����;� TeX output 1999.07.05:1243����������s�������E���D��tG�cmr17�Sur�	�la�nature�non-cyclotomique���Ǎ���des�	�p���oin��zAts�d'ordre�ni�des�courb�es�elliptiques��#�^����\��-�

cmcsc10�Lo����K��*��c��Merel��ꯍ�Xf�K�`y

cmr10�(Av���ec�UUun�app�Gendice�de�E.�Ko�w�alski�et�P��*�.�Mic�hel)��/�
��
�"V

cmbx10�In��9tro�Q�duction�����Lorsque�����b>

cmmi10�E�;v�est�une�courb�Ge�elliptique�sur�un�corps�de�nom���bres,�ʘle�corps��K����0e�rcmmi7�p���R�(�E����)�engendr���Ge���par���les�p�Goin���ts�de��p�-division�de��E�=��con�tien�t�un�corps�cyclotomique��Q�(�����p���R�)�engendr���Ge�par�les���racines�gݮp�-i�����Gemes�de�l'unit���Ge�{�Cela�est�une�cons���Gequence� ��eviden�te�g�de�la�structure�fournie�par���les��Waccouplemen���ts�de�W��*�eil.���Cet�article�vise�����a�j:��Getablir�que��K����p���R�(�E����)�ne�p�Geut�gu���Gere�j:^�etre��Waussi���p�Getit�UUque��Q�(�����p���R�).����Notons�鐮S�}�l'ensem���ble�des�nom�bres�premiers��p��tels�qu'il�existe�une�telle�coub�Ge�elliptique���a���v�ec�#�Q�(�����p���R�)���=��K����p���(�E����).�	�0Il�#est�conn���u�que�l'ensem�ble��S����con�tien�t�les�nom�bres�2,�q3�et�5���(puisque�7Vla�courb�Ge�mo�dulaire�param�����Getran�t�7Vle�probl����eme�de�mo�Gdule�corresp�ondan���t�est�de���genre�R�n���ul�et�p�Goss���Gede�au�moins�un�p�Goin�t��Q�(�����p���R�)-rationnel).�j�E.�Halb�Gerstadt�sem�ble�a�v�oir��������Getabli�υr��ecemmen�t�υque��S�c�ne�con���tien�t�υpas�7�[5].�E-Nous�sommes�incapables�d'����etablir�la�nitude���de��S����(les�tec���hniques�de�[18]�son�t�de�p�Geu�de�secours).�WP�our�ab�Gorder�cette�derni���Gere�question,���il�uzsem���ble�naturel�de�s���Geparer�le�probl���Geme�en�trois�classes�de�courb�Ges�elliptiques�sur��Q�(�����p���R�),���selon�UUla�g�����Geom��etrie�UUde�la�bre�en�l'id����eal��!",�

cmsy10�P�'ҫau�dessus�de��p��du�mo�Gd����ele�de�N����eron�sur��Z�[�����p���R�]�:����{�a�Le�cas��p��':

cmti10�-cuspidal�,�d�c'est-����a-dire�le�cas�des�courb�Ges�elliptiques�n'a���y�an�t�a�pas�p�oten���tielle-���men���t�UUb�Gonne�r���Geduction�en��P��}�.�q�Nous�obtenons�b�Geaucoup�d'informations�dans�ce�cas.����{���Le�cas��p�-or��}'dinair�e�,���c'est-����a-dire���le�cas�des�courb�Ges�elliptiques�a���y�an�t���p�oten�tiellemen�t���b�Gonne���r�����Geduction�ordinaire�en��P��}�.�Q?Dans�le�cas�ordinaire�on�p�eut�distinguer�le�cas�(non���d�����Getermin��e��2par�la�g����eom��etrie)��2des��anomalies�,�c'est-����a-dire�le�cas�o�G����u�la�r����eduction�mo�Gdulo��P�į�de���la���courv���e�elliptique�p�Goss���Gede�un�p�Goin�t�d'ordre��p�.��Une�|���Getude�facile�mon�tre�que�les�courb�Ges���elliptiques�UUordinaires�donnan���t�lieu�aux�8��Gel��emen�ts�UUde��S���pr���Gesen�ten�t�des�anomalies.����{���Le�cas��p�-sup��}'ersingulier�,���qui�concerne,�comme�on�s'en�doute,�les�courb�Ges�elliptiques���a���y�an�t�O-r���Geduction�p�Goten�tiellemen�t�sup�Gersinguli���Gere�en�caract���Geristique��p�.�
_OJ.�Oesterl���Ge�m'a���con���v��q�aincu�UUque�ces�courb�Ges�ne�donnen�t�naissance�����a�aucun�8��Gel��emen�t�UU�>���3�de��S����.���W��F��*�aute�Nide�p�Gouv���oir�mon�trer�la�nitude�de��S����,�̭nous�nous�prop�Gosons�d'aller�dans�la���direction���g�����Gen��erale���suiv��q�an�te�:��z
��x�����Etudier�les�ensem�bles��S����ٓ�Rcmr7�0�;c��
oT�,�J�S����0�;o���ګet��S����0�;s�����de�nom�bres�pre-���miers�^p�Gour�lesquels�il�existe�une�courb�e�elliptique�sur��Q�(�����p���R�)��p�-cuspidale,�Q߮p�-ordinaire�ou����p�-sup�Gersinguli�����Gere�7}resp�ectiv�emen�t,��m�unie�7}d'un�sous-group�Ge��C�d'ordre��p��qui�est��Q�(�����p���R�)-���rationnel.���Ajoutons��que�notre�m�����Getho�Gde�sem�ble�indiquer�que�l'���Gen�um��eration��des�trois�cas���d�����Genote�UUune�dicult���Ge�croissan�te.����Dans��wle�cas�cuspidal,�
nous�obtenons�le�r�����Gesultat�suiv��q�an�t�(cons���Gequence�de�la�prop�Gosition���5,�UUdu�corollaire�3�de�la�prop�Gosition�6�et�de�l'app�endice).������;1���*�����s��������Th��g��*��eor��g��*��eme�UU�.�q�|��L'ensemble���S����0�;c��;�est�ni.��mЍ��Les�Z
tec���hniques�utilis���Gees�dans�notre�preuv�e�fon�t�app�Gel�de�fa���9con�cen�trale�aux�id���Gees�vieilles���de���vingt�ans�de�B.�Mazur�[15]�et�aux�r�����Gesultats�r���Gecen�ts�de�K.�Kato�(heureusemen�t�r���Gedig��es���par�UUA.�Sc���holl�[24])�en�direction�de�la�conjecture�de�Birc�h�et�Swinnerton-Dy�er.��
$���Nous�f�pro�Gc�����Gedons�en�deux���etap�Ges�:���D'ab�ord�nous�nous�eor���9cons�de�mon���trer�que�les���p�Goin���ts��i�Q�(�����p���R�)-rationnels��p�-cuspidaux�(en�le�sens�ci-dessus,��.mais�notre�m���Getho�Gde�s'applique���aussi�̫parfois�aux�p�Goin���ts��p�-ordinaires)�de�la�courb�e�mo�dulaire��X����0��|s�(�p�)�son���t�quadratiques���r�����Geels.�zPNous���concluons�en�appliquan�t�les�m���Getho�Gdes�de�S.�Kamienn�y�d'���Getude�des�p�Goin�ts���quadratiques�UUde��X����0��|s�(�p�).����Soien���t��[�p��un�nom�bre�premier�et����un�caract���Gere�de�Diric�hlet�(�Z�=p�Z�)���^��O!�cmsy7������	fY�������!��u�C���^������.��On���r�����Gesumera�/�par��H����p���R�(��)�l'assertion�suiv��q�an�te�:�_
�Il�qrexiste�une�forme�p��}'ar�ab�olique�qr�f�ڧ�=�������	��u

cmex10�P���
US��n��qy�a����n��q~�q��[ٟ�^��n��	>ɺde���p��}'oids�b�2�p�our������0��|s�(�p�)��tel���le�que�la�fonction�enti�����$�er�e��L�(�f��V;���;�s�)�b�qui�pr�olonge�la�s�����$�erie�de�Dirichlet��������P�����ލ�
�;�1��%��
�;�n�=1����d�a����n��q~��(�n�)�n���^���s����ne��s'annule�p��}'as�en��s��6�=�1�.����Nous��hd�����Gemon�trons�que�les�nom�bres�premiers���appartenan���t��R����a��S����0�;c��
b��ne�v���Gerien�t�pas��H����p���R�(��)�p�Gour�au�moins�un�caract���Gere����:�@�(�Z�=p�Z�)���^�������_������
|r!���C���^�������non�UUquadratique�pair.�q�L'�����Getude�de��H����p���R�(��)�est�donc�essen�tielle�����a�notre�d���Gemonstration.����Ko���w�alski�,�et�Mic���hel�d���Gemon�tren�t�que�tout�nom�bre�premier��p��>��10���^��10����v���Gerie�,��H����p���R�(��)�p�Gour��������non�quadratique�pair.�p�L'une�de�leurs�d�����Gemonstrations,�*Dqui�est����el����emen�taire,�*Dest���donn��ee���en�JTapp�Gendice.�P�On�est�ten���t���Ge�JTde�ne�pas�se�satisfaire�de�leur�b�orne.�P�C'est�p�ourquoi�nous���faisons�quelques�eorts,�+�ind�����Gep�Gendammen�t�de�Ko���w�alski�et�Mic���hel,�visan�t�����a�����Getablir��H����p���R�(��)���dans�6	la�deuxi�����Geme�partie.�gXNos�r���Gesultats�son�t�partiels,�<Lmais�nous�esp���Gerons�qu'ils�jetten�t�une���lumi�����Gere�֑in�t��eressan�te�֑sur�l'h���yp�Goth��ese�֑�H����p���R�(��).�G�En�particulier�nous�d����emon�trons�֑que��H����p���R�(��)�est���v�����Geri��ee���dans�les�trois�cas�suiv��q�an���ts�:���lorsque��p��est�un�nom�bre�premier�congru�����a�11�ou�19���mo�Gdulo��20�et����est�impair,�&�lorsque����est�injectif�et��p������=�����ޤ�2�����g�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�;��1487�g���et�lorsque������est���un�caract�����Gere�d'ordre�une�puissance�d'un�nom�bre�premier��>�9M�3.�?ZL'���Getude�du�dernier�cas���fait�3in���terv�enir�l'id���Geal�d'Eisenstein�de�l'alg���Gebre�de�Hec�k�e�de��J����0��|s�(�p�).�fYCela�retiendra�p�Geut-�^��Getre���l'atten���tion�UUdu�lecteur�familier�a�v�ec�[14].����Ajoutons�M%que�l'h���yp�Goth���Gese�M%�H����p���R�(��)�est�fausse�lorsque��p���2�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g�M%�ou�lorsque����est���quadratique��pair.�:W.�Stein�a�v�����Geri��e��qu'elle�n'est�fausse�dans�aucun�autre�cas�p�Gour��p�����233.���Cela,�[et�Y�les�r�����Gesultats�de�ce�papier,�on���t�p�Germis�����a�Stein�de�d���Geterminer�si�des�p�Getits�nom�bres���premiers�Xvappartiennen���t�����a��S����.�{+En�particulier�Stein�trouv�e�que��S���ne�con�tien�t�aucun�Y��Gel��emen�t����p��,�congru�����a���1�mo�Gdulo�4�et�v�����Gerian�t��,7���<�p�<��233.�D�En�se�fondan���t�sur�le�pr���Gesen�t�article,��4nous���esp�����Gerons�D8traiter�pro�Gc�hainemen�t�les�nom�bres�premiers�congru�����a�1�mo�Gdulo�4,�G�qui�pr���Gesen�ten�t���des�UUdicult�����Ges�suppl���Gemen�taires.������R��}'emer�ciements.�O�J'exprime��Qma�gratitude�en���v�ers��Qceux�qui�on���t�pris�la�p�Geine�d'���Gecouter�et���parfois�wde�r�����Gep�Gondre�����a�mes�questions�:��Jean-Marc�F��*�on�taine,���Benedict�Gross,�Emman���uel�Hal-���b�Gerstadt,��3Emman���uel��kKo�w�alski,�Alain��kKraus,�Barry�Mazur,�Jean-F��*�ran���9cois�Mestre,�Philipp�Ge���Mic���hel,�UUJoseph�Oesterl���Ge,�Da�vid�Rohrlic�h,�An�thon�y�Sc�holl,�William�Stein.����Les�s�r�����Gesultats�de�ce�cet�article�on�t�,���Get��e�s�partiellemen�t�exp�Gos���Ges�lors�du�collo�Gque�en���l'honneur�UUde�Barry�Mazur�p�Gour�son�soixan���ti���Geme�UUanniv�ersaire.����Finalemen���t,���signalons���que�cet�article,�don���t�les�pr���Gemices�daten�t�de�l'automne�1995���pass�����Ge�������a�l'IAS��V(Princeton),�%a��d�et����e�essen���tiellemen�t���r��edig��e���lors�d'une�visite�����a�l'Univ���ersit��e���de���P���ondic�h���Gery��*�.������;2���͍����s���������I��x��[email protected]ի1.�qǼG��g��*��eom��g��*��etrie��et�arithm��g��*��etique�de��X����0��|s�(�p�)��et��J����0���(�p�)��"�1.�pUn��Tlemme�����}Wel�«�emen��9taire�de�g�«�eom��etrie��Tarithm��etique��^w���Soit���p��un�nom���bre�premier.��gConform���Gemen�t�����a�l'usage,�;notons��X����0��|s�(�p�)�la�courb�Ge�sur����Q�z��qui�classe�grossi�����Geremen�t�z�les�courb�Ges�elliptiques�g����en��eralis��ees�z�m�unies�d'un�sous-group�Ge���cyclique�72d'ordre��p��(v���oir�[1]).�]Notons��X����0��|s�(�p�)�le�mo�Gd���Gele�r���Gegulier�minimal�de��X����0��|s�(�p�)�sur��Z�.���Notons����J����0��|s�(�p�)�la�v��q�ari�����Get��e���jacobienne�de��X����0��|s�(�p�).�	XMNotons��T��le�sous-anneau�(comm���utatif��)���de��#End���
����f$�cmbx7�Q��TϮJ����0��|s�(�p�)�#engendr�����Ge�par�les�op���Gerateurs�de�Hec�k�e�et�l'in�v�olution��W����p���R�.���(Nos�notations���co�����qnciden���t��notammen�t�a�v�ec�celles�de�[14]).�6�Notons��J����0��|s�(�p�)�le�mo�Gd���Gele�de�N���Geron�sur��Z��de��J����0��|s�(�p�)���(don���t�Xla�comp�Gosan�te�neutre�n'est�autre�que��Pic���_0�����0��ۣ�(�X����0��|s�(�p�))).�y�Notons��X����0���(�p�)����`��0��la�partie�lisse�de����X����0��|s�(�p�)��Y:��Elle�est�obten���ue�en�^����otan�t�les�sections�qui�son�t�sup�Gersinguli���Geres�dans�la�bre�en��p����[1].����P���our��]��Getudier�zl'existence�de�p�Goin�ts��Q�(�����p���R�)-rationnels�sur��X����0��|s�(�p�)�nous�ferons�usage�du���r�����Gesultat�UUsuiv��q�an�t.��^w��Pr��oposition��w�1.�;.|��Soit��0�p��un�nombr��}'e�pr�emier.�pSoient��K�tL�et��L��deux�extensions�nies���de�rk�Q����p��	��v�����$�eriant�les�inclusions��Q����p������Z1�K�M���L����Q����p���R�(�����p���)�rk�et�d'anne��}'aux�des�entiers��O����K��(�et����O����L��
H�r��}'esp�e�ctivement.��`Posons�L��S����0����=���Sp�Gec��G�O����K��3�et��S��
�=���Sp�Gec���O����L���t�.��`Soit��X��[�un�sch�����$�ema�lisse�et���no��}'etherien���sur��S����0��kF�de�br�e�sp�����$�eciale���x䍑֫������X������.�b�Soient��s����1��kF�et��s����2���des�se��}'ctions�du�morphisme�c�anonique����X������S�����Zcmr5�0����%�S����HQ�����
d�!��ĮS����dont�les�r��}'estrictions����a�la�br�e�g�����$�en��erique�(les�\p��}'oints"��L�-r�ationnels)�sont���not�����$�ees�t5�P����1���et��P����2��|s�.�:Supp��}'osons�que�les�r�estrictions�de�c�es�se�ctions����a�la�br�e�sp�����$�eciale�de��S����c��}'o���P���@ncident���ave�c�une�se�ction����!�����s����κ:�����Sp�Gec���]�F����p�����fj�����
��!���x䍑���������X���_��.����Supp��}'osons���que�p�our�tout�c�ar�act�����$�er�e����:��] �Gal���"(�L=K���)����x5�����	��!�x5�C���^�������il�existe�un�morphisme�de����S����0��|s�-sch�����$�emas�zr����������:��ܱX����=�����
Zi!��A�,��o� �����u��A��est�le�mo��}'d���$�ele�de�N���$�er��}'on�sur��S����0����d'une�vari���$�et��e�zrab��elienne�zr�A����sur���Q����p���R�,�v�����$�eriant�les�deux�c��}'onditions�suivantes�:������)���L��}'e�morphisme��������	�est�une�immersion�formel���le�le�long�de����!�����s���C�.������)���On�a�dans��A�(�L�)�8�
��Z�[��]���:���������[�؟���X���j���L(!��@L�2��Gal��p(�L=K�}��)���{����(��[٫)���(��������(�P����1��|s�))��=����nϟ���X���j�����@L�2��Gal��p(�L=K�}��)���22���(��[٫)���(��������(�P����2��|s�))�:��"?:���A���lors���les�se��}'ctions��s����1��Z�et��s����2���(et�donc��P����1���et��P����2��|s�)�c��}'o���P���@ncident.���D�����$�emonstr��}'ation�.��O|���Notons��P����l'id�����Geal�de��Z����p���R�[�����p���]���au-dessus�de��p�Z����p���R�.�Notons��P����X��
�K�(resp.��P����A���X�)���l'id�����Geal�UUmaximal�du�compl���Get��e�UUformel�de��X��0�(resp.�qDZA�)�le�long�de���������s���Z��(resp.�0).����Supp�Gosons�-�que��s����1��	�7�et��s����2���ne�co�����qnciden���t�pas.�	�P�ar�passage�aux�espaces�cotangen�ts,���ces��gsections�d�����Genissen�t��gdes�homomorphismes��s���^�����l��1���
oK�et��s���^�����l��2����:�	s�P����X��Aɮ=�P���^����}�2��b��X������5P�����Q�!��P��}�=�P����^��2��%W�qui��gne���co�����qnciden���t���pas�par�le�lemme�de�Nak��q�a�y�ama.���P�our����caract���Gere�de��Gal��Y�(�L=K���)�notons����e������
/�=�������
�)�1������&�fe|ԟ���[�L�:�K�}��]������>�����P���&����@L�2��Gal��p(�L=K�}��)��V����(��[٫)�����l'idemp�Goten���t�{$de��Z�[�;�������
��1���۟�&�fe[Ɵ����p��1�����lԫ][�Gal���(�L=K���)]�qui�pro��8jette�sur�la��
�ˍcomp�Gosan���te�����-isot�ypique.�2�Le�nom�bre��p�P����Getan�t�premier�����a�[�L���:��K���],���ces�idemp�Goten���ts�d���Genissen�t���une��d�����Gecomp�Gosition�en�somme�directe�du��F����p���R�-espace�v�ectoriel��P��}�=�P����^��2��N�.�U�Il��existe�donc�un�c�har-���act�����Gere��ˮ��:��!Gal���(�L=K���)�����������!���Z�[��]���^����L��tel�que��e������t���ήs���^�����l��1����et��e������t���ήs���^�����l��2����soien���t�distincts.�;�Puisque��������2�est�une���immersion��Aformelle�le�long�de���P{����s����A�,���l'application�cotangen���te�����^�����፯���i^�:�<=�P����A���X�=�P���^����}�2��b��A������	�p�������!��P����X��Aɮ=�P���^����}�2��b��X���
,
�d���Geduite���de�nT��������q�est�surjectiv���e.���Les�applications��e������ȧ��I��s���^�����l��1����n������^�����፯����et�nT�e������ȧ���s���^�����l��2����n������^�����፯����son���t�nTdonc�distinctes.���Or������;3���%t�����s��������cela���con���tredit�la�form�ule�dans��A�(�O����L���t�)�d���Geduite�de�l'h�yp�Goth���Gese���)�par�extension�au�mo�Gd���Gele���de�UUN�����Geron.��&$���2.�pP��9oin�ts��Td'ordre��p��de��J����0��|s�(�p�)��0э�L'assertion�UUsuiv��q�an���te�est�une�cons���Gequence�facile�des�tra�v��q�aux�de�Mazur�[14].����Pr��oposition�.�2.��Q|��L��}'a�7�vari�����$�et��e�7�ab��elienne�7��J����0��|s�(�p�)��ne�p��}'oss����ede�p��}'as�de�p�oint��Q�(�����p���R�)�-r�ationnel���d'or��}'dr�e���p�.��<��D�����$�emonstr��}'ation�.�{b|�X�L'�����Genonc��e�X�est�l�eviden�t�X�et�sans�in���t��er�^�et�X�si��p�w�=�2.�{bSupp�Gosons�X�donc�que����p��>��2.����Soit��i�P�ȱ2�9�J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�))[�p�].�Si��P����est�non�n���ul,��.quitte�����a�m�ultiplier�par�un�AL��Gel��emen�t��ide��T����appropri�����Ge�on�p�Geut�supp�oser�que�l'ann���ulateur�de��P�g��dans��T��est�un�id���Geal�maximal��M��qui�est���n�����Gecessairemen�t�UUde�caract����eristique�r����esiduelle��p�.����Consid�����Gerons��wle�sous-sc�h���Gema��N����en��T�=�M�-v�ectoriel�engendr���Ge�par��P�c��.�_,C'est�un�sous-���sc���h���Gema����T�=�M�-v�ectoriel�de��J����0��|s�(�p�)[�M�].�T�Notons��i��la�dimension�de�l'espace�v�ectoriel�sur��T�=�M����sous-jacen���t.�x�Comme���J����0��|s�(�p�)(���qƍ������:��Q������)[�M�]�est�un�espace�v�ectoriel�de�dimension�2�sur��T�=�M��([14]���prop�Gosition�UUI�I.14.2�qui�s'applique�car��p��>��2),�on�a��i��=�1�ou�2.����Supp�Gosons��qu'on�ait��i��~�=�1.�+�D'apr�����Ges��[14],�
bprop�osition�I�I.14.1,�
bl'id�����Geal��M��est�un�id���Geal���premier��d'Eisenstein.�[�Cela�n'est�p�Gossible�que�lorsque��p��divise�le�n���um���Gerateur��de�(�p������1)�=�12,���c'est-����a-dire�UUjamais.�q�Cela�exclut�le�cas��i���=�1.��������x���Etudions�UUmain���tenan�t�le�cas��i���=�2.�q�On�obtien���t�alors�un�homomorphisme�de�group�Ges���䍍�9R�Gal��H��(�Q�(�����p���R�)�=�Q�)���'��(�Z�=p�Z�)�����������_������
|r!���Aut����J����0��|s�(�p�)(���qƍ������:��Q������)[�M�]��'���GL��������2��\p�(�T�=�M�)�:����Comme�!�T�=�M��est�un�corps�ni�de�caract�����Geristique��p��>��2,�,-une����etude�!�facile�nous�indique�que���l'image���de�cet�homomorphisme�est�conjugu�����Ge�(dans��GL��������2��0�(�T�=�M�))�����a�un�sous-group�Ge�diagonal.���On�- obtien���t�donc�l'existence�d'un�sous��T�=�M�[�Gal���(�Q�(�����p���R�)�=�Q�)]-mo�Gdule�de�dimension�1�sur����T�=�M�.�q�L'�����Getude�UUdu�cas��i���=�1�UUexclut�pr���Gecis��emen�t�UUcette�situation.��<���On�UUa�donc��P�*��=��0.��0э�Cor��ollaire����.��|��Soit���P�&��un�p��}'oint�d'or�dr�e�ni��n��de��J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�))�.�'!L'or�dr�e�de�l'extension���de���P��v�au�mo��}'d�����$�ele�de�N���$�er��}'on�de��J����0��|s�(�p�)��est�d'or�dr�e��n��dans�la�br�e�en��p�.���D�����$�emonstr��}'ation�.��R|��.On�sait�que��n��est�premier�����a��p��d'apr�����Ges�la�prop�Gosition�pr���Gec��eden�te.��RUn���lemme�]�de�sp�����Gecialisation�bien�conn�u�(v�oir�par�exemple�[15])�p�Germet�de�conclure�:��wDans�un���sc���h���Gema���en�group�Ge�ni�et�plat�sur�l'anneau�des�en���tiers��O��	�d'une�extension�nie�de��Q����p���R�,�ƛl'ordre���d'un���p�Goin���t�d'ordre�premier�����a��p��est�d���Getermin��e���dans�la�bre�sp���Geciale.�U?Or�la�v��q�ari���Get��e���ab��elienne����J����0��|s�(�p�)��+p�Goss�����Gede�b�onne�r�����Geduction�en�dehors�de��p�,�� si�bien�que��J����0��|s�(�p�)[�n�]�s'���Getend�en�un�sc�h���Gema���en�UUgroup�Ge�ni�et�plat�sur��Z���:�(�p�)��
�T�.��0э�R��}'emar�que�i��:�0�Ce�4�dernier�corollaire�p�Gourrait�se�d�����Geduire�simplemen�t�du�fait�que��J����0��|s�(�p�)�est���semi-stable���et�ne�p�Goss�����Gede�pas�de�sous-sc�h���Gema�en�group�Ge�de�t�yp�Ge����d'ordre��p��d'apr���Ges�[14],���th�����Geor��eme�UU2.������;4���<$�����s��������3.�pRapp�Q�els��Tsur�la�g�«��}Weom��etrie��Tde�la�section�cuspidale��zy���Consid�����Gerons�P�les�p�Goin�tes��1��et�0�de��X����0��|s�(�p�)�qui�son�t�des�sections��Sp�Gec��^еZ�����������!��X����0��|s�(�p�).�p3Ces���notations���d�����Gesignen�t�encore,���par�abus,�toutes�les�sections�qui�s'en�d�����Geduisen�t�par�c�hangemen�t���de��Mbase�(comme�dans�[14]�I�GI.1).���Consid�����Gerons�le�morphisme�(sur��Q�)����:�M��X����0��|s�(�p�)����~`�����	��!�~`�J����0���(�p�)���qui��t����a��P�@�asso�Gcie�la�classe�du�diviseur�(�P�c��)�����(�1�).�$Il��ts'�����Getend�en�un�morphisme�sur��Sp�ec���;�Z����encore�m�not�����Ge����:����X����0��|s�(�p�)����`������ͱ�������C!���J����0���(�p�).��<L'action�m�de��t��s'���Getend�en�un�endomorphisme�sur��Sp�Gec��_��Z����de�N��J����0��|s�(�p�).�o�Soit��t���2��T�.�Notons�N������t����le�morphisme�de��Z�-sc���h���Gemas�N�obten�u�en�comp�Gosan�t����a�v�ec����t�.��X��x���q�Etudions�UUla�g�����Geom��etrie�UUde������t��ګ�dans�la�bre�en��p�,�en�reprenan���t�la�m���Getho�Gde�de�[15].��zy��Pr��oposition�.ͫ3.��.|��Supp��}'osons�[�qu'on�ait��t�����M�=�����1��2�����
��p�T�.���L�e�morphisme������t���O�est�une�immersion���formel���le���le�long�de�la�br��}'e�sp�����$�eciale�en��p��de�la�p�ointe��1�.���D�����$�emonstr��}'ation�.��|�+�P���out�d���Gemon�trer�cela�il�sut�de�v���Gerier�d'une�part�que�l'application���d�����Geduite�/de������t���p�sur�les�corps�r���Gesiduel�des�compl���Get��es�/formels�est�bijectiv�e�(ce�qui�est�����Geviden�t)���et�`(d'autre�part�que�l'application�����^�����፯t�����d�����Geduite�de������t���~�sur�les�espace�cotangen�ts�en��1��et�0���est�q:surjectiv���e.��uL'���Getude�de�ces�espaces�cotangen�ts�est�men���Gee�����a�bien�dans�[15]��a�l'aide�de�la���structure�Tfournie�par�la�courb�Ge�de�T��*�ate.�_D'une�part,�(�le�compl�����Get��e�Tformel�de��X����0��|s�(�p�)���:�=�F���O
�\cmmi5�p������en��1����s'iden���tie�������a��F����p���R�[[�q�[٫]]�[1],��Nd'o�G����u�l'isomorphisme�de��F����p���-espaces�v���ectoriels��Cot����@���1�� %�(�X����0��|s�(�p�)���:�=�F���p���uQ�)���'��F����p���.���D'autre�ipart,����Cot����b���0��%ձJ����0��|s�(�p�)���:�=�F���p������s'iden���tie,���par�application�de�la�dualit���Ge�de�Grothendiec�k,�������a��lH���^��0��|s�(�X����0���(�p�)���:�=�F���p���uQ�;����
),�%rlequel�s'iden���tie�����a�son�tour��a��Hom��j�(�T�;����F����p���R�),�%rpar�la�th�����Georie�des��q�[٫-���d�����Gev�elopp�Gemen�ts��([15],��2.e)).�G_En�utilisan���t�ces�iden�tications�dans�le�diagramme�comm�utatif���suiv��q�an���t,�UUl'application�����^�����9�est�d���Gecrite�ainsi�(�lo��}'c.���cit.�,�d���Gemonstration�de�la�prop�Gosition�3.1)�:��ӑ���s�Cot������0���j��(�J����0��|s�(�p�)���:�=�F���p���uQ�)�����������!����Cot���㌟��1��\q�(�X����0���(�p�)���:�=�F���p����)�����8�#�/k�#��zy�������Hom�����(�T�;����F����p���R�)�����������!����F����p�������a� ��ӱ7!���� �[٫(�T����1��|s�)�:�����L'application�P�cotangen���te�d���Geduite�de�l'action�de��t��sur��J����0��|s�(�p�)�est�l'endomorphisme�dual���de��t��dans��Cot�������0���j�(�J����0��|s�(�p�)���:�=�F���p���uQ�).�LQEn�comp�Gosan���t�les�applications�cotangen�tes,�et�en�utilisan�t�la���compatibilit�����Ge��fournie�par�le�lemme�2.1�de��lo��}'c.���cit.�,�(�on�obtien�t�que�l'application�cotangen�te�������^�����፯t����9�:�����F�Hom��Z�A(�T�;����F����p���R�)���'���Cot���㌟��0��_��(�J����0��|s�(�p�)���:�=�F���p���uQ�)����������!���Cot���㌟��1��\q�(�X����0���(�p�)���:�=�F���p���uQ�)��'��F����p���zy��d�����Geduite�_�de������t����est�donn���Gee�par�� �ެ�7!��Ӯ �[٫(�t�).���Cette�application�cotangen�te�est�v��Gevidemmen�t���surjectiv���e�UUsi�et�seulemen�t�si��t������=�������2�����8ܮp�T�.��zy��R��}'emar�que�A�:�W\Con���trairemen�t� �����a�[15],�+nous�tra���v��q�aillons�ici�a�v�ec�des�sous-v��q�ari���Get��es� �ab��eliennes� �de����J����0��|s�(�p�)���et�non�des�v��q�ari�����Get��es���ab��eliennes���quotien�t.���Cela�nous�disp�Gense�d'���Getudier�les�probl���Gemes���tec���hniques�}�p�Gos���Ges�par�le�comp�Gortemen�t�des�suites�exactes�courtes�de�v��q�ari���Get��es�}�ab��eliennes���apr�����Ges�rapassage�aux�espaces�cotangen�ts.���Il�serait�plus�d���Gelicat�de�prouv�er�que������t�����en�tan�t���que��lmorphisme�����a�v��q�aleurs�dans�la�v�ari�����Get��e��lab��elienne��l�tJ����0��|s�(�p�)�est�une�immersion�formelle�en���caract�����Geristique�UU�p�.����Ce�UUp�Goin���t�de�vue�a�8��Gegalemen�t���Get��e�UUadopt��e�UUpar�P�aren�t�dans�sa�th���Gese.������;5���L�����s��������4.�pLa��Tg�«��}Weom��etrie��Tdes�sections�ordinaires��Ǎ��Notons�>��J����S��	ȫl'ensem���ble�des�in�v��q�arian�ts�mo�Gdulaires�des�courb�es�elliptiques�sup�ersinguli�����Geres���en�Ԍcaract�����Geristique��p�.��mC'est�un�sous-ensem�ble�de��P���^��1��|s�(�F����p����2����r�)�d���Geduit�du�sous-�Sp�Gec���ǵF����p���R�-sc�h���Gema���ni�UUde��P���^��1���ȫd�����Geni�par�le�p�Golyn^����ome�sup�ersingulier.��8���Rapp�Gelons�e�quelle�est�la�structure�de�la�bre�sp�����Geciale�en��p��de��X����0��|s�(�p�)�[1],���V.1�:���Elle���p�Goss�����Gede��deux�comp�osan���tes�irr���Geductibles�isomorphes�����a��X����0��|s�(1)�(qui,�&�via��l'in�v��q�arian�t�mo�Gdulaire����j����,��est���canoniquemen���t�isomorphe�����a��P���^��1��|s�)�qui�se�croisen�t�transv�ersalemen�t�en�les�p�Goin�ts�sup�Ger-���singuliers.�i�L'in���v�olution�<��W����p������Gec�hange�ces�comp�Gosan�tes�et�c�hange�un�p�Goin�t�sup�Gersingulier�en���son���conjugu�����Ge�par��Gal��q�(�F����p����2����r�=�F����p���R�).��Consid���Gerons�la�partie�lisse��X����0��|s�(�p�)���:�`=�F���p������de��X����0���(�p�)���:�=�F���p���uQ�.��T��*�out���p�Goin���t���de��X����0��|s�(�p�)���:�`=�F���p���eǫest�dans�l'image�de�l'une�des�deux�immersions�ouv�ertes������1��	�et������p��	6�:����P���^��1���S��8�J����S����'��X����0��|s�(1)����j������^���1��N��(�J����S����)����������!�X����0��|s�(�p�)���:�`=�F���p����7�.��8���Notons��L����S��	|S�le�group�Ge�des�diviseurs�de�degr�����Ge�0�����a�supp�ort�dans�les�courb�es�elliptiques���sup�Gersinguli�����Geres���en�caract���Geristique��p������a�isomorphisme�pr���Ges.���Rapp�Gelons�que�la�comp�osan���te���neutre�.Vde�la�bre�en��p��du�mo�Gd�����Gele�de�N���Geron�de��J����0��|s�(�p�)�est�un�tore�sur��F����p��ͨ�don�t�le�group�Ge�des���caract�����Geres���qƍ������:��n��F����p����JU�-rationnels�n�s'iden�tie�����a�����S��	9��[21].���V��*�oici�commen�t�est�obten�ue�cette�iden�tica-���tion.�O�Soit������P������E��DN�[�E����]�О�2������S����.�Soit��F��߫un�faisceau�in���v�ersible��sur��X����0��|s�(�p�)���:�=�F���p���uQ�.�Sa�restriction�aux���comp�Gosan���tes�d�irr���Geductibles�de��X����0��|s�(�p�)���:�=�F���p���uQ�,�h�qui�son�t�isomorphes�����a��P���^���1��ٔ��=�F���p����uQ�,�h�est�trivialisable.���No-��
#=�tons�=B�s����0�����et��s����1���'�des�sections�jamais�n���ulles�de�ces�restrictions�aux�comp�Gosan�tes�con�tenan�t�les���p�Goin���tes��h0�et��1��resp�ectiv���emen�t.��Le��hcaract���Gere����de��J����0��|s�(�p�)���^���0��ٔ��=�F���p����uQ�corresp�Gondan�t�����a������P������E����[�E����]���2������S�����est�UUdonn�����Ge�par�la�form�ule����~C���(���x䍑�������F���.7�)��=��������Y����7��	�E����6�(�s����1��x�(�P����E���m�)�=s����0��|s�(�P����E���))������n��m�E���<-�;��"�7��o�G����u�au�P����E��	"�d�����Gesigne�le�p�oin���t�de��X����0��|s�(�p�)���:�=�F���p���uQ�(���qƍ�7���:��F����p�������)�corresp�ondan���t�����a�la�courb�e�elliptique�sup�ersinguli�����Gere����E���et�+Xo�G����u���x䍑��������F�����d�����Gesigne�la�classe�de��F�)��dans�le�group�e�de�Picard.�c�Cette�iden���tication�m�unit�����S�����d'une��
structure�de��T�-mo�Gdule�qui�a�����Get����e��etudi����ee��
en�d���Getail,��d'un�p�Goin�t�de�vue�th���Georique�et���d'un��p�Goin���t�de�vue�exp���Gerimen�tal,��zpar�Mestre�et�Oesterl���Ge�[20],�[21]�,��zpar�Gross�et�Kudla�[3]�et���par��kGross�[4].�	Ajoutons�que�le�group�Ge�des�comp�osan���tes�connexes�de��J����0��|s�(�p�)���:�=�F���p������est�d'ordre��������Gegal�UUau�n�um���Gerateur�de�(�p�8���1)�=�12�UUd'apr���Ges�l'app�Gendice�de�[14].��8���Consid�����Gerons�@�une�situation�plus�g���Gen��erale�@�que�celle�����Getudi��ee�@�dans�la�section�3.�j�Soit��d��un���en���tier�d����/�1�(nous�n'utilisons�dans�le�reste�de�cet�article�que�les�cas��d��=�1�et��d��=�2���;�l�Mais�il���nous�a�sem���ble�que�le�cas�g���Gen��eral�a�sera�utile�t^����ot�ou�tard).��eNotons�par�l'indice�sup���Gerieur����^��(�d�)���r�le���passage�UU����a�la�puissance�sym�����Getrique��d�-i���Geme.�q�Consid��erons�UUle�morphisme���D���=j�������(�d�)��
�̫:���X����0��|s�(�p�)������(�d�)�����������B!��J����0��|s�(�p�)�;����normalis�����Ge�(�par�le�fait�que�la�puissance�sym���Getrique��d�-i���Geme�de�la�p�Goin�te��1��est�en�v�o�y���Gee�sur�0.���P���ar���propri���Get��e���univ�erselle�des�mo�Gd���Geles�de�N���Geron,���il�s'���Getend�en�un�morphisme�sur��Z��encore��
c��not�����Ge�UU����^��(�d�)��?	�:�qDZX����0��|s�(�p�)����:��(�d�)��6��`������
�̱�����B!��J����0���(�p�).��8���P���our�]'�t��!�2��T�,�_la�comp�Gosition�de�����^��(�d�)��F۫a���v�ec�la�m�ultiplication�par��t��dans��J����0��|s�(�p�),�_donne�un���morphisme�UUsur��Z��
э��3�����:��(�d�)���͍�t���
�̫:���X����0��|s�(�p�)����:��(�d�)��6��`������������B!�J����0��|s�(�p�)�:������;�6���_������s����qS��Bien�UUen���tendu,�on�a������:��(1)���͍�t���
���=�������t���V�.����Quitte�:!����a�comp�Goser�����^��(�d�)��
#իa���v�ec�:!la�m���ultiplication�par��p�}���1,�r�ce�:!qui�est�sans�cons���Gequence�p�Gour���les��Gpropri�����Get��es��Gde�nitude�de�p�Goin���ts�rationnels�et�d'immersion�formelle�en�caract���Geristique����p�,�Jon���p�Geut�supp�oser,�Jcompte-ten���u�de�ce�qui�vien�t�d'�^��Getre�dit�sur�la�nature�du�group�Ge�des��
c��comp�Gosan���tes,�x�que�A]�����:��(�d�)���͍�t���
鴫(�X����0��|s�(�p�)����:��(�d�)��6��`����(�F����p���R�))�est�con���ten�u�dans��J����0��|s�(�p�)���^���0��ٔ��=�F���p����uQ�.��Soit�un�caract���Gere����du�tore��UO��J����0��|s�(�p�)���^���0��h���=���6��֓�������F���p������69�corresp�Gondan���t���au�diviseur������P���
O#��E���8�n����E���m�[�E����]���2������S����,�ޗo�����u���E�Tu�parcourt�les�courb�es�elliptiques��2*�sup�Gersinguli�����Geres.��^Soit�a�(�j����1��|s�;���j����2���;�:::;�j����d�����)����2��(�P���^��1��|s�(���qƍ�7���:��F����p�������)�A:���J����S����)���^��d���.��^P���osons�aݮP����d�����=��������:��	z�(�d�)���l�1���
�.�(�j����1��|s�;���j����2���;�:::;�j����d�����).��^On���a��\t��vꩮ�8���������(�d�)��
鴫(�P����d�����)��=������,g�d������ݱ����Y����t���i�=1������f����Y����7����E���--�(�j����i���,��8�j����(�E����))������n��m�E���<-�:��.[��Cette��form���ule�a�H���Get��e��obten�ue�p�Gour��d�(�=�1��par�Mestre�et�Oesterl���Ge�[21]���;��fLa�form�ule�g���Gen��erale���s'en�UUd�����Geduit�en�remarquan�t�que�����^��(�d�)��
鴫(�P����1��|s�;���:::;�P����d�����)��=���(�P����1���)�8�+��:::��+���(�P����d�����).����P���our�A�u���2�f�1�;����2�;�::;�d�g�,�"�notons������u��P��l'homomorphisme�de�group�Ges�����S�������������!���qƍ��O����:����F����p������donn�����Ge�par�la���form���ule����{ȁ�����u��:b�(�������X����7��.�E���q�n����E���m�[�E����])��=��������X����7���F�E�������<$��&��n����E�����w�fe2XX�	(֍�(�j��k��8�j����(�E��))���r�u������G�G�:���\���Soit�w��j���2�w�P���^��1��|s�(���qƍ�7���:��F����p�������)�Oӱ��J����S����.��P���osons��P�d�=�w�����1��|s�(�j����)��2��X����0���(�p�)����`����F����=�F���p���-�I�(���qƍ�7���:��F����p�������).��Notons�w��P��c���^��(�d�)����la�puissance���sym�����Getrique�UU�d�-i��eme�UUde��P�c��.���$��Pr��oposition��x�4.�1|��Soit�;�t��R�2��T�.��S'il�existe������1��|s�,�/P�����2���,...,�����d��R�2��R�����S��	�B�tels�que�le�d�����$�eterminant�de���la�|dmatric��}'e��(�����u��:b�(�t����i��TL�))���:�u;i�2f�1�;�2�;:::;d�g��5��soit�non�nul,��alors�la�r�estriction����a�la�br�e�sp�����$�eciale�en��p��du���morphisme�������:��(�d�)���͍�t���}��est�une�immersion�formel���le�au�p��}'oint��P��c���^��(�d�)��MC�.���D�����$�emonstr��}'ation�.���|�^�P���osons������i��Ռ�=���@����P���{��E��{��m����E�b};i�����[�E����].�Notons������i����le�caract�����Gere�du�tore��J����0��|s�(�p�)���^���0��h���=���6��֓�������F���p�������
�+��corresp�Gondan���t��]����a��t����i��%��par�l'iden�tication�men�tionn���Gee�ci-dessus.���Notons����le�morphisme�de���group�Ges�UUalg�����Gebriques�(�����1��|s�;���:::;�����d�����)�UU:�qDZJ����0���(�p�)���^���0��h���=���6��֓�������F���p���������<i�����X�!���G���^���d��፬m����ɟ](�=���6��֓�������F���p�������.��2*��Il��faut�donc�Ǖ��Getablir�que�l'homomorphisme�d'anneaux�lo�Gcaux������:��(�d�)����͍�t���J�sur�les�compl����et��es��
�͍formels��d�����Geduit�de������:��(�d�)���͍�t���
�K�est�surjectif.�Z�Il�sut�de�p�Gour�cela�de�prouv�er�que�l'homomorphisme���d'anneaux��R�����:��(�d�)����͍�t���{v��xޮ���^����N6�est�surjectif.���C'est-����a-dire�que�le�morphisme����������:��(�d�)���͍�t�����:�1±X����0��|s�(�p�)����:��(�d�)������=�F���p��������d�������!��A���G���^���d��፬m����ɟ�:�=�F���p����o�est�UUune�immersion�formelle�au�p�Goin���t��P��c���^��(�d�)��MC�.��8㍑Comp�Gosons���encore�par�l'immersion�ouv���erte������:��	z�(�d�)���l�1���
�.�.�maIl�sut�de�d���Gemon�trer�que�le�mor-��l�phisme�������������:��(�d�)���͍�t���
lj�������:��	z�(�d�)���l�1����D�:�OI(�P���^��1���)��S����)���^��(�d�)�����ib�������!���G���^���d��፬m���
�߫est�une�immersion�formelle�en��j������^��(�d�)��|?�.��
Notons��������u���est��4le��u�-i�����Geme�p�Golyn^����ome�sym���Getrique�o�el��emen�taire��4en��j����1��|s�;���:::;�j����d�����.��dLa��4�i�-i���Geme�co�Gordonn���Gee�du��
c��morphisme�UU��8�������t���6�������:��	z�(�d�)���l�1���H��est�donn�����Ge�par�la�fraction�rationnelle��F����i�����:���*��	}(�j����1��|s�;���:::;�j����d�����)���7!��F����i��TL�(�j����1���;���:::;�j����d�����)��=�������	�d�������S����Y������k�+B�=1�������S����Y����7��@,�E����q�(�j����k��$p��8�j����(�E����))������m��m�E�A�;i��� �=��������Y����7��	�E����6�(������XZ�d������4N����X�������u�=0����e�(��1)������d��u��������d��u���j��(�E����)������u��:b�)������m��m�E�A�;i���X�:���0��L'espace���tangen���t�en�(�j����1��|s�;���:::;�j����d�����)���de�(�P���^��1��/����S����)���^��(�d�)��
�v�a�p�Gour�base�la�famille��d����1���;���:::;�d����d�����.�T�Un���calcul��������Geviden�t�UUde�di����eren�tielle�UUlogarithmique�donne���K������<$��P�X�dF����i���P�X�w�fe���	(֍��9�F����i������c���=���������X����7���F�E�������<$��.�0�m����E�b};i�����w�feI�W������Q�����ލ�	qɯd��%��	q�k�+B�=1���}\�(�j����k��$p��8�j����(�E����))����������a#�d��1������a<����X�������`��u�=0���o�S�(��1)������d��u����j����(�E����)������u���
�d����d��u���:������;�7���t6�����s����qS���Le�Γmorphisme������������t��
�������:��	z�(�d�)���l�1������est�Γune�immersion�formelle�en�(�j����1��|s�;���:::;�j����d�����)�Γsi�et�seulemen���t���la�T�famille�(�dF����i��TL�)�est�lin�����Geairemen�t�T�ind��ep�Gendan�te�T�dans�l'espace�tangen���t�en�(�j����1��|s�;���:::;�j����d�����)�T�de���(�P���^��1���S��8�S����)���^��(�d�)��
鴫.���ɍ�Comme��7on�examine�la�situation�en�(�j����1��|s�;���:::;�j����d�����)�֏=�(�j�R;���:::;�j����),� �cela��7revien���t�����a�v���Gerier�que���͍la��Wmatrice�carr�����Ge�d'ordre��d��de�terme�(�i;���u�)�Z:�egal�����a�(�����P���
�;��E���������-�m��m�E�A�;i��
�S�j�g��(�E�b}�)����r�u���0ncmsy5��1���-����fe/�ӟ�G��~�(�j�g���j��(�E�b}�))����d������D���)�est�in���v�ersible.�U�Une��
DA�manipulation�tK��Gel����emen�taire��hmon�tre�que�cette�matrice�est�de�d���Geterminan�t�tK�egal��h����a�celui�de�la���matrice�UU(�����u��:b�(�t����i��TL�))���:�u;i�2f�1�;�2�;:::;d�g��2f��.�q�Cela�ac���h���Gev�e�UUnotre�d����emonstration.��x퍺R��}'emar�que��j�:�z�Cette�ٵcondition�d'ind�����Gep�Gendance�lin���Geaire�est�����a�comparer��a�celle�obten���ue�par���Kamienn���y���dans�[7],���p�Gour��P�y��=��1����;��dN���Geanmoins�nous�ne�faisons�pas�in�terv�enir�d'op���Gerateurs���de�UUHec���k�e.���ɍ�Comme���nous�le�v���errons�dans�la�troisi���Geme�partie,��la�prop�Gosition�4�est�utile�����a�l'���Getude���au�fQcas�par�cas�de�la�non-existence�de�p�Goin���ts��p�-ordinaires�de��X����0��|s�(�p�).���P�our�4��Getudier�de�fa���9con���uniforme�_ces�p�Goin���ts,�apil�faudrait�sa�v�oir�comparer�les��T�-mo�Gdules�����S��	*�et�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)�_de���fa���9con�ׄ����a�comprendre�la�relation�en���tre�les�v��q�aleurs�de�fonctions��L��et�la�structure�de��T�-mo�Gdule���de�X�����S����.�|�Les�meilleures�informations�don���t�on�disp�Gose�dans�cette�direction�sem�blen�t��^��Getre���con���ten�ues�UUdans�[3]�et�[4].��*@��5.�pDiscussion��Tde�la�litt�«��}Werature�sur�les�tra��9v��\raux�de�Kato��x퍑�Soit��D�A��une�sous-v��q�ari�����Get��e��Dab��elienne��Dsimple�et�non�triviale�de��J����0��|s�(�p�).�K�P���ar�la�th���Georie�de���Shim���ura�N�[25],�P%une�telle�v��q�ari���Get��e�N�ab��elienne�N�est�asso�Gci���Gee�����a�une�forme�primitiv�e��f���,�P%bien�d���Genie�������a��
conjugaison�pr�����Ges,���p�Gour�����0��|s�(�p�).���Soit����un�caract���Gere�de�Diric�hlet�(�Z�=p�Z�)���^�������~�����/�!�z��C���^������.���Nous���a���v�ons�hb�Gesoin�de�l'�����Genonc��e�hsuiv��q�an�t,�F�annonc��e�hpar�Kato�(s����erie�d'exp�Gos����es�����a�l'IAS,�Princeton,���automne��1995)�et�qui�r�����Gesulte�de�la�conjecture�de�Birc�h�et�Swinnerton-Dy�er�p�Gour�les�v��q�ari���Get��es���ab�����Geliennes�UUsur��Q�.���ɍ��L��}'a�`�c�omp�osante���-isotypique��A�(�Q�(�����p���R�))���^����
�ɺde��A�(�Q�(�����p���))��ñ
��Z�[��]��est�nie�lorsqu'on�a����L�(�f��V;���;��1)���6�=�0�.�����Signalons��que�cela�ne�sem���ble�pas�r���Gesulter�de�[11].���En�attendan�t�que�Kato�publie���ses��	tra���v��q�aux,��vessa�y�ons�d'indiquer�commen�t�lire�les�textes�de�Sc�holl�[24]�et�Rubin�[23]�p�Gour���obtenir�UUun�tel�r�����Gesultat.����Remarquons��d'ab�Gord�que�cela�est��j��Gequiv��q�alen���t�(par�dualit���Ge)�����a�l'���Genonc��e��analogue�o�G����u���\sous-v��q�ari�����Get��e��Kab��elienne"��Kest�remplac����e�par�\v��q�ari����et��e��Kab��elienne��Kquotien�t"�(en�rempla���9can�t������par���le�caract�����Gere�conjugu���Ge,��cce�qui�est�sans�imp�Gortance).�>�Notons��B�=W�la�v��q�ari���Get��e���ab��elienne���duale���de�UU�A�.����Consid�����Gerons��la�v��q�ari���Get��e��ab��elienne��C����obten�ue�par�����a�partir�de��B�`�par�restriction�des���scalaires��'de��Q�(�����p���R�)�����a��Q�.�B�Cette�v��q�ari�����Get��e��'ab��elienne��'est�par�construction�m���unie�d'une�action�de����Gal���(�Q�(�����p���R�)�=�Q�)���'��(�Z�=p�Z�)���^������.�R�Cela��xdonne�une�d�����Gecomp�Gosition�����a�isog���Genie�pr���Ges�de��C����corresp�Gon-���dan���t�[�����a�la�d���Gecomp�Gosition�en�pro�duit�de��Q�-alg�����Gebres�simples�de��Q�[(�Z�=p�Z�)���^������].���Consid���Gerons�le���facteur�sn�C�������(bien�d�����Geni�����a�isog���Genie�pr���Ges,���mais�pas�n���Gecessairemen�t�simple)�de��C�*��corresp�Gondan�t���au�{Scaract�����Gere���.���La�nitude�de��A�(�Q�(�����p���R�))���^�����,���qui�ne�d���Gep�Gend�que�de�la�classe�de�conjugaison���de�UU��,�est�8��Gequiv��q�alen���te�����a�la�nitude�de��C�������(�Q�).������;8���	������s���������La��`v��q�ari�����Get��e��`�C������	a}�est�une�v��q�ari����et��e��`ab��elienne��`quotien�t�de��J����1��|s�(�p���^��2���)�et�est�caract�����Geris��ee��`par�le���fait�UUque�la�s�����Gerie��L�(�C�������;���s�)�est�donn���Gee�par�la�form�ule���l�����L�(�C�������;���s�)��=��������Y������f������0��}W�;����0������L�(�f��������0���Ȯ;�������0���9�;�s�)�;��"��o�G����u���f�����^��0���b�et�����^��0���ӫparcouren���t�les�formes�primitiv�es�conjugu���Gees�����a��f�/)�et�les�caract���Geres�conjugu���Ges�����a������resp�Gectiv���emen�t.�:�Elle���est�isog�����Gene�����a�un�pro�duit�de�quotien���ts�simples�de��J����1��|s�(�p���^��2���)���corresp�ondan���t���(par���la�th�����Georie�de�Shim�ura)�aux�classes�de�conjugaison�de�formes�primitiv�es�de�niv�eau��p���^��2�����obten���ues��:en�tordan�t�par����les�conjugu���Gees�de��f���.�R�On�a��L�(�f��V;���;��1)��=��L�(�g�[�;����1),�
�o�G����u��:�g�T�est�la�forme���primitiv���e�UUtordue�de��f�h�par���.����On��[s'est�donc�ramen�����Ge�����a�l'���Genonc��e��[suiv��q�an�t�:���Soit��D�&x�la�v��q�ari���Get��e��[ab��elienne��[simple�sur��Q����asso�Gci�����Gee�UU����a��g��.�par�la�th���Georie�de�Shim�ura.�q�Le�group�Ge��D��(�Q�)�est�ni�lorsque��L�(�g�[�;����1)���6�=�0.����La��Lv��q�ari�����Get��e��Lab��elienne��L�D��i�p�Goss��ede��Ldes�m���ultiplications�par�un�ordre��O��i�d'un�corps�de���nom���bres�줮K���.�	7�Soit����un�id���Geal�maximal�de�l'anneau�de��O�G�.�	7�Notons��l��la�caract���Geristique���r�����Gesiduelle�Bcorresp�Gondan�te.�ɎP�our�rester�dans�un�cadre�aussi�pro�Gc�he�que�p�Gossible�de�celui���de���[23],��-nous�imp�Gosons�����a��l��.�d'���^��Getre�distinct�de��p��et�totalemen�t�d���Gecomp�Gos��e���dans��K�I�(cela�est���loisible�vsans�.�^��Getre�n����ecessaire).���On�a�donc��K������;�=����Q����l��ȫ.�Le�mo�Gdule�de�T��*�ate���-adique�T�������K�de��D����fournit�UUune�repr�����Gesen�tation�UU�l�2`�-adique��V��9�de�dimension�2�et�con���tin�ue�UU:��.���2������:��Gal��g(���qƍ������:��Q������=�Q�)����������!���GL����(T������w�
�8�Q����l��ȫ)��'���GL������2��\p�(�K������>:�)��'���GL������2��\p�(�Q����l��ȫ)��'���GL��(�V�8�)�:�����Cette��:repr�����Gesen�tation��l�2`�-adique�en�tre�dans�le�cadre�de�l'���Getude�de�[23],��ssection�1.��vP�our���prouv���er��Kla�nitude�de��D�G�(�Q�),���il�sut�de�prouv�er�la�nitude�du�group�Ge�de�Selmer�asso�ci�����Ge���(�lo��}'c.���cit�).��1P���our�jxcela�on�applique�le�formalisme�des�syst���Gemes�d'Euler�comme�dans��lo��}'c.���cit�,���sections�Q�2�et�3�(les�preuv���es�d���Getaill��ees�Q�guren�t�dans�les�r���Gef��erences�Q�indiqu��ees�Q�dans��lo��}'c.���cit.�).���P���our�g�appliquer�ce�formalisme�on�v���Gerie�que��V��}�est�bien�m�uni�d'un�syst���Geme�d'Euler,��*en���adaptan���t�la�section�5.2�de�[24]�au�cas�o�G����u��D�L�n'est�pas�n���Gecessairemen�t�une�courb�Ge�elliptique.���Plus���pr�����Gecis��emen�t,���on���utilise�que��J����1��|s�(�p���^��2���)���et�donc��D����est�un�quotien���t�de��J��9�(�p���^��2��|s�)���;���Or�dans��lo��}'c.���cit.�U`�est����Getabli�l'existence�d'un�syst����eme�d'Euler�relatif�au�mo�Gdule�de�T��*�ate��l�2`�-adique�de��J��9�(�p���^��2��|s�)���qui�T,par�pro��8jection�sur�la�v��q�ari�����Get��e�T,ab��elienne�T,�D��I�donne�lieu�����a�un�syst����eme�d'Euler�relatif�����a����V�8�.�6~La��=non�trivialit�����Ge�du�syst���Geme�d'Euler�de��V�%!�r���Gesulte�de�la�non�n�ullit���Ge�de��L�(�g�[�;����1)�(Nous���n'a���v�ons�D�pas�v�����Geri��e�D�ce�p�Goin���t�essen�tiel,�Hqui�est�d���Gemon�tr��e�D�dans��lo��}'c.��~cit.�l>�th���Geor��eme�D�5.2.7,�Hp�Gour���les�UUquotien���ts�elliptiques).����P���our�Z�appliquer�le�th���Geor��eme�Z�3.1�de�[23],�\et�conclure�����a�la�nitude�du�group�Ge�de�Selmer���il�Ufaut�encore�v�����Gerier�que�l'h�yp�Goth���Gese��Hyp���m(�Q����1��x�;���V�8�)�de��lo��}'c.�[rcit�,��section�3,�est�satisfaite.���C'est-����a-dire�el'existence�de�����2���1�Gal���3(���qƍ������:��Q������=�Q�)�agissan���t�trivialemen�t�sur�les�racines�de�l'unit���Ge���d'ordre��une�puissance�de��l��e�et�tel�que�l'endomorphisme���(��!ǫ)�soit�non-scalaire�et�p�Goss�����Gede�1���comme�UUv��q�aleur�propre.����Comme�!T�J����0��|s�(�p�)�(et�donc�aussi��B��q�)�a�r�����Geduction�puremen�t�m�ultiplicativ�e�en��p�,�TTil�existe��������0��	Oݱ2���j�Gal��sl(���qƍ������:��Q������=�Q�)���(plus�pr�����Gecis��emen�t���dans�un�group�Ge�de�d����ecomp�Gosition�en��p�)�agissan���t�de���fa���9con�Ưunip�Goten���te�et�non�triviale�sur�le�mo�dule�de�T��*�ate��l�2`�-adique�de��B��q�.���En�raison�des���accouplemen���ts��de�W��*�eil,�4zil�en�r���Gesulte�que������0���L�agit�trivialemen�t�sur�les�racines�d'ordre�une���puissance���de��l�2`�.�!~P���osons���J}�=�(�����1ɍ�!ǯp��1��xݍ0���&C�2���Gal��ȸ(���qƍ������:��Q������=�Q�).�Cet�H���Gel����emen�t���op��ere���de�fa���9con�unip�Goten�te�et���non�"triviale�sur�le�mo�Gdule�de�T��*�ate��l�2`�-adique�de��B����et�trivialemen���t�sur�les�racines�d'ordre������;9���
�,�����s��������une�T�puissance��l�2`�.�p8Puisque��D���est�obten���ue�par�restriction�des�scalaires�de��Q�(�����p���R�)�����a��Q�,���et���que�f����b�op�����Gere�trivialemen�t�sur��Q�(�����p���R�),�j��(��!ǫ)�est�unip�Goten�t�et�non�trivial.���Il�satisfait�donc�les���conditions�UUc���herc�h���Gees.�q�Cela�prouv�e�l'h�yp�Goth���Gese��Hyp����(�Q����1��x�;���V�8�).��(K���6.�pP��9oin�ts��Tquadratiques��p�-cuspidaux��b��La�O�question�des�p�Goin���ts�quadratiques�se�traite�gr^����ace�aux�m���Getho�Gdes�de�Kamienn�y�et���Mazur�9�[10].������x���h�A�noter�que�la�question�des�p�Goin���ts��Q�(����m�p���UW��m�fe������p����$u�)-rationnels�de��X����1��|s�(�p�)�a�����Get��e����etudi��ee���dans��[8]�et�[9].�Z�P���ar�un��p��}'oint�T�p�-cuspidal��Q�(�����p���R�)-rationnel�de��Y����0��|s�(�p�),��nous�en�tendons�un�p�Goin�t����Q�(�����p���R�)-rationnel�J�de��X����0��|s�(�p�)�distinct�d'une�p�Goin���te�et�d'in�v��q�arian�t�mo�Gdulaire�qui�est�de�v��q�aluation����p�-adique�V�<���0�(de�fa���9con����Gequiv��q�alen���te�c'est�un�p�Goin�t�don�t�l'extension�en�une��Sp�Gec���t�Z�[�����p���R�]-section���co�����qncide�UUa���v�ec�une�p�Goin�te�dans�la�bre�en��p��mais�pas�globalemen�t).��n���Pr��oposition���5.�	�|��L��}'a��(c�ourb�e�mo�dulair�e��Y����0��|s�(�p�)��ne�p�oss�����$�ede�p�as�de�p�oints�quadr�atiques����Q�(�����p���R�)�-r��}'ationnels���qui�sont��p�-cuspidaux�lorsque��p��>��19���et��p���6�=�37�.��z1�D�����$�emonstr��}'ation�.���|�
�Supp�Gosons�que�la�courb�e�mo�dulaire��X����0��|s�(�p�)�p�oss�����Gede�un�tel�p�oin���t�(qui���serait�x
bien�en���tendu��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)�ou��Q�(����m�p���UW��m�fe������p����$u�)�rationnel).���Il�en�r���Gesulterait�l'existence�d'un�p�Goin�t��
?���Q�-rationnel�~adu�carr�����Ge�sym���Getrique��X����0��|s�(�p�)���^��(2)��:֫de��X����0���(�p�).���Un�tel�p�Goin���t�s'���Getend�en�un�p�Goin�t�sur����Z��*�de��X����0��|s�(�p�)���^��(2)��
�u�.�"EComme�ce�p�Goin���t�est�d���Geduit�d'un�p�Goin�t�cuspidal��Q�(�����p���R�)-rationnel�et�de�son���conjugu�����Ge,���sa�|�r��eduction�|�mo�Gdulo��p��co�����qncide�a���v�ec�|�le�carr����e�sym����etrique�de�l'une�des�deux�p�Goin���tes���de�w�la�bre�en��p��de��X����0��|s�(�p�).��kQuitte�����a�appliquer�l'in���v�olution�w�W����p���R�,���on�p�Geut�supp�oser�que�cette���p�Goin���te�UUest��1�.��
ݾ��Consid�����Gerons�٣main�tenan�t�le�morphisme�����^��(2)����:�zb�X����0��|s�(�p�)����:��(2)��6��`������
������',!�NAJ����0���(�p�)�(v���oir�section�5).���Comp�Gosons-le�UUa���v�ec�le�morphisme�canonique�de�sc�h���Gemas�en�group�Ges�sur��Z��n����(�J����0��|s�(�p�)�����������!���x䍑Aƫ~�������J���g�;����o�G����u���x䍑�~�����UU�J���J��est�UUle�mo�d�����Gele�de�N���Geron�sur��Z��du�quotien�t�d'Eisenstein���x䍑��~������J���
,q�de��J����0��|s�(�p�)�(v�oir�[14]).��z1��Le�e�fait�que���x䍑�U~������J���MO�ne�p�Goss�����Gede�qu'un�nom�bre�ni�de�p�Goin�ts��Q�-rationnels�[14]�p�Germet�d'utiliser���le��Pcrit�����Gere�d'immersion�formelle�de�Kamienn�y�[6]�:�a�si�les�op���Gerateurs��T����1��	Iëet��T����2���son���t��F����p���R�-���lin�����Geairemen�t�P�ind��ep�Gendan�ts�P�dans��T�=�(�p�T��+��\���^���1��v��k�+B�=1�����I������^��k�����)�P�(o�����u��I�
ݫd�����Gesigne�l'id���Geal�d'Eisenstein�de����T�)���alors��P��n�co�����qncide�a���v�ec���la�p�Goin���te��1�.��fPrenons�note�que�Kamienn�y�n'a�utilis���Ge�son�crit���Gere���d'immersion���formelle�qu'en�caract�����Geristiques�distinctes�de�2�et��p����;�6=En�r���Gealit��e���l'argumen�t���fonctionne�i�de�fa���9con�iden���tique�en�caract���Geristique��p��si�on�tien�t�compte�du�fait�que��J����0��|s�(�p�)�ne���p�Goss�����Gede�UUpas�de�p�oin���t��Q�-rationnel�d'ordre��p�,�ce�qui�est�prouv���Ge�dans�[14].��z1��Supp�Gosons�Dque�les�op�����Gerateurs��T����1����et��T����2���soien���t�lin���Geairemen�t�d���Gep�Gendan�ts.�?DOn�a�alors����T����2��	W2�2�ڿ�p�T�
��+��Z�.�.�L'in�����Gegalit��e��Tde�Raman���ujan-P�etersson��Timp�Gose�qu'on�a��T����2��	W2�2�ڿ�Z����;�3�En�eet,���si� f��)�et������son���t�deux�v��q�aleurs�propres�distinctes�de��T����2��|s�,�S*le�nom�bre�(��ɺ���@����)�=p��est�un�en�tier���alg�����Gebrique���non�n�ul�don�t�toutes�les�v��q�aleurs�absolues�arc�him���Gediennes�son�t��<���4�����P�p���UW���P�fe�E���2����
UX�=p�,�ފquan�tit���Ge����<���1�UUlorsque��p����7.����Kamienn���y��![7],���a�d���Gemon�tr��e��!que��T����2��(��n'est�pas�un�scalaire�dans�le�quotien�t�d'Eisenstein���lorsque�M�p��>��61.�oUn�examen�des�tables�de�formes�mo�Gdulaires�mon���tre�que�cela�est�encore�le���cas�UUlorsque��p��>��19�UUet��p���6�=�37.�������10����a�����s��������R��}'emar�que�	�6�:�nSAu�ӛvu�de�la�section�7�suiv��q�an���te,�3,seuls�nous�in�t���Geressen�t�les�cas�o�G����u��p�D5���1���(�mo�Gd���4).�PY�I�a-t-il�Jdes�p�Goin���ts��p�-cuspidaux�et��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)-rationnels�de��Y����0��|s�(�p�)�p�our��p�_
�=�17�Jet����p���=�37���?��&L��7.�pPreuv��9e��Tdu�th�«��}Weor��eme��Tprincipal��c���P���ar�^ٺp��}'oint��-�p�-sup�ersingulier��Q�(�����p���R�)-rationnels�de��X����0��|s�(�p�)�on�en���tendra�un�p�Goin�t��Q�(�����p���R�)-���rationnel��don���t�l'extension�en�une��Sp�Gec����Z�[�����p���R�]-section�n'est�pas�sup�Gersinguli���Gere�dans�la�bre���en�UU�p�.����Pr��oposition�X��6.�
|�|��Soient�nG�P����1��	꺺et��P����2���deux�p��}'oints��Q�(�����p���R�)�-r�ationnel�de��X����0��|s�(�p�)��dont�les���extensions�-O�s����1��	�ºet��s����2������a��X����0��|s�(�p�)��c��}'o���P���@ncident�sans���^��$�etr�e�sup�ersinguli�����$�er�es�en�c�ar�act�����$�eristique��p�.���Supp��}'osons�'Oque�p�our�tout�c�ar�act�����$�er�e�de�Dirichlet����de���Gal���Q(�Q�(�����p���R�)�=�Q�)�,�L)il�existe��t������	Q=�2�� �T��tel���que���la�classe�du�diviseur��t�������((�P����1��|s�)�$���(�P����2���))����soit�d'or��}'dr�e���ni�dans�la�c��}'omp�osante�����-isotypique���de�Z,�J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�))��a�
��Z�[��]��et�tel�que�le�morphisme������t�������0�:�|��X����0��|s�(�p�)�����������!��J����0���(�p�)��soit�une�immersion���formel���le���en�c��}'ar�act�����$�eristique���p��au�p��}'oint��P����1���|s��:�=�F���p����ܫ=���P����2���|s��:�=�F���p����ĺ.���On�a�alors��P����1��C��=��P����2��|s�.��9z�D�����$�emonstr��}'ation�.�	��|�
C'est�une�application�facile�de�la�prop�Gosition�1�a���v�ec�
�X���=���X����0��|s�(�p�),����A�6�=��J����0��|s�(�p�),��l��������S�=������t������X�,��L��=��Q����p���R�(�����p���)���et��K��R�=�6�Q����p���R�.�	1L'h���yp�Goth���Gese��ή�)�est�@��evidemmen���t�satisfaite.���Consid�����Gerons���l'��el��emen�t��������P����:���@L�2��Gal��p(�Q�(����p��2Ԭ)�=�Q�)��N����(��[٫)���(�������(n���Q�s����1��%ı�����������s����2��|s�)���de��J����0���(�p�)(�Z�[�����p���R�])��Q�
��Z�[��].���Il��est�n���ul�dans�la�bre�en��p��et�d'ordre�ni�dans�la�bre�g���Gen��erique.��?Il��est�donc�n�ul�d'apr���Ges���le��]corollaire�de�la�prop�Gosition�2�et�par�platitude�de��Z�[��].��Cela�prouv���e�que���)�est�v���Geri��e���puisque��UUGal���W(�Q�(�����p���R�)�=�Q�)���'���Gal��g(�Q����p���(�����p���)�=�Q����p���).����Cor��ollaire�ǫ1.��|��Soit��y�K�]��un�sous-c��}'orps�de��Q�(�����p���R�)��d'anne�au�des�entiers��O����K�����.��LSoit��P����un��p��}'oint��K���-r�ationnel�de��Y����0��|s�(�p�)��non��p�-sup�ersingulier.��MSupp�osons�que�p�our�c�ar�act�����$�er�e�de�����Gal���(�Q�(�����p���R�)�=�Q�)�р�qui�est�non�trivial�sur���Gal��q�(�Q�(�����p���)�=K���)�,��bil�existe��t������F5�2���T��tel�que�la�c��}'omp�osante�����-isotypique��3de��t�������J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�))��soit�nie�et�que�le�morphisme������t�������7�:����X����0���(�p�)����`�������������t!��J����0���(�p�)��soit���une�ݣimmersion�formel���le�au�p��}'oint��P���:�=�F���p���R�(obtenu�en�r�estr�eignant����a�la�br�e�en��p��l'extension���en���une���Sp�Gec��0V�Z�[�����p���R�]�-se��}'ction�de��P�c��).���A���lors��P��v�est��K���-r�ationnel.��9z�D�����$�emonstr��}'ation�.��Z|�}1Il�sut�6��Gevidemmen���t�de�prouv�er�qu'on�a��P����1��	0��=��.�P����2�����p�Gour��P����1���=��.�P����et����P����2��C��=���P��c���^�����0���
l��,��o�G����u�߅�����0��[��engendre�le�group�e�cyclique��Gal���(�Q�(�����p���R�)�=K���).�J�Comme�l'extension��Q�(�����p���)�j�Q����est��totalemen���t�rami���Gee,�sles�extensions��s����1��n�et��s����2���de��P����1���et��P����2�������a��X����0��|s�(�p�)�co�����qnciden���t�dans�la�bre���en��Үp�.�o=Si����est�non�trivial�sur��Gal��I�(�Q�(�����p���R�)�=K���),���la�classe�de��t�������((�P����1��|s�)�q3���(�P����2���))���est�d'ordre�ni���dans�UUla�comp�Gosan���te���-isot�ypique�de��J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�)).�q�Sinon,�on�a,�puisque��P����2��C��=���P����:��c�����0���l��1���
l��,��⍍�����5����X���j���w�_��@L�2��Gal��p(�Q�(����p��2Ԭ)�=K�}��)�����|��(��[٫)(�P�������c�����፬1������8�P�������c�����፬2����%�)��=�0�:��$ƍ�On�UUp�Geut�donc�appliquer�la�prop�osition�6�����a��P����1���ȫet��P����2��|s�,�d'o�����u��P����1��C��=���P����2��|s�.����Cor��ollaire����2.���|��Soit��T�P�U�un�p��}'oint��p�-cuspidal��Q�(�����p���R�)�-r�ationnel�de��Y����0��|s�(�p�)�.���Si�on�a��H����p���R�(��)����p��}'our�n)tout�c�ar�act�����$�er�e�de�Dirichlet�de��(�Z�=p�Z�)���^����	
�non�quadr�atique�p�air,���alors��P�Ѹ�est�un�p�oint���quadr��}'atique���r�����$�eel.��������11���������s��������D�����$�emonstr��}'ation�.��|�xjNotons��K�/��le�plus�grand�sous-corps�totalemen���t�r���Geel�de��Q�(�����p���R�)�de�degr���Ge���1�Gou�2.�^�Appliquons�le�corollaire�1�de�la�prop�Gosition�6�p�our�prouv���er�que��P�֫est��K���-rationnel.���Observ���ons��d'ab�Gord�qu'il�sut�de�prouv�er�que�p�Gour�tout�caract���Gere�����6�=�1��de��Gal���(�Q�(�����p���R�)�=K���)���il��~existe��t������	α2����T�,��H�t�������6�=�0,��Htel��~que�la�comp�Gosan���te���-isot�ypique�de��t�������J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�))�soit�nie���(Cette���derni�����Gere�propri���Get��e���est�inc�hang���Gee�si�on�remplace��t������>��par�un�de�ses�m�ultiples�rationnels���dans�QݵT�).�p�En�eet�quitte�����a�diviser��t���������par�une�puissance�de��p�,�R�on�a��t����������	b��=�����F5�2��������p�T�,�puisque��t���������est���non�r
n���ul.���D'apr���Ges�la�prop�Gosition�3,�y7�����t��������est�une�immersion�formelle�en�caract���Geristique��p��au���p�Goin���t�UU�1���:�=�F���p���<i�=���P���:�=�F���p���uQ�.��
6��Il�g�reste�����a�v�����Gerier�que�l'h�yp�Goth���Gese��H����p���R�(��)�garan�tit�l'existence�de��t�������.���Il�existe�donc�une���forme�a6primitiv���e��f�tūde�p�Goids�2�p�our�����0��|s�(�p�)�telle�que��L�(�f��V;���;��1)����6�=�0.��kSoit�a6�t������
��2��T��tel�que����t�������g�"�6�=��0�Ʀ(resp.�B8�t�������g��=��0),��/lorsque�Ʀ�g�"�est�une�forme�primitiv���e�conjugu���Gee�(resp.�B8non�conjugu���Gee)���de��Ȯf���.�EIl�en�existe�puisque�les�formes�parab�Goliques�����a�co�ecien���ts�rationnels�constituen�t�un����T�J��
��Q�-mo�Gdule��%libre�de�rang�1.�J
La�v��q�ari�����Get��e��%ab��elienne��%�t�������J����0��|s�(�p�)�est�donc��Q�-isog����ene�����a�la�v��q�ari����et��e���ab�����Gelienne���asso�Gci��ee�������a��f����par�la�th����eorie�de�Shim���ura.�0�Les�propri���Get��es���de�nitude�de�comp�Gosan�tes�����-isot���ypiques�ӫson�t�in�v��q�arian�tes�par�isog���Genies.�F�Il�sut�donc�d'appliquer�les�r���Gesultats�de�Kato���(v���oir�UUsection�5)�p�Gour�conclure.��=��R��}'emar�que����:�pBNous�RJn'a���v�ons�pas�d���Gemon�tr��e�RJque��L�(�f��V;���;��1)���6�=�0�RJen���tra���^��qne��L�(�g�[�;���;��1)���6�=�0�RJlorsque����f�L�et�8��g��d�son���t�des�formes�primitiv�es�conjugu���Gees.�h/Mais�comme�on�le�v�erra�dans�la�prop�Gosition���7,�UUl'h���yp�Goth���Gese��H����p���R�(��)�ne�d���Gep�Gend�que�de�la�classe�de�conjugaison�de���.����Cor��ollaire�[��3.���|��Si��8�p��est�c��}'ongru����a��1��mo�dulo��4�,����p�|@>��17��8�et��p�|@�6�=�37�,�supp��}'osons��8qu'on���ait�c��H����p���R�(��)��p��}'our�tout�c�ar�act�����$�er�e����non�quadr�atique.��A���lors��Y����0��|s�(�p�)��ne�p�oss�����$�ede�p�as�de�p�oints����Q�(�����p���R�)�-r��}'ationnels���p�-cuspidaux.��
6��Si�/�p��est�c��}'ongru����a���1��mo�dulo��4�,�V�et��p������)=�����ᷱ2�����nf�3�;����7�g�,�supp��}'osons�qu'on�ait��H����p���R�(��)��p�our�tout���c��}'ar�act�����$�er�e����.���A�lors��Y����0��|s�(�p�)��ne�p��}'oss���$�ede�p��}'as�de�p�oints��Q�(�����p���R�)�-r�ationnels��p�-cuspidaux.���D�����$�emonstr��}'ation�.�\�|��Soit��P�zG�un�p�Goin���t��p�-cuspidal�de��Y����0��|s�(�p�).�Si��p��est�congru�����a���1�mo�Gdulo�4,�#>le���corollaire���3�en���tra���^��qne�que��P��G�est��Q�-rationnel.��D'apr���Ges�[14]�corollaire�4.4�,��ѮY����0��|s�(�p�)�ne�p�Goss���Gede���pas�UUde�p�Goin���t��Q�-rationnel��p�-cuspidal�lorsque��p������=�������2�����8�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g�.����Si�B��p��est�congru�����a�1�mo�Gdulo�4,�FKle�p�oin���t��P���est�quadratique�d'apr���Ges�le�corollaire�2.�k�Mais���cela�UUest�exclu�d'apr�����Ges�la�prop�Gosition�5.��=��R��}'emar�ques���:�
��William�Stein�a�v�����Geri��e���l'h�yp�Goth��ese���H����p���R�(��)�lorsque����n'est�pas�quadratique���pair���et��p������K=�����xٱ2�����
�^f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g����et��p�xٱ��233.���Cela���prouv���e�que�l'ensem�ble��S����0�;c��/Q�ne�con�tien�t�aucun��������Gel��emen�t�UU�p�����233�en�dehors�de�l'ensem���ble��f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�;��17�;��37�g�.����Lorsque���K�H�est�un�sous-corps�de��Q�(�����p���R�),���on�p�Geut�d�����Gemon�trer��l'inexistence�de�p�oin���ts����K���-rationnels�lڮp�-cuspidaux�comme�ci-dessus�en�se�con���ten�tan�t�l�de�l'h���yp�Goth���Gese�lڮH����p���R�(��)�p�our���les��caract�����Geres����qui�se�factorisen�t�par�le�group�Ge�quotien�t�de�(�Z�=p�Z�)���^����	`�corresp�Gondan�t�����a����Gal���(�K�(�=�Q�).����Une�Cbd�����Gemonstration�analogue�����a�celle�que�nous�v�enons�d'exp�Goser,�~�et�ses�applications���aux�ATp�Goin���ts�rationnels�de��X����0��|s�(�p�)�comme�ci-dessus,�|Smais�sous�l'h�yp�Goth���Gese�plus�forte�o�G����u�le���morphisme�
��������'�p�Geut���^��Getre�c���hoisi�ind���Gep�Gendammen�t�de���,�"�gure�implicitemen�t�dans�[15]�(v�oir���la�UUformalisation�guran���t�dans�le�corollaire�4.3).�������12���
�y�����s����������<|Y�x��@�"�2.�qǼM��g��*��ethodes��non-anal��UTytiques�et�s��g��*��eries�de�Dirichlet���j�1.�pRapp�Q�els��Tsur�les�sym��9b�oles�mo�dulaires���x���Dans��Qcette�deuxi�����Geme�partie�la�courb�Ge�mo�dulaire��X����0��|s�(�p�)�sera�exclusiv���emen�t��Qvue�comme���la��;surface�de�Riemann�compacte�et�connexe��X����0��|s�(�p�)(�C�)�֗=�����0���(�p�)�nH��/[��y�P���^��1���(�Q�),� �o�G����u��;�H��est�le���demi-plan�UUde�P���oincar���Ge.�q�On�UUnotera��ptes��l'ensem���ble�����0��|s�(�p�)�n�P���^��1���(�Q�)�UUde�ses�p�Goin�tes.����Soit��
(�a;���b�)�'E�2��P���^��1��|s�(�Q�).��Notons��f��	z;������g��la�classe�d'homologie�dans�H����1���(�X����0���(�p�)(�C�)�;���ptes�;��Z�)���d�����Genie�_�par�la�classe�de�l'image�dans��X����0��|s�(�p�)�d'un�c�hemin�con�tin�u�relian�t���iw�����a�����dans��H���.���Observ���ons��9que,� �lorsque�����et���U�on�t�des�d���Genominateurs�premiers�����a��p��(resp.�Zrdivisibles�par����p�),��Uils�Јson���t�conjugu���Ges�par�����0��|s�(�p�)�et��f��	z;������g��appartien�t�au�sous-group�Ge�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)�Јde���H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;���ptes�;��Z�).����Lorsque�Įg�T��=����П��^����������a����b������
z�c���Id������#(7���^����.}{�2���ЫSL�������2��C~�(�Z�),�:�le�sym���b�Gole�mo�dulaire��f�g�[٫0�;���g��1g�īne�d�����Gep�end�que�de��������0��|s�(�p�)�g�[٫,��b�i.e.��*�que�t�de�la�classe�de�(�c;���d�)�dans��P���^��1���(�Z�=p�Z�).�πNotons�le���uǫ(�c;���d�),��bou�encore,�en���notation��inhomog�����Gene,�����uǫ(�c=d�).�H`Lorsque��c��et��d��parcouren�t�les�en�tiers�premiers�����a��p�,���les�classes�����uǫ(�c=d�)���engendren���t�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�).�6�Lorsque����a���2��Z�,��=on�a���uǫ(�a�)�=��f�0�;�����1�=a�g�.�6�On�a���uǫ(1)�=�0.���L'in���v�olution�UU�W����p���de��X����0��|s�(�p�)�est�d�����Geduite�de��z�7��7!���1�=z���sur��H���.�q�On�a�donc�la�form�ule���N����C�W����p���R�(��uǫ(�a�))��=��f1�;���a=p�g�:�����L'espace���H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;���ptes�;��Z�)�est�m���uni�de�l'in�v�olution�donn���Gee�par�la�conjugaison���complexe.��*Cette��vin���v�olution�est�d���Geduite�de�l'in�v�olution��z���7!�vN����ɫ���z���Ք�de��H���.��*Elle�agit�donc�par�����uǫ(�u�)��e�7!����(1�=u�)�=����(��u�)��sur�les�sym���b�Goles�mo�dulaires.�
"Elle�induit�une�in���v�olution��sur���H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�).���On�knotera�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);��Z�)����+����et�kH����1���(�X����0���(�p�)(�C�);��Z�)������+�les�kparties�in���v��q�ari-���an���tes���et�an�tiin�v��q�arian�tes�de�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�)���par�la�conjugaison�complexe.��Rapp�Gelons�que���H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�)��est�un�mo�Gdule�acyclique�sous�l'action�de�la�conjugaison�complexe�[19],���section�UU1.3.��j�2.�pReform��9ulation��Ttop�Q�ologique���x���Dans��le�reste�de�cette�seconde�partie,�5par��c��}'ar�act�����$�er�e���on�en���tendra�caract���Gere�de�Diric�hlet���(�Z�=p�Z�)���^�������_������
|r!���C���^������.����Pr��oposition��n�7.�_|��Soit�ܬ���un�c��}'ar�act�����$�er�e�ܬdi���$�er�ent�ܬde��1�.�s�On�a��H����p���R�(��)��si�et�seulement�si�le���symb��}'ole���mo�dulair�e��m���e�2�������F5�=������o�p��1���獍��m����X���������a�=1����3��(�a�)�f�����<$��33�a��33�w�feI0�	(֍� �p�������;����1g��2��H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;��Z�[��])��Tō�est���non�nul.���D�����$�emonstr��}'ation�.�V�|���Notons���!ǫ(��)�la�somme�de�Gauss������P�����ލ�/߯p��1��%��/߯a�=0�������(�a�)�e���^��2�i�@La=p���ԫ.�On�a��H����p���R�(��)�si�et���seulemen���t�UUsi�l'expression��Eԍ�lԤ�L�(�f��V;���;��1)��=�2��[��!ǫ(��)��������p��1���獍�������X����������a�=1����î�(�a�)������c��Z�����i�����1��@����P��l�a��l�#&�fe�E�����9p������6�f���(�z�p��)����dz��������13���������s��������est�Upnon�n���ulle�p�Gour�une�forme�mo�dulaire��f�h��de�p�oids�2�p�our�����0��|s�(�p�).�rNotons��!����f��	���la�forme���di�����Geren�tielle�UUsur��X����0��|s�(�p�)�d����eduite�de��f���(�z�p��)����dz���par�passage�au�quotien���t.��΍�On�UUa�alors��䍒�a�L�(�f��V;���;��1)��=���!ǫ(��)������c��Z���8�	y�������S�!����f��/ �:�������Observ���ons���que��������
V�est�in�v��q�arian�t�(resp.���an�tiin�v��q�arian�t)�par�la�conjugaison�complexe���lorsque��.���est�pair�(resp.�9Simpair).�En��.eet,�$cette�conjugaison�est�d�����Geduite�de�l'in�v�olution����z�7��7!������ɫ���z���	�sur���H���;�Elle�transforme�donc�le�sym���b�Gole�mo�dulaire��f��	z;������g��en��f��;��������g��et�donc�����������en�UU��(��1)��������.��΍�Comme���a=p��(p�Gour��a��en���tier�premier�����a��p�)�et��1��son�t�conjugu���Ges�par�����0��|s�(�p�),��le�sym�b�Gole���mo�Gdulaire�UU�f1�;��������ۯa���۟�&�feVp������p�����g~�g�,�et�donc���������,�son���t�8��Gel��emen�ts�UUde�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�[��]).����L'in���t���Gegration���des�formes�di����eren�tielles���holomorphes�fournit�un�accouplemen���t�parfait���en���tre�B5H���^��0��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����
���^��1���)�et�la�partie�in���v��q�arian�te�(resp.�8fan�tiin�v��q�arian�te)�par�la�conjugaison���complexe�UUde�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����C�).����Comme���toute�forme�di�����Geren�tielle���holomorphe�sur��X����0��|s�(�p�)�s'obtien���t�de�fa���9con�unique���comme�C�image�d'une�forme�mo�Gdulaire�par��f�ڧ�7!���!����f��/ �,�GXl'h���yp�oth���Gese�CٮH����p���R�(��)����equiv��q�aut�����a�la�n���ullit���Ge���de�UU��������.��([email protected]��3.�pReform��9ulation�����}Wel�«�emen�taire�����Commen���9cons���par�traiter�le�cas�du�caract�����Gere�trivial.�PLa�prop�Gosition�suiv��q�an�te�est�bien���conn���ue�ēau�moins�depuis�les�tra�v��q�aux�de�Mazur�[14]�(�i.e.��?�le�quotien�t�d'Eisenstein�de��J����0��|s�(�p�)���est��{non�trivial�si�et�seulemen���t�si�le�n�um���Gerateur�de�(�p�f����1)�=�12��{est��>�:W�1).�A:Nous�en�donnons���une�UUpreuv���e�facile.��k��Pr��oposition�UU�8.�q�|��On���a��H����p���R�(1)��p��}'our�tout�nombr�e�pr�emier��p������=�������2�����8�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g�.���D�����$�emonstr��}'ation�.�	5�|��D'apr�����Ges�[18],�Q�il�sut�de�prouv�er�que�l'���Gel��emen�t��d'enroulemen�t��e�l��2����H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Q�)��est�non�n���ul.�(�Rapp�Gelons�que�cet�����Gel��emen�t��d'enroulemen�t�est�d���Geni�de�la���fa���9con��suiv��q�an���te.�U�P�osons��V����=���Hom����q���C���k�(H���^��0��|s�(�X����0���(�p�)�;����
���^��1���)�;��C�).�U�Notons�ٮL��le�plongemen���t�dans��V�9��de���H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)�a�par�l'application�qui�����a��c��asso�Gcie��!�7�7!��ۦ���ĴR�������<�c��
R�!�[٫.���Cette�image�est�un�r�����Geseau�de����V��6�et��R�J����0��|s�(�p�)(�C�)�s'iden���tie�canoniquemen�t�����a��V�q=L��par�la�th���Georie�d'Ab�Gel.���Soit��c����e����un�1-cycle���donn�����Ge��Spar�l'image�dans��X����0��|s�(�p�)(�C�)�d'un�c�hemin�relian�t�0�����a��i�1��dans��H���.���Il�a�p�Gour�b�ord�le���diviseur�r(�1�)��H���(0)�de��X����0��|s�(�p�).�yL'�����Gel��emen�t�rd'enroulemen�t��e��est,�-�par�d���Genition,�-�l'image�par���l'isomorphisme���d'espaces�v���ectoriels�r���Geels��V�`�'�'.�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����R�)���de��!���7!�����ĴR������<�c���e����0�!�[٫.��Il�est�donc��
�x�n���ul�UUsi�et�seulemen�t�si��!�"�7!������ĴR������<�c���e��� �!��.�est�non�n�ul.��F��L'application����!���7!��C���ĴR�������<�c���e�����!����est�un�X���Gel����emen�t���de��V�ء�don�t�l'image�dans��V�q=L�C�'��J����0��|s�(�p�)(�C�)���est��
<�la��classe�du�diviseur�(�1�)�����(0).�wrLa��classe�d'un�diviseur�form�����Ge�par�la�di���Gerence�de�deux���p�Goin���ts�5�distincts�est�non�n�ulle�dans�la�jacobienne�d'une�courb�Ge�de�genre��>���0.�gSL'application����!�xD�7!��k���ĴR����O��<�c���e���um�!��`�et���donc��a��fortiori��e��son���t�non�n�uls�lorsque�le�genre�de��X����0��|s�(�p�)�est�non�n�ul.�]Or�le���genre�UUde��X����0��|s�(�p�)�est�n���ul�si�et�seulemen�t�si�on�a��p���2�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g�.����P���our�B1�k���2��f�1�;����2�;�:::;�p�����1�g�,�y9notons��k��������l'unique����Gel����emen�t�B1de��f�1�;����2�;�:::;�p�����1�g�,�y9tel�B1que��k�P�k������_�����1�������14���e�����s��������(�mo�Gd����p�).�q�P���our�UU�u���2��(�Z�=p�Z�)���^�����9�et�p�Gour����caract�����Gere�di���Geren�t�de�1,�p�Gosons��!\d��~�2�F�c��(�;���u�)��=��򣊍���1�=u��
\v�������X���������x�=�u�����z�����0��O���(�x�)�8����(��1�=x�)��D��o�G����u��le�sym���b�ole����^��0���ësignie�que�la�somme�ne�tien���t�pas�compte�des�termes�p�our�lesquels��x���2��p�Z����et�z�par�abus�de�notation�les�b�Gornes�son���t�des�repr���Gesen�tan�ts�quelconques�de��u��et���1�=u��dans����Z�.��8܍�Pr��oposition��V�9.���|��Soit������un�c��}'ar�act�����$�er�e���di���$�er�ent���de��1�.���On�a��H����p���R�(��)��si�et�seulement�si�il���existe���u���2��(�Z�=p�Z�)���^����,˺tel�que��F�c��(�;���u�)��6�=�0�.���D�����$�emonstr��}'ation�.�A�|���D'apr�����Ges�la�prop�Gosition�7,���il�sut�d'���Getudier�la�n�ullit���Ge�de���������,���ou,�ce���qui���en�UUrevien���t�au�m�^��Geme�puisque��W����p���est�une�in�v�olution,�de��W����p���R��������.�q�Or,�on�a�� ����Ե�W����p���R�������F5�=��������p��1���獍�������X�������k�+B�=1����S��(�a�)��uǫ(�a�)�:���
��Utilisons��les�pro�Gduits�d'in���tersection�sur�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�).�W�Ils��constituen�t�un�accouplemen�t���bilin�����Geaire�UUnon�d���Geg��en��er��e�UU����a�v��q�aleurs�dans��Z��not���Ge���.����Comme���on�l'a�rapp�Gel�����Ge�dans�la�section�1,��~les�V��el����emen�ts��Ȯ�uǫ(�k�P��)�engendren���t�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)���lorsque�W�k����parcourt�l'ensem���ble��f�1�;����2�;�:::;�p�䬱��1�g�.�v�On�Wa�donc��W����p���R�������	�=�t�0�si�et�seulemen�t�si����W����p���R�����������8��uǫ(�k�P��)��=�0�UUp�Gour�tout��k���2��f�1�;����2�;�:::;�p����1�g�.����Rapp�Gelons���le�lemme�4�de�[18]�(lemme�des�cordes).�<�On�d�����Gesigne�par�corde��C����k���9�le�segmen�t�����de�Q�droite�orien���t���Ge�Q�de��C��relian���t��e����1#��33�2��-�ik��������33��ɉfe`�����Vְp�����������a��e�����ƍ�33�2��-�ik��33�#&�feG�����Jp����-g�.�5Soien�t��k��5�et��k��P���^��0��pn�deux�
���Gel��emen�ts�Q�de��f�1�;���:::;�p�1v���1�g�Q��tels���que�6�k���6�=���k��P���^��0��Ы,�<�k��6�=��k���^���P��0��������.�UgLe�6pro�Gduit�d'in���tersection���uǫ(�k�P��)��������(�k��P���^��0��Ы)�6est����Gegal�au�nom���bre�d'in�tersection���(�����Gegal�UU����a���1,�0�ou�1)�des�cordes��C����k��+B���0���
�X�et��C����k��됫.����On�UUen�d�����Geduit�imm���Gediatemen�t�la�form�ule���d��\���W����p���R�����������8��uǫ(�k�P��)��=��򣊍���1�=u��
\v�������X���������x�=�u�����z�����0��O���(�x�)�����(��1�=x�)�=��F�c��(�;���u�)�:��*x΍�R��}'emar�que����:�4�Au���vu�de�la�prop�Gosition�9,��Xla�condition��H����p���R�(��)�n'est�jamais�satisfaite�lorsque������est��Hun�caract�����Gere�quadratique�pair.�M�Si�on�admet�la�conjecture�de�Birc�h�et�Swinnerton-Dy�er,���cela�U�en���traine�que��J����0��|s�(�p�)(�Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�))�con�tien�t�un��T�-mo�Gdule�libre�de�rang�1.�s�P�eut-on�en�mettre���en�8��Gevidence�UUun�g����en��erateur���?��"q���4.�pCongruences�����}Wel�«�emen��9taires��8܍�Pr��oposition�{��10.���|��Supp��}'osons��7que��p��soit�un�nombr�e�pr�emier�c�ongru����a��11��ou��19��mo�dulo����20���et�que����soit�un�c��}'ar�act�����$�er�e���imp�air.���A�lors���on�a��H����p���R�(��)�.���D�����$�emonstr��}'ation�.�Q|��NPuisque��p��est�congru�����a�1�ou���1�mo�Gdulo�5,��5�est�un�carr�����Ge�mo�dulo��p�,��par���la�h�loi�de�r�����Gecipro�Gcit��e�h�quadratique.�"�L'��equation�h��x���^��2���ѫ+�_^3�x��+�1��=�0�p�Goss�����Gede�donc�des�solutions�dans�������15��������s��������Z�=p�Z�.���Notons�_��u����1���.�et��u����2���ces�solutions.���On�a�alors���1�=u����1��T߫=��l�u����1���A�+�?�3�et�(�u����1���+�?�1)(�u����1���+�2)��l=�1.���Appliquons�UUle�crit�����Gere�8�el��emen�taire�UUde�la�prop�Gosition�9�����a��u���=��u����1��|s�.�q�Cela�UUdonne��#����򣊍�b��1�=u���1���
\v���������X������6��x�=�u���1�����%������0��'�Ԯ�(�x�)�8����(��1�=x�)��=���(�u����1���S�+�8�1)�����(��1�=�(�u����1���+�1))�+���(�u����1���+�2)�+���(��1�=�(�u����1���+�2))�:��"�W��En��)utilisan���t�les�relations���1�=u����1��[email protected]�=��ͮu����1��5�+���3�et�(�u����1���+���1)(�u����1���+�2)���=�1��)et�l'imparit�����Ge�de���,�^on���obtien���t��!ɍ��򣊍�@U��1�=u���1���
\v����ޟ���X������ǯx�=�u���1�����-�ן����0��0���(�x�)�8����(��1�=x�)��=�2��(�u����1���S�+�8�1)�+�2���/������Aū(�u����1���+�1)��=�2���/������Aū(�u����1���+�8�1)(1�+���(�u����1���+�1)������2��|s�)�:��!���Comme�c"�p��est�congru�����a���1�mo�Gdulo�4,�f�il�n'y�a�pas�de�racine�primitiv���e�quatri���Geme�de�l'unit���Ge��
8�dans��ŵZ�=p�Z��et�donc���(�u����1����+�`�1)���^��2�����6�=�*'��1.�$La�somme������P�����ލ���1�=u���1���%���x�=�u���1�����'@���^��0��*���(�x�)�����(��1�=x�)�n'est�donc�pas���n���ulle�UUet�on�a��H����p���R�(��).��׊��Pr��oposition�I��11.�Nv|��Supp��}'osons�t�que����soit�un�c�ar�act�����$�er�e�quadr�atique�imp�air�et�que��p�����z�=�����^"�2�������f�3�;����7�g�.���A���lors���on�a��H����p���R�(��)�.��+�D�����$�emonstr��}'ation�.�ՙ|�v�On�a�alors��p������1�	��(�mo�Gd���4).�Comme�v����est�quadratique�et�impair�on���a��ɍ���M�F�c��(�;���u�)��=�2��򣊍���1�=u��
\v���������X�������x�=�u����e
�����0��3C��(�x�)�:���W��Le���caract�����Gere����est�����a�v��q�aleurs�dans��f�1�;����+1�g�.�)hIl�sut�donc�d'���Getablir�l'existence�de��a��ı2���f�1�;����2�;�:::;�p�+2���1�g�N~�a���v�ec��a��et��a�������b�de�m�^��Geme�parit���Ge�p�Gour�conclure.�oEn�eet�dans�ce�cas�la�somme���qui�kd�����Genit��F�c��(�;���u�)�p�Goss���Gede�un�nom�bre�impair�de�termes�#���Gegaux�����a�1�ou���1,�p�ce�qui�en�tra���^��qne���la�UUnon�n���ullit���Ge�UUde��F�c��(�;���a�8�+��p�Z�).��+��Supp�Gosons�wnque�p�our�tout��a����2�f�1�;����2�;�:::;�p��E���1�g�,���les�wnen���tiers��a��et��a������	R�soien�t�de�parit���Ges���opp�Gos�����Gees.�2fComme����p��est�congru�����a���1�mo�dulo�4,���on�a�4���������=�2(3�p�c����1)�=�4.�2fSoien���t����i��et��j�(�deux���en���tiers�ˈ�>���0�tels�que�(3�p������1)�=�4�=��ij����.��_On�ˈa�(2�i�)������$��=�2�j�^�sauf�si��i��ou��j��est��k��Gegal�����a�1.��_On�en���conclut�UUque�(3�p�8���1)�=�4�UUest�premier�et�donc�impair�sauf�si��p���=�3,�UUcas�d�����Gesormais�exclu.����P���ar��cons���Gequen�t�(7�p��7���1)�=�8�est�en���tier.�-�P�ar�un�raisonnemen�t�analogue�����a�celui�qui�pr���Gec��ede���on���obtien���t�que�(7�p�o���1)�=�8���est�un�nom�bre�premier�sauf�si��p��<��8,��cas���que�l'on�p�Geut�d���Gesormais��������Gecarter.�q�Cela�UUnous�donne�que�(7�p�8���1)�=�8�UUest�premier�����a�3.����C'est�ݭp�Gourquoi�on�a�3�j�(2�p�I����1)�ݭet�donc�3������_��=��(2�p�I����1)�=�3�ݭqui�est�un�nom���bre�impair.�I�Cela���est�UUabsurde.��׊��Pr��oposition��/�12.��T|��Supp��}'osons���que����soit�un�c�ar�act�����$�er�e�inje�ctif.��A���lors�on�a��H����p���R�(��)��p�our���tout���p������=�������2�����8�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�;��1487�g�.���D�����$�emonstr��}'ation�.�=J|��+Le�nom���bre�premier��p��est�totalemen�t�d���Gecomp�Gos��e��+dans�le�corps��Q�[��]�8'=����Q�(�����p��1���ƫ).�d*Soit�,~�P����un�id�����Geal�de��Q�[��]�au-dessus�de��p�.�Le�caract�����Gere���[�~�������	nC�,�4�obten�u�en�comp�Gosan�t������a���v�ec�Zla�r�����Geduction�mo�Gdulo��P��׫co�����qncide�donc�a�v�ec�l'���Gel��ev��q�ation�Z����a�une�certaine�puissance��k�k�dans���(�Z�=p�Z�)���^������.�;�Comme������est�injectif,��|l'en���tier��k��>�est�premier�����a��p�e����1.�Quitte�������a�remplacer��P�k$�par�������16���#V�����s��������un��id�����Geal�conjugu���Ge,���on�p�Geut�supp�oser�qu'on�a��k��ի=�1>1.�0�Notons���x䍑�A������F����ԫla�r�����Geduction�mo�dulo��P�g��de����F�c��.��,y��On�UUa�donc�dans��Z�=p�Z���ፍ��x䍒�PP��������F�����ݫ(�;���u�)��=��򣊍���1�=u��
\v�������X���������x�=�u�����z�����0��O��x�8�+�1�=x:���6��L'un���des�trois�nom���bres�3,�'�5�et�15�est�un�carr���Ge�mo�Gdulo��p�.�j�En�d'autres�termes,�'�l'une�des���trois�R���Gequations��Ʈx���^��2����+�f�4�x��+�1�9)=�0,���x���^��2���+�f�3�x��+�1�9)=�0���et��x���^��2���+�f�8�x��+�1�9)=�0���admet�des�solutions���dans�UU�Z�=p�Z�.�q�Il�existe�donc��u���2��(�Z�=p�Z�)���^�����9�tel�UUque���1�=u��soit�8��Gegal�����a��u�8�+�4,�UU�u��+�3�ou��u��+�8.��,y��Calculons���x䍑9<�������F���
�ɫ(�;���u�)��lorsqu'on�a��P����d�����(�u�)��=��u���^��2����+��:�du��+�1�����0�	��(�mo�Gd����p�).�S�Soit���i��un�en���tier��>���0���et�UU�<��d�.�q�On�a,�en�utilisan���t�la�relation�(�u�8�+��i�)(�u��+��d����i�)����i�(�d����i�)����1�	��(�mo�Gd����p�),��IG��u��'�+��i��+�����<$��]�1��+Z�w�fedP�	(֍�u�8�+��i�������+��u��+��d����i��+�����<$��*1��+Z�w�fe&Ѡ�	(֍�u�8�+��d����i�����-�E������<$��V�i�(�d�8���i�)���K�w�fe&Ѡ�	(֍�u�8�+��d����i������+�����<$��+Z�i�(�d�8���i�)��+Z�w�fe V�	(֍�Z�u�8�+��i�����'=�������<$���K�i�(�d�8���i�)(2�u��+��d�)���K�w�feDC�	(֍�	Z��i�(�d�8���i�)����1�����S3�(�mo�Gd����p�)�:���}���Notons��qu'on�a��P���^���c��0��v��d������(�u�)��=�2�u��"�+��d���et�que�le�p�Golyn^����ome��P����d�����n'a�pas�de�racine�m���ultiple�p�our����p�ܰ�6�j�d���^��2������A��4.���Plus�bJpr�����Gecis��emen�t�bJles�p�Golyn^����omes��P����3��|s�,�e��P����5��޽�et��P����15���0�son���t�sans�racine�m�ultiple�p�Gour��p����distinct�^de�2,�`13�et�5.���On�a�alors��P���^���c��0��v��d������(�u�)�Ւ�6�=�0.�Lorsque�^�u�>��+��i�Ւ�6�=�0,�`1p�Gour�0��<�i�<�d�,�`1on�obtien���t���la�UUrelation���G����x䍑u?=�����s�F���z�ʫ(�;���u�)��=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍2�����
-�P�������c��0���፯d������(�u�)����.�����X������0�<i<d�����ß����0������<$��'m��i�(�d�8���i�)���/�w�fe1Q5�	(֍�i�(�d�8���i�)����1�����QU��;������o�G����u�9�le�signe����^��0��Am�signie�que�l'on�a�oubli�����Ge�les�p^����oles�dans�la�somme.�4Lorsqu'il�existe��i���2�f�1�;����2�;�:::;�d�g��
����tel�
Uque��u�\4�+��i��i�=�0,�w�la�
Uquan���tit���Ge������P�������0�<i<d������&h��/�i�(�d��i�)��*pޟ�ʉfe �������i�(�d��i�)��1�����Q='�admet�un�p^����ole�en��d��i�=��p�.�	��Elle�v��q�aut��
�ˍresp�Gectiv���emen�t���2,���13�=�3�et�2�:�1487�=�5�:�7�:�11�lorsque��d��v��q�aut�3,�4�et�8�resp�Gectiv���emen�t.�0Lorsque����p�o�est�un�nom���bre�premier�qui�n'appara���^��qt�pas�dans�ces�fractions,�u�on�a��H����p���R�(��).��On�a��H����11��x�(��)���d'apr�����Ges�UUla�prop�Gosition�10.���]��R��}'emar�que��T�:�B2Ces��*m�����Getho�Gdes�p�ermetten���t-elles�de�d���Gemon�trer�que��H����p���R�(��)�est�v���Geri��ee��*p�Gour�tout����p�UU�sup�����Gerieur�����a�une�quan�tit���Ge�d���Gep�Gendan�t�seulemen�t�de�l'ordre�du�no�y�au�de������?��%�A��5.�pCongruences��Td'Eisenstein�(���pair)�����Notons�u�����le�plus�grand�comm���un�diviseur�de��p�Nk���1�u�et�12.�һL'�id�����$�eal���d'Eisenstein��I�2��de��T����est�L�par�d�����Genition�l'id���Geal�engendr���Ge�par�les��T����q�����'W�(�q��0�+�1)�L�(�q��i�nom�bre�premier�distinct�de��p�)�et���par�UU1�8�+��W����p���R�.�q�On�a��T�=�I��'���Z�=���������33�p��1��33�);�fe[Ɵ�������������,�Z��[14].����Pr��oposition�d�13.��r|��Soit��7���soit�un�c��}'ar�act�����$�er�e��7d'or�dr�e�une�puissanc�e�d'un�nombr�e�pr�emier����l�%>��ū3��ź(Cela�imp��}'ose�que����n���P'est�p�as�quadr�atique�p�air�et�que��p������7=������ű2�����H6f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g�).��/On���a��������������	b��=�����F5�2�������I����H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�[��])�.��,y��En���p��}'articulier,��������	�est�non�nul�et�on�a��H����p���R�(��)�.���D�����$�emonstr��}'ation�.���|���Consid�����Gerons��Z�[(�Z�=p�Z�)���^������]�comme�un�sous-group�Ge�de��Z�[�P���^��1��|s�(�Z�=p�Z�)]�(via���le�UUplongemen���t�canonique�de�(�Z�=p�Z�)���^�����9�dans��P���^��1��|s�(�Z�=p�Z�)).�������17���4L�����s���������P���osons�q��G���=�(�Z�=p�Z�)���^������=�f�1�;����1�g�.�%�Notons��I����G��	+y�l'id�����Geal�d'augmen�tation�de�l'anneau��Z�[�G�].�%�En���tenan���t���compte�du�fait�que�l'action�de�la�conjugaison�complexe�est�acyclique�sur�l'homologie���et��"des�rapp�Gels�de�la�section�1,���on�obtien���t�que�l'application����uǟ�^��+��	�y�:�-�Z�[�G�]�����������!���H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�)����+�����qui�������a�[��a����+��p�Z�]���asso�Gcie���uǫ(�a�)���+����(��a�)���est�surjectiv���e.�T�Comme����(1)��=�0,�@l'image���par������^��+��
�de��I����G�����engendre�UUH����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�)����+�����.�q�On�p�Gourra�consulter�[19],�section�1.3�p�our�plus�de�d�����Getails.����D'apr�����Ges�j�[14]�sections�I�GI.11�et�I�I.18,���la�mono�dromie�du�rev���^��Getemen�t�j�de��X����0��|s�(�p�)�par�la���courb�Ge��[mo�dulaire��X����1��|s�(�p�)�(ou�plus�pr�����Gecis��emen�t��[le�plus�grand�rev���^�etemen�t�r>�etale��[in�term��ediaire,���app�Gel�����Ge�UU�r��}'ev���^��$�etement���de�Shimur�a�)�UUdonne�lieu�����a�un�homomorphisme�de�group�Ges����:��D���z7gH����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)�����������!���(�Z�=p�Z�)����������=���������o�G����u��4����������d�����Gesigne�ici�le�sous-group�e�de�(�Z�=p�Z�)���^����N�form�����Ge�par�les�racines������-i���Geme�de�l'unit���Ge.��dCet���homomorphisme��est�caract�����Geris��e��par�la�form���ule�suiv��q�an�te�sur�les�sym�b�Goles�mo�dulaires�:�����(�f�0�;��������ۯa���۟�&�feVp�����ib�����g~�g�)�est�congru�����a��b��mo�Gdulo��p��dans�(�Z�=p�Z�)���^������=�������lorsque��b��n'est�pas�divisible�par��p��[14]���section��I�GI.18�(nous�a���v�ons��fait�toutefois�la�con���v�en�tion��de�signe�opp�os�����Gee�����a�celle�de�Mazur�dans���la��d�����Genition�de���).��Le�no�y�au�de�cet�homomorphisme�est�engendr���Ge�par�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�)���������et��
�I����H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�),��o�G����u��I��	�est�l'id�����Geal�d'Eisenstein�de��T��(v�oir��lo��}'c.��?cit.���et,��p�Gour�quelques���argumen���ts�cbcompl���Gemen�taires,�f�[19]�section�5.1).���De�plus����est�an�tiin�v��q�arian�t�par�l'in�v�olution����W����p���(car�UU�I�Q�con���tien�t�1�8�+��W����p���R�),�si�bien�qu'on�a�les�form���ules��ְ��H>-���(�f1�;�����<$����k���۟w�fe�V�	(֍�>�p�����	�d�g�)��=����(�W����p���R�f�0�;���������<$��uޫ1��33�w�fe�V�	(֍�k�����뼱g�)�=���(��uǫ(�k�P��))�=�(�k��w�+�8�p�Z�)�������1��
�t�:���m���Comme�̓H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)�est�acyclique�p�Gour�l'action�de�la�conjugaison�complexe,��on���obtien���t�UUun�homomorphisme�de�group�Ges������䍬+���1���	��:��D����2UH����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)����+�����	j�������!���G=���������par�UUla�form���ule�����̮����䍬+���1������(���uǟ����+��W�([��g�[٫]))��=���(��uǫ(�g��))�:������Le�gsno���y�au�de������䍬+���1���
�est��I����H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)����+�����.�� P���ar�extension�des�scalaires�on�obtien�t�un�homo-���morphisme�UUde�group�Ges�encore�not�����Ge������䍬+���1���	��:��D���n^�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�[��])����+�����	j�������!���G=������2��
�8�Z�[��]�:�����Calculons��ɮ����䍬+���1������(��������).�$Soit��g����0��
<�un�g�����Gen��erateur���du�group�Ge��G�.�$On�a���������L�=��%/����P�����ލ�
�j�(�p��1)�=�2��%��
�j�t�=0���,�1��(�g���^���[ٯt��l��0���|s�)���uǟ�^��+��W�(�g���^���[ٯt��l��0����).���Cela�UUdonne���v��d�#�����䍬+���1������(��������)��=��򣊍��(�p��1)�=�2��
\v���
�����Y�������
���t�=0���!"߮g����:��[ٯt�(�g���0��� �)����r�t����l��0�����=��g����6���[ٟ�?��P������
��(�p��1)�=�2��$��
��t�=0���%�a�t�(�g���0��� �)����r�t���	�p��0���?�.�:���_��Cette�W|derni�����Gere�quan�tit���Ge�est�n�ulle�si�et�seulemen�t�si������P�����ލ�
巬(�p��1)�=�2��%��
巯t�=0���,�~�t�(�g����0��|s�)���^��t��P�2�����������p��1����);�fe[Ɵ�������������۵Z�[��].�x=Un�calcul���facile�UUdonne�����򣊍��p��(�p��1)�=�2��
\v�����7����X��������6o�t�=0�����S�t�(�g����0��|s�)������t��Ln�=�����<$���p�8���1���K�w�fe5J^�	(֍2(1�8����(�g����0���))�����:wܮ:��������18���F�����s��������Lorsque������est�d'ordre�une�puissance�d'un�nom���bre�premier��l��x>���3,��V1��e����(�g����0��|s�)���n'est�pas��l�2`�-en�tier.���On�UUa�donc�����������p��1�����);�fe'�����2(1���(�g���0��� �))���������1%(�=�����0��2�������������:���p��1��:���);�fe[Ɵ������������J<��Z�[��].���9��R��}'emar�ques�P?�:��xLa�prop�Gosition�13�a�des�cons�����Gequences�relativ�es�����a�l'arithm���Getique�du�quotien�t���d'Eisenstein���de��J����0��|s�(�p�),�'�que�nous�laissons�deviner�au�lecteur.�kGNous�n'a���v�ons���pas�essa���y���Ge���de���retrouv���er�O�de�telles�propri���Get��es�O�directemen�t�par�les�m���Getho�Gdes�de�[14],�P�cela�laisse�pr���Gesager�de���l'utilit�����Ge�UUdu�quotien�t�d'Eisenstein�p�Gour�se�passer�des�r���Gesultats�de�Kato.����On��aimerait�d�����Gemon�trer��la�non-n���ullit��e��de��������	���dans�les�cas�o�G����u����est�un�caract����ere�pair���non�<Dquadratique,��en�d�����Gemon�tran�t�<Dque�������������2�=�����q��2�����I������^��t��BR�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�[��]),�p�Gour�<D�t��en���tier�assez���grand.�r�P���our�Dcela�on�aimerait�utiliser�les�faits�suiv��q�an�ts.�r�La�th���Georie�de�l'homomorphisme���d'enroulemen���t��
([14],�cvsection�I�GI.18)�iden�tie�canoniquemen�t�le�group�Ge�ab���Gelien��I����=�I����^��2��y�����a���H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)����+�����=�I����H����1���(�X����0���(�p�)(�C�)�;��Z�)����+��	�w�et���donc,��ʺvia���,�����a��G=�������ɫ.�MMElle�donne�m���^��Geme�lieu��a�un���isomorphisme�^�de��T����I��z�-mo�Gdules�en���tre�les�compl���Get��es�^ޱI����-adiques�de��I�ګet�de�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�);����Z�)����+�����[14],�/�th�����Geor��eme�7I�GI.18.10.�~mOn�a�donc�les�isomorphismes�canoniques�de�group�es,�/�p�our�tout���en���tier�UU�k������1,��~����'(�G=�������ɫ)������
�k��
�'���(�I����=�I�������2��9o�)������
�k���'��I�������k�����=�I�������k�+B�+1�����'�I�������k�+B��1����H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)����+�����=�I���������k�����H����1���(�X����0���(�p�)(�C�)�;��Z�)����+�����;����d'o�G����u�UUl'homomorphisme�surjectif�de�group�es������䍬+��K[��k�����i��o��I���������k�+B��1����H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)����+�����	j�������!���(�G=�������ɫ)������
�k��+��:����Commen���t��calculer������䍬+��K[��k������(��������)���?�Q7V��*�oici�un�probl���Geme����el��emen�taire��plus�simple�que�nous�ne�sa�v�ons���pas�3^r�����Gesoudre.�
�Soien�t��x��et��y��7�deux��A��Gel��emen�ts�3^de��G�.�
�On�a����uǟ�^��+��W�(�x�)�w�+����uǟ�^��+���(�y�[٫)������uǟ�^��+���(�xy�[٫)��α2���I����H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)����+�����.��
蚟�x���	��A�Fquoi�est��)��Gegal������䍬+���2����(���uǟ�^��+��W�(�x�)�a+����uǟ�^��+���(�y�[٫)������uǟ�^��+���(�xy�[٫))����2��(�G=�������ɫ)���^��
�2���r�?�	��Ce���n'est�J�pas�en�g�����Gen��eral�J�l'image�de��x�ܢ�
��y��ӫdans�J�(�G=�������ɫ)���^��
�2��
�t�.�R�En�d'autres�termes,��bla�ltration���de�:�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�)����+��	�V�par�les�puissances�de��I��«ne�pro���vien�t�pas�de�la�ltration�de��I����G��	�par�les���puissances�UUde��I����G��
/�(o�G����u��I����G���d�����Gesigne�l'id���Geal�d'augmen�tation�de��Z�[�G�]).����Nous�M�ignorons�si�la�prop�Gosition�13�est�encore�vraie�lorsque����est�un�caract�����Gere�impair.���On�UUp�Gourrait�p�eut-���^��Getre�8�etudier�UUcela�����a�la�lumi���Gere�de�la�section�suiv��q�an�te.����Il���serait�probablemen���t�instructif�de�comparer�les�tec�hniques�utilis���Gees�dans�la�preuv�e�de���la���prop�Gosition�13�a���v�ec���les�conjectures�de�Mazur�et�T��*�ate�[17]�(tout�particuli�����Geremen�t���le�cas�o�����u���leur���couc���he��M����est�_���Gegale�au�niv�eau��p�),�ɕqui�prop�Gosen�t�des�ltrations�de�H����1��|s�(�X����0���(�p�)(�C�)�;����Z�[�G�])����+�����par�UUdes�puissances�de��I����G���ګ.������Cor��ollaire�TJ�.�qn|��Soit�����un�c��}'ar�act�����$�er�e���d'or�dr�e�une�puissanc�e�d'un�nombr�e�pr�emier��>���3�.��DIl���existe���une�forme�primitive��f��v�de�p��}'oids��2��p�our������0��|s�(�p�)��tel���le�que��L�(�f��V;���;��1)���6�=�0���et��L�(�f�;����1)���6�=�0�.���D�����$�emonstr��}'ation�.���|��
Comme�nous�n'utiliserons�pas�ce�r�����Gesultat�dans�la�suite,��7nous�laissons���la�UUd�����Gemonstration,�qui�est�facile,�au�lecteur.��N��6.�pAnn��9ulation��Tsim�ultan�«��}Wee�de�s���}Weries�de�Diric��9hlet�(���impair)�����Soit��,���un�caract�����Gere�impair.�aMNotons��B����1�;�����le�nom�bre�de�Bernoulli�g���Gen��eralis��e��,asso�Gci��e��,����a�����,�UU�i.e.���on�a��m����	��B����1�;�����=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍�p����������}�p��1���獍��{����X��������&�a�=1���A�a�(�a�)�:��������19���W������s��������Pr��oposition�UU�14.�q�|��Si���le�nombr��}'e�alg�����$�ebrique�totalement�r���$�eel���L��x���12�B����1�;���ې���}�feqX����B����1�;����!�ȫ+�8�(�p����1)(�B����1�;��p�+�����}�feqX����B����1�;�����8�)����est���non�nul,��#il�existe�une�forme�primitive��f��@�de�p��}'oids��2��p�our������0��|s�(�p�)��tel���le�que��L�(�f��V;���;��1)�M�6�=�0����et���L�(�f��V;����1)���6�=�0��(en�p��}'articulier�on�a��H����p���R�(��)�).���D�����$�emonstr��}'ation�.�G�|��ED�����Gemon�trons�d'ab�Gord�qu'il�sut�de�v���Gerier�que�le�pro�Gduit�d'in�tersection����e�8���W����p���R�������F5�=���W����p���e�8����������=����e�����������r�est�UUnon�n���ul�(v�oir�la�d���Gemonstration�de�la�prop�Gosition�9).����Supp�Gosons�5�que�p�our�toute�forme�primitiv���e��f���,�m�on�ait��L�(�f��V;���;��1)�==�0�5�ou��L�(�f�;����1)�==�0.���Notons�)Nalors��I����1�����et��I�������k�les�ann���ulateurs�de��e��et���������dans��T�[��].�cL'id�����Geal��I����1��]E�+��ҮI�������est�d'indice�ni���dans�Ge�T�[��].�m"On�a�donc�dans��T�[��]�une�relation�1��=��n����1��|s�t����1���r�+���n�������t������Ƃ�a���v�ec�Ge�n����1���,�J.�n������F5�2���Q��et��t����1��C��2��I����1��|s�,����t������F5�2���I�������.�^�Comme��le�pro�Gduit�d'in���tersection�v���Gerie�l'adjonction�vis-����a-vis�de�l'action�de��T�,�(*on���a�UUla�relation����N�.�e�8���������F5�=���n����1��|s�t����1���e�8������������+��n�������t�������e�8����������=��0�+��n�������e����t�������������F5�=��0�:���w���Eectuons��*le�calcul�de��e�zñ��������	7G�en��*utilisan���t�le�lemme�3�de�[18]�(qui�est�essen�tiellemen�t���une��gform���ule�de�Rademac�her�[22]�reprise�par�Mazur�dans�[16])�:��On�a�p�Gour��k���2��f�1�;���:::;�p�����1�g�,���(��`�(�p�8���1)�e�����uǫ(�k�P��)��=�����<$���K(�k��w���k��������)���K�w�fe#R��	(֍�%{�p�����(�s�(1����p�)����12�S����(�k�;���p�)�;��H��o�G����u�UUla�somme�de�Dedekind��S����(�k�P�;���p�)�est�donn�����Gee�par�la�form�ule��!�����%�S����(�k�P�;���p�)��=�����z�p��1���獍��y����X������h�=0�����x䍑J�������@JB����1������(�����<$��33�h��33�w�fe���	(֍�]|p�����)]�)���x䍑
�����B����1�����ʫ(�����<$��33�k�h��33�w�feHM�	(֍� 'p�����
���)��"t7�(���x䍑
�����B����1����'��est���le�premier�p�Golyn^����ome�de�Bernoulli�rendu�p�����Gerio�dique�:��on�a���x䍑�d�����B����1����'��(�x�)��=��x������������ݬ1���ݟ�&�fe�s����2�����	�<�si����x��2�]0�;����1[,������x䍑
�����B����1�����ʫ(0)��=�0�UUet���x䍑`�����B����1����<t�est�une�fonction�p�����Gerio�Gdique�de�p���Gerio�Gde�1).����En��utilisan���t�la�form�ule�donnan�t��W����p���R�������w:�(d���Gemonstration�de�la�prop�Gosition�9),�
�on�obtien�t��"R{��9��(�p�8���1)�e����W����p���R�������F5�=��������p��1���獍�������X�������k�+B�=1����S��(�k�P��)�����<$��33(�k��w���k��������)��33�w�fe#R��	(֍�%{�p�����%�[�(1����p�)�������Pǯp��1���獍�Eş���X������k�+B�=1���o��(�k��)12�S����(�k�;���p�)�:�� �2��Calculons�ojd'ab�Gord�le�premier�terme�en�utilisan���t�l'imparit���Ge�de����et�le�c�hangemen�t�de�v��q�ariable����k���7!���k�������9�:�� �
�������p��1���獍�	����X������'�k�+B�=1���-2b��(�k�P��)�����<$��33(�k��w��8�k��������)��33�w�fe#R��	(֍�%{�p�����%�[�(1�8���p�)��=��������p��1���獍�������X������k�+B�=1���R��(��(�k��)�8�+���g��������z��(�k��))�����<$��33�k��33�w�fe�V�	(֍�>�p�����뼫(1����p�)��=�(1�8���p�)(�B����1�;��p�+�����}�feqX����B����1�;�����8�)�:����Le�UUdeuxi�����Geme�terme�s'obtien�t�directemen�t�par�un�calcul�de�con�v�olution�:��!gҍ�����}�r�p��1���獍�}�p����X�����}���k�+B�=1�����Ʈ�(�k�P��)12�S����(�k�;���p�)��=�12�B����1�;���ې���}�feqX����B����1�;����L�:��������20���k����s��������Cela�UUdonne����Nw�(1�8���p�)�e����W����p���R�������F5�=��12�B����1�;���ې���}�feqX����B����1�;����!�ȫ+�(�p����1)(�B����1�;��p�+�����}�feqX����B����1�;�����8�)�:���ˍ�Cela�UUsut�����a�d�����Gemon�trer�UUnotre�prop�Gosition,�d'apr����es�nos�remarques�pr����eliminaires.���ˍ�R��}'emar�ques��m�:�z�Soit��f������k��l'unique�forme�mo�Gdulaire�de�p�oids�2�p�our�����0��|s�(�p�)�telle�que,�hp�our�toute���forme�UUmo�Gdulaire��f�ڧ�2���S����2��|s�(����0���(�p�)),�UUon�ait�la�relation��Mʍ��O�<��f��V;���f������F5�>�=��L�(�f�;���;��1)�;�����o�G����u���<���:;���:�>��d�����Gesigne�le�pro�Gduit�scalaire�de�P�etersson.������x���n�A�quoi�est�����Gegal��<���f�������;���f����1��^k�>����?�Il�est���ten���tan�t��4de�p�Genser�ce�nom���bre�complexe�(ou�plus�pr���Gecis��emen�t��4sa�partie�r���Geelle)�est�reli���Ge���au�Dnom���bre�alg���Gebrique�qui�gure�dans�la�form�ule�de�la�prop�Gosition�14.�	��La�r���Gep�Gonse�����a���cette�Equestion�p�Germet-elle�de�prouv���er�la�prop�osition�14�par�des�manipulations�de�s�����Geries���de�UUDiric���hlet���?����On�ARp�Geut�esp�����Gerer�que�les�deux�termes�du�nom�bre�guran�t�dans�l'���Genonc��e�ARde�la�prop�Gosition���14��Cson���t�d'ordres�de�grandeur�di���Geren�ts�lorsque��p��tend�v�ers�l'inni.��P�our��&��Getablir�cela,��on���est�meten���t���Ge�d'appliquer�les�tec�hniques�p�Germettan�t�d'encadrer�les�v��q�aleurs�de�fonction��L��de���Diric���hlet�UUen�1.����Nous���laissons�au�lecteur�l'�����Getude�de��������%��������������0���-��p�Gour����et�����^��0���0�caract���Geres�non�triviaux�de���parit�����Ges�UUopp�Gos��ees.��:�,����P�S�x��U^�3.�qǼCompl��g��*��ements��et�r��g��*��esul��UTt�a�ts��exp��g��*��eriment�a��ux���#a���1.�pLa��Tquestion�des�p�Q�oin��9ts�ordinaires�et�des�p�oin��9ts�sup�ersinguliers���ˍ��Soit�ـ�p��un�nom���bre�premier�distinct�de�2�et�3.�H�Soit��K����une�extension�nie�de��Q����p��xҫd'indice���de�<ramication��e�.�YNotons��O����K��
��l'anneau�des�en���tiers�de��K��X�et��P�ݹ�l'id���Geal�maximal�de��O����K�����.�YSoit����E���une�UUcourb�Ge�elliptique�sur��K�q�a���y�an�t�UUp�oten�tiellemen�t�UUb�onne�r�����Geduction.����Notons�M�E����0��|s�(�K���)�le�sous-group�Ge�(d'indice����\�4)�de��E����(�K��)�form�����Ge�par�les�p�Goin�ts�don�t���l'extension�yWau�mo�Gd�����Gele�de�N���Geron�de��E��sur��O����K��/
�est�non�singuli���Gere�dans�la�bre�sp���Geciale.���Notons��D�E����1��|s�(�K���)�le�sous-group�Ge�de��E����0���(�K���)�constitu�����Ge�par�les�p�Goin�ts�don�t�l'extension�au�mo�Gd���Gele���de�UUN�����Geron�co�����qncide�a�v�ec�l'���Gel��emen�t�UUneutre�dans�la�bre�sp���Geciale.����Apr�����Ges�_�a�v�oir�assist���Ge�����a�mes�exp�Gos���Ges�����a�SPIC�_Net�Mathscience�(Chennai,��"jan�vier�1999),���Oesterl�����Ge�Gjm'a�indiqu���Ge�un�lemme�sur�les�group�Ges�formels�don�t�v�oici�un�cas�particulier�(c'est���un�UUcorollaire�de�[2],�prop�Gosition�2).���f��Pr��oposition�UU�15.�q�|��L��}'e���nombr�e�d'�����$�el��ements���d'or��}'dr�e��p��de��E����1��|s�(�K���)��est�����e�.���D�����$�emonstr��}'ation�.�[email protected]|�W}La�loi�de�group�Ge�sur��E����1��|s�(�K���)�donne�une�loi�de�group�e�formel�sur��P��}�.�[email protected]���m���ultiplication�Opar��p��dans��E����1��|s�(�K���)�est�donn���Gee�par�une�s���Gerie�formelle�[�p�](�T�c��)���2�O����K�����[[�T��]]�Osur��P��}�.���On��Ua�[�p�](�T�c��)]��=��pT��o�+���:::��=��T�h�(�T��),��a���v�ec��U�h�(�T��)���2�O����K�����[[�T��]].�SrNotons��U�A����p�����l'ensem���ble�des��8��Gel��emen�ts���d'ordre��e�p��de��P���p�Gour�la�loi�de�group�e�formel.���Soit��t�b2�2��A����p���R�.�On��ea��t�b2�6�=�0��eet�[�p�](�t�)�b2=�0,�ɩd'o�G����u�������21���|N�����s��������h�(�t�)��=�0.�w
Puisque�W(�h�(�T�c��)�:���h�(�t�))�=�(�T������t�)���2�O����K�����[[�T��]],�W�on�Wen�d�����Geduit�la�relation�de�divisibilit���Ge���dans�UU�O����K�����[[�T�c��]]�:����W�(�T��o��8�t�)�j�(�T����t�)�����<$��33�h�(�T�c��)����h�(�t�)��33�w�fe2%	�	(֍�
��T����t�����7R��=���h�(�T�c��)����h�(�t�)�=��h�(�T�c��)�:��y���En��)sp�����Gecialisan�t�en��T�N��=��!0,��^on�obtien�t�la�relation�dans��O����K��Sܫ:��o����Q���u8��t�2�A���p���%?)�t�j�p�.�LCCela�en�tra���^��qne��
x�l'in�����Gegalit��e�UU�e����j�A����p���R�j�.��xN��Men���tionnons�R�le�corollaire�suiv��q�an�t�qui�nous�in�t���Geresse�directemen�t.��Rapp�Gelons�que��p��>��3.����Cor��ollaire��$�.��4|��Soit��|�E��	�une�c��}'ourb�e��|el���liptique�sur��Q����p���R�(�����p���)��|�tel�le�que��K����p���R�(�E����)�rp=��Q����p���(�����p���)��|�et����j����(�E����)�͠�2��Z����p���R�[�����p���]�.�LXA���lors�$�la�br��}'e�sp���$�eciale�du�mo��}'d���$�ele�de�N���$�er��}'on�de��E��_�n���P'a�p�as�p�otentiel���lement���b��}'onne���r�����$�eduction�sup�ersinguli�����$�er�e�et�p�oss�����$�ede�un�p�oint��F����p���R�-r�ationnel�d'or�dr�e��p�.���D�����$�emonstr��}'ation�.�SA|���Le�group�Ge��E����(�Q����p���R�(�����p���))���p�oss�����Gede�un�sous-group�e��C��ݫisomorphe�����a�(�Z�=p�Z�)���^��2��|s�.���Comme�r�p��E>��3,�u9ce�sous-group�Ge�est�con���ten�u�dans��E����0��|s�(�Q����p���R�(�����p���)).�	�D'apr�����Ges�la�prop�Gosition���15,��7qui�k�s'applique�puisque��j����(�E����)���2��Z����p���R�[�����p���],�on�k�a��p��i���1����j�(�C������i�0)��\��E����1��|s�(�Q����p���R�(�����p���))�j�.���Cela���in���terdit�!�le�cas�sup�Gersingulier,�T�car�on�a�alors��C�ҭ����E����1��|s�(�Q����p���R�(�����p���)).�֤On�!�est�donc�dans�le�cas���p�Goten���tiellemen�t�AWordinaire,�EWce�qui�en���tra���^��qne�que�l'ordre�de��C���\��E����1��|s�(�Q����p���R�(�����p���))�AWest��p�.�kLe�group�e����E����0��|s�(�Q����p���R�(�����p���))�=E����1���(�Q����p���(�����p���))���'��E����(�F����p���R�)�UUcon���tien�t�donc�un�8��Gel��emen�t�UUd'ordre��p�.��$،��2.�pQuelques��Tdonn�«��}Wes�dues�����Tua�William�Stein��xN���P���ar��Cabus�de�notation,���nous�dirons�qu'un�Y&��Gel��emen�t��C�j�ք�2�C��P���^��1��|s�(�F����p���R�)��pr�����$�esente���une�anomalie����s'il�v�existe�une�courb�Ge�elliptique�sur��F����p��%�d'in���v��q�arian�t�v�mo�dulaire��j�	^�et�p�oss�����Gedan�t�v�un�p�oin���t��F����p���R�-���rationnel�UUd'ordre��p�.����Pr��oposition��{�16.�0)|��Soit��ͮp��un�nombr��}'e�pr�emier�c�ongru����a���1��mo�dulo��4�.�]8Supp�osons�que�p�our���tout�u�j�Y��2���P���^��1��|s�(�F����p���R�)��pr�����$�esentant�une�anomalie�et�tout�c��}'ar�act���$�er�e�ude�Dirichlet��(�Z�=p�Z�)���^�������_������
|r!���C�,�{�il���existe���t������F5�2���T��et���'��2������S��	^�tels�que��L�(�tJ����0��|s�(�p�)�;���;��1)��6�=�0���et������1��|s�(�t�`�)��6�=�0�.���A���lors�on�a��p������=������2�����8ܮS����.���D�����$�emonstr��}'ation�.���|��CLa�condition��L�(�t�������J����0��|s�(�p�)�;����1)�f��6�=�0��Cimp�Gose��H����p���R�(��)�(et�donc��p�f�>��7)��Cet,��?par���le�UUth�����Geor��eme�UUde�Kato,�la�nitude�de�la�comp�Gosan���te���-isot�ypique�de��t�������J����0��|s�(�p�)(�Q�(�����p���R�)).����Si�`��p����2��S����,���on�a��p��2��S����o���4�(�p��2��S����c��s��et��p��2��S����s����son���t�exclus�d'apr���Ges�le�corollaire�3�de�la���prop�Gosition��*6�et�le�corollaire�de�la�prop�osition�15�resp�ectiv���emen�t).�"GSoit��*�E�#��une�courb�e���elliptique���sur��Q�(�����p���R�)�p�Goss�����Gedan�t���p���^��2�����>��1�p�oin���ts��Q�(�����p���R�)-rationnels�d'ordre��p�.�	gElle�a�donc���b�Gonne��Gr�����Geduction�en�l'id���Geal�au�dessus�de��p��et�pr���Gesen�te�une�anomalie�(�i.e.�)Ыelle�p�Goss���Gede�un���p�Goin���t����F����p���R�-rationnel�d'ordre��p�)�d'apr���Ges�le�corollaire�3�de�la�prop�Gosition�6�et�le�corollaire�de���la�5�prop�Gosition�15.�{Elle�d�����Genit�un�p�oin���t��Q�(�����p���R�)-rationnel��p�-ordinaire�de��Y����0��|s�(�p�).�{Ce�p�oin���t���est�t׵Q�-rationnel�par�application�du�corollaire�1�de�la�prop�Gosition�6�(le�crit�����Gere�d'immersion���formelle��est�v�����Geri��e��p�Gour��d���=�1).�.Dans��ces�conditions,���d'apr����es�[15],����Y����0��|s�(�p�)�n'a�pas�de�p�Goin���t��Q�-���rationnel��2p�Gour��p������=�������2�����8�f�3�;����7�;��11�;��19�;��43�;��67�;��163�g��2�et�pas�de�p�oin���t��Q�-rationnel�sans�m�ultiplications���complexes�c�et�donc�pas�de�p�Goin���t��p�-ordinaire�p�our��p������v=�������2�����h�f�3�;����7�;��11�g�.���Le�c�cas��p���=�11,�gFqui�c�revien���t�������a���examiner�trois�courb�Ges�elliptiques�(�a���qƍ�ĭ���:���Q����s�-isomorphisme�pr�����Ges),�La����et��e����etudi��e���en�d���Getail�par���Ligozat��4dans�[12]�(d�����Gemonstration�de�la�prop�Gosition�5.6.1)�qui�d���Gemon�tre�en�examinan�t�les���r�����Geductions�UUmo�Gdulo�23�que�ces�courb�es�ne�donnen���t�pas�lieu�����a�un�8��Gel��emen�t�UUde��S����.�������22���������s���������William��tStein�a�constat�����Ge�que�p�Gour��p��<��233,��;�p�>��7��tet��p�����1�	��(�mo�d���4),��;les��th���yp�oth���Geses���de�Hla�prop�Gosition�16�son���t�v���Geri��ees.�I�Les�Hd��etails�Hde�ces�calculs�son�t�disp�Gonibles,���par�v�oie��������Gelectronique,�UU����a�l'adresse�h�ttp�://shim�ura.math.b�Gerk�eley��*�.edu/����*�~�����w�as/merel.����On�UUp�Geut�8��Getudier�de�fa���9con�similaire�le�cas��p�����1�	��(�mo�d���4).���1��Pr��oposition�,��17.�d-|��Soit�n]�p��un�nombr��}'e�pr�emier�c�ongru����a��1��mo�dulo��4�.��Supp�osons�que�p�our���tout�6�j����2��t�P���^��1��|s�(�F����p���R�)��pr�����$�esentant�une�anomalie�et�tout�c��}'ar�act���$�er�e�6�de�Dirichlet��(�Z�=p�Z�)���^��������X�������!��t�C����non�2quadr��}'atique,�/Dil�existe��t������	'^�2��A�T��et��(�����1��|s�;�������2���)��2�����^���2��b��S���	�9�tels�2que��L�(�t�������J����0��|s�(�p�)�;���;��1)��6�=�0�2�et�que�la��\w�matric��}'e����՟��^��������
������1��|s�(�t����1���)���4,"�����1��|s�(�t����2���)������
������2��|s�(�t����1���)���4,"�����2��|s�(�t����2���)������R/���^����^d�soit���de�r�ang��2�.��`Supp�osons�de�plus�que�la�c�ourb�e�mo�dulair�e����Y����0��|s�(�p�)���ne�p��}'oss�����$�ede�p�as�de�p�oint��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)�-r�ationnel.���A���lors�on�a��p������=�������2�����8ܮS����.���D�����$�emonstr��}'ation�.�b�|�(KCela�se�d�����Gemon�tre�(Kde�fa���9con�analogue�����a�la�prop�Gosition�16,�1Men�v����erian�t�(Kla���condition�UUd'immersion�formelle�gr^����ace��a�la�prop�Gosition�4,�appliqu�����Gee�p�our��d���=�2.���1��Dans�d�un�pro�Gc���hain�tra�v��q�ail,���nous�examinerons�si�les�h�yp�Goth���Geses�de�la�prop�Gosition�17���son���t�-�v���Geri��ees�-�p�Gour�des�nom���bres�premiers�pris�individuellemen�t�(l'���Getude�des�p�Goin�ts��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�)-���rationnels�UUde��Y����0��|s�(�p�)�se�fait�comme�dans�[15]).��#b����w�Bibliographie�����qū[1]���P.�\Deligne��l�et��M.�Rapopor��UTt�,�κL��}'es�6&sch�����$�emas�de�mo�dules�des�c�ourb�es�el���liptiques�,��Mo�Gd-����ular��functions�of�one�v��q�ariable,�I�GI��`(Pro�c.�4\In���ternat.�Summer��Sc�ho�Gol,�Univ.�An�t�w�erp,����An���t�w�erp,�UU1972),�143{316.�q�Lecture�Notes�in�Math.,��349�,�Springer,�Berlin,��1973�.�����q�[2]���M.�V�Flex��or����et��J.�Oesterl��g��*��e�,�b�Sur�ҏles�p��}'oints�de�torsion�des�c�ourb�es�el���liptiques�,����S�����Geminaire���sur�les�Pinceaux�de�Courb�Ges�Elliptiques�(P�aris,��1988).�P�Ast���Gerisque�No.�P��183�,����25{36,�UU�1990�.�����q�[3]���B.�tSGr��oss��O�et��S.�Kudla�,�#��Heights�+�and�the�c��}'entr�al�+�critic�al�values�of�triple�pr�o�duct��L�-����functions�,�UUComp�Gositio�Math.�qǵ81�,�no.�2,�143{209,��1992�.�����q�[4]���B.���Gr��oss�,��{�Heights��and�the�sp��}'e�cial��values�of��L�-series�,�Num���b�Ger���theory�(Mon�tr���Geal,��{Qu��e.,����1985),�UU115{187,�CMS�Conf.�q�Pro�Gc.,��7�,�Amer.�Math.�So�Gc.,�Pro���vidence,�RI,��1987�.�����q�[5]���E.��Halberst��UTadt�,�UULettre�du�8�o�Gctobre�1998.�����q�[6]���S.���Kamienny�,�x��T��;�orsion���p��}'oints�on�el���liptic�curves�over�elds�of�higher�de�gr�e�e�,�x�In���terna-����tional�UUMathematics�Researc���h�Notices��6�,�129{133,��1992�.�����q�[7]���S.��NKamienny�,��c�T��;�orsion��p��}'oints�on�el���liptic�curves�and��q�[ٺ-c�o�ecients�of�mo�dular�forms�,����In���v�en�t.�q�Math.��109�,�UU221{229,��1992�.�����q�[8]���S.��Kamienny�,�g�p�-torsion���in�el���liptic�curves�over�subelds�of��Q�(�����p���R�),�Math.��cAnn.��280�,����no.�q�3,�UU513{519,��1988�.�����q�[9]���S.�X�Kamienny�,�T�Points�3Lof�or��}'der��p��on�el���liptic�curves�over��Q�(�������p���UW�����fe�;��p����
]W�),�Math.�N�Ann.��261�,�no.����4,�UU413{424,��1982�.������q�[10]���S.�"�Kamienny��ɫet��B.�Mazur�,�¦�R��}'ational��\torsion�of�prime�or�der�in�el���liptic�curves�over����numb��}'er�,�elds�,���With��an�app�Gendix�b���y�A.�Gran�ville.�	��Colum�bia�Univ�ersit�y�Num�b�Ger����Theory�UUSeminar�(New�Y��*�ork,�1992).�q�Ast�����Gerisque��228�,�81{100,��1995�.������q�[11]���V.A.���K��Uol��UTyv��ra��gin�ʫet��D.Yu.�i1Loga�chev�,�O�Finiteness�LRof�the�gr��}'oup�of�r�ational�p�oints����for���some�ab��}'elian�mo�dular�varieties�,�UULeningrad�Math.�q�J.��1�,�n���^��0���ȫ5,�1229{1253,��1990�.�������23����Z�����s����������qī[12]���G.�ϲLigoza��UTt�,�_��Courb��}'es��nmo�dulair�es�de�nive�au�11�,�_�Mo�Gdular�]�functions�of�one�v��q�ariable,�V����(Pro�Gc.��6Second�i�In���ternat.�Conf.,�n�Univ.�Bonn,�Bonn,�1976),�149{237.�Lecture�i�Notes�in����Math.,�UUV��*�ol.�q�601,�Springer,�Berlin,��1977�.������q�[13]���Yu.���Manin�,���Par��}'ab�olic���p�oints�and�zeta�function�of�mo�dular�curves�,��Math.��USSR����Izv���estija�UU�6�,�n���^��0���ȫ1,�19{64,��1972�.������q�[14]���B.�)pMazur�,��+�Mo��}'dular��`curves�and�the�Eisenstein�ide�al�,��+Pub.�f/math.�de���l'IHES��v�47�,����33{186,�UU�1977�.������q�[15]���B.��Mazur�,�UU�R��}'ational���iso�genies�of�prime�de�gr�e�e�,�UUIn���v�en�t.�q�Math.��44�,�129{162,��1978�.������q�[16]���B.��PMazur�,�x�On�i�the�arithmetic�of�sp��}'e�cial�i�values�of��L�-functions�,�In���v�en�t.�+�Math.��55�,����207{240,�UU�1979�.������q�[17]���B.�jWMazur����et��J.�T�� a��UTte�,���R��}'ene�d�B�c�onje�ctur�es�of�the�\Bir�ch�and�Swinnerton-Dyer�typ�e"�,����Duk���e�UUMath.�q�J.��54�,�n���^��0���ȫ2,�711-750,��1987�.������q�[18]���L.�`ZMerel�,�ƺBornes�.p��}'our�la�torsion�des�c�ourb�es�el���liptiques�sur�les�c�orps�de�nombr�es�,����In���v�en�t.�q�Math.��124�,�UUn���^��0���ȫ1{3,�437{449,��1996�.������q�[19]���L.�i�Merel�,�?�L'ac��}'c�ouplement�B'de�Weil�entr��}'e�le�sous-gr�oup�e�de�Shimur�a�et�le�sous-gr�oup�e����cuspidal���de��J����0��|s�(�p�),�UUJ.�Reine�Angew.�q�Math.��477�,�UU71{115,��1996�.������q�[20]���J.-F.�]�Mestre�,���L��}'a�7{m�����$�etho�de�des�gr�aphes.�z�Exemples�et�applic�ations�,��Pro�Gceedings���of�the����in���ternational��conference�on�class�n�um�b�Gers�and�fundamen�tal�units�of�algebraic�n�um�b�Ger����elds�UU(Katata,�1986),�217{242,�Nago���y�a�UUUniv.,�Nago���y�a,�UU�1986�.������q�[21]���J.-F.�
�Mestre����et��J.�Oesterl��g��*��e�,��D�Courb��}'es��el���liptiques�de�c�onducteur�pr�emier�,��DMan���uscrit����non�UUpubli�����Ge.������q�[22]���H.��NRadema��cher�,�=�Zur�xThe��}'orie�der�Mo�dulfunktionen�,�=Journal�7f�G����ur�die�reine�und�ange-����w���andte�UUMathematik��167�,�312{336,��1931�.������q�[23]���K.��/R��Uubin�,��2�Euler�u�systems�and�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�Galois�a9Represen���tations�in����Arithmetic�M4Algebraic�Geometry�(Durham�1996),��351{367,�London�M4Math.��So�Gc.�Lecture����Note�UUSer.,��254�,�Cam���bridge�Univ.�q�Press,�Cam�bridge,��1998�.������q�[24]���A.��Scholl�,�乺A���n�vFintr��}'o�duction�to�Kato's�Euler�systems�,��Galois�a�Represen���tations�in����Arithmetic�M4Algebraic�Geometry�(Durham�1996),��379{460,�London�M4Math.��So�Gc.�Lecture����Note�UUSer.,��254�,�Cam���bridge�Univ.�q�Press,�Cam�bridge,��1998�.������q�[25]���G.��-Shimura�,�=��Intr��}'o�duction�>�to�the�arithmetic�the��}'ory�of�automorphic�forms�,�Iw���anami����Shoten�UUet�Princeton�Univ���ersit�y�UUPress,��1971�.��$�Lo�����qc�UUMerel,��p�[email protected]���Th�����Georie�UUdes�nom�bres,�case�247,���Institut�UUde�Math�����Gematiques�de�Jussieu,���4,�UUPlace�Jussieu,���75252�UUP���aris�Cedex�05,�F��*�rance.����et���UFR�UUde�math�����Gematiques,�case�7012,���Univ���ersit���Ge�UUDenis�Diderot,���2,�UUplace�Jussieu,���75251�UUP���aris�cedex�05,�F��*�rance.�������24��������;�0s�v6�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5��b>

cmmi10�0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�	��u

cmex10�
�"V

cmbx10�f$�cmbx7��':

cmti10�D��tG�cmr17��-�

cmcsc10��.�����