CoCalc -- Collaborative Calculation in the Cloud
Sharedwww / Tables / denominator.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.03.11:0349������x�������=��������JN��D��t�qG�cmr17�The�B�Denominator�of�the�Sp���ecial�V��_�alue����������g��qcmmi12�L�(�A��j���g�ffcmmi12�f���ǽ;�t�1)�=�
(�A��j�f���)��+/��������"��X�Qffcmr12�Amo�dCd��/Agashe�and�William�Stein�����=�
!",�

cmsy10���������&a������Marc���h��/11,�1999��99�������+�"V
�3
cmbx10�Abstract��Mƍ�T̻�*K�`y
�3
cmr10�Let���.�b>
�3
cmmi10�f�Ⱦ�b�M�e�a�newform�and��A��Ȯ�/�2cmmi8�f��	!�the�quotien��!t�of��J���z�,|{Ycmr8�0����(�N�1��)�constructed�b�y��
����D_�Shim��!ura.�tqW��ee�-�pro�v�e�that,�O�up�to�a�Manin�constan�t�and�a�p�M�o�w�er�of�2,����D_�the�L�denominator�of�the�rational�n��!um�b�M�er�L��L�(�A��Ȯ�f��w�;��1�1)�=�
(�A��Ȯ�f���)�divides�the����D_�order���of�the�image�of�(0)�E[�1!",�
�3
cmsy10���(�1�)���in��A��Ȯ�f��w�(�Q�).���This�pro��!vides�evidence�for����D_�the�_�Birc��!h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�and�raises�questions�ab�M�out����D_�the��fstructure�of��A��Ȯ�f��w�(�Q�).��(V���'�@��N�G�cmbx12�@1��D(�In��u�tro��=duction��b#��'�X�Qcmr12�Fix�u|a�p�S�ositiv��re�in�teger����g�cmmi12�N�@�.��Let��f��Q�!",�
cmsy10�2�UR�S�����2����(�����0���(�N��))�u|b�S�e�a�newform�and�let��A�����f��웹b�e�the�����'corresp�S�onding��optimal�quotien��rt�of��J�����0����(�N�@�).�8�The��L�-function�of��A�����f��	aǹis��&u������L�(�A�����f��w�;���s�)�UR=��������*�d������������u
cmex10�Y���
㇍�S�i�=1������L�(�f�����i��dڿ;�s�)��$l��'where�꨿f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d���P�are�the�Galois�conjugates�of��f�G��.�8�Let���������
(�A�����f��w�)�UR=���甆�Z���	���
�_�A��i?�0;�cmmi6�f��ʫ�(�=2�@�cmbx8�R�)��%���j�!�n9�j��'��|�ff��d�����
g��^��O!�cmsy7�����K�`y

cmr10�email:�q��)��<x

cmtt10�amod�UU�and��was��at��math.berkeley.edu�.�������1����*�x�������=�������'�where�S��!����is�a�dieren��rtial��d�-form�on�the�Neron�mo�S�del�of��A�����f��w�.�	ssF��Vor��p�j�N��h�the�����'analogous�/Clo�S�cal�quan��rtit�y�/Cis��c�����p�����whic��rh�is�the�n�um�b�S�er�of��A��N�cmbx12�AF�����p���]�-rational�comp�onen��rts����'of��the�sp�S�ecial�b�er�of�the�Neron�mo�del�of��A�����f��	aǹat��p�.�8�Let�������w����hV1
wncyr10�X������(�A�����f��w�)�UR=��Ker��Bm[�H���V����1���Z�(�AQ�;���A�����f���)��!���������Y���
�ҍ��x�v������H���V����1���Z�(�AQ�����v���
�;���A�����f���)]��$UY��'where��the�pro�S�duct�is�o��rv�er��all�primes��p��and��1�.����8��The�u�Birc��rh�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�(BSD�u�conjecture),���as�gener-����'alized��b��ry�T��Vate,�predicts�that���X����(�A�����f��w�)�is�nite�and��#��������ō���B�L�(�A�����f��w�;����1)����B�[��z�*���
�΍�R�
(�A�����f��w�)������l=������덑�#��X��
�n�(�A�����f��w�)�����������Q���
�����p�2�K�cmsy8�j�N����c�����p������k��z�`
��
�΍�#�A�����f��w�(�AQ�)������#�A����ߍ�_��y���f���*��(�AQ�)�����e�q�:��#!��'�When��#�A�����f��w�(�AQ�)�is�innite�the�righ��rt�hand�side�is�0.��WThis�conjecture�is�curren�tly����'the��sub��ject�of�m��ruc�h��in�tensiv�e�researc�h.�8�W��Ve�do�ha�v�e�������'�ATheorem��1.1�(Kolyv��@agin,�Logac��hev).�����B���@cmti12�BIf���L�(�A�����f��w�;����1)�5.�6�=�0��Bthen�b��ffoth��A�����f��w�(�AQ�)����'�Band��35�X��*��(�A�����f��w�)�35�Bar��ffe�nite.����8���W��Ve�[7rst�express��L�(�A�����f��w�;����1)�in�terms�of�mo�S�dular�sym��rb�ols�in�order�to�sho��rw����'that��uthe�denominator�divides�the�order�of�a�certain�subgroup�of�#�A�����f��w�(�AQ�).���Not����'only��edo�S�es�our�result�pro��rvide�evidence�for�the�BSD��aconjecture,��Tbut�assuming����'the��BSD�conjecture�it�also�suggests�that�the�natural�map�������A�����f��w�(�AQ�)�UR�!���������Y��������t�p�j�N�����������A��i?�f��ʫ�;p���'�ҍ�'�should��b�S�e�(v��rery�close�to)�injectiv�e.��(V���'�@2��D(�Mo��=dular�z�Sym��u�b�ols�Expression�for��C��g�G�cmmi12�CL�?D��tG�G�cmr17�(�CA�����f�����C;��F�1)��b#��'�Fix��a�newform��f�2��as�in�the�in��rtro�S�duction�and�assume�that��L�(�A�����f��w�;����1)�UR�6�=�0.����8��Let�0�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�b�S�e�the�rst�in��rtegral�homology�of�the�mo�dular�curv��re����'�X�����0����(�N�@�).���The�ߩHec��rk�e�algebra��AT��and�the�in�v�olution����b�S�oth�act�on��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�),����'and��their�actions�comm��rute.�8�W��Ve�ha�v�e�an�exact�sequence��PG���q/�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)������������i?�f���PI������UR������	X�!�����?�AC�����d��4��!�UR�A�����f��w�(�AC�)��!��0������2����4�x�������=�������'�where��U^���2������f��w�(�
���)�UR=�(��甆�Z������
�_�
��T�f�����1����;����:�:�:��ʚ;�����甆�Z������
�_�
��R�f�����d��ߨ�)�:��T��'�Let�o�Ae�UR�=��f�0�;����1g�2��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;��AQ�)�ocorresp�S�ond�to�in��rtegration�along�the�v�ertical�����'path��from�0�to��i�1�.��`ۍ���'�ADenition��2.1�(Mo�`dule�Index).�����Let��p�V�8�b�S�e�a��AQ�-v��rector�space�and�let��L;���M��6�����'�V��4�b�S�e���lattices�(of�full�rank).�r4Denote�b��ry�[�L�uٹ:��M�@�]���the�absolute�v��X�alue�of�the�de-����'terminan��rt��of�an�automorphism�of��V���sending��L��to��M�@�.����8��Dene�������L�(�f�G��)�UR=�[�����f��w�(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�����+��x�)�UR:������f���(�AT���e�)]��pm��'where��the�images�are�lattices�in��V��¹=�UR�����f��w�(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AQ�)����2�+��x�).������'�ATheorem��2.2.���{��BWe�35have��y卒���L�(�f�G��)�UR=������ō����j�L�(�A�����f��w�;����1)�j�����[��z�16Q�
�΍��+�
(�A�����f��w�)�����9�������c�����1�������c�����M���GA��'�Bwher��ffe�35�c�����1��
3=�Bis�the�numb�er�of�r�e�al�c�omp�onents�and��c�����M��
�%�Bis�the�Manin�c�onstant.��'�����'�@3��D(�The�z�Denominator�of�the�Sp��=ecial�V��aGalue��b#��'�Fix��a�newform��f��Q�=��UR�����P�����a�����n���P�q��n9���2�n��
1�as�in�the�in��rtro�S�duction�and�assume��۪���AT�L�(�A�����f��w�;����1)�UR�6�=�0�:����'�The��cusps�0�and��1��on��X�����0����(�N�@�)�giv��re�rise�to�a�rational�torsion�p�S�oin�t�����0��P�����e���¹=�UR(0)������(�1�)��2��J�����0����(�N�@�)�:����'�Let��ꨟ�\-�z�	4��	�Ӎ�P����
C����e��{[�denote��the�image�of��P�����e��\�in��A�����f��w�(�AQ�)�and�let����й&�C�����e���¹=�UR�AZ���\-�z�	4��	�Ӎ�P����	4�����e�����'�b�S�e��the�cyclic�subgroup�of��A�����f��w�(�AQ�)�whic��rh�it�generates.�8�Let������M�I�%n�
eufm10�Ip�����f���q�=�UR�f�t��2��AT��:��t�(�f�G��)�=�0�g�:����'�The��Hec��rk�e�algebra��AT��acts�on��A�����f��	aǹthrough�a�quotien�t:�����P�O�����f���q�=�UR�AT�=�Ip�����f������P�������԰����Y�=�����w�AZ�[�a�����1����;���a�����2���;��:�:�:��ʜ�]�:����'�Let�꨿�Ë�:�UR�AT��!�O�����f��	aǹdenote�the�natural�surjection.������3������x�������=���������'�AProp�`osition��3.1.����ϣ�BThe�35gr��ffoup��C�����e������UR�A�����f��w�(�AQ�)��Bis��O�����f���B-invariant.���̍���'Pr��ffo�of.���K�N�It���suces�to�sho��rw�that�eac�h���n9�(�T�����p���]�)�acts�as�a�scalar�on����\-�z�	4��	�Ӎ�P����
�p����e��7�,���since�the�����'��n9�(�T�����p���]�)��generate��O�����f��w�.�8�Let��p��b�S�e�a�prime.����'Case�꨿p�UR� ���
msbm10�-��N�@�:�8�Then,�follo��rwing�the�pro�S�of�the�Manin-Drinfeld�theorem,���n���쬿T�����p���]�P�����e���¹=�UR(�p����+�1)�P�����e��qp�:����'�Th��rus������,߿�n9�(�T�����p���]�)���\-�z�	4��	�Ӎ�P����	4�����e���]�=�UR(�p����+�1)���\-�z�	4��	�Ӎ�P����	4�����e��
��:���桍�'�Case����p���-��N�@�:�N�Then���n9�(�T�����p���]�)�=��a�����p��	��2�f�0�;�����1�g��(see�b�S�ottom�of�page�64�of�[�DI��
6^]).����'Th��rus������|��n9�(�T�����p���]�)���\-�z�	4��	�Ӎ�P����	4�����e���]�2�URf�0�;�������\-�z�	4��	�Ӎ�P����	4�����e��
��g���C�����e��qp�:��������m��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����̍���'�ATheorem��3.2.���{��BThe��odenominator�of��L�(�f�G��)��Bdivides�the�or��ffder�of�the�cyclic�sub-����'gr��ffoup�35�C�����e������UR�A�����f��w�(�AQ�)�B.������'Pr��ffo�of.���K�N�In�"�the�denition�of��L�(�f�G��)�w��re�can�iden�tify��V���=�h �����f��w�(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AQ�)����2�+��x�)����'with��2the��AQ�-v��rector�space��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AQ�)����2�+��x�=���Ker���(�����f��w�).�Th�us��2w�e�ma�y�replace������f�����'�b��ry��an�y�homomorphism��eminating�from��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�and�ha��rving�the�same����'k��rernel���as������f��w�.�b�The�resulting�mo�S�dule�index��L�(�f�G��)�remains�unc�hanged.�b�Cho�S�ose����'some��nonzero�����3�UR�2���Hom����(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�����+��x�;��O�����f��w�)���捑'satisfying��the�follo��rwing�additional�requiremen�t:���n�����(�t
���)�UR=���n9�(�t�)(�
��)�;���for��all��t�UR�2��AT�����'�By��0\m��rultiplicit�y�one"�and�dualit�y�b�S�et�w�een�homology�and�dieren�tials,�R�����'exists��and�is�uniquely�determined�up�to�a�nonzero�scalar�in��O�����f��w�.����8��Both��o(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)����2�+��x�)�and�(�AT���e�)�are�con��rtained�in��K��+�=��ҍF��Vrac��-�(�O�����f��w�).����'They��are�fractional��O�����f��w�-ideals.�8�F��Vurthermore���n����$�L�(�f�G��)�UR=�[(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�����+��x�)�UR:�(�AT���e�)]�:����8���Next��dene�an�ideal��I�F���URO�����f��	aǹb��ry�exactness�of���Z�����0�UR�!��I�F��!�O�����f�����2���Wt�7!�t:���t�\)�̟��P�����̟�e����p�������q������������������������������������������������������W�!����.ѱ�C�����e�����!��0�:�������4����	�x�������=�������'�The�n�map��O�����f��`��!��ɿC�����e��	��is�surjectiv��re�b�S�ecause��O�����f��
�͹con�tains��AZ��and��C�����f��
�͹is�cyclic�����'as�P�an�ab�S�elian�group.�	j�Th��rus��O�����f��w�=I�����P����*����԰�����=������(�C�����e��	��is�nite�cyclic.�F��Vurthermore,��#the����'Ab�S�el-Jacobi��theorem�implies�that������~���I�Fչ=�UR�f�t��2�O����:��t�(�Ae�)��2��(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�����+��x�)�g�:����8���W��Ve��kare�no��rw�in�a�p�S�osition�to�b�ound�the�denominator�of��L�(�f�G��).�k)W��Vriting�����'�H�B��=�UR�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)����2�+�� �w��re��ha�v�e������L���L�(�f�G��)�UR=�[(�H��V�)�:�(�AT���e�)]�����˺>=��������[(�H��V�)�UR:��O�����f��w�(�Ae�)]���������˺>=��������[(�H��V�)�UR:��I��(�Ae�)]������[�I��(�Ae�)�UR:��O�����f��w�(�Ae�)]����[email protected]����˺>=����������ō��S[(�H��V�)�UR:��I��(�Ae�)]�����[��z�U+�
�΍[�O�����f��w�(�Ae�)�UR:��I��(�Ae�)]�����6p�:����
0��'�Next��observ��re�that:����8��1)�꨿I��(�Ae�)�UR���(�H��V�)�b�S�ecause�of�the�construction�of��I��,�and����8��2)�꨿I��(�Ae�)�UR��O�����f��w�(�e�)�b�S�ecause��I�F���O�����f��w�.����'It��follo��rws�that����t'�[(�H��V�)�UR:��I��(�Ae�)]��2��AZ��꨹and���|[�O�����f��w�(�Ae�)�:��I��(�Ae�)]��2��AZ�:����'�Th��rus��the�denominator�of��L�(�f�G��)�divides����p�H[�O�����f��w�(�Ae�)�UR:��I��(�Ae�)]�=�[�O�����f���q�:��I��]�=�#(�O�����f��w�=I��)�=�#�C�����e��qp�:��������m��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����Q����'�AQuestion��3.3.���z���Note��that�the�ideal�class�of�the�ideal�����f�(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�����+��x�)�UR��O�����f�����'�is��hindep�S�enden��rt�of�the�c�hoice�of�.�x!What�is�the�signicance�of�this�class�in����'the��ideal�class�group�of��O�����f��w�?�8�What�is�its�order?��Q����'�AQuestion��3.4.���z���In��the�pro�S�of�w��re�expressed��L�(�f�G��)�as�a�quotien�t��<ԍ��&?�L�(�f�G��)�UR=������ō�	�[(�H��V�)�:��I��(�Ae�)]�����[��z�S�a�
�΍[�O�����f��w�(�e�)�:��I��(�e�)]�����Yz�:��
0��'�Both�/1the�n��rumerator�and�the�denominator�are�w�ell-dened,�T�irregardless�of�the����'c��rhoice���of�.�#Ho�w�do�they�relate�to�the�n�umerator�and�the�denominator�in����'the��BSD�conjecture?�8�In�particular,�can�w��re:����8��connect��[(�H��V�)�UR:��I��(�Ae�)]�with�#��X��
�n�(�A�����f��w�)�����j���������Q���
UU���p�j�N��h�c�����p���]�j�,�or�����8��connect��[�O�����f��w�(�e�)�UR:��I��(�e�)]�with�#�A�����f��w�(�AQ�)������#�A����2��_��y���f���*��(�AQ�)?�������5����(Ġx�������=�����qƍ��'�@4��D(�Idea�z�to�Bound��CA�����f�����(�@Q�)��b#��'�Fix��a�newform��f�2��of�lev��rel��N�+��and�assume�that��L�(�A�����f��w�;����1)�UR�6�=�0.�������'�ATheorem��4.1.���{��BSupp��ffose�35�p�UR�-��2�N�@��B.�fiThen���4���I�A�����f��w�(�AQ�)�UR�,���!��A�����f���(�AF�����p���]�)�:����8���Th��rus��#�A�����f��w�(�AQ�)�divides������G�(�f�G��)�UR=���gcd����F�f�#�A�����f��w�(�AF�����p���]�)�:��p��-��2�N�@��g�:����8���Let��the�notation�b�S�e�as�in�the�pro�of�of�Theorem�3.2.�8�Th��rus�w�e�ha�v�e��������O�����f���q�=�UR�AT�=�Ip�����f���=��AZ�[�a�����1����;���a�����2���;��:�:�:��ʜ�]����'and��a�map�������M�UR:��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�����+��
q��!�URO�����f���M͍�'�suc��rh��that�������(�t
���)�UR=���n9�(�t�)(�
��)�:����'�W��Ve��also�ha��rv�e��the�ideal���4��|	��I�Fչ=�UR�f�t��2�O�����f���q�:��t�(�Ae�)��2��(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����AZ�)�����+��x�)�g�:����'�When��pro��rving�the�theorem�w�e�observ�ed�that������#(�O�UV�=I��)�UR=�#�C�����e�����j��#�A�����f��w�(�AQ�)�:����8���Consider��the�ideal��L�UR��O�����f��	aǹgenerated��b��ry�the�\ob�vious"�elemen�ts�of��I��:�����O��L�UR�=�((�p����+�1)�����n9�(�T�����p���]�)�UR:��p��-��2�N�@�)����I����'�W��Ve��will�use�the�follo��rwing�theorem�to�relate�#(�O�����f��w�=L�)�to��G�(�f�G��).�������'�ATheorem��4.2.���{��BSupp��ffose�>�p�j��-��N�@��B.��~L�et�>�F��ƹ(�x�)��Bb�e�the�char�acteristic�p�olynomial�of�����'��n9�(�T�����p���]�)�B.�fiThen�����룹#�A�����f��w�(�AF�����p���]�)�UR=��F��ƹ(�p����+�1)�:����8���Dene���the�norm�of��x�UR�2�O�����f��	X�to���b�S�e�the�determinan��rt�of�the�linear�map��`�����x���9�=����'left��m��rultiplication�b�y��x�.�8�Observ�e�that���4���t�j�����Norm��K(�x�)�j�UR�=�[�O�����f���q�:��x�O�����f��w�]�=�#(�O�����f���=x�O�����f���)�:�������6����3��x�������=���������'�ACorollary��4.3.���}��BSupp��ffose�35�p�UR�-��N�@��B.�fiThen�������*+�Norm���5x((�p����+�1)�����n9�(�T�����p���]�))�UR=�#�A�����f��w�(�AF�����p���)�:������'�BPr��ffo�of.���K�N�If���F��ƹ(�x�)�is�the�c��rharacteristic�p�S�olynomial�of���n9�(�T�����p���]�)�then��F��(�p��͹+�1)��is�the�����'determinan��rt��of�left�m�ultiplication�b�y�(�p����+�1)�����n9�(�T�����p���]�).���l`���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������'�ALemma��4.4.���q�Q�BL��ffet�35�Ia��Bb�e�an�ide�al�of��O�����f��w�B.�fiThen������:�#(�O�����f��w�=�Ia�)�UR�j����gcd����F�f��Norm��M(�x�)�:��x��2��Ia�g�:������'�BPr��ffo�of.���K�N�W��Ve��ha��rv�e����N��#(�O�����f��w�=�Ia�)�UR�j��[�O�����f���q�:��Ia�]������[�Ia�UR�:��x�O�����f���]�=�[�O�����f���q�:��x�O�����f���]�=��j�����Norm��K(�x�)�j�2��AZ�:��������m��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������8���Th��rus����{�I#(�O�����f��w�=L�)�UR�j��G�(�f�G��)�=���gcd����F�f�#�A�����f���(�AF�����p���]�)�:��p��-��2�N�@��g�:������'�BR��ffemark�354.5.���k�,�When�_�I�_�rst�lo�S�ok��red�at�this�I�though��rt�that�ma�yb�S�e�there�w�ould����'b�S�e��equalit��ry��V.�1(F�or�example,���if��O�����f���q�=�UR�AZ��there�is�indeed�equalit��ry�.)�1But,���I��see�no����'reason��for�equalit��ry�no�w.�����8��In��xthe�elliptic�case�the�index�of��L��in��I����measures�the�failure�of��C�����e���to�equal����'�E���(�AQ�).�������'�AProp�`osition��4.6.����ϣ�BSupp��ffose�35�E�	i�=�UR�A�����f��	�T�Bhas�dimension�one.�fiThen�����?��#(�O�����f��w�=I��)�UR�j��#�E���(�AQ�)��j��#(�O�����f���=L�)�:����'�BIn�35p��ffarticular�����遹#(�E���(�AQ�)�=C�����e��qp�)�UR�j��[�I�Fչ:��L�]�:�������'�BPr��ffo�of.���K�N�L�&�is�the�ideal�in��O�����f��
�ǹ=�o��AZ��generated�b��ry�the�elemen�ts��p����+�1����a�����p��
7�=����'#�A�����f��w�(�AF�����p���]�)��for��p�UR�-��2�N�@�.���x{��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������'�AQuestion��4.7.���z���T��Vo��what�exten��rt�do�S�es�this�observ��X�ation�carry�o�v�er�to�higher����'dimensional�F׿A�����f��w�?�MlWhat�is�the�relationship�b�S�et��rw�een�F׿A�����f���(�AQ�)�and��C�����e��qp�?�MlIs����'#(�A�����f��w�(�AQ�)�=C�����e��qp�)��a�p�S�o��rw�er��of�2?������7����;��x�������=��������'�@5��D(�Numerical�z�Data��b#��'�Let�꨿G����2�0���9�(�f�G��)�UR=��gcd���F�f�#�A�����f��w�(�AF�����p���]�)�UP:��p�UR�-��2�N���;���p����97�g�.��(�Ѝ�������ٛ�ff��Ҥ
&c����ͤY���ff��Ο��d�f�s졄�ff���0q��L�(�f�G��)��͟Y���ff���T���j�C�����e��qp�j��͟Y���ff���tr�j�A�����f��w�(�AQ�)�j��͟Y���ff�������G����2�0���9�(�f�G��)��͟Y���ff�����ff��ҟ�ff��ҡ����ͤY���ff��Ο��d�A11A1��͡��ff���3�P�1�=�5�	;U�Y���ff���[��5���Y���ff������5����Y���ff�����J5�Y�Y���ff����ff��ҡ����ͤY���ff��Ο��d�A35B2�e����ff���3�P�1�=�8�	;U�Y���ff���[��8���Y���ff����ȣ?�"{�Y���ff�����L16�[�Y���ff����ff��Ҏ���(�ʍ�'[This��table�will�b�S�e�extended�later.]��(V��'�@References������'�[DI]���qsF.�B�Diamon,�X�J.�Im,��BMo��ffdular��Xforms�and�mo�dular�curves�,�X�Semi-�����qsnar�b�on�F��Vermat's�Last�Theorem,�}�CMS�b|Conference�Pro�S�ceedings,����qsV��Volume��17,�(1994).������8����E7���;�x���I�%n�
eufm10�C��g�G�cmmi12�B���@cmti12�A��N�cmbx12�@��N�G�cmbx12�?D��tG�G�cmr17�=2�@�cmbx8�2�K�cmsy8�1!",�
�3
cmsy10�0;�cmmi6�/�2cmmi8�.�b>
�3
cmmi10�,|{Ycmr8�+�"V
�3
cmbx10�*K�`y
�3
cmr10�)��<x

cmtt10� ���
msbm10���u
cmex10�!",�
cmsy10���g�cmmi12���g�ffcmmi12���g��qcmmi12�X�Qffcmr12�D��t�qG�cmr17��hV1
wncyr10�X�Qcmr12�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�K�`y

cmr10�I�����