Sharedwww / 144169.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.08.04:0648�������܍��k�$�v܍����$��>�K�`y

cmr10�(August�UU4,�1999)��o��>���N�ffcmbx12�The�fft���w�o�w�eigh�t��X�Qffcmr12�24��cuspforms�are�ordinary��8�>�X�Qcmr12�W.��oA.��Stein����>�o���		cmr9�Departmen��9t�Tof�Mathematics,�Univ�ersit�y�of�California,�Berk�eley��:�,�CA�94720,�USA����M��':

cmti10�Warning:�U��When�"I�do�computations�lik���e�this�I�lik���e�to�let�them�sit�a�few�da�ys����>and���then�rec���hec�k���all�of�the�n���um�b�Gers.�R>I���ha�v�en't���y�et�had�a�c�hance�to�do�that�with����>this�UUcomputation.����MLet���ō�^� �
�b>

cmmi10�f�ڧ�=���q����+�8�(540��
!",�

cmsy10���12����=V�p���UW��=V�fe�ª��144169����&U])�q��[ٟ����ٓ�Rcmr7�2��,�+�(169740�+�576����=V�p���UW��=V�fe�ª��144169����)�q��[ٟ����3��,�+������������>�b�Ge��Bone�of�the�t���w�o��Bconjugate�cuspforms�of�w���eigh�t��B24�for��SL����}���2��.�(��"V

cmbx10�Z�).��The�purp�ose����>of��Jthis�pap�Ger�is�to�address�the�follo���wing�remark�whic�h�app�Gears�on�page�195�of����>[�Gou92��g!].�����WThere���seems�to�b�Ge�no�easy�w���a�y���to�decide�whether��f��e�is�ordinary�at����W144169,�UUhence�whether�the�ramied�case�actually�o�Gccurs.����MUsing�%{higher�w���eigh�t�%{mo�Gdular�sym���b�ols�as�in�[�Mer94��� ]�w���e�compute�a�presen�ta-����>tion�UUof�the�space��M����24���;�of�w���eigh�t�UU24�mo�Gdular�forms.����>�Gener��}'ators:�qDzThe�UUgenerators�are�the�higher�w���eigh�t�UUManin�sym���b�Gols���ō��L|�X��������22��	Aȵ;�UPX��������21���Y��9;�X��������20���Y��8�����2���W�;��:���:�:��UG;���X��������2��EU�Y��8�����20��
�ʵ;�X���Y��8�����21���;�Y��8�����22���:����>�R��}'elations:�);�Let��=�S�Z��=�������b���u

cmex10�����UU���	�0����p�O!�cmsy7��1����.���	1����q0����������b���� F�,��B�T�*��=�������b�����ꪍ��	�0����p��1����.���	1����p��1����������b�����,�and��=�I����=�������b�����UU���	��1���
q0����.���'0���
q1����������b�����.�AjThese�act�on�the�righ���t����>on�UUhomogeneous�p�Golynomials�b���y������f�X��������	0e�rcmmi7�i��.�Y��8�����22��i����:��������b���������꧴a���Z�b���\q���Loc����d������W���b����8Ʋ=��(�aX�²+�8�bY�8�)������i��TL�(�cX��+��d��8Y�8�)������22��i���3�:����>�The�UUrelations�are�as�follo���ws.�q�F��*�or��i���=�0�;����1�;��2�;��:�:�:����;��22,��!%������d����z̵X�����^��i��.�Y��8��^��22��i�����wڲ+���>��X�����^��i��.�Y��8��^��22��i����:S���C�y�=���U�0������w�L�X�����^��i��.�Y��8��^��22��i��������+����z̵X�����^��i��.�Y��8��^��22��i����:T����wڲ+���>��X�����^��i��.�Y��8��^��22��i����:T��c���^��2����C�y�=���U�0�������z̵X�����^��i��.�Y��8��^��22��i�����wڸ���>��X�����^��i��.�Y��8��^��22��i����:I���C�y�=���U�0�:�����"W���M�W��*�e�:nd�that�the�quotien���t�is�generated�b�y��X�����^��22��	AȲ,�Ks�X�����^��20���Y��8��^��2���W�,�and�:�X�����^��18���Y��8��^��4���W�.��wThe����>relations,�UUlisted�with�co�Gecien���ts�tak�en�mo�Gdulo�144169,�are�as�follo�ws:���?������d���g���X�����^��i��.�Y��8��^��22��i������]�=�����P0��
UVfor�UU�i��o�Gdd�������o�!�X�����^��16��	AȵY��8��^��6������]�=����b|52826�X�����^��18��	AȵY��8��^��4�����p��+���7�52264�X�����^��20��	AȵY��8��^��2�������o�!�X�����^��14��	AȵY��8��^��8������]�=����b|94788�X�����^��18��	AȵY��8��^��4�����p��+���7�123700�X�����^��20��	AȵY��8��^��2�������k���X�����^��12��	AȵY��8��^��10������]�=����b|18877�X�����^��18��	AȵY��8��^��4�����p��+���7�28949�X�����^��20��	AȵY��8��^��2�������k���X�����^��10��	AȵY��8��^��12������]�=����b{125292�X�����^��18��	AȵY��8��^��4�����p��+���7�115220�X�����^��20��	AȵY��8��^��2�������o�!�X�����^��8��EU�Y��8��^��14������]�=����b|49381�X�����^��18��	AȵY��8��^��4�����p��+���7�20469�X�����^��20��	AȵY��8��^��2�������o�!�X�����^��6��EU�Y��8��^��16������]�=����b|91343�X�����^��18��	AȵY��8��^��4�����p��+���7�91905�X�����^��20��	AȵY��8��^��2�������o�!�X�����^��4��EU�Y��8��^��18������]�=�����c��X�����^��18��	AȵY��8��^��4�������o�!�X�����^��2��EU�Y��8��^��20������]�=���pø�X�����^��20��	AȵY��8��^��2�������}Z�Y��8��^��22������]�=���QF��X�����^��22��	Aȵ:����������1����*��܍��k�$�v܍����$��M�The�ڧeigenspace�corresp�Gonding�to��f��6�is�spanned�b���y�the�images�of�the�follo�wing����>t���w�o�UUManin�sym���b�Gols:������õX��������18��	AȵY��8�����4���7�+�8�127805�X��������22���;���X��������20���Y��8�����2���+�8�19312�X��������22���:����>�The�%subspace�corresp�Gonding�to�the�Eisenstein�series�is�spanned�b���y��X�����^��22��	AȲ.��6The����>Eisenstein�ͪspace�is�Hec���k�e�ͪin�v��q�arian�t�and�so�it�suces�to�compute�the�action�of����>�T����144169�����on�S�the�quotien���t�of�the�the�three-dimensional�space��M����24��
��b�y��X�����^��22��	AȲ.��Mo�Gdding����>out�	�b���y�the�additional�relation��X�����^��22��
5m�=��0�w�e�obtain�a�t�w�o-dimensional�space��V����>�spanned�]b���y��X�����^��18��	AȵY��8��^��4��	ϴ�and��X�����^��20���Y��8��^��2���W�.�^The�Hec���k�e�]action�on��M����24���C�induces�an�action�on����>�V�8�.�q�Our�UUgoal�is�to�compute�the�action�of��T����144169����on��V��.����MF��*�or��Reac���h�prime��p��there�is�a�set�of�matrices��R����p���R�,���eac�h�ha�ving�determinan�t��p�,����>suc���h�UUthat�for�an�y��z�7��2���V�8�,��
qˍ�Ƈ��T����p���R�(�z�p��)��=���������X����7���g�@L�2R���O
�\cmmi5�p����
-�z�g�[�:��l��>�The�UUset��R����p���can�b�Ge�computed�using�the�algorithm�giv���en�in�[�Cre97���X,��x�2.4].����MThe�UUnaiv���e�w�a�y�to�compute��T����p���R�(�X�����^��18��	AȵY��8��^��4���W�)�is�to�compute�the�sum��\t�������a����X���7~�����$��J9�#��cmex7����������9��a������b���\q�����Vc����V�d�������7��J9�������2R���p�����,f�(�aX�²+�8�bY�8�)������18��x�(�cX��+��d��8Y�8�)������4���&���>�rst�Din�the�space�of�homogeneous�p�Golynomials�of�degree�22,�G�and�to�then�reduce����>mo�Gdulo��Xthe�ab�o���v�e��Xrelations.�l�T��*�o�mak���e�the�computation�faster�w�e�instead�rst����>reduce��yand�then�compute�the�sum.�j3Let��a;���b;�c;�d��y�b�Ge�indeterminates.�Compute����>the�?Xreduction�of�(�aX��Ȳ+��bY�8�)���^��18��x�(�cX��+��d��8Y�8�)���^��4���˲mo�Gdulo�?Xthe�ab�o���v�e�?Xrelations�obtaining����O^�(�aX�²+�8�bY�8�)������18��x�(�cX��+��d��8Y�8�)������4��C��=���F����1�;�1��
��(�a;���b;�c;�d�)�X��������18��	AȵY�������4���7�+�8�F����1�;�2��
��(�a;�b;�c;�d�)�X��������20��	AȵY�������2���W�:����>�Similarly�UUw���e�obtain����O^�(�aX�²+�8�bY�8�)������20��x�(�cX��+��d��8Y�8�)������2��C��=���F����2�;�1��
��(�a;���b;�c;�d�)�X��������18��	AȵY�������4���7�+�8�F����2�;�2��
��(�a;�b;�c;�d�)�X��������20��	AȵY�������2���W�:����>�Observ���e�sbthat�the��F����i;j��
�Z�are�homogeneous�p�Golynomials�of�degree�22�in��a;���b;�c;�d�.����>Using���a�computer�w���e�can�ev��q�aluate�eac�h�of��F����i;j��
�at�sev�eral�h�undred�thousand����>four-tuples�UUin�a�matter�of�min���utes.�q�W��*�e�th�us�obtain��q΍���2�T����p��fj�=�����U����X���7~�������J9������������a���n�b���\q���	`Jc����d������+��J9����|�2R���p������,����^������d���3�v�F����1�;�1��
��(�a;���b;�c;�d�)���wx)�F����1�;�2��
��(�a;���b;�c;�d�)������3�v�F����2�;�1��
��(�a;���b;�c;�d�)���wx)�F����2�;�2��
��(�a;���b;�c;�d�)�������ܟ��^��������:��&���M�Computing�&�with�an�algebra�system�w���e�nd�the�follo�wing�v��q�alues�for�the��F����i;j��	j��.������2�������܍��k�$�v܍����$��>�$��<x

cmtt10�F11�?�=�144168*a^18*d^4�+�144097*a^17*b*c*d^3�+�143251*a^16*b^2*c^2*d^2�+����R��135255*a^16*b^2*d^4�?�+�140905*a^15*b^3*c^3*d�+�2060*a^15*b^3*c*d^3�+����R��141109*a^14*b^4*c^4�?�+�83672*a^14*b^4*c^2*d^2�+�16748*a^14*b^4*d^4�+����R��21630*a^13*b^5*c^3*d�?�+�129910*a^13*b^5*c*d^3�+�119843*a^12*b^6*c^4�+����R��61785*a^12*b^6*c^2*d^2�?�+�42211*a^12*b^6*d^4�+�91207*a^11*b^7*c^3*d�+����R��42300*a^11*b^7*c*d^3�?�+�8826*a^10*b^8*c^4�+�123286*a^10*b^8*c^2*d^2�+����R��75565*a^10*b^8*d^4�?�+�64625*a^9*b^9*c^3*d�+�79544*a^9*b^9*c*d^3�+����R��68604*a^8*b^10*c^4�?�+�20883*a^8*b^10*c^2*d^2�+�135343*a^8*b^10*d^4�+����R��101869*a^7*b^11*c^3*d�?�+�52962*a^7*b^11*c*d^3�+�101958*a^6*b^12*c^4�+����R��82384*a^6*b^12*c^2*d^2�?�+�24326*a^6*b^12*d^4�+�14259*a^5*b^13*c^3*d�+����R��122539*a^5*b^13*c*d^3�?�+�127421*a^4*b^14*c^4�+�60497*a^4*b^14*c^2*d^2�+����R��3060*a^4*b^14*d^4�?�+�142109*a^3*b^15*c^3*d�+�3264*a^3*b^15*c*d^3�+����R��8914*a^2*b^16*c^4�?�+�918*a^2*b^16*c^2*d^2�+�72*a*b^17*c^3*d�+�b^18*c^4�����>F12�?�=�144163*a^18*c^2*d^2�+�144097*a^17*b*c^3*d�+�144016*a^16*b^2*c^4�+����R��77072*a^16*b^2*d^4�?�+�106400*a^15*b^3*c*d^3�+�21824*a^14*b^4*c^2*d^2�+����R��65794*a^14*b^4*d^4�?�+�108017*a^13*b^5*c^3*d�+�131383*a^13*b^5*c*d^3�+����R��28474*a^12*b^6*c^4�?�+�30530*a^12*b^6*c^2*d^2�+�52796*a^12*b^6*d^4�+����R��55487*a^11*b^7*c^3*d�?�+�11905*a^11*b^7*c*d^3�+�104674*a^10*b^8*c^4�+����R��87628*a^10*b^8*c^2*d^2�?�+�81508*a^10*b^8*d^4�+�86268*a^9*b^9*c^3*d�+����R��57901*a^9*b^9*c*d^3�?�+�62661*a^8*b^10*c^4�+�56541*a^8*b^10*c^2*d^2�+����R��39495*a^8*b^10*d^4�?�+�132264*a^7*b^11*c^3*d�+�88682*a^7*b^11*c*d^3�+����R��91373*a^6*b^12*c^4�?�+�113639*a^6*b^12*c^2*d^2�+�115695*a^6*b^12*d^4�+����R��12786*a^5*b^13*c^3*d�?�+�36152*a^5*b^13*c*d^3�+�78375*a^4*b^14*c^4�+����R��122345*a^4*b^14*c^2*d^2�?�+�37769*a^3*b^15*c^3*d�+�67097*a^2*b^16*c^4�+����R��153*a^2*b^16*d^4�?�+�72*a*b^17*c*d^3�+�6*b^18*c^2*d^2�����>F21�?�=�143979*a^18*b^2*d^2�+�141889*a^17*b^3*c*d�+�139324*a^16*b^4*c^2�+����R��102174*a^16*b^4*d^2�?�+�19570*a^15*b^5*c*d�+�96547*a^14*b^6*c^2�+����R��19916*a^14*b^6*d^2�?�+�79664*a^13*b^7*c*d�+�64727*a^12*b^8*c^2�+����R��131965*a^12*b^8*d^2�?�+�111625*a^11*b^9*c*d�+�97436*a^10*b^10*c^2�+����R��46733*a^10*b^10*d^2�?�+�32544*a^9*b^11*c*d�+�12204*a^8*b^12*c^2�+����R��79442*a^8*b^12*d^2�?�+�64505*a^7*b^13*c*d�+�124253*a^6*b^14*c^2�+����R��47622*a^6*b^14*d^2�?�+�124599*a^5*b^15*c*d�+�41995*a^4*b^16*c^2�+����R��4845*a^4*b^16*d^2�?�+�2280*a^3*b^17*c*d�+�190*a^2*b^18*c^2�����>F22�?�=�144168*a^20*d^2�+�144129*a^19*b*c*d�+�143979*a^18*b^2*c^2�+����R��85853*a^16*b^4*d^2�?�+����R��1617*a^15*b^5*c*d�?�+�110148*a^14*b^6*c^2�+�16433*a^14*b^6*d^2�+����R��65732*a^13*b^7*c*d�?�+�17365*a^12*b^8*c^2�+�49325*a^12*b^8*d^2�+����R��83477*a^11*b^9*c*d�?�+�24287*a^10*b^10*c^2�+�119882*a^10*b^10*d^2�+����R��60692*a^9*b^11*c*d�?�+�94844*a^8*b^12*c^2�+�126804*a^8*b^12*d^2�+����R��78437*a^7*b^13*c*d�?�+�127736*a^6*b^14*c^2�+�34021*a^6*b^14*d^2�+����R��142552*a^5*b^15*c*d�?�+�58316*a^4*b^16*c^2�+�190*a^2*b^18*d^2�+�40*a*b^19*c*d����R��+�?�b^20*c^2����M�Using�vCremona's�algorithm�[�Cre97���X,�[email protected]�x�2.4]�for�computing�Heilbronn�matrices����>w���e��
compute��R����144169����in�just�o�v�er�three�min�utes�using�a�350Mhz�P�en�tium�I�GI.����>There�UUare�1200122�t���w�o-b�y-t�w�o�UUmatrices�in��R�.����MW��*�e��no���w�ev��q�aluate�eac�h�of�the�four�sums.��EThe�running�times�for�computing������3�������܍��k�$�v܍����$��>�eac���h�UUsum�is�nev�er�more�than�four�min�utes.�q�W��*�e�disco�v�er�that��������T����144169��1ʲ=�������^������d���
#��44454���-#�71285������
#�30927���-#�49�����F#����^����O*��:��qύ�>�The�UUc���haracteristic�p�Golynomial�of�this�matrix�is������9�x������2���S�+�8�99666�x��+�16864�:����>�This�UUimplies�that��f�h�is�not�sup�Gersingular.��!č�>�References�������>�[Cre97]���d�[J.���E.���Cremona,���A���lgorithms���for�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second���ed.,����d�[Cam���bridge�UUUniv�ersit�y�Press,�Cam�bridge,�1997.������>[Gou92]���d�[F��*�ernando�AQ.�Gouv���^��Gea,�E)�On��Othe�or��}'dinary�He�cke�algebr�a�,�E)J.�ANum���b�Ger�The-����d�[ory�x�41�UU�(1992),�no.�2,�178{198.������>[Mer94]���d�[L.���Merel,���Universal��
Fourier�exp��}'ansions�of�mo�dular�forms�,��On���Artin's����d�[conjecture���for�o�Gdd�2-dimensional�represen���tations�(Berlin),�b�Springer,����d�[1994,�UUpp.�59{94.������4����-s���;����	�$��<x

cmtt10��':

cmti10�o���		cmr9�X�Qcmr12�#��cmex7�X�Qffcmr12���N�ffcmbx12��"V

cmbx10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���u

cmex10�1������