Sharedwww / Tables / ants.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2000.04.01:2148������t#f����ܚ�5#f����ܚ��W����N�ffcmbx12�Comp�s3onen���t�ffGroups�of�Quotien�ts�of��DF��ff
cmmib10�J��(���"V

cmbx10�0��?��(�N���)��$\����٤�K�`y
�3
cmr10�Da��!vid��fKohel����� |{Ycmr8�1��fj�and�William�A.�Stein�����2����i�������-=�!�Aa�cmr6�1���dz�(o���		cmr9�Univ��9ersit�y�Tof�Sydney�����9��)ߤN		cmtt9�[email protected]�����V�http://www.maths.usyd.edu.au:8000/u/kohel/������R���-=�2�����Univ��9ersit�y�Tof�California�at�Berk��9eley��:�,������)�[email protected]�����&yhttp://shimura.math.berkeley.edu/~was��(_�����[s��,t�:		cmbx9�Abstract.�����?�Let��>�*5��"		cmmi9�f����b�A�e�a�newform�of�w��9eigh�t��>2�on�������0��*��(�N����),�and�let��A���$;�cmmi6�f�����b�e�the����[s�corresp�A�onding��	optimal�ab�elian�v��|rariet��9y�quotien�t�of��J�����0��*��(�N����).�W��:�e�describ�A�e�an����[s�algorithm�(to�compute�the�order�of�the�comp�A�onen��9t�group�of��A���f����at�primes��p����[s��that���exactly�divide��N����.�W��:�e�giv��9e�a�table�of�orders�of�comp�A�onen�t�groups�for����[s�all�'��f�"_�of�lev��9el��N��J�+����		cmsy9���f�127�and�v�e�examples�in�whic�h�the�comp�A�onen�t�group����[s�is��v��9ery�large,�as�predicted�b�y�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture.��!ț���?�.��N�cmbx12�1��[email protected]In��tro�`duction������?�Let���"�b>
�3
cmmi10�X���z�0����(�N�1��)�b�M�e�the�Riemann�surface�obtained�b��!y�compactifying�the�quo-��
����?tien��!t���of�the�upp�M�er�half-plane�b�y�the�action�of�����z�0����(�N�1��).�Then��X���z�0���(�N�1��)�has����?a��Gcanonical�structure�of�algebraic�curv��!e�o�v�er��/�"V
�3
cmbx10�Q�;�denote�its�Jacobian����?b��!y�[e�J���z�0����(�N�1��).�It�is�equipp�M�ed�with�an�action�of�a�comm�utativ�e�ring��T����=����?�Z�[��:��1:�:����T���z�#�2cmmi8�n���{��:��1:�:��A�]�̓of�Hec��!k�e�̓op�M�erators.�F��eor�more�details�on�mo�dular�curv��!es,����?Hec��!k�e��fop�M�erators,�and�mo�dular�forms�see,�e.g.,�[8].����PNo��!w��Vsupp�M�ose�that��f���=��p6��C0���u

cmex10�P����mۍ�
�q�&�K�cmsy8�1��U]��
�q�n�=1��� Vn�a���z�n���P�q��d�����n��	�9�is�a�mo�dular�newform�of�w��!eigh�t��V2����?for�4the�congruence�subgroup�����z�0����(�N�1��).�The�Hec��!k�e�4op�M�erators�also�act�on��f����?�b��!y��5�T���z�n���P�(�f�-��)�!�=��a���z�n���f�-��.��5The�eigen��!v��dDalues��a���z�n��	\��generate�an�order��R��Ȯ�f���ʹ=�!��Z�[��:��1:�:����a���z�n���{��:��1:�:��A�]����?in�%Ba�n��!um�b�M�er�%Beld��K��Ȯ�f��w�.�The�k��!ernel��I��Ȯ�f���a�of�the�map��T�
��%!",�
�3
cmsy10�!��R��Ȯ�f���sending�%B�T���z�n��͒�to��a���z�n�����?�is�*�a�prime�ideal.�F��eollo��!wing�Shim�ura�[15],�w�e�asso�M�ciate�to��f�X��the�quotien�t����?�A��Ȯ�f���D�=�%�J���z�0����(�N�1��)�=I��Ȯ�f��w�J���z�0���(�N��)���of��J���z�0����(�N��).�Then��A��Ȯ�f��	&ѹis�an�ab�M�elian�v��dDariet��!y�o�v�er��Q��of����?dimension��[�K��Ȯ�f���ƹ:�
��Q�],�with�bad�reduction�exactly�at�the�primes�dividing��N�1��.����POne-dimensional��.quotien��!ts�of��J���z�0����(�N�1��)�ha�v�e�b�M�een�in�tensely�studied�in����?recen��!t���y�ears,�b�M�oth�computationally�and�theoretically��e.�The�original�con-����?jectures�x�of�Birc��!h�and�Swinnerton-Dy�er�[1,��72],�for�elliptic�curv�es�o�v�er��Q�,����?w��!ere��^greatly�in
uenced�b�y�computations.�The�scale�of�these�computations����?w��!as��fextended�and�systematized�b�y�Cremona�in�[6].����PIn���another�direction,�Wiles�[20]�and�T��ea��!ylor-Wiles�[18]�pro�v�ed�a�sp�M�ecial����?case�=Eof�the�conjecture�of�Shim��!ura-T��eaniy�ama,�=Ewhic�h�asserts�that�ev�ery����?elliptic�G�curv��!e�o�v�er��Q��is�a�quotien�t�of�some��J���z�0����(�N�1��);�this�allo�w�ed�them�to�����*�t#f����ܚ�5#f����ܚ��?�establish�X�F��eermat's�Last�Theorem.�The�full�Shim��!ura-T�aniy�ama�X�conjecture��
����?w��!as��.later�pro�v�ed�b�y�Breuil,�Conrad,�Diamond,�and�T��ea�ylor�in�[4].�This����?illustrates��fthe�cen��!tral�role�pla�y�ed�b�y�quotien�ts�of��J���z�0����(�N�1��).��F��?�2��[email protected]Comp�`onen��t��Groups�of��2DF��
cmmib10�A�����3�5-.cmmib8�f����\��?�The���N��"���Deron�mo�M�del��A�=�Z��of�an�ab�elian�v��dDariet��!y��A=�Q��is�b�y�denition�a�smo�M�oth����?comm��!utativ�e�e�group�sc��!heme�o�v�er��Z��with�generic�b�M�er��A��suc�h�that�for�an�y����?smo�M�oth��fsc��!heme��S�G��o�v�er��Z�,�the�restriction�map���������6Hom����Z8����02�@�cmbx8�Z����c�(�S��;��1�A�)�
��!���Hom���ک����Q��!��(�S�����Q���v�;�A�)����?is�Ƌa�bijection.�F��eor�more�details,�including�a�pro�M�of�of�existence,�see,�e.g.,�[5].��
����PSupp�M�ose��that��A��Ȯ�f���ƹis�a�quotien��!t�of��J���z�0����(�N�1��)�corresp�onding�to�a�newform��f����?�on�ar����z�0����(�N�1��),�and�let��A��Ȯ�f��ؑ�b�M�e�the�N��"���Deron�mo�del�of��A��Ȯ�f��w�.�F��eor�an��!y�prime�divisor��p����?�of��o�N�1��,�the�closed�b�M�er���A��Ȯ�f����(ԟ��=�F���p���%]��is�a�group�sc��!heme�o�v�er��F���z�p���]�,�whic�h�need�not����?b�M�e�(�connected.�Denote�the�connected�comp�onen��!t�of�the�iden�tit�y�b�y���A��������'͍�f�����^�<�=�F���p��� �d�.����?There��fis�an�exact�sequence���������0�
��!��A���z�����:j��f�����@��8=�F���p���#���!��A��Ȯ�f����@���=�F���p����!�������A��i?�f��ʫ�;p��W�!��0��r���?with��������A��i?�f��ʫ�;p��+x�a�nite��:���Detale�group�sc��!heme�o�v�er��F���z�p���u�called�the��8�':
�3
cmti10�c��p�omp�onent�3�gr�oup����?�of��f�A��Ȯ�f��	��at��p�.����PThe��category�of�nite�c;���Detale�group�sc��!hemes�o�v�er��F���z�p��	xv�is�equiv��dDalen�t�to����?the�%�category�of�nite�groups�equipp�M�ed�with�an�action�of��Gal��A�(���I��fe�j��}��F�����j��z�p�����=�F���z�p���]�)�(see,����?e.g.,�F�[19,��x�6.4]).�The��or��p�der��of�an������Detale�group�sc��!heme��G=�F���z�p��	.�is�dened�to����?b�M�e��]the�order�of�the�group��G�(���I��fe�j��}��F�����j��z�p���ǹ).�In�this�pap�er�w��!e�describ�e�an�algorithm����?for��fcomputing�the�order�of�������A��i?�f��ʫ�;p��L`�,�when��p��exactly�divides��N�1��.�����?�3��[email protected]The��Algorithm���\��?�Let����J�lf�=�^��J���z�0����(�N�1��),�x�a�newform��f���of�w��!eigh�t-t�w�o���for�����z�0���(�N�1��),�and�let��A��Ȯ�f��	P�b�M�e����?the��Lcorresp�M�onding�quotien��!t�of��J�
��.�Because��J���is�the�Jacobian�of�a�curv�e,�it����?is�k.canonically�isomorphic�to�its�dual,�so�the�pro���jection��J�D�!�
��A��Ȯ�f���M�induces�a����?p�M�olarization��$�A������_��'͍�f���	5W�!�
��A��Ȯ�f��w�,�where��A������_��'͍�f���	�Թdenotes�the�ab�elian�v��dDariet��!y�dual�of��A��Ȯ�f��w�.����?W��ee��Kdene�the��mo��p�dular��#de�gr�e�e��K������A��i?�f���+ڹof��A��Ȯ�f��	�j�to�b�M�e�the�p�ositiv��!e�square�ro�ot����?of���the�degree�of�this�p�M�olarization.�This�agrees�with�the�usual�notion�of����?mo�M�dular��fdegree�when��A��Ȯ�f��	��is�an�elliptic�curv��!e.����PA�{�torus���T����o��!v�er�a�eld��k�[�is�a�group�sc�heme�whose�base�extension�to�the����?separable��dclosure��k���z�s����of��k����is�a�nite�pro�M�duct�of�copies�of��G���z�m��Ĺ.�Ev��!ery�comm�u-����?tativ��!e��4algebraic�group�o�v�er��k��s�admits�a�unique�maximal�subtorus,�dened�������t#f����ܚ�5#f����ܚ��?�o��!v�er��]�k�X?�,�whose�formation�comm��!utes�with�base�extension�(see�IX���x�2.1�of�[9]).��
����?The��T�char��p�acter��gr�oup��of�a�torus��T���is�the�group��X���=��
�Hom���ک�Ȯ�k���s���"�}�(�T��;��1�G���z�m��Ĺ)�whic��!h����?is�G�a�free�ab�M�elian�group�of�nite�rank�together�with�an�action�of��Gal��c�(�k���z�s��n<�=k�X?�)����?(see,��fe.g.,�[19,��x�7.3]).����PW��ee��apply�this�construction�to�our�setting�as�follo��!ws.�The�closed�b�M�er����?of���the�N��"���Deron�mo�M�del�of��J��*�at��p��is�a�group�sc��!heme�o�v�er��F���z�p���]�,�whose�maximal����?torus�#�w��!e�denote�b�y��T�����J�Γ;p����.�W��ee�dene��X�����J�Γ;p�����to�b�M�e�the�c�haracter�group�of����?�T�����J�Γ;p����.��Then��X�����J�Γ;p�����is�a�free�ab�M�elian�group�equipp�ed�with�an�action�of�b�oth�����?Gal��P(���I��fe�j��}��F�����j��z�p�����=�F���z�p���]�)���and�the�Hec��!k�e���algebra��T��(see,�e.g.,�[14]).�Moreo��!v�er,���there����?exists��fa�bilinear�pairing��⍒���h��1�;��b�i�
��:��X�����J�Γ;p�����n�X�����J�Γ;p�����!��Z����?�called��fthe��mono��p�dr�omy���p�airing��f�suc��!h�that������W������J�Γ;p�����������������l������=������0�cok��!er��3)w(�X�����J�Γ;p�����!��
��Hom��ک(�X�����J�Γ;p����;��1�Z�))�:����?�Let��f�X�����J�Γ;p����[�I��Ȯ�f��w�]�b�M�e�the�in��!tersection�of�all�k�ernels��k�er��G�(�t�)�for��t��in��I��Ȯ�f��w�,�and�let������p���Ȯ�f���ƹ:�
��X�����J�Γ;p�����!���Hom��ک(�X�����J�Γ;p����[�I��Ȯ�f��w�]�;��1�Z�)����?b�M�e�
&the�map�induced�b��!y�the�mono�drom��!y�pairing.�The�follo�wing�theorem�of��
����?the��isecond�author�[16],�pro��!vides�the�basis�for�the�computation�of�orders����?of��fcomp�M�onen��!t�groups.��WV����?�Theorem�2�1.�������With���the�notation�as�ab��p�ove,�we�have�the�e�quality��=Í��#�#������A��i?�f��ʫ�;p��W�=����������#�cok��!er����(���Ȯ�f��w�)�n���������A��i?�f����=ڟ�j�fe[email protected]ޟ
t��#(���Ȯ�f��w�(�X�����J�Γ;p����)�=��Ȯ�f���(�X�����J�Γ;p���[�I��Ȯ�f���]))�������:��$r����?�3.1��[��Computing�2�the�mo�Y�dular�degree��9DF��
�3
cmmib10������A;f����ʍ�?�Using���mo�M�dular�sym��!b�ols�(see,�e.g.,�[6]),�w��!e�rst�compute�the�homology����?group�	��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Q�;��cusps��%).�Using�lattice�reduction,�w��!e�compute�the��Z�-����?submo�M�dule����H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�;��cusps��%)�generated�b��!y�all�Manin�sym�b�M�ols�(�c;��1d�).����?Then��f�H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)�is�the��inte��p�ger��k��!ernel�of�the�b�M�oundary�map.����PThe��|Hec��!k�e�ring��T��acts�on��H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)�and�also�on�the�linear�dual�����?Hom��U�(�H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)�;��Z�),�Twhere��t�
��2��T�T�acts�on��'�
��2���Hom��ک(�H���z�1����(�X���z�0���(�N��)�;��1�Z�)�;��Z�)����?b��!y��f(�t:'�)(�x�)�
�=��'�(�tx�).�W��ee�ha��!v�e�a�natural�restriction�map��⍑Y>��r��Ȯ�f���ƹ:��
�Hom��ک(�H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)�;��Z�)[�I��Ȯ�f��w�]�
��!���Hom��(�H���z�1����(�X���z�0���(�N�1��)�;��1�Z�)[�I��Ȯ�f��w�]�;��Z�)�:������?�Prop�Y�osition�2�1.����Y��The�,�c��p�okernel�of��r��Ȯ�f��
���is�isomorphic�to�the�kernel�of�the��
����?p��p�olarization����A������_��'͍�f���	5W�!�
��A��Ȯ�f��	b	�induc�e�d�by�the�map��J���z�0����(�N�1��)�
��!��A��Ȯ�f��w�.�������t#f����ܚ�5#f����ܚ��P�Th��!us��the�order�of�the�cok�ernel�of��r��Ȯ�f��
��is�the�square�of�the�mo�M�dular��
����?degree�Y���Ȯ�f��w�.�W��ee�pause�to�note�that�the�degree�of�an��!y�p�M�olarization�is�a����?square;��fsee,�e.g.,�[13,�Thm.�13.3].��������?�Pr��p�o�of.���aON�Let���S��9�=�$��S���z�2����(����z�0���(�N�1��)�;��1�C�)�b�M�e�the�complex�v��!ector�space�of�w�eigh�t-t�w�o����?mo�M�dular�<�forms�of�lev��!el��N�1��,�and�set��H��O�=���H���z�1����(�X���z�0���(�N��)�;��1Z�ȁ�).�<�The�in��!tegration����?pairing��f�S�~��n��H��h�!�
��C��induces�a�natural�map��6��������Ȯ�f���ƹ:�
��H��h�!���Hom��ک(�S����[�I��Ȯ�f��w�]�;��1�C�)�:����?�Using���the�classical�Ab�M�el-Jacobi�theorem,�w��!e�deduce�the�follo�wing�comm�u-��
����?tativ��!e��fdiagram,�whic�h�has�exact�columns,�but�whose�ro�ws�are�not�exact.����������C4����������ğ�t0������������ґ�g��5D

xyatip10���5D

xybtip10���������_�g�9�fd���������%��t�0������������A�
K�����������
K�B�fd��������:Bd��t�0�����������<�1�g��������<���g�9�fd�����������C�:��H����[�I��Ȯ�f��w�]�������������ґ�1˦����������_�1˦�9�fd�������B���
�/�/����������?�fd8C���������B�����H������������A�2������������2����fd������*\$��
�/�/�������@��?�fd6=���������-\$�:����Ȯ�f��w�(�H����)������������<�1�1˦��������<���1˦�9�fd����������y���=�Hom���p��=(�S��;��1�C�)[�I��Ȯ�f��w�]�������������ґ�Q�����������_�Q��9�fd�������>h�:�L�/�/�������u�:�~�fd9󎍍��������>h�=O�Hom���j�=O(�S��;��1�C�)�������������A�R�3�����������R�3��Nfd������o�:�L�/�/������	E}�:�~�fd9򎍍�������o�=�Hom��1Oq�=(�S����[�I��Ȯ�f��w�]�;��1�C�)������������<�1�R`&��������<���R`&�4fd�����������ɟ\���A������_��'͍�f���*��(�C�)�������������ґ�r����������_�r�9�fd��������g�[&̻/�/��������Y�[Y��fd"�������4��c�޻>�>�������������ߟe
4�fdfe�������)�e1��fdfe�������u�eV��fdfe��������e{T�fdfe������+
�e��fdfe������SW�e�V�fdfe������{��e踄fdfe��������f
�fdfe�������9�f1<�fdfe�������fU^�fdfe������ϟfyl�fdfe������E�f�d�fdfe������mg�f�H�fdfe���������f��fdfe���������gЄfdfe�������G�g,t�fdfe��������gP�fdfe������6ݟgs~�fdfe������_)�g��fdfe�������u�g�4�fdfe���������g�p�fdfe��������h��fdfe������W�h#��fdfe������(��hF��fdfe������P�hi��fdfe������y7�h�^�fdfe���������h��fdfe�������͟h�Ąfdfe��������h�X�fdfe������c�iքfdfe������B��[email protected]�fdfe������j��i[��fdfe�������E�i}Ԅfdfe���������i���fdfe�������۟i��fdfe������'�i��fdfe������4s�j�fdfe������\��j'քfdfe�������	�jI��fdfe�������S�jkD�fdfe������՟�j�܄fdfe��������j�^�fdfe������&5�j�̄fdfe������N�j�$�fdfe������v˟kh�fdfe��������k3��fdfe�������a�kT��fdfe������﫟ku��fdfe��������k���fdfe������@A�k�~�fdfe������h��k�D�fdfe�������ٟk��fdfe�������%�l��fdfe�������o�l:�fdfe������	��lZ��fdfe������2�lz�fdfe������ZQ�l�,�fdfe���������l�^�fdfe��������l�|�fdfe�������1�l���fdfe�������}�mx�fdfe������#ǟm;V�fdfe������L�m[ �fdfe������t]�mzԄfdfe���������m�t�fdfe��������m���fdfe�������?�m�t�fdfe��������m�Ԅfdfe������=ןn �fdfe������f!�n7V�fdfe���������nu��fdfe������M�n�^�fdfe������W�n��fdfe�������{�o.�fdfe��������oj�fdfe������I��o�~�fdfe�������?�o㴄fdfe�������՟p��fdfe������;k�p[$�fdfe��������p�^�fdfe������ܗ�p�D�fdfe������--�qքfdfe������}ßqF�fdfe�������Y�q��fdfe�������q���fdfe������o��q�քfdfe��������r+Ąfdfe��������rd^�fdfe������aI�r���fdfe�������ߟrԖ�fdfe������u�s4�fdfe������S�sC~�fdfe���������szt�fdfe�������9�s��fdfe������Dϟs�d�fdfe�������e�t^�fdfe���������tS�fdfe������6��t�V�fdfe�������'�t�T�fdfe������׽�t���fdfe������(U�u&T�fdfe������x�uZV�fdfe������Ɂ�u��fdfe�������u�^�fdfe������j��u�d�fdfe�������E�v'�fdfe������۟vYt�fdfe������\q�v�~�fdfe�������	�v�4�fdfe���������vfdfe������N5�w��fdfe�������˟wP^�fdfe�������a�w�Ąfdfe������?��w�քfdfe���������w�fdfe�������#�x��fdfe������1��x?�fdfe�������Q�xmքfdfe��������x�D�fdfe������#}�x�^�fdfe������t�x�$�fdfe������ĩ�y%��fdfe������?�yR��fdfe������e՟y~�fdfe�������m�y��fdfe�������y��fdfe������W��z�fdfe�����¨/�z/^�fdfe�������şzZ��fdfe������I[�z�V�fdfe�����Ù�z�Ԅfdfe������ꇟz���fdfe������;�{Ԅfdfe�����ċ��{-V�fdfe�������K�{V��fdfe������,�{^�fdfe������}y�{��fdfe��������{��fdfe��������{��fdfe������o;�|~�fdfe�����ƿӟ|F��fdfe������i�|m��fdfe������`��|�$�fdfe�����DZ��|�^�fdfe������+�|�D�fdfe������R��}քfdfe�����ȣW�}+�fdfe��������}O��fdfe������D��}t��fdfe�����ɕ�}�քfdfe������屟}�Ąfdfe������6G�}�^�fdfe�����ʆݟ~��fdfe�������s�~&��fdfe������(	�~I4�fdfe������x��~k~�fdfe�������7�~�t�fdfe������͟~��fdfe������jc�~�d�fdfe�����̺��~�^�fdfe���������fdfe������\%�2V�fdfe�����ͬ��RT�fdfe�������Q�q��fdfe������M��T�fdfe�����Ξ��V�fdfe����������fdfe������?���^�fdfe�����ϐC��d�fdfe�������٠�)�fdfe������1o��Ft�fdfe�����Ђ��c~�fdfe������ҝ���4�fdfe������#3�����fdfe������sɠ����fdfe�������_���^�fdfe����������Ąfdfe������e���
քfdfe�����Ҷ!��%��fdfe���������?��fdfe������WO��Z�fdfe�����ӧ��sքfdfe�������{���D�fdfe������I���^�fdfe�����ԙ����$�fdfe�������=��ז�fdfe������:Ӡ�ﴄfdfe�����Ջi��~�fdfe����������fdfe������,���6�fdfe������}-��L�fdfe�������à�c^�fdfe������Y��y��fdfe������n���V�fdfe�����׿����Ԅfdfe�����������fdfe������`����Ԅfdfe�����رI���V�fdfe������ߠ����fdfe������Ru��^�fdfe�����٣
���fdfe��������2�fdfe������D9��D�fdfe�����ڔϠ�W~�fdfe�������g��i��fdfe������5���{��fdfe�����ۆ����$�fdfe�������)���^�fdfe������'����D�fdfe������xU���քfdfe�����������fdfe������������fdfe������j��fdfe�����ݺ����քfdfe������E��
Ąfdfe������[۠�^�fdfe�����ެq��*��fdfe���������8��fdfe������M���F4�fdfe�����ߞ3��S~�fdfe�������ˠ�`t�fdfe������?a��m�fdfe���������yd�fdfe���������^�fdfe������1#����fdfe�����ၹ���V�fdfe�������O���T�fdfe������"�����fdfe������s}���T�fdfe����������V�fdfe�����������fdfe������e?���^�fdfe������נ��d�fdfe������m����fdfe������W���t�fdfe�����䧙���~�fdfe�������1��4�fdfe������HǠ�
��fdfe������]����fdfe���������^�fdfe������:���Ąfdfe��������$քfdfe������۵��*��fdfe������,K��/��fdfe������|��5�fdfe�������y��9քfdfe��������>D�fdfe������n���B^�fdfe������;��F$�fdfe������Ѡ�I��fdfe������`g��L��fdfe���������O~�fdfe���������Q�fdfe������R+��T�fdfe���������U�fdfe�������W��W^�fdfe������C��X��fdfe�����딃��YV�fdfe���������YԄfdfe������5���Y��fdfe������G��YԄfdfe�������ݠ�YV�fdfe������'s��X��fdfe������x	��W^�fdfe������ȡ��U�fdfe������7��T�fdfe������i͠�Q�fdfe������c��O~�fdfe������
���L��fdfe������[���I��fdfe������'��F$�fdfe����������B^�fdfe������MS��>D�fdfe��������9քfdfe���������5�fdfe������?��/��fdfe�����񏭠�*��fdfe�������C��$քfdfe������0٠�Ąfdfe������o��^�fdfe�����������fdfe������"���
��fdfe������s1��4�fdfe�������Ǡ��~�fdfe������_���t�fdfe������d�����fdfe��������d�fdfe������!���^�fdfe������V�����fdfe�������M���V�fdfe����������T�fdfe������Hy�����fdfe����������T�fdfe������駠��V�fdfe������:=����fdfe�������Ӡ��^�fdfe�������k��yd�fdfe������,��m�fdfe������|���`t�fdfe�������-��S~�fdfe������Š�F4�fdfe������n[��8��fdfe���������*��fdfe���������^�fdfe������`��
Ąfdfe�����������քfdfe������I��fdfe������Qߠ����fdfe�������w����fdfe�������
���քfdfe������C����D�fdfe�������9���^�fdfe�������Ϡ��$�fdfe������5e��{��fdfe����������i��fdfe������֑��W~�fdfe������')��D�fdfe������w���2�fdfe�������U���fdfe��������^�fdfe������i������fdfe����������V�fdfe�����
����Ԅfdfe�����[C�����fdfe������۠��Ԅfdfe������q���V�fdfe�����M��y��fdfe���������c^�fdfe������5��L�fdfe�����>ˠ�6�fdfe������a���fdfe���������~�fdfe�����0���ﴄfdfe������%��ז�fdfe�����ѻ���$�fdfe�����"Q���^�fdfe�����r���D�fdfe������}��sքfdfe�������Z�fdfe�����d���?��fdfe������A��%��fdfe�����נ�
քfdfe�����Vm���Ąfdfe���������^�fdfe������������fdfe�����H/�����fdfe������Š��4�fdfe������[��c~�fdfe�����9��Ft�fdfe���������)�fdfe��������d�fdfe�����	+���^�fdfe�����	|K���fdfe�����	���V�fdfe�����
w��T�fdfe�����
n
�q��fdfe�����
���RT�fdfe�����;�2V�fdfe�����_џ�fdfe������g�~�^�fdfe�������~�d�fdfe�����Q��~��fdfe������+�~�t�fdfe��������~k~�fdfe�����
CY�~I4�fdfe�����
��~&��fdfe�����
䅟~��fdfe�����5�}�^�fdfe��������}�Ąfdfe������G�}�քfdfe�����&ݟ}t��fdfe�����ws�}O��fdfe�������}+�fdfe�������}քfdfe�����i7�|�D�fdfe������͟|�^�fdfe�����
c�|�$�fdfe�����Z��|m��fdfe��������|F��fdfe������%�|~�fdfe�����L��{��fdfe������S�{��fdfe�������{��fdfe�����>�{^�fdfe�������{V��fdfe�����߫�{-V�fdfe�����0A�{Ԅfdfe������ןz���fdfe������o�z�Ԅfdfe�����"�z�V�fdfe�����r��zZ��fdfe������1�z/^�fdfe�����ɟz�fdfe�����d_�y��fdfe��������y��fdfe�������y~�fdfe�����V#�yR��fdfe��������y%��fdfe������O�x�$�fdfe�����G�x�^�fdfe������{�x�D�fdfe�������xmքfdfe�����9��x?�fdfe������=�x��fdfe������՟w�fdfe�����+k�w�քfdfe�����|�w�Ąfdfe�����̗�wP^�fdfe�����-�w��fdfe�����mßvfdfe������Y�v�4�fdfe������v�~�fdfe�����_��vYt�fdfe�������v'�fdfe�������u�d�fdfe�����QI�u�^�fdfe������ߟu��fdfe������u�uZV�fdfe�����C�u&T�fdfe��������t���fdfe������9�t�T�fdfe�����4ϟt�V�fdfe������e�tS�fdfe��������t^�fdfe����� &��s�d�fdfe����� w)�s��fdfe����� ǿ�szt�fdfe�����!U�sC~�fdfe�����!h�s4�fdfe�����!���rԖ�fdfe�����"
�r���fdfe�����"Z��rd^�fdfe�����"�E�r+Ąfdfe�����"�۟q�քfdfe�����#Lq�q���fdfe�����#��q��fdfe�����#ퟟqF�fdfe�����$>5�qքfdfe�����$�˟p�D�fdfe�����$�a�p�^�fdfe�����%/��p[$�fdfe�����%���p��fdfe�����%�#�o㴄fdfe�����&!��o�~�fdfe�����&rQ�oj�fdfe�����&��o.�fdfe�����'}�n��fdfe�����'d�n�^�fdfe�����'���nu��fdfe�����(?�n7V�fdfe�����(-��n �fdfe�����(U՟m�Ԅfdfe�����(~!�m�t�fdfe�����(�k�m���fdfe�����(η�m�t�fdfe�����(��mzԄfdfe�����)O�m[ �fdfe�����)G��m;V�fdfe�����)o�mx�fdfe�����)�/�l���fdfe�����)�{�l�|�fdfe�����)�şl�^�fdfe�����*�l�,�fdfe�����*9]�lz�fdfe�����*a��lZ��fdfe�����*��l:�fdfe�����*�?�l��fdfe�����*ډ�k��fdfe�����+՟k�D�fdfe�����++�k�~�fdfe�����+Sk�k���fdfe�����+{��ku��fdfe�����+��kT��fdfe�����+�M�k3��fdfe�����+�kh�fdfe�����,�j�$�fdfe�����,E/�j�̄fdfe�����,my�j�^�fdfe�����,�şj�܄fdfe�����,��jkD�fdfe�����,�[�jI��fdfe�����-��j'քfdfe�����-6�j�fdfe�����-_;�i��fdfe�����-���i��fdfe�����-�џi���fdfe�����-��i}Ԅfdfe�����.i�i[��fdfe�����.(��[email protected]�fdfe�����.P��iքfdfe�����.yK�h�X�fdfe�����.���h�Ąfdfe�����.��h��fdfe�����.�+�h�^�fdfe�����/w�hi��fdfe�����/B��hF��fdfe�����/k
�h#��fdfe�����/�W�h��fdfe�����/���g�p�fdfe�����/��g�4�fdfe�����09�g��fdfe�����04��gs~�fdfe�����0\ϟgP�fdfe�����0��g,t�fdfe�����0�g�gЄfdfe�����0ձ�f��fdfe�����0���f�H�fdfe�����1&G�f�d�fdfe�����1N��fyl�fdfe�����1vݟfU^�fdfe�����1�)�f1<�fdfe�����1�s�f
�fdfe�����1￟e踄fdfe�����2	�e�V�fdfe�����[email protected]�e��fdfe�����2h��e{T�fdfe�����2��eV��fdfe�����2�5�e1��fdfe�����2ၟe
4�fdfe�����3	͟d�T�fdfe�����32�d�`�fdfe�����3Zc�d�V�fdfe�����3���dy8�fdfe�����3���dT�fdfe�����3�E�d.��fdfe����������������g�]��J���z�0����(�N�1��)(�C�)�������������A�r�����������r�TAfd������*Z2�[&̻/�/�������}�[Y��fd#�����������-Z2�]���A��Ȯ�f��w�(�C�)������������<�1�r��������<���r�4fd���������ğ}&�0��������������%�}&0�������������:Bd�}&0������������<��?By��5the�snak��!e�lemma,�the�k�ernel�of��A������_��'͍�f���*��(�C�)���!��A��Ȯ�f��w�(�C�)��5is�isomorphic�to�the��
����?cok��!ernel��fof�the�map��H����[�I��Ȯ�f��w�]�
��!����Ȯ�f���(�H����).��fSince��������Hom���}�(�H�H=���1�k��!er��t�(���Ȯ�f��w�)�;��1�Z�)���������
������l���
��=��������Hom��%i�(�H�;��Z�)[�I��Ȯ�f��w�]�;����?�the���Hom��t(��;��1�Z�)��dual�of�the�map��H����[�I��Ȯ�f��w�]�
��!����Ȯ�f���(�H����)�=��H�H=���1�k��!er��t�(���Ȯ�f���)��is��r��Ȯ�f���,�whic��!h����?pro��!v�es��fthe�prop�M�osition.�������?�3.2��[��Computing�2�the�c��tharacter�group��:�Ɍ
�3
cmbsy10�X���z�J���;p�������?�Let��&�N�{0�=�I��M�1�p�,�where��M��Źand��p��are�coprime.�If��M��is�small,�then�the�algo-����?rithm���of�Mestre�and�Oesterl��"���De�[12]�can�b�M�e�used�to�compute��X�����J�Γ;p����.�This�algo-����?rithm��constructs�the�graph�of�isogenies�b�M�et��!w�een�����I��fe�j��}��F�������z�p���^�-isomorphism��classes����?of��pairs�consisting�of�a�sup�M�ersingular�elliptic�curv��!e�and�a�cyclic��M�1��-torsion����?subgroup.�a_In�particular,�the�metho�M�d�is�elemen��!tary�to�apply�when��X���z�0����(�M�1��)����?has��fgen��!us�0.����PIn���general,�the�ab�M�o��!v�e���category�of�\enhanced"�sup�ersingular�elliptic����?curv��!es���can�b�M�e�replaced�b�y�one�of�left�(or�righ�t)�ideals�of�a�quaternion�or-����?der����O�of�lev��!el��M��j�in�the�quaternion�algebra�o�v�er��Q��ramied�at��p�.�This�giv�es�����+��t#f����ܚ�5#f����ܚ��?�an�=,equiv��dDalen��!t�category��e,�in�whic�h�the�computation�of�homomorphisms�is��
����?ecien��!t.��The�c�haracter�group��X�����J�Γ;p����is�kno�wn�b�y�Deligne-Rap�M�op�ort��[7]�to����?b�M�e��Wcanonically�isomorphic�to�the�degree�zero�subgroup��X��w�(�O��)�of�the�free����?ab�M�elian�H\divisor�group"�on�the�isomorphism�classes�of�enhanced�sup�ersin-����?gular�pelliptic�curv��!es�and�of�quaternion�ideals.�Moreo�v�er,�this�isomorphism����?is��compatible�with�the�op�M�eration�of�Hec��!k�e��op�erators,�whic��!h�are�eectiv�ely����?computable��fin��X��w�(�O�M޹)�in�terms�of�ideal�homomorphisms.��
���PThe�G�inner�pro�M�duct�of�t��!w�o�G�classes�in�this�setting�is�dened�to�b�e�the����?n��!um�b�M�er�gzof�isomorphisms�b�et��!w�een�gzan�y�t�w�o�represen�tativ�es.�The�linear�ex-����?tension��	to��X��w�(�O�M޹)�giv��!es�an�inner�pro�duct�whic��!h�agrees,�under�the�isomor-����?phism,���with�the�mono�M�drom��!y�pairing�on��X�����J�Γ;p����.�This�giv�es,�in�particular,����?an��isomorphism�������J�Γ;p����������=t�����l���=t�=������h'cok��!er��4a(�X��w�(�O�M޹)��m�!���Hom��vo(�X��(�O�M޹)�;��1�Z�)),��and�an�eectiv��!e����?means��fof�computing�#�cok��!er����(���Ȯ�f��w�)�and�#(���Ȯ�f���(�X�����J�Γ;p����)�=��Ȯ�f���(�X�����J�Γ;p���[�I��Ȯ�f���])).����PThe���arithmetic�of�quaternions�has�b�M�een�implemen��!ted�in��;�-�
�3
cmcsc10�Ma���gma��[11]����?b��!y��the�rst�author.�Additional�details�and�the�application�to�Shim�ura����?curv��!es,��fgeneralizing��X���z�0����(�N�1��),�can�b�M�e�found�in�Kohel�[10].�� � ���?�3.3��[��The�2�Galois�action�on�����z�A��R~�41��cmmib6�f��4C�;p���� ��?�T��eo�
�determine�the�Galois�action�on�������A��i?�f��ʫ�;p��L`�,�w��!e�need�only�kno�w�the�action�of����?the��fF��erob�M�enius�automorphism��F�rob�������z�p��k�.�Ho��!w�ev�er,���fF�rob�������z�p��!�I�acts��fon�������A��i?�f��ʫ�;p���ƹin�the����?same�Hw��!a�y�as���W���z�p���]�,�where��W���z�p��ӥ�is�the��p�th�A�tkin-Lehner�in�v�olution,�whic�h����?can��ab�M�e�computed�using�mo�dular�sym��!b�ols.�Since��f���is�an�eigenform,�the����?in��!v�olution���W���z�p�����acts�as�either�+1�or���1�on�������A��i?�f��ʫ�;p��L`�.�Moreo��!v�er,��the�op�M�erator����?�W���z�p��֮�is�Qdetermined�b��!y�an�in�v�olution�on�the�set�of�quaternion�ideals,�so�it����?can��fb�M�e�determined�explicitly�on�the�c��!haracter�group.��!����?�4��[email protected]T���ables��� ��?�The���main�computational�results�of�this�w��!ork�are�presen�ted�b�M�elo�w�in�t�w�o����?tables.�6�The�relev��dDan��!t�algorithms�ha�v�e�b�M�een�implemen�ted�in��Ma���gma��and����?will�D�b�M�e�made�part�of�a�future�release.�They�can�also�b�e�obtained�from�the����?second��fauthor.�����?�4.1��[��Comp�Y�onen��tt�2�groups�at�lo�w�lev�el��� ��?�T��eable�H�4.1�giv��!es�the�comp�M�onen�t�groups�of�the�quotien�ts��A��Ȯ�f��	��of��J���z�0����(�N�1��)�for����?�N�ļ����127.��GThe�column�lab�M�eled��d��con��!tains�the�dimensions�of�the��A��Ȯ�f��w�,�and����?the�MKcolumn�lab�M�eled�#������A��i?�f��ʫ�;p�����con��!tains�a�list�of�the�orders�of�the�comp�onen��!t����?groups�n�of��A��Ȯ�f��w�,�one�for�eac��!h�divisor��p��of��N�1��,�ordered�b�y�increasing��p�.�An�����h��t#f����ܚ�5#f����ܚ��?�en��!try���of�\?"�indicates�that��p�����2��	<��j�|��N�1��,�so�our�algorithm�do�M�es�not�apply��e.�A��
����?comp�M�onen��!t�group�order�is�starred�if�the��Gal��ޒ(���I��fe�j��}��F�����j��z�p�����=�F���z�p���]�)-action�is�non�trivial.����?More��fdata�along�these�lines�can�b�M�e�obtained�from�the�second�author.�������?�4.2��[��Examples�2�of�large�comp�Y�onen��tt�groups������?�Let�׮�
�����A��i?�f����=�b�M�e�the�real�p�erio�d�of��A��Ȯ�f��w�,�as�dened�b��!y�J.�T��eate�in�[17].�The�second����?author��Kcomputed�the�rational�n��!um�b�M�ers��K�L�(�A��Ȯ�f��w�;��1�1)�=
�����A��i?�f���Vڹfor�ev��!ery�newform��f����?�of��<lev��!el��N�<F��
��1500.�The�v�e�largest�prime�divisors�o�M�ccur�in�the�ratios�giv�en����?in��T��eable�4.2.�The�Birc��!h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�predicts�that�the����?large��prime�divisor�of�the�n��!umerator�of�eac�h�sp�M�ecial�v��dDalue�m�ust�divide�the����?order�D9either�of�some�comp�M�onen��!t�group�������A��i?�f��ʫ�;p�����or�of�the�Shafarevic�h-T��eate����?group�
�of��A��Ȯ�f��w�.�In�eac��!h�instance�������A��i?�f��ʫ�;�2��O��is�divisible�b�y�the�large�prime�divisor,����?as��fpredicted.�� ���?�5��[email protected]F���urther��directions������?�F��eurther��5considerations�are�needed�to�compute�the��gr��p�oup��structure�of����?������A��i?�f��ʫ�;p��L`�.�v�Ho��!w�ev�er,�since�the�action�of�F��erob�M�enius�is�kno�wn,�computing�the����?group��structure�of�������A��i?�f��ʫ�;p��+n�suces�to�determine�its�structure�as�a�group����?sc��!heme.����POur��~metho�M�ds�sa��!y�nothing�ab�out�the�comp�onen��!t�group�at�primes�whose����?�squar��p�e��>�divides�the�lev��!el.�The�free�ab�M�elian�group�on�classes�of�nonmaxi-����?mal��orders�of�index��p��at�a�ramied�prime�giv��!es�a�w�ell-dened�divisor����?group.���Do�the�resulting�Hec��!k�e���mo�M�dules�determine�the�comp�onen��!t�groups����?for��fquotien��!ts�of�lev�el��p�����2����M�1��?����PIs��Oit�p�M�ossible�to�dene�quan��!tities�as�in�Theorem�1�ev�en�when�the�w�eigh�t����?of�D��f�r��is��gr��p�e�ater�|�than��2?�D�If�so,�ho��!w�are�the�resulting�quan�tities�related�to����?the�x�Blo�M�c��!h-Kato�T��eamaga�w�a�n�um�b�M�ers�(see�[3])�of�the�higher�w�eigh�t�motiv�e����?attac��!hed��fto��f�-��?�����v�t#f����ܚ�5#f����B����,�����Comp�K�onen��Ct���groups�at�lo�w�lev�el��������
�<���@ff�N���M��d���X���#����A��g��O
�\cmmi5�f�����;p����鍍�@ff�11���NP1���W ;5������@ff14���NP1���W ;6���-=�'q�%cmsy6���UT�;����3������@ff15���NP1���W ;4���-=���UT�;����4������@ff17���NP1���W ;4������@ff19���NP1���W ;3������@ff20���NP1���W ;?�;����2���-=��������@ff�21���NP1���W ;4�;����2���-=��������@ff�23���NP2���W ;11������@ff24���NP1���W ;?�;����2���-=��������@ff�26���NP1���W ;3���-=���UT�;����3������NP1���W ;7�;����1���-=��������@ff�27���NP1���W ;?������@ff29���NP2���W ;7������@ff30���NP1���W ;4���-=���UT�;����3�;��1���-=��������@ff�31���NP2���W ;5������@ff32���NP1���W ;?������@ff33���NP1���W ;6���-=���UT�;����2������@ff34���NP1���W ;6�;����1���-=��������@ff�35���NP1���W ;3���-=���UT�;����3������NP2���W ;8�;����4���-=��������@ff�36���NP1���W ;?�;����?������@ff37���NP1���W ;1���-=��������NP�1���W ;3������@ff38���NP1���W ;9���-=���UT�;����3������NP1���W ;5�;����1���-=��������@ff�39���NP1���W ;2���-=���UT�;����2������NP2���W ;14�;����2���-=��������@ff�40���NP1���W ;?�;����2������@ff41���NP3���W ;10������@ff42���NP1���W ;8�;����2���-=���UT�;��1���-=��������@ff�43���NP1���W ;1���-=��������NP�2���W ;7������@ff44���NP1���W ;?�;����1���-=��������@ff�45���NP1���W ;?�;����1���-=��������@ff�46���NP1���W ;10���-=���UT�;����1������@ff47���NP4���W ;23������@ff48���NP1���W ;?�;����2������@ff49���NP1���W ;?������@ff50���NP1���W ;1���-=���UT�;����?������NP1���W ;5�;����?������@ff51���NP1���W ;3�;����1���-=��������NP�2���W ;16���-=���UT�;����4������@ff52���NP1���W ;?�;����2���-=��������@ff�53���NP1���W ;1���-=��������
�<�����N�N����i�d������#����A��gӳf�����;p����鍍��8�3�����#13��������N54����81�����#3���-=���UT�;����?�������81�����#3�;����?��������N55����81�����#2�;����2���-=���������8�2�����#14���-=���UT�;����2��������N56����81�����#?�;����1�������81�����#?�;����1���-=����������N�57����81�����#2���-=���UT�;����1���-=���������8�1�����#2�;����2���-=���������8�1�����#10�;����1���-=����������N�58����81�����#2���-=���UT�;����1���-=���������8�1�����#10�;����1���-=����������N�59����85�����#29��������N61����81�����#1���-=���������8�3�����#5��������N62����81�����#4�;����1���-=���������8�2�����#66���-=���UT�;����3��������N63����81�����#?�;����1���-=���������8�2�����#?�;����3��������N64����81�����#?��������N65����81�����#1���-=���UT�;����1���-=���������8�2�����#3���-=���UT�;����3�������82�����#7�;����1���-=����������N�66����81�����#2���-=���UT�;����3�;��1���-=���������8�1�����#4�;����1���-=���UT�;��1���-=���������8�1�����#10�;����5�;��1��������N67����81�����#1�������82�����#1���-=���������8�2�����#11��������N68����82�����#?�;����2���-=����������N�69����81�����#2�;����1���-=���������8�2�����#22���-=���UT�;����2��������N70����81�����#4�;����2���-=���UT�;��1���-=����������N�71����83�����#5�������83�����#7��������N72����81�����#?�;����?��������N73����81�����#2�������82�����#1���-=���������8�2�����#3��������N74����82�����#9���-=���UT�;����3�������82�����#95�;����1���-=����������N�75����81�����#1���-=���UT�;����?�������81�����#1�;����?�������81�����#5�;����?������
�<����>6�N����ըd���Ⴕ�#����A��gӳf�����;p����鍍��>6�76����� 1�����?�;����1���-=���������>6�77����� 1�����2���-=���UT�;����1���-=���������� �1�����3���-=���UT�;����2�������� 1�����6�;����3���-=���������� �2�����2�;����2���-=���������>6�78����� 1�����16���-=���UT�;����5���-=����;��1�������>679����� 1�����1���-=���������� �5�����13�������>680����� 1�����?�;����2�������� 1�����?�;����2���-=���������>6�81����� 2�����?�������>682����� 1�����2���-=���UT�;����1���-=���������� �2�����28�;����1���-=���������>6�83����� 1�����1���-=���������� �6�����41�������>684����� 1�����?�;����1���-=���UT�;��2���-=���������� �1�����?�;����3�;��2�������>685����� 1�����2���-=���UT�;����1�������� 2�����2���-=���UT�;����1���-=���������� �2�����6�;����1���-=���������>6�86����� 2�����21���-=���UT�;����3�������� 2�����55�;����1���-=���������>6�87����� 2�����5�;����1���-=���������� �3�����92���-=���UT�;����4�������>688����� 1�����?�;����1���-=���������� �2�����?�;����2���-=���������>6�89����� 1�����1���-=���������� �1�����2�������� 5�����11�������>690����� 1�����2���-=���UT�;����?�;��3�������� 1�����6�;����?�;��1���-=���������� �1�����4�;����?�;��1�������>691����� 1�����1���-=���UT�;����1���-=���������� �1�����1�;����1�������� 2�����7�;����1���-=���������� �3�����4���-=���UT�;����8�������>692����� 1�����?�;����1���-=���������� �1�����?�;����1�������>693����� 2�����4���-=���UT�;����1���-=���������� �3�����64�;����2���-=���������>6�94����� 1�����2�;����1���-=���������� �2�����94���-=���UT�;����1�������>695����� 3�����10�;����2���-=���������� �4�����54���-=���UT�;����6������
�<���hS�N���!��d���,L��#����A��gӳf�����;p����鍍�hS�96���!�;1���*�&?�;����2������!�;1���*�&?�;����2���-=��������hS�97���!�;3���*�&1���-=��������!�;�4���*�&8������hS98���!�;1���*�&2���-=���UT�;����?������!�;2���*�&14�;����?������hS99���!�;1���*�&?�;����1���-=��������!�;�1���*�&?�;����1������!�;1���*�&?�;����1���-=��������!�;�1���*�&?�;����1���-=��������hS�100���!�;1���*�&?�;����?������hS101���!�;1���*�&1���-=��������!�;�7���*�&25������hS102���!�;1���*�&2���-=���UT�;����2���-=����;��1���-=��������!�;�1���*�&6���-=���UT�;����6�;��1���-=��������!�;�1���*�&8�;����4�;��1������hS103���!�;2���*�&1���-=��������!�;�6���*�&17������hS104���!�;1���*�&?�;����1���-=��������!�;�2���*�&?�;����2������hS105���!�;1���*�&1�;����1�;��1������!�;2���*�&10���-=���UT�;����2���-=����;��2������hS106���!�;1���*�&4���-=���UT�;����1���-=��������!�;�1���*�&5���-=���UT�;����1������!�;1���*�&24�;����1���-=��������!�;�1���*�&3�;����1���-=��������hS�107���!�;2���*�&1���-=��������!�;�7���*�&53������hS108���!�;1���*�&?�;����?������hS109���!�;1���*�&1������!�;3���*�&1���-=��������!�;�4���*�&9������hS110���!�;1���*�&7���-=���UT�;����1���-=����;��3������!�;1���*�&3�;����1���-=���UT�;��1���-=��������!�;�1���*�&5�;����5�;��1������!�;2���*�&16���-=���UT�;����3�;��1���-=��������hS�111���!�;3���*�&10���-=���UT�;����2������!�;4���*�&266�;����2���-=��������hS�112���!�;1���*�&?�;����1���-=��������!�;�1���*�&?�;����1������!�;1���*�&?�;����1���-=��������hS�113���!�;1���*�&2������!�;2���*�&2������!�;3���*�&1���-=��������
�<���Z2n�N���li�d���w��#����A��gӳf�����;p����鍍�lV�3���u�A7������Z2n114���lV1���u�A2���-=���UT�;����5���-=����;��1������lV1���u�A20�;����3���-=���UT�;��1���-=��������lV�1���u�A6�;����3�;��1������Z2n115���lV1���u�A5���-=���UT�;����1������lV2���u�A4���-=���UT�;����1���-=��������lV�4���u�A32�;����4���-=��������Z2n�116���lV1���u�A?�;����1���-=��������lV�1���u�A?�;����2���-=��������lV�1���u�A?�;����1���-=��������Z2n�117���lV1���u�A?�;����1������lV2���u�A?�;����3������lV2���u�A?�;����1���-=��������Z2n�118���lV1���u�A2���-=���UT�;����1���-=��������lV�1���u�A19���-=���UT�;����1������lV1���u�A10�;����1���-=��������lV�1���u�A1�;����1���-=��������Z2n�119���lV4���u�A9�;����3���-=��������lV�5���u�A48���-=���UT�;����8������Z2n120���lV1���u�A?�;����1�;��1���-=��������lV�1���u�A?�;����2�;��1������Z2n121���lV1���u�A?������lV1���u�A?������lV1���u�A?������lV1���u�A?������Z2n122���lV1���u�A4���-=���UT�;����1���-=��������lV�2���u�A39���-=���UT�;����3������lV3���u�A248�;����1���-=��������Z2n�123���lV1���u�A1���-=���UT�;����1���-=��������lV�1���u�A5�;����1������lV2���u�A7�;����1���-=��������lV�3���u�A184���-=���UT�;����4������Z2n124���lV1���u�A?�;����1���-=��������lV�1���u�A?�;����1������Z2n125���lV2���u�A?������lV2���u�A?������lV4���u�A?������Z2n126���lV1���u�A8���-=���UT�;����?�;��1���-=��������lV�1���u�A2�;����?�;��1������Z2n127���lV3���u�A1���-=��������lV�7���u�A21������������g�t#f����ܚ�5#f���8�l���.�����Large����L�(�A���f��ʫ�;����1)�=
���A��gӳf����3dE���㯤���^��N�����<d�dim�����3��L�(�A���f��ʫ�;����1)�=
���A��gӳf�����.�K�#����A��gӳf�����;p����^&���Li��1154���=�2������577����Q�20������2���-=�?��|o�����85495047371�=�17���-=�2����CS�2���-=�?��|o�����17���-=�2���5���85495047371�;����2���-=�?����J=���Li��1238���=�2������619����Q�19������2���-=�?��|o�����7553329019�=�5����31���CS2���-=�?��|o�����5����31����7553329019�;����2���-=�?�������Li��1322���=�2������661����Q�21������2���-=�?��|o�����57851840099�=�331���CS2���-=�?��|o�����331����57851840099�;����2���-=�?�������Li��1382���=�2������691����Q�20������2���-=�?��|o�����37����1864449649�=�173���CS2���-=�?��|o�����37����173����1864449649�;����2���-=�?�������Li��1478���=�2������739����Q�20������2���-=�?��|o�����7����29����1183045463�=�5����37���CS2���-=�?��|o�����5����7����29����37����1183045463�;����2���-=�?������� o���?�References��X����?�1.���K�^B.���J.���Birc��9h,�and�H.�P��:�.�F.�Swinnerton-Dy��9er,��=�j��		cmti9�Notes�ޅon�el�x�liptic�curves,�I�,���J.�Reine����K�^Angew.�TMath.��212��(1963),�7{25.��
�8����?2.���K�^B.���J.��%Birc��9h�and�H.�P��:�.�F.�Swinnerton-Dy��9er,��Notes�ȫon�el�x�liptic�curves,�II�,��%J.�Reine����K�^Angew.�TMath.��218��(1965),�79{108.������?3.���K�^S.���Blo�A�c��9h�and�K.�Kato,��L�-functions���and�T��J�amagawa�numb��ers�of�motives�,���The����K�^Grothendiec��9k�TF��:�estsc�hrift,�V��:�ol.�I,�Birkh��`auser�Boston,�Boston,�MA,�1990,�333{400.������?4.���K�^C.�Breuil,�B.�Conrad,�F.�Diamond,�and�R.�T��:�a��9ylor,��On�<dthe�mo��dularity�of�el�x�liptic����K�^curves�N<over��Q�,�Tin�preparation.������?5.���K�^S.���Bosc��9h,�W.�L�A���;utk�eb�ohmert,���and�M.�Ra�ynaud,��N�Î����er��on���mo�dels�,���Springer-V��:�erlag,����K�^Berlin,�T1990.������?6.���K�^J.���E.�LCremona,��A�Îlgorithms�S�for�mo��dular�el�x�liptic�curves�,�Lsecond�ed.,�Cam��9bridge�Uni-����K�^v��9ersit�y�TPress,�Cam��9bridge,�1997.������?7.���K�^P��:�.�M�Deligne�and�M.�Rap�A�op�ort,�M��L��es�mGsch�Î����emas�de�mo�dules�de�c�ourb�es�el�x�liptiques�,�M�In����K�^P��:�.�Q�Deligne�and�W.�Kuyk,�eds.,��Mo��dular���functions�of�one�variable,�V��J�ol.�II�,�Q�Lecture����K�^Notes�Tin�Math.,��349�,�Springer,�Berlin,�1973,�143{316.������?8.���K�^F.�NDiamond�and�J.�Im,��Mo��dular�k>forms�and�mo�dular�curves�,�NIn�V.���K.�Murt��9y��:�,�ed.,��Sem-����K�^inar�N<on�F��J�ermat's�Last�The��or�em�,�TAmer.�Math.�So�A�c.,�Pro��9vidence,�RI,�1995,��39{133���H.������?9.���K�^A.�NGrothendiec��9k,��S�Î����eminair��e�X�de�g�����eom��etrie�X�alg��ebrique�X�du�Bois-Marie�1967{1969����K�^(SGA�+�7�+�I)�,���Lecture�Notes�in�Mathematics,��288�,�Springer-V��:�erlag,�Berlin-New�Y�ork,����K�^1972������?10.���PK\D.���Kohel,��He��cke���mo�dule�structur�e�of�quaternions�,���In�K.�Miy��9ak�e,���ed.,��Class�Field����K�^The��ory�H
{�Its�Centenary�and�Pr�osp�e�ct�,��The�Adv��|ranced�Studies�in�Pure�Mathematics����K�^Series,�TMath�So�A�c.�Japan,�to�app�ear.������?11.���PK\W.�y�Bosma,�J.�Cannon,�and�C.�Pla��9y�oust.�y��The���Magma�algebr��a�system�I:�The�user����K�^language�,�TJ.�Sym��9b.�Comp.,��24��(1997),�no.�3-4,�235{265.������?12.���PK\J.-F.��Mestre,��L��a�Ndm�Î����etho�de�des�gr�aphes.�Exemples�et�applic�ations�,��In��Pr��o�c�e�e�dings�of����K�^the��vinternational�c��onfer�enc�e��von�class�numb��ers�and�fundamental�units�of�algebr�aic����K�^numb��er�N<elds�,�TNago��9y�a�Univ�ersit�y��:�,�Nago�y�a,�1986,�217{242.������?13.���PK\J.���S.�+�Milne,��A�Îb��elian�NV��J�arieties�,�In�G.�Cornell�and�J.�Silv��9erman,�eds.,��A�rithmetic����K�^ge��ometry�,�TSpringer,�New�Y��:�ork,�1986,�103{150,������?14.���PK\K.���A.�@�Rib�A�et,��On���mo��dular�r�epr�esentations�of���Gal����(�����fe���_���Q������=�Q�)��arising�fr�om�mo�dular�forms�,����K�^In��9v�en�t.�TMath.��100��(1990),�no.�2,�431{476.������?15.���PK\G.�?�Shim��9ura,��On�u*the�factors�of�the�jac��obian�variety�of�a�mo�dular�function�eld�,�?�J.����K�^Math.�TSo�A�c.�Japan��25��(1973),�no.�3,�523{544.������?16.���PK\W.���A.��Stein,��Explicit��oappr��o�aches�to�mo�dular�ab�elian�varieties�,��Ph.D.�thesis,�Uni-����K�^v��9ersit�y�Tof�California,�Berk��9eley��:�,�2000.������?17.���PK\J.���T��:�ate,��On��the�c��onje�ctur�es��of�Bir��ch�and�Swinnerton-Dyer�and�a�ge�ometric�analo�g�,����K�^S������Xeminaire��WBourbaki,�V��:�ol.�9,�So�A�c.�Math.�F�rance,�P��9aris,�1995,�Exp.�No.�306,�415{440.�����	�9�t#f����ܚ�5#f����ܚ����?�18.���PK\R.�BWT��:�a��9ylor�and�A.�Wiles,��R�Îing-the��or�etic�w�pr�op�erties�of�c�ertain�He�cke�algebr�as�,�BWAnn.����K�^of�TMath.��141��(1995),�no.�3,�553{572.������?19.���PK\W.���C.��W��:�aterhouse,��Intr��o�duction���to�ane�gr��oup�schemes�,��Graduate�T�exts�in�Math-����K�^ematics,�T�66�,�Springer-V��:�erlag,�New�Y�ork-Berlin,�1979������?20.���PK\A.��cWiles,��Mo��dular��=el�x�liptic�curves�and�F��J�ermat's�last�the�or�em�,��cAnn.�of�Math.��141����K�^�(1995),�Tno.�3,�443{551.����������;�t#f��	�=�j��		cmti9�;�-�
�3
cmcsc10�:�Ɍ
�3
cmbsy10�9DF��
�3
cmmib10�8�':
�3
cmti10�41��cmmib6�3�5-.cmmib8�2DF��
cmmib10�02�@�cmbx8�/�"V
�3
cmbx10�.��N�cmbx12�,t�:		cmbx9�+����		cmsy9�*5��"		cmmi9�)ߤN		cmtt9�(o���		cmr9�'q�%cmsy6�&�K�cmsy8�%!",�
�3
cmsy10�$;�cmmi6�#�2cmmi8�"�b>
�3
cmmi10�!�Aa�cmr6� |{Ycmr8�DF��ff
cmmib10��"V

cmbx10���N�ffcmbx12��5D

xybtip10��5D

xyatip10�K�`y
�3
cmr10�O
�\cmmi5���u

cmex10����������