Théorème (de Stokes) :
Soit une surface orientée (de normal , lisse par morceaux, dont le bord est une courbe , simple, fermée, orientée positivement (orientation induite par celle de . Soit en plus un champ de vecteurs de classe sur une région ouverte contenant et son bord . Alors .
Exemple 1
Soit la partie de la surface avec , et . Calculer .
L'intégrale de ligne : le bord de est le cercle (voir figure ci-bas). Une paramétrisation est avec . Ainsi . Ceci conduit directement à:
L'intégrale de surface : On calcule . Par ailleurs, si on pose , la surface est la surface de niveau . Un vecteur normal unitaire pour est donc . On projette sur le plan , qui a le vecteur normal , de sorte que où l'on autilisé le fait que l'on se trouve sur la sphère. Ainsi , et le résultat suit immédiatement.
On remarquera le signe du résultat, et on comparera avec la figure.
Exemple 2:
Calculer où et est la courbe d'intersection du cylindre et le plan , orientée dans le sens contraire des aiguilles d'une montre lorsque vue d'en haut.
Le vecteur normal au plan est . Par ailleurs, on calcule facilement , de sorte que . Ainsi [\oint_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_\mathcal{S} \frac{1}{\sqrt{3}}(x^2+y^2) d\sigma = \iint_{x^2+y^2\leq 9} x^2+y^2 dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^3 r^3, dr, d\theta = \frac{81\pi}{2}] où on a effectué un passage en coordonnées polaires pour évaluer l'intégrale double.
Il faut bien noter que de paramétriser la surface dès le début eut été possible, mais pas tellement astucieux. En effet cela aurait conduit à des calculs relativement ardus, mais inutilement. On aurait du utiliser les coordonnées polaires très tôt, et le seul effet obtenu aurait été de complexifier le calcul du diffŕentiel. Voir ci bas, pour voir la paramétrisation de la surface.