Sur la nature non-cyclotomique des points d’ordre fini des courbes elliptiques

Loïc Merel

(Avec un appendice de E. Kowalski et P. Michel)

Introduction

Lorsque E est une courbe elliptique sur un corps de nombres, le corps K_{p}(E) engendré par les points de p-division de E contient un corps cyclotomique Q(μ_{p}) engendré par les racines p-ièmes de l’unité – Cela est une conséquence évidente de la structure fournie par les accouplements de Weil. Cet article vise à établir que K_{p}(E) ne peut guère être aussi petit que Q(μ_{p}).

Notons S l’ensemble des nombres premiers p tels qu’il existe une telle coube elliptique avec Q(μ_{p}) = K_{p}(E). Il est connu que l’ensemble S contient les nombres 2, 3 et 5 (puisque la courbe modulaire paramétrant le problème de module correspondant est de genre nul et possède au moins un point Q(μ_{p})-rationnel). E. Halberstadt semble avoir établi récemment que S ne contient pas 7 [5]. Nous sommes incapables d’établir la finitude de S (les techniques de [18] sont de peu de secours). Pour aborder cette dernière question, il semble naturel de séparer le problème en trois classes de courbes elliptiques sur Q(μ_{p}), selon la géométrie de la fibre en l’idéal P au dessus de p du modèle de Néron sur Z[μ_{p}] :

– Le cas p-cuspidal, c’est-à-dire le cas des courbes elliptiques n’ayant pas potentiellement bonne réduction en P. Nous obtenons beaucoup d’informations dans ce cas.

– Le cas p-ordinaire, c’est-à-dire le cas des courbes elliptiques ayant potentiellement bonne réduction ordinaire en P. Dans le cas ordinaire on peut distinguer le cas (non déterminé par la géométrie) des anomalies, c’est-à-dire le cas où la réduction modulo P de la courve elliptique possède un point d’ordre p. Une étude facile montre que les courbes elliptiques ordinaires donnant lieu aux éléments de S présentent des anomalies.

– Le cas p-supersingulier, qui concerne, comme on s’en doute, les courbes elliptiques ayant réduction potentiellement supersingulière en caractéristique p. J. Oesterlé m’a convaincu que ces courbes ne donnent naissance à aucun élément > 3 de S.

Faute de pouvoir montrer la finitude de S, nous nous proposons d’aller dans la direction générale suivante : Étudier les ensembles S_{0,c}, S_{0,o} et S_{0,s} de nombres premiers pour lesquels il existe une courbe elliptique sur Q(μ_{p}) p-cuspidale, p-ordinaire ou p-supersingulière respectivement, munie d’un sous-groupe C d’ordre p qui est Q(μ_{p})- rationnel. Ajoutons que notre méthode semble indiquer que l’énumération des trois cas dénote une difficulté croissante.

Dans le cas cuspidal, nous obtenons le résultat suivant (conséquence de la proposition 5, du corollaire 3 de la proposition 6 et de l’appendice).

Théorème . — L’ensemble S_{0,c} est fini.

Les techniques utilisées dans notre preuve font appel de façon centrale aux idées vieilles de vingt ans de B. Mazur [15] et aux résultats récents de K. Kato (heureusement rédigés par A. Scholl [24]) en direction de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

Nous procédons en deux étapes : D’abord nous nous efforçons de montrer que les points Q(μ_{p})-rationnels p-cuspidaux (en le sens ci-dessus, mais notre méthode s’applique aussi parfois aux points p-ordinaires) de la courbe modulaire X_{0}(p) sont quadratiques réels. Nous concluons en appliquant les méthodes de S. Kamienny d’étude des points quadratiques de X_{0}(p).

Soient p un nombre premier et χ un caractère de Dirichlet (Z/pZ)^{∗} ⟶ C^{∗}. On résumera par H_{p}(χ) l’assertion suivante : Il existe une forme parabolique f = ∑_{n} a_{n}q^{n} de poids 2 pour Γ_{0}(p) telle que la fonction entière L(f, χ, s) qui prolonge la série de Dirichlet ∑_{n=1}^{∞} a_{n}χ(n)n^{−s} ne s’annule pas en s = 1. Nous démontrons que les nombres premiers appartenant à S_{0,c} ne vérifient pas H_{p}(χ) pour au moins un caractère χ : (Z/pZ)^{∗} ⟶ C^{∗} non quadratique pair. L’étude de H_{p}(χ) est donc essentielle à notre démonstration.

Kowalski et Michel démontrent que tout nombre premier p > 10^{10} vérifie H_{p}(χ) pour χ non quadratique pair. L’une de leurs démonstrations, qui est élémentaire, est donnée en appendice. On est tenté de ne pas se satisfaire de leur borne. C’est pourquoi nous faisons quelques efforts, indépendamment de Kowalski et Michel, visant à établir H_{p}(χ) dans la deuxième partie. Nos résultats sont partiels, mais nous espérons qu’ils jettent une lumière intéressante sur l’hypothèse H_{p}(χ). En particulier nous démontrons que H_{p}(χ) est vérifiée dans les trois cas suivants : lorsque p est un nombre premier congru à 11 ou 19 modulo 20 et χ est impair, lorsque χ est injectif et p ∉ {2, 3, 5, 7, 13, 1487} et lorsque χ est un caractère d’ordre une puissance d’un nombre premier > 3. L’étude du dernier cas fait intervenir l’idéal d’Eisenstein de l’algèbre de Hecke de J_{0}(p). Cela retiendra peut-être l’attention du lecteur familier avec [14].

Ajoutons que l’hypothèse H_{p}(χ) est fausse lorsque p ∈ {2, 3, 5, 7, 13} ou lorsque χ est quadratique pair. W. Stein a vérifié qu’elle n’est fausse dans aucun autre cas pour p ≤ 233. Cela, et les résultats de ce papier, ont permis à Stein de déterminer si des petits nombres premiers appartiennent à S. En particulier Stein trouve que S ne contient aucun élément p congru à −1 modulo 4 et vérifiant 7 < p < 233. En se fondant sur le présent article, nous espérons traiter prochainement les nombres premiers congru à 1 modulo 4, qui présentent des difficultés supplémentaires.

Remerciements. J’exprime ma gratitude envers ceux qui ont pris la peine d’écouter et parfois de répondre à mes questions : Jean-Marc Fontaine, Benedict Gross, Emmanuel Halberstadt, Emmanuel Kowalski, Alain Kraus, Barry Mazur, Jean-François Mestre, Philippe Michel, Joseph Oesterlé, David Rohrlich, Anthony Scholl, William Stein.

Les résultats de ce cet article ont été partiellement exposés lors du colloque en l’honneur de Barry Mazur pour son soixantième anniversaire.

Finalement, signalons que cet article, dont les prémices datent de l’automne 1995 passé à l’IAS (Princeton), a été essentiellement rédigé lors d’une visite à l’Université de Pondichéry.

§1. Géométrie et arithmétique de X_{0}(p) et J_{0}(p)

1. Un lemme élémentaire de géométrie arithmétique

Soit p un nombre premier. Conformément à l’usage, notons X_{0}(p) la courbe sur Q qui classe grossièrement les courbes elliptiques généralisées munies d’un sous-groupe cyclique d’ordre p (voir [1]). Notons X_{0}(p) le modèle régulier minimal de X_{0}(p) sur Z. Notons J_{0}(p) la variété jacobienne de X_{0}(p). Notons T le sous-anneau (commutatif) de End_{Q}J_{0}(p) engendré par les opérateurs de Hecke et l’involution W_{p}. (Nos notations coïncident notamment avec celles de [14]). Notons J_{0}(p) le modèle de Néron sur Z de J_{0}(p) (dont la composante neutre n’est autre que Pic^{0}(X_{0}(p))). Notons X_{0}(p)_{ℓ} la partie lisse de X_{0}(p) : Elle est obtenue en ôtant les sections qui sont supersingulières dans la fibre en p [1].

Pour étudier l’existence de points Q(μ_{p})-rationnels sur X_{0}(p) nous ferons usage du résultat suivant.

Proposition 1. — Soit p un nombre premier. Soient K et L deux extensions finies de Q_{p} vérifiant les inclusions Q_{p} ⊂ K ⊂ L ⊂ Q_{p}(μ_{p}) et d’anneaux des entiers O_{K} et O_{L} respectivement. Posons S_{0} = Spec O_{K} et S = Spec O_{L}. Soit X un schéma lisse et noetherien sur S_{0} de fibre spéciale X̄. Soient s_{1} et s_{2} des sections du morphisme canonique X ×_{S_{0}} S ⟶ S dont les restrictions à la fibre générique (les “points” L-rationnels) sont notées P_{1} et P_{2}. Supposons que les restrictions de ces sections à la fibre spéciale de S coïncident avec une section s̄ : Spec F_{p} ⟶ X̄.

Supposons que pour tout caractère χ : Gal(L/K) ⟶ C^{∗} il existe un morphisme de S_{0}-schémas ϕ_{χ} : X ⟶ A, où A est le modèle de Néron sur S_{0} d’une variété abélienne A sur Q_{p}, vérifiant les deux conditions suivantes :

ι) Le morphisme ϕ_{χ} est une immersion formelle le long de s̄.

ιι) On a dans A(L) ⊗ Z[χ] :

∑_{σ∈Gal(L/K)} χ(σ)σ(ϕ_{χ}(P_{1})) = ∑_{σ∈Gal(L/K)} χ(σ)σ(ϕ_{χ}(P_{2})).

Alors les sections s_{1} et s_{2} (et donc P_{1} et P_{2}) coïncident.

Démonstration. — Notons P l’idéal de Z_{p}[μ_{p}] au-dessus de pZ_{p}. Notons P_{X} (resp. P_{A}) l’idéal maximal du complété formel de X (resp. A) le long de s̄ (resp. 0).

Supposons que s_{1} et s_{2} ne coïncident pas. Par passage aux espaces cotangents, ces sections définissent des homomorphismes s_{1}^{∗} et s_{2}^{∗} : P_{X} /P_{X}^{2} ⟶ P/P^{2} qui ne coïncident pas par le lemme de Nakayama. Pour χ caractère de Gal(L/K) notons e_{χ} = \frac{1}{[L:K]} ∑_{σ∈Gal(L/K)} χ(σ)σ l’idempotent de Z[χ, \frac{1}{p−1}][Gal(L/K)] qui projette sur la composante χ-isotypique. Le nombre p étant premier à [L : K], ces idempotents définissent une décomposition en somme directe du F_{p}-espace vectoriel P/P^{2}. Il existe donc un charactère χ : Gal(L/K) ⟶ Z[χ]^{∗} tel que e_{χ} ∘s_{1}^{∗} et e_{χ} ∘s_{2}^{∗} soient distincts. Puisque ϕ_{χ} est une immersion formelle le long de s̄, l’application cotangente ϕ_{χ}^{∗} : P_{A}/P_{A}^{2} ⟶ P_{X} /P_{X}^{2} déduite de ϕ_{χ} est surjective. Les applications e_{χ} ∘ s_{1}^{∗} ∘ ϕ_{χ}^{∗} et e_{χ} ∘ s_{2}^{∗} ∘ ϕ_{χ}^{∗} sont donc distinctes. Or cela contredit la formule dans A(O_{L}) déduite de l’hypothèse ιι) par extension au modèle de Néron.

2. Points d’ordre p de J_{0}(p)

L’assertion suivante est une conséquence facile des travaux de Mazur [14].

Proposition 2. — La variété abélienne J_{0}(p) ne possède pas de point Q(μ_{p})-rationnel d’ordre p. Démonstration. — L’énoncé est évident et sans intérêt si p = 2. Supposons donc que p > 2.

Soit P ∈ J_{0}(p)(Q(μ_{p}))[p]. Si P est non nul, quitte à multiplier par un élément de T approprié on peut supposer que l’annulateur de P dans T est un idéal maximal M qui est nécessairement de caractéristique résiduelle p.

Considérons le sous-schéma N en T/M-vectoriel engendré par P. C’est un sousschéma T/M-vectoriel de J_{0}(p)[M]. Notons i la dimension de l’espace vectoriel sur T/M sous-jacent. Comme J_{0}(p)(Q̄)[M] est un espace vectoriel de dimension 2 sur T/M ([14] proposition II.14.2 qui s’applique car p > 2), on a i = 1 ou 2.

Supposons qu’on ait i = 1. D’après [14], proposition II.14.1, l’idéal M est un idéal premier d’Eisenstein. Cela n’est possible que lorsque p divise le numérateur de (p − 1)/12, c’est-à-dire jamais. Cela exclut le cas i = 1.

Étudions maintenant le cas i = 2. On obtient alors un homomorphisme de groupes

Gal(Q(μ_{p})/Q) ≃ (Z/pZ)^{∗} ⟶ AutJ_{0}(p)(Q̄)[M] ≃ GL_{2}(T/M).

Comme T/M est un corps fini de caractéristique p > 2, une étude facile nous indique que l’image de cet homomorphisme est conjugué (dans GL_{2}(T/M)) à un sous-groupe diagonal. On obtient donc l’existence d’un sous T/M[Gal(Q(μ_{p})/Q)]-module de dimension 1 sur T/M. L’étude du cas i = 1 exclut précisément cette situation.

On a donc P = 0.

Corollaire . — Soit P un point d’ordre fini n de J_{0}(p)(Q(μ_{p})). L’ordre de l’extension de P au modèle de Néron de J_{0}(p) est d’ordre n dans la fibre en p. Démonstration. — On sait que n est premier à p d’après la proposition précédente. Un lemme de spécialisation bien connu (voir par exemple [15]) permet de conclure : Dans un schéma en groupe fini et plat sur l’anneau des entiers O d’une extension finie de Q_{p}, l’ordre d’un point d’ordre premier à p est déterminé dans la fibre spéciale. Or la variété abélienne J_{0}(p) possède bonne réduction en dehors de p, si bien que J_{0}(p)[n] s’étend en un schéma en groupe fini et plat sur Z_{(p)}.

Remarque : Ce dernier corollaire pourrait se déduire simplement du fait que J_{0}(p) est semi-stable et ne possède pas de sous-schéma en groupe de type μ d’ordre p d’après [14], théorème 2.

3. Rappels sur la géométrie de la section cuspidale

Considérons les pointes ∞ et 0 de X_{0}(p) qui sont des sections Spec Z ⟶ X_{0}(p). Ces notations désignent encore, par abus, toutes les sections qui s’en déduisent par changement de base (comme dans [14] II.1). Considérons le morphisme (sur Q) ϕ : X_{0}(p) ⟶ J_{0}(p) qui à P associe la classe du diviseur (P) − (∞). Il s’étend en un morphisme sur Spec Z encore noté ϕ : X_{0}(p)_{ℓ} ⟶ J_{0}(p). L’action de t s’étend en un endomorphisme sur Spec Z de J_{0}(p). Soit t ∈ T. Notons ϕ_{t} le morphisme de Z-schémas obtenu en composant ϕ avec t. Étudions la géométrie de ϕ_{t} dans la fibre en p, en reprenant la méthode de [15].

Proposition 3. — Supposons qu’on ait t ∉ pT. Le morphisme ϕ_{t} est une immersion formelle le long de la fibre spéciale en p de la pointe ∞. Démonstration. — Pout démontrer cela il suffit de vérifier d’une part que l’application déduite de ϕ_{t} sur les corps résiduel des complétés formels est bijective (ce qui est évident) et d’autre part que l’application ϕ_{t}^{∗} déduite de ϕ_{t} sur les espace cotangents en ∞ et 0 est surjective. L’étude de ces espaces cotangents est menée à bien dans [15] à l’aide de la structure fournie par la courbe de Tate. D’une part, le complété formel de X_{0}(p)_{/F_{p}} en ∞ s’identifie à F_{p}[[q]] [1], d’où l’isomorphisme de F_{p}-espaces vectoriels Cot_{∞}(X_{0}(p)_{/F_{p}}) ≃ F_{p}. D’autre part, Cot_{0}J_{0}(p)_{/F_{p}} s’identifie, par application de la dualité de Grothendieck, à H^{0}(X_{0}(p)_{/F_{p}}, Ω), lequel s’identifie à son tour à Hom(T, F_{p}), par la théorie des qdéveloppements ([15], 2.e)). En utilisant ces identifications dans le diagramme commutatif suivant, l’application ϕ^{∗} est décrite ainsi (loc. cit., démonstration de la proposition 3.1) :

Cot_{0}(J_{0}(p)_{/F_{p}}) ⟶ Cot_{∞}(X_{0}(p)_{/F_{p}})
↓ ↓
Hom(T, F_{p}) ⟶ F_{p}
ψ ↦ ψ(T_{1}).

L’application cotangente déduite de l’action de t sur J_{0}(p) est l’endomorphisme dual de t dans Cot_{0}(J_{0}(p)_{/F_{p}}). En composant les applications cotangentes, et en utilisant la compatibilité fournie par le lemme 2.1 de loc. cit., on obtient que l’application cotangente ϕ_{t}^{∗} :

Hom(T, F_{p}) ≃ Cot_{0}(J_{0}(p)_{/F_{p}}) ⟶ Cot_{∞}(X_{0}(p)_{/F_{p}}) ≃ F_{p}

déduite de ϕ_{t} est donnée par ψ ↦ ψ(t). Cette application cotangente est évidemment surjective si et seulement si t ∉ pT.

Remarque : Contrairement à [15], nous travaillons ici avec des sous-variétés abéliennes de J_{0}(p) et non des variétés abéliennes quotient. Cela nous dispense d’étudier les problèmes techniques posés par le comportement des suites exactes courtes de variétés abéliennes après passage aux espaces cotangents. Il serait plus délicat de prouver que ϕ_{t} en tant que morphisme à valeurs dans la variété abélienne tJ_{0}(p) est une immersion formelle en caractéristique p.

Ce point de vue a également été adopté par Parent dans sa thèse.

4. La géométrie des sections ordinaires

Notons J_{S} l’ensemble des invariants modulaires des courbes elliptiques supersingulières en caractéristique p. C’est un sous-ensemble de P^{1}(F_{p^{2}}) déduit du sous-Spec F_{p}-schéma fini de P^{1} défini par le polynôme supersingulier.

Rappelons quelle est la structure de la fibre spéciale en p de X_{0}(p) [1], V.1 : Elle possède deux composantes irréductibles isomorphes à X_{0}(1) (qui, via l’invariant modulaire j, est canoniquement isomorphe à P^{1}) qui se croisent transversalement en les points supersinguliers. L’involution W_{p} échange ces composantes et change un point supersingulier en son conjugué par Gal(F_{p^{2}}/F_{p}). Considérons la partie lisse X_{0}(p)_{ℓ/F_{p}} de X_{0}(p)_{/F_{p}}. Tout point de X_{0}(p)_{ℓ/F_{p}} est dans l’image de l’une des deux immersions ouvertes α_{1} et α_{p} : P^{1} − J_{S} ≃ X_{0}(1) − j^{−1}(J_{S}) ⟶ X_{0}(p)_{ℓ/F_{p}}.

Notons Δ_{S} le groupe des diviseurs de degré 0 à support dans les courbes elliptiques supersingulières en caractéristique p à isomorphisme près. Rappelons que la composante neutre de la fibre en p du modèle de Néron de J_{0}(p) est un tore sur F_{p} dont le groupe des caractères F̄_{p}-rationnels s’identifie à Δ_{S} [21]. Voici comment est obtenue cette identification. Soit ∑_{E}[E] ∈ Δ_{S}. Soit F un faisceau inversible sur X_{0}(p)_{/F_{p}}. Sa restriction aux composantes irréductibles de X_{0}(p)_{/F_{p}}, qui sont isomorphes à P_{/F_{p}}^{1}, est trivialisable. Notons s_{0} et s_{∞} des sections jamais nulles de ces restrictions aux composantes contenant les pointes 0 et ∞ respectivement. Le caractère λ de J_{0}(p)_{/F_{p}}^{0}correspondant à ∑_{E}[E] ∈ Δ_{S} est donné par la formule

λ(F̄) = ∏_{E}(s_{∞}(P_{E})/s_{0}(P_{E}))^{n_{E}},

où P_{E} désigne le point de X_{0}(p)_{/F_{p}}(F̄_{p}) correspondant à la courbe elliptique supersingulière E et où F̄ désigne la classe de F dans le groupe de Picard. Cette identification munit Δ_{S} d’une structure de T-module qui a été étudiée en détail, d’un point de vue théorique et d’un point de vue expérimental, par Mestre et Oesterlé [20], [21] , par Gross et Kudla [3] et par Gross [4]. Ajoutons que le groupe des composantes connexes de J_{0}(p)_{/F_{p}} est d’ordre égal au numérateur de (p − 1)/12 d’après l’appendice de [14].

Considérons une situation plus générale que celle étudiée dans la section 3. Soit d un entier ≥ 1 (nous n’utilisons dans le reste de cet article que les cas d = 1 et d = 2 ; Mais il nous semble que le cas général sera utile tôt ou tard). Notons par l’indice supérieur ^{(d)} le passage à la puissance symétrique d-ième. Considérons le morphisme

ϕ^{(d)} : X_{0}(p)^{(d)} ⟶ J_{0}(p),

normalisé par le fait que la puissance symétrique d-ième de la pointe ∞ est envoyée sur 0. Par propriété universelle des modèles de Néron, il s’étend en un morphisme sur Z encore noté ϕ^{(d)} : X_{0}(p)_{ℓ}^{(d)} ⟶ J_{0}(p).

Pour t ∈ T, la composition de ϕ^{(d)} avec la multiplication par t dans J_{0}(p), donne un morphisme sur Z

ϕ_{t}^{(d)} : X_{0}(p)_{ℓ}^{(d)} ⟶ J_{0}(p).

Bien entendu, on a ϕ_{t}^{(1)} = ϕ_{t}.

Quitte à composer ϕ^{(d)} avec la multiplication par p−1, ce qui est sans conséquence pour les propriétés de finitude de points rationnels et d’immersion formelle en caractéristique p, on peut supposer, compte-tenu de ce qui vient d’être dit sur la nature du groupe des composantes, que ϕ_{t}^{(d)}(X_{0}(p)_{ℓ}^{(d)}(F_{p})) est contenu dans J_{0}(p)_{/F_{p}}^{0}. Soit un caractère λ du tore J_{0}(p)_{/F̄_{p}}^{0} correspondant au diviseur ∑_{E} n_{E}[E] ∈ Δ_{S}, où E parcourt les courbes elliptiques

supersingulières. Soit (j_{1}, j_{2}, ..., j_{d}) ∈ (P^{1}(F̄_{p}) − J_{S})^{d}. Posons P_{d} = α_{1}^{(d)}(j_{1}, j_{2}, ..., j_{d}). On a

λ ∘ ϕ^{(d)}(P_{d}) = ∏_{i=1}^{d} ∏_{E}(j_{i} − j(E))^{n_{E}}.

Cette formule a été obtenue pour d = 1 par Mestre et Oesterlé [21] ; La formule générale s’en déduit en remarquant que ϕ^{(d)}(P_{1}, ..., P_{d}) = ϕ(P_{1}) + ... + ϕ(P_{d}).

Pour u ∈ {1, 2, .., d}, notons ι_{u} l’homomorphisme de groupes Δ_{S} ⟶ F̄_{p} donné par la formule

ι_{u}(∑_{E} n_{E}[E]) = ∑_{E} \frac{n_{E}}{(j − j(E))^{u}} .

Soit j ∈ P^{1}(F̄_{p}) − J_{S}. Posons P = α_{1}(j) ∈ X_{0}(p)_{ℓ}_{/F_{p}}(F̄_{p}). Notons P^{(d)} la puissance symétrique d-ième de P.

Proposition 4. — Soit t ∈ T. S’il existe δ_{1}, δ_{2},...,δ_{d} ∈ Δ_{S} tels que le déterminant de la matrice (ι_{u}(tδ_{i}))_{u,i∈{1,2,...,d}} soit non nul, alors la restriction à la fibre spéciale en p du morphisme ϕ_{t}^{(d)} est une immersion formelle au point P^{(d)}. Démonstration. — Posons δ_{i} = ∑_{E} m_{E,i}[E]. Notons λ_{i} le caractère du tore J_{0}(p)_{/F̄_{p}}^{0} correspondant à tδ_{i} par l’identification mentionnée ci-dessus. Notons λ le morphisme de groupes algébriques (λ_{1}, ..., λ_{d}) : J_{0}(p)_{/F̄_{p}}^{0} ⟶ G_{m}^{d}_{/F̄_{p}}.

Il faut donc établir que l’homomorphisme d’anneaux locaux ϕ_{t}^{(d)∗} sur les complétés formels déduit de ϕ_{t}^{(d)} est surjectif. Il suffit de pour cela de prouver que l’homomorphisme d’anneaux ϕ_{t}^{(d)∗} ∘ λ^{∗} est surjectif. C’est-à-dire que le morphisme λ ∘ ϕ_{t}^{(d)} : X_{0}(p)_{/F_{p}}^{(d)} ⟶ G_{m}^{d}_{/F_{p}} est une immersion formelle au point P^{(d)}.

Composons encore par l’immersion ouverte α_{1}^{(d)}. Il suffit de démontrer que le morphisme λ ∘ ϕ_{t}^{(d)} ∘ α_{1}^{(d)} : (P^{1} − S)^{(d)} ⟶ G_{m}^{d} est une immersion formelle en j^{(d)}. Notons σ_{u} est le u-ième polynôme symétrique élémentaire en j_{1}, ..., j_{d}. La i-ième coordonnée du morphisme λ ∘ ϕ_{t} ∘ α_{1}^{(d)} est donné par la fraction rationnelle F_{i} :

(j_{1}, ..., j_{d}) ↦ F_{i}(j_{1}, ..., j_{d}) = ∏_{k=1}^{d} ∏_{E}(j_{k} − j(E))^{m_{E,i}} = ∏_{E}(∑_{u=0}^{d}(−1)^{d−u}σ_{d−u}j(E)^{u})^{m_{E,i}}.

L’espace tangent en (j_{1}, ..., j_{d}) de (P^{1} − S)^{(d)} a pour base la famille dσ_{1}, ..., dσ_{d}. Un calcul évident de différentielle logarithmique donne

\frac{dF_{i}}{F_{i}} = ∑_{E} \frac{m_{E,i}}{∏_{k=1}^{d}(j_{k} − j(E))} ∑_{u=0}^{d−1}(−1)^{d−u}j(E)^{u} dσ_{d−u}.

Le morphisme λ ∘ ϕ_{t} ∘ α_{1}^{(d)} est une immersion formelle en (j_{1}, ..., j_{d}) si et seulement la famille (dF_{i}) est linéairement indépendante dans l’espace tangent en (j_{1}, ..., j_{d}) de (P^{1} − S)^{(d)}.

Comme on examine la situation en (j_{1}, ..., j_{d}) = (j, ..., j), cela revient à vérifier que la matrice carré d’ordre d de terme (i, u) égal à (∑_{E} \frac{m_{E,i}j(E)^{u−1}}{(j−j(E))^{d}}) est inversible. Une manipulation élémentaire montre que cette matrice est de déterminant égal à celui de la matrice (ι_{u}(tδ_{i}))_{u,i∈{1,2,...,d}}. Cela achève notre démonstration.

Remarque : Cette condition d’indépendance linéaire est à comparer à celle obtenue par Kamienny dans [7], pour P = ∞; Néanmoins nous ne faisons pas intervenir d’opérateurs de Hecke.

Comme nous le verrons dans la troisième partie, la proposition 4 est utile à l’étude au cas par cas de la non-existence de points p-ordinaires de X_{0}(p). Pour étudier de façon uniforme ces points, il faudrait savoir comparer les T-modules Δ_{S} et H_{1}(X_{0}(p)(C), Z) de façon à comprendre la relation entre les valeurs de fonctions L et la structure de T-module de Δ_{S}. Les meilleures informations dont on dispose dans cette direction semblent être contenues dans [3] et [4].

5. Discussion de la littérature sur les travaux de Kato

Soit A une sous-variété abélienne simple et non triviale de J_{0}(p). Par la théorie de Shimura [25], une telle variété abélienne est associée à une forme primitive f, bien définie à conjugaison près, pour Γ_{0}(p). Soit χ un caractère de Dirichlet (Z/pZ)^{∗} ⟶ C^{∗}. Nous avons besoin de l’énoncé suivant, annoncé par Kato (série d’exposés à l’IAS, Princeton, automne 1995) et qui résulte de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour les variétés abéliennes sur Q.

La composante χ-isotypique A(Q(μ_{p}))^{χ} de A(Q(μ_{p})) ⊗ Z[χ] est finie lorsqu’on a L(f, χ, 1) ≠ 0.

Signalons que cela ne semble pas résulter de [11]. En attendant que Kato publie ses travaux, essayons d’indiquer comment lire les textes de Scholl [24] et Rubin [23] pour obtenir un tel résultat.

Remarquons d’abord que cela est équivalent (par dualité) à l’énoncé analogue où “sous-variété abélienne” est remplacé par “variété abélienne quotient” (en remplaçant χ par le caractère conjugué, ce qui est sans importance). Notons B la variété abélienne duale de A.

Considérons la variété abélienne C obtenue par à partir de B par restriction des scalaires de Q(μ_{p}) à Q. Cette variété abélienne est par construction munie d’une action de Gal(Q(μ_{p})/Q) ≃ (Z/pZ)^{∗}. Cela donne une décomposition à isogénie près de C correspondant à la décomposition en produit de Q-algèbres simples de Q[(Z/pZ)^{∗}]. Considérons le facteur C_{χ} (bien défini à isogénie près, mais pas nécessairement simple) de C correspondant au caractère χ. La finitude de A(Q(μ_{p}))^{χ}, qui ne dépend que de la classe de conjugaison de χ, est équivalente à la finitude de C_{χ}(Q).

La variété C_{χ} est une variété abélienne quotient de J_{1}(p^{2}) et est caractérisée par le fait que la série L(C_{χ}, s) est donnée par la formule

L(C_{χ}, s) = ∏_{f′,χ′} L(f′, χ′, s),

où f′ et χ′ parcourent les formes primitives conjuguées à f et les caractères conjugués à χ respectivement. Elle est isogène à un produit de quotients simples de J_{1}(p^{2}) correspondant (par la théorie de Shimura) aux classes de conjugaison de formes primitives de niveau p^{2} obtenues en tordant par χ les conjuguées de f. On a L(f, χ, 1) = L(g, 1), où g est la forme primitive tordue de f par χ.

On s’est donc ramené à l’énoncé suivant : Soit D la variété abélienne simple sur Q associée à g par la théorie de Shimura. Le groupe D(Q) est fini lorsque L(g, 1) ≠ 0.

La variété abélienne D possède des multiplications par un ordre O d’un corps de nombres K. Soit λ un idéal maximal de l’anneau de O. Notons l la caractéristique résiduelle correspondante. Pour rester dans un cadre aussi proche que possible de celui de [23], nous imposons à l d’être distinct de p et totalement décomposé dans K (cela est loisible sans être nécessaire). On a donc K_{λ} = Q_{l}. Le module de Tate λ-adique T_{λ} de D fournit une représentation l-adique V de dimension 2 et continue :

ρ : Gal(Q̄/Q) ⟶ GL(T_{λ} ⊗ Q_{l}) ≃ GL_{2}(K_{λ}) ≃ GL_{2}(Q_{l}) ≃ GL(V).

Cette représentation l-adique entre dans le cadre de l’étude de [23], section 1. Pour prouver la finitude de D(Q), il suffit de prouver la finitude du groupe de Selmer associé (loc. cit). Pour cela on applique le formalisme des systèmes d’Euler comme dans loc. cit, sections 2 et 3 (les preuves détaillées figurent dans les références indiquées dans loc. cit.). Pour appliquer ce formalisme on vérifie que V est bien muni d’un système d’Euler, en adaptant la section 5.2 de [24] au cas où D n’est pas nécessairement une courbe elliptique. Plus précisément, on utilise que J_{1}(p^{2}) et donc D est un quotient de J(p^{2}) ; Or dans loc. cit. est établi l’existence d’un système d’Euler relatif au module de Tate l-adique de J(p^{2}) qui par projection sur la variété abélienne D donne lieu à un système d’Euler relatif à V. La non trivialité du système d’Euler de V résulte de la non nullité de L(g, 1) (Nous n’avons pas vérifié ce point essentiel, qui est démontré dans loc. cit. théorème 5.2.7, pour les quotients elliptiques).

Pour appliquer le théorème 3.1 de [23], et conclure à la finitude du groupe de Selmer il faut encore vérifier que l’hypothèse Hyp(Q_{∞}, V) de loc. cit, section 3, est satisfaite. C’est-à-dire l’existence de τ ∈ Gal(Q̄/Q) agissant trivialement sur les racines de l’unité d’ordre une puissance de l et tel que l’endomorphisme ρ(τ) soit non-scalaire et possède 1 comme valeur propre.

Comme J_{0}(p) (et donc aussi B) a réduction purement multiplicative en p, il existe τ_{0} ∈ Gal(Q̄/Q) (plus précisément dans un groupe de décomposition en p) agissant de façon unipotente et non triviale sur le module de Tate l-adique de B. En raison des accouplements de Weil, il en résulte que τ_{0} agit trivialement sur les racines d’ordre une puissance de l. Posons τ = τ_{0}^{p−1} ∈ Gal(Q̄/Q). Cet élément opère de façon unipotente et non triviale sur le module de Tate l-adique de B et trivialement sur les racines d’ordre une puissance l. Puisque D est obtenue par restriction des scalaires de Q(μ_{p}) à Q, et que τ opère trivialement sur Q(μ_{p}), ρ(τ) est unipotent et non trivial. Il satisfait donc les conditions cherchées. Cela prouve l’hypothèse Hyp(Q_{∞}, V).

6. Points quadratiques p-cuspidaux

La question des points quadratiques se traite grâce aux méthodes de Kamienny et Mazur [10]. À noter que la question des points Q(\sqrt{±p})-rationnels de X_{1}(p) a été étudiée dans [8] et [9]. Par un point p-cuspidal Q(μ_{p})-rationnel de Y_{0}(p), nous entendons un point Q(μ_{p})-rationnel de X_{0}(p) distinct d’une pointe et d’invariant modulaire qui est de valuation p-adique < 0 (de façon équivalente c’est un point dont l’extension en une Spec Z[μ_{p}]-section coïncide avec une pointe dans la fibre en p mais pas globalement).

Proposition 5. — La courbe modulaire Y_{0}(p) ne possède pas de points quadratiques Q(μ_{p})-rationnels qui sont p-cuspidaux lorsque p > 19 et p ≠ 37. Démonstration. — Supposons que la courbe modulaire X_{0}(p) possède un tel point (qui serait bien entendu Q(\sqrt{p}) ou Q(\sqrt{−p}) rationnel). Il en résulterait l’existence d’un point Q-rationnel du carré symétrique X_{0}(p)^{(2)} de X_{0}(p). Un tel point s’étend en un point sur Z de X_{0}(p)^{(2)}. Comme ce point est déduit d’un point cuspidal Q(μ_{p})-rationnel et de son conjugué, sa réduction modulo p coïncide avec le carré symétrique de l’une des deux pointes de la fibre en p de X_{0}(p). Quitte à appliquer l’involution W_{p}, on peut supposer que cette pointe est ∞.

Considérons maintenant le morphisme ϕ^{(2)} : X_{0}(p)_{ℓ}^{(2)} ⟶ J_{0}(p) (voir section 5). Composons-le avec le morphisme canonique de schémas en groupes sur Z

J_{0}(p) ⟶ J̃,

où J̃ est le modèle de Néron sur Z du quotient d’Eisenstein J̃ de J_{0}(p) (voir [14]).

Le fait que J̃ ne possède qu’un nombre fini de points Q-rationnels [14] permet d’utiliser le critère d’immersion formelle de Kamienny [6] : si les opérateurs T_{1} et T_{2} sont F_{p}- linéairement indépendants dans T/(pT + ∩_{k=1}^{∞}I^{k}) (où I désigne l’idéal d’Eisenstein de T) alors P coïncide avec la pointe ∞. Prenons note que Kamienny n’a utilisé son critère d’immersion formelle qu’en caractéristiques distinctes de 2 et p; En réalité l’argument fonctionne de façon identique en caractéristique p si on tient compte du fait que J_{0}(p) ne possède pas de point Q-rationnel d’ordre p, ce qui est prouvé dans [14].

Supposons que les opérateurs T_{1} et T_{2} soient linéairement dépendants. On a alors T_{2} ∈ pT + Z. L’inégalité de Ramanujan-Petersson impose qu’on a T_{2} ∈ Z ; En effet, si α et β sont deux valeurs propres distinctes de T_{2}, le nombre (α − β)/p est un entier algébrique non nul dont toutes les valeurs absolues archimédiennes sont < 4\sqrt{2}/p, quantité < 1 lorsque p ≥ 7.

Kamienny [7], a démontré que T_{2} n’est pas un scalaire dans le quotient d’Eisenstein lorsque p > 61. Un examen des tables de formes modulaires montre que cela est encore le cas lorsque p > 19 et p ≠ 37.

Remarque : Au vu de la section 7 suivante, seuls nous intéressent les cas où p ≡ 1 (mod 4). Y a-t-il des points p-cuspidaux et Q(\sqrt{p})-rationnels de Y_{0}(p) pour p = 17 et p = 37 ?

7. Preuve du théorème principal

Par point p-supersingulier Q(μ_{p})-rationnels de X_{0}(p) on entendra un point Q(μ_{p})- rationnel dont l’extension en une Spec Z[μ_{p}]-section n’est pas supersingulière dans la fibre en p.

Proposition 6. — Soient P_{1} et P_{2} deux points Q(μ_{p})-rationnel de X_{0}(p) dont les extensions s_{1} et s_{2} à X_{0}(p) coïncident sans être supersingulières en caractéristique p. Supposons que pour tout caractère de Dirichlet χ de Gal(Q(μ_{p})/Q), il existe t_{χ} ∈ T tel que la classe du diviseur t_{χ}((P_{1}) − (P_{2})) soit d’ordre fini dans la composante χ-isotypique de J_{0}(p)(Q(μ_{p})) ⊗ Z[χ] et tel que le morphisme ϕ_{t_{χ}} : X_{0}(p) ⟶ J_{0}(p) soit une immersion formelle en caractéristique p au point P_{1}_{/F_{p}} = P_{2}_{/F_{p}}. On a alors P_{1} = P_{2}. Démonstration. — C’est une application facile de la proposition 1 avec X = X_{0}(p), A = J_{0}(p), ϕ_{χ} = ϕ_{t_{χ}}, L = Q_{p}(μ_{p}) et K = Q_{p}. L’hypothèse ι) est évidemment satisfaite. Considérons l’élément ∑_{σ∈Gal(Q(μ_{p})/Q)} χ(σ)σ(ϕ_{χ} ∘ s_{1} − ϕ_{χ} ∘ s_{2}) de J_{0}(p)(Z[μ_{p}]) ⊗ Z[χ]. Il est nul dans la fibre en p et d’ordre fini dans la fibre générique. Il est donc nul d’après le corollaire de la proposition 2 et par platitude de Z[χ]. Cela prouve que ιι) est vérifié puisque Gal(Q(μ_{p})/Q) ≃ Gal(Q_{p}(μ_{p})/Q_{p}).

Corollaire 1. — Soit K un sous-corps de Q(μ_{p}) d’anneau des entiers O_{K}. Soit P un point K-rationnel de Y_{0}(p) non p-supersingulier. Supposons que pour caractère de Gal(Q(μ_{p})/Q) qui est non trivial sur Gal(Q(μ_{p})/K), il existe t_{χ} ∈ T tel que la composante χ-isotypique de t_{χ}J_{0}(p)(Q(μ_{p})) soit finie et que le morphisme ϕ_{t_{χ}} : X_{0}(p)_{ℓ} ⟶ J_{0}(p) soit une immersion formelle au point P_{/F_{p}} (obtenu en restreignant à la fibre en p l’extension en une Spec Z[μ_{p}]-section de P). Alors P est K-rationnel. Démonstration. — Il suffit évidemment de prouver qu’on a P_{1} = P_{2} pour P_{1} = P et P_{2} = P^{σ_{0}}, où σ_{0} engendre le groupe cyclique Gal(Q(μ_{p})/K). Comme l’extension Q(μ_{p})|Q est totalement ramifiée, les extensions s_{1} et s_{2} de P_{1} et P_{2} à X_{0}(p) coïncident dans la fibre en p. Si χ est non trivial sur Gal(Q(μ_{p})/K), la classe de t_{χ}((P_{1}) − (P_{2})) est d’ordre fini dans la composante χ-isotypique de J_{0}(p)(Q(μ_{p})). Sinon, on a, puisque P_{2} = P_{1}^{σ_{0}},

∑_{σ∈Gal(Q(μ_{p})/K)} χ(σ)(P_{1}^{σ} − P_{2}^{σ}) = 0.

On peut donc appliquer la proposition 6 à P_{1} et P_{2}, d’où P_{1} = P_{2}.

Corollaire 2. — Soit P un point p-cuspidal Q(μ_{p})-rationnel de Y_{0}(p). Si on a H_{p}(χ) pour tout caractère de Dirichlet de (Z/pZ)^{∗} non quadratique pair, alors P est un point quadratique réel.

Démonstration. — Notons K le plus grand sous-corps totalement réel de Q(μ_{p}) de degré 1 ou 2. Appliquons le corollaire 1 de la proposition 6 pour prouver que P est K-rationnel. Observons d’abord qu’il suffit de prouver que pour tout caractère χ ≠ 1 de Gal(Q(μ_{p})/K) il existe t_{χ} ∈ T, t_{χ} ≠ 0, tel que la composante χ-isotypique de t_{χ}J_{0}(p)(Q(μ_{p})) soit finie (Cette dernière propriété est inchangée si on remplace t_{χ} par un de ses multiples rationnels dans T). En effet quitte à diviser t_{χ} par une puissance de p, on a t_{χ} ∉ pT, puisque t_{χ} est non nul. D’après la proposition 3, ϕ_{t_{χ}} est une immersion formelle en caractéristique p au point ∞_{/F_{p}} = P_{/F_{p}}.

Il reste à vérifier que l’hypothèse H_{p}(χ) garantit l’existence de t_{χ}. Il existe donc une forme primitive f de poids 2 pour Γ_{0}(p) telle que L(f, χ, 1) ≠ 0. Soit t_{χ} ∈ T tel que t_{χ}g ≠ 0 (resp. t_{χ}g = 0), lorsque g est une forme primitive conjuguée (resp. non conjuguée) de f. Il en existe puisque les formes paraboliques à coefficients rationnels constituent un T⊗Q-module libre de rang 1. La variété abélienne t_{χ}J_{0}(p) est donc Q-isogène à la variété abélienne associée à f par la théorie de Shimura. Les propriétés de finitude de composantes χ-isotypiques sont invariantes par isogénies. Il suffit donc d’appliquer les résultats de Kato (voir section 5) pour conclure.

Remarque : Nous n’avons pas démontré que L(f, χ, 1) ≠ 0 entraîne L(g, χ, 1) ≠ 0 lorsque f et g sont des formes primitives conjuguées. Mais comme on le verra dans la proposition 7, l’hypothèse H_{p}(χ) ne dépend que de la classe de conjugaison de χ.

Corollaire 3. — Si p est congru à 1 modulo 4, p > 17 et p ≠ 37, supposons qu’on ait H_{p}(χ) pour tout caractère χ non quadratique. Alors Y_{0}(p) ne possède pas de points Q(μ_{p})-rationnels p-cuspidaux.

Si p est congru à −1 modulo 4, et p ∉ {3, 7}, supposons qu’on ait H_{p}(χ) pour tout caractère χ. Alors Y_{0}(p) ne possède pas de points Q(μ_{p})-rationnels p-cuspidaux. Démonstration. — Soit P un point p-cuspidal de Y_{0}(p). Si p est congru à −1 modulo 4, le corollaire 3 entraîne que P est Q-rationnel. D’après [14] corollaire 4.4 , Y_{0}(p) ne possède pas de point Q-rationnel p-cuspidal lorsque p ∉ {2, 3, 5, 7, 13}.

Si p est congru à 1 modulo 4, le point P est quadratique d’après le corollaire 2. Mais cela est exclu d’après la proposition 5.

Remarques : William Stein a vérifié l’hypothèse H_{p}(χ) lorsque χ n’est pas quadratique pair et p ∉ {2, 3, 5, 7, 13} et p ≤ 233. Cela prouve que l’ensemble S_{0,c} ne contient aucun élément p ≤ 233 en dehors de l’ensemble {2, 3, 5, 7, 13, 17, 37}.

Lorsque K est un sous-corps de Q(μ_{p}), on peut démontrer l’inexistence de points K-rationnels p-cuspidaux comme ci-dessus en se contentant de l’hypothèse H_{p}(χ) pour les caractères χ qui se factorisent par le groupe quotient de (Z/pZ)^{∗} correspondant à Gal(K/Q).

Une démonstration analogue à celle que nous venons d’exposer, et ses applications aux points rationnels de X_{0}(p) comme ci-dessus, mais sous l’hypothèse plus forte où le morphisme ϕ_{χ} peut être choisi indépendamment de χ, figure implicitement dans [15] (voir la formalisation figurant dans le corollaire 4.3).

§2. Méthodes non-analytiques et séries de Dirichlet

1. Rappels sur les symboles modulaires

Dans cette deuxième partie la courbe modulaire X_{0}(p) sera exclusivement vue comme la surface de Riemann compacte et connexe X_{0}(p)(C) = Γ_{0}(p)\H ∪ P^{1}(Q), où H est le demi-plan de Poincaré. On notera ptes l’ensemble Γ_{0}(p)\P^{1}(Q) de ses pointes.

Soit (a, b) ∈ P^{1}(Q). Notons {α, β} la classe d’homologie dans H_{1}(X_{0}(p)(C), ptes; Z) définie par la classe de l’image dans X_{0}(p) d’un chemin continu reliant α à β dans H. Observons que, lorsque α et β ont des dénominateurs premiers à p (resp. divisibles par p), ils sont conjugués par Γ_{0}(p) et {α, β} appartient au sous-groupe H_{1}(X_{0}(p)(C), Z) de H_{1}(X_{0}(p)(C), ptes; Z).

Lorsque g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z), le symbole modulaire \{g0, g∞\} ne dépend que de

Γ_{0}(p)g, i.e. que de la classe de (c, d) dans P^{1}(Z/pZ). Notons le ξ(c, d), ou encore, en notation inhomogène, ξ(c/d). Lorsque c et d parcourent les entiers premiers à p, les classes ξ(c/d) engendrent H_{1}(X_{0}(p)(C); Z). Lorsque a ∈ Z, on a ξ(a) = {0, −1/a}. On a ξ(1) = 0. L’involution W_{p} de X_{0}(p) est déduite de z ↦ −1/z sur H. On a donc la formule

W_{p}(ξ(a)) = {∞, a/p}.

L’espace H_{1}(X_{0}(p)(C), ptes; Z) est muni de l’involution donnée par la conjugaison complexe. Cette involution est déduite de l’involution z ↦ −z̄ de H. Elle agit donc par ξ(u) ↦ −ξ(1/u) = ξ(−u) sur les symboles modulaires. Elle induit une involution sur H_{1}(X_{0}(p)(C); Z). On notera H_{1}(X_{0}(p)(C); Z)_{+} et H_{1}(X_{0}(p)(C); Z)_{−} les parties invariantes et antiinvariantes de H_{1}(X_{0}(p)(C); Z) par la conjugaison complexe. Rappelons que H_{1}(X_{0}(p)(C); Z) est un module acyclique sous l’action de la conjugaison complexe [19], section 1.3.

2. Reformulation topologique

Dans le reste de cette seconde partie, par caractère on entendra caractère de Dirichlet (Z/pZ)^{∗} ⟶ C^{∗}.

Proposition 7. — Soit χ un caractère différent de 1. On a H_{p}(χ) si et seulement si le symbole modulaire

θ_{χ} = ∑_{a=1}^{p−1} χ(a)\{\frac{a}{p}, ∞\} ∈ H_{1}(X_{0}(p)(C), Z[χ])

est non nul. Démonstration. — Notons τ(χ) la somme de Gauss ∑_{a=0}^{p−1} χ(a)e^{2iπa/p}. On a H_{p}(χ) si et seulement si l’expression

L(f, χ, 1) = 2πτ(χ) ∑_{a=1}^{p−1} χ(a) ∫ ∞_{\frac{a}{p}} f(z) dz

est non nulle pour une forme modulaire f de poids 2 pour Γ_{0}(p). Notons ω_{f} la forme différentielle sur X_{0}(p) déduite de f(z) dz par passage au quotient.

On a alors

L(f, χ, 1) = τ(χ) ∫_{θ_{χ}} ω_{f}.

Observons que θ_{χ} est invariant (resp. antiinvariant) par la conjugaison complexe lorsque χ est pair (resp. impair). En effet, cette conjugaison est déduite de l’involution z ↦ −z̄ sur H; Elle transforme donc le symbole modulaire {α, β} en {−α, −β} et donc θ_{χ} en χ(−1)θ_{χ}.

Comme a/p (pour a entier premier à p) et ∞ sont conjugués par Γ_{0}(p), le symbole modulaire \{∞, \frac{a}{p}\}, et donc θ_{χ}, sont éléments de H_{1}(X_{0}(p)(C), Z[χ]).

L’intégration des formes différentielles holomorphes fournit un accouplement parfait entre H^{0}(X_{0}(p)(C), Ω^{1}) et la partie invariante (resp. antiinvariante) par la conjugaison complexe de H_{1}(X_{0}(p)(C), C).

Comme toute forme différentielle holomorphe sur X_{0}(p) s’obtient de façon unique comme image d’une forme modulaire par f ↦ ω_{f}, l’hypothèse H_{p}(χ) équivaut à la nullité de θ_{χ}.

3. Reformulation élémentaire

Commençons par traiter le cas du caractère trivial. La proposition suivante est bien connue au moins depuis les travaux de Mazur [14] (i.e. le quotient d’Eisenstein de J_{0}(p) est non trivial si et seulement si le numérateur de (p − 1)/12 est > 1). Nous en donnons une preuve facile.

Proposition 8. — On a H_{p}(1) pour tout nombre premier p ∉ {2, 3, 5, 7, 13}. Démonstration. — D’après [18], il suffit de prouver que l’élément d’enroulement e ∈ H_{1}(X_{0}(p)(C), Q) est non nul. Rappelons que cet élément d’enroulement est défini de la façon suivante. Posons V = Hom_{C}(H^{0}(X_{0}(p), Ω^{1}), C). Notons L le plongement dans V de H_{1}(X_{0}(p)(C), Z) par l’application qui à c associe ω ↦ ∫_{c} ω. Cette image est un réseau de V et J_{0}(p)(C) s’identifie canoniquement à V/L par la théorie d’Abel. Soit c_{e} un 1-cycle donné par l’image dans X_{0}(p)(C) d’un chemin reliant 0 à i∞ dans H. Il a pour bord le diviseur (∞) − (0) de X_{0}(p). L’élément d’enroulement e est, par définition, l’image par l’isomorphisme d’espaces vectoriels réels V ≃ H_{1}(X_{0}(p)(C), R) de ω ↦ ∫_{c_{e}} ω. Il est donc nul si et seulement si ω ↦ ∫_{c_{e}} ω est non nul.

L’application ω ↦ ∫_{c_{e}} ω est un élément de V dont l’image dans V/L ≃ J_{0}(p)(C) est la classe du diviseur (∞) − (0). La classe d’un diviseur formé par la différence de deux points distincts est non nulle dans la jacobienne d’une courbe de genre > 0. L’application ω ↦ ∫_{c_{e}} ω et donc a fortiori e sont non nuls lorsque le genre de X_{0}(p) est non nul. Or le genre de X_{0}(p) est nul si et seulement si on a p ∈ {2, 3, 5, 7, 13}.

Pour k ∈ {1, 2, ..., p−1}, notons k_{∗} l’unique élément de {1, 2, ..., p−1}, tel que kk_{∗} ≡ −1 (mod p). Pour u ∈ (Z/pZ)^{∗} et pour χ caractère différent de 1, posons

F (χ, u) = ∑_{x=u}^{−1/u}′χ(x) − χ(−1/x)

où le symbole ′ signifie que la somme ne tient pas compte des termes pour lesquels x ∈ pZ et par abus de notation les bornes sont des représentants quelconques de u et −1/u dans Z.

Proposition 9. — Soit χ un caractère différent de 1. On a H_{p}(χ) si et seulement si il existe u ∈ (Z/pZ)^{∗} tel que F (χ, u) ≠ 0. Démonstration. — D’après la proposition 7, il suffit d’étudier la nullité de θ_{χ}, ou, ce qui en revient au même puisque W_{p} est une involution, de W_{p}θ_{χ}. Or, on a

W_{p}θ_{χ} = ∑_{k=1}^{p−1} χ(a)ξ(a).

Utilisons les produits d’intersection sur H_{1}(X_{0}(p)(C), Z). Ils constituent un accouplement bilinéaire non dégénéré à valeurs dans Z noté •.

Comme on l’a rappelé dans la section 1, les éléments ξ(k) engendrent H_{1}(X_{0}(p)(C), Z) lorsque k parcourt l’ensemble {1, 2, ..., p − 1}. On a donc W_{p}θ_{χ} = 0 si et seulement si W_{p}θ_{χ} • ξ(k) = 0 pour tout k ∈ {1, 2, ..., p − 1}.

Rappelons le lemme 4 de [18] (lemme des cordes). On désigne par corde C_{k} le segment de droite orienté de C reliant e^{\frac{2πik∗}{p}} à e^{\frac{2πik}{p}}. Soient k et k′ deux éléments de \{1, ..., p−1\} tels que k ≠ k′, k ≠ k′_{∗}. Le produit d’intersection ξ(k) • ξ(k′) est égal au nombre d’intersection (égal à −1, 0 ou 1) des cordes C_{k′} et C_{k}.

On en déduit immédiatement la formule

W_{p}θ_{χ} • ξ(k) = ∑_{x=u}^{−1/u}′χ(x) − χ(−1/x) = F (χ, u).

Remarque : Au vu de la proposition 9, la condition H_{p}(χ) n’est jamais satisfaite lorsque χ est un caractère quadratique pair. Si on admet la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, cela entraine que J_{0}(p)(Q(\sqrt{p})) contient un T-module libre de rang 1. Peut-on en mettre en évidence un générateur ?

4. Congruences élémentaires

Proposition 10. — Supposons que p soit un nombre premier congru à 11 ou 19 modulo 20 et que χ soit un caractère impair. Alors on a H_{p}(χ). Démonstration. — Puisque p est congru à 1 ou −1 modulo 5, 5 est un carré modulo p, par la loi de réciprocité quadratique. L’équation x^{2}+3x+1 = 0 possède donc des solutions dans Z/pZ. Notons u_{1} et u_{2} ces solutions. On a alors −1/u_{1} = u_{1} + 3 et (u_{1} + 1)(u_{1} + 2) = 1. Appliquons le critère élémentaire de la proposition 9 à u = u_{1}. Cela donne

∑_{x=u_{1}}^{−1/u_{1}} ′χ(x) − χ(−1/x) = χ(u_{1} + 1) − χ(−1/(u_{1} + 1)) + χ(u_{1} + 2) + χ(−1/(u_{1} + 2)).

En utilisant les relations −1/u_{1} = u_{1} + 3 et (u_{1} + 1)(u_{1} + 2) = 1 et l’imparité de χ, on obtient

∑_{x=u_{1}}^{−1/u_{1}} ′χ(x) − χ(−1/x) = 2χ(u_{1} + 1) + 2χ̄(u_{1} + 1) = 2χ̄(u_{1} + 1)(1 + χ(u_{1} + 1)^{2}).

Comme p est congru à −1 modulo 4, il n’y a pas de racine primitive quatrième de l’unité dans Z/pZ et donc χ(u_{1} + 1)^{2} ≠ −1. La somme ∑_{x=u_{1}}^{−1/u_{1}} ′χ(x) − χ(−1/x) n’est donc pas nulle et on a H_{p}(χ).

Proposition 11. — Supposons que χ soit un caractère quadratique impair et que p ∉ {3, 7}. Alors on a H_{p}(χ). Démonstration. — On a alors p ≡ −1 (mod 4). Comme χ est quadratique et impair on a

F (χ, u) = 2 ∑_{x=u}^{−1/u}′χ(x).

Le caractère χ est à valeurs dans {−1, +1}. Il suffit donc d’établir l’existence de a ∈ {1, 2, ..., p − 1} avec a et a_{∗} de même parité pour conclure. En effet dans ce cas la somme qui définit F (χ, u) possède un nombre impair de termes égaux à 1 ou −1, ce qui entraîne la non nullité de F (χ, a + pZ).

Supposons que pour tout a ∈ {1, 2, ..., p − 1}, les entiers a et a_{∗} soient de parités opposées. Comme p est congru à −1 modulo 4, on a 4_{∗} = (3p − 1)/4. Soient i et j deux entiers > 0 tels que (3p − 1)/4 = ij. On a (2i)_{∗} = 2j sauf si i ou j est égal à 1. On en conclut que (3p − 1)/4 est premier et donc impair sauf si p = 3, cas désormais exclu.

Par conséquent (7p−1)/8 est entier. Par un raisonnement analogue à celui qui précède on obtient que (7p − 1)/8 est un nombre premier sauf si p < 8, cas que l’on peut désormais écarter. Cela nous donne que (7p − 1)/8 est premier à 3.

C’est pourquoi on a 3|(2p−1) et donc 3_{∗} = (2p−1)/3 qui est un nombre impair. Cela est absurde.

Proposition 12. — Supposons que χ soit un caractère injectif. Alors on a H_{p}(χ) pour tout p ∉ {2, 3, 5, 7, 13, 1487}. Démonstration. — Le nombre premier p est totalement décomposé dans le corps Q[χ] = Q(μ_{p−1}). Soit P un idéal de Q[χ] au-dessus de p. Le caractère χ̃, obtenu en composant χ avec la réduction modulo P coïncide donc avec l’élévation à une certaine puissance k dans (Z/pZ)^{∗}. Comme χ est injectif, l’entier k est premier à p − 1. Quitte à remplacer P par un idéal conjugué, on peut supposer qu’on a k = 1. Notons F̄ la réduction modulo P de F.

On a donc dans Z/pZ

F̄(χ, u) = ∑_{x=u}^{−1/u}′x + 1/x.

L’un des trois nombres 3, 5 et 15 est un carré modulo p. En d’autres termes, l’une des trois équations x^{2} + 4x + 1 = 0, x^{2} + 3x + 1 = 0 et x^{2} + 8x + 1 = 0 admet des solutions dans Z/pZ. Il existe donc u ∈ (Z/pZ)^{∗} tel que −1/u soit égal à u + 4, u + 3 ou u + 8.

Calculons F̄(χ, u) lorsqu’on a P_{d}(u) = u^{2} + du + 1 ≡ 0 (mod p). Soit i un entier > 0 et < d. On a, en utilisant la relation (u + i)(u + d − i) ≡ i(d − i) − 1 (mod p),

u + i + \frac{1}{u + i} + u + d − i + \frac{1}{u + d − i} ≡ \frac{i(d − i)}{u + d − i} + \frac{i(d − i)}{u + i} ≡ \frac{i(d − i)(2u + d)}{i(d − i) − 1} (mod p).

Notons qu’on a P′_{d}(u) = 2u + d et que le polynôme P_{d} n’a pas de racine multiple pour p |̸d^{2} − 4. Plus précisément les polynômes P_{3}, P_{5} et P_{15} sont sans racine multiple pour p distinct de 2, 3 et 5. On a alors P′_{d}(u) ≠ 0. Lorsque u + i ≠ 0, pour 0 < i < d, on obtient la relation

F̄(χ, u) = \frac{1}{2}P′_{d}(u) ∑_{0<i<d}′ \frac{i(d − i)}{i(d − i) − 1},

où le signe′ signifie que l’on a oublié les pôles dans la somme. Lorsqu’il existe i ∈ {1, 2, ..., d} tel que u + i = 0, la quantité ∑_{0<i<d} \frac{i(d−i)}{i(d−i)−1} admet un pôle en d = p. Elle vaut respectivement 2, 13/3 et 2.1487/5.7.11 lorsque d vaut 3, 4 et 8 respectivement. Lorsque p est un nombre premier qui n’apparaît pas dans ces fractions, on a H_{p}(χ). On a H_{11}(χ) d’après la proposition 10.

Remarque : Ces méthodes permettent-elles de démontrer que H_{p}(χ) est vérifiée pour tout p supérieur à une quantité dépendant seulement de l’ordre du noyau de χ?

5. Congruences d’Eisenstein (χ pair)

Notons ν le plus grand commun diviseur de p − 1 et 12. L’idéal d’Eisenstein I de T est par définition l’idéal engendré par les T_{q} − (q + 1) (q nombre premier distinct de p) et par 1 + W_{p}. On a T/I ≃ Z/\frac{p−1}{ν}Z [14].

Proposition 13. — Soit χ soit un caractère d’ordre une puissance d’un nombre premier l > 3 (Cela impose que χ n’est pas quadratique pair et que p ∉ {2, 3, 5, 7, 13}). On a θ_{χ} ∉ IH_{1}(X_{0}(p)(C); Z[χ]).

En particulier, θ_{χ} est non nul et on a H_{p}(χ). Démonstration. — Considérons Z[(Z/pZ)^{∗}] comme un sous-groupe de Z[P^{1}(Z/pZ)] (via le plongement canonique de (Z/pZ)^{∗} dans P^{1}(Z/pZ)).

Posons G = (Z/pZ)^{∗}/{−1, 1}. Notons I_{G} l’idéal d’augmentation de l’anneau Z[G]. En tenant compte du fait que l’action de la conjugaison complexe est acyclique sur l’homologie et des rappels de la section 1, on obtient que l’application ξ^{+} : Z[G] ⟶ H_{1}(X_{0}(p)(C); Z)_{+} qui à [±a + pZ] associe ξ(a) + ξ(−a) est surjective. Comme ξ(1) = 0, l’image par ξ^{+} de I_{G} engendre H_{1}(X_{0}(p)(C); Z)_{+}. On pourra consulter [19], section 1.3 pour plus de détails.

D’après [14] sections II.11 et II.18, la monodromie du revêtement de X_{0}(p) par la courbe modulaire X_{1}(p) (ou plus précisément le plus grand revêtement étale intermédiaire, appelé revêtement de Shimura) donne lieu à un homomorphisme de groupes κ :

H_{1}(X_{0}(p)(C), Z) ⟶ (Z/pZ)^{∗}/μ_{ν}

où μ_{ν} désigne ici le sous-groupe de (Z/pZ)^{∗} formé par les racines ν-ième de l’unité. Cet homomorphisme est caractérisé par la formule suivante sur les symboles modulaires : κ(\{0, \frac{a}{b}\}) est congru à b modulo p dans (Z/pZ)^{∗}/μ_{ν} lorsque b n’est pas divisible par p [14] section II.18 (nous avons fait toutefois la convention de signe opposée à celle de Mazur dans la définition de κ). Le noyau de cet homomorphisme est engendré par H_{1}(X_{0}(p)(C); Z)_{−} et IH_{1}(X_{0}(p)(C); Z), où I est l’idéal d’Eisenstein de T (voir loc. cit. et, pour quelques arguments complémentaires, [19] section 5.1). De plus κ est antiinvariant par l’involution W_{p} (car I contient 1 + W_{p}), si bien qu’on a les formules

−κ(\{∞, \frac{k}{p} \}) = −κ(W_{p}\{0, −\frac{1}{k} \}) = κ(ξ(k)) = (k + pZ)^{−1}.

Comme H_{1}(X_{0}(p)(C), Z) est acyclique pour l’action de la conjugaison complexe, on obtient un homomorphisme de groupes κ_{1}^{+} :

H_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+} ⟶ G/μ_{ν}

par la formule

κ_{1}^{+}(ξ^{+}([±g])) = κ(ξ(g)).

Le noyau de κ_{1}^{+} est IH_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+}. Par extension des scalaires on obtient un homomorphisme de groupes encore noté κ_{1}^{+} :

H_{1}(X_{0}(p)(C), Z[χ])_{+} ⟶ G/μ_{ν} ⊗ Z[χ].

Calculons κ_{1}^{+}(θ_{χ}). Soit g_{0} un générateur du groupe G. On a θ_{χ} = ∑_{t=0}^{(p−1)/2} χ(g_{0}^{t})ξ^{+}(g_{0}^{t}). Cela donne

κ_{1}^{+}(θ_{χ}) = ∏_{t=0}^{(p−1)/2} g_{0}^{tχ(g_{0})^{t}} = g_{0}^{∑_{t=0}^{(p−1)/2} tχ(g_{0})^{t}}.

Cette dernière quantité est nulle si et seulement si ∑_{t=0}^{(p−1)/2} tχ(g_{0})^{t} ∈ \frac{p−1}{ν}Z[χ]. Un calcul facile donne

∑_{t=0}^{(p−1)/2} tχ(g_{0})^{t} = \frac{p − 1}{2(1 − χ(g_{0}))}.

Lorsque χ est d’ordre une puissance d’un nombre premier l > 3, 1−χ(g_{0}) n’est pas l-entier. On a donc \frac{p−1}{2(1−χ(g_{0}))} ∉ \frac{p−1}{ν}Z[χ].

Remarques : La proposition 13 a des conséquences relatives à l’arithmétique du quotient d’Eisenstein de J_{0}(p), que nous laissons deviner au lecteur. Nous n’avons pas essayé de retrouver de telles propriétés directement par les méthodes de [14], cela laisse présager de l’utilité du quotient d’Eisenstein pour se passer des résultats de Kato.

On aimerait démontrer la non-nullité de θ_{χ} dans les cas où χ est un caractère pair non quadratique, en démontrant que θ_{χ} ∉ I^{t}H_{1}(X_{0}(p)(C), Z[χ]), pour t entier assez grand. Pour cela on aimerait utiliser les faits suivants. La théorie de l’homomorphisme d’enroulement ([14], section II.18) identifie canoniquement le groupe abélien I/I^{2} à H_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+}/IH_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+} et donc, via κ, à G/μ_{ν}. Elle donne même lieu à un isomorphisme de T_{I}-modules entre les complétés I-adiques de I et de H_{1}(X_{0}(p)(C); Z)_{+} [14], théorème II.18.10. On a donc les isomorphismes canoniques de groupes, pour tout entier k ≥ 1,

(G/μ_{ν})^{⊗k} ≃ (I/I^{2})^{⊗k} ≃ I^{k}/I^{k+1} ≃ I^{k−1}H_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+}/I^{k}H_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+},

d’où l’homomorphisme surjectif de groupes κ_{k}^{+}

I^{k−1}H_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+} ⟶ (G/μ_{ν})^{⊗k}.

Comment calculer κ_{k}^{+}(θ_{χ}) ? Voici un problème élémentaire plus simple que nous ne savons pas résoudre. Soient x et y deux éléments de G. On a ξ^{+}(x) + ξ^{+}(y) − ξ^{+}(xy) ∈ IH_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+}. À quoi est égal κ_{2}^{+}(ξ^{+}(x) + ξ^{+}(y) − ξ^{+}(xy)) ∈ (G/μ_{ν})^{⊗2} ? Ce n’est pas en général l’image de x ⊗ y dans (G/μ_{ν})^{⊗2}. En d’autres termes, la filtration de H_{1}(X_{0}(p)(C), Z)_{+} par les puissances de I ne provient pas de la filtration de I_{G} par les puissances de I_{G} (où I_{G} désigne l’idéal d’augmentation de Z[G]).

Nous ignorons si la proposition 13 est encore vraie lorsque χ est un caractère impair. On pourrait peut-être étudier cela à la lumière de la section suivante.

Il serait probablement instructif de comparer les techniques utilisées dans la preuve de la proposition 13 avec les conjectures de Mazur et Tate [17] (tout particulièrement le cas où leur couche M est égale au niveau p), qui proposent des filtrations de H_{1}(X_{0}(p)(C), Z[G])_{+} par des puissances de I_{G}.

Corollaire . — Soit χ un caractère d’ordre une puissance d’un nombre premier > 3. Il existe une forme primitive f de poids 2 pour Γ_{0}(p) telle que L(f, χ, 1) ≠ 0 et L(f, 1) ≠ 0. Démonstration. — Comme nous n’utiliserons pas ce résultat dans la suite, nous laissons la démonstration, qui est facile, au lecteur.

6. Annulation simultanée de séries de Dirichlet (χ impair)

Soit χ un caractère impair. Notons B_{1,χ} le nombre de Bernoulli généralisé associé à χ, i.e. on a

B_{1,χ} = \frac{1}{p} ∑_{a=1}^{p−1} aχ(a).

Proposition 14. — Si le nombre algébrique totalement réel

12B_{1,χ}\overline{B_{1,χ}} + (p − 1)(B_{1,χ} + \overline{B_{1,χ}})

est non nul, il existe une forme primitive f de poids 2 pour Γ_{0}(p) telle que L(f, χ, 1) ≠ 0 et L(f, 1) ≠ 0 (en particulier on a H_{p}(χ)). Démonstration. — Démontrons d’abord qu’il suffit de vérifier que le produit d’intersection e • W_{p}θ_{χ} = W_{p}e • θ_{χ} = −e • θ_{χ} est non nul (voir la démonstration de la proposition 9).

Supposons que pour toute forme primitive f, on ait L(f, χ, 1) = 0 ou L(f, 1) = 0. Notons alors I_{1} et I_{χ} les annulateurs de e et θ_{χ} dans T[χ]. L’idéal I_{1} + I_{χ} est d’indice fini dans T[χ]. On a donc dans T[χ] une relation 1 = n_{1}t_{1} + n_{χ}t_{χ} avec n_{1}, n_{χ} ∈ Q et t_{1} ∈ I_{1}, t_{χ} ∈ I_{χ}. Comme le produit d’intersection vérifie l’adjonction vis-à-vis de l’action de T, on a la relation

e • θ_{χ} = n_{1}t_{1}e • θ_{χ} + n_{χ}t_{χ}e • θ_{χ} = 0 + n_{χ}e • t_{χ}θ_{χ} = 0.

Effectuons le calcul de e • θ_{χ} en utilisant le lemme 3 de [18] (qui est essentiellement une formule de Rademacher [22] reprise par Mazur dans [16]) : On a pour k ∈ {1, ..., p−1},

(p − 1)e • ξ(k) = \frac{(k − k_{∗})}{p}(1 − p) − 12S(k, p),

où la somme de Dedekind S(k, p) est donnée par la formule

S(k, p) = ∑_{h=0}^{p−1} B̄_{1}(\frac{h}{p})B̄_{1}(\frac{kh}{p})

(B̄_{1} est le premier polynôme de Bernoulli rendu périodique : on a B̄_{1}(x) = x− \frac{1}{2} si x ∈]0, 1[, B̄_{1}(0) = 0 et B̄_{1} est une fonction périodique de période 1).

En utilisant la formule donnant W_{p}θ_{χ} (démonstration de la proposition 9), on obtient

(p − 1)e • W_{p}θ_{χ} = ∑_{k=1}^{p−1} χ(k)\frac{(k − k_{∗})}{p}(1 − p) − ∑_{k=1}^{p−1} χ(k)12S(k, p).

Calculons d’abord le premier terme en utilisant l’imparité de χ et le changement de variable k ↦ k_{∗} :

∑_{k=1}^{p−1} χ(k)\frac{(k − k_{∗})}{p}(1 − p) = ∑_{k=1}^{p−1}(χ(k) + χ̄(k))\frac{k}{p} (1 − p) = (1 − p)(B_{1,χ} + \overline{B_{1,χ}}).

Le deuxième terme s’obtient directement par un calcul de convolution :

∑_{k=1}^{p−1} χ(k)12S(k, p) = 12B_{1,χ}\overline{B_{1,χ}}.

Cela donne

(1 − p)e • W_{p}θ_{χ} = 12B_{1,χ}\overline{B_{1,χ}} + (p − 1)(B_{1,χ} + \overline{B_{1,χ}}).

Cela suffit à démontrer notre proposition, d’après nos remarques préliminaires.

Remarques : Soit f_{χ} l’unique forme modulaire de poids 2 pour Γ_{0}(p) telle que, pour toute forme modulaire f ∈ S_{2}(Γ_{0}(p)), on ait la relation

< f, f_{χ} >= L(f, χ, 1),

où < ., . > désigne le produit scalaire de Petersson. À quoi est égal < f_{χ}, f_{1} >? Il est tentant de penser ce nombre complexe (ou plus précisément sa partie réelle) est relié au nombre algébrique qui figure dans la formule de la proposition 14. La réponse à cette question permet-elle de prouver la proposition 14 par des manipulations de séries de Dirichlet ?

On peut espérer que les deux termes du nombre figurant dans l’énoncé de la proposition 14 sont d’ordres de grandeur différents lorsque p tend vers l’infini. Pour établir cela, on est tenté d’appliquer les techniques permettant d’encadrer les valeurs de fonction L de Dirichlet en 1.

Nous laissons au lecteur l’étude de θ_{χ} • θ_{χ′} pour χ et χ′ caractères non triviaux de parités opposées.

§3. Compléments et résultats expérimentaux

1. La question des points ordinaires et des points supersinguliers

Soit p un nombre premier distinct de 2 et 3. Soit K une extension finie de Q_{p} d’indice de ramification e. Notons O_{K} l’anneau des entiers de K et P l’idéal maximal de O_{K}. Soit E une courbe elliptique sur K ayant potentiellement bonne réduction.

Notons E_{0}(K) le sous-groupe (d’indice ≤ 4) de E(K) formé par les points dont l’extension au modèle de Néron de E sur O_{K} est non singulière dans la fibre spéciale. Notons E_{1}(K) le sous-groupe de E_{0}(K) constitué par les points dont l’extension au modèle de Néron coïncide avec l’élément neutre dans la fibre spéciale.

Après avoir assisté à mes exposés à SPIC et Mathscience (Chennai, janvier 1999), Oesterlé m’a indiqué un lemme sur les groupes formels dont voici un cas particulier (c’est un corollaire de [2], proposition 2).

Proposition 15. — Le nombre d’éléments d’ordre p de E_{1}(K) est ≤ e. Démonstration. — La loi de groupe sur E_{1}(K) donne une loi de groupe formel sur P. La multiplication par p dans E_{1}(K) est donnée par une série formelle [p](T) ∈ O_{K}[[T]] sur P. On a [p](T)] = pT + ... = T h(T), avec h(T) ∈ O_{K}[[T]]. Notons A_{p} l’ensemble des éléments d’ordre p de P pour la loi de groupe formel. Soit t ∈ A_{p}. On a t ≠ 0 et [p](t) = 0, d’où h(t) = 0. Puisque (h(T) − h(t))/(T − t) ∈ O_{K}[[T]], on en déduit la relation de divisibilité dans O_{K}[[T]] :

(T − t)|(T − t)\frac{h(T) − h(t)}{T − t} = h(T) − h(t) = h(T).

En spécialisant en T = 0, on obtient la relation dans O_{K} : ∏_{t∈A_{p}} t|p. Cela entraîne l’inégalité e ≥ |A_{p}|.

Mentionnons le corollaire suivant qui nous intéresse directement. Rappelons que p > 3.

Corollaire . — Soit E une courbe elliptique sur Q_{p}(μ_{p}) telle que K_{p}(E) = Q_{p}(μ_{p}) et j(E) ∈ Z_{p}[μ_{p}]. Alors la fibre spéciale du modèle de Néron de E n’a pas potentiellement bonne réduction supersingulière et possède un point F_{p}-rationnel d’ordre p. Démonstration. — Le groupe E(Q_{p}(μ_{p})) possède un sous-groupe C isomorphe à (Z/pZ)^{2}. Comme p > 3, ce sous-groupe est contenu dans E_{0}(Q_{p}(μ_{p})). D’après la proposition 15, qui s’applique puisque j(E) ∈ Z_{p}[μ_{p}], on a p − 1 ≥ |(C − 0) ∩ E_{1}(Q_{p}(μ_{p}))|. Cela interdit le cas supersingulier, car on a alors C ⊂ E_{1}(Q_{p}(μ_{p})). On est donc dans le cas potentiellement ordinaire, ce qui entraîne que l’ordre de C ∩ E_{1}(Q_{p}(μ_{p})) est p. Le groupe E_{0}(Q_{p}(μ_{p}))/E_{1}(Q_{p}(μ_{p})) ≃ E(F_{p}) contient donc un élément d’ordre p.

2. Quelques donnés dues à William Stein

Par abus de notation, nous dirons qu’un élément j ∈ P^{1}(F_{p}) présente une anomalie s’il existe une courbe elliptique sur F_{p} d’invariant modulaire j et possédant un point F_{p}- rationnel d’ordre p.

Proposition 16. — Soit p un nombre premier congru à −1 modulo 4. Supposons que pour tout j ∈ P^{1}(F_{p}) présentant une anomalie et tout caractère de Dirichlet (Z/pZ)^{∗} ⟶ C, il existe t_{χ} ∈ T et δ ∈ Δ_{S} tels que L(tJ_{0}(p), χ, 1) ≠ 0 et ι_{1}(tδ) ≠ 0. Alors on a p ∉ S. Démonstration. — La condition L(t_{χ}J_{0}(p), 1) ≠ 0 impose H_{p}(χ) (et donc p > 7) et, par le théorème de Kato, la finitude de la composante χ-isotypique de t_{χ}J_{0}(p)(Q(μ_{p})).

Si p ∈ S, on a p ∈ S_{o} (p ∈ S_{c} et p ∈ S_{s} sont exclus d’après le corollaire 3 de la proposition 6 et le corollaire de la proposition 15 respectivement). Soit E une courbe elliptique sur Q(μ_{p}) possédant p^{2} − 1 points Q(μ_{p})-rationnels d’ordre p. Elle a donc bonne réduction en l’idéal au dessus de p et présente une anomalie (i.e. elle possède un point F_{p}-rationnel d’ordre p) d’après le corollaire 3 de la proposition 6 et le corollaire de la proposition 15. Elle définit un point Q(μ_{p})-rationnel p-ordinaire de Y_{0}(p). Ce point est Q-rationnel par application du corollaire 1 de la proposition 6 (le critère d’immersion formelle est vérifié pour d = 1). Dans ces conditions, d’après [15], Y_{0}(p) n’a pas de point Qrationnel pour p ∉ {3, 7, 11, 19, 43, 67, 163} et pas de point Q-rationnel sans multiplications complexes et donc pas de point p-ordinaire pour p ∉ {3, 7, 11}. Le cas p = 11, qui revient à examiner trois courbes elliptiques (à Q̄-isomorphisme près), a été étudié en détail par Ligozat dans [12] (démonstration de la proposition 5.6.1) qui démontre en examinant les réductions modulo 23 que ces courbes ne donnent pas lieu à un élément de S.

William Stein a constaté que pour p < 233, p > 7 et p ≡ −1 (mod 4), les hypothèses de la proposition 16 sont vérifiées. Les détails de ces calculs sont disponibles, par voie électronique, à l’adresse http ://shimura.math.berkeley.edu/˜ was/merel.

On peut étudier de façon similaire le cas p ≡ 1 (mod 4).

Proposition 17. — Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. Supposons que pour tout j ∈ P^{1}(F_{p}) présentant une anomalie et tout caractère de Dirichlet (Z/pZ)^{∗} ⟶ C non quadratique, il existe t_{χ} ∈ T et (δ_{1}, δ_{2}) ∈ Δ_{S}^{2} tels que L(t_{χ}J_{0}(p), χ, 1) ≠ 0 et que la

matrice ( \begin{matrix}ι_{1}(tδ_{1}) & ι_{1}(tδ_{2}) \\ ι_{2}(tδ_{1}) & ι_{2}(tδ_{2}) \end{matrix} ) soit de rang 2. Supposons de plus que la courbe modulaire

Y_{0}(p) ne possède pas de point Q(\sqrt{p})-rationnel. Alors on a p ∉ S. Démonstration. — Cela se démontre de façon analogue à la proposition 16, en vérifiant la condition d’immersion formelle grâce à la proposition 4, appliquée pour d = 2.

Dans un prochain travail, nous examinerons si les hypothèses de la proposition 17 sont vérifiées pour des nombres premiers pris individuellement (l’étude des points Q(\sqrt{p})- rationnels de Y_{0}(p) se fait comme dans [15]).

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Loïc Merel, merel@math.jussieu.fr Théorie des nombres, case 247, Institut de Mathématiques de Jussieu, 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France.

et

UFR de mathématiques, case 7012, Université Denis Diderot, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France.