Sharednotebooks / 3.Limites-Derivadas-Integrais.sagewsOpen in CoCalc
Author: Sergio Luis Lopes Verardi

1. Resumo do Tutorial


Neste tutorial, abordaremos alguns tópicos do Cálculo Diferencial e Integral.
Especificamente, através de exemplos, veremos como determinar simbolicamente limites, derivadas e integrais.

2. Limites


O Sage fornece o comando limit (ou apenas lim) para o cálculo de limites, inclusive limites à esquerda e à direita.

Siga os exemplos fornecidos

a) limx8x32x+1933\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt[3]{x+19}-3}
b)
limxπ4cos(π4x)tanx1sin(π4+x)\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{\cos{(\frac{\pi}{4}-x)}-\tan{x}}{1-\sin{(\frac{\pi}{4}+x)}}

#Exemplo: Caso (a) limit((x^(1/3)-2)/((x+19)^(1/3)-3),x=8)
9/4
#Exemplo: Caso (b) - Observe que, primeiro, atribuimos a fórmula a uma função f(x) f(x)=(cos(pi/4-x)-tan(x))/(1-sin(pi/4+x)) limit(f(x),x=pi/4)
Infinity
# O resultado anterior indica que, pelo menos um dos limites, à esquerda ou à direita, é infinito. # Para tornar o resultado mais preciso usamos o seguinte recurso do Sage: limit(f(x),x=pi/4,dir='minus') limit(f(x),x=pi/4,dir='plus')
+Infinity -Infinity

2. Séries de Taylor


Com o comando taylor, podemos obter a expansão em série de Taylor na ordem desejada.

Siga os exemplos fornecidos

a) (1+arctanx)(1x)\displaystyle (1+\arctan{x})^{(\frac{1}{x})}, (ordem 3)
b)
exe^x, (ordem 3)

# Exemplo: Caso (a) # Parâmetros do comando: função, variável, ponto em torno do qual se expande, ordem taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3) show(taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3))
1/16*x^3*e + 1/8*x^2*e - 1/2*x*e + e
116x3e+18x2e12xe+e\displaystyle \frac{1}{16} \, x^{3} e + \frac{1}{8} \, x^{2} e - \frac{1}{2} \, x e + e
# Exemplo: Caso (b) show(taylor(exp(x),x,0,3))
16x3+12x2+x+1\displaystyle \frac{1}{6} \, x^{3} + \frac{1}{2} \, x^{2} + x + 1

3. Derivadas


O comando derivative (ou apenas diff) permite determinar a derivada de uma expressão simbólica. De fato, com esse comando é possível calcular derivadas de qualquer ordem bem como derivadas parciais.

Acompanhe os seguintes exemplos:

a) Encontrar as derivadas de ordem 1 e 2 de sin(x2)\sin{(x^2)}

b) Encontrar as derivadas parciais, em relação a x e y, da função xy+sin(x2)+exxy+\sin{(x^2)}+e^{-x}

c) Mostrar que a função 12ln(x2+y2)\frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)} é harmônica (exceto em (0,0), ou seja, 2f(x,y)=0\nabla^2 f(x,y)=0
# Exemplo: Caso (a)) diff(sin(x^2),x) diff(sin(x^2),x,2) # Observe que a ordem da derivada é o terceiro parâmetro; quando a ordem é 1, não precisa ser especificada
2*x*cos(x^2) -4*x^2*sin(x^2) + 2*cos(x^2)
# Exemplo: Caso (b) x,y=var('x','y') diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),x) diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),y)
2*x*cos(x^2) + y - e^(-x) x
# Exemplo: Caso (c) x,y=var('x','y') f=ln(x^2+y^2) laplaciano=diff(f,x,2)+diff(f,y,2) show(laplaciano) # neste ponto, o Sage retorna a expressão do laplaciano mas sem fazer qualquer tipo de simplificação laplaciano.simplify_full() # ao executarmos simplify_full, todos os tipos de simplificação disponíveis são realizadas e VERIFICAMOS que o laplaciano é nulo (função harmônica)
4x2(x2+y2)24y2(x2+y2)2+4x2+y2\displaystyle -\frac{4 \, x^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} - \frac{4 \, y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{4}{x^{2} + y^{2}}
0

4. Integrais


Para o cálculo de integrais definidas ou indefinidas, o Sage fornece o comando integrate (ou o sinônimo integral).

Acompanhe os seguintes exemplos:

a) Determinar a integral 0π2sinxdx\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx

b) Determinar a primitiva 
11+x2dx\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}dx 

c) 
Determinar a integral +11+x2dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx

d) Determinar a integral 0+ex2dx\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx 

e) Determinar a integral +exdx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}dx
# Exemplo: Caso (a) sin(x).integral(x,0,pi/2) # OU integral(sin(x),x,0,pi/2)
1 1
# Exemplo: Caso (b) integrate(1/(1+x^2),x)
arctan(x)
# Exemplo: Caso (c) integrate(1/(1+x^2),x,-infinity,infinity)
pi
# Exemplo: Caso (d) integrate(exp(-x^2),x,0,infinity) show(integrate(exp(-x^2),x,0,infinity))
1/2*sqrt(pi)
12π\displaystyle \frac{1}{2} \, \sqrt{\pi}
# Exemplo: Caso (e) integrate(exp(-x),x,-infinity,infinity) # OBSERVE AS MENSAGENS DE ERRO DO SAGE; NA ÚLTIMA LINHA ESTÁ A EXPLICAÇÃO: A INTEGRAL DIVERGE
Error in lines 2-2 Traceback (most recent call last): File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 905, in execute exec compile(block+'\n', '', 'single') in namespace, locals File "", line 1, in <module> File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/misc/functional.py", line 663, in integral return x.integral(*args, **kwds) File "sage/symbolic/expression.pyx", line 11269, in sage.symbolic.expression.Expression.integral (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/expression.cpp:59975) return integral(self, *args, **kwds) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/integral.py", line 761, in integrate return definite_integral(expression, v, a, b, hold=hold) File "sage/symbolic/function.pyx", line 994, in sage.symbolic.function.BuiltinFunction.__call__ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:11377) res = super(BuiltinFunction, self).__call__( File "sage/symbolic/function.pyx", line 502, in sage.symbolic.function.Function.__call__ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:7144) res = g_function_evalv(self._serial, vec, hold) File "sage/symbolic/function.pyx", line 1065, in sage.symbolic.function.BuiltinFunction._evalf_or_eval_ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:12106) return self._eval0_(*args) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/integral.py", line 176, in _eval_ return integrator(*args) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/external.py", line 23, in maxima_integrator result = maxima.sr_integral(expression, v, a, b) File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/interfaces/maxima_lib.py", line 782, in sr_integral raise ValueError("Integral is divergent.") ValueError: Integral is divergent.

Integração Numérica

Para avaliar numericamente uma integral em um intervalo dado, o Sage possui o comando integral_numerical, cujos parâmetros de entrada são a função a integrar e os extremos do intervalo. O comando retorna dois números, o valor aproximado da integral e uma estimativa do erro cometido na aproximação.
Siga alguns exemplos.

# Exemplo 1 integral_numerical(sin(x)/x,0,1)
(0.946083070367183, 1.0503632079297087e-14)
# Exemplo 2 integral_numerical(exp(-x^2),0,infinity) # Observe que o valor aproximado é muito próximo do valor exato (1/2)sqrt(pi) obtido simbolicamente no Caso (d) visto anteriormente
(0.8862269254527568, 1.714774436012769e-08)
64518e2a-a59d-402a-8d08-be311c940c7d