Sharednotebooks / 3.Limites-Derivadas-Integrais.ipynbOpen in CoCalc
Author: Sergio Luis Lopes Verardi
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%html <h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">1. Resumo do Tutorial</h2> <br style="font-family: Verdana;"> <span style="font-family: Verdana;">Neste tutorial, abordaremos alguns tópicos do Cálculo Diferencial e Integral.<br> Especificamente, através de exemplos, veremos como determinar simbolicamente <span style="color: rgb(51, 102, 255);">limites</span>, <span style="color: rgb(51, 102, 255);">derivadas</span> e <span style="color: rgb(51, 102, 255);">integrais</span>.</span>
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%html <h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">2. Limites</h2> <br style="font-family: Verdana;"> <span style="font-family: Verdana;">O Sage fornece o comando <span style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">limit</span> (ou apenas <span style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">lim</span>) para o cálculo de limites, inclusive limites à esquerda e à direita.<br> <br> Siga&nbsp;os exemplos fornecidos<br> <br> a) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt[3]{x+19}-3}$<br> b) </span><span style="font-family: Verdana;">$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{\cos{(\frac{\pi}{4}-x)}-\tan{x}}{1-\sin{(\frac{\pi}{4}+x)}}$</span><br> <span style="font-family: Verdana;"><br> </span>
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#Exemplo: Caso (a) limit((x^(1/3)-2)/((x+19)^(1/3)-3),x=8)
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#Exemplo: Caso (b) - Observe que, primeiro, atribuimos a fórmula a uma função f(x) f(x)=(cos(pi/4-x)-tan(x))/(1-sin(pi/4+x)) limit(f(x),x=pi/4)
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# O resultado anterior indica que, pelo menos um dos limites, à esquerda ou à direita, é infinito. # Para tornar o resultado mais preciso usamos o seguinte recurso do Sage: limit(f(x),x=pi/4,dir='minus') limit(f(x),x=pi/4,dir='plus')
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%html <h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">2. Séries de Taylor</h2> <br style="font-family: Verdana;"> <span style="font-family: Verdana;">Com o comando <span style="color: rgb(51, 102, 255);">taylor</span>, podemos obter a expansão em série de Taylor na ordem desejada.<br> <br> Siga&nbsp;os exemplos fornecidos<br> <br> a) $\displaystyle (1+\arctan{x})^{(\frac{1}{x})}$, (ordem 3)<br> b) </span><span style="font-family: Verdana;">$e^x$</span><span style="font-family: Verdana;">, (ordem 3)</span><br> <span style="font-family: Verdana;"><br> </span>
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# Exemplo: Caso (a) # Parâmetros do comando: função, variável, ponto em torno do qual se expande, ordem taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3) show(taylor((1+arctan(x))**(1/x),x,0,3))
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# Exemplo: Caso (b) show(taylor(exp(x),x,0,3))
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%html <h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">3. Derivadas</h2> <br style="font-family: Verdana;"> <span style="font-family: Verdana;">O comando&nbsp;<span style="color: rgb(51, 102, 255);">derivative</span> (ou apenas <span style="color: rgb(51, 102, 255);">diff</span>) permite determinar a derivada de uma expressão simbólica. </span><span style="font-family: Verdana;">De fato, com esse comando é possível calcular derivadas de qualquer ordem bem como derivadas parciais.</span><br> <br> <span style="font-family: Verdana;">Acompanhe os seguintes exemplos:<br> <br> a) Encontrar as derivadas de ordem 1 e 2 de $\sin{(x^2)}$<br> <br> b) Encontrar as derivadas parciais, em relação a x e y, da função $xy+\sin{(x^2)}+e^{-x}$<br> <br> c) Mostrar que a função $\frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)}$ é harmônica (exceto em (0,0), ou seja, $\nabla^2 f(x,y)=0$<br> </span>
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# Exemplo: Caso (a)) diff(sin(x^2),x) diff(sin(x^2),x,2) # Observe que a ordem da derivada é o terceiro parâmetro; quando a ordem é 1, não precisa ser especificada
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# Exemplo: Caso (b) x,y=var('x','y') diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),x) diff(x*y+sin(x^2)+e^(-x),y)
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# Exemplo: Caso (c) x,y=var('x','y') f=ln(x^2+y^2) laplaciano=diff(f,x,2)+diff(f,y,2) show(laplaciano) # neste ponto, o Sage retorna a expressão do laplaciano mas sem fazer qualquer tipo de simplificação laplaciano.simplify_full() # ao executarmos simplify_full, todos os tipos de simplificação disponíveis são realizadas e VERIFICAMOS que o laplaciano é nulo (função harmônica)
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%html <h2 style="color: rgb(51, 102, 255);">4. Integrais</h2> <br style="font-family: Verdana;"> <span style="font-family: Verdana;">Para o cálculo de integrais definidas ou indefinidas, o Sage fornece o comando&nbsp;<span style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">integrate</span> (ou o sinônimo&nbsp;<span style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">integral</span>).<br> </span><br> <span style="font-family: Verdana;">Acompanhe os seguintes exemplos:<br> <br> a) Determinar a integral&nbsp;$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$<br> <br> b) Determinar a primitiva&nbsp;</span><span style="font-family: Verdana;">$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}dx$</span><span style="font-family: Verdana;">&nbsp;<br> <br> c)&nbsp;</span><span style="font-family: Verdana;">Determinar a integral&nbsp;$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx$</span><br> <br> <span style="font-family: Verdana;">d)&nbsp;</span><span style="font-family: Verdana;">Determinar a integral&nbsp;$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$</span><span style="font-family: Verdana;"></span><span style="font-family: Verdana;">&nbsp;</span><br> <br> <span style="font-family: Verdana;">e)&nbsp;</span><span style="font-family: Verdana;">Determinar a integral&nbsp;$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}dx$</span><span style="font-family: Verdana;"></span><span style="font-family: Verdana;"></span>
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# Exemplo: Caso (a) sin(x).integral(x,0,pi/2) # OU integral(sin(x),x,0,pi/2)
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# Exemplo: Caso (b) integrate(1/(1+x^2),x)
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# Exemplo: Caso (c) integrate(1/(1+x^2),x,-infinity,infinity)
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# Exemplo: Caso (d) integrate(exp(-x^2),x,0,infinity) show(integrate(exp(-x^2),x,0,infinity))
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# Exemplo: Caso (e) integrate(exp(-x),x,-infinity,infinity) # OBSERVE AS MENSAGENS DE ERRO DO SAGE; NA ÚLTIMA LINHA ESTÁ A EXPLICAÇÃO: A INTEGRAL DIVERGE
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%html <h4 style="color: rgb(51, 51, 255);"><span style="font-family: Verdana;">Integração Numérica</span></h4> <span style="font-family: Verdana;"><span style="color: rgb(51, 102, 255);"></span></span><span style="font-family: Verdana;"></span><span style="font-family: Verdana;">Para avaliar numericamente uma integral em um intervalo dado, o Sage possui o comando <span style="color: rgb(51, 102, 255); font-style: italic;">integral_numerical</span>, cujos parâmetros de entrada são a função a integrar e os extremos do intervalo. O comando retorna dois números, o valor aproximado da integral e uma estimativa do erro cometido na aproximação.<br> Siga alguns exemplos.<br> </span><span style="font-family: Verdana;"><br> </span>
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# Exemplo 1 integral_numerical(sin(x)/x,0,1)
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# Exemplo 2 integral_numerical(exp(-x^2),0,infinity) # Observe que o valor aproximado é muito próximo do valor exato (1/2)sqrt(pi) obtido simbolicamente no Caso (d) visto anteriormente
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