Sharednotebooks / 3.Limites-Derivadas-Integrais.ipynbOpen in CoCalc
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<h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">1. Resumo do Tutorial</h2>
<br style="font-family: Verdana;">
<span style="font-family: Verdana;">Neste tutorial,
abordaremos alguns tópicos do Cálculo Diferencial e Integral.<br>
Especificamente, através de exemplos, veremos como determinar
simbolicamente <span style="color: rgb(51, 102, 255);">limites</span>,
<span style="color: rgb(51, 102, 255);">derivadas</span>
e <span style="color: rgb(51, 102, 255);">integrais</span>.</span>
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<h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">2. Limites</h2>
<br style="font-family: Verdana;">
<span style="font-family: Verdana;">O Sage fornece o
comando <span style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">limit</span>
(ou apenas <span
 style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">lim</span>)
para o cálculo de limites, inclusive limites à esquerda e à direita.<br>
<br>
Siga&nbsp;os exemplos fornecidos<br>
<br>
a) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow
8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt[3]{x+19}-3}$<br>
b) </span><span style="font-family: Verdana;">$\displaystyle
\lim_{x\rightarrow
\frac{\pi}{4}}\frac{\cos{(\frac{\pi}{4}-x)}-\tan{x}}{1-\sin{(\frac{\pi}{4}+x)}}$</span><br>
<span style="font-family: Verdana;"><br>
</span>
#Exemplo: Caso (a)
limit((x^(1/3)-2)/((x+19)^(1/3)-3),x=8)
#Exemplo: Caso (b) - Observe que, primeiro, atribuimos a fórmula a uma função f(x)
f(x)=(cos(pi/4-x)-tan(x))/(1-sin(pi/4+x))
limit(f(x),x=pi/4)
# O resultado anterior indica que, pelo menos um dos limites, à esquerda ou à direita, é infinito.
# Para tornar o resultado mais preciso usamos o seguinte recurso do Sage:
limit(f(x),x=pi/4,dir='minus')
limit(f(x),x=pi/4,dir='plus')
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<h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">2. Séries de Taylor</h2>
<br style="font-family: Verdana;">
<span style="font-family: Verdana;">Com o comando <span
 style="color: rgb(51, 102, 255);">taylor</span>,
podemos obter a expansão em série de Taylor na ordem desejada.<br>
<br>
Siga&nbsp;os exemplos fornecidos<br>
<br>
a) $\displaystyle (1+\arctan{x})^{(\frac{1}{x})}$, (ordem 3)<br>
b) </span><span style="font-family: Verdana;">$e^x$</span><span
 style="font-family: Verdana;">, (ordem 3)</span><br>
<span style="font-family: Verdana;"><br>
</span>
# Exemplo: Caso (a)
# Parâmetros do comando: função, variável, ponto em torno do qual se expande, ordem
taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3)
show(taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3))
# Exemplo: Caso (b)
show(taylor(exp(x),x,0,3))
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<h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">3. Derivadas</h2>
<br style="font-family: Verdana;">
<span style="font-family: Verdana;">O comando&nbsp;<span
 style="color: rgb(51, 102, 255);">derivative</span>
(ou apenas <span style="color: rgb(51, 102, 255);">diff</span>)
permite determinar a derivada de uma expressão simbólica. </span><span
 style="font-family: Verdana;">De fato, com esse comando é
possível calcular derivadas de qualquer ordem bem como derivadas
parciais.</span><br>
<br>
<span style="font-family: Verdana;">Acompanhe os seguintes
exemplos:<br>
<br>
a) Encontrar as derivadas de ordem 1 e 2 de $\sin{(x^2)}$<br>
<br>
b) Encontrar as derivadas parciais, em relação a x e y, da função
$xy+\sin{(x^2)}+e^{-x}$<br>
<br>
c) Mostrar que a função $\frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)}$ é harmônica (exceto
em (0,0), ou seja, $\nabla^2 f(x,y)=0$<br>
</span>
# Exemplo: Caso (a))
diff(sin(x^2),x)
diff(sin(x^2),x,2) # Observe que a ordem da derivada é o terceiro parâmetro; quando a ordem é 1, não precisa ser especificada
# Exemplo: Caso (b)
x,y=var('x','y')
diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),x)
diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),y)
# Exemplo: Caso (c)
x,y=var('x','y')
f=ln(x^2+y^2)
laplaciano=diff(f,x,2)+diff(f,y,2)
show(laplaciano) # neste ponto, o Sage retorna a expressão do laplaciano mas sem fazer qualquer tipo de simplificação
laplaciano.simplify_full() # ao executarmos simplify_full, todos os tipos de simplificação disponíveis são realizadas e VERIFICAMOS que o laplaciano é nulo (função harmônica)
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<h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">4. Integrais</h2>
<br style="font-family: Verdana;">
<span style="font-family: Verdana;">Para o cálculo de
integrais definidas ou indefinidas, o Sage fornece o comando&nbsp;<span
 style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">integrate</span>
(ou o sinônimo&nbsp;<span
 style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">integral</span>).<br>
</span><br>
<span style="font-family: Verdana;">Acompanhe os seguintes
exemplos:<br>
<br>
a) Determinar a
integral&nbsp;$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$<br>
<br>
b) Determinar a primitiva&nbsp;</span><span
 style="font-family: Verdana;">$\displaystyle\int
\frac{1}{1+x^2}dx$</span><span style="font-family: Verdana;">&nbsp;<br>
<br>
c)&nbsp;</span><span style="font-family: Verdana;">Determinar
a integral&nbsp;$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx$</span><br>
<br>
<span style="font-family: Verdana;">d)&nbsp;</span><span
 style="font-family: Verdana;">Determinar a
integral&nbsp;$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$</span><span
 style="font-family: Verdana;"></span><span
 style="font-family: Verdana;">&nbsp;</span><br>
<br>
<span style="font-family: Verdana;">e)&nbsp;</span><span
 style="font-family: Verdana;">Determinar a
integral&nbsp;$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}dx$</span><span
 style="font-family: Verdana;"></span><span
 style="font-family: Verdana;"></span>
# Exemplo: Caso (a)
sin(x).integral(x,0,pi/2)
# OU
integral(sin(x),x,0,pi/2)
# Exemplo: Caso (b)
integrate(1/(1+x^2),x)
# Exemplo: Caso (c)
integrate(1/(1+x^2),x,-infinity,infinity)
# Exemplo: Caso (d)
integrate(exp(-x^2),x,0,infinity)
show(integrate(exp(-x^2),x,0,infinity))
# Exemplo: Caso (e)
integrate(exp(-x),x,-infinity,infinity) # OBSERVE AS MENSAGENS DE ERRO DO SAGE; NA ÚLTIMA LINHA ESTÁ A EXPLICAÇÃO: A INTEGRAL DIVERGE
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<h4 style="color: rgb(51, 51, 255);"><span
 style="font-family: Verdana;">Integração Numérica</span></h4>
<span style="font-family: Verdana;"><span
 style="color: rgb(51, 102, 255);"></span></span><span
 style="font-family: Verdana;"></span><span
 style="font-family: Verdana;">Para avaliar numericamente uma
integral em um intervalo dado, o Sage possui o comando <span
 style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">integral_numerical</span>,
cujos parâmetros de entrada são a função a integrar e os extremos do
intervalo. O comando retorna dois números, o valor aproximado da
integral e uma estimativa do erro cometido na aproximação.<br>
Siga alguns exemplos.<br>
</span><span style="font-family: Verdana;"><br>
</span>
# Exemplo 1
integral_numerical(sin(x)/x,0,1)
# Exemplo 2
integral_numerical(exp(-x^2),0,infinity) # Observe que o valor aproximado é muito próximo do valor exato (1/2)sqrt(pi) obtido simbolicamente no Caso (d) visto anteriormente