 Sharednotebooks / 3.Limites-Derivadas-Integrais.sagewsOpen in CoCalc
Author: Sergio Luis Lopes Verardi

## 1. Resumo do Tutorial

Neste tutorial, abordaremos alguns tópicos do Cálculo Diferencial e Integral.
Especificamente, através de exemplos, veremos como determinar simbolicamente limites, derivadas e integrais.

## 2. Limites

O Sage fornece o comando limit (ou apenas lim) para o cálculo de limites, inclusive limites à esquerda e à direita.

Siga os exemplos fornecidos

a) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+19}-3}$
b)
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{\cos{(\frac{\pi}{4}-x)}-\tan{x}}{1-\sin{(\frac{\pi}{4}+x)}}$

#Exemplo: Caso (a)
limit((x^(1/3)-2)/((x+19)^(1/3)-3),x=8)

9/4
#Exemplo: Caso (b) - Observe que, primeiro, atribuimos a fórmula a uma função f(x)
f(x)=(cos(pi/4-x)-tan(x))/(1-sin(pi/4+x))
limit(f(x),x=pi/4)

Infinity
# O resultado anterior indica que, pelo menos um dos limites, à esquerda ou à direita, é infinito.
# Para tornar o resultado mais preciso usamos o seguinte recurso do Sage:
limit(f(x),x=pi/4,dir='minus')
limit(f(x),x=pi/4,dir='plus')

+Infinity -Infinity

## 2. Séries de Taylor

Com o comando taylor, podemos obter a expansão em série de Taylor na ordem desejada.

Siga os exemplos fornecidos

a) $\displaystyle (1+\arctan{x})^{(\frac{1}{x})}$, (ordem 3)
b)
$e^x$, (ordem 3)

# Exemplo: Caso (a)
# Parâmetros do comando: função, variável, ponto em torno do qual se expande, ordem
taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3)
show(taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3))

1/16*x^3*e + 1/8*x^2*e - 1/2*x*e + e
$\displaystyle \frac{1}{16} \, x^{3} e + \frac{1}{8} \, x^{2} e - \frac{1}{2} \, x e + e$
# Exemplo: Caso (b)
show(taylor(exp(x),x,0,3))

$\displaystyle \frac{1}{6} \, x^{3} + \frac{1}{2} \, x^{2} + x + 1$

## 3. Derivadas

O comando derivative (ou apenas diff) permite determinar a derivada de uma expressão simbólica. De fato, com esse comando é possível calcular derivadas de qualquer ordem bem como derivadas parciais.

Acompanhe os seguintes exemplos:

a) Encontrar as derivadas de ordem 1 e 2 de $\sin{(x^2)}$

b) Encontrar as derivadas parciais, em relação a x e y, da função $xy+\sin{(x^2)}+e^{-x}$

c) Mostrar que a função $\frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)}$ é harmônica (exceto em (0,0), ou seja, $\nabla^2 f(x,y)=0$
# Exemplo: Caso (a))
diff(sin(x^2),x)
diff(sin(x^2),x,2) # Observe que a ordem da derivada é o terceiro parâmetro; quando a ordem é 1, não precisa ser especificada

2*x*cos(x^2) -4*x^2*sin(x^2) + 2*cos(x^2)
# Exemplo: Caso (b)
x,y=var('x','y')
diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),x)
diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),y)


2*x*cos(x^2) + y - e^(-x) x
# Exemplo: Caso (c)
x,y=var('x','y')
f=ln(x^2+y^2)
laplaciano=diff(f,x,2)+diff(f,y,2)
show(laplaciano) # neste ponto, o Sage retorna a expressão do laplaciano mas sem fazer qualquer tipo de simplificação
laplaciano.simplify_full() # ao executarmos simplify_full, todos os tipos de simplificação disponíveis são realizadas e VERIFICAMOS que o laplaciano é nulo (função harmônica)

$\displaystyle -\frac{4 \, x^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} - \frac{4 \, y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{4}{x^{2} + y^{2}}$
0

## 4. Integrais

Para o cálculo de integrais definidas ou indefinidas, o Sage fornece o comando integrate (ou o sinônimo integral).

Acompanhe os seguintes exemplos:

a) Determinar a integral $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$

b) Determinar a primitiva
$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}dx$

c)
Determinar a integral $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx$

d) Determinar a integral $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$

e) Determinar a integral $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}dx$
# Exemplo: Caso (a)
sin(x).integral(x,0,pi/2)
# OU
integral(sin(x),x,0,pi/2)

1 1
# Exemplo: Caso (b)
integrate(1/(1+x^2),x)

arctan(x)
# Exemplo: Caso (c)
integrate(1/(1+x^2),x,-infinity,infinity)

pi
# Exemplo: Caso (d)
integrate(exp(-x^2),x,0,infinity)
show(integrate(exp(-x^2),x,0,infinity))

1/2*sqrt(pi)
$\displaystyle \frac{1}{2} \, \sqrt{\pi}$
# Exemplo: Caso (e)
integrate(exp(-x),x,-infinity,infinity) # OBSERVE AS MENSAGENS DE ERRO DO SAGE; NA ÚLTIMA LINHA ESTÁ A EXPLICAÇÃO: A INTEGRAL DIVERGE

Error in lines 2-2 Traceback (most recent call last): File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 905, in execute exec compile(block+'\n', '', 'single') in namespace, locals File "", line 1, in <module> File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/misc/functional.py", line 663, in integral return x.integral(*args, **kwds) File "sage/symbolic/expression.pyx", line 11269, in sage.symbolic.expression.Expression.integral (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/expression.cpp:59975) return integral(self, *args, **kwds) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/integral.py", line 761, in integrate return definite_integral(expression, v, a, b, hold=hold) File "sage/symbolic/function.pyx", line 994, in sage.symbolic.function.BuiltinFunction.__call__ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:11377) res = super(BuiltinFunction, self).__call__( File "sage/symbolic/function.pyx", line 502, in sage.symbolic.function.Function.__call__ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:7144) res = g_function_evalv(self._serial, vec, hold) File "sage/symbolic/function.pyx", line 1065, in sage.symbolic.function.BuiltinFunction._evalf_or_eval_ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:12106) return self._eval0_(*args) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/integral.py", line 176, in _eval_ return integrator(*args) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/external.py", line 23, in maxima_integrator result = maxima.sr_integral(expression, v, a, b) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/interfaces/maxima_lib.py", line 782, in sr_integral raise ValueError("Integral is divergent.") ValueError: Integral is divergent.

#### Integração Numérica

Para avaliar numericamente uma integral em um intervalo dado, o Sage possui o comando integral_numerical, cujos parâmetros de entrada são a função a integrar e os extremos do intervalo. O comando retorna dois números, o valor aproximado da integral e uma estimativa do erro cometido na aproximação.
Siga alguns exemplos.

# Exemplo 1
integral_numerical(sin(x)/x,0,1)

(0.946083070367183, 1.0503632079297087e-14)
# Exemplo 2
integral_numerical(exp(-x^2),0,infinity) # Observe que o valor aproximado é muito próximo do valor exato (1/2)sqrt(pi) obtido simbolicamente no Caso (d) visto anteriormente

(0.8862269254527568, 1.714774436012769e-08)
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