mehanika fluida.tex

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{diplomski}
\usepackage{comment}
\usepackage[languagenames,fixlanguage,croatian]{babelbib} 
\usepackage[pdftex]{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\pagestyle{headings}


% used in maketitle
\title{Babu\v{s}ka - Brezzijev teorem}
\author{Lana Čaldarević, Ivona Karmelić}

% Enable SageTeX to run SageMath code right inside this LaTeX file.
% documentation: http://mirrors.ctan.org/macros/latex/contrib/sagetex/sagetexpackage.pdf
% \usepackage{sagetex}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Problem}


Neka su $H$, $K$  realni Hilbertovi prostori i $a:\ H\times H\rightarrow\mathbb R$, $b:\ H\times K\rightarrow\mathbb R$ ograničene bilinearne forme. Neka su zadani linearni funkcionali $F\in H'$ i $G\in K'$. Promatramo sljedeći problem
\[
\text{tražimo} \ (u,\ w)\in H\times K\ \text{t.d.}
\]
\begin{equation}
\label{problem}
a(u,\ v)+b(v,\ w)=F(v),\ \forall v\in H
\end{equation}
\[
b(u,\ z)=G(z),\ \forall z\in K.
\]
Označimo sa $A:\ H\rightarrow H$ i $B:\ H\rightarrow K$ ograničene linearne operatore inducirane sa $a$ i $b$. Također vrijedi:
$$A:= \mathcal{R}_H \circ \mathcal{A},$$
$$B:= \mathcal{R}_K \circ \mathcal{B},$$
gdje su $\mathcal{R}_H: H' \rightarrow H$ i $\mathcal{R}_K: K' \rightarrow K$ Rieszova preslikavanja, a operatori $\mathcal{A}: H \rightarrow H'$ i $\mathcal{B}: H \rightarrow K'$ definirani sa:

$$\mathcal{A}(u)(v):=a(u,v),\ \forall u \in H, \ \forall v \in H,$$
$$\mathcal{B}(v)(z):=b(v,z),\ \forall v \in H, \ \forall z \in K.$$
Nadalje, vrijedi sljedeće:
\[
a(u,\ v)=(A(u),\ v)_{H},\ \forall (u,\ v)\in H\times H,
\]
\[
b(v,\ z)=(B(v),\ z)_{K}=(B^{*}(z),\ v)_{H},\ \forall (v,\ z)\in H\times K,
\]
gdje je $B^{*}:\ K\rightarrow H$ adjungiran operator operatoru $B$.
Sada se \ref{problem} može zapisati kao:
\[
\text{tražimo} \ (u,\ w)\in H\times K\ \text{t.d.}
\]
\begin{equation*}
(A(u), v)_H + (B^*(w),v)_H = (\mathcal{R}_H(F),v)_H,\ \forall v\in H
\end{equation*}
\[
(B(u), z)_K = (\mathcal{R}_K(G),z)_H ,\ \forall z\in K.
\]

\section{inf - sup uvjet}

Kažemo da bilinearna forma $b:\ H\times K\rightarrow\mathbb R$ zadovoljava neprekidan inf - sup uvjet ako postoji konstanta $\beta>0$ takva da vrijedi
\begin{equation}
\label{LBB}
\sup_{u\in H,\ u\neq 0}\frac{b(u,\ z)}{||u||_{H}}\geq\beta ||z||_{K},\ \forall z\in K.
\end{equation}

\begin{comment}
Nejednakost (\ref{LBB}) možemo ekvivalentno pisati kao
\[
\inf_{z\in K,\ z\neq 0}\ \sup_{u\in H,\ u\neq 0}\frac{b(u,\ z)}{||b||_{H}||z||_{K}}\geq \beta.
\]
\end{comment}
Taj je uvjet poznat kao Babuška - Brezzijev uvjet. Nadalje, ako iskoristimo adjungiran operator $B^*$ vrijedi:
\[
\sup_{u\in H,\ u\neq 0}\frac{b(u,\ z)}{||u||_{H}}=\sup_{u\in H,\ u\neq 0}\frac{(B^{*}(z),\ u)}{||u||_{H}}=||B^{*}(z)||_{H},
\]
pa, nejednakost (\ref{LBB}) možemo pisati kao:
\begin{equation}
\label{BB}
||B^{*}(z)||_{H}\geq \beta ||z||_{K},\ \forall z\in K.
\end{equation}

\begin{lem} \label{lemma1}
Ekvivalentno je
\begin{enumerate}
\item Postoji $\beta>0$ tako da vrijedi (\ref{LBB}) \label{11}
\item $B^{*}$ je izomorfizam sa $K$ u $(\emph{Ker}\ B)^{\bot}$ i vrijedi
\[
||B^{*}(z)||_{H}\geq \beta ||z||_{K},\ \forall z\in K
\] \label{22}
\item $B$ je izomorfizam sa $(\emph{Ker}\ B)^{\bot}$ u $K$ i vrijedi
\[
||B(v)||_{K}\geq \beta ||v||_{H},\ \forall v\in (\emph{Ker}\ B)^{\bot}
\] \label{33}
\item $B:\ H\rightarrow K$ je surjekcija \label{44}
\end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}\ \\
\ref{11} $\implies$ \ref{22}: Pretpostavimo da postoji $\beta > 0$ takav da vrijedi \ref{LBB}. Iz \ref{BB} slijedi da je $\emph{Ker}\ B^* = \{0\}$ i $\emph{Im}\ B^*$ zatvoren, iz čega slijedi da je $B^*$ injekcija i $\emph{Im}\ B^* = (\emph{Ker}\ (B^*)^*)^{\bot} = (\emph{Ker}\ B)^{\bot}.$ Stoga je $B^*$ izomorfizam sa $K$ u $(\emph{Ker}\ B)^{\bot}$.\ \\

\noindent \ref{22} $\implies$ \ref{33}: Pretpostavimo da je $B^*$ izomorfizam sa $K$ u $(\emph{Ker}\ B)^{\bot}$ i da vrijedi \ref{BB}. Iz \ref{BB} slijedi da je $\emph{Ker}\ B^* = \{0\}$ i $\emph{Im}\ B^*$ zatvoren, iz čega slijedi da je i $\emph{Im}\ B$ zatvoren pa vrijedi $\emph{Im}\ B =\emph{Ker}\ B^* = \{0\}^{\bot} = K.$ Sada vidimo da je $B$ izomorfizam sa $(\emph{Ker}\ B)^{\bot}$ u $K$. Također, možemo primjeniti da iz \ref{BB} vrijedi da je $||(B^*)^{-1}|| \leq \frac{1}{\beta},$ te: $$||B^{-1}||=||(B^{-1})^*|| =||(B^*)^{-1}|| \leq \frac{1}{\beta},  $$ iz čega slijedi tvrdnja \ref{33}. \\

\noindent \ref{33} $\implies$ \ref{44}: Slijedi direktno iz činjenice da je $B:(\emph{Ker}\ B)^{\bot} \rightarrow K$ bijekcija (posebno, surjekcija) i da je $H = \emph{Ker}\ B \oplus \emph{Ker}\ B^{\bot}$. \\

\noindent \ref{44} $\implies$ \ref{11}: Pretpostavimo da je $B: H \rightarrow K$ surjekcija. Jer je $\emph{Im}\ B = K$ zatvoren, slijedi da je $\emph{Im} \ B^*$ također zatvoren. Nadalje, ako primjenimo ortogonalnost na $K = \emph{Im}\ B = (\emph{Ker}\ B^*)^{\bot}, $  slijedi da je $\emph{Ker}\ B^* = \{0\},$ iz čega slijedi da je $B^*$ injekcija. Dakle, rezultat karakterizacije operatora sa zatvorenom slikom implicira nejednakost \ref{BB}, što je točno tvrdnja \ref{11}.
\end{proof}


\section{Glavni rezultat}

\begin{thm}
\label{t1} Neka je $V=\emph{Ker}\ B$ i neka je $\Pi:\ H\rightarrow V$ ortogonalni projektor. Pretpostavimo da vrijedi:
\begin{enumerate}
\item $\Pi A:\ V \rightarrow V$ je bijekcija;
\item Bilinearna forma $b$ zadovoljava (\ref{LBB}).
\end{enumerate}
Tada za svaki par $(F,\ G)\in H'\times K'$ postoji jedinstveno rješenje $(u,\ w)\in H\times K$ problema (\ref{problem}). Nadalje, postoji konstanta $C=C(||A||,\ ||(\Pi A)^{-1}||,\ \beta)>0$ takva da
\[
||(u,\ w)||_{H\times K}\leq C(||F||_{H'}+||G||_{K'}).
\]
\end{thm}

\begin{proof}
Jer je $B$ bijekcija sa $V^{\bot}$ u $K$ (slijedi iz \ref{LBB} i tvrdnje \ref{33} Leme \ref{lemma1}), možemo zaključiti da postoji jedinstveni $u_g \in V^{\bot}$ takav da
$$B(u_g) = \mathcal{R}_K(G), $$ i prema tvrdnji \ref{33} Leme \ref{lemma1} slijedi
$$||u_g||_H \leq \frac{1}{\beta} ||B(u_g)||_K = \frac{1}{\beta} ||G||_{K'}. $$ \newline
Nadalje, jer je $\Pi A:\ V \rightarrow V$ bijekcija i $\Pi(\mathcal{R}_H(F) - A(u_g))$ pripada $V$, postoji jedinstveni $u_0 \in V$ takav da $\Pi A(u_0) = \Pi(\mathcal{R}_H(F) - A(u_g)).$ Dodatno, ograničeni inverzni teorem nam garantira postojanje od $C:=||(\Pi A)^{-1}||$ takvog da
$$||u_0||_H \leq C||\Pi(\mathcal{R}_H(F) - A(u_g))||_H \leq C||\mathcal{R}_H(F) - A(u_g)||_H$$
iz čega slijedi (koristeći ocjenu od $||u_g||_H)$
$$||u_0||_{H}\leq C(||F||_{H'}+\frac{1}{\beta}||A|||G||_{K'}).$$ \newline
Sada, zbog uvjeta ortogonalnosti operatora $\Pi,$ možemo lako vidjeti da je $\Pi A(u_0) = \Pi(\mathcal{R}_H(F) - A(u_g))$ ekvivalentno tvrdnji da vektor $A(u_0+u_g)-\mathcal{R}_H(F)$ pripada $V^{\bot}.$ Pa, iz tvrdnje \ref{22} Leme \ref{lemma1}, slijedi da postoji jedinstveni $w \in K$ takav da
$$B^*(w) = \mathcal{R}_H(F) - A(u_0+u_g)$$
i
$$||w||_K \leq \frac{1}{\beta} ||B^*(w)||_H = \frac{1}{\beta}||\mathcal{R}_H(F) - A(u_0+u_g)||_H$$
odakle slijedi
$$||w||_K \leq \frac{1}{\beta}( ||F||_{H'} + ||A||(||u_0||_H + ||u_g||_H)).$$ \newline
Sada, ako definiramo $u = u_0 + u_g \in H$ i stavimo $B(u_0) = 0$ iz gornjih tvdnji slijedi da $(u,w)$ zadovoljava \ref{problem} i vrijedi: $$||(u,\ w)||_{H\times K}\leq C(||F||_{H'}+||G||_{K'}).$$ \newline
Što se tiče jedinstvenosti, neka je $(u, w) \in H \times K$ rješenje sljedećeg homogenog problema:
\begin{equation*}
A(u) + B^*(w) = 0,
\end{equation*}
\[
B(u) = 0.
\]
Iz druge jednadžbe je jasno da je $u\in V,$ i primjenom ortogalnog projektora $\Pi$ na prvu jednadžbu i ako se prisjetimo da $B^*(w) \in V^{\bot},$ dobivamo $\Pi A(u)=0.$ Stoga, jer je $\Pi A: V \rightarrow V$ bijekcija, slijedi da je $u=0$, i iz orve jednadžbe slijedi da je $B^*(w)=0.$ Konačno, jer je $B^*: K \rightarrow V^{\bot}$ bijekcija, slijedi da je $w=0.$
\end{proof}

Pokažimo da su uvjeti gornjeg teorema i nužni.

\begin{thm}
\label{t2}
Neka je $V = \emph{Ker} B$ i neka je $\Pi:\ H\rightarrow V$ ortogonalni projektor. Nadalje,za svaki par $(F,\ G)\in H'\times K'$ postoji jedinstveno rješenje $(u,\ w)\in H\times K$ problema (\ref{problem}) koje zadovoljava
\[
||(u,\ w)||_{H\times K}\leq C(||F||_{H'}+||G||_{K'}).
\]
za konstantu $C>0$ neovisnu o $F$ i $G$. Tada vrijedi
\begin{enumerate}
\item $\Pi A:\ V \rightarrow V$ je bijekcija;
\item Bilinearna forma $b$ zadovoljava (\ref{LBB}). 
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
Prvo pokažimo tvrdnju $2.$ Zbog Leme \ref{lemma1} doboljno je pokazati da je $B$ surjekcija. Za dani $g \in K$ znamo iz pretpostavke da postoji jedinstveni $(u_g,w_g) \in H \times K$ takvi da
\begin{equation*}
A(u_g) + B^*(w_g) = 0,
\end{equation*}
\[
B(u_g) = g.
\]
Jasno je da druga jednakost potvrđuje surjektivnost od $B$. Stoga, ako znamo da bilinearna forma $b$ zadovoljava inf-sup uvjet, možemo iskoristi ekvivalentnost dobivenu iz Leme \ref{lemma1} da pokažemo da je $\Pi A: V \rightarrow V$ bijekcija.\newline
Doista, ako je dan $f \in V,$ znamo iz pretpostavke da postoji jedinstveni $(u_f, w_f) \in H \times K$ takvi da:
\begin{equation*}
A(u_f) + B^*(w_f) = f,
\end{equation*}
\[
B(u_f) = 0
\]
iz čega, po drugoj jednakosti, slijedi da je $u_f \in V.$ Primjenom ortogonalnog projektora $\Pi$ na prvu jednakost i korištenjem tvrdnje \ref{22} Leme \ref{lemma1} da je $B^*(w_f) \in V^{\bot},$ dobivamo $\Pi A(u_f) = \Pi (f) = f,$ i time smo dokazali da je $\Pi A$ surjekcija. Neka je sada $u_0 \in V$ takav da $\Pi A(u_0) =0.$ Slijedi da je $A(u_0) \in V^{\bot},$ i kako je, po tvrdnji \ref{22} Leme \ref{lemma1}, $B^*: K \rightarrow V^{\bot}$ bijekcija, zaključujemo da postoji jedinstveni $w_0 \in K$ takav da $B^*(w_0) = -A(u_0).$ Tada imamo:
\begin{equation*}
A(u_0) + B^*(w_0) = 0,
\end{equation*}
\[
B(u_0) = 0,
\]
iz čega slijedi, po pretpostavkama, da je $(u_0, w_0) = (0,0),$ što daje injektivnost od $\Pi A.$
\end{proof}

\begin{thm}
\label{t3}
Označimo $V=\emph{Ker}\ B$ i neka vrijedi
\begin{enumerate}
\item Bilinearna forma $a$ je V-eliptička, to jest postoji $\alpha>0$ takav da
\begin{equation}
\label{elipt}
a(v,\ v)\geq \alpha ||v||_{H}^{2},\ \forall v\in V;
\end{equation}
\item Bilinearna forma $b$ zadovoljava uvjet (\ref{LBB}).
\end{enumerate}
Tada svaki par $(F,\ G)\in H'\times K'$ postoji jedinstveno rješenje $(u,\ w)\in H\times K$ problema (\ref{problem}). Nadalje, postoji konstanta $C=C(||A||,\ \alpha,\ \beta)>0$ takva da
\[
||(u,\ w)||_{H\times K}\leq C(||F||_{H'}+||G||_{K'}).
\]
\end{thm}

\section{Poissonova jednadžba}

Neka je $\Omega\subset\mathbb R ^{n}$ ograničena domena, sa Lipschitzovim rubom $\Gamma$. Neka su zadane $f\in L^{2}(\Omega)$ i $g\in H^{1/2}(\Gamma)$. Promatramo sljedeći problem
\[
-\Delta u=f,\ \Omega
\]
\[
u=g,\ \Gamma.
\]
Uvedimo dodatnu nepoznanicu $h=\nabla u$ na $\Omega$ pa gornji problem možemo zapisati kao
\begin{equation}
\label{4}
h=\nabla u,\ \Omega
\end{equation}
\begin{equation}
\label{5}
\textrm{div}\ h=-f,\ \Omega,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{6}
u=g,\ \Gamma.
\end{equation}
Pomnožimo jednadžbu (\ref{4}) sa $v\in H(\textrm{div};\ \Omega)$ i iskoristimo Greenov identitet pa dobivamo
\[
\intop_{\Omega} h\cdot v=\intop_{\Omega} \nabla u \cdot v=-\intop_{\Omega} u\ \textrm{div}v+(\gamma_{n}(v),\ \gamma_{0}(u)),
\]
pri čemu su $\gamma_{0}:\ H^{1}(\Omega)\rightarrow H^{1/2}(\Omega)$, $\gamma_{n}:\ H(\textrm{div};\ \Omega)\rightarrow H^{-1/2}(\Omega)$ operatori traga.
\newline
Dirichletov rubni uvjet nam daje $\gamma_{0}(u)=g$ na $\Gamma$ pa imamo
\begin{equation}
\label{7}
\intop_{\Omega} h\cdot v+\intop_{\Omega} u\ \textrm{div}v=(\gamma_{n}(v),\ g),\ \forall v\in H(\textrm{div};\ \Omega)
\end{equation}
Jednadžbu (\ref{5}) možemo pisati kao
\begin{equation}
\label{8}
\intop_{\Omega} w\ \textrm{div} h=-\intop_{\Omega} fw,\ \forall w\in L^{2}(\Omega).
\end{equation}
Kombiniranjem (\ref{7}) i (\ref{8}) dobivamo mješovitu varijacijsku formulaciju za polazni problem
\[
(h,\ u)\in H\times K
\]
\begin{equation}
\label{problem2}
a(h,\ v)+b(v,\ u)=F(v),\ \forall v\in H,
\end{equation}
\[
b(h,\ w)=G(w),\ \forall w\in K.
\]
Prostori $H$ i $K$ su
\[
H=H(\textrm{div};\ \Omega)=\{u\in L^{2}(\Omega):\ \textrm{div}\ u\in L^{2}(\Omega)\},
\]
sa normom
\[
||u||_{H}^{2}=||u||_{L^{2}(\Omega)}^{2}+||\textrm{div}\ u||_{L^{2}(\Omega)}^{2}
\]
i
\[
K=L^{2}(\Omega).
\]
Bilinearne forme su dane sa
\[
a(h,\ v)=\intop_{\Omega} h\cdot v,\ \forall (h,\ v)\in H\times H,
\]
\[
b(v,\ u)=\intop_{\Omega} u\ \textrm{div}v,\ \forall (v,\ u)\in H\times K,
\]
a linearni funkcionali $F\in H'$ i $G\in K'$
\[
F(v)=(\gamma_{n}(v),\ g),\ \forall v\in H,
\]
\[
G(w)=-\intop_{\Omega} fw,\ \forall w\in K.
\]
Pokazat ćemo da su zadovoljeni uvjeti teorema \ref{t3}.
\begin{enumerate}
\item Bilinearne forme $a$ i $b$ su ograničene, to jest vrijedi
\newline
\[
|a(h,\ v)|\leq\intop_{\Omega} |h|\cdot |v|\leq ||h||_{L^{2}}||v||_{L^{2}}\leq ||h||_{H}||v||_{H},\ \forall (h,\ v)\in H\times H,
\]
\[
|b(v,\ u)|\leq\intop_{\Omega}|u|\cdot |\textrm{div}\ v|\leq ||u||_{L^{2}(\Omega)}||\textrm{div}\ v||_{L^{2}(\Omega)}\leq ||u||_{K}||v||_{H},\ \forall (v,\ u)\in H\times K.
\]
\item Bilinearna forma $a$ je $V$-eliptička.
\newline
\indent Operator $B$ induciran bilinearnom $b$ je dan sa $B(v)=\textrm{div}\ v$ za svaki $v\in H$. Označimo
\[
V=\textrm{Ker}\ B=\{v\in H(\textrm{div};\ \Omega):\ \textrm{div}\ v=0\},
\]
pa vrijedi
\[
a(v,\ v)=\intop_{\Omega} v\cdot v=||v||_{L^{2}(\Omega)}^{2}=||v||_{H}^{2},\ \forall v\in V.
\]
\item Bilinearna forma $b$ zadovoljava uvjet (\ref{LBB}).
\newline
\indent Pokažimo da je $B:\ H\rightarrow K$ surjekcija (lema \ref{lemma1}). Neka je $v\in K=L^{2}(\Omega)$ i promotrimo sljedeći rubni problem
\[
-\Delta z=v,\ \Omega
\]
\[
z=0,\ \partial\Omega,
\]
čija varijacijska formulacija glasi
\[
z\in H_{0}^{1}(\Omega),
\]
\begin{equation}
\label{9}
\intop_{\Omega}\nabla z\cdot\nabla w=\intop_{\Omega}v\cdot w,\ \forall w\in H_{0}^{1}(\Omega).
\end{equation}
Iz Lax - Milgramove leme slijedi da postoji jedinstveni $z\in H_{0}^{1}(\Omega)$ takav da vrijedi (\ref{9}) i koji zadovoljava
\[
|z|_{H^{1}(\Omega)}\leq \widetilde C||v||_{V}.
\]
Možemo definirati $\widetilde v=-\nabla z$ na $\Omega$ pa slijedi $\textrm{div}\ \widetilde v=v$ na $\Omega$. Dakle, $\widetilde v\in H(\textrm{div};\ \Omega)$ pa zaključujemo da je $B$ surjekcija, to jest bilinearna forma $b$ zadovoljava uvjet (\ref{LBB}).
\item Funkcionali $F$ i $G$ su ograničeni.
\newline
\indent Operator $\gamma_{n}$ je ograničen, $g\in H^{1/2}(\Gamma)$ i $f\in L^{2}(\Omega)$, pa CSB nejednakost na $L^{2}(\Omega)$ daje
\[
|F(v)|\leq C_{1} ||g||_{L^{2}(\Gamma)}\leq C_{1}||g||_{H^{1/2}(\Gamma)},\ \forall v\in H,
\]
\[
|G(w)|\leq ||w||_{L^{2}(\Omega)}||f||_{L^{2}(\Omega)}\leq C_{2}||w||_{L^{2}(\Omega)},\ \forall w\in K.
\]
\end{enumerate}
Dakle, zadovoljeni su uvjeti teorema \ref{t3} pa postoji jedinstveni par $(h,\ u)\in H\times K$ koji zadovoljava mješovitu formulaciju (\ref{problem2}) i vrijedi
\[
||(h,\ u)||_{H\times K}\leq C(||g||_{H^{1/2}(\Gamma)}+||f||_{L^{2}(\Omega)}).
\]
Sjetimo se da je konstanta $C$ ovisila o konstanti $\beta$ iz uvjeta (\ref{LBB}). Gore smo imali $\textrm{div}\ \widetilde v=v$ na $\Omega$ i ocjenu $|z|_{H^{1}(\Omega)}\leq \widetilde C||v||_{V}=\widetilde C||v||_{L^{2}(\Omega)}$ pa vrijedi
\[
||\widetilde v||_{H}^{2}=||\widetilde v||_{L^{2}(\Omega)}^{2}+||\textrm{div}\ \widetilde v||_{L^{2}(\Omega)}^{2}=|z|_{H^{1}(\Omega)}^{2}+||v||_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq(1+\widetilde C ^{2})||v||_{L^{2}(\Omega)}^{2},
\]
pa slijedi
\[
\sup_{v\in H,\ v\neq 0}\frac{b(v,\ u)}{||v||_{H}}\geq\frac{b(\widetilde v,\ u)}{||\widetilde v||_{H}}=\frac{\intop_{\Omega}u\ \textrm{div}\ \widetilde v}{||\widetilde v||_{H}}=\frac{||v||_{L^{2}(\Omega)}^{2}}{||\widetilde v||_{H}}\geq
\]
\[
\geq \frac{||v||_{L^{2}(\Omega)}^{2}}{(1+\widetilde C ^{2})^{1/2}||v||_{L^{2}(\Omega)}}=\frac{1}{(1+\widetilde C ^{2})^{1/2}}||v||_{L^{2}(\Omega)}.
\]
Možemo uzeti
\[
\beta=\frac{1}{(1+\widetilde C ^{2})^{1/2}}.
\]






























\end{document}