TP1.sagews

Projet pluridisciplinaire TP1 : premiers pas avec Sage

Cellules interactives

Ceci est un TP interactif utilisant le logiciel mathématique Sage. Vous êtes sur un document mixte contenant à la fois du texte et des cellules de code Sage que vous pouvez modifier et exécuter.

• Cliquez sur la cellule ci-dessous contenant une opération puis tapez sur les touches Maj+Entrée.
• Modifiez l'opération et exécutez de nouveau la cellule en tapant sur Maj+Entrée
• Cliquez sur la ligne horizontale sous la cellule. Une nouvelle cellule apparait, écrivez et exécutez une nouvelle opération.

26 + 2*8

42

Les cellules exécutent du code python, langage que nous allons découvrir petit à petit lors des séances. La cellule suivante utilise la commande print.

• Exécutez la cellule
• Modifiez la chaine de caractère à afficher et exécutez à nouveau

print "Hello World"

Variables python

Executez la cellule ci-dessous et décrivez le résultat.

ma_chaine = "Hop "
print ma_chaine + ma_chaine

Double cliquez pour écrire votre réponse.

Exécutez les 3 cellules suivantes puis à nouveau la deuxième cellule. Que remarquez-vous ?

a = "bla"

print a

a = "blo"

Double cliquez pour écrire votre réponse

Remarque : contrairement au C++, on ne déclare pas à priori le type des variables python. Cependant, les variables sont bien typées : le typage se fait de façon dynamique à l'exécution du programme. Exécutez les cellules suivantes pour mettre en évidence ce phénomène.

a = "bla"
type(a)

a = 5
type(a)

a = 2.12
type(a)

Commençons à faire des maths...

Sage est un logiciel pour les mathématiques. Vous pouvez le voir comme une "grosse" calculatrice en plus avancé... On peut donc s'en servir pour faire du calcul formel, c'est-à-dire du calcul sur des objets mathématiques.

Exécutez les cellules suivantes.

f(x) = x^2 
print f

x |--> x^2

type(f)

<type 'sage.symbolic.expression.Expression'>

L'objet f est une expression mathématique. Ce n'est pas une procédure de calcul mais bien un ensemble d'informations représentant un objet mathématique. En particulier, on peut effectuer diverses sortes d'opérations.

Exécutez les cellules suivantes.

f.derivative(x)

x |--> 2*x

f.integral(x)

x |--> 1/3*x^3

f(2)

f(2*x)

2*f

plot(f)

plot(f, (x,-4,4))

Remarque : dans ce programme, f est un objet, dans Sage la plupart des données sont représentées sont formes d'objets. Les fonctions derivative et integral sont appelées des méthodes de l'objet f. Pour connaître toutes les méthodes de l'objet f, tapez f. puis tabulation dans une cellule.

f.

Pour obtenir de l'aide et des exemple sur l'utilisation d'une méthode tapez : f.methode? ou bien help(f.methode). Lisez la documentation de la méthode limite et calculez la limite de la fonction $1/x$ en 0.

f.limit?

help(f.limit)

Remarque : dans l'exemple précédent, $x$ est aussi un objet Sage, c'est une variable symbolique au sens mathématique du terme. Ce n'est PAS la même chose qu'une variable python comme tout à l'heure pour a !

Sage est utilisé à la fois dans le monde de l'enseignement et de la recherche pour effectuer des calculs mathématiques avancés. Vous trouverez dans le livre en ligne Calcul mathématiques avec Sage de nombreux exemples qui pourront vous aider ce semestre.

Définissez une fonction g contenant un polynôme en $x$, dessinez votre fonction avec plot. Calculez sa dérivée, et son intégrale et dessinez-les avec plot.

Il est possible d'afficher plusieurs fonctions en même temps. Regardez l'exemple suivant.

plot(f) + plot(f.derivative(), color ="red")

Affichez ensemble votre fonction g, son intégrale et sa dérivée en utilisant des couleurs différentes.

La cellule suivante définit une fonction h, calculez la tangente de h en 0 et affichez ensemble la fonction et sa tangente.

h(x) = sin(x)*(x+1) + 2
plot(h,(x,-4,4))

Encore plus de plot !

En plus des fonctions, il est possible d'afficher de nombreuses formes géométriques.

Exécutez les cellules suivantes en observant attentivement la syntaxe des fonctions.

point2d((3,4))

circle((0,0),1)

line2d([(0,0),(1,1),(2,0)])

polygon2d([(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)])

Dans le premier exemple, les coordonnées du point sont données par l'objet (3,4), c'est ce qu'on appelle un . Pour dessiner une ligne ou un polygone, on utilise une liste de points avec la syntaxe [p1,p2,...]. Nous verrons plus en détail ces structures dans la suite du cours.

Affichez un carré dont les coordonnées sont (-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1)

Dans la cellule suivante, on définit 3 points.

• Dessinez le triangle formé de ces trois points
• Changez la valeur des points et dessinez à nouveau le triangle

p1 = (-1,1)
p2 = (0,-1)
p3 = (1,0)

Calculez les coordonées d'un hexagone régulier et tracez-le. Vous pouvez utiliser les fonctions cos et sin ainsi que la constante pi.

Tracez sur la même image un cercle rouge entourant l'hexagone.

︠4a0fca63-5448-4143-8390-237fc9bbe720︠

︠8e778e7f-278c-46cb-ac0d-5e2dd111e314︠

︠eb6965ae-778e-49ba-a174-6f1e174223b7︠