Shared4D / 2_4D-Implizit.ipynbOpen in CoCalc
Author: Ingo Dahn
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License: Other -- explicitly state in your code
Description: Intersection of aan implicitely defined 4D manifold with a 3D space (in German)

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Implizit definierte 4-dimensionale "Flächen"

Wir betrachten nun die Situation eines Wesens in einem 3-dimensionalen Raum RR - nennen wir es R3D3 - der sich linear durch einen 4-dimensionalen Raum bewegt und dabei mit der Mannigfaltigkeit zusammenstößt, die durch die folgende Gleichung FlFl definiert ist.
In [1]:
var('d,p,q,r,u,v,x,y') assume(x,'real');assume(y,'real');assume(u,'real');assume(v,'real') dmin=-2;dmax=2 pmin=-4;pmax=4 qmin=-4;qmax=4 rmin=-4;rmax=4 xmin=-2;xmax=2 ymin=-2;ymax=2 umin=-2;umax=2 vmin=-2;vmax=2 # Ändern Sie das Folgende, um eine andere Definition zu verwenden f(x,y,u,v)=x^3-y^3+u^2-v^2-2 #f(x,y,u,v)=x^2+y^2+u^2+v^2-1 Fl=f(x,y,u,v)==0 show(LatexExpr("Fl: "),Fl) def N3(x): return N(x,digits=3)
Fl:x3y3+u2v22=0Fl: x^{3} - y^{3} + u^{2} - v^{2} - 2 = 0

Wir bestimmen als erstes die Bewegungsrichtung von RR durch einen Normalenvektor.

Die Norm und der Einheitsvektor von n\vec{n} ergeben sich daraus:

dn=2.00,en=(0.5000.5000.5000.500)d_n= 2.00 , \vec{e_n}= \left(\begin{array}{r} 0.500 \\ 0.500 \\ 0.500 \\ 0.500 \end{array}\right)

Die folgenden Vektoren ergänzen den Vektor en\vec{e_n} zu einer Basis des 4-dimensionalen Raums.

a1=(1.000.0000.0001.00),a2=(0.0001.000.0001.00),a3=(0.0000.0001.001.00)\vec{a_1}= \left(\begin{array}{r} 1.00 \\ 0.000 \\ 0.000 \\ -1.00 \end{array}\right) ,\vec{a_2}= \left(\begin{array}{r} 0.000 \\ 1.00 \\ 0.000 \\ -1.00 \end{array}\right) ,\vec{a_3}= \left(\begin{array}{r} 0.000 \\ 0.000 \\ 1.00 \\ -1.00 \end{array}\right)

Aus diesen 3 Vektoren berechnen wir ein Orthonormalsystem, das den selben Raum aufspannt.

b1=(0.7070.0000.0000.707),b2=(0.4080.8160.0000.408),b3=(0.2890.2890.8660.289)\vec{b_1}= \left(\begin{array}{r} -0.707 \\ -0.000 \\ -0.000 \\ 0.707 \end{array}\right) ,\vec{b_2}= \left(\begin{array}{r} 0.408 \\ -0.816 \\ 0.000 \\ 0.408 \end{array}\right) ,\vec{b_3}= \left(\begin{array}{r} 0.289 \\ 0.289 \\ -0.866 \\ 0.289 \end{array}\right)

Die Richtungsvektoren vom Endpunkt von n\vec{n} zu n+b1,n+b2,n+b3\vec{n}+\vec{b_1}, \vec{n}+\vec{b_2}, \vec{n}+\vec{b_3} bilden dann ein Koordinatensystem KnK_n, dessen Koordinatenachsen im 3-dimensionalen Raum RR von R3D3 liegen.
Ein Punkt PP in RR, der bezüglich KnK_n eine Darstellung (pqr)\begin{pmatrix}p \\ q \\ r\end{pmatrix} hat, hat in dem Othonormalsystem für den 4-dimensionalen Raum, das aus KnK_{n} durch Ergänzung um den Richtungsvektor vom Endpunkt von n\vec{n} nach n+en\vec{n}+\vec{e_n} ergänzten Vektor entsteht, die Darstellung (pqr0)\begin{pmatrix}p \\ q \\ r \\0\end{pmatrix}. Wir können die Koordinaten von PP im kanonischen Koordinatensystem als n+(b1b2b3en)(pqr0)\vec{n}+\begin{pmatrix} \vec{b_1} & \vec{b_2} & \vec{b_3} & \vec{e_n}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}p \\ q \\ r \\ 0\end{pmatrix} berechnen.
Bewegt sich RR in Richtung des Normalenvektors n=dnen\vec{n}=d_n\vec{e_n} durch den Raum, so nimmt die Koordinatentransformation von KnK_n in das Standard-Koordinatensystem des 4-dimensionalen Raumes - für einen variablen Abstand d vom Ursprung - die folgende Form an.

Betrachten wir nun die durch FlFl in RR im (p,q,r)(p,q,r)-System implizit definierte Mannigfaltigkeit. Dazu ersetzen wir in FlFl die Variablen x,y,u,vx,y,u,v durch diese Px,,PvP_x,\ldots,P_v. Damit sehen Sie nun eine graphische Darstellung des Durchschnitts der Mannigfaltigkeit mit dem 3-dimensionalen Raum. Falls Sie nichts oder nur eine Fehlermeldung sehen, so ist dieser Durchschnitt gerade leer. Verschieben Sie in diesem Fall die Position von RR mit dem Schieberegler.

In [11]:
show(LatexExpr("Fl: "),Fl) @interact def _(d1=slider(dmin,dmax,default=d_n,label="$d_n$",step_size=0.1)): global d_n d_n=d1 Fl_L(p,q,r)=f(P_x(d1,p,q,r), P_y(d1,p,q,r), P_u(d1,p,q,r),P_v(d1,p,q,r)) show(implicit_plot3d(Fl_L(p,q,r)==0,(p,pmin,pmax),(q,qmin,qmax),(r,rmin,rmax)),viewer="threejs")
Fl:x3y3+u2v22=0Fl: x^{3} - y^{3} + u^{2} - v^{2} - 2 = 0

Hier können Sie den Durchgang des Raumes RR durch FlFl als Animation verfolgen. Die Berechnung kann etwas dauern.

In [ ]: