Point critiques

Comme pour les fonctions d'une variable, les points candidats pour trouver les maximums et les minimums relatifs d'une fonction de plusieurs variables se trouvent parmi :

Les points critiques, c'est à dire les points poù $\nabla f = 0$ ou $\nabla f$ n'existe pas
Le bord du domaine sur lequel on cherche à maximiser / minimiser $f$ .

Pour déterminer la nature d'un point critique, on utilise le Hessien de la fonction en ce point. Un point critique peut être :

maximum local
minimum local
point de selle (ni max ni min)

Exemple

Trouver les points critiques de $f : (x,y)\mapsto x \sin y$ , et déterminer leur nature.

Cette fonction admet une infinité de points critiques, de la forme $(0, k\pi)$ avec $k\in\mathbb{Z}$ . Ils sont tous des points de selle. Un regard au diagramme des courbes de niveau est illustratif : les points critiques correspondent aux points où le champ gradient $\nabla f$ s'annule.

var('x,y')
f(x,y)=x*sin(y)
C=contour_plot(f, (x,-2*pi, 2*pi), (y,-2*pi, 2*pi),fill=False, cmap='hot',linestyles='solid',colorbar=True)
Grad=plot_vector_field(f.gradient(),(x,-2*pi,2*pi),(y,-2*pi,2*pi),color='blue')
show(C+Grad, figsize=6)

(x, y)

cmsel = [colormaps['hot'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)]
Surff=plot3d(f,(x,-2*pi,2*pi),(y,-2*pi,2*pi),adaptive=True, color=cmsel)
show(Surff)

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Exemple

Trouver les maximums et minimums locaux et globaux de $f: (x,y) \mapsto x^4+y^4-4xy+1$ sur la région $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tels que $0\leqslant x \leqslant 3, 0\leqslant y \leqslant 2$

	var('x,y')
f(x,y)=x^4+y^4-4*x*y+1
C=contour_plot(f, (x,0, 3), (y,0, 2),fill=True, cmap='hot',linestyles='solid',colorbar=True)
Grad=plot_vector_field(f.gradient(),(x,0,3),(y,0,2),color='blue')
show(C, figsize=8)

(x, y)

%md
## Exemple
Voons un point de selle

Exemple

Voons un point de selle

var("x,y")
plot3d(x^2 - y^2, (x,-1,1),(y,-1,1), adaptive=True, color=cmsel)

(x, y)

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