Kernel: SageMath (Development, Py3)

M103, 2020-04-29, gr A2 et B3

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- auteur: Samuel Lelièvre ([orcid: 0000-0002-7275-0965](https://orcid.org/0000-0002-7275-0965))
- date: 2020-04-29
- license: CC BY SA 4.0

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Université Paris-Saclay. Licence Sciences et technologies. L1 MPI.

Cours Math103 «Algèbre linéaire», TD du 29 avril 2020, groupes A2 et B3.

On travaille la feuille 5. On corrige l'exercice 5.8.

On utilise:

pour la voix, l'outil Collaborate via ecampus.paris-saclay.fr
comme tableau, cette feuille Jupyter avec le noyau SageMath

Exercice 5.8. — Symétrie par rapport à une droite du plan

ParseError: KaTeX parse error: \newcommand{\R} attempting to redefine \R; use \renewcommand Dans $\R^2$ on considère

la droite $D$ d'équation $x - 2 y = 0$ ,
la droite $\Delta$ d'équation $2 x - y = 0$ .

Un petit dessin.

In [3]:

x_range = (-2.2, 2.2)
y_range = (-2.2, 2.2)
text_options = {'fontsize': 18}

eD = lambda x, y: x - 2*y
cD = 'magenta'
gD = implicit_plot(eD, x_range, y_range, color=cD, linewidth=1.5)
tD = text('$D$', (-2.1, -0.9), **text_options)
gtD = gD + tD

eDe = lambda x, y: 2*x - y
cDe = 'deepskyblue'
gDe = implicit_plot(eDe, x_range, y_range, color=cDe, linewidth=1.5)
tDe = text(r'$\Delta$', (-1.2, -2.1), **text_options)
gtDe = gDe + tDe

v = vector(QQ, (2, 1))
cv = 'purple'
tv = text('$v$', (1.95, 0.8), color=cv)
gv = v.plot(color=cv)
gtv = gv + tv

w = vector(QQ, (1, 2))
cw = 'teal'
tw = text('$w$', (1.1, 1.9), color=cw)
gw = w.plot(color=cw)
gtw = gw + tw

point_options = {'size': 30}

e1 = vector(QQ, (1, 0))
ce1 = 'blue'
ge1 = point2d([e1], color=ce1, **point_options)
te1 = text("$e_1$", (1.1, -0.1))
gte1 = ge1 + te1

e2 = vector(QQ, (0, 1))
ce2 = 'red'
ge2 = point2d([e2], color=ce2, **point_options)
te2 = text("$e_2$", (0.1, 0.9))
gte2 = ge2 + te2

G = gtD + gtDe + gte1 + gte2 + gtv + gtw
G.show(axes=True, figsize=12)

Q 1.

$\newcommand{\Vect}{\operatorname{Vect}}$ On remarque que $v = (2, 1) \in D$ . La droite $D$ passe par l'origine et est dirigée par $v$ .

On remarque que $w = (1, 2) \in \Delta$ . La droite $\Delta$ passe par l'origine et est dirigée par $w$ .

En tout, $D = \Vect(v)$ et $\Delta = \Vect(w)$ , donc $D + \Delta = \Vect(v, w)$ .

Intersection de $D$ et $\Delta$ : comme les vecteurs directeurs de $D$ et $\Delta$ sont non-colinéaires, elles sont sécantes: leur intersection est réduite à un point. Comme elles contiennent toutes les deux l'origine, c'est leur point d'intersection.

On peut aussi résoudre le système donné par les équations de $D$ et de $\Delta$ . En effet, un point $(x, y)$ est dans $D \cap \Delta$ si il est à la fois dans $D$ et dans $\Delta$ , c'est-à-dire s'il vérifie à la fois l'équation de $D$ et celle de $\Delta$ .

Comme $D \cap \Delta = \{ 0 \}$ , les droites $D$ et $\Delta$ sont en somme directe.

Comme $u$ et $v$ sont non-colinéaires, la famille $(v, w)$ est libre. Donc $\Vect(v, w)$ est de dimension deux dans $\R^2$ donc c'est $\R^2$ tout entier.

Conclusion: on a bien $D \oplus \Delta = \R^2$ .

On dit que $D$ et $\Delta$ sont des supplémentaires dans $\R^2$ .

On note $s$ la symétrie par rapport à $D$ parallèlement à $\Delta$ .

Exo 5.8, Q 2.

Si $u \in \R^2$ , alors $s(u)$ est le symétrique de $u$ par rapport à $D$ parallèlement à $\Delta$ , et $s(s(u))$ est le symétrique de $s(u)$ par rapport à $D$ parallèlement à $\Delta$ , donc c'est $u$ .

Autrement dit, la composée $s \circ s$ est l'identité.

Si $u' \in \R^2$ , on cherche à résoudre l'équation $s(u) = u'$ .

Si $s(u) = u'$ , alors, en appliquant $s$ , on obtient $s(s(u)) = s(u')$ , c'est-à-dire $u = s(u')$ .

Il y a donc un unique $u$ tel que $s(u) = u'$ , et c'est $u = s(u')$ .

$\newcommand{\im}{\operatorname{im}}$ Le noyau de $s$ est l'ensemble des $u$ tels que $s(u) = 0$ .

D'après ce qu'on vient de voir, cela signifie $u = s(0)$ .

Mais $s(0) = 0$ , puisque $0 \in D$ .

L'image de $s$ est $\R^2$ tout entier, car on a vu que pour tout $u' \in \R^2$ , il existe un antécédent de $u'$ par $s$ .

(Cela revient à dire que $s$ est surjective.)

Bilan: $\ker(s) = \{ 0 \}$ et $\im(s) = \R^2$ .

Q 3.

Image par $s$ des vecteurs de la base canonique.

$s(e_1)$ ?

In [2]:

G.show(axes=True)

Le point $e'_1 = s(e_1)$ est sur la droite $\Delta_1$ , parallèle à $\Delta$ passant par $e_1$ .

Comme $\Delta_1$ est parallèle à $\Delta$ , elle a le même vecteur normal, donc elle admet une équation de la forme $2 x - y = c$ .

Pour trouver $c$ , on utilise les coordonnées $(x, y)$ de $e_1$ , c'est-à-dire $(1, 0)$ .

On trouve $2 x - y = 2 \cdot 1 - 0 = 2$ .

Une équation satisfaite par $e'_1$ est $2 x - y = 2$ .

In [3]:

cDe1 = 'dodgerblue'
gDe1 = implicit_plot(lambda x, y: 2*x - y - 2, x_range, y_range, color=cDe1, linewidth=0.5)
tDe1 = text(r'$\Delta_1$', (-0.25, -2.1))
gtDe1 = gDe1 + tDe1

In [4]:

GG = G + gtDe1

In [5]:

GG.show(axes=True)

Par ailleurs, la parallèle à $D$ passant par $e_1$ est la droite $D_1$ d'équation $x - 2 y = 1$ .

Donc la symétrique de cette droite par rapport à $D$ dans la direction de $\Delta$ (ou dans n'importe quelle direction autre que celle de $D$ d'ailleurs) est $x - 2 y = -1$ .

In [6]:

cD1 = 'purple'
gD1 = implicit_plot(lambda x, y: x - 2*y - 1, x_range, y_range, color=cD1, linewidth=0.5)
tD1 = text("$D_1$", (-2.1, -1.4))
gtD1 = gD1 + tD1

gDp1 = implicit_plot(lambda x, y: x - 2*y + 1, x_range, y_range, color=cD1, linewidth=0.5)
tDp1 = text("$D'_1$", (-2.1, -0.35))
gtDp1 = gDp1 + tDp1

In [7]:

GGG = GG + gtD1 + gtDp1

In [8]:

GGG.show(axes=True)

Donc $s(e_1)$ est donné par les équations

$2 x - y = 2$
$x - 2 y = -1$

In [9]:

A = matrix(QQ, [[2, -1, 2], [1, -2, -1]])
A

[ 2 -1  2]
[ 1 -2 -1]

In [10]:

A.echelon_form()

[  1   0 5/3]
[  0   1 4/3]

On trouve: $e'_1 = (5/3, 4/3)$ .

Autre solution pour trouver $e'_1$

Le projeté de $e_1$ sur $D$ dans la direction de $\Delta$ est un point de la forme $e_1 + \lambda \cdot w$ et qui vérifie l'équation de $D$ .

On trouve $\lambda$ en résolvant $e_1 + \lambda \cdot w \in D$ , c'est-à-dire $x - 2 y = 0$ avec

$x = 1 + 1 \cdot \lambda$
$y = 0 + 2 \cdot \lambda$ .

L'équation pour trouver $\lambda$ est donc: $(1 + \lambda) - 2 (2 \lambda) = 0$ , c'est-à-dire $1 - 3 \lambda = 0$ , soit $\lambda = 1/3$ .

Le point $e'_1 = s(e_1)$ sera alors $e_1 + 2 \cdot \lambda \cdot w$ .

C'est-à-dire $e'_1 = e_1 + (2/3) \cdot w$ .

$e'_1 = (1 + (2/3) \cdot 1, 0 + (2/3) \cdot 2)$

$e'_1 = (5/3, 4/3)$ .

Par les mêmes méthodes, on trouve $e'_2 = (x, y)$ .

Les équations pour $e'_2$ sont

$2 x - y = -1$ (parallèle à $\Delta$ passant par $e_2$ )
$x - 2 y = 2$ (parallèle à $D$ passant par $-e_2$ )

In [11]:

A = matrix(QQ, [[2, -1, -1], [1, -2, 2]])

In [12]:

A.echelon_form()

[   1    0 -4/3]
[   0    1 -5/3]

On trouve $e'_2 = s(e_2) = (-4/3, -5/3)$ .

Autre méthode: on cherche $\lambda$ tel que $e_2 + \lambda w \in D$ , puis on dit que $e'_2 = e_2 + 2\lambda w$ .

In [13]:

lw = vector(1/3*w)
glw = lw.plot(start=e1, color=cw, thickness=0.5) + lw.plot(start=e1 + lw, color=cw, thickness=0.5)

mw = vector(-2/3*w)
gmw = mw.plot(start=e2, color=cw, thickness=0.5) + mw.plot(start=e2 + mw, color=cw, thickness=0.5)

GGGG = G + glw + gmw + point2d([(5/3, 4/3)], color='mediumblue', **point_options) + point2d([(-4/3, -5/3)], color='maroon', **point_options)
GGGG.show(axes=True)

La matrice de $s$ dans la base canonique a pour colonnes $s(e_1)$ et $s(e_2)$ .

In [14]:

S = matrix(QQ, [[5/3, -4/3],
                [4/3, -5/3]])
show(S)
S

[ 5/3 -4/3]
[ 4/3 -5/3]

Pour un point $u = (x, y)$ , on a alors $s(u) = S \cdot u$ .

In [15]:

x, y = SR.var('x y')
u = vector((x, y))

In [16]:

(S * u).column()

[5/3*x - 4/3*y]
[4/3*x - 5/3*y]

Rappel: la matrice de $s$ dans la base $B$ est la matrice dont les colonnes sont les images par $s$ des vecteurs de la base $B$ , exprimés dans $B$ .

In [0]: