Raw Embed

Gränsvärden, derivator, serier och integraler

typeset_mode(True)
implicit_multiplication(True)

Gränsvärden beräknas med limit. Låt oss beräkna $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{3x^2 + 1}.$

f(x) = x^2/(3x^2 +1)  # definition av funktion
f

\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{x^{2}}{3 \, x^{2} + 1}

f.limit(x = oo)  # gränsvärdesberäkning

\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{1}{3}

För att t.ex. beräkna $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}$ använder vi här funktionen limit på ett alternativt sätt.

limit(sin(x)/x, x = 0)

\displaystyle 1

För att beräkna summan $\sum_{k=1}^N \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots$ måste vi deklarera $k$ som en symbolisk variabel. För $N = 100$ får vi följande summa.

k = var('k')
N = 100
S = sum(1/k^2, k, 1, N)
S

\displaystyle \frac{1589508694133037873112297928517553859702383498543709859889432834803818131090369901}{972186144434381030589657976672623144161975583995746241782720354705517986165248000}

S.n()  # närmevärde

\displaystyle 1.63498390018489

Vad händer då

n

går mot oändligheten? Låt oss testa några olika värden på

N

tabell = [[N, sum(1/k^2, k, 1, N+500).n()] for N in range(0, 10001, 500)]
print table(tabell)

     1.64293606551489
   1.64393456668156
  1.64426762235440
  1.64443419182739
  1.64453414683756
  1.64460078906428
  1.64464839337495
  1.64468409809562
  1.64471186931553
  1.64473408684689
  1.64475226519433
  1.64476741406968
  1.64478023252809
  1.64479121990896
  1.64480074240339
  1.64480907466040
  1.64481642670955
  1.64482296190973
  1.64482880923030
  1.64483407184806
 1.64483883328799

Låter vi $N \to \infty$ , så får vi serien $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6},$ vilket även Sage kan bekräfta.

S = sum(1/k^2, k, 1, oo)
S

\displaystyle \frac{1}{6} \, \pi^{2}

S.n()  # närmevärde (jämför med tabellen ovan)

\displaystyle 1.64493406684823

Derivatan av en funktion är också en funktion. Notera att diff och derivative är olika namn på samma deriveringsfunktion i Sage.

g = diff(f)
g

\displaystyle x \ {\mapsto}\ -\frac{6 \, x^{3}}{{\left(3 \, x^{2} + 1\right)}^{2}} + \frac{2 \, x}{3 \, x^{2} + 1}

g.simplify_full()

\displaystyle \frac{2 \, x}{9 \, x^{4} + 6 \, x^{2} + 1}

Notera att Sage har koll på vilken eller vilka variabler en funktion beror på.

g(4)

\displaystyle \frac{8}{2401}

g.variables()

(

\displaystyle x

)

Andraderivatan av

f

f.derivative(x, 2)

\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{72 \, x^{4}}{{\left(3 \, x^{2} + 1\right)}^{3}} - \frac{30 \, x^{2}}{{\left(3 \, x^{2} + 1\right)}^{2}} + \frac{2}{3 \, x^{2} + 1}

Vi kan även definiera en funktion i flera variabler och beräkna dess partiella derivator.

h(x, y) = x^2 sin(x e^y)
h

\displaystyle \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ x^{2} \sin\left(x e^{y}\right)

h.derivative(x)  # första partiella derivatan av h m.a.p. x

\displaystyle \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ x^{2} \cos\left(x e^{y}\right) e^{y} + 2 \, x \sin\left(x e^{y}\right)

h.derivative(y)  # första partiella derivatan av h m.a.p. y

\displaystyle \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ x^{3} \cos\left(x e^{y}\right) e^{y}

h.derivative(x, x, y)  # tredje partiella derivatan av h m.a.p. x, x och y

\displaystyle \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -x^{3} \cos\left(x e^{y}\right) e^{\left(3 \, y\right)} - 6 \, x^{2} e^{\left(2 \, y\right)} \sin\left(x e^{y}\right) + 6 \, x \cos\left(x e^{y}\right) e^{y}

Taylorutveckling av

f

i punkten

x = 1

med de fem första termerna.

f_Taylor = f.series(x == 1, 5)
f_Taylor

\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} {(x - 1)} + {(-\frac{1}{8})} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{32} {(x - 1)}^{3} + {(-\frac{3}{64})} {(x - 1)}^{4} + \mathcal{O}\left({\left(x - 1\right)}^{5}\right)

Vi kan ta bort resttermen.

f_utv = f_Taylor.truncate()
f_utv

\displaystyle x \ {\mapsto}\ -\frac{3}{64} \, {\left(x - 1\right)}^{4} + \frac{3}{32} \, {\left(x - 1\right)}^{3} - \frac{1}{8} \, {\left(x - 1\right)}^{2} + \frac{1}{8} \, x + \frac{1}{8}

Utvecklar vi parenteserna får vi enklare form av Taylorpolynomet av grad

5

för

f

f_utv.expand()

\displaystyle x \ {\mapsto}\ -\frac{3}{64} \, x^{4} + \frac{9}{32} \, x^{3} - \frac{11}{16} \, x^{2} + \frac{27}{32} \, x - \frac{9}{64}

Nära punkten

x= 1

ger Taylorutvecklingen en god approximation av funktionen.

graf_f = plot(f, (x, 0, 2))
graf_f_utv = plot(f_utv, (x, 0, 2), color = (1,0,0))
graf_f + graf_f_utv

Med funktionen integral kan vi bestämma primitiv funktion eller beräkna en integral.

f.integrate(x)  # primitiv funktion till f m.a.p. x

\displaystyle x \ {\mapsto}\ -\frac{1}{9} \, \sqrt{3} \arctan\left(\sqrt{3} x\right) + \frac{1}{3} \, x

f.integrate(k)  # primitiv funktion till f m.a.p. k

\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{k x^{2}}{3 \, x^{2} + 1}

För att t.ex. beräkna integralen $\int_0^2 f(x) \,dx$ skriver vi följande.

integral(f(x), x, 0, 2)

\displaystyle -\frac{1}{9} \, \sqrt{3} \arctan\left(2 \, \sqrt{3}\right) + \frac{2}{3}

Dubbelintegralen $\iint_D (x^2 - xy^3) \, dxdy$ där $D =\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq x \leq 2 \text{ och } 0 \leq y \leq x\}$ kan beräknas på följande sätt.

x, y = var('x y')
integral(integral(x^2 - x y^3, y, 0, x), x, 0, 2)

\displaystyle \frac{4}{3}