Sharedwww / Tables / evidence.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2000.06.18:2124�������n���S㈍��������Aa�cmr6�MA��j�THEMA�TICS��OF�COMPUT��j�A�TION���V��j�olume��00,�Num��9b�1�er�0,�Xxxx�XXXX,�P�ages�000{000���S��0025-5718(XX)0000-0������x�����썑'&�� �"V

cmbx10�EMPIRICAL���EVIDENCE�F��9OR�THE�BIR�CH�AND�SWINNER��
�TON-D�YER����*J�CONJECTURES���F��9OR�MODULAR�JA�COBIANS�OF�GENUS�2�CUR����VES����u~�|{Ycmr8�E.���VICTOR�FL��J�YNN,�FRANCK�LEPR������P�EV�ÎOST,�ED�W��8ARD�F.�SCHAEFER,�WILLIAM�A.�STEIN,�MICHAEL�STOLL,��
���^�AND���JOSEPH�L.�WETHERELL����N8����$��-�
cmcsc10�Abstra��}ct.���R�This�ipap�<rer�pro�Îvides�empirical�evidence�for�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjectures�for�mo�<rd-����$ular��gJacobians�of�gen�Îus�2�curv�es.��NThe�second�of�these�conjectures�relates�six�quan�tities�asso�<rciated�to�a����$Jacobian�+�o�Îv�er�the�rational�n�um�b�<rers.�ʘOne�of�these�six�quan�tities�is�the�size�of�the�Shafarevic�h-T��J�ate�group.����$Unable���to�compute�that,��w�Îe�computed�the�v�e�other�quan�tities�and�solv�ed�for�the�last�one.���In�all�32�cases,����$the�
result�is�v�Îery�close�to�an�in�teger�that�is�a�p�<ro�w�er�of�2.�epIn�addition,�Othis�p�<ro�w�er�of�2�agrees�with�the�size����$of��Xthe�2-torsion�of�the�Shafarevic�Îh-T��J�ate�group,�whic�h�w�e�could�compute.����n�ff<�O[��Receiv�Îed��Xb�y�the�editor�June�5,�2000.����1991�~�#�f�cmti8�Mathematics�Subje���ct�Classic�ation.�@�Primary��X11G40;�Secondary�11G10,�11G30,�14H25,�14H40,�14H45.�����Key�~wor���ds�and�phr�ases.�@�Birc�Îh��Xand�Swinnerton-Dy�er�conjecture,�gen�us�2,�Jacobian,�mo�<rdular�ab�elian�v��ariet�Îy��J�.��	����The�XMrst�author�thanks�the�Nueld�F��J�oundation�(Gran�Ît�SCI/180/96/71/G)�X+for�nancial�supp�<rort.�O�The�second�author�did���some��>of�the�researc�Îh�at�the�Max-Planc�k�Institut�f�<r����ur�Mathematik�and�the�T��J�ec�hnisc�he�Univ�ersit����at�Berlin.�T�The�third�author���thanks�p�the�National�Securit�Îy�Agency�(Gran�t�MD�A904-99-1-0013).���The�fourth�author�w�as�supp�<rorted�b�y�a�Sarah�M.�Hallam���fello�Îwship.���The���fth�author�did�some�of�the�researc�h�at�the�Max-Planc�k-Institut�f�<r����ur�Mathematik.���The�sixth�author�thanks�the���National��xScience�F��J�oundation�(Gran�Ît�DMS-9705959).���The�authors�had�useful�con�v�ersations�with�John�Cremona,���Qing�Liu,�Karl���Rubin��Jand�P�Îeter�Swinnerton-Dy�er�and�are�grateful�to�Xiangdong�W��J�ang�and�Mic�hael�M�<r����uller�for�making�data�a�v��ailable�to�them.�������U������U��Ѵ�c������S�q�%cmsy6�
����Z�R�1997�o�American�Mathematical�So�1�ciet��9y���������j�ٓ�Rcmr7�1����*��n���S㈍��l���2��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썍��=��K�`y

cmr10�1.��ό�!�-�

cmcsc10�Intr��oduction�����The��Yconjectures�of�Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er,��Yoriginally�stated�for�elliptic�curv�es�o�v�er��Q�,��Yha�v�e�b�Geen�a���constan���t��source�of�motiv��q�ation�for�the�study�of�elliptic�curv�es,��uwith�the�ultimate�goal�b�Geing�to�nd�a�pro�of.���This���has�resulted�not�only�in�a�b�Getter�theoretical�understanding,��{but�also�in�the�dev���elopmen�t���of�b�etter���algorithms�+for�computing�the�analytic�and�arithmetic�in���v��q�arian�ts�+that�are�so�in���triguingly�related�b�y�them.���W��*�e���no���w�kno�w�that�the�rst�and,��up�to�a�non-zero�rational�factor,�the�second�conjecture�hold�for�mo�Gdular���elliptic�\�curv���es�o�v�er��Q�����^��1���
5�in�the�analytic�rank�0�and�1�cases�(see�[�GZ��
�V,��Ko��#�,��W��*�al1����,��W��*�al2��]).��F��*�urthermore,���a���n���um�b�Ger�#�of�p�eople�ha���v�e�#�pro�vided�n�umerical�evidence�for�the�conjectures�for�a�large�n�um�b�Ger�of�elliptic�curv�es;���see�UUfor�example�[�BGZ��
�,��BSD���u,��Ca���:,��Cr2��x�].����By�ino���w,�nour�theoretical�and�algorithmic�kno�wledge�of�curv�es�of�gen�us�2�and�their�Jacobians�has�reac�hed���a�state�that�mak���es�it�p�Gossible�to�conduct�similar�in�v�estigations.�U\The�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjectures���ha���v�e��Xb�Geen�generalized�to�arbitrary�ab�elian�v��q�arieties�o���v�er��Xn�um�b�er��Xelds�b���y�T��*�ate�[�T�a��c�].�i�If��
�b>

cmmi10�J��is�the�Jacobian���of�Pa�gen���us�2�curv�e�o�v�er��Q�,���then�the�rst�conjecture�states�that�the�order�of�v��q�anishing�of�the��L�-series�of���the��QJacobian�at��s�ۻ�=�1��Q(the��+�':

cmti10�analytic�,�r��}'ank�)�is�equal�to�the�Mordell-W��*�eil�rank�of�the�Jacobian.�c�The�second���conjecture�UUis�that��32�������������[!lim��-���Z5�	0e�rcmmi7�s�O!�cmsy7�!�1���i�(�s�8��
!",�

cmsy10���1)�������r��
���L�(�J���;���s�)��=�
�8����Reg��c������������u

cmex10�Y�������ƴp������c����p���2���#��,�hV1

wncyr10�X�����(�J�;����Q�)����(#�J��9�(�Q�)����tors��
�|�)�������2��g�:��������������(1.1)���������In�ԓthis�equation,��b�L�(�J���;���s�)�is�the��L�-series�of�the�Jacobian��J��9�,�and��r���is�its�analytic�rank.��W��*�e�use�
�to�denote���the���in���tegral�o�v�er��J��9�(�R�)�of�a�particular�dieren�tial�2-form;��+the�precise�c�hoice�of�this�dieren�tial�is�describ�Ged���in��Section�3.5.��4Reg����is�the�regulator�of��J��9�(�Q�).�4F��*�or�primes��p�,��Cw���e�use��c����p��5e�to�denote�the�size�of��J��(�Q����p���R�)�=J����^��0��r��(�Q����p���),���where�/�J���9��^��0��r��(�Q����p���R�)�is�dened�in�Section�3.4.�e	W��*�e�let���X��Ҡ�(�J���;����Q�)�b�Ge�the�Shafarevic���h-T�ate�group�of��J�%S�o���v�er�/�Q�,�6�and�w���e���let�UU�J��9�(�Q�)����tors��<Ѳdenote�the�torsion�subgroup�of��J��(�Q�).����As��Min�the�case�of�elliptic�curv���es,���the�rst�conjecture�assumes�that�the��L�-series�can�b�Ge�analytically�con�tin�ued���to�j��s��q�=�1,�o�and�the�second�conjecture�additionally�assumes�that�the�Shafarevic���h-T��*�ate�group�is�nite.��gNeither���of���these�assumptions�is�kno���wn�to�hold�for�arbitrary�gen�us�2�curv�es.�=�The�analytic�con�tin�uation�of�the��L�-series,���ho���w�ev�er,�s�is�m�kno�wn�to�exist�for�mo�Gdular�ab�elian�v��q�arieties�o���v�er��Q�,�s�where�an�ab�Gelian�v��q�ariet�y�is�called��mo��}'dular����if�e�it�is�a�quotien���t�of�the�Jacobian��J����0��|s�(�N��)�of�the�mo�Gdular�curv�e��X����0��|s�(�N��)�for�some�lev�el��N��.��UF��*�or�simplicit�y��*�,���w���e�$will�also�call�a�gen�us�2�curv�e��mo��}'dular��when�its�Jacobian�is�mo�Gdular�in�this�sense.�{5So�it�is�certainly�a���go�Go�d�?�idea�to�lo�Gok�at�mo�dular�gen���us�2�curv�es�o�v�er��Q�,�z/since�w�e�then�at�least�kno�w�that�the�statemen�t�of���the�7rst�conjecture�mak���es�sense.��nMoreo�v�er,�H�for�man�y�mo�Gdular�ab�elian�v��q�arieties�it�is�also�kno���wn�that�the���Shafarevic���h-T��*�ate��group�is�nite,�9therefore�the�statemen�t�of�the�second�conjecture�also�mak�es�sense.�G�As�it���turns���out,��all�of�our�examples�b�Gelong�to�this�class.�T�An�additional�b�enet�of�c���ho�osing�mo�dular�gen���us�2�curv�es���is�UUthat�one�can�nd�lists�of�suc���h�curv�es�in�the�literature.����In�s�this�article,��zw���e�pro�vide�empirical�evidence�for�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjectures�for�suc�h���mo�Gdular���gen���us�2�curv�es.�T�Since�there�is�no�kno�wn�eectiv�e�w�a�y�of�computing�the�size�of�the�Shafarevic�h-T��*�ate���ff<�������-:�1���*��It���has�recen�Îtly�b�<reen�announced�b�y�Breuil,���Conrad,�Diamond���and�T��J�a�ylor�that�they�ha�v�e�extended�Wiles'�results�and�sho�wn��
�that��Xall�elliptic�curv�Îes�o�v�er��)2�@�cmbx8�Q��are�mo�<rdular�(see�[�BCDT��Ƞ]).�����
Ϡ�n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��v$�3�����x����썲group,�7
w���e�/wcomputed�the�other�v�e�terms�in�equation��(1.1)���+(in�t�w�o�dieren�t�w�a�ys,�7
if�p�Gossible).�e(This�required���sev���eral�Ԯdieren�t�algorithms,��isome�of�whic�h�w�ere�dev�elop�Ged�or�impro�v�ed�while�w�e�w�ere�w�orking�on�this�pap�Ger.���If���one�of�these�algorithms�is�already�w���ell�describ�Ged�in�the�literature,��lthen�w�e�simply�cite�it.�E1Otherwise,��lw�e���describ�Ge�UUit�here�in�some�detail�(in�particular,�algorithms�for�computing�
�and��c����p���R�).����F��*�or���mo�Gdular�ab�elian�v��q�arieties�asso�ciated�to�newforms�whose��L�-series�ha���v�e���analytic�rank�0�or�1,���the�rst���Birc���h�َand�Swinnerton-Dy�er�conjecture�has�b�Geen�pro�v�en.��sIn�suc�h�cases,���the�Shafarevic�h-T��*�ate�group�is�also���kno���wn�{to�b�Ge�nite�and�the�second�conjecture�has�b�een�pro���v�en,�5Dup�{to�a�non-zero�rational�factor.��9This�all���follo���ws���from�results�in�[�GZ��
�V,��KL����,��W��*�al1����,��W��*�al2��].���In�our�examples,���all�of�the�analytic�ranks�are�either�0�or�1.���Th���us��Yw�e�already�kno�w�that�the�rst�conjecture�holds.�p�Since�the�Jacobians�w�e�consider�are�asso�Gciated�to�a���quadratic�`conjugate�pair�of�newforms,�b�the�analytic�rank�of�the�Jacobian�is�t���wice�the�analytic�rank�of�either���newform�UU(see�[�GZ��
�V]).����The��second�Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�has�not�b�Geen�pro�v�en�for�the�cases�w�e�consider.�@VIn�order���to���v���erify�equation��(1.1)���%,�Mw�e�computed�the�v�e�terms�other�than�#��X�����(�J���;����Q�)�and�solv�ed�for�#��X�����(�J���;����Q�).�V�In���eac���h���case,�èthe�v��q�alue�is�an�in�teger�to�within�the�accuracy�of�our�calculations.�z�This�n�um�b�Ger�is�a�p�o���w�er���of�2,���whic���h���coincides�with�the�indep�Genden�tly�computed�size�of�the�2-torsion�subgroup�of���X��ed�(�J���;����Q�).�@�Hence,��\w�e�ha�v�e���v���eried��Kthe�second�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�for�our�curv�es�at�least�n�umerically��*�,���if�w�e�assume���that�)�the�Shafarevic���h-T��*�ate�group�consists�of�2-torsion�only�.�cI(This�is�an�ad�ho�Gc�assumption�based�only�on�the���fact�UUthat�w���e�do�not�kno�w�b�Getter.)�q�See�Section�6�for�circumstances�under�whic�h�the�v�erication�is�exact.����The�UUcurv���es�are�listed�in�T��*�able�1,�and�the�n�umerical�results�can�b�Ge�found�in�T��*�able�2.��(n�����q2.���%��The��Cur��rves�����Eac���h�Iof�the�gen�us�2�curv�es�w�e�consider�is�related�to�the�Jacobian��J����0��|s�(�N��)�of�the�mo�Gdular�curv�e��X����0��|s�(�N��)�for���some�)�lev���el��N��.�c3When�only�one�of�these�gen�us�2�curv�es�arises�from�a�giv�en�lev�el��N��,�2Wthen�w�e�denote�this�curv�e���b���y��]�C����N�����;��awhen�there�are�t�w�o�curv�es�coming�from�lev�el��N��x�w�e�use�the�notation��C����N�Q�;A����,��ߵC����N�Q�;B��鄲.���The�relationship���of,�7�sa���y��*�,��C����N��
��to�0U�J����0��|s�(�N��)�dep�Gends�on�the�source.�erBrie
y�,�7�from�Hasega���w�a�0U[�Hs��q�]�w���e�obtain�quotien�ts�of��X����0��|s�(�N��)�and���from�%XW��*�ang�[�W�an��]�w���e�obtain�curv�es�whose�Jacobians�are�quotien�ts�of��J����0��|s�(�N��).���In�b�Goth�cases�the�Jacobian����J����N��%�of��e�C����N���is�isogenous�to�a�2-dimensional�factor�of��J����0��|s�(�N��).��(When�not�referring�to�a�sp�Gecic�curv���e,���w�e�will���t���ypically��drop�the�subscript��N�IJfrom��J��9�.)�P�In�this�w�a�y�w�e�can�also�asso�Gciate��C����N��
�Z�with�a�2-dimensional�subspace���of�UU�S����2��|s�(�N��),�the�space�of�cusp�forms�of�w���eigh�t�UU2�for�����0���(�N��).����W��*�e���no���w�discuss�the�precise�source�of�the�gen�us�2�curv�es�w�e�will�consider.�*�Hasega�w�a�[�Hs��q�]�has�pro�vided�exact���equations��for�all�gen���us�2�curv�es�whic�h�are�quotien�ts�of��X����0��|s�(�N��)�b�y�a�subgroup�of�the�A�tkin-Lehner�in�v�olutions.���There�Dare�142�suc���h�curv�es.�=�W��*�e�are�particularly�in�terested�in�those�where�the�Jacobian�corresp�Gonds�to�a���subspace�(�of��S����2��|s�(�N��)�spanned�b���y�a�quadratic�conjugate�pair�of�newforms.��There�are�21�of�these�with�lev�el����N�qT��Z9�200.�z�F��*�or���these�curv���es�w�e�will�pro�vide�evidence�for�the�second�conjecture.�z�There�are�sev�en�more�suc�h���curv���es�d�with��N��'>���200.��OW��*�e�can�classify�the�other�2-dimensional�subspaces�in�to�four�t�yp�Ges.��OThere�are�2-���dimensional��subspaces�of�oldforms�that�are�irreducible�under�the�action�of�the�Hec���k�e��algebra.�S
There�are�also��������n���S㈍��l���4��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썲2-dimensional�¼subspaces�that�are�reducible�under�the�action�of�the�Hec���k�e�¼algebra�and�are�spanned�b���y�t�w�o���oldforms,��t���w�o��Pnewforms�or�one�of�eac���h.���The�Jacobians�corresp�Gonding�to�the�latter�three�kinds�are�alw�a�ys���isogenous,�pFo���v�er�7��Q�,�to�the�pro�Gduct�of�t���w�o�7�elliptic�curv���es.��Giv�en�7�the�small�lev���els,�these�are�elliptic�curv���es���for�|whic���h�Cremona�[�Cr2��#�]�has�already�pro�vided�evidence�for�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjectures.���In���T��*�able�ey5,���w���e�describ�Ge�the�kind�of�cusp�forms�spanning�the�2-dimensional�subspace�and�the�signs�of�their���functional�e�equations�from�the�lev���el�at�whic�h�they�are�newforms.���The�analytic�and�Mordell-W��*�eil�ranks�w�ere���alw���a�ys�UUthe�smallest�p�Gossible�giv���en�those�signs.����The�}�second�set�of�curv���es�w�as�created�b�y�W��*�ang�[�W�an��]�and�is�further�discussed�in�[�FM����].��This�set�consists���of��B28�curv���es�that�w�ere�constructed�b�y�considering�the�spaces��S����2��|s�(�N��)�with��N�������200.�َWhenev�er�a�subspace���spanned���b���y�a�pair�of�quadratic�conjugate�newforms�w�as�found,���these�newforms�w�ere�in�tegrated�to�pro�Gduce���a���quotien���t�ab�Gelian�v��q�ariet�y��A��of��J����0��|s�(�N��).��These�quotien�ts�are��optimal��in�the�sense�of�[�Ma��*�],��'in�that�the�k�ernel���of�UUthe�quotien���t�map�is�connected.����The�"�p�Gerio�d�matrix�for��A��w���as�created�using�certain�in�tersection�n�um�b�Gers.��!When�all�of�the�in�tersection���n���um�b�Gers��]ha�v�e�the�same�v��q�alue,�؏then�the�p�Golarization�on��A��induced�from�the�canonical�p�olarization�of��J����0��|s�(�N��)�is���equiv��q�alen���t��Sto�a�principal�p�Golarization.�>(Tw�o�p�Golarizations�are��e��}'quivalent��if�they�dier�b�y�an�in�teger�m�ultiple.)���Con���v�ersely��*�,��}ev�ery���2-dimensional�optimal�quotien���t�of��J����0��|s�(�N��)�in�whic�h�the�induced�p�Golarization�is�equiv��q�alen�t���to�UUa�principal�p�Golarization�is�found�in�this�w���a�y��*�.����Using�9ztheta�functions,�[email protected]���umerical�appro�ximations�w�ere�found�for�the�Igusa�in�v��q�arian�ts�of�the�ab�Gelian�surfaces.���These�p�n���um�b�Gers�coincide�with�rational�n�um�b�Gers�of�fairly�small�heigh�t�within�the�limits�of�the�precision�used���for�.7the�computations.�d�W��*�ang�then�constructed�curv���es�dened�o�v�er��Q��whose�Igusa�in�v��q�arian�ts�are�the�rational���n���um�b�Gers��found.�H\(There�is�one�ab�elian�surface�at�lev���el��N��3�=��177�for�whic�h�W��*�ang�w�as�not�able�to�nd�a�curv�e.)���If��Uw���e�assume�that�these�rational�n�um�b�Gers�are�the�true�Igusa�in�v��q�arian�ts�of�the�ab�Gelian�surfaces,���then�it�follo�ws���that���W��*�ang's�curv���es�ha�v�e�Jacobians�isomorphic,��?o�v�er�����_�fe������Q���Rh�,��?to�the�principally�p�Golarized�ab�elian�surfaces�in�his���list.�<�Since��Sthe�classication�giv���en�b�y�these�in�v��q�arian�ts�is�only�up�to�isomorphism�o�v�er�����_�fe������Q����޲,��the�Jacobians�of���W��*�ang's���curv���es�are�not�necessarily�isomorphic�to,��rbut�can�b�Ge�t�wists�of,��rthe�optimal�quotien�ts�of��J����0��|s�(�N��)�o�v�er��Q����(see�UUb�Gelo���w).����There�x;are�four�curv���es�in�Hasega�w�a's�list�whic�h�do�not�sho�w�up�in�W��*�ang's�list�(they�are�listed�in�T�able�1���with�a�an��H�1�in�the�last�column).��}Their�Jacobians�are�quotien���ts�of��J����0��|s�(�N��),��but�are�not�optimal�quotien�ts.���It�
is�lik���ely�that�there�are�mo�Gdular�gen�us�2�curv�es�whic�h�neither�are�A�tkin-Lehner�quotien�ts�of��X����0��|s�(�N��)�(in���Hasega���w�a's���sense)�nor�ha���v�e���Jacobians�that�are�optimal�quotien���ts.�\�These�curv�es�could�b�Ge�found�b�y�lo�Goking���at�Ttthe�optimal�quotien���t�ab�Gelian�surfaces�and�c�hec�king�whether�they�are�isogenous�to�a�principally�p�Golarized���ab�Gelian�UUsurface�o���v�er�UU�Q�.����F��*�or�x17�of�the�curv���es�in�W�ang's�list,���the�2-dimensional�subspace�spanned�b���y�the�newforms�is�the�same�as���that���giving�one�of�Hasega���w�a's���curv�es.�>�In�all�of�those�cases,�ڈthe�curv�e�giv�en�b�y�W��*�ang's�equation�is�isomorphic,���o���v�er��[�Q�,���to�that�giv���en�b�y�Hasega�w�a.�s�This�v�eries�W��*�ang's�equations�for�these�17�curv�es.�s�They�are�listed�in���T��*�able�UU1�with��H���W���in�the�last�column.�����1��n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��v$�5�����x����썑�The�'�remaining�elev���en�curv�es�(listed�in�T��*�able�1�with�a��W��J�in�the�last�column)�deriv�e�from�the�other�elev�en���optimal�UUquotien���ts�in�W��*�ang's�list.�q�These�are�describ�Ged�in�more�detail�in�Section�2.1�b�elo���w.����With���the�exception�of�curv���es��C����63��x�,��a�C����117�;A��]{�and��C����189��uY�,�the�Jacobians�of�all�of�our�curv���es�are�absolutely���simple,�a�and�,Cthe�canonically�p�Golarized�Jacobians�ha���v�e�,Cautomorphism�groups�of�size�t���w�o.���W��*�e�,Csho�w�ed�that���these�gaJacobians�are�absolutely�simple�using�an�argumen���t�lik�e�those�in�[�Le��
��,��Sto1���,].���The�automorphism�group���of��Lthe�canonically�p�Golarized�Jacobian�of�a�h���yp�erelliptic�curv���e�is�isomorphic�to�the�automorphism�group�of���the��curv���e�(see�[�Mi2����,�D�Thm.�12.1]).���Eac�h�automorphism�of�a�h�yp�Gerelliptic�curv�e�induces�a�linear�fractional���transformation�Y�on��x�-co�Gordinates�(see�[�CF��
�,���p.�1]).�~�Eac���h�automorphism�also�p�erm���utes�the�six�W��*�eierstrass���p�Goin���ts.��/Once��"w�e�b�Geliev�ed�w�e�had�found�all�of�the�automorphisms,���w�e�w�ere�able�to�sho�w�that�there�are�no���more�*<b���y�considering�all�linear�fractional�transformations�sending�three�xed�W��*�eierstrass�p�Goin�ts�to�an�y�three���W��*�eierstrass�/�p�Goin���ts.�nIn�eac�h�case,�f�w�e�w�ork�ed�with�sucien�t�accuracy�to�sho�w�that�other�linear�fractional���transformations�UUdid�not�p�Germ���ute�the�W��*�eierstrass�p�oin���ts.����Let�4i�����3���ܲdenote�a�primitiv���e�third�ro�Got�of�unit�y��*�.�The�Jacobians�of�curv�es��C����63��x�,�l.�C����117�;A��
R�and��C����189���²are�eac�h���isogenous�}to�the�pro�Gduct�of�t���w�o�}elliptic�curv���es�o�v�er��Q�(�����3��|s�),�Bthough�not�o�v�er��Q�,�Bwhere�they�are�simple.�Y*These���gen���us�R2�curv�es�ha�v�e�automorphism�groups�of�size�12.���In�the�follo�wing�table�w�e�list�the�curv�e�at�the�left.���On��the�righ���t�w�e�giv�e�one�of�the�elliptic�curv�es�whic�h�is�a�factor�of�its�Jacobian.�C�The�second�factor�is�the���conjugate.��%Js��������d���bDW�C����63��?��:�����%�y��[ٟ�^��2���d�=���x�(�x���^��2���S�+�8�(9����12�����3��|s�)�x����48�����3���)������bDW�C����117�;A����:�����%�y��[ٟ�^��2���d�=���x�(�x���^��2���S��8�(12�+�27�����3��|s�)�x����(48�+�48�����3���))������bDW�C����189��<q�:�����%�y��[ٟ�^��2���d�=���x���^��3���S�+�8�(66����3�����3��|s�)�x���^��2���+�(342�+�81�����3��|s�)�x��+�105�+�21�����3���������%ج��Note�that�these�three�Jacobians�are�examples�of�ab�Gelian�v��q�arieties�`with�extra�t���wist'�as�discussed�in�[�Cr1��#�],���where�UUthey�can�b�Ge�found�in�the�tables�on�page�409.��+J��2.1.����Mo�Q�dels���for�the�W��
�ang-only�curv��9es.��As�Bw���e�ha�v�e�already�noted,�A}a�mo�Gdular�gen�us�2�curv�e�ma�y�b�Ge���found���b���y�either,��Hb�Goth,�or���neither�of�W��*�ang's�and�Hasega�w�a's�tec�hniques.�D�Hasega�w�a's�metho�Gd�allo�ws�for�the���exact�`�determination,���o���v�er��Q�,���of�the�equation�of�an�y�mo�Gdular�gen�us�2�curv�e�it�has�found.��GOn�the�other���hand,��iif���W��*�ang's�tec���hnique�detects�a�mo�Gdular�gen�us�2�curv�e��C����N�����,��ihis�metho�Gd�pro�duces�real�appro���ximations���to�`_a�curv���e��C���^�����0��b��N���
��whic�h�is�dened�o�v�er��Q��and�is�isomorphic�to��C����N��
��o�v�er�����_�fe������Q����.���W��*�e�will�call��C���^�����0��b��N���
��a��twiste��}'d��mo�dular���genus���2�curve�.����In�Ygthis�section�w���e�attempt�to�determine�equations�for�the�elev�en�mo�Gdular�gen�us�2�curv�es�detected�b�y���W��*�ang���but�not�b���y�Hasega�w�a.�S�If�w�e�assume�that�W��*�ang's�equations�for�the�t�wisted�mo�Gdular�gen�us�2�curv�es�are���correct,�5�w���e�.#nd�that�w�e�are�able�to�determine�the�t�wists.�d�In�turn,�5�this�giv�es�us�strong�evidence�that�W��*�ang's���equations���for�the�t���wisted�curv�es�w�ere�correct.�TJUndoing�the�t�wist,���w�e�determine�probable�equations�for�the���mo�Gdular�UUgen���us�2�curv�es.�q�W��*�e�end�b�y�pro�viding�further�evidence�for�the�correctness�of�these�equations.����In�]�what�follo���ws,�`w�e�]�will�use�the�notation�of�[�Cr2��#�]�and�recommend�it�as�a�reference�on�the�general�results���that�L�w���e�assume�here�and�in�Section�4�and�the�app�Gendix.�n�Fix�a�lev�el��N�c��and�let��f���(�z�p��)���2��S����2��|s�(�N��).�n�Then�L�f�`s�has�a�����B��n���S㈍��l���6��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썲F��*�ourier�UUexpansion��1���������f���(�z�p��)��=������Sf�1����������X��������n�=1����A�a����n��q~�e������2��@Linz����:�����2���F��*�or�Ұa�newform��f���,�2w���e�ha�v�e��a����1��	� �6�=�B�0;��]so�w�e�can�normalize�it�b�y�setting��a����1��	� �=�B�1.���In�our�cases,�2the��a����n��q~�'s���are��}in���tegers�in�a�real�quadratic�eld.�I?F��*�or�eac�h�prime��p��not�dividing��N��,��the�corresp�Gonding�Euler�factor�of���the�C>�L�-series��L�(�f��V;���s�)�is�1��{���a����p���R�p���^���s��
]��+��p���^��1��2�s��!�.�;�Let�C>�N��(�a����p���)�and��T�c�r�G�(�a����p���)�denote�the�norm�and�trace�of��a����p���.�;�The���pro�Gduct���of�this�Euler�factor�and�its�conjugate�is�1�V���T�c�r��(�a����p���R�)����p���^���s���Z�+�(�N��(�a����p���)�+�2�p�)����p���^���2�s���͸��p�T�c�r�G�(�a����p���R�)��p���^���3�s���Ͳ+��p���^��2��'�p���^���4�s�����.���Therefore,�{uthe�s�c���haracteristic�p�Golynomial�of�the��p�-F��*�rob�enius�on�the�corresp�onding�ab�elian�v��q�ariet���y�o�v�er��F����p��'�is����x���^��4��=�����T�c�r�G�(�a����p���R�)����x���^��3���+�(�N��(�a����p���R�)�+�2�p�)����x���^��2�����p���T�c�r�G�(�a����p���R�)��x��+��p���^��2��|s�.�ԞLet� �C���b�Ge�a�curv���e,�S�o�v�er� ��Q�,�whose�Jacobian,�o���v�er� ��Q�,���comes��|from�the�space�spanned�b���y��f���and�its�conjugate.�M;Then�w�e�kno�w�that��p�i��+�1����#�C���(�F����p���R�)�A=��T�c�r�G�(�a����p���)��|and����������33�1��33��&�fe�s����2�����bٲ(#�C���(�F����p���R�)���^��2���N�+�=�#�C��(�F����p������Zcmr5�2����r�))����(�p��+�1)#�C��(�F����p���R�)����p�Ӌ�=��N��(�a����p���R�)�\�(see�[�MS����,�^�Lemma�3]).��/F��*�or�the�o�Gdd�primes�less�than���200,�g�not�ddividing��N��,�w���e�computed�#�C���(�F����p���R�)�and�#�C��(�F����p����2����r�)�for�eac���h�curv�e�giv�en�b�y�one�of�W��*�ang's�equations.���F��*�rom�NJthese�w���e�could�compute�the�c�haracteristic�p�Golynomials�of�F��*�rob�enius�and�see�if�they�agreed�with�those���predicted�UUb���y�the��a����p���R�'s�of�the�newforms.����Of�f�the�elev���en�curv�es,�j�the�c�haracteristic�p�Golynomials�agreed�for�only�four.��cIn�eac�h�of�the�remaining�sev�en���cases� w���e�found�a�t�wist�of�W��*�ang's�curv�e�whose�c�haracteristic�p�Golynomials�agreed�with�those�predicted�b�y�the���newform��tfor�all�o�Gdd�primes�less�than�200�not�dividing��N��.�Q'F��*�our�of�these�t���wists�w�ere�quadratic�and�three�w�ere���of�UUhigher�degree.�q�It�is�these�t���wists�that�app�Gear�in�T��*�able�1.����W��*�e��(can�pro���vide�further�evidence�that�these�equations�are�correct.�d?F�or�eac���h�curv�e�giv�en�in�T��*�able�1,��\it�is���easy��Tto�determine�the�primes�of�singular�reduction.�GrIn�Section�3.4�w���e�will�pro�vide�tec�hniques�for�determining���whic���h�of�those�primes�divides�the�conductor�of�its�Jacobian.�W[In�eac�h�case,��the�primes�dividing�the�conductor���of���the�Jacobian�of�the�curv���e�are�exactly�the�primes�dividing�the�lev�el��N��;��8this�is�necessary��*�.�	A�With�the���exception�I�of�curv���e��C����188��uY�,���all�the�curv�es�come�from�o�Gdd�lev�els.�NcW��*�e�used�Liu's��-��<x

cmtt10�genus2reduction��program���(�ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/liu�)��to�compute�the�conductor�of�the�curv���e.�I�In�eac�h�case�(other���than��curv���e��C����188��uY�),��the�conductor�is�the�square�of�the�lev�el;�,�this�is�also�necessary��*�.� �F�or��curv�e��C����188��uY�,��the�o�Gdd���part�UUof�the�conductor�of�the�curv���e�is�the�square�of�the�o�Gdd�part�of�the�lev�el.����In�saddition,�zksince�the�Jacobians�of�the�W��*�ang�curv���es�are�optimal�quotien�ts,�zkw�e�can�compute��k��?��L��
�(where����k��/�is�X�the�Manin�constan���t,��iconjectured�to�b�Ge�1)�using�the�newforms.�{�In�eac�h�case,��ithese�agree�(to�within���the���accuracy�of�our�computations)�with�the�
's�computed�using�the�equations�for�the�curv���es.��W��*�e�can���also���compute�the�v��q�alue�of��c����p���,�for�optimal�quotien���ts�from�the�newforms,��when��p��exactly�divides��N����and�the���eigen���v��q�alue���of�the��p�th�A�tkin-Lehner�in�v�olution�is���1.�GIWhen��p��exactly�divides��N����and�the�eigen�v��q�alue�of�the��p�th���A���tkin-Lehner��ein�v�olution�is�+1,�/the�comp�Gonen�t�group�is�either�0,�/�Z�=�2�Z�,�or�(�Z�=�2�Z�)���^��2��|s�.�O"These�results�are�alw���a�ys���in�agreemen���t�with�the�v��q�alues�computed�using�the�equations�for�the�curv�es.���The�algorithms�based�on�the���newforms�UUare�describ�Ged�in�Section�4,�those�based�on�the�equations�of�the�curv���es�are�describ�ed�in�Section�3.�����T���n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��v$�7�����x����썑�Lastly��*�,��w���e��0w�ere�able�to�compute�the�Mordell-W��*�eil�ranks�of�the�Jacobians�of�the�curv�es�giv�en�b�y�ten�of���these���elev���en�equations.�\�In�eac�h�case�it�agrees�with�the�analytic�rank�of�the�Jacobian,��Ias�deduced�from�the���newforms.����It�uWshould�b�Ge�noted�that�curv���e��C����125�;B�����is�the������P�p���ʮ���P�fe�E���5����ʯ-t�wist�of�curv�e��C����125�;A����;��Wthe�corresp�Gonding�statemen�t�holds���for���the�asso�Gciated�2-dimensional�subspaces�of��S����2��|s�(125).��Since�curv���e��C����125�;A��b��is�a�Hasega�w�a�curv�e,���this�pro�v�es���that�UUthe�equation�giv���en�in�T��*�able�1�for�curv�e��C����125�;B�����is�correct.����The���a����p���R�'s�and�other�information�concerning�W��*�ang's�curv���es�are�curren�tly�k�ept�in�a�database�at�the�Institut���f�G����ur���exp�erimen���telle�Mathematik�in�Essen,��1German�y��*�.�\�Most�recen�tly��*�,��1this�database�w�as�under�the�care�of���Mic���hael�UUM�G����uller.�q�William�Stein�also�k�eeps�a�database�of��a����p���R�'s�for�newforms.��������R��}'emark��t�2.1�.���:���F��*�or�r�the�remainder�of�this�pap�Ger�w���e�will�assume�that�the�equations�for�the�curv�es�giv�en�in�T��*�able�1���are�Ŀcorrect;���that�is,��that�they�are�equations�for�the�curv���es�whose�Jacobians�are�isogenous�to�a�factor�of��J����0��|s�(�N��)���in��0the�w���a�y��0describ�Ged�ab�o���v�e.�(WSome��0of�the�quan���tities�can�b�e�computed�either�from�the�newform�or�from�the���equation�wfor�the�curv���e.��W��*�e�p�Gerformed�b�oth�computations�whenev���er�p�ossible,��and�view�this�duplicate�eort���as���an�attempt�to�v���erify�our�implemen�tation�of�the�algorithms�rather�than�an�attempt�to�v�erify�the�equations���in�[�T��*�able�1.���F�or�most�quan���tities,���one�metho�Gd�or�the�other�is�not�guaran�teed�to�pro�Gduce�a�v��q�alue;��7in�this���case,���w���e���simply�quote�the�v��q�alue�from�whic�hev�er�metho�Gd�did�succeed.���The�reader�who�is�disturb�ed�b���y�this���philosoph���y�[should�ignore�the�W��*�ang-only�curv�es,�\jsince�the�equations�for�the�Hasega�w�a�curv�es�can�b�Ge�pro�v�en���to�UUb�Ge�correct.������j3.����7�Algorithms��f��or�genus�2�cur��rves�����In��Wthis�section,��w���e�describ�Ge�the�algorithms�that�are�based�on�the�giv�en�mo�Gdels�for�the�curv�es.��W��*�e�giv�e���algorithms�'�that�compute�all�terms�on�the�righ���t�hand�side�of�equation��(1.1)���<,�1with�the�exception�of�the�size�of���the�+
Shafarevic���h-T��*�ate�group.�c�W�e�describ�Ge,�3�ho���w�ev�er,�ho�w�+
to�nd�the�size�of�its�2-torsion�subgroup.�c�Note�that���these�UUalgorithms�are�for�general�gen���us�2�curv�es�and�do�not�dep�Gend�on�mo�dularit���y��*�.�����3.1.����T��
�orsion�w9Subgroup.��The��computation�of�the�torsion�subgroup�of��J��9�(�Q�)�is�straigh���tforw�ard.�W��*�e��used���the��dtec���hnique�describ�Ged�in�[�CF��
�,��app.�78{82].�>"This�tec�hnique�is�not�alw�a�ys�eectiv�e,��aho�w�ev�er.�>"F��*�or�an�algorithm���w���orking�UUin�all�cases�see�[�Sto3��q�].���3.2.����Mordell-W��
�eil��[rank�and���X��>�(�J���;����Q�)[2]�.��The��group��J��9�(�Q�)�is�a�nitely�generated�ab�Gelian�group�and�so���is��isomorphic�to��Z���^��r��'������J��9�(�Q�)����tors���{�for�some��r�^�called�the�Mordell-W��*�eil�rank.���As�noted�ab�Go���v�e��(see�Section�1),���w���e��justiably�use��r�G̲to�denote�b�Goth�the�analytic�and�Mordell-W��*�eil�ranks�since�they�agree�for�all�curv�es�in���T��*�able�UU1.����W��*�e��Vused�the�algorithm�describ�Ged�in�[�FPS���]�to�compute��Sel�������Jt�2���ō�Jtfak���e����@�(�J���;����Q�)�(notation�from�[�PSc���;]),���whic���h�is�a���quotien���t�p$of�the�2-Selmer�group��Sel���7B����2�����(�J���;����Q�).��5More�details�on�this�algorithm�can�b�Ge�found�in�[�Sto2��q�].�Theorem���13.2�h�of�[�PSc���;]�explains�ho���w�to�get��Sel���0����2�����(�J���;����Q�)�from��Sel�������0�2���ō�0fak���e����ܲ(�J�;����Q�).���Let��M��[2]�denote�the�2-torsion�of�an�ab�Gelian���group����M��Ӳand�let�dim�V����denote�the�dimension�of�an��F����2��	+�v���ector�space��V�8�.���W��*�e�ha�v�e��dim����Sel���#�,����2��(��(�J���;����Q�)��=��r�I��+�����h ��n���S㈍��l���8��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썍�dim��UV�J��9�(�Q�)[2]�8�+��dim����6�X�� 1��(�J���;����Q�)[2].�q�In�UUother�w���ords,���ύ�����y%qdim����%o�X������(�J���;����Q�)[2]��=��dim���nSel���!㌟���2��&_��(�J�;����Q�)�8���r������dim���6�J��9�(�Q�)[2]�:��������It�d)is�in���teresting�to�note�that�in�all�30�cases�where��dim�����X��"]�(�J���;����Q�)[2]��x���1,���w�e�d)w�ere�able�to�compute�the���Mordell-W��*�eil�Wrank�indep�Genden���tly�from�the�analytic�rank.�V�The�cases�where��dim���Y��X�� �3�(�J���;����Q�)[2]��=�1�Ware�discussed���in���more�detail�in�Section�6.�U.F��*�or�b�Goth�of�the�remaining�cases�w���e�ha�v�e��dim���T��X�� �e�(�J���;����Q�)[2]��=�2.�U.One���of�these�cases���is�%��C����125�;B��7e�.�a�F��*�or�this�curv���e�w�e�computed��Sel��������ηp���~���ΉW	�s��M��5�����S�(�J����125�;B��7e�;����Q�)�using�the�tec�hnique�describ�Ged�in�[�Sc��
].�a�F��*�rom�this,�/rw�e���w���ere�5.able�to�determine�that�the�Mordell-W��*�eil�rank�is�0�indep�Genden�tly�from�the�analytic�rank.�gF��*�or�the�other���case,��'�C����133�;A����,�w���e�ϗcould�sho�w�that��r���had�to�b�Ge�either�0�or�2�from�the�equation,��'but�w�e�needed�the�analytic���computation�UUto�sho���w�that��r�5�=��0.�� �;�3.3.����Regulator.��When�C�the�Mordell-W��*�eil�rank�is�0,�GPthen�the�regulator�is�1.�k�When�the�Mordell-W�eil�rank�is���p�Gositiv���e,��then���to�compute�the�regulator,�w���e�rst�need�to�nd�generators�for��J��9�(�Q�)�=J��(�Q�)����tors��
�|�.�TEThe���regulator�is���the��ndeterminan���t�of�the�canonical�heigh�t�pairing�matrix�on�this�set�of�generators.�>zAn�algorithm�for�computing���the�}2generators�and�canonical�heigh���ts�is�giv�en�in�[�FS��X];��!it�w�as�used�to�nd�generators�for��J��9�(�Q�)�=J��(�Q�)����tors��d��and���to�u�compute�the�regulators.�өIn�that�article,��the�algorithm�for�computing�heigh���t�constan�ts�at�the�innite���prime���is�not�clearly�explained�and�there�are�some�errors�in�the�examples.��A���clear�algorithm�for�computing���innite��"heigh���t�constan�ts�is�giv�en�in�[�Sto3��q�].�^-In�[�Sto4��],���some�impro���v�emen�ts��"of�the�results�and�algorithms���in�|�[�FS��X]�and�[�Sto3��q�]�are�discussed.��zThe�regulators�in�T��*�able�2�ha���v�e�|�b�Geen�double-c���hec�k�ed�|�using�these�impro���v�ed���algorithms.���3.4.����T��
�amaga��9w�a�rFNum�b�Q�ers.��Let��θO�$�b�Ge�the�in���teger�ring�in��K���whic�h�will�b�Ge��Q����p��} �or��Q���^���unr��፴p���S'�(the�maximal�un-���ramied��extension�of��Q����p���R�).���Let��J�쎲b�Ge�the�N�����Geron�mo�del�of��J�	�o���v�er���O��.���Dene��J�����^��0��
i�to�b�e�the�op�en�subgroup���sc���heme�Vof��J�.�whose�generic�b�Ger�is�isomorphic�to��J�LE�o�v�er��K�
(�and�whose�sp�Gecial�b�er�is�the�iden���tit�y�Vcom-���p�Gonen���t��of�the�closed�b�er�of��J���.��The�group��J����^��0��UU�(�O�G�)�is�isomorphic�to�a�subgroup�of��J��9�(�K���)�whic���h�w�e�denote����J���9��^��0��r��(�K���).�(�The��=group��J��9�(�Q���^���unr��፴p���uY�)�=J����^��0���(�Q���^���unr��፴p���uY�)��=is�the�comp�Gonen���t�group�of��J�k�o�v�er��O����'f$�cmbx7�Q�����unr������O
�\cmmi5�p�����{�.�(�W��*�e�are�in�terested�in�com-���puting��a�c����p��v'�=���#�J��9�(�Q����p���R�)�=J����^��0��r��(�Q����p���),�!$whic���h��ais�sometimes�called�the�T��*�amaga�w�a�n�um�b�Ger.�Z�Since�N���Geron�mo�Gdels�are���stable�!�under�unramied�base�extension,�,the��Gal����(�Q���^���unr��፴p���uY�=�Q����p���R�)-in���v��q�arian�t�!�subgroup�of��J���9��^��0��r��(�Q���^���unr��፴p����)�is��J���9��^��0��r��(�Q����p���R�).�`�Since����H������^��1��Lq�(�Gal���(�Q���^���unr��፴p���uY�=�Q����p���R�)�;���J���9��^��0��r��(�Q���^���unr��፴p����))��is�trivial�(see�[�Mi1����,��p.�58])�w���e�see�that�the��Gal��- (�Q���^���unr��፴p���uY�=�Q����p���)-in���v��q�arian�t��subgroup���of�UU�J��9�(�Q���^���unr��፴p���uY�)�=J����^��0��r��(�Q���^���unr��፴p����)�UUis��J��9�(�Q����p���R�)�=J����^��0��r��(�Q����p���).����There���exist�sev���eral�discussions�in�the�literature�on�constructing�the�group��J��9�(�Q���^���unr��፴p���uY�)�=J����^��0��r��(�Q���^���unr��፴p����)���starting���with�=Tan�in���tegral�mo�Gdel�of�the�underlying�curv�e.�)�F��*�or�our�purp�Goses,�wTw�e�esp�Gecially�recommend�Silv�erman's���b�Go�ok��=[�Si��UW],�ŷChapter�IV,�Sections�4�and�7.�F��*�or�a�more�detailed�treatmen���t,�see�[�BLR����,�c���hap.�9]�and�[�Ed2��\u,��x�2].���One�ccan�nd�justications�for�what�w���e�will�do�in�these�sources.�V!While�constructing�suc�h�groups,��w�e�ran�in�to���a�Ucn���um�b�Ger�of�diculties�that�w�e�did�not�nd�describ�Ged�an�ywhere.�q�F��*�or�that�reason,�Ugw�e�will�presen�t�examples���of���suc���h�diculties�that�arose,�’as�w�ell�as�our�metho�Gds�of�resolution.�w�W��*�e�do�not�claim�that�w�e�will�describ�Ge���all�UUsituations�that�could�arise.�����	yM��n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��v$�9�����x����썑�When��ocomputing��c����p��	<��w���e�need�a�prop�Ger,��uregular�mo�del��C�2Ʋfor��C�T��o���v�er��o�Z����p���R�.�JLet��Z���^���unr��፴p���Ȳdenote�the�ring�of���in���tegers�/jof��Q���^���unr��፴p����òand�note�that��Z���^���unr��፴p����is�a�pro-�����Getale�Galois�extension�of��Z����p��μ�with�Galois�group��Gal���l(�Z���^���unr��፴p���uY�=�Z����p���R�)��=����Gal���(�Q���^���unr��፴p���uY�=�Q����p���R�).�lyIt�Elfollo���ws�that�giving�a�mo�Gdel�for��C����o�v�er��Z����p��侲is�equiv��q�alen�t�to�giving�a�mo�Gdel�for��C����o�v�er��Z���^���unr��፴p������that�z�is�equipp�Ged�with�a�Galois�action.�(�W��*�e�ha���v�e�z�found�it�con���v�enien�t�z�to�alw���a�ys�z�w�ork�with�the�latter�description.���Th���us�ǽfor�us,��giving�a�mo�Gdel�o�v�er��Z����p��g�will�alw�a�ys�mean�giving�a�mo�Gdel�o�v�er��Z���^���unr��፴p���=�together�with�a�Galois�action.����In�O6order�to�nd�a�prop�Ger,�Poregular�mo�del�for��C�R�o���v�er�O6�Z����p���R�,�Pow�e�start�with�the�mo�Gdels�in�T��*�able�1.�o�T�ec���hnically�,���w���e�^Hconsider�the�curv�es�to�b�Ge�the�t�w�o�ane�pieces��y��[ٟ�^��2��#�+�>׵g�[ٲ(�x�)�y�1۲=���f���(�x�)�and��v����^��2��#�+�>׵u���^��3��|s�g��(1�=u�)�v�1۲=���u���^��6���f���(1�=u�),�`�glued���together��b���y��ux�|U�=�1,��D�v��.�=��u���^��3��|s�y�[ٲ.��W��*�e��blo�w�them�up�at�all�p�Goin�ts�that�are�not�regular�un�til�w�e�ha�v�e�a�regular���mo�Gdel.�Qc(A��p�oin���t��(is��r��}'e�gular��(�if�the�cotangen�t�space�there�has�t�w�o�generators.)�QcThese�curv�es�are�all�prop�Ger,��and���this�UUis�not�aected�b���y�blo�wing�up.����Let�}o�C����p����denote�the�sp�Gecial�b�er�of��C�Ʋo���v�er�}o�Z���^���unr��፴p���uY�.��The�group��J��9�(�Q���^���unr��፴p����)�=J����^��0��r��(�Q���^���unr��፴p����)�}ois�isomorphic�to�a�quotien���t���of�\the�degree�0�part�of�the�free�group�on�the�irreducible�comp�Gonen���ts�of��C����p���R�.���Let�the�irreducible�comp�onen���ts���b�Ge��sdenoted��D����i��鿲for�1�1���i����n�,��{and��slet�the�m���ultiplicit�y��sof��D����i���in��C����p��4Ųb�Ge��d����i��TL�.�2!Then�the�degree�0�part�of�the�free���group�UUhas�the�form�����������g�L���=��f�������&�n���������X����t�����i�=1���q�����i��TL�D����i��d�j�������>�n����������X����t���մi�=1���㉵d����i�������i��d�=�0�g����:������m���In�4�order�to�describ�Ge�the�group�that�w���e�quotien�t�out�b�y��*�,�l�w�e�m�ust�discuss�the�in�tersection�pairing.�mF��*�or���comp�Gonen���ts�FH�D����i�����and��D����j��|�of�the�sp�ecial�b�er,�IJlet��D����i��o���D����j��|�denote�their�in���tersection�pairing.�l�In�all�of�the�sp�ecial���b�Gers��Cthat�arise�in�our�examples,��?distinct�comp�onen���ts�in�tersect�transv�ersally��*�.���Th�us,��?if��i����6�=��j����,�then��C�D����i��� ����D����j�����equals�w�the�n���um�b�Ger�w�of�p�oin���ts�at�whic�h��D����i��� �and��D����j�����in�tersect.��CThe�case�of�self-in�tersection�(�i���=��j����)�w�is�discussed���b�Gelo���w.����The�UUk���ernel�of�the�map�from��L��to��J��9�(�Q���^���unr��፴p���uY�)�=J����^��0��r��(�Q���^���unr��፴p����)�UUis�generated�b���y�divisors�of�the�form����������~[�D����j��6��]��=�������>�n����������X����t���մi�=1���8�(�D����j��o���8�D����i��TL�)�D����i������{���for�+�eac���h�comp�Gonen�t��D����j��6��.�c�W��*�e�can�deduce��D����j�����@D����j��b1�b�y�noting�that�[�D����j��6��]�m�ust�b�Ge�con�tained�in�the�group��L�.�c�This���follo���ws�UUfrom�the�fact�that�the�in�tersection�pairing�of��C����p��fj�=�������P�����d����i��TL�D����i�����with�an�y�irreducible�comp�Gonen�t�is�0.���c��Example��T1.�qDzCurv���e�UU�C����65�;B���G�o�v�er��Z����2��|s�.����The��bJacobian�of��C����65�;B���T�is�a�quotien���t�of�the�Jacobian�of��X����0��|s�(65).�6!Since�65�is�o�Gdd,��-�J����0���(65)�has�go�Go�d��breducation���at��2;�Lho���w�ev�er,�M��C����65�;B��V�has�singular�reduction�at�2.�ŴSince�the�equation�for�this�curv�e�is�conjectural�(it�is�a���W��*�ang-only�4_curv���e),�:�it�will�b�Ge�nice�to�v�erify�that�2�do�Ges�not�divide�the�conductor�of�its�Jacobian,�:�i.e.�that�the���Jacobian�p�has�go�Go�d�p�reduction�at�2.��HIn�addition,�w�w���e�will�need�a�prop�Ger,�regular�mo�Gdel�for�this�curv���e�in�order���to�UUnd�
.����W��*�e�.tstart�with�the�arithmetic�surface�o���v�er�.t�Z���^���unr��l�2����Ͳgiv�en�b�y�the�t�w�o�pieces��y��[ٟ�^��2���d�=���f���(�x�)�=���x���^��6��g��+��10�x���^��5�����32�x���^��4���+���20�x���^��3��َ�+�]40�x���^��2���+�6�x����1���and��v��[ٟ�^��2�����=�!��u���^��6��|s�f���(1�=u�).��(Here�and�in�the�follo���wing�w�e�will�not�sp�Gecify�the�gluing�maps.)���This�ʰarithmetic�surface�is�regular�at��u����=�0�ʰso�w���e�fo�Gcus�our�atten�tion�on�the�rst�ane�piece.���The�sp�Gecial���b�Ger�t�of��y��[ٟ�^��2����=����f���(�x�)�o���v�er�t��Z���^���unr��l�2����,�is�giv���en�b�y�(�y����+�Mߵx���^��3���R�+�1)���^��2��x�=���0�q�(�mo�Gd���2);���this�t�is�a�gen�us�0�curv�e�of�m�ultiplicit�y�2�����
����n���S㈍��l���10��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썲that�w���e�denote��A�.�_UThis�mo�Gdel�is�not�regular�at�the�t�w�o�p�Goin�ts�(�x��7����	z;���y�[�;��2),�)where���'z�is�a�ro�Got�of��x���^��2��F����7�3�x����1.���The�UUcurren���t�sp�Gecial�b�er�is�in�Figure�1�and�is�lab�elled��Fib��}'er���1�.����W��*�e�UUx���^ϲand�mo���v�e�UU(�x�8����	z;���y�[�;��2)�to�the�origin�using�the�substitution��x����0��C��=���x�8����	z�.�q�W��*�e�get��������"%ݵy��[ٟ����2���d�=����x�������6����0����S�+�8�(��6��BZ�+�10)�x�������5����0����+�(5��BZ���47)�x�������4����0����+�(��28��BZ�+�60)�x�������3����0����+�(��11��BZ���2)�x�������2����0����+�(��24��BZ���16)�x����0��������whic���h�UUw�e�rewrite�as�the�pair�of�equations�������������W���g����1��|s�(�x����0���;���y�[�;�p�)���������o=����x�������6����0����S�+�8�(��3��BZ�+�5)�px�������5����0����+�(5��BZ���47)�x�������4����0����+�(��7��BZ�+�15)�p������2��|s�x�������3����0���������������������P9�+�8�(��11��BZ���2)�x�������2����0����S�+�(��3�����2)�p������3��|s�x����0���S���y��[ٟ����2���������������������o�=��0�;����������������Wp��������o�=��2�:��������T��*�o���blo���w�up�at�(�x����0��|s�;���y�[�;�p�),���w�e���in�tro�Gduce�pro��8jectiv�e�co�Gordinates�(�x����1��|s�;���y����1���;�p����1���)���with��x����0��|s�y����1�����=�A1�x����1���y�[ٲ,���x����0���p����1���=�A1�x����1���p�,���and����y�[�p����1��W�=��q�y����1��|s�p�.�c6W��*�e��%lo�Gok�in�three�ane�pieces�that�co���v�er��%the�blo���w-up�of��g����1���(�x����0���;���y�[�;�p�)��q=�0�;��%p��=�2�and�c���hec�k�for���regularit���y��*�.���ݍ�����x����1��C��=��1�:���1�²W��*�e�UUha���v�e��y�"�=���x����0��|s�y����1���,��p���=��x����0��|s�p����1���.�q�W��*�e�get��g����2���(�x����0���;���y����1���;�p����1���)��=�0,�UU�x����0��|s�p����1��C��=�2,�where�������������Q�g����2��|s�(�x����0���;���y����1���;�p����1���)���������=���x����䍷�2���0���
�t�g����1��|s�(�x����0���;���x����0���y����1���;�x����0���p����1���)��������������������=����x�������4����0����S�+�8�(��3��BZ�+�5)�p����1��|s�x�������4����0����+�(5��BZ���47)�x�������2����0����+�(��7��BZ�+�15)�p�������2����1���|s�x�������3����0���������������������`��+�8�(��11��BZ���2)�+�(��3�����2)�p�������3����1���|s�x�������2����0����S���y�������[ٱ2����1�����:���������In�UUthe�reduction�w���e�ha�v�e�either��x����0��C��=��0�or��p����1���=��0.�������<�x����0��C��=��0�:���DH�(�y����1���ֲ+�*c��3ݲ+�1)���^��2��	�S�=�"�0.���This���is�a�new�comp�Gonen���t�whic�h�w�e�denote��B��q�.���It�has�gen�us�0�and����+�<m���ultiplicit�y��2.��W��*�e�c���hec�k��regularit�y�along��B�	y�at�(�x����0��|s�;���y����1���ʲ+�[W��dѲ+�1�;�p����1���ʸ��t;��2),���with���t��in��Z���^���unr��l�2���uY�,�and�nd����+�<that�UU�B��Ʋis�no���where�regular.�������<�p����1��C��=��0�:���C�IJ(�y����1���S�+�8�x���^���2��l�0����+���	zx����0���+�(��BZ�+�1))���^��2��C��=��0.�q�Using�UUthe�gluing�maps,�w���e�see�that�this�is��A�.��������y����1��C��=��1�:���0�ŲW��*�e�UUget�no�new�information�from�this�ane�piece.��������p����1��C��=��1�:���0Ҧ�W��*�e��,ha���v�e��x����0��C��=���x����1��|s�p�,���y�"�=��y����1���p�.�CdW��*�e��,get��g����3���(�x����1���;���y����1���;�p�)��=��p���^���2��
�t�g����1���(�x����1���p;���y����1���p;�p�)��=�0,���p��=�2.�CdIn��,the�reduction�����w���e�UUha�v�e�������<�p���=�0�:���?Q�(�y����1���S�+�8�(��BZ�+�1)�x����1��|s�)���^��2��C��=��0.�q�Using�UUthe�gluing�maps,�w���e�see�that�this�is��B��q�.�It�is�no���where�regular.���ݍ�The�<Qcurren���t�sp�Gecial�b�er�is�in�Figure�1�and�is�lab�elled��Fib��}'er�|�2�.�iqIt�is�not�regular�along��B��²and�at�the�other���p�Goin���t�Z�on��A��whic�h�w�e�ha�v�e�not�y�et�blo�wn�up.���The�comp�Gonen�t��B��
�do�Ges�not�lie�en�tirely�in�an�y�one�ane�piece���so�UUw���e�will�blo�w�up�the�ane�pieces��x����1��C��=��1�and��p����1���=��1�along��B��q�.����T��*�o��sblo���w�up��x����1���g�=�T�1�along��B�*�w�e�mak�e�the�substitution��y����2���g�=�T�y����1����+�q���{�+�1��sand�replace�eac�h�factor�of�2�in�a���co�Gecien���t�v�b�y��x����0��|s�p����1���.�'�W��*�e�ha���v�e��g����4��|s�(�x����0���;���y����2���;�p����1���)��=�0�v�and��x����0��|s�p����1��C��=��2,��Jand�w���e�w�an�t�to�blo�w�up�along�the�line�(�x����0��|s�;���y����2���;��2).���Blo���wing�-�up�along�a�line�is�similar�to�blo�wing�up�at�a�p�Goin�t:�^since�w�e�are�blo�wing�up�at�(�x����0��|s�;���y����2���;��2)��=�(�x����0��|s�;�y����2���),���w���e��nin�tro�Gduce�pro��8jectiv�e�co�Gordinates��x����3��|s�;���y����3��S�together�with�the�relation��x����0���y����3��^�=���x����3���y����2���.��W��*�e�consider�t���w�o�ane���pieces�UUthat�co���v�er�UUthe�blo���w-up�of��x����1��C��=��1.���������n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��r(~11�����x���`#���z#����A��Figure��1.��Sp�Gecial�UUb�ers�of�curv���e��C����65�;B���G�o�v�er��Z����2��|s�;�p�Goin�ts�not�regular�are�thic�k�����p����������Jट�32�fd<�����j���� �A�������8㍑`�2�����^ट����<�

	lcircle10�t���rट�t�����x㍑X���Fib�Ger�UU1���������������x㍒���Fib�Ger�UU2������ट�32�fd<�����j��� �A�������8㍒�`�2������ट��t����ۭr���Pfe������-r���Pfe������-r���Pfe�����ڭr���Pfe�����ܭr���Pfe������j����U��B�������8㍒�`�2�������������Dट�32�fd<�����j���� �A�������8㍒y`�2������X�r���Pfe������j���UU�B������l�r���Pfe������j���i�D�������x㍒R��Fib�Ger�UU3�������������C��������x����3��C��=��1�:���1�²W��*�e��4ha���v�e��y����2��	e��=�鉵y����3��|s�x����0���.�IdW��*�e�get��g����5���(�x����0���;���y����3���;�p����1���)��=��x����䍷�2���0���
�t�g����4��|s�(�x����0���;�y����3���x����0���;�p����1���)��=�0��4and��x����0��|s�p����1��	e��=��2.�IdIn�the�����reduction�UUw���e�ha�v�e�������<�x����0��C��=��0�:���DH�y���^���[ٱ2��l�3���,�+�8�(��BZ�+�1)�y����3��|s�p����1���S�+���	zp���^���3��l�1����+��p���^���2��l�1����+���BZ�+�1��=�0.�q�This�UUis��B��q�.�It�is�no���w�a�non-singular�gen�us�1�curv�e.�������<�p����1��C��=��0�:���C�IJ(�x����0���S�+�8�y����3���+���	z�)���^��2��C��=��0.�q�This�UUis��A�.�The�p�Goin���t�where��B��Ʋmeets��A��transv�ersally�is�regular.��������y����3��C��=��1�:���0�ŲW��*�e�UUget�no�new�information�from�this�ane�piece.��Bύ�When�UUw���e�blo�w�up��p����1��C��=��1�along��B��Ʋw�e�get�essen�tially�the�same�thing�and�all�p�Goin�ts�are�again�regular.����The���other�non-regular�p�Goin���t�on��A��is�the�conjugate�of�the�one�w�e�blew�up.�T�Therefore,�Safter�p�Gerforming�the���conjugate�&�blo���w�ups,�0it�to�Go�will�b�e�a�gen���us�1�comp�onen���t�crossing��A��transv�ersally��*�.�b:W�e�&�denote�this�comp�Gonen�t����D�G�;�UUit�is�conjugate�to��B��q�.����W��*�e�;no���w�ha�v�e�a�prop�Ger,�
regular�mo�del��C����of��C��W�o���v�er�;�Z����2��|s�.�U�Let��C����2��}��b�e�the�sp�ecial�b�er�of�this�mo�del;�Da�diagram���of�m�C����2���s�is�in�Figure�1�and�is�lab�Gelled��Fib��}'er���3�.���W��*�e�can�use��C�W�to�sho���w�that�the�N���Geron�mo�Gdel��J�E�of�the�Jacobian����J��Q�=���J����65�;B���G�has�UUgo�Go�d�reduction�at�2.����W��*�e�zkno���w�that�the�reduction�of��J�����^��0��
sϲis�the�extension�of�an�ab�Gelian�v��q�ariet�y�b�y�a�connected�linear�group.���Since����C���is�regular�and�prop�Ger,�xthe�ab�elian�v��q�ariet���y�part�of�the�reduction�is�the�pro�duct�of�the�Jacobians�of�the���normalizations�?�of�the�comp�Gonen���ts�of��C����2���g�(see�[�BLR����,�D:9.3/11�and�9.5/4]).�j�Th�us,�D:the�ab�Gelian�v��q�ariet�y�part�is�the���pro�Gduct�:�of�the�Jacobians�of��B���and��D��.�h�Since�this�is�2-dimensional,�?�the�reduction�of��J�����^��0��	���is�an�ab�elian�v��q�ariet���y��*�.���In�D�other�w���ords,�G�since�the�sum�of�the�genera�of�the�comp�Gonen�ts�of�the�sp�Gecial�b�er�is�equal�to�the�dimension���of�@��J��9�,�D�the�reduction�is�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y��*�.�j�It�follo�ws�that��J���has�go�Go�d�@�reduction�at�2,�D�that�the�conductor�of��J����is���o�Gdd,���and�that��c����2���>�=�s�1.���As�noted�ab�o���v�e,���this���giv�es�further�evidence�that�the�equation�giv�en�in�T��*�able�1�is���correct.���c��Example��T2.�qDzCurv���e�UU�C����63���;�o�v�er��Z����3��|s�.����The�ߟT��*�amaga���w�a�n�um�b�Ger�is�often�found�using�the�in�tersection�matrix�and�sub-determinan�ts.��This�is�not���en���tirely��satisfactory�for�cases�where�the�sp�Gecial�b�er�has�sev���eral�comp�onen���ts�and�a�non-trivial�Galois�action.���Here�UUis�an�example�of�ho���w�to�resolv�e�this�(see�also�[�BL��
UX]).������*��n���S㈍��l���12��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x���
uz���{9����_��Figure��2.��Sp�Gecial�UUb�er�of�curv���e��C����63���;�o�v�er��Z����3������Ǎ����������ट�32�fd�������r���<fe�����­r���<fe�����֭r���<fe������r���dfe�����ट�32�fd<����ट�32�fd<����ट�32�fd<�����j�����2�G�������j���� �H�������j����kI�������j���y�E�������j���<�F�������j���< �A�������j���<U�B�������j���<�D�������8㍒�`�2�������8㍒�`�2�������8㍒�`�2�������8㍒)`�4�������8㍒)`�2�������8㍒`�2�������������{��When�e�w���e�blo�w�up�curv�e��C����63��
�ݲo�v�er��Z���^���unr��l�3���uY�,��w�e�get�the�sp�Gecial�b�er�sho���wn�in�Figure�2.�
��Elemen�ts�of����Gal���(�Q���^���unr��l�3���uY�=�Q����3��|s�)�<&that�do�not�x�the�quadratic�unramied�extension�of��Q����3�����switc���h��H�$�and��I���.�ibThe�other�comp�Go-���nen���ts��tare�dened�o�v�er��Q����3��|s�.�M%All�comp�Gonen�ts�ha�v�e�gen�us�0.�M%The�group��J��9�(�Q���^���unr��l�3���uY�)�=J����^��0��r��(�Q���^���unr��l�3����)��tis�isomorphic�to�a���quotien���t�UUof���Ջ������&�L���=��f��	zA�8�+����B��Q�+���`�D���+��E��m�+��F��o�+��
��8G��+���[�H�޲+��I����j����BZ�+������+�2���ò+�2���+�4���+�2�
��+�2�����+�2���=�0�g����:��������The�UUk���ernel�is�generated�b�y�the�follo�wing�divisors.�� ܍������d���9��[����A��]��=������2�A�8�+��E�9{\�[����/��B��q�]��=���:&;��2�B��Q�+�8�E������9���[�H��D��Ҳ]��=�������D���+�8�E�9{\�[����@0�E���]��=���bb�A�8�+��B��Q�+��D�����4�E��m�+��F������9���[���F�
��]��=���U�:�E��m��8�2�F��o�+��G��+��H�޲+��I�9���[����Lt�G���]��=���BJR�F��o��8�2�G������9���[�H����]��=����V,�F��o��8�2�H�9�Ͳ[����I�<�]��=���D��F��o��8�2�I������"����When�UUw���e�pro��8ject�a�w�a�y�from��A�,�w�e�nd�that��J��9�(�Q���^���unr��l�3���uY�)�=J����^��0��r��(�Q���^���unr��l�3����)�UUis�isomorphic�to�������������]�ոh�B��q;���D�G;�E���;�F�G;�G;�H�A�;�I���������Y�j���E�Z��=�0�;���E��=�2�B��q;���D�5�=��E���;��4�E�Z��=��B��Q�+�8�D���+��F�G;�������������������B�2�F�*��=���E��m�+�8�G��+��H�޲+��I���;���F��=��2�G��=�2�H���=�2�I���i�:�������A���t��this�p�Goin�t,�:�it�is�straigh�tforw�ard�to�simplify�the�represen�tation�b�y�elimination.��MNote�that�w�e�pro��8jected���a���w�a�y��from��A�,�?�whic���h�is�Galois-in�v��q�arian�t.���It�is�b�Gest�to�con�tin�ue�eliminating�Galois-in�v��q�arian�t�elemen�ts�rst.���W��*�e��ind�that�this�group�is�isomorphic�to��h�H�A�;���I�&�j�]8�2�H�-6�=�2�I��=�0�i��i�and�elemen���ts�of��Gal��Ok(�Q���^���unr��l�3���uY�=�Q����3��|s�)�that�do�not���x�$|the�quadratic�unramied�extension�of��Q����3����switc���h��H��z�and��I���.�aTherefore��J��9�(�Q���^���unr��l�3���uY�)�=J����^��0��r��(�Q���^���unr��l�3����)����T͍�������+3�����=�����
UN�Z�=�2�Z��.���Z�=�2�Z����and�UU�c����3��C��=��#�J��9�(�Q����3��|s�)�=J����^��0��r��(�Q����3���)��=�2.��D��3.5.����Computing��
�.��By��Dan��inte��}'gr�al���dier�ential��D�(or��inte��}'gr�al�form�)��Don��J��}�w���e�mean�the�pullbac�k�to��J��}�of�a�global���relativ���e���dieren�tial�form�on�the�N���Geron�mo�Gdel�of��J���o�v�er��Z�.�/lThe�set�of�in�tegral��n�-forms�on��J���is�a�full-rank���lattice�Bin�the��Q�-v���ector�space�of�global�holomorphic��n�-forms�on��J��9�.�]�Since��J�{�is�an�ab�Gelian�v��q�ariet�y�of�dimension���2,�''the��in���tegral�1-forms�are�a�free��Z�-mo�Gdule�of�rank�2�and�the�in�tegral�2-forms�are�a�free��Z�-mo�Gdule�of�rank�1.���Moreo���v�er,�>ythe�8�w�edge�of�a�basis�for�the�in�tegral�1-forms�is�a�generator�for�the�in�tegral�2-forms.�hAThe�quan�tit�y���
�$is�the�in���tegral,�-�o�v�er�$the�real�p�Goin���ts�of��J��9�,�of�a�generator�for�the�in���tegral�2-forms.�a](W��*�e�c�ho�Gose�the�generator���that�UUleads�to�a�p�Gositiv���e�in�tegral.)�����
���n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��r(~13�����x����썑�W��*�e�"�no���w�translate�this�in�to�a�computation�on�the�curv�e��C���.�`�Let��f�!����1��|s�;���!����2���g�"زb�Ge�a��Q�-basis�for�the�holomorphic���dieren���tials��on��C��5�and�let��f�
����1��|s�;���
����2���;�
����3���;�
����4���g���b�Ge�a��Z�-basis�for�the�homology�of��C���(�C�).�BCreate�a�2��
���4��complex���matrix����M����C��
W��=�R�[����īR������<�
���j����B�!����i��TL�]�b���y�in�tegrating�the�dieren�tials�o�v�er�the�homology�and�let��M����R��
���=��R�T��*�r���
����:�C�=�R��vʲ(�M����C����)�b�Ge�the���2�HD���4�lkreal�matrix�whose�en���tries�are�traces�from�the�complex�matrix.��The�columns�of��M����R��
���generate�a�lattice������in��R���^��2��|s�.�R�If�w���e�mak�e�the�standard�iden�tication�b�Get�w�een�the�holomorphic�1-forms�on��J��Dzand�the�holomorphic���dieren���tials�ton��C�+-�(see�[�Mi2����]),�{�then�the�notation�����īR���,���<�J���(�R�)��e|�j�!����1���и^�M]�!����2��|s�j��mak�es�sense�and�its�v��q�alue�can�b�Ge�computed���as�UUthe�area�of�a�fundamen���tal�domain�for�.����If�3�f�!����1��|s�;���!����2���g��is�a�basis�for�the�in���tegral�1-forms�on��J��9�,�Pjthen�����īR������<�J���(�R�)����j�!����1��;<�^��ɵ!����2���j�޲=�
.��aOn�the�other�hand,�Pjthe���computation�vCof��M����C��
{=�is�simplest�if�w���e�c�ho�Gose��!����1��zm�=����dX��=��8Y�8�,�~and��!����2���=����X�s�dX��=��8Y��'�with�resp�Gect�to�a�mo�del�for��C����of�xYthe�form��Y��8��^��2��	�ʲ=�s�F�c��(�X���);���in�this�case�w���e�obtain�
�b�y�a�simple�c�hange-of-basis�calculation.���This�assumes,��of���course,�Őthat��w���e�kno�w�ho�w�to�express�a�basis�for�the�in�tegral�1-forms�in�terms�of�the�basis��f�!����1��|s�;���!����2���g�;��this��is���addressed�UUin�more�detail�b�Gelo���w.����It��is�w���orth�men�tioning�an�alternate�strategy��*�.��Instead�of�nding�a��Z�-basis�for�the�homology�of��C���(�C�)�one���could��nd�a��Z�-basis��f�
���^����8�0��l��1���|s�;���
���^����8�0��l��2����g���for�the�subgroup�of�the�homology�that�is�xed�b���y�complex�conjugation�(call�this���the��Kreal�homology).�ǨIn���tegrating�w�ould�giv�e�us�a�2��ٸ��2��Kreal�matrix��M���^����0��g��R���
�x�and�the�determinan�t�of��M���^����0��g��R���
�x�w�ould���equal��6the�in���tegral�of��!����1��#>�^��˵!����2��v��o�v�er�the�connected�comp�Gonen�t�of��J��9�(�R�).�`iIn�other�w�ords,�#nthe�n�um�b�Ger�of�real���connected�UUcomp�Gonen���ts�of��J�K��is�equal�to�the�index�of�the��C�=�R�-traces�in�the�real�homology��*�.����W��*�e���no���w�come�to�the�question�of�determining�the�dieren�tials�on��C�EҲwhic�h�corresp�Gond�to�the�in�tegral���1-forms�!�on��J��9�.�`�Call�these�the�in���tegral�dieren�tials�on��C���.�`�This�computation�can�b�Ge�done�one�prime�at�a�time.���A���t�0Seac�h�prime��p��this�is�equiv��q�alen�t�to�determining�a��Z���^���unr��፴p���uY�-basis�for�the�global�relativ�e�dieren�tials�on�an�y���prop�Ger,��regular��Rmo�del�for��C��n�o���v�er��Z���^���unr��፴p���uY�.�UIn�fact�a�more�general�class�of�mo�Gdels�can�b�e�used;��see�the�discussion���of�UUmo�Gdels�with�rational�singularities�in�[�BLR����,��x�6.7]�and�[�Li��	,��x�4.1].����W��*�e�-start�with�the�mo�Gdel��y��[ٟ�^��2�����+�ȳ�g�[ٲ(�x�)�y����=�.��f���(�x�)�giv���en�in�T�able�1.��Note�that�the�substitution��X����=�.��x��and����Y����=��2�y�+����g�[ٲ(�x�)�Egiv���es�us�a�mo�Gdel�of�the�form��Y��8��^��2��	|o�=��F�c��(�X���).�VF��*�or�in���tegration�purp�Goses,��our�preferred�dieren�tials���are�5�dX��=��8Y�v6�=�=R�dx=�(2�y�*j�+�Α�g�[ٲ(�x�))�and��X�s�dX�=��8Y�v6�=�=R�x���dx=�(2�y�*j�+�Α�g�[ٲ(�x�)).�gIt�is�not�hard�to�sho���w�that�at�primes�of���non-singular��nreduction�for�the��y��[ٟ�^��2��=_�+�e�g�[ٲ(�x�)�y�"�=���f���(�x�)�mo�Gdel,��these�dieren���tials�will�generate�the�in�tegral�1-forms.���F��*�or�UUeac���h�prime��p��of�singular�reduction�w�e�giv�e�the�follo�wing�algorithm.�q�All�steps�tak�e�place�o�v�er��Z���^���unr��፴p���uY�.��n������Step��T1:���5��Compute�UUexplicit�equations�for�a�prop�Ger,�regular�mo�del��C��W�.��������Step��T2:���5��Diagram�UUthe�conguration�of�the�sp�Gecial�b�er�of��C��W�.��������Step��T3:���5��(Optional)�L�Iden���tify�exceptional�comp�Gonen�ts�and�blo�w�them�do�wn�in�the�conguration�diagram.�����Rep�Geat�UUstep�3�as�necessary��*�.��������Step��T4:���5��(Optional)���Remo���v�e�comp�Gonen�ts�with�gen�us�0�and�self-in�tersection���2.�9�Since��C�c��has�gen�us�greater�����than�UU1,�there�will�b�Ge�a�comp�onen���t�that�is�not�of�this�kind.����$�(This�xstep�corresp�Gonds�to�con���tracting�the�giv�en�comp�Gonen�ts.���The�mo�Gdel�obtained�w�ould�no�longer�����b�Ge��Xregular;�ȭit�w���ould,���ho�w�ev�er,�b�Ge��Xa�prop�er�mo�del�with�rational�singularities.�+sW��*�e�will�not�need�a�diagram�����of�UUthe�resulting�conguration.)������ ��n���S㈍��l���14��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썍����Step��T5:���5��Determine�Oa��Z���^���unr��፴p���uY�-basis�for�the�in���tegral�dieren�tials.�{�It�suces�to�c�hec�k�this�on�a�dense�op�Gen�����subset���of�eac���h�surviving�comp�Gonen�t.�3$Note�that�w�e�ha�v�e�explicit�equations�for�a�dense�op�Gen�subset�of�����eac���h�9of�these�comp�Gonen�ts�from�the�mo�Gdel��C����in�step�1.�Z�A�(pair�of�dieren�tials��f�����1��|s�;�������2���g�9�will�b�Ge�a�basis�for�����the�UUin���tegral�dieren�tials�(at��p�)�if�the�follo�wing�three�statemen�ts�are�true.�������<�a:���-W�The�UUpair��f�����1��|s�;�������2���g�UU�is�a�basis�for�the�holomorphic�dieren���tials�on��C���.�������<�b:���.#��The��<reductions�of������1��H��and������2���pro�Gduce�w���ell-dened�dieren�tials�mo�Gd��p��on�an�op�en�subset�of�eac���h����+�<surviving�UUcomp�Gonen���t.�������<�c:���,�r�If�UU�a����1��|s�����1���S�+�8�a����2�������2��C��=��0�q�(�mo�Gd����p�)�on�all�surviving�comp�Gonen���ts,�then��p�j�a����1���Ȳand��p�j�a����2���.���C��T��*�ec���hniques�2for�explicitly�computing�a�prop�Ger,��regular�mo�del�are�discussed�in�Section�3.4.�[A�!conguration���diagram��Bshould�include�the�gen���us,�	}m�ultiplicit�y��Band�self-in���tersection�n�um�b�Ger�of�eac�h�comp�Gonen�t�and�the���n���um�b�Ger�KGand�t���yp�e�of�in���tersections�b�et���w�een�KGcomp�onen�ts.�nmNote�KGthat�when�an�exceptional�comp�onen���t�is�blo�wn���do���wn,��all���of�the�self-in�tersection�n�um�b�Gers�of�the�comp�onen���ts�in�tersecting�it�will�go�up�(to�w�ards�0).���In���particular,���comp�Gonen���ts���whic�h�w�ere�not�exceptional�b�Gefore�ma�y�b�Gecome�exceptional�in�the�new�conguration.����Steps��3�and�4�are�in���tended�to�mak�e�this�algorithm�more�ecien�t�for�a�h�uman.�VPThey�are�en�tirely�optional.���F��*�or�^Ja�computer�implemen���tation�it�ma�y�b�Ge�easier�to�simply�c�hec�k�ev�ery�comp�Gonen�t�than�to�w�orry�ab�Gout���manipulating�UUcongurations.����The�icurv���es�in�T��*�able�1�are�giv�en�as��y��[ٟ�^��2�����+��B�g�[ٲ(�x�)�y�Mf�=��f���(�x�).��W��*�e�assumed,�5.at�rst,�that��dx=�(2�y��+��B�g�[ٲ(�x�))�and����x���dx=�(2�y���+��ӵg�[ٲ(�x�))��generate�the�in���tegral�dieren�tials.�[�W��*�e�in�tegrated�these�dieren�tials�around�eac�h�of�the�four���paths���generating�the�complex�homology�and�found�a�pro���visional�
.�U�Then�w�e�c�hec�k�ed�the�prop�Ger,��regular���mo�Gdels��to�determine�if�these�dieren���tials�really�do�generate�the�in�tegral�dieren�tials�and�adjusted�
�when���necessary��*�.�2�There���w���ere�three�curv�es�where�w�e�needed�to�adjust�
.�2�W��*�e�describ�Ge�the�adjustmen�t�for�curv�e��C����65�;B�����in���the�follo���wing�example.�QDF��*�or�curv�e��C����63��x�,�Nw�e�used�the�dieren�tials�3����dx=�(2�y�ѧ�+�uεg�[ٲ(�x�))�and��x�dx=�(2�y�ѧ�+�uεg�[ٲ(�x�)).�QDF��*�or���curv���e�UU�C����65�;A���v�,�w�e�used�the�dieren�tials�3����dx=�(2�y����+�8�g�[ٲ(�x�))�and�3�x�dx=�(2�y����+�8�g�[ٲ(�x�)).���Ǎ�Example��T3.�qDzCurv���e�UU�C����65�;B��:�.����The��}primes�of�singular�reduction�for�curv���e��C����65�;B��9o�are�2,��5�and�13.�T�In�Example�1�of�Section�3.4,�w���e�found�a���prop�Ger,�J�regular�H#mo�del��C��z�for��C��?�o���v�er��Z���^���unr��l�2���uY�.�maThe�conguration�for�the�sp�Gecial�b�er�of��C��z�is�sk���etc�hed�in�Figure�1���under���the�lab�Gel��Fib��}'er�!y3�.�HQComp�onen���t��A��is�exceptional�and�can�b�e�blo���wn�do�wn�to�pro�Gduce�a�mo�del�in�whic���h��B����and����D��ֲcross�transv���ersally��*�.�1�Since��B�*�and��D��b�Goth�ha���v�e���gen�us�1,��?w�e�cannot�eliminate�either�of�these�comp�Gonen�ts.���F��*�urthermore,�UUit�suces�to�c���hec�k�UU�B��q�,�since��D��r�is�its�Galois�conjugate.����T��*�o��hget�from�the�equation�of�the�curv���e�listed�in�T�able�1�to�an�ane�con���taining�an�op�Gen�subset�of��B�Yٲw�e���need��tto�mak���e�the�substitutions��x����=��x����0������J����and��t�y��y�=��x����0��|s�(�y����3���x����0�����J���ĸ��1).��$W��*�e��talso�ha���v�e��t�x����0��|s�p����1���=���2.�Using�the���substitutions�UUand�the�relation��dx����0��|s�=x����0��C��=����dp����1���=p����1���,�UUw���e�get������������<$��iJ��dx��iJ��w�fe
뎟	(֍�TK�2�y�����x0{�=�����<$�����dp����1����K�w�feMÍ�	(֍�2�p����1��|s�(�y����3���x����0���S��8��BZ���1)������\�and������<$��[email protected]��x���dx��[email protected]��w�feMR�	(֍�-�2�y�������R�=�����<$��uh��(�x����0���S�+�8��	z�)����dp����1����K�w�feMÍ�	(֍�2�p����1��|s�(�y����3���x����0���S��8��BZ���1)�����T���:�������Note��that��p����1��'y����t��is�a�uniformizer�at��p����1��`�=��x�t��almost�ev���erywhere�on��B��q�.�svWhen�w�e�m�ultiply�eac�h�dieren�tial���b���y�c�2,�gCthen�the�denominator�of�eac�h�is�almost�ev�erywhere�non-zero;�j�th�us,�gC�dx=y����and��x���dx=y��are�in���tegral�at�2.������T��n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��r(~15�����x����썲Moreo���v�er,�	ualthough��othe�linear�com���bination�(�x������	z�)����dx=y�AH�is��oiden�tically�zero�on��B��q�,�	uit�is�not�iden�tically�zero���on���D��1�(its�Galois�conjugate�is�not�iden���tically�zero�on��B��q�).�OTh�us,���our�new�basis�is�correct�at�2.�OW��*�e�m�ultiply���the�UUpro���visional�
�b�y�4�to�get�a�new�pro�visional�
�whic�h�is�correct�at�2.����Similar�.I(but�somewhat�simpler)�computations�at�the�primes�5�and�13�sho���w�that�no�adjustmen�t�is�needed���at��Rthese�primes.���Th���us,��ѵdx=y�3+�and��x���dx=y��form�a�basis�for�the�in���tegral�dieren�tials�of�curv�e��C����65�;B��:�,���and�the���correct�UUv��q�alue�of�
�is�4�times�our�original�guess.��0������4.���N�Modular��algorithms�����In���this�section,�Őw���e�describ�Ge�the�algorithms�that�w�ere�used�to�compute�some�of�the�data�from�the�newforms.���This��dincludes�the�analytic�rank�and�leading�co�Gecien���t�of�the��L�-series.�2"F��*�or�optimal�quotien�ts,���the�v��q�alue�of��k������
���can�߽also�b�Ge�found�(�k�0T�is�the�Manin�constan���t),�Was�w�ell�as�partial�information�on�the�T��*�amaga�w�a�n�um�b�Gers��c����p�����and�UUthe�size�of�the�torsion�subgroup.��@̍4.1.����Analytic��rank�of��L�(�J���;���s�)��and�leading�co�Q�ecien��9t�at��s��1�=�1�.��Fix�U�a�Jacobian��J�L7�corresp�Gonding�to�the���2-dimensional��Psubspace�of��S����2��|s�(�N��)�spanned�b���y�quadratic�conjugate,���normalized�newforms��f��߲and�����
�fe��$���f���	�6�.�(�Let��W����N�����b�Ge��4the�F��*�ric���k�e��4in�v�olution.��cThe�newforms��f��òand�����
�fe��$���f����N�ha�v�e�the�same�eigen�v��q�alue������N���with�resp�Gect�to��W����N�����,��+namely���+1�UUor���1.�q�In�the�notation�of�Section�2,�let��H���ƶy�L�(�f��V;���s�)��=������Sf�1����������X��������n�=1�������<$���t�a����n����t�w�fe
���	(֍�9�n���r�s����������rލ�b�Ge��mthe��L�-series�of��f���;��ethen��L�(����
�fe��$���f�����;���s�)�is�the�Diric���hlet�series�whose�co�ecien���ts�are�the�conjugates�of�the�co�ecien���ts���of��L�L�(�f��V;���s�).�No(Recall�that�the��a����n��\ʲare�in���tegers�in�some�real�quadratic�eld.)�The�order�of��L�(�f��V;���s�)�at��s���=�1��Lis�ev���en���when�s������N��
�a�=�����1�and�o�Gdd�when������N���=���+1.���W��*�e�ha���v�e�s��L�(�J���;���s�)�=��L�(�f��V;�s�)�L�(����
�fe��$���f�����;�s�).���Th���us�s�the�analytic�rank�of��J�i�is�0���mo�Gdulo�!�4�when������N��
\ɲ=����1�and�2�mo�dulo�4�when������N��
\ɲ=��+1.�`�W��*�e�found�that�the�ranks�w���ere�all�0�or�2.�T��*�o�pro���v�e���that��tthe�analytic�rank�of��J����is�0,��;w���e�need�to�sho�w��L�(�f��V;����1)�y��6�=�0��tand��L�(����
�fe��$���f�����;��1)�y��6�=�0.��$In��tthe�case�that������N��Q�=�y�+1,���to���pro���v�e�that�the�analytic�rank�is�2,��w�e�need�to�sho�w�that��L���^��0���9�(�f��V;����1)�jɸ6�=�0�and��L���^��0���9�(����
�fe��$���f�����;����1)��6�=�0.��mWhen������N��z�=���1,���w���e�UScan�ev��q�aluate��L�(�f��V;����1)�as�in�[�Cr2��#�,��x�2.11].�q�When������N��
\ɲ=��+1,�w�e�can�ev��q�aluate��L���^��0���9�(�f��V;����1)�as�in�[�Cr2��#�,��x�2.13].�q�Eac�h���appropriate��H�L�(�f��V;����1)�or��L���^��0���9�(�f�;����1)�w���as�at�least�0�:�1�and�the�errors�in�our�appro�ximations�w�ere�all�less�than�10���^���67����.���In�;this�w���a�y�;w�e�determined�the�analytic�ranks,�
whic�h�w�e�denote��r�G�.�U�As�noted�in�the�in�tro�Gduction,�
the�analytic���rank��:equals�the�Mordell-W��*�eil�rank�if��r����=�c�0�or��r��=�c�2.��vTh���us,�ʳw�e��:can�simply�call��r��W�the�rank,�without�fear�of���am���biguit�y��*�.����T��*�o��kcompute�the�leading�co�Gecien���t�of��L�(�J���;���s�)�at��s���=�1,���w�e��knote�that��lim��������s�!�1��"�6�L�(�J���;���s�)�=�(�s�'���1)���^��r��4��=���L���^��(�r�7�)��
���(�J�;����1)�=r�G�!.���In�Ythe��r�Ꮂ=��q0�case,�s�w���e�simply�ha�v�e��L�(�J���;����1)��q=��L�(�f��V;��1)�L�(����
�fe��$���f�����;��1).�	��In�Ythe��r�Ꮂ=��q2�case,�s�w���e�ha�v�e��L����^��0���N9��^�0���r�(�J���;���s�)��q=����L����^��0���N9��^�0���r�(�f��V;���s�)�L�(����
�fe��$���f�����;�s�)��+�2�L���^��0���9�(�f�;���s�)�L���^��0���(����
�fe��$���f�����;�s�)��+��L�(�f��V;�s�)�L����^��0���N9��^�0���r�(����
�fe��$���f�����;�s�).��Ev��q�aluating��`b�Goth�sides�at��s��(�=�1��`w���e�get����������1������&�fe�s����2�����
�9�L����^��0���N9��^�0���r�(�J���;��1)��(=����L���^��0���9�(�f��V;����1)�L���^��0���(����
�fe��$���f�����;��1).���4.2.����Computing�L��k���~�
�.��Let��)�J��9�,���f�и�and�����
�fe��$���f���
s8�b�Ge�as�in�Section�4.1�and�assume��J��b�is�an�optimal�quotien���t.��BLet��V����b�Ge��pthe�2-dimensional�space�spanned�b���y��f����and�����
�fe��$���f���	�V�.�GCho�ose�a�basis��f�!����1��|s�;���!����2���g��p�for�the�subgroup�of��V��T�consisting���of���forms�whose��q�[ٲ-expansion�co�Gecien���ts�lie�in��Z�.�r�Let��k�…��q�
�b�e�the�v���olume�of�the�real�p�oin���ts�of�the�quotien�t������u��n���S㈍��l���16��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썲of�;��C��x���C��b���y�the�lattice�of�p�Gerio�d�in���tegrals�(����īR������<�
����!����1��|s�;�������īR���c���<�
��
/µ!����2���)�with��
���in�the�in���tegral�homology��H����1���(�X����0���(�N��)�;����Z�).���The���rational�n���um�b�Ger����k��#�is�called�the��Manin���c��}'onstant�.�_mIn�practice�w���e�compute��k��F��m��
�using�mo�dular�sym���b�ols���and�%�a�generalization�to�dimension�2�of�the�algorithm�for�computing�p�Gerio�ds�%�describ�ed�in�[�Cr2��#�,�/k�x�2.10].�a�When����L�(�J���;����1)���6�=�0�Tthe�metho�Gd�of�[�Cr2��#�,�TT�x�2.11]�coupled�with�Sections�4.1�and�4.3�can�also�b�e�used�to�compute��k�����6_�
.����A�:�sligh���t�:�generalization�of�the�argumen�t�of�Prop�Gosition�2�of�[�Ed1��\u]�pro�v�es�that��k����is,�tcin�fact,�an�in���teger.���This�E�generalization�can�b�Ge�found�in�[�AS2��<],���where�one�also�nds�a�conjecture�that��k��0�m���ust�equal�1�for�all���optimal���quotien���ts�of�Jacobians�of�mo�Gdular�curv�es,���whic�h�generalizes�the�longstanding�conjecture�of�Manin���that�"ŵk�s\�equals�1�for�all�optimal�elliptic�curv���es.�`�In�unpublished�w�ork,�,�Edixho�v�en�has�partially�pro�v�en�Manin's���conjecture.����The��+computations�of�the�presen���t�pap�Ger�v�erify�that��k�²equals�1�for�the�optimal�quotien�ts�that�w�e�are���considering.�aSp�Gecically��*�,�-w���e�#computed��k�$���Z�
�as�ab�o���v�e�#and�
�as�describ�ed�in�Section�3.5.�aThe�quotien���t�of�the���t���w�o�UUv��q�alues�w���as�alw�a�ys�w�ell�within�0�:�5�of�1.��;��4.3.����Computing�n��L�(�J���;����1)�=�(�k��S�����
)�.��W��*�e�ڟcompute�the�rational�n���um�b�Ger�ڟ�L�(�J�;����1)�=�(�k��S�����
),���for�optimal�quotien���ts,���using��the�algorithm�in�[�AS1��<].�\�This�algorithm�generalizes�the�algorithm�describ�Ged�in�[�Cr2��#�,�#�x�2.8]�to�dimension���greater�UUthan�1.���4.4.����T��
�amaga��9w�a�?�n�um�b�Q�ers.��In��this�section�w���e�assume�that��p��is�a�prime�whic�h�exactly�divides�the�conductor����N�,+�of��J��9�.�\[Under�these�conditions,�!�Grothendiec���k�[�Gr��Ï]�ga�v�e�a�description�of�the�comp�Gonen�t�group�of��J�I�in�terms���of��Xa�mono�Gdrom���y�pairing�on�certain�c�haracter�groups.�L(F��*�or�more�details,���see�Rib�Get�[�Ri��
#�,��x�2].)�LIf,�in�addition,��J����is��a�new�optimal�quotien���t�of��J����0��|s�(�N��),���one�deduces�the�follo�wing.�*�When�the�eigen�v��q�alue�for��f��\�of�the�A�tkin-Lehner���in���v�olution�8ĵW����p����is�+1,�>{then�the�rational�comp�Gonen���t�group�of��J�.��is�a�subgroup�of�(�Z�=�2�Z�)���^��2��|s�.�hBF��*�urthermore,�when���the�UUeigen���v��q�alue�of��W����p���is���1,�the�algorithm�describ�Ged�in�[�Ste��
�]�can�b�e�used�to�compute�the�v��q�alue�of��c����p���R�.���4.5.����T��
�orsion�	�subgroup.��T��*�o�a�compute�an�in���teger�divisible�b�y�the�order�of�the�torsion�subgroup�of��J�W��w�e���mak���e���use�of�the�follo�wing�t�w�o�observ��q�ations.�ɠFirst,��it�is�a�consequence�of�the�Eic�hler-Shim�ura�relation�[�Sh��t,����x�7.9]�0�that�if��p��is�a�prime�not�dividing�the�conductor��N�Gղof��J�&�and��f���(�T�c��)�is�the�c���haracteristic�p�Golynomial�of�the���endomorphism���T����p���F�of��J��9�,�	then�#�J��(�F����p���R�)��=��f���(�p�z �+�1)���(see�[�Cr2��#�,�	�x�2.4]�for�an�algorithm�to�compute��f��(�T�c��)).�Q�Second,���if�ܵp��is�an�o�Gdd�prime�at�whic���h��J���has�go�o�d�reduction,�(then�the�natural�map��J��9�(�Q�)����tors�����!���J��(�F����p���R�)��is�injectiv���e�(see���[�CF��
�,��dp.��a70]).���This�do�Ges�not�dep�end�on�whether��J����is�an�optimal�quotien���t.���T��*�o�obtain�a�lo�w�er�b�Gound�on�the���torsion�W<subgroup�for�optimal�quotien���ts,�W�w�e�W<use�mo�Gdular�sym���b�ols�and�the�Ab�el-Jacobi�theorem�[�La��@,�W�IV.2]�to���compute�UUthe�order�of�the�image�of�the�rational�p�Goin���t�(0)�8���(�1�)���2��J����0��|s�(�N��).��$�u�����5.���m�T�� ables�����In�
UT��*�able�1,�Uw���e�list�the�32�curv�es�describ�Ged�in�Section�2.�X�W��*�e�giv�e�the�lev�el��N�!p�from�whic�h�eac�h�curv�e�arose,���an�+�in���tegral�mo�Gdel�for�the�curv�e,�a5and�list�the�source(s)�from�whic�h�it�came�(�H����for�Hasega�w�a�[�Ha���],�a5�W��1�for���W��*�ang�UU[�W�an��]).�q�Throughout�the�pap�Ger,�the�curv���es�are�denoted��C����N��
��(or��C����N�Q�;A����,��C����N�Q�;B��鄲).�����?��n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��r(~17�����x���!�����!�ۍ���*0`��4�h�ff�`��fd����ͤ���ff��_��fd�N�
�z��ff���#����ff��u��fd�Equation���ff���_u�Source��͟���ff����ff�`���ff�`������ͤ���ff��Ο�fd23�졄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=��������2�x���^��5���S��8�3�x���^��2���+�2�x����2�f����ff���e�HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd29�졄ff���?j��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+�1)�y�����x�=��������x���^��5���S��8�3�x���^��4���+�2�x���^��2���+�2�x����2�O������ff���e�HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd31�졄ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=��������x���^��5���S��8�5�x���^��4�����5�x���^��3���+�3�x���^��2���+�2�x����3�49?����ff���e�HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd35�졄ff���>���y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x�)�y�����x�=��������x���^��5���S��8�8�x���^��3�����7�x���^��2�����16�x����19�E������ff���j+1H��$����ff����ff�`��fd����ͤ���ff��Ο�fd39�졄ff���?j��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+�1)�y�����x�=��������5�x���^��4���S��8�2�x���^��3���+�16�x���^��2�����12�x��+�2�@������ff���j+1H��$����ff�������ͤ���ff��Ο�fd63�졄ff���?j��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S���1)�y�����x�=������14�x���^��3���S��8�7��5�����ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd65,A�	�Ρ�ff���?j��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+�1)�y�����x�=��������4�x���^��6���S�+�8�9�x���^��4���+�7�x���^��3���+�18�x���^��2�����10�<)7����ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd65,B�
7x��ff���t
�y��[ٟ�^��2������x�=��������x���^��6���S�+�8�10�x���^��5�����32�x���^��4���+�20�x���^��3���+�40�x���^��2���+�6�x����1��͟���ff���hǢW������ff����ff�`��fd����ͤ���ff��Ο�fd67�졄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=�������x���^��5���S��8�x��~�����ff���e��HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd73�졄ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=��������x���^��5���S��8�2�x���^��3���+��x��J�����ff���e��HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd85�졄ff���(G#�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+��x�)�y�����x�=�������x���^��4���S�+�8�x���^��3���+�3�x���^��2�����2�x��+�1�\l̟���ff���j+1H��$����ff�������ͤ���ff��Ο�fd87�졄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=��������x���^��4���S�+�8�x���^��3�����3�x���^��2���+��x����1�Y������ff���e�HW�
^�����ff����ff�`��fd����ͤ���ff��Ο�fd93�졄ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=��������2�x���^��5���S�+�8�x���^��4���+��x���^��3���J�����ff���e��HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd103�롄ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=�������x���^��5���S�+�8�x���^��4���~�����ff���e��HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd107�롄ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=�������x���^��4���S��8�x���^��2�����x����1�|�;����ff���e�HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd115�롄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=������2�x���^��3���S�+�8�x���^��2���+��x������ff���e��HW�
^�����ff����ff�`��fd����ͤ���ff��Ο�fd117,A��͡�ff���?j��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S���1)�y�����x�=������3�x���^��3���S��8�7��5�����ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd117,B�7w��ff���?j��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+�1)�y�����x�=��������x���^��6���S��8�3�x���^��4�����5�x���^��3�����12�x���^��2�����9�x����7�/9>����ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd125,A��͡�ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=�������x���^��5���S�+�8�2�x���^��4���+�2�x���^��3���+��x���^��2�����x����1�F_����ff���e�HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd125,B�7w��ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=�������x���^��6���S�+�8�5�x���^��5���+�12�x���^��4���+�12�x���^��3���+�6�x���^��2�����3�x����4������ff���hǢW������ff����ff�`��fd����ͤ���ff��Ο�fd133,A��͡�ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=��������2�x���^��6���S�+�8�7�x���^��5�����2�x���^��4�����19�x���^��3���+�2�x���^��2���+�18�x��+�7�	�Ο���ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd133,B�7w��ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=��������x���^��5���S�+�8�x���^��4�����2�x���^��3���+�2�x���^��2�����2�x�Jr����ff���e��HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd135�롄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=�������x���^��4���S��8�3�x���^��3���+�2�x���^��2�����8�x����3�Wl˟���ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd147�롄ff���(G#�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+��x�)�y�����x�=�������x���^��5���S�+�8�2�x���^��4���+��x���^��3���+��x���^��2���+�1�\�Z����ff���e�HW�
^�����ff����ff�`��fd����ͤ���ff��Ο�fd161�롄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=�������x���^��3���S�+�8�4�x���^��2���+�4�x��+�1�r�9����ff���e�HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd165�롄ff���(G#�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+��x�)�y�����x�=�������x���^��5���S�+�8�2�x���^��4���+�3�x���^��3���+��x���^��2�����3�x�R9=����ff���j+1�H��$����ff�������ͤ���ff��Ο�fd167�롄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=��������x���^��5���S��8�x���^��3�����x���^��2�����1�p������ff���e�HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd175�롄ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=��������x���^��5���S��8�x���^��4�����2�x���^��3�����4�x���^��2�����2�x����1�[email protected]����ff���hǢW������ff����ff�`��fd����ͤ���ff��Ο�fd177�롄ff���(�>�y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x���^��2���+�1)�y�����x�=�������x���^��5���S�+�8�x���^��4���+��x���^��3�������ff���e��HW�
^�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd188�롄ff���t
�y��[ٟ�^��2������x�=�������x���^��5���S��8�x���^��4���+��x���^��3���+��x���^��2�����2�x��+�1�K`����ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd189�롄ff���?j��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S���1)�y�����x�=�������x���^��3���S��8�7��5�����ff���hǢW������ff�������ͤ���ff��Ο�fd191�롄ff���-z��y��[ٟ�^��2��,�+�8�(�x���^��3���S�+��x��+�1)�y�����x�=��������x���^��3���S�+�8�x���^��2���+��x��J�����ff���e��HW�
^�����ff����ff�`�����Ћ^���ow
�T�� able��1.��Lev���els,�UUin�tegral�mo�Gdels�and�sources�for�curv�es����<WX��In�HJT��*�able�2,��w���e�list�the�curv�e��C����N�����simply�b�y��N��,��the�lev�el�from�whic�h�it�arose.�J�Let��r��g�denote�the�rank.���W��*�e�F7list���lim����)ȟ��s�!�1��"eZ�(�s��v���1)���^���r��
���L�(�J���;���s�)�F7where��L�(�J�;���s�)�is�the��L�-series�for�the�Jacobian��J�<p�of��C����N����and�round�o�the���results��to�v���e�digits.���The�sym�b�Gol�
�w�as�dened�in�Section�3.5�and�is�also�rounded�to�v�e�digits.���Let�Reg���denote�Enthe�regulator,��talso�rounded�to�v���e�digits.�BW��*�e�list�the��c����p���R�'s�b�y�primes�of�increasing�order�dividing���the���lev���el��N��.��W��*�e�denote��J��9�(�Q�)����tors���ղ=��Y�and�list�its�size.�W��*�e�use���X��/7�?�to�denote�the�size�of�(��lim����
㑟��s�!�1��#�(�s�Ǹ����1)���^���r��
���L�(�J���;���s�))��E���(#�J��9�(�Q�)����tors��
�|�)���^��2��|s�=�(
�����Reg���Q�������Q��
���c����p���R�),��rounded�Q�to�the�nearest�in���teger.�g�W��*�e�will�refer�to�this�as�the����c��}'onje�ctur�e�d�Zsize�of��>��X��Ⅎ(�J���;����Q�).�jUF��*�or�>�rank�0�optimal�quotien���ts�this�in�teger�equals�the�(a�priori)�rational�n�um�b�Ger���(�L�(�J���;����1)�=�(�k�޸��G�
))����((#�J��9�(�Q�)����tors��
�|�)���^��2��|s�=������Q����c����p���R�);���of�*�course�there�is�no�rounding�error�in�this�computation.��F��*�or�all���other��cases�the�last�column�giv���es�a�b�Gound�on�the�accuracy�of�the�computations;�)all�v��q�alues�of���X���
�?�w�ere�at���least�UUthis�close�to�the�nearest�in���teger�b�Gefore�rounding.�����&A��n���S㈍��l���18��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x���(4����܍���Iф��2BۉffB?�
�����ͤ-��Gff��_���~�N�
�z��Gff���(br�.�-��Gff���2�-��Gff����~���βlim��-����ʹs�!�1��������捑}w�L�(�J�̟;s�)��f:��ʉfeJg����(�s��1)����r������5���Gff���h*��-��Gff�����~�
���Gff������-��Gff��C���~Reg���Gff���ǹB�-��Gff�=���~�c����p���R�'s���Gff�����B�0\�-��Gff�����z��X��;�?��͟-��Gff�����-��Gff��y���~error���Gff�����ffB?��ffB?�fd����ͤ���ff��Ο�fd23�졄ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C24843������ff���r^,2.���z%K7328��͟���ff����%P1�*�����ff�����v11�[����ff����z�11��͟���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd29�졄ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C29152������ff���r^,2.���z%K0407��͟���ff����%P1�*�����ff�����v7�[	����ff������7�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd31�졄ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C44929������ff���r^,2.���z%K2464��͟���ff����%P1�*�����ff�����v5�[	����ff������5�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd35�졄ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C37275������ff���r^,2.���z%K9820��͟���ff����%P1�*�����ff�����v16,2������ff����z�16��͟���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���25��������ff����ffB?�����ͤ���ff��Ο�fd�39�졄ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C38204������ff���m^+10.���z%K697�	�Ο���ff����%P1�*�����ff�����v28,1������ff����z�28��͟���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���25��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�63�졄ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C75328������ff���r^,4.���z%K5197��͟���ff����%P1�*�����ff�����v2,3������ff������6�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd65,A�	�Ρ�ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C45207������ff���r^,6.���z%K3289��͟���ff����%P1�*�����ff�����v7,1������ff����z�14��͟���ff���(�2�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd65,B�
7x��ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C91225������ff���r^,5.���z%K4735��͟���ff����%P1�*�����ff�����v1,3������ff������6�LΟ���ff���(�2�
{����ff���A�����ff����ffB?�����ͤ���ff��Ο�fd67�졄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C23410������ff���m^+20.���z%K465�	�Ο���ff����%P0.011439�	�Ο���ff�����v1�[	����ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���50��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�73�졄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C25812������ff���m^+24.���z%K093�	�Ο���ff����%P0.010713�	�Ο���ff�����v1�[	����ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���49��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�85�졄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C34334������ff���r^,9.���z%K1728��͟���ff����%P0.018715�	�Ο���ff�����v4,2������ff������2�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���26��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�87�졄ff���(G"0��͟���ff���7G$1.���?C4323������ff���r^,7.���z%K1617��͟���ff����%P1�*�����ff�����v5,1������ff������5�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff����ffB?�����ͤ���ff��Ο�fd93�졄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C33996������ff���m^+18.���z%K142�	�Ο���ff����%P0.0046847��͟���ff�����v4,1������ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���49��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�103�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C37585������ff���m^+16.���z%K855�	�Ο���ff����%P0.022299�	�Ο���ff�����v1�[	����ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���49��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�107�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C53438������ff���m^+11.���z%K883�	�Ο���ff����%P0.044970�	�Ο���ff�����v1�[	����ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���49��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�115�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C41693������ff���m^+10.���z%K678�	�Ο���ff����%P0.0097618��͟���ff�����v4,1������ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���50��������ff����ffB?�����ͤ���ff��Ο�fd�117,A��͡�ff���(G"0��͟���ff���7G$1.���?C0985������ff���r^,3.���z%K2954��͟���ff����%P1�*�����ff�����v4,3������ff������6�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd117,B�7w��ff���(G"0��͟���ff���7G$1.���?C9510������ff���r^,1.���z%K9510��͟���ff����%P1�*�����ff�����v4,1������ff������2�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd125,A��͡�ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C62996������ff���m^+13.���z%K026�	�Ο���ff����%P0.048361�	�Ο���ff�����v1�[	����ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���50��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�125,B�7w��ff���(G"0��͟���ff���7G$2.���?C0842������ff���r^,2.���z%K6052��͟���ff����%P1�*�����ff�����v5�[	����ff������5�LΟ���ff���(�4�
{����ff���A�����ff����ffB?�����ͤ���ff��Ο�fd133,A��͡�ff���(G"0��͟���ff���7G$2.���?C2265������ff���r^,2.���z%K7832��͟���ff����%P1�*�����ff�����v5,1������ff������5�LΟ���ff���(�4�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd133,B�7w��ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C43884������ff���m^+15.���z%K318�	�Ο���ff����%P0.028648�	�Ο���ff�����v1,1������ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���49��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�135�롄ff���(G"0��͟���ff���7G$1.���?C5110������ff���r^,4.���z%K5331��͟���ff����%P1�*�����ff�����v3,1������ff������3�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd147�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C61816������ff���m^+13.���z%K616�	�Ο���ff����%P0.045400�	�Ο���ff�����v2,2������ff������2�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���50��������ff����ffB?�����ͤ���ff��Ο�fd�161�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C82364������ff���m^+11.���z%K871�	�Ο���ff����%P0.017345�	�Ο���ff�����v4,1������ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���47��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�165�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C68650������ff���r^,9.���z%K5431��͟���ff����%P0.071936�	�Ο���ff�����v4,2,2��͟���ff������4�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���26��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�167�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C91530������ff���r^,7.���z%K3327��͟���ff����%P0.12482��ϟ���ff�����v1�[	����ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���47��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�175�롄ff���(G"0��͟���ff���7G$0.���?C97209������ff���r^,4.���z%K8605��͟���ff����%P1�*�����ff�����v1,5������ff������5�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff����ffB?�����ͤ���ff��Ο�fd177�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C90451������ff���m^+13.���z%K742�	�Ο���ff����%P0.065821�	�Ο���ff�����v1,1������ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���45��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�188�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$1.���?C1708������ff���m^+11.���z%K519�	�Ο���ff����%P0.011293�	�Ο���ff�����v9,1������ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���44��������ff�������ͤ���ff��Ο�fd�189�롄ff���(G"0��͟���ff���7G$1.���?C2982������ff���r^,3.���z%K8946��͟���ff����%P1�*�����ff�����v1,3������ff������3�LΟ���ff���(�1�
{����ff���A�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd191�롄ff���(G"2��͟���ff���7G$0.���?C95958������ff���m^+17.���z%K357�	�Ο���ff����%P0.055286�	�Ο���ff�����v1�[	����ff������1�LΟ���ff���(�1�
{����ff���� �<���10���^���44��������ff����ffB?����ӽ$����l�T�� able��2.��Conjectured�UUsizes�of���X���۲(�J���;����Q�)����5�̍�In��T��*�able�3�are�generators�of��J��9�(�Q�)�=J��(�Q�)����tors�����for��the�curv���es�whose�Jacobians�ha�v�e�Mordell-W��*�eil�rank�2.�@The���generators��0are�giv���en�as�divisor�classes.��YWhenev�er�p�Gossible,���w�e�ha�v�e�c�hosen�generators�of�the�form�[�P����ur�Q�]���where�w*�P�ڹ�and��Q��are�rational�p�Goin���ts�on�the�curv�e.��GCurv�e�167�is�the�only�example�where�this�is�not�the�case,���since���the�degree�zero�divisors�supp�Gorted�on�the�(kno���wn)�rational�p�oin���ts�on��C����167��?�generate�a�subgroup�of�index���t���w�o�a�in�the�full�Mordell-W��*�eil�group.��YAne�p�Goin���ts�are�giv�en�b�y�their��x��and��y����co�Gordinates�in�the�mo�del�giv���en���in��nT��*�able�1.�DThere�are�t���w�o��np�Goin�ts�at�innit�y�in�the�normalization�of�the�curv�es�describ�Ged�b�y�our�equations,���with���the�exception�of�curv���e��C����188��uY�.���These�are�denoted�b�y��1����a���p�,��where��a��is�the�v��q�alue�of�the�function��y�[�=x���^��3��:^�on���the�UUp�Goin���t�in�question.�q�The�(only)�p�oin���t�at�innit�y�on�curv�e��C����188��ʮ�is�simply�denoted��1�.����In��)T��*�able�4�are�the�reduction�t���yp�Ges,��]from�the�classication�of�[�NU��],�of�the�sp�Gecial�b�ers�of�the�minimal,���prop�Ger,�(�regular��Lmo�dels�of�the�curv���es�for�eac�h�of�the�primes�of�singular�reduction�for�the�curv�e.�l�They�are�����I���n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��r(~19�����x���a7ꍟ�-����l�̟���ff�կ�fd����ͤ���ff��_��fd�N�
�z��ff���#����ff�,\Ɵ�fd�Generators�UUof��J��9�(�Q�)�=J��(�Q�)����tors��:DB��ff����ff�կ��ff�կ�����ͤ���ff��Ο�fd�67�졄ff���(G#[(0�;����0)�8��1�����1��
�t�]�[����ff���xG$[(0�;����0)�8���(0�;���1)]�=[X����ff�������ͤ���ff��Ο�fd73�졄ff���(G#[(0�;�����1)�8��1�����1��
�t�]�I=����ff���xG$[(0�;����0)�8��1�����1��
�t�]�F�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd85�졄ff���(G#[(1�;����1)�8��1�����1��
�t�]�[����ff���xG$[(��1�;����3)�8��1����0��|s�]�Eɟ���ff�������ͤ���ff��Ο�fd93�졄ff���(G#[(��1�;����1)�8��1����0��|s�]��>����ff���xG$[(1�;�����3)�8���(��1�;���2)]�-�����ff����ff�կ�fd����ͤ���ff��Ο�fd103�롄ff���(G#[(0�;����0)�8��1�����1��
�t�]�[����ff���xG$[(0�;�����1)�8���(0�;��0)]�=[X����ff�������ͤ���ff��Ο�fd107�롄ff���(G#[�1�����1���T��8�1����0��|s�]��̟���ff���xG$[(��1�;�����1)�8��1�����1��
�t�]�7�����ff�������ͤ���ff��Ο�fd115�롄ff���(G#[(1�;�����4)�8��1����0��|s�]��>����ff���xG$[(1�;����1)�8���(��2�;��2)]�=[X����ff�������ͤ���ff��Ο�fd125,A��͡�ff���(G#[�1�����1���T��8�1����0��|s�]��̟���ff���xG$[(��1�;����0)�8��1�����1��
�t�]�>�ȟ���ff����ff�կ�fd����ͤ���ff��Ο�fd133,B�7w��ff���(G#[�1�����1���T��8�1����0��|s�]��̟���ff���xG$[(0�;�����1)�8��1�����1��
�t�]�>�ȟ���ff�������ͤ���ff��Ο�fd147�롄ff���(G#[�1�����1���T��8�1����0��|s�]��̟���ff���xG$[(��1�;�����1)�8��1����0��|s�]�=P�����ff���h����ͤ���hff��Ο�fd161�롄hff���(G#[(1�;����2)�8���(��1�;��1)]��͟���hff���xG$[(�������33�1��33��&�fe�s����2�����bٵ;�����3)�8���(1�;��2)]�;������hff�������ͤ���ff��Ο�fd165�롄ff���(G#[(1�;����1)�8��1�����1��
�t�]�[����ff���xG$[(0�;����0)�8��1����0��|s�]�L�����ff����ff�կ�fd����ͤ���ff��Ο�fd167�롄ff���(G#[(��1�;����1)�8��1����0��|s�]��>����ff���xG$[(�i;����0)�8�+�(��i;��0)���1����0���S��1�����1��
�t�]��͟���ff�������ͤ���ff��Ο�fd177�롄ff���(G#[(0�;�����1)�8��1����0��|s�]��>����ff���xG$[(0�;����0)�8���(0�;���1)]�=[X����ff�������ͤ���ff��Ο�fd188�롄ff���(G#[(0�;�����1)�8��1�]������ff���xG$[(0�;����1)�8���(1�;���2)]�=[X����ff�������ͤ���ff��Ο�fd191�롄ff���(G#[�1�����1���T��8�1����0��|s�]��̟���ff���xG$[(0�;�����1)�8��1����0��|s�]�Eɟ���ff����ff�կ����pR����q��T�� able��3.��Generators�UUof��J��9�(�Q�)�=J��(�Q�)����tors��<Ѳin�UUrank�2�cases����;����vt�����͟���ff�C��fd����ͤ���ff�
`_��fd�N�wz��ff���#G"�Prime��͟���ff���G�CT���yp�Ge��Q����ff���1�Prime��͟���ff����x�T���yp�Ge�
ޗ����ff����ff����׆����ff��_��fd�N�
�z��ff����QܲPrime��͟���ff�����T���yp�Ge�'�����ff���Vj�Prime��͟���ff���z��T���yp�Ge�
ޗ����ff����ff�C���ff�C������ͤ���ff��Ο�fd23�롄ff���#G"23�����ff���G�CI����3��2��1��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��117,A��͟���ff����Q�3�����ff������I�GI�I��!5m���8�I�GI�I���
�p�������n4��8�0��͟���ff���Vj�13�����ff���z��I����1��1��1���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�29�롄ff���#G"29�����ff���G�CI����3��1��1��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��117,B�7w����ff����Q�3�����ff�����I���^�����l��3��1��1���:����ff���Vj��13�����ff���z��I����1��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�31�롄ff���#G"31�����ff���G�CI����2��1��1��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��125,A��͟���ff����Q�5�����ff������VI�GI�I��(�n��8�1������ff���u~�����ff����z����ff�������ͤ���ff��Ο�fd35�롄ff���#G"5�����ff���G�CI����3��2��2��.�����ff���1˲7�����ff����x�I����2��1��0���(����ff����ff����
��125,B�7w����ff����Q�5�����ff������IX�� �P��8�3�!I<����ff���u~�����ff����z����ff����ff�C��fd����ͤ���ff��Ο�fd39�롄ff���#G"3�����ff���G�CI����6��2��2��.�����ff���1˲13�����ff����x�I����1��1��0���(����ff����ff����
��133,A��͟���ff����Q�7�����ff�����I����2��1��1��:����ff���Vj��19�����ff���z��I����1��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�63�롄ff���#G"3�����ff���G�C2I���^�����l��0����ĸ�8�0�����ff���1�7�����ff����x�I����1��1��1���(����ff����ff����
��133,B�7w����ff����Q�7�����ff�����I����1��1��0��:����ff���Vj��19�����ff���z��I����1��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�65,A��͡�ff���#G"3�����ff���G�CI����0���S��8�I����0�����1��͟���ff���1�5�����ff����x�I����3��1��1���(����ff����ff����
��135�����ff����Q�3�����ff�����I�GI�I�2:�����ff���Vj�5�����ff���z��I����3��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�65,A��͡�ff���#G"13�����ff���G�CI����1��1��0��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��147�����ff����Q�3�����ff�����I����2��1��0��:����ff���Vj��7�����ff���z��VI�GI�^�����ff����ff�C��fd����ͤ���ff��Ο�fd65,B�7w��ff���#G"2�����ff���G�CI����0���S��8�I����0�����1��͟���ff���1�5�����ff����x�I����3��1��0���(����ff����ff����
��161�����ff����Q�7�����ff�����I����2��2��0��:����ff���Vj��23�����ff���z��I����1��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�65,B�7w��ff���#G"13�����ff���G�CI����1��1��1��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��165�����ff����Q�3�����ff�����I����2��2��0��:����ff���Vj��5�����ff���z��I����2��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�67�롄ff���#G"67�����ff���G�CI����1��1��0��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��165�����ff����Q�11�����ff�����I����2��1��0��:����ff���u~�����ff����z����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�73�롄ff���#G"73�����ff���G�CI����1��1��0��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��167�����ff����Q�167�����ff�����I����1��1��0��:����ff���u~�����ff����z����ff����ff�C��fd����ͤ���ff��Ο�fd�85�롄ff���#G"5�����ff���G�CI����2��2��0��.�����ff���1˲17�����ff����x�I����2��1��0���(����ff����ff����
��175�����ff����Q�5�����ff������I�GI��Q޸��8�I�GI������8�0�,ϟ���ff���Vj�7�����ff���z��I����2��1��1���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�87�롄ff���#G"3�����ff���G�CI����2��1��1��.�����ff���1˲29�����ff����x�I����1��1��0���(����ff����ff����
��177�����ff����Q�3�����ff�����I����1��1��0��:����ff���Vj��59�����ff���z��I����1��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�93�롄ff���#G"3�����ff���G�CI����2��2��0��.�����ff���1˲31�����ff����x�I����1��1��0���(����ff����ff����
��188�����ff����Q�2�����ff������IV��!ݸ��8�IV������8�0�	�џ���ff���Vj�47�����ff���z��I����1��1��0���(����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�103�
ꡄff���#G"103�����ff���G�CI����1��1��0��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��189�����ff����Q�3�����ff������I�GI��Q޸��8�IV���
x�������J���8�0������ff���Vj�7�����ff���z��I����1��1��1���(����ff����ff�C��fd����ͤ���ff��Ο�fd�107�
ꡄff���#G"107�����ff���G�CI����1��1��0��.�����ff����E�����ff����׆����ff����ff����
��191�����ff����Q�191�����ff�����I����1��1��0��:����ff���u~�����ff����z����ff�������ͤ���ff��Ο�fd�115�
ꡄff���#G"5�����ff���G�CI����2��2��0��.�����ff���1˲23�����ff����x�I����1��1��0���(����ff����ff���������ff���eɟ���ff���Q7�����ff���u~�����ff����z����ff����ff�C�����{�ō��ew�T�� able��4.��Namik��q�a���w�a�UUand�Ueno�classication�of�sp�Gecial�b�ers����u��the�4Wsame�as�the�primes�dividing�the�lev���el�except�that�curv�e��C����65�;A��Ͳhas�singular�reduction�at�the�prime�3�and���curv���e�UU�C����65�;B���G�has�singular�reduction�at�the�prime�2.��!ō���F6.��"�}�Discussion��of�Shaf��rarevich-T�� a��UTte�gr��oups�and�evidence�f�or�the�second�conjecture�����F��*�rom�NSection�3.2�w���e�ha�v�e��dim����[�X��"F�(�J���;����Q�)[2]�e�=��dim�����Sel���#�����2��'�x�(�J�;����Q�)�ު���r�%Ǹ���dim��4�J��9�(�Q�)[2].�[�With�Nthe�exception�of���curv���es����C����65�;A���v�,��Y�C����65�;B��:�,��C����125�;B��7e�,�and��C����133�;A��p��w���e�ha�v�e��dim�����X��!���(�J���;����Q�)[2]�5�=�0.�9Th���us�w�e�exp�Gect�#��X�����(�J���;����Q�)�to�b�e�an���o�Gdd�s�square.���In�eac���h�case,�{Ithe�conjectured�size�of���X��8�(�J���;����Q�)�is�1.�F��*�or�curv���es��C����65�;A���v�,�{I�C����65�;B��:�,��C����125�;B����and�s��C����133�;A������u���n���S㈍��l���20��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썲w���e�Rha�v�e��dim���W��X�� �.�(�J���;����Q�)[2]��=�1�;��1�;��2�Rand�2�and�the�conjectured�size�of���X���ز(�J���;��Q�)��=�2�;��2�;��4�Rand�4,��resp�Gectiv���ely��*�.�VW�e���see�O~that�in�eac���h�case,�P�the�(conjectured)�size�of�the�o�Gdd�part�of���X����(�J���;����Q�)�is�1�and�the�2-part�is�accoun�ted�for���b���y�UUits�2-torsion.����Recall�=�that�for�rank�0�optimal�quotien���ts�w�e�are�able�to�exactly�determine�the�v��q�alue�whic�h�the�second���Birc���h��iand�Swinnerton-Dy�er�conjecture�predicts�for���X����(�J���;����Q�).�K#F��*�rom�the�previous�paragraph,���w�e�then�see�that���equation��UU(1.1)��8�holds�UUif�and�only�if���X���۲(�J���;����Q�)�is�killed�b���y�2.����It�B-is�also�in���teresting�to�consider�decien�t�primes.�8OA�A�prime��p��is��decient��with�resp�Gect�to�a�curv�e��C��I�of���gen���us�[�2,��zif��C���has�no�degree�1�rational�divisor�o�v�er��Q����p���R�.��TF��*�rom�[�PSt��@],��zthe�n�um�b�Ger�of�decien�t�primes�has���the�ġsame�parit���y�as��dim�����X��!�}�(�J���;����Q�)[2].���Curv�e��C����65�;A����has�one�decien�t�prime�3.���Curv�e��C����65�;B�����has�one�decien�t���prime�UU2.�q�Curv���e��C����117�;B�����has�t�w�o�decien�t�primes�3�and��1�.�q�The�rest�of�the�curv�es�ha�v�e�no�decien�t�primes.����Since�t�w���e�ha�v�e�found��r���(analytic�rank)�indep�Genden�t�p�Goin�ts�on�eac�h�Jacobian,�|�w�e�ha�v�e�a�direct�pro�Gof�that���the�A�Mordell-W��*�eil�rank�m���ust�equal�the�analytic�rank�if��dim�����X��!:��(�J���;����Q�)[2]��=�0.�k>F�or�A�curv���es��C����65�;A��/�and��C����65�;B��:�,�E�the���presence�}Oof�an�o�Gdd�n���um�b�er�}Oof�decien���t�primes�giv�es�us�a�similar�result.�)�F��*�or��C����125�;B�����w�e�used�a������P�p���
Ҧ���P�fe�E���5����ҧ-Selmer�group���to���get�a�similar�result.��eTh���us,��Ww�e���ha�v�e�an�indep�Genden�t�pro�Gof�of�equalit�y�b�Get�w�een�analytic�and�Mordell-W��*�eil���ranks�UUfor�all�curv���es�except��C����133�;A����.����The�4�2-Selmer�groups�ha���v�e�4�the�same�dimensions�for�the�pairs��C����125�;A����,�;1�C����125�;B��l�and��C����133�;A���,�;1�C����133�;B��7e�.�f�F��*�or�eac���h���pair,���the���Mordell-W��*�eil�rank�is�2�for�one�curv���e�and�the�2-torsion�of�the�Shafarevic�h-T��*�ate�group�has�dimension�2���for��
the�other.�<�In�addition,���the�t���w�o��
Jacobians,�when�canonically�em���b�Gedded�in�to��J����0��|s�(�N��),���in�tersect�in�their�2-���torsion��;subgroups,���and�one�can�c���hec�k��;that�their�2-Selmer�groups�b�Gecome�equal�under�the�iden���tication�of����H������^��1��Lq�(�Q�;���J����N�Q�;A����[2])�	�with��H������^��1���(�Q�;���J����N�Q�;B��鄲[2])�induced�b���y�the�iden�tication�of�the�2-torsion�subgroups.���Th�us�these���are�UUexamples�of�the�principle�of�a�`visible�part�of�a�Shafarevic���h-T��*�ate�group'�as�discussed�in�[�CM��c�].��'T���5d�Appendix:���Other��Hasega��rw�a�cur�ves�����In���T��*�able�5�is�data�concerning�all�142�of�Hasega���w�a's���curv�es�in�the�order�presen�ted�in�his�pap�Ger.�SvLet�us���explain��the�en���tries.��The�rst�column�in�eac�h�set�of�three�columns�giv�es�the�lev�el,�.�N��.��The�second�column���giv���es�za�classication�of�the�cusp�forms�spanning�the�2-dimensional�subspace�of��S����2��|s�(�N��)�corresp�Gonding�to�the���Jacobian.�f1When�2�that�subspace�is�irreducible�with�resp�Gect�to�the�action�of�the�Hec���k�e�2�algebra�and�is�spanned���b���y��t�w�o�newforms�or�t�w�o�oldforms,���w�e�write�2�n��or�2�o�,���resp�Gectiv�ely��*�.�7When�that�subspace�is�reducible�and�is���spanned��b���y�t�w�o�oldforms,�D�t�w�o�newforms�or�one�of�eac�h,�D�w�e�write��oo�,�D��nn��and��on�,�resp�Gectiv���ely��*�.��(The�third���column��con���tains�the�sign�of�the�functional�equation�at�the�lev�el��M�
��at�whic�h�the�cusp�form�is�a�newform.���This�Mjis�the�negativ���e�of������M��-Ʋ(describ�Ged�in�Section�4.1).�o$The�order�of�the�t�w�o�signs�in�the�third�column�agrees���with�9vthat�of�the�forms�listed�in�the�second�column.�h}W��*�e�include�this�information�for�those�who�w���ould�lik�e�to���further�UUstudy�these�curv���es.�q�The�curv�es�with��N��3<���200�classied�as�2�n��app�Geared�already�in�T��*�able�1.����The�ysmallest�p�Gossible�Mordell-W��*�eil�ranks�corresp�onding�to�++,��+��,���+�yand���,��predicted�b���y�the�rst���Birc���h���and�Swinnerton-Dy�er�conjecture,���are�0,�1,�1�and�2�resp�Gectiv���ely��*�.���In�all�cases,�those�w���ere,�in�fact,�the���Mordell-W��*�eil��ranks.�K:This�w���as�determined�b�y�computing�2-Selmer�groups�with�a�computer�program�based�on���������n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��r(~21�����x����BD���5�
����6�R��I��ffg̤�fd����ͤ���ff��͟�fd�22���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r58��͟���ff���^�t�nn��͟���ff���t���+���͟���ff����ff������87�LΟ���ff����32�o�������ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW129��͟���ff����B5�on�`�����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ198��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h�+���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�23���ff����O2�n�M����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r60��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff������88�LΟ���ff�����µon�`�����ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�130��͟���ff����B5�on�`�����ff���	����+��͟���ff����ff���%=�204��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h�+���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�26���ff����nn��͟���ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r60��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff������90�LΟ���ff�����µon�`�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW132��͟���ff������oo�����ff���	���++��͟���ff����ff���%=�205��͟���ff���>=�2�n��͟���ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�28���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r60��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff������90�LΟ���ff����F��oo�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW133��͟���ff����.�2�n�M����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ206��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�29���ff����O2�n�M����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r62��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff������90�LΟ���ff����F��oo�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW134��͟���ff����‚2�o�������ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ209��͟���ff���>=�2�n��͟���ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�30���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r66��͟���ff���^�t�nn��͟���ff���t���++��͟���ff����ff������90�LΟ���ff����F��oo�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW135��͟���ff����B5�on�`�����ff���	���+���͟���ff����ff���%=ʲ210��͟���ff���>Q\�on��\����ff���S>h�+���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�30���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r66��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff������91�LΟ���ff�����nn��͟���ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�138��͟���ff����Z�nn��͟���ff���	���+���͟���ff����ff���%=ʲ213��͟���ff���>=�2�n��͟���ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�30���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r66��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff������93�LΟ���ff�����42�n�M����ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�138��͟���ff����B5�on�`�����ff���	���+���͟���ff����ff���%=ʲ215��͟���ff���>Q\�on��\����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�31���ff����O2�n�M����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r66��͟���ff���_#O�on�`�����ff���t���++��͟���ff����ff������98�LΟ���ff����F��oo�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW140��͟���ff������oo�����ff���	���++��͟���ff����ff���%=�221��͟���ff���>=�2�n��͟���ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�33���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r67��͟���ff���_�2�n�M����ff���t�����͟���ff����ff�����100��͟���ff����F��oo�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW142��͟���ff����Z�nn��͟���ff���	���+���͟���ff����ff���%=ʲ230��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h���͟���ff����ffg̤�����ͤ���ff��͟�fd�35���ff����O2�n�M����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r68��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����102��͟���ff�����µon�`�����ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�143��͟���ff����B5�on�`�����ff���	���+���͟���ff����ff���%=ʲ255��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�37���ff����nn��͟���ff���/6�+���͟���ff����ff���J�r�69��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff�����102��͟���ff�����µon�`�����ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�146��͟���ff����‚2�o�������ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ266��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�38���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r70��͟���ff���_#O�on�`�����ff���t���++��͟���ff����ff�����103��͟���ff�����42�n�M����ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�147��͟���ff����.�2�n�M����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ276��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h�+���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�39���ff����O2�n�M����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r70��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff�����104��͟���ff����32�o�������ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW150��͟���ff����B5�on�`�����ff���	���++��͟���ff����ff���%=�284��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h�+���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�40���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r70��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff�����106��͟���ff�����µon�`�����ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�153��͟���ff����B5�on�`�����ff���	���+���͟���ff����ff���%=ʲ285��͟���ff���>Q\�on��\����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�40���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r70��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff�����107��͟���ff�����42�n�M����ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�154��͟���ff����B5�on�`�����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ286��͟���ff���>Q\�on��\����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�42���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r72��͟���ff���_#O�on�`�����ff���t���++��͟���ff����ff�����110��͟���ff�����µon�`�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW156��͟���ff������oo�����ff���	���++��͟���ff����ff���%=�287��͟���ff���>=�2�n��͟���ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�42���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r72��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����111��͟���ff����F��oo�����ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�158��͟���ff����B5�on�`�����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ299��͟���ff���>=�2�n��͟���ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�42���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r73��͟���ff���_�2�n�M����ff���t�����͟���ff����ff�����112��͟���ff�����µon�`�����ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�161��͟���ff����.�2�n�M����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ330��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�42���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r74��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���+���͟���ff����ff�����114��͟���ff����F��oo�����ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�165��͟���ff����.�2�n�M����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ357��͟���ff���>=�2�n��͟���ff���S>h���͟���ff����ffg̤�����ͤ���ff��͟�fd�44���ff���*2�o�������ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r77��͟���ff���_#O�on�`�����ff���t���+���͟���ff����ff�����115��͟���ff�����42�n�M����ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�166��͟���ff����B5�on�`�����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ380��͟���ff���>Ѩ2�o�`�����ff���S>h�+���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�46���ff���*2�o�������ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r78��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����116��͟���ff����32�o�������ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�167��͟���ff����.�2�n�M����ff���	�����͟���ff����ff���%=ʲ390��͟���ff���>Q\�on��\����ff���S>h���͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�48���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r78��͟���ff���_��2�o�������ff���t���++��͟���ff����ff�����117��͟���ff����32�o�������ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW168��͟���ff����‚2�o�������ff���	���++��͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff�������ͤ���ff��͟�fd48���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r80��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����120��͟���ff����F��oo�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW170��͟���ff����‚2�o�������ff���	�����͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff�������ͤ���ff��͟�fd�50���ff����nn��͟���ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r84��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����120��͟���ff�����µon�`�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW177��͟���ff����.�2�n�M����ff���	�����͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff�������ͤ���ff��͟�fd�52���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r84��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����121��͟���ff�����µon�`�����ff���� �+���͟���ff����ff���ڮW�180��͟���ff����‚2�o�������ff���	���++��͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff�������ͤ���ff��͟�fd52���ff���'��oo�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r84��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����122��͟���ff�����µon�`�����ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�184��͟���ff����B5�on�`�����ff���	���+���͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff�������ͤ���ff��͟�fd�54���ff����ݵon�`�����ff���/6�++��͟���ff����ff���J�r84��͟���ff���_�*�oo�����ff���t���++��͟���ff����ff�����125��͟���ff�����42�n�M����ff���� ���͟���ff����ff���ڮW�186��͟���ff����‚2�o�������ff���	�����͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff�������ͤ���ff��͟�fd�57���ff����ݵon�`�����ff���/6�+���͟���ff����ff���J�r�85��͟���ff���_�2�n�M����ff���t�����͟���ff����ff�����126��͟���ff����F��oo�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW190��͟���ff����B5�on�`�����ff���	���+���͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff�������ͤ���ff��͟�fd�57���ff����ݵon�`�����ff���/6�+���͟���ff����ff���J�r�87��͟���ff���_�2�n�M����ff���t���++��͟���ff����ff�����126��͟���ff�����µon�`�����ff���� �++��͟���ff����ff���ڮW191��͟���ff����.�2�n�M����ff���	�����͟���ff����ff���9
�����ff���N5����ff���g�q����ff����ffg̤�����X,���^eB�T�� able��5.��Spaces�UUof�cusp�forms�asso�Gciated�to�Hasega���w�a's�UUcurv�es�����[�Sto2��q�].�hgOf�96course,�>�these�are�cases�where�the�rst�Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�is�already�kno�wn�to���hold.���In�h�the�cases�where�the�Mordell-W��*�eil�rank�is�p�Gositiv���e,�m�the�Mordell-W�eil�group�has�a�subgroup�of�nite���index�@generated�b���y�degree�zero�divisors�supp�Gorted�on�rational�p�oin���ts�with��x�-co�ordinates�with�n���umerators���b�Gounded��zb���y�7�(in�absolute�v��q�alue)�and�denominators�b�y�12�with�one�exception.�+5On�the�second�curv�e�with����N��3�=��138,�*the��_divisor�class�[(3���+�2�����P�p���UW���P�fe�E���2����
UX�;����80�+�56�����P�p���UW���P�fe�E���2����)�+�(3����2�����P�p���UW���P�fe�E���2�����;����80����56�����P�p���UW���P�fe�E���2����)����2�1�]��_generates�a�subgroup�of�nite���index�UUin�the�Mordell-W��*�eil�group.���������n���S㈍��l���22��eo�FL��Z�YNN,���LEPR���ǟ�;�EV���OST,�SCHAEFER,�STEIN,�STOLL,�AND�WETHERELL����x����썒͸��References������[AS1]���O�A.��XAgash�Î���ne�and�W.A.�Stein,��Some�~ab���elian�varieties�with�visible�Shafar�evich-T��Wwate�gr�oups�,��Xpreprin�Ît,�2000.��
���[AS2]���O�A.�6�Agash�Î���ne,�V�and�W.A.�Stein,��The�Fgener���alize�d�Manin�c�onstant,���c�ongruenc�e�primes,���and�the�mo�dular�de�gr�e�e�,�V�in�6�preparation,����x�2000.�����[BSD]���3LB.���Birc�Îh�and�H.P��J�.F.�Swinnerton-Dy�er,��R�Notes��on�el�p[liptic�curves.�II�,���J.�reine�angew.�Math.,�(��218��(1965),�79{108.�MR���31����x�#3419�����[BL]���L*S.���Bosc�Îh�and�Q.�Liu,���R���ational��lp�oints�of�the�gr�oup�of�c�omp�onents�of�a�N�����ԟer�on�mo�del�,��Man�Îuscripta���Math,���98��(1999),����x�275{293.�����[BLR]�����S.��XBosc�Îh,�W.�L�<r����utk�eb�ohmert��Xand�M.�Ra�ynaud,��N�����ԟer���on�~mo�dels�,��XSpringer-V��J�erlag,�Berlin,�1990.�MR���91i�:14034�����[BCDT]���!��C.��GBreuil,��JB.�Conrad,�F.�Diamond�and�R.�T��J�a�Îylor��On�
�the�mo���dularity�of�el�p[liptic�curves�over��Q�:���Wild�3-adic�exer�cises�.����x��.�C�scmtt8�http://abel.math.harvard.edu/HTML/Individuals/Richard�����ff�Ў�^Taylor.html��X�(2000).�����[BGZ]����J.�bBuhler,�$$B.H.�Gross�and�D.B.�Zagier,��On�Mthe�c���onje�ctur�e�Mof�Bir���ch�and�Swinnerton-Dyer�for�an�el�p[liptic�curve�of�r�ank����x�3.��XMath.�Comp.,���44��(1985),�473{481.�MR��86g�"غ:11037�����[Ca]���\�J.W.S.�=jCassels,�Wo�A���rithmetic�s7on�curves�of�genus�1.�VIII.�On�c���onje�ctur�es�s7of�Bir���ch�and�Swinnerton-Dyer.�,�J.�=jreine�angew.����x�Math.,���217��X�(1965),�180{199.�MR�31�#3420�����[CF]�����J.W.S.�'Cassels�and�E.V.�Flynn,�I��Pr���ole�gomena�p�to�a�midd�p[lebr���ow�arithmetic�of�curves�of�genus�2�,�London�'Math.�So�<rc.,�Lecture����x�Note��XSeries�230,�Cam�Îbridge�Univ.�Press,�Cam�bridge,�1996.�MR���97i�:11071�����[Cr1]�����J.E.���Cremona,�	�A���b���elian��varieties�with�extr�a�twist,�<�cusp�forms,�and�el�p[liptic�curves�over�imaginary�quadr���atic�elds�,�	J.����x�London��XMath.�So�<rc.�(2),���45��(1992),�404{416.�MR��93h�:11056�����[Cr2]�����J.E.�\XCremona,���A���lgorithms�}�for�mo���dular�el�p[liptic�curves.�2nd�e�dition�,��Cam�Îbridge�\XUniv.�Press,�Cam�Îbridge,�1997.�MR����x��93m�:11053�����[CM]����J.E.��XCremona�and�B.�Mazur,��Visualizing�~elements�in�the�Shafar���evich-T��Wwate�gr�oup�,��Xto�app�<rear�in��Exp�eriment.�~Math.������[Ed1]�����B.�	2Edixho�Îv�en,�(�On�B�the�Manin�c���onstants�of�mo�dular�el�p[liptic�curves�,�(Arithmetic�	2algebraic�geometry�(T��J�exel,�1989),�Progr.����x�Math.,��X89,�Birkhauser�Boston,�Boston,�MA,�1991,�pp.�25{39.�����[Ed2]�����B.���Edixho�Îv�en,���L'action��ude�l'alg�����ԟebr���e�de�He�cke�sur�les�gr�oup�es�de�c�omp�osantes�des�jac�obiennes�des�c�ourb�es�mo�dulair�es�est����x�\Eisenstein��J"�,��XAst�Î���nerisque,�No.�196{197�(1992),�159{170.�MR���92k�:11059�����[FPS]���E.V.�NAFlynn,�l{B.�P�Îo�<ronen�and�E.F.�Sc�haefer,�l{�Cycles���of�quadr���atic�p�olynomials�and�r�ational�p�oints�on�a�genus-two�curve�,����x�Duk�Îe��XMath.�J.,���90��(1997),�435{463.�MR��98j�:11048�����[FS]���=:E.V.�bFlynn�and�N.P��J�.�Smart,�y$�Canonic���al��_heights�on�the�Jac�obians�of�curves�of�genus�2�and�the�innite�desc�ent�,�y$Acta�bArith.,����x��79��X�(1997),�333{352.�MR���98f��}�:11066�����[FM]���L�G.�^F��J�rey�and�M.�M�<r����uller,�!��A���rithmetic�K5of�mo���dular�curves�and�applic�ations�,�!�in�^�A���lgorithmic�algebr�a�and�numb�er�the�ory�,�!�Ed.����x�Matzat��Xet�al.,�Springer-V��J�erlag,�Berlin,�1999,�pp.�11{48.�MR���00a�:11095�����[GZ]�����B.H.���Gross�and�D.B.�Zagier,�)�He���e�gner�J�p�oints�and�derivatives�of���2cmmi8�L�-series�,�)In�Îv�en�t.���Math.,����84��(1986),�225{320.�MR�J��87j�:11057�����[Gr]�����A.���Grothendiec�Îk,��%�Gr���oup�es���de�mono���dr�omie���en�g�����ԟeom��etrie���alg��ebrique�,��%SGA���7���I,�Exp�<ros�Î���ne�IX,�Lecture�Notes�in�Math.�v�ol.�288,����x�Springer,��XBerlin{Heidelb�<rerg{New�Y��J�ork,�1972,�pp.�313{523.�MR�50�#7134�����[Ha]�����R.��XHartshorne,��A���lgebr���aic�~ge�ometry�,��XGrad.�T��J�exts�in�Math.�52,�Springer-V�erlag,�New�Y�ork,�1977.�MR�57�#3116�����[Hs]����#Y.��%Hasega�Îw�a,���T��Wwable�Rof�quotient�curves�of�mo���dular�curves��X��q�0��*��(�N��"�)��with�genus�2�,�Pro�<rc.��%Japan.�Acad.,�>��71��(1995),�235{239.����x�MR���97e�:11071�����[Ko]����FV.A.��Kolyv��agin,�',�Finiteness�OUof��E�rغ(�Q�)��and���/!D��wncyr8�X��
-3�(�E�;�j��Q�)��for�a�sub���class�of�Weil�curves�,�',Izv.��Ak��ad.�Nauk�SSSR��Ser.�Mat.,����52����x�(1988),��X522{540.�MR���89m�:11056�����[KL]����6V.A.���Kolyv��agin�and�D.Y.�Logac�Îhev,���Finiteness�7)of�the�Shafar���evich-T��Wwate�gr�oup�and�the�gr�oup�of�r�ational�p�oints�for�some����x�mo���dular�~ab�elian�varieties�,��XLeningrad�Math�J.,���1��(1990),�1229{1253.�MR��91c�:11032�����[La]�����S.��XLang,��Intr���o�duction�~to�mo���dular�forms�,��XSpringer-V��J�erlag,�Berlin,�1976.�MR�55�#2751�����[Le]���F.��Lepr�Î���nev�ost,���Jac���obiennes���de�c�ertaines�c�ourb�es�de�genr�e�2:���torsion�et�simplicit�����ԟe�,��J.��Th�Î���neor.�Nom�bres�Bordeaux,����7��(1995),����x�283{306.��XMR���98a�:11078�����[Li]���x�Q.��XLiu,��Conducteur�~et�discriminant�minimal�de�c���ourb�es�~de�genr���e�2�,��XComp�<ros.�Math.,���94��(1994),�51{79.�MR��96b�:14038�����[Ma]����B.���Mazur,����R���ational��iso�genies�of�prime�de�gr�e�e�(with�an�app�endix�by�D.�Goldfeld)�,���In�Îv�en�t.���Math.,����44��(1978),�129{162.�MR����x��80h�:14022�����[MS]���zdJ.R.�-GMerriman�and�N.P��J�.�Smart,�CB�Curves�d7of�genus�2�with�go���o�d�d7r�e�duction�away�fr�om�2�with�a�r�ational�Weierstr�ass�p�oint�,����x�Math.��XPro�<rc.�Cam�Îbridge�Philos.�So�c.,��114��(1993),�203{214.�MR���94h�:14031�����[Mi1]���]�J.S.��XMilne,��A���rithmetic�~duality�the���or�ems�,��XAcademic�Press,�Boston,�1986.�MR���88e�:14028�����[Mi2]���]�J.S.�U�Milne,�u��Jac���obian���varieties�,�in:��|�A���rithmetic�ge���ometry�,�Ed.�U�G.�Cornell,�u�G.�and�J.H.�Silv�Îerman,�Springer-V��J�erlag,�New����x�Y��J�ork,��X1986,�pp.�167{212.�MR���89b�:14029�����[NU]�����Y.�|Namik��a�Îw�a�and�K.�Ueno,�2�The�Wfc���omplete�classic�ation�of�br�es�in�p�encils�of�curves�of�genus�two�,�2Man�Îuscripta�|Math.,����x��9��X�(1973),�143{186.�MR�51�#5595�����[PSc]���@�B.��P�Îo�<ronen�and�E.F.�Sc�haefer,��%�Explicit��Bdesc���ent�for�Jac�obians�of�cyclic�c�overs�of�the�pr�oje�ctive�line�,��%J.��reine�angew.�Math.,����x��488��X�(1997),�141{188.�MR���98k�:11087�����[PSt]�����B.�
�P�Îo�<ronen�and�M.�Stoll,�	�The�DCassels-T��Wwate�p���airing�on�p�olarize�d�ab�elian�varieties�,�	Ann.�
�of�Math.�(2),��150��(1999),�1109{����x�1149.�����[Ri]����K.��RRib�<ret,����On��{mo���dular�r�epr�esentations�of���Gal���(���n]�\)\v�����Q���\v�=�Q�)��arising�fr�om�mo�dular�forms�,���In�Îv�en�t.��Rmath.,��100��(1990),�431{476.�MR����x��91g�"غ:11066�����[Sc]���x�E.F.��Sc�Îhaefer,���Computing�=�a�Selmer�gr���oup�of�a�Jac�obian�using�functions�on�the�curve�,��Math.��Ann.,��310��(1998),�447-471.����x�MR���99h�:11063������k��n���S㈍��z!d�GENUS���2�BIR���CH�AND�SWINNER��Z�TON-D�YER�CONJECTURE��r(~23�����x����썍��[Sh]���j�G.�kShim�Îura,�Ѓ�Intr���o�duction���to�the�arithmetic�the���ory�of�automorphic�functions�,�Princeton�kUniv�Îersit�y�Press,�Ѓ1994.�MR��
��x��95e�:11048�����[Si]���x�J.H.�i�Silv�Îerman,��A���dvanc�e�d��Htopics�in�the�arithmetic�of�el�p[liptic�curves�,�Grad.�i�T��J�exts�in�Math.�151,�Springer-V��J�erlag,�New�Y��J�ork,����x�1994.��XMR���96b�:11074�����[Ste]����0W.A.��XStein,��Comp���onent�~gr�oups�of�optimal�quotients�of�Jac�obians�,��Xpreprin�Ît,�2000.�����[Sto1]����M.�I�Stoll,�f��Two�~�simple�2-dimensional�ab���elian�varieties�dene�d�over��Q��with�Mor�del�p[l-Weil�r�ank�at�le�ast��19,�f�C.�I�R.�Acad.����x�Sci.��XP�Îaris,�S����nerie�I,��321��(1995),�1341{1344.�MR���96j�:11084�����[Sto2]����M.��XStoll,��Implementing�~2-desc���ent�for�Jac�obians�of�hyp�er�el�p[liptic�curves�,��Xpreprin�Ît,�2000.�����[Sto3]����M.��XStoll,��On�~the�height�c���onstant�for�curves�of�genus�two�,��XActa�Arith,��90��(1999),�183{201.�����[Sto4]����M.��XStoll,��On�~the�height�c���onstant�for�curves�of�genus�two,�II�,��Xin�preparation.�����[T��J�a]����.J.��pT��J�ate,��v�On�%+the�c���onje�ctur�es�%+of�Bir���ch�and�Swinner�on-Dyer�and�a�ge�ometric�analo�g�.��pS�Î���neminaire�Bourbaki,�O��306��1965/1966.����x�MR��X1�610977�����[W��J�al1]����jJ.-L.��BW��J�aldspurger,����Corr���esp�ondanc�es��de�Shimur���a�,�Pro�<rceedings��Bof�the�In�Îternational�Congress�of�Mathematicians,�V��J�ol.�1,����x�2,��X(W��J�arsa�Îw,�1983),�1984,�pp.�525{531.�MR���86m�:11036�����[W��J�al2]����jJ.-L.�\�W��J�aldspurger,�~��Sur��bles�c���o�ecients��bde�F��Wwourier�des�formes�mo���dulair�es��bde�p���oids�demi-entier�,�J.�\�Math.�Pures�Appl.����x�(9),���60��X�(1981),�375{484.�MR��83h�:10061�����[W��J�an]�����X.��XW��J�ang,��2-dimensional�~simple�factors�of��J��q�0��*��(�N��"�),��XMan�Îuscripta�Math.,��87��(1995),�179{197.�MR���96h�:11059�������Dep��wwar�tment��of�Ma��wwthema�tical��Sciences,�University�of�Liverpool,�P.O.Bo��}x�147,�Liverpool�L69�3BX,�England�����E-mail�~addr���ess��D�:�� �[email protected]�������Universit�� ��UV�e��Grenoble�I,�Institut�F��Dourier,�BP�74,�F-38402�Saint�Mar��wwtin�d'H�� ��UV�eres�Cedex,�France�����E-mail�~addr���ess��D�:�� �[email protected]�����Dep��wwar�tment��of�Ma��wwthema�tics��and�Computer�Science,�Sant��wwa�Clara�University,�Sant�a�Clara,�CA�95053,�USA�����E-mail�~addr���ess��D�:�� �[email protected]�����Dep��wwar�tment��of�Ma��wwthema�tics,��Har��I�v�ard�University,�One�O��Dxf��}ord�Street,�Cambridge,�MA�02138,�USA�����E-mail�~addr���ess��D�:�� �[email protected]�����Ma��wwthema�tisches��Institut�der�Heinrich-Heine-Universit��>��UV�at,�Universit��>��UV�atsstr.�1,�40225�D��>��UV�usseldorf,�Germany�����E-mail�~addr���ess��D�:�� �[email protected]�����Dep��wwar�tment�%�of�Ma��wwthema�tics,�-�University�%�of�Southern�Calif��}ornia,�1042�W.�36th�Pla��}ce,�Los�Angeles,�CA�%�90089-���1113,��USA�����E-mail�~addr���ess��D�:�� �[email protected]�����
a���;��n��G�/!D��wncyr8�.�C�scmtt8�-��<x

cmtt10�,�hV1

wncyr10�+�':

cmti10�)2�@�cmbx8�'f$�cmbx7�!�-�

cmcsc10� �"V

cmbx10�#�f�cmti8��-�
cmcsc10�q�%cmsy6��2cmmi8��Aa�cmr6�|{Ycmr8�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���<�

	lcircle10���u

cmex10�����