Problema 2, Proyecto computacional ED CCAS-ad16027.sagews

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## _**Problema 2**_

#### <font face='Lucida Sans'>Resolviendo una ecuación diferencial difícil con SageMath.

Para tu propia ecuación diferencial, sea p y q dos dígitos no nulos de el número de tu carné y considera la ecuación
diferencial

(a) Encuentra una solución general usando SageMath.

(b) Determine tres soluciones particulares con varias condiciones iniciales de la forma y (x0) = y0. Es decir, encuentre
la solución implícita al hallar el valor de la constante y mostrar la solución la solución con e valor correspondiente
de la constante.

(c) Determinen los posibles valores de a y b tales que la línea recta y = ax + b es una curva solución de la ecuación
diferencial.

(d) Grafique un campo de pendientes con algunas curvas típicas. ¿Puedes hacer la conexión entre las soluciones
halladas (lineales o no-lineales) y las curvas solución? </font>



<font face='Lucida Sans'>**Solucion:
a) La solucion general se encontrara usando Sagemath.
El valor de p =2 y q=7**</font>

Problema 2

Resolviendo una ecuación diferencial difícil con SageMath.

Para tu propia ecuación diferencial, sea p y q dos dígitos no nulos de el número de tu carné y considera la ecuación diferencial

(a) Encuentra una solución general usando SageMath.

(b) Determine tres soluciones particulares con varias condiciones iniciales de la forma y (x0) = y0. Es decir, encuentre la solución implícita al hallar el valor de la constante y mostrar la solución la solución con e valor correspondiente de la constante.

(c) Determinen los posibles valores de a y b tales que la línea recta y = ax + b es una curva solución de la ecuación diferencial.

(d) Grafique un campo de pendientes con algunas curvas típicas. ¿Puedes hacer la conexión entre las soluciones halladas (lineales o no-lineales) y las curvas solución?

Solucion: a) La solucion general se encontrara usando Sagemath. El valor de p =2 y q=7

reset()
x=var('x')
y=function('y')(x)
DE=diff(y,x)==1/2*cos(x-7*y)
Prob2=desolve(DE,y,ivar=x,contrib_ode=True,show_method=True);show(Prob2);

[[$\displaystyle \frac{2}{15} \, \sqrt{5} \log\left(-\frac{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\left(x\right)\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\left(x\right)\right)}{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\left(x\right)\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\left(x\right)\right)}\right) = C$], lie]

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<font face='Lucida Sans'>Reescribiendo esa expresion para encontrar C, definimos una nueva constante A</font>

Reescribiendo esa expresion para encontrar C, definimos una nueva constante A

reset()
x,y,A=var('x,y,A')
newEq= (sqrt(5)*cos(- x + 7*y)+ sqrt (5) - 3* sin ( - x + 7*y ) )/(sqrt (5) * cos ( - x + 7*y ) + sqrt (5) + 3* sin ( - x + 7*y )) == A
show(newEq)

$\displaystyle \frac{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)}{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)} = A$

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<font face='Lucida Sans'>(b) Determine tres soluciones particulares con varias condiciones iniciales de la forma y(x<sub>0</sub>) = y<sub>0</sub>. Es decir, encuentre
la solución implícita al hallar el valor de la constante y mostrar la solución la solución con e valor correspondiente
de la constante.\
Para x=1, y= -1
</font>

(b) Determine tres soluciones particulares con varias condiciones iniciales de la forma y(x₀) = y₀. Es decir, encuentre la solución implícita al hallar el valor de la constante y mostrar la solución la solución con e valor correspondiente de la constante. Para x=1, y= -1

A=newEq.lhs( ).substitute( x=1,y=-1)
show (newEq.lhs( )==A )

$\displaystyle \frac{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)}{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)} = \frac{\sqrt{5} \cos\left(8\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(8\right)}{\sqrt{5} \cos\left(8\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(8\right)}$

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<font face='Lucida Sans'>Para x=0, y=1</font>

Para x=0, y=1

A=newEq.lhs( ).substitute( x=0,y= 1)
show (newEq.lhs( )==A )

$\displaystyle \frac{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)}{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)} = \frac{\sqrt{5} \cos\left(7\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(7\right)}{\sqrt{5} \cos\left(7\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(7\right)}$

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<font face='Lucida Sans'>Para x=1, y=0</font>

Para x=1, y=0

A=newEq.lhs( ).substitute( x=1,y= 0)
show (newEq.lhs( )==A )

$\displaystyle \frac{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)}{\sqrt{5} \cos\left(-x + 7 \, y\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(-x + 7 \, y\right)} = \frac{\sqrt{5} \cos\left(1\right) + \sqrt{5} + 3 \, \sin\left(1\right)}{\sqrt{5} \cos\left(1\right) + \sqrt{5} - 3 \, \sin\left(1\right)}$

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<font face='Lucida Sans'>(c) Determinen los posibles valores de a y b tales que la línea recta y = ax + b es una curva solución de la ecuación
diferencial.</font>

(c) Determinen los posibles valores de a y b tales que la línea recta y = ax + b es una curva solución de la ecuación diferencial.

Para que la recta Y=ax+b sea solucion de la ecuacion diferencial sustituiremos el valor de y por ax+b, de la siguiente forma

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#### _<font face='Monaco'>a= 1/2 cos(x-7(ax+b))</font>_

a= 1/2 cos(x-7(ax+b))

2a=cos((1-7a)x-7b))

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<font face='Lucida Sans'>Si tomamos a= 1/7, la ecuacion queda expresada asi:</font>
#### _<font face='Monaco'>2/7=cos(-7b)=cos (7b)</font>_

<font face='Lucida Sans'>ResolvIendo para  b

Queda expresado asi:</font>


#### <font face='Monaco'>Y= 1/2 (x+2πn ± arcos 2/7)</font>

Si tomamos a= 1/7, la ecuacion queda expresada asi:

2/7=cos(-7b)=cos (7b)

Resolvendo para b

Queda expresado asi:

Y= 1/2 (x+2πn ± arcos 2/7)

(d) Grafique un campo de pendientes con algunas curvas típicas. ¿Puedes hacer la conexión entre las soluciones halladas (lineales o no-lineales) y las curvas solución?

reset()
from sage.calculus.desolvers import desolve_rk4
x,y=var('x,y')
g=plot([])
i=0;a=0;b=0
pts=points([],size=30,color='green')
slopefield=plot_slope_field(1/2*cos(x-3*y),(x,-3,3),(y,-3,3))
while i<15 :
    a=3*random()
    b=3*random()
    g=g+line(desolve_rk4(1/2*cos(x-7*y),y,ics=[a,b],end_points=[-3,3],step=0.05,))
    pts=pts+points([a,b],size=45,color='red')
    i=i+1

i=0; ll=plot([]);
ll=plot([1/2*(x+2*pi*n-arccos(2/7))for n in [-2..2]],(-3,3), color='black', thickness=3)
ll=ll+plot([1/2*(x+2*pi*n+arccos(2/7))for n in [-2..2]],(-3,3), color='black', thickness=3)
(slopefield+pts+ll+g).show(ymin=-3,ymax=3)