Sharedwww / Tables / computing_cp.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.03.11:0851������ufv�������6fv����8GW�D��tG�G�cmr17�Comp�s�onen��qt�7tGroups�of�Optimal�Quotien�ts�of����g�G�cmmi12�J�����X�Qcmr12�0��_��(�N���)��$g͍�������K�William��A.�Stein�����2�"�K�cmsy8����������ύ�‚k�Marc��rh��11,�1999��/��������4�"V

cmbx10�Abstract���_�"����6�6��N�ffcmbx12�1��NL�In���tro�s3duction��q���6�K�`y
�3
cmr10�Let����7�b>
�3
cmmi10�f�8c�8!",�
�3
cmsy10�2�
��S���z�|{Ycmr8�2����(���z�0���(�N�1��))�b�M�e�a�newform�and��A��Ȯ� �2cmmi8�f��'��the�corresp�onding�optimal�quotien��!t��
����6of�A|�J���z�0����(�N�1��).��:Let������A��i?�!;�cmmi6�f��ʫ�;p���ܹb�M�e�the�sp�ecial�b�er�of�the�Neron�mo�del�of��A��Ȯ�f�����at��p�.��:The����6in��!teger�rU#�����A��i?�f��ʫ�;p�����is�of�great�arithmetic�in�terest.�A�F��eor�example,��Pit�app�M�ears�in����6the�}�Birc��!h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�(I�}�lie:�ɟactually�the�cardinalit�y�of����6the��frational�comp�M�onen��!t�group�app�ears�there).��+������Ho��!w��fcan�w�e�compute�#�����A��i?�f��ʫ�;p��L`�?����GWhen�ZR�A��Ȯ�f���ƹ=�
��E���is�an�elliptic�curv��!e�the�Riemann-Ro�M�c�h�theorem�giv�es�us�a��
����6p�M�o��!w�erful��%to�ol:�ּw�e��%ha�v�e�a�simple�explicit�W��eeierstrass�equation�whic�h�denes����6�E����.��Using��qthis�T��eate�pro��!vided�an�ecien�t�algorithm�for�computing�the�order����6of�T������E�r�;p��
�Y�.�“I�Ttdoubt�that�there�is�an�analogue�of�the�W��eeierstrass�equation�when�����6dim��J3�A��Ȯ�f�����>�
��1!����GRib�M�et,��in���a�letter�to�Mestre,�considered�the�case�in�whic��!h��A��Ȯ�f��
i�=����E�lZ�is����6an�՜elliptic�curv��!e�whic�h�has�m�ultiplicativ�e�reduction�at��p�,��ji.e.,��ord����F��z�p�����(�N�1��)�YW=�1.����6Using�ĭGrothendiec��!k's�mono�M�drom�y�pairing�on�c�haracter�groups�of�certain�tori����6he��~w��!as�able�to�pro�vide�a�\W��eeierstrass-free"�form�ula�for������E�r�;p��
�Y�.�$In�this�pap�M�er����6w��!e���generalize�Rib�M�et's�metho�d�to��A��Ȯ�f���ǹof�arbitrary�dimension�and�th��!us�obtain����6an��fexplicit�form��!ula�for�#�����A��i?�f��ʫ�;p��L`�.����GThe��fform��!ula�is:��ԍ�pr�#�����A��i?�f��ʫ�;p��W�=���
���f�9��u
�3
cmex10�p���
�ܟ�f�p _��	嚍��deg����(��j�)����.̾������������#���1cok��!er���
(�X���!��
��Hom��ک(�X����[�<�%n�
�3
eufm10�p�]�;��1�?�"V
�3
cmbx10�Z�))�����2�����㦉p ���
�����&�disc��#�(�X����[�p�]�n����X��[�p�]�
��!��Z�)������6��׉ff��p�
L͍���Q
��-=�#q�%cmsy6�����a�-o���		cmr9�Univ��9ersit�y�Tof�California,�Berk��9eley��:�,�U.S.A.,��3ߤN		cmtt9�[email protected]������C3�1����*�ufv�������6fv���홊��6�where��������Fl������Q`��t��:�
��A������_��N���f���	5W�!��A��Ȯ�f��	��is��fthe�mo�M�dular�p�olarization.��Kd�����Fl������Q`�X��^�is��fthe�c��!haracter�group�of�the�torus�asso�M�ciated�to��J���z�0����(�N�1��)�=�F���z�p���]�.�������Fl������Q`�p��Ȯ�f���ƹ=��
�Ann���k�����@2�@�cmbx8�@T���Ϲ(�f�-��),��fwhere��T��is�the�Hec��!k�e��falgebra.�������Fl������Q`�X�J���n��X���!�
��Z��f�is�the�Mono�M�drom��!y�pairing.����6Eac��!h���of�these�quan�tities�can�b�M�e�explicitely�computed.�گSee�[�K���F],���[�M��
	�],�and���[�S��V].��"[b���6�2��NL�The�ffMono�s3drom���y�P�airing��q���6�[to��fb�M�e�written�{�will�con��!tain�the�basic�facts]�����6�3��NL�Rib�s3et's�ffF���form���ulas����6�[to��fb�M�e�written�{�will�con��!tain�Rib�et's�form��!ulas�as�motiv��dDation.]�����6�4��NL�General�ffF���form���ula����6�In��fthis�section�w��!e�pro�v�e�our�main�theorem.��
����GLet�H��f�G�2�P�S���z�2����(���z�0���(�N�1��))�b�M�e�a�newform�and�supp�ose��p�j�N�zk�but��p�P�;���
�3
msbm10�-��M�J�=��N�H=p�.����6The��ZHec��!k�e�algebra��T��acts�on�the�fundamen�tal�group��X�����J��
�X�of��J���z�0����(�N�1��).��The����6prime��fideal�����+��p��Ȯ�f���ƹ=��
�Ann���k�����@T���Ϲ(�f�-��)�
����T���H��6�cuts��fout�a�submo�M�dule������9�V��Ȯ�f���ƹ=�
��X�����J�����[�p��Ȯ�f��w�]����X�����J�����6�of��f�X�����J�����.�������6�Theorem�2�4.1.����Ҕ��r�^�#�����A��i?�f��ʫ�;p��W�=���
���f�p���
�ܟ�f�p _��	嚍��deg����(��j�)����.̾������cݍ���#���1cok��!er���
(�X�����J����!��
��Hom��ک(�V��Ȯ�f��w�;��1�Z�))�����2�����g�p �
����(�-�disc��;�(�V��Ȯ�f��w�;��1V��Ȯ�f���)������38,��GW��ee��fno��!w�b�M�egin�the�pro�of.��#G���6�F���\undamen��ttal�2�diagrams:������C3�2����<�ufv�������6fv���x��������O���A�����_��������J������A������Ο��-fe��������O�

line10�?�������Ο��fe������?�����\��@���f��@���p��@���z��@������@������@������R��������32�fdfe����Ǽ��#τfdfe��������^�fdfe����W���܄fdfe��������N�fdfe����簟�岄fdfe���������fdfe����xF���I�fdfe����@��Ҷ��fdfe����	M�Ҧ��fdfe������Җ��fdfe�������҆΄fdfe����c���v„fdfe����,���f��fdfe��������V��fdfe��������F\�fdfe�������6"�fdfe����Q]��%ڄfdfe����ԟ�r�fdfe�����x��
�fdfe�����$���fdfe����w����fdfe����Aʟ��t�fdfe����ğ��քfdfe�����؟Ѳ�fdfe������ѡW�fdfe����jN�ѐt�fdfe����4�����fdfe�����H��n��fdfe�����ߟ�]��fdfe��������L��fdfe����_[��;��fdfe����*@��*R�fdfe�����?��$�fdfe�����X���fdfe���������{�fdfe����V؟��"�fdfe����"d��ӻ�fdfe�������� �fdfe�������а��fdfe�����8�П
�fdfe����Q�ЍA�fdfe������{��fdfe��������iՄfdfe�������Wބfdfe�����L��F�fdfe����M���4�fdfe����9��!��fdfe���������fdfe�����a���߄fdfe�������댄fdfe����L���\�fdfe��������fdfe������ϴ��fdfe������ϢB�fdfe�����I�Ϗلfdfe����N؟�}*�fdfe����J��j��fdfe�����֟�X�fdfe�����|��E3�fdfe�����<��2��fdfe����S��Äfdfe����!
����fdfe��������܄fdfe�����@����fdfe��������ӹ�fdfe����Z �����fdfe����(��έ��fdfe�����(�Κ6�fdfe�����ӟ·�fdfe��������sĄfdfe����cw��`/�fdfe����2p��L҄fdfe�������9g�fdfe����а��%��fdfe�����B���fdfe����o����:�fdfe����? ��ꕄfdfe���������fdfe����f���҄fdfe����0�ͯ�fdfe���~�͛$�fdfe���N�͆�fdfe���*��r�fdfe���~�\��^�fdfe���~����Jv�fdfe���~�d��6P�fdfe���~_��"�fdfe���~0���
��fdfe���~5���1�fdfe���}����҄fdfe���}����
�fdfe���}s�̻��fdfe���}E
�̧�fdfe���}��̒�fdfe���|���}g�fdfe���|�`��h��fdfe���|���S��fdfe���|\���>��fdfe���|[email protected]��)܄fdfe���|����fdfe���{������fdfe���{�
��ꂄfdfe���{v,����fdfe���{HП˿ڄfdfe���{'�˪��fdfe���z혟˔��fdfe���z�#����fdfe���z�ȟ�jB�fdfe���ze���Tf�fdfe���z8`��>�fdfe���zS��)\�fdfe���y�`��R�fdfe���y�������fdfe���y�:����fdfe���yX���Ѻ�fdfe���y,�ʻ�fdfe���x���ʦ�fdfe���x�F�ʏ��fdfe���x�
��y��fdfe���xz��c��fdfe���xN��L��fdfe���x#l��6Ԅfdfe���w���� ��fdfe���w���	ڄfdfe���w�A���fdfe���wt���ܤ�fdfe���wIQ���2�fdfe���w�ɯ��fdfe���v�ɟɘ��fdfe���vǬ�ɂ�fdfe���v����k[�fdfe���vrD��T�fdfe���vGv��=V�fdfe���vŸ�&��fdfe���u�(���fdfe���uǨ���"�fdfe���u�B���!�fdfe���ur���Ɉ�fdfe���uHğȲj�fdfe���u��ț>�fdfe���t�;�ȃw�fdfe���t�X��l.�fdfe���t����Tׄfdfe���tw��<�fdfe���tNK��%n�fdfe���t$П�
�fdfe���s�o���Ʉfdfe���s�(���*�fdfe���s�����}�fdfe���s�Ǯ,�fdfe���sW��ǖb�fdfe���s.���~��fdfe���s��f�fdfe���r�:��N�fdfe���r����6�fdfe���r�4��f�fdfe���rc؟�F�fdfe���r;�����fdfe���rn���=�fdfe���q��ƻ�fdfe���q�
�ƣ��fdfe���q�4�Ɗ��fdfe���qtu��r�fdfe���qLП�Y��fdfe���q%E��@_�fdfe���p�ԟ�'��fdfe���p�}���fdfe���p�@�����fdfe���p����ބfdfe���pa�����fdfe���p:ПŪq�fdfe���p��őz�fdfe���o�B��xu�fdfe���oƢ��^��fdfe���o���E��fdfe���oy���+��fdfe���oS^��s�fdfe���o-&���&�fdfe���o�����fdfe���nḟ�Ů�fdfe���n�ϟĬ6�fdfe���n��đ��fdfe���npK��xe�fdfe���nJ���^„fdfe���n%/��DX�fdfe���m�ȟ�*��fdfe���m�{��ʄfdfe���m����2�fdfe���m����G�fdfe���mk���N�fdfe���mG
�ç��fdfe���m"@�Ír�fdfe���l����sN�fdfe���l����XZ�fdfe���l�~��>�fdfe���l���#ʄfdfe���lkԟ���fdfe���lHl���<�fdfe���l$Y���„fdfe���l`�¸r�fdfe���k܁�ۄfdfe���k���ƒ6�fdfe���k���g��fdfe���kq���L��fdfe���kN	��2&�fdfe���k*���z�fdfe���k8�����fdfe���j����fdfe���j���ĸ�fdfe���j������fdfe���j|4���z�fdfe���jYt��rr�fdfe���j6Ο�W/�fdfe���jB��;ބfdfe���i�П���fdfe���i�x��:�fdfe���i���辄fdfe���i����Z�fdfe���ii�����fdfe���iG�����fdfe���i&#��x��fdfe���ih��\Ąfdfe���h�ǟ�@�fdfe���h�@��$2�fdfe���h�ӟ�C�fdfe���hb���d�fdfe���h^*���X�fdfe���h=���>�fdfe���h���1�fdfe���g���y��fdfe���g�N��]��fdfe���g����@z�fdfe���g����$�fdfe���gxz����fdfe���gX���?�fdfe���g8���Ͳ�fdfe���g}����fdfe���f�d�����fdfe���f�e��vȄfdfe���f����Z�fdfe���f����<=�fdfe���fy��Z�fdfe���fYm��i�fdfe���f9��v�fdfe���f����h�fdfe���e�:���L�fdfe���e����+�fdfe���e����n�fdfe���e����Q��fdfe���e���3\�fdfe���eaX����fdfe���eB������fdfe���e$���	�fdfe���e����z�fdfe���d�C���݄fdfe���d����2�fdfe���d�ן�bx�fdfe���d�ȟ�D��fdfe���doӟ�%ׄfdfe���dQ����fdfe���d47�����fdfe���d������fdfe���c�����fdfe���cܘ���ʄfdfe���c�@��o��fdfe���c���QZ�fdfe���c�ޟ�3�fdfe���cgԟ���fdfe���cJ䟺�H�fdfe���c.���Ԅfdfe���cR���C�fdfe���b����fdfe���b�9��z�fdfe���b�̟�ZT�fdfe���b�y��;��fdfe���b�@����fdfe���bh!����fdfe���bL�����fdfe���b01����fdfe���b`����fdfe���a����؄fdfe���a���_��fdfe���a¤��@o�fdfe���a�<��!2�fdfe���a�ʄfdfe���ap����p�fdfe���aU�����fdfe���a:����r�fdfe���a�����fdfe���abZ�fdfe���`�<��A��fdfe���`�ȟ�!�fdfe���`�K��(�fdfe���`�蟷�6�fdfe���`�����[�fdfe���`gp���r�fdfe���`M[���R�fdfe���`3`��`L�fdfe���`��@8�fdfe���_�����fdfe���_������fdfe���_ͦ���z�fdfe���_�.�����fdfe���_�П����fdfe���_����|8�fdfe���_hb��Z��fdfe���_OR��:�fdfe���_6\��r�fdfe���_������fdfe���_�����fdfe���^�M���(�fdfe���^�����"�fdfe���^�M��sE�fdfe���^��RZ�fdfe���^����0&�fdfe���^s����fdfe���^[�����fdfe���^C���˦�fdfe���^+����s�fdfe���^���2�fdfe���]����f��fdfe���]���ED�fdfe���]Ψ��#؄fdfe���]�T���fdfe���]���ߑ�fdfe���]�������fdfe���]q��fdfe���][��yZ�fdfe���]D6��VO�fdfe���].ȟ�4~�fdfe���]+����fdfe���]����f�fdfe���\�?���j�fdfe���\�🲫`�fdfe���\�������fdfe���\����e҄fdfe���\����C��fdfe���\|��� �fdfe���\h>�����fdfe���\R����V�fdfe���\<���fdfe���\'v����fdfe���\��r��fdfe���[�ȟ�N��fdfe���[瘟�+�fdfe���[҂��	<�fdfe���[������fdfe���[�����J�fdfe���[�9���i�fdfe���[����{�fdfe���[k���X�fdfe���[W���5�fdfe���[C!����fdfe���[.ܟ��n�fdfe���[����7�fdfe���[������fdfe���Z򩟯�:�fdfe���Z�2��^؄fdfe���Z�p��:�fdfe���Z�ȟ���fdfe���Z�:�����fdfe���Z�Ɵ���fdfe���Z~l���F�fdfe���Zk,�����fdfe���ZX��a[�fdfe���ZD���=��fdfe���Z2����fdfe���Z ����B�fdfe���Z
㟭�B�fdfe���Y�@���4�fdfe���Y跟����fdfe���Y�H��bz�fdfe���Y��>A�fdfe���Y������fdfe���Y�����.�fdfe���Y�����R�fdfe���Y}���߄fdfe���YkJ���^�fdfe���YY���_T�fdfe���YG�:��fdfe���Y6p��
�fdfe���Y%���҄fdfe���Y����	�fdfe���Y����2�fdfe���X�d��̄fdfe���X�b��Z؄fdfe���X����5քfdfe���X�0��B�fdfe���X�}���#�fdfe���X�䟪���fdfe���X�e���4�fdfe���X~��x�fdfe���Xm���S��fdfe���X]���,��fdfe���XMm��-�fdfe���X>���᪄fdfe���X/�����fdfe���XR����fdfe���X���o>�fdfe���X��G�fdfe���W𖟩"'�fdfe���W�6���N�fdfe���W���Ԅfdfe���W�ğ��ބfdfe���W�G���ڄfdfe���W�P��a2�fdfe���W�s��;�fdfe���W�����fdfe���Wz����fdfe���Wkx�����fdfe���W]���f�fdfe���WN���xb�fdfe���[email protected]��Q�fdfe���[email protected]��+f�fdfe���W%ҟ�4�fdfe���W�ܒ�fdfe���W
����fdfe���V�J�����fdfe���V�f��fdfe���V���?ڄfdfe���VӬ��L�fdfe���V�V���T�fdfe���V����N�fdfe���V�������fdfe���V����yo�fdfe���V����P��fdfe���V�ٟ�)T�fdfe���Vz ���fdfe���Vm������fdfe���V`������fdfe���VT�����fdfe���[email protected]��`�fdfe���V<	��9L�fdfe���V1�����fdfe���V%����C�fdfe���V������fdfe���V
柣���fdfe���V2��o �fdfe���U����G4�fdfe���U���:�fdfe���U߲���y�fdfe���U�f���b�fdfe���U��=�fdfe���U�؟�{N�fdfe���U�۟�S�fdfe���U����*��fdfe���U�/����fdfe���U�����2�fdfe���U�럡���fdfe���Up���l�fdfe���Uu��\Ԅfdfe���Ujȟ�4.�fdfe���Ub`��	��fdfe���UXN����fdfe���UNV���!�fdfe���UDx���z�fdfe���U:���d��fdfe���U1
��;��fdfe���U'z����fdfe���U��碄fdfe���U����{�fdfe���U
4���x�fdfe���U
��j4�fdfe���T���@�fdfe���T�
����fdfe���T�4���B�fdfe���T�u���ńfdfe���T�П��f�fdfe���T�E��m̄fdfe���T�ԟ�D$�fdfe���T�T����fdfe���T����҄fdfe���T�������fdfe���T��D�fdfe���T���oT�fdfe���T�,��Cz�fdfe���T�r��m�fdfe���T�ҟ��R�fdfe���T�L���J�fdfe���Ty���fdfe���Tto��n̄fdfe���Tm8��B��fdfe���Tf��3�fdfe���T_���„fdfe���TX/���^�fdfe���TQ`���Єfdfe���TJ���l4�fdfe���TD��?��fdfe���T=����fdfe���T9���"�fdfe���T2Ɵ��b�fdfe���T,����~�fdfe���T&|��g��fdfe���T ~��:��fdfe���T�����fdfe���TП��r�fdfe���T ���V�fdfe���T	�����fdfe���T��`Ԅfdfe���T���3��fdfe�����S�Ο��fe����T��6�����a��32�fd0������-�����a��32�fdfe���`�����fdfe���`�����fdfe���`q쟎�g�fdfe���`G����΄fdfe���` ���5�fdfe���_�⟎���fdfe���_�U����fdfe���_�X��fj�fdfe���_�⟎Lфfdfe���_���38�fdfe���_g�����fdfe���_Q쟎�fdfe���_>����m�fdfe���_.���Ԅfdfe���_ ���;�fdfe���_������fdfe���_����	�fdfe���_��fp�fdfe���_M��Lׄfdfe���_��3>�fdfe���_F����fdfe���_$���fdfe���_����s�fdfe���_x���ڄfdfe���_ ���A�fdfe���_."�����fdfe���_>ϟ���fdfe���_Q�fv�fdfe���_g���L݄fdfe���_���3D�fdfe���_�埌��fdfe���_�`���fdfe���_�k���y�fdfe���_�䟋��fdfe���` ���G�fdfe���`Gȟ����fdfe���`qퟋ��fdfe���`�Ɵ�f|�fdfe���`�/��L�fdfe���a��3J�fdfe����w�����d�����_����w��������D��c��^��㼍�c������������5��X�����A����{���X�����J����{���X�����A������_�������Ο��-fe�������?������Ο��fe������?�����B��@���L��@���V��@���`��@���j��@���o��@���o��R�����q��32�fdfe���p�ڟ�#τfdfe���p�̟�^�fdfe���pf֟�܄fdfe���p3����N�fdfe���p7��岄fdfe���oΊ����fdfe���o�����I�fdfe���oi��Ҷ��fdfe���o7�Ҧ��fdfe���oПҖ��fdfe���nҧ�҆΄fdfe���n����v„fdfe���nn���f��fdfe���n<���V��fdfe���n
ڟ�F\�fdfe���m� ��6"�fdfe���m����%ڄfdfe���mv��r�fdfe���mD���
�fdfe���mP���fdfe���l�����fdfe���l����t�fdfe���l���քfdfe���lN��Ѳ�fdfe���l�ѡW�fdfe���k�l�ѐt�fdfe���k������fdfe���k�(��n��fdfe���k[ǟ�]��fdfe���k+b��L��fdfe���j���;��fdfe���j���*R�fdfe���j���$�fdfe���jj���fdfe���j:���{�fdfe���jD���"�fdfe���iۉ��ӻ�fdfe���i���� �fdfe���i|��а��fdfe���iM�П
�fdfe���i��ЍA�fdfe���h�{��fdfe���h�u��iՄfdfe���h�d��Wބfdfe���ha���F�fdfe���h2���4�fdfe���h��!��fdfe���g�p���fdfe���g�ٟ��߄fdfe���gxZ��댄fdfe���gJ&���\�fdfe���g؟���fdfe���f�ϴ��fdfe���f���ϢB�fdfe���f���Ϗلfdfe���fcȟ�}*�fdfe���f6,��j��fdfe���fp��X�fdfe���e�̟�E3�fdfe���e�@��2��fdfe���e�	��Äfdfe���eR�����fdfe���e%k���܄fdfe���d������fdfe���d�n��ӹ�fdfe���d�t�����fdfe���dq՟έ��fdfe���dE�Κ6�fdfe���d[�·�fdfe���c���sĄfdfe���c����`/�fdfe���c� ��L҄fdfe���cg��9g�fdfe���c:��%��fdfe���cß��fdfe���b����:�fdfe���b���ꕄfdfe���b�D����fdfe���b_՟��҄fdfe���b40�ͯ�fdfe���b��͛$�fdfe���a݀�͆�fdfe���a�$��r�fdfe���a���^�fdfe���a[���Jv�fdfe���a0���6P�fdfe���a���"�fdfe���`���
��fdfe���`�����1�fdfe���`����҄fdfe���`[Z���
�fdfe���`14�̻��fdfe���`˟̧�fdfe���_�z�̒�fdfe���_����}g�fdfe���_����h��fdfe���_^x��S��fdfe���_4��>��fdfe���_��)܄fdfe���^�T����fdfe���^������fdfe���^����ꂄfdfe���^e����fdfe���^<�˿ڄfdfe���^ӟ˪��fdfe���]馟˔��fdfe���]������fdfe���]���jB�fdfe���]o��Tf�fdfe���]FP��>�fdfe���]��)\�fdfe���\�p��R�fdfe���\������fdfe���\�����fdfe���\|���Ѻ�fdfe���\Th�ʻ�fdfe���\,��ʦ�fdfe���\��ʏ��fdfe���[����y��fdfe���[�`��c��fdfe���[����L��fdfe���[e���6Ԅfdfe���[>�� ��fdfe���[l��	ڄfdfe���Z�
���fdfe���Z�D��ܤ�fdfe���Z����2�fdfe���Z{�ɯ��fdfe���ZT��ɘ��fdfe���Z-��ɂ�fdfe���Zџ�k[�fdfe���Yࠟ�T�fdfe���Y���=V�fdfe���Y����&��fdfe���Ym���fdfe���YGH���"�fdfe���Y!
���!�fdfe���X���Ɉ�fdfe���X�j�Ȳj�fdfe���X�x�ț>�fdfe���X���ȃw�fdfe���Xdj��l.�fdfe���X>���Tׄfdfe���X0��<�fdfe���W�H��%n�fdfe���W���
�fdfe���W�����Ʉfdfe���W����*�fdfe���W_���}�fdfe���W:�Ǯ,�fdfe���W��ǖb�fdfe���V�П�~��fdfe���V���f�fdfe���V���N�fdfe���V����6�fdfe���V`$��f�fdfe���V<l��F�fdfe���V0����fdfe���U����=�fdfe���U��ƻ�fdfe���U���ƣ��fdfe���U�ҟƊ��fdfe���Ue��r�fdfe���UB��Y��fdfe���Uv��@_�fdfe���T����'��fdfe���T�A���fdfe���T�������fdfe���T�ǟ��ބfdfe���ToX����fdfe���TLX�Ūq�fdfe���T)p�őz�fdfe���TM��xu�fdfe���S䖟�^��fdfe���S����E��fdfe���S� ��+��fdfe���S}���s�fdfe���S[\���&�fdfe���S9џ���fdfe���S���Ů�fdfe���R���Ĭ6�fdfe���R�`�đ��fdfe���R����xe�fdfe���R����^„fdfe���Ro��DX�fdfe���RN:��*��fdfe���R,���ʄfdfe���R\���2�fdfe���Q�Ο��G�fdfe���Qɜ���N�fdfe���Q���ç��fdfe���Q�@�Ír�fdfe���QgW��sN�fdfe���QF���XZ�fdfe���Q&���>�fdfe���Q��#ʄfdfe���P�h����fdfe���Pž���<�fdfe���P�g���„fdfe���P�(�¸r�fdfe���Peʟۄfdfe���PE��ƒ6�fdfe���P%Ɵ�g��fdfe���P���L��fdfe���O���2&�fdfe���O�B��z�fdfe���O�|�����fdfe���O����fdfe���Oi���ĸ�fdfe���OJP�����fdfe���O+���z�fdfe���Oԟ�rr�fdfe���N�џ�W/�fdfe���Nϼ��;ބfdfe���N�����fdfe���N�0��:�fdfe���Ntg��辄fdfe���NUޟ��Z�fdfe���N7m�����fdfe���N����fdfe���M����x��fdfe���M݈��\Ąfdfe���M�W��@�fdfe���M�`��$2�fdfe���M����C�fdfe���Mg����d�fdfe���MI�X�fdfe���M,X���>�fdfe���M����1�fdfe���L�Z��y��fdfe���L�
��]��fdfe���L����@z�fdfe���L����$�fdfe���L~�����fdfe���La����?�fdfe���LE̟�Ͳ�fdfe���L)����fdfe���Ln�����fdfe���K�ҟ�vȄfdfe���K�`��Z�fdfe���K���<=�fdfe���K����Z�fdfe���K����i�fdfe���Kd|���v�fdfe���KIx���h�fdfe���K-����L�fdfe���KП��+�fdfe���J���n�fdfe���Jہ��Q��fdfe���J���3\�fdfe���J������fdfe���J�H�����fdfe���Jo���	�fdfe���JT򟼼z�fdfe���J9퟼�݄fdfe���J���2�fdfe���J,��bx�fdfe���I�p��D��fdfe���I�̟�%ׄfdfe���I�@���fdfe���I�џ����fdfe���I�v�����fdfe���Ig3����fdfe���IN���ʄfdfe���I3���o��fdfe���I��QZ�fdfe���I-��3�fdfe���H�d����fdfe���Hͳ���H�fdfe���H�(���Ԅfdfe���H�����C�fdfe���H�@�����fdfe���Hj��z�fdfe���HPʟ�ZT�fdfe���H7���;��fdfe���H�����fdfe���Hʟ���fdfe���G�����fdfe���G�M����fdfe���G������fdfe���G���؄fdfe���G����_��fdfe���Gud��@o�fdfe���G] ��!2�fdfe���GD�ʄfdfe���G-����p�fdfe���G����fdfe���F� ���r�fdfe���F�v����fdfe���F�ğ�bZ�fdfe���F�*��A��fdfe���F�̟�!�fdfe���F�c��(�fdfe���Fs���6�fdfe���F]���[�fdfe���FE��r�fdfe���F.؟��R�fdfe���F��`L�fdfe���F;��@8�fdfe���E�|���fdfe���E������fdfe���E�t���z�fdfe���E�������fdfe���E�П����fdfe���E}���|8�fdfe���Eg^��Z��fdfe���ER|��:�fdfe���E<���r�fdfe���E&������fdfe���EП���fdfe���D�S���(�fdfe���D渟��"�fdfe���D�5��sE�fdfe���D���RZ�fdfe���D����0&�fdfe���D�x���fdfe���D~�����fdfe���Di���˦�fdfe���DT����s�fdfe���DA���2�fdfe���D,@��f��fdfe���D���ED�fdfe���DK��#؄fdfe���C�ԟ��fdfe���C�u��ߑ�fdfe���C�t�����fdfe���C�F����fdfe���C�0��yZ�fdfe���C�{��VO�fdfe���Cy���4~�fdfe���Ceɟ���fdfe���CS`���f�fdfe���C?ğ��j�fdfe���C,@���`�fdfe���Cԟ����fdfe���CП�e҄fdfe���B󕟲C��fdfe���B�r�� �fdfe���Bκ�����fdfe���B�ȟ��V�fdfe���B����fdfe���B������fdfe���B�ٟ�r��fdfe���BrH��N��fdfe���Ba(��+�fdfe���BNȟ�	<�fdfe���B<�����fdfe���B+����J�fdfe���B����i�fdfe���B���{�fdfe���A���X�fdfe���A�@��5�fdfe���Aӊ����fdfe���A�N���n�fdfe���A�ɟ��7�fdfe���A�\�����fdfe���A�l���:�fdfe���A0��^؄fdfe���An��:�fdfe���A]����fdfe���AMu�����fdfe���A<�����fdfe���A+ן��F�fdfe���A������fdfe���A��a[�fdfe���@����=��fdfe���@왟���fdfe���@�P���B�fdfe���@����B�fdfe���@�x���4�fdfe���@�x�����fdfe���@����bz�fdfe���@�5��>A�fdfe���@~����fdfe���@oߟ��.�fdfe���@aП��R�fdfe���@Rb���߄fdfe���@C���^�fdfe���@5I��_T�fdfe���@&$��:��fdfe���@��
�fdfe���@	����҄fdfe���?�ğ��	�fdfe���?����2�fdfe���?�T��̄fdfe���?�B��Z؄fdfe���?�ǟ�5քfdfe���?�d��B�fdfe���?�����#�fdfe���?�l�����fdfe���?�R���4�fdfe���?}؟�x�fdfe���?oS��fdfe���?b��,��fdfe���?U�-�fdfe���?HP��᪄fdfe���?:ȟ����fdfe���?.柩��fdfe���?!���o>�fdfe���?P��G�fdfe���?���"'�fdfe���>�����N�fdfe���>��Ԅfdfe���>�l���ބfdfe���>֧���ڄfdfe���>����a2�fdfe���>����;�fdfe���>�����fdfe���>�����fdfe���>�П����fdfe���>�7���f�fdfe���>���xb�fdfe���>w��Q�fdfe���>l̟�+f�fdfe���>`���4�fdfe���>[email protected]��ܒ�fdfe���>K?����fdfe���>?������fdfe���>4E��f��fdfe���>*���?ڄfdfe���>P��L�fdfe���>(���T�fdfe���>
����N�fdfe���=�ȟ����fdfe���=�韥yo�fdfe���=�̟�P��fdfe���=���)T�fdfe���=ֈ���fdfe���=ͷ�����fdfe���=�R�����fdfe���=�����fdfe���=����`�fdfe���=�d��9L�fdfe���=�`����fdfe���=�t���C�fdfe���=�T�����fdfe���=�������fdfe���=v���o �fdfe���=o"��G4�fdfe���=e���:�fdfe���=\V���y�fdfe���=TΟ��b�fdfe���=K����=�fdfe���=B���{N�fdfe���=;X��S�fdfe���=2x��*��fdfe���=)�����fdfe���="����2�fdfe���=)�����fdfe���=����l�fdfe���=��\Ԅfdfe���=���4.�fdfe���<����	��fdfe���<�*����fdfe���<�%���!�fdfe���<�8���z�fdfe���<�,��d��fdfe���<�p��;��fdfe���<�̟���fdfe���<�@��碄fdfe���<�����{�fdfe���<�>���x�fdfe���<����j4�fdfe���<����@�fdfe���<������fdfe���<�����B�fdfe���<�����ńfdfe���<�����f�fdfe���<���m̄fdfe���<�H��D$�fdfe���<�ȟ���fdfe���<{`���҄fdfe���<v韝���fdfe���<p����D�fdfe���<j���oT�fdfe���<fh��Cz�fdfe���<`z��m�fdfe���<Z����R�fdfe���<Vş��J�fdfe���<Q ����fdfe���<K���n̄fdfe���<H��B��fdfe���<B���3�fdfe���<=`���„fdfe���<84���^�fdfe���<5���Єfdfe���<0��l4�fdfe���<+(��?��fdfe���<(F���fdfe���<#����"�fdfe���<����b�fdfe���<d���~�fdfe���<���g��fdfe���<���:��fdfe���<`����fdfe���<
@���r�fdfe���<	8���V�fdfe���<:����fdfe���<c��`Ԅfdfe���;����3��fdfe�����;�Ο��fe����<��6�����G��32�fd0������-�����G��32�fdfe���F�����fdfe���F�����fdfe���Fq쟎�g�fdfe���FG����΄fdfe���F ���5�fdfe���E�⟎���fdfe���E�U����fdfe���E�X��fj�fdfe���E�⟎Lфfdfe���E���38�fdfe���Eg�����fdfe���EQ쟎�fdfe���E>����m�fdfe���E.���Ԅfdfe���E ���;�fdfe���E������fdfe���E����	�fdfe���E��fp�fdfe���EM��Lׄfdfe���E��3>�fdfe���EF����fdfe���E$���fdfe���E����s�fdfe���Ex���ڄfdfe���E ���A�fdfe���E."�����fdfe���E>ϟ���fdfe���EQ�fv�fdfe���Eg���L݄fdfe���E���3D�fdfe���E�埌��fdfe���E�`���fdfe���E�k���y�fdfe���E�䟋��fdfe���F ���G�fdfe���FGȟ����fdfe���Fqퟋ��fdfe���F�Ɵ�f|�fdfe���F�/��L�fdfe���G��3J�fdfe����]�����d���������]�����j����������D��I��^��㼍�I���j�����������������z��������5.��6�Mono�Y�drom��ty�2�pairings:��
������ӎ�h�
�5�;��f�i�����J��凉:�
��X�����J��S���n��X�����J���!��Z������I��h�
�5�;��f�i�����A��	苹:�
��X���z������_��:j��A���	u���n��X�����A���!��Z���*�6Comp�Y�onen��tt�2�groups:�������&�0�
��!��X�����J����!���Hom��ک(�X�����J�����;��1�Z�)��!�������J�Γ;p�����!��0������0�
��!��X�����A������_���h��!���Hom��ک(�X�����A�����;��1�Z�)��!�������A;p���\�!��0������6�Step�2�1.���F���\orm��tulas:��5.����6Lemma�2�4.2.���{���B�':
�3
cmti10�BL��p�et����x�
��2��X�����A������_���]��B,��y�o:�2��X�����A�����B.�	vThen��������h���d���z������D�����^��㼍�$����j��z������,��x;��1��d���z����$��y�d��i�����J��凉=��
�deg���c(��j�)�h�x;�y��i�����A�����:������6�BPr��p�o�of.���XON�This�B�is�a�direct�computation,�i�using�the�functorial�prop�M�erties�of�the��
����6ob���jects��fin��!v�olv�ed.�������x��h���d���z������D�����^��㼍�$����j��z������,��x;��1��d���z����$��y�d��i�����J��������=������W�h����z�������d���z������D�����^��㼍�$����j��z������,��x;��1y�d��i�����A�������������=������W�h���j��z������D����^��㼍�*���j��z������2�x;��1y�d��i�����A�����������=������W�h�(���D����^��㼍��������n���j�)���z������x;��1y�d��i�����A�����������=�������Wdeg���(��j�)�h�x;��1y�d��i�����A�����������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������C3�3������ufv�������6fv���홊����6�Prop�Y�osition�2�4.3.���� ٍ�����#�����A;p���\�=����������=�disc���n(���d���������D�����^��㼍�$����j��������,��X�����A������_���]��;��1��d�������$��X�����A����)��=ڟ㦉p e�.�
i���!O�deg��1�(��j�)����0�d������kP;�:���#����6�BPr��p�o�of.���XON�By��fthe�lemma�w��!e�ha�v�e�������v!disc���p�(���d���z������D�����^��㼍�$����j��z������,��X�����A������_���]��;��1��d���z����$��X�����A����)�
�=��deg���c(��j�)���z��d��N����n�disc����(�X�����A������_����;��1X�����A����)�:����6�No��!w��fuse�that����v�+#�����A;p���\�=�
�#���1cok��!er���
(�X�����A������_���h��!��X�����A����)�=��disc��Z;(�X�����A������_���]��;��1X�����A���)�:�������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������6�Prop�Y�osition�2�4.4.�������Fʹ#�����A;p���\�=���������=�[�X�����A��	苹:���D����^��㼍�
����j��������
��X�����A������_���]�]�n�����disc����(���d�������$��X�����A�����;��1��d��������X�����A���)��=ڟ㦉p �݈�
i���<��deg��Mb�(��j�)����0�d�������N��:���#����6�BPr��p�o�of.���XON�Using��fthe�form��!ula�from�the�previous�prop�M�osition�w�e�ha�v�e������qtJ#�����A;p����������=����������������disc����(���d���������D�����^��㼍�$����j��������,��X�����A������_���]��;��1��d�������$��X�����A����)�����㦉p e�.�
i���!O�deg��1�(��j�)����0�d��������� 'A��������=��������������[���d�������$��X�����A��	苹:�
����d���������D�����^��㼍����j��������,��X�����A������_���]�]�n�����disc����(���d�������$��X�����A�����;��1��d��������X�����A���)�����㦉p ����
i���H1rdeg��X�.(��j�)����0�d��������򟍑6�Note��fthat����d����������is�an�injection�so�it�do�M�es�not�c��!hange�the�index:�����-�[���d���z����$��X�����A��	苹:�
����d���z������D�����^��㼍����j��z������,��X�����A������_���]�]�=�[�X�����A��	苹:���D����^��㼍����j��z������
��X�����A������_����]�:�������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������6�Step�2�2.���Iden��ttify�������A;p���B�inside�of��X�����J�����:������6Prop�Y�osition�2�4.5.����������!������A;p�����������\�����l����\�=������Icok��!er��5%(�X�����J����!��
��Hom��ک(���d���z����$��X�����A�����;��1�Z�))������C34����n��ufv�������6fv���홊����6�BPr��p�o�of.���XON�Let���;j��H~��Ė��$�X�����J����?��denote�$the�image�of��X�����J��	�in��Hom���(���d�������$��X�����A�����;��1�Z�).�	V�W��ee�ha��!v�e�$the��
����6follo��!wing��fdiagram�with�exact�ro�ws�and�columns:��Y�����������>��0���
�����>���#���������0������#�����!�8!���<g��K����������#���>��#���)7���c�ʹ0������s)d�����y�y!�����;j���.�~��Ė���
 �X�����J����������=��������!������:�Hom���<(���d�������$��X�����A�����;��1�Z�)������#�����!�8!���;�%�W������V'������\��!�
��0����������#������������l���=��������~��#������������l���=�������>���#������c�ʹ0������s)d�����y�y!����ͮ�X�����A������_���������=��������!����ϓy�Hom���c{(�X�����A�����;��1�Z�)������#�����!�8!���6�m������A;p�������V'������\��!�
��0���������#������#���>��#���������0�������=��������!������0������#�����!�8!���=���L������>���#������>���0�������6The��fsnak��!e�lemma�implies�that�the�sequence��J����0�
��!��K��(�!��0��!��0��!��L��!��0����6is��fexact,�hence��K��(�=�
��L��=�0��fand�so��W����=�
������A;p��
���.����-1�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����7��6�Step�2�3.���Relate����d�������$��X�����A��q�to��V��Ȯ�f��w�:��ݹLet���ō���_�V��Ȯ�f���ƹ=�
��X�����J�����[�p��Ȯ�f��w�]�=����$|�����\���
�����t�2��Ann���ϴ�\r�A�E�tcmbx6�AT��E�(�f����)����/<.�k��!er��=ݒ(�t�)����X�����J���:��"S�6�By��fm��!ultiplicit�y�one�and��T�-in�v��dDariance�of����d�������$��,����͗W���d���z����$��X�����A��	���
��V��Ȯ�f��w�;����6�and��fthe�index�is�nite.���Let�����.�m�
��=�[�V��Ȯ�f���ƹ:����d���z����$��X�����A����]�:����G�The�.	discriminan��!t�expression�of������A;p�����is�\homogeneous�of�degree�2�in��V��Ȯ�f��w�":��������6�Prop�Y�osition�2�4.6.���������V�#�����A;p���\�=�����cݍ�=�[�X�����A��	苹:���D����^��㼍�
����j��������
��X�����A������_���]�]�n����m�����2��.�����disc����(�V��Ȯ�f��w�;��1V��Ȯ�f���)��=ڟg�p �2p�
i���8yideg��I
%(��j�)����0�d��������}�:��������6�BPr��p�o�of.���XON�Note��fthat������6�disc����r(���d���z����$��X�����A�����;��1��d���z�����X�����A���)�
�=��m���z��2����5�disc����(�V��Ȯ�f��w�;��1V��Ȯ�f���)�:����6�No��!w��fuse�(4.4).����M�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������C35����x�ufv�������6fv���홊��G�The��fcok��!ernel�expression�for������A;p��(�is�\homogeneous�of�degree�1�in��V��Ȯ�f��w�":��������6�Prop�Y�osition�2�4.7.����&������#�����A;p���\�=�
��m�n����#���1cok��!er���
(�X�����J����!���Hom��ک(�V��Ȯ�f��w�;��1�Z�))�:������6�BPr��p�o�of.���XON�Use��f(4.5)�and�prop�M�erties�of�cok��!ernels.�����S�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����m��6�Step�2�4.���Cancel��m�:������6Prop�Y�osition�2�4.8.������iM/�#�����A;p���\�=����������E|deg��'�i���j����d���=ڟ㦉p >�͟�ƍ�[�X�����A��	苹:���D����^��㼍�
����j���0�����
��X�����A������_���]�]�����F}�������cݍ���#���1cok��!er���
(�X�����J����!��
��Hom��ک(�V��Ȯ�f��w�;��1�Z�))�����2�����g�p �
����(�-�disc��;�(�V��Ȯ�f��w�;��1V��Ȯ�f���)�������.����6�BPr��p�o�of.���XON�Let��f�c�
��=�#�����A;p��
���.���Using�(4.6)�and�(4.7)�w��!e�obtain���O���H��c�
��=���������=��c�����2���=ڟ㦉p 	}�
���`�c������ҹ=�����cݍ�=��m�����2��.���n�#���1cok��!er���
(�X�����J����!���Hom��ک(�V��Ȯ�f��w�;��1�Z�))�����2���=ڟg�p �4y��񍍍�����[�X��X.�A��^�:���㎍�`�^��r����L̟��������d��X��L��A���G�_����\�]��m�������Aa�cmr6�2��*����disc��6�(�V��i?�f��ʫ�;V��i?�f���)����t*�p j T��獍�'�deg��3��(��L��)������d����������$zg��6�Cancelling��fthe��m�����2����'s�giv��!es�the�form�ula.�����d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������6�Step�2�5.���Analyze���deg���I(��j�)�:������6Prop�Y�osition�2�4.9.����������������ā�deg���X=(��j�)�����d����i�㦉p >�͟�ƍ�[�X�����A��	苹:���D����^��㼍�
����j���0�����
��X�����A������_���]�]�������=�
�[�X�����A������_���h��:����j��z����*�X�����A����]��.r����6�BPr��p�o�of.���XON�W��ee��fha��!v�e��&������z�	deg���W�(��j�)���z��d���������=��������[�X�����A��	苹:��
�deg���c(��j�)�X�����A����]������������=��������[�X�����A��	苹:���D����^��㼍�
����j��z������
��X�����A������_���]�]�n����[���D����^��㼍���j��z������
��X�����A������_���h��:���D����^��㼍�
����j��z���������j��z����*�X�����A������_���]�]����������=��������[�X�����A��	苹:���D����^��㼍�
����j��z������
��X�����A������_���]�]�n����[�X�����A������_���h��:�
����j��z����*�X�����A������_����]������6The�#last�step�uses�that���D���^��㼍����j��������>>�is�injectiv��!e.�	<No�w�#divide�b�M�oth�sides�b��!y�[�X�����A��UĹ:��
������D��6��^��㼍�6���j��������@��X�����A������_���]�].���:��d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����m��GPutting��fev��!erything�together�w�e�obtain��7z��YJ�#�����A;p���\�=���������=�#���1cok��!er���
(�X�����A��	��!�
��X�����A������_���]�)�n����#���1cok��!er��(�X�����J����!��
��Hom��ک(�V���;��1�Z�))�����2���=ڟ㦉p ��/�
����[�k�disc��n�(�V��Ȯ�f��w�;��1V��Ȯ�f���)������F<�:��^��6�Th��!us��fto�pro�v�e�the�theorem�it�remains�only�to�sho�w�that������#���1cok��!er���
(�X�����A��	��!�
��X�����A������_���]�)�=�����f�p���
�ܟ�f�p _��	嚍��deg����(��j�)����,]��:����6�Step�2�6.���Analyze�cok��ternel�of����j������*�:������C3�6�����Ѡufv�������6fv���홊����6�Theorem�2�4.10.�����������#���1cok��!er���
(�X�����A��	��!�
��X�����A������_���]�)�=�����f�p���
�ܟ�f�p _��	嚍��deg����(��j�)����,]��:������6�BPr��p�o�of.���XON�The�y<construction�of�Neron�mo�M�dels�comm��!utes�with�unramied�base��
����6extension.�כSince���Pord���},��z�p��D��(�N�1��)���=�1��Pw��!e�can�pass�to�an�unramied�extension�of����6�Q���z�p����so���that��A��has�univ��!ersal�co�v�er��G������d���A�m���Ĺ.��GApplying�the�Ra�ynaud-v��dDan�der�Put����6theorem��fw��!e�obtain�an�exact�comm�utativ�e�diagram�of�rigid�analytic�spaces:��N=���ɓ��	�0�����0���
������	��#�����#������q�߹0����
������	��!����A�0�������ݱ��������!�����^�X�����A��������������!�����O�X�����A������_��������������!Ц!���6���L������H7������N�!�
��0�������A�#����	�#�����#���7��#���
�����q�߹0����
������	��!�������������ݱ��������!���Ł��G������d���A�m���������������!����"��G������d���A�m��������������!Ц!���7��0������H7������N�!�
��0�������A�#����	�#�����#���7��#������q�߹0����
������	��!�����j�K�������ݱ��������!���ƕ��A�����_��������������!���L=�A������������!Ц!���7��0������H7������N�!�
��0�������	��#�����#�������	��0�����0�����N➍�6where�`:all�maps�are�induced�b��!y�the�map����t�:�@]�A�����_��
k
�!��A�,���so�`:�K�޹=��Ker���m(��j�)�and����6�L�`�=��cok��!er��X�(�X�����A��=��!��X�����A������_���]�).�D|Applying�sFthe�snak��!e�lemma,��}with�the�connecting����6map��fgoing�from��K�n�to��L�,�w��!e�obtain�the�exact�sequence�������^40�
��!����!��K��(�!��L��!��0�:����G�No��!w��4compute�the�1-motiv�e�dual,��i.e.,��M��1�����0��q��=��q�Hom��A�(�M���;��1�G���z�m��Ĺ),�of��4the�ab�M�o�v�e��
����6exact��fdiagram�to�obtain:��2�����Ɂ���nѦ0�
�� �����,���������$�0����ݱ� �����,�����������G������d���A�m�������=� �����,����������G������d���A�m������� �����,�������6���L�����0����K�� �����,�����	���0���
�������$�"����}O"���?"���9(	"������nѦ�0�
�� �����,��������7������0�����ݱ� �����,�������Ł��X�����A������_�������=� �����,����������X�����A������ �����,�������9(	�0���K�� �����,�����	���0��������$�"����}O"���?"���9(	"��������1�K��ȁ����0�����ݱ� �����,��������}O�0�����=� �����,�������?�0����� �����,�������9(	�0�����4�ݍ�6Here�:�A�����0����=�
��A��=�0,�3�(�G������d���A�m���Ĺ)�����0���=��X�����A��	��or�:�X�����A������_���]�.��$Note�that�dualizing�is�not�in�general����6exact,��fthough�it�is�exact�on�the��X�����A��
�J�and��G������d���A�m����*�parts.������C37�����ܠufv�������6fv���홊��G�Adding��fin�the�cok��!ernels�at�the�top�giv�es:��N=���ɓ��,�0����y0���
������,��"����y"�������^^�0������� �����,���������#�A����w� �����,�������Y��A�����_������� �����,�������5s�K��ȁ����0����LV�� �����,�����	���0�������^^�"����,�"����y"���9("���
�����m��0�
�� �����,��������^^�0������� �����,�������Ƥ��G������d���A�m������w� �����,��������E��G������d���A�m�������� �����,�������6���L�����0����LV�� �����,�����	���0�������^^�"����,�"����y"���9("������m��0�
�� �����,��������湹�����0�������� �����,��������15�X�����A������_������w� �����,���������$�X�����A������� �����,�������9(�0���LV�� �����,�����	���0�������^^�"����,�"����y"��������k�K��ȁ����0�������� �����,��������,��0����w� �����,��������y�0�����N>��6All��fof�the�maps�in�this�diagram�are�induced�b��!y�������a\���j��z��_��	�n�:�
��A���z��_��	5W�!��A:����6�But����
�is�induced�b��!y�the�canonical�p�M�olarization�of�the�Jacobian��J���z�0����(�N�1��),��jso��
����6���j����_��!�=����j�.���This��His�the�same�diagram�as�b�M�efore,��@but�view��!ed�from�a�dieren�t����6p�M�oin��!t��fof�view!���Th�us:���������Az�K��ȁ��z��0�������$��=�������@�K������������L���z��0�������$��=�������@��������Ҽ���z��0�������$��=�������@�L�������6�If��Q�G��is�a�nite�group�sc��!heme�then�#�G��ع=�#�G�����0���9�.�מTh�us��Qthe�exact�sequence��
����60�
��!����!��K��(�!��L��!��0��ftogether�with�the�ab�M�o��!v�e��fequalities�yields������#�K��(�=�
�#�L�n����#�=�#�L����#�L���z��0����=�(#�L�)���z��2����:����6�This��fcompletes�the�pro�M�of.�����d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������6�Question�2�4.11.����p
�In��the�pro�M�of�w��!e�determined�the�structure�of��cok�er����(�X�����A��
���!����6�X�����A������_���]�)�/hin�terms�of�the�ab�M�elian�group��Ker���x(��j�).��3It�is�p�ossible�to�compute��Ker���x(��j�)����6explicitely�}4hence�it�also�p�M�ossible�to�compute��cok��!er��v(�X�����A��	��!�
��X�����A������_���]�).�z�Is�it�p�ossible����6to��someho��!w�use�this�to�obtain�the��Bstructur��p�e��of������A;p��
���,���instead�of�just�the�order?��"�A���6�5��NL�Examples��q���6�[a��fcouple�of�explicit�w��!ork�ed��fexamples�illustrating�v��dDarious�principles]������C38����	���ufv�������6fv���홊���6�6��NL�T���fables��q���6�[table��fof�all��c���z�p��mùfor�lev��!el���
��100.]��
����G[table��fof�supringsly�LAR��!GE��c���z�p���]�.]����G[table�y�of�analytic�orders�of����hV1
wncyr10�X����for�all��A��Ȯ�f����of�rank�0�and�prime�lev��!el���
��1500.]����6The��ftable�will�essen��!tially�lo�M�ok�lik�e:�����d������6��յ�ff���	�����ͤ}�
��ff��Ο���f�/ߝ��
��ff����Ao9�o�M�dd��Sa](�L�(�A��Ȯ�f��w�;��1�1)�=�
(�A��Ȯ�f���))��͟}�
��ff�����v�n��!umer��ћ(((�N�����n�1)�=�12)��͟}�
��ff����:��deg��K/�(��j�)�$~��}�
��ff����e�c���z�p��K��}�
��ff���z�ff����ff���	�{����ͤ}�
��ff�����389E20�
z졄
��ff���g��5�����2����=�97�+}C�}�
��ff����6�97�.���}�
��ff���;�F5�����2��.���n�2�����?��*"��}�
��ff�������97��͟}�
��ff���
������ͤ}�
��ff�����433D16����
��ff���g|z�7�����2����=�3�����2��0��}�
��ff���ӂ{�2�����2��.���n�3�����2��*���}�
��ff���&�X�3�����2��.���n�7�����2�����37�����2�����2�����?��C��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff�����563E31�
z졄
��ff���a��13�����2����=�281�&��}�
��ff����y�281�+�0�}�
��ff���8�y13�����2��.���n�2�����?��'e��}�
��ff����m��}�
��ff���
������ͤ}�
��ff�����571D2�du��
��ff���i�|�3�����2����=�1�.:�}�
��ff���Յ�5�n����19�'��}�
��ff���-c2�����4��.���n�3�����4�����127�����2����}�
��ff����j��1����}�
��ff�������ͤ}�
��ff�����709C30�����
��ff���db�11�����2����=�59�(�v�}�
��ff����6�59�.���}�
��ff���8�y11�����2��.���n�2�����?��'e��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff�����997H42����
��ff���g��3�����4����=�83�+}C�}�
��ff����6�83�.���}�
��ff���}z��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff��Ο���1061D46��͡�
��ff���V��151�����2����=�(5�n����53)�w�}�
��ff���Յ�5�n����53�'��}�
��ff����$61�����2��.���n�151�����2�����179�����2�����2�����?��
P_�}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff��Ο���1091C62�\ڡ�
��ff���Yo��7�����2����=�(5�n����109)��D�}�
��ff������5�n����109�%"�}�
��ff���D�W2�����?��33��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff��Ο���1171D53��͡�
��ff���R���11�����2����=�(3�n����5����13)�6�}�
��ff����ԣ3�n����5����13�!*�}�
��ff���}z��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff��Ο���1283C62�\ڡ�
��ff���db�5�����2����=�641�(�v�}�
��ff����y�641�+�0�}�
��ff���}z��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff��Ο���1429B64�䡄
��ff���\,}�5�����2����=�(7�n����17)� ��}�
��ff���Յ�7�n����17�'��}�
��ff���}z��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff��Ο���1481C71�\ڡ�
��ff���Yo��13�����2����=�(5�n����37)��D�}�
��ff����ԣ2�n����5����37�!*�}�
��ff���}z��}�
��ff����m��}�
��ff�������ͤ}�
��ff��Ο���1483D67��͡�
��ff���P^��3�����2��.���n�5�����2����=�(13����19)��4�}�
��ff������13�n����19�%"�}�
��ff���}z��}�
��ff����m��}�
��ff���z�ff��鎎��y�Y��6�References������6�[K]���{�D.��Kohel,�F��BHe��p�cke�ymo�dule�structur�e�of�quaternions�,�F�preprin��!t,����{�(1998).��������6[M]���{�J.F.���Mestre,���BL��p�a�Dm��\����etho�de�des�gr�aphs.�Exemples�et�applic�ations�,����{�T��eaniguc��!hi�'�Symp.,�APro�M�ceedings�of�the�in�ternational�conference����{�on���class�n��!um�b�M�ers���and�fundamen��!tal�units�of�algebraic�n�um�b�M�er����{�elds���(Katata,�Ż1986),�217{242,�Nago��!y�a�Univ.,�ŻNago�y�a,�(1986).������6[S]���{�W.A.���Stein,���BThe���Mo��p�dular�Polarization�of�a�Quotient�of����{��J���z�0����(�N�1��),��fin�preparation,�(1999).������C39�����(���;�ufv�
	�B�':
�3
cmti10�A�E�tcmbx6�@2�@�cmbx8�?�"V
�3
cmbx10�<�%n�
�3
eufm10�;���
�3
msbm10�9��u
�3
cmex10�8!",�
�3
cmsy10�7�b>
�3
cmmi10�6��N�ffcmbx12�4�"V

cmbx10�3ߤN		cmtt9�-o���		cmr9�#q�%cmsy6�"�K�cmsy8�!;�cmmi6� �2cmmi8��Aa�cmr6�|{Ycmr8���g�G�cmmi12�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17��hV1
wncyr10�K�`y
�3
cmr10��O�

line10����������