Sharedwww / Tables / modsymbols.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.02.17:0302��������ҍ��ut٠l�'����[C��t?��D��tG�G�cmr17�Manin�7tsym��qb�s�ols�and�mo�dular�forms�����*��X�Qcmr12�(rst��draft)��lύ�������William��A.�Stein�����2��K�cmsy8����������ύ��%μF��Vebruary��17,�1999��>���iF�.��N�ffcmbx12�Con���ten�ts�����iF�/�"V
�3
cmbx10�1���In��ttro�Y�duction��wڲ1���
�������K�`y
�3
cmr10�1.1��-wNotation�F������.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�2������iF�2���Mo�Y�dular�2�sym��tb�ols�and�mo�dular�forms���c�2��������2.1��-wMo�M�dular��fsym��!b�ols��������.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�2�������2.2��-wManin��fsym��!b�M�ols�������.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�3�������2.3��-wCuspidal��fmo�M�dular�sym��!b�ols�]Í����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�5�������2.4��-wDualit��!y��fb�M�et�w�een�mo�M�dular�sym�b�M�ols�and�mo�dular�forms��_�����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�5������-w2.4.1��P�W��eeigh��!t��f2�5퍍���.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�5������-w2.4.2��P�Higher��fw��!eigh�t�}�����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�5�������2.5��-wComplex��fconjugation��[�����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�6�������2.6��-wEic��!hler-Shim�ura��9�����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�6������iF�3���Linear�2�maps��y[�7��������3.1��-wLinear��fop�M�erators������.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�7������-w3.1.1��P�Action��fon�mo�M�dular�forms�������.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�8������-w3.1.2��P�Action��fon�mo�M�dular�sym��!b�ols�̊�����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�8������-w3.1.3��P�Hec��!k�e��fop�M�erators�.&�����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�8�������3.2��-wAction��fon�Manin�sym��!b�M�ols�id�����.����=�����.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����.�8������iF�4���Generating�2��0�b>
�3
cmmi10�H���z�|{Ycmr8�1����(�;��1�Z�)��Q߾�9���"�A���iF�1���In���tro�s3duction��q����J�\The��fob���ject�of�n��!umerical�computation�is�theoretical�adv��dDance."������J{��fA��!tkin��iF�ff�ff�2��
L͍���Q
��-=�q�%cmsy6�����a�&o���		cmr9�Univ��9ersit�y�Tof�California,�Berk��9eley��:�,�U.S.A.,��,ߤN		cmtt9�[email protected]�����꬝�1����*���ҍ��ut٠l�'����tٍ�iF�The���denition�of�the�spaces��S��Ȯ��2cmmi8�k��#��()�of�mo�M�dular�forms�as�functions�on�the�upp�er�half�plane��7�%n�
�3
eufm10�h��
����iF�satisfying��1a�certain�equation�is�v��!ery�abstract.��!The�denition�of�the�Hec�k�e�op�M�erators�ev�en�more�so.����iFW��ee���are�fortunate�that�w��!e�no�w�ha�v�e�metho�M�ds�a�v��dDailable�whic�h�allo�w�us�to�transform�the�v�ector����iFspace��of�cusp�forms�of�giv��!en�w�eigh�t��1!",�
�3
cmsy10��
��2�and�lev�el��N�:v�in�to�a�concrete�ob���ject,�(Zwhic�h�can�b�M�e�explicitely����iFcomputed.�ubW��ee���ha��!v�e�the�w�ork�of�A�tkin-Lehner,��Birc�h-Swinnerton-Dy�er,�Cremona,�Manin,�Mazur,����iFMerel,��fand�man��!y�others�to�thank�for�this.����iFThe�fWEic��!hler-Selb�M�erg�trace�form�ulas,��Ras�dev�elop�M�ed�in�[�HJ��
��]�and�[�W��ȈA��@],��Rcan�b�e�used�to�compute����iFc��!haracteristic��p�M�olynomials�of�Hec�k�e�op�M�erators�and�hence�gain�some�information�ab�out�spaces�of����iFmo�M�dular���forms.��^It�is�also�sometimes�p�ossible�to�write�do��!wn�explicit�basis�in�terms�of�-series�and����iFto��compute�the�action�of�Hec��!k�e��op�M�erators�on�their��q�d��-expansions.��KOther�metho�ds�include�computing����iFthe���Hec��!k�e�op�M�erators�and��q�d��-expansions�using�Brandt�matrices�and�quaternion�algebras�as�in�[�P��s�]�or����iF[�K���F],��ror���the�mo�M�dule�of�sup�ersingular�p�oin��!ts�in�\c�haracteristic��N�1��"�as�exploited�b�y�Mestre�and�Oesterle����iFin��f[�M1���5].����iFThough��the�ab�M�o��!v�e��metho�ds�are�eac��!h�b�eautiful�and�w��!ell�suited�to�certain�applications,��w�e�will����iFnot�I�discuss�them�further�here.��=Instead�w��!e�fo�M�cus�on�the�mo�dular�sym��!b�ols�metho�d,�rNas�it�also�has����iFman��!y��jadv��dDan�tages.��W��ee�will�only�discusss�the�theory�in�this�summary�pap�M�er,��klea�ving�an�explicit����iFdescription�Ukof�the�ob���jects�in��!v�olv�ed�Ukfor�later.���Nonetheless�there�is�a�denite�gap�b�M�et��!w�een�Ukthe��:�':
�3
cmti10�the��p�ory����iF�on�a(the�one�hand,�oand�an�ecien��!t�running�mac�hine�implimen�tation�on�the�other.���T��eo�implimen�t�the����iFalgorithms�T�hin��!ted�at�b�M�elo�w�requires�making�absolutely�ev�erything�completely�explnicit�and�then����iFnding�ɡin��!telligen�t�and�ecien�t�w�a�ys�of�p�M�erforming�the�necessary�manipulations.��FThis�is�a�non�trivial����iFand��ftedious�task,�with�ro�M�om�for�error�at�ev��!ery�step.����iFOur��fexp�M�osition�follo��!ws�v�ery�closely�that�of�[�M��
	�].��R����iF�;��N�cmbx12�1.1��")FNotation������iF�Let���b�M�e�a�nite�index�subgroup�of��SL����q��z�2���u�(�Z�)�and��k��g��x(�2�an�in��!teger.���If��k�@Y�is�o�dd,���assume���1�x(�62��,�so����iFthat��fthe�mo�M�dular�forms�theory�is�nonempt��!y��e.���Let��P�����1����(�Q�)�
�=��Q�n��[�f1g�.��"�A���iF�2���Mo�s3dular�ffsym���b�ols�and�mo�dular�forms���񍍑iF�2.1��")FMo�`dular��sym��b�ols����iF�Let��0�M��b�M�e�the��Z�-mo�dule�generated�b��!y�formal�sym�b�M�ols��f��
`;��1����g�,�����;�����2�
��P�����1����(�Q�),���sub���ject��0to�the�relations����������f��
`;��1����g�n�+��f��;��1
����g��+��f�
�;��1�
`�g�
��=�0�:����iF�Th��!us�ϲ�f��
`;��1����g�O{�=��f��;��1�
`�g�ϲ�and��f��;��1��g�O{�=�0.�Y�There�ϲis�a�left�action�of��g���2��O{�GL����9��z�2��=�(�Q�)�giv��!en�b�y��g�d�:�f��
`;��1����g�O{�=��
����iF�f�g�d��
`;��1g�����g�.����iFLet��������V��Ȯ�k��.9�=��
�Sym����e��w�k�6���2����w�52�@�cmbx8�Z���(��(�Z�n����Z�)�
�=��Z��Ȯ�k�6���2���[�X�@<;��1Y�n�]�����iFb�M�e�
nthe�free��Z�-mo�dule�of�homogeneous�p�olynomimals�in�t��!w�o�
nv��dDariables�of�degree��k�������2.��There�is�a����iF�left��f�action�of��g�o:�=���
���!e�2��u
�3
cmex10�����wڍ��	��a����Jb���$썍�
MQc���p�d���������!e�����2�2�
��M���z�2����(�Z�)�giv��!en�b�y������\��g�d�:P��V�(�X�@<;��1Y�n�)�
�=��P��(��det���5W(�g�d��)�g����z���1����(�X�@<;��1Y�n�))�
�=��P��(�dX�J���n��bY���;��1��cX��+��aY�n�)�:�����꬝�2����`���ҍ��ut٠l�'����tٍ�iF�The��fspace��
����æ��M��Ȯ�k��.9�:=�
��V��Ȯ�k���~�
�����Z����M�:���ˍ�iF�is��fequipp�M�ed�with�a�left�action�of��M���z�2����(�Z�)�giv��!en�b�y�������'}�g�d�:�(�P��B�
�n��x�)�
�=��g�:P��B�
�n��g�:x:����iF�Let�������M��Ȯ�k��#��()�
�:=��H���z�0����(�;��1�M��Ȯ�k���)���ˍ�iFb�M�e�w�the�zeroth�homology�group.��eTh��!us��M��Ȯ�k��#��()�is�the�quotien�t�of��M��Ȯ�k�����b�y�the�relations��g�d�:x�
��=��x�w��for�all����iF�x�Yw�2�M��Ȯ�k���B�and�հ�g��
�2��.�k�The�elemen��!ts�of��M��Ȯ�k��#��()�are�called��mo��p�dular�ksymb�ols�of�weight��k�n��for��.�k�As�հw��!e����iFwill��fsee�later,�using�Shapiro's�lemma�and�an�explicit�computation,�����
t�M��Ȯ�k��#��()�n��
��C���������
������l���
��=��������H������z��1���Ź(�;��1V��Ȯ�k���~�
��C�)�:����iF�The��ftheory�of�Eic��!hler�and�Shim�ura�em�b�M�eds�mo�dular�forms�in��H��������1���Ź(�;��1V��Ȯ�k���~�
�n��C�).���5���iF�2.2��")FManin��sym��b�`ols������iF�Let��f�e�
��=��f�0�;��1�1g�2�M�.��U썍��iF�Prop�Y�osition�2�2.1�(Manin's�tric��tk).����*Y�The���elements��g�d�:e��for��g�o:�2��
��SL�������z�2����(�Z�)��gener��p�ate��M�.������iFPr��p�o�of.���%���(F��erom�9�[�CR1��q�].)���W�riting��f��
`;��1����g�
��=��f�0�;�����g����f�0�;��
`�g�,�O{it�9�suces�to�sho��!w�that�ev�ery�sym�b�M�ol�of�the����iFform��f�f�0�;��1�
`�g��is�in�the�group�generated�b��!y�the��g�d�:e�.���Let��|����������x���p���z��2���x���㦉p �؟
���O}�q���z��2�������ը�=���������=�0��=ڟ㦉p y��
��1�����
��;���������ٕp���z��1���ٕ�㦉p �؟
���O}�q���z��1�������G�=���������=�1��=ڟ㦉p y��
��0������;���������ٕp���z�0���ٕ�㦉p 
B`�
���dc�1�����Y�=���������=��p���z�0���=ڟ㦉p 
B`�
���O}�q���z�0�������m�;���������ٕp���z�1���ٕ�㦉p 
B`�
���O}�q���z�1������O(�;���������ٕp���z�2���ٕ�㦉p 
B`�
���O}�q���z�2�������;���1:�:�:��?�;���������dp���z�r���d�㦉p 
��
���O}�q���z�r������X��=�
����߹��iF�denote��fthe�con��!tin�ued��ffraction�con��!v�ergen�ts��fof�the�rational�n��!um�b�M�er��f��
`�.���Then������|���p���z�j��f
�q���z�j�v��1���r��n��p���z�j�v��1��B��q���z�j��p��=�
�(��1)���z��j�v��1���%(�for��8ZQ���1����j�����r��":����iF�Hence��:���.��f�0�;��1�
`�g�
��=���O������r��
����ѝ�����X���
"㍓�j�v�=��1�����<֟�u����������#�p�p���z�j�v��1���#�p��3�p ��
���O}�q���z�j�v��1������9���;��������dp���z�j���d��3�p 	�f�
���O}�q���z�j�������!���u����V;�=���O������r��
����ѝ�����X���
"㍓�j�v�=��1���<��g���z�j��f
�:e��&D��iF�where��f�g���z�j��p��=���
���u�����.���� �(��1)�����j�v��1��B��p���z�j����I�2�p���z�j�v��1����
�������(��1)�����j�v��1��B��q���z�j����Jf+�q���z�j�v��1������c���u����k���.���(���d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff�����C��iFT��eo��fa�pair��g�o:�2��
��SL�������z�2����(�Z�)�and��P����2�
��V��Ȯ�k�����dene�the��Manin���symb��p�ol�����|�[�P�M�;��1g�d��]�
�=��g�:�(�P��B�
�n��e�)��2�M��Ȯ�k��#��()�:����iF�The��fmatrices��Ve���3���o:�=���
���u�����.���� �0�������1���
����� 1���(0�����2����u�����Ggy�and��c����G��=���
���u�����.���� �0�������1���
����� 1�������1�����2����u���������iF�satisfy����������d���z��4��/>�=�
�1�;�y���=O��z��3��	��=�1���ˍ�iFand��fgenerate��SL�������z�2��S��(�Z�).�����꬝3����)����ҍ��ut٠l�'����tٍ���iF�Prop�Y�osition�2�2.2.���eH��L��p�et����g��{�2����SL���p?��z�2��0C�(�Z�)��and��P�>�2����V��Ȯ�k��#��.�x�The�symb�ol��[�P�M�;��1g�d��]��dep�ends�only�on��P�?��and�the��
����iFclass�E���g�d��.��YWhen��g��%�runs�thr��p�ough���SL���2��z�2����(�Z�)��and��P����runs�thr�ough��V��Ȯ�k��#��,�f�the�Manin�symb�ols�gener�ate��M��Ȯ�k��#��()����iF�(�ma��!yb�M�e�,���at�le��p�ast�this�should�b�e�true�after�tensoring�with��Q�).�	vF��)urthermor�e,�they�satisfy���f�����)"�[�P�M�;��1g�d��]�n�+�[�����z���1����P�M�;��1g���]�����/.=�����A�t0�;�������������[�P�M�;��1g�d��]�n�+�[���=O��z���1�����P�;��1g�d��=O�]�+�[�����z���2�����P�M�;��1g�d�����z��2���S�]�����/.=�����A�t0�;���������iF�Pr��p�o�of.���%���The�]rst�assertion�follo��!ws�from�the�construction�of��M��Ȯ�k��#��().�	$�The�correct�v�ersion�of�the��
����iFsecond�x6assertion�(should�someho��!w)�follo�w�from�Lemma�2.1.�
SLF��eor�the�third�assertion�note�the����iFfollo��!wing��frelations:������~��e�n�+���d��(�e�)�������Q=������	��f�0�;��1�1g�n�+��f��d��(0)�;���(�1�)�g������������Q�=������	��f�0�;��1�1g�n�+��f1�;��0�g�
��=�0�;���������Y�Qe�n�+���=O�(�e�)�+������z��2���S�(�e�)�������Q=������	��f�0�;��1�1g�n�+��f��=O�(0)�;���(�1�)�g�n�+��f���=O��z��2���S�(0)�;���=O��z��2���(�1�)�g����������Q�=������	��f�0�;��1�1g�n�+��f�1�;��0�g��+��f1�;��1�g�
��=�0�:������iF�Th��!us������oi_[�P�M�;��1g�d��]�n�+�[�����z���1����P�M�;��1g���]������Ak=������ű�g�d��(�P��B�
�n��e�)�+��g���(�����z���1����P��B�
��e�)���������Ak=������ű�g�d�P��B�
�n��e��+��g�P��B�
��g��e���������Ak�=������ű�g�d�P��B�
�n��g��(�e��+����(�e�))�
�=�0�;���������/6(�[�P�M�;��1g�d��]�n�+�[���=O��z���1�����P�;��1g�d��=O�]�+�[�����z���2�����P�M�;��1g�d�����z��2���S�]������Ak=������ű�g�d��(�P��B�
�n��e�)�+��g��=O�(�����z���1�����P��B�
�n��e�)�+��g���=O��z��2���S�(���=O��z���2�����P��B�
��e�)���������Ak=������ű�g�d�P��B�
�n��g��(�e��+���=O�(�e�)�+������z��2���S�(�e�))�
�=�0�:���������x�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������iF�Theorem�2�2.3.���Q�S�The���ab��p�ove�r�elations�gener�ate�al��Fl�r�elations�satise�d�by�the�Manin�symb�ols.�,i(Mayb�e��
����iFone���must�tensor�with��Q�.)��oo����iFR��p�emark���2.4.���Cb�Not�ϋonly�do�not�kno��!w�whether�or�not�this�is�true�b�M�efore�tensoring�with��Q�,���and�I�πdo����iFnot��fkno��!w�ho�w�to�pro�v�e�this.������iFThe��fManin�sym��!b�M�ol�[�P�;��1g�d��]�can�b�e�written�as��Z�-linear�com��!binations�of�Manin�sym�b�M�ols�������[�X������z��q��p��Y��n��z��k�6���2��q�� s�;��1g�d��]�;���f�with��%�y0�
����q�o:���k��+��n�2�:����iF�Since���[�SL����W��z�2���[�(�Z�)���:�]�is�nite,���M��Ȯ�k��#��()�is�a�nitely�generated�ab�M�elian�group.��gIn�particular,�w��!e�can����iFwrite�Ondo��!wn�an�explicit�basis�whic�h�is�then�readily�amenable�to�mac�hine�computation.���W��ee�write����iF[�X��������q��p��Y��n����k�6���2��q�� s�;��1g�d��]�
�=�[�q�;��1g��]�[&to�simplify�notation.���Let��g���z�1����;���1:�:�:��?�;��1g���z�n��	v�b�M�e�a�set�of�coset�represen��!tativ�es�[&for��in�����iFSL���V���z�2����(�Z�).���Then��f�M��Ȯ�k��#��()�is�generated�b��!y�����a��f�[�q�d�;��1a���z�i��dڹ]�
�:�0����q�o:���k��+��n�2�;��b�1����i����n�g����iF�sub���ject��fto�the�relations�giv��!en�b�y�Prop�M�osition�2.2.����iFNote��fthat��M��Ȯ�k��#��()�ma��!y�con�tain�non�trivial�torsion,�whic�h�is�not�w�ell�understo�M�o�d��f(b�y�me!).�����꬝4����7����ҍ��ut٠l�'����tٍ��iF�2.3��")FCuspidal��mo�`dular�sym��b�ols������iF�In��fthis�section�w��!e�assume��k����is�ev�en.���There�is�a�similar�denition�when��k����is�o�M�dd.��
����iFLet���D���z�0��'�=���#Div�������'�0��Տ�(�P�����1����(�Q�))�b�M�e�the�group�of�divisors�of�degree�zero�supp�orted�on��P�����1����(�Q�)�and�note����iFthat���fGL���$��z�2���(�(�Q�)��facts�on��D���z�0��fj�on�the�left�b��!y�linear�fractional�transformations.����iFLet�uX�C����()�7=��H���z�0����()�=��H���z�0���(�;��1�D���z�0���)�uXb�M�e�the�zeroth�homology�of��7����SL�������z�2�����(�Z�)�uXacting�on��D���z�0��
�;�=�����iFDiv��������'�0����(�P�����1����(�Q�)),���so��3�H���z�0���()�is�the�free�ab�M�elian�group�generated�b��!y�the�set�of�orbits��n�P���V����1��EZ�(�Q�).���It�is�the����iFfree�y�ab�M�elian�group�on�the�cusps�of�the�mo�dular�curv��!e��X����().���There�is�a�map��M��Ȯ�k��#��()�
��!�C����()�y�whic�h����iFon��fManin�sym��!b�M�ols�is�����k�[�P�M�;��1g�d��]�
��7!��P��V�(1�;��0)[�g�d��(�1�)]�n����P��V�(0�;��1)[�g�d��(0)]�:������iF�Let��f�S��Ȯ�k��#��()�b�M�e�the�k��!ernel�of�this�map.������iF�2.4��")FDualit��y��b�`et�w�een�mo�`dular�sym�b�`ols�and�mo�dular�forms�����iF�2.4.1��)�WW���\eigh��tt�2�2����iF�The���rst�homology�group��H���z�1����(�X���������;��1�Z�)�of�the�mo�M�dular�curv��!e��X�������,��view��!ed�as�a�real�2-manifold,�is�a�free����iFab�M�elian��|group�of�rank�2�g�d��,�Bwhere��g�b�is�the�gen��!us�of��X��������.�� The�global�dieren�tials�
(�X����)���=��H��������0���Ź(�X�@<;��1�
)����iFon��(�X��������,���no��!w�view�ed�as�a�Riemann�surface,���form�a��g� ��dimensional�complex�v�ector�space.�$It�is�equal����iFto��fthe�complex�v��!ector�space��S���z�2����()�of�cusp�forms.���There�is�a�nondegenerate�pairing���������h4�H���z�1����(�X���������;��1�Z�)�n��
��
(�X����)������ �!������U�C�����K�������h�
���;��1!�d��i������ 7!�������U����Z���#���	���
��+*��!�d�:����͍�iF�T��eaking��fco�M�ecien��!ts�in��R��w�e�ha�v�e�����}��H���z�1����(�X���������;��1�R�)�
�=��H���z�1���(�X���������;��1�Z�)�n��
��R�:����iF�Extending��`the�ab�M�o��!v�e��`pairing�giv��!es�a�natural�injection�of��H���z�1����(�X���������;��1�R�)�in�to�the�dual�space�of�
(�X����).��
����iFSince��fthe�t��!w�o��fspaces�ha��!v�e��fthe�same�real�dimension,�this�injection�m��!ust�b�M�e�an�isomorphism.����iFSupp�M�ose���no��!w�that��k�yA�=�!2.�
l�W��ee�can�iden�tify�mo�M�dular�sym�b�M�ols��f��
`;��1����g��for��as�elemen�ts�of����iF�H���z�1����(�X���������;��1�R�),��fand�w��!e�ha�v�e�the�form�ula,���܍���e�hf��
`;��1����g�;�!�d��i�
��=������Z����C,��
���������	����H�!�:��P��iF�In���fact,�Tmo�M�dular�sym��!b�ols�w��!ere�rst�in�tro�M�duced�in�this�w�a�y�b�y�Birc�h�in�[�B����]�in�his�w�ork�with����iFSwinnerton-Dy��!er���on�the�sp�M�ecial�v��dDalue�at��s��?�=�1���of�the��L�-function�asso�ciated�to�a�(mo�dular)�el-����iFliptic��fcurv��!e.��p����iF�2.4.2��)�WHigher�2�w��teigh�t����iF�The��Gdualit��!y�generalizes�to�higher�w�eigh�t.�v�Let��f��0�:�_t�h��!��C��G�b�M�e�a�map.�F��eor��g���=���_t��!e�����wڍ��
7s�a���$b���$썍�
�c���űd���������!e���� \��2��_t�GL����2��z�2���6�(�Q�)�and����iF�z����2�
��h�,��fdene���������\��f�-��j�[�g�d��]��Ȯ�k��#��(�z�{I�)�������=������c_(�cz��5�+�n��d�)���z���k���
�f�-��(�g�d�z�{I�)(��det�����g��)���z��k�6���1������������\��f�-��j�[������p ���N��g������]��Ȯ�k��#��(�z�{I�)�������=������c_(�c������p ��N�z���չ+�n��d�)���z���k���
�f�-��(�g�d�z�{I�)(��det�����g��)���z��k�6���1��������꬝�5����F
���ҍ��ut٠l�'����tٍ�iF�W��ee��
denote�b��!y��S��Ȯ�k��#��()�(resp.���j��y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()����+)�the�complex�v��!ector�space�of�holomorphic�(resp.��jan�tiholomorphic)��
����iFcusp�]forms�of�w��!eigh�t�]�k�n��for�.���There�is�a�canonical�isomorphism�of�real�v��!ector�spaces�b�M�et�w�een��S��Ȯ�k��#��()����iFand���f��y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k��#��()���"��whic��!h��fasso�M�ciates�to��f��"�the�an�tiholomorphic�mo�M�dular�form��z����7!��
���y:�p �S�	�ƍ�f�-��(�z�{I�)�����.����iFThere��fis�a�pairing�������(�S��Ȯ�k��#��()�n������y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()�����)���M��Ȯ�k���()�
��!��C�����iF�giv��!en��fb�y�the�rule��l��W:��h�f���z�1��.�+�n��f���z�2����;��1P��B�
�f��
`;�����gi�
��=������Z����C,��
���������	����H�f���z�1����(�z�{I�)�P��V�(�z�;��1)�dz��5�+��n����Z����C,��
b ��������B�����f���z�2����(�z��)�P��V�(������p ��N��z�����;��1)�dz�� T퍑iF�where��f�f���z�1��ʫ�2�
��S��Ȯ�k��#��()�and��f���z�2���2��
���y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k��#��()���Ah.��������iF�Theorem�2�2.5.���U�=�The���fol��Flowing�p��p�airing,�obtaine�d�fr�om�the�ab�ove�one,�is�nonde�gener�ate:�������h�(�S��Ȯ�k��#��()�n������y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()�����)���S��Ȯ�k���()�
��!��C�:��R����iF�2.5��")FComplex��conjugation������iF�Let��f��o:�=���
���!e�����
.���	���1���ɑ0����ލ��
0�0���ɑ1������Ɵ�!e����&���and���o�~����������=���
���!e�����
.���	⦽1���{U0��������	�0���-��1������Ɵ�!e����"ᔹ.���Assume�in�this�section�that����d������1�������=�
�.��<*����iF�Prop�Y�osition�2�2.6.���`�;�The���map����which�asso��p�ciates�to��f�:�2�]�S��Ȯ�k��#��()�o������y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()���!�8�the���function��z����7!�]�f�-��(�������p ��N��z�����)��is�a����iFc��p�omplex���line�ar�involution�of��S��Ȯ�k��#��()�n������y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()���!���which���exchanges��S��Ȯ�k���()��and����y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()���!��.����iF�Dene��fan�in��!v�olution��f��������
�޹on��M��Ȯ�k��#��()�b��!y������������z����x�(�P��B�
�n��x�)�
�=������)�~�������sP��
�n���d�x:����iF�This�pQin��!v�olution�is�adjoin�t�to����with�resp�M�ect�to�the�pairing�of�Theorem�2.5.�;�Moreo�v�er����������ɹacts�as��
����iFfollo��!ws��fon�Manin�sym�b�M�ols�����Am����z����x�([�P�M�;��1g�d��])�
�=���[����)~�������sP�;��1�d�g�����z���1����]�:�����iF�Let��f�S��Ȯ�k��#��()�����+��
�޹denote�the�subspace�of�elemen��!ts�of��S��Ȯ�k���()�xed�b��!y���������x�.������iF�Prop�Y�osition�2�2.7.���`�;�The���biline��p�ar�p�airing�induc�e�d�by�the�p�airing��h�:;��1:�i���������S��Ȯ�k��#��()�n���S��Ȯ�k���()���z��+��
'�!�
��C����iF�is���nonde��p�gener�ate.��R����iF�2.6��")FEic��hler-Shim�ura������iF�Eic��!hler�O�and�Shim�ura�found�a�w�a�y�to�em�b�M�ed�mo�dular�forms�in��!to�a�cohomology�group.���There�is�also��
����iFa��fw��!a�y�to�em�b�M�ed�mo�dular�sym��!b�ols�in��!to�the�same�cohomology�group.����iFThe���complex�v��!ector�space��V��Ȯ�k��[g�
�������ɹSL���� ��z�2���$�(�Z�)�is�endo�w�ed�with�a��right��action�of��SL���x1��z�2��85�(�Z�)�giv�en�b�y�the����iFform��!ula������(�P��B�
�n��g�d��)�:
��b�=�
�(�
������z���1���7�P��V�)��
��(�g�
����)�:�����꬝�6����T���ҍ��ut٠l�'����tٍ���iF�Prop�Y�osition�2�2.8.���`�;�We���have�an�isomorphism�of�c��p�omplex�ve�ctor�sp�ac�es��8��}�G�H������z��1���Ź(�SL����W��z�2���[�(�Z�)�;��1V��Ȯ�k���~�
�������=�SL���+7��z�2���;�(�Z�)�n��
��C�)���������
������l���
��=��������M��Ȯ�k��#��()��
��C�:������iF�Pr��p�o�of.���%���This��Zis�Prop�M�osition�9�of�[�M��
	�].�F�The�pro�of�in��!v�olv�es��Zexplicit�computations�with�co�cycles�using��
����iFthe��ffact�that��SL�������z�2��S��(�Z�)�is�generated�b��!y���
��and���=O�.������d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff�����V����iF�R��p�emark���2.9.���Cb�It��fmigh��!t�b�M�e�p�ossible�to�replace�tensoring�with��C��b��!y�something�less�sev�ere.��HE����iF�Lemma�2�2.10�(Shapiro).�������L��p�et����H�Ϋ�b�e�a�sub�gr�oup�of�a�gr�oup��G��and�let��A��b�e�a��Z�[�H����]�-mo�dule.�	vThen����m���H������z��q��x��(�G;���1�Hom����3����H�� �w�(�Z�[�G�]�;��1A�))�
�=��H������z��q���(�H�H;��1A�)��b��for���al��Fl��q�o:��
��0��P��:������iF�Corollary�2�2.11.���Z�H�Ther��p�e���is�an�isomorphism�����
t�M��Ȯ�k��#��()�n��
��C���������
������l���
��=��������H������z��1���Ź(�;��1V��Ȯ�k���~�
��C�)�:������iF�Pr��p�o�of.���%���Since��f�has�nite�index�in��SL�������z�2��S��(�Z�)�there�is�an�isomorphism�����{5�Hom����П������Ĺ(�Z�[�SL����W��z�2���[�(�Z�)]�;��1V��Ȯ�k���~�
�n��C�)���������
������l���
��=��������V��Ȯ�k���
�������=�SL���+7��z�2���;�(�Z�)��
��C�:����iF�No��!w��fapply�Shapiro's�lemma.���BɁ�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������iFDene��fthe��p��p�ar�ab�olic��f�cohomology�group��H���������1��7���P���
�2�b��!y�the�exactness�of�the�follo�wing�sequence��\{��V�t0�
��!��H���z������1��:j��P���̹(�;��1V��Ȯ�k���~�
�n��C�)��!��H������z��1���Ź(�;�V��Ȯ�k���~�
�n��C�)��!����������M��������cusps��X����!]�H������z��1���Ź(���z������;�V��Ȯ�k���~�
�n��C�)��"wO��iFwhere��f���z���	���is�the�stabilizer�in��of�the�cusp����ƹof��X��������.��
����iFF��eor��f�f�8c�2�
��M��Ȯ�k��#��()�dene�a�class�in��H��������1���Ź(�;��1V��Ȯ�k���~�
�n��C�)�b��!y�the�co�M�cycle�� �l����
��b�7!��
�����Z����C,��
���
�x�(�z��q��Aa�cmr6�0��*��)������	��z��q�0����#���f�-��(�z�{I�)�����u���������y�z���=��!�1����
�b��u�������۟�J�k�6���2��%���dz�:�� �э�iF�Here�cL�z���z�0��#P�is�a�basep�M�oin��!t,�p��v��d�����k�6���2����denotes�the�image�of��v�ML�
�����1�����
���v��߹in��Sym���`���'�k�6���2��(`*�(�C����C�)�and�the�in��!tegral�is����iFthat��fof�a�v��!ector-v��dDalued�dieren�tial.���There�is�a�similiar�construction�for�holomorphic�dieren�tials.��HE����iF�Theorem�2�2.12�(Eic��thler-Shim�ura).�����h�The���map�ab��p�ove�gives�rise�to�isomorphisms��8�����Z��M��Ȯ�k��#��()�n������y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()����������!������4�H������z��1���Ź(�;��1V��Ȯ�k���~�
�n��C�)�����������C_�S��Ȯ�k��#��()�n������y:�p 6��	�ƍ�S��Ȯ�k���()����������!������4�H���z������1��:j��P���̹(�;��1V��Ȯ�k���~�
�n��C�)�:����"p덍�iF�3���Linear�ffmaps���񍍑iF�3.1��")FLinear��op�`erators������iF�Let�^|�
����M���z�2����(�Z�)�suc��!h�that��=��and�suc��!h�that��n��is�nite.���Note�that��is�a�union�of�double����iFcosets��fof��n�M���z�2����(�Z�)�=�.���Let��R���b�M�e�a�set�of�represen��!tativ�es��fof��n�.�����꬝7����bP���ҍ��ut٠l�'����tٍ��iF�3.1.1��)�WAction�2�on�mo�Y�dular�forms������iF�Let�&a�M��Ȯ�k��#��()�b�M�e�the�space�of�mo�dular�forms�of�w��!eigh�t�&a�k�~��for�.�]�F��eor��f�
��2����M��Ȯ�k��#��(),�F_dene�an�op�erator��
����iF�T������;¹b��!y���p������T�������\�(�f�-��)�
�=����������X���
Pr����2�R���q��f��j�[��
`�]��Ȯ�k���*Ս�iF�This��fis�a�w��!ell-dened�linear�action�on��M��Ȯ�k��#��()�whic�h�preserv�es�the�subspace��S��Ȯ�k��#��().���(���iF�3.1.2��)�WAction�2�on�mo�Y�dular�sym��tb�ols����iF�Similiarly��e,��fdene�an�op�M�erator��T������;¹on�the�space��M��Ȯ�k��#��()�of�mo�dular�sym��!b�ols�b��!y��P��V��T�������\�(�x�)�
�=����������X���
Pr����2�R���q���
`:x:��&�D���iF�3.1.3��)�WHec��tk�e�2�op�Y�erators����iF�Supp�M�ose��fno��!w�that��
�=����z�1����(�N�1��).���Let��f�n����1�b�M�e�an�in��!teger�and�set���`��w����z�n�����=�
��f����!e�����wڍ�����a���ģb���$썍�B�c���f=d��������!e�������2��M���z�2����(�Z�)�:���det���J�=��n;��bN�1��j�c;�N��j�(�a�n����1)�g�:����iF�Then��the��n�th��He��p�cke�۩op�er�ator���is��T�������;�cmmi6�n������.���If����=����z�0����(�N�1��)��the�condition�that��N��j�(�a�`���1)��is�relaxed�to����iF(�N���;��1a�)�
�=�1.��-����iF�3.2��")FAction��on�Manin�sym��b�`ols������iF�W��ee���no��!w�describ�M�e�ho�w�to�explicitely�compute�the�action�of�the�Hec�k�e�op�M�erators�on��M��Ȯ�k��#��().��DRecall,����iFw��!e��ha�v�e�an�explicit�\generators�and�relations"�description�of��M��Ȯ�k��#��()�in�terms�of�Manin�sym�b�M�ols.����iFThe�*�action�of�the�Hec��!k�e�*�op�M�erators�(and�other�linear�op�erators)�describ�ed�in�the�previous�section����iFis�s�giv��!en�in�terms�of�mo�M�dular�sym�b�M�ols.�E�W��ee��c��p�ould��describ�e�the�action�of�an�op�erator�on�a�Manin����iFsym��!b�M�ol��Tb�y�taking�the�Manin�sym�b�M�ol,�Nnding�the�corresp�onding�mo�dular�sym��!b�ol,�Nacting�b��!y�the����iFop�M�erator,�*?and�6then�con��!v�erting�6bac�k�to�a�sum�of�Manin�sym�b�M�ols.��"This�pro�cess�is�painfully�inecien��!t����iFas���it�in��!v�olv�es���rep�M�eated�application�of�Prop�osition�2.1.�MThis�w��!as�ho�w�computations�w�ere�originally����iFdone��un��!til�Mazur�and�Merel�describ�M�ed�the�action�of�the�Hec�k�e�op�M�erators�directly�in�terms�of�Manin����iFsym��!b�M�ols.����iFLet�me�n�
�>��0�b�M�e�an�in��!teger.���W��ee�denote�b�y��M���z�2����(�Z�)���z�n��	��the�set�of�matrices�of��M���z�2���(�Z�)�of�determinan��!t��n�.��Ք����iF�Denition�2�3.1�(Condition�(M)).������W��ee���sa��!y�that�an�elemen�t����ɖ�P���ӟ<��g����a���z�g�����g�o:�2�
��C�[�M���z�2����(�Z�)���z�n���P�]�satises�condi-��� ��iFtion��f(M)�if�for�all�cosets��C��.2�
��M���z�2����(�Z�)���z�n���P�=���1�SL�������z�2�����(�Z�),�w��!e�ha�v�e�in��C�[�P�����1����(�Q�)],��P񍍍���-�����X���
Pr�����g�I{�2C�����q�a���z�g�����([�g�d��(�1�)]�n����[�g��(0)])�
�=�[�1�]�n����[0]�:��#B)��iF�Note��fthat�the�condition�(M)�dep�M�ends�neither�on�the�lev��!el�or�the�w�eigh�t.����iFSupp�M�ose�Bno��!w�that���=����z�1����(�N�1��)�B(or����z�0���(�N�1��)).��rThere�is�a�bijection�b�M�et��!w�een�Bcosets��n���1�SL�������z�2�����(�Z�)�and����iFpairs�́of�in��!tegers�(�u;��1v�d��)�satisfying�a�certain�equiv��dDalence.�P.The�bijection�asso�M�ciates�to�a�2��S���2�́matrix����iFits��fb�M�ottom�t��!w�o��fen�tries.���W��ee�ma�y�th�us�view�the�Manin�sym�b�M�ols�as�pairs�[�P�;��1�(�u;�v�d��)].�����꬝8����	p���ҍ��ut٠l�'����tٍ���iF�Theorem�2�3.2�(Merel).����j�L��p�et�W�[�P�M�;��1�(�u;�v�d��)]��b��p�e�a�Manin�symb�ol.��tSupp�ose����ɖ�P����֟<��g����a���z�g�����g�o:�2�
��C�[�M���z�2����(�Z�)���z�n���P�]��satises��
����iFc��p�ondition���(M).�Then�we�have�����&��T���z�n���P�([�P��V�(�X�@<;��1Y�n�)�;��(�u;�v�d��)])�
�=�����0�����X���3���g�I{�=����(��a6cmex8�����4����~?�a���|.b���$썍���c����d��������(��������2�M��q�2��*��(�Z�)���n����L���a���z�g�����[�P��(�aX�J�+�n��bY���;��1cX��+��d���Y�n�)�;��1�(�au��+��cv�d�;�bu��+��dv�d��)]��(���iF�wher��p�e���the�sum�is�r�estricte�d�to�the�matric�es��g��K�such�that���gcd���(�au��]�+��cv�d�;��1bu��+��dv��)�
�=�1����(if��(�n;��1N�1��)�
�=�1����this����iFr��p�estriction���is�unne�c�essary).��������iFPr��p�o�of.���%���See��fsection�2�of�[�M��
	�].���H�E�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����h��iFThe���elemen��!t����ɖ�P����ן<��g�I{�2�M��q�2��*��(�Z�)���n���9��g���2��'�C�[�M���z�2����(�Z�)���z�n���P�]�satises�condition�(M).�In�Merel's�pap�M�er�one�can�nd����iFother��ffamilies�of�simpler�(more�sparse)�elemen��!ts�satisfying�condition�(M).��!�x���iF�4���Generating�ff�@��g�ffcmmi12�@H��(��K�`y

cmr10�1����-X�Qffcmr12�(�@;�fd�Z�)��q���iF�Ho��!w��fcan�w�e�generate��H���z�1����(�;��1�Z�)�using�mo�M�dular�sym�b�M�ols?������iF�Theorem�2�4.1.���Q�S�Cho��p�ose���any����2�
��Q�n��[�f1g�,���it�do�esn���s't�matter�which.�	vThen�the�map��&q���k���
��!��H���z�1����(�;��1�Z�)�:�<!�
��b�7!�f��
`;�
����(���)�g����iF�is���a�surje��p�ctive�gr�oup�homomorphism.����iF�So,��fkno��!wing�generators�for��w�ould�b�M�e�enough.��
����iFNo��!w��fsp�M�ecialize�to�the�case��
�=����z�0����(�N�1��).���Here��fis�one�guess�for�what��might��b�e�true.������iF�Question�2�4.2.���Q�|�Do���the�Manin�symb��p�ols��(�c;��1d�)��with��(�c;�N�1��)�
�=�(�d;�N�1��)�=�1����gener��p�ate��H���z�1����(�X���z�0���(�N��)�;��1�Z�)�?����iF�When��*�N��ɹis�prime�those�Manin�sym��!b�M�ols�lie�in��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)��*b�ecause�they�corresp�ond�to�paths����iFfrom��the�non-�1��cusp�to�itself.�~�Let�(�c;��1d�)�b�M�e�suc��!h�a�Manin�sym�b�M�ol�and�c�ho�M�ose��a;��1b��so�that����iF�M�r�=���AK��!e�����wڍ��J�a����b���$썍���c�����d������a��!e����" z�2��AK�SL���.���z�2��(�Z�).�
Then�`�the�Mo�M�dular�sym��!b�ol�corresp�onding�to�(�c;��1d�)�is��M���:�e�AK�=��M�:�f�0�;��1�1g��=�����iF�f�M�1��(0)�;��1M��(�1�)�g�.���Since�sT�c��and��d��are�b�M�oth�coprime�to��N�1��,�}�the�cusps�[������K��33�a��33����p �ϟKd��j�c������5�]�and�[������K�����b��33����p _��Kd�d�������]�are�the�same�(remem-����iFb�M�er,�&w��!e��are�assuming��N�>1�is�prime�so�that�there�are�only�t�w�o�cusps).�`The�only�other�w�a�y�to�force����iFthe�.Ocusps�to�b�M�e�the�same�w��!ould�b�e�to�force��b��and��d��to�b�oth�b�e�divisible�b��!y��N�1��,�FSbut�then�(�c;��1d�)�w�ould����iFnot��fb�M�e�a�Manin�sym��!b�ol.����iFI���do��7not�kno��!w�if�these�Manin�sym�b�M�ols�are�enough�to�generate�all�in�tegral�mo�M�dular�sym�b�M�ols.����iFBut,�:w��!e��can�set�up�some�computer�computations�to�get�an�idea�of�whether�or�not�w�e�should�exp�M�ect����iFthis.����iF�Computation��1.����Let�F�H��l�=���H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�).�Let�F�V���b�M�e�the�submo�dule�of��H�)Ĺgenerated�b��!y�the����iFmo�M�dular��Hsym��!b�ols��f1�;��1
����(�1�)�g��where��
����=���ɟ�!e�����wڍ��
s��a�����b���$썍���N����{d������T��!e����&�j�and�0���<�a�<�N�1��.���Let��W�b��b�M�e�the�submo�dule�of����iF�H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Q�)�o-generated�b��!y�the�Manin�sym�b�M�ols�(�c;��1d�)�for�whic�h�b�M�oth��c��and��d��are�coprime�to��N�1��.��uIf����iFthings��w��!ere�as�easy�as�imaginable�then�b�M�oth��V�V�and��W�lj�w�ould�b�M�e�equal�to��H��չ(and�to�eac�h�other).����iFIf�`7�W�卹is�prop�M�erly�con��!tained�in��V��&�then�w�e�learn�that�the�answ�er�to�the�question�is��NO�.�In�the�prime����iFcase,���if��=�V�@,�is�prop�M�erly�con��!tained�in��W�V��w�e�learn�that��V�@,�do�M�es�not�generate��H����,���whic�h�is�also�in�teresting.����iFW��ee��acompute��V�P�and��W�/��for�11�J���N�B����100,��`and��athe�mo�M�dule�index�[�V��9�:�J�W��V�].���Whenev��!er�there�is�a����iF-���for�the�index,���this�means�that�that��neither��V�!}�nor��W�7�span��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Q�)���o��!v�er��Q�.�TIn�these�cases����iFw��!e��fdidn't�compute�the�actual�index.�����꬝9����
~C���ҍ��ut٠l�'���������R
����CB�ffF�s�	�����ͤ}�
��ff�Gr����N�y��
��ff����4�[�W����:�
��V�n�]��͟}�
��ff���z�ffF�s�����ͤ}�
��ff��͟��11���
��ff���,(�1� �}�
��ff���
������ͤ}�
��ff��͟��14���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��15���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��17���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��19���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��20���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��21���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��22���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��23���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��24���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��26���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��27���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��28���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��29���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��30���
��ff���-!-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��31���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��32���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��33���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��34���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��35���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��37���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��38���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��39���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��41���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��42���
��ff���-!-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��43���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��44���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��45���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��46���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��47���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��48���
��ff���-!-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��49���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��50���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��51���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��52���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��53���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��54���
��ff���-!-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��55���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��56���
��ff���-!-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��57���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��58���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��59���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��60���
��ff���-!-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��61���
��ff���,(�1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��62���
��ff���,(�1� �}�
��ff����ffF�s�������]���CB�ffLQ
�	�����ͤ}�
��ff�	?����N�
5ޡ�
��ff���"lι[�W����:�
��V�n�]��͟}�
��ff���z�ffLQ
�����ͤ}�
��ff������63���
��ff���1�!1� �}�
��ff���
������ͤ}�
��ff������64���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������65���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������66���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������67���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������68���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������69���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������70���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������71���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������72���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������73���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������74���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������75���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������76���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������77���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������78���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������79���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������80���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������81���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������82���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������83���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������84���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������85���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������86���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������87���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������88���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������89���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������90���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������91���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������92���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������93���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������94���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������95���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������96���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff������97���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������98���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff������99���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��100���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��101���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��102���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��103���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��104���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��105���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��106���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��107���
��ff���1�!1� �}�
��ff����ffLQ
��������CB�ffLQ
�	�����ͤ}�
��ff�	?����N�
5ޡ�
��ff���"lι[�W����:�
��V�n�]��͟}�
��ff���z�ffLQ
�����ͤ}�
��ff��͟��108���
��ff���2��-�뺟}�
��ff���
������ͤ}�
��ff��͟��109���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��110���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��111���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��112���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��113���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��114���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��115���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��116���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��117���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��118���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��119���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��120���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��121���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��122���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��123���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��124���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��125���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��126���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��127���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��128���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��129���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��130���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��131���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��132���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��133���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��134���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��135���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��136���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��137���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��138���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��139���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��140���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��141���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��142���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��143���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��144���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��145���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��146���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��147���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��148���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��149���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��150���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��151���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��152���
��ff���2��-�뺟}�
��ff����ffLQ
�����<wC���CB�ffLQ
�	�����ͤ}�
��ff�	?����N�
5ޡ�
��ff���"lι[�W����:�
��V�n�]��͟}�
��ff���z�ffLQ
�����ͤ}�
��ff��͟��153���
��ff���1�!1� �}�
��ff���
������ͤ}�
��ff��͟��154���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��155���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��156���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��157���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��158���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��159���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��160���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��161���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��162���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��163���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��164���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��165���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��166���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��167���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��168���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��169���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��170���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��171���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��172���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��173���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��174���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��175���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��176���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��177���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��178���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��179���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��180���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��181���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��182���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��183���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��184���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��185���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��186���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��187���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��188���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��189���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��190���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��191���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��192���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��193���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��194���
��ff���1�!1� �}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��195���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��196���
��ff���2��-�뺟}�
��ff�������ͤ}�
��ff��͟��197���
��ff���1�!1� �}�
��ff����ffLQ
����������10���������ҍ��ut٠l�'����tٍ�iF�Conclusion:�q��Neither�pAob��!vious�set�of�elemen�ts�of��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)�pAwill,���in�general,�generate.�;mIt��
����iFmigh��!t��fb�M�e�necessary�to�lo�ok�at������iF�O��<x
�3
cmtt10�OR.���S.�Kulkarni,�An�arithmetic-geometry�method�of�the�study����iFof���the�subgroups�of�the�modular�group,�American�Journal�of�mathematics����iF113,���1991,�1053-1133����iF�and��fnd�explicit�generators.��"�A��iF�References��q�����iF�[B]���HuB.�y�Birc��!h,���El��Fliptic���curves,�_a�pr��p�o�gr�ess���r�ep�ort,��AMS�yJconference�y�on�n��!um�b�M�er�y�theory��e,����HuSton��!ybro�M�ok��f(1969),�396{400.������iF[CR1]���HuJ.E.���Cremona,��9�A��\lgorithms���for�mo��p�dular�el��Fliptic�curves,��22nd�e�dition�,��9Cam��!bridge���Uni-����Huv��!ersit�y��fPress,�(1997).������iF[CR2]���HuJ.E.���Cremona,����Mo��p�dular��symb�ols�for�����z�1����(�N�1��)��and�el��Fliptic�curves�with�everywher�e�go�o�d����Hur��p�e�duction�,��fMath.�Pro�M�c.�Cam��!b.�Phil.�So�c.��111��(1992),�199{218.������iF[HJ]���HuH.�Q�Hijik��dData,�|��Explicit���formula�of�the�tr��p�ac�es���of�He��p�cke�op�er�ators�for�����z�0����(�N�1��),�|�J.�Q�Math.����HuSo�M�c.��fJapan.��26��(1974),�56{82.������iF[K]���HuD.��fKohel,��He��p�cke���mo�dule�structur�e�of�quaternions�,��f(1998),�preprin��!t.������iF[M]���HuL.�1�Merel,��^�Universal�Vzfourier�exp��p�ansions�of�mo�dular�forms�,��^Springer�1�L.N.M.�1585,����Hu(1994).������iF[M1]���HuJ.F.�Mestre,�o��L��p�a�;[m��\����etho�de�des�gr�aphs.�Exemples�et�applic�ations�,�o�T��eaniguc��!hi�Symp.,����HuPro�M�ceedings�/�of�the�in��!ternational�conference�on�class�n�um�b�M�ers�and�fundamen�tal�units����Huof��falgebraic�n��!um�b�M�er��felds�(Katata,�1986),�217{242,�Nago��!y�a��fUniv.,�Nago��!y�a,��f1986.������iF[P]���HuA.��yPizer,����A��\n��algorithm�for�c��p�omputing�mo�dular�forms�on�����z�0����(�N�1��),���Journal��yof�Algebra����Hu�64��f�(1980),�340{390.������iF[S]���HuW.��fStein,��Mo��p�dular���forms�datab�ase�,��f�Ohttp://boole.berkeley.edu/~was/Tables�.������iF[ST1]���HuG.��fStev��!ens,��R��\igid���analytic�mo��p�dular�symb�ols�,��f(preprin��!t).������iF[W��ȈA]���HuH.��fW��eada,��A���table�of�He��p�cke�op�er�ators.�II�,��fPro�M�c.�Japan�Acad.,��49��(1973),�380{384.������iF[W1]���HuX.���W��eang,��Y�The��bhe��p�cke�algebr�a�on�the�c�ohomolo�gy�of�����z�0����(�p���z�0���),��YNago��!y�a���Math.�J.,��121����Hu�(1991),��f97{125.������iF[W1]���HuX.�� W��eang,��a�The�Ҿhe��p�cke�op�er�ators�on��S��Ȯ�k��#��(���z�1����(�N�1��)),��aJ.�� Sym��!b�M�olic�Computation,��18��(1994),����Hu187{198.��������11��������;�����i�	�O��<x
�3
cmtt10�@��g�ffcmmi12�;��N�cmbx12�:�':
�3
cmti10�7�%n�
�3
eufm10�52�@�cmbx8�2��u
�3
cmex10�1!",�
�3
cmsy10�0�b>
�3
cmmi10�/�"V
�3
cmbx10�.��N�ffcmbx12�-X�Qffcmr12�,ߤN		cmtt9�&o���		cmr9�a6cmex8�q�%cmsy6��K�cmsy8�;�cmmi6��2cmmi8��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�K�`y
�3
cmr10�K�`y

cmr10��������