1. Comandos Básicos do Sage para Manipulação de Séries de Fourier
O Sage possui um pequeno conjunto de comandos que permitem extrair as principais informações sobre a Série de Fourier de uma função que, em geral, é contínua por partes e fornecida em um intervalo [-L,L].
O Sage oferece um comando que permite a definição da função satisfazendo essas condições: Piecewise.
Essa função recebe uma lista de pares cujos elementos são o intervalo e a função nesse intervalo.
Como exemplo, vamos definir a função: e traçar seu gráfico.
O Sage oferece um comando que permite a definição da função satisfazendo essas condições: Piecewise.
Essa função recebe uma lista de pares cujos elementos são o intervalo e a função nesse intervalo.
Como exemplo, vamos definir a função: e traçar seu gráfico.
Vejamos, agora, os comandos diretamente relacionados às Séries de Fourier
a) fourier_series_cosine_coefficient(n,L)
Retorna o n-ésimo coeficiente de ou seja,
Os parâmetros de entrada são o índice do coeficiente, n (começando em zero) e L (o período/2)
a) fourier_series_sine_coefficient(n,L)
Retorna o n-ésimo coeficiente de ou seja,
Os parâmetros de entrada são o índice do coeficiente, n (começando em zero) e L (o período/2)
a) fourier_series_value(x,L)
Retorna o valor da Série de Fourier em um ponto dado, x. Os parâmetros de entrada são o ponto onde se quer avaliar a Série de Fourier e o valor de L.
Um importante uso desta função é avaliar a Série de Fourier em um ponto de descontinuidade, já que ela leva em conta o Teorema da Convergência Pontual.
a) fourier_series_partial_sum(N,L)
Retorna a Soma Parcial da Série de Fourier, considerando os primeiros N termos da série. Os parâmetros de entrada são N e L.
No Exemplo dado a seguir, vamos manipular a Série de Fourier da função: Vejamos exemplos de uso de cada um dos comandos apresentados.
Preste atenção no fato de que, no Sage, o termo constante é tomado como e nós tomamos como sendo .
a) fourier_series_cosine_coefficient(n,L)
Retorna o n-ésimo coeficiente de ou seja,
Os parâmetros de entrada são o índice do coeficiente, n (começando em zero) e L (o período/2)
a) fourier_series_sine_coefficient(n,L)
Retorna o n-ésimo coeficiente de ou seja,
Os parâmetros de entrada são o índice do coeficiente, n (começando em zero) e L (o período/2)
a) fourier_series_value(x,L)
Retorna o valor da Série de Fourier em um ponto dado, x. Os parâmetros de entrada são o ponto onde se quer avaliar a Série de Fourier e o valor de L.
Um importante uso desta função é avaliar a Série de Fourier em um ponto de descontinuidade, já que ela leva em conta o Teorema da Convergência Pontual.
a) fourier_series_partial_sum(N,L)
Retorna a Soma Parcial da Série de Fourier, considerando os primeiros N termos da série. Os parâmetros de entrada são N e L.
No Exemplo dado a seguir, vamos manipular a Série de Fourier da função: Vejamos exemplos de uso de cada um dos comandos apresentados.
Preste atenção no fato de que, no Sage, o termo constante é tomado como e nós tomamos como sendo .
5/2
1/pi
3/2
3/2
Acabamos de ver que os recursos básicos do Sage são suficientes para extrair informações relevantes sobre a Série de Fourier de uma função: explorar a convergência pontual, determinar as somas parciais e verificar sua convergência, graficamente.
Entretanto, uma limitação é evidente: e se desejamos determinar a expressão analítica dos coeficientes de Fourier? Observe que os comandos examinados não fornecem uma expressão geral, apenas o valor de cada coeficiente individual.
A saída é executar cálculos simbólicos mais elaborados mas, felizmente, o Sage oferece todos os recursos necessários para isso, como veremos a seguir.
Entretanto, uma limitação é evidente: e se desejamos determinar a expressão analítica dos coeficientes de Fourier? Observe que os comandos examinados não fornecem uma expressão geral, apenas o valor de cada coeficiente individual.
A saída é executar cálculos simbólicos mais elaborados mas, felizmente, o Sage oferece todos os recursos necessários para isso, como veremos a seguir.
2. Computação Simbólica dos Coeficientes da Série de Fourier
No Tutorial (teórico) 4. Representação de Funções por Séries de Fourier. Problemas Resolvidos foram discutidos três exemplos nos quais os coeficientes de Fourier foram calculados manualmente.
Vejamos como cada um desses exemplos pode ser resolvido usando o Sage.
Exemplo 1
Lembrando que , e , o código fornecido a seguir, define os integrandos (por partes) e calcula os coeficientes de Fourier.
Acompanhe os exemplos: os comentários esclarecem as etapas do procedimento. Depois, compare os resultados com os obtidos manualmente no Tutorial mencionado.
Vejamos como cada um desses exemplos pode ser resolvido usando o Sage.
Exemplo 1
Lembrando que , e , o código fornecido a seguir, define os integrandos (por partes) e calcula os coeficientes de Fourier.
Acompanhe os exemplos: os comentários esclarecem as etapas do procedimento. Depois, compare os resultados com os obtidos manualmente no Tutorial mencionado.
a0=
an=
bn=
bn simplificado=
Exemplo 2
Naturalmente, após calcularmos os coeficientes de Fourier poderíamos fazer os gráficos das somas parciais a partir deles.
Para isso, no entanto, teríamos que escrever um código implementando os somatórios que aparecem na expressão da Série de Fourier mas, como vimos anteriormente, o Sage possui comandos que permitem executar essa tarefa diretamente.
Assim, fica a sugestâo:
Para isso, no entanto, teríamos que escrever um código implementando os somatórios que aparecem na expressão da Série de Fourier mas, como vimos anteriormente, o Sage possui comandos que permitem executar essa tarefa diretamente.
Assim, fica a sugestâo:
- Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função qualquer, use o código de qualquer dos três exemplos como modelo
- Para fazer o gráfico das somas parciais, use os comandos básicos do Sage, como no Exemplo a seguir
Exemplo 3
A função do Exemplo 3 não é uma função contínua como a do Exemplo 2 e verificamos que, com N=30, a Série de Fourier representa razoavelmente bem a função exceto na vizinhança dos pontos de descontinuidade,
onde podemos observar o chamado Fenômeno de Gibbs (será estudado mais tarde).
onde podemos observar o chamado Fenômeno de Gibbs (será estudado mais tarde).
Para completar, vejamos os gráficos correspondentes ao Exemplo 1.