Functies van twee variabelen

In [2]:

%display latex
var('x,y,z')                       # declareer benodigde variabelen

In [3]:

f(x, y) = 1/8*(x^2 - x*y + 2*y^2)  # definieer een functie van twee variabelen
f

In [4]:

f(1, 2)                            # evaluatie in een punt

In [7]:

f.diff(x)

In [8]:

                          # bereken de partiële afgeleiden
f.diff(y)

In [9]:

grad_f = f.gradient()              # bereken de gradiënt (vector van partiële afgeleiden)
grad_f

In [10]:

(a, b) = (1, 1)                    # punt in het grondvlak

In [11]:

grad_f(a, b)                       # evalueer de gradiënt in (a, b)

In [12]:

p(x,y) = f(a, b) + grad_f(a, b).inner_product(vector((x - a, y - b)))
p(x,y)                             # vergelijking raakvlak (merk op: gradiënt is een normaalvector)

Grafieken, vectorvelden, niveaukrommen, contourkrommen

In [13]:

from sage.plot.plot3d.plot3d import axes
plot_f = plot3d(f(x,y), (x,-2,2), (y,-2,2), mesh=True)
plot_p = plot3d(p(x,y), (x,-2,2), (y,-2,2), color='red', opacity=0.5)
plot_f + plot_p + axes(2, .5, color="yellow") + sphere(center=(a,b,f(a,b)), size=0.05, color="yellow")

In [14]:

plot_vector_field(grad_f, (x,-2,2), (y,-2,2))

In [15]:

f(x,y) = 1/(1+4*x^2+2*(y-1)^2)+2/(1 + (x - 2)^2 + (y+1)^2)+3/(1+(x-3)^2+(y-2)^2)
plot3d(f(x,y),(x,-1,4),(y,-2,3))

In [16]:

contour_plot(f(x,y),(x,-1,4),(y,-2,3), contours=20, colorbar=True)

In [17]:

f(x,y) = 1/9*x^2 + 1/3*y^2
p=plot3d(f(x,y), (x,-6,6), (y,-6,6), color='khaki', opacity=0.8)
levels = [1..15]
for h in levels:
    p += implicit_plot3d(f(x,y) == h, (x,-6,6), (y,-6,6), (z,h,h+0.1))
show(p, viewer='tachyon')

Kritieke punten

In [18]:

f(x,y) = 4*x*y - 2*x^4 - y^2

In [19]:

solve([f.diff(x) == 0, f.diff(y) == 0], (x, y))

In [20]:

A = f.diff(x, x); A

In [21]:

B = f.diff(x, y); B

In [22]:

C = f.diff(y, y); C

In [23]:

D = A*C - B^2; D

In [24]:

[A(-1,-2), B(-1,-2), C(-1,-2), D(-1,-2)]

In [25]:

plot3d(f(x,y),(x,-3,3),(y,-3,3))

In [0]: