Sharedwww / Tables / compgroup.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.06.11:0856������y�����?������>�K�`y

cmr10�Preprin���t�UU(June�11,�1999),�V��*�ersion�0.5��PG��>���N�G�cmbx12�Comp��=onen��u�t�z�groups�of�optimal�quotien�ts��\'��>of�z�Jacobians���ꨍ�>�X�Qcmr12�W.A.��Stein����>�o���		cmr9�Departmen��9t�Tof�Mathematics,�Univ�ersit�y�of�California,�Berk�eley��:�,�CA�94720,�USA��!B��>���N�ffcmbx12�In���tro�s3duction�����>�Let����
�b>

cmmi10�A��b�Ge�an�ab�elian�v��q�ariet���y�o�v�er�a�nite�extension��K����of�the��p�-adic�n�um�b�Gers���"V

cmbx10�Q����	0e�rcmmi7�p���R�.����>Let����
!",�

cmsy10�O�衲b�Ge�the�ring�of�in���tegers�of��K���,��{�&�%n�

eufm10�m��its�maximal�ideal�and��k���=���O��=�m��the�residue����>class���eld.�dOThe�N�����Geron�mo�Gdel�of��A��is�a�smo�oth�comm���utativ�e���group�sc���heme��A����>�o���v�er�UU�O��r�suc�h�that��A��is�its�generic�b�Ger�and�satisfying�the�prop�ert���y:����>the�UUrestriction�map��룍�����Hom����W���O!�cmsy7�O���ek�(�S�T;����A�)�����������!����Hom����q���K��R$�(�S�=K�(�;�A�)����>is��bijectiv���e�for�all�sc�hemes��S����o�v�er��O�G�.�\�The�sp�ecial�b�er��A����k��䔲is�a�group�sc���heme����>o���v�er�x��k�P��,��hwhic�h�need�not�b�Ge�connected.�ێDenote�b�y��A���^���ٓ�Rcmr7�0��v��k���d'�the�connected�comp�Gonen�t����>con���taining�UUthe�iden�tit�y��*�.�q�There�is�an�exact�sequence��룍��d�0�����������!��A�������0���፴k�������������
�!�A����k������������!������A�����	J������g!��0����>with�C����A��	�Ӳa�nite��&��Getale�group�sc���heme�o�v�er��k�P��,��i.e.,�a�Cnite�ab�Gelian�group�equipp�ed����>with�UUan�action�of��Gal���W(����
�fe�V�$���k����V=k�P��).����MIn�Dnthis�pap�Ger�w���e�study�the�group�����A��	���with�particular�emphasis�on�quotien�ts����>�A�,��of�Jacobians�of�mo�Gdular�curv���es��X����0��|s�(�N��).���When��A��has�semistable�reduction����>Grothendiec���k�mdescrib�Ged�the�comp�onen���t�group�in�terms�of�a�mono�drom���y�pairing����>on�5-certain�free�ab�Gelian�groups.�OWhen��A�<)�=��J�+f�is�5-the�Jacobian�of��X����0��|s�(�N��),�m#this����>pairing�^can�b�Ge�explicitly�computed,��hence�so�can�����J�����,�as�has�b�Geen�done�in�man���y����>cases�3�in�[�Maz77���v]�and�[�Edi91��#�].�
kSupp�Gose�no���w�that��A��is�a�simple�quotien�t�of��J����>�and��Zthat�the�k���ernel�of�the�map��J���!��ɵA��is�connected.�?�There�is�a�natural�map����>����J���L�!�:������A�����.�A�In���this�pap�Ger�w���e�giv�e�a�form�ula�whic�h�can�b�Ge�used�to�compute�the����>image�UUand�the�order�of�the�cok���ernel.����MW��*�e�/�no���w�state�our�main�result�in�more�precise�language.�eMSupp�Gose���"�:���J��Q�!��A����>�is��(an�optimal�quotien���t,��with��J��a�a�semistable�Jacobian�and��A��purely�toric.�'AW��*�e����>express�wthe�comp�Gonen���t�group�of��A��in�terms�of�the�mono�drom���y�pairing�asso�ciated����>to�I�J��9�.�MLet��m����A��
��=���]_��s0���u

cmex10�p���]`��s0�fe" ��Ѝ��deg��#�(�����A�����)����4�where������A���:�]_�A���^��0��+��!��A�I�is�induced�b���y�the�canonical����>principal��0p�Golarization�of��J��9�.�
YLet��X����J��	�b�e�the�c���haracter�group�of�the�toric�part�of������1����*�y�����?������>�the�|sp�Gecial�b�er�of��J��9�.���Let��L��b�e�the�saturation�of�the�image�of��X����A��	���in��X����J�����.���The����>mono�Gdrom���y�lBpairing�denes�a�map���В�:���X����J��\ȸ!���Hom���q(�L�;����Z�).�$Let�lB����X��
f�b�e�the�cok���ernel����>of�����	p�and��m����X��}��=��x[��	z�(�X����J�����)�:����(�L�)]���b�Ge�the�order�of�the�nite�group����(�X����J�����)�=��(�L�).����>W��*�e�UUpro���v�e�that��5�������<$���h��j�����A�����j���h��w�feJ��	(֍����m����A������䭙�=�����<$���K�j�����X���$�j���K�w�feaB�	(֍����m����X���������:��Mύ�>�More�1�precisely��*�,�8�����X��
�
�is�the�image�of�����J��\ȸ!�������A��	�v�and�the�cok���ernel�of�����J���!�������A��	�v�has����>order��~�m����A�����=m����X���$�.�bAIf�the�optimal�quotien���t��J�B�!�L��A��arises�from�a�mo�Gdular�form�on����>����0��|s�(�N��),�,�then�"�the�quan���tities��m����A�����,��m����X��
��and�����X���can�b�Ge�explicitly�computed,�,�hence����>so���can��j�����A�����j�.��<Ha���ving�done�this,��pw�e�presen�t�some�tables�and�conjectures�whic�h����>they�UUsuggest.����M�Ac��9kno�wledgemen�t:�
%��I�*�am�+deeply�grateful�for�con���v�ersations�+with�A.�A-����>gashe,�R�R.�RColeman,�B.�Edixho���v�en,�R�D.�Lorenzini,�B.�Mazur,�L.�Merel,�K.�Rib�Get,����>and�UUS.�T��*�ak��q�ahashi.��!č��>�1��VL�Optimal�ffquotien���ts�of�jacobians�����>�Let���J�z�b�Ge�a�Jacobian�equipp�ed�with�its�canonical�principal�p�olarization������J�����.��zAn����>�optimal�nVquotien��9t��Ʋof��J����is�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y��A��and�a�surjectiv�e�map���"�:���J��Q�!��A����>�whose�[�k���ernel�is�an�ab�Gelian�sub�v��q�ariet�y��B��2�of��J��9�.��Denote�b�y��J���9��^��0�� 3�and��A���^��0��)��the�ab�Gelian����>v��q�arieties���dual�to��J���and��A�,�� resp�Gectiv���ely��*�.�.�Dualizing���竲and�comp�osing�with�����^����0��b��J���\Ȳ=�������J���7���>�w���e�UUobtain�a�map��A���^��0�����T΍��d���@L���r���0ncmsy5�0����2�������Q������
W!�����p�J���9��^��0�����6	�����m�O
�\cmmi5�J�������������������!������J��9�.������>�Prop�Q�osition��T1.1.����?�A���^��0���Q�!���J�� �)�':

cmti10�is���inje��}'ctive.������>Pr��}'o�of.���]UI�Since�,J�����J�����is�an�isomorphism�it�suces�to�pro���v�e�,Jthat����[ٟ�^��0��V\�is�injectiv���e.�dSince����>the�r"dual�of����[ٟ�^��0���4�is�(���[ٟ�^��0��*�)���^��0���P�=�������and����is�surjectiv���e,�yU���[ٟ�^��0���4�m�ust�r"ha�v�e�nite�k�ernel.��-Th�us����>�A���^��0��p��!��L�C�Yh�=��im����(���[ٟ�^��0��*�)�rvis�an�isogen���y��*�.��)Let��G��denote�the�k�ernel,���and�dualize.��)By����>[�Mil86����,�UU�x�11]�w���e�ha�v�e�ha�v�e��������������]FI�ꪵG������������#�����5D

xycmat10�/��5D

xycmbt10�/������h#���2�fd����������#�BH�A���^��0����������������*����/�/����*����/�/�������qO���2�fd���������������
���@L���r�0�����������������D�BH� � �����������Hu��G��6δ

xydash10�A�����������A�d�A����������
���A����������^ٟ�HA��������������A����������q���A����������u=�BIA�������������*�ꪵC������������O�BH�����������BH�W�fd����������qO�&�صJ���9��^��0���������������T΍���}�dualize���2������؈j�����������������������>������������������������������������������?_!�������������!��ꪵA�������������G1��C�����������,1����o�o������,1���2�fd�����������m��BH�G���^��0�������������R�����o�o������R����2�fd��������G�j�&��J���������������N M���'�������������K M�꪿O�O������J��BH�W�fd����������0n˟��������������+�k�꪿_�_����������+�k��;�?���������.�՟�??���������2?�	�C?���������5���G?���������8+��K?���������;9}��O?���������>G��S?���������AVQ��W?����������<Kh��>�with�
��G���^��0��ۼ�the�Cartier�dual�of��G�.��QSince��G���^��0���is�nite,��;�k���er���(�'�)������k���er��V�(��[ٲ)�
�is�of�nite����>index.�X
Since��'k���er��d�(��[ٲ)�'is�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y�it�is�divisible.�Th���us��k�er��d�(�'�)��=��k�er��#�(��[ٲ)�'so����>�G���^��0���Q�=��0�UUand�hence��G��=�0.����.>��ff����d�ff�Y��ff����ff��������2����
��y�����?������>�W��*�e���denote�the�map��A���^��0���ո!�#��J���b���y����[ٟ�^��0��*�.�OThe�k�ernel�of������A��
h�measures�the�in�tersection����>of�UU�A���^��0��#��and��B�G��=���k���er��#�(�����A�����)�inside�of��J�K��as�sho���wn�in�the�follo�wing�diagram.��
��������������L�BH�A���^��0���\�8�B�������������D*����/�/�������D+���2�fd��������Ճ��BH���������P��BH�fd��������D*�ꪵB�����������OF��������������<fd����������\��&�صA���^��0����������������*ڟ ����5D

xybsql10��������������������������� ����@L���r�0���������������c�#��/�/������ݪ؟#7„fd"c�������������D��=wz���m�A�����������������F�C�#�#������������E�@�G����������Ҹ�=)�G����������+�:PJG����������Y��7v�G�����������4��G�����������1�NG����������#��.��G����������gj�,�G���������ݪݟ)8RG������������c�&o:�J���������������	OF�7д�������������OF�A�ؿ��������A�؄W�fd���������F�K�,�A�����������^09��M�Because�������A��
�I�is�a�p�Golarization,�I��j�����k���er��(�����A�����)�j��is�a�square�[�Mil86����,�Theorem�13.3].����>The�UU�congruence��Tmo�Q�dulus��is�the�in���teger�����B�m����A��	J��=�������5�p�������5�fe'�ʟ		ˍ�j�����k���er��(�����A�����)�j����4X�:�� �����>�2��VL�The�ffsp�s3ecial�b�er�of�the�N��U��Aeron�mo�del�����>�Let���K���b�Ge�a�nite�extension�of��Q����p���O�with�ring�of�in���tegers��O�a�and�residue�class�eld����>�k�P��.���Let��I�A=K�ze�b�Ge�an�ab�elian�v��q�ariet���y�and�denote�its�N���Geron�mo�Gdel�b�y��A�.���Let�����A�����>�b�Ge�vgthe�group�of�connected�comp�onen���ts�of�the�sp�ecial�b�er��A����k��됲.���This�group�is�a����>nite�����Getale��group�sc���heme�o�v�er��k�P��,��i.e.,�a��nite�ab�Gelian�group�equipp�ed�with�an����>action�UUof��Gal���W(����
�fe�V�$���k����V=k�P��).�q�There�is�an�exact�sequence�of�group�sc���hemes�����:/0���!�A�������0���፴k������!�A����k���!������A��	J��!��0�:����>�The�8�group��A���^���0��v��k���	$P�is�an�extension�of�an�ab�Gelian�v��q�ariet���y��B����of�dimension��a��b�y�the����>pro�Gduct���of�a�torus��T��t�of�dimension��t��and�of�a�unip�oten���t�group��U���of�dimension��u�:�����a�0���!�U�7�8�T�Q�!�A�������0���፴k������!�B��!��0�:����>�The��ab�Gelian�v��q�ariet���y��A��is�said�to�ha�v�e��purely�/%toric��reduction�if��t��E�=��dim����A�,����>and���is��semistable��if��u�k�=�0.�^The���c���haracter�group��X����A��	���=��kHom����(�T����;����G����m�����)�is�a�free����>ab�Gelian��kgroup�of�rank��t��con���tra�v��q�arian�tly��kasso�ciated�to��A�.�P$If��A��is�semistable�there����>is�UUa�mono�Gdrom���y�pairing��X����A���p��8�X����A����0�����!���Z��and�an�exact�sequence������|0���!��X����A����0�����!���Hom���q(�X����A�����;����Z�)��!������A��	J��!��0�:��� �����>�3��VL�Rigid�ffuniformization�����>�In�[�this�section�w���e�review�the�rigid�analytic�uniformization�of�a�semistable�ab�Gelian����>v��q�ariet���y��o�v�er�a�nite�extension��K���of�the�maximal�unramied�extension��Q���^���ur��፴p���q�of����>�Q����p���R�.�SW��*�e��Fuse�this�to�pro���v�e��Fthat�if��A��is�purely�toric,��and�����:��A���^��0���Q�!��A��F�is�an�isogen���y�,����>then�������deg���;(��)��=��j�����cok���er��x�(�X����A��	J��!��X����A����0���	8�)�j������2��|s�:��?;��>�W��*�e�UUalso�pro���v�e�UUa�few�lemmas�ab�Gout�the�c���haracter�groups��X����A�����.������3�����y�����?�������>�*��N�cmbx12�3.1��\�Ra��ynaud-v��@an��der�Put�uniformization��uT����>�Theorem��T3.1�(Ra��9ynaud,�v��\ran�der�Put).���q��If�$ҵA��is�a�semistable�A���b��}'elian�vari-����>ety,�N�its�={universal�c��}'overing�is�isomorphic�to�an�extension��G��of�an�ab�elian�variety����>�B�*��with��wgo��}'o�d�r�e�duction�by�a�torus��T�c��,��the�c�overing�map�fr�om��G��to��A��is�a�homo-����>morphism���and�its�kernel�is�a�twiste��}'d�fr�e�e�A���b�elian�gr�oup����of�nite�r�ank.����M�This�UUma���y�b�Ge�summarized�b�y�the�follo�wing�diagram,������������������������������꪿���������y�ꪄfd���������跟%���T������������$E�"UT�/�/�������$F�"���fd�����������$E�%���G�����������	�"UT�/�/��������"���fd���������@������������y�@���fd���������%���B��������������R��J�RA�����������_���>�whic���h��w�e�call�the��uniformization�&�cross��of��A�.�E�The�group��can�b�Ge�iden�tied����>with�\�the�c���haracter�group��X����A��	�!�of�the�previous�section.��|The�uniformization�cross����>of�UUthe�dual�ab�Gelian�v��q�ariet���y��A���^��0��#��is��������������勎�BH���^��0����������������BH����������y�BH�fd�����������a�&�صT��c���^��0��������������)�#��/�/������ɽ)�#7„fd����������)�&�صG���^��0�������������
h-�#��/�/�������h.�#7„fd�����������A�ؿ���������y�A�؄fd���������
h-�&�صB���q��^��0�����������������뎟LKh�A���^��0�������������a����>�where�����^��0��}��=���rHom����(�T��V;����G����m�����)�and��T��c���^��0���:�=���rHom��(�;����G����m�����)�and�the�morphisms����^��0��}��!��r�G���^��0�����>�and��1�T��c���^��0�����!��۵G���^��0���j�are�the�one-motiv���e�duals�of�the�morphisms��T��j�!��G��and���!��G�,����>resp�Gectiv���ely��*�.�q�F�or�UUmore�details�see�[�Col99��].������>�Example���3.2�(T��;�ate�curve).������If��ֵE���=�Q����p���(�is�an�elliptic�curv���e�with�m�ultiplicativ�e�re-����>duction��6then�the�uniformization�is��E���=�O��G����m�����=q��[ٟ�^��$f$�cmbx7�Z��
	t�where��q��g�=��q�[ٲ(�j����)�is�obtained�b���y����>in���v�erting�UUthe�expression�for��j���as�a�function�of��q�[ٲ(�z�p��)��=��e���^��2��@Liz��Y��.���6���>�3.2��\�Some��lemmas��uT��>�Let�UU��"�:���J��Q�!��A��b�Ge�an�optimal�quotien���t,�with��J�K��semistable�and��A��purely�toric.������>�Lemma��T3.3.���}���The���map������J��\ȸ!�������A��
w�induc��}'e�d���by������is�surje��}'ctive.������>Pr��}'o�of.���]UI�Because�X�G����J��is�simply�connected,�Yǵ����induces�a�map��G����J��b��!���T����A��	�t�and�a�map����>����J��	I��!�������A�����.�Because��p��?I�is�surjectiv���e�and��T�c��(�A�)�is�a�torus,��the�map��G����J���!���T����A��
g�is����>surjectiv���e.�S�The��*snak�e�lemma�applied�to�the�follo�wing�diagram�giv�es�a�surjectiv�e������4����-J�y�����?������>�map�UUfrom��B�G��=���k���er��#�(��[ٲ)�to��M��3�=���cok���er���S(����J��\ȸ!�������A�����).��*��������������Y'�*�����J���������������=����/�/�������.؟��2�fd�e�������C�������������͟���fd�����������=�*������A��������������͟���/�/��������Ο��2�fd���������_������������+ӟ���fd���������͟ꪵM�����������7�w����/�/�������w���2�fd������&"��o�����������o���fd��������:�w���0������������������&��G����J��������������1=�#�R�/�/��������=�$��fd4�������C��B�����������͟B���fd����������1=�&��T����A��������������_�B�����������+ӟB���fd�������"�#�R�/�/��������͟$��fdU���������"�'5�0��������������t��L�O�B�������������Ij��/�/��������ŸI�ׄfdxZ����������L�O�J����������������Z˟Fj�����������������Ij��/�/������Ȅ�I�ׄfd"����������L�O�A�����������a���>�Because�%f���?�is�optimal,�.��B��ײis�connected�so��M�<��m���ust�also�b�Ge�connected.�a�Since��M��is����>discrete�UUit�follo���ws�that��M��3�=��0.���̎��ff����d�ff�Y��ff����ff�����6���>�3.3��\�Purely��toric�ab�`elian�v��@arieties��uT��>�Assume���that��A��is�purely�toric.���Then��B��{�=�*
0,��and�the�uniformization�cross����>b�Gecomes��������������`���������������꪿��������LΟꪄfd����������9�%���T�������������@�����������LΟ@���fd�����������J�R�A�����������\⍑>�Let�dj�'��:�:��A���^��0���s�!��A��b�Ge�a��symmetric��isogen��9y�,�h/i.e.,��'���^��0���s�:��:�A���^��0���!��(�A���^��0���9�)���^��0���=��A�dj�is�equal�to����>�'�.�q�Denote�UUb���y��'����t��Ln�:���T��c���^��0����!��T���and�UU�'����a�����:����^��0���Q�!���the�induced�maps.������>�Prop�Q�osition��T3.4.����?�Ther��}'e���is�an�exact�se�quenc�e�������0���!���k���er��#�(�'����t���V�)��!���k���er��(�'�)��!���cok���er���S(�'����a���p�)��!��0�;����>�and����k���er���Z(�'����t���V�)����is�dual�to���cok���er��b"(�'����a���p�)�.������>Pr��}'o�of.���]UI�Since�UU�'��is�an�isogen���y�w�e�ha�v�e�the�follo�wing�diagram:��qǍ���������������0�������������r����/�/�����������2�fd%�Ȏ�������������������jw����fd�����������r�BH����^��0��������������%�����/�/�������嬟��2�fd@�������^�������������+]����{pfd���������%��ꪲ����������������/�/�������e����2�fd���������E��V���������z�V�*�fd������������cok���er��1��(�'����a���p�)������������0�G��������/ʹ�G��fd������������(�k���er���`S�((�'����t���V�)�������������Y��%��/�/�������7r�%�2�fd"9����������E����������jw�E��fd����������Y��)BH�T��c���^��0��������������^��F�����������+]�F���{pfd��������%��/�/�������cs�%�2�fdDr�����������(ꪵT�����������*��%��/�/��������t�%�2�fd*�r�������E��GV���������z�GV�*�fd��������-��(��0����������������Ƌ�Pk���er���"��P(�'�)�������������7r�M��/�/�������tǟM�2�fd«����������7r�QBH�A���^��0������������������0ޟI#��'�������������򅬟M��/�/������څ��M�2�fd������������PꪵA�����������gqǍ�>�The�U�snak���e�lemma�then�giv�es�the�claimed�exact�sequence.�sGF��*�or�the�second�asser-������5����9�y�����?������>�tion�UUobserv���e�that�the�one-motiv�e�dual�of�the�diagram�������������������BH���^��0��������������s����/�/����������2�fd��������Ҁȟ�����������M�����{pfd���������s�ꪲ������������#s�V����������A�V�*�fd�������:����/�/�������Ct���2�fd}Ǝ����������:�cok���er��1�u(�'����a���p�)�����������������HR�(k���er����ş((�'����t���V�)�������������{�%��/�/�������{�%�2�fd����������{�)BH�T��c���^��0������������������0ޟ!#��'�������������򅬟%��/�/������څ��%�2�fd������������(ꪵT�����������>���>�is�UUthe�diagram��+������������{�ꪵT���������������r�BHT��c���^��0�������������������o���#��'����r�0���������������׷s����o�o������׷s���2�fd�������������:�H�cok���er��1�u�H(�'����a���p�)���^��0���������������:����o�o��������:���2�fd�����������z�(زk���er���֍�(�(�'����t���V�)���^��0�������������������(�:�������������{�%���o�o�������{�%�„fd}Ǝ��������꪿O�O��������y��/<fd����������59�)Fز���^��0��������������9��%���o�o�������9��%�„fd����������V�BH�O�O��������$��H��fd������?����>�Since�UU�'��is�symmetric,��'���^��0���Q�=���'��and�so���H����u�k���er����(�'����t���V�)��=��cok���er���S(�'����a���p�)������0���9�:����������ff����d�ff�Y��ff����ff���������>�Lemma��T3.5.���}���j�����k���er��(�'�)�j���=��j�����cok���er��x�(�'����a���p�)�j���^��2����:����>�Pr��}'o�of.���]UI�The�UUorder�of�a�nite�group�sc���heme�equals�the�order�of�its�dual.���i��ff����d�ff�Y��ff����ff���� �I���>�4��VL�The�ffmain�theorem�����>�Let�#ٵ�{!�:�H�J���!��A��b�Ge�an�optimal�quotien���t,�Wzwith��J��a�semistable�Jacobian�and��A����>�purely�8Wtoric.��Let��X����A�����,�q�X����A����0���	8�,�and�8W�X����J��	��denote�the�c���haracter�groups�of�the�toric����>parts�UUof�the�sp�Gecial�b�ers.��軍��>�4.1��\�Mono�`drom��y��description�of�the�comp�onen��t�group��uT��>�There���is�a�pairing��X����A��း�]�X����A����0���[¸!�#��Z��called�the�mono�Gdrom���y�pairing.��W��*�e�ha�v�e�an����>exact�UUsequence������|0���!��X����A����0�����!���Hom���q(�X����A�����;����Z�)��!������A��	J��!��0�:���+��>�If�l�J�c*�is�a�Jacobian�then��J��is�canonically�self-dual�so�the�mono�Gdrom���y�pairing�on����>�J�K��can�UUb�Ge�view���ed�as�a�pairing��X����J��ΐ��8�X����J��\ȸ!���Z��and�there�is�an�exact�sequence���H�����0���!��X����J��\ȸ!���Hom���q(�X����J�����;����Z�)��!������J���!��0�:������>�Example���4.1�(T��;�ate�curve).������Supp�Gose�t�E�8x�=����G����m�����=q��[ٟ�^��Z��
�F�is�a�T��*�ate�curv���e.���The�mon-����>o�Gdrom���y�UUpairing�on��X����E��	���=���q��[ٟ�^��Z��	���is�����~�h�q�[�;���q��i���=��ord���?����p���P�(�q�[ٲ)�=�����ord���#����p����(�j����)�:����>�Th���us�UU����E��
²is�cyclic�of�order�������ord���#����p����(�j����).������6����FO�y�����?�������>�4.2��\�Pro�`of��of�the�main�theorem��uT��>�W��*�e�UUno���w�pro�v�e�the�main�theorem.�q�The�k�ey�diagrams�are�������������������BH�A���^��0�����������������B�����������������������������������@L���r�0�����������������]����/�/�������@���2�fd$�����������������������������9q�(BH� � �������������$�Z�@����������C��!��@�����������b�H�@�������������@����������(���"@�����������T��[email protected]����������k��E�@����������
���@�����������F�
��@����������P��@�����������[email protected]��������������]�ꪵJ�����������������@��@������������������@�&BJ�������@�(BH�����������(BH�$W�fd���������@�2��A��������������������ɵ�*�X����A���������������+��������������������������$�p������@L���r����������������<gR����/�/�������)���2�fd%�)�����������+N=������7���r����������������>ޟ(���!�!����������:M��%i.�C���������6�ڟ"o"C���������3l#�uC���������/�l�{
C���������,�����C���������)����C���������%�G���C���������"8����C����������ٟ
��C���������W"�
��C����������k���C���������u����C�������������?gR�*��X����J������������������IV���p��������������������FV��&�������FV��(����������F#j�(���$fd���������=�)�2��X����A����0�������������������\��,[�������������������
0���˿R�R�����������:П/�D�fdfe�����9��/�Ƅfdfe�����9Qc�/�݄fdfe�����8�:�/���fdfe�����8�q�/�ńfdfe�����8;�/���fdfe�����7���/t��fdfe�����7�L�/h�fdfe�����7'��/\��fdfe�����6��/O��fdfe�����6r~�/BS�fdfe�����6L�/4��fdfe�����5�z�/&v�fdfe�����5e�/�fdfe�����5�/�fdfe�����4�9�.�|�fdfe�����4Z�.饄fdfe�����4�.�a�fdfe�����3�O�.ȳ�fdfe�����3T�.���fdfe�����2�8�.��fdfe�����2���.��fdfe�����2P��.���fdfe�����1�ܟ.n�fdfe�����1�{�.[��fdfe�����1Px�.H�fdfe�����0�֟.3��fdfe�����0���.|�fdfe�����0S��.
��fdfe�����0$�-�9�fdfe�����/���-�v�fdfe�����/Z3�-�F�fdfe�����/ɟ-���fdfe�����.���-���fdfe�����.d�-�,�fdfe�����.Ÿ-lK�fdfe�����-�ԟ-S��fdfe�����-qC�-;C�fdfe�����-!�-"�fdfe�����,�@�-��fdfe�����,�͟,fdfe�����,2��,��fdfe�����+��,�H�fdfe�����+���,��fdfe�����+G��,�T�fdfe�����*��,f6�fdfe�����*�ޟ,I��fdfe�����*`�,,��fdfe�����*��,V�fdfe�����)�f�+�fdfe�����){��+�M�fdfe�����)0G�+���fdfe�����(�F�+���fdfe�����(���+v�fdfe�����(P_�+V'�fdfe�����(y�+5τfdfe�����'��+
�fdfe�����'s˟*�؄fdfe�����'+�*�<�fdfe�����&♟*�2�fdfe�����&���*���fdfe�����&R�*jلfdfe�����&��*G��fdfe�����%Ħ�*#τfdfe�����%~�)���fdfe�����%7�)��fdfe�����$��)��fdfe�����$���)���fdfe�����$g��)j΄fdfe�����$"ן)D��fdfe�����#ށ�)ׄfdfe�����#���(���fdfe�����#V�(�/�fdfe�����#��(�7�fdfe�����"�۟(~Մfdfe�����"�^�(V�fdfe�����"LA�(,ʄfdfe�����"
��("�fdfe�����!�"�'��fdfe�����!� �'���fdfe�����!G~�'���fdfe�����!:�'XE�fdfe����� �V�',��fdfe����� �П'N�fdfe����� H��&Ӱ�fdfe����� 	�&���fdfe������y�&y-�fdfe������n�&KI�fdfe�����Oß&��fdfe�����u�%�<�fdfe�����Ո�%��fdfe��������%��fdfe�����\ȟ%_}�fdfe����� ��%/�fdfe�����償$�5�fdfe������p�$��fdfe�����o��$�<�fdfe�����5d�$i�fdfe������n�$6��fdfe������՟$��fdfe��������#�6�fdfe�����O��#�e�fdfe�����F�#h)�fdfe������(�#3�fdfe������j�"�i�fdfe�����p
�"��fdfe�����9
�"���fdfe�����h�"\��fdfe������&�"%؄fdfe������A�!fdfe�����`��!��fdfe�����+��!~��fdfe������ϟ!F��fdfe������e�!
��fdfe������\� �K�fdfe�����Z�� ���fdfe�����'e� `c�fdfe������w� %̈́fdfe��������˄fdfe���������\�fdfe�����]�s��fdfe�����,u�78�fdfe������c����fdfe�����ʮ��e�fdfe������Y�لfdfe�����ja�A߄fdfe�����:ʟz�fdfe�������Ĩ�fdfe�����ܶ��j�fdfe������:�E��fdfe���������fdfe�����R`��%�fdfe�����%��6�fdfe�������Bڄfdfe������a��fdfe��������ބfdfe�����s;�|=�fdfe�����G��9/�fdfe����������fdfe������ɟ�фfdfe������a�m�fdfe������W�(��fdfe�����s��㖄fdfe�����Ja����fdfe�����!t�W��fdfe���������fdfe�����з�ʭ�fdfe��������e�fdfe������u�;��fdfe�����Zb��fdfe�����3����fdfe�����
Y�b�fdfe������c���fdfe������˟�̄fdfe�����������fdfe�����w��9�fdfe�����S?��ʄfdfe�����/"��E�fdfe�����e�WU�fdfe�������
��fdfe��������.�fdfe������e�p��fdfe������$�#W�fdfe�����^A��I�fdfe�����<���τfdfe�������7�fdfe������џ蔄fdfe������i��Ԅfdfe������a�H��fdfe����������fdfe�����{l���fdfe�����\�U��fdfe�����=���fdfe�����Ÿ�r�fdfe������^��fdfe�����䁟��fdfe������o���fdfe��������d�fdfe������g���fdfe�����rq��Ԅfdfe�����V۟e��fdfe�����;���fdfe����� ʟ
�τfdfe�����O�
cI�fdfe������4�
W�fdfe������v����fdfe�������].�fdfe���������fdfe������z��U�fdfe�����o8�SE�fdfe�����WV�
�Ʉfdfe�����?ҟ
��fdfe�����(��
E��fdfe������	�ʄfdfe�����
���	���fdfe�����
�w�	4�fdfe�����
����fdfe�����
���{��fdfe�����
�����fdfe�����
�
��b�fdfe�����
|ܟc��fdfe�����
i���fdfe�����
U�����fdfe�����
B��G��fdfe�����
/؟蒄fdfe�����
�����fdfe�����
��({�fdfe�����������G�I��>�The���surjectivit���y�of��������I��w�as�pro�v�ed�in�Lemma�3.3.���The�injectivit�y�of����[ٟ�^�����f�follo�ws����>b�Gecause�����������������������[ٟ�������ղ=������������G���������=��deg���(��G�)��6�=�0�;��#���>�and�UUm���ultiplication�b�y��deg��x�(��G�)�on�a�free�ab�elian�group�is�injectiv���e.����MLet���������В�:���X����J��\ȸ!���Hom���q(���[ٟ�������X����A�����;����Z�)����>b�Ge�UUthe�map�dened�b���y�the�mono�drom���y�pairing�restricted�to��X����J��ΐ��8���[ٟ�^�����X����A�����.�������>�Lemma��T4.2.����}���k���er���(���������)��=��k���er��#�(��	z�)������>�Pr��}'o�of.���]UI�Supp�Gose�UU�x���2���k���er��#�(���������)�and�let��y�"�=����[ٟ�^�����z���with��z�7��2��X����A�����.�q�Then��������]�h�x;���y�[ٸi���=��h�x;���[ٟ�������z�p��i��=��h���������x;�z�p��i��=�0����>so�UU�x���2���k���er��#�(��	z�).�q�Next�let��x��2���k���er��#�(��	z�).�q�Then�for�all��z�7��2��X����A�����,�����)0��=��h�x;�����[ٟ�������z�p��i��=��h���������x;�z�p��i����>�so�UU���������x��is�in�the�k���ernel�of�the�mono�Gdrom�y�map�����$�X����A����0�����!����Hom���q(�X����A�����;����Z�)�:����>�Since��ѵX����A����0����Բand��Hom��f*(�X����A�����;����Z�)�are�free�of�the�same�rank�and�the�cok���ernel�is�torsion,����>the�UUmono�Gdrom���y�map�is�injectiv�e.�q�Th�us����������x���=�0�UUand��x���2���k�er��#�(���������).���6�o��ff����d�ff�Y��ff����ff����������>�Lemma��T4.3.���}���Ther��}'e���is�an�exact�se�quenc�e��������X����J��\ȸ!����Hom���q(���[ٟ�������X����A�����;����Z�)���!������A��	J��!��0�:������>�Pr��}'o�of.���]UI�Lemma�UU4.2�giv���es�the�follo�wing�comm�utativ�e�diagram�with�exact�ro�ws��N�����������^*���0�����������~*����/�/������f*���2�fd������������*�X����J�����=�����k���er��(��	z�)������������������������8߷���0E����G�=�������������������8ߟUW�����������UW��Wfd�������Fԟ���/�/�������F՟��2�fd�������������FԲHom���-(���[ٟ�^�����X����A�����;����Z�)������������+Р����/�/������Р���2�fd�����������������������0E�����=�������������������������������؈���fd����������.Р�cok���er��E��(��	z�)������������n�����/�/������V����2�fd������AR۟UW��������A��UW��Wfd��������q����0�������������^*�(��0������������xl�%��/�/������f*�%�2�fd'M�����������xl�(*��X����A����0��������������њ՟%��/�/��������S�%�2�fd,������������Ԛ՟(�Hom���p.�((�X����A�����;����Z�)������������7t��%��/�/������|��%�2�fd(����������:t��(*������A�������������n��%��/�/������K1�%�2�fd#���������q��(��0�����������>N��>By��gLemma�4.2,��kthe�rst�v���ertical�map�is�an�isomorphism.�=�The�second�is�an����>isomorphism��b�Gecause�it�is�induced�b���y�the�isomorphism����[ٟ�^�����N�:���X����A��
�!�!����[ٟ�^�����X����A�����.��=It����>follo���ws�UUthat��cok�er��#�(��	z�)����T͍�������+3�����=�����
UN����A�����,�as�claimed.�����„�ff����d�ff�Y��ff����ff��������7����R��y�����?������M�Let��˸L��b�Ge�the��saturation��of����[ٟ�^�����X����A��N[�in��X����J�����,�((i.e.,�[�L�5��:����[ٟ�^�����X����A�����]���is�nite�and����>�X����J�����=�L�L�is�torsion�free.�VSupp�Gose��L��is�of�nite�index�in��L�.�Dene�the��congruence����>mo�Q�dulus�UU�of��L�������m����L��Ì�=��[��	z�(�X����J�����)�:����(�L�)]����>and�UUthe��comp�Q�onen��9t��Tgroup��b���y�����dH����L��Ì�=���cok���er���S(�X����J��\ȸ!����Hom���q(�L;����Z�))�:����>�When����L�A�=��L��w���e�often�set��m����X��
�7�=��m����L��	�D�and�����X��
�7�=�����L��	�D�and�think�of��m����X��8��and�����X�����>�as�UUthe�c���haracter�group�\congruence�mo�Gdulus�and�comp�onen���t�group."��5�����>�Lemma��T4.4.���}���The���r��}'ational�numb�er�����<$����j�����L���t�j����w�feÒ�	(֍����m����L������Q��do�es�not�dep�end�on�the�choic�e�of��L�.������>Pr��}'o�of.���]UI�If��*�L���^��0���c�is�another�c���hoice�let��n��%�=�[�L��:��L���^��0���9�]��2��Q�.�oGThen��*since�����is�injectiv�e����>when�UUrestricted�to��L�,����^[email protected]�m����L����0���w��=��[��	z�(�X����J�����)�:����(�L������0���9�)]�=�[���(�X����J�����)�:����(�L�)]�8���[���(�L�)��:����(�L������0���9�)]�=��m����L��5T��8�n����>�and�UUsimilarly��j�����L����0�����j���=��j�����L���t�j�8���n�.�������ff����d�ff�Y��ff����ff������MRecall�UUthat�w���e�dened����������m����A����������=������������5�p��������5�fe㑟		ˍ��deg��#�(��G�)������������B�����A����������=��������cok���er��۔P(�X����A����0�����!����Hom���q(�X����A�����;����Z�))��������>�Theorem��T4.5.�������F��;�or���any��L��of�nite�index�in��L��the�fol���lowing�r��}'elation�holds:��5�������<$���7x�j�����A�����j���7x�w�feJ��	(֍����m����A�������|q�=�����<$���K�j�����L���t�j���K�w�feÒ�	(֍����m����L��������:��Mύ���>�Pr��}'o�of.���]UI�By���Lemma�4.4�w���e�ma�y�assume�that��L�;�=����[ٟ�^�����X����A�����.�B�With���this�c�hoice�of��L�,����>Lemma��4.3�sa���ys�that�����L�����T͍��	�_����+3���	�_�=�����ah����A�����.�L�By�Lemma�4.2,�4prop�Gerties�of�the�index,�and����>Lemma�UU3.5�w���e�ha�v�e��������F�m����L������Ȉq�=������O�[��	z�(�X����J�����)��:����(�L�)]��������Ȉq=������O�[���������(�X����J�����)��:���������(�L�)]��������Ȉq=������O�[�X����A����0�����:�����������(���[ٟ�������X����A�����)]��������Ȉq=������O�[�X����A����0�����:�����G���������X����A�����]��������Ȉq=�������O�cok���er����(���G���������)����V�����Ȉq=��������O����5�p����O����5�fe㑟		ˍ��deg��#�(��G�)�����9=���m����A�����:������������ff����d�ff�Y��ff����ff��������>�Prop�Q�osition��T4.6.����������image��Ϧ�(����J��\ȸ!�������A�����)����T͍������+3����=�����
UN����L��
��:�������8����	v��y�����?��������>�Pr��}'o�of.���]UI�Because��r���[ٟ�^�����X����A�������L���X����J�����,��b���y�Lemma�4.3�w�e�obtain�a�comm�utativ�e����>diagram�UUwith�exact�ro���ws��Q鍍�����������m��*��X����J������������������/�/�������L*���2�fd�񎍍���)��UW���fd������)��UW���fd��������������Hom����t(�X����J�����;����Z�)������������L����/�/����������2�fdAᎍ�����������������ޟ��fd���������L�*������J�������������@�j����/�/������(z���2�fdv�����0�UW�����������UW���fd��������C�j���0���������������m��(*��X����J�����������������%��/�/�������L*�%�2�fd!Gb������)��FUW���fd������)��FUW���fd����������������(�Hom���h�((�L�;����Z�)������������_�%��/�/������󎔟%�2�fd!�ˎ�������E�����������ޟE��fd���������_�(*������L�������������@�j�%��/�/������(V�%�2�fd<h�������0�FUW�����������FUW���fd��������C�j�(��0���������������m��P*��X����J��������������L*�M��/�/�������L*�M�2�fd�����������L*�P�Hom���!��P(���[ٟ�^�����X����A�����;����Z�)���������������M��/�/����������M�2�fd������������P*������A�������������@�j�M��/�/������(�j�M�2�fd��������C�j�P��0�����������g�"��>The��map��Hom���(�L�;����Z�)�r��!���Hom��HR(���[ٟ�^�����X����A�����;��Z�)��is�an�isomorphism�so�����L��}��!�r������A��s;�is����>injectiv���e,�UUhence������?�image�����(����J��\ȸ!�������A�����)����T͍������+3����=������
UNimage��&�(����J���!������L��
��)�:���ፑ>�The�} cok���ernel�of��Hom��Ry(�X����J�����;����Z�)�	k�!���Hom����(�L�;��Z�)�} surjects�on���to�the�cok�ernel�of�����J����!����>�����L��
��.�q�Using�UUthe�exact�sequence���"�����0���!�L�!��X����J��\ȸ!��X����J�����=�L�!��0�;����>�w���e�UUnd�that�����ocok���er����Q(�Hom���Y(�X����J�����;����Z�)���!���Hom���q(�L�;��Z�))�����Ext����������1��<r�(�X����J�����=�L�;��Z�)�=�0�;����>�where��MExt���E�����1��d�v��q�anishes�Mb�Gecause��L��is�saturated�so�that��X����J�����=�L��is�torsion�free.�oTh���us����>the�UUcok���ernel�of�����J��\ȸ!�������L��	`�is�0,�from�whic�h�the�prop�Gosition�follo�ws.���1���ff����d�ff�Y��ff����ff��������MThe�UUfollo���wing�corollary�follo�ws�from�Theorem�4.5�and�Prop�Gosition�4.6.��悍���>�Corollary��T4.7.����ۍ���:�j�����cok���er��x�(�X����J��\ȸ!���X����A�����)�j��=�����<$���K�m����A����K�w�feKG�	(֍�<i�m����L������xŵ:���鍑>�As���a�c��}'onse�quenc�e,���m����L��
��j�m����A�����:��!G���>�5��VL�Optimal�ffquotien���ts�of��+��g�ffcmmi12�J��(��0����X�Qffcmr12�(�N���)�����>�Let���X����0��|s�(�N��)�=�Q��b�Ge�the�mo�dular�curv���e�asso�ciated�to�the�congruence�subgroup����>����0��|s�(�N��)�В����SL����͟��2��@�(�Z�)�[of�matrices�whic���h�are�upp�Ger�triangular�mo�dulo��N��.���Let��p��b�e�a����>prime�e�divisor�of��N�|Ȳwhic���h�is�coprime�to��M��p�=��U�N�A�=p�.���The�Jacobian��J�؎�=��J����0��|s�(�N��)�of����>�X����0��|s�(�N��)�UUhas�semistable�reduction�at��p�.�q�The�Hec���k�e�UUalgebra���"������T���=��Z�[��:���:�:��
UOT����n���&�:���:�:��qu�]�����End����(�J��9�)����>is���a�comm���utativ�e���ring�of�endomorphisms�of��J��6�of��Z�-rank�=���dim��n�J��9�.�EUThe�c���haracter����>group�f�X����J���Ųis�equipp�Ged�with�a�functorial�action�of��T�.��The�Hec���k�e�falgebra��T��also����>act�UUon�the�cusp�forms��������S�Z��=���S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�)�:�������9����
�ày�����?������>�A���newform��I�f��زis�an�eigenform�normalized�so�that�the�co�Gecien���t�of��q�!"�in�the����>expansion�X�of��f�ld�at�the�cusp��1��is�1,�Y�and�suc���h�that��f��do�Ges�not�o�ccur�at�an���y�lev�el����>�N����^��0����j����N��0�with���N����^��0���6�=��N��.��If���f�餲is�a�newform,��Elet��I����f��	5�b�Ge�the�ideal�in��T��of�elemen���ts����>whic���h��/annihilate��f���.�.VThen��O����f��^��=�/��T�=I����f���O�is�an�order�in�the�ring�of�in�tegers�of�the����>totally�VHreal�n���um�b�Ger�VHeld��K����f���h�obtained�b���y�adjoining�the�F��*�ourier�co�ecien���ts�of��f����>�to�UU�Q�.�q�The�quotien���t�����Dp�A����f���8�=���J����0��|s�(�N��)�=I����f��/ �J����0���(�N��)��ʜ��>is�UUa�purely�toric�optimal�quotien���t�of�dimension�[�K����f���8�:���Q�].����MLet��Q�H�P�=���H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)�b�Ge�the�in���tegral�homology�of�the�complex�algebraic����>curv���e� ҵX����0��|s�(�N��).��?In�tegration�denes�a��T�-equiv��q�arian�t�nondegenerate�pairing��S�T�����>�H���!���C�UU�whic���h�w�e�view�as�a�map���В�:���H���!���Hom����q���C���k�(�S�T;����C�).��cz����>�Theorem��T5.1.�������We���have�the�fol���lowing�c��}'ommutative�diagr�am�of��T�-mo�dules:���X�����������������ȵH����[�I����f��/ �]����������������^��������������������������/�/�������@\���2�fdEh������������.:������_���������������8����������ӟ�8�fd����������ꪵH�������������5�e����/�/���7�Ÿ���/�/�����������2�fdF%���������j�������_�������������8��p������������p���fd���������:�µ�	z�(�H����)������������F�ޟ�8��������Ff���8�.8fd��������Iܟ������_������������F�ޟ�8��������Ff���8�.8fd����������kIj�(.8�Hom����ß)�7�C���#��(.8�(�S�T;����C�)[�I����f��/ �]���������������t��#\r���������������������%�p�/�/��������&��fd������������C�K�������F
�����������ӟF
��fd������������(\p�Hom�������)�o�C�����(\p�(�S�T;����C�)��������������qɟ%�p�/�/��� }&�%�p�/�/������}'�&��fd�����������8�D�M������8�F媿����������F媄	:fd����������#}&�(.8�Hom���8R�)�7�C��?Wy�(.8�(�S����[�I����f��/ �]�;����C�)��������������F�ޟD������F�ޟF�r��������Ff��F�r���fd����������˟P�8�A���^���0��v��f���/ �(�C�)���������������B�Le����������������������V�N媿/�/��������@�O܄fd<l������������Ɵn����m�A���������������5B֟W��6�6���������������WgĄfdfe�������՟W�|�fdfe������L�W��fdfe�������O�W�\�fdfe��������X��fdfe������`˟X'|�fdfe�������	�XMD�fdfe������E�Xr܄fdfe������u��X�D�fdfe���������X�|�fdfe������-��X℄fdfe�������;�Y\�fdfe�������y�Y,�fdfe������B��YP|�fdfe��������YtĄfdfe�������/�Y�܄fdfe������Wm�Y�Ąfdfe���������Y�|�fdfe�������Z�fdfe������l%�Z'\�fdfe�������c�ZJ��fdfe������$��Zm|�fdfe�������ߟZ�D�fdfe��������Z�܄fdfe������9Y�Z�D�fdfe���������Z�|�fdfe�������՟[��fdfe������N�[;\�fdfe�������O�[]�fdfe��������[~|�fdfe������b˟[�Ąfdfe��������[�܄fdfe������E�[�Ąfdfe������w��\|�fdfe���������\#�fdfe������/��\C\�fdfe�������;�\c��fdfe�������y�\�|�fdfe������D��\�D�fdfe��������\�܄fdfe�������1�\�D�fdfe������Yo�]|�fdfe���������] ��fdfe�������]?\�fdfe������n'�]^�fdfe�������c�]||�fdfe������&��]�Ąfdfe�������ݟ]�܄fdfe��������]�Ąfdfe������;Y�]�|�fdfe���������^�fdfe�������ӟ^/\�fdfe������P�^L��fdfe�������O�^i|�fdfe��������^�D�fdfe������dɟ^�܄fdfe��������^�D�fdfe������E�^�|�fdfe������y��^���fdfe������տ�_\�fdfe������1��_/�fdfe�������:�_J|�fdfe�������x�_eĄfdfe������F��_�܄fdfe��������_�Ąfdfe�������0�_�|�fdfe������[n�_��fdfe���������_�\�fdfe�������`��fdfe������p&�`|�fdfe�������d�`9D�fdfe������(��`R܄fdfe�������ޟ`lD�fdfe��������`�|�fdfe������=Z�`���fdfe���������`�\�fdfe�������ԟ`��fdfe������R�`�|�fdfe�������N�aĄfdfe������
��a܄fdfe������fȟa0Ąfdfe��������aH|�fdfe������D�a`�fdfe������{��aw\�fdfe������׾�a���fdfe������3��a�|�fdfe�������:�a�D�fdfe�������v�a�܄fdfe������H��a�D�fdfe��������a�|�fdfe������0�b��fdfe������]l�b+\�fdfe���������bA�fdfe�������bV|�fdfe������r&�bkĄfdfe�������b�b�܄fdfe������*��b�Ąfdfe�����†ޟb�|�fdfe��������b��fdfe������?X�b�\�fdfe�����Û��b焄fdfe�������ԟb�|�fdfe������T�cD�fdfe�����İN�c"܄fdfe��������c6D�fdfe������hʟcI|�fdfe��������c\��fdfe������!D�co\�fdfe������}��c��fdfe������پ�c�|�fdfe������5��c�Ąfdfe�����ǒ8�c�܄fdfe�������v�c�Ąfdfe������J��c�|�fdfe�����Ȧ�c��fdfe������.�c�\�fdfe������_l�d��fdfe�����ɻ��d!|�fdfe�������d2D�fdfe������t$�dB܄fdfe�������b�dSD�fdfe������,��dc|�fdfe�����ˈޟds��fdfe��������d�\�fdfe������AX�d��fdfe�����̝��d�|�fdfe�������ԟd�Ąfdfe������V�d�܄fdfe�����ͲN�d�Ąfdfe��������d�|�fdfe������jʟd��fdfe��������d�\�fdfe������#D�e	��fdfe��������e|�fdfe���������e%D�fdfe������7��e2܄fdfe�����Д:�[email protected]�fdfe�������x�eM|�fdfe������L��eZ��fdfe�����Ѩ�eg\�fdfe������0�et�fdfe������al�e�|�fdfe�����ҽ��e�Ąfdfe�������e�܄fdfe������v$�e�Ąfdfe�������b�e�|�fdfe������.��e��fdfe�����Ԋܟe�\�fdfe��������e҄�fdfe������CX�e�|�fdfe�����՟��e�D�fdfe�������ҟe�܄fdfe������X�e�D�fdfe�����ִN�f|�fdfe��������f��fdfe������lȟf\�fdfe��������f%�fdfe������%D�f.|�fdfe�����؁��f7Ąfdfe������ݾ�[email protected]܄fdfe������9��fIĄfdfe�����ٖ:�fR|�fdfe�������x�f[�fdfe������N��fc\�fdfe�����ڪ�fk��fdfe������0�fs|�fdfe������cn�f{D�fdfe�����ۿ��f�܄fdfe�������f�D�fdfe������x&�f�|�fdfe�������d�f���fdfe������0��f�\�fdfe�����݌ޟf��fdfe��������f�|�fdfe������EX�f�Ąfdfe�����ޡ��f�܄fdfe�������ҟf�Ąfdfe������Z�f�|�fdfe�����߶N�f��fdfe��������f�\�fdfe������nȟfԄ�fdfe��������f�|�fdfe������'D�f�D�fdfe�����Ⴠ�f�܄fdfe������߾�f�D�fdfe������;��f�|�fdfe������:�ffdfe�������v�f�\�fdfe������P��f��fdfe�������f�|�fdfe������	.�f�Ąfdfe������ej�g܄fdfe���������gĄfdfe�������g|�fdfe������z$�g	�fdfe�������`�g\�fdfe������2��g
��fdfe������ܟg|�fdfe��������gD�fdfe������GV�g܄fdfe�����磔�gD�fdfe�������ҟg|�fdfe������\�g��fdfe������L�g\�fdfe��������g�fdfe������pƟg|�fdfe��������gĄfdfe������)@�g܄fdfe������~�gĄfdfe������἟g|�fdfe������=��g�fdfe������6�g\�fdfe�������t�g��fdfe������R��g|�fdfe�������gD�fdfe������,�g܄fdfe������gj�gD�fdfe������è�g|�fdfe�������g
��fdfe������|"�g\�fdfe�������`�g	�fdfe������4��g|�fdfe������ܟgĄfdfe��������g܄fdfe������IV�f�Ąfdfe�����𥔟f�|�fdfe������ҟf��fdfe������^�f�\�fdfe������L�ffdfe��������f�|�fdfe������rȟf�D�fdfe��������f�܄fdfe������+B�f�D�fdfe�����󇀟f�|�fdfe������㾟fԄ�fdfe������?��f�\�fdfe������8�f��fdfe�������t�f�|�fdfe������T��f�Ąfdfe��������f�܄fdfe������
,�f�Ąfdfe������ij�f�|�fdfe������Ũ�f��fdfe������!�f�\�fdfe������~"�f���fdfe�������`�f�|�fdfe������6��f�D�fdfe�������ڟf�܄fdfe��������f{D�fdfe������KV�fs|�fdfe���������fk��fdfe������Пfc\�fdfe������`�f[�fdfe�������L�fR|�fdfe��������fIĄfdfe������tƟ[email protected]܄fdfe��������f7Ąfdfe������-B�f.|�fdfe���������f%�fdfe������弟f\�fdfe������A��f��fdfe�������8�f|�fdfe�������v�e�D�fdfe������V��e�܄fdfe��������e�D�fdfe������.�e�|�fdfe������kl�e҄�fdfe������Ǩ�e�\�fdfe�����#�e��fdfe������"�e�|�fdfe������`�e�Ąfdfe�����8��e�܄fdfe������ڟe�Ąfdfe�������e�|�fdfe�����MV�et�fdfe��������eg\�fdfe�����ПeZ��fdfe�����b�eM|�fdfe������L�[email protected]�fdfe�������e2܄fdfe�����vƟe%D�fdfe�������e|�fdfe�����/B�e	��fdfe������~�d�\�fdfe�����缟d��fdfe�����C��d�|�fdfe������8�d�Ąfdfe������t�d�܄fdfe�����X��d�Ąfdfe�������d�|�fdfe�����.�d��fdfe�����mj�d�\�fdfe�����ɨ�ds��fdfe�����	%�dc|�fdfe�����	�$�dSD�fdfe�����	�`�dB܄fdfe�����
:��d2D�fdfe�����
�ܟd!|�fdfe�����
��d��fdfe�����OV�c�\�fdfe��������c��fdfe�����Пc�|�fdfe�����d�c�Ąfdfe������J�c�܄fdfe�����
��c�Ąfdfe�����
xƟc�|�fdfe�����
��c��fdfe�����[email protected]�co\�fdfe������~�c\��fdfe�����鼟cI|�fdfe�����E��c6D�fdfe������6�c"܄fdfe������t�cD�fdfe�����Z��b�|�fdfe�������b焄fdfe�����,�b�\�fdfe�����oj�b��fdfe�����˦�b�|�fdfe�����'�b�Ąfdfe������ �b�܄fdfe������^�bkĄfdfe�����<��bV|�fdfe������ڟbA�fdfe�������b+\�fdfe�����QT�b��fdfe��������a�|�fdfe�����	Пa�D�fdfe�����f�a�܄fdfe������J�a�D�fdfe�������a�|�fdfe�����zƟa���fdfe�������aw\�fdfe�����[email protected]�a`�fdfe������|�aH|�fdfe�����뺟a0Ąfdfe�����G��a܄fdfe������4�aĄfdfe�����r�`�|�fdfe�����\��`��fdfe�������`�\�fdfe�����*�`���fdfe�����qh�`�|�fdfe�����ͦ�`lD�fdfe�����)�`R܄fdfe������ �`9D�fdfe������^�`|�fdfe�����>��`��fdfe������؟_�\�fdfe�������_��fdfe�����ST�_�|�fdfe��������_�Ąfdfe�����Ο_�܄fdfe�����h�_eĄfdfe������J�_J|�fdfe����� ��_/�fdfe�����|ğ_\�fdfe�������^���fdfe����� [email protected]�^�|�fdfe����� �~�^�D�fdfe����� �^�܄fdfe�����!I��^�D�fdfe�����!�6�^i|�fdfe�����"t�^L��fdfe�����"^��^/\�fdfe�����"��^�fdfe�����#*�]�|�fdfe�����#sh�]�Ąfdfe�����#Ϥ�]�܄fdfe�����$+�]�Ąfdfe�����$� �]||�fdfe�����$�^�]^�fdfe�����%@��]?\�fdfe�����%�؟] ��fdfe�����%��]|�fdfe�����&UT�\�D�fdfe�����&���\�܄fdfe�����'
Ο\�D�fdfe�����'j�\�|�fdfe�����'�J�\c��fdfe�����("��\C\�fdfe�����(~ğ\#�fdfe�����(��\|�fdfe�����)[email protected]�[�Ąfdfe�����)�|�[�܄fdfe�����)ﺟ[�Ąfdfe�����*K��[~|�fdfe�����*�6�[]�fdfe�����+r�[;\�fdfe�����+`��[��fdfe�����+��Z�|�fdfe�����,,�Z�D�fdfe�����,uh�Z�܄fdfe�����,Ѧ�Z�D�fdfe�����--�Zm|�fdfe�����-�"�ZJ��fdfe�����-�^�Z'\�fdfe�����.B��Z�fdfe�����.�؟Y�|�fdfe�����.��Y�Ąfdfe�����/WR�Y�܄fdfe�����/���YtĄfdfe�����0ΟYP|�fdfe�����0l�Y,�fdfe�����0�H�Y\�fdfe�����1$��X℄fdfe�����1�ğX�|�fdfe�����1��X�D�fdfe�����29>�Xr܄fdfe�����2�|�XMD�fdfe�����2�X'|�fdfe�����3M��X��fdfe�����3�4�W�\�fdfe�����4r�W��fdfe�����4b��W�|�fdfe�����4��WgĄfdfe����������������V�Qe��J��9�(�C�)��������������3,G�N媿/�/���57��N媿/�/��������q�O܄fd<�3���������87��Q7r�A����f��/ �(�C�)�������������?ፍ��>�Pr��}'o�of.���]UI�This�UUcan�b�Ge�deduced�from�[�Shi73���].����ُ��ff����d�ff�Y��ff����ff�����ߍ���>�Corollary��T5.2.����Z�m���^���2��b��A���	J��=��[��	z�(�H����)�:����(�H����[�I����f��/ �])]�.��������>Pr��}'o�of.���]UI�Recall���that��m����A��
k�is�dened�to�b�Ge�����s0�p���
�ܟ�s0�fe" ��Ѝ��deg��#�(�����A�����)����/��.�ZThe�k���ernel�of�an�isogen�y�of����>complex�Z�tori�is�isomorphic�to�the�cok���ernel�of�the�induced�map�on�lattices.��dThe����>corollary��dno���w�follo�ws�from�the�diagram�of�Theorem�5.1�whic�h�indicates�that�the����>index�UU[��	z�(�H����)��:����(�H����[�I����f��/ �])]�UUis�the�cok���ernel�of�the�map��H��[�I����f��/ �]���!���	z�(�H��)�:���0���ff����d�ff�Y��ff����ff������M�Let���F��*�rob����ȟ��p��"�β:�
��X����J��
�d�!��X����J��
Fʲdenote��the�map�induced�b���y�F��*�rob�Genius.��One�has�����>F��*�rob���R*����p��Y��=����W����p���R�,�where��ȵW����p����is�the�map�induced�b���y�the�A�tkin-Lehner�in�v�olution�on����>�J����0��|s�(�p�).�cLet��޵f��m�b�Ge�a�newform,��A�A����=��A����f��		��the���corresp�onding�optimal�quotien���t,��Aand����>�w����p���the�UUsign�of�the�eigen���v��q�alue�of��W����p���on��f���.��cz����>�Prop�Q�osition��T5.3.����n)���@�����A�����(�F����p���R�)��=������\�(����.���
�S�����A���(����_�fe<o����F����<o���p�����)����@���if���w����p��fj�=���1��p�F�;���fc���
�S�����A���(����_�fe<o����F����<o���p�����)[2]����@���if���w����p��fj�=�1�.�������X΍���>Pr��}'o�of.���]UI�If�.[�w����p����=�0ʸ�1,�d�then��F��*�rob���Y	���p��!)%�=�1�and�the��Gal���](����_�fe<o����F����<o���p�����=�F����p���R�)-action�of�����A�����(����_�fe<o����F����<o���p���)�is����>trivial.�?�Th���us��in�this�case,��5(�F����p���R�)�9�=�(����_�fe<o����F����<o���p�����).�Next��supp�Gose��w����p����=�9�1.�W��*�e�ha���v�e��an����>exact�UUsequence������|0���!��X����A����0�����!���Hom���q(�X����A�����;����Z�)��!������A��	J��!��0�:��������10�������y�����?������>�Since�׵W����p��)�acts�as�+1�on��f��f�it�acts�as�+1�on��A�,��won��X����A�����,�on��Hom��U0(�X����A�����;����Z�),�and�on����>����A�����.�B�Th���us���SF��*�rob������p�� ���=��h��W����p�����acts��Sas���1�on�����A���.�B�The�2-torsion�in�a�nite�ab�Gelian����>group�UUequals�the�xed�p�Goin���ts�under���1.��������ff����d�ff�Y��ff����ff�����6���>�5.1��\�Computation��uT��>�Suitable��?generalizations�of�the�algorithms�describ�Ged�in�[�Cre97���X]�can�b�e�used�to����>en���umerate�Mthe�optimal�quotien�ts��A����f��	|7�and�to�compute��m����A�����.�YThese�will�b�Ge�de-����>scrib�Ged�Ӯin�the�author's�Berk���eley�Ph.D.�thesis�[�Ste99a���].���The�metho�d�of�graphs����>[�Mes86���<]���and�[�Koh98��U[]�can�b�Ge�used�to�compute��X����=���X���:�J�����Zcmr5�0��� �(�N��,�)���m�with�its��T�-action�and����>the�UUmono�Gdrom���y�pairing.�q�W��*�e�can�then�compute��qˍ��]��L���=����tM����\����7���t�2�I����f�����蝲k���er��"E(�t�j����X���$�)�;�� 톍�>m����X��
a<�:=���m����L��
��,�UUand�����X���:=������L��
��.�q�By�Theorem�4.5�w���e�can�no�w�compute��ۍ���D�j�����A�����j���=��j�����X���$�j�8������<$���]�m����A���l�w�fea۟	(֍�m����X������!�:��Mύ�>�W��*�e�E�ha���v�e�computed�����A��	�'�in�a�n�um�b�Ger�of�cases.�l�In�the�next�subsection�w�e�discuss����>t���w�o�UUconjectures�suggested�b���y�our�n�umerical�computations.�����>�5.2��\�Conjectures��uT��>�Our�(�n���umerical�computations�suggest�the�follo�wing�conjectures.��TSupp�Gose�that����>�N��3�=���pM�lp�with�UU(�p;���M��)�=�1.�q�Let����X��H����new���=���k���er������3���`�������H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)�����������!���(�H����1���(�X����0���(�M��)�;����Z�)�8���H����1��|s�(�X����0���(�M��)�;����Z�)������`�������;����>�where�@jthe�map�is�induced�b���y�the�t�w�o�natural�degeneracy�maps��X����0��|s�(�N��)����!����>�X����0��|s�(�M��).�_�The��Hec���k�e�algebra��T��acts�on��H����new��Iʲ,�)�and�on�the�submo�Gdule��H����new���[�I����f��/ �]�of����>elemen���ts�8�annihilated�b�y��I����f��/ �.��In�tegration�denes�a�map���В�:���H����new���!���Hom���q(�S����[�I����f��/ �]�;����C�).����>Dene�UUthe�homology�congruence�mo�Gdulus��m����H��
��b���y��������m�������2���፴H���
\ɲ=��[��	z�(�H����new��Iʲ)�:����(�H����new��Iʲ[�I����f��/ �])]�:����>�W��*�e�UUexp�Gect�that�there�is�a�v���ery�close�relationship�b�et���w�een�UU�m����X��
�y�and��m����H�����.������>�Conjecture��T5.4.����� �Up���to�p��}'owers�of��2�,�����)�m����X��
a<�=���m����H�����:����M�When�UU�N��3�=���p��is�prime�w���e�mak�e�the�follo�wing�conjecture.������>�Conjecture��T5.5.����� �L��}'et�#�p��b�e�a�prime�and�let��f����1��|s�;����:�:�:����;���f����n�����b�e�a�set�of�r�epr�esentatives����>of���the�Galois�c��}'onjugacy�classes�for�newforms�in��S����2��|s�(����0���(�p�))�.��WL�et��ҵA����1���;����:�:�:����;���A����n��	oP�b�e��������11����ȕ�y�����?������>�the���c��}'orr�esp�onding�optimal�quotients.���Then�the�natur�al�maps��uX�����������:�J���0��� �(�p�)����������#�������@(!�����������A��n�������VŸ���Y����t���@)�i�=1���	� �����A���i������!P�������J����0��|s�(�p�)(�Q�)���������#�������@(!�����������A��n�������VŸ���Y����t���@)�i�=1���	� �A����i��TL�(�Q�)�����;��>�ar��}'e���isomorphisms.����M�W��*�e�.�oer�the�tables�in�the�next�section�as�evidence�that�an�assertion�suc���h�as����>the�UUab�Go���v�e�t�w�o�conjectures�ma�y�b�Ge�true.��!č��>�6��VL�T���fables�����>�W��*�e��?computed�sev���eral�comp�Gonen�t�groups�of�optimal�quotien�ts��A����f���_�of��J����0��|s�(�N��)�as-����>so�Gciated�UUto�newforms��f���.�q�W��*�e�denote�suc���h�an�optimal�quotien�t�b�y�����.f�N��isogen��9y-class�dimension����>�The�{�dimension�frequen���tly�determines�the�factor,��Hso�it�is�included�in�the�notation.���6���>�6.1��\�T���able�(1:�"PSome�large�comp�`onen��t�groups�predicted�b�y����\�the��Birc��h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture��uT��>�Using�8�the�algorithm�describ�Ged�in�[�Ste99b��q�]�w���e�computed�the�sp�ecial�v��q�alue��L�(�A;����1)�=�
����>(up��eto�a�Manin�constan���t)�for�ev�ery�optimal�quotien�t��A���=��A����f�����of��elev�el�����1500.�,wW��*�e����>found��Qexactly�v���e�for�whic�h�the�n�umerator�of��L�(�A;����1)�=�
�is�nonzero�and�divisible����>b���y�UUa�prime�n�um�b�Ger��>���10���^��9��|s�.�q�These�are�giv�en�b�Gelo�w.��4E���hp��*�ff��fd����͟���ff��͟�fdA���C�
�N����s�~L�(�A;����1)�=�
�8����Manin�UUconstan���t����Ɵ���ff����ff��}r����͟���ff���͟�fd�1154E20����:���2�8���577�����`2���^��?��~7��8�85495047371�=�17���^��2��+z$����ff�������͟���ff���͟�fd�1238G19����:���2�8���619�����+2���^��?��~7��8�7553329019�=�5����31�%�|����ff�������͟���ff���͟�fd�1322E21����:���2�8���661������2���^��?��~7��8�57851840099�=�331�&�����ff�������͟���ff���͟�fd�1382D20����:���2�8���691���{�*2���^��?��~7��8�37����1864449649�=�173� �{����ff�������͟���ff���͟�fd�1478J20����:���2�8���739���q�L2���^��?��~7��8�7����29����1183045463�=�5����37�束���ff����ff������>The�۸Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�predicts�that�these�large�prime�divi-����>sors�8�m���ust�divide�either��j�����A�����j��or�the�Shafarevic�h-T��*�ate�group�of��A�.�hBW�e�computed����>����A��	��and�UUfound�that�this�w���as�the�case.�������12����
�\�y�����?�����_�o���>��u��ffv�fd����͟���ff��͟�fd�A���?��p���S�\w���f=��j�����X���$�j����kt�m����X����(���j�����A�����j�9�S����ff����ffv�}r����͟���ff���͟�fd�1154E20����?���2���S������i/�17���^��2�������2���^��24�����;�2���^��?��~7��8�17���^��2���S���85495047371������ff�������͟���ff���:��577���S��+���m�,1�����z2���^��26��
�Ƹ�8�85495047371���-�X2���^��?��C U����ff�������͟���ff���uܮ����ff����֍���͟���ff���͟�fd�1238G19����?���2���S������eQ��5�8���31������2���^��26����g�2���^��?��~7��8�5����31����7553329019�������ff�������͟���ff���:��619���S��+���m�,1����C{2���^��28��
�Ƹ�8�7553329019���-�X2���^��?��C U����ff�������͟���ff���uܮ����ff����֍���͟���ff���͟�fd�1322E21����?���2���S������h�+�331������2���^��28�����t�2���^��?��~7��8�331����57851840099������ff�������͟���ff���:��661���S��+���m�,1�����z2���^��32��
�Ƹ�8�57851840099���-�X2���^��?��C U����ff�������͟���ff���uܮ����ff����֍���͟���ff���͟�fd�1382D20����?���2���S������h�+�173������2���^��29�����g�2���^��?��~7��8�37����173����1864449649�������ff�������͟���ff���:��691���S��+���m�,1�����2���^��31��
�Ƹ�8�37����1864449649���-�X2���^��?��C U����ff�������͟���ff���uܮ����ff����֍���͟���ff���͟�fd�1478J20����?���2���S������eQ��5�8���37������2���^��31�����'�2���^��?��~7��8�5����7����29����37����1183045463��͟���ff�������͟���ff���:��739���S��+���m�,1������2���^��33��
�Ƹ�8�7����29����1183045463���-�X2���^��?��C U����ff����ffv��g��>�6.2��\�T���able��3:�Some�quotien��ts�of��5��g�cmmi12�J�����3|{Ycmr8�0����(�N�@��)��uT��>�In���this�table�w���e�giv�e�the�in�v��q�arian�ts�dened�ab�Go�v�e�for�the�optimal�quotien�ts�of����>lev���els�UU65,�66,�68,�and�69.�������x���s�!�ff�"(�fd����͟���ff��͟�fd�A���+m�p���=~w���N�޸j�����X���$�j���p��m����X�����S�m����H�����'5�m����A�����`a�j�����A�����j�C����ff����ff�"(�����͟���ff���͟�fd�65A1����+q��5���<��+���Vi1���u��2����%B?����L�2���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff���(�13���<��+���Vi1���u��2����%B?���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff���͟�fd�65B2����+q��5���<��+���Vi3���sxV2���^��2�����%B�?�����2���^��2����Ѕ��3�
i=����ff�������͟���ff���(�13���<������Vi�3���sxV2���^��2�����%B�?���Ѕ�3�
i=����ff�������͟���ff���͟�fd�65C2����+q��5���<������Vi�7���sxV2���^��2�����%B�?�����2���^��2����Ѕ��7�
i=����ff�������͟���ff���(�13���<��+���Vi1���sxV2���^��2�����%B�?���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff����������ff����ȍ���͟���ff���͟�fd�66A1����+q��2���<��+���Vi1���u��2����%B?�����2���^��2����Ѕ��2�
i=����ff�������͟���ff���+q�3���<������Vi�3���sxV2���^��2�����%B�?���Ѕ�3�
i=����ff�������͟���ff���(�11���<��+���Vi1���sxV2���^��2�����%B�?���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff���͟�fd�66B1����+q��2���<������Vi�2���u��2����%B?�����2���^��2�����G~�2���^��2���v����ff�������͟���ff���+q��3���<��+���Vi1���sxV2���^��2�����%B�?���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff���(�11���<��+���Vi1���sxV2���^��2�����%B�?���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff���͟�fd�66C1����+q��2���<������Vi�1���u��2����%B?�����/2���^��2���S��8�5����iI2�8���5�LΟ���ff�������͟���ff���+q�3���<������Vi�1���sxV2���^��2�����%B�?���Ѕ�5�
i=����ff�������͟���ff���(�11���<������Vi�1���m[�2���^��2���S��8�5����%B?���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff����������ff�������͟���ff���͟�fd�68A2����(�17���<��+���Vi2���o�!2�8���3����%B?����0i2�8���3���Ѕ�2�
i=����ff�������͟���ff����������ff�������͟���ff���͟�fd�69A1����+q��3���<������Vi�2���u��2����%B?����L�2���Ѕ�2�
i=����ff�������͟���ff���(�23���<��+���Vi1���u��2����%B?���Ѕ�1�
i=����ff�������͟���ff���͟�fd�69B2����+q��3���<��+���Vi2���u��2����%B?�����h2�8���11�����H2�8���11��͟���ff�������͟���ff���(�23���<������Vi�2���m 2�8���11����%B?���Ѕ�2�
i=����ff����ff�"(��������13�����Ӡy�����?�������>�6.3��\�T���able��3:�Some�quotien��ts�of��J�����0����(�p�)��uT��>�Using�tYthe�metho�Gd�of�graphs�and�mo�dular�sym���b�ols�w���e�computed�the�quan�tities����>�m����A�����,���m����L��	똲and��$����L���for�eac���h�ab�Gelian�v��q�ariet�y��A��p�=��A����f��	D�asso�Gciated�to�a�newform�of����>prime�UUlev���el��p�����757.�q�The�UUresults�w�ere�as�follo�ws:�������J8�1.����WIn�UUall�cases��m����A��	J��=���m����L���t�,�so�the�map�����J��\ȸ!������A��	��is�surjectiv���e.�������J8�2.����W����A��	J��=��1�UUwhenev���er�the�sign�of�the�A�tkin-Lehner�in�v�olution��w����p���on��A��is�1.�������J8�3.�����W����Q��bs�j�����A�����j���=��j�����J�����j����>�T��*�able�O1�lists�those��A��of�lev���el�����631�for�whic�h��w����p��fj�=����1,�PGalong�with�the�order�of����>the�UUcomp�Gonen���t�group.�������14�����y�����?������M�T��*�able�UU1:�q�Some�quotien���ts�of��J����0��|s�(�p�)��Bύ��I
����5�ffJN<�fd����͟���ff���c�����͟���ff��͟�fd�A���0�u�j�����A�����j�������͟���ff����c��ffJN<�����͟���ff��͟�fd�11�A���1���7��5�������͟���ff��͟�fd17�A���1���5s�2���^��2��������͟���ff��͟�fd�19�A���1���7��3�������͟���ff��͟�fd23�A���2���51�11�������͟���ff���c�����͟���ff��͟�fd29�A���2���7��7�������͟���ff��͟�fd31�A���2���7��5�������͟���ff��͟�fd37�B��W1���7��3�������͟���ff��͟�fd41�A���3���1�]2�8���5�������͟���ff�������͟���ff��͟�fd43�B��W2���7��7�������͟���ff��͟�fd47�A���4���51�23�������͟���ff��͟�fd53�B��W3���51�13�������͟���ff��͟�fd59�A���5���51�29�������͟���ff�������͟���ff��͟�fd61�B��W3���7��5�������͟���ff��͟�fd67�A���1���7��1�������͟���ff��͟�fd67�C��8�2���51�11�������͟���ff��͟�fd71�A���3���7��5�������͟���ff�������͟���ff��͟�fd71�B��W3���7��7�������͟���ff��͟�fd73�A���1���7��2�������͟���ff��͟�fd73�C��8�2���7��3�������͟���ff��͟�fd79�B��W5���51�13�������͟���ff�������͟���ff��͟�fd83�B��W6���51�41�������͟���ff��͟�fd89�B��W1���7��2�������͟���ff��͟�fd89�C��8�5���51�11�������͟���ff��͟�fd97�B��W4���5s�2���^��3��������͟���ff�������͟���ff��͟�fd�101�B��W7���5s�5���^��2��������͟���ff��͟�fd�103�B��W6���51�17�������͟���ff��͟�fd107�B��W7���51�53�������͟���ff��͟�fd109�A���1���7��1�������͟���ff�������͟���ff��͟�fd109�C��8�4���5s�3���^��2��������͟���ff��͟�fd�113�A���1���7��2�������͟���ff��͟�fd113�B��W2���7��2�������͟���ff��͟�fd113�D����3���7��7�������͟���ff�������͟���ff��͟�fd127�B��W7���1�]3�8���7�������͟���ff��͟�fd131�B��W10���/\5�8���13�������͟���ff��͟�fd137�B��W7���/\2�8���17�������͟���ff��͟�fd139�A���1���7��1�������͟���ff�������͟���ff��͟�fd139�C��8�7���51�23�������͟���ff��͟�fd149�B��W9���51�37�������͟���ff��͟�fd151�B��W3���7��1�������͟���ff��͟�fd151�C��8�6���5s�5���^��2�����ffJN<����X���5�ffQ���fd�c�����A���4Lq�j�����A�����j�����c��ffQ�������157�B��W7���8��13������163�C��8�7���93�3���^��3��������167�B��W12���8��83������173�B��W10���8��43����c����179�A���1���;q�1������179�C��8�11���8��89������181�B��W9���5UX3�8���5������191�B��W14���2�X5�8���19�������193�C��8�8���93�2���^��4��������197�C��8�10���93�7���^��2��������199�A���2���;q�1������199�C��8�10���2�X3�8���11�������211�A���2���;q�5������211�D����9���;q�7������223�C��8�12���8��37������227�B��W2���;q�1�������227�C��8�2���;q�1������227�E���:10���6q�113������229�C��8�11���8��19������233�A���1���;q�2�������233�C��8�11���8��29������239�B��W17���2�X7�8���17������241�B��W12���32���^��2���S��8�5������251�B��W17���93�5���^��3���������257�B��W14���93�2���^��6��������263�B��W17���6q�131������269�C��8�16���8��67������271�B��W16���33���^��2���S��8�5�������277�B��W3���;q�1������277�D����9���8��23������281�B��W16���/8�2�8���5����7������283�B��W14���8��47�������293�B��W16���8��73������307�A���1���;q�1������307�B��W1���;q�1������307�C��8�1���;q�1�������307�D����1���;q�1������307�E���:2���;q�3������307�F���9���8��17������311�B��W22���2�X5�8���31����ffQ����������5�ffO�u�fd�c�����A���3���j�����A�����j�����c��ffO�u�����313�A���2���:�1������313�C��8�12���2#�2�8���13������317�B��W15���[email protected]79������331�D����16���2#�5�8���11����c����337�B��W15���2e\2���^��2���S��8�7������347�D����19���5�173������349�B��W17���[email protected]29������353�A���1���:�2�������353�B��W3���:�2������353�D����14���2#�2�8���11������359�D����24���5�179������367�B��W19���[email protected]61�������373�C��8�17���[email protected]31������379�B��W18���2e\3���^��2���S��8�7������383�C��8�24���5�191������389�A���1���:�1�������389�E���:20���[email protected]97������397�B��W2���:�1������397�C��8�5���[email protected]11������397�D����10���:�3�������401�B��W21���0'"2���^��2���S��8�5���^��2��������409�B��W20���2#�2�8���17������419�B��W26���/��11�8���19������421�B��W19���4��5�8���7�������431�B��W1���:�1������431�D����3���:�1������431�F���24���2#�5�8���43������433�A���1���:�1�������433�B��W3���:�1������433�D����16���0'"2���^��2���S��8�3���^��2��������439�C��8�25���[email protected]73������443�C��8�1���:�1�������443�E���:22���/��13�8���17������449�B��W23���2e\2���^��4���S��8�7������457�C��8�20���2#�2�8���19������461�D����26���2#�5�8���23�������463�B��W22���2#�7�8���11������467�C��8�26���5�233������479�B��W32���5�239������487�A���2���:�1����ffO�u���4����5�ffWR�fd���V�����ff���c�����A���77�j�����A�����j�`U����ff������V�����ff����c��ffWR�����487�B��W2���>\s3�������ff������487�C��8�3���>\s1�������ff������487�D����16���<93���^��3�������ff�������491�C��8�29���6�5�8���7���^��2���v����ff������V�����ff���c�����499�C��8�23���;�r83������ff������503�B��W1���>\s1�������ff������503�C��8�1���>\s1�������ff������503�D����3���>\s1�������ff������V�����ff������503�F���26���9\r251�������ff������509�B��W28���9\r127�������ff������521�B��W29���/��2�8���5����13��͟���ff������523�C��8�26���5�3�8���29�
�<����ff������V�����ff������541�B��W24���6�3���^��2���S��8�5�+����ff������547�C��8�25���5�7�8���13�
�<����ff������557�B��W1���>\s1�������ff������557�D����26���9\r139�������ff������V�����ff������563�A���1���>\s1�������ff������563�E���:31���9\r281�������ff������569�B��W31���5�2�8���71�
�<����ff������571�A���1���>\s1�������ff������V�����ff������571�B��W1���>\s1�������ff������571�C��8�2���>\s1�������ff������571�D����2���>\s1�������ff������571�F���4���>\s1�������ff������V�����ff������571�I���r18���5�5�8���19�
�<����ff������577�A���2���>\s3�������ff������577�B��W2���>\s1�������ff������577�C��8�3���>\s1�������ff������V�����ff������577�D����18���<92���^��4�������ff�������587�C��8�31���9\r293�������ff������593�B��W1���>\s2�������ff������593�C��8�2���>\s1�������ff������V�����ff������593�E���:27���5�2�8���37�
�<����ff������599�C��8�37���[email protected]13�8���23�i<����ff������601�B��W29���6�2�8���5���^��2���v����ff�������607�D����31���9\r101�������ff������V�����ff������613�C��8�27���5�3�8���17�
�<����ff������617�B��W28���/��2�8���7����11��͟���ff������619�B��W30���9\r103�������ff������631�B��W32���2#�3�8���5����7�LΟ���ff����ffWR��������15�����}�y�����?������>�References�������>�[Col99]���fR.�UUColeman,��The���mono��}'dr�omy�p�airing�,�UUAsian�Math.�Journal�(1999).������>[Cre97]���fJ.E.�A/Cremona,�xj�A���lgorithms���for�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second�A/ed.,�Cam-����fbridge�UUUniv���ersit�y�Press,�Cam�bridge,�1997.������>[Edi91]���fB.�IEdixho���v�en,���L'action�K$de�l'alg�����$�ebr��}'e�de�He�cke�sur�les�gr�oup�es�de����fc��}'omp�osantes���des�jac��}'obiennes�des�c�ourb�es�mo�dulair�es�est�\Eisenstein���P"�,����fAst�����Gerisque��(1991),��no.�196-197,�7{8,�159{170�(1992),�Courb�Ges�mo�du-����flaires�UUet�courb�Ges�de�Shim���ura�(Orsa�y��*�,�1987/1988).������>[Koh98]���fD.�UUKohel,��He��}'cke���mo�dule�structur�e�of�quaternions�.������>[Maz77]���fB.�o�Mazur,����Mo��}'dular���curves�and�the�eisenstein�ide�al�,���Inst.�o�Hautes��V��x���Etudes����fSci.�UUPubl.�Math.�(1977),�no.�47,�33{186�(1978).������>[Mes86]���fJ.-F.��$Mestre,��W�L��}'a��m�����$�etho�de�des�gr�aphes.�Exemples�et�applic�ations�,��WPro-����fceedings��$of�the�in���ternational�conference�on�class�n�um�b�Gers�and�funda-����fmen���tal�UUunits�of�algebraic�n�um�b�Ger�elds�(Katata)�(1986),�217{242.������>[Mil86]���fJ.S.�xXMilne,��A���b��}'elian��'varieties�,�Arithmetic�geometry�(Storrs,�Conn.,����f1984),�UUSpringer,�New�Y��*�ork,�1986,�pp.�103{150.������>[Shi73]���fG.�I&Shim���ura,�K��On���the�factors�of�the�jac��}'obian�variety�of�a�mo�dular�func-����ftion���eld�,�UUJ.�Math.�So�Gc.�Japan��25��(1973),�no.�3,�523{544.������>[Ste99a]���fW.���Stein,����Optimal��vquotients�of��J����0��|s�(�N��),�U.C.���Berk���eley�Ph.D.�thesis,�in����fpreparation�UU(1999).������>[Ste99b]���fW.��GStein,���Some�'�ab��}'elian�varieties�with�visible�shafar�evich-tate�gr�oups�,����fPreprin���t�UU(1999).�������16����J���;�y��5��g�cmmi12�3|{Ycmr8�+��g�ffcmmi12�*��N�cmbx12�)�':

cmti10�&�%n�

eufm10�$f$�cmbx7���N�ffcmbx12�X�Qffcmr12�o���		cmr9�X�Qcmr12���N�G�cmbx12��"V

cmbx10��5D

xycmbt10��5D

xycmat10��5D

xybsql10��6δ

xydash10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10��������