CoCalc -- Collaborative Calculation in the Cloud
Sharedwww / Tables / 65.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.07.17:1606������y�����?�������1���K�`y

cmr10�Preprin���t�UU(July�17,�1999),�V��*�ersion�0.1��;���1�����N�G�cmbx12�The�z�BSD�Conjecture�for��J�������N�cmbx12�0��@�D��tG�G�cmr17�(�65�)����ꨍ�1���X�Qcmr12�W.��oA.��Stein����1��� o���		cmr9�Departmen��9t�Tof�Mathematics,�Univ�ersit�y�of�California,�Berk�eley��:�,�CA�94720,�USA��N8�)�4��1���"��N�ffcmbx12�In���tro�s3duction�����1�زThe�s�Jacobian��
�b>

cmmi10�J����=��]�J����ٓ�Rcmr7�0��|s�(65)�of�the�mo�Gdular�curv���e��X����0���(65)�is�a�5�dimensional�ab�Gelian����1��v��q�ariet���y�HDwhose�Mordell-W��*�eil�group�has�rank�1.�J�It�is�isogenous�o�v�er���"V

cmbx10�Q��to�a�pro�Gduct����1�صA���
!",�

cmsy10���B�Is���C�䥲where�-��A��is�the�elliptic�curv���e��y��[ٟ�^��2��	��=,�c�and��B����is�the�Jacobian�of�the�curv�e����1�صcur�Gv�[�e�,���and�}ϵC�4�is�the�Jacobian�of��cur�v�[�e�.��6It�is�the�mo�dular�Jacobian�of�lo���w�est�}�lev�el�for����1��whic���h���the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�(BSD)���predicts�that�the�Shafarevic�h-����1��T��*�ate�UUgroup�is�non���trivial�[V�erify�this!�q�It�migh���t�VER�Y�WELL�b�Ge�false!!]����@��Let����L�(�J���;���s�)�b�Ge�the�canonical��L�-series�of��J��9�.�U3The�Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er�conjec-����1��ture�UUasserts�that�������c�L������O!�cmsy7�0���9�(�J���;����1)����T΍�
P���Zcmr5�?���2����=��������<$�����j���hV1
wncyr10�X��
�n�j�8���c����5���S���c����13������w�fe7�q�	(֍��8�T��c���r�2������I���8�R�L����
����	0e�rcmmi7�J���;��1�زwhere���6�X���ڲis��6the�Shafarevic���h-T��*�ate�group,��	�T�(Ųis�the�torsion�subgroup�of��J��9�(�Q�),��c����5��A��and��c����13�����1�زare���the�n���um�b�Ger���of�comp�onen���ts�of�the�sp�ecial�b�er�of�the�N�����Geron�mo�del�of��J��9�,��q�R��f�is�the����1��regulator��4and�
����J��}�is�the�measure�of��J��9�(�R�)�with�resp�Gect�to�a�basis�of�N�����Geron�dieren�tials.����1��In�Dbthis�pap�Ger�w���e�compute�eac�h�of�the�quan�tities��c����5��|s�,�GƵc����13��x�,��T�c��,��R�Dz,��L���^��0���9�(�J���;����1)�Dband�a�quan�tit�y����1��whic���h�UUdiers�from�
����J����b�y�a�Manin�constan�t�whic�h�is�probably�equal�to�1.����@��The�/�goal�of�this�short�note�is�to�compute��j��X��
�n�j�,�f�assuming�the�truth�of�the�BSD����1��conjecture.��!č�1���Con���ten�ts�����1�غ1��@��Some��Tequations��]2������1��2��@��Computing��Tthe�in��9v��\rarian�ts����|2������@�ٲ2.1��W��Leading�UUco�Gecien���t�at���s���=��1���ō����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����b&2������@��2.2��W��T��*�orsion�1t����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����b&3������@��2.3��W��Regulator������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����b&3������@��2.4��W��Real�UUv���olume�Mԍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����b&3������@��2.5��W��T��*�amaga���w�a�UUn�um�b�Gers�xV����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����b&3������郹1����*�y�����?�������W�ݲ2.5.1��w��Detailed�UUcomputation�of���c����%f$�cmbx7�5���0������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����b&4������W��2.5.2��w��Detailed�UUcomputation�of���c����13���0������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����b&5������1�غ3��@��Analytic��Torder�of�the�Shafarevic��9h-T��
�ate�group��|��6��� l����1���1��J�Some�ffequations�����1�زT��*�o��hb�Ge�concrete,��2w���e�giv�e�equations�for�the�ab�Gelian�v��q�arieties�under�consideration,��2though����1��w���e��will�not�mak�e�use�of�these�equations.�Z�According�to�[�Gal96���]�the�curv�e��X����0��|s�(65)�is�cut����1��out�UUb���y�the�follo�wing�equations:��Av�����9�v��[ٟ����2��,��8�y��[ٟ����2���+�2�x������2���S�+�2�z��p������2������g�=�����/�0���������$�v��[ٟ����2��,��8�2�y��[ٟ����2���+��z��p������2��%�+��w��D�����2���6���2�w�D�x�����g�=�����/�0���������m7�y��[ٟ����2��,�+�8�2�y�[�z��w�+�2�z��p������2��%���w��D�����2���6���x������2������g�=����/�0�����1��According�k�to�[�Cre97���X,��FpFS���^��+�����99��,9�],�q:the�3�optimal�new�factors��A�,��B��q�,�and��C�"²are�all�Jaco-����1��bians�UUof�curv���es:�����g^��A����xޓ�=���������Jac���;(�y��[ٟ����2��,�+�8�xy�"�=���x������3���S���x�)�������f�Z�B����xޓ�=���������Jac���;(�y��[ٟ����2���d�=����x������6���S�+�8�10�x������5�����32�x������4���+�20�x������3���+�40�x������2���+�6�x����1�������gǵC����xޓ�=���������Jac���;(�y��[ٟ����2��,�+�8�(�x������3���S�+�1)�y�"�=����4�x������6���+�9�x������4���+�7�x������3���+�18�x������2�����10)���� l����1���2��J�Computing�ffthe�in���v���arian�ts�����1�زA��Tluc���ky��jfact�is�that��J����0��|s�(65)�is��+�':

cmti10�new��in�the�sense�that��X����0���(5)�and��X����0���(13)�ha���v�e��jgen�us�0.����1��This�UUmak���es�it�reasonable�to�exp�Gect�that�the�follo�wing�assumption�holds:��,��J�ںAssumption:��ƲThe�\�Manin�constan���t�is�1,���so�that�the�real�v�olume�
����J��	�is����J��equal�UUto�the�v���olume�computed�using�a�basis�of�N���Geron�dieren�tials.��Y"���1���2.1��Pv�Leading��co�`ecien��t�at��s�UR�=��1���uT��1�زThe�v�canonical��L�-function�asso�Gciated�to�an�ab�elian�v��q�ariet���y�is�in�v��q�arian�t�under�isoge-����1��n���y��*�.�	C�In��particular,�Wcsince��J�j���t~�A�K	���B��z���C����w�e��ha�v�e��L�(�J���;���s�)�t~=��L�(�A�K	���B��z���C�(�;�s�)�t~=����1�صL�(�A;���s�)�L�(�B��q;�s�)�L�(�C�(�;�s�).��Since�qȵB��9�and��C�(�ha���v�e�q�rank�0�and��A��has�rank�1,���the�leading����1��co�Gecien���t��of��L�(�J���;���s�)�as��s�Jc�=�1��is�the�deriv��q�ativ�e��L���^��0���9�(�J���;���s�)�=�1!�Jc=��L���^��0���(�J���;���s�).�^By��the�pro�Gduct����1��rule�UUw���e�ha�v�e������a��L������0���9�(�J���;���s�)������ٖ=���������L������0���9�(�A;���s�)�L�(�B��q;�s�)�L�(�C�(�;�s�)�����������+�L�(�A;���s�)�L������0���9�(�B��q;�s�)�L�(�C�(�;�s�)�8�+��L�(�A;���s�)�L�(�B�;�s�)�L������0���9�(�C�(�;�s�)�:������1�زUsing���the�that��L�(�A;����1)�³=�0,��taking���L���^��0���9�(�A;��1)�from�[�Cre97���X],��and�computing��L�(�B��q;��1),����1�صL�(�C�(�;����1)�UUusing��:��<x

cmtt10�HECKE��[�Ste99���]�(500�terms�of��q�[ٲ-expansion),�w���e�obtain������40�L������0���9�(�J���;����1)�����^Y�=�����p ��L������0���9�(�A;����1)�L�(�B��q;��1)�L�(�C�(�;��1)��������^Y۸�����p ��0�:�50533434230686�8���0�:�91225087803795579498����0�:�45206783187309768436��������^Y۸�����p ��0�:�2083995171877410261569391894�������郹2������y�����?�������1���2.2��Pv�T���orsion��uT��1�زI��yguess�žthat��j�J��9�(�Q�)����tor��
�u�j���=�168�=�2���^��3�����s�3����7.�@�The�župp�Ger�b�ound�coming�from�coun���ting�p�oin���ts����1��on�W_�J��9�(�F����p���R�)�using�Hec���k�e�W_op�Gerators�is�2���^��3������:<�3����7.�w�Eac���h�W_of��A�,�W�B��q�,�and�W_�C�{�p�ossess�exactly�one����1��non���trivial���rational�2-torsion�p�Goin�t.�_�W��*�e�also�ha�v�e��j�A�(�Q�)����tor��
�u�j��j�=�2,�#�j�B��q�(�Q�)����tor���j��=�6,�#and����1�ظj�C���(�Q�)����tor��
���=��14,�UUso�2�8���3����7�UUis�a�lo���w�er�UUb�Gound.����@��After�k�computing�all�other�in���v��q�arian�ts�k�(see�b�Gelo���w)�w�e�nd�that�the�only�p�Gossible�v��q�alue����1��for���J��9�(�Q�)����tor��
�2�so�that�the�order�of���X���predicted�b���y�BSD��is�an�in�teger�is��j�J��9�(�Q�)����tor��
�u�j���=�168.���6���1���2.3��Pv�Regulator����1�زThere�W�is�an�injectiv���e�map��A�ʺ,��UX�!��J�M��and�W�the�image�generates�the��J��9�(�Q�),�Xup�to�torsion.�xQ�I����1��GUESS�UU�that��Reg��G(�J��9�)��=��Reg����(�A�)�:�UU�W��*�e�nd�that������YReg���J�(�A�)�����0�:�3755140986612663218044728765����1��(using��YP��*�ARI's��ellheightmatrix(e,[[1,0]])�,���then�double�c���hec�king��Yin�Cremona's�ta-����1��bles.)����@�غW����ARNING:�UU�I�ha���v�e�UUnot�pro���v�ed�UUthat��Reg��G(�J��9�)��=��Reg����(�A�).���6���1���2.4��Pv�Real��v��olume����1�زThe�UUv���olume�with�resp�Gect�to�an�in�tegral�basis�at�innit�y�is�����*�
����J��\ȸ���93�:�23516483763867�:����1�زThis�UUw���as�computed�using��HECKE�.���6���1���2.5��Pv�T���amaga��w�a��n�um�b�`ers����1�زW��*�e�UUha���v�e�������q��~��feS۟�g��c�����L���5���Zײ=��42�;������~��feS۟�g�c���������13��%>��=�6�:����1�زThese��v��q�alues�w���ere�computed�b�Goth�b�y�the�c�haracter�group�metho�Gd�(see�b�elo���w)�and�via����1��the��Edixho���v�en-Mazur-Ra�ynaud�form�ula.��Using�a�more�careful�analysis�of�c�haracter����1��groups,�UUw���e�nd�that��c����5��C��=��14�and��c����13��?��=�6.�q�The�details�are�giv���en�b�Gelo�w.���6���1�غ2.5.1��T�ZDetailed��Tcomputation�of��c����5������1�زLet��C�D�;`�b�Ge�the�free�ab�elian�group�generated�b���y�the�supseringular�p�oin���ts�on�the�mo�dular����1��curv���e��˵X����0��|s�(13)�=�F����5���.�q)The�c���haracter�group��X����5���(�J��9�)�of�the�toric�part�of��X����0���(65)�=�F����5��|>�is�the����1��subgroup��of��D�Z��of�elemen���ts�of�degree�0�(the�degree�is�the�sum�of�the�co�Gecien�ts�on�the����1��canonical�UUbasis�of�sup�Geringular�p�oin���ts).������1�غProp�Q�osition��T2.1.������c����5��C��=��14����@��Some�UUdata�ab�Gout�the�c���haracter�group��X����5��|s�(�J��9�).����@�غMono�Q�drom��9y��Tw�eigh�ts:�qǵw����1��C��=���w����2���=�3�;���w����3���=��w����4���=��w����5���=��w����6���=�1.�����郹3���� ��y�����?������@�غOp�Q�erators:�q�The���matrix�of��T����5��C��=���F��*�rob���non�the�group�of�divisors�on�the�sup�Gersingular����1��p�Goin���ts:��)qލ���E~F��*�rob����p,���5��ó��=�����N������u

cmex10�0�������B�����B�����B�����B�����B�����B��fi���@������d�����0����1���)�0���8�0���G�0���V�0�������1����0���)�0���8�0���G�0���V�0�������0����0���)�0���8�1���G�0���V�0�������0����0���)�1���8�0���G�0���V�0�������0����0���)�0���8�0���G�0���V�1�������0����0���)�0���8�0���G�1���V�0�������N��[��1������[�C����[�C����[�C����[�C����[�C����[�C��fi��[�A�����0��@�غPresen��9tation���of�the�comp�Q�onen�t�group�������5��Ҳ(�J�)��旺:���Cho�Gose�i�the�follo���wing�basis�for����1��the�UUgroup��X�=�=���X����5��|s�(�J��9�)�of�divisors�of�degree�0:����Z�׵b����1��C��=���e����1���S��8�e����2��|s�;�UPb����2���=��e����1���S��8�e����3��|s�;�UPb����3���=��e����1���S��8�e����4��|s�;�UPb����4���=��e����1���S��8�e����5��|s�;�UPb����5���=��e����1���S��8�e����6��|s�:����1�زThe�UUcomp�Gonen���t�group��ts�in�to�the�sequence�����
�0�����������!��X����=�����
Zi!���Hom���q(�X�v۵;����Z�)���������!�����������!��0�:����1�زTh���us�UU�is�the�quotien�t�of�the�group��b���^�����l��1�����;����:�:�:����;���b���^�����l��5����9�b�y�the�subgroup�generated�b�y��-������썒����8��	�����>�������>�������>�������>�������<�������>�������>�������>�������>�������:������d������6�b���^�����l��1����IJ+�8�3�b���^�����l��2����+�3�b���^�����l��3����+�3�b���^�����l��4����+�3�b���^�����l��5�����������3�b���^�����l��1����IJ+�8�4�b���^�����l��2����+�3�b���^�����l��3����+�3�b���^�����l��4����+�3�b���^�����l��5�����������3�b���^�����l��1����IJ+�8�3�b���^�����l��2����+�4�b���^�����l��3����+�3�b���^�����l��4����+�3�b���^�����l��5�����������3�b���^�����l��3����IJ+�8�3�b���^�����l��2����+�3�b���^�����l��3����+�4�b���^�����l��4����+�3�b���^�����l��5�����������3�b���^�����l��3����IJ+�8�3�b���^�����l��2����+�3�b���^�����l��3����+�3�b���^�����l��4����+�4�b���^�����l��5��������썒,.[�9��	��,.[>����,.[>����,.[>����,.[>����,.[=����,.[>����,.[>����,.[>����,.[>����,.[;�����.��1�زLetting�UU[�x�]�denote�a�class�in�the�quotien���t�group,�w�e�nd�������[�b����������፱2�����]��=�[�b����������፱3����]�=�[�b����������፱4����]�=�[�b����������፱5����]�=�3[�b����������፱1����]����1��and�UUthat�42[�b���^�����l��1�����]��=�0.����@��T��*�o���compute�the�subgroup�xed�b���y��F�rob���=�-��T����p��2�w���e�m�ust�nd�the�action�of��F��*�rob��PHon�����1��Hom��F�1(�X�v۵;����Z�).���The��_mono�Gdrom���y�pairing��h��;�UP�i��~�:��X����<X��Y!��Z��_�is��T�-in���v��q�arian�t,��band��_th�us�w�e����1��can��nd�the��T�-mo�Gdule��Hom���x(�X�v۵;����Z�)�inside�of��X��Q
�&v�Q�.�DIt�is�the�set�of�elemen���ts��x���2�X�
�&v�Q����1�زsuc���h�wthat��h�x;���y�[ٸi��`2��Z�w�for�all��y�[9�2��`X�v۲.��The�dual�basis��b���^�����l��1�����;�b���^�����l��2����;�b���^�����l��3����;�b���^�����l��4����;�b���^�����l��5����D�2��`X��>
�Oc�Q�w�is�a�set�of����1��elemen���ts��~so�that��b���^�����;Z��i�����(�b����j��6��)�X[=������ij��
�v�(Kronec�k�er's��~��`�).�wAF��*�or�con�v�enience,��Hw�e�will�w�ork�instead����1��in�UU�D��
�8�Q�.�q�If��v�"�2��D�
�8�Q��corresp�Gonds�to��b���^�����l��1����9�then�w���e�ha�v�e�the�matrix�equation��3��������N��Y �0������Y B����Y B����Y B����Y B����Y B����Y B��fi��Y @������d���a�!�1���p�"��1������0����L�0����0�����-0������a�!1���t��0�����A��1����L�0����0�����-0������a�!1���t��0������0����i`��1����0�����-0������a�!1���t��0������0����L�0����0��1�����-0������a�!1���t��0������0����L�0����0��������1������a�!1���t��1������3����L�3����3�����-3�������N��ؾ��1������ؾ�C����ؾ�C����ؾ�C����ؾ�C����ؾ�C����ؾ�C��fi��ؾ�A����㷞������N��8�0������8�B����8�B����8�B����8�B����8�B����8�B��fi��8�@������d���
��3�����0���(��0���7��0���F��0���U��0������
��0�����3���(��0���7��0���F��0���U��0������
��0�����0���(��1���7��0���F��0���U��0������
��0�����0���(��0���7��1���F��0���U��0������
��0�����0���(��0���7��0���F��1���U��0������
��0�����0���(��0���7��0���F��0���U��1�������N��Z��1������Z��C����Z��C����Z��C����Z��C����Z��C����Z��C��fi��Z��A����e�ȸ�8�v�"�=�����N����0�������B�����B�����B�����B�����B�����B��fi���@������d�����1�������0�������0�������0�������0�������0�������N����1�������C�����C�����C�����C�����C�����C��fi���A�����õ:��3qލ�1�زLetting�U?�a��denote�the�rst�matrix,��9and��b��the�second�diagonal�one,�w���e�nd�that�the����1��action��of��F��*�rob��8zon��Hom���?(�X�:�;����Z�)�with�resp�Gect�to�the�basis��b���^�����l��1�����;�b���^�����l��2����;�b���^�����l��3����;�b���^�����l��4����;�b���^�����l��5����;���Eis���1Ɵ������ѐ�is��giv���en�b�y�����郹4����,��y�����?�����'�����u�a�8���b�����F��*�rob��6��(�a����b�)�������1��
���=�����N����0�������B�����B�����B�����B�����B�����B��fi���@������d������1���"N80���1N90���@N:0���ON;0���^N<0���������1���"N80���1N91���@N:0���ON;0���^N<0���������1���"N81���1N90���@N:0���ON;0���^N<0���������1���"N80���1N90���@N:0���ON;1���^N<0���������1���"N80���1N90���@N:1���ON;0���^N<0������j�0���"N80���1N90���@N:0���ON;0���^N<1�������N��cN=�1������cN=C����cN=C����cN=C����cN=C����cN=C����cN=C��fi��cN=A����m��:��/79��1�زTherefore������5�F��*�rob���`;(�b����������፱1�����)��=���(�b����������፱1����IJ+�8�b����������፱2����+��b����������፱3����+��b����������፱4����+��b����������፱5�����)��=���(13�b����������፱1����)�:���[��1�زMultiplication�Sb���y���13�on�a�cyclic�group�of�order�42�has�exactly�14�xed�p�Goin�ts,�L�so����1�صc����5��C��=��14.���a���1�غ2.5.2��T�ZDetailed��Tcomputation�of��c����13����uT����1�غProp�Q�osition��T2.2.������c����13��?��=��6���΍�@��Some�UUdata�ab�Gout�the�c���haracter�group��X����13��x�(�J��9�).����@�غMono�Q�drom��9y��Tw�eigh�ts:�qǵw����1��C��=���w����2���=��w����3���=��w����4���=��w����5���=��w����6���=�1.����@�غOp�Q�erators:�0ܲThe���matrix�of��T����13���9�=��fSF��*�rob��E�on�the�group�of�divisors�on�the�sup�Gersin-����1��gular�UUp�Goin���ts:��)qލ���GEF��*�rob����q���13��ű�=�����N����0�������B�����B�����B�����B�����B�����B��fi���@������d�����0����1���)�0���8�0���G�0���V�0�������1����0���)�0���8�0���G�0���V�0�������0����0���)�0���8�1���G�0���V�0�������0����0���)�1���8�0���G�0���V�0�������0����0���)�0���8�0���G�0���V�1�������0����0���)�0���8�0���G�1���V�0�������N��[��1������[�C����[�C����[�C����[�C����[�C����[�C��fi��[�A�����/�r��@�غPresen��9tation��Qof�the�group:��Cho�Gose�Sthe�follo���wing�basis�for�the�group��X�=�=���X����13��x�(�J��9�)����1��of�UUdivisors�of�degree�0:���B��Z�׵b����1��C��=���e����1���S��8�e����2��|s�;�UPb����2���=��e����1���S��8�e����3��|s�;�UPb����3���=��e����1���S��8�e����4��|s�;�UPb����4���=��e����1���S��8�e����5��|s�;�UPb����5���=��e����1���S��8�e����6��|s�:����1�زThe�UUcomp�Gonen���t�group��ts�in�to�the�sequence�����
�0�����������!��X����=�����
Zi!���Hom���q(�X�v۵;����Z�)���������!�����������!��0�:����1�زSince�L�the�mono�Gdrom���y�w�eigh�ts�are�trivial,�N��is�the�quotien�t�of�the�group��b����1��|s�;����:�:�:����;���b����5���V�b�y����1��the�UUsubgroup�generated�b���y��-�����썒����8��	�����>�������>�������>�������>�������<�������>�������>�������>�������>�������:������d����u��2�b���^�����l��1����IJ+�8�b���^�����l��2����+��b���^�����l��3����+��b���^�����l��4����+��b���^�����l��5�����;�������u�b���^�����l��1����IJ+�8�2�b���^�����l��2����+��b���^�����l��3����+��b���^�����l��4����+��b���^�����l��5�����;�������u�b���^�����l��1����IJ+�8�b���^�����l��2����+�2�b���^�����l��3����+��b���^�����l��4����+��b���^�����l��5�����;�������u�b���^�����l��1����IJ+�8�b���^�����l��2����+��b���^�����l��3����+�2�b���^�����l��4����+��b���^�����l��5�����;�������u�b���^�����l��1����IJ+�8�b���^�����l��2����+��b���^�����l��3����+��b���^�����l��4����+�2�b���^�����l��5�����:������썒#��9��	��#��>����#��>����#��>����#��>����#��=����#��>����#��>����#��>����#��>����#��;�������1�زBac���ksubstituting,�UUw�e�nd���B���<][�b����������፱1�����]��=�[�b����������፱2����]�n��=�[�b����������፱3����]�=�[�b����������፱4����]�=�[�b����������፱5����]�����郹5����AM�y�����?������1�زand�UUthat�6[�b���^�����l��1�����]��=�0.����@��Just�UUas�b�Gefore�w���e�compute��3�����a�8���b�����F��*�rob��6��(�a����b�)�������1��
���==�����N����0�������B�����B�����B�����B�����B�����B��fi���@������d������1���"N80���1N90���@N:0���ON;0���^N<0���������1���"N80���1N91���@N:0���ON;0���^N<0���������1���"N81���1N90���@N:0���ON;0���^N<0���������1���"N80���1N90���@N:0���ON;1���^N<0���������1���"N80���1N90���@N:1���ON;0���^N<0������j�0���"N80���1N90���@N:0���ON;0���^N<1�������N��cN=�1������cN=C����cN=C����cN=C����cN=C����cN=C����cN=C��fi��cN=A����m��:����1�زTherefore��������F��*�rob����<(�b����������፱1�����)��=���(�b����������፱1����IJ+�8�b����������፱2����+��b����������፱3����+��b����������፱4����+��b����������፱5�����)��=���(5�b����������፱1����)�:��DZ��1�زSince�UU��5�����1�q�(�mo�Gd���6)�the�action�of�F��*�rob�Genius�is�trivial�so��c����13��?��=�6.��!����1���3��J�Analytic�fforder�of�the�Shafarevic���h-T���fate�group�����1�زThe�UUBSD�conjecture�predicts�that��������ӵL������0���9�(�J���;����1)����T΍�
P�?���2����=��������<$�����j��X��
�n�j�8���c����5���S���c����13������w�fe7�q�	(֍��p�j�J��9�(�Q�)����tor��
�u�j���r�2������I����8�Reg���O��
����J���1b��1�زAssuming�UUthis�and�solving�for��j��X��
�n�j��w���e�obtain��	܍���LZp�j��X��
�n�j�����i��=���������<$��}�$�L���^��0���9�(�J���;����1)��|�i�w�fe"2 �	(֍�Reg���o��
����J�������x�������<$��l�J��9�(�Q�)���^���2���tor����l�w�fe!��	(֍�i}�c����5���S��8�c����13���������������i��=���������<$����n0�:�2083995171877410261569391894��|�i�w�fe��D�	(֍0�:�3755140986612663218044728765�8���93�:�23516483763867�����n
�������<$���H�168���^��2���l�w�fe8�	(֍�14�8���6��������þ����i�����������<$����j�1��|�i�w�fe�	(֍168������F������<$���H�168���^��2���l�w�fe8�	(֍�14�8���6��������MЍ���i�������{�6�2�:������1���References������1�ز[Cre97]���eTJ.���E.��SCremona,��A���lgorithms�&-for�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second��Sed.,�Cam-����eTbridge�UUUniv���ersit�y�Press,�Cam�bridge,�1997.���v����1��[FpFS���^��+�����99]���eTE.���V.�� Flynn,�'Lepr�����Gev�ost�F.,�'E.���F.�Sc�haeer,�'M.�Stoll,�and�W��*�etherell�J.���L.,����eT�Empiric��}'al�.evidenc�e�for�the�bir�ch�and�swinnerton-dyer�c�onje�ctur�es�for�mo�d-����eTular���jac��}'obians�of�genus�2�curves�,�UUPreprin���t�(1999).������1��[Gal96]���eTS.���D.�{�Galbraith,���Equations�˂for�mo��}'dular�curves�,�Oxford�{�Ph.D.�thesis�(1996),����eT91�UUpp.������1��[Ste99]���eTW.���A.���Stein,�if�HECKE�:��The�mo��}'dular�forms�c�alculator�,�ifSoft���w�are���(a�v��q�ailable����eTonline)�UU(1999).�����郹6����P����;�y�P��:��<x

cmtt10�+�':

cmti10�%f$�cmbx7�"��N�ffcmbx12� o���		cmr9���N�cmbx12�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17���N�G�cmbx12��"V

cmbx10��hV1
wncyr10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10�[�������