Smith.sagews

typeset_mode(True)

A = matrix(ZZ, [[1,0,12,16], [0,1,0,8], [1, 2, 6, 14]])
A.smith_form()

($\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & -1 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -8 & -6 & 20 \\ 0 & 1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$)

Exemple n.1, p 513

M= matrix(ZZ,[[6,8],[9,15]]) # ZZ pour dire que l'anneau des coefficients est celui des entiers.
M.smith_form()

($\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 18 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 3 & -4 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{array}\right)$)

Le résultat est une liste de trois matrices.. Pour savoir ce qu'elles représentent, on peut faire M.smith_form?

Exemple 2.

Cette fois l'anneau des coefficients est $\mathbb{Q}[x]$, il faut le dire.

A = QQ['x']
M=matrix(A,[[x-1,0,1],[0,x-2,2],[0,0,x-3]])
M

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} x - 1 & 0 & 1 \\ 0 & x - 2 & 2 \\ 0 & 0 & x - 3 \end{array}\right)$

S = M.smith_form()[0]
S

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 \end{array}\right)$

S[2,2].factor()

$\displaystyle (x - 3) \cdot (x - 2) \cdot (x - 1)$

Exemple 3.

Cette fois avec les coefficients dans $\mathbb{Z}[i]$.

R = ZZ[I]
R # Pour afficher quelle est la définition de R.
I = R.basis()[1]

Order in Number Field in I with defining polynomial x^2 + 1

M = matrix([[1+8*I,-5+I],[-23+2*I,13*I]])
M.parent() # Pour afficher le type d'objet que M est : l'anneau des coefficients.
M

Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Order in Number Field in I with defining polynomial x^2 + 1

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 8 I + 1 & I - 5 \\ 2 I - 23 & 13 I \end{array}\right)$

M.smith_form()

($\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 I + 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ I - 1 & -4 & 4 I + 1 \\ -2 I & -4 I + 3 & -2 I - 5 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & -6 I - 8 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$)

Un autre exemple

Où en plus on fait les manipulations des matrices "pour vrai", c'est à dire avec les opérations élémentaires.

M=matrix([[1,8+6*I],[1+I,-4],[1-I,0]])
M
M.smith_form()

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 6 I + 8 \\ I + 1 & -4 \\ -I + 1 & 0 \end{array}\right)$

($\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 I + 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ I - 1 & -4 & 4 I + 1 \\ -2 I & -4 I + 3 & -2 I - 5 \end{array}\right)$, $\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & -6 I - 8 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$)

M= M.with_added_multiple_of_row(1,0,-(1+I))
M = M.with_added_multiple_of_row(2,0,-(1-I))
M

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 6 I + 8 \\ 0 & -14 I - 6 \\ 0 & 2 I - 14 \end{array}\right)$

M=M.with_added_multiple_of_column(1,0,-(8+6*I))
M

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -14 I - 6 \\ 0 & 2 I - 14 \end{array}\right)$

M=M.with_rescaled_row(2,I)
M

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -14 I - 6 \\ 0 & -14 I - 2 \end{array}\right)$

M=M.with_added_multiple_of_row(2,1,-1)
M

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -14 I - 6 \\ 0 & 4 \end{array}\right)$

M.with_added_multiple_of_row(1,2,-1-3*I)

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -26 I - 10 \\ 0 & 4 \end{array}\right)$

M=M.with_added_multiple_of_row(1,2,1+I)
M

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 I - 2 \\ 0 & 4 \end{array}\right)$

M.with_added_multiple_of_row(2,1,(1+I))

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 I - 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$