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Author: Juan Carlos Bustamante
Views : 43
Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Point critiques

Comme pour les fonctions d'une variable, les points candidats pour trouver les maximums et les minimums relatifs d'une fonction de plusieurs variables se trouvent parmi :

  • Les points critiques, c'est à dire les points poù f=0\nabla f = 0 ou f\nabla f n'existe pas
  • Le bord du domaine sur lequel on cherche à maximiser / minimiser ff.

Pour déterminer la nature d'un point critique, on utilise le Hessien de la fonction en ce point. Un point critique peut être :

  • maximum local
  • minimum local
  • point de selle (ni max ni min)

Exemple

Trouver les points critiques de f:(x,y)xsinyf : (x,y)\mapsto x \sin y, et déterminer leur nature.

Cette fonction admet une infinité de points critiques, de la forme (0,kπ)(0, k\pi) avec kZk\in\mathbb{Z}. Ils sont tous des points de selle. Un regard au diagramme des courbes de niveau est illustratif : les points critiques correspondent aux points où le champ gradient f\nabla f s'annule.

var('x,y') f(x,y)=x*sin(y) C=contour_plot(f, (x,-2*pi, 2*pi), (y,-2*pi, 2*pi),fill=False, cmap='hot',linestyles='solid',colorbar=True) Grad=plot_vector_field(f.gradient(),(x,-2*pi,2*pi),(y,-2*pi,2*pi),color='blue') show(C+Grad, figsize=6)
(x, y)
cmsel = [colormaps['hot'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)] Surff=plot3d(f,(x,-2*pi,2*pi),(y,-2*pi,2*pi),adaptive=True, color=cmsel) show(Surff)
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Exemple

Trouver les maximums et minimums locaux et globaux de f:(x,y)x4+y44xy+1f: (x,y) \mapsto x^4+y^4-4xy+1 sur la région (x,y)R2(x,y)\in \mathbb{R}^2 tels que 0x3,0y20\leqslant x \leqslant 3, 0\leqslant y \leqslant 2

var('x,y') f(x,y)=x^4+y^4-4*x*y+1 C=contour_plot(f, (x,0, 3), (y,0, 2),fill=True, cmap='hot',linestyles='solid',colorbar=True) Grad=plot_vector_field(f.gradient(),(x,0,3),(y,0,2),color='blue') show(C, figsize=8)
(x, y)
%md ## Exemple Voons un point de selle

Exemple

Voons un point de selle

var("x,y") plot3d(x^2 - y^2, (x,-1,1),(y,-1,1), adaptive=True, color=cmsel)
(x, y)
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