Sharednotebooks / 5a-ListaExercicios-01.ipynbOpen in CoCalc
Author: Sergio Luis Lopes Verardi
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%html <div align='center'><strong><font size=5>Lista de Exercícios 01</font></strong><br><br> <strong><font size=5>Usando o Sage</font></strong></div>
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%html Todos os exercícios desta Lista foram retirados do livro:<br> <ul> <li>Martha L. Abell e James B. Braselton, <em>Maple By Example</em>, 3a. Edição, Elsevier, 2005. </li> </ul> Além de exercitar o conteúdo dos Tutoriais, um dos objetivos da Lista é mostrar que muito do que é feito nos mais completos softwares de Computação Simbólica, como o Maple, também pode ser feito com um software livre como o Sage.
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%html <strong>Exercício 1</strong> (Exemplo 2.2.1, Pag. 27) <br><br> a) Fatore o polinômio $12x^2+27xy-84y^2$ <br> b) Expanda a expressão $(x+y)^2 (3x-y)^3$ <br> c) Escreva a soma $\frac{2}{x^2}-\frac{x^2}{2}$ como uma fração única (Dica: é uma simplificação e envolve frações).<br>
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%html <strong>Exercício 2</strong> (Exemplo 2.2.4, Pag 31) <br><br> Avalie a expressão $\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+x^2-4x-4}$, se $x=4$, $x=-3$ e $x=2$.
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%html <strong>Exercício 3</strong> (Exemplo 2.3.3 modificado, Pag 43) <br><br> Faça o gráfico de $y=\sin{x}$ junto com o gráfico de sua função inversa, no intervalo $[-\pi,\pi]$.<br> Use cores e estilos de linha (por exemplo, contínua e tracejada) diferentes para cada curva.
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%html <strong>Exercício 4</strong> (Exemplo 2.3.6, Pag 49) <br><br> Desenhe o gráfico da função $ \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-1} $<br> Dica: Primeiro, faça um desenho bem básico e verifique que gráfico horrível é obtido. Depois acrescente à função plot os parâmetros ymin=-20 e ymax=20. Compare.
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%html <strong>Exercício 5</strong> (Exemplo 2.3.11, Pag 56) <br><br> Desenhe os gráficos das funções (dadas em coordenadas polares):<br> a) $r=\theta \cos{\theta}$, $\displaystyle \frac{-19\pi}{2} \le \theta \le \frac{19pi}{2}$<br> b) $r=e^{\cos{\theta}}-2\cos{4\theta}+\sin^5{\theta /12}$, $0 \le \theta \le 24\pi$
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%html <strong>Exercício 6</strong> (Exemplo 2.3.9, Pag 53) <br><br> Desenhe o gráfico, no intervalo $[-2\pi,2\pi]$ da curva paramétrica $\left\{ \begin{array}{rcl}x(t)&amp;=&amp;t+\sin{2t}\\y(t)&amp;=&amp;t+\sin{3t}\\ \end{array}\right.$<br>
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%html <strong>Exercício 7</strong> (Pag 61) <br><br> Desenhe o gráfico da função $g(x,y)=x\sin{y}+y\sin{x}$, para $0 \le x \le 5\pi$ e $0 \le y \le 5\pi$<br> Dica: Desenhe o gráfico normalmente; a seguir, acrescente o parâmetro mesh=True à função plot3d e compare.
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%html <strong>Exercício 8</strong> (Exemplo 2.4.3 Pag 75) <br><br> Resolva a equação $\sin^2{x}-2\sin{x}-3=0$
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%html <strong>Exercício 9</strong> (Exemplo 2.4.4 Pag 75) <br><br> Seja $f(\theta)=sin{\theta}+2\cos{\theta}$, $0 \le \theta \le 2\pi$<br> Resolva $f'(\theta)=0$ e faça o gráfico de $f(\theta)$ e $f'\theta)$
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%html <strong>Exercício 10</strong> (Exemplo 3.1.3 Pag 94) <br><br> Determine os seguintes limites:<br> a) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -9/2}\frac{2x^2+25x+72}{72-47x-14x^2}$<br> b) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}$<br> c) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$<br> d) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^+}\left(\frac{1}{\ln{x}}-\frac{1}{x-1}\right)$<br>
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%html <strong>Exercício 11</strong> (Exemplo 3.1.4 Pag 96) <br><br> (Determinando limites simbólicos: fórmula de juros compostos continuamente)<br> $\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$<br>
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%html <strong>Exercício 12</strong> (Exemplo 3.2.3 Pag 103) <br><br> Determine a primeira e segunda derivadas da função: $f(x)=\sqrt{e^{2x}+e^{-2x}}$<br> Dica: Determine a derivada segunda SEM e COM simplify_full() e observe o resultado.
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%html <strong>Exercício 13</strong> (Exemplo 3.2.11 Pag 115) <br><br> Lembrando que o Teorema do Valor Médio estabelece que se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos um ponto, <em>c</em>, entre <em>a</em> e <em>b</em> <br> tal que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$<br> Encontre todos os pontos c que satisfazem o Teorema do Valor Médio para $f(x)=x^2-3x$, no intervalo $[0,7/2]$<br
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%html <strong>Exercício 14</strong> (Exemplo 3.3.2 e 3.3.3 Pag 139 e 141) <br><br> Calcular as integrais:<br><br> a)$\displaystyle\int_{1}^{4} \frac{(x^2+1)}{\sqrt{x}}dx$<br> b)$\displaystyle\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{u}du$<br> c)$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}dx$<br>
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%html <strong>Exercício 15</strong> (Exemplo 6.1.1 Pag 418) <br><br> Resolva a Equação Diferencial Logística (ou de Verhulst):<br><br> $y'=\alpha y\left(1-\frac{1}{K}y\right)$, $K, \alpha \gt 0$<br> Dica: Este problema é mais difícil. Para obter uma solução explícita é preciso usar simplify_log no lugar certo! Além disso, observe que a EDO depende de parâmetros; então, leia a descrição do comando desolve no tutorial correspondente!
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%html <strong>Exercício 16</strong> (Exemplo 6.2.3 Pag 449) <br><br> A equação diferencial ordinária $my''+cy'+ky=0$ descreve o famoso oscilador harmônico amortecido. Dependendo do sinal de $c^2-4mk$, o movimento é classificado como: sobreamortecido($>0$), criticamente amortecido($=0$) e<br> subamortecido ($\lt 0$) <br> Resolva essa EDO para as seguintes situações:<br> a) nada imponha sobre $c^2-4mk$ e verifique que o Sage se recusa a resolver a EDO, solicitando o sinal da expressão;<br> b) imponha $c^2-4mk=0$ e resolva a EDO com condições iniciais $y(0)=0$ e $y'(0)=1$; assuma m=1, c=8, k=16 e faça o gráfico da solução;<br> c) imponha $c^2-4mk>0$ e resolva a EDO com condições iniciais $y(0)=0$ e $y'(0)=1$; assuma m=1, c=5, k=4 e faça o gráfico da solução;<br> d) imponha $c^2-4mk\lt 0$ e resolva a EDO com condições iniciais $y(0)=0$ e $y'(0)=1$; assuma m=1, c=1, k=16 e faça o gráfico da solução;<br><br> Dicas: Será preciso usar o comando forget() e substitute(...)
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