CoCalc -- Collaborative Calculation in the Cloud
Sharedwww / Tables / modular_degree.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.03.12:0527������ufv�������6fv����Po��D��tG�G�cmr17�The�7tKernel�of�the�Mo�s�dular�P��qolarization�of�a�����5Quotien��qt�7tof����g�G�cmmi12�J�����X�Qcmr12�0��_��(�N���)��$g͍�������K�William��A.�Stein�����2�"�K�cmsy8����������ύ�‚k�Marc��rh��12,�1999��>���6�5��N�ffcmbx12�Con���ten�ts�����6�6�"V
�3
cmbx10�1��Fl�The�2�Mo�Y�dular�P��tolarization�����1������62��Fl�The�2��8!",�
�3
cmsy10�1�-Comp�Y�onen��tt�Group�����3���"�A���6�1��NL�The�ffMo�s3dular�P���olarization��q���6�K�`y
�3
cmr10�Supp�M�ose�l��7�b>
�3
cmmi10�A��is�a�quotien��!t�of��J���z�|{Ycmr8�0����(�N�1��).�ʸBecause��J���z�0���(�N�1��)�is�a�Jacobian�it�p�M�ossesses��
����6a��fcanonical�principal�p�M�olarization.���This�induces�a�p�olarization�on��A�.��������6�Denition�2�1.1.����ݧ�The��a�mo�Y�dular�Y�p�olarization��is�the�map����a�:�CJ�A�����_��	m��!��A��aris-����6ing��ffrom�auto�M�dualit��!y�of��J���z�0����(�N�1��).����̍���������A�����_�������J���z�0����(�N�1��)������A�����Ο��-fe���
����O�

line10�?��������fe���
��?��������@������@������@������@������@������@������R�������32�fd+������-����������d�����_�������������������6�ff�ff��p�
L͍���Q
��-=�#q�%cmsy6�����a�-o���		cmr9�Univ��9ersit�y�Tof�California,�Berk��9eley��:�,�U.S.A.,��3ߤN		cmtt9�[email protected]������C3�1����*�ufv�������6fv���홊��G�Let�t��f��m�2�b��S���z�2����(���z�0���(�N�1��))�b�M�e�a�newform,��n�A�b��=��A��Ȯ� �2cmmi8�f��	��the�corresp�M�onding�optimal��
����6quotien��!t�3$of��J���z�0����(�N�1��),��Sand��<�%n�
�3
eufm10�p��Ȯ�f���=����Ann��������?2�@�cmbx8�T��!R
�(�f�-��)������T�3$�the�annihilator�of��f�`�in�the����6Hec��!k�e�algebra.�g�Let��H���z�1��	3ι=�s��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)�b�M�e�the�rst�in��!tegral�homology�of����6the��fmo�M�dular�curv��!e��X���z�0����(�N�1��).���U����6�Theorem�2�1.2.�����
�A�':
�3
cmti10�AL��p�et�����P.:��H���z�1��	2�!��A�(�C�)��Ab��p�e�the�p�erio�d�map.�$�Then�ther�e�is�an����6exact���se��p�quenc�e���ፒ�i>�0�
��!��(�H���z�1����[�p��Ȯ�f��w�])��!��(�H���z�1���)��!���Ker����(��j�)��!��0�:������6�APr��p�o�of.����
����6�Step���1:��gP��tass�to�lattices.�1޹Ov��!er��the�complex�n�um�b�M�er�w�e�ma�y�write�eac�h����6of�U^�A��and��A�����_��
��as�complex�tori��T�7w=��where��T����������������l������=�����f �C�����d��	5�and��is�a�lattice.���The����6isogen��!y�ү�����:�Tv�A�����_��	&�!��A��induces�maps��T��V�(�A�����_��*��)��!��T��(�A�)�үand�(�A�����_��*��)�Tv�!��(�A�).�b�W��ee����6th��!us� )obtain�the�follo�wing�comm�uting�diagram�with�exact�ro�ws�and�columns.��O�������������0����i0���
��������#����i#������]/(�0����
������	��!����W�0����������������!���Ɯ��(�A�����_��*��)�������Ez��������!���
��(�A�)������/�G�����6A\!���K4��L������\�M�����cYb!�
��0�������W�#�����#����i#���L1�#������]/(�0����
������	��!����W�0����������������!����tG�T��V�(�A�����_��*��)�������Ez��������!����%�T��V�(�A�)������/�G�����6A\!���L1��0������\�M�����cYb!�
��0�������W�#�����#����i#���L1�#�������]/(�0����
������	��!�����W��Ker����(��j�)����������������!���ά%�A�����_��������������5�������E���������������Ȋ������!q!������"�A������/�G�����6A\!���L1��0������\�M�����cYb!�
��0���������#����i#��������0����i0�������6Applying��fthe�snak��!e�lemma�w�e�see�that���ፍ����Ker���i�(��j�)���������
������l���
��=��������L�
��=��cok��!er���((�A���z��_��*��)��!��(�A�))�:����6�Step�7�2:��uIden��ttify�lattices.��ٹProp�M�osition��6�of�[�S��V]�allo��!ws�us�to�iden�tify�(�A�)��
����6and��f(�A�����_��*��)�in�terms�of�the�in��!tegral�homology��H���z�1��ʫ�=�
��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�).����GFirst��ffor��J���z�0����(�N�1��)�w��!e�ha�v�e���ፒ�;w�T��V�(�J�
��)�
�=��Hom��ک(�S���z�2����(���z�0���(�N�1��)�;��1�C�))����6and��fan�exact�sequence�������0�
��!��H���z�1��ʫ�!��T��V�(�J�
��)��!��J��(�C�)��!��0�:����6�As��ffor��A�,�w��!e�ha�v�e���鍒�i��H���z�1�������UY��5������ʫ������
f!����B�T��V�(�A�)�
��!��A�(�C�)��!��0������C32����w�ufv�������6fv���홊��6�where������%(�
����)�
�=�(�����9��u
�3
cmex10�Z���V�	���
��
B1�f���z�1����;���1:�:�:��?�;���1����Z���臟	���
��b�f��Ȯ�d��ߨ�)�:������6�(See��fb�M�elo��!w�for�the�basis�for��T��V�(�A�).)���W��ee�th�us�ha�v�e��%���������T��V�(�A�)������;�=�������� Hom����"(�S����[�p��Ȯ�f��w�]�;��1�C�)������������(�A�)������;�=������� (�H���z�1����)������6In��Kdening��w��!e�ha�v�e�c�hosen�the�basis��f���z�1����;���1:�:�:��?�;��1f��Ȯ�d����for��S����[�p��Ȯ�f��w�],���in�order�to�obtain��
����6a��fbasis�for��T��V�(�A�).���F��eor��A�����_��	��w��!e�ha�v�e�������	��T��V�(�A���z��_��*��)������ں=������_�T��V�(�J�
��)[�p��Ȯ�f��w�]���������Z�(�A���z��_��*��)������ں=������_�H���z�1����[�p��Ȯ�f��w�]������6�Step�2�3:���Compute��L�.��
����G�The��zmap�(�A�����_��*��)�E�!��(�A�)��zinduced�b��!y���3��is�the�restriction�of��to��H���z�1����[�p��Ȯ�f��w�].����6Th��!us���ȍ�ę��L�
��=�����������(�H���z�1����)��=ڟ㦉p /NT�
��(�H���z�1����[�p��Ȯ�f��w�])�����4�a�;���q��6�whic��!h,��fcom�bined�with�step�1,�completes�the�pro�M�of.���o�d,ff���:�ff���Ɖff�������d,ff����"����6�2��NL�The�ff�C!",�ff
cmsy10�C1�-Comp�s3onen���t�Group��q���6�Fix�u�a�newform��f����2�c��S���z�2����(���z�0���(�N�1��))�u�as�b�M�efore�and�let��A��Ȯ�f��	찹b�e�the�corresp�onding����6optimal��fquotien��!t�of��J���z�0����(�N�1��).���Dene�groups��%������~_�Y�����A������ɷ��=������;��H���z�1����[�p��Ȯ�f��w�]����������a�Y�����A������_�������ɷ��=�������;�Hom����(�H���z�1����;��1�Z�)[�p��Ȯ�f��w�]��������6�Conjecture�2�2.1.�������ATher��p�e���is�an�exact�se�quenc�e�of�ab�elian�gr�oups�����H��0�
��!��Y�����A������_���h��!���Hom��ک(�Y�����A�����;��1�Z�)��!���Ker����(��j�)��!��0�:����G�Evidence.���It's��%only�a�conjecture�b�M�ecause�I��$ha��!v�e��%not�w��!ork�ed��%out�all�the��
����6details�Suy��!et.��The�basic�idea�is�that�in�computing�(�H���z�1����)�=�(�H���z�1���[�p��Ȯ�f��w�])�Suw�e�can����6replace��f�b��!y�an�y�homomorphism�	�eminating�from��H���z�1��fj�and�satisfying��%������#Ker���s3(	)�
�=��Ker����()�:����G�No��!w��	let's�mak�e�a�few�assumptions�related�to�the�structure�of�the��T�-��
����6mo�M�dule��f�H���z�1��ʫ�=�
��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�C�):���Let��������V��Ȯ�f���ƹ=��
�Hom��ک(�H���z�1����;��1�Z�)[�p��Ȯ�f��w�]�:������C3�3����7�ufv�������6fv���홊��6�Assumption���1.����dim�������Z�� lI�V��Ȯ�f��	�=���2�d;���where��d��is�the�n��!um�b�M�er��of�conjugates�of��f�-��.��
����6Fix��fa�basis��'���z�1����;���1:�:�:��?�;��1'��Ȯ�2�d����for��V��Ȯ�f��	��and�dene�������^1	�
�:��H���z�1��ʫ�!��Z�;�����R1�	(�x�)�
�=�(�'���z�1����(�x�)�;���1:�:�:��?�;��1'��Ȯ�2�d��	��(�x�))�:�����6�Assumption�2�2.���ݹKer����(	)�
�=��Ker����()�����GGiv��!en��'these�t�w�o�assumptions,��fcomputing�	(�H���z�1����)�=�	(�H���z�1���[�p��Ȯ�f��w�])��'and�comput-����6ing��fthe�cok��!ernel��Y�����A������_���h��!��
��Hom��ک(�Y�����A�����;��1�Z�)�are�the�same�thing.����GI��think��Cb�M�oth�of�these�assumption�can�b�e�sho��!wn�b�y�lo�M�oking�at�c�haracteris-����6tic��{p�M�olynomials�of�Hec��!k�e��{op�erators�and�using�the�A��!tkin-Lehner�m�ultiplicit�y����6one��ftheory��e.��Gj���GIn��Sanalogy�with�the�Grothendiec��!k-Ra�ynaud-Rib�M�et��Sdescription�of�the�lo�cal����6comp�M�onen��!t��fgroups�of�Neron�mo�dels�w��!e�mak�e�the�follo�wing�denition.��������6�Denition�2�2.2.����ݧ�The��f�1�-comp�Y�onen��tt�2�group��is�����������A;�1����:=��
�Ker����(��j�)�:��"�A��6�References��q�����6�[S]���{�G.��BShim��!ura,���AOn��the�factors�of�the�jac��p�obian�variety�of�a�mo�d-����{�ular�UUfunction�eld�,�6�J.�Math.�So�M�c.�Japan,��25�,�No.�3,�523{544����{�(1973).������C34����l���;�ufv��C!",�ff
cmsy10�A�':
�3
cmti10�?2�@�cmbx8�<�%n�
�3
eufm10�9��u
�3
cmex10�8!",�
�3
cmsy10�7�b>
�3
cmmi10�6�"V
�3
cmbx10�5��N�ffcmbx12�3ߤN		cmtt9�-o���		cmr9�#q�%cmsy6�"�K�cmsy8� �2cmmi8�|{Ycmr8���g�G�cmmi12�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�K�`y
�3
cmr10��O�

line10�"H�����