O Sage como ferramenta auxiliar na aplicação do Método de Separação de Variáveis
Infelizmente "ainda" não é possível simplesmente definir o problema a valores inicial e de fronteira e solicitar ao Sage que o resolva.
Então, o Sage deve ser utilizado como uma ferramenta auxiliar a ser empregada nas etapas que envolvem cálculos longos ou complicados como a determinação dos coeficientes de Fourier e a solução de EDOs.
E, naturalmente, para construir os gráficos das soluções encontradas.
Infelizmente "ainda" não é possível simplesmente definir o problema a valores inicial e de fronteira e solicitar ao Sage que o resolva.
Então, o Sage deve ser utilizado como uma ferramenta auxiliar a ser empregada nas etapas que envolvem cálculos longos ou complicados como a determinação dos coeficientes de Fourier e a solução de EDOs.
E, naturalmente, para construir os gráficos das soluções encontradas.
Resolva o problema homogêneo
Trata-se de um problema homogêneo que pode ser resolvido por Separação de Variáveis.
É simples verificar que só existem soluções não triviais para . Então, vamos assumir que . Logo,
É simples verificar que só existem soluções não triviais para . Então, vamos assumir que . Logo,
Precisamos, agora, aplicar as condições de contorno.
Aplicando , vem
Aplicando , vem
(_K1, _K2, mu, x)
Aplicando , temos:
Portanto, uma vez que , para termos solução não trivial, devemos impor .
Poderíamos pensar em resolver esta equação, através da função solve() mas, como mostra o exemplo a seguir, o Sage não fornece a solução geral dessa equação trigonométrica:
Poderíamos pensar em resolver esta equação, através da função solve() mas, como mostra o exemplo a seguir, o Sage não fornece a solução geral dessa equação trigonométrica:
[mu == 1/2*pi]
Ou seja, nós mesmos precisamos resolvê-la; sabemos que
Portanto,
Autovalores:
Autofunções:
Portanto,
Autovalores:
Autofunções:
Agora, resolvemos a EDO em T, já levando em conta a existência dos autovalores
A solução geral é:
O coeficiente é calculado impondo-se a condição inicial e usando a propriedade de ortogonalidade das autofunções:
O coeficiente é calculado impondo-se a condição inicial e usando a propriedade de ortogonalidade das autofunções:
A solução está completa; podemos esboçar seu gráfico.
No primeiro gráfico, a curva em verde é a distribuição inicial de temperatura.
Como era de se esperar, já que se trata de um fenômeno de difusão e pelas condições de contorno, com o passar do tempo a temperatura tende para o estado estacionário e, neste caso, .
Estas propriedades podem ser vistas de uma só vez no gráfico em 3D.
No primeiro gráfico, a curva em verde é a distribuição inicial de temperatura.
Como era de se esperar, já que se trata de um fenômeno de difusão e pelas condições de contorno, com o passar do tempo a temperatura tende para o estado estacionário e, neste caso, .
Estas propriedades podem ser vistas de uma só vez no gráfico em 3D.
3D rendering not yet implemented