| Hosted by CoCalc | Download
# Kaip papildyti vektorių sistemą iki erdvės bazės?

def papildom_poerdviai(W, V):
    """
    Gražina tiesinės erdvės V poerdvio W papildinio iki V bazę. 
    Kitaip sakant, randa tokį poerdvį U, kad V yra W ir U tiesioginė 
    suma ir gražina jo bazę.
    """
    Q, pi, lift = V.quotient_abstract(W)
    Basis = [lift(v) for v in Q.basis()]
    return Basis

# pi   yra projekcijos atvaizdis iš erdvės V į faktorerdvę V/W: pi(v) = v + W.
# lift yra "atvirkštinis" atvaizdis iš faktorerdvės Q = V/W  į  erdvę V, tenkinantis 
# lygybę pi(lift(u)) = u  su visais u iš Q.


def papildom(vec, V):
    """
    Tiesinės erdvės V vektorių šeimą vec papildo vektoriais v1,..., vn iki 
    erdvės V bazės ir gražina papildytus vektorius v1,..., vn.
    """
    return papildom_poerdviai(V.span(vec), V)


# Pavyzdžiui,
vec = [vector([1,0,0]),vector([1,1,0])]
papildom(vec, QQ^3)
[(0, 0, 1)] 


# 1 pavyzdys. Rasime matricos

A = matrix(QQ, 4, 4, [[5, 1, -1, -1],
                      [1, 5, -1, -1],
                      [1, 1, 3, -1],
                      [1,1,-1,3]])
show(A)
(51−1−115−1−1113−111−13)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 5 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right)
# Žodano formą ir atitinkamą bazę.


%md 


# Randame matricos charakteristinį polinomą:

p = A.charpoly(var = 't')
show(p)
show(p.factor())
t4−16t3+96t2−256t+256\displaystyle t^{4} - 16 t^{3} + 96 t^{2} - 256 t + 256
(t−4)4\displaystyle (t - 4)^{4}
# Nagrinėjame matricą B := A-4*E. Ieškome mažiausoi p: rg(B^p)=4-4=0:
B = A - 4*matrix.identity(4)
show(B)
(11−1−111−1−111−1−111−1−1)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right)
# Matricos B laipsnių rangai:
B.rank()
(B**2).rank()
1 0 
# Taigi, p=2. Matricos B branduolys ker B ir jo dimensija:
L1 = B.left_kernel()
L1.dimension()
3 
# Matricos B^2 branduolys ker B^2 ir jo dimensija:
L2 = (B**2).left_kernel()
L2.dimension()
4 
# Poerdvio L1 bazę pildant iki erdvės L2 bazės, reikia pridėti 1 vektorių, kurį
# atitiks lygiai vianas 2-os eilės Žordano langelis. 
# Rasime šį vektorių:

v11 = papildom(L1.basis(), L2)[0]
v11
(1, 0, 0, 0) 
# Suskaičiuojame dar vieną vektorių:

v11B = v11*B  # priklauso L1
v11B
(1, 1, -1, -1) 
# Kadangi poerdvio L1 dimensija lygi 3 ir v11B priklauso L1, tai vektorių v11B reikia papildyti dviem vektoriais v21,v22 iki L1 bazės:
L = papildom([v11B], L1)
v21 = L[0]
v22 = L[1]
v21
v22
(1, 0, 0, -1) (0, 1, 0, -1) 
# Taigi radome Žordano bazę v11,v11B,v21,v22. 
# Perėjimo matrica (iš standartinės bazės į Žordano bazę):

T = matrix(QQ,4,4,[v11,v11B,v21,v22])
show(T)
(100011−1−1100−1010−1)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right)
# Pradinės matricos Žordano matrica:

show(T*A*(T^(-1)))
(4100040000400004)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right)