Sharedwww / Tables / artin.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2000.07.07:0443������y�����?�����>�D��tG�G�cmr17�A�7tmo�s�d�v��qe�approac�h�to�mo�s�dularit�y�of�icosahedral�����1�Galois�7trepresen��qtations���������r��X�Qcmr12�Kevin��Buzzard�and�William�A.�Stein�����������?�July��7,�2000��$���!K�"t�:		cmbx9�Abstract���э�d���!o���		cmr9�W��:�e���giv��9e�eigh�t�new�examples�of�icosahedral�Galois�represen�tations�that����Wsatisfy�]Artin's�conjecture�on�holomorphicit��9y�of�their��#5��"		cmmi9�L�-function.�	݊W��:�e����Wgiv��9e�Y�in�detail�one�example�of�an�icosahedral�represen�tation�of�conduc-����Wtor�����1376���L�=���2���-=��Aa�cmr6�5�����$����		cmsy9��}�43���that�satises�Artin's�conjecture.�TW��:�e�also�brie
y�ex-����Wplain��	the�computations�b�A�ehind�sev��9en�additional�examples�of�conductors�����W�2416��n��=���2���-=�4��?G����151,��!V�3184����=�2���-=�4������199,��!V�3556����=�2���-=�2������7����127,��!V�3756����=���2���-=�2�����3����313,�����W�4108��nބ�=���2���-=�2��8���8�13����79,��T�4288�����=�2���-=�6��8����67,�Tand���5373�����=�3���-=�3��8���8�199.��!č�>�.��N�ffcmbx12�In���tro�s3duction�����>�K�`y

cmr10�Consider�UUa�con���tin�uous�UUirreducible�Galois�represen���tation�����Q��
�b>

cmmi10����:��Gal��g(����_�fe������0�"V

cmbx10�Q������=�Q�)��
!",�

cmsy10�!���GL��������	0e�rcmmi7�n��Q{�(�C�)����>with����n���>��1.�	d�Inspired�b���y�his�recipro�Gcit�y�la�w,�eAArtin�conjectured�in�[�1��]�that����>�L�(�;���s�)���has�an�analytic�con���tin�uation���to�the�whole�complex�plane.�b�Man���y�of�the����>kno���wn���cases�of�this�conjecture�w�ere�obtained�b�y�pro�ving�the�apparen�tly�stronger����>assertion��wthat����is��6�':

cmti10�automorphic�,��in�the�sense�that�the��L�-function�of����is�equal����>to�UQthe��L�-function�of�a�certain�automorphic�represen���tation�(whose��L�-function�is����>kno���wn��to�ha�v�e�analytic�con�tin�uation).�#�In�the�sp�Gecial�case�where��n��N�=�2��and������>�is���in�addition�assumed�to�b�Ge�o�dd,��the�automorphic�represen���tation�in�question����>should�d�b�Ge�the�one�asso�ciated�to�a�classical�w���eigh�t�d�1�mo�dular�eigenform,���and����>in��8fact�there�is�conjectured�to�b�Ge�a�bijection�b�et���w�een��8suc�h����and�the�set�of����>all�*�w���eigh�t�1�cuspidal�newforms,�`Rwhic�h�should�preserv�e��L�-functions.��It�is�this����>bijection�that�w���e�are�concerned�with�in�this�pap�Ger,��so�assume�for�the�rest�of�the����>pap�Ger�UUthat��n���=�2�UUand����is�o�dd.����MIn��this�sp�Gecial�case,�5cthe�construction�of�[�7��]�sho���ws�ho�w�to�construct�a�con-����>tin���uous�C�irreducible�o�Gdd�2-dimensional�represen�tation�from�a�w�eigh�t�1�newform,����>and�:
the�problem�is�to�go�the�other�w���a�y��*�.�h�Sa�y�:
that�a�represen���tation�is��mo��}'dular��if����>it�UUarises�in�this�w���a�y��*�.����MIf���the�image�of����is�solv��q�able,���then����is�kno���wn�to�b�Ge�mo�dular�[�11��
,��18��
��];���if�the����>image��is�not�solv��q�able,��Bthen��Im��{�(��)�in��PGL���q1���ٓ�Rcmr7�2���(�C�)�is�isomorphic�to�the�alternating������1����*�y�������>�7p�0J

cmsl10�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�2���?������>group�xK�A����5��|s�,��	and�the�mo�Gdularit���y�of����is,�in�general,�unkno���wn.�ڪW��*�e�call�suc�h�a����>2-dimensional�v4represen���tation�an�\icosahedral�represen�tation".��cThe�published����>literature��hcon���tains�only�eigh�t�examples�(up�to�t�wist)�of�o�Gdd�icosahedral�Galois����>represen���tations��{that�are�kno�wn�to�satisfy�Artin's�conjecture:�one�of�conductor����>800��-=�2���^��5��t�����5���^��2���(see�t0[�2��]),���and�sev���en�of�conductors:��}2083�;�UP�2���^��2������487�;��2���^��2������751�;��2���^��2�������>�887�;�UP�2���^��2���S��8�919�;��2���^��5����8�73�;�����and��o2���^��5�����193�UU(see�[�8��]).����MAfter�c�the�rst�draft�of�this�pap�Ger�w���as�written,��uthe�preprin�t�[�3��]�app�Geared,����>whic���h���con�tains�a�general�theorem�that�yields�innitely�man�y�(up�to�t�wist)�mo�Gd-����>ular�licosahedral�represen���tations.�$Ho�w�ev�er,���w�e�lfeel�that�our�w���ork,�although�m���uc�h����>less�[email protected]�Go���w�erful,�C�is�still�of�some�w�orth,�C�b�Gecause�it�giv�es�an�eectiv�e�computational����>approac���h��pto�pro�ving�that�certain�mo�Gd�5�represen�tations�are�mo�Gdular,��6without����>computing�![an���y�spaces�of�w�eigh�t�1�forms�or�using�eectiv�e�v�ersions�of�the�Cheb-����>otar�����Gev�&cdensit�y�theorem.���W��*�e�also�note�that�the�main�theorem�of�[�3��]�do�Ges�not����>apply��Zto�an���y�of�the�examples�considered�in�the�presen�t�pap�Ger.�>�V��*�ery�recen�tly��*�,���the����>preprin���t��[�17��
]�app�Geared,�&Mwhic�h�giv�es�lo�Gcal�conditions�under�whic�h�an�icosahedral����>represen���tation��is�mo�Gdular.�V�In�particular,��[�17��
]�also�pro�v�es�that�the�rst�three�ex-����>amples��in�the�presen���t�pap�Ger,���of�conductors�1376,�2416,�3184,�are�mo�Gdular;�	�these����>corresp�Gond��to�the�rst,�)third,�and��fourth�equations�at�the�end�of�[�17��
].�Y�Ho���w�ev�er,����>[�17��
]�UUdo�Ges�not�apply�to�our�remaining�v���e�examples.����MIn���this�pap�Ger�w���e�giv�e�eigh�t�new�examples�of�mo�Gdular�icosahedral�represen-����>tations��that�w���ere�computed�b�y�applying�the�main�theorem�of�[�4��]�to�the�mo�Gd�5����>reduction���of���.��W��*�e�v���erify�mo�Gdularit�y�mo�Gd�5�on�a�case-b�y-case�basis.��Later����>w���e�;2shall�explain�our�approac�h�more�carefully��*�,�t�but�let�us�brie
y�summarise�it����>here.���By�\�[�4��],�^�the�problem�is�to�sho���w�that�the�mo�Gd�5�reduction�of����is�mo�dular.����>W��*�e���do�this�b���y�nding�a�candidate�mo�Gd�5�mo�dular�form�at�w���eigh�t���5�and�then,����>using���the�table�of�icosahedral�extensions�of��Q��in�[�8��]�and�what�w���e�kno�w�ab�Gout����>the��;5-adic�represen���tation�attac�hed�to�our�candidate�form,�4w�e�deduce�that�the����>mo�Gd�k�5�represen���tation�attac�hed�to�our�candidate�form�m�ust�b�Ge�the�reduction����>of��#��.�+1In�particular,���this�pap�Ger�giv���es�a�computational�metho�ds�for�c���hec�king��#the����>mo�Gdularit���y��of�certain�mo�d�5�represen���tations�whose�conductors�are�not�to�o�large.����>W��*�e�UUno���w�giv�e�more�details.����MIn�4Oeac���h�of�our�examples�it�is�easy�to�compute�a�few�Hec�k�e�op�Gerators�and����>b�Ge��morally�con���vinced�that�a�mo�d�5�represen���tation�should�b�e�mo�dular;��it�is����>far�S"more�dicult�to�pro���v�e�S"this.�k-Eectiv�e�v��q�arian�ts�of�the�Cheb�Gotarev�densit�y����>theorem��require�that�w���e�c�hec�k�v��q�astly�more�traces�of�F��*�rob�Genius�than�is�practical.����>Instead�Drw���e�use�the�Lo�Gcal�Langlands�theorem�for��GL���]W���2���ʲ,�G�the�theory�of�companion����>forms,�UUand�T��*�able�2�of�[�8��],�to�pro���vide�pro�Gofs�of�mo�dularit���y�in�certain�cases.����MMore�	�precisely��*�,�7let��K���b�Ge�an�icosahedral�extension�of��Q��that�is�not�totally����>real,�UUand�consider�a�minimal�lift�����:��G����1f$�cmbx7�Q��
4�!���GL��������2��\p�(�C�)�UUof�����چ�G����Q��
4�!����Gal��g(�K�(�=�Q�)�����A����5��C�����PGL����7���2��*��(�C�);����>the��lift�is�minimal�in�the�sense�that�its�conductor�is�minimal.�=�Assume�that�5����>do�Ges��not�ramify�in��K���,�,and�that�a�F��*�rob�enius�elemen���t�at�5�in��Gal����(�K�(�=�Q�)�do�es�not����>ha���v�e�)�order�1�or�5.�c0Inspired�b���y�the�p�Gossibilit�y�that����is�mo�Gdular,�2Qw�e�searc�h�for�a����>mo�Gd��15�mo�dular�form�of�w���eigh�t��15�whose�existence�w���ould�b�e�forced�b���y�mo�dularit���y�����
C�y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�3���?������>of����.���Indeed,�11w���e�nd�a�candidate�mo�Gd�5�form��f���,�and�then�pro���v�e��that�the����>xed���eld�of�the�k���ernel�of�the�pro��8jectiv�e�mo�Gd�5�represen�tation�asso�Gciated�to�a����>certain�u t���wist�of��f����m�ust�b�Ge��K���.��)This�pro�v�es�that�the�mo�Gd�5�reduction�of�a�t�wist����>of����is�mo�Gdular,�2and�the�main�theorem�of�[�4��]�then�implies�that����is�mo�dular.����>W��*�e��bcarried�out�this�program�for�icosahedral�represen���tations�of�the�follo�wing����>conductors:��9��1376��˲=��2���^��5���%��X��43,�����2416��¹�=�2���^��4����X��151,�����3184��¹�=�2���^��4����X��199,�����3556��¹�=�2���^��2����X��7����127,�����>�3756��W��=��2���^��2���S��8�3����313,��UU�4108��e�=�2���^��2���S���13����79,��UU�4288��e�=�2���^��6���S���67,�UUand���5373��e�=�3���^��3���S��8�199.����MW��*�e��c���ho�Gose�an�icosahedral�eld��K����and�represen�tation���,�'�then�pro�Gceed�as����>follo���ws:��'����I҂�1.���W�Searc���h��for�a�form��f�2��2���S����5��|s�(�N���;���"�;�����_�fe<o����F��������5��
c��)��whose�asso�Gciated�mo�d�5�Galois�repre-����Wsen���tation�UUlo�Goks�lik�e�it�is�the�mo�Gd�5�reduction�of���.������I҂�2.���W�Twist�UU�f�h�to�obtain�an�eigenform��g��.�with�co�Gecien���ts�in��F����5��|s�.������I҂�3.���W�Pro���v�e�UUthat������g���\�is�unramied�at�5�b���y�nding�a�companion�form.������I҂�4.���W�Pro���v�e�UUthat�the�image�of��pro��8j��U�����g���\�is��A����5���Ȳb���y�ruling�out�all�other�p�Gossibilities.������I҂�5.���W�Pro���v�e�e�that�the�xed�eld��L��of��pro��8j��%�����g��	��has�ro�Got�eld�of�discriminan���t�at����Wmost�UU2083���^��2��|s�,�so��L��is�in�T��*�able�2�of�[�8��];�deduce�that��L���=��K���.������I҂�6.���W�Apply��the�main�theorem�of�[�4��]�to�a�lift�of����~��fe+���g�����
NP�=������g�����to�conclude�that����is����Wmo�Gdular.��!�>�1��VL�Mo�s3dularit���y��of�an�icosahedral�represen�tation����VL�of�ffconductor��-X�Qffcmr12�1376���=�2����=�5���1�9!",�ff
cmsy10��30�43�����>�In�UUthis�section�w���e�pro�v�e�the�follo�wing�theorem.������>�Theorem��T1.1.�������The���ic��}'osahe�dr�al�r�epr�esentations�whose�c�orr�esp�onding�ic�osahe-����>dr��}'al�'extension�is�the�splitting�eld�of��x���^��5�����+�042�x���^��4���+�6�x���^��3���+�8�x���^��2���+�10�x��+�8�'�ar��}'e�mo�dular.����M�Let��|�K�~��b�Ge�the�splitting�eld�of��h���=��x���^��5�����+�02�x���^��4���+�6�x���^��3���+�8�x���^��2���+�10�x��+�8.�BThe��|Galois����>group�8bof��K��~�is��A����5��|s�,�>,so�w���e�obtain�a�homomorphism��G����Q��
4�!���A����5��C�����PGL����7���2��*��(�C�);�Blet�8b���:����>�G����Q��
4�!����GL��������2��\p�(�C�)��Wb�Ge�a�minimal�lift,��minimal�in�the�sense�that�the�Artin�conductor����>of������is�minimal.�A�By�T��*�able��A����5���of�[�2��],���the�conductor�of����is��N�Q��=�:�1376�=�2���^��5��ジ�g�43.����>Since�/ĵh�����(�x����1)(�x���^��2��j2���x��+�1)(�x���^��2�����x��+�2)�q�(�mo�Gd���5),�7Hand��/�disc���(�h�)�/�is�coprime�to�5,����>an���y�UUF��*�rob�Genius�elemen�t�at�5�in��Gal���W(�K�(�=�Q�)�has�order�2.����MW��*�e���use�the�notation�of�T�ables�3.1�and�3.2�of�[�2��,���pg.��46];���from�T�able�3.2�w���e����>see�y�that�the�t���yp�Ge�of����at�2�is�17�and�the�t�yp�Ge�at�43�is�2.�߳The�mo�d��N���Diric���hlet����>c���haracter��;�"���=��det����(��)�factors�as��"��=��"����2��#�����"����43��
�!�where��"����2����is�a�c���haracter�mo�Gd�2���^��5���and��"����43�����>�is�Ka�c���haracter�mo�Gd�43.�nXCorresp�onding�to�eac���h�t�yp�Ge�in�Buhler's�table,�Mthere�is�a����>c���haracter,���and��$fortunately�Buhler's�lev�el�800�example�also�w�as�of�t�yp�Ge�17�at�2����>(see�t�the�rst�line�of�[�2��,�|�T��*�able�3.2]).�ЇBy�[�2��,�|�pg.�80]��"����2���]�is�the�unique�c���haracter�of����>conductor�]a4�and�order�2.���A�]_lo�Gcal�computation�sho���ws�that�the�image�of��"����43���G�has����>order�UU3.����MIf��"���is�mo�Gdular,���then�there�is�a�w���eigh�t��"1�newform��f����?��o�2���S����1��|s�(�N���;���"�;�����_�fe������Q���
N3�)��"that�giv���es����>rise�K(to���.�ncSupp�Gose�for�the�momen���t�that����is�mo�dular,�M1so�that��f����?����exists.�ncCho�ose����>a��prime�of�����_�fe����Z���>p�lying�o���v�er��5,�[email protected]�denote�b���y�����
�fe��$���f����
��qƱ?��u��the�reduction�of��f����?��a�mo�Gdulo�this�������y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�4���?������>prime.��The�4OEisenstein�series��E����4���*�2�:��M����4��|s�(1;����F����5���)�4Ois�congruen���t�to�1�mo�Gdulo�5,�lso����>�E����4��	e�������
�fe��$���f�����؟qƱ?��dt�2��E�S����5��|s�(�N���;���"�;�����_�fe<o����F��������5��
c��)��phas�the�same��q�[ٲ-expansion�as�����
�fe��$���f����	�V�qƱ?����.��Using�a�computer,���w���e����>can�)�searc���h�for�a�form��f�<u�2�(�S����5��|s�(�N���;���";�����_�fe<o����F��������5��
c��)�)�that�has�the�same��q�[ٲ-expansion�as�the����>conjectural�UUform��E����4���S���8���
�fe��$���f����1ƟqƱ?��w�.����MInstead��of�m���ultiplying�����
�fe��$���f�������qƱ?��ro�b�y��E����4��|s�,���w�e�could�ha�v�e�m�ultiplied�it�b�y�an�Eisenstein����>series�pof�w���eigh�t�p1,���lev�el�5,���and�c�haracter��"���^��O!�cmsy7�0���9�.�%_W��*�e�used��E����4��쎲b�Gecause�the�dimension�of����>�S����5��|s�(�N���;���"�;�����_�fe<o����F��������5��
c��)�$�is�696�whereas�the�dimension�of�the�relev��q�an���t�space��S����2���(5�י���1376�;���"����43��x�)����>of�UUw���eigh�t�2�cusp�forms�is�1040.���6���>�=��N�cmbx12�1.1��\�Searc��hing��for�the�newform����g�cmmi12�f��uT��>�Using��Imo�Gdular�sym���b�ols�(see�Section�3.1)�w���e�compute�(at�least�up�to�semi-����>simplication)���the�space��S����5��|s�(1376�;���"�;��F����25��x�).�T�Note���that�there�is�injectiv���e�map�from����>the��mimage�of��"��in���to��F���^�����l��25���x�.�tBy�computing�the�k�ernels�of�v��q�arious�Hec�k�e�op�Gerators����>on��wthis�space,��?w���e�nd��f���.��,In�the�follo�wing�computations,��?w�e�represen�t�nonzero����>elemen���ts�UUof��F����25���;�as�p�Go�w�ers�of�a�generator���^ϲof��F���^�����l��25���x�,�whic�h�satises���������	z�����2���Ͳ+�8�4��BZ�+�2��=�0�:����>�Our��qc���haracter��"����43��
=W�w�as�represen�ted�as�the�map�sending�(1�;����3)�*�2��(�Z�=�2���^��5��|s�Z�)���^����ƀ�����>�(�Z�=�43�Z�)���^����L��to���2���P�+�w�1.��Note�that�3�is�a�primitiv���e�ro�Got�mo�d�43,��cand�that�2���P�+�w�1����>has�UUorder�3.����MIf���the�least�common�m���ultiple�of�the�degrees�of�the�factors�of�the�p�Golynomial��h����>�mo�Gdulo���an�unramied�prime��p��is�2,��then��F��*�rob����5���p���G�2��B��Gal����(�K�(�=�Q�)�has�order�2.�P\The����>minimal��mp�Golynomial�of���(�F��*�rob���*����p����)�G=�2���GL���`"���2��ܕ�(�C�)��mis�then��x���^��2���b��8�1,�5rso���(�F��*�rob���*����p���)�has����>trace��j0.��The�rst�three�primes��p���4���

msbm10�-��5�!����1376��jsuc���h�that���(�F��*�rob���*����p����)�has�order�2����>are���p�(��=�19�;����31�;��97.�!�W��*�e�computed�the�mo�Gd�5�reduction����B�Ɍ

cmbsy10�BS����=N���5�����(1376�;�"�;��F����25��x�)���^��+��
3��of�the����>�Z����5��|s�[�����3���]-lattice���of�mo�Gdular�sym���b�ols�of�lev���el�1376�and�c�haracter���:"~����"���ɖ�where�complex����>conjugation�UUacts�as�+1.�q�Here�����~����"���Tp�denotes�the�T��*�eic���hm�G����uller�lift�of��"�.����MLet�U��V��n�b�Ge�the�in���tersection�of�the�k�ernels�of��T����19��x�,����T����31���,�and�U��T����97��
�p�inside�of�the�space������>�BS����E�?���5��J)��(1376�;���"�;��F����25��x�)���^��+��	o�of�l�mo�Gd�5�mo�dular�sym���b�ols.�$KThe�space��V��òis�8-dimensional,��]and����>no�,�doubt�all�the�eigenforms�in�this�space�giv���e�rise�to����or�one�of�its�t�wists.�dCOne����>of���the�eigen���v��q�alues�of��T����3��	N�on�this�space�is����	z��^��16���`�,��<and�the�k�ernel��V����1��	N�of��T����3���������	z��^��16�����>�is��2-dimensional�o���v�er���F����25��x�.���The�Hec���k�e��op�Gerator��T����5�����acted�as�a�diagonalisable����>matrix���on��V����1��|s�,��~with�eigen���v��q�alues����	z��^��10��	�and����	z��^��22���`�,�so�the�corresp�Gonding�t���w�o���systems����>of�C,eigen���v��q�alues�m�ust�corresp�Gond�to�mo�d�5�mo�dular�eigenforms,�F�and�furthermore����>w���e��Nm�ust�ha�v�e�found�all�mo�Gd�5�mo�dular�eigenforms�of�this�lev���el,��w�eigh�t�and����>c���haracter,�UUsuc�h�that��a����19��?��=���a����31���=�0�UUand��a����3��C��=����	z��^��16���`�.������>�R��}'emark���1.2.���xk��The��+careful�reader�migh���t�w�onder�ho�w�w�e�kno�w�that�the�systems����>of�Jmo�Gd�5�eigen���v��q�alues�really�do�corresp�ond�to�mo�d�5�mo�dular�forms,�L�and�not�to����>p�Gerhaps��tsome�strange�mo�d�5�torsion�in�the�space�of�mo�dular�sym���b�ols.�H'Ho�w�ev�er,����>w���e���eliminated�this�p�Gossibilit�y�b�y�computing�the�dimension�of�the�full�space�of����>mo�Gd��5�mo�dular�sym���b�ols�where�complex�conjugation�acts�as�+1,��=and�c���hec�king����>that��it�equals�696,�"the�dimension�of��S����5��|s�(1376�;���T�~������"���Tn;����C�),�whic���h�w�e�computed�using����>the�UUform���ula�in�[�5��].�����2F�y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�5���?���־����34�����T��*�able�UU1:�q�Eigen���v��q�alues�of��f����m�f���>S쟝��ff,��fd����͟���ff�	�Ο�fd�2���0��ϟ���ff�������͟���ff�	�Ο�fd3������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�5������	z��^��22��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�7������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�11���4��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd13������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�17������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�19���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd23������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�29������	z��^��8��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�31���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd37������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�41���1��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd43������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�47���1��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd53������	z��^��22��
O-����ff����ff,����k;񟝀�ff1��fd����͟���ff�	�Ο�fd�59���4��ϟ���ff�������͟���ff�	�Ο�fd61������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�67������	z��^��4��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�71������	z��^��20��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�73������	z��^��2��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�79������	z��^��20��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�83������	z��^��4��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�89������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff�	�Ο�fd�97���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd101������	z��^��8��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�103������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�107���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd109������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�113���2��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd127���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd131���2��ϟ���ff����ff1�����#�����ff1��fd����͟���ff��͟�fd137���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd139������	z��^��22��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�149������	z��^��4��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�151���1��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd157������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�163���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd167������	z��^��22��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�173���4��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd179������	z��^��2��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�181������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�191������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�193���4��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd197���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd199���3��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd211���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd223���0��ϟ���ff����ff1����������ff1��fd����͟���ff��͟�fd227������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�229���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd233������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�239���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd241������	z��^��2��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�251������	z��^��2��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�257���3��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd263������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�269���2��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd271������	z��^��8��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�277���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd281������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�283���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd293���3��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd307������	z��^��4��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�311������	z��^��22��
O-����ff����ff1���������ff1��fd����͟���ff��͟�fd�313���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd317���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd331������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�337���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd347������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�349������	z��^��4��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�353���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd359���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd367������	z��^��22��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�373���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd379���3��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd383���3��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd389���1��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd397������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�401���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd409���2��ϟ���ff����ff1����2�	����ff1��fd����͟���ff��͟�fd419���3��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd421������	z��^��20��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�431���4��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd433������	z��^��4��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�439������	z��^��20��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�443���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd449���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd457���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd461���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd463������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�467���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd479���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd487������	z��^��8��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�491������	z��^��2��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�499������	z��^��20��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�503������	z��^��2��
O-����ff����ff1����d�����ff1��fd����͟���ff��͟�fd�509������	z��^��8��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�521������	z��^��10��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�523������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�541������	z��^��20��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�547������	z��^��22��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�557���3��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd563���1��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd569������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�571������	z��^��22��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�577������	z��^��14��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�587������	z��^��20��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�593���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd599������	z��^��22��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�601���0��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd607������	z��^��16��
O-����ff�������͟���ff��͟�fd�613���2��ϟ���ff����ff1�������MLet�݌�f���b�Ge�the�eigenform�in��V����1��Y��that�satises��a����5��&��=�����	z��^��22���`�;�!�the��q�[ٲ-expansion�of��f����>�b�Gegins����wMe�f�ڧ�=���q����+�8���	z�����16���`�q��[ٟ����3��,�+����	z�����22���q��[ٟ����5��,�+����	z�����14���q��[ٟ����7��,�+����	z�����14���q��[ٟ����9��,�+�4�q��[ٟ����11��
��+���������8׵:����>�F��*�urther�:�eigen���v��q�alues�are�giv�en�in�T��*�able�1.�
!�The�primes��p��in�the�table�suc�h����>that����a����p��	��=��0�are�exactly�those�predicted�b���y�considering�the�splitting�b�Geha�v-����>ior���of��h�.�SThis�is�strong�evidence�that����is�mo�Gdular,��and�also�that�our�mo�dular����>sym���b�Gols�UUalgorithm�ha�v�e�b�Geen�correctly�implemen�ted.���6���>�1.2��\�Twisting��in��to���GL���(2�;����F�����|{Ycmr8�5����)��uT��>�Although��there�is�a�represen���tation������f����:���G����Q���!���GL����(2�;����F����25��x�)��attac�hed�to��f���,��it�is����>dicult���to�sa���y�an�ything�ab�Gout�its�image�without�further�w�ork.�*�W��*�e�use�a�tric�k����>to��sho���w�that�the�image�of������f��	"Dzis�small.�L�Firstly��*�,�;for�a�c�haracter������:��G����Q���!�����_�fe<o����F����d���5���ײ,����>let���'�~���������3�denote���its�T��*�eic���hm�G����uller�lift�to�����_�fe������Q����
�8�qƱ5����.�	[�By�a�result�of�Cara�y�ol,�a�there�is�a����>c���haracteristic�B 0�eigenform���\q��iA~�������f����ø2�Q��S����5��|s�(�N���;���T�~������"���Tn�;�������_�fe������Q����
N3�qƱ5��ʦ�)�lifting��f���.�8'The�t�wist�����~����g���
���=���\q��x�~������Q��f���
!_�
������~���ּ�"����43�������>�is,��Ob���y���[�14��
,�Prop.���3.64],�an�eigenform�in��S����5��|s�(43�N���;���T�~������"����2����
��;�������_�fe������Q����
N3�qƱ5��ʦ�),�and�its�reduction�is�a����>form��g�gd�2���S����5��|s�(43�N���;���"����2���;��F����25��x�).���The�eigen���v��q�alues��a����p���R�(�g�[ٲ)��=��a����p���(�f���)�"����43��x�(�p�),�H�for�the�rst����>few�UU�p���-��5�N��,�are�giv���en�in�T��*�able�2.������>�Prop�Q�osition��T1.3.����?�L��}'et���g�"�=���f�Lo�
�8�"����43��x��.���Then��a����p���R�(�g�[ٲ)��2��F����5��Z�for�al���l��p��-��`N��.��-�����>Pr��}'o�of.���]UI�Consider��wan�eigenform���\q���~�������f���
�W�2����S����5��|s�(�N���;���T�~������"���Tn�;�������_�fe������Q����
N3�qƱ5��ʦ�)�lifting��f���as�ab�Go���v�e.�-Asso�ciated����>to���\q�� �~���������f���
�J�there���is�an�automorphic�represen���tation���4�=���
���^���0��፴v����N�����v����of��GL���(2�;����A�),�"�where��A�����Fh�y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�6���?���־����34�����T��*�able�UU2:�q�Eigen���v��q�alues�of��g�"�=���f�Lo�
�8�"����43�����m�f���L�񟝀�ff#�fd����͟���ff�	�Ο�fd�2������͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd�3���1��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd5������͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd�7���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd11���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd13���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd17���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd19���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd23���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd29���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd31���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd37���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd41���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd43������͟���ff�������͟���ff��͟�fd�47���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd53���2��͟���ff����ff#���o���ff(�fd����͟���ff�	�Ο�fd59���4��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd61���2��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd67���4��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd71���4��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd73���3��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd79���4��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd83���4��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd89���3��͟���ff�������͟���ff�	�Ο�fd97���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd101���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd103���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd107���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd109���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd113���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd127���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd131���2��͟���ff����ff(����������ff(�fd����͟���ff��͟�fd137���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd139���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd149���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd151���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd157���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd163���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd167���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd173���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd179���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd181���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd191���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd193���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd197���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd199���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd211���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd223���0��͟���ff����ff(����������ff(�fd����͟���ff��͟�fd227���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd229���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd233���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd239���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd241���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd251���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd257���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd263���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd269���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd271���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd277���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd281���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd283���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd293���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd307���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd311���2��͟���ff����ff(��������ff(�fd����͟���ff��͟�fd313���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd317���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd331���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd337���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd347���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd349���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd353���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd359���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd367���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd373���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd379���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd383���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd389���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd397���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd401���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd409���2��͟���ff����ff(�������ff(�fd����͟���ff��͟�fd419���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd421���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd431���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd433���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd439���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd443���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd449���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd457���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd461���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd463���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd467���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd479���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd487���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd491���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd499���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd503���3��͟���ff����ff(���8����ff(�fd����͟���ff��͟�fd509���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd521���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd523���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd541���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd547���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd557���3��͟���ff�������͟���ff��͟�fd563���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd569���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd571���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd577���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd587���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd593���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd599���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd601���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd607���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd613���2��͟���ff����ff(���`����ff(�fd����͟���ff��͟�fd617���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd619���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd631���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd641���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd643���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd647���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd653���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd659���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd661���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd673���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd677���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd683���0��͟���ff�������͟���ff��͟�fd691���1��͟���ff�������͟���ff��͟�fd701���2��͟���ff�������͟���ff��͟�fd709���4��͟���ff�������͟���ff��͟�fd719���4��͟���ff����ff(������>is���the�ad�����Gele�ring�of��Q�.�HmBecause�43�>W�jj��N��,���and���43�divides�the�conductor�of��"�,�w���e����>see��hthat�the�lo�Gcal�comp�onen���t������43��>N�of���!A�at�43�m�ust�b�Ge�ramied�principal�series.����>By�.�Cara���y�ol's�theorem,�e���C�����~���㍴f���/ �j����D�����Zcmr5�43���������1s���b���u

cmex10���������
qr�	���1����J'�0���H����
x�0���C	���2������"�`���b����+�w�with,�without�loss�of�generalit���y��*�,�	����2���
�獑>�unramied.�q�W��*�e�UUha���v�e�(	����1���S��8�	����2��|s�)�j����I���43��� ��=���qR~�����"���p޸j����I���43����=���qR~�����"����43�����IJ,�therefore,����C�����~���㍴f���/ �j����I���43�����������b�����Y?�����	�α~���	�"���43�������q�0���؍����0����q1����������b����!�.���鍑MNo���w�$�t�wist���\q��K�~�������f���A��b�y�����~����"����䍷�1���43������Ʋ;�4�w�e�nd�that�����IC����~���㍴f���� �"&�
������~���"����k����0ncmsy5��1��j^�43�������$�j����I���43��� ���������`����������
j��1����E0���썍�
j�0�������~���-��"����k���1��j^�43������������`����%ꌲ.�a�In�particular,�.Nthere���M��>is�an�eigenform���\q��*;~�������f�����^��0�����Q�2���S����5��|s�(�N���;���T�~������"����2������{�~���
��"����䍷�1���43�����7�;�������_�fe������Q����
N3�qƱ5��ʦ�)�whose�asso�Gciated�Galois�represen���tation�is����>the�t���wist�b�y����F~����"����䍷�1���43������R�of�that�of���\q��A-~�������f���,��(recall�that��N��3�=��1376�and�so�43�divides��N�1'�exactly����>once).�IuLet��f�����^��0���W�denote�the�mo�Gd�5�reduction�of���\q���~�������f�����^��0�������.�Then�one�c���hec�ks��easily�that����>�f�����^��0����2���S����5��|s�(�N���;���"����2���"����䍷�1���43���
�t�;��F����25��x�)��=��S����5��|s�(�N���;�"���^��5���;��F����25��x�).����MF��*�or�I8all�primes��p�]��-��5�N�`S�w���e�I8ha�v�e��a����p���R�(�f�����^��0���Ȳ)�]�=��"����43��x�(�p�)���^���1��
�t�a����p���(�f���).�MpIn�I8particular,��0w���e����>ha���v�e�UU�a����p���R�(�f�����^��0���Ȳ)��=�0�for��p��=�19�;����31.�q�Also,��"����43��x�(3)�=����	z��^��8���B�and��"����43��x�(5)�=����	z��^��8����,�so�����࿵a����3��|s�(�f��������0���Ȳ)��=����	z�����16���`�=��	z�����8��M�=����	z�����8���=�(���	z�����16���`�)������5������~��a����5��|s�(�f��������0���Ȳ)��=����	z�����22���`�=��	z�����8��M�=����	z�����14��Ix�=�(���	z�����22���)������5��|s�:����>�No���w��_if���8�is�the�non-trivial�automorphism�of��F����25��x�,��bthen���[ٲ(�f�����^��0���Ȳ)�and��f���b�Goth�lie�in����>�S����5��|s�(1376�;���"�;��F����25��x�)�3tand�ha���v�e�3tsame��a����p���Ʋfor��p���=�3�;����5�;��19�;��31,�:;so�3tthey�are�equal�b�Gecause����>w���e���found��f���b�y�computing�the�unique�eigenform�with�giv�en��a����p��Kܲfor��p���=�3�;����5�;��19�;��31.����>So�-8�g�"�=���f��5�
�覵"����43��?��=���[ٲ(�f���)��
��"���^���2��l�43���x�.�dhTh���us�-8for�all��p���-��5�N��,�5>w�e�-8see�that��a����p���R�(�g�[ٲ)��=��a����p���(�f���)���^��5��|s�"���^���2��l�43������>�has�UUfth�p�Go���w�er�UU�a����p���R�(�g�[ٲ)���^��5��C��=���a����p���(�f���)���^��25��x�"���^���10��l�43���?��=��a����p���(�f���)�"����43��?��=��a����p���(�g�[ٲ).���^W���ff����d�ff�Y��ff����ff�������n��y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�7���?�������>�1.3��\�Pro�`of��that��������2cmmi8�g��	T��is�unramied�at��5��uT��>�W��*�e���b�Gegin�with�a�generalisation�of�[�16��
].��Let��M�]�>�Fp�4�b�e�an�in���teger,�4�and�let����>�h�+�=������P������n��1��!��c����n��q~�q��[ٟ�^��n��
�Y�b�Ge��a�normalised�cuspidal�eigenform�of�some�w���eigh�t���k�|w��+�1,����>lev���el�U�M�l.�and�c�haracter���,��Sdened�o�v�er�some�eld�of�c�haracteristic�not�dividing��M��.����>Ev���en�oRthough�the�base�eld�migh�t�not�ha�v�e�c�haracteristic�zero,��Sw�e�ma�y�still�dene����>the��conductor�of����to�the�the�largest�divisor��f����of��M��5�suc���h�that����factors�through����>(�Z�=f���Z�)���^������.�i8Let�;��I���b�Ge�a�set�of�primes,�@�with�the�prop�ert���y�that�for�all��p��in��I���,�@�one�of����>the�UUfollo���wing�conditions�hold:����M(i)�UU�p��divides��M�lp�but��p��do�Ges�not�divide��M���=�����cond��8�(��),�or����M(ii)����p��divides��M����exactly�once,���and��h��is��p�-new,�in�the�sense�that�there�is�no����>eigenform�0��h���^��0����of�lev���el��M���=p��suc�h�that�the��T����n��q~�-eigen�v��q�alues�of��h��and��h���^��0����agree�for�all����>�n�UU�prime�to��p�.����MLet�U/�C�K�denote�the�orbit�of�the�cusp��1��in��X����1��|s�(�M��)�under�the�action�of�the����>group��-generated�b���y��w����p��$�for��p�ո2��I���,��#and��-the�Diamond�op�Gerators��h�d�i����M���\�.�OThe�orbit����>of�\�1��under�the�Diamond�op�Gerators�has�size���(�M��)�=�2,�&'and�eac���h��w����p�����increases�the����>size�UUof�the�orbit�b���y�a�factor�of�2.�q�In�this�situation,�w�e�ha�v�e������>�Lemma��T1.4.���}���The�I�rst��t��terms�of�the��q�[��-exp��}'ansion�of��h��at�any�cusp�in��C���ar�e����>determine��}'d���by��M��,��k�P��,���,��c����p��39�for��p��in��I����,�and��c����n��	e�for��1�����n����t�.������>R��}'emark���1.5.���xk��Our��?pro�Gof�is�just�a�translation�of�Corollary�4.6.18�of�[�13��
]�in���to�the����>language�rxof�mo�Gduli�problems�(Miy���ak�e's�rxargumen�t�tec�hnically�is�only�v��q�alid�o�v�er����>the�UUcomplex�n���um�b�Gers).������>�Pr��}'o�of.���]UI�If�>x�J�A߸�K��I�Z�is�an���y�subset,�x�and��w����J��	�(�denotes�the�pro�Gduct�of��w����p���ʲfor��p��2��J��9�,����>then��!�h�j�w����J��	Ѳis�an�eigenform�for�all�the�Diamond�op�Gerators,���and�this�observ��q�ation����>reduces���the�pro�Gof�of�the�lemma�to�sho���wing�that�for��p�:��2��I���,��<if��۵h�j�w����p���H�=������P���
�1��n���W�d����n��q~�q��[ٟ�^��n���W�,����>then�m�d����j�����for�1���j��,���n�m�and��d����q��ף�for�all��q�Jz�2�I�5�are�determined�b���y��M��,�r��k�P��,���,��p�,��c����j���for����>1�����j�Y����n�UU�and��c����q����for�all��q�"�2���I���.����MW��*�e���rst�deal�with�primes��p��of�the�form�(i).�HFSa���y��M��3�=���p���^��m�����R�Dz,��where��R�옲is�prime����>to�u��p�.�ұThinking�of��h��as�a�rule�for�attac���hing��k�P��-fold�dieren�tials�to�elliptic�curv�es����>equipp�Ged�UUwith�p�oin���ts�of�order��p���^��m��
��and��R�Dz,�w�e�ha�v�e�b�y�denition�that��q΍����h�(�G����m�����=q��[ٟ����Z��b>�;������;�����R���b�)��=�������^���������4���X����ꥵc����n��q~�q��[ٟ����n������W���^�����
)˲(�dt=t�)������k��됵;��qύ�>�where�n6��X�=��8�����p����O
�\cmmi5�m����h�and������R��
���are�xed��p���^��m�����th�and��R�Dzth�ro�Gots�of�unit���y�in��G����m��Ѳwhic�h����>corresp�Gond�X�to�the�cusp��1�,���and��dt=t��is�the�canonical�dieren���tial�on�the�T��*�ate����>curv���e�UU�G����m�����=q��[ٟ�^��Z��b>�.�q�W��*�e�normalise�things�suc�h�that������$�h�(�G����m�����=q��[ٟ����p����r�m�����Z��%p�;���q�[�;�����R���b�)��=�������^���������4���X����ꥵd����n��q~�q�������n������W���^�����
)˲(�dt=t�)������k��됵;����>�and���remark�that�b�Gecause��h��is�an�action�for�the�diamond�op�erators,��Mw���e�do�not����>ha���v�e��to�w���orry�to�Go�m�uc�h�ab�Gout�whether�this�corresp�onds�to�the�standard�nor-����>malisation�UUof�the��w����p���R�-op�Gerator.������x�y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�8���?������MW��*�e���recall�that�the�op�Gerator��pU����p��hI�in�this�setting�can�b�e�though���t�of�as�b�eing����>dened�UUb���y�the�rule:��ؔ���;r(�pU����p���R�h�)(�E���;���P�G;�Q�)��=��������X����7����C���㉵��[ٟ�������h�(�E�=C�(�;�������}�fe����P���	y�;�������}�fe�ҟ��Q���	�z�)�;��KǍ�>�where��۵C����runs�through�the�subgroups�of��E�`h�of�order��p��whic���h�ha�v�e�trivial�in�ter-����>section��with��h�P�c��i�,�:�and���h��denotes�the�canonical�pro��8jection��E��N�!����E���=C���.���W��*�e�see����>that��fɍ����d�P(�pc����p���R�)������m����������b��������
ؚ���X������d����n��q~�q��[ٟ����n������W���b�����
b��(�dt=t�)������k��������ҳ2�=��(�p������m�����U����p����m���C2�h�)(�G����m���=q��[ٟ����p����r�m�����Z��%p�;���q�[�;�����R���b�)������������ҳ2=�������p����r�m�����1���獍�����X�������my�c�=0���qf���[ٟ����c������8�h�(�G����m�����=�h�q��[ٟ����p����r�m�����;������q��[ٟ����c��n��i�;�q�[�;�����R���b�)�;���������>�where�Dڵ����denotes�the�canonical�pro��8jection�from��G����m�����=�h�q��[ٟ�^��p����r�m�����i��to�the�appropriate����>quotien���t.�q�This�UUlast�sum�can�b�Ge�written�as�a�double�sum���\��������W�����X������Gqƴc�2�(�Z�=p����m�����Z�)��������x&o���[ٟ�������h�(�G����m�����=�h�q��[ٟ����p����r�m�����;������q��[ٟ����c��n��i�;�q�[�;�����R���b�)�8�+������p����r�m��1��u���1���獍�	趟���X�������	�a�a�=0���!�������������h�(�G����m�����=�h�q�������p����r�m�����;������q�������pa��	Q��i�;�q�;�����R���b�)�����������>=����������W������X������Gqƴb�2�(�Z�=p����m�����Z�)��������xҵ��[ٟ�������h�(�G����m�����=�h�q��[ٟ����p����r�m�����;������������b��(�q�[ٸi�;�q�;�����R���b�)�8�+��p������m��1��������������U��㐴p����m��1����h�(�G����m�����=�h�q�������p����r�m�����;�����������p����r�m��1�����i�;�q�;�����R���b�)����������>=����������W������X������Gqƴb�2�(�Z�=p����m�����Z�)��������xҵ��[ٟ�������h�(�G����m�����=�h����������b��(�q�[ٸi�;�����������b���'�;�����R���b�)�8�+�(�pc����p���R�)������m��1��������������h�(�G����m�����=�h�q�������p����r�m�����;�����������p����r�m��1�����i�;�q�;�����R���b�)����������>=����������GqƟ���X�����L艴b���W�7�����p���R�(�b�)���������X����
�����n��1����B�c����n��q~�(����������b��(�q�[ٲ)������n���(�dt=t�)������k��$p�+�8�p������k��됲(�pc����p���)������m��1������[ٟ�������h�(�G����m�����=�h�q��[ٟ����p����r�m�+1���)��i�;���q��[ٟ����p���+�;����1ɍ���p�����R����b�)�;�����
�ʟ�,��>�where��&w���e�ha�v�e�written���UDz=������R���b�����p���R�;��&�for������R��m��a�c�haracter�of�lev�el��R���and������p��	}x�a����>c���haracter�UUof�lev�el��p���^��m�����.�q�W��*�e�deduce�that�������WE+(�pc����p���R�)������m����������b��������
ؚ���X������d����n��q~�q��[ٟ����n������W���b�����
b��(�dt=t�)������k��$p��8�p������k��됲(�pc����p���)������m��1��������R���b�(�p�)���[ٟ�������h�(�G����m�����=�h�q��[ٟ����p����r�m�+1���)��i�;���q��[ٟ����p���+�;�����R���)����������O~
=����������WE+���^��������`LG���X������em�n������ph����b��������v�����X�����|z�b�����(�����p���R�(�b�)����������bn��������b��������c����n��q~�q��[ٟ����n������W���^�����
)˲(�dt=t�)������k�������#�����O~
�=�������WE+�W�c��(�����p���R�)������b��������?����X���sЍ��|�p�5qy��msbm7�-�n���\p�����p���(��n�)�������1��
�t�c����n��q~�q��[ٟ����n������W���b�����
b��(�dt=t�)������k������!!-��>�where���W�c��(�����p���R�)��=������P���
US��b�2�(�Z�=p����m�����Z�)�������>{_�����p���(�b�)������^��b���3�can��b�Ge�c���hec�k�ed��to�b�e�nonzero�b�ecause�the����>conductor�UUof������p���is��p���^��m�����.�q�Hence���=��>(�pc����p���R�)������m�����	CC����X������i�n���_��d����n��q~�q��[ٟ����n��FP��x��p������k��됲(�pc����p���)������m��1��������R���b�(�p�)����������X������jδn�����d����n���q��[ٟ����np�����=���W�c��(�����p���)�����p���(��1)����������X���sЍ�+%�p�-�n���������p���(�n�)�������1��
�t�c����n���q��[ٟ����n���W�:�� #���>�Equating��co�Gecien���ts�of��q�q��w�e�deduce�that��W�c��(�����p���R�)�����p���(��1)��=�(�pc����p���R�)���^��m�����d����1��|s�,�E�and��b�Ge-����>cause�oe�h�j�w����p��	��is�an�eigenform�for��T����n��	��for�all��n��prime�to��p�,���with�eigen���v��q�alues�de-����>termined���b���y����and��c����n��q~�,�ۛw�e�deduce�that�w�e�can�determine��d����n��	��for��n��prime�to�����	�Q�y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#{�9���?������>�p�
��from��c����n��q~�.���It�remains�to�establish�what��d����p����is,�;�and�equating�co�Gecien���ts�of��q��[ٟ�^��p�����>�in���the�ab�Go���v�e���equation�giv���es�us�that�(�pc����p���R�)���^��m�����d����p���1�=�:ߵp���^��k��됲(�pc����p���)���^��m��1��������R���b�(�p�)�d����1��@�and���hence����>that�P6�d����p��is�determined�b���y����and��c����p���R�.�bkNote�that�as�a�consequence�w�e�see�that����>�d����p���R�=d����1��C��=���p���^��k�+B��1��(�����R���b�(�p�)�=c����p���,�UUa�classical�form���ula�if�the�base�eld�is�the�complexes.����MNo���w��{w�e�deal�with�primes�of�the�form�(ii)�(note�that�w�e�nev�er�use�this�case����>in�#�the�rest�of�the�pap�Ger).�a6W��*�e�think�of��h��as�a�rule�asso�ciating��k�P��-fold�dieren���tials����>to��;triples�(�E���;���C�(�;�Q�)��;where��C�jW�a�cyclic�subgroup�of�order��p��and��Q��a�p�Goin���t�of����>order�^`�R���=��+�M���=p�.���Because��h��is��p�-new,�`�the�trace�of��h��do���wn�to��X����1��|s�(�M�=p�)�m���ust�b�Ge����>zero,�/ and�%�hence�w���e�see�that�for�an�y�elliptic�curv�e��E���equipp�Ged�with�a�p�oin���t��Q��of����>order�UU�R�Dz,��
qˍ������ӟ���X����7����˴C�����D���[ٟ�������h�(�E���=C�(�;���E��[�p�]�=C�;�������}�fe�ҟ��Q���	�z�)��=�0�:������>�As�UUb�Gefore,�normalise�things�so�that��q΍��A�h�(�G����m�����=q��[ٟ����Z��b>�;�������p���R�;�����R���b�)��=�������^���������4���X�������Z�n���ꥵc����n��q~�q��[ٟ����n������W���^�����
)˲(�dt=t�)������k���qˍ�>�and������c��h�(�G����m�����=q��[ٟ����p�Z��
���;����h�q�[ٸi�;�����R���b�)��=�������^���������4���X�������Z�n���ꥵd����n��q~�q�������n������W���^�����
)˲(�dt=t�)������k��됵:��qˍ�>�The�UUfact�that�the�trace�of��h��is�zero�implies�that����x�a(�pU����p���R�)�h�(�G����m�����=q��[ٟ����p�Z��
���;����h�q�[ٸi�;�����R���b�)�8�+������������h�(�G����m�����=q�������Z��b>�;�������p���R�;�����R���b�)��=�0�;����>�and�UUhence�that�����fl�c����p�����I�����X����fk�d����n��q~�q��[ٟ����n��7�+�8�p������k�+B��1�����Ҭ����X���� ��c����n���q��[ٟ����n���o�=��0��qˍ�>from�UUwhic���h�w�e�deduce�that�the��d����n���Ӳcan�b�Ge�read�o�from��c����p���and�the��c����n��q~�.���	<��ff����d�ff�Y��ff����ff��������>�R��}'emark���1.6.���xk��The��2size�of��C�SN�is���(�M��)�:�2���^��j�I��J�j�1���	�,���and�the�usefulness�of�this�lemma�is����>that���if��h����1��#2�and��h����2���are�t���w�o���normalised�eigenforms�of�the�same�lev���el,��w�eigh�t���and����>c���haracter��eas�ab�Go�v�e,�/b�oth��enew�at�all�primes�in��I���,�and�the�co�Gecien���ts�of��q��[ٟ�^��n��ɼ�in�the����>�q�[ٲ-expansions�4pof��h����1����and��h����2���agree�for��n���2��I��R�and�4p�n����t�,�;then��h����1��s�����h����2����has�a�zero�of����>order���at�least��t�VV�+�1���at�all�cusps�in��C���,���and�in�particular�if���(�M��)�:�2���^��j�I��J�j�1���	�(�t�VV�+�1)���>����>k�P�=�12[�SL����;���2��J��(�Z�)�
�:�����1��|s�(�M��)]�=��deg��1}(�!��[ٟ�^��k��Gi�)��on��X����1���(�M��)�then��h����1���a�=�
�h����2���.��HUsing�the�fact�that����>[����0��|s�(�M��)��:�����1���(�M��)]�=���(�M��)�=�2,�UUw���e�deduce������>�Corollary��T1.7.����Z�L��}'et��h����1���S�and��h����2���b��}'e�two�normalise�d�eigenforms�as�ab�ove.�(�If�the����>c��}'o�ecients�\
of��q��[ٟ�^��n��	)d�in�the��q�[��-exp��}'ansions�of��h����1��؀�and��h����2���agr��}'e�e�\
for�al���l�primes�in��I�$��and����>for���al���l��n�������������k���K��&�fe������12�����
&d�[�SL����;���2��J��(�Z�)�:�����0��|s�(�M��)]�=�2���^��j�I��J�j���|�then���h����1��C��=��h����2���.������>R��}'emark���1.8.���xk��One���can�certainly�do�b�Getter�than�this�corollary�in�man���y�cases.�J�F��*�or����>example,�&#when�W�n��>��1�and��p���^��n���ղexactly�divides�b�Goth�the�lev���el�of�an�eigenform�and����>the�Taconductor�of�its�c���haracter,��#then�one�can�compute�the��q�[ٲ-expansion�of�the����>eigenform�]�at�man���y�\middle�cusps"�to�Go,�_�and�hence�increase�the�size�of��C��in�the����>result�UUab�Go���v�e.�����
�q�y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�10���?������MW��*�e��no���w�go�bac�k�to�the�explicit�situation�w�e�are�concerned�with.�M�Although��g����>�is�
�an�eigenform�of�lev���el�59168��=�2���^��5�� ]����43���^��2��|s�,��w�e�
�can�still�consider�the�corresp�Gonding����>represen���tation�"�����g��n�:���G����Q��
4�!���GL����(2�;����F����5��|s�),��and�then�directly�analyze�its�ramication.������>�Prop�Q�osition��T1.9.����?�The���r��}'epr�esentation������g��:��is�unr�amie�d�at��5�.������>Pr��}'o�of.���]UI�Con���tin�uing��Ithe�mo�Gdular�sym���b�ols�computations�as�ab�o���v�e,��w�e��Ind�that��V����1�����>�is�UUspanned�b���y�the�t�w�o�eigenforms�������u���f���������Բ=���q����+�8���	z�����16���`�q��[ٟ����3��,�+����	z�����22���q��[ٟ����5��,�+����	z�����14���q��[ٟ����7��,�+����	z�����14���q��[ٟ����9��,�+�4�q��[ٟ����11��
��+�������������=u�����u��f����1����������Բ=���q����+�8���	z�����16���`�q��[ٟ����3��,�+����	z�����10���q��[ٟ����5��,�+����	z�����14���q��[ٟ����7��,�+����	z�����14���q��[ٟ����9��,�+�4�q��[ٟ����11��
��+���������8׵:�������>�F��*�or��)�p�4v�6�=�5�and��p����997,�']w���e�ha�v�e��a����p���R�(�f����1��|s�)�4v=��a����p���(�f���).��BT��*�o��)c���hec�k�that��a����p���R�(�f���)�4v=����>�a����p���R�(�f����1��|s�)�@�for�all��p���6�=�5,���it�@�suces�to�sho���w�that�the�dierence��f�����u�f����1��	�*�has��q�[ٲ-����>expansion��Cin���v�olving�only�p�Go�w�ers�of��q��[ٟ�^��5���L�;�}:for�this�w�e�use�the���G�-op�erator��q��������W�d�����&�feG����dq�����Ҳ:��
O<��>�S����5��|s�(1376�;���";��F����25��x�)���!��S����11���(1376�;���"�;��F����25���).���Since�b	���&�sends�normalized�eigenforms�to����>normalized��aeigenforms,��it�suces�to�c���hec�k��athat�the�subspace�of��S����11��x�(1376�;���"�;��F����25���)����>generated�H�b���y���G�(�f���)�and����(�f����1��|s�)�has�dimension�1.�m�Corollary�1.7�implies�that�it�suf-����>ces�UUto�v���erify�that�the�co�Gecien�ts��a����p���R�(��G�(�f���))�and��a����p���(��G�(�f����1��|s�))�are�equal�for�all������ܵp��������<$���K�11���K�w�fe
�	(֍12�����f`��8�[�SL����;���2��J��(�Z�)�:�����0��|s�(1376)]�������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����f_=�968�:���Ѝ�>�The�t�eigenform��f���m���ust�b�Ge�new�b�ecause�w���e�computed�it�b�y�nding�the�in�tersec-����>tions��_of�the�k���ernels�of�Hec�k�e�op�Gerators��T����p��r��with��p��(�-��1376;�dif��_�f���w�ere�an�oldform����>then���the�in���tersection�of�the�k�ernels�of�these�Hec�k�e�op�Gerators�w�ould�necessarily����>ha���v�e�J^dimension�greater�than�1.�nBecause�it�tak���es�less�than�a�second�to�compute����>eac���h�A�a����p���R�(��G�(�f���)),�>�w�e�w�ere�easily�able�to�v�erify�that�the�space�generated�b�y���G�(�f���)����>and�UU��G�(�f����1��|s�)�has�dimension�1.������>�R��}'emark���1.10.���}�o�It�V�is�p�Gossible�to�a���v�oid�V�app�ealing�to�Corollary�1.7�b���y�using�one�of����>the�UUfollo���wing�t�w�o�alternativ�e�metho�Gds:�������J8�1.����WDene�UU���r�directly�on�mo�Gdular�sym���b�ols�and�compute�it.�������J8�2.����WCompute�UUthe�in���tersection��qˍ�����y����\����
����7�p��2�����ॲk���er���=(�T����p���2��8�pa����p���R�(�f���))�����S����11��x�(1376�;���"�;��F����25���)�:�� �{��W�Since�H���G�(�f���)�and����(�f����1��|s�)�b�oth�lie�in�the�in���tersection,�~lthe�momen�t�the�dimension����Wof�UUa�partial�in���tersection�is�1,�it�follo�ws�that���G�(�f�Lo��8�f����1��|s�)��=�0.����>W��*�e��successfully�carried�out�b�Goth�alternativ���es.�B�F�or�the�rst,��Tw���e�sho�w�ed�that���0�on����>mo�Gdular�5�sym���b�ols�is�induced�b���y�m�ultiplication�b�y��X�����^��5��EU�Y�2и���Y��8��^��5���W�X���.�gIF��*�or�the�second,����>w���e��nd�that�after�in�tersecting�k�ernels�for��p�����11,�+�the��dimension�is�already�1.����>The�UUrst�of�these�t���w�o�UUmetho�Gds�to�ok�m���uc�h�UUless�time�than�the�second.�������y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�11���?������MNext�tw���e�use�that���G�(�f�ڮ����f����1��|s�)��=�0�tto�sho�w�that������g���{�is�unramied,�'�th�us�nishing����>the���pro�Gof�of�the�prop�osition.�9�Since��f��<�is�ordinary��*�,��iDeligne's�theorem�(see�[�9��,��x�12])����>implies�UUthat��q΍���I�����f��/ �j����D���5���
���������^������d���
#�����*7�������
��0����������� �ş��^�����=��o���v�er��UU���_�fe<o����F����
�ğ��5������>�with�=Db�Goth���	z;�����`�unramied,�uH���(�F��*�rob���*����5���!�)��=��"�(5)�=a����5��C��=����	z��^��8����=��	z��^��22��Ix�=����	z��^��10���`�,�and�=D����(�F��*�rob���*����5���!�)�=����>���	z��^��22���`�.�q�Since�UU�a����p���R�(�f����1��|s�)��=��a����p���(�f���),�UUfor��p���6�=�5,�UUw���e�ha�v�e��{ō��������f����i��j����D���5���
����������f���1����@�j����D���5�����������^������d���
#����	z��^��0����_��������B7�0���`������^��0������&^7���^������/��>�with�3ߵ��	z��^��0��׳�(�F��*�rob���*����5���!�)�9�=����	z��^��8����=��	z��^��10���]�=����	z��^��22���?�and�������^��0��UU�(�F��*�rob���*����5���!�)�=����	z��^��10���`�;��$in�particular,�k����	z��^��0����=�����.����>Th���us�������f��/ �j����D���5���
�۲con�tains���]r��S�����,���so������f��/ �j����D���5���
��������S���i��and�hence�there�is�a�c���hoice�of�basis����>so�UUthat�����=�0.����������ff����d�ff�Y��ff����ff����ׄ���>�1.4��\�The��image�of���pro��j�������̾g���uT����>�Prop�Q�osition��T1.11.�����=�The���image�of���pro��8j��S�����g��:��is��A����5��|s�.��L?����>Pr��}'o�of.���]UI�The�8�image��H��of��pro��8j��������g����in��PGL��� ���2���u�(�F����5��|s�)�is�easily�c���hec�k�ed�8�to�lie�in��PSL����X���2��Q˲(�F����5���)����T͍�������+3�����=��������>�A����5��)\�b�Gecause���of�what�w���e�kno�w�ab�Gout�the�determinan�t�of������g����.�x�Hence��H�|�is�a�sub-����>group��dof��A����5��	ײthat�con���tains�an�elemen�t�of�order�2�(complex�conjugation)�and����>an��elemen���t�of�order�3�(for�example,�ѵ����g����(�F��*�rob���*����7���!�)�has�c�haracteristic�p�Golynomial����>�x���^��2���θ�T[�2�x����1).��oThis�~�pro���v�es�that��H�N��is�isomorphic�to�either��S����3��|s�,��A����4���,���or��A����5���.��oLet��L����>�b�Ge�;�the�n���um�b�er�;�eld�cut�out�b���y��H����.�iCIf��L��w�ere�an��S����3��|s�-extension,�@�then�there�w�ould����>b�Ge��>a�quadratic�extension�con���tained�in�it�whic�h�is�unramied�outside�2��Ѹ��5����43;����>it��eis�furthermore�unramied�at�5�b���y�the�previous�section�and�unramied�at�43����>b�Gecause�^��I����43����has�order�3.���Th���us�it�is�one�of�the�three�quadratic�elds�unramied����>outside�2.��	In�particular,�FFthe�trace�of��F��*�rob���@ğ��p�� �,�w���ould�b�Ge�zero�for�all�primes�in�a����>certain��Dcongruence�class�mo�Gdulo�8.�SHo���w�ev�er,��there��Dare�primes��p��congruen���t�to�3,����>5,�UUand�7�mo�Gd�8�suc���h�that��a����p���R�(�g�[ٲ)���6�=�0,�UUe.g.,�3,�7,�and�13.����MIf��۵H��ٲw���ere�isomorphic�to��A����4��|s�,���then�let��M����denote�the�cyclic�extension�of�de-����>gree�έ3�o���v�er�έ�Q��con���tained�in��L�.���No�w��M��Ȳis�unramied�at�2�and�5,��and�hence�is����>the���subeld�of��Q�(�����43��x�)�of�degree�3.���Cho�Gose��p�{��-��1376��%���5���that�is�inert�in��M��,���i.e.,����>so���that��p��is�not�a�cub�Ge�mo�d�43.�PgThe�order�of������g����(�F��*�rob���*����p����)�in��GL���
ş��2���8�(�F����5��|s�)�m���ust�b�e����>divisible�v%b���y�3.��7Ho�w�ev�er,�~Ya�quic�k�c�hec�k�using�T��*�able�2�sho�ws�that�this�is�usually����>not�UUthe�case,�ev���en�for��p���=�3.���֊v��ff����d�ff�Y��ff����ff�������>�1.5��\�Bounding��the�ramication�at��2��and��43��uT��>�Let�?�L��b�Ge�the�xed�eld�of��k���er���a(�pro��8j��X(�����g����)).�j�W��*�e�ha���v�e�?�just�sho���wn�that��Gal����(�L=�Q�)�is����>isomorphic��Dto��A����5��|s�.�
�By�a�ro�Got�eld�for��L�,��@w���e�mean�a�non-Galois�extension�of��Q����>�of�UUdegree�5�whose�Galois�closure�is��L�.��L?����>�Prop�Q�osition��T1.12.�����=�The�@discriminant�of�a�r��}'o�ot�@eld�for��L��divides��(43������8)���^��2��{u�=����>344���^��2��|s�,���and�in�p��}'articular,��L��must�b�e�mentione�d�in�T��;�able�1�of�[�8��p,�p�g�122].������y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�12���?��������>�Pr��}'o�of.���]UI�The���analysis�of�the�lo�Gcal�b�eha���vior�of������f��	�at�43�giv�en�in�Prop�Gosition�1.3����>sho���ws��othat�the�inertia�group�at�43�in��Gal��zq(�L=�Q�)�has�order�3.�Using�T��*�able�3.1����>of�<�[�2��],�A�w���e�see�that�if��Gal��ܸ(�L=�Q�)����T͍�������+3�����=�����
UN�A����5���)�then�it�m�ust�b�Ge�\t�yp�Ge�2"�at�43,�A�and�hence����>the��`discriminan���t�of�a�ro�Got�eld�of��L�,��cthat�is,�of�a�non-Galois�extension�of��Q��of����>degree�UU5�whose�Galois�closure�is��L�,�m���ust�b�Ge�43���^��2���Ȳat�43.����MA���t�ey2�the�b�Geha�vior�of����is�more�subtle�and�w�e�shall�not�analyze�it�fully��*�.��2But����>w���e�-4can�sa�y�that,�c+b�Gecause����has�arisen�from�a�form�of�lev�el�1376�.�=�2���^��5��|s�:�43,�c+w�e����>m���ust�|Eb�Ge�either�of�t�yp�Ge�5�or�one�of�t�yp�Ges�14{17.��In�particular,��the�discriminan�t����>at�UU2�of�a�ro�Got�eld�for��L��will�b�e�at�most�2���^��6��|s�.����MFinally��*�,����L��is�unramied�at�all�other�primes,��b�Gecause����is.�N�Hence�the�discrim-����>inan���t�&�of�a�ro�Got�eld�for��L�,�Z�assuming�that��Gal��Ɠ(�L=�Q�)����T͍��#ϸ���+3���#ϲ=�������A����5��|s�,�divides�(43�:�8)���^��2���B�=����>344���^��2��|s�.���;rt��ff����d�ff�Y��ff����ff����z"��MW��*�e���kno���w�that��L��is�an�icosahedral�extension�of��Q��with�discriminan�t�dividing����>43���^��2��F����-�2���^��6��|s�.�_TT��*�able��1�of�[�8��,�)
pg�122]�con���tains�all�icosahedral�extensions,�suc���h�that�the����>discriminan���t�2of�a�ro�Got�eld�is�b�ounded�b���y�2083���^��2��|s�.��The�table�m�ust�con�tain��L�;����>there��is�only�one�icosahedral�extension�with�discriminan���t�dividing�43���^��2��)�����2���^��6��|s�,�/Aso����>�L���=��K���.���񍍑>�1.6��\�Obtaining��a�classical�w��eigh�t��one�form��uT��>�W��*�e�8�ha���v�e�sho�wn�that�a�t�wist�of�the�icosahedral�represen�tation�����:��G����Q��
4�!���GL����(2�;����C�),����>nobtained�R�b���y�lifting��G����Q��
4�!����Gal��g(�K�(�=�Q�)�����A����5��|s�,�SAhas�R�a�mo�Gd�5�reduction������g��n�:���G����Q���!�����>�GL���L���2��P�X�(�F����5��|s�)�[email protected]�is�mo�Gdular.�ˆSince����ramies�at�only�nitely�man���y�primes,�v�and������>�is��unramied�at�5�with�distinct�eigen���v��q�alues,���[�4��]�implies�that����arises�from�a����>classical�UUw���eigh�t�1�newform.�� ����>�2��VL�More�ffexamples�����>�The��?data�necessary�to�deduce�mo�Gdularit���y�of�eac�h�of�our�eigh�t�icosahedral�ex-����>amples�UUis�summarized�in�T��*�ables�3{6.����MThe� �notation�in�T��*�able�3�is�as�follo���ws.���The�rst�column�con�tains�the�con-����>ductor.��The��second�column�con���tains�a�5-tuple�[�a����4��|s�;���a����3���;�a����2���;�a����1���;�a����0���]��suc���h�that�the����>�A����5��|s�-extension�9is�the�splitting�eld�of�the�p�Golynomial��h�B��=��x���^��5��M(�+�е�a����4���x���^��4���+�е�a����3���x���^��3���+����>�a����2��|s�x���^��2���=�+�9ʵa����1���x��+��a����0���.�GCThe���column�lab�Geled��ord��N�(�F��*�rob���*����5���!�)�con���tains�the�order�of�the�image����>of���+F��*�rob���ٟ��5�� Yw�in��+�A����5��|s�.��JThe�next�column,��!whic���h�is�lab�Geled�\�p��with��a����p��B$�=���0",�con���tains����>the�+�rst�few��p��suc���h�that��a����p����is�easily�seen�to�equal�0�b�y�considering�the�splitting����>of���h��mo�Gd��p�.�.The��"��column�con���tains�the�c�haracter�of�the�represen�tation,���where����>the��notation�is�as�follo���ws.��gW��*�rite�(�Z�=��q�N��Z�)���^�����n�as�a�pro�Gduct�of�cyclic�groups�cor-����>resp�Gonding���to�the�prime�divisors�of��N��
�in�ascending�order,���and�then�the�tuples����>giv���e���the�orders�of�the�images�of�these�cyclic�factors;��:when�8���j��N��,���there���are�t�w�o����>cyclic���factors�corresp�Gonding�to�the�prime�2.�K�Finally��*�,���the�last�column�records�the����>dimension�UUof��S����5��|s�(����1���(�N��)�;���"�).����MThe�	�notation�in�T��*�able�4�is�as�follo���ws.�X�The�rst�column�con�tains�the�conduc-����>tor.�GThe��Rsecond�column�con���tains�an�eigenform�that�w�as�found�b�y�rst�in�tersect-����>ing��2the�k���ernels�of�the�Hec�k�e�op�Gerators��T����p��j��with��p��as�in�T��*�able�3,���and�then�lo�cating�����
�Рy�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�13���?������>an��~eigenform.�BIn�eac���h�case,��a�companion�form�w�as�found,��b�y�computing��a����p���R�(�f���)����>for�UU�p�����b�Gound,�where�b�ound�is�the�b�ound�from�Corollary�1.7.����MT��*�able��d5�sho���ws�that�the�xed�eld�of�the�image�of�eac�h��pro��8j����(�����g����)�is�icosahedral.����>The��Jrst�column�con���tains�the�conductor��N��.�m�The�second�column�con�tains�a����>t���wist�ɵg�r��of��f�*X�suc�h�that��a����p���R�(�g�[ٲ)�	��2��F����5���<�for��all��p�	��-��5�N��.��#The��third�column�con�tains����>a��xsF��*�rob����!���p��!��suc���h�xsthat��pro��8j����(�����g����(�F��*�rob���*����p����))�has�order�3,��:along�with�the�c�haracteristic����>p�Golynomial�Y�of������g����(�F��*�rob���*����p����).�0As�in�the�pro�of�of�Prop�osition�1.11,���the�other�t���w�o����>b�Go���xes�DAgiv�e�data�that�allo�ws�us�to�deduce�that�the�xed�eld�of�the�image�of�����>pro��8j��PX(�����g����)��|is�icosahedral.�;�The�case�5373�m���ust�b�Ge�treated�separately��*�,���b�ecause�there����>are�=three�p�Gossibilities��M����1��|s�,�A�M����2���,�and�=�M����3�����for�the�cubic�eld��M�T2�of�the�analogue�of����>Prop�Gosition�UU1.11.�q�F��*�or��M����1���Ȳw���e�nd�a�prime��p��suc�h�that�����b(�p������2���	|k�mo�Gd���j9�;���p������66���
x޲mo�Gd��#��199)���62�f�(1�;����1)�;��(4�;��1)�;��(7�;��1)�g����>�with��������g����(�F��*�rob���*����p����)�of�order�not�divisible�b���y�3;���for�this,��ŵp���=�2���suces,�since�the�c���har-����>acteristic��bp�Golynomial�of������g����(�F��*�rob���*����2���!�)�is�(�x���+�2)���^��2��sղand��b(�p���^��2���'�mo�d���9�;���p���^��66���
#��mo�d�� ��199)��,=����>(4�;����106).�q�F��*�or�UU�M����2���Ȳw���e�nd�a�prime��p��suc�h�that����x}`(�p������2���	|k�mo�Gd���j9�;���p������66���
x޲mo�Gd��#��199)���62�f�(1�;����1)�;��(4�;��92)�;��(7�;��106)�g����>�with�~�����g����(�F��*�rob���*����p����)�of�order�not�divisible�b���y�3;� �again,�C�p���=�2�~suces.�W�F��*�or��M����3����w�e�nd����>a�UUprime��p��suc���h�that����x}`(�p������2���	|k�mo�Gd���j9�;���p������66���
x޲mo�Gd��#��199)���62�f�(1�;����1)�;��(4�;��106)�;��(7�;��92)�g����>�with�������g����(�F��*�rob���*����p����)�of�order�not�divisible�b���y�3;�ռhere,��7�p���=�13���suces,�as�the�c���haracter-����>istic�o-p�Golynomial�of������g����(�F��*�rob���*����p����)�is�(�x�l��+�4)���^��2��렲and�o-(�p���^��2���'�mo�d���9�;���p���^��66���
#��mo�d�� ��199)��=�(7�;����106).����MT��*�able���6�giv���es�upp�Ger�b�ounds�on�the�ramication�of�the�xed�eld�of�the�image����>of����pro��8j���(�����g����).�JBThese���b�Gounds�w���ere�deduced�using�T��*�able�3.1�of�[�2��]�b�y�restricting�the����>p�Gossible���\t���yp�es"�using�information�ab�out�the�c���haracter��"�.�MTNote�that�though�the����>b�Gounds�k�are�not�sharp,�q$e.g.,�the�k�discriminan���t�of�the�represen�tation�of�conductor����>2416��jis�2���^��4��`����151���^��2��|s�,��othey�are�all�less�than�2083���^��2���,��oso�the�corresp�Gonding�eld�m���ust����>app�Gear�UUin�T��*�able�2�of�[�8��].��!����>�3��VL�Computing�ffmo�s3d��8��g�ffcmmi12�p��mo�dular�forms������>�3.1��\�Higher��w��eigh�t�mo�`dular�sym�b�`ols��uT��>�The��&second�author�dev���elop�Ged�soft�w�are�that�computes�the�space�of�w�eigh�t��k����>�mo�Gdular�<sym���b�ols����BS����
�Y���k����(�N���;���"�),�A&for��k������2�and�arbitrary��"�.�i^See�[�12��
]�for�the�standard����>facts��Qab�Gout�higher�w���eigh�t��Qmo�dular�sym���b�ols,�
Rand�[�15��
]�for�a�description�of�ho���w�to����>compute�UUwith�them.����MLet���K�˲=�X��Q�(�"�)�b�Ge�the�eld�generated�b���y�the�v��q�alues�of��"�.�	wThe�cuspidal����>mo�Gdular�r�sym���b�ols����BS���� ���k����(�N���;���"�)�are�a�nite�dimensional�v���ector�space�o�v�er��K���,�z+whic�h����>is�UUgenerated�b���y�all�linear�com�binations�of�higher�w�eigh�t�mo�Gdular�sym�b�Gols����ƣ@�X��������i��.�Y��8�����k�+B��2��i��u5�f��	z;������g�������y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�14���?����`���{����x��T��*�able�UU3:�q�Data�on�icosahedral�represen���tations�mo�Gd�5���F`����@f���L͉ffT2��fd����͟���ff��ʟ�fd�N���<��h����w���ord���#�(�F��*�rob���*����5���!�)�����͵p�UU�with��a����p��fj�=��0���X�"����ʲ�dim��* �S����5��|s�(�N���;���"�)��͟���ff����ffT2������͟���ff��͟�fd�1376���(���[2�;����6�;��8�;��10�;��8]�����92������19�;����31�;��97����X�[2�;����1�;��3]���&ʳ696�4ǟ���ff�������͟���ff��͟�fd�2416���(���[0�;�����2�;��2�;��5�;��6]�����92������53�;����97�;��127����X�[2�;����1�;��3]���&ʳ1210�4Ɵ���ff�������͟���ff��͟�fd�3184���(���[5�;����8�;���20�;���21�;���5]�����92������31�;����89�;��97����X�[2�;����1�;��3]���&ʳ1594�4Ɵ���ff�������͟���ff��͟�fd�3556���(���[3�;����9�;���6�;���4�;���40]�����93������19�;����29�;��89����X�[1�;����2�;��3]���&ʳ2042�4Ɵ���ff�������͟���ff��͟�fd�3756���(���[0�;�����3�;��10�;��30�;���18]�����93������17�;����61�;��67����X�[1�;����2�;��3]���&ʳ2506�4Ɵ���ff�������͟���ff��͟�fd�4108���(���[4�;����3�;��9�;��4�;��5]�����93������17�;����23�;��31�;��89����X�[1�;����3�;��2]���&ʳ2234�4Ɵ���ff�������͟���ff��͟�fd�4288���(���[4�;����5�;��8�;��3�;��2]�����93������19�;����23�;��47����X�[1�;����2�;��3]���&ʳ2164�4Ɵ���ff�������͟���ff��͟�fd�5373���(���[2�;����1�;��7�;��23�;���11]�����92������7�;����23�;��37�;��79�;��89����X�[2�;����3]���&ʳ2394�4Ɵ���ff����ffT2���������{����n�T��*�able�UU4:�q�The�newform��f�h�and�the�companion�form�b�Gound���F`����BAb��L͉ffP}<�fd����͟���ff��ʟ�fd�N���of���.�6�b�Gound��͟���ff����ffP}<�����͟���ff��͟�fd�1376���(���q����+�8���	z��^��16���`�q��[ٟ�^��3��,�+����	z��^��22���q��[ٟ�^��5��,�+����	z��^��14���q��[ٟ�^��7��,�+����	z��^��14���q��[ٟ�^��9��,�+�4�q��[ٟ�^��11��
��+����	z��^��14���q��[ٟ�^��13��
��+�����������1�8�968�LΟ���ff�������͟���ff��͟�fd�2416���(���q����+�8�3�q��[ٟ�^��3��,�+����	z��^��22���`�q��[ٟ�^��5���+����	z��^��16���`�q��[ٟ�^��7���+����	z��^��4����q��[ٟ�^��11��
��+����	z��^��2���q��[ٟ�^��13��
��+����	z��^��16���`�q��[ٟ�^��15���+�����������1�8�1672�
L͟���ff�������͟���ff��͟�fd�3184���(���q����+�8���	z��^��16���`�q��[ٟ�^��3��,�+�3�q��[ٟ�^��5���+����	z��^��22���`�q��[ٟ�^��7���+����	z��^��14���`�q��[ٟ�^��9���+�3�q��[ٟ�^��11��
��+����	z��^��22���`�q��[ٟ�^��13���+�����������1�8�2200�
L͟���ff�������͟���ff��͟�fd�3556���(���q����+�8���	z��^��16���`�q��[ٟ�^��3��,�+����	z��^��14���q��[ٟ�^��5��,�+����	z��^��10���q��[ٟ�^��7��,�+����	z��^��14���q��[ٟ�^��9��,�+����	z��^��2����q��[ٟ�^��11��
��+����	z��^��22���q��[ٟ�^��13��
��+�����������1�8�1408�
L͟���ff�������͟���ff��͟�fd�3756���(���q����+�8���	z��^��14���`�q��[ٟ�^��3��,�+����	z��^��14���q��[ٟ�^��5��,�+�3�q��[ٟ�^��7���+����	z��^��4����q��[ٟ�^��9���+����	z��^��16���`�q��[ٟ�^��11��
��+����	z��^��10���q��[ٟ�^��13��
��+�����������1�8�1727�
L͟���ff�������͟���ff��͟�fd�4108���(���q����+�8���	z��^��16���`�q��[ٟ�^��3��,�+����	z��^��11���q��[ٟ�^��5��,�+����	z��^��20���q��[ٟ�^��7��,�+����	z��^��14���q��[ٟ�^��9��,�+����	z��^��10���q��[ٟ�^��11��
��+�4�q��[ٟ�^��13���+�����������1�8�1540�
L͟���ff�������͟���ff��͟�fd�4288���(���q����+�8�3�q��[ٟ�^��3��,�+����	z��^��14���`�q��[ٟ�^��5���+����	z��^��20���`�q��[ٟ�^��7���+�3�q��[ٟ�^��9���+����	z��^��20���`�q��[ٟ�^��11��
��+����	z��^��16���q��[ٟ�^��13��
��+�����������1�8�2992�
L͟���ff�������͟���ff��͟�fd�5373���(���q����+�8���	z��^��16���`�q��[ٟ�^��2��,�+����	z��^��14���q��[ٟ�^��4��,�+�4�q��[ٟ�^��5���+�3�q��[ٟ�^��8���+����	z��^��4����q��[ٟ�^��10��
��+�2�q��[ٟ�^��11���+�����������1�8�3300�
L͟���ff����ffP}<��������|�y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�15���?���7o���I#���u�oT��*�able�UU5:�q�V�erication�that�the�image�of��pro��8j��j�(�����g����)�is��A����5������}c��Find�UUa�F��*�rob�Genius�elemen���t�with�pro��8jectiv�e�order�3.��@Y��������L͉ff�&1�fd����ͤ���ff��ʟ�fd�N�
�塄ff���6UOg�P����ff���XPݲpro��8j.�q�order�UU3������c���harp�Goly������ff����ff�&1�����ͤ���ff��͟�fd�1376���ff���(���f�Lo�
�8�"����43��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����7������ȵx���^��2���S��8�2�x����1��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�2416���ff���(���f�Lo�
�8�"����151��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����19������ȵx���^��2���S�+�8�2�x����1��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�3184���ff���(���f�Lo�
�8�"����199��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����7������ȵx���^��2���S�+�8�3�x��+�4��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�3556���ff���(���f�Lo�
�8�"����127��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����13������ȵx���^��2���S�+�8�3�x��+�4��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�3756���ff���(���f�Lo�
�8�"����313��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����23������ȵx���^��2���S�+�8�2�x��+�4��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�4108���ff���(���f�Lo�
�8�"����13��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����29������ȵx���^��2���S�+�8�3�x��+�4��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�4288���ff���(���f�Lo�
�8�"����67��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����11������ȵx���^��2���S�+�8�x��+�1�
�Ο���ff�������ͤ���ff��͟�fd�5373���ff���(���f�Lo�
�8�"����199��B&����ff����bP޲F��*�rob���v{����11������ȵx���^��2���S�+�8�3�x��+�4��͟���ff����ff�&1����I�A��H�QNot�UU�S����3��|s�:�q�F��*�or�all��t���2��T�c��,�UUnd�unramied��p��s.t.��t���6��2����

msam10������mo�Gd��*��p�UU�and��a����p���R�(�g�[ٲ)���6�=�0.��ADA�����m��L͉ff��&�fd����ͤ���ff��ʟ�fd�N�
�塄ff���F��T�;f�����ff����q�p�'����ff����ff��&�����ͤ���ff��͟�fd�1376���ff���(���f�1�;�����2�g�7>�����ff����qʲ3,�UU7�&�����ff�������ͤ���ff��͟�fd�2416���ff���(���f�1�;�����2�g�7>�����ff����qʲ3,�UU7�&�����ff�������ͤ���ff��͟�fd�3184���ff���(���f�1�;�����2�g�7>�����ff����qʲ3,�UU7�&�����ff�������ͤ���ff��͟�fd�3556���ff���(���f�1�;�����2�;���7�;���14�g��ϟ���ff����qʲ3,�UU13,�3,�11��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�3756���ff���(���f�1�;�����2�;���3�;���6�g��П���ff����qʲ7,�UU7,�11,�13��͟���ff�������ͤ���ff��͟�fd�4108���ff���(���f�1�;�����2�;���79�;���158�g��͟���ff����qʲ3,�UU7,�3,�7��ϟ���ff�������ͤ���ff��͟�fd�4288���ff���(���f�1�;�����2�g�7>�����ff����qʲ3,�UU7�&�����ff�������ͤ���ff��͟�fd�5373���ff���(���f�3�g�Hw|����ff����qʲ11�,"'����ff����ff��&������?2�Not�UU�A����4��|s�:�q�Unramied��p�,�not�cub�Ge�mo�d��`�,�order�of������g����(�F��*�rob���*����p����)�not�divisible�b���y�3.�������'��L͉ff���fd����ͤ���ff��ʟ�fd�N�
�塄ff���.j�`�7y����ff���F{�p���`���c���harp�Goly(�����g����(�F��*�rob���*����p����))��͟���ff����ff��񡍍��ͤ���ff��͟�fd�1376���ff���+��43�LΟ���ff���F�3���n(�x�8�+�2)���^��2��1ǥ����ff�������ͤ���ff��͟�fd�2416���ff���(���151��͟���ff���F�7���n(�x�8�+�2)���^��2��1ǥ����ff�������ͤ���ff��͟�fd�3184���ff���(���199��͟���ff���F�3���n(�x�8�+�2)���^��2��1ǥ����ff�������ͤ���ff��͟�fd�3556���ff���(���127��͟���ff���F�3���n(�x�8�+�2)���^��2��1ǥ����ff�������ͤ���ff��͟�fd�3756���ff���(���313��͟���ff���C��11���n(�x�8�+�2)���^��2��1ǥ����ff�������ͤ���ff��͟�fd�4108���ff���+��13�LΟ���ff���F�3���n(�x�8�+�2)���^��2��1ǥ����ff�������ͤ���ff��͟�fd�4288���ff���+��67�LΟ���ff���F�7���n(�x�8�+�3)���^��2��1ǥ����ff�������ͤ���ff��͟�fd�5373���ff���+��|�LΟ���ff���Y��(see�UUtext)�;�����ff����ff��񎎎�����%ߠy�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�16���?���p)<���{Vč��a�T��*�able�UU6:�q�Bounding�the�discriman���t�of�the�xed�eld�of��pro��8j��j�(�����g����)���F�֍����㊟ǀ�ff�8�fd����͟���ff��ʟ�fd�N���(���Bound�UUon�discriminan���t��͟���ff�������͟���ff��͟�fd�1376���<���2���^��6���S��8�43���^��2��;Pk����ff�������͟���ff��͟�fd�2416���<���2���^��6���S��8�151���^��2��6Pj����ff�������͟���ff��͟�fd�3184���<���2���^��6���S��8�199���^��2��6Pj����ff�������͟���ff��͟�fd�3556���<���2���^��2���S��8�7���^��2�����127���^��2��%�����ff�������͟���ff��͟�fd�3756���<���2���^��2���S��8�3���^��2�����313���^��2��%�����ff�������͟���ff��͟�fd�4108���<���2���^��2���S��8�13���^��2�����79���^��2��%�����ff�������͟���ff��͟�fd�4288���<���2���^��6���S��8�67���^��2��;Pk����ff�������͟���ff��͟�fd�5373���<���3���^��4���S��8�199���^��2��6Pj����ff����ff�8쎎�����>�that��lie�in�the�k���ernel�of�an�appropriate�b�Goundary�map.�[2There�is�an�in�v�olution������>�that���acts�on����BS����
����k�����(�N���;���"�),�
xand����BS����
����k���(�N���;���"�)���^��+��!I�
����K��	3l�C��is�isomorphic,�
xas�a�mo�Gdule�o���v�er���the����>Hec���k�e�UUalgebra,�to�the�space��S����k��됲(�N���;���"�;��C�)�UUof�cusp�forms.����MFix��b�k�n�=���5.�?�In�eac���h�case�considered�in�this�pap�Ger,��there�is�a�prime�ideal������>�of��the�ring�of�in���tegers��O�5�of��K��4�suc�h�that��O�G�=����T͍���]����+3����]�=��������F����25��x�.��Let��L��b�e�the��O��-mo�dule����>generated�UUb���y�all�mo�Gdular�sym�b�Gols�of�the�form��X�����^��i��.�Y��8��^��3��i��ɤ�f��	z;������g�,�and�let�������]7�BS�����
v���5�����(�N���;���"�;��F����25��x�)��=�(�L�8�
����O��	G?�F����25���)��\����BS����	����5��b��(�N���;���"�)�:����>�This�~�is�the�space�that�w���e�computed.��The�Hec�k�e�algebra�acts�on����BS����+ٟ��5���L�(�N���;���"�;��F����25��x�),����>so�UUwhen�w���e�nd�an�eigenform�w�e�nd�a�maximal�ideal�of�the�Hec�k�e�algebra.����MAs��an�extra�c���hec�k��on�our�computation�of����BS�����(���5��@��(�N���;���"�;��F����25��x�),�GNw���e��computed�the����>dimension��of��S����5��|s�(�N���;���"�;��C�)��using�b�Goth�the�form���ula�of�[�5��]�and�the�Hijik��q�ata�trace����>form���ula�UU(see�[�10��
])�applied�to�the�iden�tit�y�Hec�k�e�op�Gerator.���6���>�3.2��\�Complexit��y��uT��>�W��*�e�G�implemen���ted�the�mo�Gdular�sym�b�Gols�algorithms�men�tioned�ab�Go�v�e�in��E�-�

cmcsc10�EMa��gma����>�(see�UU[�6��])�b�Gecause�of�its�robust�supp�ort�for�linear�algebra�o���v�er�UUsmall�nite�elds.����MThe���follo���wing�table�giv�es�a�
a�v�or�of�the�complexit�y�of�the�mac�hine�compu-����>tations�bapp�Gearing�in�this�pap�er.��&The�table�indicates�ho���w�m�uc�h�CPU�btime�on�a����>Sun�o�Ultra�E450�w���as�required�to�compute�all�data�for�the�giv�en�lev�el,�v0including����>the��matrices��T����p���3�on�the�2-dimensional�spaces,�+�for��p��<��2000.�tkF��*�or��example,�the����>total�UUtime�for�lev���el��N��3�=��1376�w�as�6�min�utes�and�58�seconds.�����7��y�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�17���?���I������k��p�ffl�*�fd����͟���ff���l������ff���c�����͟���ff�ϟ�fdN���&time�UU(min���utes)��͟���ff�������͟���ff���l������ff�������͟���ff��͟�fd1376���<6:58��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd2416���710:42��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd3184���714:16��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd3556���719:55��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd3756���727:47��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd4108���723:11��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd4288���715:18��ϟ���ff�������͟���ff��͟�fd5376���724:49��ϟ���ff����ffl�*����N�����>�3.3��\�Ac��kno�wledgmen�t��uT��>�Some��xof�the�computing�equipmen���t�w�as�purc�hased�b�y�the�second�author�using����>a��UC�ݰBerk���eley�Vice�Chancellor�Researc�h�Gran�t.�	Additional�computer�runs����>w���ere�Y�made�on�the�Sun�Ultra�E450�of�the�Computational�Algebra�Group�at�the����>Univ���ersit�y�UUof�Sydney��*�.�q�Allan�Steel�w���as�v�ery�helpful�in�optimizing�our�co�Gde.��!č�>�References�������C�[1]���R�<E.��YArtin,���ߟ�x����2�Ub��}'er��\eine�neue�Art�von�L-r�eihen�,�2�Abh.��YMath.�Sem.�in�Univ.����R�<Ham���burg�x��3�UU�(1923/1924),�no.�1,�89{108.������C[2]���R�<J.���P��*�.��kBuhler,�!p�Ic��}'osahe�dr�al��Galois�r��}'epr�esentations�,�Springer-V��*�erlag,�Berlin,����R�<1978,�UULecture�Notes�in�Mathematics,�V��*�ol.�654.������C[3]���R�<K.�rBuzzard,�yMM.�Dic���kinson,�N.�Shepherd-Barron,�and�R.�T��*�a���ylor,��On��`ic��}'osa-����R�<he��}'dr�al���Artin�r��}'epr�esentations�,�UUin�preparation.������C[4]���R�<K.�sUBuzzard�and�R.�T��*�a���ylor,�z��Comp��}'anion���forms�and�weight�one�forms�,�Ann.����R�<of�UUMath.�(2)��149��(1999),�no.�3,�905{919.������C[5]���R�<H.�ޭCohen�and�J.�Oesterl�����Ge,��Dimensions�Bdes�esp��}'ac�es�Bde�formes�mo��}'dulair�es�,����R�<(1977),�UU69{78.�Lecture�Notes�in�Math.,�V��*�ol.�627.������C[6]���R�<W.���Bosma,���J.�Cannon,�and�C.�Pla���y�oust,��The�%Magma�algebr��}'a�system�I:�The����R�<user���language�,�UUJ.�Sym���b.�Comp.��24��(1997),�no.�3-4,�235{265,����R�<�Fm#�R

cmss10�Fhttp://www.maths.usyd.edu.au:8000/u/magma/�.������C[7]���R�<P��*�.��>Deligne�and�J-P�.�Serre,����F��;�ormes���mo��}'dulair�es�de�p�oids��1,���Ann.��>Sci.���[��x���Ecole����R�<Norm.�UUSup.�(4)��7��(1974),�507{530�(1975).������C[8]���R�<G.��8F��*�rey�(ed.),���On�5
Artin���P's�c��}'onje�ctur�e�5
for�o��}'dd��2�-dimensional�r�epr�esentations�,����R�<Springer-V��*�erlag,�UUBerlin,�1994.������C[9]���R�<B.���H.�z�Gross,���A��=tameness��Fcriterion�for�Galois�r��}'epr�esentations��Fasso�ciate�d�to����R�<mo��}'dular���forms�(mo�d��p�)�,�UUDuk���e�Math.�J.��61��(1990),�no.�2,�445{517.�����Dڠy�������>�Buzzard-Stein�UU(July�7,�2000)��#z�18���?��������>[10]���R�<H.�iHijik��q�ata,�&2�Explicit�]�formula�of�the�tr��}'ac�es�]�of�He��}'cke�op�er�ators�for������0��|s�(�N��),�&2J.����R�<Math.�UUSo�Gc.�Japan��26��(1974),�no.�1,�56{82.������>[11]���R�<R.���P��*�.�.Langlands,��E�Base�2[change�for���GL��[email protected](2),�Princeton�.Univ���ersit�y�Press,����R�<Princeton,�UUN.J.,�1980.������>[12]���R�<L.���Merel,�A6�Universal��XFourier�exp��}'ansions�of�mo�dular�forms�,�A6On���Artin's����R�<conjecture���for�o�Gdd�2-dimensional�represen���tations�(Berlin),��WSpringer,�1994,����R�<pp.�UU59{94.�Lecture�Notes�in�Math.,�V��*�ol.�1585.������>[13]���R�<T.�b�Miy���ak�e,�e��Mo��}'dular��forms�,�Springer-V��*�erlag,�Berlin,�1989,�T�ranslated�b�from����R�<the�UUJapanese�b���y�Y��*�oshitak��q�a�Maeda.������>[14]���R�<G.���Shim���ura,���Intr��}'o�duction�ܑto�the�arithmetic�the��}'ory�of�automorphic�func-����R�<tions�,��Princeton���Univ���ersit�y�Press,��Princeton,�NJ,�1994,�Reprin���t�of�the�1971����R�<original,�UUKan�Memorial�Lectures,�1.������>[15]���R�<W.���A.�HWStein,�J��Explicit���appr��}'o�aches�to�mo�dular�ab�elian�varieties�,�J�U.���C.�HWBerk���e-����R�<ley�UUPh.D.�thesis�(2000).������>[16]���R�<J.��Sturm,�ӂ�On���the�c��}'ongruenc�e���of�mo��}'dular�forms�,�Num���b�Ger��theory�(New�Y��*�ork,����R�<1984{1985),��2Springer,�Berlin,�1987,�pp.���275{280.�Lecture�Notes�in�Math.,����R�<V��*�ol.�UU1240.������>[17]���R�<R.�UUT��*�a���ylor,��On���ic��}'osahe�dr�al�Artin�r�epr�esentations�II�,�UUin�preparation.������>[18]���R�<J.��ET��*�unnell,���A���rtin���P's�!�c��}'onje�ctur�e�for�r�epr�esentations�of�o�ctahe�dr�al�typ�e�,��Bull.����R�<Amer.�UUMath.�So�Gc.�(N.S.)��5��(1981),�no.�2,�173{175.�����P]���;�y���Fm#�R

cmss10�E�-�

cmcsc10�B�Ɍ

cmbsy10�=��N�cmbx12�9!",�ff
cmsy10�8��g�ffcmmi12�7p�0J

cmsl10�6�':

cmti10�5qy��msbm7�4���

msbm10�2����

msam10�1f$�cmbx7�0�"V

cmbx10�.��N�ffcmbx12�-X�Qffcmr12�$����		cmsy9�#5��"		cmmi9�"t�:		cmbx9�!o���		cmr9��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10�W�������