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Author: Sergio Luis Lopes Verardi
Lista de Exercícios 01

Usando o Sage
Todos os exercícios desta Lista foram retirados do livro:
  • Martha L. Abell e James B. Braselton, Maple By Example, 3a. Edição, Elsevier, 2005.
Além de exercitar o conteúdo dos Tutoriais, um dos objetivos da Lista é mostrar que muito do que é feito nos mais completos softwares de Computação Simbólica, como o Maple, também pode ser feito com um software livre como o Sage.
%html <strong>Exercício 1</strong> (Exemplo 2.2.1, Pag. 27) <br><br> a) Fatore o polinômio $12x^2+27xy-84y^2$ <br> b) Expanda a expressão $(x+y)^2 (3x-y)^3$ <br> c) Escreva a soma $\frac{2}{x^2}-\frac{x^2}{2}$ como uma fração única (Dica: é uma simplificação e envolve frações).<br>
Exercício 1 (Exemplo 2.2.1, Pag. 27)

a) Fatore o polinômio 12x2+27xy84y212x^2+27xy-84y^2
b) Expanda a expressão (x+y)2(3xy)3(x+y)^2 (3x-y)^3
c) Escreva a soma 2x2x22\frac{2}{x^2}-\frac{x^2}{2} como uma fração única (Dica: é uma simplificação e envolve frações).
Exercício 2 (Exemplo 2.2.4, Pag 31)

Avalie a expressão x3+2x2x2x3+x24x4\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+x^2-4x-4}, se x=4x=4, x=3x=-3 e x=2x=2.
Exercício 3 (Exemplo 2.3.3 modificado, Pag 43)

Faça o gráfico de y=sinxy=\sin{x} junto com o gráfico de sua função inversa, no intervalo [π,π][-\pi,\pi].
Use cores e estilos de linha (por exemplo, contínua e tracejada) diferentes para cada curva.
Exercício 4 (Exemplo 2.3.6, Pag 49)

Desenhe o gráfico da função 4x2x21 \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-1}
Dica: Primeiro, faça um desenho bem básico e verifique que gráfico horrível é obtido. Depois acrescente à função plot os parâmetros ymin=-20 e ymax=20. Compare.
Exercício 5 (Exemplo 2.3.11, Pag 56)

Desenhe os gráficos das funções (dadas em coordenadas polares):
a) r=θcosθr=\theta \cos{\theta}, 19π2θ19pi2\displaystyle \frac{-19\pi}{2} \le \theta \le \frac{19pi}{2}
b) r=ecosθ2cos4θ+sin5θ/12r=e^{\cos{\theta}}-2\cos{4\theta}+\sin^5{\theta /12}, 0θ24π0 \le \theta \le 24\pi
Exercício 6 (Exemplo 2.3.9, Pag 53)

Desenhe o gráfico, no intervalo [2π,2π][-2\pi,2\pi] da curva paramétrica {x(t)=t+sin2ty(t)=t+sin3t\left\{ \begin{array}{rcl}x(t)&=&t+\sin{2t}\\y(t)&=&t+\sin{3t}\\ \end{array}\right.
Exercício 7 (Pag 61)

Desenhe o gráfico da função g(x,y)=xsiny+ysinxg(x,y)=x\sin{y}+y\sin{x}, para 0x5π0 \le x \le 5\pi e 0y5π0 \le y \le 5\pi
Dica: Desenhe o gráfico normalmente; a seguir, acrescente o parâmetro mesh=True à função plot3d e compare.
Exercício 8 (Exemplo 2.4.3 Pag 75)

Resolva a equação sin2x2sinx3=0\sin^2{x}-2\sin{x}-3=0
Exercício 9 (Exemplo 2.4.4 Pag 75)

Seja f(θ)=sinθ+2cosθf(\theta)=sin{\theta}+2\cos{\theta}, 0θ2π0 \le \theta \le 2\pi
Resolva f(θ)=0f'(\theta)=0 e faça o gráfico de f(θ)f(\theta) e fθ)f'\theta)
Exercício 10 (Exemplo 3.1.3 Pag 94)

Determine os seguintes limites:
a) limx9/22x2+25x+727247x14x2\displaystyle\lim_{x\rightarrow -9/2}\frac{2x^2+25x+72}{72-47x-14x^2}
b) limx0sinxx\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}
c) limx(1+1x)x\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x
d) limx1+(1lnx1x1)\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^+}\left(\frac{1}{\ln{x}}-\frac{1}{x-1}\right)
Exercício 11 (Exemplo 3.1.4 Pag 96)

(Determinando limites simbólicos: fórmula de juros compostos continuamente)
limtP(1+rn)nt\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}
Exercício 12 (Exemplo 3.2.3 Pag 103)

Determine a primeira e segunda derivadas da função: f(x)=e2x+e2xf(x)=\sqrt{e^{2x}+e^{-2x}}
Dica: Determine a derivada segunda SEM e COM simplify_full() e observe o resultado.
Exercício 13 (Exemplo 3.2.11 Pag 115)

Lembrando que o Teorema do Valor Médio estabelece que se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos um ponto, c, entre a e b
tal que f(c)=f(b)f(a)baf'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Encontre todos os pontos c que satisfazem o Teorema do Valor Médio para f(x)=x23xf(x)=x^2-3x, no intervalo [0,7/2][0,7/2]
Exercício 14 (Exemplo 3.3.2 e 3.3.3 Pag 139 e 141)

Calcular as integrais:

a)14(x2+1)xdx\displaystyle\int_{1}^{4} \frac{(x^2+1)}{\sqrt{x}}dx
b)10u3du\displaystyle\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{u}du
c)2πex2dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}dx
Exercício 15 (Exemplo 6.1.1 Pag 418)

Resolva a Equação Diferencial Logística (ou de Verhulst):

y=αy(11Ky)y'=\alpha y\left(1-\frac{1}{K}y\right), K,α>0K, \alpha \gt 0
Dica: Este problema é mais difícil. Para obter uma solução explícita é preciso usar simplify_log no lugar certo! Além disso, observe que a EDO depende de parâmetros; então, leia a descrição do comando desolve no tutorial correspondente!
Exercício 16 (Exemplo 6.2.3 Pag 449)

A equação diferencial ordinária my+cy+ky=0my''+cy'+ky=0 descreve o famoso oscilador harmônico amortecido. Dependendo do sinal de c24mkc^2-4mk, o movimento é classificado como: sobreamortecido(>0>0), criticamente amortecido(=0=0) e
subamortecido (<0\lt 0)
Resolva essa EDO para as seguintes situações:
a) nada imponha sobre c24mkc^2-4mk e verifique que o Sage se recusa a resolver a EDO, solicitando o sinal da expressão;
b) imponha c24mk=0c^2-4mk=0 e resolva a EDO com condições iniciais y(0)=0y(0)=0 e y(0)=1y'(0)=1; assuma m=1, c=8, k=16 e faça o gráfico da solução;
c) imponha c24mk>0c^2-4mk>0 e resolva a EDO com condições iniciais y(0)=0y(0)=0 e y(0)=1y'(0)=1; assuma m=1, c=5, k=4 e faça o gráfico da solução;
d) imponha c24mk<0c^2-4mk\lt 0 e resolva a EDO com condições iniciais y(0)=0y(0)=0 e y(0)=1y'(0)=1; assuma m=1, c=1, k=16 e faça o gráfico da solução;

Dicas: Será preciso usar o comando forget() e substitute(...)