CoCalc -- Collaborative Calculation in the Cloud
Sharedwww / Tables / generating_hecke.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1998.11.28:1909��������Ǎ��?RF��������8���<��D��tG�G�cmr17�Generating�7tthe�Hec��qk�e�7talgebra�as�a����N�G�cmbx12�Z�-mo�s�dule��lύ������/5�X�Qcmr12�W.��Stein�����2�%�K�cmsy8����������ύ����No��rv�em�b�S�er��28,�1998��2CQ���ݔ� �"V

cmbx10�Abstract��+C��<=v�K�`y

cmr10�W��*�e�HSapply�a�theorem�of�Sturm�on�congruences�b�Get���w�een�HSmo�dular�forms�to�giv���e����-=ua���b�Gound�for�the�n���um�b�er���of�Hec���k�e���op�erators��
�b>

cmmi10�T����	0e�rcmmi7�n��	8p�needed�to�additiv���ely�generate����-=uthe�UUHec���k�e�algebra�asso�Gciate�to�w�eigh�t��k���mo�Gdular�forms�for��X����ٓ�Rcmr7�0��|s�(�N��).��"Tč���q�?��N�ffcmbx12�1��**<In���tro�s3duction��q����q�K�`y
�3
cmr10�In��this�note�w��!e�apply�a�theorem�of�Sturm�[�S��V]�on�congruences�b�M�et�w�een�mo�M�dular��
�����qforms���to�giv��!e�a�b�M�ound�(Theorem�3.3)�for�the�n�um�b�M�er�of�Hec�k�e�op�M�erators�needed�to�����qgenerate��Athe�Hec��!k�e��Aalgebra�as�a��C�"V
�3
cmbx10�CZ�-mo�M�dule.�jmThe�observ��dDation�that�this�follo��!ws�from�����q[�S��V]��Zmigh��!t�b�M�e�due�to�Rib�et.��/The�case�of�w��!eigh�t��Z2�and�prime�lev��!el�is�treated�in�[�A��6g].�W��ee�����qalso�\�use�Sturm's�result�to�pro��!v�e�\�a�\w��!ell-kno�wn"�\�b�M�ound�on�the�n��!um�b�er�\�of�co�ecien��!t�����qneeded��fto�determine�a�mo�M�dular�form�(Prop�osition�3.2).����"�qIn�ksection�2�w��!e�record�our�notation�and�some�standard�theorems.���In�section�3�����qw��!e��fstate�Sturm's�theorem�and�giv�e�the�ab�M�o�v�e�men�tioned�applications.������q�2��**<Mo�s3dular�ffforms�and�Hec���k�e�ffop�erators��q����q�Let��>�@�b>
�3
cmmi10�@N��ݹand��@k�
}�b�M�e�p�ositiv��!e�in�tegers�and�let��@M��Ȯ�#�2cmmi8�k��#��(�@N�1��)��=��@M��Ȯ�k���(���z�!|{Ycmr8�0����(�@N�1��))��>b�M�e�the��CC�-v��!ector�����qspace�z�of�w��!eigh�t�z��@k��¹mo�M�dular�forms�on��@X���z�0����(�@N�1��).��<This�space�can�b�e�view��!ed�as�the�set�of�����qfunctions��f�@f�-��(�@z�{I�),�holomorphic�on�the�upp�M�er�half-plane,�suc��!h�that������s�5�@f�-��(�@z�{I�)�
�=��@f��A!",�
�3
cmsy10�Aj�[�@
����]��Ȯ�k��#��(�@z�{I�)�:=�(�@cz��5�+�n��@d�)���z���k���
�@f�����u�B��u
�3
cmex10�B����������C��@az��+��@b��C��㦉p qϟ
���Tcz��+��@d������*蛟�u�B���������q�for�ʥall��@
����A2�G����z�0����(�@N�1��),�ӵand�suc��!h�that��@f��a�satises�a�certain�holomorphic�condition�at�the�����qcusps.����"�qAn��!y��f�@f�8c�A2�
��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��)�has�a�F��eourier�expansion��'l��U���@f�8c�=�
��@a���z�0����(�@f�-��)�n�+��@a���z�1���(�@f�-��)�@q���+��@a���z�2���(�@f�-��)�@q��d���z��2�����+���A��1���?��=����
������BX�������@a���z�n���P�@q��d���z��n��	��A2�
��CC�[[�@q�d��]]��43���qwhere�~��@q�o:�=�
��@e�����2��I{iz����.�{<The�map�sending��@f��@�to�its��@q�d��-expansion�is�an�injectiv��!e�map��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��)��@,��,��A!�����q�CC�[[�@q�d��]]��called�the��@q��-expansion�map.���Dene��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��;��1�CZ�)�to�b�M�e�the�in��!v�erse��image�of��CZ�[[�@q��]]�����qunder��fthis�map.���It�is�kno��!wn�(see��Ax�12.3,�[�DI��Q�])�that���ۍ��[email protected]�@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��)�
�=��@M��Ȯ�k���(�@N�1��;��1�CZ�)�n��A
��CC�@:���q�	��ff�f�
L͍���Q
��-=�&q�%cmsy6�����a�3o���		cmr9�UC�TBerk��9eley��:�,�Departmen�t�of�Mathematics,�Berk�eley��:�,�CA�94720,�USA.������ �1����*���Ǎ��?RF��������RF���q�F��eor��fan��!y�ring��@R���,�dene��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��;��1�@R��)�
�:=��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��;��1�CZ�)�n��A
�����)2�@�cmbx8�Z����@R�:��
����"�q�Let��f�@p��b�M�e�a�prime.���Dene�t��!w�o��fop�erators�on��CC�[[�@q�d��]]:��<+����>�@V���z�p���]�(��������BX�����D�@a���z�n���P�@q��d���z��n���)�
�=���������BX�������@a���z�n���@q��d���z��np����r���q�and�����~��@U���z�p���]�(��������BX�����D�@a���z�n���P�@q��d���z��n���)�
�=���������BX�������@a���z�np��	��@q��d���z��n���@:�� r���q�The��fHec��!k�e�op�M�erator��@T���z�p��mùacts�on��@q�d��-expansions�b�y�������A�@T���z�p����=�
��@U���z�p��6I�+�n��@"�(�@p�)�@p���z��k�6���1���@V���z�p������q�where�UU�@"�(�@p�)�.4=�1,��unless��@p�Aj�@N���in�whic��!h�case��@"�(�@p�)�=�0.��If��@m��and��@n��are�coprime,��the��
�����qHec��!k�e��fop�M�erators�satisfy��@T���z�nm��7��=�
��@T���z�n���P�@T���z�m��k�=��@T���z�m����@T���z�n���.���If��f�@p��is�a�prime�and��@r�X��A�
��2,�������@T���z�p������$;�cmmi6�r����t�=�
��@T��_n�p������r�1���"�Aa�cmr6�1���e��@T���z�p��6I�A�n��@"�(�@p�)�@p���z��k�6���1���@T��_n�p������r�1���2����@:�����q�The����@T���z�n����are�linear�maps�whic��!h�preserv�es��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��;��1�CZ�).���The�Hec�k�e�algebra��CT�
��=��CT�(�@N�1��)�=�����q�CZ�[�@T���z�1����@;��1T���z�2���@;�T���z�3���@;��:�:�:��lŹ],��(whic��!h��4is�view�ed�as�a�subring�of�the�ring�of�linear�endomorphisms�����qof��f�@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��),�is�a�nite�comm��!utativ�e��f�CZ�-algebra.���������q�CProp�Y�osition�2�2.1.���of�F�':
�3
cmti10�FL��p�et�����ɖ�BP����@a���z�n���P�@q��d�����n��	�b�Fb�e��the��@q�d��F-exp��p�ansion�of��@f�8c�A2�
��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��)��Fand�let����ɖ�BP���@b���z�n���P�@q��d�����n��	�b�Fb��p�e�����qthe����@q�d��F-exp��p�ansion�of��@T���z�m����@f�-��F.�	vThen�the�c�o�ecients��@b���z�n��	�:�Far�e�given�by���p���_��@b���z�n�����=����	S,�����BX���
����
��d�j�(�m;n�)���!?��@"�(�@d�)�@d���z��k�6���1���@a��_n�mn=d������2����g�@:��%'����q�FNote���in�p��p�articular�that��@a���z�1����(�@T���z�m����@f�-��)�
�=��@a���z�m���(�@f�-��)�F.�������qPr��p�o�of.���4,��Prop�M�osition��f3.4.3,�[�DI��Q�].����([�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff���������q�CProp�Y�osition�2�2.2.���of�FF��)or���any�ring��@R���F,�ther��p�e�is�a�p�erfe�ct�p�airing������kR�CT�����R��	b�A
�����R���@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��;��1�@R���)�
��A!��@R�;�6%�(�@T��;��1f�-��)��A7!��@a���z�1����(�@T��Vf��)�@;�����q�Fwher��p�e����CT�����R��	�:�=�
��CT�n��A
�����Z����@R���F.���������qPr��p�o�of.���4,��Prop�M�osition��f12.4.13,�[�DI��Q�].����5'�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����"�A����q�3��**<Bounding�ffthe�n���um�b�s3er�ffof�generators��q����q�Let��f�@�(�@N�1��)�
�=��@N��П�ɖ�BQ���
\I�<��p�j�N��^�(1�n�+������K�����1�������p G]�Kd��p�����	��)�b�M�e�the�index�of����z�0����(�@N�1��)�in��SL�������z�2��S��(�CZ�).�������q�CTheorem�2�3.1.���`f~�FL��p�et����@��Fb�e�a�prime�ide�al�in�the�ring�of�inte�gers��AO����Fof�some�numb�er�����qeld.�?�Supp��p�ose���@f�)�A2��Y�@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��;��1�AO�M޹)��Fis�such�that��@a���z�n���P�(�@f�-��)��A��0���(�mo�M�d���1�@�)��Ffor��@n��A������K����k��.�����p ��Kd��12��������@�(�@N�1��)�F.�����qThen����@f�8c�A�
��0���(�mo�M�d���1�@�)�F.�������qPr��p�o�of.���4,��Theorem��f1,�[�S��V].���5�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������"�qDenote��fb��!y�[�@x�]�the�largest�in�teger��A�
��@x�.������ �2����'���Ǎ��?RF��������RF�����q�CProp�Y�osition�2�3.2.���of�FSupp��p�ose����@f�8c�A2�
��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��)��Fand��g����I��@a���z�n���P�(�@f�-��)�
�=�0��1z�Ffor�����@n��A��@r�X��=�����u�B����������y �@k��
S�㦉p 
�4�
���12�����+��@�(�@N�1��)���u�B���6��@:���鍑�q�FThen����@f�8c�=�
�0�F.��B�����qPr��p�o�of.���4,��W��ee��fm��!ust�sho�w�that�the�comp�M�osite�map��cō��1��@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��)�
��@,��,��A!��CC�[[�@q�d��]]��A!��CC�[[�@q��]]�@=�(�@q����z��r�<r�+1���q�)�����qis��Kinjectiv��!e.��Because��CC��is�a�
at��CZ�-mo�M�dule,��Dit�suces�to�sho�w�that�the�map���x:��
�����q�@M��Ȯ�k��#��(�@N�1��;��1�CZ�)��B�A!��CZ�[[�@q�d��]]�@=�(�@q������r�<r�+1���q�)��+is�injectiv��!e.��+Supp�M�ose�(�@f�-��)��B=�0,��and��+let��@p��b�e�a�prime�����qn��!um�b�M�er.�r�Then���@a���z�n���P�(�@f�-��)�]�=�0�for��@n��A��@r�M޹,��hence�plainly��@a���z�n���P�(�@f�-��)��A��0���(�mo�M�d���1�@p�)�for�an��!y�suc�h�����q�@n�.��XBy�z�Theorem�3.1,���it�follo��!ws�that��@f�8c�A�
��0���(�mo�M�d���1�@p�).�Rep�M�eating�this�argumen��!t�sho�ws�����qthat��fthe�co�M�ecien��!ts�of��@f��"�are�divisible�b�y�all�primes��@p�,�i.e.,�they�are�0.���8��d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff�����L�����q�CTheorem�2�3.3.���`f~�FThe��<He��p�cke�algebr�a�is�gener�ate�d�as�a��CZ�F-mo�dule�by��@T���z�1����@;���1:�:�:��?�;��1T���z�r�����Fwher�e�����q�@r�X��=�
�[������K��!n�k��33����p ��Kd��12�����
�n�@�(�@N�1��)]�F.�������qPr��p�o�of.���4,��Let���@A��b�M�e�the�submo�dule�of��CT��generated�b��!y��@T���z�1����@;��1T���z�2���@;��:�:�:��?�;�T���z�r���b�.�	PConsider��the�����qexact��fsequence�of�additiv��!e�ab�M�elian�groups�������_}0�
��A!��@A������:�i��5�������A�����B)!����N�CT��A!��CT�@=��dDA��A!��0�@:��cō��q�Let��f�@p��b�M�e�a�prime�and�tensor�with��CF���z�p��mùto�obtain��`�|���@A�n��A
��CF���z�p������񍍑ߗ�����\)�ڟ^c�i����5��������A�����		�!����ܫ�CT��A
��CF���z�p����A!�
��(�CT�@=��dDA�)��A
��CF���z�p���A!�
��0�����q(tensor�.�pro�M�duct�is�righ��!t�exact).�v9Put��@R�,�=���CF���z�p����in�Prop�osition�2.2,�P�and�supp�ose��@f�@�A2��
�����q�@M��Ȯ�k��#��(�@N���;��1�CF���z�p���]�)�A�pairs�to�0�with�eac��!h�of��@T���z�1����@;��:�:�:��?�;�T���z�r���b�.��HThen�b��!y�Prop�M�osition�2.1,�h��@a���z�m��Ĺ(�@f�-��)�
�=�����q�@a���z�1����(�@T���z�m����@f�-��)�ms=�0��in��CF���z�p���
�for�eac��!h��@m�,��1�ms�A��@m��A��@r�M޹.���By��Theorem�3.1�it�follo�ws�that��@f��/�=�ms0.�����qTh��!us��hthe�pairing,���when�restricted�to�the�image�of��@A�0��A
��CF���z�p��NŹin��h�CT��A
��CF���z�p���]�,�is��halso�p�M�erfect�����qand��fso�����V�.dim���i0����F���p����uߢ��vىp Ž��'��@i���y�_�(�@A�n��A
��CF���z�p���]�)�
�=��dim���J�����F���p���"�@M��Ȯ�k��#��(�@N���;��1�CF���z�p���)�=��dim���J�����F���p���"�CT�n��A
��CF���z�p���@:��~����q�W��ee��)see�that�(�CT�@=��dDA�)��s�A
��CF���z�p����=�
�0;�*�rep�M�eating��)the�argumen��!t�for�all��@p��sho�ws�that�the�nitely�����qgenerated��fab�M�elian�group��CT�@=��dDA��m��!ust�b�e�trivial.�����b�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����!�����q�References��q������q�[A]���V�2A.��_Agashe,�a�FOn�.Jthe�Calculation�of�Eisenstein�quotient�.�Preprin��!t,�a1998.���������q[DI]���V�2F.���Diamond,���J.�Im,��FMo��p�dular���forms�and�mo�dular�curves�.���Seminar����V�2on��;F��eermat's�Last�Theorem�(T�oron��!to,���ON,�1993{1994),�39{133,�CMS����V�2Conf.��fPro�M�c.,�17,�Amer.�Math.�So�c.,�Pro��!vidence,�RI,�1995.�������q[L]���V�2S.���Lang,����FIntr��p�o�duction��to�mo��p�dular�forms.��Grundlehren�der�Mathema-����V�2tisc��!hen��fWissensc�haften,�222.�Springer-V��eerlag,�Berlin,�1995.�������q[S]���V�2J.�qhSturm,��'�FOn��2the�Congruenc��p�e�of�Mo�dular�F��)orms�.�qhNum��!b�M�er�theory����V�2(New��SY��eork,�Z�1984{1985),�275{280,�Lecture�Notes�in�Math.,�1240,����V�2Springer,��fBerlin-New�Y��eork,�1987.������ �3��������;������
�F�':
�3
cmti10�C�"V
�3
cmbx10�B��u
�3
cmex10�A!",�
�3
cmsy10�@�b>
�3
cmmi10�?��N�ffcmbx12�3o���		cmr9�)2�@�cmbx8�&q�%cmsy6�%�K�cmsy8�$;�cmmi6�#�2cmmi8�"�Aa�cmr6�!|{Ycmr8� �"V

cmbx10���N�G�cmbx12�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�K�`y
�3
cmr10�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7�,������