CoCalc -- Collaborative Calculation in the Cloud
Sharedwww / Tables / nonmaximal.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.07.12:0056������y�����?������>�K�`y

cmr10�Preprin���t�UU(July�12,�1999),�V��*�ersion�0.1��:�/��>���N�G�cmbx12�The�Q�rst�few�nonmaximal�orders�attac��u�hed��?���>to�z�w��u�eigh�t�t�w�o�newforms�on��D��tG�G�cmr17������X�Qcmr12�0��_��(���g�G�cmmi12�N���)���ꨍ�>�W.A.��Stein����>�o���		cmr9�Departmen��9t�Tof�Mathematics,�Univ�ersit�y�of�California,�Berk�eley��:�,�CA�94720,�USA��N8�)K�>�!��N�ffcmbx12�In���tro�s3duction�����>�Let�UU�
�b>

cmmi10�f�ڧ�
!",�

cmsy10�2���S����ٓ�Rcmr7�2��|s�(����0���(�N��))�b�Ge�a�w���eigh�t�t�w�o�newform.�q�A�ttac�h�to��f�h�the�ring���
���p�O����	0e�rcmmi7�f���8�=����"V

cmbx10�Z�[��:���:�:��
UOa����n���&�:���:�:��qu�]����>generated�~�b���y�the�F��*�ourier�co�Gecien�ts�of��f���.�*+This�ring�is�an�order�in�the�totally�real����>n���um�b�Ger�Ileld��K����f���8�=���Q�[��:���:�:��
UOa����n���&�:���:�:��qu�].�zDa���vid�Carleton�ask�ed�me�for�examples�in�whic�h����>�O����f��]�is��=not�equal�to�the�maximal�order�in��K����f��/ �,���equiv��q�alen���tly��*�,�for��=whic�h��Sp�Gec��&\(�O����f��/ �)�is����>not���normal.�Z�Armand�Brumer�p�Goin���ted�out�that�Birc�h�had�long�ago�lab�Goriously����>compiled��tables�of��f����so�that��O����f��� �app�Geared�to�b�e�non-maximal.�1Unfortunately��*�,���w���e����>do�;knot�ha���v�e�;kaccess�to�Birc���h's�tables�and�it�w�as�p�Gerhaps�p�ossible�that�in�Birc���h's����>examples,�s/giv���en�:the�limited�computing�resources�of�the�da�y��*�,�s/that�he�had�not����>computed��enough�of�the��a����n��q~�'s�to�generate�the�full�ring��O����f��/ �.�@�When��N��~�=��c1�and����>the�UUw���eigh�t�gro�ws,�Jo�Gc�hno�witz�sho�w�ed�that��O����f���u�is�far�from�normal.�� �p��>�Data�ffgathering����>�Using����*��<x

cmtt10�HECKE��w�[�3��],�
�the�author�computed�the�index�of��O����f��*��in�the�maximal�order�for����>ev���ery�UUnewform��f�h�of�lev�el��N��3����450.�q�This�w�as�done�as�follo�ws:��7=�����J8�1.����WCompute��qenough��a����n���to�generate��O����f��ӑ�as�a��Z�-mo�Gdule�using�the�Sturm�b�ound����W[�1��,��UU2��UV,��UU4��].��������J8�2.����WCompute�ێthe�discriminan���t�of��O����f��
��b�y�em�b�Gedding�a�matrix�represen�tation�of����W�O����f����in���to�W�a�space�of�column�v�ectors,���nding�an�in�tegral�basis,���and�computing����Wthe�UUdeterminan���t�of�the�trace�pairing.�������J8�3.����WCompute�UUthe�discriminan���t�of��K����f���u�using��LiDIA�.��7=��MThere���are�1775�newforms�of�lev���el��N�7��� e�450.��Of�these,��O93�ha�v�e�the�prop�Gert�y����>that���O����f��!=�is��+�':

cmti10�not��maximal.�P�The�distribution�is�as�follo���ws,��where�index�is�the�index����>of�UU�O����f���u�in�the�maximal�order.������1����*�y�����?��������T��
�able��T1.�pDistribution�of�indexes���C����>��L͉ffyw�fd����ͤ���ff��Ο�fd�index�E���ff���:�]1�
Lϟ���ff���U�`2�LΟ���ff���ia3��͟���ff���|�c4�LΟ���ff����d5��͟���ff����e6��͟���ff����f7��͟���ff����g8��͟���ff����h9��͟���ff����i10��͟���ff����k11��͟���ff���m12��͟���ff���'o13��͟���ff���=q14��͟���ff���Ss15��͟���ff���iu16��͟���ff����ffyw�����ͤ���ff��Ο�fdn���um�b�Ger��͡�ff���3[1682��͟���ff���S_77��͟���ff���ia1��͟���ff���zb12��͟���ff����d1��͟���ff����e0��͟���ff����f0��͟���ff����g1��͟���ff����h0��͟���ff����j0�LΟ���ff�����l0�LΟ���ff����n0�LΟ���ff���)�p0�LΟ���ff���?�r0�LΟ���ff���U�t0�LΟ���ff���k�v1�LΟ���ff����ffyw����,�Ѝ�E)+�T��
�able��T2.�pEac��9h�newform�of�lev�el�����450��with��O����f��	t�ha�ving�giv�en�index:��]������>��LΉff��8�fd����ͤ���ff��͟�fd�index���ff���)�w�f�Q�7����ff����ff��8��ff��8�����ͤ���ff���fd�2���ff���)�w69B,�UU77D,�105B,�136C,�138D,�154D,�160C,�165C,�171E,�195E,�207D,�213E,�%����ff�������͟���ff�#6�ff���)�w217D,�UU221D,�221G,�224C,�224D,�225F,�226D,�238F,�255D,�256E,�260B,�272E,��͟���ff�������͟���ff�#6�ff���)�w273E,�UU282E,�299B,�299G,�301D,�305C,�305D,�310E,�315F,�320G,�322E,�322G,��\����ff�������͟���ff�#6�ff���)�w323E,�UU329F,�337B,�340B,�355E,�357H,�359D,�363G,�368I,�376D,�377F,�385H,�
>�����ff�������͟���ff�#6�ff���)�w390H,�UU392G,�399F,�399G,�406G,�410E,�410G,�410I,�414F,�415D,�416D,�417F,�������ff�������͟���ff�#6�ff���)�w426G,�UU429H,�433C,�434I,�435E,�435J,�437F,�438H,�438I,�442F,�442H,�442I,�iA����ff�������͟���ff�#6�ff���)�w445A,�UU445F,�445G,�448I,�448J�Ծ�����ff����ff��8�fd����ͤ���ff���fd3���ff���)�w271B�@�4����ff����ff��8�����ͤ���ff���fd4���ff���)�w219E,�UU291H,�293B,�303E,�371E,�387J,�389E,�395H,�413F,�416F,�431F,�437H�Y����ff����ff��8�����ͤ���ff���fd5���ff���)�w401B�@�4����ff����ff��8�����ͤ���ff���fd8���ff���)�w371F�AIm����ff����ff��8�����ͤ���ff����fd16���ff���)�w257B�@�4����ff����ff��8����r�ύ�n7��T��
�able��T3.�pThe�rst�example�exhibiting�eac��9h�index.��;`���>��L͉ffy*�fd����͟���ff���͟�fd�index��!6�ff���&�v�f��П���ff���F�в[�K����f���8�:���Q�]��͟���ff�����disc���T�(�K����f��/ �)�q������ff����ffy*��ffy*�����ͤ���ff���fd2���ff����&�v69B��A~�����ff���VL2�g����ff����2�5��D����ff�������ͤ���ff���fd3���ff����&�v271B��A~�����ff���S�16������ff����@�1367�8���6091����1132673����14171513����172450541�&'{����ff�������ͤ���ff���fd4���ff����&�v219E��A~�����ff���VL6�g����ff�����2���^��2���S��8�1189637�j������ff�������ͤ���ff���fd5���ff����&�v401B��A~�����ff���S�21������ff���t�;2���^��8���S��8�19����163����71742740351����388881803749����34393898968391��͟���ff�������ͤ���ff���fd8���ff����&�v371F��A~�����ff���S�11������ff����;�2���^��8���S��8�157����76723322773093�N"%����ff�������ͤ���ff����fd16���ff����&�v257B��A~�����ff���S�14������ff�����E2���^��7���S��8�29����479����71711����409177����654233�6�ן���ff����ffy*���C+\��>�References�������>�[1]���M�;A.�UUAgashe�and�W.A.�Stein,��Gener��}'ating���the�He�cke�algebr�a�,�UUPreprin���t�(1999).������>[2]���M�;W.A.�UUStein,��Congruenc��}'es���b�etwe�en�mo�dular�forms�,�UUNotes�(1999).������>[3]����M�;�ff��m9,�uQ�HECKE�:�g�The�mo��}'dular�forms�c�alculator�,�uQSoft���w�are�;�(a�v��q�ailable�online)����M�;(1999).������>[4]���M�;J.�0�Sturm,�7��On�rthe�c��}'ongruenc�e�rof�mo��}'dular�forms�,�Num���b�Ger�0�theory�(New�Y��*�ork,����M�;1984{1985),�UUSpringer,�Berlin,�1987,�pp.�275{280.������2��������;�y��+�':

cmti10�*��<x

cmtt10�!��N�ffcmbx12�o���		cmr9���g�G�cmmi12�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17���N�G�cmbx12��"V

cmbx10�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7�������