��Q�.�ÓThe����)M�Shafar��}'evich-T��;�ate���gr�oup�UU�of��A��is��qЍ����Z�X�����(�A�)��=��Ker�����P���\���u

cmex10� ����H���������1��Lq�(�Q�;���A�)��!��������Y������
��v���8޵H���������1���(�Q����v���N�;���A�)����\�!�����U�;��qэ�)M�where�UUthe�pro�Gduct�is�o���v�er�UUall�places�of��Q�.����8MIf�UU����:��A�,��UX�!��J�K��is�an�em���b�Gedding,�then�the�visible�part�of���X���۲(�A�)�is�����\�.Vis���j����J��pbò(��X�����(�A�))��=���X��j��(�A�)�8�\���Vis���qş��J��u�(�H���������1��Lq�(�Q�;���A�))��=��Ker���(��X���(�A�)��!���X��j��(�J��9�))�:����)M�W��*�e��use�the�follo���wing�theorem�to�pro�Gduce�examples�of�visible�elemen�ts�of�Shafarevic�h-T��*�ate����)Mgroups.����)M�Theorem��02.5.����L��}'et�cʵA��and��B��;�b�e�ab�elian�subvarieties�of�an�ab�elian�variety��J�Z�such�that����)M�A�ŕ�\��B�ֆ�is�Vnite�and��A�(�Q�)��is�nite.��!L��}'et��N�m0�b�e�an�inte�ger�divisible�by�the�primes�of�b�ad����)Mr��}'e�duction��|for��J��9�.�bTAssume�that��B���has�pur��}'ely�toric�r�e�duction�at�e�ach�prime�dividing��N��.����)MSupp��}'ose���p��is�a�prime�such�that��qˍ�a��p���:���

msbm10�-��2�N�O���8�#(�J�h=B��q�)(�Q�)����tor���U���#�B��(�Q�)����tor���U�����<�����Y���j����`�j�N�����#����A;`��<v�(����_�fe<o����F����<o���`��U�)����#����B�W=;`����(�F����`����)�:��!����)M�Supp��}'ose���furthermor�e�that��B��q�[�p�]�����A�8�\��B��.���Then������B��q�(�Q�)�=pB��(�Q�)���,��UX�!���Vis��������J�����(��X�����(�A�))�:����8M�The�+�pro�Gof�pro�ceeds�in�four�steps.��First�the�torsion�and��p�-congruence�h���yp�othesis�is����)Mused�\�to�pro�Gduce�an�injection��B��q�(�Q�)�=pB��(�Q�)��c�,��UX�!���Vis���H���J�����(�H������^��1��Lq�(�Q�;���A�)).���Next�\�w���e�p�erform�a�lo�cal����)Manalysis�çat�eac���h�place��v���of��Q�,���whic�h�pro�Gceeds�in�three�steps.�A8A�t�places��v���of�bad�reduction,����)Mw���e��~use�the�Mumford-T��*�ate�uniformization;��at�o�Gdd�primes�of�go�o�d�reduction�w���e�apply�an����)Mexactness�͇theorem�ab�Gout�N�����Geron�mo�dels;�	�when�2�is�a�place�of�bad�reduction,��w���e�mo�dify����)Mthe�UUsituation�b���y�a�2-isogen�y�and�apply�another�exactness�theorem.������)M�Pr��}'o�of.���H�M�The��quotien���t��J�h=��q�A��is�an�ab�Gelian�v�ariet���y��C���.�The�long�exact�sequence�of�Galois����)Mcohomology�UUasso�Gciated�to�the�short�exact�sequence�����tS0���!��A��!��J��Q�!��C�~4�!��0����)Mb�Gegins��yj��~.0���!��A�(�Q�)��!��J��9�(�Q�)��!��C���(�Q�)����T΍�������2�����������k!�������H���������1��Lq�(�Q�;���A�)��!��������:����)M�Let�����b�Ge�map��B�I��!���C���,��whic���h�is�obtained�b�y�comp�Gosing�the�inclusion��B�I�,��UX�!���J��V�with�the����)Mquotien���t�%�map��J��Q�!���C���.�a�Since��B��q�[�p�]����A�,�/mw���e�see�that����factors�through�m�ultiplication�b�y��p�.����)MW��*�e�UUth���us�obtain�the�follo�wing�comm�utativ�e�diagram:���ƍ������������������*�ꪵB������������5(����5D

xycmat10���5D

xycmbt10����������ꪄfd������������y��#��p�������������	@����/�/�������@E���2�fd����������@�ꪵB�����������K�꪿��������ꪄfd�����������%���A�������������E�"UT�/�/�������*
�"���fd�8����������E�%���J�����������@D�"UT�/�/�������v�"���fd�8���������@D�%���C�(�:�����������������3����$��������a����P�������)M�Using�>that��B��q�(�Q�)[�p�]��=�0,�&�w���e�>obtain�the�follo�wing�diagram,�&�all�of�whose�ro�ws�and�columns����)Mare�UUexact:��è��������������������=W�*��K����0�����������������������������{����fd����������"9�*��K����1�������������柏������������l]����fd���������'猞*��K����2�������������.d�����������.1�����fd��������f<�'㌲0������������z<�$���/�/������n=�$�ۄfd%c�����������z<�'*��B��q�(�Q�)����������������u� N8�p��������������_�$���/�/���������$�ۄfd%d����������D������������{�D���fd����������_�'*��B��q�(�Q�)�����������������5���������������� �D���&�&�����������B�B<���6δ

xydash10�M���������c��?�M���������8�=q|M���������ȳ�;�M���������
{.�8�fM���������-��[email protected]�M����������$�3�PM�������������1u�M����������E�/:M�������������,��M����������
��$���/�/���������$�ۄfd������柏�D�����������l]�D���fd�����������'*��B��q�(�Q�)�=pB��(�Q�)������������f�ğ$���/�/������N�ş$�ۄfd��������.d�D����������.1��D���fd��������i�ğ'㌲0�������������f<�O�0������������<�L���/�/������n=�L�ۄfd������������<�O*��J��9�(�Q�)�=��q�A�(�Q�)�������������{՟L���/�/�������_�L�ۄfd�����������l������������{�l���fd����������{՟O*��C���(�Q�)�������������D�L���/�/��������J�L�ۄfd#0�����������D�O*���`�(�C���(�Q�))������������f�ğL���/�/������CՁ�L�ۄfd#C��������i�ğO㌲0����������������ɟv��K����3��|s�;�������������'2��)M�where�޽�K����0��|s�,��K����1��[0�and��K����2���are�the�indicated�k���ernels�and��K����3���is�the�indicated�cok���ernel.�The����)Msnak���e�UUlemma�giv�es�an�exact�sequence������еK����0��C��!���K����1���!��K����2���!��K����3��|s�:����)M�Because��'�B�֒�!�V!�C�bC�is�an�isogen���y��*�,����K����1��Ҕ���B��q�(�Q�)����tor��
�u�.�s>Since��B��(�Q�)[�p�]�V!=�0��'and��K����2��'��is�a��p�-torsion����)Mgroup,��the�J�map��K����1��C��!���K����2����is�the�0�map.��The�quotien���t��J��9�(�Q�)�=B��q�(�Q�)�has�no��p�-torsion�b�Gecause����)Mit��is�a�subgroup�of�(�J�h=B��q�)(�Q�);��also,�õA�(�Q�)�is�a�nite�group,�so��K����3��C��=���J��9�(�Q�)�=�(�A�(�Q�)�ts+��B��q�(�Q�))����)Mhas�UUno��p�-torsion,�and�the�map��K����2��C��!���K����3���Ȳm���ust�b�Ge�the�0�map.�q�W��*�e�conclude�that��K����2���=��0.����8MThe��ab�Go���v�e�argumen�t�sho�ws�that��B��q�(�Q�)�=pB��(�Q�)�is�a�subgroup�of��H������^��1��Lq�(�Q�;���A�);��ho���w�ev�er,����)Mthe�Rlatter�group�con���tains�innitely�man�y�elemen�ts�of�order��p�,�whereas���X���ز(�A�)[�p�]�is�a�nite����)Mgroup,���so�x=w���e�m�ust�w�ork�harder�in�order�to�deduce�that��B��q�(�Q�)�=pB��(�Q�)�x=actually�lies�in�����)M�X��4�(�A�)[�p�].�?Let��}�x���2��B��q�(�Q�);�&w���e�m�ust�sho�w�that���[ٲ(�x�)���2���X��R��(�A�)[�p�].�?It�suces�to�sho���w�that�����)Mres���5�=���v��:[��(��[ٲ(�x�))��=�0�UUfor�all�places��v��.�of��Q�.����8MA���t�0:the�arc�himedian�place��v�"�=���1�,�7�the�restriction��res���~s���v��>��(��[ٲ(�x�))�is�killed�b�y�2�and�the�o�Gdd����)Mprime�UU�p�,�hence��res��������v��cܲ(��[ٲ(�x�))��=�0.����8MSupp�Gose�%�that��v���is�a�place�at�whic���h��J�߲has�bad�reduction.�a�By�h�yp�Gothesis,�/0�B���has�purely����)Mtoric�^9reduction,���so�o���v�er�^9�Q���^���ur��፴v���
h�there�is�an�isomorphism��B����T͍��G�����+3���G��=�����
տ�G���^���d���m������=��of��Gal���;(����_�fe������Q�������qƴv��
cٵ=�Q���^���ur��፴v���
��)-mo�Gdules,����)Mfor��some�\lattice"�.�Y0F��*�or�example,�Pwhen��dim��`�B�G��=��1,�this�is�the�T��*�ate�curv���e�represen�tation����)Mof��	�B��q�.�JLet��n��b�Ge�the�order�of�the�comp�onen���t�group�of��B�^z�at��v�[ٲ;��th�us��n��equals�the�order�of�the����)Mcok���ernel��Vof�the�v��q�aluation�map��o�!��Z���^��d�����.��Cho�Gose��Va�represen�tativ�e��P����=�o(�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����d�����)��2��G���^���d���m������)M�for�:the�p�Goin���t��x�.��Let��n���^��0��s�=�D:#����B�W=;v��
�Z�(�F����v���N�).�Then�since��P����is�rational�o���v�er�:�Q����v���N�,�s/�n���^��0���9�P��can�b�Ge����)Madjusted��|b���y�elemen�ts�of��so�that�eac�h�of�its�comp�Gonen�ts��x����i��d�2���G����m��
M�has�v��q�aluation�0;��since��p����)M�do�Ges���not�equal�the�residue�c���haracteristic�of��v�[ٲ,���it�follo�ws�that�there�is�a�p�Goin�t��Q���2��G���^���d���m������(�Q���^���ur��፴v���
��)����)Msuc���h�;�that��pQ���=��n���^��0���9�P�c��.�i=Th�us�;�the�cohomology�class��res�������v��J>�(��[ٲ(�n���^��0���9�x�))�is�unramied�at��v��.�i=By�[�20��
,����)MProp.�UU3.8],�������H���������1��Lq�(�Q�������ur���፴v���
��=�Q����v���N�;���A�(�Q�������ur���፴v����))��=��H���������1���(�Q�������ur���፴v���
��=�Q����v���N�;��������A;v��
#޲(����_�fe<o����F����<o���p�����))�;��B1��)M�where�������A;v���l�is�the�comp�Gonen���t�group�of��A��at��v�[ٲ.�GrSince��p��do�es�not�divide�#����A;v��
#޲(����_�fe<o����F����<o���p�����),��\and����)M��[ٲ(�n���^��0���9�x�)�UUhas�order��p�,�it�follo���ws�that�����?�0��=��res���Q���v��՟�(��[ٲ(�n������0���9�x�))�=��n������0���x�res�������v���h�(���(�x�))�:����)M�Since�UUthe�order�of��res��������v��cܲ(��[ٲ(�x�))�is�coprime�to��n���^��0���9�,�w���e�conclude�that��res��������v���(��[ٲ(�x�))��=�0.����8MNext���supp�Gose�that��J�۲has�go�o�d�reduction�at��`��and�that��`��is��o��}'dd�.��Let��A�,����J���,��C��W�,�b�e���the����)MN�����Geron�-�mo�Gdels�of��A�,��J��9�,��C���,�5�resp�ectiv���ely��*�.�d�Since��`��is�o�dd,�5�1��=��e�<�`��x���1,�so�-�w���e�ma�y�apply�[�2��,����)MThm.�UU7.5.4]�to�conclude�that�the�sequence�of�group�sc���hemes�����(�0���!�A�!�J���!�C�\o!��0������4����2�������a����P�������)M�is��Fexact,��in�the�sense�that�it�is�exact�as�a�sequence�of�shea���v�es��Fon�the�})��Getale�site�(see�the����)Mpro�Gof�UUof�[�2��,�Thm.�7.5.4]).�q�Th���us�it�is�exact�on�the�stalks,�so�b�y�[�18��
,�2.9(d)]�the�sequence���������0���!�A�(�Z�������ur���፴v���
��)��!�B�M۲(�Z�������ur���፴v����)��!�C��W�(�Z�������ur���፴v����)��!��0����)Mis�UUexact.�q�By�the�N�����Geron�mapping�prop�Gert�y��*�,�the�sequence������0���!��A�(�Q�������ur���፴v���
��)��!��B��q�(�Q�������ur���፴v����)��!��C���(�Q�������ur���፴v����)��!��0����)Mis�UUalso�exact,�so��res��������v��cܲ(��[ٲ(�x�))�is�unramied.�q�By�[�20��
,�Prop.�I.3.8],������n�H���������1��Lq�(�Q�������ur���፴v���
��=�Q����v���N�;���A�)����T͍�������+3�����=�����
UN�H���������1���(�Q�������ur���፴v����=�Q����v���N�;��������A;v��
#޲(����_�fe<o����F����<o���v�����))��=�0�;����)M�since�UU�A��has�go�Go�d�UUreduction�at��v�[ٲ.�q�Hence��res��������v��cܲ(���(�x�))��=�0.����8MIf���J��R�has�bad�reduction�at��v�
6�=��]2,��then�w���e�already�dealt�with�2�ab�Go�v�e.�Consider�the����)Mcase�Swhen��J����has�go�Go�d�Sreduction�at�2.�VqThe�absolute�ramication�index��e��of��Z����2��Ʋis�1,��whic���h����)Mis�i,�not��less�than�2�F���1��)=�1,�n!so�i,w���e�can�not�apply�[�2��,�Thm.�7.5.4].��KHo���w�ev�er,�w�e�i,can�mo�Gdify����)Mev���erything��b�y�an�isogen�y�of�degree�a�p�Go�w�er�of�2�and�apply�a�dieren�t�theorem,�Fas�follo�ws.����)MThe�|F2-primary�subgroup�	�of��A�Rָ\��B����is�|Frational�o���v�er�|F�Q�.��The�ab�Gelian�v��q�arieties���x䍑��~������J���
�=���J�h=�	,������x䍑+�~�����)M�A���3��=���A=�	,��and���x䍑d~�������B���
��=��B��q=�	��also�satisfy�the�h���yp�Gothesis�of�the�theorem�w�e�wish�to�pro�v�e.�V�By����)M[�2��,�UUProp.�7.5.3(a)],�the�corresp�Gonding�sequence�of�N�����Geron�mo�dels�����(�0���!���x䍑6�~������A���
�F!���x䍑AƲ~������J���.0!���x䍑�I�~������C���gq!��0����)Mis�UUexact,�so�the�sequence������R0���!���x䍑j��~������A���
G�(�Q�������ur���፴v���
��)��!���x䍑2��~������J���	H߲(�Q�������ur���፴v����)��!���x䍑
ղ~������C���
��(�Q�������ur���፴v����)��!��0����)Mis�Y�exact.�~^Th���us�the�image�of��res��������v��h�(��[ٲ(�x�))�in��H������^��1��Lq�(�Q����v���N�;���x䍑N9�~��������A���	*��)�is�unramied.�It�equals�0,�Z�again�b���y����)M[�20��
,��Prop.���3.8],�since�the�comp�Gonen���t�group�of���x䍑�x~������A���
Wϲat��v�G��has�order�a�p�o���w�er�of�2,��whereas���[ٲ(�x�)����)Mhas��%o�Gdd�prime�order��p�.�R�Th���us��res���F^���v����(��[ٲ(�x�))��=�0,�
�since��%the�k�ernel�of��H������^��1��Lq�(�Q����v���N�;���A�)���!��H������^��1���(�Q����v���N�;���x䍑N9�~��������A���	*��)����)Mis�UUa�nite�group�of�2-p�Go���w�er�UUorder.����F���ff����d�ff�Y��ff����ff���������)M�2.2.1��Lp�Visibilit��9y��Twhen��A��also�has�p�Q�ositiv�e�rank��uT��)M�In�&�Theorem�2.5,�0if�the�condition�that��A�(�Q�)�has�rank�0�is�remo���v�ed,�then�&�the�pro�Gof�can�b�e����)Measily���mo�Gdied�to�sho���w�that�the�k�ernel�of��B��q�(�Q�)�=pB��(�Q�)��ɸ!���Vis���ᮟ��J��w^�(��X�����(�A�))���has�dimension����)Mat�UUmost�the�rank�of��A�(�Q�).����8MAccording�to�[�3��],�<Nthe�smallest�conductor�elliptic�curv���e��E����of�rank�3�is�found�in��J��G�=����)M�J����0��|s�(5077).�+�The���n���um�b�Ger�5077�is�prime,���and��J�y�decomp�oses�up�to�isogen���y�as��A��Ѹ��B�B���E���;��where����)Meac���h��of��A�,�?̵B��q�,�and��E��u�are�ab�Gelian�sub�v��q�arieties�of��J�!�asso�Gciated�to�newforms,�?�whic�h�ha�v�e����)Mdimensions�:x205,�?�216,�and�1,�resp�Gectiv���ely��*�.�h�The�mo�dular�degree�of��E���is�1984��=�2���^��6�����'�31,�?�and����)Mthe�W�sign�of�the�A���tkin-Lehner�in�v�olution�on��E��j�is�the�same�as�its�sign�on��A�,�Xso��E����[31]��O���A�.����)MThe�on���umerator�of�(5077�J���1)�=�12�ois�3���^��2���z��J�47,�u~so�31�is�coprime�to�the�orders�of�an�y�relev��q�an�t����)Mcomp�Gonen���t�UUgroups�or�torsion.�q�Th�us��Vis����:���J��#�(��X�����(�A�))�con�tains�(�Z�=�31�Z�)���^��2��|s�.�� ؋���)M�3��A��Guide�ffto�computing�on��A��g�ffcmmi12�AJ��(��0����5X�Qffcmr12�(�AN���)�����)M�The�68Jacobian��J����0��|s�(�N��)�is�equipp�Ged�with�an�action�of�the�Hec���k�e�68algebra��T�.�
oLet��f���2����)M�S����2��|s�(����0���(�N��))�q]b�Ge�a�newform,��_and�let��I����f��	ϙ���y�T��b�e�the�annihilator�of��f���.���The�ab�elian�v��q�ari-����)Met���y��ٵA����f�����attac�hed�to��f��h�is�the�quotien�t��J����0��|s�(�N��)�=I����f��/ �J����0���(�N��).��TTh���us��ٵA����f�����is�an�ab�Gelian�v��q�ariet�y�of����)Mdimension�
equal�to�the�n���um�b�Ger�
of�Galois�conjugates�of��f���and�equipp�ed�with�a�faithful����)Maction�zaof��T�=I����f��/ �.���F��*�or�the�remainder�of�this�section,����A�ײ=��A����f�����denotes�zathe�optimal�quotien���t����)Mof�UU�J����0��|s�(�N��)�attac���hed�to�the�annihilator��I����=���I����f���u�of�a�newform��f���.������5����J��������a����P��������)M�@3.1��H
The��Birc��h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture��uT��)M�The��Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture,�Y�as�generalized�b�y�T��*�ate�in�[�28��
],�Y�furnishes����)Ma�]�conjectural�form���ula�for�the�order�of�the�Shafarevic�h-T��*�ate�group�of�an�y�new�optimal����)Mquotien���t�W��A�.�x[In�general,�Xit�is�dicult�giv�en��A��to�compute�the�conjectural�order�of���X����(�A�).����)MHo���w�ev�er,�S�the�Sosituation�is�more�optimistic�when��A��is�a�new�mo�Gdular�ab�elian�v��q�ariet���y�suc�h����)Mthat�Y��L�(�A;����1)��G�6�=�0.�~�F��*�or�these��A��w���e�ha�v�e�devised�an�algorithm�that�w�e�use�to�compute�the����)Mo�Gdd�.�part�of�the�conjectural�order�of���X��҃�(�A�)�in�man���y�cases.�d�The�follo�wing�is�a�sp�Gecial�case����)Mof�UUa�m���uc�h�UUmore�general�conjecture.����)M�Conjecture��T3.1�(Birc��9h�and�Swinnerton-Dy�er).��Supp��}'ose���L�(�A;����1)���6�=�0�.���Then���i������<$����ѵL�(�A;����1)����џw�fe��	(֍��V
����A�������.;�=�����Y���y�#��X�����(�A�)�8�������Q�������p�j�N��jT�c����p����K�Y��feM�n�	(֍�#�A�(�Q�)�8���#�A���r�_��㏲(�Q�)�����R��:���	��8M�When�ރ�L�(�A;����1)�Va�6�=�0,�@�w���ork�of�Kolyv��q�agin�and�Logac�hev�[�10��
,��11��ޅ]�implies�that��A�(�Q�),����)M�A���^��_��㏲(�Q�),���and����X��/s�(�A�)���are�all�nite,�so�the�quan���tities�app�Gearing�in�the�ab�o���v�e���form�ula�mak�e����)Msense.�	3�Here��N�c����p��
�=�k�#����A;p��
�(�F����p���R�),�P�the�p�Gositiv���e�real�n�um�b�Ger�
����A��n޲is�the�measure�of��A�(�R�)����)Mwith��2resp�Gect�to�a�basis�of�dieren���tials�on�the�N���Geron�mo�Gdel�of��A�,��and��A���^��_��	���is�the�ab�elian����)Mv��q�ariet���y�6<dual�of��A�.�giThe�algorithms�describ�Ged�b�elo���w�enable�us�in�m�y�cases�to�compute�the����)Mconjectural�g)order�of���X��
��(�A�).�"dHo���w�ev�er,���for�g)question�of�visibilit���y��*�,�w�e�g)instead�need�to�compute����)Mthe��8order�of���X��t��(�A���^��_��㏲).��pThis�is�no�dieren���t�b�Gecause�the�Cassels-T��*�ate�pairing�implies�that����)M#��X�����(�A�)��=�#��X���(�A���^��_��㏲).���6���)M�@3.2��H
Mo�`dular��sym��b�ols����)M�It��ois�not�p�Gossible�to�compute�v���ery�m�uc�h�ab�Gout��J����0��|s�(�N��)�without�mo�dular�sym���b�ols,��uwhic�h����)Mpro���vide�|
a�nite�presen�tation�for�the�homology�group��H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)�|
in�terms�of�paths����)Mb�Get���w�een�UUelemen�ts�of��P���^��1��|s�(�Q�)��=��Q�8�[�f1g�.����8MThe�Sh�mo��}'dular��!symb�ol��dened�b���y�a�pair���	z;����N4�2���P���^��1��|s�(�Q�)�is�denoted��f��;������g�.�q#This�mo�Gdular����)Msym���b�Gol�M5should�b�e�view���ed�as�the�homology�class,�N�relativ�e�to�the�cusps,�N�of�a�geo�Gdesic�path����)Mfrom�V|��_��to���ݘ�in��F�%n�

eufm10�Fh���^������.�u<The�homology�group�relativ���e�to�the�cusps�is�a�sligh�t�enlargemen�t����)Mof��the�usual�homology�group,�E�in�that�w���e�allo�w�paths�with�endp�Goin�ts�in��P���^��1��|s�(�Q�)�instead����)Mof���restricting�to�closed�lo�Gops.�5NW��*�e�declare�that�mo�dular�sym���b�ols�satisfy�the�follo���wing����)Mhomology�UUrelations:�q�if���	z;�����;�
�UP�2���Q�8�[�f1g�,�UUthen������m�f��	z;������g�8�+��f��;���
��8�g��+��f�
�;����	z�g���=�0�:����)M�F��*�urthermore,�L;the��space�of�mo�Gdular�sym���b�ols�is�torsion�free,�L;so,�e.g.,��f��	z;�����g�e��=�0��and����)M�f��	z;������g���=��f��;����	z�g�.����8MDenote��b���y����L�Ɍ

cmbsy10�LM�����
���2��IR�the�free�ab�Gelian�group�with�basis�the�set�of�sym�b�Gols��f��	z;������g��mo�dulo����)Mthe��three-term�homology�relations�ab�Go���v�e��and�mo�dulo�an���y�torsion.���There�is�a�left�action����)Mof��UUGL���n:���2��ꭲ(�Q�)�UUon����LM��������2����,�whereb���y�a�matrix��g��.�acts�b�y������X�g�[ٸf��	z;������g���=��f�g��(��	z�)�;���g��(����)�g�;����)M�and�m��g���acts�on���w �and����²b���y�a�linear�fractional�transformation.�$�The�space����LM����4���2���T�(�N��)�of��mo��}'dular����)Msymb��}'ols��for������0��|s�(�N��)�̦is�the�quotien���t�of����LM��������2�����b�y�the�submo�Gdule�generated�b�y�the�innitely����)Mman���y�M�elemen�ts�of�the�form��x��T���g�[ٲ(�x�),���for��x��in����
�LM����bE���2��,=�and��g��^�in�����0��|s�(�N��),�and�mo�Gdulo�an���y����)Mtorsion.�/�A����mo��}'dular��)symb�ol�for������0��|s�(�N��)���is�an�elemen���t�of�this�space.�/�W��*�e�frequen�tly�denote����)Mthe�UUequiv��q�alence�class�that�denes�a�mo�Gdular�sym���b�ol�b���y�giving�a�represen�tativ�e�elemen�t.����8MIn�y[�14��
],��	Manin�pro���v�ed�ythat�there�is�a�natural�injection��H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)��[�,��UX�!����LM����t����2���	�(�N��).����)MThe��4image�of��H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)��4in����LM�����o���2���(�N��)�can�b�Ge�iden���tied�as�follo�ws.��eLet����LB����yM���2�����(�N��)�denote������6����_[�������a����P�������)M�the�A_free�ab�Gelian�group�whose�basis�is�the�nite�set�����0��|s�(�N��)�n�P���^��1���(�Q�).�5�The�A_�b��}'oundary�mmap����)M��+U�:����r�LM���������2�� �(�N��)��r�!����LB����~����2�����(�N��)���sends��f��	z;������g��to�[���]������[��	z�],��where���[���]�denotes�the�basis�elemen���t�of������)M�LB����1���2��5}��(�N��)��Dcorresp�Gonding�to����¸2�J��P���^��1��|s�(�Q�).�^�The�k���ernel����LS����Q����2�����(�N��)�of���'�is�the�subspace�of��cuspidal����)M�mo�Gdular�ZEsym���b�ols.�An�elemen���t�of����LS����
����2�����(�N��)�can�b�e�though���t�of�as�a�linear�com�bination�of�paths����)Min�$�Fh���^������whose�endp�Goin���ts�are�cusps,�.and�whose�images�in��X����0��|s�(�N��)�are�a�linear�com�bination�of����)Mlo�Gops.�q�W��*�e�UUth���us�obtain�a�canonical�isomorphism��'���:����LS����
tW���2���ʲ(�N��)��!��H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�).����8MP���art�5�of�the�utilit�y�of�mo�Gdular�sym�b�Gols�comes�from�the�classical�Ab�el-Jacobi�theorem,����)Mwhic���h�<�allo�ws�us�to�view��J����0��|s�(�N��)(�C�)�as�the�quotien�t��C���^��g����=H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�),�uwhere��H����1���(�X����0���(�N��)�;����Z�)����)Mis�˄em���b�Gedded�in��C���^��d��5¸����Hom��ai(�S����2��|s�(����0���(�N��))�;����C�)�˄using�the�in�tegration�pairing.��STh�us�mo�Gdular����)Msym���b�Gols�Aygiv�e�an�explicit�description�of��J����0��|s�(�N��)(�C�)�and�of�its�constituen�t�parts�as�mo�Gdules����)Mo���v�er�UUthe�Hec���k�e�UUalgebra.�q�W��*�e�can�also�compute�Hec���k�e�UUop�Gerators�using�mo�dular�sym���b�ols.����8MF��*�or��further�in���tro�Gductory�remarks�on�mo�dular�sym���b�ols,��see�[�25��
],�and�for�detailed�in-����)Mstructions���as�to�ho���w�to�compute�the�space�of�mo�Gdular�sym�b�Gols�and�the�action�of�Hec�k�e����)Mop�Gerators�UUon�it,�see�[�3��].���6���)M�@3.3��H
Computing��with�quotien��ts�and�sub�v��@arieties�of����g�cmmi12�J�����0����(�N�@��)��uT��)M�First,���w���e��describ�Ge�ho�w�to�en�umerate�the�newforms�of�lev�el��N��.�*�Then�w�e�dene�the�mo�Gdular����)Mdegree,��whose��?square�annihilates�the�visible�part�of���X��_Ų.���Finally��*�,�w���e�describ�Ge�ho�w�to����)Min���tersect�UUab�Gelian�sub�v��q�arieties�of��J����0��|s�(�N��).���6���)M�3.3.1��Lp�En��9umerating��Tquotien�ts����)M�Let�E`�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)���^��+��
��denote�the�+1-eigenspace�for�the�action�of�the�in���v�olution�induced����)Mb���y�>�complex�conjugation.�-�W��*�e�list�all�newforms�of�a�giv�en�lev�el��N�U��b�y�decomp�Gosing�the����)Mnew���subspace�of��H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Q�)���^��+��
PG�under���the�action�of�the�the�Hec���k�e���op�Gerators.�w�First�w���e����)Mcompute��hthe�c���haracteristic�p�Golynomial�of��T����2��|s�,��,and�use�it�to�break�up�the�full�space.��W��*�e����)Mapply�?'this�pro�Gcess�recursiv���ely�with��T����3��|s�;���T����5���;��:�:�:���v�un���til�?'either�w�e�ha�v�e�exceeded�the�b�Gound����)Mcoming�ofrom�[�27��
],�&6or�w���e�ha�v�e�found�a�Hec�k�e�op�Gerator��T����n����whose�c�haracteristic�p�Golynomial����)Mis�TXirreducible.�qsAfter�computing�the�decomp�Gosition,�T�w���e�order�the�newforms�in�a�w�a�y�that����)Mextends�g6the�systematic�ordering�in�[�3��]:���First�sort�b���y�dimension,�k�with�smallest�dimension����)Mrst;�Uwithin�T�eac���h�dimension,�Usort�in�binary�b�y�the�signs�of�the�A�tkin-Lehner�in�v�olutions,����)Me.g.,�HW+��z+�+,�+�+���,�+����+,�+����,����+�+,�etc.���When��t���w�o�forms�ha�v�e�the�same�sign����)Msequence,�UUorder�b���y��j�����T��*�r����(�a����p���R�)�j��with�ties�brok�en�b�y�taking�the�p�Gositiv�e�trace�rst.����8MW��*�e�l�denote�a�Galois�conjugacy�class�of�newforms�b���y�a�b�Gold�sym�b�Gol�suc�h�as���389E��:̲,����)Mwhic���h��Dconsists�of�the�lev�el�and�the�isogen�y�class,���where��A��denotes�the�rst�class,��B��the����)Msecond,�UUand�so�on.����8MAs���discussed�in�[�3��,���pg.�5],�for�certain�small�lev���els�the�ab�Go�v�e�ordering�when�restricted�to����)Melliptic���curv���es�do�Ges�not�agree�with�the�ordering�used�in�Cremona's�tables.�)�F��*�or�example,����)Min�UUthe�presen���t�pap�Ger�our���446B�� ڲis�Cremona's���446D��g�.���6���)M�3.3.2��Lp�The��Tmo�Q�dular�degree����)M�A�L��p��}'olarization�L˵��of�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y��A��o�v�er��Q��is�an�isogen�y���c��:��A��!��A���^��_��
0Z�suc�h�L�that����)M����<L�W	G�Ҟ��=f$�cmbx7�Q����^�arises�sBfrom�an�ample�in���v�ertible�sBsheaf�on��A���<L�W	G�Ҟ��Q����(see,���e.g.,�[�19��
,��x�13]).�ˍSince�sB�J����0��|s�(�N��)�is����)Ma���Jacobian,�hit�p�Gossesses�a�canonical�p�olarization�arising�from�the����-divisor,�hand�this������7����s��������a����P�������)M�p�Golarization�UUinduces�the��mo��}'dular���p�olarization�UU��5�:���A���^��_�����!��A��of��A���^��_��㏲.��=r��������������������±�BH�A���^��_�����������������C����5D

xybsql10�������������������������?������@L���r���0ncmsy5�_����������������&A����/�/�������&A���2�fd$�����������0Ο�y���������������9�[email protected]��&�&��������������(�ԺM�����������ԟ&c�M�����������$	M����������hJ�!�CM����������O��ShM����������6����M��������������M����������6�B�M�����������q���M����������Ӭ��!M���������к�2FM���������̢"��kM���������ȉ]�|�M����������p��
!�M����������Wӟ��M����������?�k�M����������&I�$M��������������&A�H�J����0��|s�(�N��)���^��_�����T͍��������+3������=�����8ݵJ����0���(�N��)����������������	1ȟ[email protected]����������������1ȟ'�J�����1ȟ)�H�����������)�H�$fd���������9�3W��A:������������H�,��)M�If�q�w���e�view��A���^��_��	U6�as�an�ab�Gelian�sub�v��q�ariet�y�of��J����0��|s�(�N��),�x�then�the�k�ernel�of����IJis�the�in�tersection����)Mof�9�A���^��_��	�Ȳwith��I���J����0��|s�(�N��);�r+th���us�the�k�ernel�of���ZV�measures�in�tersections�b�Get�w�een��A���^��_��	�Ȳand�other����)Mfactors�UUof��J����0��|s�(�N��).����)M�Denition��T3.2�(Mo�Q�dular�degree).��The�UU�mo��}'dular���de�gr�e�e��m����A��	��of��A��is�����s0�p���
UV��s0�fe㑟�Ѝ��deg��#�(��G�)����)8�.����)MBy�v�[�19��
,�Thm.�13.3],��deg����(��G�)�is�a�p�erfect�square,�so��m����A��	�H�is�an�in���teger.���F��*�or�an�algorithm�to����)Mcompute�UU�m����A�����,�see�[�8��].����8MThe��_mo�Gdular�degree�is�of�in���terest�b�ecause�its�square�annihilates�the�visible�cohomology����)Mclasses.����)M�Prop�Q�osition��T3.3.���Vis���8��:�J�����Zcmr5�0��� �(�N��,�)��)bW�(�H���������1��Lq�(�Q�;���A������_��㏲))�����H���������1���(�Q�;���A������_��㏲)[�m�������2���፴A������]��#�����)M�Pr��}'o�of.���H�M�Let�_����}�b�Ge�the�comp�osite�map��A���^��_���Ÿ!��6�J����0��|s�(�N��)��!��A�.���There�_�is�a�map���\q���)^����������
z�:��6�A��!��A���^��_��	C)�suc���h��
V��)Mthat���\q��)^�������|����
�u��vO��_�is��|m���ultiplication�b�y��deg���(��`�)�`�=��m���^���2��b��A������.��<Th�us���|Ker���(�H������^��1��Lq�(�Q�;���A���^��_��㏲)��!��H������^��1���(�Q�;���J����0��|s�(�N��)))��|is����)Mcon���tained�UUin��H������^��1��Lq�(�Q�;���A���^��_��㏲)[�m���^���2��b��A������].�����$��ff����d�ff�Y��ff����ff������)M�R��}'emark��?�3.4�.�9B�When��µA��has�dimension�one,�̝the�visible�part�of��H������^��1��Lq�(�Q�;���A���^��_��㏲)�is�con���tained�in����)M�H������^��1��Lq�(�Q�;���A�)[�m����A�����].�q�Is�UUthis�true�for��A��of�all�dimensions?���6���)M�3.3.3��Lp�In��9tersecting��Tcomplex�tori��uT��)M�Consider�+�a�complex�torus��J�#	�=�,еV�q=�,�a�and�let��A��=��V����A�����=�����A��
���and��B��A�=��V����B����=�����B���b�Ge�subtori����)Mwhose��^in���tersection��A�]��\��B�ϲis��^nite.��Here��V����A��
�and��V����B��
nj�are�subspaces�of��V��B�and�����A���and�����B�����)M�are�UUsubmo�Gdules�of�.����)M�Prop�Q�osition��T3.5.��Ther��}'e���is�a�natur�al�isomorphism�of�gr�oups��q΍���P�A�8�\��B����T͍��G�����+3���G��=�������
տ���^�������<$��&�����ef�w�fe'��	(֍����A���p�+�����B�������?����^������Fw�
�tor��R+�
�:����΍���)M�Pr��}'o�of.���H�M�There�UUis�an�exact�sequence�����S�0���!��A�8�\��B�G��!���A����B��!���J���:����)M�Consider�UUthe�diagram��qǍ�������������������s��*�����A���p��8�����B��������������4��UW�����������UW���fd�������������/�/��������ğ��2�fd�9������������ꪲ����������������/�/������uğ��2�fd�8���������V���������ɮ�V�*�fd������������=�(����A���p�+�8�����B����)������������<�s����������<nA���fd�����������.�(*��V����A���p��8�V����B��������������4��F�������������F���fd��������ğ%��/�/��������R�%�2�fdr����������ğ(ꪵV����������� o�%��/�/��������%�2�fdr���������GV���������ɮ�GV�*�fd���������  o�(�V�q=�(�V����A���p�+�8�V����B����)������������<�s�E���������<nA�E��fd���������z��PꪵA�8�\��B�������������M4�M��/�/�������s��M�2�fd�x����������M4�P��A�8���B����������������M��/�/�������L�M�2�fd��������������PꪵJ����������� ��M��/�/������=ğM�2�fd�>���������#��P�J�h=�(�A�8�+��B��q�)�:�����������������8����	�
�������a����P�������)M�The�UUsnak���e�lemma�giv�es�an�exact�sequence��ō���Y0���!��A�8�\��B�G��!����=�(����A���p�+�����B����)��!��V�q=�(�V����A���p�+��V����B����)�:����)M�Since�3T�V�q=�(�V����A��xn�+��޵V����B����)�is�a��C�-v���ector�space,�:!the�torsion�part�of��=�(����A���+�������B����)�m���ust�map�to�0.����)MNo�i�non-torsion�in��=�(����A���,�+�F�����B����)�could�map�to�0,�ob�Gecause�if�it�did�then��A��\��B��`�w���ould�not����)Mb�Ge�UUnite.�q�The�lemma�follo���ws.�����~��ff����d�ff�Y��ff����ff����f���8MThe�UUfollo���wing�form�ula�for�the�in�tersection�of��n��subtori�is�obtained�in�a�similar�w�a�y��*�.�����)M�Prop�Q�osition�:m3.6.����F��;�or���i���=�1�;����:�:�:����;���n��let��A����i��d�=��V����i��TL�=�����i��lH�b��}'e�a�subtorus�of��J��Q�=��V�q=��,�0�and�assume����)Mthat���e��}'ach�p�airwise�interse�ction��A����i���,�\�8�A����j��ʓ�is�nite.���Then��^<����$�A����1���S�\��8�������g\�8�A����n�����T͍��8�����+3���8��=��������̟��^�������<$��'-n���������������Vs�w�feI��	(֍�f���(����1���S���������������n��q~�)������f7����^����o>��;��͍�)M�wher��}'e���f���(�x����1��|s�;����:�:�:����;���x����n��q~�)��=�(�x����1���S��8�x����2���;���x����2����8�x����3���;���x����3����8�x����4���;����:�:�:����;���x����n��1���Ҹ��x����n��q~�)�.��zA���)M�@3.4��H
Computing��the�conjectural�order�of����hV1
wncyr10�X��wn�(�A�)��uT��)M�In��<this�section,���w���e�describ�Ge�ho�w�in�man�y�cases�w�e�can�compute�the�conjectural�order�of�����)M�X��4�(�A�)�UUwhen��L�(�A;����1)���6�=�0,�UUat�least�up�to�a�p�Go���w�er�UUof�2.����8MIn�y�Section�3.4.1,���w���e�b�Gound�#�A�(�Q�)�and�#�A���^��_��㏲(�Q�).�(�W��*�e�compute�eac�h��c����p���in�Section�3.4.2,����)Mfor�)zeac���h��p��with��p���jj��N��.�c)When�)z�p���^��2��C��j��N��,�2?it�)zis�p�Gossible�to�b�ound��c����p���R�;�8see,�2?e.g.,�[�22��
,�Cor.�)z15.2.1]����)Mwhere��uone�nds�that�when��dim��˵A���=�1��uand��p���^��2��C��j���N��,���w���e�ha�v�e��c����p��fj����4.�B}In�Section�3.4.3,���w�e�use����)Mmo�Gdular��msym���b�ols�to�compute�the�rational�n���um�b�Ger��L�(�A;����1)�=�
����A�����,��2up�to�a�b�ounded�Manin����)Mconstan���t.��zA���)M�3.4.1��Lp�T��
�orsion��Tsubgroup����)M�W��*�e���obtain�an�upp�Ger�b�ound�on�#�A�(�Q�)����tor��oi�and�#�A���^��_��㏲(�Q�)����tor���as�follo���ws.���The�c�haracteristic����)Mp�Golynomial��������p���R�(�X���)�of�the�Hec���k�e���op�erator��T����p����acting�on��A��is�a�monic�p�olynomial�ha���ving����)Min���teger�UUco�Gecien�ts�and�degree�equal�to�the�dimension�of��A�.�����)M�Prop�Q�osition��T3.7.��Both���#�A�(�Q�)����tor��P\�and��#�A���^��_��㏲(�Q�)����tor���divide��ō����a��gcd����a��f�����p���R�(�p�8�+�1)��:�(�p;����2�N��)�=�1�;���UPp�UU�prime���$�Ÿg�:������)M�Pr��}'o�of.���H�M�Use��the�Eic���hler-Shim�ura��relation�and�that�for�primes��p��for�whic���h��p���-��2�N�'ղthe��maps����)M�A�(�Q�)����tor��>+�!���x䍑%G�~��������A�����(�F����p���R�)��Nand��A���^��_��㏲(�Q�)����tor���!���x䍑%G�~��������A���^��_�����F�(�F����p���R�)�are�b�Goth�injectiv���e,��Land�that�#�A���^��_��㏲(�F����p���)����tor��>+�=��
D��)M#���x䍑��~�����A���^��_����
c��(�F����p���R�).���N���ff����d�ff�Y��ff����ff����f���8MThe��ddierence�of�t���w�o��dcusps���	z;����^��2�ׅ�X����0��|s�(�N��)�denes�a�p�Goin���t�(���)�?���(����)�ׅ�2��J����0��|s�(�N��)(�C�).����)MManin�4observ���ed�in�[�14��
]�that�(0)������(�1�)�4is�rational.�[�The�order�of�the�image�of�(0)������(�1�)�4in����)M�A�(�Q�)�UUcan�b�Ge�computed�as�follo���ws.�q�Let��ō����V����=���Hom���q(�S����2��|s�(����0���(�N��))�;����C�)�;����)M�and�[ŵV����I��hh�=����Hom���,(�S����2��|s�(����0���(�N��))[�I���]�;����C�).��The�in���tegration�pairing��h�f��V;�
��8�i��Ӳ=�2��[�i�������īR���c���<�
��
/µf���(�z�p��)�dz��\�b�Get���w�een��
j���)Mhomology��and�cusp�forms�giv���es�rise�to�a�map��P�v��:�&�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Q�)��!��V����I�����.��}By��the�Ab�Gel-����)MJacobi�UUtheory�(see,�e.g.,�[�12��
,�Thm�IV.2.2]),��A�(�C�)����T͍�������+3�����=�����
UN�V����I�����=P�c��(�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)).����)M�Prop�Q�osition�3M3.8.�1�The��or��}'der�of�the�image�of��(��	z�)�oZ���(����)���in��A�(�C�)��e�quals�the�or�der�of�the����)Mimage���of�the�mo��}'dular�symb�ol��f��	z;������g��in��P�c��(�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;��Q�))�=P�c��(�H����1���(�X����0���(�N��)�;��Z�))�:����8M�The���quotien���t�app�Gearing�in�the�prop�osition�can�b�e�computed�algebraically�b���y�replac-����)Ming��޵P�5m�b���y�a�map�with�the�same�k�ernel�as��P�c��.�E�Suc�h�a�map�can�b�Ge�computed�using�the�Hec�k�e����)Mop�Gerators�UU(see�[�24��
,��x�3.7]).������9����
�y�������a����P��������)M�3.4.2��Lp�T��
�amaga��9w�a��Tn�um�b�Q�ers��uT��)M�Supp�Gose��$�p��is�a�prime�that�exactly�divides��N��?�and�let�����A;p����denote�the�comp�onen���t�group����)Mof�UU�A��at��p�.�q�W��*�e�ha���v�e�UUan�exact�sequence,�������0���!�A�������0�����F���p����
#��!�A����F���p����!������A;p�����!��0�;������)M�where��A����F���p���
O�is�the�closed�b�Ger�of�the�N�����Geron�mo�del�of��A��o���v�er���Z����p����and��A���^���0��g��F���p����
O�is�the�comp�onen���t���d��)Mof�T��A����F���p���
��that�con���tains�the�iden�tit�y��*�.�q�A�T�form�ula�for�#����A;p��
�(����_�fe<o����F����<o���p�����)�and,�T�up�to�a�p�Go�w�er�of�2,�T�for����)M#����A;p��
�(�F����p���R�),�UUis�giv���en�in�[�8��]�and�[�23��
].���6���)M�3.4.3��Lp�Rational��Tpart�of�the�sp�Q�ecial�v��\ralue����)M�As�u�in�Section�3.4.1,�}�let��P�`��:���H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)��!���Hom���e(�S����2���(����0���(�N��))[�I���]�;����C�)�u�b�Ge�the�map�induced����)Mb���y�Iin�tegration.�ϣLet��P�c��(�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�))���^��+��
�ٲdenote�the�+1-eigenspace�for�the�action�of�the����)Min���v�olution�UUinduced�b���y�complex�conjugation�on�the�image�of��P�c��.����)M�Theorem��T3.9.��C܍�����<$��qm
�L�(�A;����1)��qm
�w�fe��	(֍��V
����A��������w�=��[�P�c��(�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�))������+��	j��:��P�c��(�T�f�0�;��1g�)]�=�(�c����1��
�Ÿ�8�c����A�����)�;�����)M�wher��}'e��U�c����1��b:�is�the�numb�er�of�c�omp�onents�of��A�(�R�)��and��c����A��
l��is�the�Manin�c�onstant�of��A�,���as����)Mdene��}'d���b�elow.����8M�In��order�to�dene�the�Manin�constan���t�of��A�,��let��A��denote�the�N���Geron�mo�Gdel�of��A��o�v�er��Z�.����)M�Denition��T3.10�(Manin�constan��9t).��The�UU�Manin���c��}'onstant��c����A��	��of��A��is�the�index�����Ư�c����A��	J��:=��[�S����2��|s�(����0���(�N��);����Z�)[�I���]�:��H���������0��Lq�(�A�;��
���:�A�=�Z�����)]�:����8M�In��the�denition,�<�w���e�ha�v�e�implicitly�mapp�Ged��H������^��0��Lq�(�A�;����
���:�A�=�Z�����)�in�to��S����2��|s�(����0���(�N��);����Q�)��using����)Mthe�UUcomp�Gosition�of�the�follo���wing�maps:����Nʂ�H���������0��Lq�(�A�;����
���:�A�=�Z�����)���!��H���������0���(�J���;����
���:�J�M��=�Z��敲)[�I���]��!��H���������0���(�J���;����
���:�J�:�=�Q��w�)[�I���]��!��S����2��|s�(����0���(�N��);��Q�)[�I���]�:����)M�F��*�or�UUa�discussion�of�wh���y��H������^��0��Lq�(�A�;����
���:�A�=�Z�����)�is�in�fact�con�tained�in��S����2��|s�(����0���(�N��);����Z�)[�I���],�UUsee�[�1��].����)M�Theorem��T3.11.��If���`���j��c����A��
w�then��`���^��2��C��j��4�N��.������)MPr��}'o�of.���H�M�See�UU[�15��
,��x�4]�when��A��has�dimension�1,�and�[�1��]�in�general.���gx`��ff����d�ff�Y��ff����ff������8MW��*�e�UUno���w�giv�e�the�pro�Gof�of�Theorem�3.9.������)M�Pr��}'o�of���of�The��}'or�em���3.9.����Ȓ�Let���H��S�=��U�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)�and��S�Z�=��U�S����2���(����0���(�N��)).�?There�is�a�p�Gerfect����)Mpairing�.��T��Ƹ��S���!�1X�Z��giv���en�b�y��h�T����n��q~�;���f���i�1X�=��a����n���(�f���),�ewhic���h�.�induces�a�canonical�isomorphism����)Mof�c�rings��T����T͍�������+3�����=������
�NHom���"Z����Z��(a�(�S�T;����Z�),�gUwhere��Hom���9���Z��?y�(�S�;����Z�)�is�a�ring�under�m���ultiplication�of�functions.����)MThe�subring��W�QH�=���Hom�������Z���w�(�S����[�I���]�;����Z�)�of��Hom����v���Z���۲(�S��[�I���]�;����R�)�is�isomorphic�to��T�=I��,�2Osince��S����[�I��]�is����)Msaturated�UUin��S����.�q�Th���us������b%][�W�*��:���P�c��(�f�0�;����1g�)�W��]��������=�����΂�[�W�*��:���P�c��(�T�f�0�;����1g�)]�����������=�����΂�[�W�*��:���P�c��(�H����)������+�����]�8���[�P��(�H����)������+��	j��:���P��(�T�f�0�;����1g�)]�:������)M�T��*�o���complete�the�pro�Gof,��Uobserv���e�that�that�
����A��	�R�=�Q�[�W��Q�:��P�c��(�H����)���^��+�����]�pW���c����1��
�<���c����A��
,�and���observ�e�that��
c���)Mm���ultiplication�UUb�y��P�c��(�f�0�;����1g�)�has�determinan�t������Q�����ލ���d��%���i�=1�����2��[�i�������īR���c���<�f�0�;�1g��T�f�����^��(�i�)��
n��=����L�(�A;����1).���%QU��ff����d�ff�Y��ff����ff���������10������������a����P��������)M�@3.5��H
Emerton's��w��ork��uT��)M�When�-g�N�D��is�prime,�ckM.�Emerton�has�pro���v�ed�-gin�[�6��]�that�#�A����f��/ �(�Q�)�and��c����p���R�(�A����f���)�divide�the����)Mn���umerator�UUof�(�N�O���8�1)�=�12.��!�)M�4��A��Visibilit���y�fftables�����)M�The�5~tables�in�this�section�guide�and�motiv��q�ate�the�conjectures�and�questions�of�Section�5.����8MIn�|�T��
�able�v4.1�,�w���e�list�eac�h�of�the�8�in�visible�o�Gdd�Shafarevic�h-T��*�ate�groups�found�in�[�4��],����)Mand�UUpro���v�e����^��1����Ȳthat�they�are�visible�in�some��J����0��|s�(�N�q�[ٲ).����8M�T��
�able��z4.2�=�lists�ev���ery�quotien�t��A����f��l=�of��J����0��|s�(�p�)�with��p�����2593�=and��L�(�A����f��/ �;����1)���6�=�0�=suc�h�that����)Mthe�KBSD�6conjecture�predicts�that�#��X�����(�A���^���_��v��f���㏲)�is�divisible�b���y�an�o�Gdd�prime.�V�In�addition,��the����)Mtable��9con���tains�data�that�can�frequen�tly�b�Ge�used�in�conjuction�with�Theorem�2.5�to�deduce����)Mthat��there�are�visible�elemen���ts�of���X���>�(�A���^���_��v��f���㏲).�F�When�the��B��column�is�lab�Geled�NONE�then����)Mthere��Qis�denitely�nothing�in���X��Qײ(�A���^���_��v��f���㏲)�of�the�predicted�order.�:When�the��B��'�column�con���tains����)Man���elliptic�curv���e,�$_its�rank�has�b�Geen�computed�and�is�2,�so�there�are�visible�elemen���ts�of�����)M�X��4�(�A���^���_��v��f���㏲).�5�When��the��B��ܲcolumn�con���tains�an�ab�Gelian�v��q�ariet�y�of�dimension�greater�than�1,����)Mw���e��ha�v�e�v�eried�that��L�(�B��q;����1)�=�0,��Nso�the�BSD��conjecture�predicts�that��B��q�(�Q�)�is�innite;����)Mho���w�ev�er,��w�e��$ha�v�e�not�pro�v�ed�that��B��q�(�Q�)�is�innite.��4If�w�e�assume�that��B��q�(�Q�)�is�innite,����)Mit��xfollo���ws�in�these�cases�that���X��5��(�A�)�is�visible�in��J����0��|s�(�p�).�)1Note�that��B��has�rank�2�o�v�er�the����)MHec���k�e�UUalgebra�here,�so�the�results�of�[�7��]�sa���y�nothing�ab�Gout��B��q�(�Q�).����8M�T��
�able�I"4.3��l�con���tin�ues�the�computations�of�T��*�able�4.2�up�to�lev�el�5647.�I$F��*�or�eac�h�prime��p����)M�b�Get���w�een��(2609�and�5674,���w���e�computed�eac�h�factor��A��suc�h�that��L�(�A;����1)�Ow�6�=�0��(and�the�o�Gdd����)Mpart��|of�#��X��������an��J��(�A�)�is�non���trivial.��=W��*�e�then�found�all�factors��B�8�suc�h�that��L�(�B��q;����1)�lY=�0��|and����)Mthere�n}is�a�mo�Gd��`��congruence�b�et���w�een�n}�A��and��B��q�,���where��`���j��#��X��������an��J��(�A�).�$�The�n}column�lab�eled��N����)M�giv���es�&�the�lev�el,�[the�column�lab�Geled��d�(�A�)�giv�es�the�dimension�of��A�,�[the�column�lab�Geled����)M�d�(�B��q�)�sgiv���es�the�dimension�of��B��,��
and�the�column�lab�Geled�\cong"�giv���es�the�o�dd�part�of�����)Mgcd��8M(#�A�8�\��B��q;����#��X��������an��J��(�A�)).����8M�T��
�able�q�4.4�ݏ�lists�ev���ery�quotien�t��A����f��	��of��J����0��|s�(�N��)�with��N��=���"�1642�suc�h�that��L�(�A����f��/ �;����1)��"=�0����)Mbut�RCthe�sign�in�the�functional�equation�for��f�eҲis�+1.�h�F��*�or�eac���h�suc�h��A����f��/ �,��~w�e�lo�Gok�ed�for����)Man��Rab�Gelian�v��q�ariet���y��B�Kòsuc�h�that��B�Kòhas�rank�0�and��A���^���_��v��f���	��probably�giv�es�rise�to�o�Gdd�visible����)Melemen���ts�}�of���X��!T�(�B��q�).�)�This�table�con�tains�initial�data�to�w�ards�the�idea�of�constructing�p�Goin�ts����)Mon��Uhigh-rank�ab�Gelian�v��q�arieties�b���y�constructing�visible�elemen�ts�of�Shafarevic�h-T��*�ate�groups����)Musing,�L�e.g.,�Euler�usystem�metho�Gds.��(F��*�or�example,�L�to�pro���v�e�uthat��A�L�=���1061B��'Z�really�uhas����)Mp�Gositiv���e��4rank,��kw�e�consider�the�v��q�ariet�y��B��Q�=��M��1061D��#��.�dcT��*�o�pro�v�e�that��A�(�Q�)�M�6�=�0,��kit�suces����)Mto�)>construct�an�appropriate�elemen���t�of���X���IJ(�B��q�)�and�sho�w�that�this�elemen�t�is�visible�in����)M�A�8�+��B�G�����J����0��|s�(1061).����8M�T��
�able��
4.5��	�suggests�a�rst�ten���uous�step�to�w�ards�a�computational�theory�of�motiv�es����)Mattac���hed���to�mo�Gdular�forms�of�w�eigh�t�greater�than�t�w�o.�	p�This�table�is�organized�lik�e����)MT��*�able�G�4.2,�JUexcept�that�the�ab�Gelian�v��q�arieties�are�replaced�b���y�motiv�es�attac�hed�to�w�eigh�t�4����)Mmo�Gdular��5forms.�JF��*�or�example,��at�prime�lev���el�127�there�is�a�17-dimensional�motiv�e��M��suc�h����)Mthat����X����(�M�)(2)��seems�to�con���tain�elemen�ts�of�order�43.�U�The�computations�used�to�suggest����)Mthis���conclusion�w���ere�carried�out�using�algorithms�for�higher�w�eigh�t�mo�Gdular�sym�b�Gols�as����)Mdescrib�Ged�UUin�[�17��
],�[�24��],�and�[�26��].��)M�ff�ff����	J=�����"5��-:�1����L��This��Xcomputation�is�curren�Îtly�only�partially�complete.��������11������������a����P��������)M�@4.1��H
Odd��in��visible���X���n�@in�[�4���]��H�����[�����.M�E����XL��#��X�����(�E����)������mo�Gd�UUdeg�����	(�E����)�����b5�F���������Where��UU�X���۲(�E����)�UUis�visible�������X����.M�2849A����eig�3���^��2�����;&�2���^��5���S��8�5����61�����b5�NONE���������visible�UUusing�an�elliptic�curv���e�at�lev�el�3�8���2849���������.M�3364C����eig�7���^��2�����"E�2���^��6���S��8�3���^��2�����5���^��2�����7�����b5�none���������visible�UUusing�a�3-dimensional��F���at�lev���el�3364���������.M�4229A����eig�3���^��2�������2���^��3���S��8�3����7����13�����b5�none���������not�UUvisible�at�lev���el�4299,�������������???���������.M�4343B����eig�3���^��2�����W��2���^��4���S��8�1583�����b5�NONE�������???�������.M�4914N����eig�3���^��2������\�2���^��4���S��8�3���^��5������b5�none�������???�������.M�5054C����eig�3���^��2�������2���^��3���S��8�3���^��3�����11�����b5�none�������???�������.M�5073D����eig�3���^��2�����H�2���^��5���S��8�3����5����7����23�����b5�none�������???�������.M�5389A����eig�3���^��2�����W��2���^��2���S��8�2333�����b5�NONE���������visible�UUusing�an�elliptic�curv���e�at�lev�el�7�8���5389������������12����
�9�������a����P��������)M�@4.2��H
Visibilit��y��of���X���n�@at�prime�lev�el��uT��)M�The�A�en���tries�in�the�columns�\mo�Gd�deg"�and�\��X��������an��J��"�are�only�really�the�o�dd�parts�of�\mo�d����)Mdeg"�UUand�\��X��������an��J��".�q�Theorem�2.5�do�Ges�not�apply�to�the�t���w�o�UUen�tries�mark�ed�with�a���.��N;������/����=J��A�����i`n�dim������vǹX����M����an����q�(�A�)�����ڰmo�A�d�Tdeg��(�A�)������B�����L�`�dim�����f`mo�A�d�Tdeg����(�B�r��)�����`����=J��389E����lu��20�����|5���-=�2��������5������389A����RZ��1���|��5�������=J��433D����lu��16�����|7���-=�2�����U��3�8�1����		cmsy9���7����37������433A����RZ��1���|��7�������=J��563E����lu��31����w}13���-=�2����ߣ��13������563A����RZ��1���zj�13�������=J��571D����n���2�����|3���-=�2����՗b�3���-=�2��8���8�127������571B����RZ��1���|��3�������=J��709C����lu��30����w}11���-=�2����ߣ��11������709A����RZ��1���zj�11�������=J��997H����lu��42�����|3���-=�4������z�3���-=�2�������997B����RZ��1���|��3�������=J��1061D����lu��46����'~151���-=�2�������61�8���151����179������1061B����RZ��2���x�151�������=J��1091C����lu��62�����|7���-=�2��������1�����NONE��������=J��1171D����lu��53����w}11���-=�2������a�3���-=�4��8���8�11������1171A����RZ��1���zj�11�������=J��1283C����lu��62�����|5���-=�2�������5�8���41����59�����NONE��������=J��1429B����lu��64�����|5���-=�2��������1�����NONE��������=J��1481C����lu��71����w}13���-=�2�����Gc�5���-=�2��8���8�2833�����NONE��������=J��1483D����lu��67����3���-=�2��8���8�5���-=�2�����L��3�8���5������1483A����RZ��1���w3�8���5�������=J��1531D��Z�p����lu��73�����|3���-=�2��������3������1531A����RZ��1���|��3�������=J��1559B����lu��90����w}11���-=�2��������1�����NONE��������=J��1567D����lu��69�����7���-=�2��8���8�41���-=�2��������7�8���41������1567B����RZ��3���tÀ7�8���41�������=J��1613D����lu��75�����|5���-=�2��������5�8���19������1613A����RZ��1���|��5�������=J��1621C����lu��70����w}17���-=�2����ߣ��17������1621A����RZ��1���zj�17�������=J��1627C����lu��73�����|3���-=�4������z�3���-=�2�������1627A����RZ��1���z�E3���-=�2��������=J��1693C����lu��72�����1301���-=�2�������1301������1693A����RZ��3���uʜ1301�������=J��1811D����lu��98����w}31���-=�2��������1�����NONE��������=J��1847B����lu��98�����|3���-=�6��������1�����NONE��������=J��1871C����lu��98����w}19���-=�2����س��14699�����NONE��������=J��1877B����lu��86�����|7���-=�2��������1�����NONE��������=J��1907D����lu��90�����|7���-=�2����ή��3�8���5����7����11������1907A����RZ��1���|��7�������=J��1913B����n���1�����|3���-=�2����׬��3�8���103������1913A����RZ��1���t�+3�8���5���-=�2��������=J��1913E����lu��84�����5���-=�4��8���8�61���-=�2����͠I�5���-=�2��8���8�61����103������1913A,C����M�|�1�;����2���f��3�8���5���-=�2��*��;����5���-=�2��8����61�������=J��1933C��ZH�����lu��83����3���-=�2��8���8�7���-=�2�����L��3�8���7������1933A����RZ��1���w3�8���7�������=J��1997C����lu��93����w}17���-=�2��������1�����NONE��������=J��2027C����lu��94����w}29���-=�2����ߣ��29������2027A����RZ��1���zj�29�������=J��2029C����lu��90����k5���-=�2��8���8�269���-=�2����׬��5�8���269������2029A����RZ��2���rs�5�8���269�������=J��2039F����lu��99����3���-=�4��8���8�5���-=�2��������19�8���29����7759����3214201�����NONE��������=J��2063C����j%��106����w}13���-=�2�����\��61�8���139�����NONE��������=J��2089J����lu��91����w}11���-=�2����� P�3�8���5����11����19����73����139������2089B����RZ��1���zj�11�������=J��2099B����j%��106�����|3���-=�2��������1�����NONE��������=J��2111B����j%��112����'~211���-=�2��������1�����NONE��������=J��2113B����lu��91�����|7���-=�2��������1�����NONE��������=J��2161C����lu��98����w}23���-=�2��������1�����NONE��������=J��2213C����j%��101�����|3���-=�4�������?�����NONE��������=J��2239B����j%��110����w}11���-=�4��������1�����NONE��������=J��2251E����lu��99����w}37���-=�2����ߣ��37������2251A����RZ��1���zj�37�������=J��2273C����j%��105�����|7���-=�2�������?�����NONE��������=J��2287B����j%��109����w}71���-=�2��������1�����NONE��������=J��2293C����lu��96����'~479���-=�2�����S��479������2293A����RZ��2���x�479�������=J��2311B����j%��110�����|5���-=�2��������1�����NONE��������=J��2333C����j%��101������83341���-=�2����س��83341������2333A����RZ��4���sz�83341�������=J��2339C����j%��114�����|3���-=�8�������6791�����NONE��������=J��2411B����j%��123����w}11���-=�2��������1�����NONE��������=J��2593C����j%��109�����67���-=�2��8���8�2213���-=�2�������67�8���2213������2593A����RZ��4���mӃ67�8���2213�������������13�����e�������a����P��������)M�@4.3��H
More����X�����@at��prime�lev��el���o��)M�Only�yyo�Gdd�parts�of���X�������an��=��and�congruences�are�giv���en.��4Observ�e�yythat���X�������an���is�only�visible��	㎍�)Mroughly��f10�p�Gercen���t�of�the�time!��As�the�lev�el�gets�large,��)w�e�nd�that�there�is�almost��
qǍ�)Malw���a�ys��=some�non���trivial���X����in�a�large-dimensional�factor�of��J����0��|s�(�p�),���and�that�this���X���is����)Min���visible.�q�(W��*�arning:�In�UUmaking�this�table,�53�primes�b�Gelo�w�5647�w�ere�not�analyzed.)��vƍ����DS���w��N����d�(�A�)����A5;�X���L������an����k;�d�(�B�;ǰ)����ޮ�cong��G��΄�"ff���
=����w��>�-�hcmbx5�2609���� �M�127���=]19����t2������İ61����t2����p̢2������19��Ķ��61�	Hw��΄
=ff�������w��2617���� �M�114���=]11����t2������İ19����t2����p̢2������11��Ķ��19�	Hw��΄
=ff�������w��2647���� �M�117���E�13����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2659���� �M�123���E�53����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2663���� �M�132���E�43����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2671���� �M�122���E�37����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2677���� �M�115���G3p3����t2����p̢1������3�+A��΄
=ff�������w��2693���� �M�122���G3p3����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2699���� �M�125���E�19����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2707���� �M�119���G3p5����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2713���� �M�118���E�19����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2731���� �M�124���E�53����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2749���� �M�124���G3p7����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2767���� �M�125���G3p5����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2789���� �M�136���E�83����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2791���� �M�135���E�29����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2797���� �M�119���E�11����t2����p̢1�����11�w���΄
=ff�������w��2819���� �M�138���E�13����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2837���� �M�128���E�23����t2����p̢1�����23�w���΄
=ff�������w��2843���� �M�129���=]3����t6������İ587����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2851���� �M�129���G3p7����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2861���� �M�133���=]11����t4������İ61����t2����p̢2������11��Ķ��61�	Hw��΄
=ff�������w��2879���� �M�148���E�97����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2903���� �M�150���C�P643����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2939���� �M�150���=]17����t2������İ19����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2953���� �M�127���E�29����t2����p̢1�����29�w���΄
=ff�������w��2963���� �M�134���6��5����t2������İ31����t2�����61����t2����p̢2������31��Ķ��61�	Hw��΄
=ff�������w��2969���� �M�136���C�P103����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��2999���� �M�161���B�1459����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3001���� �M�132���G3p3����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3011���� �M�146���=]5����t2������İ101����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3019���� �M�130���B�3259����t2����p̢2����|�3259����΄
=ff�������w��3041���� �M�147���C�P103����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3067���� �M�134���G3p5����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3079���� �M�148���C�P131����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3083���� �M�141���C�P179����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3089���� �M�135���=]5����t2������İ131����t2����p̢2������5��Ķ��131�	Hw��΄
=ff�������w��3109���� �M�136���G3p5����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3119���� �M�164���=]11����t2������İ59����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3181���� �M�144���E�43����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3187���� �M�139���G3p3����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3191���� �M�167���E�53����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3203���� �M�143���E�13����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3221���� �M�149���?�7����t2������İ41����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3229���� �M�142���G3p3����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3251���� �M�166���G3p3����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3257���� �M�143���E�13����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3271���� �M�146���6��7����t4������İ43����t2�����71����t2����p̢3����9 7��Ķ��43����71��͟�΄
=ff�������w��3299���� �M�164���B�6131����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3301���� �M�145���G3p5����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3319���� �M�158���G3p5����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3323���� �M�155���C�P179����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3329���� �M�157���E�83����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3331���� �M�152���C�P937����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3343���� �M�148���?�7����t2������İ53����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3347���� �M�150���C�P139����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3359���� �M�174���E�67����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3371���� �M�159���B�1259����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3391���� �M�159���E�29����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3407���� �M�170���C�P499����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3433���� �M�148���@�65����t4������İ7����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3449���� �M�168���C�P107����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3461���� �M�167���E�83����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3463���� �M�151���C�P199����t2����p̢2����0t199�
�!��΄
=ff�������w��3467���� �M�162���G3p5����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3469���� �M�151���E�47����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3491���� �M�168���E�67����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3511���� �M�166���E�37����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3527���� �M�179���C�P659����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3529���� �M�153���E�79����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3533���� �M�164���G3p3����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3539���� �M�170���B�1871����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3541���� �M�156���G3p5����t4������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3557���� �M�156���C�P229����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������w��3559���� �M�170���B�1109����t2������h�DNONE������)���΄
=ff�������DS����)���΄�"ff��͟�32�N���Ň�d�(�A�)�������X����%����an�������d�(�B�;ǰ)���9��cong�
˽��΄�"ff���
=����)���΄
=ff���͟�32�3571����ǒ�163����̞67����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3583����ǒ�161����e~3319����t2������2���:\83319�<��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3607����ǒ�159����]d7����t4������İ19����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3613����ǒ�156����.7����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3617����ǒ�165����.3����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3623����ǒ�172����.3����t6������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3631����ǒ�172����433����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3643����ǒ�160����.5����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3659����ǒ�181����]d3����t2������İ11����t4������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3671����ǒ�193����509����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3691����ǒ�166����353����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3701����ǒ�174�����3����t4������İ281����t2������2���5��3����t2������İ281��]��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3709����ǒ�164����̞3����t12������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3719����ǒ�188�����D13����t2������İ977����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3739����ǒ�166����̞83����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3761����ǒ�176����677����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3769����ǒ�168����̞13����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3779����ǒ�187�����D73����t2������İ149����t2������1���=�X73��'��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3797����ǒ�172����̞19����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3803����ǒ�171����e~2531����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3821����ǒ�182����307����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3823����ǒ�173����.7����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3863����ǒ�191�����z11����t2������İ23����t2�����311����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3907����ǒ�168����.3����t4������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3919����ǒ�182����̞71����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3929����ǒ�185����877����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3931����ǒ�174����̞31����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3943����ǒ�173����J�2479319����t2������4���5A�2479319�!W��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�3967����ǒ�180����]d3����t6������İ13����t2������1���9G�3��Ķ��13�
'}��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4007����ǒ�195����e~7321����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4013����ǒ�176����̞61����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4019����ǒ�186���䡺3����t4������İ5����t2�����7����t4������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4021����ǒ�182����]d5����t4������İ71����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4027����ǒ�174�����29����t2������İ79����t2������2���7�29��Ķ��79�s��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4049����ǒ�186�����D5����t2������İ3491����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4057����ǒ�173����103����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4079����ǒ�212�����z5����t2������İ157����t2�����179����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4091����ǒ�203����.7����t4������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4093����ǒ�174����]d3����t2������İ89����t4������2���;��89����t2������΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4099����ǒ�185����]d3����t4������İ19����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4111����ǒ�190����229����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4139����ǒ�188�����29����t2������İ67����t2������1���=�X67��'��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4153����ǒ�177����.7����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4157����ǒ�193����373����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4159����ǒ�188����997����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4177����ǒ�183����]d3����t2������İ17����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4217����ǒ�186�����19����t2������İ61����t2������2���7�19��Ķ��61�s��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4219����ǒ�190����̞71����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4229�������1����.3����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4229����ǒ�194����.3����t4������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4231����ǒ�201����.3����t6������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4253����ǒ�184�����D3����t6������İ2843����t2������3���3��3����t3������İ2843��͟�΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4261����ǒ�185����.5����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4271����ǒ�210����B�163����t2������İ853����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4273����ǒ�183����181����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4283����ǒ�198����683����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4289����ǒ�205����e~8807����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4339����ǒ�196����̞17����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4349����ǒ�191����127����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4357����ǒ�187����:�7����t2������İ13����t2�����17����t2������1���9G�7��Ķ��13�
'}��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4373����ǒ�199�����3����t12������İ29����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4391����ǒ�222����$5����t4������İ372037����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4409����ǒ�200����157����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4421����ǒ�206����e~1523����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4423����ǒ�200�����3����t6������İ587����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4441����ǒ�198�����D59����t2������İ101����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4451����ǒ�213����809����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4457����ǒ�199����337����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4463����ǒ�213����e~8951����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4483����ǒ�193�����19����t2������İ61����t2������2���7�19��Ķ��61�s��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4517����ǒ�201����181����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4519����ǒ�202����e~2503����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4547����ǒ�205����̞73����t2������1���=�X73��'��΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4549����ǒ�203�����19����t2������İ53����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������)���΄
=ff���͟�32�4591����ǒ�215����e~6317����t2������{"NONE�����S4���΄
=ff�������DS���S4���΄�"ff��͟�32�N���q��d�(�A�)�������X�����i����an������ʳd�(�B�;ǰ)����W�cong���
=���S4���΄
=ff���͟�32�4597����s���200�����N7����t2������İ17����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4603����s���198������829����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4621����s���196����>�13����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4639����s���218����>�89����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4649����s���215������751����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4651����s���210����>�13����t4�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4673����s���207����h.11����t2������İ197����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4691����s���216����>�43����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4729����s���204������673����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4733����s���210����>�17����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4783����s���210������797����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4789����s���206����>�13����t4�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4799����s���230����Ed3����t2������İ7����t2�����12203����t2�����Y�1����H3��Ķ��7������S4���΄
=ff���͟�32�4801����s���213����#�60271����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4813����s���207����h.3����t2������İ6883����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4817����s���214������283����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4831����s���217�����h1151����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4861����s���216����pH204749����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4877����s���219�����3����t4������İ103����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4931����s���240������17����t2������İ37����t2�����43����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4933����s���211������239����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4957����s���212�����5����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4967����s���236������7����t2������İ53881����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4969����s���220����>�11����t4�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4973����s���223�����N5����t2������İ11����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4993����s���215�����h4013����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�4999����s���224����pH985121����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5003����s���220������97����t2������İ1861����t2�����Y�3�����97��Ķ��1861������S4���΄
=ff���͟�32�5009����s���223����h.23����t2������İ977����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5011����s���229����>�11����t4�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5021����s���225�����h1609����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5023����s���221����#�51431����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5039����s���251����pH166363����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5051����s���239������13����t2������İ2633����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5059����s���229������5����t2������İ13����t2�����31����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5077����s���216������283����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5081����s���240����h.19����t2������İ149����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5099����s���251������7����t4������İ11����t2�����461����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5113����s���223�����19����t2������İ61����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5119����s���232����h.53����t2������İ103����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5153����s���223�����N3����t4������İ41����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5167����s���231������367����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5171����s���249����h.73����t2������İ773����t2�����Y�1����\b73������S4���΄
=ff���͟�32�5179����s���226�����N7����t2������İ13����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5189����s���240����>�83����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5197����s���223����>�37����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5209����s���227����181����t2������İ1471����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5227����s���232����h.3����t2������İ7717����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5231����s���255�����h4507����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5233����s���223������163����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5237����s���229�����7����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5261����s���239����#�24103����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5273����s���227����#�17389����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5279����s���263����pH120431����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5281����s���232����>�67����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5297����s���238������397����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5303����s���247�����D13����t2������İ73����t2�����15467����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5309����s���247������1822693����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5323����s���233����3����t4������İ120563����t2�����Y�3����"120563������S4���΄
=ff���͟�32�5333����s���237������967����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5347����s���231�����h3643����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5501����s���250������163����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5503����s���241�����N7����t2������İ17����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5507����s���252������103����t2������İ233����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5519����s���278����M~61����t2������İ211469����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5521����s���244�����5����t4�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5531����s���253������977����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5563����s���246����h.3����t4������İ1213����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5569����s���239����`3����t4������İ5����t2�����13����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5573����s���247�����h9901����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5581����s���242����#�28927����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5591����s���282����Ed3����t2������İ13����t4�����1061����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5639����s���278����pH229717����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5641����s���244����h.41����t2������İ431����t2�������T,NONE��������S4���΄
=ff���͟�32�5647����s���245�����h4463����t2�������T,NONE�������vŎ������14����뢠������a����P��������)M�@4.4��H
Mordell-W���eil�n#groups�of�p�`ositiv��e�ev�en�rank�and�the���X��Ӵ�@they����H
probably��induce����p����,4����.M�L�(1)��=�0���^7�d���h��L�(1)���6�=�0�����gd������0�cong�������L�(1)�=�
�8���2���^�������c�����.M�389A����^~ɲ1����m���389E��������20������5����0�25�=�97�������.M�433A����^~ɲ1����m���433D��������16������7���հ�49�=�9�������.M�446B����^~ɲ1����m���446F�����0��8����0�11����0�121�=�3�������.M�563A����^~ɲ1����m���563E��������31����0�13����0�169�=�281�������.M�571B����^~ɲ1����m���571D�����0��2������3����0�9�������.M�643A����^~ɲ1�����m��NONE���������.M�655A����^~ɲ1����m���655D��������13������9���ڰ�81�������.M�664A����^~ɲ1����m���664F�����0��8������5���ڰ�25�������.M�681C����^~ɲ1����m���681B�����0��1������3����0�9�������.M�707A����^~ɲ1����m���707G��������15����0�13����0�169�������.M�718B����^~ɲ1����m���718F�����0��7������7���ڰ�49�������.M�794A����^~ɲ1����m���794G��������12����0�11����0�121�=�3�������.M�817A����^~ɲ1����m���817E��������15������7���հ�49�=�5�������.M�916C����^~ɲ1����m���916G�����0��9����0�11����0�121�������.M�944E����^~ɲ1����m���944O�����0��6������7���ڰ�49�������.M�997B����^~ɲ1����m���997H��������42������3����0�81�=�83�������.M�997C����^~ɲ1����m���997H��������42������3����0�81�=�83�������.M�1001C����^~ɲ1����m���1001F�����0��3������3���ڰ�27�������.M�1001C����^~ɲ1����m���1001L�����0��7������7���ڰ�49�������.M�1028A����^~ɲ1����m���1028E��������14����0�11���հ�3267�������.M�1034A����^~ɲ1�����m��NONE���������.M�1041B����^~ɲ2����m���1041E�����0��4������5���ڰ�25�������.M�1041B����^~ɲ2����m���1041J��������13����0�25����0�625�������.M�1058C����^~ɲ1����m���1058D�����0��1������5���ڰ�25�������.M�1061B����^~ɲ2����m���1061D��������46������151����0�22801�=�265�������.M�1070A����^~ɲ1����m���1070M�����0��7����0�15���ڰ�75�������.M�1073A����^~ɲ1�����m��NONE���������.M�1077A����^~ɲ1����m���1077J��������15������9���ڰ�81�������.M�1088J����^~ɲ1����m���1088R�����0��2������3����0�9�������.M�1094A����^~ɲ1����m���1094F��������13����0�11����0�121�=�3�������.M�1102A����^~ɲ1����m���1102K�����0��4������3����0�9�������.M�1126A����^~ɲ1����m���1126F��������11����0�11����0�121�������.M�1132A����^~ɲ1����m���1132F��������12������5����0�225�������.M�1137A����^~ɲ1����m���1137C��������14������9���ڰ�81�������.M�1141A����^~ɲ1����m���1141I��������22������7���ư�1524537�=�41������,4���c��������1143C����,�P�1����;�Q�1143J����h�9���|�11������121����������1147A����,�P�1����;�Q�1147H����e��23���~��5�����225�=�19����������1171A����,�P�1����;�Q�1171D����e��53���|�11������121�=�195����������1246C����,�P�1����;�Q�1246B����h�1���~��5�����25����������1309B����,�P�1�����;�QNONE������������1324A����,�P�1����;�Q�1324E����e��14���~��9�����6561����������1325E����,�P�1����;�Q�1325T����e��11���~��9�����2187����������1363B����,�P�2����;�Q�1363F����e��25���|�31������961�=�5����������1431A����,�P�1����;�Q�1431L����e��14���~��3������9����������1436A����,�P�1�����;�QNONE������������1443C����,�P�1����;�Q�1443G����h�5���~��7�����49����������1446A����,�P�1����;�Q�1446N����h�7���~��3������9����������1466B����,�P�1����;�Q�1466H����e��23���|�13����� k�4331806939187/367�����������1477A����,�P�1����;�Q�1477C����e��24���|�13������169����������1480A����,�P�1����;�Q�1480G����h�5���~��7�����49����������1483A����,�P�1����;�Q�1483D����e��67���|�15������225�=�247����������1525C����,�P�1����;�Q�1525O����e��16���~��7�����49����������1531A����,�P�1����;�Q�1531D����e��73���~��3�����3�=�85����������1534B����,�P�1����;�Q�1534J����h�6���~��3������3����������1567B����,�P�3����;�Q�1567D����e��69���y��287������82369�=�261����������1570B����,�P�1����;�Q�1570J����h�6���|�11������121����������1576A����,�P�1����;�Q�1576E����e��14���|�11������121����������1591A����,�P�1����;�Q�1591F����e��35���|�31������6727�=�19����������1594A����,�P�1����;�Q�1594J����e��17���~��3������3370648239�=�19����������1608A����,�P�1����;�Q�1608J����h�6���|�13������169����������1611D����,�P�1����;�Q�1611O����e��11���~��9�����81����������1613A����,�P�1����;�Q�1613D����e��75���~��5�����25�=�403����������1615A����,�P�1����;�Q�1615J����e��13���~��9�����102141����������1621A����,�P�1����;�Q�1621C����e��70���|�17������289�=�135����������1627A����,�P�1����;�Q�1627C����e��73���~��9�����81�=�271����������1633A����,�P�3����;�Q�1633D����e��27���y��189������35721����������1639B����,�P�1����;�Q�1639G����e��34���|�17������680017�=�25����������1641B����,�P�1����;�Q�1641J����e��24���|�23������529����������1642A����,�P�1����;�Q�1642D����e��14���~��7�����49�������1Ȥ��)M�643A�,�cW�1034A�,��1073A�,��1309B�c�all�ha���v�e�cWmo�Gdular�degree�a�p�o���w�er�cWof�2;���1436A�c�has�mo�dular����)Mdegree�UUdivisible�b���y�3.�������15����A��������a����P��������)M�@4.5��H
Conjecturally��visible���X���n�@of�mo�`dular�motiv��es�of�w�eigh�t��4��uT��)M�Supp�Gose�U%�f�h��and��g����are�elemen���ts�of��S����4��|s�(����0���(�N��))�U%suc�h�that��p���^��2��C��j���L�(���LM����
�;���f���[�;����2)�=�
�and��L�(���LM����
�;���g��nB�;��2)��=�0.����)MIf�U�f�(�and��g�q.�satisfy�a�\�p�-congruence",�""do�Ges��p��then�divide�the�\visible�part"�of���X���۲(���LM����
�;���f���[�(2))?���A1ȍ���4�������#$�LM������_���f�������?��dim�������8�p���^��2������n��LM����5���g������82.�dim������c������#$�127k4C������޲17����n743���^��2�����n��127k4A����>��1��������#$�159k4E�����߲8����n723���^��2�����n��159k4B����>��1��������#$�365k4E������޲18����n729���^��2�����n��365k4A����>��1��������#$�369k4I�����߲9����n713���^��2�����n��369k4A����>��1��������#$�453k4E������޲23����n717���^��2�����n��453k4A����>��1��������#$�465k4H�����߲7����n711���^��2�����n��465k4A����>��1��������#$�477k4L������޲12����n773���^��2�����n��477k4A����>��1��������#$�567k4G�����߲8�����13���^��2��|s�;����23���^��2�����n��567k4A����>��1��������#$�581k4E������޲34����n719���^��2�����n��581k4A����>��1�����T���)M�5��A��Questions�ffand�conjectures�����)M�The��follo���wing�questions�and�conjectures�w�ere�motiv��q�ated�b�y�the�tables�ab�Go�v�e�and�the����)Mcomputations���that�w���en�t���in�to�creating�them.�9�The�rst�conjecture�suggests�a�generalization����)Mof��a�result�of�Rib�Get�on�lev���el�raising.�+VThe�second�conjecture�asserts�that���X�����is�alw�a�ys�visible����)Min�?�an�appropriate�mo�Gdular�Jacobian.�j�The�third�question�suggests�a�new�approac���h�to�the����)Mlong-standing��op�Gen�problem�of�constructing�p�oin���ts�on�ab�elian�v��q�arieties�of�analytic�rank����)Mgreater�UUthan�1�o���v�er�UUthe�Hec���k�e�UUalgebra.���I���)M�@5.1��H
Lev��el��raising�non�v��@anishing�conjecture����)M�Let��ܵf�ڧ�2���S����2��|s�(����0���(�N��))�b�Ge�a�newform�suc���h�that�the�sign�of�the�functional�equation�of��L�(�A����f��/ �;���s�)����)Mis���equal�to�+1,��and�x�a�prime����suc���h�that�the�asso�Gciated�Galois�represen�tation������f�Z�;��M�=����)M�A����f��/ �[��]��"is�irreducible.�f.F��*�or�eac���h�prime��q�W��not�dividing��N��,�%�let���=��:���J����0��|s�(�N��)��!��J����0��|s�(�N�q�[ٲ)��"b�Ge�the����)Minjection��obtained�from�the�sum�of�the�t���w�o��degeneracy�maps.�L+Rib�Get's�construction�in�[�21��
]����)Mpro�Gduces�UUinnitely�man���y�primes��q��.�and�newforms��g�"�2���S����2��|s�(����0���(�q�[�N��))�UUsuc�h�that��������;��`�(�A�������_���፴f���㏲[��])�������(�A�������_���፴f���㏲)�8�\��A�������_���፴g������)M�and�UUthe�T��*�amaga���w�a�UUn�um�b�Ger��c����q����of��A���^���_��፴g���	8�is�a�p�o���w�er�of�2.��4w��)M�Conjecture��T5.1.��Fix���f��v�and���.�������5�1.����BMThen���ther��}'e�is�a��g����among�those�c�onstructe�d�by�R���ib�et�such�that��L�(�A����g����;����1)���6�=�0�.��<�����5�2.����BMIf�S���is�in�the�supp��}'ort�of�the��T�-mo�dule��[�P�c��(�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�))���^��+��	j��:���P��(�T�f�0�;��1g�)]�S�(se��}'e�The-����BMor��}'em���3.9),�then�ther�e�is�a��g����as�ab�ove�such�that��L�(�A����g����;����1)��=�0�.���I���)M�@5.2��H
Ev��en�tual��visibilit�y�conjecture����)M�Let�� �S�m��b�Ge�the�set�of�all�square-free�p�ositiv���e�in�tegers.�H�If��M���;���N��3�2���S�m��with��M��j���N��;�then�there�is����)Ma��Knatural�injection��J����0��|s�(�M��)��,��UX�!��J����0���(�N��),��Hand��Khence�a�map���X��(Ѳ(�J����0���(�M��))��!���X�����(�J����0���(�N��)).��These����)Mmaps��are�compatible,�ːso�the�collection�of�groups���X��L��(�J����0��|s�(�N��)),�with��N��3�2���S����,�forms�a�directed����)Msystem.�q�Let��UUlim���8���N��,�2�S���%'չX��0�[�(�J����0��|s�(�N��))�UUb�Ge�the�direct�limit�of�the���X���۲(�J����0���(�N��)).��4w��)M�Conjecture��T5.2.���lim���㑟��N��,�2�S���&Ҁ�X��2v�(�J����0��|s�(�N��))��=�0����8MIf�|�true,���this�w���ould�imply�that�if��A�����J����0��|s�(�N��),�then�|�eac���h�elemen�t�of���X�� d�(�A�)�is�visible�in����)Msome�UU�J����0��|s�(�N����^��0���T�),�for�some�m���ultiple��N����^��0��:��of��N��.�������16����Uנ������a����P��������)M�@5.3��H
Euler��systems��uT��)M�In���[�9��]�and�[�16��
]�one�nds�a�construction�using�the�Heegner�p�Goin���t�Euler�system�of�Kolyv��q�agin����)Mof�a�the�Shafarevic���h-T��*�ate�groups�of�certain�ab�Gelian�v��q�arieties.� �Under�an�un�v�eried�h�yp�Gothesis����)Mon���Heegner�p�Goin���ts,���the�construction�giv�es�m�uc�h�of���X��IJ�(�A����f��/ �=K���),���where��K�\�is�a�suitable����)Mimaginary�s�quadratic�eld.��rIs�it�p�Gossible�to�v���erify�the�un�v�eried�h�yp�Gothesis,��construct�����)MVis���7����J��=��(��X�����(�A����f��/ �=K���)),�ȭand�~ith���us�pro�v�e�that���X��!�(�A���^���_��v��f���㏵=K���)�con�tains�visible�elemen�ts,�ȭwhen�the����)MBSD�~conjecture�~9suggests�that�it�should?�*If�so,��?it�w���ould�follo�w�that�there�is�a�congruen�t��B���^����q�_��v��f������)M�ha���ving�3�p�Gositiv�e�algebraic�rank,�:jas�predicted�b�y�the�BSD�3�conjecture.�f�Th�us�a�construction����)Mof�Pvisible�elemen���ts�of���X���ֲ(�A���^���_��v��f���㏲)�also�leads�to�a�construction�of�p�Goin�ts�on�ab�Gelian�v��q�arieties�of����)Mp�Gositiv���e�UUanalytic�rank.�� ����)M�References�������.M�[1]���=�@A.�xAgashe�and�W.���A.�Stein,����The��kgener��}'alize�d�Manin�c�onstant,��Lc�ongruenc�e�primes,����=�@and���the�mo��}'dular�de�gr�e�e�,�UUin�preparation.��������.M[2]���=�@S.���Bosc���h,�W.�L�G����utk�eb�ohmert,�and���M.�Ra�ynaud,��N�����$�er��}'on��mo�dels�,�Springer-V��*�erlag,����=�@Berlin,�UU1990.������.M[3]���=�@J.���E.��cCremona,����A���lgorithms��yfor�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second��ced.,�Cam���bridge�Uni-����=�@v���ersit�y�UUPress,�Cam���bridge,�1997.������.M[4]���=�@J.���E.��Cremona�and�B.�Mazur,�K�Visualizing�Khelements�in�the�Shafar��}'evich-T��;�ate�gr�oup�,�Kto����=�@app�Gear�UUin�Exp�erimen���t.�Math.������.M[5]���=�@F.�*�Diamond�and�J.�Im,�`�Mo��}'dular�XAforms�and�mo�dular�curves�,�`Seminar�*�on�Fermat's����=�@Last�UUTheorem,�Pro���vidence,�RI,�1995,�pp.�39{133.������.M[6]���=�@M.�UUEmerton,��Optimal���quotients�of�mo��}'dular�Jac�obians�,�UUPreprin���t�(2000).������.M[7]���=�@B.��Gross�and�D.�Zagier,�.�He��}'e�gner�3qp�oints�and�derivatives�of��L�-series�,�.In���v�en�t.��Math.����=�@�84�UU�(1986),�no.�2,�225{320.������.M[8]���=�@D.���R.��;Kohel�and�W.�A.�Stein,��@�Comp��}'onent��iGr�oups�of�Quotients�of��J����0��|s�(�N��),��@Pro�Gceedings����=�@of���the�4th�In���ternational�Symp�Gosium�(ANTS-IV),�Leiden,��|Netherlands,�July���2{7,�2000����=�@(Berlin),�UUSpringer,�2000.������.M[9]���=�@V.���A.�yKolyv��q�agin,�@��On�@�the�structur��}'e�of�Shafar�evich-Tate�gr�oups�,�@�Algebraic�ygeometry����=�@(Chicago,�UUIL,�1989),�Springer,�Berlin,�1991,�pp.�94{121.������)M[10]���=�@V.���A.�™Kolyv��q�agin�and�D.�Y.�Logac���hev,����Finiteness��mof�the�Shafar��}'evich-Tate�gr�oup�and����=�@the��gr��}'oup�of�r�ational�p�oints�for�some�mo�dular�ab�elian�varieties�,���Algebra���i�Analiz��1����=�@�(1989),�UUno.�5,�171{196.������)M[11]����=�@�ff��]�,���Finiteness��of���X���~�over�total���ly�r��}'e�al��elds�,�Math.��)USSR��Izv���estiy�a��39��(1992),����=�@no.�UU1,�829{853.������)M[12]���=�@S.���Lang,�
�Intr��}'o�duction��lto�mo��}'dular�forms�,�Springer-V��*�erlag,�Berlin,�1995,�With���ap-����=�@p�Gendixes�UUb���y�D.�Zagier�and�W.�F��*�eit,�Corrected�reprin�t�of�the�1976�original.������)M[13]���=�@S.��Lang�and�J.�T��*�ate,����Princip��}'al���homo�gene�ous�sp�ac�es�over�ab�elian�varieties�,���Amer.��J.����=�@Math.�UU�80��(1958),�659{684.������)M[14]���=�@J.���I.�T�Manin,�U�Par��}'ab�olic���p�oints�and�zeta�functions�of�mo�dular�curves�,�UIzv.�T�Ak��q�ad.�Nauk����=�@SSSR�UUSer.�Mat.��36��(1972),�19{66.�������17����g��������a����P���������)M�[15]���=�@B.���Mazur,���R��}'ational��9iso�genies�of�prime�de�gr�e�e�(with�an�app�endix�by�D.�Goldfeld)�,����=�@In���v�en�t.�UUMath.��44��(1978),�no.�2,�129{162.������)M[16]���=�@W.���G.��McCallum,�t��Kolyvagin���P's�#�work�on�Shafar��}'evich-Tate�gr�oups�,�t��L�-functions��and����=�@arithmetic�D�(Durham,�H1989),�Cam���bridge�Univ.�Press,�Cam���bridge,�1991,�pp.�295{316.������)M[17]���=�@L.�C1Merel,�F��Universal��6Fourier�exp��}'ansions�of�mo�dular�forms�,�F�On�C1Artin's�conjecture�for����=�@o�Gdd�UU2-dimensional�represen���tations�(Berlin),�Springer,�1994,�pp.�59{94.������)M[18]���=�@J.���S.�UUMilne,���'��x����Etale���c��}'ohomolo�gy�,�UUPrinceton�Univ���ersit�y�UUPress,�Princeton,�N.J.,�1980.������)M[19]����=�@�ff��]�,��g�A���b��}'elian��<varieties�,�Arithmetic��+geometry�(Storrs,��gConn.,�1984),�Springer,�New����=�@Y��*�ork,�UU1986,�pp.�103{150.������)M[20]����=�@�ff��]�,�UU�A���rithmetic���duality�the��}'or�ems�,�Academic�Press�Inc.,�Boston,�Mass.,�1986.������)M[21]���=�@K.���A.�&
Rib�Get,�/��R��}'aising�hethe�levels�of�mo�dular�r�epr�esentations�,�/�S�����Geminaire�&
de�Th���Georie�des����=�@Nom���bres,�UUP�aris�1987{88,�Birkh����auser�Boston,�Boston,�MA,�1990,�pp.�259{271.������)M[22]���=�@J.���H.�VSilv���erman,�VI�The���arithmetic�of�el���liptic�curves�,�Springer-V��*�erlag,�New�VY�ork,�1992,����=�@Corrected�UUreprin���t�of�the�1986�original.������)M[23]���=�@W.���A.�tStein,����Comp��}'onent���gr�oups�of�optimal�quotients�of�Jac�obians�,���In�tpreparation����=�@(200).������)M[24]����=�@�ff��]�,�4�Explicit�U�appr��}'o�aches�to�mo�dular�ab�elian�varieties�,�4Ph.D.��thesis,�Univ���ersit�y�of����=�@California,�UUBerk���eley�(2000).������)M[25]����=�@�ff��]�,�9D�A���n�s�intr��}'o�duction�to�c�omputing�mo�dular�forms�using�mo�dular�symb�ols�,�9DMSRI����=�@Pro�Gceedings�UU(2000).������)M[26]���=�@W.���A.���Stein�and�H.�A.�V��*�errill,��[�Computing��Pp��}'erio�d�lattic�es�asso�ciate�d�to�newforms�,��[In����=�@preparation�UU(2000).������)M[27]���=�@J.��Sturm,�Q�On��the�c��}'ongruenc�e��of�mo��}'dular�forms�,�Num���b�Ger��theory�(New�Y��*�ork,�1984{����=�@1985),�UUSpringer,�Berlin,�1987,�pp.�275{280.������)M[28]���=�@J.���T��*�ate,�ǟ�On��the�c��}'onje�ctur�es��of�Bir��}'ch�and�Swinnerton-Dyer�and�a�ge�ometric�analo�g�,����=�@S�����Geminaire�\ZBourbaki,�^V��*�ol.�9,�So�Gc.�Math.�F��*�rance,�P���aris,�1995,�pp.�Exp.�No.�306,�415{����=�@440.�������18����v����;��������L�Ɍ

cmbsy10�F�%n�

eufm10�A��g�ffcmmi12�@��N�cmbx12�?�':

cmti10�>�-�hcmbx5�=f$�cmbx7�<�"V

cmbx10�:���

msbm10�6��N�ffcmbx12�5X�Qffcmr12�1����		cmsy9�05��"		cmmi9�/t�:		cmbx9�.o���		cmr9�!q�%cmsy6� �K�cmsy8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12��-�G�
cmcsc10��hV1
wncyr10��5D

xycmbt10��5D

xycmat10��5D

xybsql10��6δ

xydash10��hV1

wncyr10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10��������