1. Resumo do Tutorial
Através de exemplos simples serão apresentadas algumas funções úteis no estudo de Álgebra e Análise.
Em particular, estudaremos as expressões simbólicas no Sage e procedimentos de simplificação dessas expressões.
Finalmente, veremos exemplos de resolução de equações algébricas e transcendentes.
2. Expressões Simbólicas
O Sage permite efetuar todo tipo de cálculo a partir de expressões simbólicas que combinam números, variáveis simbólicas, operações aritméticas e funções básicas (sqrt, sin, exp, etc).
Em consequência, manipulando a expressão podemos transformá-la de modo que, no final do processo, a expressão se apresente da maneira que julgamos mais adequada.
O Exemplo dado a seguir, consiste em avaliar uma fórmula matemática que contém, além da variável, um parâmetro. Através do comando subs a fórmula (geral) pode ser avaliada para diferentes valores (não necessariamente numéricos) da variável e do parâmetro. Em seguida, é apresentado um procedimento alternativo ao comando subs (e mais direto).
(x + 1)*cos(a + x)
x + 1
-1/4*sqrt(3)*(pi + 2)
-1.41333351100299
x + 1
-1/4*sqrt(3)*(pi + 2)
-1.41333351100299
Substituição de
Sub-expressões
Além de substituir variáveis, podemos também substituir sub-expressões inteiras dentro de uma expressão simbólica.
Para tanto, é usado o comando substitute. Observe, no exemplo, que é substituído simbolicamente por ; observe, também, o uso de um duplo igual (==).
Além de substituir variáveis, podemos também substituir sub-expressões inteiras dentro de uma expressão simbólica.
Para tanto, é usado o comando substitute. Observe, no exemplo, que é substituído simbolicamente por ; observe, também, o uso de um duplo igual (==).
2*y^2 + z
Transformações de Expressões
Mais especificamente, veremos comandos do Sage que permitem a manipulação de polinômios e funções racionais.
Polinômios
O comando expand permite desenvolver um polinômio enquanto o comando collect agrupa os termos do polinômio de acordo com a potência da variável fornecida.
Mais especificamente, veremos comandos do Sage que permitem a manipulação de polinômios e funções racionais.
Polinômios
O comando expand permite desenvolver um polinômio enquanto o comando collect agrupa os termos do polinômio de acordo com a potência da variável fornecida.
x^3 + x^2*y + 2*x^2 + 2*x*y + x + y
x^3 + x^2*(y + 2) + x*(2*y + 1) + y
True
x^3 + 2*x^2 + (x^2 + 2*x + 1)*y + x
x^2 + 2*x*y + y^2 + 2*(x + y)*sin(x) + sin(x)^2
x^2 + 2*x*y + y^2 + 2*(x + y)*sin(x) + sin(x)^2
Funções Racionais
Considere a função ; acompanhe os exemplos fornecidoa seguir.
Considere a função ; acompanhe os exemplos fornecidoa seguir.
Outro Exemplo de Funções Racionais
Considere, agora, a função ; acompanhe os exemplos fornecidos a seguir.
Observe o comando combine que agrupa termos que têm o mesmo denominador;
Considere, agora, a função ; acompanhe os exemplos fornecidos a seguir.
Observe o comando combine que agrupa termos que têm o mesmo denominador;
Funções Matemáticas
Elementares e suas Transformações
O Sage fornece, entre outras, as seguintes funções elementares:
exp, log, log(x,a) (logaritmo de x na base a), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh, sqrt, hth_root (raiz n-ésima)
A seguir, são apresentados vários exemplos de transformações aplicáveis a essas funções matemáticas. Verifique, com lápis e papel, cada uma delas.
O Sage fornece, entre outras, as seguintes funções elementares:
exp, log, log(x,a) (logaritmo de x na base a), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh, sqrt, hth_root (raiz n-ésima)
A seguir, são apresentados vários exemplos de transformações aplicáveis a essas funções matemáticas. Verifique, com lápis e papel, cada uma delas.
n + 1
x
log(x) + log(y)
Condições Sobre Variáveis
Simbólicas
Em muitas situações, as variáveis não podem assumir qualquer valor, estando restritas a um domínio particular, por exemplo, os reais positivos.
O Sage fornece os comandos assume() e forget() para impor (ou retirar) restrições deste tipo.
Um caso típico é o da simplificação da raiz quadrada .
Em muitas situações, as variáveis não podem assumir qualquer valor, estando restritas a um domínio particular, por exemplo, os reais positivos.
O Sage fornece os comandos assume() e forget() para impor (ou retirar) restrições deste tipo.
Um caso típico é o da simplificação da raiz quadrada .
sqrt(y)
sqrt(y)
0
3. Resolução de Equações
Solução Simbólica Explícita
O Sage permite resolver equações tanto simbolicamente como numericamente e também sistemas de equações e, até mesmo, inequações.
Primeiro, vamos exemplificar a resolução simbólica das seguintes equações, o que é feito através do comando solve():
a)
b)
c)
z^2 - 2*z/cos(phi) + 5/cos(phi)^2 - 4 == 0
[z == -(2*sqrt(cos(phi)^2 - 1) - 1)/cos(phi), z == (2*sqrt(cos(phi)^2 - 1) + 1)/cos(phi)]
[, ]
[y == e^(2/5*I*pi), y == e^(4/5*I*pi), y == e^(-4/5*I*pi), y == e^(-2/5*I*pi), y == 1, y == 0]
[, , , , , ]
[[x == -r6 + 3, y == r6]]
Solução Numérica Explícita
No exemplo apresentado a seguir, o Sage não encontra a solução simbólica da equação. Neste caso específico, temos duas opções: resolver numericamente, através do comando find_root, fornecendo um intervalo para o Sage determinar a raiz ou fazer uma transformação prévia que permita a solução numérica completa, de forma explícita, usando o comando solve.
A equação é:
No exemplo apresentado a seguir, o Sage não encontra a solução simbólica da equação. Neste caso específico, temos duas opções: resolver numericamente, através do comando find_root, fornecendo um intervalo para o Sage determinar a raiz ou fazer uma transformação prévia que permita a solução numérica completa, de forma explícita, usando o comando solve.
A equação é:
[sin(3*x) == -sin(2*x) - sin(x)]
2.0943951023931957
[x == 0, x == 2/3*pi, x == 1/2*pi]